圆锥曲线与方程知识点

圆锥曲线与方程知识点

【范文精选】圆锥曲线与方程知识点

【范文大全】圆锥曲线与方程知识点

【专家解析】圆锥曲线与方程知识点

【优秀范文】圆锥曲线与方程知识点

范文一:圆锥曲线与方程知识点

圆锥曲线与方程知识点

1.椭圆

椭圆的定义:平面内一个动点P到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(

的距离叫作椭圆的焦距.

),这个动点

的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点

椭圆的标准方程: 1.当焦点在

轴上时,椭圆的标准方程:中

,其

2.当焦点在轴上时,

椭圆的标准方程:,其中;

椭圆的简单几何性质:

椭圆的的简单几何性质

(1)对称性

椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形,且是以原点为对称中心的中心

对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心。 (2)范围

椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a,|y|≤b。。

(3)顶点①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆(a>b>0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为

A1(―a,0), A2(a,0),B1(0,―b),B2(0,b)。

③线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴,|A1A2|=2a,|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长 和短半轴长。 (4)离心率

①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用e表示,记作

②因为a>c>0,所以e的取值范围是0<e<1。e越接近1,则c就越接近a

此椭圆越扁;反之,e越接近于0,c就越接近0,从而b越接近于a,这时椭圆就越接近于圆。当且仅当

a=b时,c=0,这时两个焦点重合,图形变为圆

椭圆与(a>b>0)的区别和联系: 见下图

2.双曲线

双曲线的定义:

在平面内,到两个定点

)的动点

离叫作双曲线的焦距.

的距离之差的绝对值等于常数

大于0且

的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点的距

双曲线的标准方程: 1.当焦点在轴上时,双曲线的标准方程:,

其中其中

;2.当焦点在.

轴上时,双曲线的标准方程:,

双曲线的简单几何性质:

(1)对称性:双曲线(a>0,b>0)是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形,

且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为双曲线的中心。 (3)顶点

①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。

②双曲线(a>0,b>0)与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点,坐

标分别为A1(―a,0),A2(a,0),顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。 ③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴;设B1(0,―b),B2(0,b)为y轴上的两个点,则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a,|B1B2|=2b。a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长。

(4)离心率①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率,用e表示,记作 ②因为c>a>0,所以双曲线的离心率

决定双曲线的开口大小,

。 越大,

e也越大,双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。 ③等轴双曲线

,所以离心率

(5)渐近线:经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a,经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b,四条直线围成一个矩形(如图),矩形的两条对角线所在直线的方程是 我们把直线

叫做双曲线的渐近线。

双曲线

与的区别和联系 见下图:

3.抛物线

抛物线的定义:平面内与一个定点F和一条定直线L(L不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线L叫做抛物线的准线. 抛物线的标准方程:抛物线标准方程的四种形式:,,,

抛物线标准方程的几何性质: 1、范围:,,

抛物线y2=2px(p>0)在y轴的右侧,开口向右,这条抛物线上的任意一点M的坐标(x,y)的横坐标满足不等式x≥0;当x的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。 2、对称性:关于x轴对称

抛物线y2=2px(p>0)关于x轴对称,我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。 3、顶点:坐标原点

抛物线y2=2px(p>0)和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是(0,0)。 4、离心率:e=1.

抛物线y2=2px(p>0)上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率。用e 表示,e=1。

注意:与椭圆、双曲线不同,抛物线只有一焦点、一顶点、一条对称轴,一条准线

范文二:圆锥曲线方程知识点

圆锥曲线方程知识点

考试内容:

椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质. 考试要求:

(1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,了解椭圆的参数方程. (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. (4)了解圆锥曲线的初步应用.

圆锥曲线方程 知识要点

一、椭圆方程.

1. 椭圆方程的第一定义:

PF1PF22aF1F2方程为椭圆,PF1PF22aF1F2无轨迹,

PF1PF22aF1F2F1,F2为端点的线段

⑴①椭圆的标准方程:

i. 中心在原点,焦点在x轴上:

y2a

2

x2a2

y2b2

1(ab0).

ii. 中心在原点,焦点在y轴上:

x2b

2

1(ab0).

2

②一般方程:AxBy1(A0,B0).③椭圆的标准参数方程:

2

x2a

2

y2b

2

1的参数方程为

xacos

(一象限应是属于0). 

2ybsin

⑵①顶点:(a,0)(0,b)或(0,a)(b,0).②轴:对称轴:x轴,y轴;长轴长2a,短轴长2b.③(c,0)(c,0)或(0,c)(0,c).④焦点:F1F2

a2a2

x准线:或y.⑥2c,cab.⑤

cc

2

2

离心率:e

c

焦点半径: (0e1).⑦

a

x2a

2

i. 设P(x0,y0)为椭圆

y2b

2

PF1a1(ab0)上的一点,F1,F2 ex0,PF2aex0

由椭圆方程的第二定义可以推出. ii.设P(x0,y0)为椭圆

x2b

2

y2a

2

PF11(ab0)上的一点,F1,F2 aey0,PF2aey0

由椭圆方程的第二定义可以推出.

由椭圆第二定义可知:pF1e(x0a)aex0(x00),pF2e(ax0)ex0a(x00)归结起来为

c

c

2

2

“左加右减”.

注意:椭圆参数方程的推导:得N(acos,bsin)方程的轨迹为椭圆. ⑧通径:垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标:d

2b2a2

b2b2

(c,)和(c,)

aa

⑶共离心率的椭圆系的方程:椭圆程

x2a2

y2b2

x2a2

y2b2

1(ab0)的离心率是e

c

(ca2b2),方a

t(t是大于0的参数,ab0)的离心率也是e

c

我们称此方程为共离心率的a

椭圆系方程. ⑸若P是椭圆:b2tan

x2a2

y2b2

1上的点.F1,F2为焦点,若F1PF2,则PF1F2的面积为

2

(用余弦定理与PF1PF22a可得). 若是双曲线,则面积为b2cot

2

.

二、双曲线方程.

1. 双曲线的第一定义:

PF1PF22aF1F2方程为双曲线PF1PF22aF1F2无轨迹

),asin)

PF1PF22aF1F2F1,F2的一个端点的一条射线

⑴①双曲线标准方程:Ax2Cy21(AC0).

x2a

2

y2b

2

1(a,b0),

y2a

2

x2b

2

1(a,b0). 一般方程:

⑵①i. 焦点在x轴上:

a2xy顶点:(a,0),(a,0) 焦点:(c,0),(c,0) 准线方程x 渐近线方程:0或

cab

x2a

2

y2b

2

0

a2

ii. 焦点在y轴上:顶点:(0,a),(0,a). 焦点:(0,c),(0,c). 准线方程:y. 渐近线

c

xasecxbtany2x2yx

方程:0或220,参数方程:或 .

ababybtanyasec

2a2c

②轴x,y为对称轴,实轴长为2a, 虚轴长为2b,焦距2c. ③离心率e. ④准线距ca2b2c

准线的距离);通径. ⑤参数关系c2a2b2,e. ⑥焦点半径公式:对于双曲线方

aa

x2a2

y2b2

1(F1,F2分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)

“长加短减”原则: MF1ex0aMF2ex0a

构成满足MF1MF22a

MF1ex0aMF2ex0a

(与椭圆焦半径不同,椭圆焦半

MF1ey0aMF2ey0a

MF1ey0a

MF2ey0a

⑶等轴双曲线:双曲线x2y2a2称为等轴双曲线,其渐近线方程为yx,离心率e2. ⑷共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭

x2y2x2y2x2y2

双曲线.22与22互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线:220.

ababab⑸共渐近线的双曲线系方程:

x2a

2

y2b

2

(0)的渐近线方程为

x2a

2

y22

0如果双曲线的

x2y2xy

渐近线为0时,它的双曲线方程可设为22(0).

abab

例如:若双曲线一条渐近线为y

2

11

x且过p(3,)22

2

2

解:令双曲线的方程为:

yx1x

1y2(0),代入(3,)得8224

⑹直线与双曲线的位置关系:

区域①:无切线,2条与渐近线平行的直线,合计2条;

区域②:即定点在双曲线上,1条切线,2条与渐近线平行的直线,合计3条; 区域③:2条切线,2条与渐近线平行的直线,合计4条;

区域④:即定点在渐近线上且非原点,1条切线,1条与渐近线平行的直线,合计2条; 区域⑤:即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线.

小结:过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.

(2)若直线与双曲线一支有交点,交点为二个时,求确定直线的斜率可用代入法与渐“”近线求交和两根之和与两根之积同号. ⑺若P在双曲线离比为m︰n.

PF1

x2a

2

y2b

2

1,则常用结论1:P到焦点的距离为m = n,则P到两准线的距

简证:

d1me = . d2PF2n

e

常用结论2:从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.

三、抛物线方程.

3. 设p0,抛物线的标准方程、类型及其几何性质:

2

4acb2b

). 注:①aybycx顶点(

4a2a

②y22px(p0)则焦点半径PFxP;x22py(p0)则焦点半径为PFyP.

2

2

③通径为2p,这是过焦点的所有弦中最短的.

x2pt2x2pt

④y2px(或x2py)的参数方程为(或)(t为参数). 2

y2pty2pt

2

2

四、圆锥曲线的统一定义..

4. 圆锥曲线的统一定义:平面内到定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹. 当0e1时,轨迹为椭圆; 当e1时,轨迹为抛物线; 当e1时,轨迹为双曲线;

c

当e0时,轨迹为圆(e,当c0,ab时).

a5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如:椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.

因为具有对称性,所以欲证AB=CD, 即证AD与BC的中点重合即可.

1. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质. 2. 等轴双曲线 3. 共轭双曲线

5. 方程y2=ax与x2=ay的焦点坐标及准线方程. 6.共渐近线的双曲线系方程.

范文三:圆锥曲线方程-椭圆知识点归纳

椭圆

典例剖析

知识点一 椭圆定义的应用

x2y2

方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是

25-m16+m

________.

9

解析:因为焦点在y轴上,所以16+m>25-m,即m>,又因为b2=25-m>0,故m

2

99

值范围为

22

知识点二 求椭圆的标准方程

求适合下列条件的椭圆的标准方程:

(1)两个焦点的坐标分别是(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0).

111

(2)经过点A(),B(0,-).

332

(1)解 方法一 椭圆的焦点在x轴上,

x2y2

设其标准方程为+=1(a>b>0).

ab

由椭圆定义知:2a=(5+4)+(5-4)=10, 所以a=5.

又c=4,所以b2=a2-c2=25-16=9.

x2y2

1.

259

x2y2

方法二 设椭圆的标准方程为1(a>b>0),

ab

250

因为c=4,所以a2-b2=c2=16.又椭圆经过点(5,0),1,所以a2=25,所以

ab

22xy

b2=25-16=9,所以椭圆的标准方程为+1.

259

x2y2

(2)方法一 ①当椭圆焦点在x轴上时,设标准方程为+=1(a>b>0),

ab

依题意有1

(-)20ab1.

2

11

2()233

+1,ab

解得1

b=4.

2

1a2=5

y2x2

②当椭圆焦点在y轴上时,设标准方程为1(a>b>0).

ab

又因为a>b,所以该方程组无解.

依题意有1

(-2a+b01.

2112()233

+1,ab

y2x2

所以方程为+1.

1145

解得1

b=5.

2

1a2=,

4

y2x2

综上知,所求椭圆的标准方程为:1.

1145

方法二 设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),

11

m+=1,99

依题意有

1

=1,4



m=5,解得所以所求椭圆的方程为5x2+4y2=1,

n=4,

y2x2

即其标准方程为=1.

1145

x2y2

练习:过点(-3,2)且与椭圆1有相同焦点的椭圆的标准方程是________.

94x2y294

解析:因为c2=9-4=5,所以设所求椭圆的标准方程为+=1.由点(-3,2)在椭圆上知+=

aa-5aa-5

x2y2x2y22

1,所以a=15.所以所求椭圆的标准方程为+=1.答案:1

15101510

知识点三 根据方程研究几何性质

求椭圆25x2+16y2=400的长轴、短轴、离心率、焦点坐标和顶点坐标.

y2x2

解 =1,得a=5,b=4,所以c=3.故椭圆的长轴和短轴的长分别

2516

c3

为2a=10,2b=8,离心率e=,焦点坐标为(0,-3),(0,3),顶点坐标为(0,-5),(0,5),

a5

(-4,0),(4,0).

知识点四 根据几何性质求方程

求适合下列条件的椭圆的标准方程:

2

(1)长轴长是63

(2)在x轴上的一个焦点,与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为6. 解 (1)设椭圆的方程为 x2y2y2x2

+=1(a>b>0)或+=1(a>b>0). abab

c2

由已知得2a=6,a=3.e==∴c=2.

a3

∴b2=a2-c2=9-4=5.

x2y2x2y2

∴椭圆方程为+=1或+=1.

9559

x2y2

(2)设椭圆方程为221 (a>b>0).

ab

如图所示,△A1FA2为一等腰直角三角形,OF为斜边A1A2的中线(高),且|OF|=c,

|A1A2|=2b,

x2y2

∴c=b=3,∴a=b+c=18,故所求椭圆的方程为

1,

189

2

2

2

知识点五 求椭圆的离心率

如图所示,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,椭圆上点M的横坐标等于右焦

2

点的横坐标,其纵坐标等于短半轴长的,求椭圆的离心率.

3

解 方法一 设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a,b,c.则焦点为F1 (c,0),F2 (c,0),M点的坐标为(c,

|F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2, 即4c2+

而|MF1|+| MF2|=

2

b),则△MF1F2为直角三角形.在Rt△M F1F2中: 3

42

b=|MF1|2. 9

2

b2a,

3

整理得3c2=3a2 2 ab.

又c2=a2 b2,所以3b=2a.

b24所以2,

a9

c2a2b2b252

1,所以e

2所以e= 22

3aaa9

知识点六 直线与椭圆的位置关系问题

当m取何值时,直线l:y=x+m与椭圆9x2+16y2=144相切、相交、相离.

y=x+m, ①

解 由题意,得2 2

9x+16y=144. ②

①代入②,得9x2+16(x+m)2=144,

化简,整理,得25x2+32mx+16m2-144=0,

Δ=(32m)2-4×25×(16m2-144)=-576m2+14 400. 当Δ=0时,得m=±5,直线l与椭圆相切. Δ>0时,得-5

当Δ5,直线l与椭圆相离. 知识点七 中点弦问题

x2y2

已知点P(4,2)是直线l被椭圆1所截得的线段的中点,求l的方程.

369

解 设l与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),

x2y2+1,369则有2

xy2+1.369



两式相减,得kAB9(x+x)=-36(y1+y2)2×41=-24×2×2

y1-y2

x1-x2

1

∴l的方程为:y-2x-4),即x+2y-8=0.

2

考题赏析

x2y21

1.(江西高考)设椭圆+=1(a>b>0)的离心率为e=,右焦点为F(c,0),方程ax2+bx

ab2

-c=0的两个实根分别为x1和x2,则点P(x1,x2)( )

A.必在圆x2+y2=2内 B.必在圆x2+y2=2上 C.必在圆x2+y2=2外 D.以上三种情形都有可能

bc

解析 ∵x1+x2=-x1x2=-.

aa

22

b2cb+2ac222

∴x1+x2=(x1+x2)-2x1x2==aaac11∵e=∴c=a,

a22

1232

∴b2=a2-c2=a2-2a=4.

321+2a×4272

∴x1+x2=2

a4

∴P(x1,x2)在圆x2+y2=2内. 答案 A

2.(浙江高考)如图所示,AB是平面α的斜线段,A为斜足.若点P在平面α内运动,使得△ABP的面积为定值,则动点P的轨迹是( )

A.圆 B.椭圆

C.一条直线 D.两条平行直线

解析 由题意可知P点在空间中的轨迹应是以AB为旋转轴的圆柱面,又P点在平面α内,所以P点的轨迹应是该圆柱面被平面α所截出的椭圆. 答案 B

x2y2

1.设F1,F2是椭圆+=1的焦点,P为椭圆上一点,则△PF1F2的周长为( )

259

A.16 B.18 C.20 D.不确定 答案 B

解析 △PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c.因2a=10,c=25-9=4,周长为10+8=18.

2.a=6,c=1的椭圆的标准方程是( ) x2y2y2x2

A.+1 B.+1 3635363522xy

C.+=1 D.以上都不对 365答案 D

解析 因焦点可能在x轴上,也可能在y轴上,故标准方程有两种可能.故选D.

3.中心在原点,焦点在x轴上,若长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的方程是( )

x2y2x2y2

A.+1 B.1 817281922xyx2y2

C.+1 =1 81458136答案 A

1

解析 由题意2a=18,2c×2a=6

3

∴a=9,c=3,b2=81-9=72.

x2y2

4.已知F1、F2是椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交

ab

椭圆于A、B两点,若△ABF2是正三角形,则这个椭圆的离心率为( )

32A. B.3323C. D.22答案 A

b2|FF|

解析 |AF1|=tan60°=

a|AF1|b2c3

∴2c=3×∴(2ac)2=3(a2-c2)2解得e.

aa322xy1

5+=1的离心率为,则m的值是( )

4m2

16

A.3 3

1616C.或3 D.2或 33答案 C

解析 当m>4当0

m-4116

,所以m=; 23m

4-m1

m=3. 222x2y2

6.直线y=x与椭圆=1(a>b>0)的两个交点在x轴上的射影恰为椭圆的两个焦

2ab

点,则椭圆的离心率为________.

2

答案 2

b2b22

解析 当x=c时,y=∴=

aa2

22a-c222即 ∴e2+-1=0,解得e=.

a222

2

πx

7.倾斜角为的直线交椭圆+y2=1于A,B两点,则线段AB中点的轨迹方程是

44

________.

44

答案 x+4y=0(-5

55

解析 设中点坐标为(x,y),A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线方程为y=x+b,代入椭圆方程,

整理,得5x2+8bx+4(b2-1)=0,

x4b,x=x+25

则b

y=51

2

所以x+4y=0.

由Δ=64b2-4×5×4(b2-1)>0, 得-5

故-5

55

8.求过点A(2,0),且与圆

x2+4x+y2-32=0内切的圆的圆心的轨迹方程.

解 将圆的方程化为标准形式(x+2)2+y2=62,这时,已知圆的圆心坐标为B(-2,0),半径为6,如图所示.

设动圆圆心M的坐标为(x,y),由于动圆与已知圆相内切,设切点为C. ∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离. ∴即|BC| 

|MC|=|BM|. 而|BC|=6,

∴|BM|+|CM|=6. 又|CM|=|AM|, ∴|BM|+|AM|=6.

根据椭圆的定义知点M的轨迹是以点B(2,0)和点A(2,0)为焦点, 线段AB的中点(0,0)为中心的椭圆. ∴a=3,c=2,

x22x2y2

∴所求圆心的轨迹方程为32 , 9+5=1 9.求满足下列各条件的椭圆的标准方程. (1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0);

(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形,且焦点到同侧顶点的距离为3; (3)经过点P(-3,1),Q(3,-2)两点;

与椭圆x24y2

(4)3

1有相同离心率,焦点在x轴上,且经过点(2,-3).

解 (1)若椭圆的焦点在x轴上,设方程为 x2a+y2

b=1(a>b>0), ∵椭圆过点A(3,0), ∴9

a

1,a=3, ∵2a=3·2b,∴b=1,

∴x22

9

+y=1.

若椭圆的焦点在y轴上,

y2设椭圆方程为ax2

b

1(a>b>0),

∵椭圆过点A(3,0), ∴02a9

b

1, ∴b=3,2a=3·2b,∴a=9,

y2

x2

∴819

1.

x2综上所述,椭圆的标准方程为9+y2=1或y2x2

81+9

=1.

(2)由已知a=2c

a-c3

∴a=3c=3

从而b2=9

∴所求椭圆的标准方程为 x2y2x2y2

1291或912

=1. (3)设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n), 点P(-3,1),Q(3,-2)在椭圆上,

m=1代入上述方程得12m+n=1

,解得15,

3m+4n=1

n=1

5

22∴椭圆的标准方程为xy

155

1.

x2(4)由题意,设所求椭圆的方程为4y2

3

=t(t>0),

因为椭圆过点(23),所以t22+(-3)

2

222

43

故所求椭圆标准方程为xy86

1.

x2y210.已知椭圆C1(a>b>0),短轴一个端点到右焦点的距离为3.

ab3

(1)求椭圆C的方程;

3

(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为,求△AOB面积

2

的最大值.

解 (1)设椭圆的半焦距为c,依题意

c6,x22a3,∴b=1,∴所求椭圆方程为y=1. 3a3

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2). ①当AB⊥x轴时,|AB|=3.

②当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m.

|m|3232

由已知,得m=(k+1).把y=kx+m代入椭圆方程,整理得(3k2+1)x2+241+k6kmx+3m2-3=0,

-6km3(m2-1)

∴x1+x2=x1x2=.

3k+13k+1

∴|AB|2=(1+k2)(x2-x1)2

22

12(m2-1)236 km-=(1+k) 3k+1(3k+1)

12(k2+1)(3k2+1-m2)3(k2+1)(9k2+1)=(3k+1)(3k+1)12k212

=3+3+(k≠0) 19k+6k+12

9k+6

k

12

≤3+4.

2×3+6

1

当且仅当9k2=

k3

即k=时等号成立.

3

当k=0时,|AB|=3, 综上所述|AB|max=2.

∴当|AB|最大时,△AOB面积取最大值. 133S=×|AB|max×222

x2y2

11.已知F1、F2+1的两个焦点,P是椭圆上任意一点.

10064π

(1)若∠F1PF2F1PF2的面积;

3

(2)求PF1·PF2的最大值.

解:(1)设PF1=m,PF2=n(m>0,n>0).根据椭圆的定义得m+n=20.在△F1PF2中,由

π222

余弦定理得PF2PF2·cos∠F1PF2=F1F2122.∴m2+n2-1+PF2-2PF1·2,即m+n-2mn·3

2561

mn=144,即(m+n)2-3mn=144.∴202-3mn=144,即mn=.又∵S△F1PF2=PF1·PF2·sin

32

1π12563643

∠F1PF2=mn·S△F1PF2××.

232323

(2)∵a=10,∴根据椭圆的定义得PF1+PF2=20.∵PF1+PF2≥2PF1·PF2,∴

PF1·PF2≤

PF1+PF22=202=100,当且仅当PF=PF=10时,等号成立.∴PF·PF的最大

1212

22

值是100.

讲练学部分

2.2.1 椭圆及其标准方程(一)

对点讲练

知识点一 椭圆定义的应用

平面内一动点M到两定点F1、F2距离之和为常数2a,则点M的轨迹为( )

A.椭圆 B.圆

C.无轨迹 D.椭圆或线段或无轨迹 答案 D

解析 当2a>|F1F2|时是椭圆,当2a=|F1F2|时,是线段,当2a

【反思感悟】 并不是动点到两定点距离之和为常数的点的轨迹就一定是椭圆,只有当距离之和大于两定点之间的距离时得到的轨迹才是椭圆.

命题甲:动点P到两定点A、B的距离之和|PA|+|PB|=2a(a>0且a为常数);

命题乙:点P的轨迹是椭圆,且A、B是椭圆的焦点,则命题甲是命题乙的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分且必要条件 D.既不充分又不必要条件 答案 B

知识点二 由椭圆方程求参数的范围

x2y2

若方程+1表示椭圆,求k的取值范围.

5-kk-3

5-k>0,

解 由椭圆的标准方程知k-3>0,

5-k≠k-3.

解得3

【反思感悟】 5-k≠k-3包括了焦点在x轴、y轴两种情况的椭圆.

x2y2

方程+1表示焦点在y轴的椭圆,求m的范围.

2m-13-2m

解 由题意得3-2m>2m-1>0, 2m-1>0,1即 解得:m

23-2m>2m-1.

知识点三 求椭圆的标准方程

求适合下列条件的椭圆的标准方程.

53

,求它的标准方(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点22

程.

(2)焦点在坐标轴上,且经过A(3,-2)和B(-23,1)两点. (1)解 方法一 因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为 x2y2

+=1 (a>b>0). ab由椭圆的定义知

5+22+-325-22+-32 2a= 2222

=210, 所以a10.

又因为c=2,所以b2=a2-c2=10-4=6.

x2y2

因此,所求椭圆的标准方程为1.

106x2y2

方法二 设椭圆的标准方程为1,

aa-4

53

,-在椭圆上,代入椭圆方程得: 因点22259

=1, 4a4a-16解得:a2=10.

x2y2

∴所求方程为+=1.

106

x2y2

(2)解 方法一 ①当焦点在x轴上时,设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).根据题

ab

意有,(-a

2(2(-2)

+=1,ab

3)2

1

+=1,b

x2y2

所以椭圆的标准方程为+=1.

155

a2=15,解得2

b=5.

y2x2

②当焦点在y轴上时,设椭圆的标准方程为1(a>b>0).

ab

根据题意有

1(-a+b

(-2)2(3)2

=1,ab

3)2

1,

a2=5,

解得2

b=15.

因为a

x2y2

所求椭圆的标准方程为+=1.

155

方法二 设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,且m≠n),

3m+4n=1,

根据题意得

12m+n=1.

解得1

n=5,

1m=15

x2y2

所以所求椭圆的标准方程为1.

155

【反思感悟】 求椭圆的标准方程通常利用待定系数法,如果不能确定焦点

是在x轴上还是在y轴上,要分两种情况求解,当然也可以按(2)中的方法二设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,且m≠n),这样就可避免分情况讨论了.

求焦点在x轴上,焦距等于4,并且经过点P(3,-的椭圆的标准方程.

解 ∵2c=4,∴c=2.

x2y2

由题意可设椭圆的标准方程为1.

aa-4

代入P(3,-26), 924

得1. aa-42

a=1或a2=36,∵a>c,

x2y2

∴=1.

3632

课堂小结:

1.椭圆的定义中只有当距离之和2a>|F1F2|时,轨迹才是椭圆;2a=| F1F2|时,轨迹是线段 F1F2;2a

2.判断椭圆的焦点在x、y轴上的依据是标准方程中的分母,焦点在分母大的对应轴上. 3.求椭圆的标准方程常用待定系数法,要恰当地选择方程的形式,如果不能确定焦点的位置,那么有两种方法来解决问题,一是分类讨论全面考虑问题;二是设椭圆方程一般式,也就是:

y2x2

(1)如果明确焦点在x轴上,那么设所求的椭圆的方程为221(a>b>0).

aby2x2

(2)如果明确焦点在y轴上,那么设所求的椭圆的方程为221(a>b>0).

ab

(3)如果中心在原点,但焦点的位置不能明确是在x轴上还是在y轴上,那么方程可以设为mx2 + ny2=1(m>0,n>0,m≠n),进而求解.

课时作业

一、选择题

1.椭圆的对称轴为坐标轴,若长、短轴之和为18,焦距为6,那么椭圆的方程为( ) x2y2x2y2

A.+=1 B.=1 916251622xyx2y2x2y2

C.+1 D.+1或+1 162525161625答案 D

2a+2b=18a+b=9解析 ⇒ 2c=6c=3

x22

2.已知△ABC的顶点B、C在椭圆+y=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的

3

另外一个焦点在边BC上,则△ABC的周长为( )

A.3 B.3 C.6 D.16 答案 B

解析 由题意知,三角形的周长为B点到椭圆两焦点距离之和加上C点到椭圆两焦点距离之和,因此周长为3.

3.当直线y=kx+2的倾斜角大于45°小于90°时,它和曲线2x2+3y2=6的公共点的个数为( )

A.0 B.1 C.2 D.不能确定 答案 C

y=kx+2,

解析 由题意知k>1,2 2

2x+3y=6.

(2+3k2)x2+12kx+6=0,

Δ=(12k)2-4×(2+3k2)×6=72k2-48>0. ∴该直线与曲线公共点的个数为2.

y22

4.椭圆x+1的一个焦点是(05),那么k等于( )

k

A.-6 B.6 5+1 D.15 答案 B

解析 由题意a2=k,b2=1, ∴k-1=5)2⇒k=6. 二、填空题

5.△ABC中,已知B、C的坐标分别为(-3,0)和(3,0),且△ABC的周长等于16,则顶点A的轨迹方程为________.

x2y2

答案 +1(y≠0)

25166.“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆,设其近地点距地面n千米,远地点距地面m千米,地球半径为R,那么这个椭圆的焦距为________千米.

答案 m-n

解析 设a,c分别是椭圆的长半轴长和半焦距, a+c=m+R则,则2c=m-n. a-c=n+R

x2y2

7.P是椭圆1上的点,F1和F2是该椭圆的焦点,则k=|PF1|·|PF2|的最大值是

43

__________;最小值是__________.

答案 4 3

解析 设|PF1|=x,则k=x(2a-x) 因a-c≤|PF1|≤a+c,即1≤x≤3.

∴k=-x2+2ax=-x2+4x=-(x-2)2+4 ∴kmax=4,kmin=3. 三、解答题

8.△ABC的三边a、b、c成等差数列,A、C两点的坐标分别是(-1,0),(1,0),求顶点B的轨迹方程.

解 由题意得2b=a+c,即a+c=4. ∴|BC|+|BA|=4>|AC|=2. ∴B点的轨迹为椭圆

a+b=9a+b=9a=5⇒22⇒⇒. a-b=9a-b=1b=4

x2y2

∴+=1.

43

因B点是△ABC的顶点,不在x轴上,

x2y2

所以所求的轨迹方程为1 (x≠±2).

43x2y2

9.已知经过椭圆=1的右焦点F2作垂直于x轴的直线AB,交椭圆于A、B两点,

2516

F1是椭圆的左焦点.

(1)求△AF1B的周长;

(2)如果AB不垂直于x轴,△AF1B的周长有变化吗?为什么? 解 由已知,a=5,b=4,所以c=a-b=3. (1)△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|. 由椭圆的定义,得 |AF1|+|AF2|=2a,① |BF1|+|BF2|=2a,②

所以,△AF1B的周长为4a=20.

(2)如果AB不垂直于x轴,△AF1B的周长不变化. 这是因为①②两式仍然成立, △AF1B的周长为20,这是定值.

10.求适合下列条件的椭圆的标准方程:

(1)两个焦点坐标分别是(-3,0),(3,0),椭圆经过点(5,0);

(2)两个焦点坐标分别为(0,5),(0,-5),椭圆上一点P到两焦点的距离和为26. 解 (1)∵椭圆的焦点在x轴上,

x2y2

所以设它的标准方程为1 (a>b>0),

ab

∵2a(5+3)+0+(5-3)+0=10,

2c=6,∴a=5,c=3,∴b2=a2-c2=52-32=16,

x2y2

∴所求椭圆的方程为=1.

2516

(2)∵椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为 y2x2

+=1 (a>b>0). ab∵2a=26,2c=10,∴a=13,c=5,∴b2=a2-c2=144,

y2x2

∴所求椭圆的方程为1.

169144

2.2.1 椭圆及其标准方程(二)

对点讲练

知识点一 与椭圆有关的轨迹方程

x2y2

已知点M在椭圆1上,MP′垂直于椭圆焦点所在的直线,垂足为P′,

369

并且M为线段PP′的中点,求P点的轨迹方程.

分析 因点P与点M的坐标间存在一定关系,故可用P点坐标表示M点坐标,并代入M点坐标所满足的方程,整理即得所求轨迹方程.

解 设P点的坐标为(x,y),M点的坐标为(x0,y0).

x2y2x2y2∵点M在椭圆1上,∴+=1.

369369

∵M是线段PP′的中点,

x=x,x=x00∴ 把yy,

y=y=0202x2y2x2y2代入+=1,得1,即x2+y2=36.

3693636

∴P点的轨迹方程为x2+y2=36.

【反思感悟】 本例中动点P与曲线上的点M称为相关点(有关系的两点),这种求轨迹方程的方法称为相关点求轨迹方程法.其基本步骤就是先求出M点与P点的坐标关系式并用P点的坐标表示M点坐标,然后代入M点坐标所满足的方程,整理后即得所求.

如图所示在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当

点P在圆上运动时,线段PD的中点M的轨迹是什么?为什么?

解 设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),

则x=x0,y=

因为点P(x0,y0)在圆x2+y2=4上, 所以x02+4y02=4.①

把x0=x,y0=2y代入方程①,

x2222

得x+4y=4+y=1.

4

所以点M的轨迹是一个椭圆.

知识点二 应用椭圆定义求轨迹方程

已知圆B:(x+1)2+y2=16及点A(1,0),C为圆B上任意一点,求AC的垂直

平分线l与线段CB的交点P的轨迹方程.

分析 由图可知点P到B点和A点的距离的和为定值,可借助椭圆定义来求. 解

如图所示,连结AP, ∵l垂直平分AC, ∴|AP|=|CP|,

∴|PB|+|PA|=|BP|+|PC|=4,

∴P点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆. ∵2a=4,2c=|AB|=2,

∴a=2,c=1,b2=a2-c2=3.

x2y2

∴点P的轨迹方程为1.

43

y0

. 2

【反思感悟】 求动点的轨迹方程时,应首先充分挖掘图形的几何性质,看能否确定轨迹的类型,而不要起步就代入坐标,以致陷入繁琐的化简运算之中.

已知两定点A、B,且|AB|=8,M是平面上一动点,且|AM|=10,线段BM

的垂直平分线交AM于P点,P点的轨迹是什么图形?

解 如右图所示

|PB|=|PM|,|PA|+|PB|

=|PA|+|PM|=10,|AB|=8, 所以|PA|+|PB|>|AB|, 所以P点轨迹是椭圆.

知识点三 椭圆定义的综合应用

x2y2π

设M是椭圆=1上一点,F1、F2为焦点,∠F1MF2=,求△MF1F2的面积.

25166

π

分析 在△MF1F2中,已知|F1F2|和∠F1MF2=|MF1|+|MF2|=2a=10,可根据余

6

弦定理求得|MF1|和|MF2|的长,再利用面积公式可求.

x2y2

解 =1中,a2=25,b2=16,

2516

∴c2=a2-b2=9.∴a=5,b=4,c=3. ∴|F1F2|=2c=6,2a=10. 设|MF1|=r1,|MF2|=r2.

在△MF1F2中,由余弦定理,得:

π22

r2+r-|FF|=2rr·121212

6

即(r1+r2)2-2r1r2-36=3r1r2. 根据椭圆的定义,有r1+r2=10.

64

∴r1r264(2-3),

2+3

∴S△MF1F21r2·sin32-3.

26

【反思感悟】 椭圆中,△MF1F2往往称为焦点三角形.在△MF1F2中,|MF1|

+|MF2|=2a,|F1F

2|

=2c,求解有关问题时,注意正、余弦定理的运用.

如图△ABC中底边BC=12,其它两边AB和AC上中线的和为30,求此三

角形重心G的轨迹方程,并求顶点A的轨迹方程.

解 以BC所在直线为x轴,BC边中点为原点,建立如图所示坐标系,则B(6,0),C(-6,0),CE、BD为AB、AC边上的中线,则|BD|+|CE|=30.

由重心性质可知

2

|GB|+|GC|=BD

|+|CE|)=20.

3

∵B、C是两个定点,G点到B、C距离和等于定值20,且20>12, ∴G点轨迹是椭圆,B、C是椭圆焦点. 2c=|BC|=12,c=6,2a=20,a=10, b2=a2c2=10262=64,

x2y2

1,,去掉(10,0)、(10,0)两点. 故G点轨迹方程为

10064

又设G(x′,y′),A(x,y),则有

x20x',x'2y'212

1 又∵

y2010064y',12

xx',3∴ 故A点的轨迹方程为

yy',3

xy

()2()2

1, 10064

x2y2

1900576

去掉(30,0)、(30,0)两点.

课堂小结:

1.椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程,所谓标准位置,就是指椭圆的中心在坐标原点,椭圆的对称轴为坐标轴 椭圆的标准方程有两种形式:

x2y2

(1)221(a>b>0),焦点在x轴上,焦点坐标为(±c,0),焦距2c;

abx2y2

(2)221(a>b>0),焦点在y轴上,焦点坐标为(0,±c),焦距2c.

ab

椭圆的焦点在x轴上标准方程中x2项的分母较大;椭圆的焦点在y轴上标准方程中y2

项的分母较大.这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法.

2.在与圆有关的求轨迹方程的问题中要注意挖掘几何中的等量关系. 

课时作业

一、选择题

x2y2

1.椭圆1上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直,则△PF1F2的面

4924

积为( )

A.20 B.22 C.28 D.24 答案 D

解析 由|PF1|+|PF2|=14,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100,得2|PF1|·|PF2|=142-100=96.

1

又因PF1⊥PF2,所以SPF1|·|PF2|=24.

2

2.一动圆与已知圆O1:(x+3)2+y2=1外切,与圆O2:(x-3)2+y2=81内切,则动圆圆心的轨迹方程为( )

x2y2x2y2

A.+1 B.+1 2516162522xyx2y2

C.+=1 D.=1 259925答案 A

解析 两定圆的圆心和半径分别为O1(-3,0),r1=1; O2(3,0),r2=9,设动圆圆心为M(x,y),半径为R,则由题设条件可得|MO1|=1+R,|MO2|=9-R.

所以|MO1|+|MO2|=10.

由椭圆的定义知:M在以O1、O2为焦点的椭圆上, 且a=5,c=3.所以b2=a2-c2=25-9=16.

x2y2

故动圆圆心的轨迹方程为+1.所以选A.

2516

22xy

3.椭圆+=1上的一点M到左焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,则|ON|等于( )

259

3

A.2 B.4 C.8 D.

2

答案 B

1

解析 因为|MF1|+|MF2|=10,|ON|=|MF2|,

2

因为|MF2|=8,所以|ON|=4.

x2y2

4.椭圆+=1的一个焦点为F1,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点M在y轴上,

123

那么点M的纵坐标是( )

3323A. B. C. D.

4244答案 A

解析 因为线段PF1的中点在y轴上, 所以PF2⊥x轴,F2为另一焦点,

3所以P点坐标为±3,.

2

3

M是PF1的中点,M的纵坐标是4

二、填空题 5.已知椭圆的两个焦点是F1,F2,P是椭圆上的一个动点,如果延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点Q的轨迹是

__________.

答案 圆 解析

如图所示,因为P是椭圆上的一个动点,所以由椭圆的定义可知: |PF1|+|PF2|=2a为常数; 又因为|PQ|=|PF2|,

所以|PF1|+|PQ|=2a,即|QF1|=2a为常数.即动点Q到定点F1的距离为定值,所以动点Q的轨迹是以F1为圆心,以2a为半径的圆.故Q的轨迹为圆.

x2y2

6.椭圆+1上到两个焦点F1,F2距离之积最大的点的坐标是______________.

925

答案 (±3,0)

解析 设椭圆上的动点为P,由椭圆的定义可知: |PF1|+|PF2|=2a=10,

|PF1|+|PF2|2102

2=2=25,

当且仅当|PF1|=|PF2|时取等号; |PF1|+|PF2|=10由, |PF1|=|PF2|

解得:|PF1|=|PF2|=5=a,

此时点P恰好是椭圆短轴的两端点,即P(±3,0).

7.点A,B的坐标分别是(-1,0),(1,0),直线AM,BM相交于点M,且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2,点M的轨迹方程为______________________.

答案 x=-3 (y≠0)

解析 设点M的坐标为(x,y),

y

由已知,得直线AM的斜率kAM=x≠-1);

x+1

y

直线BM的斜率kBM=x≠1).

x-1

k由题意,得2,

kBMyy

所以,2×x≠±1,y≠0).

x+1x-1

化简,得x=-3(y≠0).

因此,点M的轨迹是直线x=-3,并去掉点(-3,0). 三、解答题

8.已知一直线与椭圆4x2+9y2=36相交于A、B两点,弦AB的中点坐标为M(1,1),求直线AB的方程.

解 方法一 由题意直线AB的斜率存在,设通过点M(1,1)的直线AB的方程为y=k(x-1)+1代入椭圆方程,整理得

(9k2+4)x2+18k(1-k)x+9(1-k)2-36=0. 设A、B的横坐标分别为x1、x2, x1+x2-18k(1-k)则==1,

22(9k+4)

44

解得k=-AB的方程为yx-1)+1,

99

所以所求方程为4x+9y-13=0.

方法二 设A(x1,y1),因为AB中点为M(1,1), 所以B点坐标是(2-x1,2-y1).

将A、B点坐标代入方程4x2+9y2=36,

2

得4x21+9y1-36=0,①

及4(2-x1)2+9(2-y1)2=36,化简为

2

4x21+9y1-16x1-36y1+16=0.② ①式-②式得16x1+36y1-52=0, 化简为4x1+9y1-13=0. 同理可推出4x2+9y2-13=0.

因为A(x1,y1)与B(x2,y2)都满足方程4x+9y-13=0, 所以4x+9y-13=0即为所求.

9.设x、y∈R,i、j分别为直角坐标平面内x轴、y轴正方向上的单位向量,a=x i+(y+2)j,b=x i+(y-2)j,且|a|+|b|=8.

(1)求点M(x,y)的轨迹方程.

所以|PF1|×|PF2|≤

(2)过点(0,3)作直线l与曲线C(为(1)问中点M的轨迹)交于A、B两点,→→

=OA+OB,是否存在这样的直线l使得四边形OAPB是矩形?若存在,求l的方程;若不存在,说明

理由.

解 (1)由|a|+|b|=8,

得x+(y+2)+x+(y-2)=8,

即点M(x,y)到两定点F1(0,-2),F2(0,2)2

的距离和为定值8,且|F1F2|

所以点M的轨迹是椭圆,其方程为y2x16+12

=1.

(2)设l的斜率为k,l的方程为y=kx+3,代入椭圆方程得 (kx+3)216+x2

12

1,即(3k2+4)x2+18kx-21=0. 设A、B坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),

x18k21

1+x2=-3k+4x1x2=-3k+4

=OA→+OB→

,四边形OAPB是平行四边形. 要使其是矩形只需OA⊥OB即可,即x1x2+y1y2=0. y1y2=(kx1+3)(kx2+3)=k2x1x2+3k(x1+x2)+9, 所以(1+k2)x1x2+3k(x1+x2)+9=0, -21(1+k2)3k+4-54k255

3k+4

+9=0,解得k216k=4所以l存在,其方程为y=5

4

x+3.

AM→=2AP→,NP→·AM→=0,点N的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程;

(2)求过点Q(2,1)的弦的中点的轨迹方程.

(1)∵AM→=2AP→,NP→·AM→

=0 ∴NP为AM的中垂线,|NA|=|NM|

又因为|CN|+|NM|=10,所以|CN|+|NA|=10>6

所以动点N的轨迹是以点C(-3,0)和A(3,0)为焦点的椭圆,

x2y2

且2a=10,所以曲线E2516

=1;

(2)设直线与椭圆交与G(x1,y1),H(x2,y2)两点, 中点为S(x,y)

由点差法可得:弦的斜率k=y1-y2x=-16(x1+x2)

1-x225(y1+y2)

=-16x25y

.

由S(x,y),Q(2,1)两点可得弦的斜率为k=y-1

x-2

所以k=y-1x-2

16x

25y

化简可得中点的轨迹方程为:16x2+25y2-32x-25y=0.

2.2.2 椭圆的简单几何性质

.

对点讲练

知识点一 由椭圆方程研究其几何性质

设椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴,一个焦点与短轴两端点的连线互相垂

直,且此焦点与长轴上较近的端点的距离为2-1),求此椭圆方程及它的离心率、焦点坐标、顶点坐标.

分析 设出椭圆方程,再依据椭圆几何性质建立参数关系式确定椭圆方程,进而可使其他问题解决.

b=c,xyyx

解 设所求的椭圆方程为+=1或1(a>b>0),则a-c=2-1),

abab

a2=b2+c2,

2

2

2

2

解得

a=2,

b=4,c=4.

x2y2y2x2

所以所求的椭圆方程为+1,或1.

32163216

c离心率e=

a2

当焦点在x轴上时,焦点为(-4,0),(4,0), 顶点(-2,0),(42,0),(0,-4),(0,4), 当焦点在y轴上时,焦点为(0,-4),(0,4), 顶点(-4,0),(4,0),(0,-42),2).

【反思感悟】 解决这类问题关键是将所给方程正确地化为标准形式,然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上,再利用a,b,c

之间的关系求椭圆的几何性质.

已知椭圆x2+(m+3)y2=m的离心率e=

的长、焦点坐标、顶点坐标.

x2y2

解 +1,

mm

m+3m(m+2)m

∴m>0.又m->0,

m+3m+3mm

∴m>∴a2=m,b2=,

m+3m+3

c=a-b= c3

∵e=,∴

a2∴m=1

m(m+2)

. m+3m+23

m+32

3,求m的值及椭圆的长轴和短轴2

3

∴椭圆的长轴长为2,短轴长为1,焦点坐标为,0)

2

11

顶点坐标为(1,0)(-1,0),(0,)(0,-).

22

知识点二 由椭圆的几何性质求椭圆方程

x2y2

例2. 已知F1、F2是椭圆221(a>b>0),

ab

的左、右焦点,A是椭圆上位于第一象限内的一点,若AF1·椭圆的离心率等于F1F2=0,△AOF2的面积为22,求椭圆的方程.

解 ∵AF1·F1F2=0

c2

∴AF2⊥F1F2,因为椭圆的离心率e=

a2

1

则b2=a2,

2

设A(x,y)(x>0,y>0),由AF2⊥F1F2知x=c,

2,2

∴A(c,y),代入椭圆方程得

xy1, a2b2

22

b2

∴y2

a

∵△AOF2的面积为22,

∴S△AOF2=

1

x×y=22, 2

b21

即 c·= 22,

a2

2c=,∴b2=8,∴a2=2b2=16, a2

x2y2

故椭圆的方程为 1

168

【反思感悟】 由椭圆的几何性质,求椭圆标准方程的一般步骤是:(1)构造方程求出a、b的值;(2)确定焦点所在的坐标轴;

(3)写出标准方程.

x2y2

. 已知F1、F2是椭圆221 (a>b>0)的左、右两个焦点,A是椭圆上位于第

ab

一象限内的一点,点B也在椭圆上,且满足+OB=0(O是坐标原点),AF2⊥F1F2.若椭圆2

,△ABF2的面积等于2,求椭圆的方程. 2

c21→

解 由+OB=0知,直线AB经过原点,∵e=,∴b2=2,

a22

设A(x,y),由AF2⊥F1F2知x=c,

c2y2

∴A(c,y),代入椭圆方程得1,

ab

2b

∴y=AF1,BF1,AF2,BF2,

a

由椭圆的对称性可知S△ABF2=S△ABF1=S△AF1F2,

11所以·2c=42,

22

21

又由ca,解得a2=16,b2=×16=8,

22

22xy

故椭圆方程为+=1.

168

知识点三

求椭圆的离心率

x2y2

已知F1,F2是椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2

ab

=60°.

(1)求椭圆离心率的取值范围;

(2)求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关. 解 设|PF1|=m,|PF2|=n,

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

(1)在△PF1F2中,由余弦定理得cos∠F1PF2=

2|PF1|·|PF2|

(m+n)2-2mn-4c24a2-4c22(a2-c2)2(a2-c2)c

即cos60°==1≥1-1=1-2()2=12mn2mnaam+n2

(2

-2e2(当且仅当m=n时取“=”号)

11

所以e2≥,又e∈(0,1),所以e∈1)

42

(2)证明 在△PF1F2中,由余弦定理可知|PF1|2+|PF2|2-2|PF2||PF1|·cos∠F1PF2=|F1F2|2,

222

1m+n-4c

即cos60°因为m2+n2=(m+n)2-2mn

22mn

(4a2-2mn)-4c22

=4a-2mn=1,

mn

41所以mn=b2,所以S△PF1F2=mnsin60°=b2,即△F1PF2的面积只与短轴长有关.

323

【反思感悟】 椭圆的离心率是椭圆固有的性质,与椭圆的位置无关.求椭

c

圆的离心率e,即求比值aa2

=b2+c2,所以求离心率只需寻求a,b,c三者或者其中两者之间的关系式.注意椭圆离心率

0

已知F1为椭圆的左焦点,A,B分别为椭圆的右顶点和上顶点,P为椭圆上

的点,当PF1⊥F1A,PO∥AB(O为椭圆中心)时,求椭圆的离心率.

解 方法一 由已知可设椭圆的方程 x2y2222

+=1 (a>b>0),c=a-b,F1(-c,0), ab

因为PF1⊥F1A,所以

P ( -c ,

b2

即P (-c , ),∵AB∥PO,∴kAB = kOP,

a

∴b=c,∴a2 = 2c2,∴e =

c

= 22, a

b2

方法二 由方法一知P (-c , ),又△PF1O∽△BOA,

a

2accPF1F1O

∴ = , ∴ = , 即b=c,∴a2=2c2, ∴e =.= ,

2OABObaa

课堂小结:

1.椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围,在求解一些存在性和判断性问题中有着重要的应用.

2.椭圆既是一个轴对称图形,又是一个中心对称图形.椭圆的对称性在解决直线与椭圆的位置关系以及一些有关面积的计算问题时,往往能起到化繁为简的作用.

3.椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量,其取值范围是0

一、选择题

1.椭圆长轴上两端点为A1(-3,0),A2(3,0),两焦点恰好把长轴三等分,则该椭圆的标准方程是( )

x2y2x22

A.+1 +y=1 98922xyx2

C.+1 y2=1 363236答案 A

1

解析 由题意知a=3,2c×6=2,

3

∴c=1,∴b=a-c=9-1=22,

x2y2

故椭圆的方程为=1.

98

2.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m的值是( ) 11

A. B. C.2 D.4 42答案 A

11

解析 由题意可得=2×2,解得mm4

22xy

3.P是长轴在x轴上的椭圆1上的点,F1、F2分别为椭圆的两个焦点,椭圆的

ab

半焦距为c,则|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差一定是( )

A.1 B.a2 C.b2 D.c2 答案 D

解析 由椭圆的几何性质得

|PF1|∈[a-c,a+c],|PF1|+|PF2|=2a,

|PF1|+|PF2|22

所以|PF1|·|PF2|≤2=a, 当且仅当|PF1|=|PF2|时取等号. |PF1|·|PF2|=|PF1|(2a-|PF1|)

=-|PF1|2+2a|PF1|=-(|PF1|-a)2+a2

课时作业

≥-c2+a2=b2, 所以|PF1|·|PF2|最大值与最小值之差为a2-b2=c2.

4. 已知F1、F2是椭圆的两个焦点.满足MF1·MF2 = 0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是 ( )

10, A.(0,1) B.2C.0 D.,1

22答案 C

解析 ∵MF1 ·MF2 = 0,

∴M点轨迹方程为x2+y2=c2,其中F1F2为直径, 由题意知椭圆上的点在圆x2+y2=c2外部, 设点P为椭圆上任意一点,则|OP|>c恒成立, 由椭圆性质知|OP|≥b,其中b为椭圆短半轴长, ∴b>c,∴c22c2, c21c22∴

x2y2x2y2

5.设0

2599-k25-k

A.顶点 B.长轴与短轴 C.离心率 D.焦距 答案 D

x2y2

解析 由0

9-k25-k

x2y2

圆+=1的焦点在x轴上,焦距也为8. 259

二、填空题

x2y2

6.过椭圆+1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原

54

点,则△OAB的面积为______.

5答案

3

x2y2

解析 椭圆+1的右焦点为F(1,0),

54

过F(1,0)且斜率为2的直线方程为y=2(x-1),即y=2x-2. 代入4x2+5y2=20得4x2+5×4(x2-2x+1)=20

54

∴x1=0,x2=.∴y1=-2,y2=.

3354∴A(0,-2),B3,3.

5∴|AB|=.

993

2

又点O(0,0)到y=2x-2的距离为d=5

12555

∴S△OAB=×.

2337

7.在△ABC中,AB=BC,cosB=-,若以A、B为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆

18

的离心率e=________.

3答案

8

解析

如图所示,设AB=BC=x,

7

及余弦定理得 18

AC2=AB2+BC2 - 2AB·BCcosB

7

= x2+x2+2x2×,

18255

∴AC2=x2,∴AC = x.

93

由cosB= -

∵椭圆以A、B为焦点,∴焦距为2c = AB = x. 又椭圆经过点C,∴AC+BC=x +∴2a=

5

x=2a, 3

8c3x,∴e== . 3a8

三、解答题 x221

8.已知+y=1表示离心率为的椭圆,求椭圆方程.

a2

a2-112解 当a>1时,半焦距为a-1,所以

a4

2

4x

解得a2=,方程为+y2=1.

34

3

13

当a2

44

2x

方程为y2=1.

34

x22x22

综上所述,所求的椭圆方程为+y=1或y=1.

4334

x2y2

9.已知点P(3,4)是椭圆=1 (a>b>0)上的一点,F1、F2为椭圆的两焦点,若PF1⊥PF2,

ab

试求:

(1)椭圆的方程; (2)△PF1F2的面积.

解 方法一 (1)令F1(-c,0),F2(c,0),则b2=a2-c2.因为PF1⊥PF2,所以kPF1·kPF2=

44

-1,即1,

3+c3-c

x2y2

解得c=5.所以椭圆方程为+1.

aa-25916

因为点P(3,4)在椭圆上,所以+1.

aa-25

解得a2=45或a2=5.又a>c,所以a2=5舍去.

x2y2

=1.

4520

方法二 因为PF1⊥PF2,所以△PF1F2为直角三角形.

1

所以|OP|=|F1F2|=c.

2

又|OP|=3+4=5,所以c=5.

x2y2

所以椭圆方程为+1(以下同方法一).

aa-25

(2)由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=65,① 又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100,② ①2-②得2|PF1|·|PF2|=80,

1

所以S△PF1F2|PF1|·|PF2|=20.

2

10.在平面直角坐标系xOy中,点P到两点(0,-3)、(0,3)的距离之和等于4,设点P的轨迹为C.

(1)写出C的方程; (2)设直线y=kx+1与C交于A、B两点,k为何值时⊥?此时||的值是多少?

解 (1)设P(x,y),由椭圆的定义可知,点P的轨迹C是以(0,-3)、(03)为焦点,长半轴长为2的椭圆,它的短半轴长b22-3)2=1,

22y故曲线C的方程为x+1. 4

2y2x+41,

(2)设A(x,y)、B(x,y),其坐标满足

1

1

2

2

y=kx+1,

消去y并整理得(k2+4)x2+2kx-3=0,

2k3

故x1+x2=-,x1x2=-k+4k+4→→

若⊥OB⊥OB,则x1x2+y1y2=0. 而y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1,

33k22k2

于是x1x2+y1y2=---1=0,

k+4k+4k+4

1

化简得-4k2+1=0,所以k=2

1412

当k=x1+x2=x1·x2=-,

21717

1212122

412

4×522+4×==17

1717

∴|| =

× = 。

2§2.2 习题课

对点讲练

知识点一 椭圆的中点弦问题

x2211

已知椭圆y=1,求过椭圆内点P(,且被P平分的弦所在直线的方程.

222

解 设该直线与椭圆交点为A(x1,y1),B(x2,y2),

2x+y21=1 ①,2则2

x2

+y2=1 ②,2



(x+x)(x-x)

由①-②,得(y1+y2)(y1-y2)=0,

2

y1-y21x1+x2

所以,

2y1+y2x1-x2

11

又x1+x2=2×=1,y1+y2=2×=1,

22

y1-y211所以,

22x1-x2

111

所以直线方程为:y-x,即2x+4y-3=0.

222

【反思感悟】 本题是典型的中点弦问题,故可用“点差法”求解,基本步

骤是:设点、代点、作差得到弦所在直线斜率与弦中点坐标间的关系.

x2y2

在椭圆+=1内,通过M(1,1),且被这点平分的弦所在的直线方程为

164

________.

答案 x+4y-5=0

解析 设直线与椭圆交点为A(x1,y1),B(x2,y2),

2

x2y1, ①164则2 2

x2y2

=1, ②164

(x1+x2)(x1-x2)(y1+y2)(y1-y2)

由①-②,得=0,

164

x1+x2=2,因 y1+y2=2,

y1-y21所以,

4x1-x2

1

所求直线方程为y-1=-(x-1),

4

即x+4y-5=0.

知识点二 椭圆中的最值问题

x2y2

已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,点P为椭圆上的任意一点,

ab

求|PF1|·|PF2|的最大值和最小值.

分析 由椭圆的定义可知,|PF1|+|PF2|=2a,设|PF1|=x,则|PF2|=2a-x,于是有|PF1|·|PF2|=x(2a-x),再借助二次函数的性质研究最值.

解 设|PF1|=x,由椭圆的定义知,|PF2|=2a-x. ∴|PF1|·|PF2|=x(2a-x)=-(x-a)2+a2. 又由椭圆的几何性质可知,a-c≤x≤a+c.

∴当x=a时,|PF1|·|PF2|取得最大值a2. 当x=a+c或x=a-c时,|PF1|·|PF2|取得最小值a2-c2=b2. 所以|PF1|·|PF2|的最大值为a2,最小值为b2.

【反思感悟】 求椭圆中某一量的最值,关键是通过椭圆的几何性质建立起函数关系,使问题转化为函数的最值问题.

如图所示,已知椭圆x+8y=8,在椭圆上求一点P,使P到直线l:x y+4=0

的距离最小,并求出最小值.

2

2

解 设与直线x y+4=0平行且与椭圆相切的直线为x y+a=0. 由󰀀得:9y2  2ay + a2 8=0.

Δ=4a2 36(a2 8)=0,解得a=3或a= 3, 与直线l距离较近的直线方程为:x y+3=0, ∴

dmin =

2

= .

22

2

8

x,x8y8,3

此时,由,得,.

xy30,y1,

3

81即P (. , )

33

281

∴当P点坐标为(. , )时,到直线l的距离最小为..

233

知识点三 与椭圆有关的综合问题

在平面直角坐标系中,已知点A(2,0)、B(-2,0),P是平面内一动点,直线PA、

3

PB4

(1)求动点P的轨迹C的方程;

1

(2)过点0)作直线l与轨迹C交于E、F两点,线段EF的中点为M,求直线MA的斜

2

率k的取值范围.

yy3

解 (1)依题意,有kPA·kPB=(x≠±2),

4x-2x+2

x2y2

化简得=1(x≠±2),这就是动点P的轨迹C的方程.

43

(2)依题意,可设M(x,y)、E(x+m,y+n)、F(x-m,y-n),

则有(x-m)(y-n)

4+31

2

2

(x+m)2(y+n)2

143

4mx4nyn3xy-0

两式相减,得=0⇒kEF=,

43m4y1

x-2

由此得点M的轨迹方程为6x2+8y2-3x=0(x≠0).

1

设直线MA:x=my+2(其中m=),则

k

x=my+22⇒(6m2+8)y2+21my+18=0, 2

6x+8y-3x=0

故由Δ=(21m)2-72(6m2+8)≥0⇒|m|≥8,

111

-. 即|≥8,解之得k的取值范围是88k

【反思感悟】 本题解法不唯一,可以设出直线l的方程,联立曲线C,表

示出EF的中点M的坐标,再表示出MA的斜率k,利用函数关系式求k的范围,这样加大了运算量,本题的解法虽不容易想.但运算量较小.

x2y2

点A、B分别是椭圆+1长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点.点

3620

P在椭圆上,且位于x轴的上方,PA⊥PF.

(1)求点P的坐标;

(2)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.

解 (1)由已知可得点A(-6,0),F(4,0),

=(x+6,y), =(x-4,y),由已知得

xy36+20=1 (x+6)(x-4)+y2=0

3

则2x2+9x-18=0,解得x=或x=-6.

2

35

由于y>0,只能x=,于是y3.

2235

∴点P的坐标是223.

(2)直线AP的方程是x-y+6=0, 设点M的坐标为(m,0),

|m+6|

则M到直线AP,

2

|m+6|于是|m-6|,又-6≤m≤6,

2

解得m=2,

椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有 d2=(x-2)2+y2

5

=x2-4x+4+20-x2

9

94

x-2+15, =92

由于-6≤m≤6,

9

∴当xd取得最小值 15.

2

∴椭圆上的点到点M15. 课堂小结:

1.求直线与椭圆相交时的弦长通常有两种求法:

(1)求直线与椭圆的交点,然后利用两点间距离公式求弦长,此种方法仅当直线方程和椭圆方程简单且易得交点坐标时可以使用,一般情况下并不采用此法.

(2)将直线方程与椭圆方程联立,得到关于x的一元二次方程,然后运用根与系数的关

2

2

系,再求弦长,不必求直线与椭圆的交点,这种方法是求弦长常采用的方法.

2.有关椭圆的中点弦问题,通常采用“点差法”求解,通过“点差”易得弦所在直线斜率与弦中点坐标间的关系.

课时作业

一、选择题

x2y2

11的焦点坐标是( )

m-2m+5

A.(±7,0) B.(0,±7) C.7,0) D.(0,7) 答案 D

解析 因为m+5>m-2,所以椭圆的焦点在y轴上,

y2x2

方程化为标准形式为:+=1;

m+5m-2

其中a2=m+5,b2=m-2,

∴c2=a2-b2=(m+5)-(m-2)=7,解得:c=; 所以椭圆的焦点坐标是(0,7).

2.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是( ) A.(0,+∞) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1) 答案 D

解析 因为椭圆焦点在y轴上,

y2x2

+=1,

22k

2

其中a2=,b2=2,

k

2

∴,解得:0

x2y2

3=1的一个焦点为(0,1),则m的值为( )

m3-m

-17

A.1 B.2

-17

C.-2或1 D.-2或1或2

答案 C

解析 由椭圆的一个焦点为(0,1)可知: 椭圆的焦点在y轴上,且c=1;

y2x2

所以椭圆的标准方程为:1,

3-mm

其中a2=3-m,b2=m2,∴c2=a2-b2=3-m-m2, 由c2=3-m-m2=1,可解得:m=-2或1.

x2y2

4.椭圆1的焦点为F1和F2,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点在y轴上,

123

那么|PF1|是|PF2|的( )

A.7倍 B.5倍 C.4倍 D.3倍 答案 A

解析 设PF1的中点为A,因A在y轴上,

所以OA为△F1PF2的中位线,即有|PF2|=2|AO|,

33因F2(3,0),∴P点坐标为3,,即|PF2|=22

1473∴|PF1|==7×7|PF2|. 22

二、填空题

x2y2

5. 已知P是以F1,F2为焦点的椭圆221 (a>b>0)上的点,若PF1·PF2 = 0,ab

1且tan∠PF1F2=,则椭圆的离心率为________. 2

5答案 3

解析 由PF1·PF2 = 0,知PF1⊥PF2,△PF1F2是Rt△.

|PF|1tan∠PF1F2=,得|PF1|=2|PF2|,|PF1|+|PF2|=3|PF2|=2a, |PF1|2

在Rt△PF1F2中,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,

5|PF2|2=(2c)2,

2a∴()2=4c2 3

c2552∴e=,∴e=. a9322xy6.椭圆+=1 (a>b>0)与过点A(2,0),B(0,1)的直线有且只有一个公共点,且椭圆的ab3离心率e=________________. 2

x2答案 2y2=1 2

x解析 过点A、B的直线方程为+y=1, 2

x2y2

=1ab∵由题意得有唯一解, 1y=-+12

1b2+2x2-a2x+a2-a2b2=0有唯一解, 即4

∴Δ=a2b2(a2+4b2-4)=0 (ab≠0),

a2-b23322故a+4b-4=0,∵e,即, 2a4

1∴a2=4b2,从而得a2=2,b2=22x故所求的椭圆方程为+2y2=1. 2

7.有一块长轴长为10,短轴长为8的椭圆形玻璃镜子,欲从此镜中划出一块面积尽可能大的矩形镜子,则可划出的矩形镜子的最大面积为________.

答案 40

解析 设矩形的长、宽分别为2x、2y,

x2y2

则点(x,y)在椭圆上,即+1, 251622xyxy因≥2,∴xy≤10, 25165×4

x228.在平面直角坐标系xOy中,经过点(02)且斜率为k的直线l与椭圆y=1有两2

个不同的交点P和Q.

(1)求k的取值范围;

(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B,是否存在常数k,使得向量→+OQ与 共线?如果存在,求k值;如果不存在,请说明理由.

解 (1)由已知条件知直线l的方程为y=kx+2,

x2代入椭圆方程得(kx2)2=1. 2

122整理得2+kx+22kx+1=0①

直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于

12+k=4k2-2>0, Δ=8k2-42

22解得k. 22

22即k的取值范围为-∞∪,+∞. 22

(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),

→则OP+OQ=(x1+x2,y1+y2),

2k由方程①得x1+x2=-② 1+2k又y1+y2=k(x1+x2)+2③

而A(2,0),B(0,1), = (-2,1)

→所以+OQ与共线等价于x1+x22(y1+y2),

2将

②③代入上式,解得k. 2

22由(1)知k,故没有符合题意的常数k. 22因此S=4xy≤40,∴最大面积为40. 三、解答题

xy9.如图所示,从椭圆=1 (a>b>0)上一点M向x轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点ab

F1,且它的长轴端点A及短轴端点B的连线AB平行于OM.

(1)求椭圆的离心率e;

(2)设Q是椭圆上任意一点,F2是右焦点,求∠F1QF2的取值范围;

(3)当QF2⊥AB时,延长QF2与椭圆交于另一点P,若△F1PQ的面积为203,求此时椭圆的方程.

解 (1)因为MF1⊥x轴,

x2y2b2

所以xM=-c+1,得yM= aba2ybb所以kOM==-因为kAB=-, xMaca2bbOM∥AB,所以-b=c. aca

22

从而a2c,故e=ca=2.

(2)设|QF1|=m,|QF2|=n,∠F1QF2=θ,则m+n=2a,

|F1F2|=2c.在△F1QF2中,由余弦定理,得

m2+n2-4c2(m+n)2-2mn-2a2

cosθ=

22mn2mna

mn-1≥a2

=m+n-1=0.

22

当且仅当m=n时,上式等号成立,

因为0≤cosθ≤1,故θ∈0,π

2.

(3)因为b=c,a=2c,所以椭圆方程为x2y2

2cc=1.

因为PQ⊥AB,kb2

AB=-a2,所以kPQ2.

所以直线PQ:y=2(x-c).

代入椭圆方程得5x-8cx+2c2=0.

由弦长公式得|PQ|=62

5c.

又点FPQ的距离为d=21到直线3,

所以S△F143

1PQ=22|PQ|·d=5c. 由4352=203,得c2=25.故所求椭圆方程为x2y2

50251.

10.已知直线l过椭圆E:x2+2y2=2的右焦点F,且与E相交于P,Q两点.(1)设= 1

2( + OQ)(O为原点),求点R的轨迹方程;

(2)若直线l的倾斜角为60°,求1

PF1

QF的值.

解 (1)设P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x,y)

=1→+ OQ→

2OP )⇒(x,y)

x=x1+x2

=1

2x1,y1)+(x2,y2)]⇒2

yy1

+y2

2

由x2+2y2x2

=2⇒2y21,易得右焦点F(1,0).

当直线l⊥x轴时,直线l的方程是:x=1,根据对称性可知R(1,0)

当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为y=k(x 1)

代入E有(2k2+1)x2 4k2x+2k2 2=0

Δ=8k2+8>0;

4k2

x1+x2=2 2k1

2k2x1x2于是R(x,y):x = = ;y = k(x 1), 2k2122222消去参数k得x+2y – x = 0而R(1,0)也适合上式,故R的轨迹方程是x+2y – x = 0.

(2)设椭圆另一个焦点为F′,

在△PF′F中∠PFF′=120°,|F′F|=2,设|PF|=m,

则|PF|= 22 m ,

由余弦定理得(22  m)2=22+m2-2·2·m·cos120°

m = 同理,在△QF′F中,设|QF|=n,则|QF|=22 n.

也由余弦定理得(2 n)2=22+n22·2·n·cos60°

于是,11

PFQF111mn21

2

.

范文四:圆锥曲线(知识点)

圆锥曲线

一、椭圆

(一)定义:(Ⅰ)若F1,F2是两定点,P为动点,且PF1PF22aF1F2 (a为常数)则P点的轨迹是椭圆.

P到F1的距离与到定直线l的距离之比为常l(Ⅱ)若F1为定点,为定直线,动点数e(0

(二)图形:

(三)性质:

x2y2x2y2

标准方程:221 (ab0) 或 221(ab0).

baab

范围:-a#xa, -b#yb.

长轴长:2a 短轴长:2b 焦距:2c . 对称性:关于轴x对称;关于y轴对称;关于原点对称.

a,0),(0,b) 顶点坐标:(北

焦点坐标:(?c,0),c离心率:e

2

a2-b2

ce1时,椭圆越扁;e0时,椭圆越趋近于圆. aa2

准线方程:x.

c

焦半径:PF1ac等(注意涉及焦半径1aex0,PF2aex0,acPF

①用点P坐标表示,②第一定义.).

2b2通径:过焦点且垂直于焦点轴的弦(过焦点的最短弦)为.

a

注意:(1)图中线段的几何特征:A1F1A2F2ac,A1F2A2F1ac,

B1F1B1F2B2F2B2F1a ,A2B2A1B2

点与准线距离、焦点与准线距离分别与a,b,c有关.

a2b2等等.顶

2c,PF2、

(2)PF、三角形面积公式将有关线段PF11F2中经常利用余弦定理...........

有关角F1PF2结合起来,建立PF1

+PF2、PF1

PF2等关系.

ìïx=acos

(3)椭圆的参数方程:ï.椭圆上的点有时常用到(acos,bsin) í

ïy=bsinïî

(4)注意题目中椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上,请补充当焦点在y轴上时,其

22

相应的性质.中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆方程可设为Ax+Bx=1.

二、双曲线

(一)定义:(Ⅰ)若F1,F2是两定点,PF1PF22aF1F2(a为常数),

则动点P的轨迹是双曲线.

(Ⅱ)若动点P到定点F则动1与定直线l的距离之比是常数e(e>1),点P的轨迹是双曲线.

(二)图形:

(三)性质:

x2y2y2x2

标准方程:221 (a0,b0) 221 (a

0,b0)

abab

范围:x³a或 x£a; yÎR;

实轴长:2a,虚轴长:2b;焦距:2c .

对称性:关于轴x对称;关于y轴对称;关于原点对称. 顶点坐标:(±a,0) 焦点坐标:(?c,0),c2离心率:e

a2+b2

ce越大,双a曲线越开阔.

a2

准线方程:x.

c

焦半径:通径:过焦点且垂直于焦点轴的弦(过焦点且弦的两个端点在同一支上的最短

2b2

弦)为.

a

注意:(1)图中线段的几何特征:AF1BF2ca,AF2BF1ac;

a2a2a2a2

或a或c 顶点到准线的距离:a;焦点到准线的距离:c; cccc2a2

两准线间的距离=.

c

x2y2x2y2b

(2)若双曲线方程为221渐近线方程:220yx;

aabab

xyx2y2b

若渐近线方程为yx0双曲线可设为22;

abaab

x2y2x2y2

若双曲线与221有公共渐近线,可设为22.

abab

(0,焦点在x轴上,0,焦点在y轴上).

22

双曲线x2-y2=1,(a>0,b>0)的焦点到渐近线的距离为b.

ab

(3)特别地当ab时离心率e

2两渐近线互相垂直,分别为y=?x,

此时双曲线为等轴双曲线,可设为x2y2.

关线段PF1

(4)注意PF1F2中结合定义PF1PF22a与余弦定理cosF1PF2,将有

、PF2、F1F2

2

和角结合起来.

2

(5)完成当焦点在y轴上时,标准方程及相应性质.中心在原点,坐标轴为对称

轴的双曲线方程可设为Ax+Bx=1.

三、抛物线

(一)定义:到定点F与定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线(定点不在定直线

上).

即:到定点F的距离与到定直线l的距离之比是常数e(e=1).

(二)图形:

(三)性质: 标准方程:

y22px,(p0),p焦参数;

范围:x澄0,yR. 对称性:关于轴x对称; 顶点坐标:(0,0)

p

焦点: (,0) ,通径AB2p;

2

p

准线方程: x;

2ppp

焦半径:CF=x0+,过焦点弦长CDx1x2x1x2p

222

p

注意:(1)几何特征:焦点到顶点的距离=;焦点到准线的距离=p;通径长=2p

2

顶点是焦点向准线所作垂线段中点.

2y0

(2)抛物线y2px上的动点可设为P(,y0)或P(2pt2,2pt)或P(x0,y0)其中

2p

2y0=2px0.

2

四、直线与圆锥曲线的位置关系

1.直线与圆锥曲线的位置关系,从几何角度可分为三类:无公共点,仅有一个公共点及有两个相异公共点.

2.直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究.因为方程组解的个数与交点的个数是一样的.

位置关系判断:△法(△适用对象是二次方程,二次项系数不为0).

其中直线和双曲线只有一个公共点,包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种情形;后一种情形下,消元后关于x或y方程的二次项系数为0.

直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情况;后一种情形下,消元后关于x或y方程的二次项系数为0.

3.当涉及到弦的中点时,通常有两种处理方法:一是韦达定理;二是点差法. 计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式.

4.一般地,若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB,A,B两点分别为A(x1y1),B(x2,y2),则弦长

AB=

x2

x1=

11

yy(1)[(y1y2)24y1y2],这里体现了解析几何“设而不2122kk

求”的解题思想.

5.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考,一是建立函数,用求值域的方法求范围;二是建立不等式,通过解不等式求范围. 

范文五:圆锥曲线知识点

平面解析几何总结

一、直线

1、直线的倾斜角:一条直线向上的方向与X轴的正方向所成的最小正角。 2、范围 0

3、直线的斜率:当倾斜角不是90时,倾斜角的正切值。ktan(

2

)

4、直线的斜率公式:设P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2

) ky2y1

x 2x1

5、直线的倾斜角和斜率关系:(如右图)

0

2

;k0;单调增;

2

,k0;单调增 6、直线的方程

(1)点斜式:yy1k(xx1) ⑵、斜截式:ykxb (3)两点式:

yy1xx1

y

⑷、截距式:xy2y1x2x1

ab1 ⑸、一般式:AxByC0(A2B20)

⑹、参数式: xx1tcos

yy1

tsin(t为参数)参数t几何意义:定点到动点的向量

7、直线的位置关系的判定(相交、平行、重合)

l1:yk1xb1;l2:yk2xb2 l1:A1xBy1C10,l2:A2xB2yC20

平行:k1k2且b1b2

A1B1CA

1

C 2B22相交:kkA112

A

B1

2B2

重合:k1k2且b1b2

A1AB1C1 2B2C2

垂直:k1k21 A1A2B1B20

P(x0,y0)到l1:AxByC0的距离d

平行线间距离:l1:AxByC10 l2:AxByC20 d9、简单线性规划(确定可行域,求最优解,建立数学模型)

⑴、

目标函数:要求在一定条件下求极大值或极小值问题的函数。用关于变量是

一次不等式(等式)表示的条件较线性约束条件。 ⑵、

线性规划:求线性目标函数在线性的约束条件下的最值问题

10、直线系:具有某种公共属性的直线的集合。

(1)同斜率的直线系方程:ykxb(k为定值,b为变量) (2)共截距的直线系方程:ykxb(b为定值,k为变量)

(3)平行线束:与AxByC0平行的直线系:AxBym0(m为变量) (4)垂直线束:与AxByC0垂直的直线系:BxAym0(m为变量)

(5)过直线l1:A1xB1yC10和l2:A2xB2yC20交点的直线系方程:

A1xB1yC(A2xB2yC2)0或A2xB2yC2(A1xB1yC1)0 (不包含l1)

(适用于证明恒过定点问题) 二、轨迹问题

(一)求轨迹的步骤

1、建模:设点建立适当的坐标系,设曲线上任一点p(x,y) 2、立式:写出适条件的p点的集合

3、代换:用坐标表示集合列出方程式f(x,y)=0 4、化简:化成简单形式,并找出限制条件 5、证明:以方程的解为坐标的点在曲线上 (二)求轨迹的方法

1、直接法:求谁设谁,按五步去直接求出轨迹

2、定义法:利用已知或几何图形关系找到符合圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义 3、转移代入法:适用于一个动点随另一曲线上的动点变化问题

4、交轨法:适用于求两条动直线交点的轨迹问题。用一个变量分别表示两条动直线,

5、参数法:用一个变量分别表示所求轨迹上任一点的横坐标和纵坐标,联立消参。 6、同一法:利用两种思维分别求出同一条直线,再参考参数法,找到轨迹方程。 三、圆

1、定义:平面内与定点距离等于定长的点的集合叫圆 2、圆的方程

1)特殊式:x2y2r2

圆心(0,0)半径r 2)标准式:(xa)2(yb)2r2

3)一般式:x2y2DxEyF0(D2E24F0)圆心(D2,E2

) 半径

4)参数式:xar

cos

brsin(为参数)圆心(a,b)半径为r

y 3、点与圆的位置关系:设点到圆心距离为d,圆的半径为r

点在圆外d>r 点在圆上d=r 点在圆内d

4、直线与圆的位置关系:直线l:AxByC0 圆C(xa)2(yb)2r2 线心距d

相交0或dr 5、圆的切线求法

1)切点(x0,y0)已知

x2y2r2 切线xxyyr2

(xa)2

(yb2) 2r 切线(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2

x2y2DxEyF0 切线xx0xy0x

y0yD

2E0y

2

F0 满足规律:x2xy2yx0xyy

0x、0y、x2、y02

2)切线斜率k已知时,

x2y2r 2 切线ykx(xa)2(yb)2r

2 切线ybk(xa) 6、圆的切线长:自圆外一点P(x0,y0)引圆外切线,切点为P,则

PP7、切点弦方程:过圆外一点p(x0,y0)引圆x2y2r2的两条切线,过切点的直线即切点弦x0xy0yr2(其推到过程逆向思维的运用)

8、圆与圆的位置关系:设两圆圆心距离为d,半径分别为r1,r2 1)外离::dr1r2 2)外切:dr1r2 3)相交:r1r2dr1r2 4)内切:dr1r2 5)内含:dr1r2

圆与圆位置关系的判定中,不能简单的应用联立方程求根

当有两个根时候,肯定两圆相交;当没有根时候,不能确定是外离还是内含;当有且只有一个根时候,也不能确定是外切和内切

9、公共弦方程(相交弦):相交两圆C1:x2y2D1xE1yF10、

C2:x2y2D2xE2yF20公共弦方程(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0 10、(1)过直线l:AxByC0与圆C:x2y2DxEyF0的交点的圆系方程:

x2y2DxEyF(AxByC)0()简记为Cl0

(2)过两圆C1:x2y2D1xE1yF10,C2:x2y2D2xE2yF20交点的圆系方程:x2y2

1Dx1Ey1

(F2

x2

2yD2)x2

0E(y简F1记)为

C1C20

椭圆:平面内到两定点距离之和等于定长(定长大于两定点间距离)的点的集合

1、定义:PFPFc

1PF22a(2aF1F2) 第二定义:dea

(0e1) 、标准方程:x2y2y2ab1(ab0) 或 x2

222a2b

21(ab0);

3、参数方程xacos

ybsin (为参数)几何意义:离心角

4、几何性质:(只给出焦点在x轴上的的椭圆的几何性质) ①、顶点(a,0),(0,b) ②、焦点(c,0) ③、离心率e

c

a

(0e1) ④准线:xa2

c

(课改后对准线不再要求,但题目中偶尔给出)

5、焦点三角形面积:S2PF1F2btan

2

(设F1PF2)(推导过程必须会)

6、直线与椭圆位置关系:相离(0);相交(0);相切(0) 判定方法:直线方程与椭圆方程联立,利用判别式判断根的个数 7、椭圆切线的求法

1)切点(xx2y2

xxyy0y0)已知时,a2b21(ab0) 切线0a20b21

y2x2

yyxxa2b

21(ab0) 切线0a20b21

x22)切线斜率k已知时, y2

221(

ab0) 切线ykxab

22

ya2xb

21(ab0) 切线ykx x2y2

a2b21(ab0) rae0x(左加右减)

y2a2

a2b

21(ab0) rae0y(下加上减)

五、双曲线

1、定义:PF1PF22a 第二定义:

PFdec

a

(e1) x2ay2

2、标准方程:2b

21(a0,b0)(焦点在x轴)

y2x2

a2b2

1(a0,b0)(焦点在y轴) 参数方程:xasec

ybtan (为参数) 用法:可设曲线上任一点P(asec,btan)

3、几何性质 ① 顶点(a,0)

② 焦点(c,0) c2a2b2

③ 离心率e

c

a

e1 准线xa2

④c

x2y2bx2y2

⑤ 渐近线 a2b

21(a0,b0) yax或a

2b20

y2x2a2b2

1(a0,b0) yby2x2

ax或a2b20

4、特殊双曲线

①、等轴双曲线x2ay2

2a

21 e 渐近线yx

x2y2x2y2

②、双曲线a2b

21的共轭双曲线a2b21

性质1:双曲线与其共轭双曲线有共同渐近线

性质2:双曲线与其共轭双曲线的四个焦点在同一圆上 5、直线与双曲线的位置关系

① 相离(0);② 相切(0); ③ 相交(0) 判定直线与双曲线位置关系需要与渐近线联系一起 0时可以是相交也可以是相切 6、双曲线切线的求法

① 切点P(xx2y2

xxyy0,y0)已知 a2b21(a0,b0) 切线0a20b21

y2x2

yyxxa2b

21(a0,b0) 切线0a20b21

② 切线斜率K已知 x2y2a2b21

ykxkba) y2x2a2b

21 ykxkba) 8、焦点三角形面积:SPF1F2b2cot

2

(为F1PF2)

六、抛物线

1、定义:平面内与一定点和一定直线的距离相等的点的集合(轨迹) 2、几何性质:P几何意义:焦准距 焦点到准线的距离设为P

标准方程:y22px(p0) y22px(p0 )

图 像:

范 围: x0 x0 对 称 轴: x轴 x轴 顶 点: (0,0) (0,0)

焦 点: (p2

,0) (p

2,0)

准 线: xp2 xp

2

标准方程:x22py(p0) x22py(p0 )图 像:

范 围: y0 y0 对 称 轴: y轴 y轴

定 点: (0,0) (0,0)

焦 点: (0,p2) (0,p

2

)

离 心 率: e1 e1

准 线: yp2 yp

2

x2pt2

3、参数方程2pt(t为参数方程)y22px(p0)

y4、通径:过焦点且垂直于对称轴的弦

椭圆:双曲线通径长2b2

a

抛物线通径长2P

5、直线与抛物线的位置关系

1)相交(有两个交点或一个交点) 2)相切(有一个交点); 3)相离(没有交点) 6、抛物线切线的求法

1)切点P(x0,y0)已知:y22px(p0)的切线;y0yp(xx0) 此类公式填空选择或解答题中(部分)可作公式直接应用

ykxb与曲线交与两点A、B则

dABxy2x2y

附加:弦长公式:

范文六:圆锥曲线知识点

圆锥曲线知识点回顾

1.椭圆的性质

2.双曲线的性质

3.抛物线中的常用结论

①过抛物线y2=2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p

②设A(x1,y), 1B(x2,y2)是抛物线y2=2px上的两点, 则AB过F的充要条件是y1y2=-p2

③设A, B是抛物线y2=2px上的两点,O为原点, 则OA⊥OB的充要条件是直线AB恒过定点(2p,0)

(4).圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义

与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线,定点叫做焦点,定直线叫做准线、常数叫做离心率,用e表示,当0<e<1时,是椭圆,当e>1时,是双曲线,当e=1时,是抛物线. 4.直线与圆锥曲线的位置关系:(在这里我们把圆包括进来)

(1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的

a.直线与圆:一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法),也可以利用方程实根的个数来判断(解析法).

b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程,判断相交、相切、相离 c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性 (2).a.求弦所在的直线方程

b.根据其它条件求圆锥曲线方程

(3).已知一点A坐标,一直线与圆锥曲线交于两点P、Q,且中点为A,求P、Q所在的直线方程

(4).已知一直线方程,某圆锥曲线上存在两点关于直线对称,求某个值的取值范围(或者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对称) 5.二次曲线在高考中的应用

二次曲线在高考数学中占有十分重要的地位,是高考的重点、热点和难点。通过以二次曲线为载体,与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合,结合数学思想方法,并与高等数学基础知识融为一体,考查学生的数学思维能力及创新能力,其设问形式新颖、有趣、综合性很强。本文关注近年部分省的高考二次曲线问题,给予较深入的剖析,这对形成高三复习的新的教学理念将有着积极的促进作用。

(1).重视二次曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。 (2).重视二次曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。 (3).重视二次曲线性质与数列的有机结合。 (4).重视解析几何与立体几何的有机结合。

6.知识网络

圆锥曲线——椭圆、曲线、直线—定义—标准方程

性质:对称性、焦点、顶点、 离率、准线、焦半径等

范文七:圆锥曲线知识点

圆锥曲线知识点

1.圆锥曲线的两个定义:

(1):

椭圆中,与两个定点F1,F2的距离的和等于常数2a,且此常数2a一定要大于F1F2,当常数2a等于F1F2时,轨迹是线段F1F2,当常数2a小于F1F2时,无轨迹;

双曲线中,与两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数2a,且此常数2a一定要小于|F1F2|,定义中的“绝对值”与2a<|F1F2|不可忽视.若2a=|F1F2|,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线,若2a﹥|F1F2|,则轨迹不存在.若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支.

已知定点F1(3,0),F2(3,0),在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是

A.PF1PF24 B.PF1PF26 C.PF1PF210 D.PF1(答:C);

8表示的曲线是_____(答:双曲线的左支) (2“点点距为分子、点线距为分母”,其商即是离心率e.圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用第二定义对它们进行相互转化.

2

PF2

2

12

x2如:已知点Q(2,0)及抛物线y上一动点P(x,y),则y+|PQ|的最小值是_____

4

(答:2)

2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(抛物线为顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程)

x2y2xacos(参数方程,

(1)椭圆:焦点在x轴上时221(ab0)

ybsinaby2x2

其中为参数),焦点在y轴上时22=1(ab0).方程Ax2By2C表示椭圆

ab

的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B,C同号,A≠B).

x2y2

如(1)已知方程1表示椭圆,则k的取值范围为____

3k2k

(答:(3,)

121

; (,2))2

2

2

(2)若x,yR,且3x22y26,则xy的最大值是____,xy的最小值是___)

x2y2y2x2

(2)双曲线:焦点在x22 =1,焦点在y22=1(a0,b0).

abab

方程AxByC表示双曲线的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B异号).

2

2

x2y2如(1)双曲线的离心率等于,且与椭圆1有公共焦点,则该双曲线的方程

942

x2

_______(答:; y21)

4

(2)设中心在坐标原点O,焦点F1、F2在坐标轴上,离心率e

2的双曲线C过点

P(4,),则C的方程为_______(答:x2y26)

(3)抛物线:开口向右时y2px(p0),开口向左时y2px(p0),开口向上时x2py(p0),开口向下时x2py(p0).

3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):

2

2

2

2

(1)椭圆:由x,y

2

2

分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上.

x2y2

如已知方程1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是__(答:

m12m

3

(,1)(1,))

2

(2)双曲线:由x,y

2

2

项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;

椭圆看大小,双曲线看正负

(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向.

特别提醒:(1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点F1,F2的位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数a,b,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向;

(2)在椭圆中,a最大,abc,在双曲线中,c最大,cab.

2

2

2

2

2

2

4.圆锥曲线的几何性质:

x2y2

(1)椭圆(以221(ab0)为例):

ab

①范围:axa,byb; ②焦点:两个焦点(c,0);

③对称性:两条对称轴x0,y0,一个对称中心(0,0),四个顶点(a,0),(0,b),其中长轴长为2a,短轴长为2b;

a2

④准线:两条准线x;

c

⑤离心率:e

c

,椭圆0e1,e越小,椭圆越圆;e越大,椭圆越扁. a

25x2y2如(1)若椭圆,则m的值是__(答:3或); 1的离心率e

35m5

(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为__(答:2)

x2y2

(2)双曲线(以: 1(a0,b0)为例)

a2b2

①范围:xa或xa,yR; ②焦点:两个焦点(c,0);

③对称性:两条对称轴x0,y0,一个对称中心(0,0),两个顶点(a,0),其中实轴长为2a,虚轴长为2b,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为x2y2k,k0;

a2④准线:两条准线x;

c

⑤离心率:e大,开口越大;

⑥两条渐近线:y

c

,双曲线e1,等轴双曲线

ee越小,开口越小,e越a

bx. a

2

如(1)双曲线的渐近线方程是3x2y0,则该双曲线的离心率等于______

); (2)双曲线axby

1a:b2

2

4或

1); 4

x2y2

(3)设双曲线221(a>0,b>0)中,离心率e∈[,2],则两条渐近线夹角θ的

ab

取值范围是________(答:[

2



,]);

32

(3)抛物线(以y2px(p0)为例): ①范围:x0,yR;

②焦点:一个焦点(

p

,0),其中p的几何意义是:焦点到准线的距离; 2

③对称性:一条对称轴y0,没有对称中心,只有一个顶点(0,0); ④准线:一条准线x

p

; 2

⑤离心率:抛物线e1.

如设a0,aR,则抛物线y4ax的焦点坐标为________(答:(0,

2

1

; ))16a

x2y2

5、点P(x0,y0)和椭圆221(ab0)的关系:

ab

22

x0y0

(1)点P(x0,y0)在椭圆外221;

ab

22x0y0

(2)点P(x0,y0)在椭圆上22=1;

ab22x0y0

(3)点P(x0,y0)在椭圆内221

ab

6.直线与圆锥曲线的位置关系: (1)相交:0直线与椭圆相交;

0直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有0,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故0是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件;

0直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有0,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件.

如(1)若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点,则k的取值范围是_______

(答:(-

,-1)); 3

x2y2

(2)直线y―kx―1=0与椭圆则m的取值范围是_______(答:1恒有公共点,

5m

[1,5)∪(5,+∞));

x2y2

(3)过双曲线1的右焦点直线交双曲线于A、B两点,若│AB︱=4,则这

12

样的直线有_____条(答:3);

(2)相切:0直线与椭圆相切;0直线与双曲线相切;0直线与抛物线相切;

(3)相离:0直线与椭圆相离;0直线与双曲线相离;0直线与抛物线相离.

特别提醒:(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交.如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与

x2y2

抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点;(2)过双曲线22=1外一点

abP(x0,y0)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下:①P点在两条渐近线之间且不含双

曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P为原点时不存在这样的直线;(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线.

如(1)过点(2,4)作直线与抛物线y8x只有一个公共点,这样的直线有______(答:

2

2);

x2y2

(2)过点(0,2)与双曲线1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为

916

4______

(答:,; )

33

y2

(3)过双曲线x1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点,若AB4,则满

2

2

足条件的直线l有____条(答:3);

(4)对于抛物线C:y4x,我们称满足y04x0的点M(x0,y0)在抛物线的内部,

2

2

若点M(x0,y0)在抛物线的内部,则直线l:y0y2(xx0)与抛物线C的位置关系是_______(答:相离);

(5)过抛物线y4x的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的

2

长分别是p、q,则

11

; _______(答:1)

pq

x2y2

(6)设双曲线1的右焦点为F,右准线为l,设某直线m交其左支、右支

169

和右准线分别于P,Q,R,则PFR和QFR的大小关系为___________(填大于、小于或等于) (答:等于);

(7)求椭圆7x24y228上的点到直线3x2y160的最短距离

2

2

; (8)直线yax1与双曲线3xy1交于A、B两点.①当a为何值时,A、B分别在双曲线的两支上?②当a为何值时,以AB为直径的圆过坐标原点?(答:

①;②a1);

7、焦半径(圆锥曲线上的点P到焦点F的距离)的计算方法:利用圆锥曲线的第二定义,转化到相应准线的距离,即焦半径red,其中d表示P到与F所对应的准线的距离.

x2y2

如(1)已知椭圆1上一点P到椭圆左焦点的距离为3,则点P到右准线的距

2516

离为____(答:

35); 3

2

(2)已知抛物线方程为y8x,若抛物线上一点到y轴的距离等于5,则它到抛物线的焦点的距离等于____;

(3)若该抛物线上的点M到焦点的距离是4,则点M的坐标为_____(答:; 7,(2,4))

x2y2(4)点P在椭圆1上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点P

259

的横坐标为_______(答:

2

25); 12

(5)抛物线y2x上的两点A、B到焦点的距离和是5,则线段AB的中点到y轴的距离为______(答:2);

x2y2

(6)椭圆1内有一点P(1,1),F为右焦点,在椭圆上有一点M,使

43

MP2MF 之值最小,则点M的坐标为_______(答:(

8、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:

常利用第一定义和正弦、余弦定理求解.设椭圆或双曲线上的一点P(x0,y0)到两焦点

26

; ,1))

3

x2y2

F1,F2的距离分别为r1,r2,焦点F1PF2的面积为S,则在椭圆221中,

ab

2b2

1),且当r1r2即P为短轴端点时,最大为①=arccos(r1r2

max=

b2c2

arccos;

a2

②Sbtan

2

2

c|y0|,当|y0|b即P为短轴端点时,Smax的最大值为bc;

x2y2

对于双曲线221的焦点三角形有:

ab

2b2

①arccos1rr;

12

②S

1

r1r2sinb2cot. 22

2

的椭圆的两焦点为F1、F2,过F1作直线交椭圆于3

如(1)短轴长为,离心率e

A、B两点,则ABF2的周长为________(答:6);

(2)设P是等轴双曲线x2y2a2(a0)右支上一点,F1、F2是左右焦点,若; PF2F1F20,|PF1|=6,则该双曲线的方程为(答:x2y24)

x2y2→→

(3)椭圆PF1

94

P的横坐标的取值范围是

(答:(; )

(4)双曲线的虚轴长为4,离心率e=

,F1、F2是它的左右焦点,若过F1的直线2

与双曲线的左支交于A、B两点,且AB是AF2与BF2等差中项,则AB=__________

(答:;

(5)已知双曲线的离心率为2,F1、F2是左右焦点,P为双曲线上一点,且F1PF260,

SPF1F2

x2y2

123.求该双曲线的标准方程(答:1);

412

9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质: (1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;

(2)设AB为焦点弦, M为准线与x轴的交点,则∠AMF=∠BMF;

(3)设AB为焦点弦,A、B在准线上的射影分别为A1,B1,若P为A1B1的中点,则PA⊥PB;

(4)若AO的延长线交准线于C,则BC平行于x轴,反之,若过B点平行于x轴的

直线交准线于C点,则A,O,C三点共线.

10、弦长公式:若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点A、B,且x1,x2分别为A、B的横坐标,则AB

=1x2,若y1,y2分别为A、B的纵坐标,则AB=

1

1若弦AB所在直线方程设为xkyb,则AB

y1y2.特别y1y2,2

k

地,焦点弦(过焦点的弦):焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解.

如(1)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,那么|AB|等于_______(答:8);

(2)过抛物线y2x焦点的直线交抛物线于A、B两点,已知|AB|=10,O为坐标原

2

点,则ΔABC重心的横坐标为_______(答:3);

11、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.

b2x0x2y2

在椭圆221中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=-2;

ay0abb2x0x2y2

在双曲线221中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=2;

abay0

在抛物线y2px(p0)中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=

2

p

. y0

x2y2

1弦被点A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是 如(1)如果椭圆

369

(答:x2y80);

x2y2

(2)已知直线y=-x+1与椭圆221(ab0)相交于A、B两点,且线段AB

ab

的中点在直线L:x-2y=0上,则此椭圆的离心率为_______

(答:); 2

x2y2(3)试确定m的取值范围,使得椭圆1上有不同的两点关于直线y4xm43

对称

(答:; 1313)



特别提醒:因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验0!

12.你了解下列结论吗?

2222(1)双曲线xy1的渐近线方程为xy0; a2b2a2b2

22byx(2)以yx为渐近线(即与双曲线21共渐近线)的双曲线方程为2aab

x2y2

2(为参数,≠0). 2ab

x2y2如与双曲线且过点(3,2)的双曲线方程为_______(答:1有共同的渐近线,916

4x2y2

1) 94

(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为mxny1; 22

2b2

(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为,焦准距(焦点到相a

b2

应准线的距离)为,抛物线的通径为2p,焦准距为p; c

(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦;

(6)若抛物线y2px(p0)的焦点弦为AB,A(x1,y1),B(x2,y2),则①2

p2

|AB|x1x2p;②x1x2,y1y2p2 4

(7)若OA、OB是过抛物线y2px(p0)顶点O的两条互相垂直的弦,则直线AB恒经过定点(2p,0)

13.动点轨迹方程:

(1)求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围;

(2)求轨迹方程的常用方法:

①直接法:直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y)0;

如已知动点P到定点F(1,0)和直线x3的距离之和等于4,求P的轨迹方程.

(答:y12(x4)(3x4)或y4x(0x3));

②待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数.

如线段AB过x轴正半轴上一点M(m,0)(m0),端点A、B到x轴距离之积为2m,以x轴为对称轴,过A、O、B三点作抛物线,则此抛物线方程为y2x);

③定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程;

如(1)由动点P向圆xy1作两条切线PA、PB,切点分别为A、B,∠APB=600,则动点P的轨迹方程为 (答:xy4); 22222222(2)点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x50的距离小于1,则点M的轨迹方程是_______ (答:y16x); 2

(3) 一动圆与两圆⊙M:xy1和⊙N:xy8x120都外切,则动圆圆心的轨迹为 (答:双曲线的一支); 2222

④代入转移法:动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)的变化而变化,并且Q(x0,y0)又在某已知曲线上,则可先用x,y的代数式表示x0,y0,再将x0,y0代入已知曲线得要求的轨迹方程;

如:动点P是抛物线y2x21上任一点,定点为A(0,1),点M分PA所成的比为2,则M的轨迹方程为__________(答:y6x21); 3

⑤参数法:当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将x,y均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程).

如(1)AB是圆O的直径,且|AB|=2a,M为圆上一动点,作MN⊥AB,垂足为N,在OM上取点P,使|OP||MN|,求点P的轨迹. (答:xya|y|); 22

(2)若点P(x1,y1)在圆xy1上运动,则点Q(x1y1,x1y1)的轨迹方程是____ 22

(答:y2x1(|x|));

(3)过抛物线x4y的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点,则弦2212

AB的中点M的轨迹方程是________

(答:x2y2);

注意:①发,考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化,还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化. 2

x2y2

如已知椭圆221(ab0)的左、右焦点分别是F1(-c,0)、F2(c,0),Qab

是椭圆外的动点,满足|F1|2a.点P是线段F1Q与该椭圆的交点,点T在线段F2Q上,

并且满足TF20,|TF2|0.(1)设x为点P的横坐标,证明|F1|ac(2)x;a求点T的轨迹C的方程;(3)试问:在点T的轨迹C上,是否存在点M,使△F1MF2的面积S=b2.若存在,求∠F1MF2的正切值;若不存在,请说明理由.

b2b2

(答:(1)略;(2)xya;(3)当a时不存在;当a时存在,此时cc222

∠F1MF2=2)

②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.

③在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.

④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”,那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.

14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容:

(1) 给出直线的方向向量u1,k或um,n;

(2)给出与AB相交,等于已知过AB的中点; 

(3)给出0,等于已知P是MN的中点;

(4)给出,等于已知P,Q与AB的中点三点共线;

(5) 给出以下情形之一:①AB//AC;②存在实数,使AC;③若存在实数,,且1,使OCOAOB,等于已知A,B,C三点共线. (6) 给出OAOB为定比,,等于已知P是的定比分点,即 1

(7)给出0,等于已知MAMB,即AMB是直角,给出m0,等于已知AMB是钝角, 给出m0,等于已知AMB是锐角,

(8)

给出,等于已知MP是AMB的平分线/ (9)在平行四边形ABCD中,给出()()0,等于已知ABCD是菱形;

(10) 在平行四边形ABCD中,给出|ABAD||ABAD|,等于已知ABCD是矩形;

(11)在ABC中,给出,等于已知O是ABC的外心(三角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点);

(12) 在ABC中,给出,等于已知O是ABC的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点);

(13)在ABC中,给出,等于已知O是ABC的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点);

(14)在ABC中,给出(222ABAC)(R)等于已知AP通过|AB||AC|

ABC的内心;

(15)在ABC中,给出abc等于已知O是ABC的内心(三角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点);

(16) 在ABC中,给出AD

线;

1ABAC,等于已知AD是ABC中BC边的中2

范文八:圆锥曲线与方程知识总结

高二数学圆锥曲线与方程单元复习与巩固

知识网络

知识要点梳理

知识点一:圆锥曲线的统一定义

椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线。

平面内,到一定点的距离与它到一条定直线(不经过定点)的距离之比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线。定点叫做焦点,定直线叫做准线、常数叫做离心率。 ①e∈(0,1)时轨迹是椭圆; ②e=1时轨迹是抛物线;

③e∈(1,+∞)时轨迹是双曲线。

知识点二:圆锥曲线的标准方程和几何性质 1.椭圆: (1)定义:平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆,这两个定点叫焦点. (2)标准方程

当焦点在轴上时,

椭圆的标准方程:,其中;

当焦点在轴上时,

椭圆的标准方程:,其中;

(3)

椭圆 范围: 焦点

,顶点

的的简单几何性质:

, ,长轴长=

,短轴长=

,焦距=

2.双曲线 (1)定义:平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫双曲线的焦点. (2)标准方程

当焦点在

轴上时,双曲线的标准方程

:,其

当焦点

.

轴上时,双曲线的标准方程

:,其

(3)

双曲线 范围: 焦点

,顶点

的简单几何性质 ;

,虚轴长=

,焦距=

,实轴长=

离心率是,准线方程是;

渐近线:.

3.抛物线

(1)定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线. (2)标准方程 四种形式: (3)抛物线标准方程 范围:

的几何性质

对称性:关于x轴对称 顶点:坐标原点 离心率:

.

知识点三:直线和圆锥曲线的位置关系

1.直线Ax+By+C=0和椭圆

的位置关系:

将直线方程代入椭圆后化简为一元二次方程,其判别式为Δ。 (1)若Δ>0,则直线和椭圆相交,有两个交点(或两个公共点); (2)若Δ=0,则直线和椭圆相切,有一个切点(或一个公共点); (3)若Δ<0,则直线和椭圆相离,无公共点.

2.直线Ax+By+C=0和双曲线的位置关系:

将直线方程代入双曲线方程后化简方程

①若为一元一次方程,则直线和双曲线的渐近线平行,直线和双曲线只有一个交点,但不相切不是切点;

②若为一元二次方程,则

(1)若Δ>0,则直线和双曲线相交,有两个交点(或两个公共点); (2)若Δ=0,则直线和双曲线相切,有一个切点; (3)若Δ<0,则直线和双曲线相离,无公共点.

注意:如说直线和双曲线有一个公共点,则要考虑两种情况:一个切点和一个交点

3.直线Ax+By+C=0和抛物线y2=2px(p>0)的位置关系: 将直线方程代入抛物线方程后化简后方程:

①若为一元一次方程,则直线和抛物线的对称轴平行,直线和抛物线有一个交点,但不相切不是切点;

②若为一元二次方程,则

(1)若Δ>0,则直线和抛物线相交,有两个交点(或两个公共点); (2)若Δ=0,则直线和抛物线相切,有一个切点; (3)若Δ<0,则直线和抛物线相离,无公共点。

注意:如说直线和抛物线有一个公共点,则要考虑两种情况:一个切点和一个交点

4.直线被圆锥曲线截得的弦长公式:

当直线的斜率k存在时,直线y=kx+b与圆锥曲线相交于 弦长公式:

两点,

当k存在且不为零时, 弦长公式还可以写成:

知识点四:曲线的方程和方程的曲线的关系 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线上的点与一个二元方程

(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)

的实数解建立了如下的关系:

(1)曲线 (2)以方程 那么,方程

上所有点的坐标都是方程

的解为坐标的点都在曲线叫做曲线

的方程;曲线

的解; 上. 叫做方程

的曲线.

知识点五:求曲线的方程

1. 定义:在直角坐标系中,用坐标表示点,把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹,用曲线上点的坐标(x,y)所满足的方程

表示曲线,通过研究方程的性质

间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法.

2. 坐标法求曲线方程的步骤:

第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几何因素,将平面几何问题转化为代数问题;

第二步:通过代数运算,解决代数问题;

第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论.

通过坐标法,把点和坐标、曲线和方程联系起来,实现了形和数的统一. 用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何对象,然后对坐标和方程进行代数讨论;最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”。

3.求轨迹方程的常用方法:直接法、相关点法.定义法、代入法、参数法等。 规律方法指导

3.圆锥曲线综合题类型

(1)用待定系数法求圆锥曲线方程

①数形结合:先定型,再定量,注意区分解析条件与纯几何条件,如果位置不确定时,考虑是否两解.在图形上标出已知条件,检查轴上的点、垂直于轴的直线的位置是否准确; ②方程思想:n个未知数,列够n个独立的方程,并注意韦达定理的使用: ③注意“点在线上”条件的使用. (2)求轨迹方程

基本方法:定义法、直接代入法、参数法(利用已知参数方程法或自设参数). 注意:

①注意限制;

②求轨迹方程与求轨迹的区别。求轨迹是要求先求轨迹方程再描述该轨迹方程所表示的曲线类型及相应的几何特征;

③n个未知数,列够n-1个独立方程,特别注意考虑是否可利用定义直接列出方程. (3)求取值范围或最值

①函数方法----将待求范围参数表示为另一个变量的函数,注意求函数的定义域。 ②方程与不等式组----n个未知数,列够n个独立方程或不等式,注意归纳总结列不等式的方法:

③利用几何性质求参数范围;

④利用不等式性质(结合几何性质)求参数范同.

圆锥曲线知识点回顾

1.椭圆的性质

2.双曲线的性质

3.抛物线中的常用结论

①过抛物线y2=2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p

②设A(x1,y), 1B(x2,y2)是抛物线y2=2px上的两点, 则AB过F的充要条件是y1y2=-p2

③设A, B是抛物线y2=2px上的两点,O为原点, 则OA⊥OB的充要条件是直线AB恒过定点(2p,0)

(4).圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义

与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线,定点叫做焦点,定直线叫做准线、常数叫做离心率,用e表示,当0<e<1时,是椭圆,当e>1时,是双曲线,当e=1时,是抛物线. 4.直线与圆锥曲线的位置关系:(在这里我们把圆包括进来)

(1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的

a.直线与圆:一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法),也可以利用方程实根的个数来判断(解析法).

b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程,判断相交、相切、相离 c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性 (2).a.求弦所在的直线方程

b.根据其它条件求圆锥曲线方程

(3).已知一点A坐标,一直线与圆锥曲线交于两点P、Q,且中点为A,求P、Q所在的直线方程

(4).已知一直线方程,某圆锥曲线上存在两点关于直线对称,求某个值的取值范围(或者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对称) 5.二次曲线在高考中的应用

二次曲线在高考数学中占有十分重要的地位,是高考的重点、热点和难点。通过以二次曲线为载体,与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合,结合数学思想方法,并与高等数学基础知识融为一体,考查学生的数学思维能力及创新能力,其设问形式新颖、有趣、综合性很强。本文关注近年部分省的高考二次曲线问题,给予较深入的剖析,这对形成高三复习的新的教学理念将有着积极的促进作用。

(1).重视二次曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。 (2).重视二次曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。 (3).重视二次曲线性质与数列的有机结合。 (4).重视解析几何与立体几何的有机结合。

6.知识网络

圆锥曲线——椭圆、曲线、直线—定义—标准方程

性质:对称性、焦点、顶点、 离率、准线、焦半径等

范文九:圆锥曲线与方程基本知识概要

圆锥曲线与方程基本知识概要

2.1 椭 圆

一.椭圆及其标准方程

1.椭圆的定义(第一定义):平面内与两定点F1,F2的距离的和等于常数2aF1F2



的点的轨迹叫做椭圆,即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|};(2aF1F2时为线段F1F2,2aF1F2无轨迹)。这里两个定点F1,F2叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。

x2y2

2.标准方程:①焦点在x轴上:221(a>b>0); 焦点F(±C,0)

ab

y2x2

②焦点在y轴上:221(a>b>0); 焦点F(0, ±C)

ab

这里椭圆 c ²=a²-b²

注意:①在两种标准方程中,总有a>b>0,c

a2b2并且椭圆的焦点总在长轴上;

②两种标准方程可用一般形式表示:Ax2+By2=1 (A>0,B>0,A≠B),当A<

B时,椭圆的焦点在x轴上,A>B时焦点在y轴上。

二.椭圆的简单几何性质: 1.范围

x2y2

(1)椭圆221(a>b>0) 横坐标-a≤x≤a ,纵坐标-b≤x≤b

ab

y2x2

(2)椭圆221(a>b>0) 横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a

ab

2.对称性

椭圆关于x轴y轴都是对称的,这里,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对

称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点

(1)椭圆的顶点:A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)

(2)线段A1A2,B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别等于2a和2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 4.离心率

(1)我们把椭圆的焦距与长轴长的比

cc

称为椭圆的离心率,用e表示,即e=(0<eaa

<1)

因为a>c>0,所以0<e<1。e越接近于1(e越大),则c越接近于a,从而b越小,因此椭圆越扁;反之,e越接近于0 (e越小),c越接近于0,从而b越接近

圆锥曲线与方程基本知识概要 第1页

于a,这时椭圆就越接近于圆。e0是圆。

(2)椭圆的第二定义:平面内与一个定点(焦点)和一定直线(准线)的距离的比为常数e(0<e<1)的点的轨迹为椭圆。

2axy

①焦点在x轴上:221(a>b>0)准线方程:x

cab

2

2

ay2x2

②焦点在y轴上:221(a>b>0)准线方程:y

cab

2

*补充:(1)焦半径公式:P(x0,y0)为椭圆上任一点。|PF1|=r左=a+ex0,|PF2|=r右=a-ex0;

|PF1|=r下=a+ey0,|PF2|=r上=a-ey0;

PFmaxac,PFminac

b22a2

(2)焦准距p;准线间距

cc

(3)两个最大角F1PF2maxF1B2F2,A1PA2maxA1B2A2

y2x2

焦点在y轴上,中心在原点:221(a>b>0)的性质可类似的给出(请课后完成)。

ab

●重难点:椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单的几何性质。

●思维方式:待定系数法与轨迹方程法。

●特别注意:椭圆方程中的a,b,c,e与坐标系无关,而焦点坐标,准线方程,顶点坐标,与坐

标系有关.因此确定椭圆方程需要三个条件:两个定形条件a,b,一个定位条件焦点坐标或准线方程.

2.2 双曲线

一.双曲线的概念

1.双曲线的定义(第一定义):平面内与两个定点F1,F2距离的差的绝对值等于常数

2a(2a|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,即点集P|PF1PF22a。(2aF1F2为

两射线;2aF1F2无轨迹。)这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距2c.

2. 双曲线的第二定义:平面内与一个定点(焦点)和一条定直线(准线)的距离的比是常数e(e1)的动点的轨迹叫做双曲线。

圆锥曲线与方程基本知识概要 第2页



二.双曲线的标准方程及几何性质

圆锥曲线与方程基本知识概要 第3页

三.共轴双曲线和共轭双曲线 (1)共轴双曲线

x2y2

a0,ba=b0),那么双曲线的方程为x² 在方程221(中,如果-y²=a²,它的实轴和虚轴的长

ab

都等于2a。这时,四条直线x=±a,y=±a围成正方形,渐近线方程为y=±x,它们互相垂直,

并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角。实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。

(2)共轭双曲线

实轴与虚轴互换的双曲线,如 与 互为共轭双曲线(只是

两轴的数字互换,但实轴仍是b²,虚轴仍是a²)其性质如下:

y ①共轭双曲线的渐近线相同都是

②焦距相同,焦点不同

③共轭双曲线的四个焦点在同一圆上 ④两个离心率的倒数的平方和为1,即

bx a

*四.点Px0,y0和双曲线的关系

bab 2.P在双曲线上y__________________

ab 3.P在双曲线外y__________________

a 1.P在双曲线内y__________________

x2y2

y2)*五.AB为双曲线221(a0,b0)的弦,A(x1,B(x2,弦中点Mx0,y0。 y1)

ab

1.弦长l=____________________________________________ 2.kAB = ___________________

3.直线AB的方程:________________________

4.直线AB的中垂线方程:___________________________

圆锥曲线与方程基本知识概要 第4页

说明:(1)双曲线的两个定义是解决双曲线的性质问题和求双曲线方程的两个有力工具,所

以要对双曲线的两个定义有深刻的认识。 (2)双曲线方程中的a,b,c,e,p与坐标系无关,只有焦点坐标,顶点坐标,准线及渐近线方程与坐标系有关,因此确定一个双曲线的标准方程需要三个条件:两个定形条件a,b,一个定位条件,焦点坐标或准线,渐近线方程。

求双曲线标准方程常用的方法是待定系数法或轨迹方程法。

(3)直线和双曲线的位置关系,在二次项系数不为零的条件下和椭圆有相同的判定方法和有关公式,求解问题的类型也相同。唯一不同的是直线与双曲线只有一个公共点时,不一定相切。

x2y2y2x2

利用共渐近线的双曲线系22k或2 k(k0)方程解题,常使解法简捷。

2abab

(4)双曲线的焦半径,当点P在右支(或上支)上时,为ex0a,(ey0a);当点P在左支(或下支)上时,为(ex0a),[(ey0a)];利用焦半径公式,解题简洁明了,注意运用,

●重点、难点:深刻理解确定双曲线的形状,大小的几个主要特征量,掌握定义,性质,掌

握直线与双曲线的位置关系。

●思维方式:方程的思想,数形结合的思想;待定系数法,参数思想等。

2.3 抛 物 线

1.抛物线的定义(圆锥曲线第二定义):到一个定点(焦点)的距离与到一条定直线(准

线)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.

2. .抛物线的离心率:

抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离之比叫做抛物线的离心率,用e表示。有定义可知,e=1

圆锥曲线与方程基本知识概要 第5页

4.焦点弦和通径的概念

(1)焦点弦:在抛物线中,通过其焦点的直线与抛物线的交点连线叫焦点弦。

(2) 若在抛物线中通过焦点而垂直坐标轴的直线与抛物线的交点的连线叫做抛物线的通径,它的长为2p.

5.直线与抛物线相交形成的弦长计算公式:_____________________________________

圆锥曲线与方程基本知识概要 第6页

*6.焦点弦:AB为y22pxp0的焦点弦,A(x1,y1)B(x2,y2),弦中点

M

x,y.

p2(1)x1x2

4

(2)y1y2(3)弦长

p2;

2p

ABx1x2p,(α为AB的倾斜角) 2

sin

X1+X2≥2 =p,即当X1=X2时,通径最短为2p *7.点P

x,y和抛物线的关系

 (1)P在抛物线内(含焦点)y________________ bab (3)P在抛物线外y________________

a (2)P在抛物线上y________________

2

y202

8.标点 抛物线y2px上的点可标为x0,y0或或,y2pt,2pttR

2p0

b

a

圆锥曲线定义的应用

1、 知识精讲:

涉及圆锥曲线上的点与两个焦点构成的三角形,常用第一定义结合正余弦定理; 涉及焦点、准线、圆锥曲线上的点,常用统一的定义。 椭圆的定义:点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|};

双曲线的定义:点集M={P|︱|PF1|-|PF2|︱=2a, (2a|F1F2|) }的点的轨迹。 抛物线的定义:到一个定点F的距离与到一条得直线L的距离相等的点的轨迹.

e,}0<e<1为椭圆,e>1为双曲线,e=1为抛物线 d

重点、难点:培养运用定义解题的意识 2、 思维方式:等价转换思想,数形结合 特别注意:圆锥曲线各自定义的区别与联系

统一定义:M={P|

PF

圆锥曲线与方程基本知识概要 第7页

范文十:圆锥曲线与方程知识总结

高二数学圆锥曲线与方程单元复习与巩固

,短知识网络

知识要点梳理

知识点一:圆锥曲线的统一定义

椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线。

平面内,到一定点的距离与它到一条定直线(不经过定点)的距离之比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线。定点叫做焦点,定直线叫做准线、常数叫做离心率。 ①e∈(0,1)时轨迹是椭圆; ②e=1时轨迹是抛物线;

③e∈(1,+∞)时轨迹是双曲线。

知识点二:圆锥曲线的标准方程和几何性质 1.椭圆:

(1)定义:平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆,这两个定点叫焦点. (2)标准方程

当焦点在轴上时,

椭圆的标准方程:,其中;

当焦点在轴上时,

椭圆的标准方程:,其中;

(3)

椭圆 范围:

的的简单几何性质:

焦点,顶点、,长轴长=轴长=,焦距=,

2.双曲线 (1)定义:平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫双曲线的焦点. (2)标准方程

当焦点在

轴上时,双曲线的标准方程

:,其

当焦点

.

轴上时,双曲线的标准方程

:,其

(3)

双曲线 范围: 焦点

,顶点

的简单几何性质 ;

,虚轴长=

,焦距=

,实轴长=

离心率是,准线方程是;

渐近线:

3.抛物线

.

(1)定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线. (2)标准方程 四种形式: (3)抛物线标准方程 范围:

的几何性质

对称性:关于x轴对称 顶点:坐标原点 离心率:

.

知识点三:直线和圆锥曲线的位置关系

1.直线Ax+By+C=0和椭圆的位置关系:

将直线方程代入椭圆后化简为一元二次方程,其判别式为Δ。 (1)若Δ>0,则直线和椭圆相交,有两个交点(或两个公共点); (2)若Δ=0,则直线和椭圆相切,有一个切点(或一个公共点); (3)若Δ<0,则直线和椭圆相离,无公共点.

2.直线Ax+By+C=0和双曲线的位置关系:

将直线方程代入双曲线方程后化简方程

①若为一元一次方程,则直线和双曲线的渐近线平行,直线和双曲线只有一个交点,但不相切不是切点;

②若为一元二次方程,则

(1)若Δ>0,则直线和双曲线相交,有两个交点(或两个公共点); (2)若Δ=0,则直线和双曲线相切,有一个切点;

(3)若Δ<0,则直线和双曲线相离,无公共点.

注意:如说直线和双曲线有一个公共点,则要考虑两种情况:一个切点和一个交点

3.直线Ax+By+C=0和抛物线y2=2px(p>0)的位置关系: 将直线方程代入抛物线方程后化简后方程:

①若为一元一次方程,则直线和抛物线的对称轴平行,直线和抛物线有一个交点,但不相切不是切点;

②若为一元二次方程,则

(1)若Δ>0,则直线和抛物线相交,有两个交点(或两个公共点); (2)若Δ=0,则直线和抛物线相切,有一个切点; (3)若Δ<0,则直线和抛物线相离,无公共点。

注意:如说直线和抛物线有一个公共点,则要考虑两种情况:一个切点和一个交点

4.直线被圆锥曲线截得的弦长公式:

当直线的斜率k存在时,直线y=kx+b与圆锥曲线相交于 弦长公式:

两点,

当k存在且不为零时, 弦长公式还可以写成:

知识点四:曲线的方程和方程的曲线的关系 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线

(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)

上的点与一个二元方程 (1)曲线 (2)以方程 那么,方程

知识点五:求曲线的方程

的实数解建立了如下的关系:

的解; 上. 叫做方程

的曲线.

上所有点的坐标都是方程

的解为坐标的点都在曲线叫做曲线

的方程;曲线

1. 定义:在直角坐标系中,用坐标表示点,把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹,用曲线上点的坐标(x,y

)所满足的方程间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法.

2. 坐标法求曲线方程的步骤:

第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几何因素,将平面几何问题转化为代数问题;

第二步:通过代数运算,解决代数问题;

第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论.

通过坐标法,把点和坐标、曲线和方程联系起来,实现了形和数的统一.

用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何对象,然后对坐标和方程进行代数讨论;最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”。

3.求轨迹方程的常用方法:直接法、相关点法.定义法、代入法、参数法等。 规律方法指导

3.圆锥曲线综合题类型

(1)用待定系数法求圆锥曲线方程

①数形结合:先定型,再定量,注意区分解析条件与纯几何条件,如果位置不确定时,考虑是否两解.在图形上标出已知条件,检查轴上的点、垂直于轴的直线的位置是否准确; ②方程思想:n个未知数,列够n个独立的方程,并注意韦达定理的使用: ③注意“点在线上”条件的使用.

(2)求轨迹方程

基本方法:定义法、直接代入法、参数法(利用已知参数方程法或自设参数). 注意:

①注意限制;

②求轨迹方程与求轨迹的区别。求轨迹是要求先求轨迹方程再描述该轨迹方程所表示的曲线类型及相应的几何特征;

③n个未知数,列够n-1个独立方程,特别注意考虑是否可利用定义直接列出方程. (3)求取值范围或最值

①函数方法----将待求范围参数表示为另一个变量的函数,注意求函数的定义域。 ②方程与不等式组----n个未知数,列够n个独立方程或不等式,注意归纳总结列不等式的方法:

③利用几何性质求参数范围;

表示曲线,通过研究方程的性质

④利用不等式性质(结合几何性质)求参数范同.

圆锥曲线知识点回顾

1.椭圆的性质

2.双曲线的性质

3.抛物线中的常用结论

①过抛物线y=2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p

②设A(x1,y), 1B(x2,y2)是抛物线y2=2px上的两点, 则AB过F的充要条件是y1y2=-p2

2

③设A, B是抛物线y=2px上的两点,O为原点, 则OA⊥OB的充要条件是直线AB恒过定点(2p,0)

(4).圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义

与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线,定点叫做焦点,定直线叫做准线、常数叫做离心率,用e表示,当0<e<1时,是椭圆,当e>1时,是双曲线,当e=1时,是抛物线. 4.直线与圆锥曲线的位置关系:(在这里我们把圆包括进来)

(1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的

a.直线与圆:一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法),也可以利用方程实根的个数来判断(解析法).

b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程,判断相交、相切、相离 c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性 (2).a.求弦所在的直线方程

b.根据其它条件求圆锥曲线方程

(3).已知一点A坐标,一直线与圆锥曲线交于两点P、Q,且中点为A,求P、Q所在的直线方程

(4).已知一直线方程,某圆锥曲线上存在两点关于直线对称,求某个值的取值范围(或者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对称) 5.二次曲线在高考中的应用

二次曲线在高考数学中占有十分重要的地位,是高考的重点、热点和难点。通过以二次曲线为载体,与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合,结合数学思想方法,并与高等数学基础知识融为一体,考查学生的数学思维能力及创新能力,其设问形式新颖、有趣、综合性很强。本文关注近年部分省的高考二次曲线问题,给予较深入的剖析,这对形成高三复习的新的教学理念将有着积极的促进作用。

(1).重视二次曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。 (2).重视二次曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。 (3).重视二次曲线性质与数列的有机结合。 (4).重视解析几何与立体几何的有机结合。

2

6.知识网络

圆锥曲线——椭圆、曲线、直线—定义—标准方程

性质:对称性、焦点、顶点、 离率、准线、焦半径等