圆锥曲线与方程小结

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范文一:圆锥曲线与方程

圆锥曲线与方程

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题 (本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

x2y2

1.点P是双曲线C1:221(a0,b0)与圆C2:x2y2a2b2的一个交点,且

ab

2PF1F2PF2F1,其中F1、F2分别为双曲线C1的左右焦点,则双曲线C1的离心率为

( ) A

1 【答案】A

B

C

D

1

2.椭圆C1:的左准线为l,左、右焦点为分别为F1、F2,抛物线C2的准线为l,

焦点为F2,C1与C2的一个交点为P,线段PF2的中点为G,O是坐标原点,则的值为( )

A.-1 B.1 C.- D.

【答案】D

2

3.已知直线y=kx-2(k>0)与抛物线C:x=8y相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|

=4|FB|,则k= ( )

A.3 【答案】B

4.平面内动点P到定点F1(3,0),F2(3,0)的距离之和为6,则动点P的轨迹是( ) A. 双曲线 【答案】C

B. 椭圆

C.线段

D.不存在

5B. 4

3

C4

32D.2

x2y23

5.已知双曲线221的一条渐近线是yx,则双曲线的离心率为( )

3ab

A.2

2326

B. 3 C D.

33

【答案】C

6.⊿ABC中,B(-2,0),C(2,0),中线AD的长为3,则点A的轨迹方程为( )

2222

A.x+y=9(y≠0) B.x-y=9(y≠0)

2222

C.x+y=16 (y≠0) D. x-y=16(y≠0) 【答案】A

x2y2

7.已知双曲线21的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其

4b

渐近线的距离等于( ) A.

【答案】A

B.

C.3

D.5

x2y2

8.已知双曲线xy与椭圆1有共同的焦点,则的值为( )

1664

2

2

A.50 【答案】D

B.24 C.-50 D.-24

9.已知两定点F1(5,0),F2(5,0),曲线上的点P到F1、F2的距离之差的绝对值是6,则该曲线的方程为( )

x2y2A.1

916x2y2C.1

2536

【答案】A

x2y2B.1

169y2x2

D. 1

2536

x2y2

10.若F1、F2 分别为双曲线 221的左、右焦点,O为坐标原点,点P在双曲线

ab

的左支上,点M在双曲线的右准线上,且满足F1OPM

,OP则双曲线的离心率为( )

A.3 【答案】D

B.2

C.3

D.2

. >0)

y2

1的焦点为F1、F2,点M在双曲线上且MF1MF20,则点M到x11.双曲线x2

2

轴的距离为

( )

A.

【答案】B

B.

C.

4 3

D.

5 3

2y4x,直线l的方程为xy40,在抛物线上有一动点P到12.已知抛物线方程为

y轴的距离为d1,P到直线l的距离为d2,则d1d2的最小值为( )

A

2

B

1

C

2

D

1 【答案】D

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题 (本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上) 13.已知点P为椭圆和双曲线

左、右焦点,则∠F1PF2的余弦值是 .

的一个交点,点F1、F2分别是椭圆的

【答案】

x2

y21上任意一点P,则PA最大值为 。

14.已知点A0,2及椭圆4

x2y2

15.已知M是双曲线221(ab0)上的点,以M为圆心的圆与x轴相切于双曲

ab

线的焦点F,圆M与y轴相交于P,Q两点.若PQM为锐角三角形,则该双曲线的离心率的取值范围为 .

【答案】 x2y2

16.已知抛物线y2px(p0)与双曲线221(ab0)有相同的焦点F,点A

ab

2

是两曲线的交点,且AFx轴,则双曲线的离心率为 . 【答案】21

三、解答题 (本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

2

17.如图,已知抛物线y=ax+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C, D为OC的中点,直线AD交抛物线于点E(2,6),且△ABE与△ABC的面积之比为3∶2. (1)求这条抛物线对应的函数关系式;

范文二:圆锥曲线与方程

圆锥曲线方程及性质

一.课标要求:

1.了解圆锥曲线的实际背景,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用;

2.经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程,掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质;

3.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道双曲线的有关性质。 二.命题走向

本讲内容是圆锥曲线的基础内容,也是高考重点考查的内容,在每年的高考试卷中一般有2~3道客观题,难度上易、中、难三档题都有,主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质,从近十年高考试题看主要考察圆锥曲线的概念和性质。圆锥曲线在高考试题中占有稳定的较大的比例,且选择题、填空题和解答题都涉及到,客观题主要考察圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法。

对于本讲内容来讲,预测07年:

(1)1至2道考察圆锥曲线概念和性质客观题,主要是求值问题;

(2)可能会考察圆锥曲线在实际问题里面的应用,结合三种形式的圆锥曲线的定义。

三.要点精讲

1.椭圆

(1)椭圆概念

平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点,则有|MF。 1||MF2|2a

x2y2y2x2

椭圆的标准方程为:221(ab0)(焦点在x轴上)或221(ab0)(焦点

abab

在y轴上)。

注:①以上方程中a,b的大小ab0,其中cab;

2

2

2

x2y2y2x22

②在221和221两个方程中都有ab0的条件,要分清焦点的位置,只要看x和

abab

x2y22

1(m0,n0,mn)当mn时表示焦点在x轴上的椭圆;y的分母的大小。例如椭圆

mn

当mn时表示焦点在y轴上的椭圆。

(2)椭圆的性质

x2y2

①范围:由标准方程221知|x|a,|y|b,说明椭圆位于直线xa,yb所围成的

ab

矩形里;

②对称性:在曲线方程里,若以y代替y方程不变,所以若点(x,y)在曲线上时,点(x,y)也在曲线上,所以曲线关于x轴对称,同理,以x代替x方程不变,则曲线关于y轴对称。若同时以x代替x,y代替y方程也不变,则曲线关于原点对称。

所以,椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中心,椭圆的对称中心叫椭圆的中心;

③顶点:确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标。在椭圆的标准方程

),B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。同理令y0得xa,即中,令x0,得yb,则B1(0,b

A1(a,0),A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点。

所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点。

同时,线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为2a和2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

由椭圆的对称性知:椭圆的短轴端点到焦点的距离为a;在RtOB2F2中,|OB2|b,|OF2|c,

|B2F2|a,且|OF2|2|B2F2|2|OB2|2,即c2a2c2;

c

④离心率:椭圆的焦距与长轴的比e叫椭圆的离心率。∵ac0,∴0e1,且e越接近1,

a

c就越接近a,从而b就越小,对应的椭圆越扁;反之,e越接近于0,c就越接近于0,从而b越接近于a,这时椭圆越接近于圆。当且仅当ab时,c0,两焦点重合,图形变为圆,方程为x2y2a2。

2.双曲线

(1)双曲线的概念

平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线(||PF1||PF2||2a)。 注意:①(*)式中是差的绝对值,在02a|F1F2|条件下;|PF1||PF2|2a时为双曲线的一支(含F2的一支);|PF2||PF;②当2a|F1|2a时为双曲线的另一支(含F1F2|时,1的一支)

||PF1||PF2||2a表示两条射线;③当2a|F1F2|时,||PF1||PF2||2a不表示任何图形;④两定点F1,F2叫做双曲线的焦点,|F1F2|叫做焦距。

椭圆和双曲线比较: 椭 圆

|PF1||PF2|2a(2a|F1F2|) 定义 方程

x2y2

1 a2b2

F(c,0)

x2y2

1 b2a2

F(0,c)

双 曲 线

||PF1||PF2||2a(2a|F1F2|)

x2y2

1 a2b2

F(c,0)

y2x2

1 a2b2

F(0,c)

焦点

注意:如何有方程确定焦点的位置!

(2)双曲线的性质

x2y2

①范围:从标准方程221,看出曲线在坐标系中的范围:双曲线在两条直线xa的外侧。

ab

22

即xa,xa即双曲线在两条直线xa的外侧。

x2y2

②对称性:双曲线221关于每个坐标轴和原点都是对称的,这时,坐标轴是双曲线的对称轴,

ab

x2y2

原点是双曲线221的对称中心,双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。

ab

x2y2

③顶点:双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线221的方程里,对称轴是x,y轴,

ab

x2y2

所以令y0得xa,因此双曲线和x轴有两个交点A(a,0)A2(a,0),他们是双曲线221的

ab

顶点。

令x0,没有实根,因此双曲线和y轴没有交点。

1)注意:双曲线的顶点只有两个,这是与椭圆不同的(椭圆有四个顶点),双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。

2)实轴:线段AA2叫做双曲线的实轴,它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长。虚轴:线段BB2叫做双曲线的虚轴,它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长。

④渐近线:注意到开课之初所画的矩形,矩形确定了两条对角线,这两条直线即称为双曲线的渐近

x2y2

线。从图上看,双曲线221的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接近。

ab

⑤等轴双曲线:

1)定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式:ab; 2)等轴双曲线的性质:(1)渐近线方程为:yx ;(2)渐近线互相垂直。

注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一,即可推知双曲线为等轴双曲线,同时其他几个亦成立。

22

3)注意到等轴双曲线的特征ab,则等轴双曲线可以设为:xy(0) ,当0时交

点在x轴,当0时焦点在y轴上。

x2y2y2x2

1与1的区别:三个量a,b,c中a,b不同(互换)c相同,还有焦点所在⑥注意

169916

的坐标轴也变了。

3.抛物线

(1)抛物线的概念

平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线。

方程y22px

p0叫做抛物线的标准方程。

pp

,0),它的准线方程是x ;

22

注意:它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上,焦点坐标是F((2)抛物线的性质

一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,有四种不同的情况,所以抛物线的标准方程还有其他几种形式:y22px,x22py,x22py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表:

标准方程

y22px(p0)

y22px(p0)

x22py(p0)

x22py(p0)

图形

焦点坐标 准线方程

范围 对称性 x轴 x轴

(0,0) (0,0) 顶点

e1 e1 离心率

说明:(1)通径:过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径;(2)抛物线的几何性质的特点:有一个顶点,一个焦点,一条准线,一条对称轴,无对称中心,没有渐近线;(3)注意强调p的几何意义:是焦点到准线的距离。 四.典例解析

题型1:椭圆的概念及标准方程

例1.求适合下列条件的椭圆的标准方程:

(1)两个焦点的坐标分别是(4,0)、(4,0),椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10;

(2)两个焦点的坐标分别是(0,2)、(0,2),并且椭圆经过点((3)焦点在x轴上,a:b2:1,c

(4)焦点在y轴上,ab5,且过点(; (5)焦距为b,ab1;

2

2

p

(,0) 2

px

2x0

(

p

,0) 2px

2x0

p(0,)

2py

2y0 y轴 (0,0) e1 p(0,)

2py

2y0 y轴 (0,0) e1

35,); 22

(6)椭圆经过两点(

35

,),。 22

x2y2

解析:(1)∵椭圆的焦点在x轴上,故设椭圆的标准方程为221(ab0),

ab

222

∵2a10,c4,∴bac9,

x2y2

1。 所以,椭圆的标准方程为

259

y2x2

(2)∵椭圆焦点在y轴上,故设椭圆的标准方程为221(ab0),

ab

由椭圆的定义知,

2a

222

∴a10,又∵c2,∴bac1046,

y2x2

1。 所以,椭圆的标准方程为

106

(3

)∵c

a2b2c26,①

2

2

又由a:b2:1代入①得4bb6, ∴b2,∴a8,又∵焦点在x轴上,

2

2

x2y2

1。 所以,椭圆的标准方程为82y2x2

(4)设椭圆方程为221,

ab

22

∴21,∴b2,

b222

又∵ab5,∴a3,

y2x2

1. 所以,椭圆的标准方程为32

(5)∵焦距为6,∴c3, 222

∴abc9,又∵ab1,∴a5,b4,

x2y2y2x2

1或1. 所以,椭圆的标准方程为

25162516x2y2

1(m,n0)(6)设椭圆方程为, mn

5232

()()1 由m得m6,n10, n351mn

y2x2

1. 所以,椭圆方程为

106

点评:求椭圆的方程首先清楚椭圆的定义,还要知道椭圆中一些几何要素与椭圆方程间的关系。 例2.(1)(06山东)已知椭圆中心在原点,一个焦点为F(-2,0),且长轴长是短轴长的2倍,

则该椭圆的标准方程是 。

(2)(06天津理,8)椭圆的中心为点E(1,0),它的一个焦点为F(3,0),相应于焦点F的准线方程为x

7

,则这个椭圆的方程是( ) 2

2(x1)22y2

1 A.

213(x1)2

y21 C.

5

2(x1)22y2

1 B.

213(x1)2

y21 D.

5

b2422y2a2b,ca161为所求; 解析:(1

)已知

222164abc

F((2)椭圆的中心为点E(1,0),它的一个焦点为F(3,0),

7

∴ 半焦距c2,相应于焦点F的准线方程为x.

2

a25(x1)2222

y1,选D。 ∴ ,a5,b1,则这个椭圆的方程是

c25

点评:求椭圆方程的题目属于中低档题目,掌握好基础知识就可以。 题型2:椭圆的性质

例3.(1)(06山东理,7)在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为2,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为( )

(A)2 (B)

122

(C) (D)

224

x2y2

(2)(1999全国,15)设椭圆22=1(a>b>0)的右焦点为F1,右准线为l1,若过F1且垂直于

ab

x轴的弦的长等于点F1到l1的距离,则椭圆的离心率是 。

x2y22b2a22

c1,据此求出e=解析:(1)不妨设椭圆方程为221(ab0),

则有,acab2

选B。

12b2

(2);解析:由题意知过F1且垂直于x轴的弦长为,

2a

21c112b2a2

∴,∴,即e=。 c,∴

2aca2ac

点评:本题重点考查了椭圆的基本性质。

例4.(1)(2000京皖春,9)椭圆短轴长是2,长轴是短轴的2倍,则椭圆中心到其准线距离是( )

A.

3

4

B.

4

5

C.

8

5

D.

43 3

x2y2

(2)(1998全国理,2)椭圆=1的焦点为F1和F2,点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y

123

轴上,那么|PF1|是|PF2|的( )

A.7倍

B.5倍

C.4倍

D.3倍

a2

解析:(1)D;由题意知a=2,b=1,c=,准线方程为x=±,

c

∴椭圆中心到准线距离为

43

. 3

3),即|PF2|=,|PF1|=,222

(2)A;不妨设F1(-3,0),F2(3,0)由条件得P(3,±因此|PF1|=7|PF2|,故选A。

点评:本题主要考查椭圆的定义及数形结合思想,具有较强的思辨性,是高考命题的方向。 题型3:双曲线的方程

P到F1,F2的距离差的绝对值等于6,求双例5.(1)已知焦点F1(5,0),F2(5,0),双曲线上的一点

曲线的标准方程;

x2y2



1共焦点且过点的双曲线的方程; (2)求与椭圆

255

(3)已知双曲线的焦点在y轴上,并且双曲线上两点P1,P

2坐标分别为(3,,5),求双曲线的标准方程。

9

4

x2y2

解析:(1)因为双曲线的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为221(a0,b0),

ab

222

∵2a6,2c10,∴a3,c5,∴b5316。

x2y2

1; 所以所求双曲线的方程为

916

x2y2x2y2



1的焦点为0),(2)椭圆,可以设双曲线的方程为221,则(5,0)255ab

a2b220。

182

又∵过点,∴221。

ab

2222

综上得,a20b

1。

点评:双曲线的定义;方程确定焦点的方法;基本量a,b,c之间的关系。

y2x2

(3)因为双曲线的焦点在y轴上,所以设所求双曲线的标准方程为221(a0,b0)①;

ab

∵点P1,P2在双曲线上,∴点P1,P2的坐标适合方程①。

32

21b9将(3,

,5)分别代入方程①中,得方程组: 92

425()

221

ba

1111a216

将2和2看着整体,解得,

11abb29

2y2x2a16

1。 ∴2即双曲线的标准方程为169b9

点评:本题只要解得a2,b2即可得到双曲线的方程,没有必要求出a,b的值;在求解的过程中也可以

用换元思想,可能会看的更清楚。

例6.(06上海卷)已知双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4,则双曲线的标准方程是____________________.

解析:双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0),则焦点在x轴上,且a=3,焦距与虚轴长之比为

x2y2

5:4,即c:b5:4,解得c5,b4,则双曲线的标准方程是1;

916

点评:本题主要考查双曲线的基础知识以及综合运用知识解决问题的能力。充分挖掘双曲线几何性质,数形结合,更为直观简捷。 题型4:双曲线的性质

x2y2

例7.(1)(06福建卷)已知双曲线221(a>0,b

ab

的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( )

A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞)

y2

(2)(06湖南卷)过双曲线M:x21的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐

b

2

近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是 ( )

2

2

D. 3

2

xyπ

(3)(06陕西卷)已知双曲线2- 2)的两条渐近线的夹角为 ,则双曲线的离心率为( )

a2363

A.2 B.3 C.33

x2y2o

解析:(1)双曲线221(a0,b0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线

ab

b

的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率,

a

2

a2b2b2c≥4,∴ e≥2,选C。 ∴ ≥3,离心率e=2

aaa2

y22

(2)过双曲线M:x21的左顶点A(1,0)作斜率为1的直线l:y=x-1, 若l与双曲线M的

b

y22

两条渐近线x20分别相交于点B(x1,y1),C(x2,y2), 联立方程组代入消元得

b

(b21)x22x10,

2

xx121b2

∴ ,x1+x2=2x1x2,

xx1121b2

1

x14

又|AB||BC|,则B为AC中点,2x1=1+x2,代入解得,

1x22

c

∴ b2=9,双曲线M的离心率

e=A。

a

x2y2π22

1(a>2)的两条渐近线的夹角为

,则tan(3)双曲线2,∴ a=6,双曲线

3a2a63

23

的离心率为 ,选D。

3

点评:高考题以离心率为考察点的题目较多,主要实现a,b,c三元素之间的关系。

x2y2

1的右支上一点,M、N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x例8.(1)(06江西卷)P是双曲线-=

916

-5)+y=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为( )

A. 6 B.7 C.8 D.9

(2)(06全国卷I)双曲线mxy1的虚轴长是实轴长的2倍,则m A.

2

2

2

2

11

B.4 C.4 D. 44

(3)(06天津卷)如果双曲线的两个焦点分别为F1(3,0)、F2(3,0),一条渐近线方程为y那么它的两条准线间的距离是( )

2x,

A.63 B.4 C.2 D.1 解析:(1)设双曲线的两个焦点分别是F1(-5,0)与F2(5,0),则这两点正好是两圆的圆心,当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大,此时|PM|-|PN|=(|PF1|-2)-(|PF2|-1)=10-1=9故选B。

(2)双曲线mxy1的虚轴长是实轴长的2m=

2

2

1

,选A。 4

x2

倍,∴ m

4

2x,

(3)如果双曲线的两个焦点分别为F1(3,0)、F2(3,0),一条渐近线方程为y

a2b29

a23a2

2,选C。 ∴

b,解得2,所以它的两条准线间的距离是2cb6

a

点评:关于双曲线渐近线、准线及许多距离问题也是考察的重点。 题型5:抛物线方程

例9.(1))焦点到准线的距离是2;

(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,2),求它的标准方程。

解析:(1)y=4x,y=4x,x=4y,x=4y;

方程是x=8y。

点评:由于抛物线的标准方程有四种形式,且每一种形式中都只含一个系数p,因此只要给出确定p的一个条件,就可以求出抛物线的标准方程。当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后,它的标准方程就唯一确定了;若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定,则所求的标准方程就会有多解。 题型6:抛物线的性质

2

2

2

2

2

x2y2

1的右焦点重合,例10.(1)(06安徽卷)若抛物线y2px的焦点与椭圆则p的值为( ) 62

2

A.2 B.2 C.4 D.4 (2)(浙江卷)抛物线y28x的准线方程是( )

(A) x2 (B) x4 (C) y2 (D) y4 (3)(06上海春)抛物线y24x的焦点坐标为( )

(A)(0,1). (B)(1,0). (C)(0,2). (D)(2,0)

x2y2

1的右焦点为(2,0),所以抛物线y22px的焦点为(2,0),则p4,故解析:(1)椭圆62

选D;

(2)2p=8,p=4,故准线方程为x=-2,选A;

(3)(直接计算法)因为p=2 ,所以抛物线y=4x的焦点坐标为

。应选B。 点评:考察抛物线几何要素如焦点坐标、准线方程的题目根据定义直接计算机即可。 例11.(1)(全国卷I)抛物线yx2上的点到直线4x3y80距离的最小值是( ) A.

2

478

B. C. D.3 355

(2)(2002全国文,16)对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件: ①焦点在y轴上; ②焦点在x轴上;

③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6; ④抛物线的通径的长为5;

⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1)。

(3)(2001广东、河南,10)对于抛物线y=4x上任意一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是( ) A.(-∞,0)

2

2

B.(-∞,2] C.[0,2]

2

2

D.(0,2)

能使这抛物线方程为y=10x的条件是 .(要求填写合适条件的序号)

解析:(1)设抛物线yx上一点为(m,-m),该点到直线4x3y80的距离为

|4m3m28|24

,当m=时,取得最小值为,选A;

335

(2)答案:②,⑤

解析:从抛物线方程易得②,分别按条件③、④、⑤计算求抛物线方程,从而确定⑤。 (3)答案:B

y

解析:设点Q的坐标为(0,y0),

4y222

由 |PQ|≥|a|,得y0+(0-a)≥a.

4

整理,得:y0(y0+16-8a)≥0, ∵y0≥0,∴y0+16-8a≥0.

2

22

2

2

2

yy

即a≤2+0恒成立.而2+0的最小值为2.

88

∴a≤2.选B。

点评:抛物线问题多考察一些距离、最值及范围问题。 五.思维总结

在复习过程中抓住以下几点:

(1)坚持源于课本、高于课本,以考纲为纲的原则。高考命题的依据是《高考说明》.并明确考点及对知识点与能力的要求作出了明确规定,其实质是精通课本,而本章考题大多数是课本的变式题,即源于课本,因此掌握双基、精通课本是关键;

(2)在注重解题方法、数学思想的应用的同时注意一些解题技巧,椭圆、双曲线、抛物线的定义揭示了各自存在的条件、性质及几何特征与圆锥曲线的焦点、焦半径、准线、离心率有关量的关系问题,若能用定义法,可避免繁琐的推理与运算;

(3)焦半径公式:抛物线上一点P(x1,y1),F为抛物线的焦点,对于四种抛物线的焦半径公式分别为(p>0):

22

p

;y22px:PFx12p

x22py:PFy1;x22py:PFy1

2y22px:PFx1

p2 p2

范文三:圆锥曲线与方程

第二章 圆锥曲线与方程

第Ⅰ卷(选择题,共50分)

一、选择题本题共有10个小题,每小题5分;在每小题给出的四个选项中,只有一项是

符合题目要求的,把正确选项的代号填在试卷指定的位置上。

1.椭圆x2my21的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m的值为( )

A.

14

xa

22

B.

yb

22

12

C. 2

2

D.4

xa

22

2. 若椭圆1(ab

0)的离心率是,则双曲线

yb

22

1的离心率是

( ) A.

54

x

2

B.

y

2

2

C.

l方程为y



3253

D.

x,则双曲线焦点

4

3.若双曲线

9m

1的渐近线F到渐近线

l的距离为

A.2

B.

C.5

D.25

4、直线yxb与抛物线x22y交于A、B两点,O为坐标原点,且OAOB,则b( )

A.2

B.2 C.1 D.1

5、若直线l过点(3,0)与双曲线4x29y236只有一个公共点,则这样的直线有( )

A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

6、已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(7,0),直线yx1与其交于M、N

两点,MN 中点的横坐标为

x

2

23

,则此双曲线的方程是( )

x

2

A.

3

y

2

4

1 B.

x

2

4

y

2

3

xa

22

1 C.

yb

22

5

y

2

2

1 D.

x

2

2

y

2

5

1

7、设离心率为e的双曲线C:1(a0,b0)的右焦点为F,直线l过

点F且斜率为k,则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是

( )

A.k2e1

2 B. k2

54

e1

2C.e2

54

k1

2 D.e2k1

2

(实验班)已知定点M(1,)、N(4,),给出下列曲线方程: ① 4x+2y-1=0 ②xy3

2

2

x

2

2

y

2

1

④有

x

2

2

y

2

1在曲线上存在点P

满足

MPNP

的所曲线方程是

( )

(A)①③ (B)②④ (C)①②③ (D)②③④ 8、双曲线两条渐近线的夹角为60º,该双曲线的离心率为( ) A.

23

3

或2 B.

23

3

或2 C.3或2 D.3或2

9、若不论k为何值,直线yk(x2)b与曲线x2y21总有公共点,则b的取值范围是( )

C.(2,2) D.2,2 A.(

B.10、椭圆

x

2

25

y

2

9

则ON等1上一点M到焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,

于( )

A.2 B.4 C.6 D.

32

x2y2

(实验班做)如图,双曲线-=1的左焦点为F1,顶点为A1,A2,P是双曲

ab

线上任意一点,则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆位置关系为( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.以上情况都有可能

第 Ⅱ 卷 (非选择题 共70分)

注意事项:

⒈ 第Ⅱ卷共4页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.⒉ 答卷前将密封线内的项目填写清楚.

20分) 11.抛物线xay2(a0)的焦点坐标是; 12. 椭圆

x

2

6

y

2

2

1和双曲线

x

2

3

y1的公共点为F1,F2,P是两曲线的一个交点, 那

2

么cosF1PF2的值是__________________。

13. 椭圆的焦点为F1、F2,过点F1作直线与椭圆相交,被椭圆截得的最短的线段MN长为

325

,MF2N的周长为20,则椭圆的离心率为 __________

xa

22

(实验班做)双曲线

yb

22

1(a,b0)和直线y2x有交点,则它的离心率的

取值范围是______________ 14.若焦点在x

轴上的椭圆

x

2

45

yb

22

1上有一点,使它与两焦点的连线互相垂直,

则正数b的取值范围是_______________

三、解答题(本大题4小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(12分) 已知椭圆的中心在原点,焦点为F1(0,22),F2(0,22),且离心率e

223

(I)求椭圆的方程;

(II)直线l(与坐标轴不平行)与椭圆交于不同的两点A、B,且线段AB中点的横坐标为

12

,求直线l倾斜角的取值范围。

16. (12分)已知动点P与平面上两定点A(0),B0)连线的斜率的积为

定值

12

.

(Ⅰ)试求动点P的轨迹方程C.

(Ⅱ)设直线l:ykx1与曲线C交于M、N两点,当|MN|=

423

时,求直线l

的方程.

(实验班做)已知向量m1=(0,x),n1=(1,1),m2=(x,0),n2=(y2,1)(其

中x,y是实数), 又设向量m=m1+2n2,n=m2-2n1,且m//n,点P(x,y)的轨迹为曲线C. (Ⅰ)求曲线C的方程;

(Ⅱ)设直线l:ykx1与曲线C交于M、N两点,当|MN|=的方程.

17. (13分)已知椭圆

xa

22

423

时,求直线l

yb

22

(a>b>0)的离心率e

32

63

,过点A(0,-b)和

B(a,0)的直线与原点的距离为

(1)求椭圆的方程.

(2)已知定点E(-1,0),若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C、D两点.问:是否存在k的值,使以CD为直径的圆过E点?请说明理由.

18. (13分) 设双曲线C:

xa

22

yb

22

1(a>0,b>0)的离心率为e,若准

线l与两条渐近线相交于P、Q两点,F为右焦点,△FPQ为等边三角形. (1)求双曲线C的离心率e的值;

(2)若双曲线C被直线y=ax+b截得的弦长为

bea

2

2

,求双曲线c的方

范文四:圆锥曲线与方程复习与小结

期末专题(二)圆锥曲线与方程小结与复习(学案

)

【题型归类】

题型一:圆锥曲线定义的应用

例1已知抛物线y24x,过焦点F的弦为AB,且AB=8,求AB中点M的横坐标xM.

变式练习1:已知点F12,0,F2

标是2,0,动点P满足PF2PF12,当点P的纵坐1时,点P到坐标原点的距离是 . 2

1sinM时,求动点2题型二:求动点的轨迹方程 例2在MNG中,已知NG4,当动点M满足条件sinGsinN

M的轨迹方程.

变式练习2:⊙C

:(x2y2

16内部一点A0)与圆周上动点Q连线AQ的中垂线交CQ于P,求点P的轨迹方程.

题型三:考查直线与圆锥曲线相交的弦长、中点

例4:顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线截得直线y2x1所得的弦长AB的长为,求抛物线方程.

y2

1交于A,B两点,且点P位线段AB变式训练4:过点P2,2作直线l与双曲线x32

的中点,则直线l的方程是 .

题型四:考查直线与圆锥曲线位置关系

例3:已知双曲线C:2x2y22与点P1,2,求过点P1,2的直线l的斜率的取值范围,使l与C分别有一个交点,两个交点,没有交点.

2变式训练3:直线ykxk与抛物线y2pxp0的公共点个数是( ).

(A)1 (B) 2 (C)1或2 (D)可能为0

题型五:圆锥曲线综合问题

2例5:在抛物线y4x上恒有两点关于直线ykx3对称,求k的取值范围.

x2y2

1上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x2y0,F1,F2分1.设P是双曲线29a

别是其左、右焦点,若PF13,则PF2 ( ).

(A) 1或5 (B) 6 (C )7 (D) 9

x2y222.椭圆221ab0的离心率为,Fc,0是它的一个焦点,则椭圆内接正方2ab

形的面积是( ).

(A)228c (B)c2 (C)3c2 (D)2c2 33

x2y251的渐近线l的方程为y3.若双曲线x,则双曲线的焦点到渐近线l的距离9m3

为( ).

(A)2 (B) (C) 5 (D)2

0ABCABC1204.设是等腰三角形,,则以A,B为焦点且过点C的双曲线的离心率

为( ).

(A)121 (B) (C)12 (D)1 22

x2y2

6.过双曲线221a0,b0的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M,Nab

两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率e等于 .

117.已知A,0,B是椭圆F:xy24F为圆心上一动点,线段AB的垂直22

平分线BF于P,则动点P的轨迹方程为 .

8.已知椭圆x2y4,则以1,1为中点的弦的长度为( ). 222

(A)32 (B) 2 (C)3306 (D)23

x2y2

1的右顶点为A,右焦点为F,过F

平行于双曲线的一条渐近线的9.设双曲线916

直线与双曲线交于点B,则AFB的面积为 .

x2y2

10.已知抛物线y2pxp0的焦点恰好是椭圆221ab0的右焦点F,ab2

且两曲线交点的连线过F,则该椭圆的离心率为 .

x2

y21交于A,B两点,记AOB的面积为11.直线ykxb与椭圆4

,当AB2,S1时,求直线AB的方程. SO为坐标原点

12.已知椭圆M的中心在原,离心率为

⑴求椭圆M的方程;

⑵设P是椭圆M上的一点,且点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成一个直角三角形,若1,左焦点是F12,0. 2PF1PF2,求

PF1PF2的值.

范文五:第二章圆锥曲线与方程复习与小结

选修2-1 第二章 圆锥曲线与方程 小结与复习(学案)

【知识归类】 1.曲线与方程

⑴曲线C上的点与二元方程fx,y0的实数解建立如下关系: ①曲线上的点的坐标都是这个方程的解;

②以上这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

⑵求曲线的方程的一般步骤①建系;②设点;③列方程;④化简;⑤检查. 2.圆锥曲线的定义

P的轨迹叫做椭圆,⑴平面内满足PF定义可实现椭圆1PF22a2aF1F2的点

上的点到两焦点的距离的相互转化.

⑵平面内满足PF1PF22a2aF1F2



的点P

的轨迹叫做双曲线,

定义可实现双曲线上的点到两焦点PF1PF22a2aF1F2表示焦点F2对应的一支,的距离的相互转化.

⑶平面内与一个顶点F与一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定义可实现抛物线上的点到焦点与到准线距离的相互转化. 3.圆锥曲线的标准方程

椭圆、双曲线有两种形式的标准方程,抛物线有四种形式的标准方程.根据曲线方程的形式来确定焦点的位置,根据焦点的位置选择恰当的方程形式. 4.圆锥曲线的简单几何性质

⑴圆锥曲线的范围往往作为解题的隐含条件. ⑵双曲线焦点位置不同,渐近线方程不同.

⑶椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点,抛物线有一个顶点

⑷椭圆、双曲线有两条对称轴和一个对称中心,抛物线只有一条对称轴.

⑸圆锥曲线中基本量a,b,c,e,p的几何意义及相互转化.

6.直线与圆锥曲线的位置关系

⑴直线与圆锥曲线的公共点个数等于由它们的方程构成的方程组解的个数.

⑵直线与椭圆有一个公共点,直线与椭圆相切,但直线与双曲线、抛物线不一定相切,双曲线与平行于渐近线的直线,抛物线与平行(重合)于轴的直线,都只有一个公共点但不相切.

7.直线与圆锥曲线相交的弦长

⑴求弦长的方法是将直线与圆锥曲线的方程联立后,求出两点坐标,利用两点间距离公式,常用的方法是结合韦达定理,如直线ykxb与圆锥曲线相交于

Ax1,y1,Bx2,y2两点,弦长ABk2

x1x22

4x1x2.

⑵过抛物线焦点的弦长问题结合定义来解决能化简计算. 8.元圆锥曲线有关的“中点弦”

弦的中点坐标与斜率可由曲线方程得到关系,此法称为“点差法”,灵活运用科简化计算,但要以直线与曲线相交为前提,即消元后的方程判别式大于零.

9.当直线过x轴上的点Mm,0时,设直线方程为xtym与抛物线方程

y22pxp0联立消元后的方程较简。但这种形式的直线方程不包含斜率为零的情况.

【题型归类】

题型一:圆锥曲线定义的应用

例2已知抛物线y24x,过焦点F的弦为AB,且AB=8,求AB中点M的横坐标

xM.

变式练习2:已知点F12,0,F2标是

2,0,动点P满足PF2PF12,当点P的纵坐

1

时,点P到坐标原点的距离是 . 2

1

sinM时,求动点2

题型二:求动点的轨迹方程

例1在MNG中,已知NG4,当动点M满足条件sinGsinN

M的轨迹方程.

变式练习1:在ABC中,已知AB42,且三内角A、B、C满足

2sinAsinC2sinB,建立适当的坐标系,求顶点C的轨迹方程.

题型三:考查直线与圆锥曲线相交的弦长、中点

例4:顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线截得直线y2x1所得的弦长AB的长为,求抛物线方程.

y2

1交于A,B两点,且点P位线段AB变式训练4:过点P2,2作直线l与双曲线x3

2

的中点,则直线l的方程是 . 题型四:考查直线与圆锥曲线位置关系

例3:已知双曲线C:2x2y22与点P1,2,求过点P1,2的直线l的斜率的取值范围,使l与C分别有一个交点,两个交点,没有交点.

2

变式训练3:直线ykxk与抛物线y2pxp0的公共点个数是( ).

(A)1 (B) 2 (C)1或2 (D)可能为0

题型五:圆锥曲线综合问题

2

例5:在抛物线y4x上恒有两点关于直线ykx3对称,求k的取值范围.

变式训练5:求实数m的取值范围,使抛物线yx2上存在两点关于直线ymx3对称.

【思想方法】

1.数学思想:数形结合、方程思想、分类讨论思想等 2.数学方法:

⑴求动点轨迹方程中的定义法、待定系数法,求离心率中整体换元法、分离变量法等; ⑵直线与圆锥曲线相交中点弦中“点差法”,求参数范围中的不等式法.

x2y2

1上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x2y0,F1,F2分1.设P是双曲线29a

别是其左、右焦点,若PF13,则PF2 ( ). (A) 1或5 (B) 6 (C )7 (D) 9

x2y22

2.椭圆221ab0的离心率为,Fc,0是它的一个焦点,则椭圆内接正方

2ab

形的面积是( ). (A)

228

c (B)c2 (C)3c2 (D)2c2 33

x2y25

1的渐近线l的方程为yx,则双曲线的焦点到渐近线l的距离3.若双曲线9m3

为( ).

(A)2 (B) (C)

5 (D)2

4.设ABC是等腰三角形,ABC120,则以A,B为焦点且过点C的双曲线的离心率

为( ). (A)

121 (B) (C)12 (D)1 22

x2y2

6.过双曲线221a0,b0的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M,N

ab

两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率e等于 .

11

7.已知A,0,B是椭圆F:xy24F为圆心上一动点,线段AB的垂直

22

平分线BF于P,则动点P的轨迹方程为 . 8.已知椭圆x22y24,则以1,1为中点的弦的长度为( ). (A)32 (B) 2 (C)

2

330

6 (D)23

x2y2

1的右顶点为A,右焦点为F,过F平行于双曲线的一条渐近线的9.设双曲线

916

直线与双曲线交于点B,则AFB的面积为 .

x2y2

10.已知抛物线y2pxp0的焦点恰好是椭圆221ab0的右焦点F,

ab

2

且两曲线交点的连线过F,则该椭圆的离心率为 .

x2

y21交于A,B两点,记AOB的面积为11.直线ykxb与椭圆4

,当AB2,S1时,求直线AB的方程. SO为坐标原点

12.已知椭圆M的中心在原,离心率为⑴求椭圆M的方程;

⑵设P是椭圆M上的一点,且点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成一个直角三角形,若

1

,左焦点是F12,0. 2

PF1PF2,求

PF1PF2

的值.

选修2-1 第二章 圆锥曲线与方程 小结与复习(教案)

【知识归类】

1.曲线与方程

⑴曲线C上的点与二元方程fx,y0的实数解建立如下关系: ①曲线上的点的坐标都是这个方程的解;

②以上这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

⑵求曲线的方程的一般步骤①建系;②设点;③列方程;④化简;⑤检查. 2.圆锥曲线的定义

P的轨迹叫做椭圆,⑴平面内满足PF定义可实现椭圆1PF22a2aF1F2的点

上的点到两焦点的距离的相互转化.

⑵平面内满足PF1PF22a2aF1F2



的点P

的轨迹叫做双曲线,

定义可实现双曲线上的点到两焦点PF1PF22a2aF1F2表示焦点F2对应的一支,的距离的相互转化.

⑶平面内与一个顶点F与一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定义可实现抛物线上的点到焦点与到准线距离的相互转化.

3.圆锥曲线的标准方程

椭圆、双曲线有两种形式的标准方程,抛物线有四种形式的标准方程.根据曲线方程的形式来确定焦点的位置,根据焦点的位置选择恰当的方程形式.

4.圆锥曲线的简单几何性质

⑴圆锥曲线的范围往往作为解题的隐含条件.

⑵椭圆、双曲线有两条对称轴和一个对称中心,抛物线只有一条对称轴. ⑶椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点,抛物线有一个顶点. ⑷双曲线焦点位置不同,渐近线方程不同.

⑸圆锥曲线中基本量a,b,c,e,p的几何意义及相互转化.

6.直线与圆锥曲线的位置关系

⑴直线与圆锥曲线的公共点个数等于由它们的方程构成的方程组解的个数.

⑵直线与椭圆有一个公共点,直线与椭圆相切,但直线与双曲线、抛物线不一定相切,双曲线与平行于渐近线的直线,抛物线与平行(重合)于轴的直线,都只有一个公共点但不相切.

7.直线与圆锥曲线相交的弦长

⑴求弦长的方法是将直线与圆锥曲线的方程联立后,求出两点坐标,利用两点间距离公式,常用的方法是结合韦达定理,如直线ykxb与圆锥曲线相交

Ax1,y1,Bx2,y2两点,弦长ABk2x1x224x1x2.

⑵过抛物线焦点的弦长问题结合定义来解决能化简计算. 8.元圆锥曲线有关的“中点弦”

弦的中点坐标与斜率可由曲线方程得到关系,此法称为“点差法”,灵活运用科简化计算,但要以直线与曲线相交为前提,即消元后的方程判别式大于零.

9.当直线过x轴上的点Mm,0时,设直线方程为xtym与抛物线方程

y22pxp0联立消元后的方程较简。但这种形式的直线方程不包含斜率为零的情况.

【题型归类】

题型一:圆锥曲线定义的应用

例2已知抛物线y24x,过焦点F的弦为AB,且AB=8,求AB中点M的横坐标

xM.

【审题要津】根据定义,转化为弦长,可先求出A,B两点横坐标之和. 解:有已知焦点F1,0,准线x1,设Ax1,y1,Bx2,y2,则

ABAFBFx11x218, x1x26,

故xM

x1x2

3. 2

2

【方法总结】抛物线y2pxp0中,过焦点F的弦为AB,则有

ABxAxBp,其中xAxB可利用根与系数的关系表示出,进而可以使弦长问题得

到简化.

变式练习2:已知点F12,0,F2标是

2,0,动点P满足PF2PF12,当点P的纵坐

16时,点P到坐标原点的距离是 22

题型二:求动点的轨迹方程

例1在MNG中,已知NG4,当动点M满足条件sinGsinN

1

sinM时,求动点2

M的轨迹方程.

【审题要津】由题设条件可建立M的几何灯饰,进而求出M的轨迹方程.

解:以NG边所在的直线为x轴,NG的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,则

N2,0,G2,0,由正弦定理得sinG

1

sinGsinNsinM,

21

MNMG424.

2

MNR

,sinN

MGR

,sinM

NGR

,

由双曲线的定义知,点M的轨迹为双曲线的右支,所以顶点M的轨迹方程是

y2

1x1. x3

2

【方法总结】寻找动点M的约束关系很关键.解答本题应注意:(1)将角的关系

sinGsinN

11

sinM换为距离关系MNMGNG,联想双曲线的定义使问题简22

化;(2)不可忽视三角形的条件,由点M、N、G不共线,除去点1,0.

变式练习1:在ABC中,已知AB42,且三内角A、B、C满足

2sinAsinC2sinB,建立适当的坐标系,求顶点C的轨迹方程.

解:以AB边所在的直线为x,AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,则

abc

,sinB,sinC. 2R2R2R

c

2sinAsinC2sinB 2ac2b即ba,从而

2

1

CACBAB22AB.

2

由双曲线的定已知,点C的轨迹为双曲线的右支,

A22,0,B22,0.由正弦定理得sinA



a2,c22,b2c2a26.

x2y2

1x2. 所以顶点C的轨迹方程为26



题型三:考查直线与圆锥曲线相交的弦长、中点

例4:顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线截得直线y2x1所得的弦长AB的长为,求抛物线方程.

【审题要津】设抛物线方程y2px与直线方程联立,利用弦长公式. 解:依题意,可设抛物线方程为y2px

2

2

p0,

A,B两点的坐标分别为

y22px,

x1,y1,x2,y2,则由方程组可得

y2x1,

4x242px10,

因为抛物线和直线有两个不同的交点,42p440,解得p4或p0,

2

又x1x2

2p41

,x1x2, 44

ABk2

x1x224x1x2

,

整理可得p24p120,

p6或p2,

故所求抛物线方程为y212x或y24x.

【方法总结】⑴解答本题应熟悉弦长的计算公式;⑵注意设点而不求点,掌握结合韦达定理,

整体代换的解题技巧.

y2

1交于A,B两点,且点P位线段AB变式训练4:过点P2,2作直线l与双曲线x3

2

的中点,则直线l的方程是 3xy40 . 题型四:考查直线与圆锥曲线位置关系

例3:已知双曲线C:2x2y22与点P1,2,求过点P1,2的直线l的斜率的取值范围,使l与C分别有一个交点,两个交点,没有交点.

【审题要津】考察直线与圆锥曲线的位置关系时转化成方程组的解的个数问题. 解:⑴当l垂直于x轴时,此直线与双曲线相切,有一个交点.

⑵当l不与x轴垂直时,设直线l为y2kx1带入双曲线方程中,有

2kx

222

2

2k22kxk24k60,



当k2时,即k2时,有一解. 当k2时,4k22k令0,可得k



2

42k2k24k64832k,



3. 2

3. 23

令0,即4832k0,此时k.

2

3

当k2,或k,或k不存在时,直线与双曲线只有一个公共点;

2

令0,即4832k0,此时k

当k2,或2k当k

2,或2k

3

时,直线与双曲线有两个交点; 2

3

时,直线与双曲线没有交点. 2

【方法总结】处理直线与圆锥曲线的位置关系时,常用联立消元法得到一元二次方程,讨论其解的个数,并应注意斜率不存在的情况.

变式训练3:直线ykxk与抛物线y22pxp0的公共点个数是( C ). (A)1 (B) 2 (C)1或2 (D)可能为0 题型五:圆锥曲线综合问题

例5:在抛物线y24x上恒有两点关于直线ykx3对称,求k的取值范围. 【审题要津】设B,C两点关于直线ykx3对称,易得直线BC:xkym,由B,C两点关于直线ykx3对称可得m与k的关系式,而直线BC与抛物线有两交点,

0,即可求得k的范围.

解:设B,C两点关于直线ykx3对称,直线BC方程为xkym,代入y24x,得

y24ky4m0,

设Bx1,y1,Cx2,y2,BC中点Mx0,y0,则

y0

y1y2

2k,x02k2m, 2

点Mx0,y0在直线l上,2kk2k2m3,

2k32k3

m,

k

又BC与抛物线交于不同两点,

16k216m0,

k32k3

0, 把m代入化简得

k

解得1k0.

【方法总结】对称问题是高考的热点之一,由对称易得两关系式,本题运用了“设而不求”,解决本题的关键是由B,C两点在抛物线上得“0”.

变式训练5:求实数m的取值范围,使抛物线yx上存在两点关于直线ymx3对

2

称.

解:设抛物线上两点Ax1,y1,Bx2,y2关于直线ymx3对称,AB中点Mx0,y0,显然m0,则kAB

2

y2y1x2x121x1x2,① x2x1x2x1m

1

2

x1x22x1x2m22x1x2, x1x2y1y2x12x21

x0,y0

22m2222

113m,② 将x0,y0代入方程ymx3,解得x1x22

22m

2

由①②知x1,x2是方程x

2

111100m的两根,由可解得 x3m2

2m22m

【思想方法】

1.数学思想:数形结合、方程思想、分类讨论思想等 2.数学方法:

⑴求动点轨迹方程中的定义法、待定系数法,求离心率中整体换元法、分离变量法等; ⑵直线与圆锥曲线相交中点弦中“点差法”,求参数范围中的不等式法.

x2y2

1上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x2y0,F1,F2分1.设P是双曲线29a

别是其左、右焦点,若PF13,则PF2 ( C ). (A) 1或5 (B) 6 (C )7 (D) 9

x2y22

2.椭圆221ab0的离心率为,Fc,0是它的一个焦点,则椭圆内接正方

2ab

形的面积是( B ). (A)

228

c (B)c2 (C)3c2 (D)2c2 33

x2y25

1的渐近线l的方程为yx,则双曲线的焦点到渐近线l的距离3.若双曲线9m3

为( C ).

(A)2 (B) (C)

5 (D)2

ABCABC120 4.设是等腰三角形,,则以A,B为焦点且过点C的双曲线的离心率

为( B )

.

(A)

121 (B) (C)12 (D)1 22

x2y2

6.过双曲线221a0,b0的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M,N

ab

两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率e11

7.已知A,0,B是椭圆F:xy24F为圆心上一动点,线段AB的垂直

22

平分线BF于P,则动点P的轨迹方程为 x

2

2

42

y1 . 3

8.已知椭圆x22y24,则以1,1为中点的弦的长度为( C ). (A)32 (B) 2 (C)

330

6 (D)23

x2y2

1的右顶点为A,右焦点为F,过F平行于双曲线的一条渐近线的9.设双曲线

916

直线与双曲线交于点B,则AFB的面积为

32

. 15

x2y2

10.已知抛物线y2pxp0的焦点恰好是椭圆221ab0的右焦点F,

ab

2

且两曲线交点的连线过F

x2

y21交于A,B两点,记AOB的面积为11.直线ykxb与椭圆4

,当AB2,S1时,求直线AB的方程. SO为坐标原点

解:设A,B两点坐标为Ax1,y1,Bx2,y2,

ykxb,

2122由x2得kx2kbxb10, 2

4y1,

4

4k2b21 ①

4k2b21

ABkx1x2k2 ②

1k24

2

2

设O到AB得距离为d,则

2Sd1,又因为d

AB

bk1

2

,

b2k21代入②式并整理得,k4k2

解得k

2

1

0, 4

123

,b,代入①检验,0, 22

故直线方程式y

26226

或y或y或xxx

222222

y

26

x

22

1

,左焦点是F12,0. 2

12.已知椭圆M的中心在原,离心率为⑴求椭圆M的方程;

⑵设P是椭圆M上的一点,且点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成一个直角三角形,若

PF1PF2,求

PF1PF2

的值.

x2y2

解:⑴设椭圆方程为221ab0,由已知得:

ab

c2,

c1 a2

a4,b23

x2y2

1. 故所求椭圆方程为

1612

⑵由已知PF1PF28,F1F24, 又PF1PF2,

RtPF1F2中,只可能PF1,F1F2为斜边.

若PF2F190,则PF1

2

PF2F1F2,

22

即PF1

2

8PF116,

2

得PF15,PF23,

PF1PF2

5

. 3

2

若F2PF190,则F2F1

PF2F1P,

22

即168PF1

2

PF2

1,

此方程无解. 综上可知,PF1PF

52

3

.

范文六:教案10:圆锥曲线与方程小结与复习(2课时)

圆锥曲线与方程小结与复习(一)

教学目标:

1、通过小结与复习,使同学们完整准确地理解和掌握三种曲线的特点以及它们之间的区别与联系;2、通过本节教学使学生较全面地掌握本章所教的各种方法与技巧,尤其是解析几何的基本方法――坐标法;并在教学中进一步培养他们形与数结合的思想、化归的数学思想以及“应用数学”的意识;3、结合教学内容对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育。 教学重点:三种曲线的标准方程和图形、性质。 教学难点:做好思路分析,引导学生找到解题的落足点。 教学过程

(Ⅰ)圆锥曲线知识梳理 (一)椭圆

1.定义

(1)第一定义:若F1,F2是两定点,P为动点,且则P点的轨迹是椭PF1PF22aF1F2 (a为常数)圆。

l为定直线,(2)第二定义:若F1为定点,动点P到F1的距离与到定直线l的距离之比为常数(e0

则P点的轨迹是椭圆。

a2a2

(3)焦半径:PF1e(x)exa,PF2e(x)exa

cc

2.标准方程:

x2y2y2x2

(1)焦点在x轴上:221 (ab0);焦点在y轴上:221 (ab0);

abab

(2)焦点的位置标准方程形式 3.几何性质(以焦点在x轴上为例) (1)范围: axa 、byb

(2)对称性:长轴长=2a,短轴长=2b,焦距=2c

ac

x(3)离心率e,准线方程

ca

(4)有用的结论:PF12aPF2,acPF1ac, A1F1A2F2ac,

2

A1F2A2F1ac,顶点与准线距离、焦点与准线距离分别与a,b,c有关

.

(5)PF、三角形面积公式将有关线段PF1、PF2、2c,有关角F1PF21F2中经常利用余弦定理...........结合起来,建立PF1+PF2、PF1PF2等关系

(6)椭圆上的点有时常用到三角换元:(二)双曲线

1.定义:(1)第一定义:若F1,F2是两定点,PF1PF22aF1F2(a为常数),则动点P的轨迹是双曲线。(2)第二定义:若动点P到定点F与定直线l的距离之比是常数e(e>1),则动点P的轨迹是双曲线。(3)焦半径(点P在右

xacos

(椭圆的参数方程)

ybsin

a2a2

),PF2e(x) 支):PF1e(xcc

2.标准方程

x2y2

(1)焦点在x轴上:221 (a0,b0);焦点在y轴上:

aby2x2

21 (a0,b0). 2ab

(2)焦点的位置标准方程形式 3.几何性质(以焦点在x轴上为例) (1)范围:xa或xa、y(,) (2)对称性:实轴长=2a,虚轴长=2b,焦距=2c.

2

ac

(3)离心率e,准线方程x

ca

x2y2b

(4)渐近线方程:220yx.与此有关的结论:若渐近线方程为

aab

xyxyxyb

yx0双曲线可设为22;若双曲线与221有公共渐近线,可设为

abaababx2y2

2(0,焦点在x轴上;0,焦点在y轴上). 2ab

(5)当ab时离心率e可设为xy;

2

2

2222

2两渐近线互相垂直,分别为y=x,此时双曲线为等轴双曲线,

(5)注意PF1F2中结合定义PF1PF22a与余弦定理

cosF1PF2,将有关线段PF1、PF2、F1F2和角结合起来。

(三)抛物线

1.定义:到定点F与定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线。即:到定点F的距离与到定直线l的距离之比是常数e(e=1)。

2.标准方程(以焦点在x轴的正半轴为例): y22px(p0)(其中p为焦点到准线的距离——焦参数);

3.几何性质

ppp

,0),通径AB2p,准线:x; 焦半径:CFx0,过焦

222

pp

点弦长CDx1x2x1x2p.

22

p

(2)几何特征:焦点到顶点的距离=;焦点到准线的距离=p;通径长=2p(通径是最短的焦点弦),

2

(1)焦点:(

顶点是焦点向准线所作垂线段中点。

y

(3)抛物线y2px上的动点可设为P(,y)或P(2pt2,2pt)或P(x,y),其中y22px

2p

2

2

(四)直线与圆锥曲线的关系判断

1.直线与双曲线:当直线与双曲线的渐进线平行时,直线与双曲线仅有一个交点. 2.直线与抛物线:当直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线仅有一个交点.

(五)圆锥曲线的统一定义:平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之 比是一个常数e(e>0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.

其中定点F(c,0)称为焦点,定直线l称为准线,正常数e称为离心率.当0<e<1时,轨迹为椭圆;当e=1时,轨迹为抛物线;当e>1时,轨迹为双曲线。 (Ⅱ)课堂练习: (Ⅲ)作业布置:

圆锥曲线与方程小结与复习(二)

教学目标:

1、通过小结与复习,使同学们完整准确地理解和掌握三种曲线的特点以及它们之间的区别与联系。2、通过本节教学使学生较全面地掌握本章所教的各种方法与技巧,尤其是解析几何的基本方法――坐标法;并在教学中进一步培养他们形与数结合的思想、化归的数学思想以及“应用数学”的意识。3、结合教学内容对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育。 教学重点:三种曲线的标准方程和图形、性质。 教学难点:做好思路分析,引导学生找到解题的落足点。 教学过程: (一)范例探析:

例1、 ⑴ 中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为1/2、长轴长为8; ⑵ 和椭圆9x+4y=36有相同的焦点,且经过点(2,-3);

⑶ 中心在原点,焦点在x轴上,从一个焦点看短轴两端的视角为直角,焦点到长轴上较近顶点的距离是

2

2

分析: 求椭圆的标准方程,首先要根据焦点位置确定方程形式,其次是根据a=b+c及已知条件确定a、b2222

2

xy2y2x2

1或1解 ⑴ 焦点位置可在x轴上,也可在y轴上,因此有两解:

16121612

a2b25xy

⑵ 焦点位置确定,且为(0,5),设原方程为221,(a>b>0),由已知条件有9 4

ab221

ba

2

2

y2x

a15,b10,故方程为

1510

2

2

bcx2y2222

⑶ 设椭圆方程为221,(a>b>0)由题设条件有 及a=b+c,解得

abacxy2

b=5,a,故所求椭圆的方程是

105

x2y2

例2、从椭圆221,(a>b>0)上一点M向x轴所作垂线恰好通过椭圆的左焦点F1,A、B分别是椭圆

ab

长、短轴的端点,AB∥Q是椭圆上任意一点,当QF2⊥AB时,延长QF2与椭圆交于另一点P,若⊿F2PQ

的面积为203x2y2

解 b=c,a=2c,可设椭圆方程为222cc

∵PQ⊥AB,∴kPQ=-

1a

2,则PQ的方程为y=2(x-c),代入椭圆方程整理得5x2-8cx+2c2=0,根kABb

6226

c c,又点F1到PQ的距离d=

53

据弦长公式,得PQ∴SF1PQ

1x2y242422

PQdc ,由c203,得c25,故所求椭圆方程为2502555

例3、 直线ykx1与双曲线3x2y21相交于A、B两点,当a为何值时,A、B在双曲线的同一支上?当a为何值时,A、B分别在双曲线的两支上?

解: 把ykx1代入3x2y21整理得:(3a2)x22ax20„„(1)

当a3时,244a>0得6a6且a3时,方程组有两解,直线与双曲线有两

A、B在双曲线的同一支,须x1x2

2

>0 ,所以

a3或aa23

故当6a3或a6时,A、B两点在同一支上;当3a时,A、By2

1,过点 A(2,1)的直线与已知双曲线交于P、Q1)求PQ中点的例4、 已知双曲线x2

2

轨迹方程;(2)过B(1,1)能否作直线l,使l与所给双曲线交于两点M、N,且B为MN的中点,若存在,求出l解:(1)设P(x1,y1)、Q(x2,y2),其中点为(x,y),PQ的斜率为k,若PQ的斜率不存在显然(2,0)点是

yy2

PQ的斜率存在,由题设知:x111„(1) x221„(2)

22

2

22

(2)-(1)得:(x1x2)(x2x1)又k

xx2k(y1y2)(y2y1)xk

01,即„(3)

2y2y1y22

y122

代入(3)整理得:2xy4xy0 x2

(2)显然过B点垂直Xl的方程为y-1=k(x-1)

y2

1,整理得:2k2x22k1kxk22k30„※ 代入双曲线方程x2

2



设M(x1,y1)、N(x2,y2)则有x1x2

2k1kk=2

2k2

又直线与双曲线必须有两不同交点,所以※式的4k21k42k2k22k32



把K=2代入得8

解:设l与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|3.

由距离公式

|AB|=(x1x2)2(y1y2

)2y1y2|y1y2|则有 (y1y2)29.

2

p

xy1,由2消去x,得y22pyp20. 

y22p(x1).

(2p)24p20.

y1y22p,y1y2p2.

从而(y1y2)2(y1y2)24y1y2,即(2p)24p29.由于p>0,解得p

2

34

例6、 如图,线段AB过x轴正半轴上一点M(m,0)(m>0),端点A、B到x轴距离之积为2m,以x轴为对称轴,过A,O,B (1)求抛物线方程;(2)若tgAOB1,求m解:(1)当AB不垂直x轴时,设AB方程为yk(xm).抛物线方程y22px(p0) yk(xm)由得ky22py2pkm0,y1y22pm|y1y2|2pm2m 2

y2px

p1.当ABX轴时,A,B分别为(m,2Pm),(m,2pm),由题意有2pm2m,p1,

故所求抛物线方程为y22x.

(2)设A(y1,y1),B(y2,y2)由(1)知

22

2

|y1y2|(y1y2)24y1y248m, y1y22m,y1y2 

kk2又tgAOB1

||22k1,k2,y1y21

y1y21

y1y2

m642或m642

2

2

22

即y1y242|y1y2|,2m42

①, 4

8mk2

平方后化简得m212m44

k

2

m212m40,

又由①知2m40,m2m的取值范围为0m642当m64且ABx轴时,

y12(21),y22(21),y1y24(21)22m.tanAOB1符合条件,

故符合条件的m取值范围为0m642. (二)课堂练习:

1.直线ykx1与双曲线x2y21的左支仅有一个公共点,求K1k1或k

2

y2

1与点P2.已知双曲线x(1,2),过P点作直线L与双曲线交于A、B两点,若P为AB1)2

2

求直线AB2)若Q为(-1,-1),证明不存在以Q AB:x-y+1=0

y2

1(x1),一条长为8的弦AB的两端在曲线上运动,其中点为M,求距Y轴最近的点3.双曲线x3

2

5

M,22



(三)小结 :(1)直线与曲线的位置关系有相离、相切、相交三种。(2)判断其位置关系看直线是否过定点,在根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系(3)可通过要根据斜率作进一不的判

定。

(四)课后作业:

范文七:圆锥曲线方程总结

圆锥曲线方程后期复习系列

北海七中高二数学备课组

1、已知定点F1(3,0),F2(3,0),在平面上动点P的轨迹中是椭圆的是(答:C)

2

A.PF1PF24 B.PF1PF26 C.PF D.PFPF2PF10112

2

12

8表示的曲线是_____(答:双曲线的左支) 3、已知P为抛物线y点A的坐标是(6,

12

x上的动点,点P在x轴上的射影为M, 2

1719),则PM的最小值是 _____ (答:) 22

11x2y2

4、已知方程1表示椭圆,则k的取值范围为___(答:(3,)(,2))5、

223k2k

若x,yR,且3x22y26,则xy的最大值是_,x2y2的最小值是_

2) 6、方程Ax2By21表示双曲线的充要条件是什么?(A,B异号)。

x2y27、双曲线的离心率等于,且与椭圆1有公共焦点,则该双曲线的方程

942

x2

(答:y21);

4

F2在坐标轴上,8、设中心在坐标原点O,焦点F1、离心率e2的双曲线C过点P(4,),则C的方程为_______(答:x2y26)

3x2y2

9、方程1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是(,1)(1,)

2m12m

25x2y210、若椭圆,则m的值是__(答:3或); 1的离心率e

35m511、以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时, 则椭圆长轴的最小值为__(答:22)

12、双曲线的渐近线方程是3x

2y0,则该双曲线的离心率等于13、双曲线ax2by2

1的离心率为a:b=4或

1 4

或_ 2

3

x2y2

14、设双曲线221(a>0,b>0)中,离心率e∈[2,2],则两条渐近线夹

ab



角θ的取值范围是________(答:[,]);

32

15、设a0,aR,则抛物线y4ax2的焦点坐标为________(答:(0,

1

)); 16a

16、y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点,则k的取值范围是:(-

,-1)); 3

x2y2

1恒有公共点,m的取值范围是[1,5)∪(5,+∞) 17、y―kx―1=0与椭圆

5mx2y2

1的右焦点直线交双曲线于A、B两点,若│AB︱=4, 18、过双曲线12

则这样的直线有___条(答:3)

19、过点(2,4)作直线与抛物线y28x只有一个公共点,这样的直线有____(答:2);

x2y2

20、过点(0,2)与双曲线1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为__

(答:

916

4,); 3

y221、过双曲线x1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点,若AB4,则满足条件

2

2

的直线l有____条(答:3);

22、过抛物线y24x的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是p、q,则

11

_______(答:1); pq

x2y2

1的右焦点为F,右准线为l,设某直线m交其左支、右支和右准23、设双曲线

169

线分别于P,Q,R,则PFR和QFR的大小关系为___________(答:等于); 24、求椭圆7x24y228上的点到直线3x

2y16025、直线yax1与双曲线3x2y21交于A、B两点。 ①当a为何值时,A、B

分别在双曲线的两支上? ②当a为何值时,以AB为直径的圆过坐标原点? a1;

35x2y2

26、椭圆1上点P到椭圆左焦点的距离为3,则点P到右准线的距离为:;

32516

27、已知抛物线方程为y28x,若抛物线上一点到y轴的距离等于5,则它到抛物线的焦点的距离等于____;

28、若该抛物线上的点M到焦点的距离是4,则点M的坐标为_____(答:7,(2,4));

x2y229、点P在椭圆1上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,

259

则点P的横坐标为____(答:

25

); 12

30、抛物线y22x上的两点A、B到焦点的距离和是5,则线段AB的中点到y轴的距离为______(答:2);

x2y2

31、椭圆F为右焦点,在椭圆上有一点M,使MP2MF 之1内有一点P(1,1),

43

值最小,则点M的坐标为_______(答:(32、短轴长为,离心率e

26

,1)); 3

2

的椭圆的两焦点为F1、F2,过F1作直线交椭圆于A、B3

两点,则ABF2的周长为________(答:6);

33、设P是等轴双曲线x2y2a2(a0)右支上一点,F1、F2是左右焦点,若PF2F1F20,|PF1|=6,则该双曲线的方程为(答:x2y24);

x2y2→ ·PF→

94

的横坐标的取值范围是

(答:(

); 55

35、双曲线的虚轴长为4,离心率e=

6

,F1、F2是它的左右焦点,若过F1的直线与双2

曲线的左支交于A、B两点,且AB是AF2与BF2等差中项,则AB

=( 36、已知双曲线的离心率为2,F1、F2是左右焦点,P为双曲线上一点,且F1PF260,

SPF1F2

x2y2

.求该双曲线的标准方程(答:1);

412

37、过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 若x1+x2=6,那么|AB|等于_______(答:8);

38、过抛物线y22x焦点的直线交抛物线于A、B两点,已知|AB|=10,O为坐标原点,则ΔABC重心的横坐标为_______(答:3);

x2y2

1弦被点A(4,2)平分,这条弦所在的直线方程是:x2y80; 39、椭圆

369x2y2

40、已知直线y=-x+1与椭圆221(ab0)相交于A、B两点,且线段AB的中点

ab

在直线L:x-2y=0上,则此椭圆的离心率为_______

x2y2

41、试确定m的取值范围,使得椭圆1上有不同的两点关于直线y4xm对称

43

(答:);



4x2y2x2y2

1 42、与双曲线1有共同的渐近线,且过点(3,2)的双曲线为:94916

43、已知动点P到定点F(1,0)和直线x3的距离之和等于4,求P的轨迹方程. (答:y212(x4)(3x4)或y24x(0x3));

44、抛物线顶点在原点,坐标轴为对称轴,过1,4点,抛物线为:y216x,x2

1

y; 4

45、由动点P向圆x2y21作两条切线PA、PB,切点分别为A、B,∠APB=600,则动点P的轨迹方程为

(答:x2y24);

46、点M与点F(4,0)的距离比它到l:x50的距离小于1,点M的轨迹方程:y216x 47、一动圆与两圆⊙M:x2y21和⊙N:x2y28x120都外切, 则动圆圆心的轨迹为

(答:双曲线的一支);

48、已知定圆A:(x1)2y216,圆心为A,动圆M过点B(1,0)且和圆A相切,动圆的圆心M的轨迹记为C.求曲线C的方程;

49、ABC周长16, A(3,0),B(3,0)动点P是其重心,当C运动时,

9x29y2

则P的轨迹方程为:1y0

2516

50、AB是圆O的直径,且|AB|=2a,M为圆上一动点,作MN⊥AB,垂足为N,在OM上取点P,使|OP||MN|,求点P的轨迹。(答:x2y2a|y|);

1

51、点P(x1,y1)在x2y21上运动,则Q(x1y1,x1y1)的轨迹方程y22x1(|x|));

2

52、过抛物线x24y的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点, 则弦AB的中点M的轨迹方程是________(答:x22y2);

53、已知点A,B分别是射线l1:yxx≥0,l2:yxx≥0上的动点,O为坐标原点,且OAB 的面积为定值2.求线段AB中点M的轨迹C的方程;

x2y2

54、已知椭圆221(ab0)的左、右焦点分别是F1(-c,0)、F2(c,0),Q

ab

是椭圆外的动点,满足|F1|2a.点P是线段F1Q与该椭圆的交点,点T在线段F2Q上,并且满足TF20,|TF2|0.

(1)设x为点P的横坐标,证明|F1P|a(2)求点T的轨迹C的方程;

(3)试问:在点T的轨迹C上,是否存在点M,使△F1MF2的面积S=b2.若存在,求∠F1MF2的正切值;若不存在,请说明理由.

c

x; a

b2b2

(1)略;(2)xya;(3)a时不存在;a时存在,∠F1MF2=2

cc

2

2

2

55、已知定点C(1,0)及椭圆x23y25,过点C的动直线与椭圆相交于A,B两点.

1

(Ⅰ)若线段AB中点的横坐标是,求直线AB的方程;

2

(Ⅱ)在x轴上是否存在点M,使为常数?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

56、直线l过抛物线y2x的焦点F,交抛物线于A,B两点,且点A在x轴上方,若直

线l的倾斜角…, 则|FA|的取值范围是( )

4

13

(A)[,)

42

131312

(B

)(, (C)(,] (D)(,1]

424442

0),B(b,0),抛物线y24x上存在点C使ABC为等边三角形,则b____ 57、两点A(1,

x2y2

58、已知双曲线221(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,若在双曲线的右

ab

支上存在一点P,使得PF13PF2,则双曲线的离心率e的取值范围为 59、已知P为抛物线y

1217

x上的动点,点P在x轴上的射影为M,点A的坐标是(6,),22

则PM的最小值是( ) A 8 B

1921 C 10 D 22

x2y2

60、已知双曲线C1:221(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2,抛物线C2的顶点

ab

在原点,它的准线与双曲线C1的左准线重合,若双曲线C1与抛物线C2的交点P满足

PF2F1F2,则双曲线C1的离心率为 A

B

C

D

范文八:高中数学第8章圆锥曲线方程小结与复习2

课 题:小结与复习(二)

教学目的:

1解析几何的基本方法――坐标法;并在教学中进一步培养他们形与数结合的思3 教学重点:三种曲线的标准方程和图形、性质教学难点:授课类型:新授课课时安排:1课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程:

一、讲解范例:

例1 ⑴ 中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为1/2、长轴长为8; ⑵ 和椭圆9x2+4y2=36有相同的焦点,且经过点(2,-3);

⑶ 中心在原点,焦点在x轴上,从一个焦点看短轴两端的视角为直角,焦点到

长轴上较近顶点的距离是

分析: 求椭圆的标准方程,首先要根据焦点位置确定方程形式,其次是根据a2=b2+c2及已知条件确定a2、b2解 ⑴ 焦点位置可在x轴上,也可在y轴上,

xy2y2x2

1或1 因此有两解:

16121612

x2y2

⑵ 焦点位置确定,且为(0,),设原方程为221,(a>b>0),

ab

a2b25

y2x22

由已知条件有9 a15,b10,故方程为4

1510221

ba

x2y2

⑶ 设椭圆方程为221,(a>b>0)

ab

由题设条件有

bc

ac 及a2=b2+c2,解得b=5,a,

xy2

故所求椭圆的方程是

105

x2y2

例2 从椭圆221,(a>b>0)上一点M向x轴所作垂线恰好通过椭圆的左

ab

焦点F1,A、B分别是椭圆长、短轴的端点,AB∥Q是椭圆上任意一点,

当QF2⊥AB时,延长QF2与椭圆交于另一点P,若⊿F2PQ的面积为203,解 x2y2

∵b=c,a=2c,可设椭圆方程为222cc

∵PQ⊥AB,∴kPQ=-

1a

2,则PQ的方程为y=2(x-c), kABb

代入椭圆方程整理得5x2-8cx+2c2=0, 根据弦长公式,得PQ62

c, 5

又点F1到PQ的距离d=

26

c 3

∴SF1PQ

14242

PQdc ,由c3,得c225, 255

x2y2

故所求椭圆方程为

5025

x2

y21,过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A、例3 已知椭圆:

69

B两点,求弦AB解:a=3,b=1,c=22; 则F(-22,0)

x2

y21联立消去y得: (x22)与由题意知:l:y

93

1

4x22x150

设A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1,x2是上面方程的二实根,由违达定理,

x1x22

x1x2

xx2315

,xM1又因为A、B、F都是直线l上的点, 422

所以|AB|=|x1x2|

1

3

2(x1x2)24x1x2

2152

例4 中心在原点,一个焦点为F1(0,)的椭圆截直线y3x2所得弦的中点横坐标为

1

2

分析:根据题意,可设椭圆的标准方程,与直线方程联立解方程组,利用韦达定理及中点坐标公式,求出中点的横坐标,再由F1(0,)知,c=,

a2b250,最后解关于a、bx2y2

解:设椭圆的标准方程为221(ab0),

ab

由F1(0,50)得 ab50

把直线方程y3x2代入椭圆方程整理得:

2

2

(a29b2)x212b2xb2(4a2)0

设弦的两个端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则由根与系数的关系得:

12b2

x1x22,

a9b2

x1x216b21

2又AB的中点横坐标为, 2

222a9ba23b2,与方程a2b250联立可解出a275,b225

x2y2

1 故所求椭圆的方程为:

7525

例5 直线ykx1与双曲线3x2y21相交于A、B两点,当a为何值时,A、B在双曲线的同一支上?当a为何值时,A、B分别在双曲线的两支上? 解: 把ykx1代入3x2y21 整理得:(3a2)x22ax20„„(1) 当a3时,244a由>0得a6且a3时,方程组有两解,直线与双曲线有两个交若A、B在双曲线的同一支,须x1x2

2

>0 ,所以a

或aa23

故当6a3或a6时,A、B两点在同一支上;当3a3时,A、B例6 已知双曲线的中心在原点,过右焦点F(2,0)作斜率为双曲线于M、N 两点,且MN=43

的直线,交5

x2y2

解:设所求双曲线方程为221(a0,b0),由右焦点为(2,0C=2,

ab

b=4-a

22

x2y231则双曲线方程为2,设直线MN的方程为:y(x2),代入

a4b25

双曲线方程整理得:(20-8a)x+12ax+5a-32a=0

2

2

2

4

2

12a2

设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x2,

208a242

x1x23

MN5

8



5

2

2

x1x24x1x2

2

12a25a432a2208a24208a24 

2

解得:a1,b41y2

故所求双曲线方程为:x3

2

点评:利用待定系数法求曲线方程,运用一元二次方程得根与系数关系将两根之和与积整体代入,体现了数学的整体思想,也简化了计算,要求学生熟y2

1,过点 A(2,1)的直线与已知双曲线交于P、Q例7 已知双曲线x2

2

1)求PQ中点的轨迹方程;(2)过B(1,1)能否作直线l,使l与所给双曲线交于两点M、N,且B为MN的中点,若存在,求出l的方程,不存在说明解:(1)设P(x1,y1)、Q(x2,y2),其中点为(x,y),PQ的斜率为k, 若PQ的斜率不存在显然(2,0若PQ的斜率存在,由题设知:

yy2

x111„(1) x221„(2)

22

2

22

(2)-(1)得:(x1x2)(x2x1) 

(y1y2)(y2y1)

0

2

x1x2kxk

,即„(3)

y2y1y22

又k

y1

代入(3)整理得:2x2y24xy0 x2

(2)显然过B点垂直Xl的方程为y-1=k(x-1)

y2

1,整理得: 代入双曲线方程x2

2

2kx

2

2

2k1kxk22k30„※

2k1kk=2 22k

设M(x1,y1)、N(x2,y2)则有x1x2

又直线与双曲线必须有两不同交点,

所以※式的4k21k42k2k22k32



把K=2代入得8

由距离公式

|AB|=(x1x2)2(y1y2

)2y1y2|y1y2|

则有 (y1y2)29.

2

p

xy1,由2消去x,得y22pyp20. 

y22p(x1).

(2p)24p20.

y1y22p,y1y2p2.

从而(y1y2)2(y1y2)24y1y2,即(2p)24p29.由于p>0,解得p

2

3 4

例9 如图,线段AB过x轴正半轴上一点M(m,0)(m>0),端点A、B到x轴

距离之积为2m,以x轴为对称轴,过A,O,B三点作抛物 (1)求抛物线方程;

(2)若tgAOB1,求m解:(1)当AB不垂直x轴时,设AB方程为

yk(xm).抛物线方程y22px(p0)

yk(xm)由得ky22py2pkm0,y1y22pm|y1y2|2pm2m 2

y2px

p1.当ABX轴时,A,B分别为(m,2Pm),(m,pm),由题意有2pm2m,p1,

故所求抛物线方程为y22x.

(2)设A(y1,y1),B(y2,y2)由(1)知

22

2

y1y22m,y1y2

k

4

8m, 2k22k1,k2,

y1y2

2

2

|y1y2|(y1y2)24y1y2

又tgAOB1

|

22

|y1y21

1

y1y2

即y1y242|y1y2|,2m42

①, 48mk2

平方后化简得

m212m4

4k2

m212m40,

m642或m64

又由①知

2m40,m2m的取值范围为

0m642当m642且ABx轴时,

y12(21),y22(21),y1y24(1)22m.tanAOB1

符合条件,

故符合条件的m取值范围为0m642.

二、课堂练习:

1.直线l:ykx2与曲线x2y21x0,相交于A、B两点,求直线l



3,, 4224

2.直线ykx1与双曲线x2y21的左支仅有一个公共点,求K的取值范1k1或k

2

y2

1与点P(1,2)3.已知双曲线x,过P点作直线L与双曲线交于A、B2

2

两点,若P为AB1)求直线AB2)若Q为(-1,-1),证明不存在以Q AB:x-y+1=0

y2

1(x1),一条长为8的弦AB的两端在曲线上运动,其中4.双曲线x3

2

5

点为M,求距Y轴最近的点M,22



5.顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线,截直线y2x4所得的弦长为,:y4x或y3622

6.过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点,若A、B在抛物线准线

上的射影分别为E、G,则EFG等于 ( B ) A.45

0000

y8x被过焦点,且倾斜角为135的直线所截,求截得的线段的

20

6,41,6的直线l与抛物线y4x交于A、B两点,求直线l的斜率K

2

3,00,39.过点A2,4作倾斜角为45的直线交抛物线y2pxp0于点P1、

2

P2,若P1P2

2

AP1AP2,求实数pp三、小结 :

(1(2)判断其位置关系看直线是否过定点,在根据定点的位置和双曲线的渐近线(3 五、板书设计六、课后记:采用数形结合、类比联想(椭圆)、启发诱导的教学方法,注重思维能力的培养和学生动手操作的能力的训练,同时结合几何画板进行动画演示,

范文九:圆锥曲线与方程小结复习课教学案例设计

圆锥曲线与方程小结复习课教学案例设计 作者:代晓妍

来源:《中学课程资源》2014年第01期

一、教学内容分析

本节课是苏教版数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程小结复习课的第一课时。

离心率是圆锥曲线的共性特征之一,它不仅体现了圆锥曲线的方程中参数的某种关系,而且也与圆锥曲线的形状密不可分。同时对离心率的研究既是圆锥曲线在形式上的统一,也是在研究方法上的统一,是高考的重要考点之一。

二、学生学习情况分析

在本节课之前学生已经学习了椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及其简单的几何性质,也对圆锥曲线的共性特征有所认识,这都为这节课的教学奠定了基础:从方程形式看,圆锥曲线的方程都是二次的;从集合(或轨迹)的观点看,它们都是与定点和定直线的距离比是常数e的点的集合(或轨迹)。经过前面的学习,学生已经初步形成从数和形两方面来思考的意识,本节课最大障碍是如何根据题意建立起关于圆锥曲线方程中基本量的关系。

三、设计思想

1.教法

诱导思维法:运用诱导思维法促使学生对知识进行主动建构,突出重点,突破难点,充分激发学生学习的主动性、积极性和创造性。

分组讨论法:让学生进行讨论交流,发现问题,解决问题,取长补短,共同提高。 讲练结合法:及时巩固所学内容,攻破重点,解决难点。

2.学法

由于本节课是复习课,所以应通过对圆锥曲线的定义、标准方程及其简单的几何性质的复习进行引入,之后再通过设计一些从简单到复杂、从特殊到一般的问题,层层铺垫,组织和启发学生获得推导思路。同时,为了促进成绩优秀学生的发展,笔者还设计了选做题和探索题,进一步培养优秀生用函数观点分析、解决问题的能力,达到了分层教学的目的。

四、教学目标

理解离心率与圆锥曲线方程中基本量的关系,巧用离心率求基本量。

借助数形结合的思想方法,从题目中找出基本量的关系,求离心率的值或范围。

五、教学重点和难点

本节课的重点:一是巧用离心率与基本量的关系,二是从数和形的角度建立圆锥曲线方程基本量的关系。

本节课的难点:运用数形结合的思想,建立圆锥曲线方程基本量的关系。

六、教学过程设计

1.归纳总结,复习铺垫

(多媒体课件给出相应的曲线方程表格,由学生回答填空,学生回答一个,屏幕上出现相应的答案)

[设计思路]

由于这是一堂复习课,加上笔者所任教的班级是理科班,学生有较好的数学基础,领悟能力较好。因此在教学中,笔者设计一组填空题,旨在了解学生状况,又可以为后面的教学打下基础,通过个别回答、集体修正的方法使笔者及时得到反馈信息。同时,笔者根据学生回答问题的情况进行小结,概括出问题的正确答案。

2.理解定义,解决问题

[设计意图]

反馈练习使学生在完成基本任务的同时,能有机会检验对本节课知识点的掌握程度,让不同层次的学生都能有所训练,拓展自主发展的空间,从而获得成功的喜悦,看到自己的潜能,实现“以人为本”的教育理念.

七、教学反思

笔者在这堂课利用PPT课件,举了3个例题,借助变式,层层深入,培养了学生的思维能力和的创造能力,使学生学会了从求解一个问题到掌握一类问题的解决方法的思考模式。 对多媒体课件的思考:多媒体的利用,使难以理解的、抽象的数学理论变得形象、生动而且比较容易掌握。同时,运用多媒体课件辅助教学,节省了板演的时间,因此本节课还设计了学案,为学生自主学习创造了条件。

对变式的思考:本节课的主题是对圆锥曲线离心率的一个回顾、复习与总结,从例题设计来看是对题型进行归纳分类,通过一个题掌握一类题,本身就是在“变”,而对例2的变式,也是对相关问题的巩固,这里变式要注意变的“时”“度”“量”的问题。

对学情的思考:本节课教学时因两个班学生的情况不同,因此每一次的体会也不一样,

(1)班学生基础较强,导入较快,因此例1、例2进行得也较为顺畅;而(2)班在铺垫时就比较吃力,所以侧重点也不一样。这就对本节课提出了更高要求,需根据学生的具体学习情况,设计满足教学目标的例题与练习,灵活把握课堂节奏,这也是设计反馈练习的目的。对于时间充裕的班级,可以拿来检验一节课的教学目标是否达成,而对于时间比较紧张的班级,可以拿来作为课后练习。

总之,在高中数学案例设计中教师要充分考虑让学生有更多的参与教学思考的机会,使学生在寻求解决问题的办法的过程中获得自信和成功的体验,优化他们的思维品质,提高数学思维能力。

范文十:圆锥曲线与方程小结复习课教学案例设计

一、教学内容分析

本节课是苏教版数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程小结复习课的第一课时。

离心率是圆锥曲线的共性特征之一,它不仅体现了圆锥曲线的方程中参数的某种关系,而且也与圆锥曲线的形状密不可分。同时对离心率的研究既是圆锥曲线在形式上的统一,也是在研究方法上的统一,是高考的重要考点之一。

二、学生学习情况分析

在本节课之前学生已经学习了椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及其简单的几何性质,也对圆锥曲线的共性特征有所认识,这都为这节课的教学奠定了基础:从方程形式看,圆锥曲线的方程都是二次的;从集合(或轨迹)的观点看,它们都是与定点和定直线的距离比是常数e的点的集合(或轨迹)。经过前面的学习,学生已经初步形成从数和形两方面来思考的意识,本节课最大障碍是如何根据题意建立起关于圆锥曲线方程中基本量的关系。

三、设计思想

1.教法

诱导思维法:运用诱导思维法促使学生对知识进行主动建构,突出重点,突破难点,充分激发学生学习的主动性、积极性和创造性。

分组讨论法:让学生进行讨论交流,发现问题,解决问题,取长补短,共同提高。

讲练结合法:及时巩固所学内容,攻破重点,解决难点。

2.学法

由于本节课是复习课,所以应通过对圆锥曲线的定义、标准方程及其简单的几何性质的复习进行引入,之后再通过设计一些从简单到复杂、从特殊到一般的问题,层层铺垫,组织和启发学生获得推导思路。同时,为了促进成绩优秀学生的发展,笔者还设计了选做题和探索题,进一步培养优秀生用函数观点分析、解决问题的能力,达到了分层教学的目的。

四、教学目标

理解离心率与圆锥曲线方程中基本量的关系,巧用离心率求基本量。

借助数形结合的思想方法,从题目中找出基本量的关系,求离心率的值或范围。

五、教学重点和难点

本节课的重点:一是巧用离心率与基本量的关系,二是从数和形的角度建立圆锥曲线方程基本量的关系。

本节课的难点:运用数形结合的思想,建立圆锥曲线方程基本量的关系。

六、教学过程设计

1.归纳总结,复习铺垫

(多媒体课件给出相应的曲线方程表格,由学生回答填空,学生回答一个,屏幕上出现相应的答案)

[设计思路]

由于这是一堂复习课,加上笔者所任教的班级是理科班,学生有较好的数学基础,领悟能力较好。因此在教学中,笔者设计一组填空题,旨在了解学生状况,又可以为后面的教学打下基础,通过个别回答、集体修正的方法使笔者及时得到反馈信息。同时,笔者根据学生回答问题的情况进行小结,概括出问题的正确答案。

2.理解定义,解决问题

[设计意图]

反馈练习使学生在完成基本任务的同时,能有机会检验对本节课知识点的掌握程度,让不同层次的学生都能有所训练,拓展自主发展的空间,从而获得成功的喜悦,看到自己的潜能,实现“以人为本”的教育理念.

七、教学反思

笔者在这堂课利用PPT课件,举了3个例题,借助变式,层层深入,培养了学生的思维能力和的创造能力,使学生学会了从求解一个问题到掌握一类问题的解决方法的思考模式。

对多媒体课件的思考:多媒体的利用,使难以理解的、抽象的数学理论变得形象、生动而且比较容易掌握。同时,运用多媒体课件辅助教学,节省了板演的时间,因此本节课还设计了学案,为学生自主学习创造了条件。

对变式的思考:本节课的主题是对圆锥曲线离心率的一个回顾、复习与总结,从例题设计来看是对题型进行归纳分类,通过一个题掌握一类题,本身就是在“变”,而对例2的变式,也是对相关问题的巩固,这里变式要注意变的“时”“度”“量”的问题。

对学情的思考:本节课教学时因两个班学生的情况不同,因此每一次的体会也不一样,(1)班学生基础较强,导入较快,因此例1、例2进行得也较为顺畅;而(2)班在铺垫时就比较吃力,所以侧重点也不一样。这就对本节课提出了更高要求,需根据学生的具体学习情况,设计满足教学目标的例题与练习,灵活把握课堂节奏,这也是设计反馈练习的目的。对于时间充裕的班级,可以拿来检验一节课的教学目标是否达成,而对于时间比较紧张的班级,可以拿来作为课后练习。

总之,在高中数学案例设计中教师要充分考虑让学生有更多的参与教学思考的机会,使学生在寻求解决问题的办法的过程中获得自信和成功的体验,优化他们的思维品质,提高数学思维能力。