圆锥曲线知识点总结

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范文一:圆锥曲线知识点总结

圆锥曲线方程

一、椭圆:

(1) 椭圆的定义:平面内与两个定点F1,F2|F1F2|)的点的轨迹。

(其中:两个定点叫做椭圆的焦点,焦点间的距离叫做焦距。)

注意:2aF1F2表示椭圆;2aF1F2表示线段F1F2;2aF1F2没有轨迹;

(1) 双曲线的定义:平面内与两个定点F1,F2|F1F2|)的点的轨迹。

(其中:两个定点叫做双曲线的焦点,焦点间的距离叫做焦距。)

注意:|PF1||PF2|2a与|PF2||PF1|2a(2a|F1F2|)表示双曲线的一支;

2a|F1F2|表示两条射线; 2a|F1F2|没有轨迹;

(2)双曲线的标准方程、图象及几何性质:

(3)双曲线的渐近线:

2222

①求双曲线xy1的渐近线,可令其右边的1为0,即得xy0,因式分解得到

2222

abab

xy

0。 ab

222y2xy②与双曲线221共渐近线的双曲线系方程是22;

222

(4)等轴双曲线为xyt

(1)抛物线的定义:平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。定点为焦点,定直线叫做准线。

(2) 抛物线的标准方程、图象及几何性质:p0

范文二:圆锥曲线知识点总结

圆锥曲线知识点总结

2014.1(高二理科) 一、椭圆:

1.椭圆定义:平面内与两个定点F)的点的轨1,F2的距离之和等于常数(大于F1F2迹称为椭圆.这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距. 2.椭圆方程及其简单的几何性质:

二、双曲线:

1.双曲线的定义:平面内与两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数(小于

1

)的点的轨迹称为双曲线.这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲F1F2线的焦距.

2.双曲线的方程及简单的几何性质:

3.等轴双曲线:实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线.

等轴双曲线的性质:(1)渐近线方程为:yx(渐近线互相垂直);(2)离心率e三、抛物线:

1.抛物线的定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点F称为抛物线的焦点,定直线l称为抛物线的准线. 2.抛物线的方程及简单的几何性质:

2。

2

四、椭圆,双曲线,抛物线三种圆锥曲线可统一定义为:平面内到定点和到定直线的距离之比等于常数e的点的轨迹。当0e1时,轨迹为椭圆;当e1时,轨迹为抛物线;当e1时,轨迹为双曲线。其中定点F称为焦点,定直线l称为准线,常数e称为离心率。

五、圆锥曲线常用的数量关系:

六、椭圆性质总结

x0xy0yx2y2

21. 11. 若P在椭圆上,则过的椭圆的切线方程是(x,y)P0000222

abab

x2y2

2. 若P0(x0,y0)在椭圆221外 ,则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切

ab

xxyy

点弦P1P2的直线方程是02021.

ab

x2y2

3. 椭圆221 (a>b>0)的左右焦点分别为F1,F 2,点P为椭圆上任意一点

ab

F1PF2,则椭圆的焦点角形的面积为SF1PF2b2tan.

2

x2y2

4. AB是椭圆221的不平行于对称轴的弦,M(x0,y0)为AB的中点,则

ab

3

kOMkAB

b2x0b2

2,即KAB2。

aay0

七、双曲线性质总结

x2y2

1. 若P0(x0,y0)在双曲线221(a>0,b>0)上,则过P0的双曲线的切线方程是

ab

x0xy0y

21. 2ab

x2y2

2. 若P0(x0,y0)在双曲线221(a>0,b>0)外 ,则过Po作双曲线的两条切线切

ab

xxyy

点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是02021.

ab

x2y2

3. 双曲线221(a>0,b>o)的左右焦点分别为F1,F 2,点P为双曲线上任意一点

ab

F1PF2,则双曲线的焦点角形的面积为SF1PF2b2tan.

2

x2y2

4. AB是双曲线221(a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M(x0,y0)为AB的中

ab

b2x0b2x0

点,则KOMKAB2,即KAB2。

ay0ay0

八 、“共渐近线”的双曲线

2222

xyxy 与(1)1共渐近线的双曲线系方程可设为22(0,为参数),22abab y2x2y2x2(2) 与221共渐近线的双曲线系方程可设为22(0,为参数),

n

x(nxmy0),则双曲线的方程可设为 m

x2y2x2y22222

(0)(nxmy)的形式.其中当0时,22表示焦点m2n2mn

x2y2

在x轴上的双曲线;当0时,22表示焦点在y轴上的双曲线.

mn

(3).若渐近线方程为y

abab

4

范文三:圆锥曲线知识点总结(好)

圆锥曲线知识点总结

一、考点概要:

1、椭圆:

(1)轨迹定义:

在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆,两定点是焦点,两定点间距离是焦距,且定长2a大于焦距2c

。用集合表示为:

(2)标准方程和性质:

注意:当没有明确焦点在个坐标轴上时,所求的标准方程应有两个。

3、双曲线:

(1)轨迹定义:

在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线,两定点是焦

点,两定点间距离是焦距。用集合表示为:

(2)标准方程和性质:

注意:当没有明确焦点在个坐标轴上时,所求的标准方程应有两个。

4、抛物线:

(1)轨迹定义:在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线,定点是焦点,定直线是准线,定点与定直线间的距离叫焦参数p

。用集合表示为

(2)标准方程和性质:

①焦点坐标的符号与方程符号一致,与准线方程的符号相反;

②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;

③标准方程的顶点在原点,对称轴是坐标轴,有别于一元二次函数的图像;

5、曲线与方程:

(1)轨迹法求曲线方程的程序:

①建立适当的坐标系;

②设曲线上任一点(动点)M的坐标为(x,y);

③列出符合条件p(M)的方程f(x,y)=0;

④化简方程f(x,y)=0为最简形式;

⑤证明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上;

(2)曲线的交点:

由方程组确定,方程组有几组不同的实数解,两条曲线就有几个公共点;方程组没有实数解,两条曲线就没有公共点。

二、复习点睛:

1、平面解析几何的知识结构:

2、椭圆形状与e的关系:当e→0,c→0,椭圆→圆,直至成为极限位置的圆,则认为圆是椭圆在e=0时的特例。当e→1,c→a椭圆变扁,直至成为极限位置的线段

可认为是椭圆在e=1时的特例。

3、利用焦半径公式计算过焦点的弦长:若过椭圆左(或右)焦点的焦点弦为AB

,则

4、弦长公式:若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB,A、B两点的坐标分别为,则弦长

,此时也

这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想。

5、双曲线形状与e的关系:,e越大,即渐近线的斜率的绝对值就越大,这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知,双曲线的离心率越大,它的开口就越阔。

6、双曲线

7、等轴双曲线:a=b 的焦点到渐近线的距离为b。

8、过双曲线

点的情况如下: 外一点P(x,y)的直线与双曲线只有一个公共

(1)P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;

(2)P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;

(3)P在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;

(4)P为原点时不存在这样的直线;

9、结合图形熟记抛物线:“两点两线,一个直角梯形”,即:两点:顶点和焦点;两线:准线、焦点弦;梯形:直角梯形ABCD。

10、抛物线 的焦点弦(过焦点的弦)为AB

,且

,则有如下结论:

11、过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线;

12、处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用点差法:即设

曲线上不同的两点,是的中点,则可得到弦中点与两点间关系:

13、当涉及到弦的中点时,通常有两种处理方法:一是韦达定理,即把直线方程代入曲线方程,消元后,用韦达定理求相关参数(即设而不求);二是点差法,即设出交点坐标,然后把交点坐标代入曲线方程,两式相减后,再求相关参数。在利用点差法时,必须检验条件△>0是否成立。

14、直线和圆锥曲线位置关系

(1)位置关系判断:△法(△适用对象是二次方程,二次项系数不为0)。

其中直线和曲线只有一个公共点,包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种情形;后一种情形下,消元后关于或方程的二次项系数为0。

直线和抛物线只有一个公共点,包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情况;后一种情形下,消元后关于或方程的二次项系数为0。

(2)直线和圆锥曲线相交时,交点坐标就是方程组的解。

15、求轨迹方程的常用方法:

(1)直接法:直接通过建立x、y之间的关系,构成(x,y)=0F,是求轨迹的最基本的方法;

(2)待定系数法:所求曲线是所学过的曲线:如直线,圆锥曲线等,可先根据条件列出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可;

(3)代入法(相关点法或转移法):若动点P(x,y)依赖于另一动点

化,并且又在某已知曲线上,则可先用x、y的代数式表示

的变化而变,再将带入已知曲线得要求的轨迹方程;

(4)定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程;

(5)参数法:当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将x、y均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程。 注意:

①在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.

②如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”,那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化。

16、圆锥曲线中求范围;二是建立不等式,通过解不等式求范围。中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为:;

17、不管是设定何种参数,都必须将形的已知条件(如:“相切”、“中点”等)转化为关于参数的方程组,所以提高阅读能力,准确领会题意,抓住关键信息是基础而又重要的一步。

范文四:圆锥曲线知识点总结1

圆锥曲线知识点小结

一.圆锥曲线的定义 圆锥曲线的定义:

椭圆:平面内与两个定点

的距离之和等于定长(大于 )的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 叫做椭圆

的焦点,两焦点的距离

叫做椭圆的焦距。

数学语言: 数学语言

常数 2a=

,轨迹是线段

常数 2a

,轨迹不存在;

双曲线:平面内与两个F1,F2的距离之差的绝对值等于常数(小于||F1F2)的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点

做双曲线的焦点,两焦点的距离 数学语言: 数学语言: 叫做双曲线的焦距。

MF1 − MF2 = 2a

2a ,轨迹不存在;常数 2a=0,轨迹是 F1 F2 的中垂线。

常数 2a=

,轨迹是两条射线; 常数 2a>

抛物线

平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点 F 叫做抛 物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线.(注:F 不在 l 上) 当 F 在 l 上时是过 F 点且垂直于 l 的一条直线。

图形

标准方程

焦点坐标

准线方程

1

(www.wenku1.com)(1)定点 F1 (−3,0), F2 (3,0) ,在满足下列条件的平面上动点 P 的轨迹中,是椭圆的是( ) A. PF 1 + PF 2 = 4 B. PF 1 + PF 2 = 6 C. PF1 + PF 2 = 10 D. PF 1

2

+ PF 2

2

= 12

(2)方程 ( x − 6)2 + y 2 − ( x + 6)2 + y 2 = 8 表示的曲线是____ ) 二、圆锥曲线的标准方程 椭圆: 椭圆:焦点在 x 轴上时:

x2 y2 y2 x2 + 2 = 1 焦点在 y 轴上时: 2 + 2 = 1 a2 b a b

注:是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上。

双曲线:焦点在 x 轴上时: 双曲线

x2 y2 y2 x2 − 2 = 1 焦点在 y 轴上时: 2 − 2 = 1 a2 b a b

注:是根据项的正负来判断焦点所在的位置。 抛物线的标准方程: 抛物线的标准方程:

(1)已知方程 )

x2 y2 + = 1 表示椭圆,则 k 的取值范围为____ 3+k 2−k

x2 y2 (2)已知方程 ) − = 1 表示双曲线,求 m 取值范围。 m+ 2 m+1

(3)已知方程 )

x2 y2 + = 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是( ) m −1 2 − m

2 (4)抛物线 y =mx(m≠0)的焦准距 p 为------------,焦点坐标是-------------,准线方程是---------. )

三、椭圆与双曲线的性质分析

双曲线 分类 椭圆 平面内与两个F1,F2的距离之和等 平面内与两个F1, 2的距离之差的绝对值 F 等于常数(小于||F1F2)的点的轨迹

定义

于常数(大于||F1F2)的点的轨迹

y

图形

x

标准方程

x2 y2 + = 1(a > b > 0) a 2 b2

c2 = a 2 − b2

x2 y2 − = 1(a > 0,b > 0) a 2 b2

c2 = a 2 + b2

a、 c关系 b、

a、b、c的意义

a是长半轴长,b是短半轴长,c是半焦距

a是实长半轴长,b是虚短半轴长,c是半焦距

范围

− a ≤ x ≤ a,

−b ≤ y ≤ b

2

x ≤ − a,

x≥a

y∈R

(www.wenku1.com)分类

椭圆 双曲线

对称性

关于x轴和y轴对称, 也关于原点对称

A1 ( − a , 0 ) B1 ( 0 ,

− b )

关于x轴和y轴对称, 也关于原点对称

顶点

A2 ( a , 0 ) B2 (0, b )

A1 ( − a , 0 ),

A2 ( a , 0 )

离心率

e=

c a F2 ( c , 0 )

e =

c a F2 ( c , 0 )

焦点坐标

F1 ( − c , 0 ),

F1 ( − c , 0 ), y=±

渐近线 无

抛物线几何性质:

标准方程 y y y F 图 象

b x a

y

O O F x F O x O x F x

范 围 焦点坐 标 顶点坐 标 离 心 率 F(

x≥0 p ,0)错误!未 错误! 错误 2 指定书签。 指定书签。 O(0,0)

x≤0 p ,0) 2

y≥0 p ) 2

y≤0 p ) 2

F(-

F(0,

F(0,-

O(0,0)

O(0,0)

O(0,0)

e=1

e=1

e=1

e=1

对 称 轴

x轴

x轴

y轴

y轴

焦 半 径 准线方 程 p 的几 何意义

|PF|=x0+ p x=- 2

p 2

|PF|=-x0+ p x= 2

p 2

|PF|=y0+ p 2

p 2

|PF|=-y0+ p 2

p 2

y=-

y=

抛物线的焦点到准线的距离,p 越大张口就越大

3

(www.wenku1.com)通 径

过焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线两交点间的线段叫做抛物线的通径,其长为 2p

(1)椭圆 )椭圆若椭圆

x2 y2 10 ,则 m 的值是__ + = 1 的离心率 e = 5 m 5

(2)双曲线的渐近线方程是 3x ± 2y = 0,则该双曲线的离心率等于______ ) (3)若该抛物线上的点 M 到焦点的距离是 4,则点 M 的坐标为__ ) (4)设双曲线 )

x2 y2 − = 1 (a>0,b>0)中,离心率 e∈[ 2 ,2],则两条渐近线夹角 θ 的取值范围是________ a 2 b2

(5)设 a ≠ 0, a ∈ R ,则抛物线 y = 4ax2 的焦点坐标为________

(6)双曲线的离心率等于 )

x2 y 2 5 ,且与椭圆 + = 1有公共焦点,则该双曲线的方程_____ 9 4 2

(7)设中心在坐标原点 O ,焦点 F1 、 F2 在坐标轴上,离心率 e = ) _______

2 的双曲线 C 过点 P(4,− 10) ,则 C 的方程为

(8)已知抛物线方程为 y2 = 8x ,若抛物线上一点到 y 轴的距离等于 5,则它到抛物线的焦点的距离等于____; ) (9)抛物线 y 2 = 2x 上的两点 A、B 到焦点的距离和是 5,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为______ )

4

(www.wenku1.com)四、点 P ( x0 , y0 ) 和椭圆

x2 y2 + = 1 ( a > b > 0 )的关系 的关系: a2 b2

2 2 x0 y 0 + = 1 ⇒ p 点在椭圆上。 a 2 b2 2 2 x0 y 0 + 2 1 ⇒ p 点在椭圆外。 a2 b

对于双曲线和抛物线与点的位置关系可以此类推。 五、直线与圆锥曲线的位置关系: 在这里我们把圆包括进来) 直线与圆锥曲线的位置关系 (在这里我们把圆包括进来)

(1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的 a.直线与圆:一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法),也可以利用方程实根的个数来判断(解析法). b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程,判断相交、相切、相离 c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性

2 (2).a.求弦长。公式:弦长 l = 1 + k 2 x1 − x2 = (

1 + k 2 ) ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2    其中 k 为直线的斜率, ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) 是两交点坐标.

b.求弦所在的直线方程 c.根据其它条件求圆锥曲线方程 (3).已知一点 A 坐标,一直线与圆锥曲线交于两点 P、Q,且中点为 A,求 P、Q 所在的直线方程(点差法) (4).已知一直线方程,某圆锥曲线上存在两点关于直线对称,求某个值的取值范围(或者是圆锥曲线上否存在两点 关于直线对称)

(1)若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支有两个不同的交点,则 k 的取值范围是_______ ) (2)直线 y―kx―1=0 与椭圆 )

x2 y 2 + = 1 恒有公共点,则 m 的取值范围是______ 5 m

(3)过双曲线 )

x2 y2 − = 1 的右焦点直线交双曲线于 A、B 两点,若│AB︱=4,则这样的直线有_____条. 1 2

x2 y2 (4)过双曲线 2 − 2 =1 外一点 P ( x0 , y0 ) 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下: ) a b

(5)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。 ) (6)过点 ( 2,4) 作直线与抛物线 y 2 = 8x 只有一个公共点,这样的直线有__ )

(7)过点(0,2)与双曲线 )

x2 y 2 − = 1 有且仅有一个公共点的直线的斜率取值范围为______ 9 16

5

(www.wenku1.com)(8)过双曲线 x 2 − )

y2 = 1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,若 AB = 4,则满足条件的直线 l 有__条 2

2

2 (9)对于抛物线 C: y = 4 x ,我们称满足 y 0

内部,则直线 l : y 0 y = 2( x + x 0 ) 与抛物线 C 的位置关系是_______

2 ( 10)过抛物线 y = 4x 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P 、 Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p、 q ,则 )

1 1 + = _______ p q

(11)求椭圆 7 x 2 + 4 y 2 = 28 上的点到直线 3x − 2 y − 16 = 0 的最短距离 ) (12)直线 y = ax + 1 与双曲线 3x2 − y 2 = 1交于 A 、 B 两点。 ) ①当 a 为何值时, A 、 B 分别在双曲线的两支上? ②当 a 为何值时,以 AB 为直径的圆过坐标原点? 1、求弦长问题: 、 弦长问题: 问题 : 过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A x1, 1) B x2, 2) ( y ,( y 两点, x1+x2=6, 若 那么|AB|等于_______ (1) ) (2)过抛物线 y 2 = 2 x 焦点的直线交抛物线于 A、B 两点,已知|AB|=10,O 为坐标原点,则 ∆ABC 重心的横 ) 坐标为_______ 2、圆锥曲线的中点弦问题: 、圆锥曲线的中点弦问题: (1)如果椭圆 )

x2 y2 + = 1 弦被点 A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是 36 9 x2 y2 + = 1(a > b > 0) 相交于 A、 两点, B 且线段 AB 的中点在直线 L: -2y=0 x a2 b2

已知直线 y=-x+1 与椭圆 (2) ) 上,则此椭圆的离心率为_______

(3

)试确定 m 的取值范围,使得椭圆 )

x2 y2 + = 1 上有不同的两点关于直线 y = 4 x + m 对称 4 3

y P M B A x

特别提醒:因为 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件 的必要条件, 特别提醒 因为 ∆ > 0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦 长、对称问题时,务必别忘了检验 ∆ > 0 ! 对称问题时,

3、直线恒过定点问题: 、直线恒过定点问题: (1)A、B 是抛物线 y2=2px(p>0)上的两点,且 OA⊥OB(O 为坐标原点) 求证:直线 AB 经过一个定点;

O

(2)抛物线 y2=2px(p>0)上有两个动点 A、B 及一定点 M(p, 2p) 为焦点;若|AF|、|MF|、|BF|成等差数列, ,F 求证:线段 AB 的垂直平分线过定点。 y B M A O F x

6

例3图

(www.wenku1.com)4、焦点三角形问题: 、焦点三角形问题: 问题 (1)短轴长为 5 ,离心率 e = ) 周长为________ (2)设 P 是等轴双曲线 x 2 − y 2 = a 2 (a > 0) 右支上一点,F1、F2 是左右焦点,若 PF2 ⋅ F1 F2 = 0 ,|PF1|=6,则该 ) 双曲线的方程为

2 的椭圆的两焦点为 F1 、 F2 ,过 F1 作直线交椭圆于 A、B 两点,则 ∆ABF2 的 3

(3)双曲线的虚轴长为 4,离心率 e= )

6 ,F1、F2 是它的左右焦点,若过 F1 的直线与双曲线的左支交于 A、 2

B 两点,且 AB 是 AF2 与 BF2 等差中项,则 AB =_______ 已知双曲线的离心率为 2, 1、 2 是左右焦点, 为双曲线上一点, ∠F1 PF2 = 60 o ,S ∆PF1F2 = 12 3 . F F P 且 求 (4) ) 该双曲线的标准方程。 5、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质: 、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质

若抛物线的方程为 y2=2px(p>0) ,过抛物线的焦点 F( A(x1,y1) 、B(x2,y2)两点,则 p2 1 1 2 + = ; (1) y1y2=-p2;x1x2= ; (2)| AB|=x1+x2+p;通径=2P (3) |AF| |BF| p 4 (4) 过 A、B 两点作准线的垂线,垂足分别为 A/、B/,F 抛物线的焦点,则∠A/FB/=900; (5) 以弦 AB 为直径的圆与准线相切。 (6) 设 A, B 是抛物线 y2=2px 上的两点,O 为原点, 则 OA⊥OB 的充要条件是直线 AB 恒过定点(2p,0) p ,0)的直线交抛物线与 2

六.你了解下列结论吗? 你了解下列结论吗

共渐近线的双曲线系: n x y x即 ± = 0 m m n x2 y 2 的双曲线方程可设为: 2 − 2 = λ ( λ ≠ 0 ) m n λ > 0时表示焦点在x轴上的双曲线; λ

(1) 渐近线方程为:y = ±

x2 y 2 − = 1有相同的渐近线的 a2 b2 2 x y2 双曲线方程可设为: 2 − 2 = λ ( λ ≠ 0 ) a b

( 2 ) 与双曲线

(1)与双曲线

x2 y2 − = 1 有共同的渐近线,且过点 (−3,2 3) 的双曲线方程为_______ 9 16

L N N O

y P P F A x

(2) 中心在原点,一个焦点为(3,0),一条渐近线方程 2x-3y=0 的双曲线方程

是------

-七、圆锥曲线中的最值问题 (1)如图所示,若 A(3,2) 为抛物线 y2=2x 的焦点,求|PF|+|PA|的最小值,以 ,F

7

例8图

(www.wenku1.com)及取得最小值时点 P 的坐标。 变式:若 A(3,5)呢? (2).定长为 3 的线段 AB 的端点 A、B 在抛物线 y = x 上移动,求 AB 中点 M 到 y 轴距离的最小值,并求此时 AB 中

2

点 M 的坐标。

2 2 (3)若 x, y ∈ R ,且 3x 2 + 2 y 2 = 6 ,则 x + y 的最大值是___, x + y 的最小值是 )

(4)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时,则椭圆长轴的最小值为__ 八.动点轨迹方程问题 动点轨迹方程问题: 问题

1、直接法 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当所求动点的要满足的条件简单明确时,直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基 本步骤求轨迹方程, 称之直接法.

例 1.点 M 与定点 F (0, 2) 的距离和它到定直线 y = 8 的距离的比是 1: 2 ,求点的轨迹方程式,并说明轨迹是 什么图形.

变式: 变式:已知动点 P 到定点 F(1,0)和直线 x = 3 的距离之和等于 4,求 P 的轨迹方程.

2、待定系数法: 待定系数法: 已知轨迹是什么图形,先设出其标准方程,再求出参数。 已知轨迹是什么图形,先设出其标准方程,再求出参数。 例 2、 已知椭圆的焦点坐标为 和 ,且经过点

0

,求椭圆的标准方程。

变式:抛物线的顶点在原点,以 x 轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为 135 的直线,被抛物线截得的弦长为 8,试求抛物 线的方程。 3、定义法:定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线等)的定义或特征, 定义法: 定义法 再求出该曲线的相关参量,从而得到轨迹方程. 例 3、求与圆 ( x − 3) 2 + y 2 = 1 及 ( x + 3) 2 + y 2 = 9 都外切的动圆圆心的轨迹方程 解:设动圆的半径为 r,则由动圆与定圆都外切得

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MF1 = 3 + r , MF2 = 1 + r ,

又因为 MF1 − MF2 = (3 + r ) − (1 + r ) = 2 , 由双曲线的定义可知,点 M 的轨迹是双曲线的一支

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所求动圆圆心的轨迹是双曲线的一支,其方程为:

x2 y2 − = 1 ( x ≥ 1) 1 8

变式:(1)、一动圆与圆 x 2 + y 2 + 6 x + 5 = 0 外切,同时与圆 x 2 + y 2 − 6 x − 91 = 0 内切,求动圆圆心的轨迹方 变式 程式,并说明它是什么曲线.

(2 、 已知 ∆ABC 的底边 BC 长为 12,且底边固定,顶点 A 是动点,使 sin B − sin C =

1 sin A ,求点 A 的轨迹 2

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分析:首先建立坐标系,由于点 A 的运动规律不易用坐标表示,注意条件的运用,可利用正弦定理将其化为边的关 系,注意有关限制条件 解:以底边 BC 为 x 轴,底边 BC 的中点为原点建立 xoy 坐

标系,这时

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1 B (−6,0), C (6,0) ,由 sin B − sin C = sin A 得 2 1 b − c = a = 6 ,即 | AC | − | AB |= 6 所以,点 A 的轨迹是以 B (−6,0), C (6,0) 为焦点,2 a =6 的双曲线的左支 其方程 2

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8

(www.wenku1.com)为:

x2 y2 − = 1( x

(3) .动点到点(3,0)的距离比它到直线 x=-2 的距离大 1,则动点的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的一支 D.抛物线 解析: 解析:由题意可知,动点到点(3,0)的距离等于它到直线 x=-3 的距离,由抛物线定义知动点的轨迹是抛物线.答 答 案:D 4、代入法 当题目中有多个动点时,将其他动点的坐标用所求动点 P 的坐标 x, y 来表示,再代入到其他动点要满足的条件或轨 迹方程中,整理即得到动点 P 的轨迹方程,称之代入法,也称相关点法、转移法.

例 4:点 A 位于双曲线

x2 y2 − = 1(a > 0, b > 0) 上, F1 , F2 是它的两个焦点,求 ∆AF1F2 的重心 G 的轨迹方程 a 2 b2

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分析:要求重心的轨迹方程,必须知道三角形的三个顶点的坐标,利用相关点法进行求解 解:设 ∆AF1 F2 的重心 G 的坐标为 ( x, y ) ,则点 A 的坐标为 (3 x,3 y )

注意限制条件

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因为点 A 位于双曲线

(3 x) 2 (3 y ) 2 x2 y2 x2 y2 − 2 = 1(a > 0, b > 0) 上,从而有 − 2 = 1( y ≠ 0) ,即 − = 1( y ≠ 0) a 2 b 2 a2 b a2 b ( ) ( ) 3 3

x2 y2 − = 1( y ≠ 0) 所以, ∆AF1 F2 的重心 G 的轨迹方程为 a 2 b 2 ( ) ( ) 3 3

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2 2 变式: 变式:如图,从双曲线 C : x − y = 1 上一点 Q 引直线 l : x + y = 2 的垂线,垂足为 N ,求线段 QN 的中点 P 的轨

迹方程. 解:设 P ( x, y ),Q ( x1 , y1 ) ,则 N ( 2 x − x1 ,2 y − y1 ) .Q N 在直线 l 上, y P Q N O x

y − y1 ∴ 2 x − x1 + 2 y − y1 = 2. ① 又 PN ⊥ l 得 = 1, 即 x − y + y1 − x1 = 0 .② x − x1

3x + y − 2  3x + y − 2 2 3 y + x − 2 2 x =  1 2 联解①②得  . 又 点 Q 在 双 曲 线 C 上 , ∴( ) −( ) =1 , 化 简 整 理 得 : 2 2 3y + x − 2 y =  1  2

2 x 2 − 2 y 2 − 2 x + 2 y − 1 = 0 ,此即动点 P 的轨迹方程.

5、参数法 参数法是指先引入一个中间变量(参数) ,使所求动点的横、纵坐标 x, y 间建立起联系,然后再从所求式子中消去 参数,得到 x, y 间的直接关系式,即得到所求轨迹方程. 例 5 过抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0 )的顶点 O 作两条互相垂直的弦 OA 、 OB ,求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程. 解:设 M ( x, y ) ,直线 OA 的斜率为 k ( k ≠ 0) ,则直线 OB 的斜率为 −

 y = kx 1 .直线 OA 的方程为 y = kx ,由  2 k  y = 2 px

 x = 解得   y =  

2p k 2 ,即 A( 2 p , 2 p ) ,同理可得 B ( 2

pk 2 ,−2 pk ) . k2 k 2p k

9

(www.wenku1.com) x = 由中点坐标公式,得   y =  

p + pk 2 2 k2 ,消去 k ,得 y = p ( x − 2 p ) ,此即点 M 的轨迹方程. p − pk k

6、交轨法 求两曲线的交点轨迹时,可由方程直接消去参数,或者先引入参数来建立这些动曲线的联系,然后消去参数来得到 轨迹方程,称之交轨法. 例 6 如右图,垂直于 x 轴的直线交双曲线

x2 y2 − = 1 于 M N 两点, A1 , A2 为双曲线的左、右顶点,求直线 A1 M a 2 b2

y P A1 O A2 N M x

与 A2 N 的交点 P 的轨迹方程,并指出轨迹的形状. 解:设 P ( x, y ) 及 M ( x1 , y1 ), N ( x1 ,− y1 ) ,又 A1 ( − a,0), A2 ( a,0) ,可得 直线 A1 M 的方程为 y =

y1 − y1 ( x + a ) ①;直线 A2 N 的方程为 y = ( x − a) ②. x1 + a x1 + a

x12 y12 − y12 b2 b2 2 2 ①×②得 y = 2 ( x − a ) ③. 又Q 2 − 2 = 1, ∴ − y12 = 2 (a 2 − x12 ) ,代入③得 y 2 = − 2 ( x 2 − a 2 ) ,化简 x1 − a 2 a b a a

2

x2 y2 + = 1 ,此即点 P 的轨迹方程. 当 a = b 时,点 P 的轨迹是以原点为圆心、 a 为半径的圆;当 a ≠ b 时,点 P 的 a2 b2

轨迹是椭圆.

练习: (1)与 y 轴相切且和半圆 x 2 + y 2 = 4(0 ≤ x ≤ 2) 内切的动圆圆心的轨迹方程是 .

(2)线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M(m,0) ( m > 0) ,端点 A、B 到 x 轴距离之积为 2m,以 x 轴为对称轴,过 A、 O、B 三点作抛物线,则此抛物线方程为

(3)由动点 P 向圆 x 2 + y 2 = 1 作两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,∠APB=600,则动点 P 的轨迹方程为

x (4)点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线 l: +5=0的距离小于 1,则点 M 的轨迹方程是_______ )

(5) 一动圆与两圆⊙M: x 2 + y 2 = 1 和⊙N: x 2 + y 2 − 8 x + 12 = 0 都外切,则动圆圆心的轨迹为 (6)动点 P 是抛物线 y = 2 x 2 + 1 上任一点,定点为 A ( 0, − 1) ,点 M 分 PA 所成的比为 2,则 M 的轨迹方程为__________

 →

AB 且|AB|=2a, 为圆上一动点, MN⊥AB, M 作 垂足为 N, OM 上取点 P , | OP |=| MN | , 在 使 (7) 是圆 O 的直径, ) 求点 P 的轨迹。 (8)若点 P( x1 , y1 ) 在圆 x 2 + y 2 = 1 上运动,则点 Q ( x1 y1 , x1 + y1 ) 的轨迹方程是____ )

2 (9)过抛物线 x = 4 y 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A、B 两点,则弦 AB 的中点 M 的轨迹方程是________ )

10

(www.wenku1.com)(10)已知椭圆 )

x2 y2 + = 1( a > b > 0) 的左、右焦点分别是 F1(-c,0) 2(c,0) 是椭圆外的动点,满足 、F ,Q a2 b2

| F1Q |= 2a. 点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点,点 T 在线段 F2Q 上,并且满足 PT ⋅ TF2 = 0, | TF2 |≠ 0.

(1)设 x 为点 P 的横坐标,证明 | F1 P |= a +

c x; a

(2)求点 T 的轨迹 C 的方程;

(3)试问:在点 T 的轨迹 C 上,是否存在点 M,使△F1MF2 的面积 S= b 2 . 若存在,求∠F1MF2 的正切值

;若 不存在,请说明理由.

11

范文五:圆锥曲线知识点总结

x2y2(1)若椭圆,则m的值是____ 1的离心率e

5m5

(1)短轴长为,离心率e

2

的椭圆的两焦点为F1、F2,过F1作直3

25

(答:3或);

3

(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为____(答:22)

4、椭圆的第二定义:______________________________________________ 线交椭圆于A、B两点,则ABF2的周长为________(答:6);

x2y2

(2)已知F1、F2是椭圆C:221(ab0)的两个焦点,P为

ab



椭圆C上一点,且PF1PF2,若△PF1F2的面积是9,则b

6、弦长公式:____________________. 焦半径公式:________________________________________

焦半径的最大值=_____________, 焦半径的最小值=_____________, 推导过程:

)已知椭圆x2y2

(12516

1上一点P到椭圆左焦点的距离为3,则点P到右

准线的距离为______(答:

35

3

); 2

2

(2)点P在椭圆

x25y9

1上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点P的横坐标为_______(答:25

12

);

x2y2

(3)椭圆43

1内有一点P(1,1),F为右焦点,在椭圆上有一点

M,使MP2MF 之值最小,则点M的坐标为_______(答:(

26

3

,1))

;5、焦点三角形的面积:若P是椭圆:x22

a

2yb

21上的点,F1,F2为焦点,若F1PF2,则PF1F2的面积为__________. 推导过程:

推导过程:

7、中点弦问题:

x2ay2

AB是椭圆2b

21的不平行于对称轴的弦,M(x0,y0)为AB的中点,

则KAB

(二)双曲线

1、 双曲线的第一定义:__________________________________________ ____________________________________________ 若PF1PF22aF1F2,则点P轨迹为_____________________ 若PF1PF22aF1F2,则点P轨迹为_____________________ 若PF1PF22aF1F2,则点P轨迹为_____________________ 8表示的曲线是_____(答:双曲线的左支)

2、双曲线的标准方程:

①焦点在x轴上:_______________②焦点在y轴上:_______________ (其中a,b,c关系是:___________________ ) 3. 双曲线的简单几何性质

(((456((

7若(1)已知双曲线的离心率为2,F1、F2是左右焦点,P为双曲线上一点,且F

1PF260,SPF1F23.该双曲线的标准方程为__________.22

(答:

x4y

12

1); 8、中点弦问题:

AB是椭圆x2y2

a2b

21的不平行于对称轴的弦,M(x0,y0)为AB的中点,

则KAB.

9、直线与双曲线的位置关系: 1、弦长公式:____________________. 推导过程:

2、直线与双曲线的交点问题:

(1)若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点,则k的取值范围是_______(答:(-

3

,-1)); (2)过双曲线x2y2

12

1的右焦点直线交双曲线于A、B两点,若│AB︱=4,则这样的直线有_____条(答:3);

(三)抛物线

1、 抛物线的定义:_____________________________________________

___________

(1)点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x50的距离小于1,则点M的轨迹方程是_______ (答:y2

16x);

(2)已知动点P到定点F(1,0)和直线x3的距离之和等于4,求P的轨迹方程.(答:y2

12(x4)(3x4)或y2

4x(0x3)); 2、标准方程与简单的集合性质: (1)设a0,aR,则抛物线y4ax的焦点坐标为________(答:

(0,

1

16a

)); 3、性质:若抛物线方程为:y22px,焦点为F,过焦点F的直线与抛物线的交点为A,B;

①AB________; ②

1AF1

BF

________; (1)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,那么|AB|等于_______(答:8);

(2)过抛物线y2

2x焦点的直线交抛物线于A、B两点,已知|AB|=10,O为坐标原点,则ΔABC重心的横坐标为_______(答:3);

范文六:圆锥曲线知识点总结椭圆双曲线抛物线

圆锥曲线知识点总结 圆锥曲线知识点总结

1. 椭圆的性质 .

条件 {M|MF1 |+|MF2 |=2a , 2a >|F1 F2|}

|MF1 | {M|

标准方程 顶点 轴 焦点 焦距

离心率 准线方程 焦点半径

点M到l 1 的距离

=

|MF2 | 点M到l 2 的距离

= e, 0<e<1}

x2 y2 x2 y2 + 2 = 1(a>b> 0) + = 1(a>b> 0) a2 b b2 a2 A1 (- a , 0), A2 (a , 0) A1(0 ,- a), A2(0 , a) B1(0 ,- b), B2 (0 , b) B1 (- b , 0), B2 (b , 0) 对称轴: x 轴, y 轴.长轴长|A1A2|=2a ,短轴长|B1B2 |=2b F1(- c , 0), F2(c , 0) F1 (0 ,- c), F2(0 , c)

|F1F2 |=2c(c > 0), c 2=a2 - b2

e=

c (0 < e< 1) a a2 a2 l1 : x= − ; l 2 : x= c c

|MF 1 |= a + ex 0 , |MF 2 |= a - ex 0

a2 a2 ; l 2 : y= c c |MF 1 |= a + ey0 , |MF 2 |= a - ey0 l1 : y= −

点和椭圆 的关系

x2 0 a2

+

y2 0 b2

= 1 ⇔ ( x 0 , y 0 ) 在椭圆上 < 内

(k 为切线斜率),

2

(k 为切线斜率),

y= kx± a k + b

2 2

y= kx± b 2 k 2 + a 2

=1 b a2 (x 0 , y 0 )为切点 (x 0 , y 0 )在椭圆外 x0x y y + 02 =1 2 b a

2

切线方程

x0x

2

y0y

2

=1

x0x

y0y

切点弦 方 程

a b (x 0 , y 0 )为切点 (x 0 , y 0 )在椭圆外 x0x y y + 02 =1 2 a b

1 k2 弦长公式 (x 其中(x 1 , y 1 ), 2 , y 2 )为割弦端点坐标, k 为割弦所在直 | x 2 -x1 | 1 + k 2 或 | y1-y 2 | 1 +

线的斜率

(www.wenku1.com)2.双曲线的性质 .

P ={M|MF1|-|MF2|= 2a , a > 0 , 2a <|F1F2|}. 条件

P={M|

|MF1 | |MF2 | = =e,e>1}. 点M到l1的距离 点M到l 2 的距离

y2 x2 - 2 =1(a>0,b>0) a2 b

A1(0 ,- a), A2(0 , a) F1(0 ,- c), F2(0 , c)

y2 x2 - 2 =1(a>0,b>0) 标准方程 a2 b

顶点 轴 焦点 焦距 离心率 A1(- a , 0), A2(a , 0) F1(- c , 0), F2(c , 0)

对称轴: x 轴, y 轴,实轴长|A1A2|= 2a ,虚轴长|B1B2|= 2b |F1F2|= 2c(c > 0), c2 = a2 + b2

c e= (e>1) a a2 a2 准线方程 l1 :x=- ;l2 :x= c c 2 2 渐近线 y b x y=± x(或 2 - 2 =0) 方 程 a a b

共渐近线 x2 y2 - 2 =k(k≠0) 的双曲线 2 系方程 焦点半径

l1:y=-

a2 a2 ;l2 :y= c c

y2 a x2 y=± x(或 2 - 2 =0) b a b y2 x2 - 2 =k(k≠0) a2 b

|MF1|= ey0 + a , |MF2|= ey0 - a

a

b

|MF1|= ex0 + a , |MF2|= ex0 - a

y=kx± a 2 k 2 − b 2

(k 为切线斜率)

y=kx± b 2 k 2 − a 2

(k 为切线斜率)

b b k> 或k<- a a 切线方程 x 0 x y 0 y - 2 =1 a2 b

((x0 , y0)为切点

a a k> 或k<- b b y0 y x0 x - 2 =1 a2 b

((x0 , y0)为切点

xy=a 2 的切线方程:

x0 y + y0 x =a 2 ((x 0 ,y 0 ) 为切点 2

切点弦 方 程

(x0 , y0)在双曲线外

(x0 , y0)在双曲线外

=1 b2 1 |x 2 -x1 | 1 + k 2 或|y1 -y 2 | 1 + 2 k 弦长公式 其中(x1 , y1),(x2 , y2)为割弦端点坐标, k 为 a2 b2 a2

割弦所在直线的斜率

x0 x

y0 y

=1

y0 y

x0 x

(www.wenku1.com)3. 抛物线性质

范文七:圆锥曲线知识点汇总

二十四、圆锥曲线与方程

考点梳理 (一)椭圆

1、椭圆的定义:

平面内与两个定点F1、F2的距离之和为常数2a(2a|F2F2|)的动点P的轨迹叫椭圆,其中两个定点F1、F2叫椭圆的焦点.

PF1PF22aF1F2

(1)当时, P的轨迹为椭圆 ; ;

PF1PF22aF1F2

(2)当时, P的轨迹不存在;

PF1PF22aF1F2

(3)当时, P的轨迹为 以F1、F2为端点的线段

xy21(ab0)2P(x,y)00ab 3、点与椭圆的位置关系: x2y2

212ab(1)当时,点P在椭圆外; x2y2

212ab(2)当时,点P在椭圆内; x2y2

212

b(3)当a时,点P在椭圆上;

4、直线与椭圆的位置关系

直线与椭圆相交0;直线与椭圆相切0;直线与椭圆相离0

(二)双曲线 1、双曲线的定义

平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值为常数2a(2a|F1F2|的动点P的轨迹叫双曲线,其中两个定点F1、F2叫双曲线的焦点.

|PF1PF2|2aF1F2

(1)当时, P的轨迹为双曲线;

|PF1PF2|2aF1F2

(2)当时, P的轨迹不存在;

|PF1PF2|2aF1F2

(3)当时, P的轨迹为以F1、F2为端点的两条射线 2、双曲线的标准方程与几何性质

xyx2y2

2(0)2122abab3、与双曲线共渐近线的双曲线系方程为:

222

xya4、等轴双曲线的渐近线方程为yx ,离心率为e2.。

(三)抛物线 1、抛物线的定义

平面内到定点F的距离与到定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线,其中定点F叫抛物线的焦点,定直线l叫抛物线的准线。

p0PPxy22

PF2;x2py(p0)的焦半径PF2; ①y2px(p0)的焦半径

② 过焦点的所有弦中最短的弦,也被称做通径.其长度为2p.

p2

2

xxyypy22px4ABAB③ AB为抛物线的焦点弦,则 ,,|AB|=xAxBp

(四)圆锥曲线的综合问题

1、直线与圆锥曲线C的位置关系

将直线l的方程代入曲线C的方程,消去y或者消去x,得到一个关于x(或y)的方程ax2+bx+c=0. (1)交点个数

①当 a=0或a≠0,⊿=0 时,曲线和直线只有一个交点; ②当 a≠0,⊿>0时,曲线和直线有两个交点; ③ 当⊿

2、对称问题:

曲线上存在两点关于已知直线对称的条件:①曲线上两点所在的直线与已知直线垂直(得出斜率)②曲线上两点所在的直线与曲线有两个公共点(⊿>0)③曲线上两点的中点在对称直线上

3、求动点轨迹方程

①轨迹类型已确定的,一般用待定系数法;

②动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的,一般用直接法; ③一动点随另一动点的变化而变化,一般用代入转移法。

范文八:圆锥曲线知识点小结2

《圆锥曲线》知识点小结

一、椭圆:(1)椭圆的定义:平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|其中:两个定点叫做椭圆的焦点,焦点间的距离叫做焦距。

注意:2a|F1F2|表示椭圆;2a|F1F2|表示线段F1F2;2a|F1F2|没有轨迹; (2

F1F2|)的点的轨迹。

22xy3.常用结论:(1)椭圆1(ab0)的两个焦点为F1,F2,过F1的直线交椭圆于A,B两a2b2

点,则ABF2的周长= (2)设椭圆

x2y2

21(ab0)左、右两个焦点为F1,F2,过F1且垂直于对称轴的直线2ab

交椭圆于P,Q两点,则P,Q的坐标分别是 |

PQ|

二、双曲线:

(1)双曲线的定义:平面内与两个定点F1,F2|迹。

其中:两个定点叫做双曲线的焦点,焦点间的距离叫做焦距。 注意:|

F1F2|PF1||PF2|2a与|PF2||PF1|2a(2a|F1F2|)表示双曲线的一支。

2a|F1F2|表示两条射线;2a|F1F2|没有轨迹;

(2)双曲线的标准方程、图象及几何性质:

标准方程

中心在原点,焦点在x轴上

中心在原点,焦点在

y轴上

x2y2

1(a0,b0) a2b2

y2x2

21(a0,b0) 2ab

图 形

B1(0,a),B2(0,a)

顶 点 对称轴 焦 点 焦 距 离心率 渐近线 通 径

(3)双曲线的渐近线:

A1(a,0),A2(a,0)

x轴,y轴;虚轴为2b,实轴为2a

F1(c,0),F2(c,0)

|F1F2|2c(c0) c

e

2

F1(0,c),F2(0,c)

a2b2

c

(e1)(离心率越大,开口越大) a

y

bx a

2b2 a

y

ax b

2222

①求双曲线xy1的渐近线,可令其右边的1为0,即得xy0,因式分解得到xy0。

aba2b2a2b2

x2y2x2y2

②与双曲线221共渐近线的双曲线系方程是2;

2

ab

(4)等轴双曲线为x

2

y2t2,其离心率为

22

yx(4)常用结论:(1)双曲线21(a0,b0)的两个焦点为F1,F2,过F1的直线交双曲线的2

ab

同一支于

A,B两点,则ABF2的周长x2y2

21(a0,b0)左、右两个焦点为F1,F2,过F1且垂直于对称轴的2ab

(2)设双曲线

直线交双曲线于P,Q两点,则P,Q的坐标分别是 |

三、抛物线:

PQ|

(1)抛物线的定义:平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。 其中:定点为抛物线的焦点,定直线叫做准线。 (2)抛物线的标准方程、图象及几何性质: 标准方程

焦点在x轴上,

开口向右

焦点在x轴上,

开口向左

焦点在

p0

y轴上,

焦点在

y轴上,

开口向上 开口向下

y22px y22px

x22py x22py

图 形

顶 点 对称轴 焦 点 离心率 准 线 通 径 焦半径 焦点弦 焦准距 O(0,0)

x轴

pF(,0) 2

p 2

y轴

F(

p ,0)2

pF(0,)

2

pF(0,)

2

e1

x

x

p 2

y

p 2

y

p 2

2p

|PF||x0|

p 2

|PF||y0|

p 2

p

四、弦长公式: |

AB|k2|x1x2|k2(x1x2)24x1x2k2

 |A|

其中,

A,分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y后所得关于x的一元二次方程

2

的判别式和x的系数

求弦长步骤:(1)求出或设出直线与圆锥曲线方程;(2)联立两方程,消去y,得关于x的一元二次方程

Ax2BxC0,

A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理求出x1x2

BA

x1x2

C

;(3)代入弦长公式计算。 A

2

法(二)若是联立两方程,消去x,得关于y的一元二次方程AyByC0,则相应的弦长公

式是:|

111

AB|()2|y1y2|()2(y1y2)24y1y2()2

kkk|A|

x1x2|(x1x2)24x1x2

|A|

和 |A|

注意(1)上面用到了关系式|

y1y2(y1y2)24y1y2

注意(2)求与弦长有关的三角形面积,往往先求弦长,再求这边上的高(点到直线的距离),但若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形,且线段的长度为定值,求面积一般用分割法 五、弦的中点坐标的求法

法(一):(1)求出或设出直线与圆锥曲线方程;(2)联立两方程,消去y,得关于x的一元二次方程

Ax2BxC0,设A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理求出x1x2

x1x2

2

;再把x

B

;(3)设中A

点M(x0,y0),由中点坐标公式得x0x0代入直线方程求出yy0。

法(二):用点差法,设

A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(x0,y0),由点在曲线上,线段的中

点坐标公式,过A、B两点斜率公式,列出5个方程,通过相减,代入等变形,求出x0,y0。

六、求离心率的常用方法:法一,分别求出a,c,再代入公式

法二、建立a,b,c满足的关系,消去b,再化为关于e的方程,最后解方程求e (求e时,要注意椭圆离心率取值范围是0﹤e﹤1,而双曲线离心率取值范围是e﹥1)

例1:设点P是圆x2y24上的任一点,定点D的坐标为(8,0),若点M满足



PM2MD.当点P在圆上运动时,求点M的轨迹方程.



解 设点M的坐标为x,y,点P的坐标为x0,y0,由PM2MD,

得xx0,yy028x,y,即x03x16,y03y.

因为点Px0,y0在圆x2y24上,所以x02y024.即3x163y4,

2

2

416

即xy2,这就是动点M的轨迹方程.

39

例2:已知椭圆的两个焦点为(-2,0),(2,0)且过点(,),求椭圆的标准方程

2

5

232

x2y2

解法1 因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为221(ab0),

ab

由椭圆的定义可知:2a

x2y2

1 ac2,bac6所以所求的标准方程为

106

2

2

2

x2y2

1,将解法2 c2,baca4,所以可设所求的方程为22

aa4

2

2

2

2

53x2y21 点(,

)代人解得:a 所以所求的标准方程为

22106

例3.

例4.

习题:1.已知椭圆长半轴与短半轴之比是5:3,焦距是8,焦点在x轴上,则此椭圆的

标准方程是( )

x2x2x2x2y2y2y2y2

(A)+=1(B)+=1 (C)+=1 (D)+=1

3952552539

2.以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点,则椭圆的离心率是( )

(A)

1233 (B) (C) (D) 2223

3. 已知椭圆x2+2y2=m,则下列与m无关的是( )

(A)焦点坐标 (B)准线方程 (C)焦距 (D)离心率

,则它的长半轴的长是( ) 2

1

(A)1 (B)1或2 (C)2 (D)或1

2

5椭圆的中心为O,左焦点为F1,P是椭圆上一点,已知△PF1O为正三角形,则P点到右准线的距离与长半轴的长之比是( )

4. 椭圆mx2+y2=1的离心率是

(A)3-1 (B)3-3 (C)3 (D)1

y2x2

6.若椭圆=1的准线平行于y轴,则m的取值范围是。

3m12m

7.椭圆的长半轴是短半轴的3倍,过左焦点倾斜角为30°的弦长为2则此椭圆的标准方程是 。

8. 椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,若椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于椭圆的焦距,又已知直线2x-y-4=0被此椭圆所截得的弦长为

45

,求此椭圆的方程。 3

9. 已知椭圆的对称轴是坐标轴,离心率e=,长轴长为6,那么椭圆的方程是( )。

x2y2x2y2x2y2

(A) +=1 (B)+=1或+=1

362036202036x2y2x2y2x2y2

(C) +=1 (D)+=1或+=1

959559

10. 椭圆25x2+16y2=1的焦点坐标是( )。

331

(A)(±3, 0) (B)(±, 0) (C)(±, 0) (D)(0, ±)

32020

x2y2y2x2

11. 曲线+=1与曲线+=1 (k

25-k9k259

(A)有相等的长、短轴 (B)有相等的焦距 (C)有相等的离心率 (D)一相同的准线

12.椭圆4x2+16y2=1的长轴长为,焦点坐标是 ,

13. 已知两点A(-3, 0)与B(3, 0),若|PA|+|PB|=10,那么P点的轨迹方程是

18

14. 椭圆的长、短轴都在坐标轴上,两准线间的距离为5,焦距为2,则椭圆的

5

方程为 。

x2y2

1共焦点,并经过点P(3, -2),则15. 椭圆的长、短轴都在坐标轴上,和椭圆94

椭圆的方程为 。

x2y2

16.在椭圆+=1内有一点M(4, -1),使过点M的弦AB的中点正好为点M,求弦AB

1040

所在的直线的方程。

x2y21

17. 椭圆+=1的离心率e=, 则k的值是。

k892

18.平面内有两个定点F1(-5,0)和F2(5,0),动点P满足条件|PF1|-|PF2|=6,则动点P的轨迹方程是( )。

x2x2y2y2

(A)-=1 (x≤-4) (B)-=1(x≤-3)

916169x2x2y2y2

(C)-=1 (x>≥4) (D)-=1 (x≥3)

916169

2

3

y2x2

19双曲线-=1的渐近线方程是 ( )

3649yyyyxxxx

(A)±=0 (B)±=0 (C)±=0 (D)±=0

36493649677620. 双曲线x2-ay2=1的焦点坐标是( )

(A)(a, 0) , (-a, 0) (B)(a, 0), (-a, 0)

(C)(-

a1a1a1a1

, 0),(, 0) (D)(-, 0), (, 0) aaaa

x2y2

21. 设双曲线221(b>a>0)的半焦距为c,直线l过(a, 0)、(0, b)两点,已知原点到

abc,则双曲线的离心率是( ) 4

23

(A)2 (B) (C)2 (D)

3

x2y2

22. 双曲线-=1的离心率是 。

79

y2x2

23, 已知方程+=1表示双曲线,则k的取值范围是。

3k2k

y22

24. 双曲线4x-=1的渐近线方程是( )。

9213

(A)y=±x (B)y=±x (C)y=±x (D)y=±6x

362

直线l的距离是

25. 若双曲线与椭圆x2+4y2=64共焦点,它的一条渐近线方程是x+y=0,则此双曲线

的标准方程只能是( )。

y2y2y2y2x2x2x2x2

(A)-=1(B)-=1 (C)-=±1 (D)-=±1

3612361236123612

y2x2

26.和椭圆+=1有共同焦点,且离心率为2的双曲线方程是( )。

259y2y2y2y2x2x2x2x2

(A)-=1 (B)-=1 (C)-=1(D)-=1

414412614612

1

27. 双曲线的两准线间的距离是它的焦距的,则它的离心率为 。

3

28. 双曲线的两个顶点三等分两个焦点间的线段,则离心率e。

29. 中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过(1, 3)的等轴双曲线的方程是

30. 渐近线是±=0,且经过P(62, 8)的双曲线方程是。

y2x231. 和椭圆+=1有公共的焦点,离心率e=的双曲线方程是 。

942

32. 59. 实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的系数a、b、c恰为一双曲线的半实轴、半虚轴、半焦距,且此二次方程无实根,求双曲线离心率e的范围。

y2x2

33. 过双曲线-=1的左焦点F1,作倾斜角为α=的直线与双曲线交于两点A、B,

9164

求|AB|的长。

34. 抛物线y2=8x的准线方程是( )。

(A)x=-2 (B)x=2 (C)x=-4 (D)y=-2

35.AB是过抛物线y2=4x焦点F的弦,已知A,B两点的横坐标分别是x1和x2,且x1+x2=6则|AB|等于( )

(A)10 (B)8 (C)7 (D)6

36. 经过(1,2)点的抛物线的标准方程是( )

(A)y2=4x (B)x2=

x3y4

11

y (C) y2=4x 或x2=y (D) y2=4x 或x2=4y 22

37.顶点在原点,焦点是F(6, 0)的抛物线的方程是。 38. 抛物线x2=4y的焦点为F,A是抛物线上一点,已知|AF|=4+22,则AF所在直线方程是 。

x2

39,抛物线y=-的准线方程是( )。

8

11

(A)y= (B)y=2 (C)y= (D)y=4

432

40. 已知点(-2, 3)与抛物线y2=2px (p>0) 的焦点的距离是5,则抛物线的方程是 。

41. 抛物线x2=4y上有一点Q到焦点的距离为3,那么Q点的纵坐标是( )。 (A)-2 (B)2 (C)4 (D)1

42. 如果抛物线y2=px (p>0)和圆(x-2)2+y2=3在x轴上方相交于A、B两点,且弦AB的中点M在直线y=x上,求抛物线的方程。

43. 抛物线的顶点在原点,对称轴为坐标轴,且点(-5, 2)在抛物线上,则抛物线的方程为( )。

(A)y2=-4x (B)x2=5y (C)y2=-4x或x2=

5y (D)x2=-4y 2

44. 抛物线y=4x2的准线方程是( )。

(A)x=-1 (B)y=-1 (C)x=-

11 (D)y=- 1616

范文九:圆锥曲线知识点小结

圆锥曲线知识点汇总

一.曲线与方程:

1.曲线的方程与方程的曲线

2、求曲线方程的一般步骤

3. 直线被圆锥曲线截得的弦长公式:

4. 直线与曲线的交点个数的判断:

二.圆:

1. 圆的定义:

2. 圆的标准方程:_______________________圆心__________半径 _________

3. 圆的一般方程:___________________________

4. 直线与圆的位置关系:设圆心到直线的距离为d,半径为r

(1)相离____________;(2)________________________;(3)______________________

三:椭圆:

1.椭圆的定义:

2.椭圆的标准方程:

3.椭圆的性质:

四.双曲线

1. 双曲线的定义:

2. 双曲线的标准方程:

3. 双曲线的性质:

五.抛物线:

1. 定义:

2. 抛物线方程:

七.直线与圆锥曲线的应用:

1.点M(x0,y0)与圆锥曲线C:f(x,y)=0的位置关系

2.直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系可分为:相交、相切、相离

注意:对于抛物线来说,平行于对称轴的直线与抛物线相交于一

点,但并不是相切;对于双曲线来说,平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点,但并不相切。即:直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件,但不是充分条件.

范文十:圆锥曲线知识点小结

圆锥曲线知识点小结

1.圆锥曲线的两个定义:

(1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件

定点F1(3,0),F2(3,0),在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中,是椭圆的是( ) A.PF1B.PF1

PF24PF26

C.PF1PF210 D.PF1

2

PF2

2

12

(2)

8表示的曲线是_____ (3)利用第二定义 已知点Q(2

2,0)及抛物线y

x

2

4

上一动点P(x,y),则y+|PQ|的最小值是___

2.圆锥曲线的标准方程 (1)已知方程

x

2

3k

y

2

2k

1表示椭圆,则k的取值范围为____

(2)若x,yR,且3x22y26,则xy的最大值是___,x2y2 (3)双曲线的离心率等于程_______

(4)设中心在坐标原点O,焦点F1、F2在坐标轴上,离心率e过点P(4,),则C的方程为_______

3.圆锥曲线焦点位置的判断: 椭圆:已知方程

x

2

2

,且与椭圆

x

2

9

y

2

4

1有公共焦点,则该双曲线的方

2的双曲线C

m1

y

2

2m

1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是( )

4.圆锥曲线的几何性质: (1)椭圆若椭圆

x

2

5

y

2

m

1的离心率e

5

,则m的值是__

(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为__

(3)双曲线的渐近线方程是3x2y0,则该双曲线的离心率等于______

(4)双曲线ax2by2

1a:b(5)设双曲线

xa

22

yb

22

[2,2],则两条渐近线夹角θ1(a>0,b>0)中,离心率e∈

的取值范围是________

(6)设a0,aR,则抛物线y4ax2的焦点坐标为________ 5、点P(x0,y0)和椭圆

xa

22

yb

22

1(ab0)的关系:

6.直线与圆锥曲线的位置关系:

(1)若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点,则k的取值范围是_______

(2)直线y―kx―1=0与椭圆

2

2

x

2

5

y

2

m

1恒有公共点,则m的取值范围是______

(3)过双曲线

x

1

y

2

1的右焦点直线交双曲线于A、B两点,若│AB︱=4,

则这样的直线有_____条.

(4)过双曲线况如下:

(5)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。

(6)过点(2,4)作直线与抛物线y28x只有一个公共点,这样的直线有__ (7)过点(0,2)与双曲线______

x

2

xa

22

yb

22

=1外一点P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个公共点的情

9

y

2

16

1有且仅有一个公共点的直线的斜率取值范围为

(8)过双曲线x

2

y

2

2

1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点,若AB4,则

满足条件的直线l有____条

(9)对于抛物线C:y24x,我们称满足y024x0的点M(x0,y0)在抛物线的内部,若点M(x0,y0)在抛物线的内部,则直线l:y0y2(xx0)与抛物线C的位置关系是_______

(10)过抛物线y24x的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是p、q,则

1p

2

1q

_______

(11)设双曲线

x

16

y

2

9

1的右焦点为F,右准线为l,设某直线m交其左支、

右支和右准线分别于P,Q,R,则PFR和QFR的大小关系为___________(填大于、小于或等于)

(12)求椭圆7x24y228上的点到直线3x2y160的最短距离 (13)直线yax1与双曲线3x2y21交于A、B两点。 ①当a为何值时,A、B分别在双曲线的两支上? ②当a为何值时,以AB为直径的圆过坐标原点? 7、焦半径 (1)已知椭圆离为____

(2)已知抛物线方程为y28x,若抛物线上一点到y轴的距离等于5,则它到抛物线的焦点的距离等于____;

(3)若该抛物线上的点M到焦点的距离是4,则点M的坐标为__ (4)点P在椭圆点P的横坐标为____

(5)抛物线y22x上的两点A、B到焦点的距离和是5,则线段AB的中点到y轴

x

2

x

2

25

y

2

16

1上一点P

到椭圆左焦点的距离为3,则点P到右准线的距

25

y

2

9

1上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则

的距离为______

(6)椭圆

x

2

4

y

2

3

1内有一点P(1,1),F为右焦点,在椭圆上有一点M,使

MP2MF 之值最小,则点M的坐标为____

8、焦点三角形

(1)短轴长为5,离心率e

23

的椭圆的两焦点为F1、F2,过F1作直线交椭圆

于A、B两点,则ABF2的周长为________

(2)设P是等轴双曲线x2y2a2(a0)右支上一点,F1、F2是左右焦点,若

PF2F1F20,|PF1|=6(3)椭圆

x

2

9

y

2

4

PF1

→→

点P的横坐标的取值范围是

(4)双曲线的虚轴长为4,离心率e=

62

,F1、F2是它的左右焦点,若过F1的直

线与双曲线的左支交于A、B两点,且AB是AF2与BF2等差中项,则AB=_______

(5)已知双曲线的离心率为2,F1、F2是左右焦点,P为双曲线上一点,且

F1PF260,SPF1F2123.求该双曲线的标准方程

9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质: 10、弦长公式:

(1)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,那么|AB|等于_______

(2)过抛物线y22x焦点的直线交抛物线于A、B两点,已知|AB|=10,O为坐标原点,则ΔABC重心的横坐标为_______

11、圆锥曲线的中点弦问题: (1)如果椭圆

x

2

36

y

2

9

1弦被点A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是

(2)已知直线y=-x+1与椭圆

xa

22

yb

22

1(ab0)相交于A、B两点,且线段

AB的中点在直线L:x-2y=0上,则此椭圆的离心率为_______

(3)试确定m的取值范围,使得椭圆

y4xm对称

x

2

4

y

2

3

1上有不同的两点关于直线

特别提醒12.你了解下列结论吗? 与双曲线

x

2

9

y

2

16

1有共同的渐近线,且过点(3,23)的双曲线方程为_______

13.动点轨迹方程:

(1)已知动点P到定点F(1,0)和直线x3的距离之和等于4,求P的轨迹方程. (2)线段AB过x轴正半轴上一点M(m,0)(m0),端点A、B到x轴距离之积为2m,以x轴为对称轴,过A、O、B三点作抛物线,则此抛物线方程为

(3)由动点P向圆x2y21作两条切线PA、PB,切点分别为A、B,∠APB=600,则动点P的轨迹方程为

(4)点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x50的距离小于1,则点M的轨迹方程是_______

(5) 一动圆与两圆⊙M:xy1和⊙N:xy8x120都外切,则动圆圆心的轨迹为

2



2222

(6)动点P是抛物线y2x1上任一点,定点为A(0,1),点M分PA所成的比为2,则M的轨迹方程为__________

(7)AB是圆O的直径,且|AB|=2a,M为圆上一动点,作MN⊥AB,垂足为N,在OM上取点P,使|OP||MN|,求点P的轨迹。

(8)若点P(x1,y1)在圆x2y21上运动,则点Q(x1y1,x1y1)的轨迹方程是____

(9)过抛物线x24y的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点,则弦AB的中点M的轨迹方程是________

(10)已知椭圆

xa

22

yb

22

右焦点分别是1(ab0)的左、

F1(-c,0)、F2(c,0),Q是椭圆外的动点,满足|F1Q|2a.点P是线段F1Q与该椭圆的交点,点T在线段F2Q上,并且满足

PTTF20,|TF2|0.

(1)设x为点P的横坐标,证明|F1P|a(2)求点T的轨迹C的方程;

ca

x;

(3)试问:在点T的轨迹C上,是否存在点M,使△F1MF2的面积S=b2.若存在,求∠F1MF2的正切值;若不存在,请说明理由.

1.(答 :C);(答 :双曲线的左支)(答 :2) 2. (答 :(3,)(

21

1232

;(答

2)(答 ,2))

x

2

4

;(答 : xy6)y1)

2

2

2

3.(答 :(,1)(1,)) 4.(答 :3或

253

5.(答 :22)(答

(0,

116a

)

2

3

);(答 :4或

14

);(答 :[



3,2

; (答 :])

);

3

6. (答 :(-,-1));(答 :[1,5)∪(5,+∞));(答 :3);(答 :①P点在两

条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;

②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;

③P在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;

④P为原点时不存在这样的直线;) (答 :2;(答

:



43,

;(答 :3);(答 :相离);(答 :1); )3

(答 :等于);(答

353

13

(答

:①;②a1);

2512

263

7.(答 :);(答 :7,(2,4));(答 :

);(答 :2);(答 :(

,1)

);

8.(答 :6);(答 :x2y24);(答

:(

x

2

,);(答

:; 55

(答 :

4

y

2

12

1);

10.(答 :8);(答 :3);

11.(答 :x2y80);(答

2

2

2

);(答

:

1313

); 

12.(答 :

4x9

y

4

(答 :y212(x4)(3x4)或y24x(0x3)); 1)

(答 :y22x);(答 :x2y24);(答 :y216x);(答 :双曲线的一支);

(答 :y

6x

2

13

);(答 :x2y2a|y|);(答 :y22x1(|x|));

2

2

2

2

2

1

(答 :x2y2);(答 :(1)略;(2)xya;(3)当

2

b

c

a

时不存在;当

b

2

c

a时存在,此时∠F1MF2=2)