圆锥曲线方程

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范文一:圆锥曲线方程

第八章 圆锥曲线方程

一 椭圆

§8.1 椭圆及其标准方程

●从容说课

圆锥曲线是平面解析几何的主要研究对象,圆锥曲线的有关知识不仅在生产、日常生活中,而且在科学技术中也有着广泛的应用,尤其是今后进一步学习数学的基础,椭圆、双曲线、抛物线都是平面内符合某种条件的点的轨迹,在第七章中,学生己学过求简单曲线方程和利用方程研究曲线几何性质的初步知识,因而,在本章中,可以把椭圆、双曲线、抛物线合起来作为一个整体,先讨论它们的定义,再求它们的方程,最后研究它们的几何性质及应用,但这样做教学难度较大,所以教材对每种曲线按定义、方程、几何性质几项来讨论,以椭圆为学习圆椭曲线的重点,并以之来介绍求圆锥曲线方程和利用方程来研究几何性质的一般方法.由此可见本节内容所处地位之重要.

通过本节内容的学习,学生一方面认识了椭圆与圆的区别与联系,另一方面也为利用方程研究椭圆的几何性质以及为学生类比椭圆的研究过程和方法,为以后学习双曲线、抛物线奠定了基础.

●课时安排

3课时

●从容说课

圆锥曲线是平面解析几何的主要研究对象,圆锥曲线的有关知识不仅在生产、日常生活中,而且在科学技术中也有着广泛的应用,尤其是今后进一步学习数学的基础,椭圆、双曲线、抛物线都是平面内符合某种条件的点的轨迹,在第七章中,学生己学过求简单曲线方程和利用方程研究曲线几何性质的初步知识,因而,在本章中,可以把椭圆、双曲线、抛物线合起来作为一个整体,先讨论它们的定义,再求它们的方程,最后研究它们的几何性质及应用,但这样做教学难度较大,所以教材对每种曲线按定义、方程、几何性质几项来讨论,以椭圆为学习圆椭曲线的重点,并以之来介绍求圆锥曲线方程和利用方程来研究几何性质的一般方法.由此可见本节内容所处地位之重要.

通过本节内容的学习,学生一方面认识了椭圆与圆的区别与联系,另一方面也为利用方程研究椭圆的几何性质以及为学生类比椭圆的研究过程和方法,为以后学习双曲线、抛物线奠定了基础.

●课 题

§8.1.1 椭圆及其标准方程(一)

●教学目标

(一)教学知识点

1.圆锥曲线的概念.

2.椭圆的定义、焦点、焦距.

3.椭圆的标准方程.

(二)能力训练要求

1.使学生明确圆锥曲线的概念.

2.使学生理解并掌握椭圆的定义、焦距.

3.使学生掌握椭圆的标准方程及其推导方法.

(三)德育渗透目标

1.使学生认识并理解世间一切事物的运动都是有规律的.

2.培养学生发现规律、寻求规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力.

3.使学生通过运动规律,认清事物运动的本质.

●教学重点

椭圆的定义及其标准方程.

●教学难点

椭圆标准方程的推导——比较复杂的根式的化简.

●教学方法

讲授法

本节课是圆锥曲线部分的起始课,涉及到的概念都是全新的,因此要通过媒体直观的演示,使学生明确并理解概念;在椭圆标准方程的推导过程中,遇到了比较复杂的根式化简问题,由于这部分内容初中没有详细介绍过,不能完全满足本章学习的需要,因此要通过讲授与学生的认真练习,进而达到突破难点之目的

●教具准备

多媒体课件两个:

(一)P 90章头图,先作两个圆锥(顶对顶,上面的圆锥是倒立的,且上面圆锥的母线是下面圆锥母线的延长线),然后用与圆锥轴线成不同角的平面截圆锥,得到椭圆、双曲线、抛物线等,给学生一个直观的印象,使学生对圆锥曲线有一个初步的感性认识.

(二)倾斜着圆锥形水杯的水面的边界线;汽车的罐截面轮廊线;发电厂通风塔的外形线;拦洪堤的曲线;探照灯反光镜的轴截面的曲线.

同桌的两位同学准备无弹性的细绳一条(约10 cm长,两端各结一个套),图钉两个;教师准备无弹性细绳一条(约50 cm长,两端各结一个套)图钉两个.

投影片一张:

本课时教案后面的预习内容及预习提纲

●教学过程

Ⅰ.课题导入

[师]1997年初,中国科学院紫金山天文台发布了一条消息:从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球,4月以后又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空.1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象.

天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢?原来,海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆,通过观察它运行中的一些有关数据,可以推算出它的运行轨道的方程,从而算出它运行的周期及轨道的周长,预测它接近地球或渐渐离去的时间.在太阳系中,天体运行的轨道除椭圆外,还有双曲线、抛物线等.

在初中几何里我们知道,用一个垂直于圆锥轴的平面截圆锥,得到的截面是一个圆,如果改变平面与圆锥轴线的夹角,会得到一些不同的图形,(利用多媒体课件,做平面截圆锥的演示,将各个不同的图形,用不同的颜色表示出来),这些图形分别是椭圆、双曲线、抛物线等,因此,通常把椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线.

圆锥曲线是我们生活中常见的曲线,例如倾斜着的圆锥形水杯的水面的边界线,汽车油罐截面的轮廓线,发电厂通风的外形线,拦洪坝的曲线,探照灯反光镜的轴截面的曲线,等等,这些边界线、轮廓线、外形线,都是一些有规律的曲线,并且在实际生活、生产中有着广泛的应用,那么怎样进一步加深对这些曲线的认识呢?本章将分别学习如何建立这些曲线的方程,然后利用方程研究它们的性质,并介绍运用这些性质解决实际问题的一些简单实例.(板书章题、单元题、课题)

Ⅱ.讲授新课

[师]请同学们同桌一组用图钉穿过准备好的无弹性细绳两端的套内,并且把图钉固定在两个定点上,然后用笔尖绷紧绳子,使笔尖慢慢移动,看画出的是怎样的一条曲线(请两位同学在黑板上作,要求两定点F1、F2的距离小于绳长,并将图形画在黑板上的适当位置,以备在后面求方程时利用之).

(学生动手,实际作图)

[师]作图完毕的请举手.(教师环视学生完成情况)哪位同学来谈谈自己作出的是什么曲线?

[生甲]我们作出的图形是椭圆,与黑板上的一样.

[生乙]我们作出的是线段.

[师]生乙同学,你谈谈你们作出的为什么是线段呢?

[生乙]我们的绳长与两定点F1、F2的距离相等.

[师]生甲同学注意了吗?你们作图时,绳长与两定点间距离有什么关系呢?

[生甲]我们作图时绳长大于两定点间的距离.

[师]好

[生丙]老师,我们作图时,开始没法作出图形,后来作出了椭圆.

[师]为什么开始没法作出图形呢?

[生丙]开始时,我们俩先确定了定点,谁知用图钉穿进绳子两端的套内后,两图钉不能同时固定在定点上——绳子不够长,后来调整了两定点的距离,才作出了图形.

[师]很好,通过具体的实际操作,我们发现了一个非常值得注意的问题,

即绳长大于两定点间的距离时,我们作出的图形是椭圆;绳长等于两定点间的距离时,我们作出的图形是线段;绳长小于两定点间的距离时,我们不能作出任何图形.

[师]绳长实质上是动点到两定点的距离的和,同学们仍然以组为单位,照我们开始所述的方法再画一个椭圆.

(学生作图)

[师]比比看,两次画出的椭圆一样吗?有什么区别?

[生]不一样,有的“瘦”些,有的“胖”些.

[师]这就奇怪了,绳长没有变,也就是说动点到两定点的距离和没有变,为什么画出的椭圆有的扁有的圆呢?

(学生思考,相互讨论交流)

[生]两定点间的距离越小,椭圆越圆;两定点间的距离越大,椭圆越扁.

[师]很好,从上面的画图过程可以看出,(结合黑板的图形指出)曲线上任意一点与点F1、F2的距离的和等于定长,也可以说,这条曲线是与点F1、F2的距离的和为定长的点的轨迹(或点的集合),我们把这样的曲线叫做椭圆.同学们不仅画出了椭圆,请同学们给出椭圆的定义.(学生可能表述的不尽严密,教师再引导学生准确地表述.)

定义:平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.(板书)

[师]由椭圆的定义,我们可以知道它的基本几何特征,但对于这种新曲线还具有哪些特性,我们还几乎一无所知,因此需要建立椭圆的方程,以便于我们对其作进一步的认识.请同学们回忆一下,求曲线方程的方法步骤是什么?

[生丁]①建系、取点 ②列式 ③代换 ④化简 ⑤证明.

[师]生甲回答正确吗?谁还有什么补充?

[生戌]正确.一般情况下,步骤⑤可以省略不写,如有特殊情况,可予以必要的说明.另外根据情况,也可省略步骤②,直接列出方程.

[师]好,再请同学们考虑一下建系的一般原则有哪些?

[生]原点取在定点或定线段的中点,坐标抽取在定直线上和图形的对称轴上.

[师]好,同学们的回答完全正确.下面我们一起根据椭圆的定义,来求出椭圆的方程.(利用前面作出的图形)先请一位同学来建立坐标系.

[生乙]以F1F2的中点O为原点,直线F1F2为x轴,建立如图所示的坐标系(学生叙述,教师作图并板书)

[师]设M(x,y)是椭圆上任意一点(板书)

请同学们注意:定义中提供的信息,动点与F1、F2的距离和等于常数,这个常数可看作是已知的,这是其一,其二两定点F1、F2之间的距离可看作已知的,于是我们可以„„

(接着板书)

设椭圆的焦距为2c(c>0),那么F1、F2的坐标分别是(-c,0),(c,0),又设M与F1、F2的距离的和等于2a(请注意,我们把焦距设为2c,避免了F1、F2的坐标域为分数的形式). 下面请同学们写出椭圆的集合.

[生庚]由椭圆的定义,椭圆就是集合

P={M||MF1|+|MF2|=2a}.(学生回答,教师板书)

[师]生庚所列的式子,就是动点M与动点F1、F2的距离之和等于 2a,谁来代换一下?

22[生辛]∵|MF1|=(xc)y,

22|MF2|=(xc)y 2222∴(xc)y+(xc)y=2a

(学生回答,教师板书)

[师]上面所得的方程直接反映了椭圆定义所确定的椭圆的本质属性,但为了更进一步利用方程探讨椭圆的其他性质,需要尽量简化方程形式,使数量关系更加明朗化.那么怎样化简呢?

[生]将式子有理化.

[师]好.化简的思路正确,但有理化时,要将方程的两边同时乘方(同次方),以去掉根号,而对上面的方程两边同时平方时,方程左边要用到和的平方公式,第一项平方去掉了根号,第二项平方也去掉了根号,而两项积的2倍更复杂了.为了减少复杂性,达到化简的目的,下面我们一起来对上面的方程进行化简.

请同学们注意:对于含有根式的方程化简时,如果方程中只有一个根式,则将根式单独留在方程的一边,把其他各项移至另一边,之后方程两边同时乘方(同次方)即可;如果方程中含有两个根式,则需将它们分别放在方程的两边,并使其中一边只含有一个根式,之后再将方程两边同时乘方(同次方),再整理,再乘方.

(板书)将这个方程移项后,两边平方得

2222222(x+c)+y=4a-4a(xc)y+(x-c)+y

222整理得a(xc)y=a-cx

上式两边再平方,得

a[(x-c)2+y2]=a4-2a2cx+c2x2(*)

22222222整理得(a-c)x+ay=a(a-c)

由椭圆的定义可知:

2a>2c>0即a>c>0,

22∴a-c>0

222令a-c=b,其中b>0

222(令a-c=b不仅可以使方程变得简单整齐,同时在下一节讨论椭圆的几何性质时,我们

会看到它还有明确的几何意义)

222222代入(*)式,得bx+ay=ab

22这个方程叫做椭圆的标准方程,它所表示的椭圆的焦点在x轴上,焦点是

F1(-c,0),F2(c,0),这里c2=a2-b2.

Ⅲ.课堂练习

如果使点F1、F2在y轴上,a、b、c的意义同上,请同学们再来求一次椭圆的方程. (学生做完之后,教师讲授)指出这个方程也是椭圆的标准方程,实际上,学生练习作的图相当于先将师生共同完成的图中的x 轴、y轴互换得到的.

Ⅳ.课时小结

本节课我们学习了椭圆的定义、焦点、焦距的概念,求出了椭圆的标准方程,请同学们注意:

①椭圆有互相垂直的两条对称轴(由直观性看出),其焦点总是在较长的对称轴上; ②若椭圆的对称轴合于坐标轴,则其方程为椭圆的标准方程;反过来,椭圆的标准方程所表示的椭圆其对称轴合于坐标轴;

③椭圆的两种标准方程中,总是a>b>0,即椭圆的标准方程中,哪个项的分母大焦点就在相应的那个轴上;反过来,焦点在哪个轴上相应的那个项的分母就大.

222222④a、b、c始终满足c=a-b(不要与勾股定理a+b=c混淆).如果焦点在x轴上,焦

点坐标是(-c,0),(c,0);如果焦点在y轴上,焦点坐标是(0,-c),(0,c);

22⑤在遇到形如Ax+By=C的方程中,只要A、B、C同号,方程就是椭圆方程.可以化成 Ax2By21 CC

x2y2

1椭圆标准方程的形式. 即CC

AB

x2y2

1,其表示焦点在x轴上的椭圆,其中如2x+3y=5,可以化成55

2322

a=555222,b=,c可由c=a-b求得,c=,焦点坐标是(-,0),(,0); 66236

Ⅴ.课后作业

(一)1.课本P95,练习1,

2.P96习题8.11

(二)1.预习内容:课本P93,例1,例2.

2.预习提纲:

(1)求椭圆的标准方程,关键是什么?

(2)求满足条件的点的轨迹方程,一般方法步骤是怎样的?如果清楚轨迹类型,是否还需要照这些步骤来做呢?应该怎样做?第八章 圆锥曲线方程

一 椭圆

§8.1 椭圆及其标准方程

●从容说课

圆锥曲线是平面解析几何的主要研究对象,圆锥曲线的有关知识不仅在生产、日常生活中,而且在科学技术中也有着广泛的应用,尤其是今后进一步学习数学的基础,椭圆、双曲线、抛物线都是平面内符合某种条件的点的轨迹,在第七章中,学生己学过求简单曲线方程和利用方程研究曲线几何性质的初步知识,因而,在本章中,可以把椭圆、双曲线、抛物线合起来作为一个整体,先讨论它们的定义,再求它们的方程,最后研究它们的几何性质及应用,但这样做教学难度较大,所以教材对每种曲线按定义、方程、几何性质几项来讨论,以椭圆为学习圆椭曲线的重点,并以之来介绍求圆锥曲线方程和利用方程来研究几何性质的一般方法.由此可见本节内容所处地位之重要.

通过本节内容的学习,学生一方面认识了椭圆与圆的区别与联系,另一方面也为利用方程研究椭圆的几何性质以及为学生类比椭圆的研究过程和方法,为以后学习双曲线、抛物线奠定了基础.

●课时安排

3课时

●从容说课

圆锥曲线是平面解析几何的主要研究对象,圆锥曲线的有关知识不仅在生产、日常生活中,而且在科学技术中也有着广泛的应用,尤其是今后进一步学习数学的基础,椭圆、双曲线、抛物线都是平面内符合某种条件的点的轨迹,在第七章中,学生己学过求简单曲线方程和利用方程研究曲线几何性质的初步知识,因而,在本章中,可以把椭圆、双曲线、抛物线合起来作为一个整体,先讨论它们的定义,再求它们的方程,最后研究它们的几何性质及应用,但这样做教学难度较大,所以教材对每种曲线按定义、方程、几何性质几项来讨论,以椭圆为学习圆椭曲线的重点,并以之来介绍求圆锥曲线方程和利用方程来研究几何性质的一般方法.由此可见本节内容所处地位之重要.

通过本节内容的学习,学生一方面认识了椭圆与圆的区别与联系,另一方面也为利用方程研究椭圆的几何性质以及为学生类比椭圆的研究过程和方法,为以后学习双曲线、抛物线奠定了基础.

●课 题

§8.1.1 椭圆及其标准方程(一)

●教学目标

(一)教学知识点

1.圆锥曲线的概念.

2.椭圆的定义、焦点、焦距.

3.椭圆的标准方程.

(二)能力训练要求

1.使学生明确圆锥曲线的概念.

2.使学生理解并掌握椭圆的定义、焦距.

3.使学生掌握椭圆的标准方程及其推导方法.

(三)德育渗透目标

1.使学生认识并理解世间一切事物的运动都是有规律的.

2.培养学生发现规律、寻求规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力.

3.使学生通过运动规律,认清事物运动的本质.

●教学重点

椭圆的定义及其标准方程.

●教学难点

椭圆标准方程的推导——比较复杂的根式的化简.

●教学方法

讲授法

本节课是圆锥曲线部分的起始课,涉及到的概念都是全新的,因此要通过媒体直观的演示,使学生明确并理解概念;在椭圆标准方程的推导过程中,遇到了比较复杂的根式化简问题,由于这部分内容初中没有详细介绍过,不能完全满足本章学习的需要,因此要通过讲授与学生的认真练习,进而达到突破难点之目的

●教具准备

多媒体课件两个:

(一)P 90章头图,先作两个圆锥(顶对顶,上面的圆锥是倒立的,且上面圆锥的母线是下面圆锥母线的延长线),然后用与圆锥轴线成不同角的平面截圆锥,得到椭圆、双曲线、抛物线等,给学生一个直观的印象,使学生对圆锥曲线有一个初步的感性认识.

(二)倾斜着圆锥形水杯的水面的边界线;汽车的罐截面轮廊线;发电厂通风塔的外形线;拦洪堤的曲线;探照灯反光镜的轴截面的曲线.

同桌的两位同学准备无弹性的细绳一条(约10 cm长,两端各结一个套),图钉两个;教师准备无弹性细绳一条(约50 cm长,两端各结一个套)图钉两个.

投影片一张:

本课时教案后面的预习内容及预习提纲

●教学过程

Ⅰ.课题导入

[师]1997年初,中国科学院紫金山天文台发布了一条消息:从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球,4月以后又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空.1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象.

天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢?原来,海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆,通过观察它运行中的一些有关数据,可以推算出它的运行轨道的方程,从而算出它运行的周期及轨道的周长,预测它接近地球或渐渐离去的时间.在太阳系中,天体运行的轨道除椭圆外,还有双曲线、抛物线等.

在初中几何里我们知道,用一个垂直于圆锥轴的平面截圆锥,得到的截面是一个圆,如果改变平面与圆锥轴线的夹角,会得到一些不同的图形,(利用多媒体课件,做平面截圆锥的演示,将各个不同的图形,用不同的颜色表示出来),这些图形分别是椭圆、双曲线、抛物线等,因此,通常把椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线.

圆锥曲线是我们生活中常见的曲线,例如倾斜着的圆锥形水杯的水面的边界线,汽车油罐截面的轮廓线,发电厂通风的外形线,拦洪坝的曲线,探照灯反光镜的轴截面的曲线,等等,这些边界线、轮廓线、外形线,都是一些有规律的曲线,并且在实际生活、生产中有着广泛的应用,那么怎样进一步加深对这些曲线的认识呢?本章将分别学习如何建立这些曲线的方程,然后利用方程研究它们的性质,并介绍运用这些性质解决实际问题的一些简单实例.(板书章题、单元题、课题)

Ⅱ.讲授新课

[师]请同学们同桌一组用图钉穿过准备好的无弹性细绳两端的套内,并且把图钉固定在两个定点上,然后用笔尖绷紧绳子,使笔尖慢慢移动,看画出的是怎样的一条曲线(请两位同学在黑板上作,要求两定点F1、F2的距离小于绳长,并将图形画在黑板上的适当位置,以备在后面求方程时利用之).

(学生动手,实际作图)

[师]作图完毕的请举手.(教师环视学生完成情况)哪位同学来谈谈自己作出的是什么曲线?

[生甲]我们作出的图形是椭圆,与黑板上的一样.

[生乙]我们作出的是线段.

[师]生乙同学,你谈谈你们作出的为什么是线段呢?

[生乙]我们的绳长与两定点F1、F2的距离相等.

[师]生甲同学注意了吗?你们作图时,绳长与两定点间距离有什么关系呢?

[生甲]我们作图时绳长大于两定点间的距离.

[师]好

[生丙]老师,我们作图时,开始没法作出图形,后来作出了椭圆.

[师]为什么开始没法作出图形呢?

[生丙]开始时,我们俩先确定了定点,谁知用图钉穿进绳子两端的套内后,两图钉不能同时固定在定点上——绳子不够长,后来调整了两定点的距离,才作出了图形.

[师]很好,通过具体的实际操作,我们发现了一个非常值得注意的问题,

即绳长大于两定点间的距离时,我们作出的图形是椭圆;绳长等于两定点间的距离时,我们作出的图形是线段;绳长小于两定点间的距离时,我们不能作出任何图形.

[师]绳长实质上是动点到两定点的距离的和,同学们仍然以组为单位,照我们开始所述的方法再画一个椭圆.

(学生作图)

[师]比比看,两次画出的椭圆一样吗?有什么区别?

[生]不一样,有的“瘦”些,有的“胖”些.

[师]这就奇怪了,绳长没有变,也就是说动点到两定点的距离和没有变,为什么画出的椭圆有的扁有的圆呢?

(学生思考,相互讨论交流)

[生]两定点间的距离越小,椭圆越圆;两定点间的距离越大,椭圆越扁.

[师]很好,从上面的画图过程可以看出,(结合黑板的图形指出)曲线上任意一点与点F1、F2的距离的和等于定长,也可以说,这条曲线是与点F1、F2的距离的和为定长的点的轨迹(或点的集合),我们把这样的曲线叫做椭圆.同学们不仅画出了椭圆,请同学们给出椭圆的定义.(学生可能表述的不尽严密,教师再引导学生准确地表述.)

定义:平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.(板书)

[师]由椭圆的定义,我们可以知道它的基本几何特征,但对于这种新曲线还具有哪些特性,我们还几乎一无所知,因此需要建立椭圆的方程,以便于我们对其作进一步的认识.请同学们回忆一下,求曲线方程的方法步骤是什么?

[生丁]①建系、取点 ②列式 ③代换 ④化简 ⑤证明.

[师]生甲回答正确吗?谁还有什么补充?

[生戌]正确.一般情况下,步骤⑤可以省略不写,如有特殊情况,可予以必要的说明.另外根据情况,也可省略步骤②,直接列出方程.

[师]好,再请同学们考虑一下建系的一般原则有哪些?

[生]原点取在定点或定线段的中点,坐标抽取在定直线上和图形的对称轴上.

[师]好,同学们的回答完全正确.下面我们一起根据椭圆的定义,来求出椭圆的方程.(利用前面作出的图形)先请一位同学来建立坐标系.

[生乙]以F1F2的中点O为原点,直线F1F2为x轴,建立如图所示的坐标系(学生叙述,教师作图并板书)

[师]设M(x,y)是椭圆上任意一点(板书)

请同学们注意:定义中提供的信息,动点与F1、F2的距离和等于常数,这个常数可看作是已知的,这是其一,其二两定点F1、F2之间的距离可看作已知的,于是我们可以„„

(接着板书)

设椭圆的焦距为2c(c>0),那么F1、F2的坐标分别是(-c,0),(c,0),又设M与F1、F2的距离的和等于2a(请注意,我们把焦距设为2c,避免了F1、F2的坐标域为分数的形式). 下面请同学们写出椭圆的集合.

[生庚]由椭圆的定义,椭圆就是集合

P={M||MF1|+|MF2|=2a}.(学生回答,教师板书)

[师]生庚所列的式子,就是动点M与动点F1、F2的距离之和等于 2a,谁来代换一下?

22[生辛]∵|MF1|=(xc)y,

22|MF2|=(xc)y 2222∴(xc)y+(xc)y=2a

(学生回答,教师板书)

[师]上面所得的方程直接反映了椭圆定义所确定的椭圆的本质属性,但为了更进一步利用方程探讨椭圆的其他性质,需要尽量简化方程形式,使数量关系更加明朗化.那么怎样化简呢?

[生]将式子有理化.

[师]好.化简的思路正确,但有理化时,要将方程的两边同时乘方(同次方),以去掉根号,而对上面的方程两边同时平方时,方程左边要用到和的平方公式,第一项平方去掉了根号,第二项平方也去掉了根号,而两项积的2倍更复杂了.为了减少复杂性,达到化简的目的,下面我们一起来对上面的方程进行化简.

请同学们注意:对于含有根式的方程化简时,如果方程中只有一个根式,则将根式单独留在方程的一边,把其他各项移至另一边,之后方程两边同时乘方(同次方)即可;如果方程中含有两个根式,则需将它们分别放在方程的两边,并使其中一边只含有一个根式,之后再将方程两边同时乘方(同次方),再整理,再乘方.

(板书)将这个方程移项后,两边平方得

2222222(x+c)+y=4a-4a(xc)y+(x-c)+y

222整理得a(xc)y=a-cx

上式两边再平方,得

a[(x-c)2+y2]=a4-2a2cx+c2x2(*)

22222222整理得(a-c)x+ay=a(a-c)

由椭圆的定义可知:

2a>2c>0即a>c>0,

22∴a-c>0

222令a-c=b,其中b>0

222(令a-c=b不仅可以使方程变得简单整齐,同时在下一节讨论椭圆的几何性质时,我们

会看到它还有明确的几何意义)

222222代入(*)式,得bx+ay=ab

22这个方程叫做椭圆的标准方程,它所表示的椭圆的焦点在x轴上,焦点是

F1(-c,0),F2(c,0),这里c2=a2-b2.

Ⅲ.课堂练习

如果使点F1、F2在y轴上,a、b、c的意义同上,请同学们再来求一次椭圆的方程. (学生做完之后,教师讲授)指出这个方程也是椭圆的标准方程,实际上,学生练习作的图相当于先将师生共同完成的图中的x 轴、y轴互换得到的.

Ⅳ.课时小结

本节课我们学习了椭圆的定义、焦点、焦距的概念,求出了椭圆的标准方程,请同学们注意:

①椭圆有互相垂直的两条对称轴(由直观性看出),其焦点总是在较长的对称轴上; ②若椭圆的对称轴合于坐标轴,则其方程为椭圆的标准方程;反过来,椭圆的标准方程所表示的椭圆其对称轴合于坐标轴;

③椭圆的两种标准方程中,总是a>b>0,即椭圆的标准方程中,哪个项的分母大焦点就在相应的那个轴上;反过来,焦点在哪个轴上相应的那个项的分母就大.

222222④a、b、c始终满足c=a-b(不要与勾股定理a+b=c混淆).如果焦点在x轴上,焦

点坐标是(-c,0),(c,0);如果焦点在y轴上,焦点坐标是(0,-c),(0,c);

22⑤在遇到形如Ax+By=C的方程中,只要A、B、C同号,方程就是椭圆方程.可以化成 Ax2By21 CC

x2y2

1椭圆标准方程的形式. 即CC

AB

x2y2

1,其表示焦点在x轴上的椭圆,其中如2x+3y=5,可以化成55

2322

a=555222,b=,c可由c=a-b求得,c=,焦点坐标是(-,0),(,0); 66236

Ⅴ.课后作业

(一)1.课本P95,练习1,

2.P96习题8.11

(二)1.预习内容:课本P93,例1,例2.

2.预习提纲:

(1)求椭圆的标准方程,关键是什么?

(2)求满足条件的点的轨迹方程,一般方法步骤是怎样的?如果清楚轨迹类型,是否还需要照这些步骤来做呢?应该怎样做?

范文二:圆锥曲线与方程

圆锥曲线与方程

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题 (本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

x2y2

1.点P是双曲线C1:221(a0,b0)与圆C2:x2y2a2b2的一个交点,且

ab

2PF1F2PF2F1,其中F1、F2分别为双曲线C1的左右焦点,则双曲线C1的离心率为

( ) A

1 【答案】A

B

C

D

1

2.椭圆C1:的左准线为l,左、右焦点为分别为F1、F2,抛物线C2的准线为l,

焦点为F2,C1与C2的一个交点为P,线段PF2的中点为G,O是坐标原点,则的值为( )

A.-1 B.1 C.- D.

【答案】D

2

3.已知直线y=kx-2(k>0)与抛物线C:x=8y相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|

=4|FB|,则k= ( )

A.3 【答案】B

4.平面内动点P到定点F1(3,0),F2(3,0)的距离之和为6,则动点P的轨迹是( ) A. 双曲线 【答案】C

B. 椭圆

C.线段

D.不存在

5B. 4

3

C4

32D.2

x2y23

5.已知双曲线221的一条渐近线是yx,则双曲线的离心率为( )

3ab

A.2

2326

B. 3 C D.

33

【答案】C

6.⊿ABC中,B(-2,0),C(2,0),中线AD的长为3,则点A的轨迹方程为( )

2222

A.x+y=9(y≠0) B.x-y=9(y≠0)

2222

C.x+y=16 (y≠0) D. x-y=16(y≠0) 【答案】A

x2y2

7.已知双曲线21的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其

4b

渐近线的距离等于( ) A.

【答案】A

B.

C.3

D.5

x2y2

8.已知双曲线xy与椭圆1有共同的焦点,则的值为( )

1664

2

2

A.50 【答案】D

B.24 C.-50 D.-24

9.已知两定点F1(5,0),F2(5,0),曲线上的点P到F1、F2的距离之差的绝对值是6,则该曲线的方程为( )

x2y2A.1

916x2y2C.1

2536

【答案】A

x2y2B.1

169y2x2

D. 1

2536

x2y2

10.若F1、F2 分别为双曲线 221的左、右焦点,O为坐标原点,点P在双曲线

ab

的左支上,点M在双曲线的右准线上,且满足F1OPM

,OP则双曲线的离心率为( )

A.3 【答案】D

B.2

C.3

D.2

. >0)

y2

1的焦点为F1、F2,点M在双曲线上且MF1MF20,则点M到x11.双曲线x2

2

轴的距离为

( )

A.

【答案】B

B.

C.

4 3

D.

5 3

2y4x,直线l的方程为xy40,在抛物线上有一动点P到12.已知抛物线方程为

y轴的距离为d1,P到直线l的距离为d2,则d1d2的最小值为( )

A

2

B

1

C

2

D

1 【答案】D

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题 (本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上) 13.已知点P为椭圆和双曲线

左、右焦点,则∠F1PF2的余弦值是 .

的一个交点,点F1、F2分别是椭圆的

【答案】

x2

y21上任意一点P,则PA最大值为 。

14.已知点A0,2及椭圆4

x2y2

15.已知M是双曲线221(ab0)上的点,以M为圆心的圆与x轴相切于双曲

ab

线的焦点F,圆M与y轴相交于P,Q两点.若PQM为锐角三角形,则该双曲线的离心率的取值范围为 .

【答案】 x2y2

16.已知抛物线y2px(p0)与双曲线221(ab0)有相同的焦点F,点A

ab

2

是两曲线的交点,且AFx轴,则双曲线的离心率为 . 【答案】21

三、解答题 (本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

2

17.如图,已知抛物线y=ax+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C, D为OC的中点,直线AD交抛物线于点E(2,6),且△ABE与△ABC的面积之比为3∶2. (1)求这条抛物线对应的函数关系式;

范文三:圆锥曲线与方程

第二章 圆锥曲线与方程

第Ⅰ卷(选择题,共50分)

一、选择题本题共有10个小题,每小题5分;在每小题给出的四个选项中,只有一项是

符合题目要求的,把正确选项的代号填在试卷指定的位置上。

1.椭圆x2my21的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m的值为( )

A.

14

xa

22

B.

yb

22

12

C. 2

2

D.4

xa

22

2. 若椭圆1(ab

0)的离心率是,则双曲线

yb

22

1的离心率是

( ) A.

54

x

2

B.

y

2

2

C.

l方程为y



3253

D.

x,则双曲线焦点

4

3.若双曲线

9m

1的渐近线F到渐近线

l的距离为

A.2

B.

C.5

D.25

4、直线yxb与抛物线x22y交于A、B两点,O为坐标原点,且OAOB,则b( )

A.2

B.2 C.1 D.1

5、若直线l过点(3,0)与双曲线4x29y236只有一个公共点,则这样的直线有( )

A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

6、已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(7,0),直线yx1与其交于M、N

两点,MN 中点的横坐标为

x

2

23

,则此双曲线的方程是( )

x

2

A.

3

y

2

4

1 B.

x

2

4

y

2

3

xa

22

1 C.

yb

22

5

y

2

2

1 D.

x

2

2

y

2

5

1

7、设离心率为e的双曲线C:1(a0,b0)的右焦点为F,直线l过

点F且斜率为k,则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是

( )

A.k2e1

2 B. k2

54

e1

2C.e2

54

k1

2 D.e2k1

2

(实验班)已知定点M(1,)、N(4,),给出下列曲线方程: ① 4x+2y-1=0 ②xy3

2

2

x

2

2

y

2

1

④有

x

2

2

y

2

1在曲线上存在点P

满足

MPNP

的所曲线方程是

( )

(A)①③ (B)②④ (C)①②③ (D)②③④ 8、双曲线两条渐近线的夹角为60º,该双曲线的离心率为( ) A.

23

3

或2 B.

23

3

或2 C.3或2 D.3或2

9、若不论k为何值,直线yk(x2)b与曲线x2y21总有公共点,则b的取值范围是( )

C.(2,2) D.2,2 A.(

B.10、椭圆

x

2

25

y

2

9

则ON等1上一点M到焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,

于( )

A.2 B.4 C.6 D.

32

x2y2

(实验班做)如图,双曲线-=1的左焦点为F1,顶点为A1,A2,P是双曲

ab

线上任意一点,则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆位置关系为( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.以上情况都有可能

第 Ⅱ 卷 (非选择题 共70分)

注意事项:

⒈ 第Ⅱ卷共4页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.⒉ 答卷前将密封线内的项目填写清楚.

20分) 11.抛物线xay2(a0)的焦点坐标是; 12. 椭圆

x

2

6

y

2

2

1和双曲线

x

2

3

y1的公共点为F1,F2,P是两曲线的一个交点, 那

2

么cosF1PF2的值是__________________。

13. 椭圆的焦点为F1、F2,过点F1作直线与椭圆相交,被椭圆截得的最短的线段MN长为

325

,MF2N的周长为20,则椭圆的离心率为 __________

xa

22

(实验班做)双曲线

yb

22

1(a,b0)和直线y2x有交点,则它的离心率的

取值范围是______________ 14.若焦点在x

轴上的椭圆

x

2

45

yb

22

1上有一点,使它与两焦点的连线互相垂直,

则正数b的取值范围是_______________

三、解答题(本大题4小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(12分) 已知椭圆的中心在原点,焦点为F1(0,22),F2(0,22),且离心率e

223

(I)求椭圆的方程;

(II)直线l(与坐标轴不平行)与椭圆交于不同的两点A、B,且线段AB中点的横坐标为

12

,求直线l倾斜角的取值范围。

16. (12分)已知动点P与平面上两定点A(0),B0)连线的斜率的积为

定值

12

.

(Ⅰ)试求动点P的轨迹方程C.

(Ⅱ)设直线l:ykx1与曲线C交于M、N两点,当|MN|=

423

时,求直线l

的方程.

(实验班做)已知向量m1=(0,x),n1=(1,1),m2=(x,0),n2=(y2,1)(其

中x,y是实数), 又设向量m=m1+2n2,n=m2-2n1,且m//n,点P(x,y)的轨迹为曲线C. (Ⅰ)求曲线C的方程;

(Ⅱ)设直线l:ykx1与曲线C交于M、N两点,当|MN|=的方程.

17. (13分)已知椭圆

xa

22

423

时,求直线l

yb

22

(a>b>0)的离心率e

32

63

,过点A(0,-b)和

B(a,0)的直线与原点的距离为

(1)求椭圆的方程.

(2)已知定点E(-1,0),若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C、D两点.问:是否存在k的值,使以CD为直径的圆过E点?请说明理由.

18. (13分) 设双曲线C:

xa

22

yb

22

1(a>0,b>0)的离心率为e,若准

线l与两条渐近线相交于P、Q两点,F为右焦点,△FPQ为等边三角形. (1)求双曲线C的离心率e的值;

(2)若双曲线C被直线y=ax+b截得的弦长为

bea

2

2

,求双曲线c的方

范文四:圆锥曲线方程

圆锥曲线方程

一、椭圆方程.

1. 椭圆方程的第一定义:

PF1PF22aF1F2方程为椭圆,PF1PF22aF1F2无轨迹,

PF1PF22aF1F2F1,F2为端点的线段

2、椭圆的标准方程:

x2

中心在原点,焦点在x轴上:a

2

y2b2

y2

1(ab0)

x2b2

.

.

x2

y2b

2

2

ii. 中心在原点,焦点在y轴上:a

1(ab0)

22AxBy1(A0,B0).③椭圆的标准参数方程:a2

3、椭圆的一般方程:

1

的参数方

xacos0ybsin2). 程为(一象限应是属于

4、椭圆的特点

①顶点:(a,0)(0,b)或(0,a)(b,0).

②轴:对称轴:x轴,y轴;长轴长2a,短轴长2b. ③焦点:(c,0)(c,0)或(0,c)(0,c). ④焦距:

F1F22c,ca2b2

.

a2a2

xy

cc. ⑤准线:或

e

c

(0e1)a.

d

2b2a2

2b2

(c,)(c,b)

a和a

⑥离心率:

⑦通径:垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标:二、双曲线方程.

1. 双曲线的第一定义:

PF1PF22aF1F2方程为双曲线PF1PF22aF1F2无轨迹

PF1PF22aF1F2F1,F2的一个端点的一条射线

2.双曲线标准方程:

x2a2

y2b2

1(a,b0),

y2a2

x2b2

1(a,b0)

.

3.双曲线的一般方程: Ax2Cy21(AC0).

4.双曲线的特点 ①i. 焦点在x轴上:

xya2

0x

(a,0),(a,0)(c,0),(c,0)abc顶点: 焦点: 准线方程 渐近线方程:或

x2a

2

b x,y②轴为对称轴,实轴长为2a, 虚轴长为2b,焦距2c.

y2

2

0

③离心率

e

c

a.

2a22b2

④准线距c(两准线的距离);通径a.

x2y2c21cab,e2

aba⑤参数关系. ⑥焦点半径公式:对于双曲线方程(F1,F2分别为

2

2

2

双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)

222

xya5.等轴双曲线:双曲线称为等轴双曲线,其渐近线方程为yx,离心率e.

x2

2

6.共渐近线的双曲线系方程:a

y2b2

(0)

x2

2

的渐近线方程为a

y20

x2y2xy2(0)02

b渐近线为ab时,它的双曲线方程可设为a.

11

yxp(3,)

2且过2例如:若双曲线一条渐近线为

x2y21x221(3,)y(0)

8224解:令双曲线的方程为:,代入得7.直线与双曲线的位置关系:

区域①:无切线,2条与渐近线平行的直线,合计2条;

区域②:即定点在双曲线上,1条切线,2条与渐近线平行的直线,合计3条; 区域③:2条切线,2条与渐近线平行的直线,合计4条;

区域④:即定点在渐近线上且非原点,1条切线,1条与渐近线平行的直线,合计2条; 区域⑤:即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线.

小结:过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.

“”若直线与双曲线一支有交点,交点为二个时,求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.

三、抛物线方程.

1. 设p0,抛物线的标准方程、类型及其几何性质:

PFx

P

2

2

PFy

P2

②y2px(p0)则焦点半径;x2py(p0)则焦点半径为③通径为2p,这是过焦点的所有弦中最短的.

2

.

x2pt2x2pt22

y2pty2pt2y2pxx2py④(或)的参数方程为(或)(t为参数).

四、圆锥曲线的统一定义..

范文五:圆锥曲线方程

圆锥曲线方程

考试内容:

椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质. 考试要求:

(1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,了解椭圆的参数方程. (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. (4)了解圆锥曲线的初步应用. §08.

圆锥曲线方程 知识要点

一、椭圆方程.

1. 椭圆方程的第一定义:

PF1PF22aF1F2方程为椭圆,PF1PF22aF1F2无轨迹,

PF1PF22aF1F2F1,F2为端点的线段

⑴①椭圆的标准方程:

i. 中心在原点,焦点在x轴上:

y2a

2

x2a2

y2b2

1(ab0). ii. 中心在原点,焦点在y轴上:

x2b

2

1(ab0).

2

②一般方程:AxBy1(A0,B0).③椭圆的标准参数方程:

2

x2a

2

y2b

2

1的参数方程为

xacos

(一象限应是属于0). 

2ybsin

⑵①顶点:(a,0)(0,b)或(0,a)(b,0).②轴:对称轴:x轴,y轴;长轴长2a,短轴长2b.③

焦点:(c,0)(c,0)或(0,c)(0,c).④焦距:F1F22c,cabca2

.⑥离心率:e(0e1).⑦焦点半径: y

ac

22

a2

.⑤准线:x或

c

i. 设P(x0,y0)为椭圆

x2a

2

y2b

2

PF1a1(ab0)上的一点,F1,F2 ex0,PF2aex0

由椭圆方程的第二定义可以推出. ii.设P(x0,y0)为椭圆

x2b

2

y2a

2

PF1 aey0,PF2aey01(ab0)上的一点,F1,F2由椭圆方程的第二定义可以推出.

由椭圆第二定义可知:pF1e(x0a)aex0(x00),pF2e(ax0)ex0a(x00)归结起来为

c

c

2

2

“左加右减”.

注意:椭圆参数方程的推导:得N(acos,bsin)方程的轨迹为椭圆. ⑧通径:垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标:d

2b2a2

b2b2(c,)和(c,)

aa

⑶共离心率的椭圆系的方程:椭圆程

x2a2

y2b2

x2a2

y2b2

1(ab0)的离心率是e

c

(ca2b2),方a

t(t是大于0的参数,ab0)的离心率也是e

c

我们称此方程为共离心率的a

椭圆系方程. ⑸若P是椭圆:b2tan

x2a2

y2b2

1上的点.F1,F2为焦点,若F1PF2,则PF1F2的面积为

2

(用余弦定理与PF1PF22a可得). 若是双曲线,则面积为b2cot

2

.

二、双曲线方程.

1. 双曲线的第一定义:

PF1PF22aF1F2方程为双曲线PF1PF22aF1F2无轨迹

),asin)

PF1PF22aF1F2F1,F2的一个端点的一条射线

⑴①双曲线标准方程:Ax2Cy21(AC0).

x2a

2

y2b

2

1(a,b0),

y2a

2

x2b

2

1(a,b0). 一般方程:

⑵①i. 焦点在x轴上:

xya2

顶点:(a,0),(a,0) 焦点:(c,0),(c,0) 准线方程x 渐近线方程:0或

abc

x2a

2

y2b

2

0

a2

ii. 焦点在y轴上:顶点:(0,a),(0,a). 焦点:(0,c),(0,c). 准线方程:y. 渐近线

c

xasecxbtany2x2yx

方程:0或220,参数方程:或 .

ababybtanyasec

c2a2

②轴x,y为对称轴,实轴长为2a, 虚轴长为2b,焦距2c. ③离心率e. ④准线距

ac

c2b2

(两准线的距离);通径. ⑤参数关系c2a2b2,e. ⑥焦点半径公式:对于双曲

aa

线方程

x2a2

y2b2

1(F1,F2分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)

“长加短减”原则: MF1ex0aMF2ex0a

构成满足MF1MF22a

MF1ex0aMF2ex0a

(与椭圆焦半径不同,椭圆焦半

MF1ey0aMF2ey0a

MF1ey0a

MF2ey0a

⑶等轴双曲线:双曲线x2y2a2称为等轴双曲线,其渐近线方程为yx,离心率e2. ⑷共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭

x2y2x2y2x2y2

双曲线.22与22互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线:220.

ababab

⑸共渐近线的双曲线系方程:

x2a2

y2b2

(0)的渐近线方程为

x2a2

y22

0如果双曲线的

x2y2xy

渐近线为0时,它的双曲线方程可设为22(0).

abab

例如:若双曲线一条渐近线为y

2

11

x且过p(3,)22

2

2

yx1x

1y2(0),代入(3,)得8224

⑹直线与双曲线的位置关系:

解:令双曲线的方程为:

区域①:无切线,2条与渐近线平行的直线,合计2条;

区域②:即定点在双曲线上,1条切线,2条与渐近线平行的直线,合计3条; 区域③:2条切线,2条与渐近线平行的直线,合计4条;

区域④:即定点在渐近线上且非原点,1条切线,1条与渐近线平行的直线,合计2条; 区域⑤:即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线.

小结:过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.

(2)若直线与双曲线一支有交点,交点为二个时,求确定直线的斜率可用代入法与渐“”近线求交和两根之和与两根之积同号. ⑺若P在双曲线离比为m︰n.

PF1

d1me = . d2PF2n

ex2a

2

y2b

2

1,则常用结论1:P到焦点的距离为m = n,则P到两准线的距

简证:

常用结论2:从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.

三、抛物线方程.

p0

2

4acb2b

). 注:①aybycx顶点(

4a2a

②y22px(p0)则焦点半径PFxP;x22py(p0)则焦点半径为PFyP.

2

2

③通径为2p,这是过焦点的所有弦中最短的.

x2pt2x2pt

④y2px(或x2py)的参数方程为(或)(t为参数). 2

y2pty2pt

2

2

四、圆锥曲线的统一定义..

4. 圆锥曲线的统一定义:平面内到定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹. 当0e1时,轨迹为椭圆; 当e1时,轨迹为抛物线; 当e1时,轨迹为双曲线; 当e0时,轨迹为圆(e

c

,当c0,ab时). a

5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如:椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.

因为具有对称性,所以欲证AB=CD, 即证AD与BC的中点重合即可.

1. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质. 2. 等轴双曲线 3. 共轭双曲线

5. 方程y2=ax与x2=ay的焦点坐标及准线方程. 6.共渐近线的双曲线系方程.

范文六:直线与圆的方程、圆锥曲线

开头语:“直线与圆的方程”和“圆锥曲线”,是江苏高考数学学科的必考内容,也是非常重要的内容。自2008年江苏高考以来,每年高考试卷中,它们都会出现,所占的分值多则21分,少则15分,应该说对于整个数学学科的总分高低,起着关键的作用。

【背景材料】

2008~2012年江苏高考试卷,在此就不详细进行试题列举

【例1】(08江苏)在平面直角坐标系xOy中,椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2c,以O为圆心,a为半径作圆M,若过Pa2c,0作圆M的两条切线相互垂直,则椭圆的离心率为.

解析设切线PA、PB 互相垂直,又半径OA 垂直于PA,所以△OAP是等腰直角三角形,故a2c=2a,解得e=ca=22.

【例2】(09江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,A1,A2,B1,B2为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的四个顶点,F为其右焦点,直线A1B2与直线B1F相交于点T,线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点,则该椭圆的离心率为.

解析直线A1B2的方程为:x-a+yb=1;

直线B1F的方程为:xc+y-b=1。二者联立解得:T2aca-c,b(a+c)a-c,

则Maca-c,b(a+c)2(a-c)在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上,

c2(a-c)2+(a+c)24(a-c)2=1,c2+10ac-3a2=0,e2+10e-3=0,

解得:e=27-5

【例3】(10江苏)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x24-y212=1上一点M,点M的横坐标是3,则M到双曲线右焦点的距离是 .

解析MFd=e=42=2,d为点M到右准线x=1的距离,d=2,MF=4,

【例4】(10江苏)在平面直角坐标系xOy中,如图,已知椭圆x29+y25=1的左、右顶点为A、B,右焦点为F.设过点T(t,m)的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(x1,y1)、N(x2,y2),其中m>0,y1>0,y2  (1) 设动点P满足PF2-PB2=4,求点P的轨迹;

(2) 设x1=2,x2=13,求点T的坐标;

(3) 设t=9,求证:直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关).

解析(1) 设点P(x,y),则:F(2,0)、B(3,0)、A(-3,0).

由PF2-PB2=4,得(x-2)2+y2-[(x-3)2+y2]=4,化简得x=92.

故所求点P的轨迹为直线x=92.

(2) 将x1=2,x2=13分别代入椭圆方程,以及y1>0,y2  直线TA方程为:y-053-0=x+32+3,

即y=13x+1,

直线TB 方程为:y-0-209-0=x-313-3,

即y=56x-52.

联立方程组,解得:x=7,

y=103,

所以点T的坐标为7,103.

(3) 点T的坐标为(9,m)

直线TA方程为:y-0m-0=x+39+3,

即y=m12(x+3),

直线TB 方程为:y-0m-0=x-39-3,

即y=m6(x-3).

分别与椭圆x29+y25=1联立方程组,同时考虑到x1≠-3,x2≠3,

解得:M3(80-m2)80+m2,40m80+m2、

N3(m2-20)20+m2,-20m20+m2.

(方法一)当x1≠x2时,直线MN方程为:y+20m20+m240m80+m2+20m20+m2=x-3(m2-20)20+m23(80-m2)80+m2-3(m2-20)20+m2

令y=0,解得:x=1。此时必过点D(1,0);

当x1=x2时,直线MN方程为:x=1,与x轴交点为D(1,0).

所以直线MN必过x轴上的一定点D(1,0).

(方法二)若x1=x2,则由240-3m280+m2=3m2-6020+m2及m>0,得m=210,

此时直线MN的方程为x=1,过点D(1,0)。

若x1≠x2,则m≠210,直线MD的斜率kMD=40m80+m2240-3m280+m2-1=10m40-m2,直线ND的斜率kND=-20m20+m23m2-6020+m2-1=10m40-m2,得kMD=kND,所以直线MN过D点.

因此,直线MN必过x轴上的点(1,0).

【例5】(12江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).已知(1,e)和e,32都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率.

(1) 求椭圆的方程;

(2) 设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线AF1与直线BF2平行,AF2与BF1交于点P.

(i) 若AF1-BF2=62,求直线AF1的斜率;

(ii) 求证:PF1+PF2是定值.

解析(1) 由题设知,a2=b2+c2,e=ca,由点(1,e)在椭圆上,得

12a2+e2b2=11a2+c2a2b2=1b2+c2=a2b2a2=a2b2b2=1,∴c2=a2-1.

由点e,32在椭圆上,得

e2a2+322b2=1c2a4+3221=1a2-1a4+34=1a4-4a2+4=0a2=2

∴椭圆的方程为x22+y2=1.

(2) 由(1)得F1(-1,0),F2(1,0),

又∵AF1∥BF2,   ∴设AF1、BF2的方程分别为my=x+1,my=x-1,A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2>0.

∴x212+y21=1

my1=x1+1(m2+2)y21-2my1-1=0y1=m+2m2+2m2+2.

∴AF1=(x1+1)2+(y1-0)2

=(my1)2+y21

=m2+1·m+2m2+2m2+2

=2(m2+1)+mm2+1m2+2①

同理,BF2=2(m2+1)-mm2+1m2+2②

(i) 由①②得,AF1-BF2=2mm2+1m2+2.

解2mm2+1m2+2=62得m2=2.

∵注意到m>0,∴m=2.∴直线AF1的斜率为1m=22.

(ii) 证明:∵AF1∥BF2,∴PBPF1=BF2AF1,即PBPF1+1=BF2AF1+1PB+PF1PF1=BF2+AF1AF1.∴PF1=AF1AF1+BF2BF1.

由点B在椭圆上知,BF1+BF2=22,∴PF1=AF1AF1+BF222-BF2.

同理PF2=BF2AF1+BF222-AF1.

∴PF1+PF2=AF1AF1+BF222-BF2+BF2AF1+BF222-AF1=22-2AF1·BF2AF1+BF2

由①②得,AF1+BF2=22(m2+1)m2+2,

AF1·BF2=m2+1m2+2,∴PF1+PF2=22-22=322.

∴PF1+PF1是定值.

【命题分析】

“直线与方程”和“圆锥曲线”的内容在填空题与解答题中均有可能出现。如果在填空题中,基本上都是较为简单的有关基本概念的考查,比如说:弦长的计算,离心率,长轴,短轴,圆锥曲线的第二定义等等,难度不会太大;如果在解答题中出现,则较可能是作为难题,或者说是压轴题。而近几年,解答题中考查的内容,更多的出现了有关圆锥曲线里的定值问题。2010年,2012年都考到了。也许这种问题会成为考查的热点问题。下面,我们就再举一个例子来看看定值问题的求解。

【试题设计】给定椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),称圆心在坐标原点O,半径为a2+b2的圆是椭圆C的“伴随圆”. 若椭圆C的一个焦点为F2(2,0),其短轴上的一个端点到F2距离为3.

(1) 求椭圆C及其“伴随圆”的方程;

(2) 若过点P(0,m)(m  (3) 过椭圆C“伴随圆”上一动点Q作直线l1,l2,使得l1,l2与椭圆C都只有一个公共点,试判断直线l1,l2的斜率之积是否为定值,并说明理由.

解析(1) 由题意得:a=3,半焦距c=2,

则b=1,椭圆C方程为x23+y2=1,

“伴随圆”方程为x2+y2=4。

(2) 则设过点P且与椭圆有一个交点的直线为:y=kx+m,

则y=kx+m,

x23+y2=1,整理得(1+3k2)x2+6kmx+(3m2-3)=0,

所以Δ=(6km)2-4(1+3k2)(3m2-3)=0,解3k2+1=m2①

又因为直线截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为22,

则有222-|m|k2+12=22,化简得m2=2(k2+1)②

联立①②解得,k2=1,m2=4,

所以k=±1,m=-2(∵m  (3) 当l1,l2都有斜率时,设点Q(x0,y0),其中x20+y20=4,

设经过点Q(x0,y0)与椭圆只有一个公共点的直线为y=k(x-x0)+y0,

由y=kx+(y0-kx0),

x23+y2=1,消去y得到x2+3[kx+(y0-kx0)]2-3=0

即(1+3k2)x2+6k(y0-kx0)x+3(y0-kx0)2-3=0,

Δ=[6k(y0-kx0)]2-4·(1+3k2)[3(y0-kx0)2-3]=0,

经过化简得到:(3-x20)k2+2x0y0k+1-y20=0

因为x20+y20=4,所以有(3-x20)k2+2x0y0k+(x20-3)=0,

设l1,l2的斜率分别为k1,k2,因为l1,l2与椭圆都只有一个公共点,

所以k1,k2满足方程(3-x20)k2+2x0y0k+(x20-3)=0,

因而k1·k2=-1,即直线l1,l2的斜率之积是为定值-1.

牛刀小试

1.已知过P12,1的直线l与圆C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,当∠ACD最小时,直线l的方程为.

2.已知中心在坐标原开头语:“直线与圆的方程”和“圆锥曲线”,是江苏高考数学学科的必考内容,也是非常重要的内容。自2008年江苏高考以来,每年高考试卷中,它们都会出现,所占的分值多则21分,少则15分,应该说对于整个数学学科的总分高低,起着关键的作用。

【背景材料】

2008~2012年江苏高考试卷,在此就不详细进行试题列举

【例1】(08江苏)在平面直角坐标系xOy中,椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2c,以O为圆心,a为半径作圆M,若过Pa2c,0作圆M的两条切线相互垂直,则椭圆的离心率为.

解析设切线PA、PB 互相垂直,又半径OA 垂直于PA,所以△OAP是等腰直角三角形,故a2c=2a,解得e=ca=22.

【例2】(09江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,A1,A2,B1,B2为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的四个顶点,F为其右焦点,直线A1B2与直线B1F相交于点T,线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点,则该椭圆的离心率为.

解析直线A1B2的方程为:x-a+yb=1;

直线B1F的方程为:xc+y-b=1。二者联立解得:T2aca-c,b(a+c)a-c,

则Maca-c,b(a+c)2(a-c)在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上,

c2(a-c)2+(a+c)24(a-c)2=1,c2+10ac-3a2=0,e2+10e-3=0,

解得:e=27-5

【例3】(10江苏)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x24-y212=1上一点M,点M的横坐标是3,则M到双曲线右焦点的距离是 .

解析MFd=e=42=2,d为点M到右准线x=1的距离,d=2,MF=4,

【例4】(10江苏)在平面直角坐标系xOy中,如图,已知椭圆x29+y25=1的左、右顶点为A、B,右焦点为F.设过点T(t,m)的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(x1,y1)、N(x2,y2),其中m>0,y1>0,y2  (1) 设动点P满足PF2-PB2=4,求点P的轨迹;

(2) 设x1=2,x2=13,求点T的坐标;

(3) 设t=9,求证:直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关).

解析(1) 设点P(x,y),则:F(2,0)、B(3,0)、A(-3,0).

由PF2-PB2=4,得(x-2)2+y2-[(x-3)2+y2]=4,化简得x=92.

故所求点P的轨迹为直线x=92.

(2) 将x1=2,x2=13分别代入椭圆方程,以及y1>0,y2  直线TA方程为:y-053-0=x+32+3,

即y=13x+1,

直线TB 方程为:y-0-209-0=x-313-3,

即y=56x-52.

联立方程组,解得:x=7,

y=103,

所以点T的坐标为7,103.

(3) 点T的坐标为(9,m)

直线TA方程为:y-0m-0=x+39+3,

即y=m12(x+3),

直线TB 方程为:y-0m-0=x-39-3,

即y=m6(x-3).

分别与椭圆x29+y25=1联立方程组,同时考虑到x1≠-3,x2≠3,

解得:M3(80-m2)80+m2,40m80+m2、

N3(m2-20)20+m2,-20m20+m2.

(方法一)当x1≠x2时,直线MN方程为:y+20m20+m240m80+m2+20m20+m2=x-3(m2-20)20+m23(80-m2)80+m2-3(m2-20)20+m2

令y=0,解得:x=1。此时必过点D(1,0);

当x1=x2时,直线MN方程为:x=1,与x轴交点为D(1,0).

所以直线MN必过x轴上的一定点D(1,0).

(方法二)若x1=x2,则由240-3m280+m2=3m2-6020+m2及m>0,得m=210,

此时直线MN的方程为x=1,过点D(1,0)。

若x1≠x2,则m≠210,直线MD的斜率kMD=40m80+m2240-3m280+m2-1=10m40-m2,直线ND的斜率kND=-20m20+m23m2-6020+m2-1=10m40-m2,得kMD=kND,所以直线MN过D点.

因此,直线MN必过x轴上的点(1,0).

【例5】(12江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).已知(1,e)和e,32都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率.

(1) 求椭圆的方程;

(2) 设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线AF1与直线BF2平行,AF2与BF1交于点P.

(i) 若AF1-BF2=62,求直线AF1的斜率;

(ii) 求证:PF1+PF2是定值.

解析(1) 由题设知,a2=b2+c2,e=ca,由点(1,e)在椭圆上,得

12a2+e2b2=11a2+c2a2b2=1b2+c2=a2b2a2=a2b2b2=1,∴c2=a2-1.

由点e,32在椭圆上,得

e2a2+322b2=1c2a4+3221=1a2-1a4+34=1a4-4a2+4=0a2=2

∴椭圆的方程为x22+y2=1.

(2) 由(1)得F1(-1,0),F2(1,0),

又∵AF1∥BF2,   ∴设AF1、BF2的方程分别为my=x+1,my=x-1,A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2>0.

∴x212+y21=1

my1=x1+1(m2+2)y21-2my1-1=0y1=m+2m2+2m2+2.

∴AF1=(x1+1)2+(y1-0)2

=(my1)2+y21

=m2+1·m+2m2+2m2+2

=2(m2+1)+mm2+1m2+2①

同理,BF2=2(m2+1)-mm2+1m2+2②

(i) 由①②得,AF1-BF2=2mm2+1m2+2.

解2mm2+1m2+2=62得m2=2.

∵注意到m>0,∴m=2.∴直线AF1的斜率为1m=22.

(ii) 证明:∵AF1∥BF2,∴PBPF1=BF2AF1,即PBPF1+1=BF2AF1+1PB+PF1PF1=BF2+AF1AF1.∴PF1=AF1AF1+BF2BF1.

由点B在椭圆上知,BF1+BF2=22,∴PF1=AF1AF1+BF222-BF2.

同理PF2=BF2AF1+BF222-AF1.

∴PF1+PF2=AF1AF1+BF222-BF2+BF2AF1+BF222-AF1=22-2AF1·BF2AF1+BF2

由①②得,AF1+BF2=22(m2+1)m2+2,

AF1·BF2=m2+1m2+2,∴PF1+PF2=22-22=322.

∴PF1+PF1是定值.

【命题分析】

“直线与方程”和“圆锥曲线”的内容在填空题与解答题中均有可能出现。如果在填空题中,基本上都是较为简单的有关基本概念的考查,比如说:弦长的计算,离心率,长轴,短轴,圆锥曲线的第二定义等等,难度不会太大;如果在解答题中出现,则较可能是作为难题,或者说是压轴题。而近几年,解答题中考查的内容,更多的出现了有关圆锥曲线里的定值问题。2010年,2012年都考到了。也许这种问题会成为考查的热点问题。下面,我们就再举一个例子来看看定值问题的求解。

【试题设计】给定椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),称圆心在坐标原点O,半径为a2+b2的圆是椭圆C的“伴随圆”. 若椭圆C的一个焦点为F2(2,0),其短轴上的一个端点到F2距离为3.

(1) 求椭圆C及其“伴随圆”的方程;

(2) 若过点P(0,m)(m  (3) 过椭圆C“伴随圆”上一动点Q作直线l1,l2,使得l1,l2与椭圆C都只有一个公共点,试判断直线l1,l2的斜率之积是否为定值,并说明理由.

解析(1) 由题意得:a=3,半焦距c=2,

则b=1,椭圆C方程为x23+y2=1,

“伴随圆”方程为x2+y2=4。

(2) 则设过点P且与椭圆有一个交点的直线为:y=kx+m,

则y=kx+m,

x23+y2=1,整理得(1+3k2)x2+6kmx+(3m2-3)=0,

所以Δ=(6km)2-4(1+3k2)(3m2-3)=0,解3k2+1=m2①

又因为直线截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为22,

则有222-|m|k2+12=22,化简得m2=2(k2+1)②

联立①②解得,k2=1,m2=4,

所以k=±1,m=-2(∵m  (3) 当l1,l2都有斜率时,设点Q(x0,y0),其中x20+y20=4,

设经过点Q(x0,y0)与椭圆只有一个公共点的直线为y=k(x-x0)+y0,

由y=kx+(y0-kx0),

x23+y2=1,消去y得到x2+3[kx+(y0-kx0)]2-3=0

即(1+3k2)x2+6k(y0-kx0)x+3(y0-kx0)2-3=0,

Δ=[6k(y0-kx0)]2-4·(1+3k2)[3(y0-kx0)2-3]=0,

经过化简得到:(3-x20)k2+2x0y0k+1-y20=0

因为x20+y20=4,所以有(3-x20)k2+2x0y0k+(x20-3)=0,

设l1,l2的斜率分别为k1,k2,因为l1,l2与椭圆都只有一个公共点,

所以k1,k2满足方程(3-x20)k2+2x0y0k+(x20-3)=0,

因而k1·k2=-1,即直线l1,l2的斜率之积是为定值-1.

牛刀小试

1.已知过P12,1的直线l与圆C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,当∠ACD最小时,直线l的方程为.

2.已知中心在坐标原

范文七:圆锥曲线来自何方

求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题,高考试题多将其作为解答题的第一问,常用方法有直接法,定义法,代入法,参数法等。但在客观题中,出现对动点轨迹的考察通常与立体几何的知识相结合,需要考生运用空间想象力,根据图形特点,运用逻辑推理,转化成动点满足的条件。不一定非要得到轨迹方程,只要能判断出轨迹即可。

例1.(2010重庆)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是( )

A 直线 B椭圆

C抛物线 D双曲线

分析:如图,异面直线L1、L2的公垂线段为MN,作PA⊥L1于A,作PB⊥L2于B,且PA=PB,如图建系,设P(x,y),则x2+y2=q2,即y2-x2=q2,故点P的轨迹为双曲线。

变式:如右图,在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面ABB1A1内,有一动点P到直线AA1和BC的距离相等,则动点P的轨迹是( )

A 线段

B椭圆的一部分

C 双曲线的一部分

D 抛物线的一部分

分析:因为点P到直线BC的距离就是PB间的距离,所以,|PB|=点P到直线AA1的距离。由抛物线的定义知点P的轨迹是抛物线。

例2.(2008浙江)如右图,AB是平面α的斜线段,A为斜足,点P在平面α内运动,并使得△ABP的面积为定值,则点P的轨迹是( )

A 圆 B椭圆

C 一条直线

D 两条平行线

分析: ∵△ABP的面积是定值∴P到AB的距离是定值∴P在以AB轴的圆柱面上,又平面α与圆柱斜交∴截面是椭圆,即点P的轨迹是椭圆。

变式:如右图,平面ABC⊥平面α,D为AB的中点,AB的长度等于2,∠CDB=60°,P为平面α内的动点,且P到直线CD的距离为■,则∠APB的最大值是( )

A 30° B 60°

C 90° D 120°

分析:由例2知,点P的轨迹是椭圆,长轴长为4,短轴长为2■∴∠APB的最大值为60°。

例3.如右图,△PAB所在的平面α和四边形ABCD所在的平面β垂直,且AD⊥α,BC⊥α,AD=4,BC=8,AB=6,∠APD=∠CPB,则点P在平面α内的轨迹是( )

A 圆的一部分

B 椭圆的一部分

C 双曲线的一部分

D 抛物线的一部分

分析:∵∠APD=∠CPB,∴tan∠APD=tan∠CPB,

∴■=■∴BP=2AP,依据圆的第二定义知:点P的轨迹是圆。

例4.P为四面体SABC的侧面SBC内一点,若动点P到底面ABC的距离与到点S的距离相等,则动点P的轨迹是侧面SBC内的(    )

A 线段或圆的一部分

B 椭圆或双曲线的一部分

C 双曲线或抛物线的一部分

D 椭圆或抛物线的一部分

分析:(1)当面SBC⊥面ABC时,P到面ABC的距离=P到BC的距离∴|PS|=P到BC的距离∴点P的轨迹是抛物线的一部分。

(2)当面SBC与面ABC不垂直时,如右图,过P作PH⊥面ABC于H,连结SP并延长,交BC于Q,连结HQ。

∵PH=PQsin∠PQH=PS

∴■=sin∠PQH<1

∴点P的轨迹是椭圆的一部分

判断动点的轨迹是高中数学的一个重要问题,本文着重介绍了选择题这一题型及处理问题的解题技巧,希望能给读者带来解决此类问题新的思路。

范文八:圆锥曲线的切线方程的探究

运用联想探究圆锥曲线的切线方程

甘肃省陇西县第二中学

张 红 霞

我们把“由某人或某事想起其他的人或事,由某概念引起其他相关的概念”称之为联想。联想是一种心理活动,也是一种思维过程。联想是认知事物、探求知识的一种不可缺少的方法和途径。联想用之于数学研究,效果亦佳。

现行人教版统编教材高中数学第二册上、第75页例题2,给出了经过圆x2y2r2上一点M(x0,y0)的切线方程为x0xy0yr2;当M(x0,y0)在圆外时,过M点引切线有且只有两条,过两切点的弦所在直线方程为x0xy0yr2,那么,在圆锥曲线中,又将如何?我们不妨进行几个联想。

联想一:(1)过椭圆x0xa

2

xa

22

yb

22

1(ab0)上一点M(x0,y0)切线方程为

xa

22

y0yb

2

(2)当M(x0,y0)在椭圆1;

x0xa

2

yb

22

过M引切线有两条,1的外部时,

过两切点的弦所在直线方程为:

xa

22

y0yb

2

1

2xa

2

证明:(1)

yb

22

1的两边对x求导,得

2yyb

2

0,得y

xx0



bx0ay0

2

2

,由

点斜式得切线方程为yy0

xa

22

bx0ay0

2

2

(xx0),即

x0xa

2

y0yb

2

x0a

2

2

y0b

2

2

1 。

(2)设过椭圆

yb

22

1(ab0)外一点M(x0,y0)引两条切线,切点分别

xxyy为A(x1,y1)、B(x2,y2)。由(1)可知过A、B12121、

abx1x0y1y0x2xy2y

M(x,y)。又因是两条切线的交点,所以有11、002222

ababx2x0y2y0

1。观察以上两个等式,发现A(x1,y1)、B(x2,y2)满足直线22

abx0xy0yx0xy0y

AB11。 ,所以过两切点、两点的直线方程为2222

abab

22xy

评注:因M(x0,y0)在椭圆221(ab0)上的位置(在椭圆上或椭圆

ab

xxyy

外)的不同,同一方程02021表示直线的几何意义亦不同。

ab

22xy

联想二:(1)过双曲线221(a0,b0)上一点M(x0,y0)切线方程为

ab

22

x0xy0yxy

21;(2)当M(x0,y0)在双曲线221的外部时,过M引切线有两2

abab

xxyy

条,过两切点的弦所在直线方程为:02021。(证明同上)

ab

联想三:(1)过圆锥曲线Ax2Cy2DxEyF0(A,C不全为零)上的点

M(x0,y0)的切线方程为Ax0xCy0yD

2

2

xx0

2

E

yy0

2

F0;(2)当

C不全为零)的外部时,过MM(x0,y0)在圆锥曲线AxCyDxEyF0(A,引切线有两条,过两切点的弦所在直线方程为:Ax0xCy0yD

证明:(1)两边对x求导,得2Ax2CyyDEy0

2Ax0D2Cy0E

xx0

2

E

yy0

2

F0

得y

xx0



,由点斜式得切线方程为yy0

2Ax0D2Cy0E

(xx0)

化简得2Cy0y2Cy02EyEy02Ax0xDx2Ax02Dx00………………….① 因为Ax02Cy02Dx0Ey0F0………………………………………………… ② 由(1)-(2)×2得所求得切线方程为:Ax0xCy0yD

(2)同联想一(2)可证。结论亦成立。

根据前面的特点和圆上点的切线方程,得到规律:过曲线上的点M(x0,y0)的切线方程为:把原方程中的x2用x0x代,y2用y0y代若原方程中含有x或y的一次项,把x用

xx0

2

xx0

2

E

yy0

2

F0

代,y用

yy0

2xx0

2

代,得到的方程即为过该点的切线方程。当点M(x0,y0)在曲线

外部时,过M引切线有两条,过两切点的弦所在直线方程为:

Ax0xCy0yD

E

yy0

2

F0

通过以上联想可得出以下几个推论:

2推论1:(1)过抛物线y2px(p0)上一点M(x0,y0)切线方程为

y0yp(xx0);(2)过抛物线y

2

2px(p0)的外部一点M(x0,y0)引两条切

线,过两切点的弦所在直线方程为:y0yp(xx0)

2推论2:(1)过抛物线y2px(p0)上一点M(x0,y0)切线方程为

y0yp(xx0);(2)过抛物线y

2

2px(p0)的外部一点M(x0,y0)引两条

切线,过两切点的弦所在直线方程为:y0yp(xx0)。

2推论3:(1)过抛物线x2py(p0)上一点M(x0,y0)切线方程为

x0xp(yy0);(2)过抛物线x

2

2py(p0)的外部一点M(x0,y0)引两条

切线,过两切点的弦所在直线方程为:x0xp(yy0)。

2推论4:(1)过抛物线x2py(p0)上一点M(x0,y0)切线方程为

x0xp(yy0);(2)过抛物线x

2

2py(p0)的外部一点M(x0,y0)引两条

切线,过两切点的弦所在直线方程为:x0xp(yy0)。

在以上的研究中,我们成功的运用了联想,由过已知圆上和圆外的点的切线方程联想到过圆锥曲线上和圆锥曲线外的切线方程,触类旁通,使知识更趋于系统化,取得了事半功倍的效果。

范文九:圆锥曲线方程-抛物线

抛物线

1. 定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线。点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线。 2. 标准方程

坐标系:使坐标轴经过点F且垂直于直线l于K,并使原点与线段KF的中点重合。 设|KF|=p(p>0),则抛物线的标准方程及焦点坐标、准线方程如下表:

3. 几何性质

2

以抛物线y=2px(p>0)为例。

(1)范围。x≥0,|y|随x增大而增大,但无渐近线。 (2)对称性。关于x轴对称。(对称轴与准线垂直) (3)顶点。对称轴与抛物线的交点。

(4)离心率。同椭圆、双曲线离心率定义。e=1(注e与抛物线开口大小无关,开口大小由p值确定,画特征草图时,先画出通径(2p)过焦点且与对称轴垂直的弦)。 4. 几个重要的解析结果:

(1)平行抛物线对称轴的直线和抛物线只有一个交点。

(2)焦点弦两端点的纵坐标乘积为常数即y1y2=-p(p>0) (3)焦半径公式:|MF|

xM

p2

2

(4)焦点弦长公式:|AB|=x1+x2+p(x1、x2分别为A、B的横坐标)或

|AB|

2psin

2

(为AB的倾斜角),由此知,通径长为焦点弦长的最小值:2p

1、 (四川卷文3)抛物线y28x的焦点到准线的距离是( )

A. 1 B.2 C.4 D.8

2、 (湖南卷文5)设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是( )

A.4 B.6 C.8 D.12

3、 (辽宁卷理7文7)设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.如果直线AF

的斜率为,那么|PF|=( )

A

. B.8 C

. D.16

4、 (陕西卷理8文9) 已知抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x70相切,则p的值为( )

A.

12

B.1 C.2 D.4

5、 (山东卷文9)已知抛物线y22px(p0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A、B两点,若线段

AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( )

A.x1 B.x1 C.x2 D.x2

6、 (上海春卷17)“k0”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”已知抛物线C:y2x与直线l:ykx1,的( )

A.充分不必要条件 C.充要条件

7.(2010·福建高考理科·T2)以抛物线y24x的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) A.xy2x0 B.xyx0 C.yx0 D.xy2x0

8.(2007宁夏海南文7)已知抛物线y22px(p0)的焦点为F,点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P3(x3,y3)在抛物线上,且2x2x1x3,则有 ( )

A.FP1FP2FP3 B.FP1FP2FP3 C.2FP2FP1FP3 D.FP2FP1FP3

22

2

2

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

2222

2222

9..(2009天津9)设抛物线y2=2x的焦点为F,过点M

0)的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交于C,BF=2,则BCF与ACF的成面积之比

4547

2312

SBCFSACF

=

(A)(C)

(B)(D)

AF(O10(.2009山东文10)设斜率为2的直线l过抛物线yax(a0)的焦点F,且和y轴交于点A,若O

2

为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为

(A)y24 (C)y24x

(B)y28x (D)y28x

11.(2007广东文11)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线关于x轴对称,顶点在原点O,且过点P(2,4), 则该抛物线的方程是 .

12.(2008上海文6)若直线ax-y+1=0经过抛物线y24x的焦点,则13.(2009上海春5)抛物线y2x的准线方程是

14.(2009福建理13)过抛物线y2px(p0)的焦点F作倾斜角为450的直线交抛物线于A、B两点,线段AB的长为8,则p .

2

15.(2009上海文9)过点A(1,0)作倾斜角为4的直线,与抛物线y2x交于M、N两点,则MN

2

16.(2009海南宁夏文14)已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点在x轴上,直线yx与抛物线C交于A,B两点,若P(2,2)为AB的中点,则抛物线C的方程为 .

17.(2010·安徽高考文科·T12)抛物线y8x的焦点坐标是

2

18.(2010·湖南高考理科·T4)过抛物线x2py(p>0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A,B两点,A,B在x轴上的正射影分别为D,C.若梯形ABCD

的面积为p .

19.(上海卷理3文8)动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x20的距离相等,则P的轨迹方程为 。 20.(浙江卷理13)设抛物线y22px(p0)的焦点为F,点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上,则B到该抛物线准线的距离为_____________

2

21.(重庆卷文13)已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点,|AF|=2,则|BF|= 。



22.(重庆卷理14)已知以F为焦点的抛物线y24x上的两点A、B满足AF3FB,则弦AB的中点到准线

的距离为__________.

23.(全国Ⅱ卷理15文15)已知抛物线C:y22px(p>0)的准线为l,过M

(1,0)的直线与l相交于点A,与C的一个交点为B.若AMMB,则p.

0)的距离小1,则点P的轨迹为 24、(2008北京理4)若点P到直线x1的距离比它到点(2,





25、(2008海南卷11)已知点P在抛物线y24x上,那么点P到点Q(2,1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为

26、(2008辽宁卷10)已知点P是抛物线y22x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为

2

27、(2008四川卷12)已知抛物线C:y8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在C

上且

AKA,则AFK的面积为

28.(2010·福建高考文科·T19)已知抛物线C:y22px(p0)过点A (1 , -2).

(I)求抛物线C 的方程,并求其准线方程;

(II)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线L,使得直线L与抛物线C有公共点,且直线OA与L的

距离等于

5

?若存在,求直线L的方程;若不存在,说明理由.

29.(2010·浙江高考文科·T22)已知m是非零实数,抛物线C:y2px(p>0)的焦点F在直线

m2

2

2

l:xmy

0上.

(I)若m=2,求抛物线C的方程;

(II)设直线l与抛物线C交于A、B,△AA1F,△BB1F的重心分别为G,H

求证:对任意非零实数m,抛物线C的准线与x轴的交点在以线段GH为直径的圆外

.

1-5:CBBCB 6-10: BDCAB

11.y²=8x 12.-1 13.x= -1/4 14.2 15.26 16.y²=4x 17.(2,0) 18.2 19.y²=8x 20.32/4 21.2 22.8/3 23.2 24.y²=8x 25.(1/4, -1) 26.17/2 27.8

228、【规范解答】(I)将1,2代入y2px,得22p1,p2

2

故所求的抛物线方程为y24x,其准线方程为x1;

y24x(II)假设存在符合题意的直线l,其方程为y2xt,由得y22y2t0,因为直线l与抛

y2xt

物线C有公共点,所以48t0,解得t

12

。另一方面,由直线OA与直线l

的距离等于

5

可得

1

,t1,由于1,,152

1

,,,所以符合题意的直线l存在,其方程为2

y2x1.

【方法技巧】在求解直线与圆锥曲线的位置关系中的相交弦问题时,我们一定要注意判别式的限制.因为抛物与直线有交点,注意应用0进行验证可避免增根也可以用来限制参数的范围. 29.【规范解答】(Ⅰ)因为焦点F(

P2

,0)在直线l上,得pm

2

2

又m=2,故p4.所以抛物线C的方程为y8x.

2

m

,xmy234

(2)设A(x1,y1) , B(x2,y2),由2消去x,得y-2my-m=0,

y22m2x,

由于m≠0,故=4m+4m>0,且有y1+y2=2m,y1y2=-m,



设M1,M2分别为线段AA1,BB1的中点,由于2m1GGF,2M2HHF

6434

可知G(

x12y1x2y,),H(2,2), 3333

所以

x1x2

6

m(y1y2)m

6

2

m3

4

m6

2

,

2y12y2

6

2m3

3

,

m4m22m2

,所以GH的中点M为. 363

设R是以线段GH为直径的圆的半径,则R

m

2

2

14

|GH|

2

19

(m4)(m1)m

222

3

m2m4m22m2

) 设抛物线的准线与x轴交点N(,0),则|MN|(23632

2

19

m

4

m

4

8m4

2

19

m[m1m43m]>

4

2

2

2

19

m

4

m

2

1m4R.

2

2

故N在以线段GH为直径的圆外.

范文十:圆锥曲线的切线方程的推导

圆锥曲线的切线方程的推导 x2y2

1.若点P(x0,y0)是椭圆221上任一点,则椭圆过该点的切线方程为:ab

x0xy0y21。 2ab

x2y2x222证明:由212yb(12)……① aba

1°当xa时,过点P的切线斜率k一定存在,且ky'|xx0 2b2

∴对①式求导:2yy'2x0, a

2b2x0bx∴ky'|xx02∴切线方程为yy020(xx0)…………② ay0ay0

x2y2

∵点P(x0,y0)在椭圆221上, ab

22x0xy0yx0y0故 221 代入②得221…………③ abab

而当xa时,y00 切线方程为xa,也满足③式 x0xy0y故221是椭圆过点P(x0,y0)的切线方程. ab

x2y2

2. 若点P(x0,y0)是双曲线221上任一点,则双曲线过该点的切线方程为:ab

x0xy0y21。 2ab

2y2x222x证明:由221yb(21)……① aba

1°当xa时,过点P的切线斜率k一定存在,且ky'|xx

20 bx02b2ky'|∴对①式求导:2yy'2x0∴ xx0a2y0a

b2x0∴切线方程为yy02(xx0)…………② ay0

22x0xy0yx0y0x2y2

∵点P(x0,y0)在双曲线221上,故221 代入②得221…③ ababab

而当xa时,y00,切线方程为xa,也满足③式. 1 / 2

故x0xy0y21是双曲线过点P(x0,y0)的切线方程. 2ab

3.若点P(x0,y0)是抛物线y22px上任一点,则抛物线过该点的切线方程是

p。 y0y0yp(xx0) 证明:由y22px,对x求导得:2yy'2pky'|xx0

当y00时,切线方程为yyp(xx0) y0

22即y0yy02px0y0yp(xx0)………………① pxpx0,而y0

而当y00,x00时,切线方程为x00也满足①式。故抛物线在该点的切线方程是y0yp(xx0).

2 / 2