圆锥曲线方程

圆锥曲线方程

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范文一:圆锥曲线方程

圆锥曲线方程

一、椭圆方程.

1. 椭圆方程的第一定义:

PF1PF22aF1F2方程为椭圆,PF1PF22aF1F2无轨迹,

PF1PF22aF1F2F1,F2为端点的线段

2、椭圆的标准方程:

x2

中心在原点,焦点在x轴上:a

2

y2b2

y2

1(ab0)

x2b2

.

.

x2

y2b

2

2

ii. 中心在原点,焦点在y轴上:a

1(ab0)

22AxBy1(A0,B0).③椭圆的标准参数方程:a2

3、椭圆的一般方程:

1

的参数方

xacos0ybsin2). 程为(一象限应是属于

4、椭圆的特点

①顶点:(a,0)(0,b)或(0,a)(b,0).

②轴:对称轴:x轴,y轴;长轴长2a,短轴长2b. ③焦点:(c,0)(c,0)或(0,c)(0,c). ④焦距:

F1F22c,ca2b2

.

a2a2

xy

cc. ⑤准线:或

e

c

(0e1)a.

d

2b2a2

2b2

(c,)(c,b)

a和a

⑥离心率:

⑦通径:垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标:二、双曲线方程.

1. 双曲线的第一定义:

PF1PF22aF1F2方程为双曲线PF1PF22aF1F2无轨迹

PF1PF22aF1F2F1,F2的一个端点的一条射线

2.双曲线标准方程:

x2a2

y2b2

1(a,b0),

y2a2

x2b2

1(a,b0)

.

3.双曲线的一般方程: Ax2Cy21(AC0).

4.双曲线的特点 ①i. 焦点在x轴上:

xya2

0x

(a,0),(a,0)(c,0),(c,0)abc顶点: 焦点: 准线方程 渐近线方程:或

x2a

2

b x,y②轴为对称轴,实轴长为2a, 虚轴长为2b,焦距2c.

y2

2

0

③离心率

e

c

a.

2a22b2

④准线距c(两准线的距离);通径a.

x2y2c21cab,e2

aba⑤参数关系. ⑥焦点半径公式:对于双曲线方程(F1,F2分别为

2

2

2

双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)

222

xya5.等轴双曲线:双曲线称为等轴双曲线,其渐近线方程为yx,离心率e.

x2

2

6.共渐近线的双曲线系方程:a

y2b2

(0)

x2

2

的渐近线方程为a

y20

x2y2xy2(0)02

b渐近线为ab时,它的双曲线方程可设为a.

11

yxp(3,)

2且过2例如:若双曲线一条渐近线为

x2y21x221(3,)y(0)

8224解:令双曲线的方程为:,代入得7.直线与双曲线的位置关系:

区域①:无切线,2条与渐近线平行的直线,合计2条;

区域②:即定点在双曲线上,1条切线,2条与渐近线平行的直线,合计3条; 区域③:2条切线,2条与渐近线平行的直线,合计4条;

区域④:即定点在渐近线上且非原点,1条切线,1条与渐近线平行的直线,合计2条; 区域⑤:即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线.

小结:过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.

“”若直线与双曲线一支有交点,交点为二个时,求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.

三、抛物线方程.

1. 设p0,抛物线的标准方程、类型及其几何性质:

PFx

P

2

2

PFy

P2

②y2px(p0)则焦点半径;x2py(p0)则焦点半径为③通径为2p,这是过焦点的所有弦中最短的.

2

.

x2pt2x2pt22

y2pty2pt2y2pxx2py④(或)的参数方程为(或)(t为参数).

四、圆锥曲线的统一定义..

范文二:圆锥曲线与方程

第二章 圆锥曲线与方程

第Ⅰ卷(选择题,共50分)

一、选择题本题共有10个小题,每小题5分;在每小题给出的四个选项中,只有一项是

符合题目要求的,把正确选项的代号填在试卷指定的位置上。

1.椭圆x2my21的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m的值为( )

A.

14

xa

22

B.

yb

22

12

C. 2

2

D.4

xa

22

2. 若椭圆1(ab

0)的离心率是,则双曲线

yb

22

1的离心率是

( ) A.

54

x

2

B.

y

2

2

C.

l方程为y



3253

D.

x,则双曲线焦点

4

3.若双曲线

9m

1的渐近线F到渐近线

l的距离为

A.2

B.

C.5

D.25

4、直线yxb与抛物线x22y交于A、B两点,O为坐标原点,且OAOB,则b( )

A.2

B.2 C.1 D.1

5、若直线l过点(3,0)与双曲线4x29y236只有一个公共点,则这样的直线有( )

A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

6、已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(7,0),直线yx1与其交于M、N

两点,MN 中点的横坐标为

x

2

23

,则此双曲线的方程是( )

x

2

A.

3

y

2

4

1 B.

x

2

4

y

2

3

xa

22

1 C.

yb

22

5

y

2

2

1 D.

x

2

2

y

2

5

1

7、设离心率为e的双曲线C:1(a0,b0)的右焦点为F,直线l过

点F且斜率为k,则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是

( )

A.k2e1

2 B. k2

54

e1

2C.e2

54

k1

2 D.e2k1

2

(实验班)已知定点M(1,)、N(4,),给出下列曲线方程: ① 4x+2y-1=0 ②xy3

2

2

x

2

2

y

2

1

④有

x

2

2

y

2

1在曲线上存在点P

满足

MPNP

的所曲线方程是

( )

(A)①③ (B)②④ (C)①②③ (D)②③④ 8、双曲线两条渐近线的夹角为60º,该双曲线的离心率为( ) A.

23

3

或2 B.

23

3

或2 C.3或2 D.3或2

9、若不论k为何值,直线yk(x2)b与曲线x2y21总有公共点,则b的取值范围是( )

C.(2,2) D.2,2 A.(

B.10、椭圆

x

2

25

y

2

9

则ON等1上一点M到焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,

于( )

A.2 B.4 C.6 D.

32

x2y2

(实验班做)如图,双曲线-=1的左焦点为F1,顶点为A1,A2,P是双曲

ab

线上任意一点,则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆位置关系为( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.以上情况都有可能

第 Ⅱ 卷 (非选择题 共70分)

注意事项:

⒈ 第Ⅱ卷共4页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.⒉ 答卷前将密封线内的项目填写清楚.

20分) 11.抛物线xay2(a0)的焦点坐标是; 12. 椭圆

x

2

6

y

2

2

1和双曲线

x

2

3

y1的公共点为F1,F2,P是两曲线的一个交点, 那

2

么cosF1PF2的值是__________________。

13. 椭圆的焦点为F1、F2,过点F1作直线与椭圆相交,被椭圆截得的最短的线段MN长为

325

,MF2N的周长为20,则椭圆的离心率为 __________

xa

22

(实验班做)双曲线

yb

22

1(a,b0)和直线y2x有交点,则它的离心率的

取值范围是______________ 14.若焦点在x

轴上的椭圆

x

2

45

yb

22

1上有一点,使它与两焦点的连线互相垂直,

则正数b的取值范围是_______________

三、解答题(本大题4小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(12分) 已知椭圆的中心在原点,焦点为F1(0,22),F2(0,22),且离心率e

223

(I)求椭圆的方程;

(II)直线l(与坐标轴不平行)与椭圆交于不同的两点A、B,且线段AB中点的横坐标为

12

,求直线l倾斜角的取值范围。

16. (12分)已知动点P与平面上两定点A(0),B0)连线的斜率的积为

定值

12

.

(Ⅰ)试求动点P的轨迹方程C.

(Ⅱ)设直线l:ykx1与曲线C交于M、N两点,当|MN|=

423

时,求直线l

的方程.

(实验班做)已知向量m1=(0,x),n1=(1,1),m2=(x,0),n2=(y2,1)(其

中x,y是实数), 又设向量m=m1+2n2,n=m2-2n1,且m//n,点P(x,y)的轨迹为曲线C. (Ⅰ)求曲线C的方程;

(Ⅱ)设直线l:ykx1与曲线C交于M、N两点,当|MN|=的方程.

17. (13分)已知椭圆

xa

22

423

时,求直线l

yb

22

(a>b>0)的离心率e

32

63

,过点A(0,-b)和

B(a,0)的直线与原点的距离为

(1)求椭圆的方程.

(2)已知定点E(-1,0),若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C、D两点.问:是否存在k的值,使以CD为直径的圆过E点?请说明理由.

18. (13分) 设双曲线C:

xa

22

yb

22

1(a>0,b>0)的离心率为e,若准

线l与两条渐近线相交于P、Q两点,F为右焦点,△FPQ为等边三角形. (1)求双曲线C的离心率e的值;

(2)若双曲线C被直线y=ax+b截得的弦长为

bea

2

2

,求双曲线c的方

范文三:圆锥曲线方程

圆锥曲线方程

考试内容:

椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质. 考试要求:

(1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,了解椭圆的参数方程. (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. (4)了解圆锥曲线的初步应用. §08.

圆锥曲线方程 知识要点

一、椭圆方程.

1. 椭圆方程的第一定义:

PF1PF22aF1F2方程为椭圆,PF1PF22aF1F2无轨迹,

PF1PF22aF1F2F1,F2为端点的线段

⑴①椭圆的标准方程:

i. 中心在原点,焦点在x轴上:

y2a

2

x2a2

y2b2

1(ab0). ii. 中心在原点,焦点在y轴上:

x2b

2

1(ab0).

2

②一般方程:AxBy1(A0,B0).③椭圆的标准参数方程:

2

x2a

2

y2b

2

1的参数方程为

xacos

(一象限应是属于0). 

2ybsin

⑵①顶点:(a,0)(0,b)或(0,a)(b,0).②轴:对称轴:x轴,y轴;长轴长2a,短轴长2b.③

焦点:(c,0)(c,0)或(0,c)(0,c).④焦距:F1F22c,cabca2

.⑥离心率:e(0e1).⑦焦点半径: y

ac

22

a2

.⑤准线:x或

c

i. 设P(x0,y0)为椭圆

x2a

2

y2b

2

PF1a1(ab0)上的一点,F1,F2 ex0,PF2aex0

由椭圆方程的第二定义可以推出. ii.设P(x0,y0)为椭圆

x2b

2

y2a

2

PF1 aey0,PF2aey01(ab0)上的一点,F1,F2由椭圆方程的第二定义可以推出.

由椭圆第二定义可知:pF1e(x0a)aex0(x00),pF2e(ax0)ex0a(x00)归结起来为

c

c

2

2

“左加右减”.

注意:椭圆参数方程的推导:得N(acos,bsin)方程的轨迹为椭圆. ⑧通径:垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标:d

2b2a2

b2b2(c,)和(c,)

aa

⑶共离心率的椭圆系的方程:椭圆程

x2a2

y2b2

x2a2

y2b2

1(ab0)的离心率是e

c

(ca2b2),方a

t(t是大于0的参数,ab0)的离心率也是e

c

我们称此方程为共离心率的a

椭圆系方程. ⑸若P是椭圆:b2tan

x2a2

y2b2

1上的点.F1,F2为焦点,若F1PF2,则PF1F2的面积为

2

(用余弦定理与PF1PF22a可得). 若是双曲线,则面积为b2cot

2

.

二、双曲线方程.

1. 双曲线的第一定义:

PF1PF22aF1F2方程为双曲线PF1PF22aF1F2无轨迹

),asin)

PF1PF22aF1F2F1,F2的一个端点的一条射线

⑴①双曲线标准方程:Ax2Cy21(AC0).

x2a

2

y2b

2

1(a,b0),

y2a

2

x2b

2

1(a,b0). 一般方程:

⑵①i. 焦点在x轴上:

xya2

顶点:(a,0),(a,0) 焦点:(c,0),(c,0) 准线方程x 渐近线方程:0或

abc

x2a

2

y2b

2

0

a2

ii. 焦点在y轴上:顶点:(0,a),(0,a). 焦点:(0,c),(0,c). 准线方程:y. 渐近线

c

xasecxbtany2x2yx

方程:0或220,参数方程:或 .

ababybtanyasec

c2a2

②轴x,y为对称轴,实轴长为2a, 虚轴长为2b,焦距2c. ③离心率e. ④准线距

ac

c2b2

(两准线的距离);通径. ⑤参数关系c2a2b2,e. ⑥焦点半径公式:对于双曲

aa

线方程

x2a2

y2b2

1(F1,F2分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)

“长加短减”原则: MF1ex0aMF2ex0a

构成满足MF1MF22a

MF1ex0aMF2ex0a

(与椭圆焦半径不同,椭圆焦半

MF1ey0aMF2ey0a

MF1ey0a

MF2ey0a

⑶等轴双曲线:双曲线x2y2a2称为等轴双曲线,其渐近线方程为yx,离心率e2. ⑷共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭

x2y2x2y2x2y2

双曲线.22与22互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线:220.

ababab

⑸共渐近线的双曲线系方程:

x2a2

y2b2

(0)的渐近线方程为

x2a2

y22

0如果双曲线的

x2y2xy

渐近线为0时,它的双曲线方程可设为22(0).

abab

例如:若双曲线一条渐近线为y

2

11

x且过p(3,)22

2

2

yx1x

1y2(0),代入(3,)得8224

⑹直线与双曲线的位置关系:

解:令双曲线的方程为:

区域①:无切线,2条与渐近线平行的直线,合计2条;

区域②:即定点在双曲线上,1条切线,2条与渐近线平行的直线,合计3条; 区域③:2条切线,2条与渐近线平行的直线,合计4条;

区域④:即定点在渐近线上且非原点,1条切线,1条与渐近线平行的直线,合计2条; 区域⑤:即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线.

小结:过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.

(2)若直线与双曲线一支有交点,交点为二个时,求确定直线的斜率可用代入法与渐“”近线求交和两根之和与两根之积同号. ⑺若P在双曲线离比为m︰n.

PF1

d1me = . d2PF2n

ex2a

2

y2b

2

1,则常用结论1:P到焦点的距离为m = n,则P到两准线的距

简证:

常用结论2:从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.

三、抛物线方程.

p0

2

4acb2b

). 注:①aybycx顶点(

4a2a

②y22px(p0)则焦点半径PFxP;x22py(p0)则焦点半径为PFyP.

2

2

③通径为2p,这是过焦点的所有弦中最短的.

x2pt2x2pt

④y2px(或x2py)的参数方程为(或)(t为参数). 2

y2pty2pt

2

2

四、圆锥曲线的统一定义..

4. 圆锥曲线的统一定义:平面内到定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹. 当0e1时,轨迹为椭圆; 当e1时,轨迹为抛物线; 当e1时,轨迹为双曲线; 当e0时,轨迹为圆(e

c

,当c0,ab时). a

5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如:椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.

因为具有对称性,所以欲证AB=CD, 即证AD与BC的中点重合即可.

1. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质. 2. 等轴双曲线 3. 共轭双曲线

5. 方程y2=ax与x2=ay的焦点坐标及准线方程. 6.共渐近线的双曲线系方程.

范文四:圆锥曲线与方程

圆锥曲线方程及性质

一.课标要求:

1.了解圆锥曲线的实际背景,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用;

2.经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程,掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质;

3.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道双曲线的有关性质。 二.命题走向

本讲内容是圆锥曲线的基础内容,也是高考重点考查的内容,在每年的高考试卷中一般有2~3道客观题,难度上易、中、难三档题都有,主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质,从近十年高考试题看主要考察圆锥曲线的概念和性质。圆锥曲线在高考试题中占有稳定的较大的比例,且选择题、填空题和解答题都涉及到,客观题主要考察圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法。

对于本讲内容来讲,预测07年:

(1)1至2道考察圆锥曲线概念和性质客观题,主要是求值问题;

(2)可能会考察圆锥曲线在实际问题里面的应用,结合三种形式的圆锥曲线的定义。

三.要点精讲

1.椭圆

(1)椭圆概念

平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点,则有|MF。 1||MF2|2a

x2y2y2x2

椭圆的标准方程为:221(ab0)(焦点在x轴上)或221(ab0)(焦点

abab

在y轴上)。

注:①以上方程中a,b的大小ab0,其中cab;

2

2

2

x2y2y2x22

②在221和221两个方程中都有ab0的条件,要分清焦点的位置,只要看x和

abab

x2y22

1(m0,n0,mn)当mn时表示焦点在x轴上的椭圆;y的分母的大小。例如椭圆

mn

当mn时表示焦点在y轴上的椭圆。

(2)椭圆的性质

x2y2

①范围:由标准方程221知|x|a,|y|b,说明椭圆位于直线xa,yb所围成的

ab

矩形里;

②对称性:在曲线方程里,若以y代替y方程不变,所以若点(x,y)在曲线上时,点(x,y)也在曲线上,所以曲线关于x轴对称,同理,以x代替x方程不变,则曲线关于y轴对称。若同时以x代替x,y代替y方程也不变,则曲线关于原点对称。

所以,椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中心,椭圆的对称中心叫椭圆的中心;

③顶点:确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标。在椭圆的标准方程

),B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。同理令y0得xa,即中,令x0,得yb,则B1(0,b

A1(a,0),A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点。

所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点。

同时,线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为2a和2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

由椭圆的对称性知:椭圆的短轴端点到焦点的距离为a;在RtOB2F2中,|OB2|b,|OF2|c,

|B2F2|a,且|OF2|2|B2F2|2|OB2|2,即c2a2c2;

c

④离心率:椭圆的焦距与长轴的比e叫椭圆的离心率。∵ac0,∴0e1,且e越接近1,

a

c就越接近a,从而b就越小,对应的椭圆越扁;反之,e越接近于0,c就越接近于0,从而b越接近于a,这时椭圆越接近于圆。当且仅当ab时,c0,两焦点重合,图形变为圆,方程为x2y2a2。

2.双曲线

(1)双曲线的概念

平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线(||PF1||PF2||2a)。 注意:①(*)式中是差的绝对值,在02a|F1F2|条件下;|PF1||PF2|2a时为双曲线的一支(含F2的一支);|PF2||PF;②当2a|F1|2a时为双曲线的另一支(含F1F2|时,1的一支)

||PF1||PF2||2a表示两条射线;③当2a|F1F2|时,||PF1||PF2||2a不表示任何图形;④两定点F1,F2叫做双曲线的焦点,|F1F2|叫做焦距。

椭圆和双曲线比较: 椭 圆

|PF1||PF2|2a(2a|F1F2|) 定义 方程

x2y2

1 a2b2

F(c,0)

x2y2

1 b2a2

F(0,c)

双 曲 线

||PF1||PF2||2a(2a|F1F2|)

x2y2

1 a2b2

F(c,0)

y2x2

1 a2b2

F(0,c)

焦点

注意:如何有方程确定焦点的位置!

(2)双曲线的性质

x2y2

①范围:从标准方程221,看出曲线在坐标系中的范围:双曲线在两条直线xa的外侧。

ab

22

即xa,xa即双曲线在两条直线xa的外侧。

x2y2

②对称性:双曲线221关于每个坐标轴和原点都是对称的,这时,坐标轴是双曲线的对称轴,

ab

x2y2

原点是双曲线221的对称中心,双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。

ab

x2y2

③顶点:双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线221的方程里,对称轴是x,y轴,

ab

x2y2

所以令y0得xa,因此双曲线和x轴有两个交点A(a,0)A2(a,0),他们是双曲线221的

ab

顶点。

令x0,没有实根,因此双曲线和y轴没有交点。

1)注意:双曲线的顶点只有两个,这是与椭圆不同的(椭圆有四个顶点),双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。

2)实轴:线段AA2叫做双曲线的实轴,它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长。虚轴:线段BB2叫做双曲线的虚轴,它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长。

④渐近线:注意到开课之初所画的矩形,矩形确定了两条对角线,这两条直线即称为双曲线的渐近

x2y2

线。从图上看,双曲线221的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接近。

ab

⑤等轴双曲线:

1)定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式:ab; 2)等轴双曲线的性质:(1)渐近线方程为:yx ;(2)渐近线互相垂直。

注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一,即可推知双曲线为等轴双曲线,同时其他几个亦成立。

22

3)注意到等轴双曲线的特征ab,则等轴双曲线可以设为:xy(0) ,当0时交

点在x轴,当0时焦点在y轴上。

x2y2y2x2

1与1的区别:三个量a,b,c中a,b不同(互换)c相同,还有焦点所在⑥注意

169916

的坐标轴也变了。

3.抛物线

(1)抛物线的概念

平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线。

方程y22px

p0叫做抛物线的标准方程。

pp

,0),它的准线方程是x ;

22

注意:它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上,焦点坐标是F((2)抛物线的性质

一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,有四种不同的情况,所以抛物线的标准方程还有其他几种形式:y22px,x22py,x22py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表:

标准方程

y22px(p0)

y22px(p0)

x22py(p0)

x22py(p0)

图形

焦点坐标 准线方程

范围 对称性 x轴 x轴

(0,0) (0,0) 顶点

e1 e1 离心率

说明:(1)通径:过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径;(2)抛物线的几何性质的特点:有一个顶点,一个焦点,一条准线,一条对称轴,无对称中心,没有渐近线;(3)注意强调p的几何意义:是焦点到准线的距离。 四.典例解析

题型1:椭圆的概念及标准方程

例1.求适合下列条件的椭圆的标准方程:

(1)两个焦点的坐标分别是(4,0)、(4,0),椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10;

(2)两个焦点的坐标分别是(0,2)、(0,2),并且椭圆经过点((3)焦点在x轴上,a:b2:1,c

(4)焦点在y轴上,ab5,且过点(; (5)焦距为b,ab1;

2

2

p

(,0) 2

px

2x0

(

p

,0) 2px

2x0

p(0,)

2py

2y0 y轴 (0,0) e1 p(0,)

2py

2y0 y轴 (0,0) e1

35,); 22

(6)椭圆经过两点(

35

,),。 22

x2y2

解析:(1)∵椭圆的焦点在x轴上,故设椭圆的标准方程为221(ab0),

ab

222

∵2a10,c4,∴bac9,

x2y2

1。 所以,椭圆的标准方程为

259

y2x2

(2)∵椭圆焦点在y轴上,故设椭圆的标准方程为221(ab0),

ab

由椭圆的定义知,

2a

222

∴a10,又∵c2,∴bac1046,

y2x2

1。 所以,椭圆的标准方程为

106

(3

)∵c

a2b2c26,①

2

2

又由a:b2:1代入①得4bb6, ∴b2,∴a8,又∵焦点在x轴上,

2

2

x2y2

1。 所以,椭圆的标准方程为82y2x2

(4)设椭圆方程为221,

ab

22

∴21,∴b2,

b222

又∵ab5,∴a3,

y2x2

1. 所以,椭圆的标准方程为32

(5)∵焦距为6,∴c3, 222

∴abc9,又∵ab1,∴a5,b4,

x2y2y2x2

1或1. 所以,椭圆的标准方程为

25162516x2y2

1(m,n0)(6)设椭圆方程为, mn

5232

()()1 由m得m6,n10, n351mn

y2x2

1. 所以,椭圆方程为

106

点评:求椭圆的方程首先清楚椭圆的定义,还要知道椭圆中一些几何要素与椭圆方程间的关系。 例2.(1)(06山东)已知椭圆中心在原点,一个焦点为F(-2,0),且长轴长是短轴长的2倍,

则该椭圆的标准方程是 。

(2)(06天津理,8)椭圆的中心为点E(1,0),它的一个焦点为F(3,0),相应于焦点F的准线方程为x

7

,则这个椭圆的方程是( ) 2

2(x1)22y2

1 A.

213(x1)2

y21 C.

5

2(x1)22y2

1 B.

213(x1)2

y21 D.

5

b2422y2a2b,ca161为所求; 解析:(1

)已知

222164abc

F((2)椭圆的中心为点E(1,0),它的一个焦点为F(3,0),

7

∴ 半焦距c2,相应于焦点F的准线方程为x.

2

a25(x1)2222

y1,选D。 ∴ ,a5,b1,则这个椭圆的方程是

c25

点评:求椭圆方程的题目属于中低档题目,掌握好基础知识就可以。 题型2:椭圆的性质

例3.(1)(06山东理,7)在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为2,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为( )

(A)2 (B)

122

(C) (D)

224

x2y2

(2)(1999全国,15)设椭圆22=1(a>b>0)的右焦点为F1,右准线为l1,若过F1且垂直于

ab

x轴的弦的长等于点F1到l1的距离,则椭圆的离心率是 。

x2y22b2a22

c1,据此求出e=解析:(1)不妨设椭圆方程为221(ab0),

则有,acab2

选B。

12b2

(2);解析:由题意知过F1且垂直于x轴的弦长为,

2a

21c112b2a2

∴,∴,即e=。 c,∴

2aca2ac

点评:本题重点考查了椭圆的基本性质。

例4.(1)(2000京皖春,9)椭圆短轴长是2,长轴是短轴的2倍,则椭圆中心到其准线距离是( )

A.

3

4

B.

4

5

C.

8

5

D.

43 3

x2y2

(2)(1998全国理,2)椭圆=1的焦点为F1和F2,点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y

123

轴上,那么|PF1|是|PF2|的( )

A.7倍

B.5倍

C.4倍

D.3倍

a2

解析:(1)D;由题意知a=2,b=1,c=,准线方程为x=±,

c

∴椭圆中心到准线距离为

43

. 3

3),即|PF2|=,|PF1|=,222

(2)A;不妨设F1(-3,0),F2(3,0)由条件得P(3,±因此|PF1|=7|PF2|,故选A。

点评:本题主要考查椭圆的定义及数形结合思想,具有较强的思辨性,是高考命题的方向。 题型3:双曲线的方程

P到F1,F2的距离差的绝对值等于6,求双例5.(1)已知焦点F1(5,0),F2(5,0),双曲线上的一点

曲线的标准方程;

x2y2



1共焦点且过点的双曲线的方程; (2)求与椭圆

255

(3)已知双曲线的焦点在y轴上,并且双曲线上两点P1,P

2坐标分别为(3,,5),求双曲线的标准方程。

9

4

x2y2

解析:(1)因为双曲线的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为221(a0,b0),

ab

222

∵2a6,2c10,∴a3,c5,∴b5316。

x2y2

1; 所以所求双曲线的方程为

916

x2y2x2y2



1的焦点为0),(2)椭圆,可以设双曲线的方程为221,则(5,0)255ab

a2b220。

182

又∵过点,∴221。

ab

2222

综上得,a20b

1。

点评:双曲线的定义;方程确定焦点的方法;基本量a,b,c之间的关系。

y2x2

(3)因为双曲线的焦点在y轴上,所以设所求双曲线的标准方程为221(a0,b0)①;

ab

∵点P1,P2在双曲线上,∴点P1,P2的坐标适合方程①。

32

21b9将(3,

,5)分别代入方程①中,得方程组: 92

425()

221

ba

1111a216

将2和2看着整体,解得,

11abb29

2y2x2a16

1。 ∴2即双曲线的标准方程为169b9

点评:本题只要解得a2,b2即可得到双曲线的方程,没有必要求出a,b的值;在求解的过程中也可以

用换元思想,可能会看的更清楚。

例6.(06上海卷)已知双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4,则双曲线的标准方程是____________________.

解析:双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0),则焦点在x轴上,且a=3,焦距与虚轴长之比为

x2y2

5:4,即c:b5:4,解得c5,b4,则双曲线的标准方程是1;

916

点评:本题主要考查双曲线的基础知识以及综合运用知识解决问题的能力。充分挖掘双曲线几何性质,数形结合,更为直观简捷。 题型4:双曲线的性质

x2y2

例7.(1)(06福建卷)已知双曲线221(a>0,b

ab

的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( )

A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞)

y2

(2)(06湖南卷)过双曲线M:x21的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐

b

2

近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是 ( )

2

2

D. 3

2

xyπ

(3)(06陕西卷)已知双曲线2- 2)的两条渐近线的夹角为 ,则双曲线的离心率为( )

a2363

A.2 B.3 C.33

x2y2o

解析:(1)双曲线221(a0,b0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线

ab

b

的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率,

a

2

a2b2b2c≥4,∴ e≥2,选C。 ∴ ≥3,离心率e=2

aaa2

y22

(2)过双曲线M:x21的左顶点A(1,0)作斜率为1的直线l:y=x-1, 若l与双曲线M的

b

y22

两条渐近线x20分别相交于点B(x1,y1),C(x2,y2), 联立方程组代入消元得

b

(b21)x22x10,

2

xx121b2

∴ ,x1+x2=2x1x2,

xx1121b2

1

x14

又|AB||BC|,则B为AC中点,2x1=1+x2,代入解得,

1x22

c

∴ b2=9,双曲线M的离心率

e=A。

a

x2y2π22

1(a>2)的两条渐近线的夹角为

,则tan(3)双曲线2,∴ a=6,双曲线

3a2a63

23

的离心率为 ,选D。

3

点评:高考题以离心率为考察点的题目较多,主要实现a,b,c三元素之间的关系。

x2y2

1的右支上一点,M、N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x例8.(1)(06江西卷)P是双曲线-=

916

-5)+y=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为( )

A. 6 B.7 C.8 D.9

(2)(06全国卷I)双曲线mxy1的虚轴长是实轴长的2倍,则m A.

2

2

2

2

11

B.4 C.4 D. 44

(3)(06天津卷)如果双曲线的两个焦点分别为F1(3,0)、F2(3,0),一条渐近线方程为y那么它的两条准线间的距离是( )

2x,

A.63 B.4 C.2 D.1 解析:(1)设双曲线的两个焦点分别是F1(-5,0)与F2(5,0),则这两点正好是两圆的圆心,当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大,此时|PM|-|PN|=(|PF1|-2)-(|PF2|-1)=10-1=9故选B。

(2)双曲线mxy1的虚轴长是实轴长的2m=

2

2

1

,选A。 4

x2

倍,∴ m

4

2x,

(3)如果双曲线的两个焦点分别为F1(3,0)、F2(3,0),一条渐近线方程为y

a2b29

a23a2

2,选C。 ∴

b,解得2,所以它的两条准线间的距离是2cb6

a

点评:关于双曲线渐近线、准线及许多距离问题也是考察的重点。 题型5:抛物线方程

例9.(1))焦点到准线的距离是2;

(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,2),求它的标准方程。

解析:(1)y=4x,y=4x,x=4y,x=4y;

方程是x=8y。

点评:由于抛物线的标准方程有四种形式,且每一种形式中都只含一个系数p,因此只要给出确定p的一个条件,就可以求出抛物线的标准方程。当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后,它的标准方程就唯一确定了;若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定,则所求的标准方程就会有多解。 题型6:抛物线的性质

2

2

2

2

2

x2y2

1的右焦点重合,例10.(1)(06安徽卷)若抛物线y2px的焦点与椭圆则p的值为( ) 62

2

A.2 B.2 C.4 D.4 (2)(浙江卷)抛物线y28x的准线方程是( )

(A) x2 (B) x4 (C) y2 (D) y4 (3)(06上海春)抛物线y24x的焦点坐标为( )

(A)(0,1). (B)(1,0). (C)(0,2). (D)(2,0)

x2y2

1的右焦点为(2,0),所以抛物线y22px的焦点为(2,0),则p4,故解析:(1)椭圆62

选D;

(2)2p=8,p=4,故准线方程为x=-2,选A;

(3)(直接计算法)因为p=2 ,所以抛物线y=4x的焦点坐标为

。应选B。 点评:考察抛物线几何要素如焦点坐标、准线方程的题目根据定义直接计算机即可。 例11.(1)(全国卷I)抛物线yx2上的点到直线4x3y80距离的最小值是( ) A.

2

478

B. C. D.3 355

(2)(2002全国文,16)对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件: ①焦点在y轴上; ②焦点在x轴上;

③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6; ④抛物线的通径的长为5;

⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1)。

(3)(2001广东、河南,10)对于抛物线y=4x上任意一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是( ) A.(-∞,0)

2

2

B.(-∞,2] C.[0,2]

2

2

D.(0,2)

能使这抛物线方程为y=10x的条件是 .(要求填写合适条件的序号)

解析:(1)设抛物线yx上一点为(m,-m),该点到直线4x3y80的距离为

|4m3m28|24

,当m=时,取得最小值为,选A;

335

(2)答案:②,⑤

解析:从抛物线方程易得②,分别按条件③、④、⑤计算求抛物线方程,从而确定⑤。 (3)答案:B

y

解析:设点Q的坐标为(0,y0),

4y222

由 |PQ|≥|a|,得y0+(0-a)≥a.

4

整理,得:y0(y0+16-8a)≥0, ∵y0≥0,∴y0+16-8a≥0.

2

22

2

2

2

yy

即a≤2+0恒成立.而2+0的最小值为2.

88

∴a≤2.选B。

点评:抛物线问题多考察一些距离、最值及范围问题。 五.思维总结

在复习过程中抓住以下几点:

(1)坚持源于课本、高于课本,以考纲为纲的原则。高考命题的依据是《高考说明》.并明确考点及对知识点与能力的要求作出了明确规定,其实质是精通课本,而本章考题大多数是课本的变式题,即源于课本,因此掌握双基、精通课本是关键;

(2)在注重解题方法、数学思想的应用的同时注意一些解题技巧,椭圆、双曲线、抛物线的定义揭示了各自存在的条件、性质及几何特征与圆锥曲线的焦点、焦半径、准线、离心率有关量的关系问题,若能用定义法,可避免繁琐的推理与运算;

(3)焦半径公式:抛物线上一点P(x1,y1),F为抛物线的焦点,对于四种抛物线的焦半径公式分别为(p>0):

22

p

;y22px:PFx12p

x22py:PFy1;x22py:PFy1

2y22px:PFx1

p2 p2

范文五:圆锥曲线与方程

圆锥曲线与方程

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题 (本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

x2y2

1.点P是双曲线C1:221(a0,b0)与圆C2:x2y2a2b2的一个交点,且

ab

2PF1F2PF2F1,其中F1、F2分别为双曲线C1的左右焦点,则双曲线C1的离心率为

( ) A

1 【答案】A

B

C

D

1

2.椭圆C1:的左准线为l,左、右焦点为分别为F1、F2,抛物线C2的准线为l,

焦点为F2,C1与C2的一个交点为P,线段PF2的中点为G,O是坐标原点,则的值为( )

A.-1 B.1 C.- D.

【答案】D

2

3.已知直线y=kx-2(k>0)与抛物线C:x=8y相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|

=4|FB|,则k= ( )

A.3 【答案】B

4.平面内动点P到定点F1(3,0),F2(3,0)的距离之和为6,则动点P的轨迹是( ) A. 双曲线 【答案】C

B. 椭圆

C.线段

D.不存在

5B. 4

3

C4

32D.2

x2y23

5.已知双曲线221的一条渐近线是yx,则双曲线的离心率为( )

3ab

A.2

2326

B. 3 C D.

33

【答案】C

6.⊿ABC中,B(-2,0),C(2,0),中线AD的长为3,则点A的轨迹方程为( )

2222

A.x+y=9(y≠0) B.x-y=9(y≠0)

2222

C.x+y=16 (y≠0) D. x-y=16(y≠0) 【答案】A

x2y2

7.已知双曲线21的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其

4b

渐近线的距离等于( ) A.

【答案】A

B.

C.3

D.5

x2y2

8.已知双曲线xy与椭圆1有共同的焦点,则的值为( )

1664

2

2

A.50 【答案】D

B.24 C.-50 D.-24

9.已知两定点F1(5,0),F2(5,0),曲线上的点P到F1、F2的距离之差的绝对值是6,则该曲线的方程为( )

x2y2A.1

916x2y2C.1

2536

【答案】A

x2y2B.1

169y2x2

D. 1

2536

x2y2

10.若F1、F2 分别为双曲线 221的左、右焦点,O为坐标原点,点P在双曲线

ab

的左支上,点M在双曲线的右准线上,且满足F1OPM

,OP则双曲线的离心率为( )

A.3 【答案】D

B.2

C.3

D.2

. >0)

y2

1的焦点为F1、F2,点M在双曲线上且MF1MF20,则点M到x11.双曲线x2

2

轴的距离为

( )

A.

【答案】B

B.

C.

4 3

D.

5 3

2y4x,直线l的方程为xy40,在抛物线上有一动点P到12.已知抛物线方程为

y轴的距离为d1,P到直线l的距离为d2,则d1d2的最小值为( )

A

2

B

1

C

2

D

1 【答案】D

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题 (本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上) 13.已知点P为椭圆和双曲线

左、右焦点,则∠F1PF2的余弦值是 .

的一个交点,点F1、F2分别是椭圆的

【答案】

x2

y21上任意一点P,则PA最大值为 。

14.已知点A0,2及椭圆4

x2y2

15.已知M是双曲线221(ab0)上的点,以M为圆心的圆与x轴相切于双曲

ab

线的焦点F,圆M与y轴相交于P,Q两点.若PQM为锐角三角形,则该双曲线的离心率的取值范围为 .

【答案】 x2y2

16.已知抛物线y2px(p0)与双曲线221(ab0)有相同的焦点F,点A

ab

2

是两曲线的交点,且AFx轴,则双曲线的离心率为 . 【答案】21

三、解答题 (本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

2

17.如图,已知抛物线y=ax+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C, D为OC的中点,直线AD交抛物线于点E(2,6),且△ABE与△ABC的面积之比为3∶2. (1)求这条抛物线对应的函数关系式;

范文六:圆锥曲线方程

第八章 圆锥曲线方程

一 椭圆

§8.1 椭圆及其标准方程

●从容说课

圆锥曲线是平面解析几何的主要研究对象,圆锥曲线的有关知识不仅在生产、日常生活中,而且在科学技术中也有着广泛的应用,尤其是今后进一步学习数学的基础,椭圆、双曲线、抛物线都是平面内符合某种条件的点的轨迹,在第七章中,学生己学过求简单曲线方程和利用方程研究曲线几何性质的初步知识,因而,在本章中,可以把椭圆、双曲线、抛物线合起来作为一个整体,先讨论它们的定义,再求它们的方程,最后研究它们的几何性质及应用,但这样做教学难度较大,所以教材对每种曲线按定义、方程、几何性质几项来讨论,以椭圆为学习圆椭曲线的重点,并以之来介绍求圆锥曲线方程和利用方程来研究几何性质的一般方法.由此可见本节内容所处地位之重要.

通过本节内容的学习,学生一方面认识了椭圆与圆的区别与联系,另一方面也为利用方程研究椭圆的几何性质以及为学生类比椭圆的研究过程和方法,为以后学习双曲线、抛物线奠定了基础.

●课时安排

3课时

●从容说课

圆锥曲线是平面解析几何的主要研究对象,圆锥曲线的有关知识不仅在生产、日常生活中,而且在科学技术中也有着广泛的应用,尤其是今后进一步学习数学的基础,椭圆、双曲线、抛物线都是平面内符合某种条件的点的轨迹,在第七章中,学生己学过求简单曲线方程和利用方程研究曲线几何性质的初步知识,因而,在本章中,可以把椭圆、双曲线、抛物线合起来作为一个整体,先讨论它们的定义,再求它们的方程,最后研究它们的几何性质及应用,但这样做教学难度较大,所以教材对每种曲线按定义、方程、几何性质几项来讨论,以椭圆为学习圆椭曲线的重点,并以之来介绍求圆锥曲线方程和利用方程来研究几何性质的一般方法.由此可见本节内容所处地位之重要.

通过本节内容的学习,学生一方面认识了椭圆与圆的区别与联系,另一方面也为利用方程研究椭圆的几何性质以及为学生类比椭圆的研究过程和方法,为以后学习双曲线、抛物线奠定了基础.

●课 题

§8.1.1 椭圆及其标准方程(一)

●教学目标

(一)教学知识点

1.圆锥曲线的概念.

2.椭圆的定义、焦点、焦距.

3.椭圆的标准方程.

(二)能力训练要求

1.使学生明确圆锥曲线的概念.

2.使学生理解并掌握椭圆的定义、焦距.

3.使学生掌握椭圆的标准方程及其推导方法.

(三)德育渗透目标

1.使学生认识并理解世间一切事物的运动都是有规律的.

2.培养学生发现规律、寻求规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力.

3.使学生通过运动规律,认清事物运动的本质.

●教学重点

椭圆的定义及其标准方程.

●教学难点

椭圆标准方程的推导——比较复杂的根式的化简.

●教学方法

讲授法

本节课是圆锥曲线部分的起始课,涉及到的概念都是全新的,因此要通过媒体直观的演示,使学生明确并理解概念;在椭圆标准方程的推导过程中,遇到了比较复杂的根式化简问题,由于这部分内容初中没有详细介绍过,不能完全满足本章学习的需要,因此要通过讲授与学生的认真练习,进而达到突破难点之目的

●教具准备

多媒体课件两个:

(一)P 90章头图,先作两个圆锥(顶对顶,上面的圆锥是倒立的,且上面圆锥的母线是下面圆锥母线的延长线),然后用与圆锥轴线成不同角的平面截圆锥,得到椭圆、双曲线、抛物线等,给学生一个直观的印象,使学生对圆锥曲线有一个初步的感性认识.

(二)倾斜着圆锥形水杯的水面的边界线;汽车的罐截面轮廊线;发电厂通风塔的外形线;拦洪堤的曲线;探照灯反光镜的轴截面的曲线.

同桌的两位同学准备无弹性的细绳一条(约10 cm长,两端各结一个套),图钉两个;教师准备无弹性细绳一条(约50 cm长,两端各结一个套)图钉两个.

投影片一张:

本课时教案后面的预习内容及预习提纲

●教学过程

Ⅰ.课题导入

[师]1997年初,中国科学院紫金山天文台发布了一条消息:从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球,4月以后又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空.1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象.

天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢?原来,海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆,通过观察它运行中的一些有关数据,可以推算出它的运行轨道的方程,从而算出它运行的周期及轨道的周长,预测它接近地球或渐渐离去的时间.在太阳系中,天体运行的轨道除椭圆外,还有双曲线、抛物线等.

在初中几何里我们知道,用一个垂直于圆锥轴的平面截圆锥,得到的截面是一个圆,如果改变平面与圆锥轴线的夹角,会得到一些不同的图形,(利用多媒体课件,做平面截圆锥的演示,将各个不同的图形,用不同的颜色表示出来),这些图形分别是椭圆、双曲线、抛物线等,因此,通常把椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线.

圆锥曲线是我们生活中常见的曲线,例如倾斜着的圆锥形水杯的水面的边界线,汽车油罐截面的轮廓线,发电厂通风的外形线,拦洪坝的曲线,探照灯反光镜的轴截面的曲线,等等,这些边界线、轮廓线、外形线,都是一些有规律的曲线,并且在实际生活、生产中有着广泛的应用,那么怎样进一步加深对这些曲线的认识呢?本章将分别学习如何建立这些曲线的方程,然后利用方程研究它们的性质,并介绍运用这些性质解决实际问题的一些简单实例.(板书章题、单元题、课题)

Ⅱ.讲授新课

[师]请同学们同桌一组用图钉穿过准备好的无弹性细绳两端的套内,并且把图钉固定在两个定点上,然后用笔尖绷紧绳子,使笔尖慢慢移动,看画出的是怎样的一条曲线(请两位同学在黑板上作,要求两定点F1、F2的距离小于绳长,并将图形画在黑板上的适当位置,以备在后面求方程时利用之).

(学生动手,实际作图)

[师]作图完毕的请举手.(教师环视学生完成情况)哪位同学来谈谈自己作出的是什么曲线?

[生甲]我们作出的图形是椭圆,与黑板上的一样.

[生乙]我们作出的是线段.

[师]生乙同学,你谈谈你们作出的为什么是线段呢?

[生乙]我们的绳长与两定点F1、F2的距离相等.

[师]生甲同学注意了吗?你们作图时,绳长与两定点间距离有什么关系呢?

[生甲]我们作图时绳长大于两定点间的距离.

[师]好

[生丙]老师,我们作图时,开始没法作出图形,后来作出了椭圆.

[师]为什么开始没法作出图形呢?

[生丙]开始时,我们俩先确定了定点,谁知用图钉穿进绳子两端的套内后,两图钉不能同时固定在定点上——绳子不够长,后来调整了两定点的距离,才作出了图形.

[师]很好,通过具体的实际操作,我们发现了一个非常值得注意的问题,

即绳长大于两定点间的距离时,我们作出的图形是椭圆;绳长等于两定点间的距离时,我们作出的图形是线段;绳长小于两定点间的距离时,我们不能作出任何图形.

[师]绳长实质上是动点到两定点的距离的和,同学们仍然以组为单位,照我们开始所述的方法再画一个椭圆.

(学生作图)

[师]比比看,两次画出的椭圆一样吗?有什么区别?

[生]不一样,有的“瘦”些,有的“胖”些.

[师]这就奇怪了,绳长没有变,也就是说动点到两定点的距离和没有变,为什么画出的椭圆有的扁有的圆呢?

(学生思考,相互讨论交流)

[生]两定点间的距离越小,椭圆越圆;两定点间的距离越大,椭圆越扁.

[师]很好,从上面的画图过程可以看出,(结合黑板的图形指出)曲线上任意一点与点F1、F2的距离的和等于定长,也可以说,这条曲线是与点F1、F2的距离的和为定长的点的轨迹(或点的集合),我们把这样的曲线叫做椭圆.同学们不仅画出了椭圆,请同学们给出椭圆的定义.(学生可能表述的不尽严密,教师再引导学生准确地表述.)

定义:平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.(板书)

[师]由椭圆的定义,我们可以知道它的基本几何特征,但对于这种新曲线还具有哪些特性,我们还几乎一无所知,因此需要建立椭圆的方程,以便于我们对其作进一步的认识.请同学们回忆一下,求曲线方程的方法步骤是什么?

[生丁]①建系、取点 ②列式 ③代换 ④化简 ⑤证明.

[师]生甲回答正确吗?谁还有什么补充?

[生戌]正确.一般情况下,步骤⑤可以省略不写,如有特殊情况,可予以必要的说明.另外根据情况,也可省略步骤②,直接列出方程.

[师]好,再请同学们考虑一下建系的一般原则有哪些?

[生]原点取在定点或定线段的中点,坐标抽取在定直线上和图形的对称轴上.

[师]好,同学们的回答完全正确.下面我们一起根据椭圆的定义,来求出椭圆的方程.(利用前面作出的图形)先请一位同学来建立坐标系.

[生乙]以F1F2的中点O为原点,直线F1F2为x轴,建立如图所示的坐标系(学生叙述,教师作图并板书)

[师]设M(x,y)是椭圆上任意一点(板书)

请同学们注意:定义中提供的信息,动点与F1、F2的距离和等于常数,这个常数可看作是已知的,这是其一,其二两定点F1、F2之间的距离可看作已知的,于是我们可以„„

(接着板书)

设椭圆的焦距为2c(c>0),那么F1、F2的坐标分别是(-c,0),(c,0),又设M与F1、F2的距离的和等于2a(请注意,我们把焦距设为2c,避免了F1、F2的坐标域为分数的形式). 下面请同学们写出椭圆的集合.

[生庚]由椭圆的定义,椭圆就是集合

P={M||MF1|+|MF2|=2a}.(学生回答,教师板书)

[师]生庚所列的式子,就是动点M与动点F1、F2的距离之和等于 2a,谁来代换一下?

22[生辛]∵|MF1|=(xc)y,

22|MF2|=(xc)y 2222∴(xc)y+(xc)y=2a

(学生回答,教师板书)

[师]上面所得的方程直接反映了椭圆定义所确定的椭圆的本质属性,但为了更进一步利用方程探讨椭圆的其他性质,需要尽量简化方程形式,使数量关系更加明朗化.那么怎样化简呢?

[生]将式子有理化.

[师]好.化简的思路正确,但有理化时,要将方程的两边同时乘方(同次方),以去掉根号,而对上面的方程两边同时平方时,方程左边要用到和的平方公式,第一项平方去掉了根号,第二项平方也去掉了根号,而两项积的2倍更复杂了.为了减少复杂性,达到化简的目的,下面我们一起来对上面的方程进行化简.

请同学们注意:对于含有根式的方程化简时,如果方程中只有一个根式,则将根式单独留在方程的一边,把其他各项移至另一边,之后方程两边同时乘方(同次方)即可;如果方程中含有两个根式,则需将它们分别放在方程的两边,并使其中一边只含有一个根式,之后再将方程两边同时乘方(同次方),再整理,再乘方.

(板书)将这个方程移项后,两边平方得

2222222(x+c)+y=4a-4a(xc)y+(x-c)+y

222整理得a(xc)y=a-cx

上式两边再平方,得

a[(x-c)2+y2]=a4-2a2cx+c2x2(*)

22222222整理得(a-c)x+ay=a(a-c)

由椭圆的定义可知:

2a>2c>0即a>c>0,

22∴a-c>0

222令a-c=b,其中b>0

222(令a-c=b不仅可以使方程变得简单整齐,同时在下一节讨论椭圆的几何性质时,我们

会看到它还有明确的几何意义)

222222代入(*)式,得bx+ay=ab

22这个方程叫做椭圆的标准方程,它所表示的椭圆的焦点在x轴上,焦点是

F1(-c,0),F2(c,0),这里c2=a2-b2.

Ⅲ.课堂练习

如果使点F1、F2在y轴上,a、b、c的意义同上,请同学们再来求一次椭圆的方程. (学生做完之后,教师讲授)指出这个方程也是椭圆的标准方程,实际上,学生练习作的图相当于先将师生共同完成的图中的x 轴、y轴互换得到的.

Ⅳ.课时小结

本节课我们学习了椭圆的定义、焦点、焦距的概念,求出了椭圆的标准方程,请同学们注意:

①椭圆有互相垂直的两条对称轴(由直观性看出),其焦点总是在较长的对称轴上; ②若椭圆的对称轴合于坐标轴,则其方程为椭圆的标准方程;反过来,椭圆的标准方程所表示的椭圆其对称轴合于坐标轴;

③椭圆的两种标准方程中,总是a>b>0,即椭圆的标准方程中,哪个项的分母大焦点就在相应的那个轴上;反过来,焦点在哪个轴上相应的那个项的分母就大.

222222④a、b、c始终满足c=a-b(不要与勾股定理a+b=c混淆).如果焦点在x轴上,焦

点坐标是(-c,0),(c,0);如果焦点在y轴上,焦点坐标是(0,-c),(0,c);

22⑤在遇到形如Ax+By=C的方程中,只要A、B、C同号,方程就是椭圆方程.可以化成 Ax2By21 CC

x2y2

1椭圆标准方程的形式. 即CC

AB

x2y2

1,其表示焦点在x轴上的椭圆,其中如2x+3y=5,可以化成55

2322

a=555222,b=,c可由c=a-b求得,c=,焦点坐标是(-,0),(,0); 66236

Ⅴ.课后作业

(一)1.课本P95,练习1,

2.P96习题8.11

(二)1.预习内容:课本P93,例1,例2.

2.预习提纲:

(1)求椭圆的标准方程,关键是什么?

(2)求满足条件的点的轨迹方程,一般方法步骤是怎样的?如果清楚轨迹类型,是否还需要照这些步骤来做呢?应该怎样做?

范文七:圆锥曲线的切线方程

圆锥 曲线的切 线 方程

寇 宗娣

( 白银 市 第 一 中学  甘 肃  白银  700 ) 3 9 0

高 中数 学 第 七 章 第 6节 例 2中 对 于过 圆 。  r上 一  + =2 点 P 粕, ) 切 线 方 程 有 详 细 证 明 与 解 答 , 求 得 此 切 线  (   的 并 方程为 x +o r o yy  ̄ x = 。由 此 , 们 来 考 虑 这 样 一 个 问题 : 圆心  我 过 不在 原 点 的 圆上 一 点 P  ,0 ( y)的切 线 方 程如 何 ?过 其 它 圆  锥 曲线 上 一 点 的 切 线 方 程 又 如何 ? 以下 进 行 分 析 证 明 .   1过 圆 (- ) (一 ) r 上 一 点 P(0y) 此 圆 的 切  .   Ⅱ  ) b  2 + , = X,o做 , 线 . 其方 程 . 求   解 法 一 : 用 坐 标 系转 换 法 , 妨设 x= - ,' - , 利 不 " - y= b 则  xa y 在 xo   标 系 中 , 圆 的方 程 为  "y 坐 " ,点 P 的 坐 标 为  ( 口  6 , 而 , 据例 2可 知 , x " 坐 标 系 中 , 点  护 , )因 根 在 "r o  过 P 的 圆  r 的切 线 方 程 为 ( 吨 ) ( 6 , , 2       )  由此 可  ,

知 , 切 线 在 坐 标 系 xy中对 应 的 方 程 为 ( 口  — ) ( 此 o  - ) 口 +   b (- ) f  )y b = . t 解 法二 : 向量 法 , 切 线 上 任 取 不 同 于 P 点 的任 意 一 点  在

以猜想为: 一 = . 埠 弊 1

证明: 联立冬一 =, 一 =, 鲁 1 单 普 1

得 ab o 2a  0   22 2" '. 4)乙6 -- _b, yx _  + 4   .   即( b a   6 )+ ̄b o-4Z -'4O Y   x 2 " xab oa = . x y -b

又 .  I 口

‘ . .

() 3  O  ,

bx' ̄b , Zo - - 。

( ) 以 化 为  3可

6 h  r

即6 2

‘ .

+ 西付

() 4

() 4 中有

A- b   4 西  _  ̄ _ b( 4x

- - -

6)

4 4 40 _  .. _ =

4  6 2 b (  .

)_ ・  _ 4

‘ . .

() 唯一实数解. 4有

y记 圆心 为 C, ) , 则

即 直线萼 一 = 是过双曲  一  = 上的 ( , 誓 1 线a广  鲁 1 点p‰  a 广  0  D。

y) o的切 线 方程 .

- = 即   知,- o・x- )y ) o c ' , (— YY) (oa (『6 = . P - o -

即 (— ( 0+      )㈣ ) (

)b-o- . (- )O  y 即【 — ) ( Ⅱ】口噶 ) [ , ) ( 6 ]by)O ( 口 一 — )(-o+(一 一) 一)(- o-.   )6 ,

- -  又 ( 口2( 6  所 以 (   )   ) +   )  口 + y_ )  6  (- ) (。6 ( ) I

同理, 可知过  一   = 上一点P A, ) _D -导 1 ( Y 的切线方程为 :o 0   I  。

单 一 =.   1

2 . 过椭圆 +   = 上一点Px,)   鲁 l (   做椭圆的切线,   o 并 。一

求其方程.

利 坐 平 变 可 :    = 一 p 用标 移 换 知 芋 一   1 点  上

(oy) 切 线 方程 为 : X,o的   过 双 曲 线

不 设 线 程 : + =现 明 下 妨 切 方 为等 等 1 证 如 : ・

{+ …,   l 鲁=    1 联立 等 6   得 I :

..

a-

: 上 一 点 p(oy) 切 线  1 x,o的

+ =- 普 1

:. o

+ 6

() 1

方程为 :

£  生

一(oh (- ) 1 下 - )x h : x

即 (  6

) 勰   + 4     _

又 6  而   ‰ ,   () 1式可化为

. .

・ . ’

4过 抛 物 线  = p . 2 上 一 点 M (o o的 切 线 方 程 怎 么  x, ) y

求?

【4d 2 0 4 - .) . 6 6

() 2

即 b Z2 ' xab. y-O Z- b ,+ZZt  ̄ . x - x o - =  g _

① y- 时 ,  ̄ - O 切线方程 为:-. xO -  - ② y≠   , 方程为 : 2  0 0u 切线 , J   p

同理 , 抛 物 线  =   过 一

为:   兰   .

( ) , - b - b(Z。而  - b + 6 2 中 A-   4。ab一 )-   4  4 4

-   ‘  4 =

4 b o a o - a 44 'b.  ̄ 40  6(22 Z 2 4 Z - ba 24 b= . x + y ) b_ - - _ ? .

・ . .

() 2仅有一解,   鲁 = 为椭圆O+‘ l 警 +n 1 茁 ’   鲁 = 上过点  n

上 一 点 M(oY) 切 线 方 程  x, 的 o

p( y) 翱,0的切 线 方 程 .   同 理 ,也 可 以利 用 坐 标 平 移 变 换 求 得 过 椭 圆

过抛 物线 : ±p, 一点 M ( Y)的切线方程 为 :  = 2)上  , o

= 2  ±p .

= 1上点 p ( t) 的切 线 方 程 为 :——) -)   知, o x- ( h + cr hx

过 抛 物 线 :x h 2+p y ) 一 点 M(oy) (- ) 2 (  上 - = x,o的切 线 方

世 上1 :.

程 为 :耐  )  )± ( ( =

( 任编 辑 : 责 科 言)

3 . 过双曲线a一。 1 = 点P粕y 得   鲁 =  ̄J- (,) 切线方程可 -    D 。

参专

2 1 年第 9   00 期

5 — 5

范文八:圆锥曲线方程-抛物线

抛物线

1. 定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线。点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线。 2. 标准方程

坐标系:使坐标轴经过点F且垂直于直线l于K,并使原点与线段KF的中点重合。 设|KF|=p(p>0),则抛物线的标准方程及焦点坐标、准线方程如下表:

3. 几何性质

2

以抛物线y=2px(p>0)为例。

(1)范围。x≥0,|y|随x增大而增大,但无渐近线。 (2)对称性。关于x轴对称。(对称轴与准线垂直) (3)顶点。对称轴与抛物线的交点。

(4)离心率。同椭圆、双曲线离心率定义。e=1(注e与抛物线开口大小无关,开口大小由p值确定,画特征草图时,先画出通径(2p)过焦点且与对称轴垂直的弦)。 4. 几个重要的解析结果:

(1)平行抛物线对称轴的直线和抛物线只有一个交点。

(2)焦点弦两端点的纵坐标乘积为常数即y1y2=-p(p>0) (3)焦半径公式:|MF|

xM

p2

2

(4)焦点弦长公式:|AB|=x1+x2+p(x1、x2分别为A、B的横坐标)或

|AB|

2psin

2

(为AB的倾斜角),由此知,通径长为焦点弦长的最小值:2p

1、 (四川卷文3)抛物线y28x的焦点到准线的距离是( )

A. 1 B.2 C.4 D.8

2、 (湖南卷文5)设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是( )

A.4 B.6 C.8 D.12

3、 (辽宁卷理7文7)设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.如果直线AF

的斜率为,那么|PF|=( )

A

. B.8 C

. D.16

4、 (陕西卷理8文9) 已知抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x70相切,则p的值为( )

A.

12

B.1 C.2 D.4

5、 (山东卷文9)已知抛物线y22px(p0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A、B两点,若线段

AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( )

A.x1 B.x1 C.x2 D.x2

6、 (上海春卷17)“k0”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”已知抛物线C:y2x与直线l:ykx1,的( )

A.充分不必要条件 C.充要条件

7.(2010·福建高考理科·T2)以抛物线y24x的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) A.xy2x0 B.xyx0 C.yx0 D.xy2x0

8.(2007宁夏海南文7)已知抛物线y22px(p0)的焦点为F,点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P3(x3,y3)在抛物线上,且2x2x1x3,则有 ( )

A.FP1FP2FP3 B.FP1FP2FP3 C.2FP2FP1FP3 D.FP2FP1FP3

22

2

2

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

2222

2222

9..(2009天津9)设抛物线y2=2x的焦点为F,过点M

0)的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交于C,BF=2,则BCF与ACF的成面积之比

4547

2312

SBCFSACF

=

(A)(C)

(B)(D)

AF(O10(.2009山东文10)设斜率为2的直线l过抛物线yax(a0)的焦点F,且和y轴交于点A,若O

2

为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为

(A)y24 (C)y24x

(B)y28x (D)y28x

11.(2007广东文11)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线关于x轴对称,顶点在原点O,且过点P(2,4), 则该抛物线的方程是 .

12.(2008上海文6)若直线ax-y+1=0经过抛物线y24x的焦点,则13.(2009上海春5)抛物线y2x的准线方程是

14.(2009福建理13)过抛物线y2px(p0)的焦点F作倾斜角为450的直线交抛物线于A、B两点,线段AB的长为8,则p .

2

15.(2009上海文9)过点A(1,0)作倾斜角为4的直线,与抛物线y2x交于M、N两点,则MN

2

16.(2009海南宁夏文14)已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点在x轴上,直线yx与抛物线C交于A,B两点,若P(2,2)为AB的中点,则抛物线C的方程为 .

17.(2010·安徽高考文科·T12)抛物线y8x的焦点坐标是

2

18.(2010·湖南高考理科·T4)过抛物线x2py(p>0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A,B两点,A,B在x轴上的正射影分别为D,C.若梯形ABCD

的面积为p .

19.(上海卷理3文8)动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x20的距离相等,则P的轨迹方程为 。 20.(浙江卷理13)设抛物线y22px(p0)的焦点为F,点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上,则B到该抛物线准线的距离为_____________

2

21.(重庆卷文13)已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点,|AF|=2,则|BF|= 。



22.(重庆卷理14)已知以F为焦点的抛物线y24x上的两点A、B满足AF3FB,则弦AB的中点到准线

的距离为__________.

23.(全国Ⅱ卷理15文15)已知抛物线C:y22px(p>0)的准线为l,过M

(1,0)的直线与l相交于点A,与C的一个交点为B.若AMMB,则p.

0)的距离小1,则点P的轨迹为 24、(2008北京理4)若点P到直线x1的距离比它到点(2,





25、(2008海南卷11)已知点P在抛物线y24x上,那么点P到点Q(2,1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为

26、(2008辽宁卷10)已知点P是抛物线y22x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为

2

27、(2008四川卷12)已知抛物线C:y8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在C

上且

AKA,则AFK的面积为

28.(2010·福建高考文科·T19)已知抛物线C:y22px(p0)过点A (1 , -2).

(I)求抛物线C 的方程,并求其准线方程;

(II)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线L,使得直线L与抛物线C有公共点,且直线OA与L的

距离等于

5

?若存在,求直线L的方程;若不存在,说明理由.

29.(2010·浙江高考文科·T22)已知m是非零实数,抛物线C:y2px(p>0)的焦点F在直线

m2

2

2

l:xmy

0上.

(I)若m=2,求抛物线C的方程;

(II)设直线l与抛物线C交于A、B,△AA1F,△BB1F的重心分别为G,H

求证:对任意非零实数m,抛物线C的准线与x轴的交点在以线段GH为直径的圆外

.

1-5:CBBCB 6-10: BDCAB

11.y²=8x 12.-1 13.x= -1/4 14.2 15.26 16.y²=4x 17.(2,0) 18.2 19.y²=8x 20.32/4 21.2 22.8/3 23.2 24.y²=8x 25.(1/4, -1) 26.17/2 27.8

228、【规范解答】(I)将1,2代入y2px,得22p1,p2

2

故所求的抛物线方程为y24x,其准线方程为x1;

y24x(II)假设存在符合题意的直线l,其方程为y2xt,由得y22y2t0,因为直线l与抛

y2xt

物线C有公共点,所以48t0,解得t

12

。另一方面,由直线OA与直线l

的距离等于

5

可得

1

,t1,由于1,,152

1

,,,所以符合题意的直线l存在,其方程为2

y2x1.

【方法技巧】在求解直线与圆锥曲线的位置关系中的相交弦问题时,我们一定要注意判别式的限制.因为抛物与直线有交点,注意应用0进行验证可避免增根也可以用来限制参数的范围. 29.【规范解答】(Ⅰ)因为焦点F(

P2

,0)在直线l上,得pm

2

2

又m=2,故p4.所以抛物线C的方程为y8x.

2

m

,xmy234

(2)设A(x1,y1) , B(x2,y2),由2消去x,得y-2my-m=0,

y22m2x,

由于m≠0,故=4m+4m>0,且有y1+y2=2m,y1y2=-m,



设M1,M2分别为线段AA1,BB1的中点,由于2m1GGF,2M2HHF

6434

可知G(

x12y1x2y,),H(2,2), 3333

所以

x1x2

6

m(y1y2)m

6

2

m3

4

m6

2

,

2y12y2

6

2m3

3

,

m4m22m2

,所以GH的中点M为. 363

设R是以线段GH为直径的圆的半径,则R

m

2

2

14

|GH|

2

19

(m4)(m1)m

222

3

m2m4m22m2

) 设抛物线的准线与x轴交点N(,0),则|MN|(23632

2

19

m

4

m

4

8m4

2

19

m[m1m43m]>

4

2

2

2

19

m

4

m

2

1m4R.

2

2

故N在以线段GH为直径的圆外.

范文九:圆锥曲线方程知识点

圆锥曲线方程知识点

考试内容:

椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质. 考试要求:

(1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,了解椭圆的参数方程. (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. (4)了解圆锥曲线的初步应用.

圆锥曲线方程 知识要点

一、椭圆方程.

1. 椭圆方程的第一定义:

PF1PF22aF1F2方程为椭圆,PF1PF22aF1F2无轨迹,

PF1PF22aF1F2F1,F2为端点的线段

⑴①椭圆的标准方程:

i. 中心在原点,焦点在x轴上:

y2a

2

x2a2

y2b2

1(ab0).

ii. 中心在原点,焦点在y轴上:

x2b

2

1(ab0).

2

②一般方程:AxBy1(A0,B0).③椭圆的标准参数方程:

2

x2a

2

y2b

2

1的参数方程为

xacos

(一象限应是属于0). 

2ybsin

⑵①顶点:(a,0)(0,b)或(0,a)(b,0).②轴:对称轴:x轴,y轴;长轴长2a,短轴长2b.③(c,0)(c,0)或(0,c)(0,c).④焦点:F1F2

a2a2

x准线:或y.⑥2c,cab.⑤

cc

2

2

离心率:e

c

焦点半径: (0e1).⑦

a

x2a

2

i. 设P(x0,y0)为椭圆

y2b

2

PF1a1(ab0)上的一点,F1,F2 ex0,PF2aex0

由椭圆方程的第二定义可以推出. ii.设P(x0,y0)为椭圆

x2b

2

y2a

2

PF11(ab0)上的一点,F1,F2 aey0,PF2aey0

由椭圆方程的第二定义可以推出.

由椭圆第二定义可知:pF1e(x0a)aex0(x00),pF2e(ax0)ex0a(x00)归结起来为

c

c

2

2

“左加右减”.

注意:椭圆参数方程的推导:得N(acos,bsin)方程的轨迹为椭圆. ⑧通径:垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标:d

2b2a2

b2b2

(c,)和(c,)

aa

⑶共离心率的椭圆系的方程:椭圆程

x2a2

y2b2

x2a2

y2b2

1(ab0)的离心率是e

c

(ca2b2),方a

t(t是大于0的参数,ab0)的离心率也是e

c

我们称此方程为共离心率的a

椭圆系方程. ⑸若P是椭圆:b2tan

x2a2

y2b2

1上的点.F1,F2为焦点,若F1PF2,则PF1F2的面积为

2

(用余弦定理与PF1PF22a可得). 若是双曲线,则面积为b2cot

2

.

二、双曲线方程.

1. 双曲线的第一定义:

PF1PF22aF1F2方程为双曲线PF1PF22aF1F2无轨迹

),asin)

PF1PF22aF1F2F1,F2的一个端点的一条射线

⑴①双曲线标准方程:Ax2Cy21(AC0).

x2a

2

y2b

2

1(a,b0),

y2a

2

x2b

2

1(a,b0). 一般方程:

⑵①i. 焦点在x轴上:

a2xy顶点:(a,0),(a,0) 焦点:(c,0),(c,0) 准线方程x 渐近线方程:0或

cab

x2a

2

y2b

2

0

a2

ii. 焦点在y轴上:顶点:(0,a),(0,a). 焦点:(0,c),(0,c). 准线方程:y. 渐近线

c

xasecxbtany2x2yx

方程:0或220,参数方程:或 .

ababybtanyasec

2a2c

②轴x,y为对称轴,实轴长为2a, 虚轴长为2b,焦距2c. ③离心率e. ④准线距ca2b2c

准线的距离);通径. ⑤参数关系c2a2b2,e. ⑥焦点半径公式:对于双曲线方

aa

x2a2

y2b2

1(F1,F2分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)

“长加短减”原则: MF1ex0aMF2ex0a

构成满足MF1MF22a

MF1ex0aMF2ex0a

(与椭圆焦半径不同,椭圆焦半

MF1ey0aMF2ey0a

MF1ey0a

MF2ey0a

⑶等轴双曲线:双曲线x2y2a2称为等轴双曲线,其渐近线方程为yx,离心率e2. ⑷共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭

x2y2x2y2x2y2

双曲线.22与22互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线:220.

ababab⑸共渐近线的双曲线系方程:

x2a

2

y2b

2

(0)的渐近线方程为

x2a

2

y22

0如果双曲线的

x2y2xy

渐近线为0时,它的双曲线方程可设为22(0).

abab

例如:若双曲线一条渐近线为y

2

11

x且过p(3,)22

2

2

解:令双曲线的方程为:

yx1x

1y2(0),代入(3,)得8224

⑹直线与双曲线的位置关系:

区域①:无切线,2条与渐近线平行的直线,合计2条;

区域②:即定点在双曲线上,1条切线,2条与渐近线平行的直线,合计3条; 区域③:2条切线,2条与渐近线平行的直线,合计4条;

区域④:即定点在渐近线上且非原点,1条切线,1条与渐近线平行的直线,合计2条; 区域⑤:即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线.

小结:过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.

(2)若直线与双曲线一支有交点,交点为二个时,求确定直线的斜率可用代入法与渐“”近线求交和两根之和与两根之积同号. ⑺若P在双曲线离比为m︰n.

PF1

x2a

2

y2b

2

1,则常用结论1:P到焦点的距离为m = n,则P到两准线的距

简证:

d1me = . d2PF2n

e

常用结论2:从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.

三、抛物线方程.

3. 设p0,抛物线的标准方程、类型及其几何性质:

2

4acb2b

). 注:①aybycx顶点(

4a2a

②y22px(p0)则焦点半径PFxP;x22py(p0)则焦点半径为PFyP.

2

2

③通径为2p,这是过焦点的所有弦中最短的.

x2pt2x2pt

④y2px(或x2py)的参数方程为(或)(t为参数). 2

y2pty2pt

2

2

四、圆锥曲线的统一定义..

4. 圆锥曲线的统一定义:平面内到定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹. 当0e1时,轨迹为椭圆; 当e1时,轨迹为抛物线; 当e1时,轨迹为双曲线;

c

当e0时,轨迹为圆(e,当c0,ab时).

a5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如:椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.

因为具有对称性,所以欲证AB=CD, 即证AD与BC的中点重合即可.

1. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质. 2. 等轴双曲线 3. 共轭双曲线

5. 方程y2=ax与x2=ay的焦点坐标及准线方程. 6.共渐近线的双曲线系方程.

范文十:圆锥曲线和方程(含答案)

圆锥曲线方程

x2y2

1的焦距是( ) 1.椭圆

2516

A.3 B.6 C.8 D.10

x2y23

1上,则椭圆的离心率为 2.已知点A(26,)在椭圆2

59a

A.

4355

B. C. D. 5534

3.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,焦距为6,则椭圆的方程为

x2y2x2y2x2y2x2y2

1 B.1 C.1或1 D.以上都不对 A.

916251625161625

4.椭圆x28y21的焦点坐标是( ).

A.(1,0) B

.(0, C

.( D

.(0,

5.椭圆x28y21的焦点坐标是( ).

A.(1,0) B

.(0, C

.( D

.(0, x2y2343161的离心率为( ) A B. C D 6.椭圆

10036554257.椭圆

的焦距为 ( ) A.10 B.5 C.

D.

8.若椭圆经过原点,且焦点分别为F 则该椭圆的短轴长为( ) (,),F(,3),10120A

、、2 D、4

x2y2

1的渐近线方程为( ) 9.双曲线

916

A.y

16934x B.yx C.yx D.yx 91643

x2y2

1(7<λ<9)的焦点坐标为( ) 10.双曲线

97

A.(±4,0) B.

0) C.(0,±4) D.(0

x2y2222

11.若椭圆221过抛物线y8x的焦点, 且与双曲线xy1有相同的焦

ab

点,则该椭圆的方程是( )

x2y2x2x2y2y222

1 B.y1 C.1 D.xA.1 422433x2

y21共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是( ) 12.与椭圆4x2x2x2y222

y1 B.y1 C.1 D.x23y21 A.4233

x2y2

212ab13.设双曲线的虚轴长为2,焦距为2,则此双曲线的离心率为( ).

3A.2 B.2

C.2

D.2

22

14.双曲线xy1的渐近线方程为 ( )

169

A.y

16493x B.yx C.yx D.yx 93164

1

15.抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为( ) A)2 (B)1 (C)2 (D)4

16.抛物线y24x0上一点P到焦点的距离为3,那么P的横坐标是( ) A.3 B.2 C.

2

5

D.2 2

17.抛物线y4x的焦点坐标是( ) A.(0,1) C.1,0 B.0, D.0,

181

 16

x2y22

18. 已知双曲线221的一个焦点与抛物线y4x的焦点重合,且双曲线的离

ab

4y2x2y2y2x25y221 B.1 C.1 D.5x1 A.5x554544

2

19.抛物线x4y的准线方程是( )

2

1

B.x1 C.y1 D.y2 16

20.设抛物线的顶点在原点,准线方程为x2,则抛物线的方程是( )

A.x

A.y8x B.y4x C.y8x D.y4x

2

2

2

2

参考答案

1.B 【解析】

试题分析:依题意得,a225,b216,

222abc又∵在任意椭圆中有,从而c2a2b225169,解得c3.

则该椭圆的焦距即2c6,故选B.

考点:椭圆的标准方程. 2.A 【解析】

x2y232222

1,试题分析:将A(2,)代入2解得a5,又b9由abc,得c4,

59a

所以离心率e

c4

,故选A. a5

考点:椭圆的离心率. 3.C 【解析】

试题分析:由题:2a+2b=18,2c=6,a2b2c2,所以,a=5,b=4,c=3,所以椭圆方程有

x2y2x2y2

1或1 两种,

25161625

考点:椭圆方程的求法

4.C 【解析】

y217

1,知a21,b2,所以c2a2b2,可以

试题分析:化方程为标准形式x1888

2

求出焦点坐标是(.

考点:椭圆的标准方程 5.C 【解析】

y217

1,知a21,b2,所以c2a2b2,可以

试题分析:化方程为标准形式x888

2

求出焦点坐标是(

考点:椭圆的标准方程 6.B

【解析】

试题分析:由椭圆方程知a100,a10,b36,b6,那么

2

2

ecab36,c,可得椭圆离心率为6

考点:椭圆的标准方程与几何意义.

7.D

【解析】由题意

,选D.

8.B 【解析】

,所

222

c4. a5

,所

以,即焦距

试题分析:由椭圆焦点为F可知2c2,c1.中心为0,2,则可设椭(,),F(,3),10120

圆方程为

x

b2

2

y2

a2

2

1,图像过0,01,又a2b2c2b2点,代入可

4

1,b

b21

那么椭圆的短轴长为2b 考点:椭圆的几何性质. 9.D 【解析】

试题分析:由方程可知a9.b16a3,b4,渐近线为y考点:双曲线方程及几何性质 10.B 【解析】

2

2

b4xx a3

x2y2

1(7<λ<9) 试题分析:∵双曲线

97x2y2

1 ∴9-λ>0且7-λ<0,方程化为

97

由此可得:双曲线焦点在x

轴,且c∴双曲线的焦点坐标为( 故选:B

考点:双曲线的标准方程. 11.A 【解析】



试题分析:根据题意值抛物线的焦点为2,0,双曲线的焦点在x

轴上且为,所以



ca2

椭圆的焦点在x轴上,则

由解得2,所以所求椭圆的方程为a2

b2a2b2c2

x2y2

1,选择A. 42

考点:1.抛物线的焦点坐标;2.双曲线的焦点坐标;3.椭圆的标准方程. 12.B 【解析】

x2

y21可知c2413,

其焦点为. 试题分析:由椭圆方程4



2212

a2b21x2y2

所以可设双曲线方程为221,a0,b0.依题意可

得c解得

abc2a2b2



2

a2

. 2

b1

x2y2

1,故B正确. 所以双曲线方程为

21

考点:椭圆,双曲线的标准方程. 13.A 【解析】

试题分析:由已知知b1,

ca

考点:双曲线的离心率. 14.D 【解析】

试题分析:双曲线的焦点在x轴,所以渐近线方程为y考点:双曲线渐近线方程 15.C 【解析】

2

p2x4y的焦点到准线的距离为p2 试题分析:由已知,故抛物线

e

c,选A. 

a2

b3xx a4

考点:抛物线的性质

16.B. 【解析】

试题解析:依题设点P的横坐标为xP,又抛物线y24x0即y4xx0的准线为

2

x1,

∴ xP13即xP2, 故选B 考点:抛物线的定义、几何性质 17.D 【解析】

试题分析:根据抛物线x22py的焦点坐标为(0,焦点坐标为(0,

p1)可知,抛物线y4x2即x2y的

42

1

),故选D. 16

考点:抛物线的标准方程及其几何性质. 18.D 【解析】

x2y2

试题分析:由题可知,抛物线y4x的焦点为(1,0),双曲线221的焦点为(c,0),

ab

2

(c,0),因此c1,双曲线的离心率为e

c1522

,因此a,又因为ab1,aa5

5y242

1 故b,即双曲线的方程为5x45

2

考点:双曲线相关性质

19.C 【解析】

试题分析:抛物线的标准方程x4y,则2p4,得p2,且焦点在y轴上, 所以y

2

p

1,即准线方程为y1. 2

故选C.

考点:抛物线方程的应用. 20.C 【解析】 试题分析:由于

p

2p4,则抛物线的方程是y28x,选C 2

考点:抛物线的标准方程,交点坐标,准线方程;