圆锥曲线与方程小结

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【优秀范文】圆锥曲线与方程小结

范文一:圆锥曲线与方程复习与小结

期末专题(二)圆锥曲线与方程小结与复习(学案

)

【题型归类】

题型一:圆锥曲线定义的应用

例1已知抛物线y24x,过焦点F的弦为AB,且AB=8,求AB中点M的横坐标xM.

变式练习1:已知点F12,0,F2

标是2,0,动点P满足PF2PF12,当点P的纵坐1时,点P到坐标原点的距离是 . 2

1sinM时,求动点2题型二:求动点的轨迹方程 例2在MNG中,已知NG4,当动点M满足条件sinGsinN

M的轨迹方程.

变式练习2:⊙C

:(x2y2

16内部一点A0)与圆周上动点Q连线AQ的中垂线交CQ于P,求点P的轨迹方程.

题型三:考查直线与圆锥曲线相交的弦长、中点

例4:顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线截得直线y2x1所得的弦长AB的长为,求抛物线方程.

y2

1交于A,B两点,且点P位线段AB变式训练4:过点P2,2作直线l与双曲线x32

的中点,则直线l的方程是 .

题型四:考查直线与圆锥曲线位置关系

例3:已知双曲线C:2x2y22与点P1,2,求过点P1,2的直线l的斜率的取值范围,使l与C分别有一个交点,两个交点,没有交点.

2变式训练3:直线ykxk与抛物线y2pxp0的公共点个数是( ).

(A)1 (B) 2 (C)1或2 (D)可能为0

题型五:圆锥曲线综合问题

2例5:在抛物线y4x上恒有两点关于直线ykx3对称,求k的取值范围.

x2y2

1上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x2y0,F1,F2分1.设P是双曲线29a

别是其左、右焦点,若PF13,则PF2 ( ).

(A) 1或5 (B) 6 (C )7 (D) 9

x2y222.椭圆221ab0的离心率为,Fc,0是它的一个焦点,则椭圆内接正方2ab

形的面积是( ).

(A)228c (B)c2 (C)3c2 (D)2c2 33

x2y251的渐近线l的方程为y3.若双曲线x,则双曲线的焦点到渐近线l的距离9m3

为( ).

(A)2 (B) (C) 5 (D)2

0ABCABC1204.设是等腰三角形,,则以A,B为焦点且过点C的双曲线的离心率

为( ).

(A)121 (B) (C)12 (D)1 22

x2y2

6.过双曲线221a0,b0的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M,Nab

两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率e等于 .

117.已知A,0,B是椭圆F:xy24F为圆心上一动点,线段AB的垂直22

平分线BF于P,则动点P的轨迹方程为 .

8.已知椭圆x2y4,则以1,1为中点的弦的长度为( ). 222

(A)32 (B) 2 (C)3306 (D)23

x2y2

1的右顶点为A,右焦点为F,过F

平行于双曲线的一条渐近线的9.设双曲线916

直线与双曲线交于点B,则AFB的面积为 .

x2y2

10.已知抛物线y2pxp0的焦点恰好是椭圆221ab0的右焦点F,ab2

且两曲线交点的连线过F,则该椭圆的离心率为 .

x2

y21交于A,B两点,记AOB的面积为11.直线ykxb与椭圆4

,当AB2,S1时,求直线AB的方程. SO为坐标原点

12.已知椭圆M的中心在原,离心率为

⑴求椭圆M的方程;

⑵设P是椭圆M上的一点,且点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成一个直角三角形,若1,左焦点是F12,0. 2PF1PF2,求

PF1PF2的值.

期末专题(二)圆锥曲线与方程小结与复习(学案

)

【题型归类】

题型一:圆锥曲线定义的应用

例1已知抛物线y24x,过焦点F的弦为AB,且AB=8,求AB中点M的横坐标xM.

变式练习1:已知点F12,0,F2

标是2,0,动点P满足PF2PF12,当点P的纵坐1时,点P到坐标原点的距离是 . 2

1sinM时,求动点2题型二:求动点的轨迹方程 例2在MNG中,已知NG4,当动点M满足条件sinGsinN

M的轨迹方程.

变式练习2:⊙C

:(x2y2

16内部一点A0)与圆周上动点Q连线AQ的中垂线交CQ于P,求点P的轨迹方程.

题型三:考查直线与圆锥曲线相交的弦长、中点

例4:顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线截得直线y2x1所得的弦长AB的长为,求抛物线方程.

y2

1交于A,B两点,且点P位线段AB变式训练4:过点P2,2作直线l与双曲线x32

的中点,则直线l的方程是 .

题型四:考查直线与圆锥曲线位置关系

例3:已知双曲线C:2x2y22与点P1,2,求过点P1,2的直线l的斜率的取值范围,使l与C分别有一个交点,两个交点,没有交点.

2变式训练3:直线ykxk与抛物线y2pxp0的公共点个数是( ).

(A)1 (B) 2 (C)1或2 (D)可能为0

题型五:圆锥曲线综合问题

2例5:在抛物线y4x上恒有两点关于直线ykx3对称,求k的取值范围.

x2y2

1上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x2y0,F1,F2分1.设P是双曲线29a

别是其左、右焦点,若PF13,则PF2 ( ).

(A) 1或5 (B) 6 (C )7 (D) 9

x2y222.椭圆221ab0的离心率为,Fc,0是它的一个焦点,则椭圆内接正方2ab

形的面积是( ).

(A)228c (B)c2 (C)3c2 (D)2c2 33

x2y251的渐近线l的方程为y3.若双曲线x,则双曲线的焦点到渐近线l的距离9m3

为( ).

(A)2 (B) (C) 5 (D)2

0ABCABC1204.设是等腰三角形,,则以A,B为焦点且过点C的双曲线的离心率

为( ).

(A)121 (B) (C)12 (D)1 22

x2y2

6.过双曲线221a0,b0的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M,Nab

两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率e等于 .

117.已知A,0,B是椭圆F:xy24F为圆心上一动点,线段AB的垂直22

平分线BF于P,则动点P的轨迹方程为 .

8.已知椭圆x2y4,则以1,1为中点的弦的长度为( ). 222

(A)32 (B) 2 (C)3306 (D)23

x2y2

1的右顶点为A,右焦点为F,过F

平行于双曲线的一条渐近线的9.设双曲线916

直线与双曲线交于点B,则AFB的面积为 .

x2y2

10.已知抛物线y2pxp0的焦点恰好是椭圆221ab0的右焦点F,ab2

且两曲线交点的连线过F,则该椭圆的离心率为 .

x2

y21交于A,B两点,记AOB的面积为11.直线ykxb与椭圆4

,当AB2,S1时,求直线AB的方程. SO为坐标原点

12.已知椭圆M的中心在原,离心率为

⑴求椭圆M的方程;

⑵设P是椭圆M上的一点,且点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成一个直角三角形,若1,左焦点是F12,0. 2PF1PF2,求

PF1PF2的值.

范文二:圆锥曲线方程总结

圆锥曲线方程后期复习系列

北海七中高二数学备课组

1、已知定点F1(3,0),F2(3,0),在平面上动点P的轨迹中是椭圆的是(答:C)

2

A.PF1PF24 B.PF1PF26 C.PF D.PFPF2PF10112

2

12

8表示的曲线是_____(答:双曲线的左支) 3、已知P为抛物线y点A的坐标是(6,

12

x上的动点,点P在x轴上的射影为M, 2

1719),则PM的最小值是 _____ (答:) 22

11x2y2

4、已知方程1表示椭圆,则k的取值范围为___(答:(3,)(,2))5、

223k2k

若x,yR,且3x22y26,则xy的最大值是_,x2y2的最小值是_

2) 6、方程Ax2By21表示双曲线的充要条件是什么?(A,B异号)。

x2y27、双曲线的离心率等于,且与椭圆1有公共焦点,则该双曲线的方程

942

x2

(答:y21);

4

F2在坐标轴上,8、设中心在坐标原点O,焦点F1、离心率e2的双曲线C过点P(4,),则C的方程为_______(答:x2y26)

3x2y2

9、方程1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是(,1)(1,)

2m12m

25x2y210、若椭圆,则m的值是__(答:3或); 1的离心率e

35m511、以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时, 则椭圆长轴的最小值为__(答:22)

12、双曲线的渐近线方程是3x

2y0,则该双曲线的离心率等于13、双曲线ax2by2

1的离心率为a:b=4或

1 4

或_ 2

3

x2y2

14、设双曲线221(a>0,b>0)中,离心率e∈[2,2],则两条渐近线夹

ab



角θ的取值范围是________(答:[,]);

32

15、设a0,aR,则抛物线y4ax2的焦点坐标为________(答:(0,

1

)); 16a

16、y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点,则k的取值范围是:(-

,-1)); 3

x2y2

1恒有公共点,m的取值范围是[1,5)∪(5,+∞) 17、y―kx―1=0与椭圆

5mx2y2

1的右焦点直线交双曲线于A、B两点,若│AB︱=4, 18、过双曲线12

则这样的直线有___条(答:3)

19、过点(2,4)作直线与抛物线y28x只有一个公共点,这样的直线有____(答:2);

x2y2

20、过点(0,2)与双曲线1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为__

(答:

916

4,); 3

y221、过双曲线x1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点,若AB4,则满足条件

2

2

的直线l有____条(答:3);

22、过抛物线y24x的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是p、q,则

11

_______(答:1); pq

x2y2

1的右焦点为F,右准线为l,设某直线m交其左支、右支和右准23、设双曲线

169

线分别于P,Q,R,则PFR和QFR的大小关系为___________(答:等于); 24、求椭圆7x24y228上的点到直线3x

2y16025、直线yax1与双曲线3x2y21交于A、B两点。 ①当a为何值时,A、B

分别在双曲线的两支上? ②当a为何值时,以AB为直径的圆过坐标原点? a1;

35x2y2

26、椭圆1上点P到椭圆左焦点的距离为3,则点P到右准线的距离为:;

32516

27、已知抛物线方程为y28x,若抛物线上一点到y轴的距离等于5,则它到抛物线的焦点的距离等于____;

28、若该抛物线上的点M到焦点的距离是4,则点M的坐标为_____(答:7,(2,4));

x2y229、点P在椭圆1上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,

259

则点P的横坐标为____(答:

25

); 12

30、抛物线y22x上的两点A、B到焦点的距离和是5,则线段AB的中点到y轴的距离为______(答:2);

x2y2

31、椭圆F为右焦点,在椭圆上有一点M,使MP2MF 之1内有一点P(1,1),

43

值最小,则点M的坐标为_______(答:(32、短轴长为,离心率e

26

,1)); 3

2

的椭圆的两焦点为F1、F2,过F1作直线交椭圆于A、B3

两点,则ABF2的周长为________(答:6);

33、设P是等轴双曲线x2y2a2(a0)右支上一点,F1、F2是左右焦点,若PF2F1F20,|PF1|=6,则该双曲线的方程为(答:x2y24);

x2y2→ ·PF→

94

的横坐标的取值范围是

(答:(

); 55

35、双曲线的虚轴长为4,离心率e=

6

,F1、F2是它的左右焦点,若过F1的直线与双2

曲线的左支交于A、B两点,且AB是AF2与BF2等差中项,则AB

=( 36、已知双曲线的离心率为2,F1、F2是左右焦点,P为双曲线上一点,且F1PF260,

SPF1F2

x2y2

.求该双曲线的标准方程(答:1);

412

37、过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 若x1+x2=6,那么|AB|等于_______(答:8);

38、过抛物线y22x焦点的直线交抛物线于A、B两点,已知|AB|=10,O为坐标原点,则ΔABC重心的横坐标为_______(答:3);

x2y2

1弦被点A(4,2)平分,这条弦所在的直线方程是:x2y80; 39、椭圆

369x2y2

40、已知直线y=-x+1与椭圆221(ab0)相交于A、B两点,且线段AB的中点

ab

在直线L:x-2y=0上,则此椭圆的离心率为_______

x2y2

41、试确定m的取值范围,使得椭圆1上有不同的两点关于直线y4xm对称

43

(答:);



4x2y2x2y2

1 42、与双曲线1有共同的渐近线,且过点(3,2)的双曲线为:94916

43、已知动点P到定点F(1,0)和直线x3的距离之和等于4,求P的轨迹方程. (答:y212(x4)(3x4)或y24x(0x3));

44、抛物线顶点在原点,坐标轴为对称轴,过1,4点,抛物线为:y216x,x2

1

y; 4

45、由动点P向圆x2y21作两条切线PA、PB,切点分别为A、B,∠APB=600,则动点P的轨迹方程为

(答:x2y24);

46、点M与点F(4,0)的距离比它到l:x50的距离小于1,点M的轨迹方程:y216x 47、一动圆与两圆⊙M:x2y21和⊙N:x2y28x120都外切, 则动圆圆心的轨迹为

(答:双曲线的一支);

48、已知定圆A:(x1)2y216,圆心为A,动圆M过点B(1,0)且和圆A相切,动圆的圆心M的轨迹记为C.求曲线C的方程;

49、ABC周长16, A(3,0),B(3,0)动点P是其重心,当C运动时,

9x29y2

则P的轨迹方程为:1y0

2516

50、AB是圆O的直径,且|AB|=2a,M为圆上一动点,作MN⊥AB,垂足为N,在OM上取点P,使|OP||MN|,求点P的轨迹。(答:x2y2a|y|);

1

51、点P(x1,y1)在x2y21上运动,则Q(x1y1,x1y1)的轨迹方程y22x1(|x|));

2

52、过抛物线x24y的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点, 则弦AB的中点M的轨迹方程是________(答:x22y2);

53、已知点A,B分别是射线l1:yxx≥0,l2:yxx≥0上的动点,O为坐标原点,且OAB 的面积为定值2.求线段AB中点M的轨迹C的方程;

x2y2

54、已知椭圆221(ab0)的左、右焦点分别是F1(-c,0)、F2(c,0),Q

ab

是椭圆外的动点,满足|F1|2a.点P是线段F1Q与该椭圆的交点,点T在线段F2Q上,并且满足TF20,|TF2|0.

(1)设x为点P的横坐标,证明|F1P|a(2)求点T的轨迹C的方程;

(3)试问:在点T的轨迹C上,是否存在点M,使△F1MF2的面积S=b2.若存在,求∠F1MF2的正切值;若不存在,请说明理由.

c

x; a

b2b2

(1)略;(2)xya;(3)a时不存在;a时存在,∠F1MF2=2

cc

2

2

2

55、已知定点C(1,0)及椭圆x23y25,过点C的动直线与椭圆相交于A,B两点.

1

(Ⅰ)若线段AB中点的横坐标是,求直线AB的方程;

2

(Ⅱ)在x轴上是否存在点M,使为常数?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

56、直线l过抛物线y2x的焦点F,交抛物线于A,B两点,且点A在x轴上方,若直

线l的倾斜角…, 则|FA|的取值范围是( )

4

13

(A)[,)

42

131312

(B

)(, (C)(,] (D)(,1]

424442

0),B(b,0),抛物线y24x上存在点C使ABC为等边三角形,则b____ 57、两点A(1,

x2y2

58、已知双曲线221(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,若在双曲线的右

ab

支上存在一点P,使得PF13PF2,则双曲线的离心率e的取值范围为 59、已知P为抛物线y

1217

x上的动点,点P在x轴上的射影为M,点A的坐标是(6,),22

则PM的最小值是( ) A 8 B

1921 C 10 D 22

x2y2

60、已知双曲线C1:221(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2,抛物线C2的顶点

ab

在原点,它的准线与双曲线C1的左准线重合,若双曲线C1与抛物线C2的交点P满足

PF2F1F2,则双曲线C1的离心率为 A

B

C

D

范文三:圆锥曲线与方程知识总结

高二数学圆锥曲线与方程单元复习与巩固

知识网络

知识要点梳理

知识点一:圆锥曲线的统一定义

椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线。

平面内,到一定点的距离与它到一条定直线(不经过定点)的距离之比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线。定点叫做焦点,定直线叫做准线、常数叫做离心率。 ①e∈(0,1)时轨迹是椭圆; ②e=1时轨迹是抛物线;

③e∈(1,+∞)时轨迹是双曲线。

知识点二:圆锥曲线的标准方程和几何性质 1.椭圆: (1)定义:平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆,这两个定点叫焦点. (2)标准方程

当焦点在轴上时,

椭圆的标准方程:,其中;

当焦点在轴上时,

椭圆的标准方程:,其中;

(3)

椭圆 范围: 焦点

,顶点

的的简单几何性质:

, ,长轴长=

,短轴长=

,焦距=

2.双曲线 (1)定义:平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫双曲线的焦点. (2)标准方程

当焦点在

轴上时,双曲线的标准方程

:,其

当焦点

.

轴上时,双曲线的标准方程

:,其

(3)

双曲线 范围: 焦点

,顶点

的简单几何性质 ;

,虚轴长=

,焦距=

,实轴长=

离心率是,准线方程是;

渐近线:.

3.抛物线

(1)定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线. (2)标准方程 四种形式: (3)抛物线标准方程 范围:

的几何性质

对称性:关于x轴对称 顶点:坐标原点 离心率:

.

知识点三:直线和圆锥曲线的位置关系

1.直线Ax+By+C=0和椭圆

的位置关系:

将直线方程代入椭圆后化简为一元二次方程,其判别式为Δ。 (1)若Δ>0,则直线和椭圆相交,有两个交点(或两个公共点); (2)若Δ=0,则直线和椭圆相切,有一个切点(或一个公共点); (3)若Δ<0,则直线和椭圆相离,无公共点.

2.直线Ax+By+C=0和双曲线的位置关系:

将直线方程代入双曲线方程后化简方程

①若为一元一次方程,则直线和双曲线的渐近线平行,直线和双曲线只有一个交点,但不相切不是切点;

②若为一元二次方程,则

(1)若Δ>0,则直线和双曲线相交,有两个交点(或两个公共点); (2)若Δ=0,则直线和双曲线相切,有一个切点; (3)若Δ<0,则直线和双曲线相离,无公共点.

注意:如说直线和双曲线有一个公共点,则要考虑两种情况:一个切点和一个交点

3.直线Ax+By+C=0和抛物线y2=2px(p>0)的位置关系: 将直线方程代入抛物线方程后化简后方程:

①若为一元一次方程,则直线和抛物线的对称轴平行,直线和抛物线有一个交点,但不相切不是切点;

②若为一元二次方程,则

(1)若Δ>0,则直线和抛物线相交,有两个交点(或两个公共点); (2)若Δ=0,则直线和抛物线相切,有一个切点; (3)若Δ<0,则直线和抛物线相离,无公共点。

注意:如说直线和抛物线有一个公共点,则要考虑两种情况:一个切点和一个交点

4.直线被圆锥曲线截得的弦长公式:

当直线的斜率k存在时,直线y=kx+b与圆锥曲线相交于 弦长公式:

两点,

当k存在且不为零时, 弦长公式还可以写成:

知识点四:曲线的方程和方程的曲线的关系 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线上的点与一个二元方程

(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)

的实数解建立了如下的关系:

(1)曲线 (2)以方程 那么,方程

上所有点的坐标都是方程

的解为坐标的点都在曲线叫做曲线

的方程;曲线

的解; 上. 叫做方程

的曲线.

知识点五:求曲线的方程

1. 定义:在直角坐标系中,用坐标表示点,把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹,用曲线上点的坐标(x,y)所满足的方程

表示曲线,通过研究方程的性质

间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法.

2. 坐标法求曲线方程的步骤:

第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几何因素,将平面几何问题转化为代数问题;

第二步:通过代数运算,解决代数问题;

第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论.

通过坐标法,把点和坐标、曲线和方程联系起来,实现了形和数的统一. 用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何对象,然后对坐标和方程进行代数讨论;最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”。

3.求轨迹方程的常用方法:直接法、相关点法.定义法、代入法、参数法等。 规律方法指导

3.圆锥曲线综合题类型

(1)用待定系数法求圆锥曲线方程

①数形结合:先定型,再定量,注意区分解析条件与纯几何条件,如果位置不确定时,考虑是否两解.在图形上标出已知条件,检查轴上的点、垂直于轴的直线的位置是否准确; ②方程思想:n个未知数,列够n个独立的方程,并注意韦达定理的使用: ③注意“点在线上”条件的使用. (2)求轨迹方程

基本方法:定义法、直接代入法、参数法(利用已知参数方程法或自设参数). 注意:

①注意限制;

②求轨迹方程与求轨迹的区别。求轨迹是要求先求轨迹方程再描述该轨迹方程所表示的曲线类型及相应的几何特征;

③n个未知数,列够n-1个独立方程,特别注意考虑是否可利用定义直接列出方程. (3)求取值范围或最值

①函数方法----将待求范围参数表示为另一个变量的函数,注意求函数的定义域。 ②方程与不等式组----n个未知数,列够n个独立方程或不等式,注意归纳总结列不等式的方法:

③利用几何性质求参数范围;

④利用不等式性质(结合几何性质)求参数范同.

圆锥曲线知识点回顾

1.椭圆的性质

2.双曲线的性质

3.抛物线中的常用结论

①过抛物线y2=2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p

②设A(x1,y), 1B(x2,y2)是抛物线y2=2px上的两点, 则AB过F的充要条件是y1y2=-p2

③设A, B是抛物线y2=2px上的两点,O为原点, 则OA⊥OB的充要条件是直线AB恒过定点(2p,0)

(4).圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义

与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线,定点叫做焦点,定直线叫做准线、常数叫做离心率,用e表示,当0<e<1时,是椭圆,当e>1时,是双曲线,当e=1时,是抛物线. 4.直线与圆锥曲线的位置关系:(在这里我们把圆包括进来)

(1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的

a.直线与圆:一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法),也可以利用方程实根的个数来判断(解析法).

b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程,判断相交、相切、相离 c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性 (2).a.求弦所在的直线方程

b.根据其它条件求圆锥曲线方程

(3).已知一点A坐标,一直线与圆锥曲线交于两点P、Q,且中点为A,求P、Q所在的直线方程

(4).已知一直线方程,某圆锥曲线上存在两点关于直线对称,求某个值的取值范围(或者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对称) 5.二次曲线在高考中的应用

二次曲线在高考数学中占有十分重要的地位,是高考的重点、热点和难点。通过以二次曲线为载体,与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合,结合数学思想方法,并与高等数学基础知识融为一体,考查学生的数学思维能力及创新能力,其设问形式新颖、有趣、综合性很强。本文关注近年部分省的高考二次曲线问题,给予较深入的剖析,这对形成高三复习的新的教学理念将有着积极的促进作用。

(1).重视二次曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。 (2).重视二次曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。 (3).重视二次曲线性质与数列的有机结合。 (4).重视解析几何与立体几何的有机结合。

6.知识网络

圆锥曲线——椭圆、曲线、直线—定义—标准方程

性质:对称性、焦点、顶点、 离率、准线、焦半径等

范文四:圆锥曲线方程总结与复习

课 题:小结与复习(一)

教学目的:

1本方法――坐标法;并在教学中进一步培养他们形与数结合的思想、化归的数学思想以及“应3 教学重点:三种曲线的标准方程和图形、性质教学难点:授课类型:新授课课时安排:1课时 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析:

 在学完椭圆、双曲线、抛物线知识之后进行必要的小结与复习,可以梳理知识要点,使学生从圆锥曲线这个整体高度来全面认识三种曲线;同时也可以对前面所学的各种解析几何 椭圆、双曲线、抛物线同属于圆锥曲线,它们的定义、标准方程及其推导过程以及简单的几何性质都存在着巨大的相似之处,而前面只是它节逐个学完了三种曲线,还缺少对它们归类比较,为了提高水平,使同学们能够完整准确地理解和掌握三种曲本章介绍使用了较多的思想方法,其中的重点是数形结合的思想,转化与化归思想,坐解析几何是最终 点与坐标、方程与曲线之间的转化与化归给我们提供了良好的思想教育素材,我们应该给予充分的利用,达到应有的教学效

第一课时主要讲解课本上内容,即:一、内第二课时则针对本章的训练重点,讲解例题,进

教学过程:从定义出发,以“曲线的方程和方程的曲线”为准绳,适量的平

几知识为辅助,以参数的选择为根本,大量的计算为熟练手段。结合函数以及不等式为必要的提高。不求难,但求熟。切忌变态的纯平面几何解答解析几何。

二、章节知识点回顾:

椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹,由这些条件可以求出它们的标1.椭圆定义:在平面内,到两定点距离之和等于定长(定长大于两定点间的距离)的动点x2y2y2x2

2.椭圆的标准方程:221,221 (ab0)

ababx2y2

3.椭圆的性质:由椭圆方程221(ab0)

ab

(1)范围: axa,byb,椭圆落在xa,yb组成的矩形中. (2)对称性:图象关于y轴对称.图象关于x对

称中心,简称中心.x轴、y轴叫椭圆的对称轴.从椭圆的方程中直接可以看出它的范

(3)顶点:椭圆共有四个顶点: A(a,0),A2(a,0),B(0,b),B2(0,bF1(c,0),F2(c,0)A1A2叫椭圆的长轴,B1B2叫椭圆的短轴.长分别

为2a,2 a,b分别为椭圆的长半轴长和顶点即为椭圆与对称轴的交

(4)离心率: 

c

eea

椭圆形状与e的关系:e0,c0,椭圆变圆,直至成为极限位置圆,此时也可认为圆为椭圆在e0e1,ca,椭圆变扁,直至成为极限位置线段F1F2,此时也

可认为圆为椭圆在e1时的特例

一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个(0,1)内常数

e其中定点叫做焦点,定直线叫做准线,常数e5.椭圆的准线方程

x2y2a22

对于221,左准线l1:x;右准线l2:xcab

y2x2a22

对于221,下准线l1:y;上准线l2:ycab

a2a2c2b2

焦点到准线的距离p(焦参数) c

ccc

6.椭圆的焦半径公式:(左焦半径)r1aex0,(右焦半径)r2aex0,其中e是离

MF1aey0

焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式:( 其中F1,F2分别是椭圆

MFaey20

焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关, 可以记为:xacos

(为参数

ybsin

8.双曲线的定义:平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值为常数(小于F1F2)的动点 即MF1MF22a这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离

在同样的差下,两定点间距离较长,则所画出的双曲线的开口较开阔(两条平行线)两定点间距离较短(大于定差),则所画出的双曲线的开口较狭窄(双曲9.双曲线的标准方程及特点:

(1)双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种:

x2y2

焦点在x轴上时双曲线的标准方程为:221(a0,b0);

aby2x2

焦点在y轴上时双曲线的标准方程为:221(a0,b0)

ab

(2)a,b,c有关系式cab成立,且a0,b0,c222

其中a与b的大小关系:可以为ab,ab,a:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母x、y项

22

的分母的大小来确定,而双曲线是根据

项的正负来判断焦点所在的位置,即x项的系数是正的,那么焦点在x轴上;y项的系数是正的,那么焦点在y22

11.双曲线的几何性质:

(1)范围、对称性

x2y2

由标准方程221,从横的方向来看,直线x=-a,x=a之间没有图象,从纵的方

ab

向来看,随着x的增大,y的绝对值也无限增大,所以曲线在纵方向上可无限伸展,不像椭

(2)顶点

顶点:A1(a,0),A2a,0,特殊点:B1(0,b),B20,b

实轴:A1A2长为2a, a叫做虚轴:B1B2长为2b,b叫做(3)渐近线

x2y2bxy

过双曲线221的渐近线yx(0)

abaab

(4)离心率

双曲线的焦距与实轴长的比e

2cc

,叫做双曲线的范围:e1 2aa

b

双曲线形状与e的关系:k

a

c2a2

ac22

1e1,e越大,即渐近线的斜2a

由此可知,双曲线的离心率越 12.等轴双曲线

轴双曲线的性质:(1)渐近线方程为:yx;(2)渐近线互相垂直;(3)离心率e13.共渐近线的双曲线系

如果已知一双曲线的渐近线方程为y

2

bkb

xx(k0),那么此双曲线方程就一aka

x2y2x2y2

1(k0)或写成22定是:22

(ka)(kb)ab

14.共轭双曲线

以已知双曲线的实轴为虚轴,虚轴为实轴,这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲 区别:三量a,b,c中a,b不同(互换)c 双曲线和它的共轭双曲确定双曲线的共轭双曲线的方法:将1变为

15. 双曲线的第二定义:到定点F的距离与到定直线l的距离之比为常数e

c

(ca0)a

常数e是双曲线的离心率. 16.双曲线的准线方程:

x2y2a2

对于221来说,相对于左焦点F1(c,0)对应着左准线l1:x,相对于右焦点

cab

a2

; F2(c,0)对应着右准线l2:xcb2

焦点到准线的距离p

c

y2x2a2

对于221来说,相对于上焦点F1(0,c)对应着上准线l1:y;相对于下焦点

caba2

F2(0,c)对应着下准线l2:yc

定义:双曲线上任意一点M与双曲线焦点F1,F2焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式:

MF1aex0

MFaex20

焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式:

MF1aey0

MF2aey0

( 其中F1,F2分别是双曲线的下上焦点)

18.双曲线的焦点弦:

焦点弦公式:

当双曲线焦点在x轴上时,

过左焦点与左支交于两点时: AB2ae(x1x2过右焦点与右支交于两点时:AB2ae(x1x2当双曲线焦点在y轴上时,

过左焦点与左支交于两点时:AB2ae(y1y2过右焦点与右支交于两点时:AB2ae(y1y219.双曲线的通径:

2

d抛物线定义:

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的21.抛物线的准线方程:

p,0),准线l:x2

p2

(2)x2py(p0), 焦点:(0,),准线l:y2

pp2

(3)y2px(p0), 焦点:(,0),准线l:x22p2

(4) x2py(p0), 焦点:(0,),准线l:y2 (1)y2px(p0), 焦点:(

2

相同点:(1)抛物线都过原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线都与对称轴垂直,垂足与它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的

1

,即4

2pp42

不同点:(1)图形关于X轴对称时,X为一次项,Y为二次项,方程右端为2px、左端为y;图形关于Y轴对称时,X为二次项,Y为一次项,方程右端为2py,左端为x(2)

2开口方向在X轴(或Y轴)正向时,焦点在X轴(或Y轴)的正半轴上,方程右端取正号;开口在X轴(或Y轴)负向时,焦点在X轴(或Y22.抛物线的几何性质 (1)范围

因为p>0,由方程y2pxp0可知,这条抛物线上的点M的坐标(x,y)满足不等

2

式x≥0,所以这条抛物线在y轴的右侧;当x的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸. (2)对称性

以-y代y,方程y2pxp0不变,所以这条抛物线关于x轴对称,我们把抛物线

2

的对称轴叫做抛物线的轴. (3)顶点

抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程y2pxp0中,当y=0时,x=0,

2

因此抛物线y2pxp0的顶点就是坐标原点.

2

(4)离心率

抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用e表示.由抛物线的定义可知,e=1.

抛物线y2px(p0),PFx0

2

pp

x0 22pp

x0 22

抛物线y2px(p0),PFx0

2

抛物线x2py(p0),PFy0

2

pp

y0 22pp

y0 22

抛物线x2py(p0),PFy0

2

24.直线与抛物线:

(1)位置关系:

相交(两个公共点或一个公共点);相离(无公共点)将l:ykxb代入C:AxCyDxEyF0,消去y,得到 关于x的二次方程axbxc0(*)

22

2

若0,相交;0,相切;0综上,得:

联立

ykxb2

,得关于x的方程axbxc0 2

y2px

当a0(二次项系数为零)当a0,则

若000,无公共点 (2)相交弦长:

弦长公式:d

k2, a

(3)焦点弦公式:

2

抛物线y2px(p0), ABp(x1x2)2

抛物线y2px(p0), ABp(x1x22

抛物线x2py(p0), ABp(y1y22

抛物线x2py(p0),ABp(y1y2(4)通径:

定义:通径:d2(5)若已知过焦点的直线倾斜角

2pp

2pyk(x)y1y222

则yp0k 2y

k22

y2pxy1y2p

y1y2

4p22p12p2

4p AByy1222

sinksinsin

(6)常用结论:

p

k2p22pyk(x)22222

0 yp0和kx(kp2p)x2y

4k2

y2px

y1y2p2和x1x2

2

x2pt2

25.抛物线y2px(p0)的参数方程:(t为参数)

y2pt

三、典例分析

x2y2

1.若抛物线ymx的焦点与椭圆 1的上焦点重合,则m的值为( )

26

2

A.-8 B. 8 C.1 D. 1

8

8

2.若动点M(x,y)到点F(4,0)的距离等于它到直线x+4=0距离,则M点的轨迹是

( )

A.x+4=0 B.x-4=0 C. y28x D.y216x

x2y2

1上的一点M到左焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,则|ON|3.椭圆

259

等于( )

3

D. 8 2

4.双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍,则m( )

11

A.4 B.4 C. D.

4

4

5.直线l过点0)且与双曲线x2y22仅有一个公共点,这样的直线有( )

A.1 条 B.2条 C.3条 D.4条 6 已知定点A、B, 且|AB|=4, 动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值是( ) 137

A. B. C. D.5 222

A. 4 B. 2 C.

x2y2

1的离心率e1,2,则k的取值范围为 7.双曲线4k

A.,0 B。3,0 C。12,0 D。60,12

x2

9.已知斜率为1的直线过椭圆的y21右焦点交椭圆于A,B两点,求弦AB的长

4

____________________________

x2y2

10.求与双曲线1有公共渐近线且焦距为8的双曲线方程__________________

53

11、在抛物线y2=16x内,通过点(2,1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________.

22

12、圆xymx70与抛物线

y

12

x16

的准线相切,则m

x2y2

212ab8、如果以原点为圆心的圆经过双曲线的焦点,并且被该双曲线的右准线分为弧

长为2:1的两段圆弧,那么该双曲线的离心率为( ) A

B

C

D.

2

9、已知点P是抛物线y4x上一点,设P到此抛物线的准线的距离为d1,到直线x2y100

的距离为d2,则d1d2的最小值为( )

11

C

. D.5

A.5

B.4

范文五:圆锥曲线与方程知识总结

高二数学圆锥曲线与方程单元复习与巩固

知识网络

知识要点梳理

知识点一:圆锥曲线的统一定义

椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线。

平面内,到一定点的距离与它到一条定直线(不经过定点)的距离之比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线。定点叫做焦点,定直线叫做准线、常数叫做离心率。 ①e∈(0,1)时轨迹是椭圆; ②e=1时轨迹是抛物线;

③e∈(1,+∞)时轨迹是双曲线。

知识点二:圆锥曲线的标准方程和几何性质 1.椭圆: (1)定义:平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆,这两个定点叫焦点. (2)标准方程

当焦点在轴上时,

椭圆的标准方程:,其中;

当焦点在轴上时,

椭圆的标准方程:,其中;

(3)

椭圆 范围: 焦点

,顶点

的的简单几何性质:

, ,长轴长=

,短轴长=

,焦距=

2.双曲线 (1)定义:平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫双曲线的焦点. (2)标准方程

当焦点在

轴上时,双曲线的标准方程

:,其

当焦点

.

轴上时,双曲线的标准方程

:,其

(3)

双曲线 范围: 焦点

,顶点

的简单几何性质 ;

,虚轴长=

,焦距=

,实轴长=

离心率是,准线方程是;

渐近线:

3.抛物线

.

(1)定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线. (2)标准方程 四种形式: (3)抛物线标准方程 范围:

的几何性质

对称性:关于x轴对称 顶点:坐标原点 离心率:

.

知识点三:直线和圆锥曲线的位置关系

1.直线Ax+By+C=0和椭圆的位置关系:

将直线方程代入椭圆后化简为一元二次方程,其判别式为Δ。 (1)若Δ>0,则直线和椭圆相交,有两个交点(或两个公共点); (2)若Δ=0,则直线和椭圆相切,有一个切点(或一个公共点); (3)若Δ<0,则直线和椭圆相离,无公共点.

2.直线Ax+By+C=0和双曲线的位置关系:

将直线方程代入双曲线方程后化简方程

①若为一元一次方程,则直线和双曲线的渐近线平行,直线和双曲线只有一个交点,但不相切不是切点;

②若为一元二次方程,则

(1)若Δ>0,则直线和双曲线相交,有两个交点(或两个公共点); (2)若Δ=0,则直线和双曲线相切,有一个切点; (3)若Δ<0,则直线和双曲线相离,无公共点.

注意:如说直线和双曲线有一个公共点,则要考虑两种情况:一个切点和一个交点

3.直线Ax+By+C=0和抛物线y2=2px(p>0)的位置关系: 将直线方程代入抛物线方程后化简后方程:

①若为一元一次方程,则直线和抛物线的对称轴平行,直线和抛物线有一个交点,但不相切不是切点;

②若为一元二次方程,则

(1)若Δ>0,则直线和抛物线相交,有两个交点(或两个公共点);

(2)若Δ=0,则直线和抛物线相切,有一个切点; (3)若Δ<0,则直线和抛物线相离,无公共点。

注意:如说直线和抛物线有一个公共点,则要考虑两种情况:一个切点和一个交点

4.直线被圆锥曲线截得的弦长公式:

当直线的斜率k存在时,直线y=kx+b与圆锥曲线相交于 弦长公式:

两点,

当k存在且不为零时, 弦长公式还可以写成:

知识点四:曲线的方程和方程的曲线的关系 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线上的点与一个二元方程

(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)

的实数解建立了如下的关系:

(1)曲线 (2)以方程 那么,方程

上所有点的坐标都是方程

的解为坐标的点都在曲线叫做曲线

的方程;曲线

的解; 上. 叫做方程

的曲线.

知识点五:求曲线的方程

1. 定义:在直角坐标系中,用坐标表示点,把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹,用曲线上点的坐标(x,y

)所满足的方程间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法.

2. 坐标法求曲线方程的步骤:

第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几何因素,将平面几何问题转化为代数问题;

第二步:通过代数运算,解决代数问题;

第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论.

通过坐标法,把点和坐标、曲线和方程联系起来,实现了形和数的统一.

用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何对象,然后对坐标和方程进行代数讨论;最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”。

3.求轨迹方程的常用方法:直接法、相关点法.定义法、代入法、参数法等。 规律方法指导

3.圆锥曲线综合题类型

(1)用待定系数法求圆锥曲线方程

①数形结合:先定型,再定量,注意区分解析条件与纯几何条件,如果位置不确定时,考虑是否两解.在图形上标出已知条件,检查轴上的点、垂直于轴的直线的位置是否准确; ②方程思想:n个未知数,列够n个独立的方程,并注意韦达定理的使用: ③注意“点在线上”条件的使用.

(2)求轨迹方程

基本方法:定义法、直接代入法、参数法(利用已知参数方程法或自设参数). 注意:

①注意限制;

②求轨迹方程与求轨迹的区别。求轨迹是要求先求轨迹方程再描述该轨迹方程所表示的曲线类型及相应的几何特征;

③n个未知数,列够n-1个独立方程,特别注意考虑是否可利用定义直接列出方程. (3)求取值范围或最值

①函数方法----将待求范围参数表示为另一个变量的函数,注意求函数的定义域。 ②方程与不等式组----n个未知数,列够n个独立方程或不等式,注意归纳总结列不等式的方法:

③利用几何性质求参数范围;

④利用不等式性质(结合几何性质)求参数范同.

表示曲线,通过研究方程的性质

圆锥曲线知识点回顾

1.椭圆的性质

2.双曲线的性质

3.抛物线中的常用结论

①过抛物线y=2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p

②设A(x1,y), 1B(x2,y2)是抛物线y2=2px上的两点, 则AB过F的充要条件是y1y2=-p2

2

③设A, B是抛物线y=2px上的两点,O为原点, 则OA⊥OB的充要条件是直线AB恒过定点(2p,0)

(4).圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义

与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线,定点叫做焦点,定直线叫做准线、常数叫做离心率,用e表示,当0<e<1时,是椭圆,当e>1时,是双曲线,当e=1时,是抛物线. 4.直线与圆锥曲线的位置关系:(在这里我们把圆包括进来)

(1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的

a.直线与圆:一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法),也可以利用方程实根的个数来判断(解析法).

b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程,判断相交、相切、相离 c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性 (2).a.求弦所在的直线方程

b.根据其它条件求圆锥曲线方程

(3).已知一点A坐标,一直线与圆锥曲线交于两点P、Q,且中点为A,求P、Q所在的直线方程

(4).已知一直线方程,某圆锥曲线上存在两点关于直线对称,求某个值的取值范围(或者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对称) 5.二次曲线在高考中的应用

二次曲线在高考数学中占有十分重要的地位,是高考的重点、热点和难点。通过以二次曲线为载体,与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合,结合数学思想方法,并与高等数学基础知识融为一体,考查学生的数学思维能力及创新能力,其设问形式新颖、有趣、综合性很强。本文关注近年部分省的高考二次曲线问题,给予较深入的剖析,这对形成高三复习的新的教学理念将有着积极的促进作用。

(1).重视二次曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。 (2).重视二次曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。 (3).重视二次曲线性质与数列的有机结合。 (4).重视解析几何与立体几何的有机结合。

2

6.知识网络

圆锥曲线——椭圆、曲线、直线—定义—标准方程

性质:对称性、焦点、顶点、 离率、准线、焦半径等

范文六:圆锥曲线与方程知识总结

高二数学圆锥曲线与方程单元复习与巩固

,短知识网络

知识要点梳理

知识点一:圆锥曲线的统一定义

椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线。

平面内,到一定点的距离与它到一条定直线(不经过定点)的距离之比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线。定点叫做焦点,定直线叫做准线、常数叫做离心率。 ①e∈(0,1)时轨迹是椭圆; ②e=1时轨迹是抛物线;

③e∈(1,+∞)时轨迹是双曲线。

知识点二:圆锥曲线的标准方程和几何性质 1.椭圆:

(1)定义:平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆,这两个定点叫焦点. (2)标准方程

当焦点在轴上时,

椭圆的标准方程:,其中;

当焦点在轴上时,

椭圆的标准方程:,其中;

(3)

椭圆 范围:

的的简单几何性质:

焦点,顶点、,长轴长=轴长=,焦距=,

2.双曲线 (1)定义:平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫双曲线的焦点. (2)标准方程

当焦点在

轴上时,双曲线的标准方程

:,其

当焦点

.

轴上时,双曲线的标准方程

:,其

(3)

双曲线 范围: 焦点

,顶点

的简单几何性质 ;

,虚轴长=

,焦距=

,实轴长=

离心率是,准线方程是;

渐近线:

3.抛物线

.

(1)定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线. (2)标准方程 四种形式: (3)抛物线标准方程 范围:

的几何性质

对称性:关于x轴对称 顶点:坐标原点 离心率:

.

知识点三:直线和圆锥曲线的位置关系

1.直线Ax+By+C=0和椭圆的位置关系:

将直线方程代入椭圆后化简为一元二次方程,其判别式为Δ。 (1)若Δ>0,则直线和椭圆相交,有两个交点(或两个公共点); (2)若Δ=0,则直线和椭圆相切,有一个切点(或一个公共点); (3)若Δ<0,则直线和椭圆相离,无公共点.

2.直线Ax+By+C=0和双曲线的位置关系:

将直线方程代入双曲线方程后化简方程

①若为一元一次方程,则直线和双曲线的渐近线平行,直线和双曲线只有一个交点,但不相切不是切点;

②若为一元二次方程,则

(1)若Δ>0,则直线和双曲线相交,有两个交点(或两个公共点); (2)若Δ=0,则直线和双曲线相切,有一个切点;

(3)若Δ<0,则直线和双曲线相离,无公共点.

注意:如说直线和双曲线有一个公共点,则要考虑两种情况:一个切点和一个交点

3.直线Ax+By+C=0和抛物线y2=2px(p>0)的位置关系: 将直线方程代入抛物线方程后化简后方程:

①若为一元一次方程,则直线和抛物线的对称轴平行,直线和抛物线有一个交点,但不相切不是切点;

②若为一元二次方程,则

(1)若Δ>0,则直线和抛物线相交,有两个交点(或两个公共点); (2)若Δ=0,则直线和抛物线相切,有一个切点; (3)若Δ<0,则直线和抛物线相离,无公共点。

注意:如说直线和抛物线有一个公共点,则要考虑两种情况:一个切点和一个交点

4.直线被圆锥曲线截得的弦长公式:

当直线的斜率k存在时,直线y=kx+b与圆锥曲线相交于 弦长公式:

两点,

当k存在且不为零时, 弦长公式还可以写成:

知识点四:曲线的方程和方程的曲线的关系 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线

(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)

上的点与一个二元方程 (1)曲线 (2)以方程 那么,方程

知识点五:求曲线的方程

的实数解建立了如下的关系:

的解; 上. 叫做方程

的曲线.

上所有点的坐标都是方程

的解为坐标的点都在曲线叫做曲线

的方程;曲线

1. 定义:在直角坐标系中,用坐标表示点,把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹,用曲线上点的坐标(x,y

)所满足的方程间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法.

2. 坐标法求曲线方程的步骤:

第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几何因素,将平面几何问题转化为代数问题;

第二步:通过代数运算,解决代数问题;

第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论.

通过坐标法,把点和坐标、曲线和方程联系起来,实现了形和数的统一.

用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何对象,然后对坐标和方程进行代数讨论;最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”。

3.求轨迹方程的常用方法:直接法、相关点法.定义法、代入法、参数法等。 规律方法指导

3.圆锥曲线综合题类型

(1)用待定系数法求圆锥曲线方程

①数形结合:先定型,再定量,注意区分解析条件与纯几何条件,如果位置不确定时,考虑是否两解.在图形上标出已知条件,检查轴上的点、垂直于轴的直线的位置是否准确; ②方程思想:n个未知数,列够n个独立的方程,并注意韦达定理的使用: ③注意“点在线上”条件的使用.

(2)求轨迹方程

基本方法:定义法、直接代入法、参数法(利用已知参数方程法或自设参数). 注意:

①注意限制;

②求轨迹方程与求轨迹的区别。求轨迹是要求先求轨迹方程再描述该轨迹方程所表示的曲线类型及相应的几何特征;

③n个未知数,列够n-1个独立方程,特别注意考虑是否可利用定义直接列出方程. (3)求取值范围或最值

①函数方法----将待求范围参数表示为另一个变量的函数,注意求函数的定义域。 ②方程与不等式组----n个未知数,列够n个独立方程或不等式,注意归纳总结列不等式的方法:

③利用几何性质求参数范围;

表示曲线,通过研究方程的性质

④利用不等式性质(结合几何性质)求参数范同.

圆锥曲线知识点回顾

1.椭圆的性质

2.双曲线的性质

3.抛物线中的常用结论

①过抛物线y=2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p

②设A(x1,y), 1B(x2,y2)是抛物线y2=2px上的两点, 则AB过F的充要条件是y1y2=-p2

2

③设A, B是抛物线y=2px上的两点,O为原点, 则OA⊥OB的充要条件是直线AB恒过定点(2p,0)

(4).圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义

与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线,定点叫做焦点,定直线叫做准线、常数叫做离心率,用e表示,当0<e<1时,是椭圆,当e>1时,是双曲线,当e=1时,是抛物线. 4.直线与圆锥曲线的位置关系:(在这里我们把圆包括进来)

(1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的

a.直线与圆:一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法),也可以利用方程实根的个数来判断(解析法).

b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程,判断相交、相切、相离 c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性 (2).a.求弦所在的直线方程

b.根据其它条件求圆锥曲线方程

(3).已知一点A坐标,一直线与圆锥曲线交于两点P、Q,且中点为A,求P、Q所在的直线方程

(4).已知一直线方程,某圆锥曲线上存在两点关于直线对称,求某个值的取值范围(或者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对称) 5.二次曲线在高考中的应用

二次曲线在高考数学中占有十分重要的地位,是高考的重点、热点和难点。通过以二次曲线为载体,与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合,结合数学思想方法,并与高等数学基础知识融为一体,考查学生的数学思维能力及创新能力,其设问形式新颖、有趣、综合性很强。本文关注近年部分省的高考二次曲线问题,给予较深入的剖析,这对形成高三复习的新的教学理念将有着积极的促进作用。

(1).重视二次曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。 (2).重视二次曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。 (3).重视二次曲线性质与数列的有机结合。 (4).重视解析几何与立体几何的有机结合。

2

6.知识网络

圆锥曲线——椭圆、曲线、直线—定义—标准方程

性质:对称性、焦点、顶点、 离率、准线、焦半径等高二数学圆锥曲线与方程单元复习与巩固

,短知识网络

知识要点梳理

知识点一:圆锥曲线的统一定义

椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线。

平面内,到一定点的距离与它到一条定直线(不经过定点)的距离之比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线。定点叫做焦点,定直线叫做准线、常数叫做离心率。 ①e∈(0,1)时轨迹是椭圆; ②e=1时轨迹是抛物线;

③e∈(1,+∞)时轨迹是双曲线。

知识点二:圆锥曲线的标准方程和几何性质 1.椭圆:

(1)定义:平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆,这两个定点叫焦点. (2)标准方程

当焦点在轴上时,

椭圆的标准方程:,其中;

当焦点在轴上时,

椭圆的标准方程:,其中;

(3)

椭圆 范围:

的的简单几何性质:

焦点,顶点、,长轴长=轴长=,焦距=,

2.双曲线 (1)定义:平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫双曲线的焦点. (2)标准方程

当焦点在

轴上时,双曲线的标准方程

:,其

当焦点

.

轴上时,双曲线的标准方程

:,其

(3)

双曲线 范围: 焦点

,顶点

的简单几何性质 ;

,虚轴长=

,焦距=

,实轴长=

离心率是,准线方程是;

渐近线:

3.抛物线

.

(1)定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线. (2)标准方程 四种形式: (3)抛物线标准方程 范围:

的几何性质

对称性:关于x轴对称 顶点:坐标原点 离心率:

.

知识点三:直线和圆锥曲线的位置关系

1.直线Ax+By+C=0和椭圆的位置关系:

将直线方程代入椭圆后化简为一元二次方程,其判别式为Δ。 (1)若Δ>0,则直线和椭圆相交,有两个交点(或两个公共点); (2)若Δ=0,则直线和椭圆相切,有一个切点(或一个公共点); (3)若Δ<0,则直线和椭圆相离,无公共点.

2.直线Ax+By+C=0和双曲线的位置关系:

将直线方程代入双曲线方程后化简方程

①若为一元一次方程,则直线和双曲线的渐近线平行,直线和双曲线只有一个交点,但不相切不是切点;

②若为一元二次方程,则

(1)若Δ>0,则直线和双曲线相交,有两个交点(或两个公共点); (2)若Δ=0,则直线和双曲线相切,有一个切点;

(3)若Δ<0,则直线和双曲线相离,无公共点.

注意:如说直线和双曲线有一个公共点,则要考虑两种情况:一个切点和一个交点

3.直线Ax+By+C=0和抛物线y2=2px(p>0)的位置关系: 将直线方程代入抛物线方程后化简后方程:

①若为一元一次方程,则直线和抛物线的对称轴平行,直线和抛物线有一个交点,但不相切不是切点;

②若为一元二次方程,则

(1)若Δ>0,则直线和抛物线相交,有两个交点(或两个公共点); (2)若Δ=0,则直线和抛物线相切,有一个切点; (3)若Δ<0,则直线和抛物线相离,无公共点。

注意:如说直线和抛物线有一个公共点,则要考虑两种情况:一个切点和一个交点

4.直线被圆锥曲线截得的弦长公式:

当直线的斜率k存在时,直线y=kx+b与圆锥曲线相交于 弦长公式:

两点,

当k存在且不为零时, 弦长公式还可以写成:

知识点四:曲线的方程和方程的曲线的关系 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线

(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)

上的点与一个二元方程 (1)曲线 (2)以方程 那么,方程

知识点五:求曲线的方程

的实数解建立了如下的关系:

的解; 上. 叫做方程

的曲线.

上所有点的坐标都是方程

的解为坐标的点都在曲线叫做曲线

的方程;曲线

1. 定义:在直角坐标系中,用坐标表示点,把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹,用曲线上点的坐标(x,y

)所满足的方程间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法.

2. 坐标法求曲线方程的步骤:

第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几何因素,将平面几何问题转化为代数问题;

第二步:通过代数运算,解决代数问题;

第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论.

通过坐标法,把点和坐标、曲线和方程联系起来,实现了形和数的统一.

用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何对象,然后对坐标和方程进行代数讨论;最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”。

3.求轨迹方程的常用方法:直接法、相关点法.定义法、代入法、参数法等。 规律方法指导

3.圆锥曲线综合题类型

(1)用待定系数法求圆锥曲线方程

①数形结合:先定型,再定量,注意区分解析条件与纯几何条件,如果位置不确定时,考虑是否两解.在图形上标出已知条件,检查轴上的点、垂直于轴的直线的位置是否准确; ②方程思想:n个未知数,列够n个独立的方程,并注意韦达定理的使用: ③注意“点在线上”条件的使用.

(2)求轨迹方程

基本方法:定义法、直接代入法、参数法(利用已知参数方程法或自设参数). 注意:

①注意限制;

②求轨迹方程与求轨迹的区别。求轨迹是要求先求轨迹方程再描述该轨迹方程所表示的曲线类型及相应的几何特征;

③n个未知数,列够n-1个独立方程,特别注意考虑是否可利用定义直接列出方程. (3)求取值范围或最值

①函数方法----将待求范围参数表示为另一个变量的函数,注意求函数的定义域。 ②方程与不等式组----n个未知数,列够n个独立方程或不等式,注意归纳总结列不等式的方法:

③利用几何性质求参数范围;

表示曲线,通过研究方程的性质

④利用不等式性质(结合几何性质)求参数范同.

圆锥曲线知识点回顾

1.椭圆的性质

2.双曲线的性质

3.抛物线中的常用结论

①过抛物线y=2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p

②设A(x1,y), 1B(x2,y2)是抛物线y2=2px上的两点, 则AB过F的充要条件是y1y2=-p2

2

③设A, B是抛物线y=2px上的两点,O为原点, 则OA⊥OB的充要条件是直线AB恒过定点(2p,0)

(4).圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义

与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线,定点叫做焦点,定直线叫做准线、常数叫做离心率,用e表示,当0<e<1时,是椭圆,当e>1时,是双曲线,当e=1时,是抛物线. 4.直线与圆锥曲线的位置关系:(在这里我们把圆包括进来)

(1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的

a.直线与圆:一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法),也可以利用方程实根的个数来判断(解析法).

b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程,判断相交、相切、相离 c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性 (2).a.求弦所在的直线方程

b.根据其它条件求圆锥曲线方程

(3).已知一点A坐标,一直线与圆锥曲线交于两点P、Q,且中点为A,求P、Q所在的直线方程

(4).已知一直线方程,某圆锥曲线上存在两点关于直线对称,求某个值的取值范围(或者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对称) 5.二次曲线在高考中的应用

二次曲线在高考数学中占有十分重要的地位,是高考的重点、热点和难点。通过以二次曲线为载体,与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合,结合数学思想方法,并与高等数学基础知识融为一体,考查学生的数学思维能力及创新能力,其设问形式新颖、有趣、综合性很强。本文关注近年部分省的高考二次曲线问题,给予较深入的剖析,这对形成高三复习的新的教学理念将有着积极的促进作用。

(1).重视二次曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。 (2).重视二次曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。 (3).重视二次曲线性质与数列的有机结合。 (4).重视解析几何与立体几何的有机结合。

2

6.知识网络

圆锥曲线——椭圆、曲线、直线—定义—标准方程

性质:对称性、焦点、顶点、 离率、准线、焦半径等

范文七:圆锥曲线方程总结与复习

课 题:小结与复习(一)

教学目的:

1使同学们完整准确地理解和掌握三种曲线的特点以及它们之间的区尤其是解析几何的基本方法――坐标法;并在教学中进一步培养他们形与数结合的思想、化归的数学思想以及“应3 教学重点:三种曲线的标准方程和图形、性质教学难点:授课类型:新授课课时安排:1课时 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析:

 在学完椭圆、双曲线、抛物线知识之后进行必要的小结与复习,可以梳理知识要点,使学生从圆锥曲线这个整体高度来全面认识三种曲线;同时也可以对前面所学的各种解析几何 椭圆、双曲线、抛物线同属于圆锥曲线,它们的定义、标准方程及其推导过程以及简单的几何性质都存在着巨大的相似之处,而前面只是它节逐个学完了三种曲线,还缺少对它们归类比较,为了提高水平,使同学们能够完整准确地理解和掌握三种曲本章介绍使用了较多的思想方法,其中的重点是数形结合的思想,转化与化归思想,坐解析几何是最终 点与坐标、方程与曲线之间的转化与化归给我们提供了良好的思想教育素材,我们应该给予充分的利用,达到应有的教学效

第一课时主要讲解课本上内容,即:一、内第二课时则针对本章的训练重点,讲解例题,进

教学过程:从定义出发,以“曲线的方程和方程的曲线”为准绳,适量的平

几知识为辅助,以参数的选择为根本,大量的计算为熟练手段。结合函数以及不等式为必要的提高。不求难,但求熟。切忌变态的纯平面几何解答解析几何。

二、章节知识点回顾:

椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹,由这些条件可以求出它们的标1.椭圆定义:在平面内,到两定点距离之和等于定长(定长大于两定点间的距离)的动点x2y2y2x2

2.椭圆的标准方程:221,221 (ab0)

ababx2y2

3.椭圆的性质:由椭圆方程221(ab0)

ab

(1)范围: axa,byb,椭圆落在xa,yb组成的矩形中. (2)对称性:图象关于y轴对称.图象关于x对

称中心,简称中心.x轴、y轴叫椭圆的对称轴.从椭圆的方程中直接可以看出它的范

(3)顶点:椭圆共有四个顶点: A(a,0),A2(a,0),B(0,b),B2(0,bF1(c,0),F2(c,0)A1A2叫椭圆的长轴,B1B2叫椭圆的短轴.长分别

为2a,2 a,b分别为椭圆的长半轴长和顶点即为椭圆与对称轴的交

(4)离心率: 

c

eea

椭圆形状与e的关系:e0,c0,椭圆变圆,直至成为极限位置圆,此时也可认为圆为椭圆在e0e1,ca,椭圆变扁,直至成为极限位置线段F1F2,此时也

可认为圆为椭圆在e1时的特例

一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个(0,1)内常数

e其中定点叫做焦点,定直线叫做准线,常数e5.椭圆的准线方程

x2y2a22

对于221,左准线l1:x;右准线l2:xcab

y2x2a22

对于221,下准线l1:y;上准线l2:ycab

a2a2c2b2

焦点到准线的距离p(焦参数) c

ccc

6.椭圆的焦半径公式:(左焦半径)r1aex0,(右焦半径)r2aex0,其中e是离

MF1aey0

焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式:( 其中F1,F2分别是椭圆

MFaey20

焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关, 可以记为:xacos

(为参数

ybsin

8.双曲线的定义:平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值为常数(小于F1F2)的动点 即MF1MF22a这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离

在同样的差下,两定点间距离较长,则所画出的双曲线的开口较开阔(两条平行线)两定点间距离较短(大于定差),则所画出的双曲线的开口较狭窄(双曲9.双曲线的标准方程及特点:

(1)双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种:

x2y2

焦点在x轴上时双曲线的标准方程为:221(a0,b0);

aby2x2

焦点在y轴上时双曲线的标准方程为:221(a0,b0)

ab

(2)a,b,c有关系式cab成立,且a0,b0,c222

其中a与b的大小关系:可以为ab,ab,a:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母x、y项

22

的分母的大小来确定,而双曲线是根据

项的正负来判断焦点所在的位置,即x项的系数是正的,那么焦点在x轴上;y项的系数是正的,那么焦点在y22

11.双曲线的几何性质:

(1)范围、对称性

x2y2

由标准方程221,从横的方向来看,直线x=-a,x=a之间没有图象,从纵的方

ab

向来看,随着x的增大,y的绝对值也无限增大,所以曲线在纵方向上可无限伸展,不像椭

(2)顶点

顶点:A1(a,0),A2a,0,特殊点:B1(0,b),B20,b

实轴:A1A2长为2a, a叫做虚轴:B1B2长为2b,b叫做(3)渐近线

x2y2bxy

过双曲线221的渐近线yx(0)

abaab

(4)离心率

双曲线的焦距与实轴长的比e

2cc

,叫做双曲线的范围:e1 2aa

b

双曲线形状与e的关系:k

a

c2a2

ac22

1e1,e越大,即渐近线的斜2a

由此可知,双曲线的离心率越 12.等轴双曲线

轴双曲线的性质:(1)渐近线方程为:yx;(2)渐近线互相垂直;(3)离心率e13.共渐近线的双曲线系

如果已知一双曲线的渐近线方程为y

2

bkb

xx(k0),那么此双曲线方程就一aka

x2y2x2y2

1(k0)或写成22定是:22

(ka)(kb)ab

14.共轭双曲线

以已知双曲线的实轴为虚轴,虚轴为实轴,这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲 区别:三量a,b,c中a,b不同(互换)c 双曲线和它的共轭双曲确定双曲线的共轭双曲线的方法:将1变为

15. 双曲线的第二定义:到定点F的距离与到定直线l的距离之比为常数e

c

(ca0)a

常数e是双曲线的离心率. 16.双曲线的准线方程:

x2y2a2

对于221来说,相对于左焦点F1(c,0)对应着左准线l1:x,相对于右焦点

cab

a2

; F2(c,0)对应着右准线l2:xc

b2

焦点到准线的距离p

c

y2x2a2

对于221来说,相对于上焦点F1(0,c)对应着上准线l1:y;相对于下焦点

caba2

F2(0,c)对应着下准线l2:yc

定义:双曲线上任意一点M与双曲线焦点F1,F2焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式:

MF1aex0

MFaex20

焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式:

MF1aey0

MF2aey0

( 其中F1,F2分别是双曲线的下上焦点)

18.双曲线的焦点弦:

焦点弦公式:

当双曲线焦点在x轴上时,

过左焦点与左支交于两点时: AB2ae(x1x2过右焦点与右支交于两点时:AB2ae(x1x2当双曲线焦点在y轴上时,

过左焦点与左支交于两点时:AB2ae(y1y2过右焦点与右支交于两点时:AB2ae(y1y219.双曲线的通径:

2

d抛物线定义:

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的21.抛物线的准线方程:

p

,0),准线l:x2

p2

(2)x2py(p0), 焦点:(0,),准线l:y2

pp2

(3)y2px(p0), 焦点:(,0),准线l:x22p2

(4) x2py(p0), 焦点:(0,),准线l:y2 (1)y2px(p0), 焦点:(

2

相同点:(1)抛物线都过原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线都与对称轴垂直,垂足与它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的

1

,即4

2pp42

不同点:(1)图形关于X轴对称时,X为一次项,Y为二次项,方程右端为2px、左端为y;图形关于Y轴对称时,X为二次项,Y为一次项,方程右端为2py,左端为x(2)

2开口方向在X轴(或Y轴)正向时,焦点在X轴(或Y轴)的正半轴上,方程右端取正号;开口在X轴(或Y轴)负向时,焦点在X轴(或Y22.抛物线的几何性质 (1)范围

因为p>0,由方程y2pxp0可知,这条抛物线上的点M的坐标(x,y)满足不等

2

式x≥0,所以这条抛物线在y轴的右侧;当x的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸. (2)对称性

以-y代y,方程y2pxp0不变,所以这条抛物线关于x轴对称,我们把抛物线

2

的对称轴叫做抛物线的轴. (3)顶点

抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程y2pxp0中,当y=0时,x=0,

2

因此抛物线y2pxp0的顶点就是坐标原点.

2

(4)离心率

抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用e表示.由抛物线的定义可知,e=1.

抛物线y2px(p0),PFx0

2

pp

x0 22pp

x0 22

抛物线y2px(p0),PFx0

2

抛物线x2py(p0),PFy0

2

pp

y0 22pp

y0 22

抛物线x2py(p0),PFy0

2

24.直线与抛物线:

(1)位置关系:

相交(两个公共点或一个公共点);相离(无公共点)将l:ykxb代入C:AxCyDxEyF0,消去y,得到 关于x的二次方程axbxc0(*)

22

2

若0,相交;0,相切;0综上,得:

联立

ykxb2

,得关于x的方程axbxc0 2

y2px

当a0(二次项系数为零)当a0,则

若000,无公共点 (2)相交弦长:

弦长公式:d

k2, a

(3)焦点弦公式:

2

抛物线y2px(p0), ABp(x1x2)2

抛物线y2px(p0), ABp(x1x22

抛物线x2py(p0), ABp(y1y22

抛物线x2py(p0),ABp(y1y2(4)通径:

定义:通径:d2(5)若已知过焦点的直线倾斜角

2pp

2pyk(x)y1y222

则yp0k 2y

k22

y2pxy1y2p

y1y2

4p22p12p2

4p AByy1222

sinksinsin

(6)常用结论:

p

k2p22pyk(x)22222

0 yp0和kx(kp2p)x2y

4k2

y2px

y1y2p2和x1x2

2

x2pt2

25.抛物线y2px(p0)的参数方程:(t为参数)

y2pt

三、典例分析

x2y2

1.若抛物线ymx的焦点与椭圆 1的上焦点重合,则m的值为( )

26

2

A.-8 B. 8 C.1 D. 1

8

8

2.若动点M(x,y)到点F(4,0)的距离等于它到直线x+4=0距离,则M点的轨迹是

( )

A.x+4=0 B.x-4=0 C. y28x D.y216x

x2y2

1上的一点M到左焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,则|ON|3.椭圆

259

等于( )

3

D. 8 2

4.双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍,则m( )

11

A.4 B.4 C. D.

44

5.直线l过点0)且与双曲线x2y22仅有一个公共点,这样的直线有( )

A.1 条 B.2条 C.3条 D.4条 6 已知定点A、B, 且|AB|=4, 动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值是( ) 137

A. B. C. D.5 222

A. 4 B. 2 C.

x2y2

1的离心率e1,2,则k的取值范围为 7.双曲线4k

A.,0 B。3,0 C。12,0 D。60,12

x2

9.已知斜率为1的直线过椭圆的y21右焦点交椭圆于A,B两点,求弦AB的长

4

____________________________

x2y2

10.求与双曲线1有公共渐近线且焦距为8的双曲线方程__________________

53

11、在抛物线y2=16x内,通过点(2,1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________.

22

12、圆xymx70与抛物线

y

12

x16

的准线相切,则m

x2y2

212ab8、如果以原点为圆心的圆经过双曲线的焦点,并且被该双曲线的右准线分为弧

长为2:1的两段圆弧,那么该双曲线的离心率为( )

A

B

C

D.

2

9、已知点P是抛物线y4x上一点,设P到此抛物线的准线的距离为d1,到直线x2y100

的距离为d2,则d1d2的最小值为( )

11C

. D.5

A.5

B.4

范文八:高中数学第8章圆锥曲线方程小结与复习2

课 题:小结与复习(二)

教学目的:

1解析几何的基本方法――坐标法;并在教学中进一步培养他们形与数结合的思3 教学重点:三种曲线的标准方程和图形、性质教学难点:授课类型:新授课课时安排:1课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程:

一、讲解范例:

例1 ⑴ 中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为1/2、长轴长为8; ⑵ 和椭圆9x2+4y2=36有相同的焦点,且经过点(2,-3);

⑶ 中心在原点,焦点在x轴上,从一个焦点看短轴两端的视角为直角,焦点到

长轴上较近顶点的距离是

分析: 求椭圆的标准方程,首先要根据焦点位置确定方程形式,其次是根据a2=b2+c2及已知条件确定a2、b2解 ⑴ 焦点位置可在x轴上,也可在y轴上,

xy2y2x2

1或1 因此有两解:

16121612

x2y2

⑵ 焦点位置确定,且为(0,),设原方程为221,(a>b>0),

ab

a2b25

y2x22

由已知条件有9 a15,b10,故方程为4

1510221

ba

x2y2

⑶ 设椭圆方程为221,(a>b>0)

ab

由题设条件有

bc

ac 及a2=b2+c2,解得b=5,a,

xy2

故所求椭圆的方程是

105

x2y2

例2 从椭圆221,(a>b>0)上一点M向x轴所作垂线恰好通过椭圆的左

ab

焦点F1,A、B分别是椭圆长、短轴的端点,AB∥Q是椭圆上任意一点,

当QF2⊥AB时,延长QF2与椭圆交于另一点P,若⊿F2PQ的面积为203,解 x2y2

∵b=c,a=2c,可设椭圆方程为222cc

∵PQ⊥AB,∴kPQ=-

1a

2,则PQ的方程为y=2(x-c), kABb

代入椭圆方程整理得5x2-8cx+2c2=0, 根据弦长公式,得PQ62

c, 5

又点F1到PQ的距离d=

26

c 3

∴SF1PQ

14242

PQdc ,由c3,得c225, 255

x2y2

故所求椭圆方程为

5025

x2

y21,过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A、例3 已知椭圆:

69

B两点,求弦AB解:a=3,b=1,c=22; 则F(-22,0)

x2

y21联立消去y得: (x22)与由题意知:l:y

93

1

4x22x150

设A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1,x2是上面方程的二实根,由违达定理,

x1x22

x1x2

xx2315

,xM1又因为A、B、F都是直线l上的点, 422

所以|AB|=|x1x2|

1

3

2(x1x2)24x1x2

2152

例4 中心在原点,一个焦点为F1(0,)的椭圆截直线y3x2所得弦的中点横坐标为

1

2

分析:根据题意,可设椭圆的标准方程,与直线方程联立解方程组,利用韦达定理及中点坐标公式,求出中点的横坐标,再由F1(0,)知,c=,

a2b250,最后解关于a、bx2y2

解:设椭圆的标准方程为221(ab0),

ab

由F1(0,50)得 ab50

把直线方程y3x2代入椭圆方程整理得:

2

2

(a29b2)x212b2xb2(4a2)0

设弦的两个端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则由根与系数的关系得:

12b2

x1x22,

a9b2

x1x216b21

2又AB的中点横坐标为, 2

222a9ba23b2,与方程a2b250联立可解出a275,b225

x2y2

1 故所求椭圆的方程为:

7525

例5 直线ykx1与双曲线3x2y21相交于A、B两点,当a为何值时,A、B在双曲线的同一支上?当a为何值时,A、B分别在双曲线的两支上? 解: 把ykx1代入3x2y21 整理得:(3a2)x22ax20„„(1) 当a3时,244a由>0得a6且a3时,方程组有两解,直线与双曲线有两个交若A、B在双曲线的同一支,须x1x2

2

>0 ,所以a

或aa23

故当6a3或a6时,A、B两点在同一支上;当3a3时,A、B例6 已知双曲线的中心在原点,过右焦点F(2,0)作斜率为双曲线于M、N 两点,且MN=43

的直线,交5

x2y2

解:设所求双曲线方程为221(a0,b0),由右焦点为(2,0C=2,

ab

b=4-a

22

x2y231则双曲线方程为2,设直线MN的方程为:y(x2),代入

a4b25

双曲线方程整理得:(20-8a)x+12ax+5a-32a=0

2

2

2

4

2

12a2

设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x2,

208a242

x1x23

MN5

8



5

2

2

x1x24x1x2

2

12a25a432a2208a24208a24 

2

解得:a1,b41y2

故所求双曲线方程为:x3

2

点评:利用待定系数法求曲线方程,运用一元二次方程得根与系数关系将两根之和与积整体代入,体现了数学的整体思想,也简化了计算,要求学生熟y2

1,过点 A(2,1)的直线与已知双曲线交于P、Q例7 已知双曲线x2

2

1)求PQ中点的轨迹方程;(2)过B(1,1)能否作直线l,使l与所给双曲线交于两点M、N,且B为MN的中点,若存在,求出l的方程,不存在说明解:(1)设P(x1,y1)、Q(x2,y2),其中点为(x,y),PQ的斜率为k, 若PQ的斜率不存在显然(2,0若PQ的斜率存在,由题设知:

yy2

x111„(1) x221„(2)

22

2

22

(2)-(1)得:(x1x2)(x2x1) 

(y1y2)(y2y1)

0

2

x1x2kxk

,即„(3)

y2y1y22

又k

y1

代入(3)整理得:2x2y24xy0 x2

(2)显然过B点垂直Xl的方程为y-1=k(x-1)

y2

1,整理得: 代入双曲线方程x2

2

2kx

2

2

2k1kxk22k30„※

2k1kk=2 22k

设M(x1,y1)、N(x2,y2)则有x1x2

又直线与双曲线必须有两不同交点,

所以※式的4k21k42k2k22k32



把K=2代入得8

由距离公式

|AB|=(x1x2)2(y1y2

)2y1y2|y1y2|

则有 (y1y2)29.

2

p

xy1,由2消去x,得y22pyp20. 

y22p(x1).

(2p)24p20.

y1y22p,y1y2p2.

从而(y1y2)2(y1y2)24y1y2,即(2p)24p29.由于p>0,解得p

2

3 4

例9 如图,线段AB过x轴正半轴上一点M(m,0)(m>0),端点A、B到x轴

距离之积为2m,以x轴为对称轴,过A,O,B三点作抛物 (1)求抛物线方程;

(2)若tgAOB1,求m解:(1)当AB不垂直x轴时,设AB方程为

yk(xm).抛物线方程y22px(p0)

yk(xm)由得ky22py2pkm0,y1y22pm|y1y2|2pm2m 2

y2px

p1.当ABX轴时,A,B分别为(m,2Pm),(m,pm),由题意有2pm2m,p1,

故所求抛物线方程为y22x.

(2)设A(y1,y1),B(y2,y2)由(1)知

22

2

y1y22m,y1y2

k

4

8m, 2k22k1,k2,

y1y2

2

2

|y1y2|(y1y2)24y1y2

又tgAOB1

|

22

|y1y21

1

y1y2

即y1y242|y1y2|,2m42

①, 48mk2

平方后化简得

m212m4

4k2

m212m40,

m642或m64

又由①知

2m40,m2m的取值范围为

0m642当m642且ABx轴时,

y12(21),y22(21),y1y24(1)22m.tanAOB1

符合条件,

故符合条件的m取值范围为0m642.

二、课堂练习:

1.直线l:ykx2与曲线x2y21x0,相交于A、B两点,求直线l



3,, 4224

2.直线ykx1与双曲线x2y21的左支仅有一个公共点,求K的取值范1k1或k

2

y2

1与点P(1,2)3.已知双曲线x,过P点作直线L与双曲线交于A、B2

2

两点,若P为AB1)求直线AB2)若Q为(-1,-1),证明不存在以Q AB:x-y+1=0

y2

1(x1),一条长为8的弦AB的两端在曲线上运动,其中4.双曲线x3

2

5

点为M,求距Y轴最近的点M,22



5.顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线,截直线y2x4所得的弦长为,:y4x或y3622

6.过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点,若A、B在抛物线准线

上的射影分别为E、G,则EFG等于 ( B ) A.45

0000

y8x被过焦点,且倾斜角为135的直线所截,求截得的线段的

20

6,41,6的直线l与抛物线y4x交于A、B两点,求直线l的斜率K

2

3,00,39.过点A2,4作倾斜角为45的直线交抛物线y2pxp0于点P1、

2

P2,若P1P2

2

AP1AP2,求实数pp三、小结 :

(1(2)判断其位置关系看直线是否过定点,在根据定点的位置和双曲线的渐近线(3 五、板书设计六、课后记:采用数形结合、类比联想(椭圆)、启发诱导的教学方法,注重思维能力的培养和学生动手操作的能力的训练,同时结合几何画板进行动画演示,

范文九:教案10:圆锥曲线与方程小结与复习(2课时)

圆锥曲线与方程小结与复习(一)

教学目标:

1、通过小结与复习,使同学们完整准确地理解和掌握三种曲线的特点以及它们之间的区别与联系;2、通过本节教学使学生较全面地掌握本章所教的各种方法与技巧,尤其是解析几何的基本方法――坐标法;并在教学中进一步培养他们形与数结合的思想、化归的数学思想以及“应用数学”的意识;3、结合教学内容对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育。 教学重点:三种曲线的标准方程和图形、性质。 教学难点:做好思路分析,引导学生找到解题的落足点。 教学过程

(Ⅰ)圆锥曲线知识梳理 (一)椭圆

1.定义

(1)第一定义:若F1,F2是两定点,P为动点,且则P点的轨迹是椭PF1PF22aF1F2 (a为常数)圆。

l为定直线,(2)第二定义:若F1为定点,动点P到F1的距离与到定直线l的距离之比为常数(e0

则P点的轨迹是椭圆。

a2a2

(3)焦半径:PF1e(x)exa,PF2e(x)exa

cc

2.标准方程:

x2y2y2x2

(1)焦点在x轴上:221 (ab0);焦点在y轴上:221 (ab0);

abab

(2)焦点的位置标准方程形式 3.几何性质(以焦点在x轴上为例) (1)范围: axa 、byb

(2)对称性:长轴长=2a,短轴长=2b,焦距=2c

ac

x(3)离心率e,准线方程

ca

(4)有用的结论:PF12aPF2,acPF1ac, A1F1A2F2ac,

2

A1F2A2F1ac,顶点与准线距离、焦点与准线距离分别与a,b,c有关

.

(5)PF、三角形面积公式将有关线段PF1、PF2、2c,有关角F1PF21F2中经常利用余弦定理...........结合起来,建立PF1+PF2、PF1PF2等关系

(6)椭圆上的点有时常用到三角换元:(二)双曲线

1.定义:(1)第一定义:若F1,F2是两定点,PF1PF22aF1F2(a为常数),则动点P的轨迹是双曲线。(2)第二定义:若动点P到定点F与定直线l的距离之比是常数e(e>1),则动点P的轨迹是双曲线。(3)焦半径(点P在右

xacos

(椭圆的参数方程)

ybsin

a2a2

),PF2e(x) 支):PF1e(xcc

2.标准方程

x2y2

(1)焦点在x轴上:221 (a0,b0);焦点在y轴上:

aby2x2

21 (a0,b0). 2ab

(2)焦点的位置标准方程形式 3.几何性质(以焦点在x轴上为例) (1)范围:xa或xa、y(,) (2)对称性:实轴长=2a,虚轴长=2b,焦距=2c.

2

ac

(3)离心率e,准线方程x

ca

x2y2b

(4)渐近线方程:220yx.与此有关的结论:若渐近线方程为

aab

xyxyxyb

yx0双曲线可设为22;若双曲线与221有公共渐近线,可设为

abaababx2y2

2(0,焦点在x轴上;0,焦点在y轴上). 2ab

(5)当ab时离心率e可设为xy;

2

2

2222

2两渐近线互相垂直,分别为y=x,此时双曲线为等轴双曲线,

(5)注意PF1F2中结合定义PF1PF22a与余弦定理

cosF1PF2,将有关线段PF1、PF2、F1F2和角结合起来。

(三)抛物线

1.定义:到定点F与定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线。即:到定点F的距离与到定直线l的距离之比是常数e(e=1)。

2.标准方程(以焦点在x轴的正半轴为例): y22px(p0)(其中p为焦点到准线的距离——焦参数);

3.几何性质

ppp

,0),通径AB2p,准线:x; 焦半径:CFx0,过焦

222

pp

点弦长CDx1x2x1x2p.

22

p

(2)几何特征:焦点到顶点的距离=;焦点到准线的距离=p;通径长=2p(通径是最短的焦点弦),

2

(1)焦点:(

顶点是焦点向准线所作垂线段中点。

y

(3)抛物线y2px上的动点可设为P(,y)或P(2pt2,2pt)或P(x,y),其中y22px

2p

2

2

(四)直线与圆锥曲线的关系判断

1.直线与双曲线:当直线与双曲线的渐进线平行时,直线与双曲线仅有一个交点. 2.直线与抛物线:当直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线仅有一个交点.

(五)圆锥曲线的统一定义:平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之 比是一个常数e(e>0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.

其中定点F(c,0)称为焦点,定直线l称为准线,正常数e称为离心率.当0<e<1时,轨迹为椭圆;当e=1时,轨迹为抛物线;当e>1时,轨迹为双曲线。 (Ⅱ)课堂练习: (Ⅲ)作业布置:

圆锥曲线与方程小结与复习(二)

教学目标:

1、通过小结与复习,使同学们完整准确地理解和掌握三种曲线的特点以及它们之间的区别与联系。2、通过本节教学使学生较全面地掌握本章所教的各种方法与技巧,尤其是解析几何的基本方法――坐标法;并在教学中进一步培养他们形与数结合的思想、化归的数学思想以及“应用数学”的意识。3、结合教学内容对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育。 教学重点:三种曲线的标准方程和图形、性质。 教学难点:做好思路分析,引导学生找到解题的落足点。 教学过程: (一)范例探析:

例1、 ⑴ 中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为1/2、长轴长为8; ⑵ 和椭圆9x+4y=36有相同的焦点,且经过点(2,-3);

⑶ 中心在原点,焦点在x轴上,从一个焦点看短轴两端的视角为直角,焦点到长轴上较近顶点的距离是

2

2

分析: 求椭圆的标准方程,首先要根据焦点位置确定方程形式,其次是根据a=b+c及已知条件确定a、b2222

2

xy2y2x2

1或1解 ⑴ 焦点位置可在x轴上,也可在y轴上,因此有两解:

16121612

a2b25xy

⑵ 焦点位置确定,且为(0,5),设原方程为221,(a>b>0),由已知条件有9 4

ab221

ba

2

2

y2x

a15,b10,故方程为

1510

2

2

bcx2y2222

⑶ 设椭圆方程为221,(a>b>0)由题设条件有 及a=b+c,解得

abacxy2

b=5,a,故所求椭圆的方程是

105

x2y2

例2、从椭圆221,(a>b>0)上一点M向x轴所作垂线恰好通过椭圆的左焦点F1,A、B分别是椭圆

ab

长、短轴的端点,AB∥Q是椭圆上任意一点,当QF2⊥AB时,延长QF2与椭圆交于另一点P,若⊿F2PQ

的面积为203x2y2

解 b=c,a=2c,可设椭圆方程为222cc

∵PQ⊥AB,∴kPQ=-

1a

2,则PQ的方程为y=2(x-c),代入椭圆方程整理得5x2-8cx+2c2=0,根kABb

6226

c c,又点F1到PQ的距离d=

53

据弦长公式,得PQ∴SF1PQ

1x2y242422

PQdc ,由c203,得c25,故所求椭圆方程为2502555

例3、 直线ykx1与双曲线3x2y21相交于A、B两点,当a为何值时,A、B在双曲线的同一支上?当a为何值时,A、B分别在双曲线的两支上?

解: 把ykx1代入3x2y21整理得:(3a2)x22ax20„„(1)

当a3时,244a>0得6a6且a3时,方程组有两解,直线与双曲线有两

A、B在双曲线的同一支,须x1x2

2

>0 ,所以

a3或aa23

故当6a3或a6时,A、B两点在同一支上;当3a时,A、By2

1,过点 A(2,1)的直线与已知双曲线交于P、Q1)求PQ中点的例4、 已知双曲线x2

2

轨迹方程;(2)过B(1,1)能否作直线l,使l与所给双曲线交于两点M、N,且B为MN的中点,若存在,求出l解:(1)设P(x1,y1)、Q(x2,y2),其中点为(x,y),PQ的斜率为k,若PQ的斜率不存在显然(2,0)点是

yy2

PQ的斜率存在,由题设知:x111„(1) x221„(2)

22

2

22

(2)-(1)得:(x1x2)(x2x1)又k

xx2k(y1y2)(y2y1)xk

01,即„(3)

2y2y1y22

y122

代入(3)整理得:2xy4xy0 x2

(2)显然过B点垂直Xl的方程为y-1=k(x-1)

y2

1,整理得:2k2x22k1kxk22k30„※ 代入双曲线方程x2

2



设M(x1,y1)、N(x2,y2)则有x1x2

2k1kk=2

2k2

又直线与双曲线必须有两不同交点,所以※式的4k21k42k2k22k32



把K=2代入得8

解:设l与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|3.

由距离公式

|AB|=(x1x2)2(y1y2

)2y1y2|y1y2|则有 (y1y2)29.

2

p

xy1,由2消去x,得y22pyp20. 

y22p(x1).

(2p)24p20.

y1y22p,y1y2p2.

从而(y1y2)2(y1y2)24y1y2,即(2p)24p29.由于p>0,解得p

2

34

例6、 如图,线段AB过x轴正半轴上一点M(m,0)(m>0),端点A、B到x轴距离之积为2m,以x轴为对称轴,过A,O,B (1)求抛物线方程;(2)若tgAOB1,求m解:(1)当AB不垂直x轴时,设AB方程为yk(xm).抛物线方程y22px(p0) yk(xm)由得ky22py2pkm0,y1y22pm|y1y2|2pm2m 2

y2px

p1.当ABX轴时,A,B分别为(m,2Pm),(m,2pm),由题意有2pm2m,p1,

故所求抛物线方程为y22x.

(2)设A(y1,y1),B(y2,y2)由(1)知

22

2

|y1y2|(y1y2)24y1y248m, y1y22m,y1y2 

kk2又tgAOB1

||22k1,k2,y1y21

y1y21

y1y2

m642或m642

2

2

22

即y1y242|y1y2|,2m42

①, 4

8mk2

平方后化简得m212m44

k

2

m212m40,

又由①知2m40,m2m的取值范围为0m642当m64且ABx轴时,

y12(21),y22(21),y1y24(21)22m.tanAOB1符合条件,

故符合条件的m取值范围为0m642. (二)课堂练习:

1.直线ykx1与双曲线x2y21的左支仅有一个公共点,求K1k1或k

2

y2

1与点P2.已知双曲线x(1,2),过P点作直线L与双曲线交于A、B两点,若P为AB1)2

2

求直线AB2)若Q为(-1,-1),证明不存在以Q AB:x-y+1=0

y2

1(x1),一条长为8的弦AB的两端在曲线上运动,其中点为M,求距Y轴最近的点3.双曲线x3

2

5

M,22



(三)小结 :(1)直线与曲线的位置关系有相离、相切、相交三种。(2)判断其位置关系看直线是否过定点,在根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系(3)可通过要根据斜率作进一不的判

定。

(四)课后作业:

范文十:圆锥曲线方程

第八章 圆锥曲线方程

一 椭圆

§8.1 椭圆及其标准方程

●从容说课

圆锥曲线是平面解析几何的主要研究对象,圆锥曲线的有关知识不仅在生产、日常生活中,而且在科学技术中也有着广泛的应用,尤其是今后进一步学习数学的基础,椭圆、双曲线、抛物线都是平面内符合某种条件的点的轨迹,在第七章中,学生己学过求简单曲线方程和利用方程研究曲线几何性质的初步知识,因而,在本章中,可以把椭圆、双曲线、抛物线合起来作为一个整体,先讨论它们的定义,再求它们的方程,最后研究它们的几何性质及应用,但这样做教学难度较大,所以教材对每种曲线按定义、方程、几何性质几项来讨论,以椭圆为学习圆椭曲线的重点,并以之来介绍求圆锥曲线方程和利用方程来研究几何性质的一般方法.由此可见本节内容所处地位之重要.

通过本节内容的学习,学生一方面认识了椭圆与圆的区别与联系,另一方面也为利用方程研究椭圆的几何性质以及为学生类比椭圆的研究过程和方法,为以后学习双曲线、抛物线奠定了基础.

●课时安排

3课时

●从容说课

圆锥曲线是平面解析几何的主要研究对象,圆锥曲线的有关知识不仅在生产、日常生活中,而且在科学技术中也有着广泛的应用,尤其是今后进一步学习数学的基础,椭圆、双曲线、抛物线都是平面内符合某种条件的点的轨迹,在第七章中,学生己学过求简单曲线方程和利用方程研究曲线几何性质的初步知识,因而,在本章中,可以把椭圆、双曲线、抛物线合起来作为一个整体,先讨论它们的定义,再求它们的方程,最后研究它们的几何性质及应用,但这样做教学难度较大,所以教材对每种曲线按定义、方程、几何性质几项来讨论,以椭圆为学习圆椭曲线的重点,并以之来介绍求圆锥曲线方程和利用方程来研究几何性质的一般方法.由此可见本节内容所处地位之重要.

通过本节内容的学习,学生一方面认识了椭圆与圆的区别与联系,另一方面也为利用方程研究椭圆的几何性质以及为学生类比椭圆的研究过程和方法,为以后学习双曲线、抛物线奠定了基础.

●课 题

§8.1.1 椭圆及其标准方程(一)

●教学目标

(一)教学知识点

1.圆锥曲线的概念.

2.椭圆的定义、焦点、焦距.

3.椭圆的标准方程.

(二)能力训练要求

1.使学生明确圆锥曲线的概念.

2.使学生理解并掌握椭圆的定义、焦距.

3.使学生掌握椭圆的标准方程及其推导方法.

(三)德育渗透目标

1.使学生认识并理解世间一切事物的运动都是有规律的.

2.培养学生发现规律、寻求规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力.

3.使学生通过运动规律,认清事物运动的本质.

●教学重点

椭圆的定义及其标准方程.

●教学难点

椭圆标准方程的推导——比较复杂的根式的化简.

●教学方法

讲授法

本节课是圆锥曲线部分的起始课,涉及到的概念都是全新的,因此要通过媒体直观的演示,使学生明确并理解概念;在椭圆标准方程的推导过程中,遇到了比较复杂的根式化简问题,由于这部分内容初中没有详细介绍过,不能完全满足本章学习的需要,因此要通过讲授与学生的认真练习,进而达到突破难点之目的

●教具准备

多媒体课件两个:

(一)P 90章头图,先作两个圆锥(顶对顶,上面的圆锥是倒立的,且上面圆锥的母线是下面圆锥母线的延长线),然后用与圆锥轴线成不同角的平面截圆锥,得到椭圆、双曲线、抛物线等,给学生一个直观的印象,使学生对圆锥曲线有一个初步的感性认识.

(二)倾斜着圆锥形水杯的水面的边界线;汽车的罐截面轮廊线;发电厂通风塔的外形线;拦洪堤的曲线;探照灯反光镜的轴截面的曲线.

同桌的两位同学准备无弹性的细绳一条(约10 cm长,两端各结一个套),图钉两个;教师准备无弹性细绳一条(约50 cm长,两端各结一个套)图钉两个.

投影片一张:

本课时教案后面的预习内容及预习提纲

●教学过程

Ⅰ.课题导入

[师]1997年初,中国科学院紫金山天文台发布了一条消息:从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球,4月以后又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空.1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象.

天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢?原来,海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆,通过观察它运行中的一些有关数据,可以推算出它的运行轨道的方程,从而算出它运行的周期及轨道的周长,预测它接近地球或渐渐离去的时间.在太阳系中,天体运行的轨道除椭圆外,还有双曲线、抛物线等.

在初中几何里我们知道,用一个垂直于圆锥轴的平面截圆锥,得到的截面是一个圆,如果改变平面与圆锥轴线的夹角,会得到一些不同的图形,(利用多媒体课件,做平面截圆锥的演示,将各个不同的图形,用不同的颜色表示出来),这些图形分别是椭圆、双曲线、抛物线等,因此,通常把椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线.

圆锥曲线是我们生活中常见的曲线,例如倾斜着的圆锥形水杯的水面的边界线,汽车油罐截面的轮廓线,发电厂通风的外形线,拦洪坝的曲线,探照灯反光镜的轴截面的曲线,等等,这些边界线、轮廓线、外形线,都是一些有规律的曲线,并且在实际生活、生产中有着广泛的应用,那么怎样进一步加深对这些曲线的认识呢?本章将分别学习如何建立这些曲线的方程,然后利用方程研究它们的性质,并介绍运用这些性质解决实际问题的一些简单实例.(板书章题、单元题、课题)

Ⅱ.讲授新课

[师]请同学们同桌一组用图钉穿过准备好的无弹性细绳两端的套内,并且把图钉固定在两个定点上,然后用笔尖绷紧绳子,使笔尖慢慢移动,看画出的是怎样的一条曲线(请两位同学在黑板上作,要求两定点F1、F2的距离小于绳长,并将图形画在黑板上的适当位置,以备在后面求方程时利用之).

(学生动手,实际作图)

[师]作图完毕的请举手.(教师环视学生完成情况)哪位同学来谈谈自己作出的是什么曲线?

[生甲]我们作出的图形是椭圆,与黑板上的一样.

[生乙]我们作出的是线段.

[师]生乙同学,你谈谈你们作出的为什么是线段呢?

[生乙]我们的绳长与两定点F1、F2的距离相等.

[师]生甲同学注意了吗?你们作图时,绳长与两定点间距离有什么关系呢?

[生甲]我们作图时绳长大于两定点间的距离.

[师]好

[生丙]老师,我们作图时,开始没法作出图形,后来作出了椭圆.

[师]为什么开始没法作出图形呢?

[生丙]开始时,我们俩先确定了定点,谁知用图钉穿进绳子两端的套内后,两图钉不能同时固定在定点上——绳子不够长,后来调整了两定点的距离,才作出了图形.

[师]很好,通过具体的实际操作,我们发现了一个非常值得注意的问题,

即绳长大于两定点间的距离时,我们作出的图形是椭圆;绳长等于两定点间的距离时,我们作出的图形是线段;绳长小于两定点间的距离时,我们不能作出任何图形.

[师]绳长实质上是动点到两定点的距离的和,同学们仍然以组为单位,照我们开始所述的方法再画一个椭圆.

(学生作图)

[师]比比看,两次画出的椭圆一样吗?有什么区别?

[生]不一样,有的“瘦”些,有的“胖”些.

[师]这就奇怪了,绳长没有变,也就是说动点到两定点的距离和没有变,为什么画出的椭圆有的扁有的圆呢?

(学生思考,相互讨论交流)

[生]两定点间的距离越小,椭圆越圆;两定点间的距离越大,椭圆越扁.

[师]很好,从上面的画图过程可以看出,(结合黑板的图形指出)曲线上任意一点与点F1、F2的距离的和等于定长,也可以说,这条曲线是与点F1、F2的距离的和为定长的点的轨迹(或点的集合),我们把这样的曲线叫做椭圆.同学们不仅画出了椭圆,请同学们给出椭圆的定义.(学生可能表述的不尽严密,教师再引导学生准确地表述.)

定义:平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.(板书)

[师]由椭圆的定义,我们可以知道它的基本几何特征,但对于这种新曲线还具有哪些特性,我们还几乎一无所知,因此需要建立椭圆的方程,以便于我们对其作进一步的认识.请同学们回忆一下,求曲线方程的方法步骤是什么?

[生丁]①建系、取点 ②列式 ③代换 ④化简 ⑤证明.

[师]生甲回答正确吗?谁还有什么补充?

[生戌]正确.一般情况下,步骤⑤可以省略不写,如有特殊情况,可予以必要的说明.另外根据情况,也可省略步骤②,直接列出方程.

[师]好,再请同学们考虑一下建系的一般原则有哪些?

[生]原点取在定点或定线段的中点,坐标抽取在定直线上和图形的对称轴上.

[师]好,同学们的回答完全正确.下面我们一起根据椭圆的定义,来求出椭圆的方程.(利用前面作出的图形)先请一位同学来建立坐标系.

[生乙]以F1F2的中点O为原点,直线F1F2为x轴,建立如图所示的坐标系(学生叙述,教师作图并板书)

[师]设M(x,y)是椭圆上任意一点(板书)

请同学们注意:定义中提供的信息,动点与F1、F2的距离和等于常数,这个常数可看作是已知的,这是其一,其二两定点F1、F2之间的距离可看作已知的,于是我们可以„„

(接着板书)

设椭圆的焦距为2c(c>0),那么F1、F2的坐标分别是(-c,0),(c,0),又设M与F1、F2的距离的和等于2a(请注意,我们把焦距设为2c,避免了F1、F2的坐标域为分数的形式). 下面请同学们写出椭圆的集合.

[生庚]由椭圆的定义,椭圆就是集合

P={M||MF1|+|MF2|=2a}.(学生回答,教师板书)

[师]生庚所列的式子,就是动点M与动点F1、F2的距离之和等于 2a,谁来代换一下?

22[生辛]∵|MF1|=(xc)y,

22|MF2|=(xc)y 2222∴(xc)y+(xc)y=2a

(学生回答,教师板书)

[师]上面所得的方程直接反映了椭圆定义所确定的椭圆的本质属性,但为了更进一步利用方程探讨椭圆的其他性质,需要尽量简化方程形式,使数量关系更加明朗化.那么怎样化简呢?

[生]将式子有理化.

[师]好.化简的思路正确,但有理化时,要将方程的两边同时乘方(同次方),以去掉根号,而对上面的方程两边同时平方时,方程左边要用到和的平方公式,第一项平方去掉了根号,第二项平方也去掉了根号,而两项积的2倍更复杂了.为了减少复杂性,达到化简的目的,下面我们一起来对上面的方程进行化简.

请同学们注意:对于含有根式的方程化简时,如果方程中只有一个根式,则将根式单独留在方程的一边,把其他各项移至另一边,之后方程两边同时乘方(同次方)即可;如果方程中含有两个根式,则需将它们分别放在方程的两边,并使其中一边只含有一个根式,之后再将方程两边同时乘方(同次方),再整理,再乘方.

(板书)将这个方程移项后,两边平方得

2222222(x+c)+y=4a-4a(xc)y+(x-c)+y

222整理得a(xc)y=a-cx

上式两边再平方,得

a[(x-c)2+y2]=a4-2a2cx+c2x2(*)

22222222整理得(a-c)x+ay=a(a-c)

由椭圆的定义可知:

2a>2c>0即a>c>0,

22∴a-c>0

222令a-c=b,其中b>0

222(令a-c=b不仅可以使方程变得简单整齐,同时在下一节讨论椭圆的几何性质时,我们

会看到它还有明确的几何意义)

222222代入(*)式,得bx+ay=ab

22这个方程叫做椭圆的标准方程,它所表示的椭圆的焦点在x轴上,焦点是

F1(-c,0),F2(c,0),这里c2=a2-b2.

Ⅲ.课堂练习

如果使点F1、F2在y轴上,a、b、c的意义同上,请同学们再来求一次椭圆的方程. (学生做完之后,教师讲授)指出这个方程也是椭圆的标准方程,实际上,学生练习作的图相当于先将师生共同完成的图中的x 轴、y轴互换得到的.

Ⅳ.课时小结

本节课我们学习了椭圆的定义、焦点、焦距的概念,求出了椭圆的标准方程,请同学们注意:

①椭圆有互相垂直的两条对称轴(由直观性看出),其焦点总是在较长的对称轴上; ②若椭圆的对称轴合于坐标轴,则其方程为椭圆的标准方程;反过来,椭圆的标准方程所表示的椭圆其对称轴合于坐标轴;

③椭圆的两种标准方程中,总是a>b>0,即椭圆的标准方程中,哪个项的分母大焦点就在相应的那个轴上;反过来,焦点在哪个轴上相应的那个项的分母就大.

222222④a、b、c始终满足c=a-b(不要与勾股定理a+b=c混淆).如果焦点在x轴上,焦

点坐标是(-c,0),(c,0);如果焦点在y轴上,焦点坐标是(0,-c),(0,c);

22⑤在遇到形如Ax+By=C的方程中,只要A、B、C同号,方程就是椭圆方程.可以化成 Ax2By21 CC

x2y2

1椭圆标准方程的形式. 即CC

AB

x2y2

1,其表示焦点在x轴上的椭圆,其中如2x+3y=5,可以化成55

2322

a=555222,b=,c可由c=a-b求得,c=,焦点坐标是(-,0),(,0); 66236

Ⅴ.课后作业

(一)1.课本P95,练习1,

2.P96习题8.11

(二)1.预习内容:课本P93,例1,例2.

2.预习提纲:

(1)求椭圆的标准方程,关键是什么?

(2)求满足条件的点的轨迹方程,一般方法步骤是怎样的?如果清楚轨迹类型,是否还需要照这些步骤来做呢?应该怎样做?