>注意:当2aF1F2时,表示分别以F1、F2为端点的两条射线;当2aF1F2时,轨迹不存在.

二、双曲线的标准方程与几何性质:



4

沿途教育

1.a、b、c、e的几何意义:a叫做半实轴长;b叫做半虚轴长;c叫做半焦距;a、b、

c之间满足c2a2b2. e叫做椭圆的离心率,e

c

且e1. e越大,双曲线的张口就越大. a

2.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其渐近线为y

x离心率e3. 双曲线的第二定义:当平面内点M到一个定点F(c,0)(c0)的距离和它到一条定直线l:

ca2

x的距离的比是常数e(e1) 时,这个点的轨迹是双曲线,定点是双曲线的焦点,

ac

定直线叫做双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率.

4.直线与双曲线位置关系同椭圆. 特别地,直线与双曲线有一个公共点,除相切外还有当直线与渐进线平行时,也是一个公共点.

x2y2

5.双曲线221(a>0,b>o)的左右焦点分别为F1,F 2,点P为双曲线上任意一点

ab

F1PF2,则双曲线的焦点角形的面积为SF1PF2b2cot

2

2.4 抛物线

一、抛物线的定义:

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.

注意:当定点F在定直线l上时,点的轨迹为过点F与直线l垂直的直线.

5

二、抛物线的标准方程与简单几何性质:

1. p的几何意义:p表示焦点到准线的距离. 2p表示抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦).

2. 若点M(x0,y0)是抛物线y22px(p0)上任意一点,则MFx0

p. 2

3.若过焦点的直线交抛物线y22px(p0)于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则弦长

ABx1x2p. 4. 焦点弦长|AB|

2psin2

(其中为直线AB的倾斜角)

6

范文三:圆锥曲线与方程知识点总结

1

2

(2)求过点O、F1,并且与椭圆的左准线相切的圆的方程; (3)求F2AF2B的最大值和最小值. 解:(1)由抛物线方程,得焦点F1(1,0).

∴r()(2)

1

23. 2

OMr,

3

,解得t

 2

x2y2

设椭圆的方程:221(ab0).

ab

19

所求圆的方程为(x)2(y2.…………………………8分

24

(3) 由点F,0),F2(1,0) 1(1①若AB垂直于x轴,则A(1,

y24x

解方程组 得C(-1,2),D(1,-2).

x1

由于抛物线、椭圆都关于x轴对称,

|FC|CD|1|,

∴A . …………2分 

|F1A||F1A||AB|11222

1abc1, 又22a2b

11

1,解得b21并推得a22. 22

b12b

22),B(1,), 22

F2A(F2B(2,, 17

…………………………………………9分 22

F2AF2B4

因此,

②若AB与x轴不垂直,设直线AB的斜率为k,则直线AB的方程为 yk(x1) 由

x2

y21 . …………4分 故椭圆的方程为2

(2)ab1,c1, 圆过点O、F1,

yk(x1)2222

得 (12k)x4kx2(k1)0 22

x2y20

8k280,方程有两个不等的实数根.

设A(x1,y1),B(x2,y2).

1

圆心M在直线x上.

2

设M(

1

,t),则圆半径,由于圆与椭圆的左准线相切, 2

4k22(k21)

x1x2, x1x2………………………………11分 22

12k12k

F2(x11,y1),F2(x21,y2)

3

4

5

6

7

8

9

10

作垂直于AF的直线交椭圆C于另外一点P,交x轴正半轴于点 (1)求椭圆C的离心率;

(2)若过A、Q、Fxy50相切,求椭圆C的方程. 解:⑴设Q(x0,0),由F(-c,0y2

1 3

注意数形结合;用判别式的方法时,若所得方程二

一是“设而不求”的方法,利用端点在曲线上,坐标

x=±4,离心率为的椭圆方程是 ( ) 1

2

A(0,b)知(c,b),(x0,b)

b2

,cx0b0,x0…2分

c

2

圆锥曲线单元测试题

8b258

,y1b…… 设P(x1,y1),由,得x113c135

8b225

()(b)213c131…… 因为点P在椭圆上,所以

a2b2

整理得2b2=3ac,即2(a2-c2)=3ac,2e23e20,B.

2

x2y2

1 34

y2

x1

4

2x的一条焦点弦,|AB|=4,则AB中点C的横坐标是 B.

52

b23

⑵由⑴知2b3ac,得a;

c2

2

c11

,得ca22

1

2

31

于是F,0), Q(a,0)

22

11

△AQF的外接圆圆心为(a,0),半径a………

22

1的一条准线与抛物线y2=8x的准线重合,则双曲线的离心率为

22 42

12

1

|a5|所以a,解得a=2,∴c=1,b=,

2

上两点A(x1,y1), B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,且x1x2=, 那 B. D.3

32

=60°,△PF1F2的面积为12,求双曲线的方程.

17.已知动圆C与定圆x2+y2=1内切,与直线x=3相切. (1) 求动圆圆心C的轨迹方程;

(2) 若Q是上述轨迹上一点,求Q到点P(m,0)距离的最小值.

18.如图,O为坐标原点,直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b,且交抛物线

y22px(p0)于M(x1,y1)、N(x2,y2)两点.

19.设x,y∈R,i,j为直角坐标平面内x轴,y轴正方向上的单位向量,若a=xi+(y+2)j,b=xi+(y-2)j,且|a|+|b|=8 (1) 求动点M(x,y)的轨迹C的方程.

(2) 设曲线C上两点A、B,满足(1)直线AB过点(0,3),(2) 且OAPB为矩形,求直线AB方程..

20.动圆M过定点A(-,0),且与定圆A´:(x-2)2+y2=12相切. (1)求动圆圆心M的轨迹C的方程;

(2)过点P(0,2)的直线l与轨迹C交于不同的两点E、F,求的取值范围.

(1) 写出直线l的截距式方程; (2) 证明:

111; y1y2b

(3) 当a2p时,求MON的大小.

x

x2y2

21.已知椭圆221(ab0)的左、右焦点分别是F1(-c, 0)、F2(c, 0),Q是椭圆外

ab

的动点,满足|1|2a,点P是线段F1Q与椭圆的交点,点T在线段F2Q上,并且满足

TF2=0,|TF2|≠0.

(1) 设x为点P的横坐标,证明|F1P|ax;

(2) 求点T的轨迹C的方程;

(3) 试问:在点T的轨迹C上,是否存在点M,使△F1MF2的面积S=b2 ?若存在,求∠F1MF2的正切值,若不存在,请说明理由.

ca

2009年高考题

做到合二为一.

x2y2

1.(2009浙江文)已知椭圆221(ab0)的左焦点为F,右顶点为A,点B

abPB,则椭圆的离心率是在椭圆上,且BFx轴,直线AB交y轴于点P.若AP2

3.(2009安徽卷文)下列曲线中离心率为的是

( )

A. B. C. D.

11A

B

C. D.

32交汇,也体现了数形结合的巧妙应用.

cx2y2c【解析】依据双曲线221的离心率e可判断得

.e.选B。

aaba【答案】B

4.(2009安徽卷文)直线过点(-1,2)且与直线垂直,则的方程是

答案:D 【命题意图】对于对解析几何中与平面向量结合的考查,既体现了几何与向量的

OF,a2c,e【解析】对于椭圆,因为AP2PB,则OA2

2

1

2

A.C.

B.

D.

2.(2009山东卷文)设斜率为2的直线l过抛物线yax(a0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).

【解析】可得l斜率为l:y2【答案】A

323

(x1)即3x2y10,选A。 2

A.y4x B.y8x C. y4x D. y8x

2

【解析】: 抛物线yax(a0)的焦点F坐标为(,0),则直线l的方程为

2222

a4

x2y2

5.(2009天津卷文)设双曲线221(a0,b0)的虚轴长为2,焦距为23,

ab

则双曲线的渐近线方程为( )

A y2x B y2x C y【答案】C

【解析】由已知得到b1,c3,a故渐近线方程为y

因为双曲线的焦点在x轴上,c2b22,

aa1aa

y2(x),它与y轴的交点为A(0,),所以△OAF的面积为|||4,解得

24242a8.所以抛物线方程为y28x,故选B.

1x Dyx

22

答案:B.

【命题立意】:本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算.考查数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数a的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以

b2

xx a2

【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算能力和

推理能力。

3

已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为,两个焦点分别为F1和F2,椭圆

2

G上一点到F1和F2的距离之和为12.圆Ck:xy2kx4y210(kR)的圆心为点Ak. (1)求椭圆G的方程 (2)求AkF1F2的面积

(3)问是否存在圆Ck包围椭圆G?请说明理由.

2

2

到其焦点的距离为

17. 4

(I)求p与m的值;

(II)设抛物线C上一点P的横坐标为t(t0),过P的直线交C于另一点Q,交x

轴于点M,过点Q作PQ的垂线交C于另一点N.若MN是C的切线,求t的最小值.

解析(Ⅰ)由抛物线方程得其准线方程:y

p

,根据抛物线定义 2

x2y2

【解析】(1)设椭圆G的方程为:221 (ab0)半焦距为c;

ab

点A(m,4)到焦点的距离等于它到准线的距离,即4

p171

,解得p 242

2a12

a6222

<
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p>则c, bac36279 ,

解得

c

2a

x2y2

1 所求椭圆G的方程为:

369

(2 )点AK的坐标为K,2

SVAKF1F2

抛物线方程为:x2y,将A(m,4)代入抛物线方程,解得m2

(Ⅱ)由题意知,过点P(t,t)的直线PQ斜率存在且不为0,设其为k。

2

t2ktt2kt

, 则M(,0)。 则lPQ:ytk(xt),当y0,x

kk

2

yt2k(xt)2

联立方程,整理得:xkxt(kt)0 2

xy

即:(xt)[x(kt)]0,解得xt,或xkt

11

F1F22222

Q(kt,(kt)2),而QNQP,直线NQ斜率为

1

lNQ:y(kt)2[x(kt)]

k

22

(3)若k0,由6012k021512kf0可知点(6,0)在圆Ck外,

1 k

22

若k0,由(6)012k021512kf0可知点(-6,0)在圆Ck外;

不论K为何值圆Ck都不能包围椭圆G.

13.(2009浙江文)(本题满分15分)已知抛物线C:x2py(p0)上一点A(m,4)

2

1

y(kt)2[x(kt)]

k

x2y

整理得:

x2

11

x(kt)(kt)20kk

,即:

交点A,B,且OAOB(O为坐标原点),并求出该圆的方程; (3)已知m

kx2x(kt)[k(kt)1]0

[kxk(kt)1][x(kt)]0,解得:x

k(kt)1

,或xkt k

1

,设直线l与圆C:x2y2R2(1

点B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值. 解:(1)因为ab,a(mx,y1),b(x,y1), 所以abmx2y210, 即mx2y21.

k(kt)1[k(kt)1]2

N(,)

kk2

[k(kt)1]2

2(k2kt1)2

k(kt)1t2ktk(t2k21)

kk

k(kt)1

k

当m=0时,方程表示两直线,方程为y1; 当m1时, 方程表示的是圆

当m0且m1时,方程表示的是椭圆; 当m0时,方程表示的是双曲线.

KNM

而抛物线在点N处切线斜率:k切y

x

2k(kt)2

k

(k2kt1)22k(kt)2

, 整理得MN是抛物线的切线,2

kk(tk21)

k2tk12t20

222

,或t,tmin t4(12t)0,解得t(舍去)

333

2

2

1x2

y21,设圆心在原点的圆的一条切线为(2).当m时, 轨迹E的方程为

44

ykxt

xtyk

222

,解方程组x得x4(kxt)42

y14

,即

14. (2009山东卷文)(本小题满分14分)

设mR,在平面直角坐标系中,已知向量a(mx,y1),向量,ab(x,y1)b,动点M(x,y)的轨迹为E. (1)求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;

(14k2)x28ktx4t240,

要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,

则使△=64kt16(14k)(t1)16(4kt1)0,

22

2

2

2

2

(2)已知m

1

,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个4

8kt

xx1214k22222

即4kt10,即t4k1, 且 2

4t4xx12

14k2

解法一:

(I)由已知得,椭圆C的左顶点为A(2,0),上顶点为D(0,1),a2,b1

当且仅当

116k1

,即k时等号成立

433k

x2

y21 故椭圆C的方程为4

(Ⅱ)直线AS的斜率k显然存在,且k0,故可设直线AS的方程为yk(x2),从而M(

k

18时,线段MN的长度取最小值 43

1

4

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当MN取最小值时,k

1016k, 33

此时BS

的方程为xy20,s(,),|BS|

yk(x2)

2222由x2得(14k)x16kx16k40 2

y14

4k16k2428k2

yx设S(x1,y1),则(2),x1得,从而 11222

14k14k14k

64

55 5

要使椭圆C上存在点T,使得TSB的面积等于,只须T到直线BS

的距离等于

1

5

T在平行于BS且与BS

的直线l上。 设直线l':xy10

28k24k

,),又B(2,0) 即S(

14k214k2

110y(x2)x4k3由得

101xy33k101N(,)

33k

故|MN|

35解得t或t

2216k1

33k

又k0,|MN|

16k18

 33k3

31

范文四:圆锥曲线与方程知识点

圆锥曲线与方程知识点

1.椭圆

椭圆的定义:平面内一个动点P到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(

的距离叫作椭圆的焦距.

),这个动点

的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点

椭圆的标准方程: 1.当焦点在

轴上时,椭圆的标准方程:中

,其

2.当焦点在轴上时,

椭圆的标准方程:,其中;

椭圆的简单几何性质:

椭圆的的简单几何性质

(1)对称性

椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形,且是以原点为对称中心的中心

对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心。 (2)范围

椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a,|y|≤b。。

(3)顶点①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆(a>b>0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为

A1(―a,0), A2(a,0),B1(0,―b),B2(0,b)。

③线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴,|A1A2|=2a,|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长 和短半轴长。 (4)离心率

①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用e表示,记作

②因为a>c>0,所以e的取值范围是0<e<1。e越接近1,则c就越接近a

此椭圆越扁;反之,e越接近于0,c就越接近0,从而b越接近于a,这时椭圆就越接近于圆。当且仅当

a=b时,c=0,这时两个焦点重合,图形变为圆

椭圆与(a>b>0)的区别和联系: 见下图

2.双曲线

双曲线的定义:

在平面内,到两个定点

)的动点

离叫作双曲线的焦距.

的距离之差的绝对值等于常数

大于0且

的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点的距

双曲线的标准方程: 1.当焦点在轴上时,双曲线的标准方程:,

其中其中

;2.当焦点在.

轴上时,双曲线的标准方程:,

双曲线的简单几何性质:

(1)对称性:双曲线(a>0,b>0)是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形,

且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为双曲线的中心。 (3)顶点

①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。

②双曲线(a>0,b>0)与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点,坐

标分别为A1(―a,0),A2(a,0),顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。 ③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴;设B1(0,―b),B2(0,b)为y轴上的两个点,则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A

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1A2|=2a,|B1B2|=2b。a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长。

(4)离心率①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率,用e表示,记作 ②因为c>a>0,所以双曲线的离心率

决定双曲线的开口大小,

。 越大,

e也越大,双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。 ③等轴双曲线

,所以离心率

(5)渐近线:经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a,经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b,四条直线围成一个矩形(如图),矩形的两条对角线所在直线的方程是 我们把直线

叫做双曲线的渐近线。

双曲线

与的区别和联系 见下图:

3.抛物线

抛物线的定义:平面内与一个定点F和一条定直线L(L不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线L叫做抛物线的准线. 抛物线的标准方程:抛物线标准方程的四种形式:,,,

抛物线标准方程的几何性质: 1、范围:,,

抛物线y2=2px(p>0)在y轴的右侧,开口向右,这条抛物线上的任意一点M的坐标(x,y)的横坐标满足不等式x≥0;当x的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。 2、对称性:关于x轴对称

抛物线y2=2px(p>0)关于x轴对称,我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。 3、顶点:坐标原点

抛物线y2=2px(p>0)和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是(0,0)。 4、离心率:e=1.

抛物线y2=2px(p>0)上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率。用e 表示,e=1。

注意:与椭圆、双曲线不同,抛物线只有一焦点、一顶点、一条对称轴,一条准线

范文五:第二章《圆锥曲线与方程》知识点(精华)

圆锥曲线

一.直线.圆

(1)过两点A(x1,y1),(的直线的斜率公式:kBx2,y2)(2)直线方程

y2y1

(x1x2)

x2x1

(3)两直线平行与垂直(两直线斜率都存在) 当l1:yk1xb1,l2:yk2xb2时,

l1//l2k1k2,b1b2;l1l2k1k21

Bx2,y2)(4)两点间距离公式:设A(x1,y1),(是平面直角坐标系中的两个点,

则|AB|(5)点到直线距离公式:一点Px0,y0到直线l1:AxByC0的距离dAx0By0C

A2B2

(6) 圆的标准方程:以点C(a,b)为圆心,r为半径的圆的标准方程是(xa)2(yb)2r2. 特例:圆心在坐标原点,半径为r的圆的方程是:x2y2r2.

DE

(7)圆的一般方程:xyDxEyF0 .圆心C,,半径r

22

2

2

D2E24F

2

.

(8)直线与圆的位置关系:

直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2;圆心到直线的距离d

AaBbCA2B2

(9).直线与圆相交于AB,其中点M是AB中点.则有

OMMBBO

2

2

2

唯一让你变得与众不同的天赋是持续不断的忍耐和坚持

二.椭圆知识点

椭圆的定义:

2aF1F2) ,这个动点平面内一个动点P到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(PF1PF22a,P的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.

双曲线的定义可用集合语言表示为:PMMF1MF22a.

注意:若(PF1PF2F1F2),则动点P为线段F1F2;若(PF1PF2F1F2),则动点P无图形. 2.椭圆的标准方程与几何性质:

三双曲线http://www.fanwen99.cn/article/圆锥曲线与方程知识点.htm

>

1.双曲线的定义:

平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a

MF2a,2aF1F2的 1MF2

点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 双曲线的定义可用集合语言表示为:PM

MF1MF2

2a.

注意:当2aF1F2时,表示分别以F1、F2为端点的两条射线;当2aF1F2时,轨迹不存在. 2.双曲线的标准方程与几何性质:

注意:a、b、c、e的几何意义:a叫做半实轴长;b叫做半虚轴长;c叫做半焦距;

c2a2b2. e叫做双曲线的离心率,e

c

且e1,e越大,双曲线的张口就越大 a

四抛物线

1.抛物线的定义:

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点, 直线l叫做抛物线的准线.

注意:当定点F在定直线l上时,点的轨迹为过点F与直线l垂直的直线. 2.抛物线的标准方程与简单几何性质: 注意:

1. 若点M(x0,y0)是抛物线y22px(p0)上任意一点,则MFx0

p

. 2

2.若过焦点的直线交抛物线y22px(p0)于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则弦长ABx1x2p.

范文六:高考数学知识点讲析----圆锥曲线与方程

高考数学知识点讲析:圆锥曲线与方程

【专题要点】

1.考查圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等知识及基本技能、基本方法,常以选择题与填空题的形式出现.

2.直线与二次曲线的位置关系、圆锥曲线的综合问题:常以压轴题的形式出现,这类问题视角新颖,常见的性质、基本概念、基础知识等被附以新的背景,以考查学生的应变能力和解决问题的灵活程度.

3.在考查基础知识的基础上,注意对数学思想与方法的考查,注重对数学能力的考查,强调探究性、综合性、应用性,注重试题的层次性,坚持多角度、多层次的考查,合理调控综合程度.

4.对称问题、轨迹问题、多变量的范围问题、位置问题及最值问题也是本章的几个热点问题,但从最近几年的高考试题本看,难度有所降低,有逐步趋向稳定的趋势.

【考纲要求】 (1)圆锥曲线

① 了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. ② 掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.

③ 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质. ④ 了解圆锥曲线的简单应用. ⑤ 理解数形结合的思想. (2)曲线与方程

了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.

【知识纵横】

教法指引

高考试题中,解析几何试题的分值一般占20%左右,而圆锥曲线的内容在试卷中所占比例又一直稳定在14%左右,选择、填空、解答三种题型均有.选择、填空题主要考查圆锥曲线的标准方程及几何性质等基础知识、基本技能和基本方法的运用;以圆锥曲线为载体的解答题设计中,重点是求曲线的方程和直线与圆锥曲线的位置关系讨论,它们是热中之热.解答

(1) 圆锥曲线的有关元素计算.关系证明或范围的确定; (2) 涉及与圆锥曲线平移与对称变换、最值或位置关系的问题; (3) 求平面曲线(整体或部分)的方程或轨迹.

近年来,高考中解析几何综合题的难度有所下降.随着高考的逐步完善,结合上述考题

特点分析,预测今后高考的命题趋势是:将加强对于圆锥曲线的基本概念和性质的考查,加强对于分析和解决问题能力的考查.因此,教学中要注重对圆锥曲线定义、性质、以及圆锥曲线基本量之间关系的掌握和灵活应用.

高考第二阶段的复习,应在继续作好知识结构调整的同时,抓好数学基本思想、数学基本方法的提炼,进行专题复习;做好“五个转化”,即从单一到综合、从分割到整体、从记忆到应用、从慢速摸仿到快速灵活、从纵向知识到横向方法.这一复习过程,要充分体现分类指导、分类要求的原则,内容的选取一定要有明确的目的性和针对性,要充分发挥教师的创造性,更要充分考虑学生的实际,要密切注意学生的信息反馈,防止过分拔高,加重负担.因此,在圆锥曲线这一章的复习中,设计了分类复习、分层复习、层层递进的复习步骤.

【典例精析】

1.圆锥曲线概念、性质类问题

例1.巳知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x

焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为 .

G上一点到G的两个x2y23

【解析】e,2a12,a6,b3,则所求椭圆方程为1.

3692

例2.(2009江苏13.)如图,在平面直角坐标系xoy中,A1,A2,B1,B2为椭圆

x2y2

21(ab0)的四个顶点,F为其右焦点,直线A1B2与直线B1F相交于点T,线段2ab

OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点,则该椭圆的离

心率为 .【解析】 考查椭圆的基本性质,如顶点、焦点坐标,离心率的计算等。以及直线的方程 直线A1B2的方程为:

xy

1; ab

直线B1F的方程为:

xy1。二者联立解得:cb

T(

2acb(ac)

,), acac

x2y2acb(ac)

则M(,)在椭圆221(ab0)上,

abac2(ac)

c2(ac)2222

1,c10ac3a0,e10e30, 22

(ac)4(ac)

解得:e5

x2y2

例3.(2009辽宁,16)。以知F是双曲线1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的

412

动点,则PFPA的最小值为

【答案】9

【解析】注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F’(4,0), 于是由双曲线性质|PF|-|PF’|=2a=4,而|PA|+|PF’|≥|AF’|=5,

两式相加得|PF|+|PA|≥9,当且仅当A、P、F’三点共线时等号成立. 点评: 在运用双曲线的定义时,应特别注意定义中的条件“差的绝对值”,弄清是整条双曲线,还是双曲线的一支。 例4.(2009福建13).过抛物线

y22px(p0)的焦点F作倾斜角为

B两点,若线段45的直线交抛物线于A、

AB的长为8,则p________________ 【解析】由题意可知过焦点的直线方程为yx

p

, 2

y22px

p22

联立有0,根据ABx1x2p,得4p8p2 px3px

4yx

2

2.与圆锥曲线有关的轨迹类问题

解析几何主要研究两大类问题:一是根据题设条件,求出表示平面曲线的方程;二是通过方程,研究平面曲线的性质.求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程,其实质就是利用题设中的几何条件,用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义,性质等基础知识的掌握,还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力,因此这类问题成为高考命题的热点,也是同学们的一大难点.解答轨迹问题时,若能充分挖掘几何关系,则往往可以简化解题过程.

例5.(1)一动圆与圆xy6x50外切,同时与圆

2

2

x2y26x910内切,求动圆圆心M的轨迹方程,并说明它是

什么样的曲线。

y

x2

y21有动点P,F1,F2是曲线的两个焦点,(2)双曲线9

求PF1F2的重心M的轨迹方程。

P

解析:(1)(法一)设动圆圆心为M(x,y),半径为R,设已知圆的圆心分别为O1、O2, 将圆方程分别配方得:(x3)2y24,(x3)2y2100,

M与O1相切时,有|O1M|R2 ① 当M与O2相切时,有|O2M|10R ②

将①②两式的两边分别相加,得|O1M||O2M|12,

12 ③ 移项再两边分别平方得:

12x ④

两边再平方得:3x4y1080,

2

2

x2y2

整理得1,

3627

x2y2

所以,动圆圆心的轨迹方程是1,轨迹是椭圆。

3627

12,

由以上方程知,动圆圆心M(x,y)到点O1(3,0)和O2(3,0)的距离和是常数12,所以点

M的轨迹是焦点为O1(3,0)、O2(3,0),长轴长等于12的椭圆,并且椭圆的中心在坐标原

点,焦点在x轴上,

∴2c6,2a12,∴c3,a6, ∴b236927,

x2y2

∴圆心轨迹方程为1。

3627

(2)如图,设P,M点坐标各为P(x1,y1),M(x,y),∴在已知双曲线方程中a3,b1,

∴c

∴已知双曲线两焦点为F1(F2, ∵PF1F2存在,∴y10

xx13x由三角形重心坐标公式有 。

y13yyy100

3

∵y10,∴y0。

(3x)2

(3y)21(y0) 已知点P在双曲线上,将上面结果代入已知曲线方程,有9

即所求重心M的轨迹方程为:x9y1(y0)

点评:定义法求轨迹方程的一般方法、步骤;“转移法”求轨迹方程的方法。

例6(2009广东卷理)已知曲线C:yx与直线l:xy20交于两点A(xA,yA)和

2

22

B(xB,yB),且xAxB.记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域

(含边界)为D.设点P(s,t)是L上的任一点,且点P与点A和点B均不重合. (1)若点Q是线段AB的中点,试求线段PQ的中点M的轨迹方程;

51

0与D有公共点,试求a的最小值. 25

152

解:(1)联立yx与yx2得xA1,xB2,则AB中点Q(,),设线段PQ的中

22

15st

15点M坐标为(x,y),则x,即s2x,t2y,又点P在曲线C上, ,y

2222

5111

∴2y(2x)2化简可得yx2x,又点P是L上的任一点,且不与点A和点

228

11511

B重合,则12x2,即x,∴中点M的轨迹方程为yx2x

2448

15(

x).

(2)若曲线G:x22axy24ya2

(2)曲线G:x22axy24ya2即圆E:(xa)2

http://www.fanwen99.cn/article/圆锥曲线与方程知识点.htm
(y2)2

51

0, 25

497,其圆心坐标为E(a,2),半径r 255

51

由图可知,当0a2时,曲线G:x22axy24ya2 0与点D有公共点;

25

51

当a0时,要使曲线G:x22axy24ya2只需圆心E0与点D有公共点,

25

到直线l:xy20的距离d

|a22|

2

|a|2

772,得a0,则a的最小值

55

为

72

. 5

3.直线和圆锥曲线关系类问题

直线与圆锥曲线的位置关系,是高考考查的重中之重,在高考中多以高档题、压轴题出现.主要涉及弦长、弦中点、对称、参量的取值范围、求曲线方程等问题.解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用,解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点,韦达定理求弦长,

根的分布找范围,曲线定义不能忘”.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法,要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高,起到了拉开考生“档次”,有利于选拔的功能.

2

例7.已知直线ykx2k0与抛物线C:y8x相交于A、B两点,F为C的焦点,

若|FA|2|FB|,则k

A.

12

C.

D.

33

2

【解析一】设抛物线C:y8x的准线为l:x2直线 ykx2k0恒过定点P2,0 .如图过A、B分 别作AMl于M,BNl于N, 由|FA|2|FB|,则|AM|2|BN|,点B为AP的

1

|AF|, |OB||BF| 2

点B的横坐标为1, 故点B的坐标

中点.连结OB,则|OB|

(1,k

故选D 

【解析二】设A(x1,y1),B(x2,y2),

yk(x2)2222

,kx(4k8)x4k0,得x1x24。 2

y8x

根据焦半径公式,FAx12,FBx22,|FA|2|FB|,得x12x22。 求得B(1,22),将其代入ykx2k0中得k

22

,故选D。 3

x2y2

例8以知椭圆221(ab0)的两个焦点分别为F1(c,0)和F2(c,0)(c0),过点

aba2

E(,0)的直线与椭圆相交与A,B两点,且F1A//F2B,F1A2F2B

c

(1) 求椭圆的离心率; (2) 求直线AB的斜率;

(3) 设点C与点A关于坐标原点对称,直线F2B上有一点H(m,n)(m0)在AFC1

的外接圆上,求

n

的值 m

本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想,考查运算能力和推理能力.

(I)

a2

c

EF2F2B112FB解:由F1A//F2B且FA,得,从而 122

a2EF1FA21

cc

c 

a 整理,得a2

3c2,故离心率e(II)

解:由(I)得b2a2c22c2,所以椭圆的方程可写为2x3y6c

222

a2

设直线AB的方程为ykx,即yk(x3c).

c

yk(x3c)

由已知设A(x1,y1),B(x2,y2),则它们的坐标满足方程组2 22

2x3y6c

消去y整理,得(23k)x18kcx27kc6c0.

依题意,48c2(13k2)0,得

2

2

2

22

2

k

18k2c

而 x1x2 ① 2

23k27k2c26cc

x1x2 ②

23k2

由题设知,点B为线段AE的中点,所以 x13c2x2 ③

9k2c2c9k2c2c

联立①③解得x1,x2 22

23k23k

将x1,x

2代入②中,解得k3c

2

(III)解法一:由(II)可知x10,x2

当k

A

),由已知得C(0,).

线段AF1的垂直平分线l

的方程为ycx直线l与x轴 2

2

2

ccc2

的交点,0是AFC外接圆的圆心,因此外接圆的方程为xyc1.

222

直线F2B

的方程为y

xc),于是点H(m,n)的坐标满足方程组

522mcc9c23mnn

, 由解得故

m

0,24

nm

nmc)

当k

n. m解法二:由(II)可知x10,x2当k

3c

2

A),

由已知得C(0,) 由椭圆的对称性可知B,F2,C三点共线,因为点H(m,n)在AFC的外接圆上, 1且F1A//F2B,所以四边形AFCH为等腰梯形. 1 由直线F2B

的方程为y

xc),知点H

的坐标为(m).

因为AH

CF1,所以m2)2a2,解得m=c(舍),或m则n

5

c.

3

n.

,所以

m当k

n m

范文七:圆锥曲线与方程知识点复习及例题

第二章 圆锥曲线与方程

§2.1椭圆 知识梳理

1、椭圆及其标准方程

(1).椭圆的定义:椭圆的定义中,平面内动点与两定点F1、F2的距离的和大于|F1F2|这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|F1F2|,则这样的点不存在;若距离之和等于|F1F2|,则动点的轨迹是线段F1F2.

x2y2y2x2

(2).椭圆的标准方程:221 221(a>b>0)

abab

(3).椭圆的标准方程判别方法:判别焦点在哪个轴只要看分母的大小:如果x项的分母大于y项的分母,则椭圆的焦点在x轴上,反之,焦点在y轴上. 2、椭圆的简单几何性质(a>b>0).

22

(1).椭圆的几何性质:设椭圆方程xy1, 线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长

22

2

2

ab

轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b,

c

(2).离心率: e

 0<e<1.e越接近于1时,椭圆越扁;反之,e越接近于0

a

时,椭圆就越接近于圆.

(3)椭圆的焦半径: MF1aex,MF2aex.a=b+c

22

x0y0x2y2

(4).椭圆的的内外部点P(x0,y0)在椭圆221(ab0)的内部221

abab

2

2

2

(5).焦点三角形PF、三角形面积公式将有关线段PF1、PF2、2c,1F2经常利用余弦定理...........有关角F1PF2结合起来,建立PF1PF2、PF1PF2等关系. §2.1.1椭圆及其标准方程

典例剖析

题型一 椭圆的定义应用 例1

题型二 椭圆标准方程的求法

例2 已知椭圆的两个焦点为(-2,0),(2,0)且过点(,),求椭圆的标准方程

5232

§2.1.2椭圆的简单的几何性质 典例剖析

题型一 求椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标等. 例1 已知椭圆x2(m3)y2m(m

0)的离心率e

,求m的值及椭圆的长轴和短2

轴的长、焦点坐标、顶点坐标.

例2 设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( ) A

1 B

. C

.2

1

22

例3 已知椭圆C的焦点F1(-22,0)和F2(22,0),长轴长6,设直线yx2交椭圆C于A、B两点,求线段AB的中点坐标.

§2.2双曲线 知识梳理

1、双曲线及其标准方程

(1)双曲线的定义:平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a(小于|F1F2|)的动点M的轨迹叫做双曲线.在这个定义中,要注意条件2a<|F1F2|,这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|F1F2|,则动点的轨迹是两条射线;若2a>|F1F2|,则无轨迹.若MF1<MF2时,动点M的轨迹仅为双曲线的一个分支,又若MF1>MF2时,轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的,故在定义中应为“差的绝对值”.

(2).双曲线的标准方程判别方法是:如果x项的系数是正数,则焦点在x轴上;如果y

2

2

项的系数是正数,则焦点在y轴上.对于双曲线,a不一定大于b,因此不能像椭圆那样,通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 2、双曲线的简单几何性质

x2y2c(1).双曲线221实轴长为2a,虚轴长为2b,离心率e

e越

aba

大,开口越大.

bx2y2x2y2

(2).双曲线221的渐近线方程为yx或表示为220.若已知双曲线

aabab

的渐近线方程是y

m

x,即mxny0,那么双曲线的方程具有以下形式:n

m2x2n2y2k,其中k是一个不为零的常数.

a2a2

(3)焦半径公式PF1|e(x)|,PF2|e(x)|.

cc

(4)双曲线的方程与渐近线方程的关系

x2y2x2y2b

①若双曲线方程为221渐近线方程:220yx;②若渐近线方

abaabxyxyxyb

程为yx0双曲线可设为22;③若双曲线与221有

abaabab

2

2

2

2

x

http://www.fanwen99.cn/article/圆锥曲线与方程知识点.htm
2y2

公共渐近线,可设为22(0,焦点在x轴上,0,焦点在y轴上).④

ab

x2y22

双曲线221(a,b0)焦点三角形面积:SFPFbcot,高h12

2ab

§2.2.1双曲线的定义与标准方程

典例剖析

题型一 双曲线标准方程的判断

b2cot

c

题型二 求双曲线标准方程

例2 已知双曲线过M(1,1),N(2,5)两点,求双曲线的标准方程 例

3

§2.2.2双曲线的简单的几何性质 典例剖析

题型一 双曲线的性质

x2y2141共焦点,它们的离心率之和为,求双曲线方程. 例1已知双曲线与椭圆

9255

题型二 有共同渐近线的双曲线方程的求法

x2y2



1有共同的渐近线,并且经过点4)的双曲线方程. 例2 求与双曲线93

y2

1上两点A、B,AB中点M(1,2),求直线AB方程; 例3 设双曲线x2

2

例4 k代表实数,讨论方程kx22y280所表示的曲线.

题型三 直线与双曲线的位置关系

22

例 已知不论b取何实数,直线y=kx+b与双曲线x-2y=1总有公共点,试求实数k的取值范围.

§2.3抛物线 知识梳理

1.抛物线的概念

平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上).定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线.方程y2px做抛物线的标准方程.

注意:它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上,焦点坐标是F(

2

p0叫

p

,0),它的准线方程是2

x

p; 2

2.抛物线的性质

一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,有四种不同的情况,所以抛物线的标准方程还有其他几种形式:y2px,x2py,x2py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表:

2

2

2

特点:有一个顶点,一个焦点,一条准线,一条对称轴,无对称中心,没有渐近线;(3)注意强调p的几何意义:是焦点到准线的距离.

§2.3.1抛物线及其标准方程 题型一 求抛物线的标准方程

例1 已知抛物线的焦点在x轴上,抛物线上的点M(—3,m)到焦点的距离等于5,求抛物线的标准方程和m的值.

§2.3.2抛物线的简单的几何性质 题型一 焦点弦问题

2

例 斜率为1的直线经过抛物线y=4x的焦点,与抛物线交于两点A、B,求线段AB的长.

题型二 直线与抛物线的位置关系

例 焦点在y轴上的抛物线被直线x—2y—1=0.

范文八:圆锥曲线与方程知识点+经典大题

圆锥曲线与方程

1.掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质、了解椭圆的参数方程. 2.掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质. 3.掌握抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质.

3.有关直线与圆锥曲线位置关系问题,是高考的重热点问题,这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等,分析这类问题时,往往要利用数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理,多以解答题的形式出现. 4.求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题,是高考命题的一大热点,这类问题综合性较大,运算技巧要求较高;尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合,特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题,是常考常新的试题,将是今后高考命题的一个趋势.

第1课时 椭圆

1.椭圆的两种定义

(1) 平面内与两定点F1,F

2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫椭圆,这两个定点叫做椭圆的 , 之间的距离叫做焦距.

注:①当2a=|F1F2|时,P.②当2a<|F1F2|时,P点的轨迹不存在. (2) e,且

定点F定直线l,e常数e是 . 2.椭圆的标准方程

(1) 焦点在x轴上,中心在原点的椭圆标准方程是:

y2a2

x2a

2

圆锥曲线是高中数学的一个重要内容,它的基本特点是数形兼备,兼容并包,可与代数、三角、几何知识相沟通,历来是高考的重点内容。纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查,基本上是两个客观题,一个主观题,分值21分~24分,占15%左右,并且主要体现出以下几个特点:

1.圆锥曲线的基本问题,主要考查以下内容:

①圆锥曲线的两种定义、标准方程及a、b、c、e、p五个参数的求解. ②圆锥曲线的几何性质的应用. 2、求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高,此类问题的解决需掌握四种基本方法:直译法、定义法、相关点法、参数法.

1

y2b

2

1,( > >0,且a2

(2) 焦点在y轴上,中心在原点的椭圆标准方程是

x2b2

其中a,b满足: . 1,

3.椭圆的几何性质(对

x2a2

y2b2

1,a > b >0进行讨论)

(1) x ≤ y ≤

(2) (3) ,,;准线方程: .

(4) 离心率:e),e,e越接近1,;e 越接近0,椭圆越接近于 . (5) 焦半径公式:设F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,P(x0,y0)是椭圆上一点,则

PF1,PF22aPF1.

∵ 点P(3,4)在椭圆上,∴

9b1 a2a225

(6) . 4.焦点三角形应注意以下关系: (1) 定义:r1+r2=2a

(2) 余弦定理:r12+r22-2r1r2cos=(2c)2

(3) 面积:SPF1F2=r1r2 sin=·2c| y0 |(其中P(x0,y0)为椭圆上一点,|PF1|=r1,|PF2|=r2,∠F1PF2=)

1.

求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0),椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10;

(2)两个焦点的坐标分别是(0,-2)、(0,2),并且椭圆经过点(

1

2

12

解得a2=45或a2=5 又a>c,∴ a2=5舍去. 故所求椭圆的方程为

x2y2

1. 4520

法二:利用△PF1F2是直角三角形,求得c=5(以下同方法一) (2)由焦半径公式: | PF1 |=a+ex=35+| PF2 |=a-ex=35-

12

535535

×3=45 ×3=2

12

∴ SPF1F2=| PF1 |·| PF2 |=×4×2=20

35

,); 22

x2y2

变式训练2:已知P(x0,y0)是椭圆221(a>b>0)上的任

ab

意一点,F1、F2是焦点,求证:以PF2为直径的圆必和以椭圆长轴为

直径的圆相内切.

证明 设以PF2为直径的圆心为A,半径为r.

∵F1、F2为焦点,所以由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a,|PF2|=2r

∴|PF1|+2r=2a,即|PF1|=2(a-r)连结OA,由三角形中位线定理,知 |OA|=

(3)长轴长是短轴长的3倍,并且椭圆经过点A(-3 变式训练1:根据下列条件求椭圆的标准方程 (1) 和椭圆

1x2y2

1共准线,且离心率为.

22420

(2) 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点

例2. 点P(3, 4)是椭圆

x2a

2

42

过P5和5,

33

11

|PF1|2(ar)ar. 22

故以PF2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切.

评注 运用椭圆的定义结合三角形中位线定理,使题目得证。

例3. 如图,椭圆的中心在原点,其左焦点F1与抛物线y4x的焦点重合,过F1的直线与抛物线交于C、D两点.当直线l与xl与椭圆交于A、B两点,(1)求椭圆的方程;

(2)求过点O、F1,并且与椭圆的左准线相切的圆的方程;

2

y2b

2

=1 (a>b>0) 上的一点,F1、F2是它的两焦点,若PF1⊥PF2求:

CDAB

(1) 椭圆的方程;(2) △PF1F2的面积.

解:(1)法一:令F1(-C,0),F2(C,0) ∵ PF1⊥PF2,∴ kPF1kPF2=-1即

x2y2∴ 椭圆的方程为221

aa25

2

44

1,解得c=5 3c3c



(3)求F2AF2B的最大值和最小值.

解:(1)由抛物线方程,得焦点F1(1,0).

x2y2

设椭圆的方程:221(ab0).

aby24x

解方程组 得C(-1,2),D(1,-2).

x1

由于抛物线、椭圆都关于x轴对称,

19

所求圆的方程为(x)2(y2.…………………………8分

24

(3) 由点F1(1,0),F2(1,0) ①若AB垂直于x轴,则A(1,

22

),B(1,), 22

|FC||CD|1

∴A(1, . …………2分 

|F1A|22|F1A||AB|



F2A(F2B(2,,

11222

又abc1, 122

a2b

11

1,解得b21并推得a22. 22

b12b

17

F2AF2B4…………………………………………9分

22

②若AB与x轴不垂直,设直线AB的斜率为k,则直线AB的方程为 yk(x1) 由

因此,

x2

y21 . …………4分 故椭圆的方程为2

(2

)a

yk(x1)

22

x2y20

得 (12k)x4kx2(k1)0

2222

b1,c1,

8k280,方程有两个不等的实数根.

设A(x1,y1),B(x2,y2).

圆过点O、F1,

1

圆心M在直线x上.

2

设M(

4k22(k21)

x1x2, x1x2………………………………11分 22

12k12k

1

,t),则圆半径,由于圆与椭圆的左准线相切, 212

3. 2

F2A(x11,y1),F2B(x21,y2)

F2F2(x11)(x21)y1y2(x11)(x21)k2(x11)(x21)

(1k)x1x2(k1)(x1x2)1k

2

2

2

∴r()(2)

3

由OM

r,

,解得t

2

3

2(k21)4k22

(k1)()1k2 (1k)22

12k12k

2

7k2179

 = 22

22(12k)12k

整理,得(1k2)x210. ①

2

因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于 8k24(1k2)4k22

0,解得k

或k2∴ 满足条件的k的取值范围为

k(,

k20,12k21,0

1

1

12k2

77

F2AF2B[1,],所以当直线l垂于x轴时,F2F2取得最大值

22

当直线l与x轴重合时,F2F2取得最小值1

变式训练3:在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足条件:△ABC的周长为2+2.记动点C的轨迹为曲线W. (1)求W的方程;

(2)经过点(0, 2)且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q, 求k的取值范围;



(3)已知点M2,0),N(0, 1),在(Ⅱ)的条件下,是否存在常数k,使得向量OPOQ

) 22



(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则OPOQ=(x1+x2,y1+y2),

由①得x1x2. ②

又y1y2k(x1x2) ③

因为M,N(0, 1),

所以MN(1).……… 



所以OPOQ与MN共线等价于x1x2y1y2).





与MN共线?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.

解:(Ⅰ) 设C(x, y),

ACBC+AB2AB2, ∴

ACBC2,

∴ 由定义知,动点C的轨迹是以A、B为焦点,长轴长为2的椭圆除去与x轴的两个交点. ∴

a c=1. ∴ bac1.

2

2

2

将②③代入上式,解得k

所以不存在常数k,使得向量OPOQ与MN共线.

例4. 已知椭圆W的中心在原点,焦点在x轴上,

,两条准线间的距离为6. 椭圆W的左焦点为F,过左准线与x轴的交点M任作一条斜率不为零的直线l与椭圆W交于不同的两点A、B,点A关于x轴的对称点为C.

2

∴ W: xy21 (y0). …

2

(1)求椭圆W的方程;

2x(2) 设直线l

的方程为ykx

(kx21. 2



(2)求证:CFFB (R);

(3)求MBC面积S的最大值.

4

x2y2

解:(1)设椭圆W的方程为221,由题意可知

ab

) 又因为(x12)y2(x22)(y1

(x12)k(x23)(x22)k(x13)

ca222

abc,解得a,c2,b, 2

a26,c

k[2x1x25(x1x2)12]

54k21290k2

k[12]

13k213k2

k(54k21290k21236k2)0, 2

13k



所以CFFB. ……………………………………………………………10分

x2y2

所以椭圆W的方程为1.62a2

(2)解法1:因为左准线方程为x所以点M3,

c

的方程为yk(x3).

a2

解法2:因为左准线方程为x3,所以点M坐标为(3,0).

c

于是可设直线l的方程为yk(x3),点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则点C的坐标为(x1,y1),y1k(x13),y2k(x23). 由椭圆的第二定义可得

yk(x3),22222

得(13k)x18kx27k60. xy2

1

26

由直线l与椭圆W交于A、B两点,可知

(18k2)24(13k2)(27k26)0,解得k2

设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),

2

. 3

|FB|x23|y2|

, 

|FC|x13|y1|



所以B,F,C三点共线,即CFFB.…………………………………10分

(3)由题意知

18k227k26

则x1x2,x1x2,y1k(x13),y213k213k2

因为F(2,0),C(x1,y1),

S

11

|MF||y1||MF||y2| 221

|MF||y1y2| 2

1

|k(x1x2)6k| 2



所以FC(x12,y1),FB(x22,y2).

5

6

1.双曲线的两种定义 (1) 平面内与两定点F1,F2的 常数(小于 )的点的轨迹叫做双曲线.

注:①当2a=|F1F2|时,p ②2a>|F1F2|时,p点轨迹不存在.

(2) 平面内动点P到一个定点F和一条定直线l (F不在上)的距离的比是常数e,当e时动点P的轨迹是双曲线.

设P到F1的对应准线的距离为d,到F2对应的准线的距离为d2,则2.双曲线的标准方程 (1) 标准方程:

2

(6) 具有相同渐近线yx

(7) 为 . (8)

x2a2

y2b2

1的共轭双曲线方程为 .

ba

PF1d1

PF2d2

e

例1.根据下列条件,写出双曲线的标准方程

(1) 中心在原点,一个顶点是(0,6),且离心率是1.5.

(2) 与双曲线x2-2y2=2有公共渐近线,且过点M(2,-2). 解:(1)∵顶点为(0,6),设所求双曲线方程为

y2a

2

x2a

2

y2b

2

1,焦点在 轴上;

y2a

2

x2b

2

x2b

2

1 ∴a6

1,焦点在 轴上.其中:a 0,

又∵e1.5 ∴caeb1.59 故所求的双曲线方程为

y2x2

1 3645

b0,a.

(2) 双曲线的标准方程的统一形式:

mx2ny21(nm0)

3.双曲线的几何性质(对

x2ay2b1,a0,b0进行讨论)

(2) 令与双曲线x2-2y2=2有公共渐近线的双曲线为x2-2y2=k ∵ 双曲线过M(2,-2) ∴ 4-2×4=k 得k=-4

y2x2

∴ x-2y=-4即1

24

2

2

(1) 范围:x,y

(2)

(3) ,,准线方程为 ,渐近线方程为 .

(4) 离心率eee,e越小,双曲线开口越 ,焦准距P= .

(5) 焦半径公式,设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若P(x0,y0)是双曲线右支上任意一点,PF1,PF2,若P(x0,y0)是双曲线左支上任意一点,PF1,

PF2.

变式训练1:根据下列条件,求双曲线方程。

x2y2

(1)与双曲线; 1有共同渐近线,且过点(-3,2)

916x2y2

(2)与双曲线1有公共焦点,且过点(32,2)

164

x2y24

解:法一:(1)双曲线1的渐近线为yx

9163

4

令x=-3,y=±4,因234,故点(-3,23)在射线yx(x≤0)及x轴负半轴之间,

3

∴ 双曲线焦点在x轴上

x2y2

设双曲线方程为221,(a>0,b>0)

ab

7

b4a3  22

(3)(23)122ab

29a

解之得:4

b24

解之得:k=4

x2y2

∴ 双曲线方程为1

128

22

yxx2y2

评注:与双曲线221共渐近线的双曲线方程为22(λ≠0),当λ>0时,焦

abab

x2y2

点在x轴上;当λ

ab

y2x222

(a+k>0,b-k>0)。比较上述两种解法可知,引入适当的参数可以提高122

akbk解题质量,特别是充分利用含参数方程的几何意义,可以更准确地理解解析几何的基本思想。 例2双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,它的最小半径为12 m,上口半径为13 m,下口半径为25 m,高55 m.选择适当的坐标系,求出此双曲线的方程(精确到1m).

解:如图8—17,建立直角坐标系xOy,使A圆的直径AA′在x轴上,圆心与原点重合.这时

x2y2

∴ 双曲线方程为1

944

x2y2

(2)设双曲线方程为221(a>0,b>0)

ab

a2b220

则 (32)222

212

ab

2a12

解之得:2

b8

上、下口的直径CC′、BB′平行于x轴,且CC=13×2 (m),BB=25×2 (m).设双曲线的方程

x2y2

为221 (a>0,b>0)令点C的坐标为(13,y),则点B的坐标为(25,y-55).ab252(y55)2132y2

1,221. 因为点B、C在双曲线上,所以2

12b212b

x2y2

∴ 双曲线方程为1

128

x2y2

法二:(1)设双曲线方程为(λ≠0)

916(3)2(2)2

∴ 

9161

∴ 

4

x2y2

∴ 双曲线方程为1

944

16k0y2x2

(1) 设双曲线方程为14k0 16k4k

252(y55)2

1 (1)5122b2

解方程组由方程(2)得 yb (负值舍去).代入方22

1213y1 (2)

122b2

5b

55)2

252程(1)得化简得 19b+275b-18150=0 (3) 1,2212b

2

(

(32)222

∴ 1

16k4k

8

x2y2

1. 解方程(3)得 b≈25 (m).所以所求双曲线方程为:

144625

变式训练2:一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s. (1)爆炸点应在什么样的曲线上?

(2)已知A、B两地相距800 m,并且此时声速为340 m/s,求曲线的方程.

解(1)由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差,可知A、B两处与爆炸点的距离的差,因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上.

因为爆炸点离A处比离B处更远,所以爆炸点应在靠近B处的一支上.

(2)如图8—14,建立直角坐标系xOy,使A、B两点在x轴上,并且点O与线段AB的中点重合.

设爆炸点P的坐标为(x,y),则PAPB3402680, 即2a=680,a=340.又AB800,∴2c=800,c=400,b2=c2-a2=44400.

b

a,22a

1,

(1)解:依题意有:c

a2b2c2,

解得a21,b23.

y2

1. 可得双曲线方程为x3

2

x2y2

1 ∵PAPB6800,∴x>0.所求双曲线的方程为:

11560044400

(x>0). 例3.

1

ABC中,固定底边BC,让顶点A移动,已知BC4,且sinCsinBsinA

2

(2)解:设

M(x0,y0),由双曲线的对称性,可得N(x0,y0).

,求顶

设P(xP,yP),则kPMkPN

20

22

yPy0yPy0yPy02.2

xPx0xPx0xPx0

点A的轨迹方程.

解:取BC的中点O为原点,BC所在直线为x轴,建立直角坐标系,因为BC4,所以B(2,0),c(2,0).利用正弦定理,从条件得cb42,即ABAC2.由双曲线定义知,点A的轨迹是B、C为焦点,焦距为4,实轴长为2,虚轴长为23的双曲线右支,点(1,0)除外,即轨迹方程为x2

y

1(x1). 3

2

12

2y0

又x1,

322

所以y03x03,22同理yP3xP3,

所以kPMkPN

22

3xP33x033. 22

xPx0

x2y2

变式训练3:已知双曲线221(a0,b0)的一条渐近线方程为y3x,两条

ab

准线的距离为l.

(1)求双曲线的方程;

(2)直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M、N,点P为双曲线上异于M、N的一点,且直线PM,PN的斜率均存在,求kPM·kPN的值.

x2

y21的左、右顶点分别为A1、A2,垂直于x轴的直线m与双曲例4. 设双曲线C:2

线C交于不同的两点P、Q。

(1)若直线m与x轴正半轴的交点为T,且A1PA2Q1,求点T的坐标; (2)求直线A1P与直线A2Q的交点M的轨迹E的方程;

(3)过点F(1,0)作直线l与(Ⅱ)中的轨迹E交于不同的两点A、B,设

,

9

若[2,1],求||(T为(Ⅰ)中的点)的取值范围。 解:(1)由题,得A1(2,0),A2(2,0),设P(x0,y0),Q(x0,y0) 则A1(x0

x2

故可设直线l的方程为 xky1,代入y21中,得

2(k22)y24ky20.

设 A(x1,y1),B(x2,y2),y10且y20 则由根与系数的关系,得y1y22k ……⑤

k22

2,y0),A2(x02,y0).

20

20

20

20

由A1PA2Q1xy21,即xy3. …………①

2x02

y01. …………② 又P(x0,y0)在双曲线上,则2

y1y2

联立①、②,解得 x02 由题意, x00, x02.

∴点T的坐标为(2,0) …………3分

(2)设直线A1P与直线A2Q的交点M的坐标为(x,y) 由A1、P、M三点共线,得

2

. ……⑥ …………2分 2

k2

∵FAFB, ∴有y1,且0.

y2

将⑤式平方除以⑥式,得

(x02)yy0(x2) …………③ …………1分

由A2、Q、M三点共线,得

y1y24k214k2 …………1分

2222y2y2k2k2由[2,1]

(x02)yy0(x2) …………④ …………1分

联立③、④,解得 x0

511

220 2

2

,y0x2y

. …………1分 x

14k22220k20k2 …………1分

277.k2

∵TA(x12,y1),TB(x22,y2),TATB(x1x24,y1y2).

∵P(x0,y0)在双曲线上, 2

()2

∴x(2y)21.

2x

2k4(k21)

,x1x24k(y1y2)22. 又y1y22

k2k2

故||(x1x24)(y1y2)

2

2

2

x2

y21 (x0,y0). …………1分 ∴轨迹E的方程为2

(3)容易验证直线l的斜率不为0。

15(k21)24k216(k22)228(k22)82 (k22)2(k2)2(k22)2

10

288

1622

k2(k2)2

令t

x2y2

所以双曲线C的方程为1。

912

(2)由双曲线C的方程可得A13,0,A23,0,又P6,6 所以△A1PA2的重点G(2,2)

设直线l的方程为ykx22代入C的方程,整理得

12711712

∴,即 .0kt[,]. 716k222162k22

7

4

17. 2

∴|TATB|2f(t)8t228t168(t)2

43kx

2

2

12kk1x12k22k40

71169

而 t[,], ∴f(t)[4,].

16232

∴||[2,

又设Mx1,y1,Nx2,y2,Qx0,y0

132

]. 8

21

的双曲线C经3

x0kPA2

x1x26kk18k1;ykx22.0022

23k43k4

y081k 2,kQA22.x033k6k12

161k12

3k6k12

变式训练4:)已知中心在原点,左、右顶点A1、A2在x轴上,离心率为

过点P(6,6),动直线l经过△A1PA2的重心G与双曲线C交于不同两点M、N,Q为线段MN的中点

(1)求双曲线C的标准方程

(2)当直线l的斜率为何值时,QA2PA20。

本小题考查双曲线标准议程中各量之间关系,以及直线与双曲线的位置关系。

QA2PA20,kPA2kQA21,

整理得3k10k40

解得k

2

5 3

④③

x2y2

解(1)设双曲线C的方程为221a0,b0

ab217a2b272

e,e,即,2

333a 2b42,

① 3a

2

43k0

由③,可得 2

485k8k160



解得

46446423

k,且k 553

5 3

由④、⑤,得k

②②

3636

又P(6,6)在双曲线C上,221

ab

由①、②解得a9,b12.

2

2

1.复习双曲线要与椭圆进行类比,尤其要注意它们之间的区别,如a、b、c、e的关系. 2.双曲线的渐近线的探求是一个热点.①已知双曲线方程求渐近线方程;②求已知渐近线方

11

程的双曲线方程. 3.求双曲线的方程,经常要列方程组,因此,方程思想贯穿解析几何的始终,要注意定型(确定曲线形状)、定位(曲线的位置)、定量(曲条件求参数). 4.求双曲线的方程的常用方法: (1) 定义法.

(2) 待定系数法.涉及到直线与圆锥曲线的交点问题,经常是“设而不求”.

5.对于直线与双曲线的位置关系,要注意“数形转化”“数形结合”,既可以转化为方程组的解的个数来确定,又可以把直线与双曲线的渐近线进行比较,从“形”的角度来判断.

特别地,当

2

时,AB为抛物线的通径,且AB

iii) S△AOB= (表示成P与θ的关系式). iv)

11

. 

|AF||BF|

例1. 已知抛物线顶点在原点,对称轴是x轴,抛物线上的点A(3,n)到焦点的距离为5,求抛物线的方程和n的值.

第3课时 抛 物 线

p

解:设抛物线方程为y22px(p0),则焦点是F(,0)

21 ∵点 A(-3,n)在抛物线上,且| AF |=5 叫抛物线的焦点, 叫做抛物线的准线(注意定点在定直线外,否则,轨迹将退化为一

n26P

条直线).

故解得P=4,n26 p22

2.抛物线的标准方程和焦点坐标及准线方程 (3)n5① y2px.

故所求抛物线方程为y28x,n26

② y22px,焦点为 ③ x22py. ④ x22py,焦点为 3.抛物线的几何性质:对y22px(p0)进行讨论. ① 点的范围: 、 . ② 对称性:抛物线关于 轴对称. ③ 离心率e .

④ 焦半径公式:设F是抛物线的焦点,P(xo,yo)是抛物线上一点,则PF ⑤ 焦点弦长公式:设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦) i) 若A(x1,y1),B(x2,y2),则ABy1y2

代入y24x整理得,y24my40

ii) 若AB所在直线的倾斜角为(0)则AB=

12

2

2

变式训练1:求顶点在原点,对称轴是x轴,并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程. 解:因为对称轴是x轴,可设抛物线方程为y22px或y22px(p0) ∵故抛物线方程为y224x或y224x

例2. 已知抛物线C:y24x的焦点为F,过点F的直线l与C相交于A、B. (1) 若AB

16

,求直线l的方程. 3

p

6,∴p=12 2

(2) 求AB的最小值. 解:(1)解法一:

设直线l的方程为:xmy10

设A(x1,y1),B(x2,y2)

则y1,y2是上述关于y的方程的两个不同实根,所以y1y24m 根据抛物线的定义知:| AB |=x1x22 =(1my1)(1my2)24(m21)

16316

若|AB|,则4(m21),m

333

过P作PQ垂直于准线于Q点,由抛物线定义得|PQ|=| PF |,∴| PF |+| PA |=| PA |+| PQ |

要使| PA |+| PQ |最小,A、P、Q三点必共线,即AQ垂直于准线,AQ与抛物线的交点为P点

从而|PA|+|PF|的最小值为3此时P的坐标为(2,2)

变式训练3:一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分,它的方程是x22y(0y20),在杯内放入一个玻璃球,要使球触及酒杯底部,则玻璃球的半径r的取值范围是 。 解:0r1

例4. 设A(x1,y1),B(x2,y2),两点在抛物线y=2x2上,l是AB的垂直平分线. (1)当且仅当x1+x2取何值时,直线l经过抛物线的焦点F?证明你的结论? (2)当直线l的斜率为2时,求在y轴上的截距的取值范围.

解:(1)F∈l|FA|=|FB|A、B两点到抛物线的准线的距离相等.

∵抛物线的准线是x轴的平行线,y1≥0,y2≥0,依题意y1,y2不同时为0.∴上述条件等价于

2

y1=y2x12x2(x1+x2)(x1-x2)=0

17

 22

即直线l有两条,其方程分别为:

x

y10,xy10 33

解法二:由抛物线的焦点弦长公式 |AB|=

2P3

(θ为AB的倾斜角)易知sinθ=, 2

sin2

即直线AB的斜率k=tanθ=3, 故所求直线方程为:

x

y10. y10或x

33

∵x1≠x2 ∴x1+x2=0

即当且仅当x1+x2=0时,l过抛物线的焦点F.

(2)设l在y轴上的截距为b,依题意得l的方程为y=2x+b,过点A、B的直线方程可写为y=-x+m

12

(2) 由(1)知,|AB|4(m21)4 当且仅当m0时,|AB|有最小值4. 解法二:由(1)知|AB|=

2P4

=2 2

sinsin

所以x1、x2满足方程:2x2+x-m=0

且x1+x2=-,由于A、B为抛物线上不同的两点,所以△=+8m>0,即m>-设AB之中点为N(x0,y0),则x0=y0=-x0+m=由N∈l得:于是b=

5

16

11612

11614

14

12

1 32

∴ |AB|min=4 (此时sinθ=1,θ=90°)

2

变式训练2:过抛物线y=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线 ( ) A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无数条 D.不存在 解:B

例3. 若A(3,2),F为抛物线y22x的焦点,P为抛物线上任意一点,求PFPA的最小值及取得最小值时的P的坐标.

解:抛物线y22x的准线方程为x

13

x1x21

 28

+m

1

4

+m=-+b

516

+m>-

19= 3232

9

,+) 32

12

即l在y轴上截距的取值范围是(

变式训练4:正方形ABCD中,一条边AB在直线y=x+4上,另外两顶点C、D在抛物线

y=x上,求正方形的面积.

设C、D的坐标分别为(y12,y1),(y22,y2)( y1> y2),则直线CD的斜率为1. ∴

y1y2y1y2

2

2

2

1

=1,即y1+y2=1 ① y1y2

B(x2,y2),直线AB的斜率为k,则:|AB|=————————或:—————————. 利用这个公式求弦长时,要注意结合韦达定理. 当弦过圆锥曲线的焦点时,可用焦半径进行运算. 3.中点弦问题:

设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆

x2y2

1上不同的两点,且x1≠x2,x1+x2≠0,M(x0,y0)为a2b2

又| CD |=k2|x1x2|=2|y1y2| =(y1-y2) | BC |=

|y12y14|

2

y12y14

2

(y12-y1+4恒正)

2

y12y24

x12y12

1a2b2y1y2y1y2

AB的中点,则 2两式相减可得

2xxx1x212

x2y21a2b2



b2a2

由| CD |=| BC |,有2(y1-y2)=解①、② 得 y1=2或y1=3

2

当y1=2时,有| BC |=32,此时SABCD=18 当y1=3时,有| BC |=52,此时SABCD=50

∴ 正方形的面积为18或50.

2.利用好抛物线定义,进行求线段和的最小值问题的转化. 3.涉及抛物线的弦的中点和弦长等问题要注意利用韦达定理,能避免求交点坐标的复杂运算. 4、解决焦点弦问题时,抛物线的定义有广泛的应用,应注意焦点弦的几何性质.

即 .

对于双曲线、抛物线,可得类似的结论. +1与双曲线3x2-y2=1相交于A、B两点.

(1) 当a为何值时,A、B两点在双曲线的同一支上?当a为何值时,A、B两点分别在双曲线的两支上?

(2) 当a为何值时,以AB为直径的圆过原点?

yax122

解: (1) 联立 (3-a)x-2ax-2=0 ① 22

3xy1

消去y

显然a2≠3,否则方程①只有一解,于是直线与双曲线至多一个交点.

若交点A、B在双曲线同支上,则方程①满足:

4a28(3a2)0a6

2

0a或a2a3

第4课时 直线与圆锥曲线的位置关系

1.直线与圆锥曲线的位置关系,常用研究方法是将曲线方程与直线方程联立,由所得方程组的解的个数来决定,一般地,消元后所得一元二次方程的判别式记为△,△>0时,有两个公共点,△=0时,有一个公共点,△

2.直线与圆锥曲线的交点间的线段叫做圆锥曲线的弦.设弦AB端点的坐标为A(x1,y1),

14

a∈(-,-)∪(,6)

若A、B分别在双曲线的两支上,则有:

4a28(3a2)0

a∈(-3,3) 2

02

a3

(2) 若以AB为直径的圆过点O,则OA⊥OB,设A(x1,y1),B(x2,y2)由于x1+x2=x1x2=

2a

. a3

2

2a

,3a2

据对称性知x1x2,所以

y1y2

是中点弦P1P2所在直线的斜率,由P1、P2在双曲线上,则x1x2

2222

有关系2x1y12,2x2y22.两式相减是:

∴y1y2=(ax1+1)(ax2+1)=a(x1+x2)+a2x1x2+1

22a

=a2+a2+1=1

a33a

2

2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0

∵OA⊥OB ∴x1x2+y1y2=0 ∴

2

+1a=±1 a3

2

∴24(x1x2)2(y1y2)0 ∴

y1y2

4 x1x2

此时△>0,符合要求.

变式训练1:已知直线y=(a+1)x-1与曲线y2=ax恰有一个公共点,求实数a的值. 解:联立方程为

y(a1)x1

2

yax

所求中点弦所在直线为y14(x2),即4xy70.

(2)可假定直线l存在,而求出l的方程为y12(x1),即2xy10

2x2y22

方法同(1),联立方程,消去y,得2x24x30

2xy10

x1

y0

(1) 当a=0时,此时方程组恰有一组解 (2) 当a≠0时,消去x得① 若② 若

然而方程的判别式(4)242380,无实根,因此直线l与双曲线无交点,这一矛盾说明了满足条件的直线l不存在.

x2y2

变式训练2:若椭圆1的弦被点(4,2)平分,则此弦所在直线的斜率为

369

a12

yy10 a

x1a1

=0,即a=-1方程变为一次方程,-y-1=0,方程组恰有一组解

y1a

( )

a1

≠0,即a≠-1,令△=0 a

44(a1)

0,解得a=-

5a

4

5

A.2 B.-2 C. D.-

解:D

例3. 在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称,求k的取值范围.

解法一:设B、C关于直线ykx3对称,直线BC方程为xkym,代入y24x得,

y24ky4m0,设B(x1,y1)、则y0C(x2,y2),BC中点M(x0,y0),

1

3

12

得1+

此时直线与曲线相切,恰有一个公共点,综上所述知,当a=0,-1,-时,直线与曲线只有一个公共点.

例2. 已知双曲线方程2x2-y2=2.

(1) 求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在直线方程; (2) 过点B(1,1)能否作直线l,使l与所给双曲线交于Q1、Q2两点,且点B是弦Q1Q2的中点?这样的直线l如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.

解:(1)即设A(2,1)的中点弦两端点为P1(x1,y1),P2(x2,y2),则有关系x1x24,y1y22.又

y1y2

2k,x02k2m 2

∵点M(x0,y0)在直线l上,∴2kk(2k2m)3 ∴m

2k32k3k32k3(k1)(k2k3)

,代入16k216m0,得0,即0 kkk

解得1k0

15

2y14x1

解法二:设B(x1,y1),C(x2,y2)关于l对称,中点M(x0,y0),则

2y4x22

∴ y=0或y=

2at

a2t21

2at

at1

22

∴ 点B的纵坐标为yB

2a2t

(t0,a1) a2t21

相减得:(y2y2)(y1y2)4(x1x2) ∴2y0()4,y02k,则x0

1k

2k3

k

∴ S(t)=S△ABC=2S△AOB=|OA|·yB =

2

∵M(x0,y0)在抛物线y24x内部,∴y04x0

(2) 当a=2时,S(t)=

8t4t21

84t

t

k32k3(k1)(k2k3)

化简而得0,即0,解得1k0.

kk

∵ t∈[,1],∴ 4t+≥24t=4 当且仅当4t=,t=时,上式等号成立.

1

t

12

121t1t

变式训练3:设抛物线x12y的焦点为F,经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A、B两点,又知点P恰为AB的中点,则AFBF . 解:8 例4. 已知椭圆

x2a

2

2

∴ S(t)=

且a>1),向量=(1, t) (t >0),过点A(-a, 0)且以为y2=1(a为常数,

84t

1

t

≤=2

84

即S(t)的最大值S(t)max=2

方向向量的直线与椭圆交于点B,直线BO交椭圆于点C(O为坐标原点). (1) 求t表示△ABC的面积S( t ); (2) 若a=2,t∈[, 1],求S( t )的最大值.

x2y2

变式训练4:设椭圆C:221(ab0)的左焦点为F,上顶点为A,过点A作

ab

垂直于AF的直线交椭圆C于另外一点P,交x轴正半轴于点Q, 且AP (1)求椭圆C的离心率;

(2)若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l:

12

8

PQ 5

x

xy50相切,求椭圆C的方程.

解:⑴设Q(x0,0),由F(-c,0解:(1) 直线AB的方程为:y=t(x+a),

yt(xa)由x2 得(a2t21)y22aty0 2

2y1a

A(0,b)知FA(c,b),AQ(x0,b)

b2

,cx0b0,x0…2分

c

2

16

17

C.

12

D.

22

x2y2

12.双曲线3x-4y-12x+8y-4=0按向量平移后的双曲线方程为1,则平移向

43

2

2

x2y2

7. 椭圆1上有n个不同的点:P1,P2,…,Pn,椭圆的右焦点为F,数列{|PnF|}

43

量= .

13.P在以F1、F2为焦点的双曲线

—————————.

1

是公差大于的等差数列,则n的最大值是

100

( )

x2y2

1上运动,则△F1F2P的重心G的轨迹方程是169

A.198 B.199 C.200 D.201

x2y2

8. 过点(4, 0)的直线与双曲线1的右支交于A、B两点,则直线AB的斜率k的取

412

14.椭圆

x2y2

1中,以M(-1,2)为中点的弦所在直线的方程为 . 169

15.以下四个关于圆锥曲线的命题中:

① 设A、B为两个定点,kk,则动点P的轨迹为双曲线;

值范围是( ) A.| k |≥1 C.| k |≤

B.| k | >3 D.| k |

12

② 过定圆C上一定点A作圆的动弦AB、O为坐标原点,若(),则动点P的轨迹为椭圆;

③ 方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;

x2x2y2

④ 双曲线1与y21有相同的焦点.

35259

1

2

9. 已知θ为三角形的一个内角,且sinθ+cosθ=,则方程x2sinθ-y2cosθ=1表示 ( )

A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在y轴上的椭圆 C.焦点在x轴上的双曲线 D.焦点在y轴上的双曲线

10.下列图中的多边形均为正多边形,M、N是所在边上的中点,双曲线均以图中的F1、F2

e1、e2、e3,则( ) F2

F2 F1③ F2

其中真命题的序号为 (写出所有真命题的序号). 三、解答题

16.已知双曲线的离心率为2,它的两个焦点为F1、F2,P为双曲线上的一点,且∠F1PF2=60°,△PF1F2的面积为12,求双曲线的方程.

17.已知动圆C与定圆x2+y2=1内切,与直线x=3相切. (1) 求动圆圆心C的轨迹

http://www.fanwen99.cn/article/圆锥曲线与方程知识点.htm
方程;

(2) 若Q是上述轨迹上一点,求Q到点P(m,0)距离的最小值.

A.e1 > e2 > e3 B.e1 e3 二、填空题

11.抛物线y=x2上到直线2x-y=4的距离最近的点是 .

18

18.如图,O为坐标原点,直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b,且交抛物线

y22px(p0)于M(x1,y1)、N(x2,y2)两点.

(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程;

(2)过点P(0,2)的直线l与轨迹C交于不同的两点E、F,求的取值范围.

(1) 写出直线l的截距式方程; (2) 证明:

111; y1y2b

x2y2

21.已知椭圆221(ab0)的左、右焦点分别是F1(-c, 0)、F2(c, 0),Q是椭圆外的

ab

(3) 当a2p时,求MON的大小.

x

动点,满足|F1|2a,点P是线段F1Q与椭圆的交点,点T在线段F2Q上,并且满足TF2=0,|TF2|≠0.

(1) 设x为点P的横坐标,证明|F1P|ax;

(2) 求点T的轨迹C的方程; (3) 试问:在点T的轨迹C上,是否存在点M,使△F1MF2的面积S=b2 ?若存在,求∠F1MF2的正切值,若不存在,请说明理由.

x ca

19.设x,y∈R,i,j为直角坐标平面内x轴,y轴正方向上的单位向量,若a=xi+(y+2)j,b=xi+(y-2)j,且|a|+|b|=8 (1) 求动点M(x,y)的轨迹C的方程.

(2) 设曲线C上两点A、B,满足(1)直线AB过点(0,3),(2) 且OAPB为矩形,求直线AB方程..

20.动圆M过定点A(-2,0),且与定圆A´:(x-2)2+y2=12相切.

19

圆锥曲线单元测试题答案

1.B 2. C 3. A 4. B 5. C 6. A 7. C 8. B 9. B 10. D 11. (1,1) 12. (-2,-1) 13.

9x2

y21(y0) 14. 9x-32y+73=0 15. ③④ 16

16. 解:以焦点F1、F2所在直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y

轴建立直角坐标系,如

右图所示:

设双曲线方程为:

x2y2

1 a2b2

所以

11yy1 y1y2y1y2by1y

,k22. x1x2

(3) 设直线OM,ON的斜率分别为k1,k2

则k1

依题意有:

c

ea2

1

SPF1F2|PF1||PF2|sin6012

2

|PF1||PF2|2a

当a=2p时,知y1y2=-4p2,x1x2=4p2 所以,k1k2=-1,即MON=90°.

19.( 1 ) 解:令M(x,y),F1(0,-2),F2(0,2) 则a=F1,b=F2,即

|a|+|b|=|F1|+|F2|,即|F1|+|F2|=8 又∵ F1F2=4=2c,∴ c=2,a=4,b2=12

y2x2

所求轨迹方程为 1

1612

解之得:a2=4,c2=16,b2=12

x2y2

故所求双曲线方程为:1

412

17.解:(1) 设C(a,b),则R3a

⊙C与⊙O内切,a2b213a

( 2) 解:由条件(2)可知OAB不共线,故直线AB的斜率存在,设AB方程为y=kx+3,A(x1,

ykx3

22

y1),B(x2,y2),则 (3k+4)x+18kx-21=0 y2x2

1

1612

18k21

x1+x2=-2 x1·x2=2

3k43k4

b24a4即轨迹方程为y24x4

22

(2) 设Q(x0,y0),则y04x04

PQ(x0m)

2

2

y0

(x0m)4x04

2

x0(m2)

2

y1·y2=(kx1+3) (kx2+3)=k2 x1x2+3k(x1+x2)+9

3b48k2=

3k24

4m

当m21,即m1时

PQmin

∵ OAPB为矩形,∴ OA⊥OB =0

2

1(m2)

2

4mm2m1m 当m21,即m1时,

PQmin2m

∴ x1x2+y1y2=0 得k= 4

18.解:(1)

xy

1 ab

(2) 由直线方程及抛物线方程可得: by2+2pay-2pab=0

2pa

故 y1y2,y1y22pa

b

所求直线方程为y=x+3.

4

20.解:(1)A´(2,0),依题意有|MA´|+=23 |+

|MA| |MA´

20

=2 >22

∴点M的轨迹是以A´、A为焦点,23为长轴上的椭圆,∵a=3,c= ∴b2=1.因此点M的轨迹方程为

x2

y21 3

x

消去x得:(k2+3)y2-4k2y+4k2-3=0 y21,

3

2

∴ =cos0°=|PE|·|PF|=t1t2=

9

12sin2

19由<sin2≤1得:∈3, 2

2

(2) 解法一:设l的方程为x=k(y-2)代入

由△>0得16k4-(4k2-3)(k2+3)>0 0≤k2<1

设E(x1,y1),F(x2,y2),

4k234k2

则y1+y2=2,y1y2=2

k3k3

21.(1) 证法一:设点P的坐标为(x,y)

由P(x,y)在椭圆上,得 |F1|=xc)x

2

2

又=(x1,y1-2),=(x2,y2-2) ∴=x1x2+(y1-2)(y2-2) =k(y1-2)·k (y2-2) +(y1-2)(y2-2)

24k234k =(1+k)242k23k3

=(xc)2b2

c

a

b22

x a2

=(ax)2

高考荟萃 2009年高考题

2

9(k21)2

91 2

k23k3

x2y2

1.(2009浙江文)已知椭圆221(ab0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在

ab



椭圆上,且BFx轴,直线AB交y轴于点P.若A则椭圆的离心率是( )P2PB,

9

∵0≤k2<1 ∴3≤k2+3<4 ∴∈3,

2

解法二:设过P(0,2)的直线l的参数方程为

xtcos

(t为参数,为直线l的倾角) 

y2tsin

A

11 B

C. D.2232

答案:D 【命题意图】对于对解析几何中与平面向量结合的考查,既体现了几何与向量的交汇,也体现了数形结合的巧妙应用.

x2

代入y21中并整理得:

3

(1+2sin2)t2+12sin·t+9=0

22

由△=12sin-36(1+2sin2)>0 得:sin2> 又t1t2=

12

1

【解析】对于椭圆,因为AP2PB,则OA2OF,a2c,e

2

2.(2009山东卷文)设斜率为2的直线l过抛物线yax(a0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).

2

9

12sin2

A.y4x B.y8x C. y4x D. y8x

2222

【答案】A

a0)的焦点F坐标为(,0),则直线l的方程为y2(x),【解析】: 抛物线yax(

它与y轴的交点为A(0,),所以△OAF的面积为线方程为y8x,故选B.

2

a

4a4

x2y2

5.(2009天津卷文)设双曲线221(a0,b0)的虚轴长为2,焦距为23,则

ab

双曲线的渐近线方程为( )

A yx B y2x C y【答案】C

【解析】由已知得到b1,c故渐近线方程为y

a

21aa

|||4,解得a8.所以抛物242

21x Dyx 22

2

答案:B.

【命题立意】:本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算.考查数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数a的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做到合二为一.

,ac2b22,因为双曲线的焦点在x轴上,

b2

xx a2

【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算能力和推

理能力。

6.(2009辽宁卷文)已知圆C与直线x-y=0 及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为

3.(2009安徽卷文)下列曲线中离心率为的是

(A)(x1)(y1)2 (B) (x1)(y1)2 (C) (x1)(y1)2 (D) (x1)(y1)2

【解析】圆心在x+y=0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等2即可. 【答案】B

7.(2009宁夏海南卷文)已知圆C1:(x1)+(y1)=1,圆C2与圆C1关于直线

2

2

2

2

2

2

2222

A. B. C. D.

cx2y2c

【解析】依据双曲线221的离心率e可判断得

.e.选B。

aaba

【答案】B

4.(2009安徽卷文)直线过点(-1,2)且与直线垂直,则的方程是

A.C.

B.

D.

xy10对称,则圆C2的方程为

(A)(x2)+(y2)=1 (B)(x2)+(y2)=1 (C)(x2)+(y2)=1 (D)(x2)+(y2)=1 【答案】B

2

2

2222

【解析】可得l斜率为l:y2

3

23

(x1)即3x2y10,选A。 2

22

a1b1

10a222

【解析】设圆C2的圆心为(a,b),则依题意,有,解得:,

b2b11

a1

对称圆的半径不变,为1,故选B。.

1

|22

0)到直线的距离da为21,解得a=1

|

【考点定位】本试题考查了直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式的运用。考察了同学们的运算能力和推理能力。

11.(2009宁夏海南卷文)已知抛物线C的顶点坐标为原点,焦点在x轴上,直线y=x与抛物线C交于A,B两点,若P2,2为AB的中点,则抛物线C的方程为 。 【答案】y4x

【解析】设抛物线为y2=kx,与y=x联立方程组,消去y,得:x2-kx=0,x1x2=k=2

2

x2y2

8.(2009福建卷文)若双曲线221ao的离心率为2,则a等于

a3

A. 2

B. C.

3

D. 1 2

xyc1可知虚轴e=2,解得a=1a23a2

2

×2,故y4x.

12.(2009年广东卷文)(本小题满分14分)

已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为

2

2

2

解析解析

或a=3,参照选项知而应选D.

9.(2009年广东卷文)以点(2,1)为圆心且与直线xy63

,两个焦点分别为F1和F2,椭圆G2

25

【答案】(x2)(y1)

2

2

2

上一点到F1和F2的距离之和为12.圆Ck:xy2kx4y210(kR)的圆心为

【解析】将直线xy6化为xy60,

圆的半径r

25

程为(x2)(y1)

2

2

2

2

2

2

所以圆的方

点Ak.

(1)求椭圆G的方程 (2)求AkF1F2的面积

(3)问是否存在圆Ck包围椭圆G?请说明理由.

10.(2009天津卷文)若圆xy4与圆xy2ay60(a0)的公共弦长为

2

2,则a=________.

【答案】1

【解析】由已知,两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为y

x2y2

【解析】(1)设椭圆G的方程为:221 (ab0)半焦距为c;

ab2a12

a6222

则c, bac36279 ,

解得

c

a2

1

,利用圆心(0,a

222

,或t,tmin t24(12t2)0,解得t(舍去)

333

14. (2009山东卷文)(本小题满分14分)

ykxt

22222

解方程组x2得,即x4(kxt)4(14k)x8ktx4t40, 2

y14

要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,

则使△=64kt16(14k)(t1)16(4kt1)0,

22

2

2

2

2



设mR,在平面直角坐标系中,已知向量a(mx,y1),向量b(x,y1),ab,

动点M(x,y)的轨迹为E.

(1)求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;

(2)已知m

1

,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交4

8kt

xx1214k22222

即4kt10,即t4k1, 且 2

xx4t41214k2

k2(4t24)8k2t2t24k22

y1y2(kx1t)(kx2t)kx1x2kt(x1x2)tt22

14k14k14k2

2

2

点A,B,且OAOB(O为坐标原点),并求出该圆的方程; (3)已知m

1222

,设直线l与圆C:xyR(1

,

B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值.



解:(1)因为ab,a(mx,y1),b(x,y1),

2222

所以abmxy10, 即mxy1.

4t24t24k25t24k24

0, 要使OAOB, 需使x1x2y1y20,即

14k214k214k2

所以5t4k40, 即5t4k4且t4k1, 即4k420k5恒成立.

所以又因为直线ykxt为圆心在原点的圆的一条切线,

2

2

2

2

2

2

2

2

当m=0时,方程表示两直线,方程为y1; 当m1时, 方程表示的是圆

当m0且m1时,方程表示的是椭圆; 当m0时,方程表示的是双曲线.

42

(1k)4t4222所以圆的半径为r,r, 所求的圆为. xy2251k1k52

x21

y21,设圆心在原点的圆的一条切线为ykxt,(2).当m时, 轨迹E的方程为44

x2222

当切线的斜率不存在时,切线为x5,与y21交于点(5,5)或

4555

(

22

5,5)也满足OAOB. 55

综上, 存在圆心在原点的圆x2y2

4

,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点5

在直角三角形OA1B1中,|A1B1|2|OB1|2|OA1|25

4422

R5(R)因为22RR



A,B,且OAOB.

x21

(3)当m时,轨迹E的方程为y21,设直线l的方程为ykxt,因为直线l与圆

44

C:xyR(1

)知R因为l与轨迹E只有一个公共点B1,

2

2

2

4

R2

4当且仅当R(1,2)时取等号,所以|A1B1|2541,即

2R

当R

(1,2)时|A1B1|取得最大值,最大值为1.

, 即tR(1k) ①,

222

【命题立意】:本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可以通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题. 15.(2009安徽卷文)(本小题满分12分)

ykxt22

由(2)知x2得x4(kxt)4, 2

y14

即(14k)x8ktx4t40有唯一解

22

2

2

2

2

2

2

2

已知椭圆(a>b>0)的离心率为圆与直线y=x+2相切, (Ⅰ)求a与b;

,以原点为圆心。椭圆短半轴长半径的

(Ⅱ)设该椭圆的左,右焦点分别为

2

2

和,直线过且与x轴垂直,动直线与y

则△=64kt16(14k)(t1)16(4kt1)0, 即4kt10, 轴垂直,交与点p..求线段P②

垂直平分线与的交点M的轨迹方程,并指明曲线类型。

23R2

t4R2

由①②得, 此时A,B重合为B1(x1,y1)点, 2

k2R14R2

x2y2c【思路】(1

)由椭圆221中a2b2c2及ea、b等量关系,再根据

aab

直线与椭圆相切求出a、b.

(2)依据几何关系转化为代数方程可求得,这之中的消参就很重要了。

c2a2b21b222

【解析】(1)

由于e ∴e2∴ ∴2

又b2

33aaa8kt

xx124t2416R21614k22

由 中x1x2,所以,x1, 222

14k3Rxx4t4

12

14k2

b=2,a=3

因此,a.

22

(2)由(1)知F1,F2两点分别为(-1,0),(1,0),由题意可设P(1,t).(t≠0).那么t

线段PF1中点为N(0,),设M(x、y)是所求轨迹上的任意点.由于

2

124R24222

B1(x1,y1)点在椭圆上,所以y1x1,所以, |OB|xy511122

43RR

2

1

ttMNPF12xt(y)0

MN(x,y) . PF1(2,t)则2

2yt

y24x(x0)

2

k36k50 (4) ,其轨迹为抛物线(除原点)

16.(2009江西卷文)(本小题满分14分)

9 k2

16

x2

y21的内接△如图,已知圆G:(x2)yr是椭圆16

2

2

2

32k

得(16k21)x232kx0,则异于零的解为x

16k21

为椭圆的左顶点.

x2,k2x21),则x1

(1)求圆G的半径r;

(2)过点M(0,1)作圆G的两条切线交椭圆于E,F两点,

证明:直线EF与圆G相切.

32k132k2

,x222

16k1116k21

kEF

k2x2k1x1kk312

x2x1116k1k24

2

32k1y:2

16k11

1

32k13

(x) 416k121

(2r,y0)解: (1)设B,过圆心G作GDAB于D,BC由

yGDHB

0, 

ADAH6r

即 y0 (1)

2

2 的距离d

3(2r)2124rr214分) 而点B(2r,y0)在椭圆上,y011616(2) 1(ab0)的两个焦点分别为F1(c,0),F2(c,0)(c0),过点

262

由(1)、 (2)式得15r8r120,解得r或r(舍去)

35A,B两点,且F1A//F2B,|F1A|2|F2B| 422

(2) 设过点M(0,1)与圆(x2)y相切的直线方程为:y1

9

(Ⅲ)设点C与点A关于坐标原点对称,直线F2B上有一点H(m,n)(m0)在AF1C的外接圆上,求

k

n

的值。 m

c32n22

(2)k(3) 

m5a33

|EF2||F2B|1

,从而

|EF1||F1A|2

2 3

23c

,当k时,得A(0,2c)由已知得C(0,2c)

32

2c2c(x),直线l与x轴的交点222

(3)由(2)知,x10,x2

【答案】(1)e

线段AF1的垂直平分线l的方程为y

【解析】 (1)解:由F1A//F2B,|F1A||F2B|,得

a2

c

c122,整理得,故离心率 ea3c2

a32a

cc

(2)解:由(1)知,所以椭圆的方程可以写为2x3y6c bac2c,

2

2

2

2

2

2

2

ccc

(,0)是AF1C的外接圆的圆心,因此外接圆的方程为(x)2y2(c)2 222

直线F2B的方程为y

2(xc),于是点H(m,n)满足方程组

c29c22

5c22cn22(m)n

,故 24由m0,解得m,n

32m5n2(mc)

当k

a2

)即yk(x3c) 设直线AB的方程为yk(xc

yk(x3c)

由已知设A(x1,y1)B(x2,y2)则它们的坐标满足方程组2 22

2x3y6c

2n22

时,同理可得 3m5

【考点定位】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线方程,圆的方程等基

础知识。考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的思想,考查运算能力和推理能力。 18.(2009辽宁卷文)(本小题满分12分)

已知,椭圆C以过点A(1,

(1) 求椭圆C的方程;

(2) E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直

线EF的斜率为定值,并求出这个定值。

消去y整理,得(23k)x18kcx27kc6c0 依题意,48c(13k)0,

2

2

2

2

222222

3

k 33

2

2

3

),两个焦点为(-1,0)(1,0)。 2

而x1x2

18k27kc6c

,xx,有题设知,点B为线段AE的中点,12

23k223k2

所以x13c2x2

9k2c2c9k2c22c2

,x2联立三式,解得x1,将结果代入韦达定理中解得

23k223k2

x2y2

21。 (22)解:(Ⅰ)由题意,c=1,可设椭圆方程为2

1b4b

因为A在椭圆上,所以

19322

,解得=3,=(舍去)。 bb122

1b4b4

即直线EF的斜率为定值,其值为

1

。 .......12分 2

x2y2

所以椭圆方程为 .....4分 1. .

43x2y23

(Ⅱ)设直线AE方程:得yk(x1),代入1得

432

19.(2009宁夏海南卷文)(本小题满分12分)

已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点,焦点在x轴上,它的一个项点到两个 焦点的距离分别是7和1 (I) (II)

求椭圆C的方程‘

若P为椭圆C的动点,M为过P且垂直于x轴的直线上的点,

3

(3+4k2)x2+4k(32k)x4(k)2120

2

设E(xE,yE),F(xF,yF).因为点A(1,

3

)在椭圆上,所以 2

OPOM

e

3

4(k)212

, xE2

34k

(e为椭圆C的离心率),求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。 解:

(Ⅰ)设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得

3

......8yEkxEk。 .

2

又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,在上式中以k代k,可得

{

ac1,ac7.

解得a=4,c=3,

x2y2

1. 所以椭圆C的方程为

167

3

4(k)212

, xF34k2

.由已知得 (Ⅱ)设M(x,y),P(x,y1),其中x4,4

3

yFkxFk。

2

所以直线EF的斜率kEF

x2y122

e. 22

xy

而e

yFyEk(xFx1E)2k。 xFxExFxE2

32222

,故16(xy1)9(xy). ① 4

21

1127x2

, 由点P在椭圆C上得 y

16

代入①式并化简得9y112,

2

(I)由已知得,椭圆C的左顶点为A(2,0),上顶点为D(0,1),a2,b1

所以点M

的轨迹方程为y4x4),轨迹是两条平行于x轴的线段.

x22

故椭圆C的方程为y1

4

(Ⅱ)直线AS的斜率k显然存在,且k0,故可设直线AS的方程为yk(x2),从

20.(2009福建卷文)(本小题满分14分)

x2y2

已知直线x2y20经过椭圆C:221(ab0)

ab

而M(

的左顶点A和上顶点D,椭圆C的右顶点为B,点S和椭 圆C上位于x轴上方的动点,直线,AS,BS与直线l:x分别交于M,N两点。 (I)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)求线段MN的长度的最小值;

(Ⅲ)当线段MN的长度最小时,在椭圆C上是否存在这

样的点T,使得TSB的面积为?若存在,确定点T的个数,若不存在,说明理由

1016k,) 33

10 3

yk(x2)2222由x2得(14k)x16kx16k40 2

y14

16k2428k24k

设S(x1,y1),则(2),x1得,从而 xy11222

14k14k14k

28k24k

,),又B(2,0) 即S(

14k214k2110y(x2)x4k3由得

101xy33k

1

5

101N(,)

33k

故|MN|

16k1

33k

16k18

 33k3

|MN|又k0,

解法一:

当且仅当

16k11

,即k时等号成立 

33k4

k18时,线段MN的长度取最小值 43

1 4

5(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当MN取最小值时,k 此时BS

的方程为xy20,s(|BS|64

55

要使椭圆C上存在点T,使得TSB的面积等于,只须T到直线BS

的距离等于1

5

,所以T在平行于BS且与BS

的直线l上。 44

设直线l':xy10

35,解得t或t 422 31

范文九:圆锥曲线方程知识点

圆锥曲线方程知识点

考试内容:

椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质. 考试要求:

(1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,了解椭圆的参数方程. (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. (4)了解圆锥曲线的初步应用.

圆锥曲线方程 知识要点

一、椭圆方程.

1. 椭圆方程的第一定义:

PF1PF22aF1F2方程为椭圆,PF1PF22aF1F2无轨迹,

PF1PF22aF1F2F1,F2为端点的线段

⑴①椭圆的标准方程:

i. 中心在原点,焦点在x轴上:

y2a

2

x2a2

y2b2

1(ab0).

ii. 中心在原点,焦点在y轴上:

x2b

2

1(ab0).

2

②一般方程:AxBy1(A0,B0).③椭圆的标准参数方程:

2

x2a

2

y2b

2

1的参数方程为

xacos

(一象限应是属于0). 

2ybsin

⑵①顶点:(a,0)(0,b)或(0,a)(b,0).②轴:对称轴:x轴,y轴;长轴长2a,短轴长2b.③(c,0)(c,0)或(0,c)(0,c).④焦点:F1F2

a2a2

x准线:或y.⑥2c,cab.⑤

cc

2

2

离心率:e

c

焦点半径: (0e1).⑦

a

x2a

2

i. 设P(x0,y0)为椭圆

y2b

2

PF1a1(ab0)上的一点,F1,F2 ex0,PF2aex0

由椭圆方程的第二定义可以推出. ii.设P(x0,y0)为椭圆

x2b

2

y2a

2

PF11(ab0)上的一点,F1,F2 aey0,PF2aey0

由椭圆方程的第二定义可以推出.

由椭圆第二定义可知:pF1e(x0a)aex0(x00),pF2e(ax0)ex0a(x00)归结起来为

c

c

2

2

“左加右减”.

注意:椭圆参数方程的推导:得N(acos,bsin)方程的轨迹为椭圆. ⑧通径:垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标:d

2b2a2

b2b2

(c,)和(c,)

aa

⑶共离心率的椭圆系的方程:椭圆程

x2a2

y2b2

x2a2

y2b2

1(ab0)的离心率是e

c

(ca2b2),方a

t(t是大于0的参数,ab0)的离心率也是e

c

我们称此方程为共离心率的a

椭圆系方程. ⑸若P是椭圆:b2tan

x2a2

y2b2

1上的点.F1,F2为焦点,若F1PF2,则PF1F2的面积为

2

(用余弦定理与PF1PF22a可得). 若是双曲线,则面积为b2cot

2

.

二、双曲线方程.

1. 双曲线的第一定义:

PF1PF22aF1F2方程为双曲线PF1PF22aF1F2无轨迹

),asin)

PF1PF22aF1F2F1,F2的一个端点的一条射线

⑴①双曲线标准方程:Ax2Cy21(AC0).

x2a

2

y2b

2

1(a,b0),

y2a

2

x2b

2

1(a,b0). 一般方程:

⑵①i. 焦点在x轴上:

a2xy顶点:(a,0),(a,0) 焦点:(c,0),(c,0) 准线方程x 渐近线方程:0或

cab

x2a

2

y2b

2

0

a2

ii. 焦点在y轴上:顶点:(0,a),(0,a). 焦点:(0,c),(0,c). 准线方程:y. 渐近线

c

xasecxbtany2x2yx

方程:0或220,参数方程:或 .

ababybtanyasec

2a2c

②轴x,y为对称轴,实轴长为2a, 虚轴长为2b,焦距2c. ③离心率e. ④准线距ca2b2c

准线的距离);通径. ⑤参数关系c2a2b2,e. ⑥焦点半径公式:对于双曲线方

aa

x2a2

y2b2

1(F1,F2分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)

“长加短减”原则: MF1ex0aMF2ex0a

构成满足MF1MF22a

MF1ex0aMF2ex0a

(与椭圆焦半径不同,椭圆焦半

http://www.fanwen99.cn/article/圆锥曲线与方程知识点.htm

MF1ey0aMF2ey0a

MF1ey0a

MF2ey0a

⑶等轴双曲线:双曲线x2y2a2称为等轴双曲线,其渐近线方程为yx,离心率e2. ⑷共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭

x2y2x2y2x2y2

双曲线.22与22互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线:220.

ababab⑸共渐近线的双曲线系方程:

x2a

2

y2b

2

(0)的渐近线方程为

x2a

2

y22

0如果双曲线的

x2y2xy

渐近线为0时,它的双曲线方程可设为22(0).

abab

例如:若双曲线一条渐近线为y

2

11

x且过p(3,)22

2

2

解:令双曲线的方程为:

yx1x

1y2(0),代入(3,)得8224

⑹直线与双曲线的位置关系:

区域①:无切线,2条与渐近线平行的直线,合计2条;

区域②:即定点在双曲线上,1条切线,2条与渐近线平行的直线,合计3条; 区域③:2条切线,2条与渐近线平行的直线,合计4条;

区域④:即定点在渐近线上且非原点,1条切线,1条与渐近线平行的直线,合计2条; 区域⑤:即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线.

小结:过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.

(2)若直线与双曲线一支有交点,交点为二个时,求确定直线的斜率可用代入法与渐“”近线求交和两根之和与两根之积同号. ⑺若P在双曲线离比为m︰n.

PF1

x2a

2

y2b

2

1,则常用结论1:P到焦点的距离为m = n,则P到两准线的距

简证:

d1me = . d2PF2n

e

常用结论2:从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.

三、抛物线方程.

3. 设p0,抛物线的标准方程、类型及其几何性质:

2

4acb2b

). 注:①aybycx顶点(

4a2a

②y22px(p0)则焦点半径PFxP;x22py(p0)则焦点半径为PFyP.

2

2

③通径为2p,这是过焦点的所有弦中最短的.

x2pt2x2pt

④y2px(或x2py)的参数方程为(或)(t为参数). 2

y2pty2pt

2

2

四、圆锥曲线的统一定义..

4. 圆锥曲线的统一定义:平面内到定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹. 当0e1时,轨迹为椭圆; 当e1时,轨迹为抛物线; 当e1时,轨迹为双曲线;

c

当e0时,轨迹为圆(e,当c0,ab时).

a5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如:椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.

因为具有对称性,所以欲证AB=CD, 即证AD与BC的中点重合即可.

1. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质. 2. 等轴双曲线 3. 共轭双曲线

5. 方程y2=ax与x2=ay的焦点坐标及准线方程. 6.共渐近线的双曲线系方程.

范文十:圆锥曲线与方程知识点总结

圆锥曲线与方程

1.掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质、了解椭圆的参数方程. 2.掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质. 3.掌握抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质.

的初步应用.

3.有关直线与圆锥曲线位置关系问题,是高考的重热点问题,这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等,分析这类问题时,往往要利用数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理,多以解答题的形式出现. 4.求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题,是高考命题的一大热点,这类问题综合性较大,运算技巧要求较高;尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合,特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题,是常考常新的试题,将是今后高考命题的一个趋势.

第1课时 椭圆

1.椭圆的两种定义

(1) 平面内与两定点F1,F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫椭圆,这两个定点叫做椭圆的 , 之间的距离叫做焦距.

注:①当2a=|F1F2|时,P.②当2a<|F1F2|时,P点的轨迹不存在. (2) 椭圆的第二定义:到的距离的距离之比是常数e,且

定点F是椭圆的,定直线le的点的轨迹叫椭圆.

常数e是 . 2.椭圆的标准方程

(1) 焦点在x轴上,中心在原点的椭圆标准方程是:

y2a

圆锥曲线是高中数学的一个重要内容,它的基本特点是数形兼备,兼容并包,可与代数、三角、几何知识相沟通,历来是高考的重点内容。纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查,基本上是两个客观题,一个主观题,分值21分~24分,占15%左右,并且主要体现出以下几个特点:

1.圆锥曲线的基本问题,主要考查以下内容:

①圆锥曲线的两种定义、标准方程及a、b、c、e、p五个参数的求解. ②圆锥曲线的几何性质的应用. 2、求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高,此类问题的解决需掌握四种基本方法:直译法

、定义法、相关点法、参数法.

1

x2a2

x2b

y2b2

1,( > >0,且a2

(2) 焦点在y轴上,中心在原点的椭圆标准方程是

其中a,b满足: . 1,

3.椭圆的几何性质(对

x2a2

y2b2

1,a > b >0进行讨论)

(1) ≤ x ≤y ≤(2) 对称性:对称轴方 ;对称中心为 (3) 焦,长半轴短半轴长准线方程: .

e越接近1,e (4) 离心率:e),e,;

越接近0,椭圆越接近于 . (5) 焦半径公式:设F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,P(x0,y0)是椭圆上一点,则

PF1PF22aPF1.

∵ 点P(3,4)在椭圆上,∴

9b21 2aa25

(6) 椭圆的参数.

4.焦点三角形应注意以下关系: (1) 定义:r1+r2=2a

(2) 余弦定理:r12+r22-2r1r2cos=(2c)2

(3) 面积:SPF1F2=r1r2 sin=·2c| y0 |(其中P(x0,y0)为椭圆上一点,|PF1|=r1,|PF2|=r2,∠F1PF2=)

1.

求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0),椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10;

(2)两个焦点的坐标分别是(0,-2)、(0,2),并且椭圆经过点(

1

2

12

解得a2=45或a2=5 又a>c,∴ a2=5舍去. 故所求椭圆的方程为

x2y2

1. 4520

法二:利用△PF1F2是直角三角形,求得c=5(以下同方法一) (2)由焦半径公式: | PF1 |=a+ex=3+| PF2 |=a-ex=3-

12

535535

×3=4 ×3=2

12

∴ SPF1F2=| PF1 |·| PF2 |=×4×25=20

35

,); 22

x2y2

变式训练2:已知P(x0,y0)是椭圆221(a>b>0)上的任

ab

意一点,F1、F2是焦点,求证:以PF2为直径的圆必和以椭圆长轴为

直径的圆相内切.

证明 设以PF2为直径的圆心为A,半径为r.

∵F1、F2为焦点,所以由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a,|PF2|=2r

∴|PF1|+2r=2a,即|PF1|=2(a-r)连结OA,由三角形中位线定理,知 |OA|=

(3)长轴长是短轴长的3倍,并且椭圆经过点A(-3 变式训练1:根据下列条件求椭圆的标准方程 (1) 和椭圆

1x2y2

1共准线,且离心率为.

22420

42

5和,过P33

(2) 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点

例2. 点P(3, 4)是椭圆

x2a

2

11

|PF1|2(ar)ar. 22

故以PF2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切.

评注 运用椭圆的定义结合三角形中位线定理,使题目得证。

2

例3. 如图,椭圆的中心在原点,其左焦点F,过F1与抛物线y4x的焦点重合1的直线

y2b

2

=1 (a>b>0) 上的一点,F1、F2是它的两焦点,若PF1⊥PF2求:

l与椭圆交于A、B两点,与抛物线交于C、D两点.当直线l与x(1)求椭圆的方程;

(2)求过点O、F左准线相切的圆的方程; 1,并且与椭圆的

CDAB

(1) 椭圆的方程;(2) △PF1F2的面积.

解:(1)法一:令F1(-C,0),F2(C,0) ∵ PF1⊥PF2,∴ kPF1kPF2=-1即

x2y2

1 ∴ 椭圆的方程为22

aa25

2

44

1,解得c=5 3c3c



(3)求F2AF2B的最大值和最小值.

解:(1)由抛物线方程,得焦点F1(1,0).

x2y2

设椭圆的方程:221(ab0).

aby24x

解方程组 得C(-1,2),D(1,-2).

x1

由于抛物线、椭圆都关于x轴对称,

19

所求圆的方

程为(x)2(y2.…………………………8分

24

(3) 由点F,0),F2(1,0) 1(1①若AB垂直于x轴,则A(1,

22

),B(1,), 22

|FC|CD|1|,

∴A(1, . …………2分 

|F1A|

22|F1A||AB|

11222

1又abc1, 22a2b

11

1,解得b21并推得a22. 22

b12b

F2A(2,



F2B(2,, 22

17

F2AF2B4…………………………………………9分

22

②若AB与x轴不垂直,设直线AB的斜率为k,则直线AB的方程为 yk(x1)

因此,

x22

故椭圆的方程为y1 . …………4分

2

(2

)ab1,c1,

yk(x1)由2 得 (12k2)x24k2x2(k21)0 2

x2y20

8k280,方程有两个不等的实数根.

设A(x1,y1),B(x2,y2).

圆过点O、F1,

1

圆心M在直线x上.

2

设M(

4k22(k21)

x1x2, x1x2………………………………11分 22

12k12k

1

,t),则圆半径,由于圆与椭圆的左准线相切, 2

F2(x11,y1),F2(x21,y2)

F2F2(x11)(x21)y1y2(x11)(x21)k2(x11)(x21)

(1k)x1x2(k1)(x1x2)1k

2

2

2

∴r()(2)

123. 2

3

由OM

r,

,解得t

2

3

2(k21)4k22

(k1)()1k2 (1k)22

12k12k

2

7k2179

= 22

22(12k)12k

k20,12k21,0

1

1

12k2

整理,

得(1k2)x210. ①

2

因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于 8k24(1k2)4k22

0,解得k

或k.

2∴ 满足条件的k的取值范围为

k(,77

F2F2[1,],所以当直线l垂于x轴时,F2F2取得最大值

22

当直线l与x轴重合时,F2F2取得最小值1

变式训练3:在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足条件:△ABC的周长为2+记动点C的轨迹为曲线W. (1)求W的方程;

(2)经过点(0, 2)且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q, 求k的取值范围;

) 

(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则OPOQ=(x1+x2,y1+y2),

由①得x1x2. ②

又y1y2k(x1x2) ③ 

为M),N(0, 1),

所以MN(1).……… 



所以OPOQ与MN共线等价于x1x2y. 1y2)



(3)已知点M,0),N(0, 1),在(Ⅱ)的条件下,是否存在常数k,使得向量OPOQ

与MN共线?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.

解:(Ⅰ) 设C(x, y),

ACBC+AB2AB2, ∴

ACBC2,

∴ 由定义知,动点C的轨迹是以A、B为焦点,长轴长为的椭圆除去与x轴的两个交点.

将②③代入上式,解

得k.



所以不存在常数k,使得向量OPOQ与MN共线.

例4. 已知椭圆W的中心在原点,焦点在x轴上,离心

两条准线间的距离为6. 椭圆W的左焦点为F,过左准线与x轴的交点M任作一条斜率不为零的直线l与椭圆W交

a c=1. ∴ bac1.

于不同的两点A、B,点A关于x轴的对称点为C.

2

∴ W: xy21 (y0). …

2

2

2

2

(1)求椭圆W的方程;

2x(2) 设直线l

的方程为ykx圆方程,

得(kx21. 2



(2)求证:CFFB (R);

(3)求MBC面积S的最大值.

4

x2y2

解:(1)设椭圆W的方程为221,由题意可知

abca222

abc,解得ac2,b 2

a26,c

又因为(x12)y2(x22)(y1)

(x12)k(x23)(x22)k(x13) k[2x1x25(x1x2)12]

54k21290k2

k[12] 22

13k13k

k(54k21290k21236k2)0, 2

13k



所以CFFB. ……………………………………………………………10分

x2y2

所以椭圆W的方程为1.62a2

(2)解法1:因为左准线方程为x3,所以点Mc

的方程为yk(x3).

a2

3,所以点M坐标为(3,0). 解法2:因为左准线方程为xc

于是可设直线l的方程为yk(x3),点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则点C的坐标为(x1,y1),y1k(x13),y2k(x23). 由椭圆的第二定义可得

yk(x3),2

得(13k2)x218k2x27k260. xy2

1

62

由直线l与椭圆W交于A、B两点,可知

(18k2)24(13k2)(27k26)0,解得k2

设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则x1x2

2

. 3

|FB|x23|y2|

, 

|FC|x13|y1|



所以B,F,C三点共线,即CFFB.…………………………………10分

(3)由题意知

18k27k6

xx,,y1k(x13),y212

13k213k2

22

S

11

|MF||y1||MF||y2| 221

|MF||y1y2| 2

1

|k(x1x2)6k| 2

因为F(2,0),C(x1,y1),



所以FC(x12,y1),FB(x22,y2).

5

1.双曲线的两种定义 (1) 平面内与两定点F1,F2的 常数(小于 )的点的轨迹叫做双曲线.

注:①当2a=|F1F2|时,p. ②2a>|F1F2|时,p点轨迹不存在.

(2) 平面内动点P到一个定点F和一条定直线l (F不在上)的距离的比是常数e,当e 时动点P的轨迹是双曲线.

设P到F1的对应准线的距离为d,到F2对应的准线的距离为d2,则2.双曲线的标准方程 (1) 标准方程:

2

(6) 具有相同渐近线yx的双曲线系方程为

(7) 的双曲线叫等轴双曲线,等轴双曲线的渐,离心率为 . (8)

x2a2

y2b2

1的共轭双曲线方程为 .

ba

PF1d1

PF2d2

e

例1.根据下列条件,写出双曲线的标准方程

(1) 中心在原点,一个顶点是(0,6),且离心率是1.5.

(2) 与双曲线x2-2y2=2有公共渐近线,且过点M(2,-2). 解:(1)∵顶点为(0,6),设所求双曲线方程为

y2a

2

x2a

y2b

1,焦点在 轴上;

y2a

x2b

x2b

2

1 ∴a6

1,焦点在 轴上.其中:a 0,

又∵e1.5 ∴caeb1.59

y2x2

故所求的双曲线方程为1

3645

b 0,a .

(2) 双曲线的标准方程的统一形式:

mx2ny21(nm0)

3.双曲线的几何性质(对

x2ay2b1,a0,b0进行讨论)

(2) 令与双曲线x-2y=2有公共渐近线的双曲线为x-2y=k ∵ 双曲线过M(2,-2) ∴ 4-2×4=k 得k=-4

y2x2

∴ x-2y=-4即1

24

2

2

2222

(1) 范围:x,y.

(2) 对称性:对称轴方程为 ;对称中心为 .

(3) 焦点坐实轴长为虚轴长为,准线方程为 ,渐近线方程为 .

(4) 离心率e,且e,e越大,双曲线e越小,双曲线开口越 ,焦准距P= .

(5) 焦半径公式,设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若P(x0,y0)是双曲线右支上任意一点,PF1PF2P(x0,y0)是双曲线左支上任意一点,PF1PF2 .

变式训练1:根据下列条件,求双曲线方程。

x2y2

1有共同渐近线,且过点(-3,2)(1)与双曲线; 916x2y2

1有公共焦点,且过点(3,2) (2)与双曲线164

x2y241的渐近线为yx 解:法一:(1)双曲线9163

4

令x=-3,y=±4,因234,故点(-3,2)在射线yx(x≤0)及x轴负半轴之间,

3

∴ 双曲线焦点在x轴上

x2y2

设双曲线方程为221,(a>0,b>0)

ab

7

b4a3  22

(3)(23)122ba

29a

4 解之得:

b24

解之得:k=4

x2y2

∴ 双曲线方程为1

128x2y2x2y2

评注:与双曲线221共渐近线的双曲线方程为22(λ≠0),当λ>0时,焦

abab

x2y2

点在x轴上;当λ

ab

y2x222

(a+k>0,b-k>0)。比较上述两种解法可知,引入适当的参数可以提高1

a2kb2k解题质量,特别是充分利用含参数方程的几何意义,可以更准确地理解解析几何的基本思想。 例2双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,它的最小半径为12 m,上口半径为13 m,下口半径为25 m,高55 m.选择适当的坐标系,求出此双曲线的方程(精确到1m).

解:如图8—17,建立直角坐标系xOy,使A圆的直径AA′在x轴上,圆心与原点重合.这时

x2y2

1 ∴ 双曲线方程为944

x2y2

(2)设双曲线方程为221(a>0,b>0)

ab

a2b220

则 (32)222

212

ba

2a12

解之得:

2b8

x2y2

1 ∴ 双曲线方程为128

x2y2

(λ≠0) 法二:(1)设双曲线方程为916

上、下口的直径CC′、BB′平行于x轴,且CC=13×2 (m),BB=25×2 (m).设双曲线的方程

x2y2

为221 (a>0,b>0)令点C的坐标为(13,y),则点B的坐标为(25,y-55).ab252(y55)2132y2

1,221. 因为点B、C在双曲线上,所以2

12b212b

(3)2(2)2

 ∴ 9161

∴ 

4

x2y2

1 ∴ 双曲线方程为944

16k0y2x2

1(1) 设双曲线方程为4k0 16k4k(3)222

1 ∴

16k4k

8

252(y55)2

1 (1)2

5122bb (负值舍去).代入方解方程组由方程(2)得 y221213y1 (2)

122b2

5b

55)22

252程(1)得化简得 19b+275b-18150=0 (3) 1,2212b

(

x2y2

1. 解方程(3)得 b≈25 (m).所以所求双曲线方程为:

144625

变式训练2:一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s. (1)爆炸点应在什么样的曲线上?

(2)已知A、B两地相距800 m,并且此时声速为340 m/s,求曲线的方程.

解(1)由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差,可知A、B两处与爆炸点的距离的差,因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上.

因为爆炸点离A处比离B处更远,所以爆炸点应在靠近B处的一支上.

(2)如图8—14,建立直角坐标系xOy,使A、B两点在x轴上,并且点O与线段AB的中点重合.

设爆炸点P的坐标为(x,y),则PB3402680, 即2a=680,a=340.又800,∴2c=800,c=400,b2=c2-a2=44400.

b

a,22a

1,

(1)解:依题意有:c

a2b2c2,

解得a21,b23.

y2

可得双曲线方程为x1.

3

2

x2y2

1 ∵6800,∴x>0.所求双曲线的方程为:

11560044400

(x>0).

1

例3. ABC中,固定底边BC,让顶点A移动,已知BC4,且sinCsinBsinA,求顶

2

(2)解:设

M(x0,y0),由双曲线的对称性,可得N(x0,y0).

设P(xP,yP),则kPMkPN

2

22

yPy0yPy0yPy02.2

xPx0xPx0xPx0

点A的轨迹方程.

解:取BC的中点O为原点,BC所在直线为x轴,建立直角坐标系,因为BC4,所以B(2,0),c(2,0).利用正弦定理,从条件得cb42,即ABAC2.由双曲线定义知,点A的轨迹是B、C为焦点,焦距为4,实轴长为2,虚轴长为23的双曲线右支,

y2

1(x1). 点(1,0)除外,即轨迹方程为x3

2

12

2y0

又x1,

322

所以y03x03,22同理yP3xP3,

所以kPMkPN

22

3xP33x033. 22

xPx0

x2y2

变式训练3:已知双曲线221(a0,b0)的一条渐近线方程为yx,两条

ab

准线的距离为l.

(1)求双曲线的方程;

(2)直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M、N,点P为双曲线上异于M、N的一点,且直线PM,PN的斜率均存在,求kPM·kPN的值.

x2

y21的左、右顶点分别为A1、A2,垂直于x轴的直线m与双曲例4. 设双曲线C:2

线C交于不同的两点P、Q。

(1)若直线m与x轴正半轴的交点为T,且A1A21,求点T的坐标; (2)求直线A1P与直线A2Q的交点M的轨迹E的方程;

(3)过点F(1,0)作直线l与(Ⅱ)中的轨迹E交于不同的两点A、B,设

,

9

若[2,1],求||(T为(Ⅰ)中的点)的取值范围。 解:(1)由题,得A1(2,0),A2(2,0),设P(x0,y0),Q(x0,y0) 则A1P(x02,y0),A2Q(x02,y0).

由A1A21xy21,即xy3. …………①

2

x02

又P(x0,y0)在双曲线上,则y01. …………②

2

x2

故可设直线l的方程为 xky1,代入y21中,得

2

(k22)y24ky20.

设 A(x1,y1),B(x2,y2),y10且y20 则由根与系数的关系,得y1y222k ……⑤

k2

20202020

y1y2

联立①、②,解得 x02 由题意, x00, x02.

∴点T的坐标为(2,0) …………3分

(2)设直线A1P与直线A2Q的交点M的坐标为(x,y) 由A1、P、M三点共线,得

2

. ……⑥ …………2分 2

k2

∵ ∴有y1,且0. y2

将⑤式平方除以⑥式,得

(x02)yy0(x2) …………③ …………1分

由A2、Q、M三点共线,得

y1y24k214k2 …………1分

2222y2y2k2k2

由[2,1]

(x02)yy0(x2) …………④ …………1分

联立③、④,解得 x0

511

220 2

2

,y0x2y

. …………1分 x

14k22220k20k2 …………1分

277.k2

∵(x12,y1),(x22,y2),(x1x24,y1y2).

∵P(x0,y0)在双曲线上, 2

()2

∴(2y)21.

2x

2k4(k21)

,x1x24k(y1y2)22. 又y1y22

k2k2

故||(x1x24)(y1y2)

2

2

2

x2

y21 (x0,y0). …………1分 ∴轨迹E的方程为2

(3)容易验证直线l的斜率不为0。

15(k21)24k216(k22)228(k22)82 22222

(k2)(k2)(k2)

10

288

1622

k2(k2)2

令t

x2y2

所以双曲线C的方程为1。

912

(2)由双曲线C的方程可得A13,0,A23,0,又P6,6 所以△A1PA2的重点G(2,2)

设直线l的方程为ykx22代入C的方程,整理得

12711712

∴,即 .0kt[,]. 716k222162k22

7

4

17. 2

∴||2f(t)8t228t168(t)2

43kx

2

2

12kk1x12k22k40



71169

而 t[,], ∴f(t)[4,].

16232

∴||[2,

又设Mx1,y1,Nx2,y2,Qx0,y0

2

]. 8

21

的双曲线C经3

x0kPA2

变式训练4:)已知中心在原点,左、右顶点A1、A2在x轴上,离心率为

x1x26kk18k1;ykx22.00

23k243k24

y081k 2,kQA22.x033k6k12

161k12

3k6k12

过点P(6,6),动直线l经过△A1PA2的重心G与双曲线C交于不同两点M、N,Q为线段MN的中点

(1)求双曲线C的标准方程

(2)当直线l的斜率为何值时,QA2PA20。

本小题考查双曲线标准议程中各量之间关系,以及直线与双曲线的位置关系。

QA2PA20,kPA2kQA21,

整理得3k10k40

解得k

2

5 3

④③

x2y2

解(1)设双曲线C的方程为221a0,b0

ab

2

43k0

由③,可得

2

485k8k160



217a2b272

e,e,即,2

333a

2b42,

3① a

3636

又P(6,6)在双曲线C上,221

ab

由①、②解得a9,b12.

11

2

2

解得

4644642k,且k 553

5 3

由④、⑤,得k

②②

1.复习双曲线要与椭圆进行类比,尤其要注意它们之间的区别,如a、b、c、e的关系. 2.双曲线的渐近线的探求是一个热点.①已知双曲线方程求渐近线方程;②求已知渐近线方

程的双曲线方程. 3.求双曲线的方程,经常要列方程组,因此,方程思想贯穿解析几何的始终,要注意定型(确定曲线形状)、定位(曲线的位置)、定量(曲条件求参数). 4.求双曲线的方程的常用方法: (1) 定义法.

(2) 待定系数法.涉及到直线与圆锥曲线的交点问题,经常是“设而不求”.

5.对于直线与双曲线的位置关系,要注意“数形转化”“数形结合”,既可以转化为方程组的解的个数来确定,又可以把直线与双曲线的渐近线进行比较,从“形”的角度来判断.

特别地,当

时,AB为抛物线的通径,且AB= . 2

iii) S△AOB= (表示成P与θ的关系式). iv)

11

为定值,且等于 . 

|AF||BF|

例1. 已知抛物线顶点在原点,对称轴是x轴,抛物线上的点A(3,n)到焦点的距离为5,求抛物线的方程和n的值.

第3课时 抛 物 线

p解:设抛物线方程为y22px(p0),则焦点是F(,0)

21.抛物线定义:平面内到 和 距离 的点的轨迹叫抛物线, ∵点 A(-3,n)在抛物线上,且| AF |=5 叫抛物线的焦点, 叫做抛物线的准线(注意定点在定直线外,否则,轨迹将退化为一

n26P

条直线).

故解得P=4,n26 p222.抛物线的标准方程和焦点坐标及准线方程 (3)n5

① y2px

故所求抛物线方程为y28x,n26

② y22px,焦点为 ,准线为 . ③ x22py. ④ x22py. 3.抛物线的几何性质:对y22px(p0)进行讨论. ① 点的范围: 、 .

② 对称性:抛物线关于 轴对称. ③ 离心率e .

④ 焦半径公式:设F是抛物线的焦点,P(xo,yo)是抛物线上一点,则PF ⑤ 焦点弦长公式:设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦) i) 若A(x1,y1),B(x2,y2),则AB,y1y2. ii) 若AB所在直线的倾斜角为(0)则AB= .

12

2

2

变式训练1:求顶点在原点,对称轴是x轴,并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程. 解:因为对称轴是x轴,可设抛物线方程为y22px或y22px(p0) ∵6,∴p=12 故抛物线方程为y224x或y224x

例2. 已知抛物线C:y24x的焦点为F,过点F的直线l与C相交于A、B. (1) 若AB

16

,求直线l的方程. 3

p2

(2) 求AB的最小值. 解:(1)解法一:

设直线l的方程为:xmy10 代入y24x整理得,y24my40 设A(x1,y1),B(x2,y2)

则y1,y2是上述关于y的方程的两个不同实根,所以y1y24m 根据抛物线的定义知:| AB |=x1x22 =(1my1)(1my2)24(m21)

1616若|AB|,则4(m21),m

333

过P作PQ垂直于准线于Q点,由抛物线定义得|PQ|=| PF |,∴| PF |+| PA |=| PA |+| PQ |

要使| PA |+| PQ |最小,A、P、Q三点必共线,即AQ垂直于准线,AQ与抛物线的交点为P点

从而|PA|+|PF|的最小值为3此时P的坐标为(2,2)

变式训练3:一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分,它的方程是x22y(0y20),在杯内放入一个玻璃球,要使球触及酒杯底部,则玻璃球的半径r的取值范围是 。 解:0r1

例4. 设A(x1,y1),B(x2,y2),两点在抛物线y=2x2上,l是AB的垂直平分线. (1)当且仅当x1+x2取何值时,直线l经过抛物线的焦点F?证明你的结论? (2)当直线l的斜率为2时,求在y轴上的截距的取值范围.

解:(1)F∈l|FA|=|FB|A、B两点到抛物线的准线的距离相等.

∵抛物线的准线是x轴的平行线,y1≥0,y2≥0,依题意y1,y2不同时为0.∴上述条件等价于

2

y1=y2x12x2(x1+x2)(x1-x2)=0

17

 22

即直线l有两条,其方程分别为:

x

y10,xy10 33

2P3

(θ为AB的倾斜角)易知sinθ=, 2

sin2

解法二:由抛物线的焦点弦长公式 |AB|=

即直线AB的斜率k=tanθ=3, 故所求直线方程为:

x

3y10或xy10. 33

∵x1≠x2 ∴x1+x2=0

即当且仅当x1+x2=0时,l过抛物线的焦点F.

(2)设l在y轴上的截距为b,依题意得l的方程为y=2x+b,过点A、B的直线方程可写为y=-x+m

12

(2) 由(1)知,|AB|4(m21)4 当且仅当m0时,|AB|有最小值4. 解法二:由(1)知|AB|=

2P4

=2 2

sinsin

所以x1、x2满足方程:2x2+x-m=0

且x1+x2=-,由于A、B为抛物线上不同的两点,所以△=+8m>0,即m>-设AB之中点为N(x0,y0),则x0=y0=-x0+m=由N∈l得:于是b=

1

2

1

+m 16

x1x21

 28

1

2

14141 32

∴ |AB|min=4 (此时sinθ=1,θ=90°)

2

变式训练2:过抛物线y=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线 ( ) A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无数条 D.不存在 解:B

例3. 若A(3,2),F为抛物线y22x的焦点,P为抛物线上任意一点,求PFPA的最小值及取得最小值时的P的坐标.

解:抛物线y22x的准线方程为x

13

1

2

11

+m=-+b 164

5519+m>-=

32321616

9

,+) 32

即l在y轴上截距的取值范围是(

变式训练4:正方形ABCD中,一条边AB在直线y=x+4上,另外两顶点C、D在抛物线

y=x上,求正方形的面积.

设C、D的坐标分别为(y12,y1),(y22,y2)( y1> y2),则直线CD的斜率为1. ∴

y1y2y1y2

2

2

2

1

=1,即y1+y2=1 ① y1y2

B(x2,y2),直线AB的斜率为k,则:|AB|=————————或:—————————. 利用这个公式求弦长时,要注意结合韦达定理. 当弦过圆锥曲线的焦点时,可用焦半径进行运算. 3.中点弦问题:

设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆

x2y2

1上不同的两点,且x1≠x2,x1+x2≠0,M(x0,y0)为a2b2

又| CD |=k2|x1x2|=2|y1y2| =2(y1-y2) | BC |=

|yy14|

2

21

yy14

2

21

(y12-y1+4恒正)

2

y12y24

x12y12

1a2b2y1y2y1y2

AB的中点,则 2两式相减可得

2x1x2x1x2xy221

a2b2



b2a

2

由| CD |=| BC |,有2(y1-y2)=解①、② 得 y1=2或y1=3

2

当y1=2时,有| BC |=32,此时SABCD=18 当y1=3时,有| BC |=52,此时SABCD=50

∴ 正方形的面积为18或50.

要注意顶点位置和开口方向,以便准确设出方程,然后用待定系数法. 2.利用好抛物线定义,进行求线段和的最小值问题的转化. 3.涉及抛物线的弦的中点和弦长等问题要注意利用韦达定理,能避免求交点坐标的复杂运算. 4、解决焦点弦问题时,抛物线的定义有广泛的应用,应注意焦点弦的几何性质.

即 .

对于双曲线、抛物线,可得类似的结论. 22

+1与双曲线3x-y=1相交于A、B两点.

(1) 当a为何值时,A、B两点在双曲线的同一支上?当a为何值时,A、B两点分别在双曲线的两支上?

(2) 当a为何值时,以AB为直径的圆过原点?

yax122

解: (1) 联立22 (3-a)x-2ax-2=0 ①

3xy1

消去y

显然a≠3,否则方程①只有一解,于是直线与双曲线至多一个交点.

若交点A、B在双曲线同支上,则方程①满足:

4a28(3a2)0a 2

0a或a32a3

2

第4课时 直线与圆锥曲线的位置关系

1.直线与圆锥曲线的位置关系,常用研究方法是将曲线方程与直线方程联立,由所得方程组的解的个数来决定,一般地,消元后所得一元二次方程的判别式记为△,△>0时,有两个公共点,△=0时,有一个公共点,△

2.直线与圆锥曲线的交点间的线段叫做圆锥曲线的弦.设弦AB端点的坐标为A(x1,y1),

14

a∈(-6,-3)∪(3,6)

若A、B分别在双曲线的两支上,则有:

4a28(3a2)0

a∈(-3,) 2

02

a3

(2) 若以AB为直径的圆过点O,则OA⊥OB,设A(x1,y1),B(x2,y2)由于x1+x2=x1x2=

2a

. a3

2

2a

,3a2

据对称性知x1x2,所以

y1y2

是中点弦P1P2所在直线的斜率,由P1、P2在双曲线上,则x1x2

2222

有关系2x1y12,2x2y22.两式相减是:

∴y1y2=(ax1+1)(ax2+1)=a(x1+x2)+a2x1x2+1

22a

=a2+a2+1=1

a33a

2

2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0

∵OA⊥OB ∴x1x2+y1y2=0 ∴

2

+1a=±1 a3

2

∴24(x1x2)2(y1y2)0 ∴

y1y2

4 x1x2

此时△>0,符合要求.

变式训练1:已知直线y=(a+1)x-1与曲线y2=ax恰有一个公共点,求实数a的值. 解:联立方程为

y(a1)x1

2

yax

所求中点弦所在直线为y14(x2),即4xy70.

(2)可假定直线l存在,而求出l的方程为y12(x1),即2xy10

2x2y22

方法同(1),联立方程,消去y,得2x24x30

2xy10

x1

y0

(1) 当a=0时,此时方程组恰有一组解 (2) 当a≠0时,消去x得① 若② 若得1+

然而方程的判别式(4)242380,无实根,因此直线l与双曲线无交点,这一矛盾说明了满足条件的直线l不存在.

x2y2

变式训练2:若椭圆1的弦被点(4,2)平分,则此弦所在直线的斜率为

369

a12

yy10 a

x1a1

=0,即a=-1方程变为一次方程,-y-1=0,方程组恰有一组解 ay1a1

≠0,即a≠-1,令△=0 a

4(a1)4

0,解得a=- a5

( )

A.2 B.-2 C. D.-

4

5

13

12

此时直线与曲线相切,恰有一个公共点,综上所述知,当a=0,-1,-时,直线与曲线只有一个公共点.

例2. 已知双曲线方程2x2-y2=2.

(1) 求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在直线方程; (2) 过点B(1,1)能否作直线l,使l与所给双曲线交于Q1、Q2两点,且点B是弦Q1Q2的中点?这样的直线l如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.

解:(1)即设A(2,1)的中点弦两端点为P1(x1,y1),P2(x2,y2),则有关系x1x24,y1y22.又

解:D

2

例3. 在抛物线y=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称,求k的取值范围.

解法一:设B、C关于直线ykx3对称,直线BC方程为xkym,代入y24x得,

y24ky4m0,C(x2,y2),设B(x1,y1)、则y0BC中点M(x0,y0),

y1y2

2k,x02k2m 2

∵点M(x0,y0)在直线l上,∴2kk(2k2m)3

2k32k3k32k3(k1)(k2k3)2

16k16m00,即0 ∴m,代入,得

kkk

解得1k0

15

2y14x1

解法二:设B(x1,y1),C(x2,y2)关于l对称,中点M(x0,y0),则

2y24x2

∴ y=0或y=

2at

a2t21

2at

at1

22

∴ 点B的纵坐标为yB

2a2t

=22(t0,a1) at1

相减得:(y2y2)(y1y2)4(x1x2) ∴2y0()4,y02k,则x0

1k

2k3

k

∴ S(t)=S△ABC=2S△AOB=|OA|·yB

2

∵M(x0,y0)在抛物线y24x内部,∴y04x0

(2) 当a=2时,S(t)=

8t4t11

t

84t

t

化简而得

k32k3(k1)(k2k3)

0,即0,解得1k0. kk

2

∵ t∈[,1],∴ 4t+≥24t1=4

t1

2

变式训练3:设抛物线x12y的焦点为F,经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A、B两点,又知点P恰为AB的中点,则AFBF . 解:8 例4. 已知椭圆

x2a

2

当且仅当4t=,t=时,上式等号成立. ∴ S(t)=

且a>1),向量=(1, t) (t >0),过点A(-a, 0)且以为y2=1(a为常数,

84t

t

1t12

≤=2

84

即S(t)的最大值S(t)max=2

方向向量的直线与椭圆交于点B,直线BO交椭圆于点C(O为坐标原点). (1) 求t表示△ABC的面积S( t ); (2) 若a=2,t∈[, 1],求S( t )的最大值.

x2y2

变式训练4:设椭圆C:221(ab0)的左焦点为F,上顶点为A,过点A作

ab

垂直于AF的直线交椭圆C于另外一点P,交x轴正半轴于点Q, 且AP (1)求椭圆C的离心率;

(2)若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l:

12

8

PQ 5

x

x3y50相切,求椭圆C的方程.

解:⑴设Q(x0,0),由F(-c,0

解:(1) 直线AB的方程为:y=t(x+a),

yt(xa)由x2 得(a2t21)y22aty0 2

2y1a

16

A(0,b)知(c,b),(x0,b)

b2

,

cx0b0,x0…2分

c

2

设P(x1,y1),由

88b5

,y1b…… ,得x113c135

2

x2y2

A.1

43x2

C.y21

4

x2y2

B.1

34

2

8b225

()(b)2

21…… 因为点P在椭圆上,所以2

ab

1

整理得2b=3ac,即2(a-c)=3ac,2e3e20,故椭圆的离心率e

2

2

2

2

2

y2

D.x1

4

2. AB是抛物线y2=2x的一条焦点弦,|AB|=4,则AB中点C的横坐标是 ( ) A.2 C.

3

2

B.

52

12

D.

b23

⑵由⑴知2b3ac,得a;

c2

2

c11

,得ca, a22

3. 若双曲线 ( )

A.2 C.4

x2y22

21的一条准线与抛物线y=8x的准线重合,则双曲线的离心率为 8b

31

于是Fa,0), Q(a,0)

22

11

△AQF的外接圆圆心为(a,0),半径|FQ|=a………

22

B.22 D.42

12

4. 已知抛物线y=2x2上两点A(x1,y1), B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,且x1x2=, 那么m的值等于( )

A. B. C. 2 D.3

y2

5.已知双曲线x-=1的焦点为F1、F2,点M在双曲线上且MF则点M到x1MF2=0,2

2

1

|a5|所以a,解得a=2,∴c=1,b=3,

2

x2y2

1

所求椭圆方程为43

曲线的位置关系时,注意数形结合;用判别式的方法时,若所得方程二次项的系数有参数,则需考虑二次项系数为零的情况. 2.涉及中点弦的问题有两种常用方法:一是“设而不求”的方法,利用端点在曲线上,坐标满足方程,作差构造出中点坐标和斜率的关系,它能简化计算;二是利用韦达定理及中点坐标公式.对于存在性问题,还需用判别式进一步检验. 3.对称问题,要注意两点:垂直和中点.

5232

轴的距离为 ( ) A. B. C.

23

D. 343

53

6.点P(-3,1)在椭圆

x2a

2

y2b

2

1(a>b>0)的左准线上,过点P且方向为a=(2,-5)的光线,

圆锥曲线单元测试题

一、选择题

1

1. 中心在原点,准线方程为x=±4,离心率为的椭圆方程是 ( )

2

经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为 A.

13

B.

33

( )

17

C.

12

D.

22

x2y2

12.双曲线3x-4y-12x+8y-4=0按向量平移后的双曲线方程为1,则平移向

43

2

2

x2y2

7. 椭圆1上有n个不同的点:P1,P2,…,Pn,椭圆的右焦点为F,数列{|PnF|}

431

是公差大于的等差数列,则n的最大值是 ( )

100

量= .

13.P在以F1、F2为焦点的双曲线

—————————.

x2y2

1上运动,则△F1F2P的重心G的轨迹方程是169

A.198 B.199 C.200 D.201 8. 过点(4, 0)的直线与双曲线值范围是( ) A.| k |≥1 C.| k |≤3

B.| k | >

x2y2

<
http://www.fanwen99.cn/article/圆锥曲线与方程知识点.htm
p>1的右支交于A、B两点,则直线AB的斜率k的取412

14.椭圆

x2y2

1中,以M(-1,2)为中点的弦所在直线的方程为 . 169

15.以下四个关于圆锥曲线的命题中:

① 设A、B为两个定点,k为非零k,则动点P的轨迹为双曲线; ② 过定圆C上一定点A作圆的动弦AB、O为坐标原点,若OP

1

(),则动点P2

D.| k |

12

9. 已知θ为三角形的一个内角,且sinθ+cosθ=,则方程x2sinθ-y2cosθ=1表示 ( )

A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在y轴上的椭圆 C.焦点在x轴上的双曲线 D.焦点在y轴上的双曲线

10.下列图中的多边形均为正多边形,M、N是所在边上的中点,双曲线均以图中的F1、F2

双曲线离心率分别为e1、e2、e3,则( ) F2

2 F1③ F2

的轨迹为椭圆;

2

③ 方程2x-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;

x2y2x2

④ 双曲线1与y21有相同的焦点.

25935

其中真命题的序号为 (写出所有真命题的序号).

三、解答题

16.已知双曲线的离心率为2,它的两个焦点为F1、F2,P为双曲线上的一点,且∠F1PF2=60°,△PF1F2的面积为12,求双曲线的方程.

22

17.已知动圆C与定圆x+y=1内切,与直线x=3相切. (1) 求动圆圆心C的轨迹方程;

(2) 若Q是上述轨迹上一点,求Q到点P(m,0)距离的最小值.

A.e1 > e2 > e3 B.e1 e3 二、填空题

11.抛物线y=x2上到直线2x-y=4的距离最近的点是 .

18

18.如图,O为坐标原点,直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b,且交抛物线

y22px(p0)于M(x1,y1)、N(x2,y2)两点.

(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程;

(2)过点P(0,2)的直线l与轨迹C交于不同的两点E、F,求的取值范围.

(1) 写出直线l的截距式方程; (2) 证明:

111; y1y2b

x2y2

21.已知椭圆221(ab0)的左、右焦点分别是F1(-c, 0)、F2(c, 0),Q是椭圆外的

ab

(3) 当a2p时,求MON的大小.

x

动点,满足|F1|2a,点P是线段F1Q与椭圆的交点,点T在线段F2Q上,并且满足TF2=0,|TF2|≠0.

(1) 设x为点P的横坐标,证明|F1P|ax;

(2) 求点T的轨迹C的方程;

2

(3) 试问:在点T的轨迹C上,是否存在点M,使△F1MF2的面积S=b?若存在,求∠F1MF2的正切值,若不存在,请说明理由.

x

ca

19.设x,y∈R,,j为直角坐标平面内x轴,y轴正方向上的单位向量,若a=x+(y+2)j,b=xi+(y-2)j,且|a|+|b|=8 (1) 求动点M(x,y)的轨迹C的方程.

(2) 设曲线C上两点A、B,满足(1)直线AB过点(0,3),(2) 且OAPB为矩形,求直线AB方程..

20.动圆M过定点A(-2,0),且与定圆A´:(x-)2+y2=12相切.

19

圆锥曲线单元测试题答案

1.B 2. C 3. A 4. B 5. C 6. A 7. C 8. B 9. B 10. D 11. (1,1) 12. (-2,-1)

9x2

y21(y0) 14. 9x-32y+73=0 15. ③④ 13.16

16. 解:以焦点F1、F2所在直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标

系,如

右图所示:

设双曲线方程为:

x2y2

1 a2b2

所以

11yy211 y1y2y1y2by1y

,k22. x1x2

(3) 设直线OM,ON的斜率分别为k1,k2

则k1

依题意有:

c

e2a

1

SPF1F2|PF1||PF2|sin60123

2

|PF1||PF2|2a

当a=2p时,知y1y2=-4p2,x1x2=4p2 所以,k1k2=-1,即MON=90°.

19.( 1 ) 解:令M(x,y),F1(0,-2),F2(0,2) 则a=F1,b=F2,即

|a|+|b|=|F1|+|F2|,即|F1|+|F2|=8 又∵ F1F2=4=2c,∴ c=2,a=4,b2=12 所求轨迹方程为

y2x2

1 1612

解之得:a2=4,c2=16,b2=12

x2y2

故所求双曲线方程为:1

412

17.解:(1) 设C(a,b),则R3a

⊙C与⊙O内切,a2b213a

b24a4即轨迹方程为y24x4

22

(2) 设Q(x0,y0),则y04x04

( 2) 解:由条件(2)可知OAB不共线,故直线AB的斜率存在,设AB方程为y=kx+3,A(x1,

ykx3

22

y1),B(x2,y2),则 y2x2(3k+4)x+18kx-21=0

1

1612

x1+x2=-

2

18k21

x1·x2=2 2

3k43k4

PQ(x0m)

2

2

y0

(x0m)4x04

x0(m2)

2

y1·y2=(kx1+3) (kx2+3)=k2 x1x2+3k(x1+x2)+9

3b48k2=

3k24

4m

当m21,即m1时

PQmin

∵ OAPB为矩形,∴ OA⊥OB =0

m22m1m1

1(m2)24m

当m21,即m1时,

∴ x1x2+y1y2=0 得k=5 4

PQmin2m

18.解:(1)

xy1 ab

(2) 由直线方程及抛物线方程可得: by2+2pay-2pab=0

2pa

,y1y22pa 故 y1y2b

5

所求直线方程为y=x+3.

4

20.解:(2,0),依题意有|MA´|+=2

|MA´|+

|MA|

20

=23 >22

∴点M的轨迹是以A´、A为焦点,23为长轴上的椭圆,∵a=,c=2 ∴b2=1.因此点M的轨迹方程为

x2

y21 3

x

消去x得:(k2+3)y2-4k2y+4k2-3=0 y21,

3

2

∴ =cos0°=|PE|·|PF|=t1t2=

12

9

12sin2

9

由<sin2≤1得:∈3,

2

(2) 解法一:设l的方程为x=k(y-2)代入

由△>0得16k4-(4k2-3)(k2+3)>0 0≤k2<1

设E(x1,y1),F(x2,y2), 则y1+y2=

4k234k2

,yy= 12

k23k23

21.(1) 证法一:设点P的坐标为(x,y)

由P(x,y)在椭圆上,得 |F1|=(xc)2x2 b22=(xc)b2x

a

2

2

又=(x1,y1-2),=(x2,y2-2)

=x1x2+(y1-2)(y2-2) ∴=(ax)2

高考荟萃 2009年高考题

=k(y1-2)·k (y2-2) +(y1-2)(y2-2)

4k234k2

224=(1+k)2

 k3k3

2

c

a

9(k21)2=2912

k3k3

9

∈3, ∵0≤k2<1 ∴3≤k2+3<4 ∴2

x2y2

1.(2009浙江文)已知椭圆221(ab0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在

ab



椭圆上,且BFx轴,直线AB交y轴于点P.若A则椭圆的离心率是( )P2PB,

解法二:设过P(0,2)的直线l的参数方程为

xtcos

(t为参数,为直线l的倾角) 

y2tsin

x2

代入y21中并整理得:

3

A

11 B

C. D.

32答案:D 【命题意图】对于对解析几何中与平面向量结合的考查,既体现了几何与向量的交汇,也体现了数形结合的巧妙应用.

(1+2sin2)t2+12sin·t+9=0

22

由△=12sin-36(1+2sin2)>0 得:sin2> 又t1t2=

12

9

12sin2

1

c,e 【解析】对于椭圆,因为AP2PB,则OA2OF,a2

2

2.(2009山东卷文)设斜率为2的直线l过抛物线yax(a0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).

2

A.y24x B.y28x C. y24x D. y28x

【解析】: 抛物线y2ax(a0)的焦点F坐标为(,0),则直线l的方程为y2(x,

【答案】A

a

4a4

x2y2

5.(2009天津卷文)设双曲线221(a0,b0)的虚轴长为2,焦距为2,则

ab

双曲线的渐近线方程为( )

A y2x B y2x C y【答案】C

【解析】由已知得到b1,c故渐近线方程为y

它与y轴的交点为A(0,),所以△OAF的面积为|线方程为y28x,故选B.

a

21aa

||4,解得a8.所以抛物242

12

x Dyx

22

答案:B.

【命题立意】:本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算.考查数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数a的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做到合二为一.

3,ac2b22,因为双曲线的焦点在x轴上,

b2

xx a2

【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算能力和推

理能力。

6.(2009辽宁卷文)已知圆C与直线x-y=0 及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为

3.(2009安徽卷文)下列曲线中离心率为的是

(A)(x1)2(y1)22 (B) (x1)2(y1)22 (C) (x1)2(y1)22 (D) (x1)2(y1)22

A. B. C. D.

【解析】圆心在x+y=0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等即可. 【答案】B

7.(2009宁夏海南卷文)已知圆C1:(x1)2+(y1)2=1,圆C2与圆C1关于直线

x2y2cc【解析】依据双曲线221的离心率e可判断得

.e.选B。

aaba2

【答案】B

4.(2009安徽卷文)直线过点(-1,2)且与直线垂直,则的方程是

A.C.

B.

D.

xy10对称,则圆C2的方程为

(A)(x2)+(y2)=1 (B)(x2)+(y2)=1 (C)(x2)+(y2)=1 (D)(x2)+(y2)=1 【答案】B

2

2

2

2

2

2

2

2

【解析】可得l斜率为l:y2

3

23

(x1)即3x2y10,选A。 2

a1b1

10a222【解析】设圆C2的圆心为(a,b),则依题意,有,解得:,

b2b11

a1

对称圆的半径不变,为1,故选B。.

1

|20)到直线的距离d为2231,解得a=1 |

【考点定位】本试题考查了直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式的运用。考察了同学们的运算能力和推理能力。

11.(2009宁夏海南卷文)已知抛物线C的顶点坐标为原点,焦点在x轴上,直线y=x与抛物线C交于A,B两点,若P2,2为AB的中点,则抛物线C的方程为 。 【答案】y24x

【解析】设抛物线为y2=kx,与y=x联立方程组,消去y,得:x2-kx=0,x1x2=k=2

x2y2

8.(2009福建卷文)若双曲线221ao的离心率为2,则a等于

a3

A. 2

B. C.

3

D. 1 2

解析解析

xyc1可知虚轴e=2,解得a=1a23aa

22×2,故y24x.

12.(2009年广东卷文)(本小题满分14分)

已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为

或a=3,参照选项知而应选D.

9.(2009年广东卷文)以点(2,1)为圆心且与直线xy6相切的圆的方程3

,两个焦点分别为F1和F2,椭圆G2

25

【答案】(x2)(y1)

2

2

2

上一点到F1和F2的距离之和为12.圆Ck:x2y22kx4y210(kR)的圆心为

【解析】将直线xy6化为xy60,

圆的半径r

25

程为(x2)(y1)

2

2

2

2

2

2

所以圆的方

点Ak.

(1)求椭圆G的方程 (2)求AkF1F2的面积

(3)问是否存在圆Ck包围椭圆G?请说明理由.

10.(2009天津卷文)若圆xy4与圆xy2ay60(a0)的公共弦长为

2

2,则a=________.

【答案】1

【解析】由已知,两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为y

x2y2

【解析】(1)设椭圆G的方程为:221 (ab0)半焦距为c;

ab

1

,利用圆心(0,a

2a12

a6222

则c , bac36279 ,

解得

c

2a

222

,或t,tmin t24(12t2)0,解得t(舍去)

333

14. (2009山东卷文)(本小题满分14分)

ykxt

解方程组x2得x24(kxt)24,即(14k2)x28ktx4t240,

2

y14

要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,

则使△=64k2t216(14k2)(t21)16(4k2t21)0,



设mR,在平面直角坐标系中,已知向量a(mx,y1),向量b(x,y1),ab,

动点M(x,y)的轨迹为E.

(1)求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;

(2)已知m

1

,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交4

8kt

xx1214k22222

即4kt10,即t4k1, 且 2

xx4t4

12

14k2

k2(4t24)8k2t2t24k22

y1y2(kx1t)(kx2t)kx1x2kt(x1x2)tt

14k214k214k2

2

2

点A,B,且OAOB(O为坐标原点),并求出该圆的方程; (3)已知m

1

,设直线l与圆C:x2y2R2(1

,

B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值.



解:(1)因为ab,a(mx,y1),b(x,y1),



所以abmx2y210, 即mx2y21.

4t24t24k25t24k24

0, 要使OAOB, 需使x1x2y1y20,即

14k214k214k2

所以5t4k40, 即5t4k4且t4k1, 即4k420k5恒成立.

所以又因为直线ykxt为圆心在原点的圆的一条切线,

2

2

2

2

2

2

2

2

当m=0时,方程表示两直线,方程为y1; 当m1时, 方程表示的是圆

当m0且m1时,方程表示的是椭圆; 当m0时,方程表示的是双曲线.

42

(1k)4t4222xy所以圆的半

径为r,r, 所求的圆为. 2251k1k52

x212

(2).当m时, 轨迹E的方程为y1,设圆心在原点的圆的一条切线为ykxt,

44

x2222

,与y21交于点(5,)或当切线的斜率不存在时,切线为x5554(

22

5,)也满足OAOB. 55

综上, 存在圆心在原点的圆x2y2

4

,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点5

在直角三角形OA1B1中,|A1B1|2|OB1|2|OA1|25

4422

R5(R)因为22RR



A,B,且OAOB.

x21

(3)当m时,轨迹E的方程为y21,设直线l的方程为ykxt,因为直线l与圆

44

C:xyR(1

)知R因为l与轨迹E只有一个公共点B1,

2

2

2

4

R2

4当且仅当R(1,2)时取等号,所以|A1B1|2541,即

2R

当R(1,2)时|A1B1|取得最大值,最大值为1.

【命题立意】:本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可以通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题. 15.(2009安徽卷文)(本小题满分12分)

即tR(1k) ①,

222

ykxt

由(2)知x2得x24(kxt)24,

2

y14

即(14k2)x28ktx4t240有唯一解

2

2

已知椭圆(a>b>0)的离心率为圆与直线y=x+2相切, (Ⅰ)求a与b;

,以原点为圆心。椭圆短半轴长半径的

(Ⅱ)设该椭圆的左,右焦点分别为和,直线过且与x轴垂直,动直线与y

则△=64k2t216(14k2)(t21)16(4k2t21)0, 即4kt10, 轴垂直,交与点p..求线段P②

垂直平分线与的交点M的轨迹方程,并指明曲线类型。

23R2

t4R2

由①②得, 此时A,B重合为B1(x1,y1)点, 2

k2R14R2

x2y2c【思路】(1

)由椭圆221中a2b2c2及e建立a、b等量关系,再根据

aab

直线与椭圆相切求出a、b.

(2)依据几何关系转化为代数方程可求得,这之中的消参就很重要了。

c2a2b21b222

【解析】(1)由

于e∴e2 ∴

又b∴3aa2a23b2=2,a2=3

因此,a

8kt

xx124t2416R21614k22

由 中x1x2,所以,x1, 222

14k3Rxx4t4

12

14k2

124R24222

|OB|xy5B1(x1,y1)点在椭圆上,所以y1x1,所以, 11122

R43R

2

1

(2)由(1)知F1,F2两点分别为(-1,0),(1,0),由题意可设P(1,t).(t≠0).那么

t

线段PF1中点为N(0,),设M(x、y)是所求轨迹上的任意点.由于

2

tMNPF12MN(x,y) . PF1(2,t)则2yt

y24x(x0)

2即32k236k50 (4) 

399 k2

1616

,其轨迹为抛物线(除原点)

16.(2009江西卷文)(本小题满分14分)

解得k1

x2如图,已知圆G:(x2)yr是椭圆y2162

2

2

x232k

将(3)代入 y21得(16k21)x232kx0,则异于零的解为x2

16k116

设F(x1,k1x11),E(x2,k2x21),则x1

为椭圆的左顶点.

(1)求圆G的半径r;

32k132k2

,x222

16k1116k21

(2)过点M(0,1)作圆G的两条切线交椭圆于E,F证明:直线EF与圆G相切.

则直线FE的斜率为:kEF

k2x2k1xkk31

12

x2x1116k1k24

2

32k1.

FE于是直线的方程为:yG 2

即y

32k13

1(x)

16k11416k121

解: (1)设B(2r,y0),过圆心G作GDAB于由

GDHBy0, ADAH6r

37

x 43

即 y0 (1)

2 则圆心(2,0)到直线FE的距离d

3(2r)22

(本小题满分14分) 而点B(2r,y0)在椭圆上,y01 17. (2009天津卷文)

16x2y2

(2) 已知椭圆221(ab0)的两个焦点分别为F1(c,0),F2(c,0)(c0),过点

ab

22

由(1)、 (2)式得15r8r120,解得r或ra23E(,0)的直线与椭圆相交于点A,B两点,且F1A//F2B,|F1A|2|F2B|

c

422

(2) 设过点M(0,1)与圆(x2)y相切的直(Ⅰ求椭圆的离心率

9(Ⅱ)直线AB的斜率;

故结论成立.

(Ⅲ)设点C与点A关于坐标原点对称,直线F2B上有一点H(m,n)(m0)在AF1C的外接圆上,求

k

n

的值。 m

2 3

3c2,当k时,得A(0,2c)由已知得C(0,2c) 23

(3)由(2)知,x10,x2

【答案】(1)e

n22c2

(2)k(3) 

m5a33

线段AF1的垂直平分线l的方程为y

【解析】 (1)解:由F1A//F2B,|F1A||F2B|,得

|EF2||F2B|1

,从而

|EF1||F1A|2

2c2c(x),直线l与x轴的交点222

a2

c

c3122,整理得,故离心率 a3ce2

2a3a

cc

bac2c,(2)解:由(1)知,所以椭圆的方程可以写为2x23y26c2

2

2

2

2

ccc

(,0)是AF1C的外接圆的圆心,因此外接圆的方程为(x)2y2(c)2 222

直线F2B的方程为y

2(xc),于是点H(m,n)满足方程组

c29c22(m)n5c22cn22

,故 24由m0,解得m,n

32m5n2(mc)

当k

a2

)即yk(x3c) 设直线AB的方程为yk(xc

yk(x3c)

由已知设A(x1,y1)B(x2,y2)则它们的坐标满足方程组2 22

2x3y6c

2n22

时,同理可得 3m5

【考点定位】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线方程,圆的方程等基

础知识。考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的思想,考查运算能力和推理能力。 18.(2009辽宁卷文)(本小题满分12分)

已知,椭圆C以过点A(1,),两个焦点为(-1,0)(1,0)。

(1) 求椭圆C的方程;

(2) E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直

线EF的斜率为定值,并求出这个定值。

消去y整理,得(23k2)x218k2cx27k2c26c20

322

k依题意,48c(13k)0, 33

而x1x2

3

2

18k27kc6c

,xx,有题设知,点B为线段AE的中点,1222

23k23k

2222

所以x13c2x2

9k2c2c9k2c22c2

,x2联立三式,解得x1,将结果代入韦达定理中解得

23k223k2

x2y2

1。 (22)解:(Ⅰ)由题意,c=1,可设椭圆方程为

1b24b2

因为A在椭圆上,所以

19322

,解得=3,=(舍去)。 1bb22

1b4b4

即直线EF的斜率为定值,其值为

1

。 .......12分 2

x2y2

所以椭圆方程为 .....4分 1. .

43x2y23

(Ⅱ)设直线AE方程:得yk(x1),代入1得

243

19.(2009宁夏海南卷文)(本小题满分12分)

已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点,焦点在x轴上,它的一个项点到两个 焦点的距离分别是7和1 (I) (II)

求椭圆C的方程‘

若P为椭圆C的动点,M为过P且垂直于x轴的直线上的点,

3

(3+4k2)x2+4k(32k)x4(k)2120

2

设E(xE,yE),F(xF,yF).因为点A(1,)在椭圆上,所以

3

2

OPOM

e

3

4(k)212

, xE2

34k

(e为椭圆C的离心率),求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。 解:

(Ⅰ)设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得

3

yEkxEk。 .......8

2

又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,在上式中以k代k,可得

{

ac1,

解得a=4,c=3,

ac7.

x2y2

1. 所以椭圆C的方程为

167

(Ⅱ)设M(x,y),P(x,y1),其中x4,4.由已知得

3

4(k)212

, xF34k2



yFkxF

3

k。 2

x2y122

e. 22

xy

yFyEk(xFx1E)2k。 xFxExFxE2

而e

所以直线EF的斜率kEF

32222

,故16(xy1)9(xy). ① 4

21

1127x2

, 由点P在椭圆C上得 y

16

代入①式并化简得9y2112,

(I)由已知得,椭圆C的左顶点为A(2,0),上顶点为D(0,1),a2,b1

所以点M的轨迹方程

为y4x4),轨迹是两条平行于x轴的线段.

x2

故椭圆C的方程为y21

4

(Ⅱ)直线AS的斜率k显然存在,且k0,故可设直线AS的方程为yk(x2),从

20.(2009福建卷文)(本小题满分14分)

x2y2

已知直线x2y20经过椭圆C:221(ab0)

ab

而M(

的左顶点A和上顶点D,椭圆C的右顶点为B,点S和椭 圆C上位于x轴上方的动点,直线,AS,BS与直线l:x分别交于M,N两点。 (I)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)求线段MN的长度的最小值;

(Ⅲ)当线段MN的长度最小时,在椭圆C上是否存在这

样的点T,使得TSB的面积为?若存在,确定点T的个数,若不存在,说明理由

1016k,) 33

10 3

yk(x2)由x2得(14k2)x216k2x16k240

2y14

16k2428k24k

yx设S(x1,y1),则(2),x1得,从而 11222

14k14k14k

28k24k

,),又B(2,0) 即S(

14k214k2110y(x2)x4k3由得

101xy33k101N(,)

33k

故|MN|

1

5

16k1

33k

|MN|又k0,

解法一:

16k18

 33k3

当且仅当

16k11,即k时等号成立 33k4

k18时,线段MN的长度取最小值 43

1 4(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当MN取最小值时,k

此时BS

的方程为xy20,s(|BS|64

55 要使椭圆C上存在点T,使得TSB的面积等于1,只须T到直线BS

的距离等于5

T在平行于BS且与BS

l上。 设直线l':xy10

35解得t或t 224 31