传染病模型

传染病模型

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范文一:传染病模型

传染病模型 稳定性理论

传染病的随机感染模型

在人群中有病人(带菌者)和健康人(易感人群), 任何两个人之间的接触都是随机的。当然健康人 与非健康人之间的接触时是否被感染也是随机的。 这时如何估计平均每天有多少健康人被感染?

接触概率 总的感染人数

感染概率

一个健康人被其他的所有病人感染的概率

一个健康人被一名指定病人感染的概率

模型假设

人群中只分为健康人和病人两种 i + s = n 人群中任何两人的接触是相互独立的。每人 平均每天与 m 人接触。 当一健康人与一病人接触时,健康人被感染 的概率为 λ

接触概率

p

感染概率

m = ( n 1) p

p1

接触人数服从二项分布

一健康人被一指定病人感染的概率 p1 = λ p = 一健康人被感染的概率

p2 = 1 (1 p1 )i

λm

n 1

健康人被感染的人数也服从二项分布, 每天被 感染的人数 μ 也服从二项分布 μ = sp2 λ mi λ mi p2 = 1 (1 + ) μ≈ (n i )

n n

离散

连续

变化是时间的函数

人群中只分为健康人和病人两种或者易感染者 (Susceptible)和已感染者(Infective).病人数和健 康人数在总人数中所占比例分别记为 s( t ) + i ( t ) = 1 人群中任何两人的接触是相互独立的。每个病 人平均每天的有效接触为常数 λ

di = N i λ s( t ) N dt i (0) = i

0

i(t ) =

→1 1 λt 1 + ( 1)e i0

1

1

t → +∞

1 i= 2

i 变化最大?

1 t m = λ ln( 1) i0

不具有免疫性SIS

具有免疫性SIR

1 λ λ di [ )e ( λ μ ) t ]1 , λ ≠ μ +( λμ = i λ (1 i ) i μ i0 λ μ dt i(t ) = 1 1 i (0) = i0 (λ t + ) , λ = μ i0

1 λ λ di [ )e ( λ μ ) t ]1 , λ ≠ μ +( λμ = i λ (1 i ) i μ i0 λ μ dt i(t ) = 1 1 i (0) = i0 (λ t + ) , λ = μ i0

λ σ= μ

σ >1 σ ≤1

μ i(t ) = 1 λ

i(t ) → 0

t → +∞

di dt = i λ (1 i ) i μ ds 1 di = σ s 1 ds 1 s = λ si i = ( s0 + i0 ) s + ln i s = s = i0 dt σ s0 0 i (0) = i0 , s(0) = s0

随着时间的变化, s, i , r 如何变化?

ds 1 di = σ s 1 i s = s = i0 0

dr = iμ dt ds = λ si dt

r 单调递增

s+r +i =1

s 单调递减 r∞ r0 = r '(ξ )t∞ 则 i∞ = ∞ s 1 s + ln = 0 σ s0

1

i∞ = 0 ?

1 1 1 = 0 s = σs σ 1 ds 1 s0 > = 1

则 i 先单调递增

s

1

σ

σ

i 减小且趋向于零

ds 1 di = σ s 1 i s = s = i0 0

s0 ≤

1

dr = iμ dt ds = λ si dt

i 减小且趋向于零

r 单调递增

i∞ = 0 s 单调递减 s 单调递减至 s∞

σ

稳定性理论

设微分方程 x '( t ) = f ( x ) ,方程右边不显含自变量 t 称之为自治方程。

f ( x ) = 0 的实根 x = x0 , 显然也是该方程的解, 称为

方程的平衡点(奇点) 如果存在某个邻域,使得该方程的解在邻域内的某 个点 x (0) 出发, 满足 lim x( t ) = x0 , 则称平衡点 x0 为 t →

∞ 稳定点 判定 x0 是否为稳定点, 主要利用直接法 若 f '( x0 ) 0, 则 x0 为稳定点 x '( t ) = f '( x0 )( x x0 ) 则 x0 非稳定点

x ( t ) = ce f '( x0 ) t + x0

0 = f ( x1 , x2 ) 0 = g ( x1 , x2 ) 0 的两个实根 x1 = x10 , x2 = x2 称为该微分方程的平衡点

0 0 lim x1 ( t ) = x1 ,lim x2 ( t ) = x2 则称该点为稳定点 t →∞ t →∞

' x1 = f ( x1 , x2 ) ' x2 = g ( x1 , x2 )

f , g 是非线性,这时应用泰勒公式,只保留其线

性主部,而这时的新方程和原来的方程有相同的稳定性。 当特征根为负数或者有负实部时,该点为稳定 点,否则该点为非稳定点。

范文二:传染病模型

(www.wenku1.com)

用Mathematics软件研究实际问题中的常微分方程

作者 : 吴晨光 (5090719046) 贺一堂 (5090719045) (www.wenku1.com)

2011.1(www.wenku1.com)

1

传染病的SIR模型

作者: 吴晨光 贺一堂

假设条件:

1. 在疾病传播期内所考察地区总人数N保持不变,既不考虑生死,也不考虑迁移。人群分

为易感染者(Susceptible)和已感染者(Infective),以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数所占的比例分别为s(t)和i(t).

2. 每个病人每天有效接触的平均人数是λ,称为日接触率。当病人与健康者有效接触时,

健康者受感染变为病人。

3. 每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数μ,称为日治愈率,定义σ=λ/μ为传染

期接触数。

大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等患者治愈后均有很强的免疫力,所以病愈的人既非健康者也非病人,他们已退出传染系统,将这类人在人群中所占比例设为r(t),下面将详细讨论该模型。

模型构成:

由假设1 显然有 s(t)+i(t)+r(t)=1; (1) 根据Logistic模型 应有 N

di

=λN s i –μN i ; (2) dt

对于病愈免疫的移出者而言应有 N

dr

=μN i ; (3) dt

由假设 σ=λ/μ (4)

再记初始时刻的健康者和病人的比例分别是s0(s0>0)和i0(i0>0)(不妨设移出者初始条件r0=0),由(1)(2)(3),SIR模型的方程可写为,

di

=λs i –μi , i(0)= i0 dtds

= -λs i , s(0)= s0 (5) dt

该方程组无法求出s(t)和i(t)的解析解,我们先作数值计算,设λ=1,μ=0.3, i(0)= 0.02, s(0)= 0.98;用Mathematics 软件分别作出 s(t)和i(t)的图线(图1)以及i~s相轨线(图2)。

2

以下为程序语言:

#include "graphics.h" #include "stdio.h" main() {

double s=0.98000; double i=0.02000; double k=1.00000; double u=0.3; double s1=s; double i1=i; double dt=0.04; long int t=1; int scale=1; int drive=VGA; int mode=VGAHI;

initgraph(&drive,&mode,"c:\\tc20\\bgi"); setbkcolor(15); setcolor(RED); for(;s>0.01 && t*scale

i1=i+(k*s*i-u*i)*dt; s1=s-(k*s*i)*dt; setcolor(BLUE);

line((t-1)*scale,450-s*450,t*scale,450-s1*450); setcolor(RED);

line((t-1)*scale,450-i*450,t*scale,450-i1*450); setcolor(GREEN);

line(s*650,450-i*450,s1*650,450-i1*450); s=s1; i=i1; }

getch();

closegraph(); }

3

图1

图2

可以看出,随着t的增加,i(t)由初值增长至约t=7时达到最大值,然后减少,t ∞,i 0 ;s(t)单调减小, t ∞,s0.0398.

i(t) s(t) i(t)

0.12850.81690.02230.0434

0.20330.69270.00610.0408

0.27950.54380.00170.0401

0.33120.29950.00050.0399

0.0398

t 9 0.0543

表1

为了分析i(t)和s(t)的一般变化规律,需要进行相轨线分析。

相轨线分析:我们在数值计算和图形观察的基础上,利用相轨线讨论i(t)、s(t)的性质。

在s~i 相平面上,相轨线的定义域(s,i) D 为 D=(s,i)| s0,i0,s+i1

 (6)

在方程组(5)中消去dt, 并注意σ的定义式(4),可得

di1=-1, i| s=s0 = i0 (7) dss

容易求出方程(7)的解为

i=(s0+i0)-s+

1

s

(8) s0

在定义域内,(8)式表示的曲线即为相轨线,如图3所示。下面根据(5),(8)和图3分析s(t)、i(t)和r(t)的变化情况(t ∞时,它们的极限值分别记作s ,i 和r )

图3

1.不论初始条件s0、i0如何变化,病人终将消失,即i0(9)

ds

0,而s(t)0,故s存在;由(2),

dt

dr

0,而r(t)1,故r存在;再由(1)知i存在。dt

dr

其次,i0,则由(1),对于充分大的t有>,这将导致r,与r存在相矛盾。

dt2

从图形上看,不论相轨线从P或从P12点出发,它终将与s轴相交(t充分大)。2.最终未被感染的健康者的比例是s,在(8)式中令i=0得到,s是方程s0i0s

1ln

s

0(10)s0

11

s是相轨线与s

3.若s0>

1

,则i(t)先增加,当s=1

1

时,i(t)达到最大值

ims0i0

1

(1lns0)(11)

然后i(t)减小且趋于零,s(t)则单调减小至s,如图 3 中有P(1s0 ,i0)出发的轨线。4.若s0

,则i(t)单调减小至零,s(t)则单调减小至s,如图3中有P(2s0,i0)出发的轨线。

1

可以看出,如果仅当病人比例i(t)有一段增长的时期才认为传染病在蔓延,那么是一个阈值,当

111

s0>,既提高阈值s0

我们注意到在=/中,人们的卫生水平越高,日接触率越小;医疗水平越高,日治愈率越大,于是越小,

1

并且,即使s0>减小时,s增加,im降低,也控制了蔓延的程度。

所以提高医疗水平和卫生水平有助于控制疾病的蔓延。

1

从另一方面看,s=s*是传染期内一个病人传染的健康者的平均数,成为交换数,其

含义是一个病人被s个健康者交换。所以当s01/,即s01时,必有s1.既然交换数不超过1,病人比例i(t)决不会增加,传染病不会蔓延。群体免疫和预防

根据对SIR模型的分析,当s01/时传染病不会蔓延,所以为制止蔓延,除了提高卫生和医疗水平,使阈值1/变大以外,另一个途径是降低s0,这可以通过比如预防接种是群体免疫的办法做到。忽略病人比例的初始值i0,有s01r0,于是传染病不会蔓延的条件1

s01/可以标为r0112)

这就是说,只要通过群体免疫室初始时刻的移出者比例(即免疫者比例)r0满足(12)式就可以制止传染病的蔓延。但这种办法生效的前提条件是免疫者要均匀分布在全体人口中,实际上这是很难做到的。

6

范文三:传染病模型

病毒扩散与传播的控制模型

摘要

随着科技的发展,病毒扩散与传播越来越受到人们的关注。

本文通过建立微分方程模型,描述了病毒扩散与传播的过程,最后通过分析,得到了控制病毒扩散与传播的方法。

对问题一,我们通过分析影响变量的因素,建立微分方程模型。

对问题二,我们通过把增加的影响因素加入到问题一的微分方程模型中,改善后得到了新的微分方程模型。最后把变量代入,求解微分方程模型,得到结果。当t=13天时,确诊患者人数达到峰值6793000人;t=150天时,确诊人数减少到116800人。

对问题三、问题四、问题五,通过把改变后的条件代入到问题二中的微分方程模型中,可以得到其对应结果。问题三的结果,当t=13天时,确诊人数达到峰值6769000人,t=150天时,确诊人数减少到108400人。问题四的结果,当t=13天时,确诊人数达到峰值6795000人,t=150天时,确诊人数减少到116200人。问题五的结果,当t=12天时,确诊人数达到峰值6793000人,当t=150天时,确诊人数减少到113500人

对问题六,结合前面所得到的结果,我们分析在其它因素都不变的情况下只改变一种因素,分析得到该种因素的灵敏度,最后得出各个因素的灵敏度。可以得到,尽快开始隔离、治愈时间t1、t2,加强隔离强度p、减少人均日接触率r都可以改善病情。

对问题七,在问题六的基础上,可以得出相应的减轻病情的方法和建议。

关键词:微分方程模型微分方程组求解(MATLAB)

一、 问题的重述

已知某种不完全确知的具有传染性病毒的潜伏期为d1~d2天,病患者的治愈时间为d3天。该病毒可通过直接接触、口腔飞沫进行传播、扩散,该人群的人均每天接触人数为r。为了控制病毒的扩散与传播将该人群分为五类:确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人,可控制参数是隔离措施强度p(潜伏期内的患者被隔离的百分数)。

要求:

1. 在合理的假设下试建立该病毒扩散与传播的控制模型;

2. 利用你所建立的模型针对如下数据进行模拟 条件1:d1=1, d2=11, d3=30, r=10,

条件2:已经知道的初始发病人数为890、疑似患者为2000 条件3:隔离措施强度p=60%

条件4:患者2天后入院治疗,疑似患者2天后被隔离,试给出患者人数随时间变化的曲线图,并明确标识图中的一些特殊点的具体数据,分析结果的合理性。 3. 若将2中的条件4改为条件:患者1.5天后入院治疗,疑似患者1.5天后被隔离,模拟结果有何变化?

4. 若仅将2中的条件3改为条件:隔离措施强度p=40%,模拟结果有何变化?

5. 若仅将2中的条件1改为条件:d1=1, d2=11, d3=30, r=250,模拟结果有何变化?

6. 分析问题中的参数对计算结果的敏感性。

7. 针对如上数据给政府部门写一个不超过400字的建议报告。

二、问题的分析

2.1 问题一的分析

问题一的解决,在于对疑似患者、确诊患者、治愈者、正常人、死亡者的理解,在理解的基础上,我们分析影响它们的因素有哪些,最后通过建立微分方程模型来解释这些影响关系。 2.2 问题二的分析

问题二的解决基于问题一,在问题已的基础上,我们对于增加的影响因素进

项分析,并且改进问题一中的微分方程模型。我们会得到考虑更加全面的微分方程模型,最后把已知的数据带入方程组中,最后用MATLAB进行求解,可以得到结果。 2.3 问题三的分析

问题三的解决,即把已知的条件代入问题二的微分方程组中,最后用MATLAB求解,可以得到结果。 2.4 问题四的分析

问题四的解决,即把已知的条件代入问题二的微分方程组中,最后用MATLAB求解,可以得到结果。 2.5 问题五的分析

问题五的解决,即把已知的条件代入问题二的微分方程组中,最后用MATLAB求解,可以得到结果。 2.6 问题六的分析

通过对问题二、问题三、问题四、问题五结果的分析,通过相互之间的对比,我们会发现不同影响因素对病情的影响,最终得出结论。 2.7 问题七的分析

通过问题六的结果,我们会得到影响病情的因素以及影响关系,通过这些关系,提出减轻病情的建议和方法。

三、模型的假设

1.总人数N不变,人群分为确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人; 2. 疑似患者是被病毒感染,但是没有发病的人;

3.确诊患者自动被隔离,不具备传染病毒的能力,所以人群中只有未被隔离的疑似患者能够传染疾病;

4.治愈者具有了免疫能力,不会再被该病毒感染; 5.平均潜伏期为

1d1d2

5. 在问题二中,假设人群总数为1000 0000

四、符号说明

五、模型的建立与求解

5.1问题一的模型建立与求解

易知显然有 S+I+R+H+D=1

根据已知条件以及假设,分析可得:

疑似患者在人群中的比例决定于未被隔离的疑似患者和疑似患者发病的比例有关。

确诊患者在人群中的比例决定于疑似患者发病和患病者得到治愈的比例有关。

治愈者在人群中的比例决定于确诊患者被治愈的比例有关。 正常人的比例决定于未被隔离的疑似患者的比例有关。

死亡者的比例则是人群中每一时刻人群原来整数减去疑似患者、确诊患者、治愈者、正常人人数的比例。

有以上分析以及题目中所数据和假设中的数据可将此问题满足的微分方程模型建立,如下:

N

dSdt

Nr(1p)SHN

Sd4

N

dIdtN

NdRdt

Sd4

NId3

Id3

N

N

dHdt

Nr(1p)SH

D1SIRH

到此,我们建立该病毒扩散与传播的控制模型;

5.2 问题二的模型建立与求解

问题二模型的建立是建立在问题一的基础上,由题中给出的额外条件患者t1

天后得到治疗和疑似患者t2天后被隔离,所以我们基于问题一的模型。

考虑到此事疑似患者感染人群的天数增加t2天,所以此时人群中每天疑似患者的增加人数比问题一多N

rSHt2

;相反人群中正常人每天比问题一减少N

rSHt2

考虑到此时患病者t1天后开始治疗,所以这时治愈时间变为t1+d3天,此时人群中每天治愈者的增加人数变为N

NSd4

N

Id3t1

Id3t1

;相反人群中每天确诊患者的变为

所以得到问题二的微分方程模型,如下:

NdSdtNNdIdtN

NdHdt

rSHt2Sd4

Nr(1p)SHNNId3t1

Id3t1

Sd4

NdRdtt2

N

NrSH

Nr(1p)SH

D1SIRH

把问题二中已知的条件1、条件2、条件3、条件4可得:

d11,d211,d330,r10,p60%,t1t22,d4

6

由假设可得

I0=0.000089,S0=0.00002,R0=0

H0=0.9997

dSdt

S6

将这些数据代入上述方程,可得微分方程组,如下:

9SHS6I32I32

dIdt

dRdtdHdt

9SH

D1SIRH

I0=0.000089,S0=0.00002, R0=0,H0=0.9997

用MATLAB求解此微分方程模型,可以得到患者人数随时间变化的曲线图如下图所示:

问题二的结果

(由于死亡者的比例几乎解决于0,甚至是一个很小的负数,所以与横坐标轴重合)

在图中标出三个特殊点,(0,0.000089)(13,0.6793)(150,116800)。分析可得,起初即t=0时,人群中确诊患者的比例为0.000089,即890人;当t=13时,确诊患者人数比例达到最多0.6793,即6793000人。并且0~13天,确诊患者人数递增;13~150天,确诊患者人数递减,最后在150天时,确诊患者比例为0.01168

即116800人。

5.3 问题三的模型建立与求解

由已知可得,改变问题二中的条件四,t1t21.5可得微分方程组:

dSdt

10.67SH

S6

dIdt

S6

I31.5I

dRdtdHdt

31.5

10.67SH

D1SIRH

I0=0.000089,S0=0.00002, R0=0,H0=0.9997

用MATLAB求解此微分方程模型,可以得到患者人数随时间变化的曲线图如下图所示:

问题三的结果

在图中标出俩个特殊点,(0,0.000089)(13,0.6769)(150,108400)。分析可得,起初即t=0时,人群中确诊患者的比例为0.000089,即890人;当t=13时,确诊患者人数比例达到最多0.6769,即6769000人。并且0~13天,确诊患者人数递增;13~150天,确诊患者人数递减,最后在150天时,确诊患者比例为0.01084,即108400人。

5.4问题四的模型建立与求解

由已知可得,改变问题二中的条件三改为p=40%,同理可得微分方程:

dSdt

11SHS6

S6

dIdt

I

I32

dRdtdHdt

32

11SH

D1SIRH

I0=0.000089,S0=0.00002, R0=0,H0=0.9997

用MATLAB求解此微分方程模型,可以得到患者人数随时间变化的曲线图如下图所示:

问题四的结果

在图中标出俩个特殊点,(0,0.000089)(13,0.6795)(150,116200)。分析可得,起初即t=0时,人群中确诊患者的比例为0.000089,即890人;当t=13时,确诊患者人数比例达到最多0.668,即6795000人。并且0~13天,确诊患者人数递增;13~150天,确诊患者人数递减,最后在150天时,确诊患者比例为0.01162,即116200人。

5.5问题五的模型建立与求解

由已知可得,改变问题二中的条件一改为

d11,d211,d330,r

250

同理可得微分方程:

dSdt

275SHS6I32I32

S6

dIdt

dRdt

dHdt

275SH

D1SIRH

I0=0.000089,S0=0.00002, R0=0,H0=0.9997

用MATLAB求解此微分方程模型,可以得到患者人数随时间变化的曲线图如下图所示:

问题五的结果

在图中标出俩个特殊点,(0,0.000089)和(12,0.6793)。分析可得,起初即t=0时,人群中确诊患者的比例为0.000089,即890人;当t=13时,确诊患者人数比例达到最多0.6793,即6793000人。并且0~13天,确诊患者人数递增;13~150天,确诊患者人数递减,最后在150天时,确诊患者比例为0.01135,即113500人。

5.6问题六的求解

通过建立的模型,我们对问题二、三、四、五进行了定量的计算,问题二、三、四、五是改变模型中的一些参数的值,得到不同参数下的结果,并分析了参数的改变对患者数量最大值,

达到这个最大值的时间以及病情得到控制的时间的

变化,通过对这些数据结果的分析,可以得到某一参数的改变对病毒传播过程的影响,通过数据前后的对比,可以分析参数对计算结果的敏感性,针对这个问题,通过以上几问的求解,可以得到以下表:

(1) 对t天后开始隔离、治愈的灵敏度分析

对比问题二和问题三可以得到,它们几乎同时达到患病人数的最大值,但是问题三患病人数的峰值比问题二患病人数的峰值小;而且t=100时,问题三中的患病人数比问题二中的患病人数小。所以我们控制病毒感染可以通过缩短t,即尽快的进行隔离和治愈来减轻病情。 (2) 对隔离强度p的灵敏度分析

对比问题二和问题四可以得到,它们也是几乎同时达到患病人数的最大值,但是问题四中的患病人数峰值比问题二大。所以我们可通过加强隔离强度p来减轻病情。

(3) 对人均日接触率r的灵敏度分析

对比问题二和问题五可以得到,问题五比问题二提前一天达到患病人数峰值,而且它们的患病人数峰值相等。所以我们可以通过减少人均日接触率r来减轻病情。

5.7问题七的求解

随着科技的进步与发展,传染病的传播和治愈也越来越得到人们的注视。 对于已近爆发的传染病,我们通过以上的模型建立和模型灵敏度分析,我们可以得到要想改善病情,我们可以采取以下手段:尽快的进行疑似患者的隔离和确诊患者的治疗,加强对疑似患者的隔离强度,控制并减小人均日接触率。通过这三条途径,结合上述模型,我们可以将病情缓解。

最后,由于此模型是建立在一定的假设之上,所以和实际情况有一定的差距,但是总体方向还是和实际情况一致的,因此有一定的参考价值。

六、模型的评价

 优点:

该模型通过一定的假设条件,成功的建立微分方程模型,并且通过控制变量讨论了不同情况下影响病情的因素,最后得到结论与实际相符合,可以应用与实际。

 缺点:

由于该模型是微分方程模型,所以对于分析的变量,其大致走向不会发生与实际发生矛盾,但是随着时间的增加,当时间很大时,所得到变量数据不一定准确,例如t=150时的患病人数可能与实际情况有一定差距。

八、参考文献

(1)姜启源 谢金星 叶俊,《数学模型》(第三版),北京:高等教育出版社,2003。

(2)胡鹤飞,《MATLAB 》,北京:北京邮电学院出版社,2010

(3)《算法大全》

【附录】

附录一:

程序如下:

function y= ill2( t,x )

y=[9*x(1)*x(4)-x(1)/6,x(1)/6-x(2)/32,x(2)/32,-9*x(1)*x(4)]';

end

ts=0:150;

x0=[0.0002,8.9e-05,0,0.999711;];

[t,x]=ode45('ill2',ts,x0);

for i=1:151

d(i)=1-x(i,1)-x(i,2)-x(i,3)-x(i,4);

end

plot(t,x(:,1),t,x(:,2),t,x(:,3),t,x(:,4),t,d(:),'linewidth',3) 附录二

程序如下:

function y= ill3( t,x )

y=[10.67*x(1)*x(4)-x(1)/6,x(1)/6-x(2)/31.5,x(2)/31.5,-10.67*x(1)*x(4)]';

end

ts=0:150;

x0=[0.0002,8.9e-05,0,0.999711;];

[t,x]=ode45('ill3',ts,x0);

end

for i=1:151

d(i)=1-x(i,1)-x(i,2)-x(i,3)-x(i,4);

end

plot(t,x(:,1),t,x(:,2),t,x(:,3),t,x(:,4),t,d(:),'linewidth',3) 附录三

程序如下:

function y= ill4( t,x )

y=[11*x(1)*x(4)-x(1)/6,x(1)/6-x(2)/32,x(2)/32,-11*x(1)*x(4)]'; end

ts=0:150;

x0=[0.0002,8.9e-05,0,0.999711;];

[t,x]=ode45('ill4',ts,x0);

end

for i=1:151

d(i)=1-x(i,1)-x(i,2)-x(i,3)-x(i,4);

end

plot(t,x(:,1),t,x(:,2),t,x(:,3),t,x(:,4),t,d(:),'linewidth',3) 附录四

function y= ill5( t,x )

y=[225*x(1)*x(4)-x(1)/6,x(1)/6-x(2)/32,x(2)/32,-225*x(1)*x(4)]'; end

ts=0:150;

x0=[0.0002,8.9e-05,0,0.999711;];

[t,x]=ode45('ill5',ts,x0);

for i=1:151

d(i)=1-x(i,1)-x(i,2)-x(i,3)-x(i,4);

end

for i=1:151

d(i)=1-x(i,1)-x(i,2)-x(i,3)-x(i,4);

end

plot(t,x(:,1),t,x(:,2),t,x(:,3),t,x(:,4),t,d(:),'linewidth',3)

范文四:传染病模型建模

对传染病的传播的研究

摘 要

本文以常见传染病的传播为研究方向,并结合微分方程的知识建立传染病的传播与控制模型。在模型的基础上,运用MATLAB软件拟合出患者人数与时间的关系曲线,从而能够从图中直观地对该病的传播作出分析并提出应对措施。 在问题一,我们把该地区人群分为五类:患者、疑似患者、治愈者、死亡者、正常人。在对该传染病扩散与传播的控制模型的建立中,我们将疑似患者看作是潜伏期患者,主要考虑各项人数的增减情况,通过单位时间内正常人数的变化、单位时间内潜伏期患者人数的变化、单位时间内确诊患者人数的变化、单位时间内非参与者人数的变化联系建立微分方程模型。

在问题二、三中,利用所建立的微分方程模型代入给出的数据,从而用MATLAB拟合出各项人数随时间的变化曲线,分析所得图形及其合理性,得到有关该传染病的信息。

在问题四中,根据以上所建立的模型,提出相应的应对措施:一旦发现患病情况就及时去医院就诊;加大隔离措施强度;个人应养成良好的卫生习惯,勤洗手,多通风,减少与病菌的接触可能,适当锻炼来防止被传染。

关键词:传染病 微分方程模型 MATLAB 曲线拟合 应对措施

目录

对传染病的传播的研究 ................................................................................................................... 2

摘 要 .............................................................................................................................................. 2

一、问题重述 ................................................................................................................................... 4

1.1. 相关情况 .......................................................................................................................... 4

1.2. 问题的提出 ...................................................................................................................... 4

二、模型假设 ................................................................................................................................... 4

三、符号的约定和说明 ................................................................................................................... 5

四、对问题一的解答 ....................................................................................................................... 5

4.1. 问题分析 ........................................................................................................................... 5

4.2. 模型准备 ........................................................................................................................... 6

4.3. 模型的建立 ....................................................................................................................... 7

五、对问题二的解答 ....................................................................................................................... 8

5.1. 问题分析 ........................................................................................................................... 8

5.2. 模型的建立 ....................................................................................................................... 8

5.3. 结果分析 ........................................................................................................................... 9

六、对问题三的解答 ....................................................................................................................... 9

6.1. 问题分析 ........................................................................................................................... 9

6.2. 模型的建立 ....................................................................................................................... 9

6.3. 结果分析 ......................................................................................................................... 10

6.4. 对隔离强度p的灵敏度分析 ........................................................................................ 11

七、对问题四的解答 ..................................................................................................................... 11

八、模型的评价及推广 ................................................................................................................. 12

8.1. 模型的优缺点 ................................................................................................................. 12

8.2. 模型的推广 ..................................................................................................................... 13

九、附录:..................................................................................................................................... 14

一、问题重述

1.1. 相关情况

2013年,某种传染病的出现成为热点,尤其是其高致死率,引起了人们的恐慌,最近又有研究显示,这种传染病有变异的可能.现在假设有一种未知的病毒潜伏期为a1--a2天,患病者的治愈时间为a3天,假设该病毒可以通过人与人

之间的直接接触,患者每天接触的人数为r,因接触被感染的概率为 (为感染率) .为了控制疾病的传播与扩散,将人群分成五类,患者、疑似患者、治愈者、死亡者、正常人.潜伏期内的患者被隔离的比例为p(为潜伏期内患者被隔离的百分数)。

1.2. 问题的提出 问题一:在合理的假设下建立该病毒扩散与传播的控制模型。

问题二:利用你所建立的模型对如下数据进行模拟:

a13,a27,a360,r10,p30%,50%, 初始发病人数100,疑似患者210,患者2天后入院,疑似患者2天后被隔离.由上面的数据请给出患者人数随时间变化的曲线,并分析所给结果的合理性。

问题三:隔离强度由30%提高到80%,患者人数将有何变化。

问题四:请据此模型,给出控制此传染病传播的建议。

二、模型假设

1、在该传染病的考察期内,该考察地区的总人数为常数,不考虑人口流动。

2、将病毒的所有传播途径都视为与病原体的直接接触造成。

3、忽略该考察时间内人口的自然死亡率和出生率。

4、被隔离的人群完全断绝与外界的接触,因此不具有传染性。

5、被治愈者获得抗体,不考虑其二次传染患病。

6、将治愈者和死亡者定义为非参与者,即退出研究的传染病传播体系。

7、疑似患者即为潜伏期的患者,是被有效接触后具有传染性且传染概率也为,经过隔离治疗可转为治愈者(非参与者),治愈时间为a3天。

8、潜伏期患者和确诊患者接触传染的均为易感病正常人,且均将其传染为潜伏期患者。

三、符号的约定和说明

I:确诊患者

E:潜伏期患者(即疑似患者)

R:非参与者(痊愈和死亡的患者)

S:普通易感的正常人

:潜伏期患者和确诊患者的传染概率

a1~a2:传染性病毒的潜伏期

a3:潜伏期患者和确诊患者被治愈的时间

N:该地区总人数

r:该人群的人均每天接触人数

p:潜伏期内患者被隔离的百分数

四、对问题一的解答

4.1. 问题分析

根据人口守恒的前提,排除人口出生率、自然死亡率以及人口的流动,使该考察地区的总人口保持不变,所以将该地区分为:

I:确诊患者

E:潜伏期患者(被病毒有效接触后有传染性的人)

R:非参与者(痊愈和死亡的患者)

S:普通易感者(正常人)

建立上述五种情况的人数在单位时间变化的微分方程模型。

由上述五类得到以下关系图:

图表 1

4.2. 模型准备

(1)单位时间内正常人数变化:

易感正常人与未隔离潜伏期病人及确诊患者接触后均变为潜伏期患者,结合以上所给信息

dSNlI1pSNE(1p)S dt

dSlI1pSE(1p)S · 即 ·················(1) dt 故 N

(2)单位时间内潜伏期患者(疑似患者)人数变化:

潜伏期患者的数量变化为正常人被感染为潜伏期患者人数减去潜伏期患者被治愈和转为确诊患者的人数,结合以上信息

(3)单位时间内确诊患者人数变化:

确诊患者人数为潜伏期患者转变人数减去被治愈人数

dE21lIt1pSEE(1p)SEp·······(2) dta1a2a3

dI21····························(3) EI·dta1a2a3

(4)单位时间内非参与者的人数变化:

非参与者人数为确诊患者被治愈人数或死亡数

(5)总人数: SREIN···························(5)

对模型的部分说明:

1、传染病毒的平均潜伏期为

20,转为感染者; a1a2dR1································(4) I·dta3a1a2,即单位时间内潜伏期病人以比例常数2

2、确诊病人平均死亡或痊愈的疗程为a3,即单位时间感染者的治愈率为1 0;a3

3、潜伏期患者平均疗程为a3,即单位时间内潜伏期患者的治愈率为

4、单位时间内每个易感者与病人的接触率参数为r0;

4.3. 模型的建立 10; a3

dSdtlI1pSE(1p)S

21dElI1pSEE(1p)SEpdta1a2a321dIEI dt a1a2a3dR1Ia3dt

SEIRN

其中I(0)I0,S(0)S0,R(0)R0,A(0)A0 ,E(0)E0 ,N1107人为系统中各类的初始值。

五、对问题二的解答

5.1. 问题分析

该问题是建立在问题一的基础上,利用问题一所建立的模型,代入题二中给出的数据,用MATLAB解该微分方程并得到患者人数随时间变化的曲线,然后对曲线图对该传染病的扩散和传播进行分析。

5.2. 模型的建立

a13,a27,a360,r10,p30%,50%,N1107, 初始发病人数100

(即I0100),疑似患者210(即E0210),患者2天后入院,疑似患者2天后被隔离。

这样可以得到患者人数随时间变化的曲线(如下图):

图表

2

5.3. 结果分析

从上图中可以看出患者人数先随时间急剧升高,说明这是病毒传播初期未有效控制的发展趋势,然后可以看到最高点(第13.31天)患者人数达到最大值7817000人,随后通过对确诊患者和潜伏期患者进行隔离治疗,使患病人数开始较平稳下降,并在100天后患者人数下降到2006000人,说明病情得到了有效控制,且可以看出该结果与实际情况相符,有良好的合理性。

六、对问题三的解答

6.1. 问题分析

该问题是建立在问题二的基础上,利用问题二建立的模型,提高p值得到新的患者人数随时间变化的曲线图,并与问题二中曲线图作对比,分析患者人数的变化情况,从而可知道隔离强度大小对疫情控制的影响。

6.2. 模型的建立

7问题三中a13,a27,a360,r10,p80%,, 初始发病人数50%,N110

100(即I0100),疑似患者210(即E0210),患者2天后入院,疑似患者2天后被隔离。

这样可得到与问题二的对比图(绿线为p80%的图,蓝线为p30%的图):

6.3. 结果分析

分析绿线可以看到病毒传染初期患者人数依然急剧升高,最高点(第12.65天)患者人数达到最大值7555000人,100天后下降到1921000人。

对比p80%与p30%(即绿线与蓝线),可以看出患者人数在病毒传染初期发展趋势大致一样,但是明显可以看出p80%与p30%相比,达到最高点的时间明显提前且最多患者人数更小,且在100天后患者人数小于p30%时人数。从对比中可以看出,提高隔离强度可以更好地控制疫情,减少患病人数。

6.4. 对隔离强度p的灵敏度分析

对于该问题中的隔离强度p由30%变为80%,通过问题三的图像中两条曲线的对比,可以看出:当p增大后患者人数最大值相较于问题二来说减少了,同时达到最大值的时间减少了,而且疫情消退的时间也稍微减短了,这说明隔离前度p增大时患者人数的最高峰减少了,同时达到最高峰的时间也相应的减短了。因此政府和意愿 应尽量增大隔离强度p。

七、对问题四的解答

随着社会的进步,科技的发展,一般的传统的传染病都能得到及时的防御和治疗。要想及时有效地控制传染病的扩散和传播,关键在于尽早得到治疗。

根据题目我们建立出模型:

dSdtlI1pSE(1p)S

21dElI1pSEE(1p)SEpdta1a2a321dIEI a1a2a3dt

dR1Ia3dt

SEIRN

从模型中我们可以看出正常人的减少是由于被潜伏期患者以及确诊患者的传染,所以为了有效控制病情的恶性蔓延,应该一旦发现病情则立即前往医院隔离治疗。

从问题二中的结果看来,同样也反映了这样的情况。相同的隔离程度下,发现并且隔离的时间越早,累计的患者数量越少。政府和医院需要提高警惕,一旦察觉到有疫情的产生就要采取相应的疫情防范措施,疑似患者需要及时去医院进行确诊,既保护自己,又防止有更多人感染,在疫情发生阶段,尽量减少与外人

的接触。模型中p越大,S越少,而E增加也越来越少,因此对疫情的控制有很好的效果。

从问题三的结果中得出,在相同隔离时间下,隔离强度越大,疫情时间持续越短,累计的患者数量越少。所以政府和医院需要增强隔离强度,做好防御措施,减少拖延患者前去医院治疗的时间,加派医生,保证医疗设施和医护人员的齐全,普通易感者也需要在家做好杀毒措施,保持通风,注意家人卫生,并使用84消毒药水拖地,做好杀菌工作。

结合模型和问题二、三的曲线图看来,曲线的拖尾较长,说明此次疫情持续时间长,需要长时间的防护措施应对来缩短疫情周期,以避免二次疫情高峰的可能性。所以,防止患病的关键在于自己应提高防范意识,不可以懈怠,提升警惕性;少去人流量大的地方;多做运动,强身健体;勤洗手,多通风,养成良好的卫生习惯;早睡早起,保证营养,增强个人免疫力。而在医疗方面,卫生部应加大隔离防治措施力度,且改进医疗手段,使治愈时间a3减小来控制疫情。

八、模型的评价及推广

8.1. 模型的优缺点

模型的优点:

(1)、将医学领域的问题转化到数学领域进行分析和讨论,可以清楚地定量地得出传染病的发展趋势和高峰以及未来的预测,具有很强的可靠性和实用性。

(2)、模型中各个变量的关系明确,易于模型的求解。

(3)、本文的数学模型是以连续的微分方程为基础,不会得出准确的解析解,本文在合理的参数确定的前提下,将参数进行拟合,准确模拟出传染病的发展趋势和走向的曲线,从宏观的角度上给社会一个清晰的概念,易于被社会接受,对政府和医院控制疫情传播提供有效地帮助,具有一定地实用价值和直观性。 模型的缺点:

(1)、采用微分方程方法建立数学模型,易受外界因素变化的影响,其稳定性具有相对性。

(2)、模型中的参数变量有其自身的随机性,虽然本文对已知数据进行统计平均的处理方法,但在计算过程中存在误差。

(3)、模型中涉及的参数较多,在实际生活中很难确定各参数,因此模型具有理想化。

8.2. 模型的推广

本文建立的传染病模型的方法和思维对其他类似的问题也能很实用,可广泛应用于人口、肿瘤、社会、经济等方面。根据传染病的模型建立研究进而可以推广产生SIR模型。该模型是对进行理论性定量研究的一种重要方法,是根据种群生长的特性,疾病的发生及在种群内的传播、发展规律以及与之有关的社会等因素,建立能反映传染病动力学特性的数学模型,通过对模型动力学性态的定性,定量分析和数值模拟,来分析疾病的发展过程,揭示流行规律,预测变化趋势,分析疾病流行的原因和关键。

参考文献:

[1].杨启凡,《数学建模》,浙江:浙江大学出版社,2006.6

[2].卓金武,《MATLAB在数学建模中的应用》,北京:北京航空航天大学出版社,2011.4

[3].姜启源,数学建模案例选集,北京:高等教育出版社,2006.7

[4].姜启源 谢金星 叶俊,数学模型(第三版),北京:高等教育出版社,2003.8

[5].www.doc88.com/p-692135025731.html

[6].梁国业等,《数学建模》,北京:冶金工业出版社,2004.9

[7].韩中庚等,《数学建模方法及其应用》,北京:高等教育出版社,2005.6

[8].龚春 王正林等,《精通MATLAB最优化计算》,北京:电子工业出版社 ,2009.4

九、附录:

问题二

新建m文件夹:

function x=pencil(t,x)

%s=x(1) e=x(2) i=x(3) r=x(4);

a1=3;

a2=7;

a3=60;

p=0.3;

m=10;

b=0.5;

x=[-b*x(3)*(1-p)*x(1)-b*x(2)*(1-p)*x(1),b*x(3)*(1-p)*x(1)-2/(a1+a2)*x

(2)+b*x(2)*(1-p)*x(1)-x(2)*p*1/a3,2/(a1+a2)*x(2)-1/a3*x(3),1/a3*x(3)]';

在命令窗口内输入:

s0=[10000000,100,0,210];

[t,x]=ode23s(@pencil,[0,100],s0)

plot(t,x(:,3));

hold on

text(0,100,'(0,100)','color','r')

text(13.31,7.817e+006,'(13.31,7.817e+006)','color','r')

text(100,2.006e+006,'(100,2.006e+006)','color','r')

plot(0,100,'g+',13.31,7.817e+006,'g+',100,2.006e+006,'g+')

问题三

新建m文件夹:

function x=pencil(t,x)

%s=x(1) e=x(2) i=x(3) r=x(4);

a1=3;

a2=7;

a3=60;

p=0.3;

m=10;

b=0.5;

x=[-b*x(3)*(1-p)*x(1)-b*x(2)*(1-p)*x(1),b*x(3)*(1-p)*x(1)-2/(a1+a2)*x

(2)+b*x(2)*(1-p)*x(1)-x(2)*p*1/a3,2/(a1+a2)*x(2)-1/a3*x(3),1/a3*x(3)]';

function x=pen(t,x)

%s=x(1) e=x(2) i=x(3) r=x(4);

a1=3;

a2=7;

a3=60;

p=0.8;

m=10;

b=0.5;

x=[-b*x(3)*(1-p)*x(1)-b*x(2)*(1-p)*x(1),b*x(3)*(1-p)*x(1)-2/(a1+a2)*x

(2)+b*x(2)*(1-p)*x(1)-x(2)*p*1/a3,2/(a1+a2)*x(2)-1/a3*x(3),1/a3*x(3)]';

命令窗口输入:

s0=[10000000,100,0,210];

[t,x]=ode23s(@pencil,[0,100],s0)

plot(t,x(:,3));

hold on

text(0,100,'(0,100)','color','r')

text(13.31,7.817e+006,'(13.31,7.817e+006)','color','r')

text(100,2.006e+006,'(100,2.006e+006)','color','r')

plot(0,100,'g+',13.31,7.817e+006,'g+',100,2.006e+006,'g+')

s0=[10000000,100,0,210];

[t,x]=ode23s(@pen,[0,100],s0)

plot(t,x(:,3),'g');

hold on

text(0,100,'(0,100)','color','r')

text(12.65,7.555e+006,'(12.65,7.555e+006)','color','r')

text(100,1.921e+006,'(100,1.921e+006)','color','r')

plot(0,100,'g+',12.65,7.555e+006,'g+',100,1.921e+006,'g+')

范文五:传染病模型建模

新 疆 财 经 大 学

应用数学学院专业实习报告

报告题目:对传染病的传播的研究

指导教师: 巫朝霞 职称: 副教授

组 长: 王一鸣 学号: 2012101034 组 员: 肖琪 学号: 20121010

组 员: 吴瑞竹 学号: 20121010

组 员: 谢家豪 学号:

组 员: 杨超 学号: 20121010

对传染病的传播的研究

摘 要

本文以常见传染病的传播为研究方向,并结合微分方程的知识建立传染病的传播与控制模型。在模型的基础上,运用MATLAB软件拟合出患者人数与时间的关系曲线,从而能够从图中直观地对该病的传播作出分析并提出应对措施。 在问题一,我们把该地区人群分为五类:患者、疑似患者、治愈者、死亡者、正常人。在对该传染病扩散与传播的控制模型的建立中,我们将疑似患者看作是潜伏期患者,主要考虑各项人数的增减情况,通过单位时间内正常人数的变化、单位时间内潜伏期患者人数的变化、单位时间内确诊患者人数的变化、单位时间内非参与者人数的变化联系建立微分方程模型。

在问题二、三中,利用所建立的微分方程模型代入给出的数据,从而用MATLAB拟合出各项人数随时间的变化曲线,分析所得图形及其合理性,得到有关该传染病的信息。

在问题四中,根据以上所建立的模型,提出相应的应对措施:一旦发现患病情况就及时去医院就诊;加大隔离措施强度;个人应养成良好的卫生习惯,勤洗手,多通风,减少与病菌的接触可能,适当锻炼来防止被传染。

关键词:传染病 微分方程模型 MATLAB 曲线拟合 应对措施

目录

对传染病的传播的研究 ................................................................................................................... 2

摘 要 .............................................................................................................................................. 2

一、问题重述 ................................................................................................................................... 4

1.1. 相关情况 .......................................................................................................................... 4

1.2. 问题的提出 ...................................................................................................................... 4

二、模型假设 ................................................................................................................................... 4

三、符号的约定和说明 ................................................................................................................... 5

四、对问题一的解答 ....................................................................................................................... 5

4.1. 问题分析 ........................................................................................................................... 5

4.2. 模型准备 ........................................................................................................................... 6

4.3. 模型的建立 ....................................................................................................................... 7

五、对问题二的解答 ....................................................................................................................... 8

5.1. 问题分析 ........................................................................................................................... 8

5.2. 模型的建立 ....................................................................................................................... 8

5.3. 结果分析 ........................................................................................................................... 9

六、对问题三的解答 ....................................................................................................................... 9

6.1. 问题分析 ........................................................................................................................... 9

6.2. 模型的建立 ....................................................................................................................... 9

6.3. 结果分析 ......................................................................................................................... 10

6.4. 对隔离强度p的灵敏度分析 ........................................................................................ 11

七、对问题四的解答 ..................................................................................................................... 11

八、模型的评价及推广 ................................................................................................................. 12

8.1. 模型的优缺点 ................................................................................................................. 12

8.2. 模型的推广 ..................................................................................................................... 13

九、附录:..................................................................................................................................... 14

一、问题重述

1.1. 相关情况

2013年,某种传染病的出现成为热点,尤其是其高致死率,引起了人们的恐慌,最近又有研究显示,这种传染病有变异的可能.现在假设有一种未知的病毒潜伏期为a1--a2天,患病者的治愈时间为a3天,假设该病毒可以通过人与人

之间的直接接触,患者每天接触的人数为r,因接触被感染的概率为 (为感染率) .为了控制疾病的传播与扩散,将人群分成五类,患者、疑似患者、治愈者、死亡者、正常人.潜伏期内的患者被隔离的比例为p(为潜伏期内患者被隔离的百分数)。

1.2. 问题的提出 问题一:在合理的假设下建立该病毒扩散与传播的控制模型。

问题二:利用你所建立的模型对如下数据进行模拟:

a13,a27,a360,r10,p30%,50%, 初始发病人数100,疑似患者210,患者2天后入院,疑似患者2天后被隔离.由上面的数据请给出患者人数随时间变化的曲线,并分析所给结果的合理性。

问题三:隔离强度由30%提高到80%,患者人数将有何变化。

问题四:请据此模型,给出控制此传染病传播的建议。

二、模型假设

1、在该传染病的考察期内,该考察地区的总人数为常数,不考虑人口流动。

2、将病毒的所有传播途径都视为与病原体的直接接触造成。

3、忽略该考察时间内人口的自然死亡率和出生率。

4、被隔离的人群完全断绝与外界的接触,因此不具有传染性。

5、被治愈者获得抗体,不考虑其二次传染患病。

6、将治愈者和死亡者定义为非参与者,即退出研究的传染病传播体系。

7、疑似患者即为潜伏期的患者,是被有效接触后具有传染性且传染概率也为,经过隔离治疗可转为治愈者(非参与者),治愈时间为a3天。

8、潜伏期患者和确诊患者接触传染的均为易感病正常人,且均将其传染为潜伏期患者。

三、符号的约定和说明

I:确诊患者

E:潜伏期患者(即疑似患者)

R:非参与者(痊愈和死亡的患者)

S:普通易感的正常人

:潜伏期患者和确诊患者的传染概率

a1~a2:传染性病毒的潜伏期

a3:潜伏期患者和确诊患者被治愈的时间

N:该地区总人数

r:该人群的人均每天接触人数

p:潜伏期内患者被隔离的百分数

四、对问题一的解答

4.1. 问题分析

根据人口守恒的前提,排除人口出生率、自然死亡率以及人口的流动,使该考察地区的总人口保持不变,所以将该地区分为:

I:确诊患者

E:潜伏期患者(被病毒有效接触后有传染性的人)

R:非参与者(痊愈和死亡的患者)

S:普通易感者(正常人)

建立上述五种情况的人数在单位时间变化的微分方程模型。

由上述五类得到以下关系图:

图表 1

4.2. 模型准备

(1)单位时间内正常人数变化:

易感正常人与未隔离潜伏期病人及确诊患者接触后均变为潜伏期患者,结合以上所给信息

dSNlI1pSNE(1p)S dt

dSlI1pSE(1p)S · 即 ·················(1) dt 故 N

(2)单位时间内潜伏期患者(疑似患者)人数变化:

潜伏期患者的数量变化为正常人被感染为潜伏期患者人数减去潜伏期患者被治愈和转为确诊患者的人数,结合以上信息

(3)单位时间内确诊患者人数变化:

确诊患者人数为潜伏期患者转变人数减去被治愈人数

dE21lIt1pSEE(1p)SEp·······(2) dta1a2a3

dI21····························(3) EI·dta1a2a3

(4)单位时间内非参与者的人数变化:

非参与者人数为确诊患者被治愈人数或死亡数

(5)总人数: SREIN···························(5)

对模型的部分说明:

1、传染病毒的平均潜伏期为

20,转为感染者; a1a2dR1································(4) I·dta3a1a2,即单位时间内潜伏期病人以比例常数2

2、确诊病人平均死亡或痊愈的疗程为a3,即单位时间感染者的治愈率为1 0;a3

3、潜伏期患者平均疗程为a3,即单位时间内潜伏期患者的治愈率为

4、单位时间内每个易感者与病人的接触率参数为r0;

4.3. 模型的建立 10; a3

dSdtlI1pSE(1p)S

21dElI1pSEE(1p)SEpdta1a2a321dIEI dt a1a2a3dR1Ia3dt

SEIRN

其中I(0)I0,S(0)S0,R(0)R0,A(0)A0 ,E(0)E0 ,N1107人为系统中各类的初始值。

五、对问题二的解答

5.1. 问题分析

该问题是建立在问题一的基础上,利用问题一所建立的模型,代入题二中给出的数据,用MATLAB解该微分方程并得到患者人数随时间变化的曲线,然后对曲线图对该传染病的扩散和传播进行分析。

5.2. 模型的建立

a13,a27,a360,r10,p30%,50%,N1107, 初始发病人数100

(即I0100),疑似患者210(即E0210),患者2天后入院,疑似患者2天后被隔离。

这样可以得到患者人数随时间变化的曲线(如下图):

图表

2

5.3. 结果分析

从上图中可以看出患者人数先随时间急剧升高,说明这是病毒传播初期未有效控制的发展趋势,然后可以看到最高点(第13.31天)患者人数达到最大值7817000人,随后通过对确诊患者和潜伏期患者进行隔离治疗,使患病人数开始较平稳下降,并在100天后患者人数下降到2006000人,说明病情得到了有效控制,且可以看出该结果与实际情况相符,有良好的合理性。

六、对问题三的解答

6.1. 问题分析

该问题是建立在问题二的基础上,利用问题二建立的模型,提高p值得到新的患者人数随时间变化的曲线图,并与问题二中曲线图作对比,分析患者人数的变化情况,从而可知道隔离强度大小对疫情控制的影响。

6.2. 模型的建立

7问题三中a13,a27,a360,r10,p80%,, 初始发病人数50%,N110

100(即I0100),疑似患者210(即E0210),患者2天后入院,疑似患者2天后被隔离。

这样可得到与问题二的对比图(绿线为p80%的图,蓝线为p30%的图):

6.3. 结果分析

分析绿线可以看到病毒传染初期患者人数依然急剧升高,最高点(第12.65天)患者人数达到最大值7555000人,100天后下降到1921000人。

对比p80%与p30%(即绿线与蓝线),可以看出患者人数在病毒传染初期发展趋势大致一样,但是明显可以看出p80%与p30%相比,达到最高点的时间明显提前且最多患者人数更小,且在100天后患者人数小于p30%时人数。从对比中可以看出,提高隔离强度可以更好地控制疫情,减少患病人数。

6.4. 对隔离强度p的灵敏度分析

对于该问题中的隔离强度p由30%变为80%,通过问题三的图像中两条曲线的对比,可以看出:当p增大后患者人数最大值相较于问题二来说减少了,同时达到最大值的时间减少了,而且疫情消退的时间也稍微减短了,这说明隔离前度p增大时患者人数的最高峰减少了,同时达到最高峰的时间也相应的减短了。因此政府和意愿 应尽量增大隔离强度p。

七、对问题四的解答

随着社会的进步,科技的发展,一般的传统的传染病都能得到及时的防御和治疗。要想及时有效地控制传染病的扩散和传播,关键在于尽早得到治疗。

根据题目我们建立出模型:

dSdtlI1pSE(1p)S

21dElI1pSEE(1p)SEpdta1a2a321dIEI a1a2a3dt

dR1Ia3dt

SEIRN

从模型中我们可以看出正常人的减少是由于被潜伏期患者以及确诊患者的传染,所以为了有效控制病情的恶性蔓延,应该一旦发现病情则立即前往医院隔离治疗。

从问题二中的结果看来,同样也反映了这样的情况。相同的隔离程度下,发现并且隔离的时间越早,累计的患者数量越少。政府和医院需要提高警惕,一旦察觉到有疫情的产生就要采取相应的疫情防范措施,疑似患者需要及时去医院进行确诊,既保护自己,又防止有更多人感染,在疫情发生阶段,尽量减少与外人

的接触。模型中p越大,S越少,而E增加也越来越少,因此对疫情的控制有很好的效果。

从问题三的结果中得出,在相同隔离时间下,隔离强度越大,疫情时间持续越短,累计的患者数量越少。所以政府和医院需要增强隔离强度,做好防御措施,减少拖延患者前去医院治疗的时间,加派医生,保证医疗设施和医护人员的齐全,普通易感者也需要在家做好杀毒措施,保持通风,注意家人卫生,并使用84消毒药水拖地,做好杀菌工作。

结合模型和问题二、三的曲线图看来,曲线的拖尾较长,说明此次疫情持续时间长,需要长时间的防护措施应对来缩短疫情周期,以避免二次疫情高峰的可能性。所以,防止患病的关键在于自己应提高防范意识,不可以懈怠,提升警惕性;少去人流量大的地方;多做运动,强身健体;勤洗手,多通风,养成良好的卫生习惯;早睡早起,保证营养,增强个人免疫力。而在医疗方面,卫生部应加大隔离防治措施力度,且改进医疗手段,使治愈时间a3减小来控制疫情。

八、模型的评价及推广

8.1. 模型的优缺点

模型的优点:

(1)、将医学领域的问题转化到数学领域进行分析和讨论,可以清楚地定量地得出传染病的发展趋势和高峰以及未来的预测,具有很强的可靠性和实用性。

(2)、模型中各个变量的关系明确,易于模型的求解。

(3)、本文的数学模型是以连续的微分方程为基础,不会得出准确的解析解,本文在合理的参数确定的前提下,将参数进行拟合,准确模拟出传染病的发展趋势和走向的曲线,从宏观的角度上给社会一个清晰的概念,易于被社会接受,对政府和医院控制疫情传播提供有效地帮助,具有一定地实用价值和直观性。 模型的缺点:

(1)、采用微分方程方法建立数学模型,易受外界因素变化的影响,其稳定性具有相对性。

(2)、模型中的参数变量有其自身的随机性,虽然本文对已知数据进行统计平均的处理方法,但在计算过程中存在误差。

(3)、模型中涉及的参数较多,在实际生活中很难确定各参数,因此模型具有理想化。

8.2. 模型的推广

本文建立的传染病模型的方法和思维对其他类似的问题也能很实用,可广泛应用于人口、肿瘤、社会、经济等方面。根据传染病的模型建立研究进而可以推广产生SIR模型。该模型是对进行理论性定量研究的一种重要方法,是根据种群生长的特性,疾病的发生及在种群内的传播、发展规律以及与之有关的社会等因素,建立能反映传染病动力学特性的数学模型,通过对模型动力学性态的定性,定量分析和数值模拟,来分析疾病的发展过程,揭示流行规律,预测变化趋势,分析疾病流行的原因和关键。

参考文献:

[1].杨启凡,《数学建模》,浙江:浙江大学出版社,2006.6

[2].卓金武,《MATLAB在数学建模中的应用》,北京:北京航空航天大学出版社,2011.4

[3].姜启源,数学建模案例选集,北京:高等教育出版社,2006.7

[4].姜启源 谢金星 叶俊,数学模型(第三版),北京:高等教育出版社,2003.8

[5].www.doc88.com/p-692135025731.html

[6].梁国业等,《数学建模》,北京:冶金工业出版社,2004.9

[7].韩中庚等,《数学建模方法及其应用》,北京:高等教育出版社,2005.6

[8].龚春 王正林等,《精通MATLAB最优化计算》,北京:电子工业出版社 ,2009.4

九、附录:

问题二

新建m文件夹:

function x=pencil(t,x)

%s=x(1) e=x(2) i=x(3) r=x(4);

a1=3;

a2=7;

a3=60;

p=0.3;

m=10;

b=0.5;

x=[-b*x(3)*(1-p)*x(1)-b*x(2)*(1-p)*x(1),b*x(3)*(1-p)*x(1)-2/(a1+a2)*x

(2)+b*x(2)*(1-p)*x(1)-x(2)*p*1/a3,2/(a1+a2)*x(2)-1/a3*x(3),1/a3*x(3)]';

在命令窗口内输入:

s0=[10000000,100,0,210];

[t,x]=ode23s(@pencil,[0,100],s0)

plot(t,x(:,3));

hold on

text(0,100,'(0,100)','color','r')

text(13.31,7.817e+006,'(13.31,7.817e+006)','color','r')

text(100,2.006e+006,'(100,2.006e+006)','color','r')

plot(0,100,'g+',13.31,7.817e+006,'g+',100,2.006e+006,'g+')

问题三

新建m文件夹:

function x=pencil(t,x)

%s=x(1) e=x(2) i=x(3) r=x(4);

a1=3;

a2=7;

a3=60;

p=0.3;

m=10;

b=0.5;

x=[-b*x(3)*(1-p)*x(1)-b*x(2)*(1-p)*x(1),b*x(3)*(1-p)*x(1)-2/(a1+a2)*x

(2)+b*x(2)*(1-p)*x(1)-x(2)*p*1/a3,2/(a1+a2)*x(2)-1/a3*x(3),1/a3*x(3)]';

function x=pen(t,x)

%s=x(1) e=x(2) i=x(3) r=x(4);

a1=3;

a2=7;

a3=60;

p=0.8;

m=10;

b=0.5;

x=[-b*x(3)*(1-p)*x(1)-b*x(2)*(1-p)*x(1),b*x(3)*(1-p)*x(1)-2/(a1+a2)*x

(2)+b*x(2)*(1-p)*x(1)-x(2)*p*1/a3,2/(a1+a2)*x(2)-1/a3*x(3),1/a3*x(3)]';

命令窗口输入:

s0=[10000000,100,0,210];

[t,x]=ode23s(@pencil,[0,100],s0)

plot(t,x(:,3));

hold on

text(0,100,'(0,100)','color','r')

text(13.31,7.817e+006,'(13.31,7.817e+006)','color','r')

text(100,2.006e+006,'(100,2.006e+006)','color','r')

plot(0,100,'g+',13.31,7.817e+006,'g+',100,2.006e+006,'g+')

s0=[10000000,100,0,210];

[t,x]=ode23s(@pen,[0,100],s0)

plot(t,x(:,3),'g');

hold on

text(0,100,'(0,100)','color','r')

text(12.65,7.555e+006,'(12.65,7.555e+006)','color','r')

text(100,1.921e+006,'(100,1.921e+006)','color','r')

plot(0,100,'g+',12.65,7.555e+006,'g+',100,1.921e+006,'g+')

范文六:数学模型传染病

开篇

在人类历史上,天花和黑死病、痢疾、霍乱等瘟疫都留 下了惊人的死亡数字。

(www.wenku1.com)公元前 1100 多年前,印度或埃及出现急性传染病天花。 公元前 3~前 2 世纪,印度和中国流行天花。公元 165~180 年, 罗马帝国天花大流行,1/4 的人口死亡。6 世纪,欧洲天花流 行,造成 10%的人口死亡。17、18 世纪,天花是欧洲最严重的 传染病,死亡人数高达 1.5 亿。19 世纪中叶,中国福建等地天花 流行,病死率超过 1/2。1900~1909 年,俄国因天花死亡 50 万 人。 据史书记载,霍乱于 1817 年首次在印度流行,1823 年传入 俄国,1831 年传入英国。19 世纪初至 20 世纪末,大规模流行的 世界性 霍乱共发生 8 次。1817~1823 年,霍乱第一次大规模流 行,从“人类霍乱的故乡”印度恒河三角洲蔓延到欧洲,仅 1818 年前后便使英国 6 万余人丧生。 1961 年出现第七次霍乱大 流行,始于印度尼西亚,波及五大洲 140 多个国家和地区,报告 患者逾 350 万。1992 年 10 月,第八次霍 乱大流行,席卷印度和 孟加拉国部分地区,短短 2~3 个月就报告病例 10 余万,死亡人 数达几千人,随后波及许多国家和地区。 疟疾每年在全球有五亿宗病例,导致超过 100 万人死 亡,大部份在非洲发生。世界卫生组织指出疟疾平均每 30 秒 杀死一个 5 岁以下的儿童;疟疾也是导致非洲经济一直陷于困 境的主要原因之一。 公元前 430~前 427 年,雅典发生鼠疫,近 1/2 人口死 亡,整个雅典几乎被摧毁,第三次世界性鼠疫大流行:1894

(www.wenku1.com)年,香港地区爆发鼠疫,波及亚洲、欧洲、美洲、非洲和澳洲 的 60 多个国家,死亡逾千万人。其中印度最严重,20 年内死亡 102 多万人。 流行性感冒简称流感,是由流感病毒引起的急性呼吸道传 染病,能引起心肌炎、肺炎、支气管炎等多种并发症,极易发生 流行,甚至达到世界范围的大流行。 1918-1919 年,爆发了席卷全球的流感疫病,导致 2,000-5,000 万人死亡,是历史上最严重的流感疫症。 自 2003 年来全世界已有 14 个国家 357 人感染了禽流感病 毒,其中 219 人因感染了该病毒而死亡。 目前的 H5N1 型病毒株仅能通过禽类传染给人体,必须防 范它与人类的流行性感冒病毒株接触进行基因重组,突变出 “人传人”的禽流感病毒。禽流感一旦在人际传播,数亿人生 命将受到威胁。 HIV 是艾滋病的病原体,主要通过体液、血液传播。艾滋 病联合规划署和世界卫生组织在“2006 艾滋病流行最新情况” 报告中说,世界上每隔 8 秒钟就有一人感染 HIV,全球每天有 1.1 万人感染 HIV,与此同时,每天有 8000 名感染者丧命。 SARS (Severe Acute Respiratory Syndrome,严重急性呼吸道综合 症

, 俗称:非典型肺炎)是 21 世纪第一个在 23 个国家和地区范 围内传播的传染病。2002 年 11 月 16 日中国广东佛山发现第一个

(www.wenku1.com)非典型肺炎的病例。截至 2003 年 7 月 11 日,全球共 8069 名患 者,死亡人数达 775,死亡率约为 12%。 目前已经找到治疗方

法,中国和欧盟科学家联手,成功找到了 15 种能有效杀灭 SARS 病毒的化合物。香港大学的新近研究表明,蝙蝠可能是 SARS 病 毒野生宿主。

问题的提出:

尽管诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的疾病 已经得到有效的控制,但是一些新的、不断变异 的传染病却悄悄向人类袭来,给人们的生命财产 带来极大的危害。给我们敲响了一次次警钟,因 此,建立传染病模型,描述传染病的传播过程, 分析被感染人数的变化规律,探索制止传染病蔓 延的手段等,一直是各国专家和官员关注的课 题 。

模型分析:

(www.wenku1.com)传染病是人类的大敌,通过疾病传播过程中若 干重要因素之间的联系建立微分方程加以讨论,研 究传染病流行的规律并找出控制疾病流行的方法 显然是一件十分有意义的工作。

模型的建立:

模型 1

记:已感染人数 (病人) i ( t ) 只假设每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数 为 则:

i ( t   t )  i ( t )   i ( t )  t

di   i dt

, (

i (0)  i0 ,

t    i   )

i(t)  i0et

模型分析与解释:

(www.wenku1.com)这个结果与传染病初期比较吻合,但它表明 病人人数将按指数规律无限增加,显然与实际不 符。事实上,一个地区的总人数大致可视为常数 (不考虑传染病传播时期出生和迁移的人数),在 传染病传播期间,一个病人单位时间内能传染的 人数  则是在改变的。在初期,  较大,随着病人 的增多,健康者减少,被传染机会也将减少,于 是  就会变小。若有效接触的是病人,则不能使病 人数增加。必须区分已感染者(病人)和未感染者 (健康人)

模型 2:(SI 模型)

区分易感染者(病人)和为感染者(健康人) 假设 1)总人数 N 不变,病人和健康人的比例分 别为 i ( t ) , s ( t ) 。 2)每个病人每天有效接触人数为  ,且使 接触的健康 人致病。(  —日接触率)

(www.wenku1.com)建模

N [ i ( t   t )(  i t ) ] [( s t ) ] N i ( tt ) 

di   is dt s(t)  i(t)  1

di   i (1  i ) dt i ( 0 )  i0

di   i (1  i )  dt i ( 0 )  i0

i (t ) 

1  1   t 1    1 e  i0 

1

1  tm   ln   1  i0  ,

(www.wenku1.com)t  tm 时,

di t m —传染高峰期来临时 最大。( dt

刻)。  (日接触率)降低,则 t m 增大。

t  ,  i  1 ,意味着最终人人被传染,与实

际不符。

带宣传效应的

SI 模型

假设

1.单位时间内正常人被传染的比率为常 数 。 2.一人得病后,经久不愈,人在传染期内 不会死亡。

我们假设,宣传运动的开展将使得传染上疾病 的人数减少,减少的速度与总人数成正比,这个比 例常数取决于宣传强度。若从

t  t0  0 开始,开

展一场持续的宣传运动,宣传强度为 a ,则所得的

(www.wenku1.com) di    (1  i )a (t  t0 )  dt 数学模型为:  ,其中 i (0)  i  0

1, t  t0  (t  t0 )   0, t  t0 为 Heaviside 函数。

得:

i (t )  [1  (1  i0 )e ] 

a

1

a

(t  t0 )[1  e   ( t t0 ) ]

求得: t 

lim i (t )  (1 

) 1

,这表明持续的

宣传是起作用的,最终会使发病率减少。 如果宣传运动是短暂进行的,这在日常生活中是 常见的,例如仅仅是听一个报告,或街头散发传

t,t , 单等,即在 t

1 2

,t m 等m

个时刻进行 m 次宣传,宣传

强度分别为 a,a,

1 2

,a m ,则模型变为:

(www.wenku1.com)m  di    (1  i )    (t  t j ) j 1  dt ,  i (0)  i0 

i (t )  i0e  [1  e

解得: t 

1

 t

]   a j (t  t j )e  ( t t0 )

j 1

m

lim i(t )  1

这表明短暂的宣传是不起作用的,最终还是所有 的人都染上了疾病。

模型 3

传染病无免疫性——病人治愈成为健康人,健 康人可再次被感染 增加假设:3)病人每天治愈的比例为 ( ~日治 愈率) N[i(t  t )  i(t )]  Ns (t )i(t )t  Ni (t )t 建模:

(www.wenku1.com) di  i (1  i )  i   dt  i (0)  i0

 ~ 日接触率

1/ ~感染期

 /

 ~ 一个感染期内每个病人

的有效接触人数,称为接触数。 di/dt

 >1

0

1

di  i(1  i)  i dt

i

1-1/

i

 /

 >1

1-1/

i0

0

t

(www.wenku1.com)i0

i

 1

di 1 i  i[i  (1  )] dt 

0

0

t

 1 1  ,   1 i ( )      1 0,

接触数 =1 ~ 阈值

  1  i(t ) 

(www.wenku1.com) 1

i0小

 i(t )按S形曲线增长

感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数 模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例

模型4(SIR模型)传染病有免疫性——病人治愈

后即移出感染系统,称移出者 假设:1)总人数N不变,病人、健康人和移出者的 比例分别

i (t ), s (t ), r (t )

2)病人的日接触率 , 日治愈率,

接触数  =  /  建模: s(t )

 i (t )  r (t )  1

(www.wenku1.com)需建立

i (t ), s (t ), r (t ) 的两个方

N[i(t  t )  i(t )]  Ns(t )i(t )t  Ni(t )t

N[s(t  t )  s(t )]  Ns(t )i(t )t

 di  dt  si  i   ds   si  dt i (0)  i0 , s (0)  s0  

无法求出 的解析

i(t ), s(t )

在相平面

s~i

上研究解的性质

通常r (0)  r0很小)

(www.wenku1.com) di  dt  si  i   ds  si   dt i (0)  i0 , s (0)  s0  

消去dt

  /

1  di 相轨线   1  ds s  1 s i(s)  (s0  i0 )  s  ln i s  s  i0  s 0 0 

相轨线

i ( s ) 的定义域

D  {(s, i) s  0, i  0, s  i  1}

在D内作相轨线 i ( s ) 的图形,进行分析

(www.wenku1.com)i

1

D 0

s

1

相轨线

i ( s ) 及其分析

 di  dt  si  i   ds  si   dt i (0)  i0 , s (0)  s0  

i

1

 di 1  ds  s  1  i s  s  i0  0

D P4 P2 im P1

s i ( s)  ( s0  i0 )  s  ln  s0

1

(www.wenku1.com)s(t)单调减相轨线的方向

s  1 /  , i  im

s满足 s0  i0  s  1

t  , i  0

ln s 0 s0

传染病蔓延 传染病不蔓延

P1: s0>1/  i(t)先升后降至 0 P2: s0

预防传染病蔓延的手段

传染病不蔓延的条件——s0

 (日接触率)  卫生水平 (日治愈率)  医疗水平

(www.wenku1.com)2.降低 s0

提高 r0

群体免疫 s0  i0  r0

1

的估计

s s0  i0  s  ln  0  s0

1

忽略i0

模型检验:

ln s0  ln s  s0  s

医疗机构一般依据 r(t)来统计疾病的波及人 数 ,从广义上理解,r(t)为 t 时刻已就医而被隔离 的人数,是康复还是死亡对模型并无影响。 由模型(12)(14)计算可得:

s(t )  s0e r

(23)

dr  i   (1  r  s0e r ) (24) dt

可计算出方程(24)的近似解

(www.wenku1.com)r (t ) 

1 s0

[(s0  1)  th( 2

t

2

  )] (25)

曲线

dr  2  dt 2 s  2 ch2 ( t   ) 在医学上被 0 2

称为疾病传染曲线。 下图给出了上式曲线的图形,

可用医疗单位每天实际登录数进行比较拟合得最 优曲线。

被传染人数的估计

(www.wenku1.com)记被传染人数比例

x  s0  s

1 s s0  i0  s  ln  0  s0

i00, s0 1

x

1

ln(1 

x )0 s0

x

x(1 

1 s0

x )0 2 2s0 

x  2s0 ( s0 

1

)

s0 - 1/ = 

 小 , s0   1

x  2

(www.wenku1.com)i

P1 0

s

1/ 

s0

s

提高阈值 1/降低被传染人数比例 x 综上所述,3,4指出了传染病的以下特征: (1)当人群中有人得了某种传染病此疾病并不 一定流传,仅当受感染的人数超过阈值时,疾病 才会流行起来。 (2)疾病并非因为缺缺少感染者而停止传播, 相反是因为缺少传播者才停止传播的,否则将导 致所有人得病。 (3)种群不会因为某种传染病而灭绝。

(www.wenku1.com)模型评价: 第一:对问题不断深入研究后,针对不同情况 逐步修改假设,使模型逐步符合实际;

第二:较全面的研究了传染病的几个问题。

范文七:传染病的SIR模型

黑黔弊粤 )

I 传染病 的 s

查 淑玲 ( 南 师 范学 院 陕 西 渭 南 渭

,

现代生物医学

R

模型

7 14 0 0 0 )

摘要

l/ 口

: I 目 的 探 讨 传 染病 的 s

,

R

: I 模 型 方法 通 过 微 分 方 程 解 的 特征 对 于 按 照 一 般 传 播机 理 建 立 的 S

, ,

R

模型 分析受

,

: 0 感 染人 数 的 变 化 规 律 预 报 传 染 病 的 高潮 时 间 得 出 控 制 传 染病 蔓延 的 方 法 结 果 当 5 > l

/

a

。 时 传 染 病 芝延 当 S 蕊

,

: I 时传 染 病 不 会 蔓 延 结论 根 据 传 染 病 的 S R 模 型 得 到 两 种 控 制 传 染 病 蔓延 的 方 法

,

关键 词

I 传 染 病 ; s R 模型 ; 移 出 者 ; 治 愈 率

:

中图 分 类 号

R

l s

: 文 献 标 识码 A

: 文 章 编 号 16 7 1

o 25

( 8 2 o0 3 0 ) 2

0 0犯

~

2 0

:

中 医 学 源 远 流 长 不 论 在传 染 病 的 理 论 探 讨 方

面 还 是 防治 传染 的 实 践方 面 祖 国 医 学 都 作 出 了 巨

, ,

,

对 于 病 愈 的移 出 者 而 言有

N

大 贡 献 早 在公 元

,

10 0 0

年 (宋 代 ) 我 国 就有 接 种鼻

,

U l

=

卜M

(3 )

痘 的 记 录 比 英 国 接种 牛 痘早 了 8 0 年 随着卫 生 设

0 记 初 始 时 刻 的 健 康 者 和 病 人 的 比 例分 别 是 S

施 的 改 善 医 疗 水 平 的提 高 以 及 人 类 文 明 的 不 断发

展 曾 经 肆虐 全 球 的 天 花 霍乱 鼠疫 等 传 染 性 疾 病

已 经 得 到 有 效 的 控 制 但 目前仍 有 一 些 传 染病 (如

,

, ,

、 、

I

,

I 故S

R

模 型 的 方程 为

、 s e l 厂 少

:

, . . 目一 t、 , e ,

曰 UJ 一 J 门 U

\s [ to 一I 一 t

e w

1

入5 1

林I

:

艾 滋 病 等 ) 则 跨 国越 界地 在各 国 蔓 延 而 人 们 又 不 可 能 去 做 传 染 病 传 播 的 试 验 以 获 取数 据 所 以 主 要 是

,

入 1 5

=

4 ( )

l

I。 S (0

,

)

=

50

依据 机 理 分 析 的 方 法 建 立适 当 的 数 学 模 型 通 过 模

型 解 的 特 征 分 析受 感 染人 数 的 变 化 规 律 预 报传 染

, ,

,

病 的 高 潮时 间 从 而控 制 传染 病 的 蔓延

I 本 文 建立 的 S

,

2

I S R

模 型 解 的特 征

R

模 型 为 预 防 和 治 疗传 染 病 提

,

用 微 分方 程 的 定性 理 论来 讨 论 方程 (4 的 解 的 )

供 了 理论 基 础 我 们 可 以 在 不 同 的 时 期 采 取 相 应 的 措 施 充 分 发 挥 祖 国 医 学 在 预 防 和 治疗 传 染病 上 的 特 点 控 制传 染 源 切 断 传 播 途 径 并 给传 染 者 以 对

症 治 疗 保 护 未 感 人群 为 其 提供 必 要 的 免 疫 预 防

,

,

性 质 在相 平面 上 相 轨线的 定义 域 为

S) 0

,

D

=

{(S

,

I) }

,

I) 0

,

S

+

I蕊 1

}

,

,

,

t 由方程 (4 )消 去 d

,

=

:

措施 以 控制 传染病 的传 播

S IR

,

业 土 仔S ds

Lx

1

(5 )

l

模型

l

= 、

=

方 程 (5 的 解为 )

l

=

:

由于 大 多 数 传 染 病 人 治 愈 后 均 有 很 强 的 免 疫

s。

I。

s

上L n

S

力 病 愈 后 的 人 即 非 健 康 人 (易 感 染 者

,

su

see

e p t ib 一 )

,

(6 )

1

n e 又 非病 人 (已 感 染 者 I f

,

t v c i

:

e

) 他 们 已 经 退 出传染

, ,

D

) 内 方 程 (6 所 示 曲 线 为 相 轨 线 图

t

中简

系 统 该模 型 的假 设条 件 为

头 表 示 了 S t 和 I t 随 时间 ( ) ()

的 增加 的 变化 趋 向

) l 人 群 分 为 健 康 者 病 人 和 病愈 免疫 移 出者 三

类人 在 总人数 接 触数 为

二 =

N

t t 中占 的 比例分别 为 S ( ) I( )和

R

(t)

) 2 病人 的 日 接触 率 为

入/ 林

,

日治 愈 率 为

+

,

传染 期

(l ) (2 )

由条 件 由条 件

l )有 : S :

(t)

U

L

+

=

t I( )

R

(t )

=

1

)有

:

N

入 s Nl

林N l

查 淑 玲 女 讲 师 从事 基础 数 学 的 研 究

, ,

,

1

l s R

模型的相轨线

(www.wenku1.com)现代 生物 医学

r

些 车鱼 生

2 0 0 3

卑邺鱼

4

, 肠即

,

,

2

l )不 论 初 始 条件 S 。 I。 I

如 何 病 人终 将 消 失 即

_

, ,

,

,

l l / 。 I( ) 单 调 减小 至 零 S

,

(t )则 单 调 减 小 至 S

如图

=

0

0

P

Z

(玩 如 )出发 的轨 线

,

尤 甲石 0 I

二 ds

_

_

,

妄U

,

_

,

一 ~

b

又 多 U ) t

毕 洞 润 齐 必 们 拔 P民

R

~

、,

*

~

3

t d R 知 S 存在 ; d

一〕0

I二

= n

R

(t )

蕊1

,

同时

存 在 ; 因而

1

.

通 常 人 们 认 为仅 当病 人 比例 有 一段 增 长 时 才 认 为 传 染 病 在 蔓 延 由上 述 讨 论 可 知

, ,

必 定存 在

1/ a

是 一 个 非常

其 次若

习 则 由 方 程 (2 ) 对 充 分大 的 t 有

,

关 键 的 量 根 据 该 量 可 得 到 以 下 两种 控 制 传 染 病 的 蔓 延方法

华 岭

,

o t

这将 导致

,

R

=

R

存在 矛 盾

0 l 一 种 方法 是 当 S >

,

/ 。

时 传染 病 蔓 延 我 们 只 要

S 。共

,

从 图 形 上 看 不 论 相轨 线 从

S

P,

或 R 出发 它都

S

想 办 法提 高 l /

,

的 值 使得

/ l

,

a

,

传 染病 就不 会

。 S 二 1)

轴相 交

蔓 延 (初始 时 期 的 健 康 者 的 比例 是定 值

时 由

,

又因

) 2 当 最 终末 被 感 染 的 健 康 者 的 比 例 是

相 轨 线 知 病人 人 数

_

,

为 人 们 的 卫 生 水平 越 高 大 于是

,

入 越小

医 疗水 平 越 高

I

=

0

,

l/ 。

越 大 故 提 高卫 生 水 平 和 医 疗 水 平有

,

_

b

十 l

一 b

—L T (

,

1

,

ll

下e b o

S

_

二 U

(7 )

,

助 于 控 制 传染 病 的 蔓 延

另一 种 方 法 是 当

。 S > / l

,

时 在

人 们 的卫 生 水平

,

S

是 方 程 (7 在 (0 )

,

,

1/

司 内 的 单 根 是 相轨 线与

S

和 医 疗 水 平 不 改 变 的条 件 下 降 低初 始 人 群 中 健 康

0 轴在 (

3

1/

司 内 交 点 的横 坐 标 也 是 方 程 ( 的 奇 点 ) 4

S

者 的 比例 降低

S

,

S

使得

。 S 蕊 1/

T (

,

传染病也 不 会蔓延 要

,

)若

I。

>

t l / 。 I ( )增

,

加 当S

,

=

l/ 。

时 I(t )最 大

,

必 须 提 高传 染 病 的 治愈 人 数 和 免疫人 数 这

。 + 为 s

,

(1

+

, L n a s。 )

然 后 I (t )减 / 至 零 J

,

s

(t )

就要 求 我 们 在 发 展 免疫 方 面 提 高 免疫 能 力 同 时 努

力 提 高 传 染 病 的治愈 率

( 稿 收

日期 : 2

则减 小 至

S

如图 由

P

,

(S

I

)出 发 的 轨 线 若

S 蕊

0

3

02

27

修回

日期 : 2 0 0 3

03

15

)

皆 人所 为 非 豆 之 咎 也

,

本 地 向 有 鸣放 爆竹 以 示 庆 典 之 习 俗 故 对 子 夜 时 分 突 如 其来 的 鞭 炮 声 未 曾 留 意 及 至 手 机 上 一 则 煞 有 其 事

, ,

慌 乱 到 失 去 理 性 盲 从 到 弃 却 文 明 蒙 蒙昧 昧 蠢 若 游 魂 非 独 绿 豆 如 此 遭 遇 君 不 见 几 味 草药 一 夜 间 身价 百 倍

, ,

,

,

流 的短 信 所 言 某 地 一 初 生 婴 儿 落 生 即 语 告 世 人 行本 为 上 天 之 意 立 夏 之 日燃 放鞭 炮 并 饮 绿 豆 汤 方 可 避 之 云 云 始 觉不可 小觑 一 时间 街 市绿豆价格 飞 涨 病

,

,

SA R S

一副

,

,

忘躯 拘 物

,

罩竟 突 然 间奇货 可居 街 市 抢 购 成 风 屋 内 囤积 居 钦 望 巫祝 人 性 的弱 点 暴露 无 遗

, ,

,

” ,

,

,

情 虽 未 见 因 之 而 缓 解 倒 是 爆 竹和 绿 豆 商 贩 的 生 意 却 着 实火 了一 把 奈 何 天 不 遂 人 愿 S A R S 病毒 并 未 应 验 燃 放 鞭 炮 饮 绿 豆 汤 之 类 的谬 说 谣 传 自是 不 攻 自破 笔者 不 善 购

,

,

,

其 实 天 行 时 病 古来 有 之 不 足 为 奇 所 不 同 的是 古代 圣 贤 在 灾 难 面 前 积 极 应 对 不 断 破 解 大 自 然 的 神 秘 不 断 推 动 文 明 的 进 程 汉 代 名 医 张 仲景 面 对 其家 族 其死 亡 者三 分有 二 感 往 昔 之 沦 丧 伤横 夭 之 莫救 乃 勤求 古 训 博 采 众 方 终 于 著 成 不 朽 医 著《 寒杂病论 》 伤

, , , , ,

,

,

,

,

,

,

,

物 绿 豆 价 格 是 否 回 落 尚未 知 晓 虽 然 那 l 自 的鞭 炮 声 已 称 渐 寂 然 人 们又 能 睡 个 安 稳 觉 了 但这 一 来 二 去 令人 啼 笑 皆非 的 闹 腾 总 使 人 有 一 种 被 愚 弄 的 感 觉 可 怜 芸 芸 众 生 竟 然 让 哪 些 居 心 巨 测 者牵 着 鼻 子 玩 弄 于 股 掌 之 中 遭 遇

天 灾 之后 复遭 灵 魂 的 戏弄 所 以 然 者 人 性 的 弱 点 和

, ,

,

,

明代 医 家 吴又 可 面 对 瘟 疫 流 行 阖 门传 染 非但 不 恐 慌 不 盲 从 而 是 静 心 劳 理 格 其所 感 之 气 终 于 捕 捉 到 了

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

决 气 此 等科 学 态 度 实 令 我 等 文 明 时 代 瘟 疫 的之 凶 的后 辈 汗 颜 a s e o u 。 ra l d ia tu 5 L 从 《 宝 本 草 》 至 于 绿 豆 学 名 Ph 开

,

,

,

文 明 的 缺失 难 辞其 咎

大 自然 缔 造 了 人 同 时 也 造 就 了需 要 人 类 这 个 万 物 之 灵 去 破 解 的 谜 团 和 应 对 的 挑 战 人 类 从 蛮 荒 时代 跨 人 现 代 文 明 的 经 历 实 际 上 就 是 从 畏 惧 自然 崇 拜 自然 到 辨

,

首 载 药 用 千 年 间原 本 平 常 之 品 中 医 用 其 清热 解 毒 消 暑 利 水 从 不 盲 目夸 大 疗 效 更 无 不 着 边 际 的 誉 美 之 词

, ,

,

,

,

,

倒 是 对其 不 良反 应 却 从 不 回 避 恰 如 李 时 珍 在 《 草 纲 本

,

,

析 自然 控 制 自然 的过 程 在 这 个 过 程 中 逐 渐 孕 育 了 理 性 而 科 学 的 自然 观 也激 发 了 积 极 而 冷静 的生 活 态度 当 然 面 对 突 发 事 件 浮 躁 恐 慌 盲从 自是 难 免 可 怕 的 是

, , ,

,

,

,

消 肿 治痈 之 功 虽 用 赤 豆 而 压 热 解 毒 之 力 过 之 或 偏 于 冷 或 偏 于 热 能 致人 病 皆 人 所 为 非 豆 之 咎也 圣 贤 之 言 精 辟莫 过 于 斯 也 (太 原 五 中 施 施 )

,

目》 所 云 中

” , “

,

,

,

,

,

,

范文八:SI传染病模型

SI传染病模型

1. 模型的建立

由题意知道:在此环境中仅存在健康者(即易感者)和已感者(即病人),且在t时刻人数分别为S(t),L(t),不考虑人口的出生与死亡,此环境中的人口数量不变N即K,于是在单位时间内每天每个病人感染的人数S(t)L(t),它是病人的增加率,所以有:

dLdt

=*St*Lt L0=L1

(1)

在t时刻健康者与已感者满足关系式:St+L t= (2) 此模型满足Logistic模型,所以它的解为:

L(t)=1/1+((1/L1)-1)*exp(-*t) 1.求平衡点 syms r S L K y y=r*L*(K-L); solve(y) ans =

SIS传染病模型

1. 模型假设 SIS模型的假设条件1.2与SI模型相同,增加的条件为:每天被治

愈的病人数占病人的总数为m ,此称为日治愈率。病人治愈后仍然可以成为被感染的健康者,显然,平均传染期为1/m 。 2. 模型建立 此模型可以修整为:(a代表)

dLtdt

a*St*Ltm*Lt LtSt

L0L1 K

求平衡点:(s, l ,k分别代表S, L ,K)

syms a t s l m k f f=a*l*(k-l)-m*l; solve(f) ans = -a*(-k+l)

1.大于时的图像



,a10,b0.8

b

a

2.小于1时的图像a0.2,b0.8

模型假设:在SIS模型中我们增加:人群可分为健康者,病人,病疫免疫的移出者,且三种人群的数量分别为St,Lt,Rt;病人的日接触率和日治愈率分别为,m所以传染期为

1. 模型建立 dLtdtdStdt

a*St*Ltm*Lt LtSt

m



K L0L1 (1)

a*St*Lt S0KL0 (2)

求平衡点

syms a t s l m k

[s,l]=solve('a*l*(k-l)-m*l','-(a*s*(k-s))') s = a*k-a*l a*k-a*l l = 0 k

健康者与病人数量在总人数中的比例st,it对时间的变化关系图为:

范文九:传染病模型作业

传染病模型作业

模型1 马尔萨斯模型

di

idt

i(0)i0

Matlab程序 >> syms i;

>> sol=dsolve('Di = lambda*i',’i(0)=0.4’) sol =

(2*exp(lambda*t))/5

ezplot(subs(sol,'lambda',2)) 画图

模型2, 逻辑斯谛模型

di

i(1i)

dt

i(0)i0

Matlab程序 syms i;

sol=dsolve('Di=lambda*i*(1-i)','i(0)=0.25') sol =1/(exp(log(3) - lambda*t) + 1)

ezplot(subs(sol,'lambda',3),[0,4]) 画图

模型3, SIS模型

di

i(1i)i

dt

i(0)i0

Matlab程序 syms i;

sol=dsolve('Di=lambda*i*(1-i)-mu*i','i(0)=0.2') sol =

-((lambda - mu)*(tan((t + (2*atan((3*lambda*sqrt(-1) - 5*mu*sqrt(-1))/(5*lambda - 5*mu))*sqrt(-1))/(lambda - mu))*((lambda*sqrt(-1))/2 - (mu*sqrt(-1))/2)) + (lambda*sqrt(-1) - mu*sqrt(-1))/(lambda - mu))*sqrt(-1))/(2*lambda) ezplot(subs(sol,'{lambda,mu}',{4,0.6})) 画图:

当lambda=4,mu=0.6,

i

=0.2时 图像为

当lambda=4,mu=0.6,

i

=0.9时 图像为

当lambda=0.8,mu=0.9,

i

=0.2时 图像为

模型4, SIR模型

Matlab程序

function y=ill(t,x) a=2; b=0.4;

y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1),-a*x(1)*x(2)]'; end

syms ts x0;

ts=0:50; x0=[0.02,0.98];

[t,x]=ode45('ill',ts,x0);[t,x] plot(t,x(:,1),t,x(:,2)),grid plot(x(:,2),x(:,1)),grid

画图,当lambda=2,mu=0.4,i0=0.02, s0=0.98时 图像为

范文十:§3.12传染病模型

3.12传染病模型

医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病,天花在世界范围内被消灭,鼠疫、霍乱等传染病得到控制。但是仍然有一些传染病暴发或流行,危害人们的健康和生命。在发展中国家,传染病的流行仍十分严重;即使在发达国家,一些常见的传染病也未绝迹,而新的传染病还会出现,如爱滋病(AIDS)等。有些传染病传染很快,导致很高的致残率,危害极大,因而对传染病在人群中传染过程的定量研究具有重要的现实意义。

传染病流行过程的研究与其他学科有所不同,不能通过在人群中实验的方式获得科学数据。事实上,在人群中作传染病实验是极不人道的。所以有关传染病的数据、资料只能从已有的传染病流行的报告中获取。这些数据往往不够全面,难以根据这些数据来准确地确定某些参数,只能大概估计其范围。基于上述原因,利用数学建模与计算机仿真便成为研究传染病流行过程的有效途径之一。 1) 问题提出

上世纪初,瘟疫还经常在世界的某些地区流行,被传染的人数与哪些因素有关?如何预报传染病高潮的到来?为什么同一地区一种传染病每次流行时,被传染的人数大致不变? 2) 问题分析

社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播,而最直接的因素是:传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等,在建立模型时不可能考虑所有因素,只能抓住关键的因素,采用合理的假设,进行简化。

我们把传染病流行范围内的人群分成三类:S类,易感者(Susceptible),指未得病者,但缺乏免疫能力,与感病者接触后容易受到感染;I类,感病者(Infective),指染上传染病的人,它可以传播给S类成员;R类,移出者(Removal),指被隔离,或因病愈而具有免疫力的人。 3) 建立模型 (1)SI模型1

SI模型是指易感者被传染后变为感病者且经久不愈,不考虑移出者,人员流动图为:

S→I。

假设

1.每个病人在单位时间内传染的人数为常数k0。

2.一人得病后,经久不愈,人在传染期内不会死亡。

记时刻t的得病人数为i(t),开始时有i0个传染病人,则在t时间内增加的病人数为

i(tt)i(t)k0i(t)t

于是得:

di(t)

k0i(t)dt

i(0)i

0

其解为:

i(t)i0e

k0t

模型分析与解释:这个结果与传染病初期比较吻合,但它表明病人人数将按指数

规律无限增加,显然与实际不符。事实上,一个地区的总人数大致可视为常数(不考虑传染病传播时期出生和迁移的人数),在传染病传播期间,一个病人单位时间内能传染的人数k0则是在改变的。在初期,k0较大,随着病人的增多,健康者减少,被传染机会也将减少,于是k0就会变小。 (2)SI模型2

记时刻t的健康者人数为s(t),假设 1.总人数为常数n,且i(t)s(t)n。

2.单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康者人数成正比,比例系数为k(传染强度)。

3.一人得病后,经久不愈,人在传染期内不会死亡。 可得方程:

di(t)

ks(t)i(t)dt

i(0)i

0

di(t)

ks(ni)dt

i(0)i

0

,即

i(t)

1(

nni0

1)e

knt

解得:。

di

ln(t1

ni0

1)

模型分析:可以解得dt的极大值点为:

kn

。这可以表示传染病高峰时

刻。当传染强度k增加时,t1将变小,即传染高峰来得快,这与实际情况吻合。但当t时,i(t)n,这意味着最终人人都将被传染,显然与实际不符。 (3)带宣传效应的SI模型(3)。

假设

1.单位时间内正常人被传染的比率为常数r。 2.一人得病后,经久不愈,人在传染期内不会死亡。

di(t)

r(ni)dt

i(0)i

0

我们得方程:

都要传染上疾病。

,解得:

i(t)n[1(1

i0n

)e

rt

]

,这表明最终每个人

我们假设,宣传运动的开展将使得传染上疾病的人数减少,减少的速度与总人数成正比,这个比例常数取决于宣传强度。若从tt00开始,开展一场持续的宣传运动,宣传强度为a,则所得的数学模型为:

di

r(ni)anH(tt0)dt

i(0)i

0

1

H(tt0)

0其中:

i0n

tt0tt0

为Heaviside函数。

anr

H(tt0)[1e

r(tt0)

求得:

i(t)n[1(1)e

rt

]]

t

limi(t)n(1

ar

)n

,这表明持续的宣传是起作用的,最终会使发病率减少。

如果宣传运动是短暂进行的,这在日常生活中是常见的,例如仅仅是听一个报告,或街头散发传单等,即在tt1,t2,,tm等m个时刻进行m次宣传,宣传强度分别为a1,a2,,am,则模型变为:

m

di

r(ni)n(ttj)dtj1

i(0)i

0

m

解得:

i(t)i0e

rt

n[1e

rt

]najH(ttj)e

j1

r(ttj)

t

limi(t)n

这表明短暂的宣传是不起作用的,最终还是所有的人都染上了疾病。 (4)SIS模型

SIS模型是指易感者被传染后变为感病者,感病者可以被治愈,但不会产生免疫

力,所以仍为易感者。人员流动图为:S→I→S。

有些传染病如伤风、痢疾等愈后的免疫力很底,可以假定无免疫性。于是痊愈的病人仍然可以再次感染疾病,也就是说痊愈的感染者将再次进入易感者的人群。

假定:

1.总人数为常数n,且i(t)s(t)n。

2.单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康者人数成正比,比例系数为k(传染强度)。

3.感病者以固定的比率h痊愈,而重新成为易感者。

我们可得模型:

di(t)

ki(t)s(t)hi(t)dt

i(0)i

0

i0kt

1i0

hnk

i(t)

1

knkh

(1i0

knkh

)e

(hnk)t

hnki(t)

可解得:

nk

nk

1

模型分析:

h

1

时,

limi(t)

t

nkhk

h

时,t

limi(t)0

。这里出现了传染

nkh1

病学中非常重要的阈值概念,或者说门槛(threshhold)现象,即是一个

门槛,这与实际很符合,即人口越多,传染率越高,从得病到治愈时间越长,传染病越容易流行。 (5)SIR模型。

SIR模型是指易感者被传染后变为感病者,感病者可以被治愈,并会产生免疫力,变为移出者。人员流动图为:S→I→R。

大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力,所以病愈的人既非易感者,也非感病者,因此他们将被移出传染系统,我们称之为移出者,记为R类。 假设:

1.总人数为常数n,且i(t)s(t)r(t)n;

2.单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康者人数成正比,比例系数为k(传染强度)。

3.单位时间内病愈免疫的人数与当时的病人人数成正比,比例系数为l,称为恢复系数。

可得方程:

di

ksilii(0)i00dts(0)s00dsksir(0)r00dt取初值:

di

模型分析:由以上方程组得:ds

limi(t)0

s

1

lk

iln

ss0

sn

,所以,容易

得出t;而当s0时,i(t)单调下降趋于零;s0时,i(t)先单调上

升到最高峰,然后再单调下降趋于零。所以这里仍然出现了门槛现象:是一个门槛。从的意义可知,应该降低传染率,提高恢复率,即提高卫生医疗水平。

ln

ss0

sn0

令t可得;以若记



,假定s0n,可得:

s0s2

s0(s0)

,所

,当时,s0s2,这也就解释了本文开头的

问题,即同一地区一种传染病每次流行时,被传染的人数大致不变.

s0