圆锥曲线知识点总结

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范文一:圆锥曲线知识点总结(好)

圆锥曲线知识点总结

一、考点概要:

1、椭圆:

(1)轨迹定义:

在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆,两定点是焦点,两定点间距离是焦距,且定长2a大于焦距2c

。用集合表示为:

(2)标准方程和性质:

注意:当没有明确焦点在个坐标轴上时,所求的标准方程应有两个。

3、双曲线:

(1)轨迹定义:

在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线,两定点是焦

点,两定点间距离是焦距。用集合表示为:

(2)标准方程和性质:

注意:当没有明确焦点在个坐标轴上时,所求的标准方程应有两个。

4、抛物线:

(1)轨迹定义:在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线,定点是焦点,定直线是准线,定点与定直线间的距离叫焦参数p

。用集合表示为

(2)标准方程和性质:

①焦点坐标的符号与方程符号一致,与准线方程的符号相反;

②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;

③标准方程的顶点在原点,对称轴是坐标轴,有别于一元二次函数的图像;

5、曲线与方程:

(1)轨迹法求曲线方程的程序:

①建立适当的坐标系;

②设曲线上任一点(动点)M的坐标为(x,y);

③列出符合条件p(M)的方程f(x,y)=0;

④化简方程f(x,y)=0为最简形式;

⑤证明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上;

(2)曲线的交点:

由方程组确定,方程组有几组不同的实数解,两条曲线就有几个公共点;方程组没有实数解,两条曲线就没有公共点。

二、复习点睛:

1、平面解析几何的知识结构:

2、椭圆形状与e的关系:当e→0,c→0,椭圆→圆,直至成为极限位置的圆,则认为圆是椭圆在e=0时的特例。当e→1,c→a椭圆变扁,直至成为极限位置的线段

可认为是椭圆在e=1时的特例。

3、利用焦半径公式计算过焦点的弦长:若过椭圆左(或右)焦点的焦点弦为AB

,则

4、弦长公式:若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB,A、B两点的坐标分别为,则弦长

,此时也

这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想。

5、双曲线形状与e的关系:,e越大,即渐近线的斜率的绝对值就越大,这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知,双曲线的离心率越大,它的开口就越阔。

6、双曲线

7、等轴双曲线:a=b 的焦点到渐近线的距离为b。

8、过双曲线

点的情况如下: 外一点P(x,y)的直线与双曲线只有一个公共

(1)P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;

(2)P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;

(3)P在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;

(4)P为原点时不存在这样的直线;

9、结合图形熟记抛物线:“两点两线,一个直角梯形”,即:两点:顶点和焦点;两线:准线、焦点弦;梯形:直角梯形ABCD。

10、抛物线 的焦点弦(过焦点的弦)为AB

,且

,则有如下结论:

11、过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线;

12、处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用点差法:即设

曲线上不同的两点,是的中点,则可得到弦中点与两点间关系:

13、当涉及到弦的中点时,通常有两种处理方法:一是韦达定理,即把直线方程代入曲线方程,消元后,用韦达定理求相关参数(即设而不求);二是点差法,即设出交点坐标,然后把交点坐标代入曲线方程,两式相减后,再求相关参数。在利用点差法时,必须检验条件△>0是否成立。

14、直线和圆锥曲线位置关系

(1)位置关系判断:△法(△适用对象是二次方程,二次项系数不为0)。

其中直线和曲线只有一个公共点,包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种情形;后一种情形下,消元后关于或方程的二次项系数为0。

直线和抛物线只有一个公共点,包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情况;后一种情形下,消元后关于或方程的二次项系数为0。

(2)直线和圆锥曲线相交时,交点坐标就是方程组的解。

15、求轨迹方程的常用方法:

(1)直接法:直接通过建立x、y之间的关系,构成(x,y)=0F,是求轨迹的最基本的方法;

(2)待定系数法:所求曲线是所学过的曲线:如直线,圆锥曲线等,可先根据条件列出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可;

(3)代入法(相关点法或转移法):若动点P(x,y)依赖于另一动点

化,并且又在某已知曲线上,则可先用x、y的代数式表示

的变化而变,再将带入已知曲线得要求的轨迹方程;

(4)定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程;

(5)参数法:当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将x、y均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程。 注意:

①在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.

②如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”,那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化。

16、圆锥曲线中求范围;二是建立不等式,通过解不等式求范围。中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为:;

17、不管是设定何种参数,都必须将形的已知条件(如:“相切”、“中点”等)转化为关于参数的方程组,所以提高阅读能力,准确领会题意,抓住关键信息是基础而又重要的一步。圆锥曲线知识点总结

一、考点概要:

1、椭圆:

(1)轨迹定义:

在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆,两定点是焦点,两定点间距离是焦距,且定长2a大于焦距2c

。用集合表示为:

(2)标准方程和性质:

注意:当没有明确焦点在个坐标轴上时,所求的标准方程应有两个。

3、双曲线:

(1)轨迹定义:

在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线,两定点是焦

点,两定点间距离是焦距。用集合表示为:

(2)标准方程和性质:

注意:当没有明确焦点在个坐标轴上时,所求的标准方程应有两个。

4、抛物线:

(1)轨迹定义:在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线,定点是焦点,定直线是准线,定点与定直线间的距离叫焦参数p

。用集合表示为

(2)标准方程和性质:

①焦点坐标的符号与方程符号一致,与准线方程的符号相反;

②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;

③标准方程的顶点在原点,对称轴是坐标轴,有别于一元二次函数的图像;

5、曲线与方程:

(1)轨迹法求曲线方程的程序:

①建立适当的坐标系;

②设曲线上任一点(动点)M的坐标为(x,y);

③列出符合条件p(M)的方程f(x,y)=0;

④化简方程f(x,y)=0为最简形式;

⑤证明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上;

(2)曲线的交点:

由方程组确定,方程组有几组不同的实数解,两条曲线就有几个公共点;方程组没有实数解,两条曲线就没有公共点。

二、复习点睛:

1、平面解析几何的知识结构:

2、椭圆形状与e的关系:当e→0,c→0,椭圆→圆,直至成为极限位置的圆,则认为圆是椭圆在e=0时的特例。当e→1,c→a椭圆变扁,直至成为极限位置的线段

可认为是椭圆在e=1时的特例。

3、利用焦半径公式计算过焦点的弦长:若过椭圆左(或右)焦点的焦点弦为AB

,则

4、弦长公式:若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB,A、B两点的坐标分别为,则弦长

,此时也

这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想。

5、双曲线形状与e的关系:,e越大,即渐近线的斜率的绝对值就越大,这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知,双曲线的离心率越大,它的开口就越阔。

6、双曲线

7、等轴双曲线:a=b 的焦点到渐近线的距离为b。

8、过双曲线

点的情况如下: 外一点P(x,y)的直线与双曲线只有一个公共

(1)P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;

(2)P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;

(3)P在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;

(4)P为原点时不存在这样的直线;

9、结合图形熟记抛物线:“两点两线,一个直角梯形”,即:两点:顶点和焦点;两线:准线、焦点弦;梯形:直角梯形ABCD。

10、抛物线 的焦点弦(过焦点的弦)为AB

,且

,则有如下结论:

11、过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线;

12、处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用点差法:即设

曲线上不同的两点,是的中点,则可得到弦中点与两点间关系:

13、当涉及到弦的中点时,通常有两种处理方法:一是韦达定理,即把直线方程代入曲线方程,消元后,用韦达定理求相关参数(即设而不求);二是点差法,即设出交点坐标,然后把交点坐标代入曲线方程,两式相减后,再求相关参数。在利用点差法时,必须检验条件△>0是否成立。

14、直线和圆锥曲线位置关系

(1)位置关系判断:△法(△适用对象是二次方程,二次项系数不为0)。

其中直线和曲线只有一个公共点,包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种情形;后一种情形下,消元后关于或方程的二次项系数为0。

直线和抛物线只有一个公共点,包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情况;后一种情形下,消元后关于或方程的二次项系数为0。

(2)直线和圆锥曲线相交时,交点坐标就是方程组的解。

15、求轨迹方程的常用方法:

(1)直接法:直接通过建立x、y之间的关系,构成(x,y)=0F,是求轨迹的最基本的方法;

(2)待定系数法:所求曲线是所学过的曲线:如直线,圆锥曲线等,可先根据条件列出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可;

(3)代入法(相关点法或转移法):若动点P(x,y)依赖于另一动点

化,并且又在某已知曲线上,则可先用x、y的代数式表示

的变化而变,再将带入已知曲线得要求的轨迹方程;

(4)定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程;

(5)参数法:当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将x、y均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程。 注意:

①在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.

②如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”,那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化。

16、圆锥曲线中求范围;二是建立不等式,通过解不等式求范围。中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为:;

17、不管是设定何种参数,都必须将形的已知条件(如:“相切”、“中点”等)转化为关于参数的方程组,所以提高阅读能力,准确领会题意,抓住关键信息是基础而又重要的一步。

范文二:圆锥曲线知识点总结

x2y2(1)若椭圆,则m的值是____ 1的离心率e

5m5

(1)短轴长为,离心率e

2

的椭圆的两焦点为F1、F2,过F1作直3

25

(答:3或);

3

(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为____(答:22)

4、椭圆的第二定义:______________________________________________ 线交椭圆于A、B两点,则ABF2的周长为________(答:6);

x2y2

(2)已知F1、F2是椭圆C:221(ab0)的两个焦点,P为

ab



椭圆C上一点,且PF1PF2,若△PF1F2的面积是9,则b

6、弦长公式:____________________. 焦半径公式:________________________________________

焦半径的最大值=_____________, 焦半径的最小值=_____________, 推导过程:

)已知椭圆x2y2

(12516

1上一点P到椭圆左焦点的距离为3,则点P到右

准线的距离为______(答:

35

3

); 2

2

(2)点P在椭圆

x25y9

1上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点P的横坐标为_______(答:25

12

);

x2y2

(3)椭圆43

1内有一点P(1,1),F为右焦点,在椭圆上有一点

M,使MP2MF 之值最小,则点M的坐标为_______(答:(

26

3

,1))

;5、焦点三角形的面积:若P是椭圆:x22

a

2yb

21上的点,F1,F2为焦点,若F1PF2,则PF1F2的面积为__________. 推导过程:

推导过程:

7、中点弦问题:

x2ay2

AB是椭圆2b

21的不平行于对称轴的弦,M(x0,y0)为AB的中点,

则KAB

(二)双曲线

1、 双曲线的第一定义:__________________________________________ ____________________________________________ 若PF1PF22aF1F2,则点P轨迹为_____________________ 若PF1PF22aF1F2,则点P轨迹为_____________________ 若PF1PF22aF1F2,则点P轨迹为_____________________ 8表示的曲线是_____(答:双曲线的左支)

2、双曲线的标准方程:

①焦点在x轴上:_______________②焦点在y轴上:_______________ (其中a,b,c关系是:___________________ ) 3. 双曲线的简单几何性质

(((456((

7若(1)已知双曲线的离心率为2,F1、F2是左右焦点,P为双曲线上一点,且F

1PF260,SPF1F23.该双曲线的标准方程为__________.22

(答:

x4y

12

1); 8、中点弦问题:

AB是椭圆x2y2

a2b

21的不平行于对称轴的弦,M(x0,y0)为AB的中点,

则KAB.

9、直线与双曲线的位置关系: 1、弦长公式:____________________. 推导过程:

2、直线与双曲线的交点问题:

(1)若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点,则k的取值范围是_______(答:(-

3

,-1)); (2)过双曲线x2y2

12

1的右焦点直线交双曲线于A、B两点,若│AB︱=4,则这样的直线有_____条(答:3);

(三)抛物线

1、 抛物线的定义:_____________________________________________

___________

(1)点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x50的距离小于1,则点M的轨迹方程是_______ (答:y2

16x);

(2)已知动点P到定点F(1,0)和直线x3的距离之和等于4,求P的轨迹方程.(答:y2

12(x4)(3x4)或y2

4x(0x3)); 2、标准方程与简单的集合性质: (1)设a0,aR,则抛物线y4ax的焦点坐标为________(答:

(0,

1

16a

)); 3、性质:若抛物线方程为:y22px,焦点为F,过焦点F的直线与抛物线的交点为A,B;

①AB________; ②

1AF1

BF

________; (1)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,那么|AB|等于_______(答:8);

(2)过抛物线y2

2x焦点的直线交抛物线于A、B两点,已知|AB|=10,O为坐标原点,则ΔABC重心的横坐标为_______(答:3);

范文三:圆锥曲线知识点总结椭圆双曲线抛物线

圆锥曲线知识点总结 圆锥曲线知识点总结

1. 椭圆的性质 .

条件 {M|MF1 |+|MF2 |=2a , 2a >|F1 F2|}

|MF1 | {M|

标准方程 顶点 轴 焦点 焦距

离心率 准线方程 焦点半径

点M到l 1 的距离

=

|MF2 | 点M到l 2 的距离

= e, 0<e<1}

x2 y2 x2 y2 + 2 = 1(a>b> 0) + = 1(a>b> 0) a2 b b2 a2 A1 (- a , 0), A2 (a , 0) A1(0 ,- a), A2(0 , a) B1(0 ,- b), B2 (0 , b) B1 (- b , 0), B2 (b , 0) 对称轴: x 轴, y 轴.长轴长|A1A2|=2a ,短轴长|B1B2 |=2b F1(- c , 0), F2(c , 0) F1 (0 ,- c), F2(0 , c)

|F1F2 |=2c(c > 0), c 2=a2 - b2

e=

c (0 < e< 1) a a2 a2 l1 : x= − ; l 2 : x= c c

|MF 1 |= a + ex 0 , |MF 2 |= a - ex 0

a2 a2 ; l 2 : y= c c |MF 1 |= a + ey0 , |MF 2 |= a - ey0 l1 : y= −

点和椭圆 的关系

x2 0 a2

+

y2 0 b2

= 1 ⇔ ( x 0 , y 0 ) 在椭圆上 < 内

(k 为切线斜率),

2

(k 为切线斜率),

y= kx± a k + b

2 2

y= kx± b 2 k 2 + a 2

=1 b a2 (x 0 , y 0 )为切点 (x 0 , y 0 )在椭圆外 x0x y y + 02 =1 2 b a

2

切线方程

x0x

2

y0y

2

=1

x0x

y0y

切点弦 方 程

a b (x 0 , y 0 )为切点 (x 0 , y 0 )在椭圆外 x0x y y + 02 =1 2 a b

1 k2 弦长公式 (x 其中(x 1 , y 1 ), 2 , y 2 )为割弦端点坐标, k 为割弦所在直 | x 2 -x1 | 1 + k 2 或 | y1-y 2 | 1 +

线的斜率

2.双曲线的性质 .

P ={M|MF1|-|MF2|= 2a , a > 0 , 2a <|F1F2|}. 条件

P={M|

|MF1 | |MF2 | = =e,e>1}. 点M到l1的距离 点M到l 2 的距离

y2 x2 - 2 =1(a>0,b>0) a2 b

A1(0 ,- a), A2(0 , a) F1(0 ,- c), F2(0 , c)

y2 x2 - 2 =1(a>0,b>0) 标准方程 a2 b

顶点 轴 焦点 焦距 离心率 A1(- a , 0), A2(a , 0) F1(- c , 0), F2(c , 0)

对称轴: x 轴, y 轴,实轴长|A1A2|= 2a ,虚轴长|B1B2|= 2b |F1F2|= 2c(c > 0), c2 = a2 + b2

c e= (e>1) a a2 a2 准线方程 l1 :x=- ;l2 :x= c c 2 2 渐近线 y b x y=± x(或 2 - 2 =0) 方 程 a a b

共渐近线 x2 y2 - 2 =k(k≠0) 的双曲线 2 系方程 焦点半径

l1:y=-

a2 a2 ;l2 :y= c c

y2 a x2 y=± x(或 2 - 2 =0) b a b y2 x2 - 2 =k(k≠0) a2 b

|MF1|= ey0 + a , |MF2|= ey0 - a

a

b

|MF1|= ex0 + a , |MF2|= ex0 - a

y=kx± a 2 k 2 − b 2

(k 为切线斜率)

y=kx± b 2 k 2 − a 2

(k 为切线斜率)

b b k> 或k<- a a 切线方程 x 0 x y 0 y - 2 =1 a2 b

((x0 , y0)为切点

a a k> 或k<- b b y0 y x0 x - 2 =1 a2 b

((x0 , y0)为切点

xy=a 2 的切线方程:

x0 y + y0 x =a 2 ((x 0 ,y 0 ) 为切点 2

切点弦 方 程

(x0 , y0)在双曲线外

(x0 , y0)在双曲线外

=1 b2 1 |x 2 -x1 | 1 + k 2 或|y1 -y 2 | 1 + 2 k 弦长公式 其中(x1 , y1),(x2 , y2)为割弦端点坐标, k 为 a2 b2 a2

割弦所在直线的斜率

x0 x

y0 y

=1

y0 y

x0 x

3. 抛物线性质

范文四:圆锥曲线知识点汇总

二十四、圆锥曲线与方程

考点梳理 (一)椭圆

1、椭圆的定义:

平面内与两个定点F1、F2的距离之和为常数2a(2a|F2F2|)的动点P的轨迹叫椭圆,其中两个定点F1、F2叫椭圆的焦点.

PF1PF22aF1F2

(1)当时, P的轨迹为椭圆 ; ;

PF1PF22aF1F2

(2)当时, P的轨迹不存在;

PF1PF22aF1F2

(3)当时, P的轨迹为 以F1、F2为端点的线段

xy21(ab0)2P(x,y)00ab 3、点与椭圆的位置关系: x2y2

212ab(1)当时,点P在椭圆外; x2y2

212ab(2)当时,点P在椭圆内; x2y2

212

b(3)当a时,点P在椭圆上;

4、直线与椭圆的位置关系

直线与椭圆相交0;直线与椭圆相切0;直线与椭圆相离0

(二)双曲线 1、双曲线的定义

平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值为常数2a(2a|F1F2|的动点P的轨迹叫双曲线,其中两个定点F1、F2叫双曲线的焦点.

|PF1PF2|2aF1F2

(1)当时, P的轨迹为双曲线;

|PF1PF2|2aF1F2

(2)当时, P的轨迹不存在;

|PF1PF2|2aF1F2

(3)当时, P的轨迹为以F1、F2为端点的两条射线 2、双曲线的标准方程与几何性质

xyx2y2

2(0)2122abab3、与双曲线共渐近线的双曲线系方程为:

222

xya4、等轴双曲线的渐近线方程为yx ,离心率为e2.。

(三)抛物线 1、抛物线的定义

平面内到定点F的距离与到定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线,其中定点F叫抛物线的焦点,定直线l叫抛物线的准线。

p0PPxy22

PF2;x2py(p0)的焦半径PF2; ①y2px(p0)的焦半径

② 过焦点的所有弦中最短的弦,也被称做通径.其长度为2p.

p2

2

xxyypy22px4ABAB③ AB为抛物线的焦点弦,则 ,,|AB|=xAxBp

(四)圆锥曲线的综合问题

1、直线与圆锥曲线C的位置关系

将直线l的方程代入曲线C的方程,消去y或者消去x,得到一个关于x(或y)的方程ax2+bx+c=0. (1)交点个数

①当 a=0或a≠0,⊿=0 时,曲线和直线只有一个交点; ②当 a≠0,⊿>0时,曲线和直线有两个交点; ③ 当⊿

2、对称问题:

曲线上存在两点关于已知直线对称的条件:①曲线上两点所在的直线与已知直线垂直(得出斜率)②曲线上两点所在的直线与曲线有两个公共点(⊿>0)③曲线上两点的中点在对称直线上

3、求动点轨迹方程

①轨迹类型已确定的,一般用待定系数法;

②动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的,一般用直接法; ③一动点随另一动点的变化而变化,一般用代入转移法。

范文五:圆锥曲线知识点小结2

《圆锥曲线》知识点小结

一、椭圆:(1)椭圆的定义:平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|其中:两个定点叫做椭圆的焦点,焦点间的距离叫做焦距。

注意:2a|F1F2|表示椭圆;2a|F1F2|表示线段F1F2;2a|F1F2|没有轨迹; (2

F1F2|)的点的轨迹。

22xy3.常用结论:(1)椭圆1(ab0)的两个焦点为F1,F2,过F1的直线交椭圆于A,B两a2b2

点,则ABF2的周长= (2)设椭圆

x2y2

21(ab0)左、右两个焦点为F1,F2,过F1且垂直于对称轴的直线2ab

交椭圆于P,Q两点,则P,Q的坐标分别是 |

PQ|

二、双曲线:

(1)双曲线的定义:平面内与两个定点F1,F2|迹。

其中:两个定点叫做双曲线的焦点,焦点间的距离叫做焦距。 注意:|

F1F2|PF1||PF2|2a与|PF2||PF1|2a(2a|F1F2|)表示双曲线的一支。

2a|F1F2|表示两条射线;2a|F1F2|没有轨迹;

(2)双曲线的标准方程、图象及几何性质:

标准方程

中心在原点,焦点在x轴上

中心在原点,焦点在

y轴上

x2y2

1(a0,b0) a2b2

y2x2

21(a0,b0) 2ab

图 形

B1(0,a),B2(0,a)

顶 点 对称轴 焦 点 焦 距 离心率 渐近线 通 径

(3)双曲线的渐近线:

A1(a,0),A2(a,0)

x轴,y轴;虚轴为2b,实轴为2a

F1(c,0),F2(c,0)

|F1F2|2c(c0) c

e

2

F1(0,c),F2(0,c)

a2b2

c

(e1)(离心率越大,开口越大) a

y

bx a

2b2 a

y

ax b

2222

①求双曲线xy1的渐近线,可令其右边的1为0,即得xy0,因式分解得到xy0。

aba2b2a2b2

x2y2x2y2

②与双曲线221共渐近线的双曲线系方程是2;

2

ab

(4)等轴双曲线为x

2

y2t2,其离心率为

22

yx(4)常用结论:(1)双曲线21(a0,b0)的两个焦点为F1,F2,过F1的直线交双曲线的2

ab

同一支于

A,B两点,则ABF2的周长x2y2

21(a0,b0)左、右两个焦点为F1,F2,过F1且垂直于对称轴的2ab

(2)设双曲线

直线交双曲线于P,Q两点,则P,Q的坐标分别是 |

三、抛物线:

PQ|

(1)抛物线的定义:平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。 其中:定点为抛物线的焦点,定直线叫做准线。 (2)抛物线的标准方程、图象及几何性质: 标准方程

焦点在x轴上,

开口向右

焦点在x轴上,

开口向左

焦点在

p0

y轴上,

焦点在

y轴上,

开口向上 开口向下

y22px y22px

x22py x22py

图 形

顶 点 对称轴 焦 点 离心率 准 线 通 径 焦半径 焦点弦 焦准距 O(0,0)

x轴

pF(,0) 2

p 2

y轴

F(

p ,0)2

pF(0,)

2

pF(0,)

2

e1

x

x

p 2

y

p 2

y

p 2

2p

|PF||x0|

p 2

|PF||y0|

p 2

p

四、弦长公式: |

AB|k2|x1x2|k2(x1x2)24x1x2k2

 |A|

其中,

A,分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y后所得关于x的一元二次方程

2

的判别式和x的系数

求弦长步骤:(1)求出或设出直线与圆锥曲线方程;(2)联立两方程,消去y,得关于x的一元二次方程

Ax2BxC0,

A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理求出x1x2

BA

x1x2

C

;(3)代入弦长公式计算。 A

2

法(二)若是联立两方程,消去x,得关于y的一元二次方程AyByC0,则相应的弦长公

式是:|

111

AB|()2|y1y2|()2(y1y2)24y1y2()2

kkk|A|

x1x2|(x1x2)24x1x2

|A|

和 |A|

注意(1)上面用到了关系式|

y1y2(y1y2)24y1y2

注意(2)求与弦长有关的三角形面积,往往先求弦长,再求这边上的高(点到直线的距离),但若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形,且线段的长度为定值,求面积一般用分割法 五、弦的中点坐标的求法

法(一):(1)求出或设出直线与圆锥曲线方程;(2)联立两方程,消去y,得关于x的一元二次方程

Ax2BxC0,设A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理求出x1x2

x1x2

2

;再把x

B

;(3)设中A

点M(x0,y0),由中点坐标公式得x0x0代入直线方程求出yy0。

法(二):用点差法,设

A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(x0,y0),由点在曲线上,线段的中

点坐标公式,过A、B两点斜率公式,列出5个方程,通过相减,代入等变形,求出x0,y0。

六、求离心率的常用方法:法一,分别求出a,c,再代入公式

法二、建立a,b,c满足的关系,消去b,再化为关于e的方程,最后解方程求e (求e时,要注意椭圆离心率取值范围是0﹤e﹤1,而双曲线离心率取值范围是e﹥1)

例1:设点P是圆x2y24上的任一点,定点D的坐标为(8,0),若点M满足



PM2MD.当点P在圆上运动时,求点M的轨迹方程.



解 设点M的坐标为x,y,点P的坐标为x0,y0,由PM2MD,

得xx0,yy028x,y,即x03x16,y03y.

因为点Px0,y0在圆x2y24上,所以x02y024.即3x163y4,

2

2

416

即xy2,这就是动点M的轨迹方程.

39

例2:已知椭圆的两个焦点为(-2,0),(2,0)且过点(,),求椭圆的标准方程

2

5

232

x2y2

解法1 因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为221(ab0),

ab

由椭圆的定义可知:2a

x2y2

1 ac2,bac6所以所求的标准方程为

106

2

2

2

x2y2

1,将解法2 c2,baca4,所以可设所求的方程为22

aa4

2

2

2

2

53x2y21 点(,

)代人解得:a 所以所求的标准方程为

22106

例3.

例4.

习题:1.已知椭圆长半轴与短半轴之比是5:3,焦距是8,焦点在x轴上,则此椭圆的

标准方程是( )

x2x2x2x2y2y2y2y2

(A)+=1(B)+=1 (C)+=1 (D)+=1

3952552539

2.以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点,则椭圆的离心率是( )

(A)

1233 (B) (C) (D) 2223

3. 已知椭圆x2+2y2=m,则下列与m无关的是( )

(A)焦点坐标 (B)准线方程 (C)焦距 (D)离心率

,则它的长半轴的长是( ) 2

1

(A)1 (B)1或2 (C)2 (D)或1

2

5椭圆的中心为O,左焦点为F1,P是椭圆上一点,已知△PF1O为正三角形,则P点到右准线的距离与长半轴的长之比是( )

4. 椭圆mx2+y2=1的离心率是

(A)3-1 (B)3-3 (C)3 (D)1

y2x2

6.若椭圆=1的准线平行于y轴,则m的取值范围是。

3m12m

7.椭圆的长半轴是短半轴的3倍,过左焦点倾斜角为30°的弦长为2则此椭圆的标准方程是 。

8. 椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,若椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于椭圆的焦距,又已知直线2x-y-4=0被此椭圆所截得的弦长为

45

,求此椭圆的方程。 3

9. 已知椭圆的对称轴是坐标轴,离心率e=,长轴长为6,那么椭圆的方程是( )。

x2y2x2y2x2y2

(A) +=1 (B)+=1或+=1

362036202036x2y2x2y2x2y2

(C) +=1 (D)+=1或+=1

959559

10. 椭圆25x2+16y2=1的焦点坐标是( )。

331

(A)(±3, 0) (B)(±, 0) (C)(±, 0) (D)(0, ±)

32020

x2y2y2x2

11. 曲线+=1与曲线+=1 (k

25-k9k259

(A)有相等的长、短轴 (B)有相等的焦距 (C)有相等的离心率 (D)一相同的准线

12.椭圆4x2+16y2=1的长轴长为,焦点坐标是 ,

13. 已知两点A(-3, 0)与B(3, 0),若|PA|+|PB|=10,那么P点的轨迹方程是

18

14. 椭圆的长、短轴都在坐标轴上,两准线间的距离为5,焦距为2,则椭圆的

5

方程为 。

x2y2

1共焦点,并经过点P(3, -2),则15. 椭圆的长、短轴都在坐标轴上,和椭圆94

椭圆的方程为 。

x2y2

16.在椭圆+=1内有一点M(4, -1),使过点M的弦AB的中点正好为点M,求弦AB

1040

所在的直线的方程。

x2y21

17. 椭圆+=1的离心率e=, 则k的值是。

k892

18.平面内有两个定点F1(-5,0)和F2(5,0),动点P满足条件|PF1|-|PF2|=6,则动点P的轨迹方程是( )。

x2x2y2y2

(A)-=1 (x≤-4) (B)-=1(x≤-3)

916169x2x2y2y2

(C)-=1 (x>≥4) (D)-=1 (x≥3)

916169

2

3

y2x2

19双曲线-=1的渐近线方程是 ( )

3649yyyyxxxx

(A)±=0 (B)±=0 (C)±=0 (D)±=0

36493649677620. 双曲线x2-ay2=1的焦点坐标是( )

(A)(a, 0) , (-a, 0) (B)(a, 0), (-a, 0)

(C)(-

a1a1a1a1

, 0),(, 0) (D)(-, 0), (, 0) aaaa

x2y2

21. 设双曲线221(b>a>0)的半焦距为c,直线l过(a, 0)、(0, b)两点,已知原点到

abc,则双曲线的离心率是( ) 4

23

(A)2 (B) (C)2 (D)

3

x2y2

22. 双曲线-=1的离心率是 。

79

y2x2

23, 已知方程+=1表示双曲线,则k的取值范围是。

3k2k

y22

24. 双曲线4x-=1的渐近线方程是( )。

9213

(A)y=±x (B)y=±x (C)y=±x (D)y=±6x

362

直线l的距离是

25. 若双曲线与椭圆x2+4y2=64共焦点,它的一条渐近线方程是x+y=0,则此双曲线

的标准方程只能是( )。

y2y2y2y2x2x2x2x2

(A)-=1(B)-=1 (C)-=±1 (D)-=±1

3612361236123612

y2x2

26.和椭圆+=1有共同焦点,且离心率为2的双曲线方程是( )。

259y2y2y2y2x2x2x2x2

(A)-=1 (B)-=1 (C)-=1(D)-=1

414412614612

1

27. 双曲线的两准线间的距离是它的焦距的,则它的离心率为 。

3

28. 双曲线的两个顶点三等分两个焦点间的线段,则离心率e。

29. 中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过(1, 3)的等轴双曲线的方程是

30. 渐近线是±=0,且经过P(62, 8)的双曲线方程是。

y2x231. 和椭圆+=1有公共的焦点,离心率e=的双曲线方程是 。

942

32. 59. 实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的系数a、b、c恰为一双曲线的半实轴、半虚轴、半焦距,且此二次方程无实根,求双曲线离心率e的范围。

y2x2

33. 过双曲线-=1的左焦点F1,作倾斜角为α=的直线与双曲线交于两点A、B,

9164

求|AB|的长。

34. 抛物线y2=8x的准线方程是( )。

(A)x=-2 (B)x=2 (C)x=-4 (D)y=-2

35.AB是过抛物线y2=4x焦点F的弦,已知A,B两点的横坐标分别是x1和x2,且x1+x2=6则|AB|等于( )

(A)10 (B)8 (C)7 (D)6

36. 经过(1,2)点的抛物线的标准方程是( )

(A)y2=4x (B)x2=

x3y4

11

y (C) y2=4x 或x2=y (D) y2=4x 或x2=4y 22

37.顶点在原点,焦点是F(6, 0)的抛物线的方程是。 38. 抛物线x2=4y的焦点为F,A是抛物线上一点,已知|AF|=4+22,则AF所在直线方程是 。

x2

39,抛物线y=-的准线方程是( )。

8

11

(A)y= (B)y=2 (C)y= (D)y=4

432

40. 已知点(-2, 3)与抛物线y2=2px (p>0) 的焦点的距离是5,则抛物线的方程是 。

41. 抛物线x2=4y上有一点Q到焦点的距离为3,那么Q点的纵坐标是( )。 (A)-2 (B)2 (C)4 (D)1

42. 如果抛物线y2=px (p>0)和圆(x-2)2+y2=3在x轴上方相交于A、B两点,且弦AB的中点M在直线y=x上,求抛物线的方程。

43. 抛物线的顶点在原点,对称轴为坐标轴,且点(-5, 2)在抛物线上,则抛物线的方程为( )。

(A)y2=-4x (B)x2=5y (C)y2=-4x或x2=

5y (D)x2=-4y 2

44. 抛物线y=4x2的准线方程是( )。

(A)x=-1 (B)y=-1 (C)x=-

11 (D)y=- 1616

范文六:圆锥曲线知识点小结

圆锥曲线知识点汇总

一.曲线与方程:

1.曲线的方程与方程的曲线

2、求曲线方程的一般步骤

3. 直线被圆锥曲线截得的弦长公式:

4. 直线与曲线的交点个数的判断:

二.圆:

1. 圆的定义:

2. 圆的标准方程:_______________________圆心__________半径 _________

3. 圆的一般方程:___________________________

4. 直线与圆的位置关系:设圆心到直线的距离为d,半径为r

(1)相离____________;(2)________________________;(3)______________________

三:椭圆:

1.椭圆的定义:

2.椭圆的标准方程:

3.椭圆的性质:

四.双曲线

1. 双曲线的定义:

2. 双曲线的标准方程:

3. 双曲线的性质:

五.抛物线:

1. 定义:

2. 抛物线方程:

七.直线与圆锥曲线的应用:

1.点M(x0,y0)与圆锥曲线C:f(x,y)=0的位置关系

2.直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系可分为:相交、相切、相离

注意:对于抛物线来说,平行于对称轴的直线与抛物线相交于一

点,但并不是相切;对于双曲线来说,平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点,但并不相切。即:直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件,但不是充分条件.圆锥曲线知识点汇总

一.曲线与方程:

1.曲线的方程与方程的曲线

2、求曲线方程的一般步骤

3. 直线被圆锥曲线截得的弦长公式:

4. 直线与曲线的交点个数的判断:

二.圆:

1. 圆的定义:

2. 圆的标准方程:_______________________圆心__________半径 _________

3. 圆的一般方程:___________________________

4. 直线与圆的位置关系:设圆心到直线的距离为d,半径为r

(1)相离____________;(2)________________________;(3)______________________

三:椭圆:

1.椭圆的定义:

2.椭圆的标准方程:

3.椭圆的性质:

四.双曲线

1. 双曲线的定义:

2. 双曲线的标准方程:

3. 双曲线的性质:

五.抛物线:

1. 定义:

2. 抛物线方程:

七.直线与圆锥曲线的应用:

1.点M(x0,y0)与圆锥曲线C:f(x,y)=0的位置关系

2.直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系可分为:相交、相切、相离

注意:对于抛物线来说,平行于对称轴的直线与抛物线相交于一

点,但并不是相切;对于双曲线来说,平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点,但并不相切。即:直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件,但不是充分条件.

范文七:圆锥曲线知识点小结

圆锥曲线知识点小结

1.圆锥曲线的两个定义:

(1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件

定点F1(3,0),F2(3,0),在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中,是椭圆的是( ) A.PF1B.PF1

PF24PF26

C.PF1PF210 D.PF1

2

PF2

2

12

(2)

8表示的曲线是_____ (3)利用第二定义 已知点Q(2

2,0)及抛物线y

x

2

4

上一动点P(x,y),则y+|PQ|的最小值是___

2.圆锥曲线的标准方程 (1)已知方程

x

2

3k

y

2

2k

1表示椭圆,则k的取值范围为____

(2)若x,yR,且3x22y26,则xy的最大值是___,x2y2 (3)双曲线的离心率等于程_______

(4)设中心在坐标原点O,焦点F1、F2在坐标轴上,离心率e过点P(4,),则C的方程为_______

3.圆锥曲线焦点位置的判断: 椭圆:已知方程

x

2

2

,且与椭圆

x

2

9

y

2

4

1有公共焦点,则该双曲线的方

2的双曲线C

m1

y

2

2m

1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是( )

4.圆锥曲线的几何性质: (1)椭圆若椭圆

x

2

5

y

2

m

1的离心率e

5

,则m的值是__

(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为__

(3)双曲线的渐近线方程是3x2y0,则该双曲线的离心率等于______

(4)双曲线ax2by2

1a:b(5)设双曲线

xa

22

yb

22

[2,2],则两条渐近线夹角θ1(a>0,b>0)中,离心率e∈

的取值范围是________

(6)设a0,aR,则抛物线y4ax2的焦点坐标为________ 5、点P(x0,y0)和椭圆

xa

22

yb

22

1(ab0)的关系:

6.直线与圆锥曲线的位置关系:

(1)若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点,则k的取值范围是_______

(2)直线y―kx―1=0与椭圆

2

2

x

2

5

y

2

m

1恒有公共点,则m的取值范围是______

(3)过双曲线

x

1

y

2

1的右焦点直线交双曲线于A、B两点,若│AB︱=4,

则这样的直线有_____条.

(4)过双曲线况如下:

(5)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。

(6)过点(2,4)作直线与抛物线y28x只有一个公共点,这样的直线有__ (7)过点(0,2)与双曲线______

x

2

xa

22

yb

22

=1外一点P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个公共点的情

9

y

2

16

1有且仅有一个公共点的直线的斜率取值范围为

(8)过双曲线x

2

y

2

2

1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点,若AB4,则

满足条件的直线l有____条

(9)对于抛物线C:y24x,我们称满足y024x0的点M(x0,y0)在抛物线的内部,若点M(x0,y0)在抛物线的内部,则直线l:y0y2(xx0)与抛物线C的位置关系是_______

(10)过抛物线y24x的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是p、q,则

1p

2

1q

_______

(11)设双曲线

x

16

y

2

9

1的右焦点为F,右准线为l,设某直线m交其左支、

右支和右准线分别于P,Q,R,则PFR和QFR的大小关系为___________(填大于、小于或等于)

(12)求椭圆7x24y228上的点到直线3x2y160的最短距离 (13)直线yax1与双曲线3x2y21交于A、B两点。 ①当a为何值时,A、B分别在双曲线的两支上? ②当a为何值时,以AB为直径的圆过坐标原点? 7、焦半径 (1)已知椭圆离为____

(2)已知抛物线方程为y28x,若抛物线上一点到y轴的距离等于5,则它到抛物线的焦点的距离等于____;

(3)若该抛物线上的点M到焦点的距离是4,则点M的坐标为__ (4)点P在椭圆点P的横坐标为____

(5)抛物线y22x上的两点A、B到焦点的距离和是5,则线段AB的中点到y轴

x

2

x

2

25

y

2

16

1上一点P

到椭圆左焦点的距离为3,则点P到右准线的距

25

y

2

9

1上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则

的距离为______

(6)椭圆

x

2

4

y

2

3

1内有一点P(1,1),F为右焦点,在椭圆上有一点M,使

MP2MF 之值最小,则点M的坐标为____

8、焦点三角形

(1)短轴长为5,离心率e

23

的椭圆的两焦点为F1、F2,过F1作直线交椭圆

于A、B两点,则ABF2的周长为________

(2)设P是等轴双曲线x2y2a2(a0)右支上一点,F1、F2是左右焦点,若

PF2F1F20,|PF1|=6(3)椭圆

x

2

9

y

2

4

PF1

→→

点P的横坐标的取值范围是

(4)双曲线的虚轴长为4,离心率e=

62

,F1、F2是它的左右焦点,若过F1的直

线与双曲线的左支交于A、B两点,且AB是AF2与BF2等差中项,则AB=_______

(5)已知双曲线的离心率为2,F1、F2是左右焦点,P为双曲线上一点,且

F1PF260,SPF1F2123.求该双曲线的标准方程

9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质: 10、弦长公式:

(1)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,那么|AB|等于_______

(2)过抛物线y22x焦点的直线交抛物线于A、B两点,已知|AB|=10,O为坐标原点,则ΔABC重心的横坐标为_______

11、圆锥曲线的中点弦问题: (1)如果椭圆

x

2

36

y

2

9

1弦被点A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是

(2)已知直线y=-x+1与椭圆

xa

22

yb

22

1(ab0)相交于A、B两点,且线段

AB的中点在直线L:x-2y=0上,则此椭圆的离心率为_______

(3)试确定m的取值范围,使得椭圆

y4xm对称

x

2

4

y

2

3

1上有不同的两点关于直线

特别提醒12.你了解下列结论吗? 与双曲线

x

2

9

y

2

16

1有共同的渐近线,且过点(3,23)的双曲线方程为_______

13.动点轨迹方程:

(1)已知动点P到定点F(1,0)和直线x3的距离之和等于4,求P的轨迹方程. (2)线段AB过x轴正半轴上一点M(m,0)(m0),端点A、B到x轴距离之积为2m,以x轴为对称轴,过A、O、B三点作抛物线,则此抛物线方程为

(3)由动点P向圆x2y21作两条切线PA、PB,切点分别为A、B,∠APB=600,则动点P的轨迹方程为

(4)点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x50的距离小于1,则点M的轨迹方程是_______

(5) 一动圆与两圆⊙M:xy1和⊙N:xy8x120都外切,则动圆圆心的轨迹为

2



2222

(6)动点P是抛物线y2x1上任一点,定点为A(0,1),点M分PA所成的比为2,则M的轨迹方程为__________

(7)AB是圆O的直径,且|AB|=2a,M为圆上一动点,作MN⊥AB,垂足为N,在OM上取点P,使|OP||MN|,求点P的轨迹。

(8)若点P(x1,y1)在圆x2y21上运动,则点Q(x1y1,x1y1)的轨迹方程是____

(9)过抛物线x24y的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点,则弦AB的中点M的轨迹方程是________

(10)已知椭圆

xa

22

yb

22

右焦点分别是1(ab0)的左、

F1(-c,0)、F2(c,0),Q是椭圆外的动点,满足|F1Q|2a.点P是线段F1Q与该椭圆的交点,点T在线段F2Q上,并且满足

PTTF20,|TF2|0.

(1)设x为点P的横坐标,证明|F1P|a(2)求点T的轨迹C的方程;

ca

x;

(3)试问:在点T的轨迹C上,是否存在点M,使△F1MF2的面积S=b2.若存在,求∠F1MF2的正切值;若不存在,请说明理由.

1.(答 :C);(答 :双曲线的左支)(答 :2) 2. (答 :(3,)(

21

1232

;(答

2)(答 ,2))

x

2

4

;(答 : xy6)y1)

2

2

2

3.(答 :(,1)(1,)) 4.(答 :3或

253

5.(答 :22)(答

(0,

116a

)

2

3

);(答 :4或

14

);(答 :[



3,2

; (答 :])

);

3

6. (答 :(-,-1));(答 :[1,5)∪(5,+∞));(答 :3);(答 :①P点在两

条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;

②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;

③P在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;

④P为原点时不存在这样的直线;) (答 :2;(答

:



43,

;(答 :3);(答 :相离);(答 :1); )3

(答 :等于);(答

353

13

(答

:①;②a1);

2512

263

7.(答 :);(答 :7,(2,4));(答 :

);(答 :2);(答 :(

,1)

);

8.(答 :6);(答 :x2y24);(答

:(

x

2

,);(答

:; 55

(答 :

4

y

2

12

1);

10.(答 :8);(答 :3);

11.(答 :x2y80);(答

2

2

2

);(答

:

1313

); 

12.(答 :

4x9

y

4

(答 :y212(x4)(3x4)或y24x(0x3)); 1)

(答 :y22x);(答 :x2y24);(答 :y216x);(答 :双曲线的一支);

(答 :y

6x

2

13

);(答 :x2y2a|y|);(答 :y22x1(|x|));

2

2

2

2

2

1

(答 :x2y2);(答 :(1)略;(2)xya;(3)当

2

b

c

a

时不存在;当

b

2

c

a时存在,此时∠F1MF2=2)

范文八:圆锥曲线知识点小结

《圆锥曲线》知识点小结

一、椭圆:(1)椭圆的定义:平面内与两个定点F1,F2等于常数(大于|F1F2|

其中:两个定点叫做椭圆的焦点,焦点间的距离叫做焦距。 注意:2a|FF|表示椭圆;2a|FF|表示线段F1F2;2a|F1F2|没有轨迹;

1

2

1

2

(2)椭圆的标准方程、图象及几何性质:

y2

过F1的21(ab0)的两个焦点为F1,F2,

ab

2

3.常用结论:(1)椭圆x2

直线交椭圆于A,B两点,则ABF2的周长22

xy(2)设椭圆221(ab0)左、右两个焦点为F1,F2,过F1且ab

垂直于对称轴的直线交椭圆于P,Q两点,则P,Q的坐标分别是 |PQ|

二、双曲线:

(1)双曲线的定义:平面内与两个定点F1,F2于常数(小于|F1F2|

其中:两个定点叫做双曲线的焦点,焦点间的距离叫做焦距。 注意:|PF1||PF2|2a与|PF2||PF1|2a(2a|F1F2|)表示双曲线的一支。

2a|F1F2|表示两条射线;2a|F1F2|没有轨迹;

(2)双曲线的标准方程、图象及几何性质:

标准方程

焦点在y轴上 中心在原点,焦点在x轴上 中心在原点,

x2y2

21(a0,b0) 2ab

y2x2

21(a0,b0) 2ab

图 形

顶 点 对称轴 焦 点 焦 距 离心率 渐近线 通 径

(3)双曲线的渐近线: ①求双曲线x

y2

21的渐近线,可令其右边的2ab

2

A1(a,0),A2(a,0)

B1(0,a),B2(0,a)

x轴,y轴;虚轴为2b,实轴为2a

F1(c,0),F2(c,0)

|F1F2|2c(c0) c

e

c

(e1)a

2

F1(0,c),F2(0,c)

a2b2

(离心率越大,开口越大)

y

2b2a

y

bx aax b

1为0,即得x

y2

20,2ab

2

因式分解得到x

a

y

0。 b

22x2y2xy1②与双曲线2共渐近线的双曲线系方程是22;

ab2(4)等轴双曲线为x2y2t2

(4)常用结论:(1)双曲线x2y2

a

b

22

1(a0,b0)的两个焦点为F1,F2,

过F1的直线交双曲线的同一支于A,B两点,则ABF2的周长= (2)设双曲线x2y2

a

b

2

2

右两个焦点为F1,F2,过F11(a0,b0)左、

且垂直于对称轴的直线交双曲线于P,Q两点,则P,Q的坐标分别是 |PQ|

三、抛物线:

(1)抛物线的定义:平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。

其中:定点为抛物线的焦点,定直线叫做准线。 (2)抛物线的标准方程、图象及几何性质:p0

焦点在x轴

上, 开口向右

标准方程

y22px

焦点在x轴上, 开口向左

y22px

焦点在y轴上, 开口向上

x22py

焦点在y轴上, 开口向下

x22py

图 形

顶 点 对称

x轴 轴 焦 F(p

p点 2

,0) F(

2

,0)离心

率 准

x

pp

2

x

线2

通 径 焦半

|PF||xp0|

径 2

焦点

O(0,0)

y轴

F(0,p)

2

F(0,p2

)

e1

y

p

2

y

p

2

2p

|PF||yp0|

2

焦准距 四

p

公式

 |A|

|AB|k2|x1x2|k2(x1x2)24x1x2k2

其中,A,分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y后所得关于x的一元二次方程

的判别式和x2的系数

求弦长步骤:(1)求出或设出直线与圆锥曲线方程;(2)联立两方程,消去y,得关于x的一元二次方程Ax2BxC0,设

A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理求出x1x2

BC

,x1x2;(3)代AA

入弦长公式计算。

法(二)若是联立两方程,消去x,得关于y的一元二次方程

Ay2ByC0,

则相应的弦长公式是:

111

|AB|()2|y1y2|()2(y1y2)24y1y2()2

kkk|A|

注意(1)上面用到了关系式|x1x2|(x1x2)24x1x2

y1y2(y1y2)24y1y2

|A|

和 |A|

注意(2)求与弦长有关的三角形面积,往往先求弦长,再求这边上的高(点到直线的距离),但若三角形被过顶点的一条线段

分成两个三角形,且线段的长度为定值,求面积一般用分割法 五、弦的中点坐标的求法

法(一):(1)求出或设出直线与圆锥曲线方程;(2)联立两方程,消去y,得关于x的一元二次方程Ax2BxC0,设A(x1,y1),

B(x2,y2),由韦达定理求出x1x2

B

;(3)设中点M(x0,y0),由中A

点坐标公式得x0

x1x2

;再把xx0代入直线方程求出yy0。 2

法(二):用点差法,设A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(x0,y0),由点在曲线上,线段的中点坐标公式,过A、B两点斜率公式,列出5个方程,通过相减,代入等变形,求出x0,y0。

六、求离心率的常用方法:法一,分别求出a,c,再代入公式 法二、建立a,b,c满足的关系,消去b,再化为关于e的方程,最后解方程求e (求e时,要注意椭圆离心率取值范围是0﹤e﹤1,而双曲线离心率取值范围是e﹥1)

例1:设点P是圆x2y24上的任一点,定点D的坐标为(8,0),若点M满足PM2MD.当点P在圆上运动时,求点M的轨迹方程.

解 设点M的坐标为x,y,点P的坐标为x0,y0,由PM2MD, 得xx0,yy028x,y,即x03x16,y03y.

因为点Px0,y0在圆x2y24上,所以x02y024.即

3x16

2

3y4,

2

2

1642

即,这就是动点M的轨迹方程. xy

39

例2:已知椭圆的两个焦点为(-2,0),(2,0)且过点(,),求椭圆的标准方程

解法1 因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为

x2y2

1(ab0), a2b2

5232

由椭圆的定义可知

2a

a又c2,b2a2c26所以所求的标准方程为

x2y2

1 106

解法2

c2,b2a2c2a24,所以可设所求的方程为

53x2y2

(,

)代人解得:a 所以所求的标准方1,将点22

22aa4

x2y2

程为 1

106

例3.

例4.

习题:1.已知椭圆长半轴与短半轴之比是5:3,焦距是8,焦点在x轴上,则此椭圆的标准方程是( )

x2

(A)

5

y2

=1 25

y2+3

x2

=1(B)

25

y2+9

=1

x2

(C)

3y2+5x2

=1 (D)

9

2.以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点,则椭圆的离心率是( )

(A) (B)

3 3

12

2 (C) (D)22

3. 已知椭圆x2+2y2=m,则下列与m无关的是( )

(A)焦点坐标 (B)准线方程 (C)焦距 (D)离心率

4. 椭圆mx2+y2=1的离心率是

2

,则它的长半轴的长是( )

2

(A)1 (B)1或2 (C)2 (D)1或1

5椭圆的中心为O,左焦点为F1,P是椭圆上一点,已知△PF1O为正三角形,则P点到右准线的距离与长半轴的长之比是( ) (A)-1 (B)3-3 (C) (D)1 6.若椭圆

y2x2

3m12m

=1的准线平行于y轴,则m的取值范围

是 。

7.椭圆的长半轴是短半轴的3倍,过左焦点倾斜角为30°的弦长为

2

是 。

8. 椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,若椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于椭圆的焦距,又已知直线2x-y-4=0被此椭圆所截得的弦长为

45

3

,求此椭圆的方程。

3

9. 已知椭圆的对称轴是坐标轴,离心率e=2,长轴长为6,那么椭圆的方程是( )。

(A) (C)

x236x29x2y2x2y2y2

+=1 (B)+=1或+=1 2036202036

x2y2x2y2y2

+=1 (D)+=1或+=1 59559

10. 椭圆25x2+16y2=1的焦点坐标是( )。 (A)(±3, 0) (B)(±1, 0) (C)(±

3

3

, 0) 20

(D)

(0, ±11.

3) 20

x2

曲线

25

y2+9

=1

x2

与曲线

25-ky2

+=1 (k

( )。

(A)有相等的长、短轴 (B)有相等的焦距 (C)有相等的离心率 (D)一相同的准线 12.椭圆4x2+16y2=1的长轴长为,离心率为 ,焦点坐标是 ,

13. 已知两点A(-3, 0)与B(3, 0),若|PA|+|PB|=10,那么P点的轨迹方程是 。

14. 椭圆的长、短轴都在坐标轴上,两准线间的距离为18

5

5,焦距

为25,则椭圆的方程为 。

x2y2

1共焦点,并经94

15. 椭圆的长、短轴都在坐标轴上,和椭圆

过点P(3, -2),则椭圆的方程为 。

x2

16.在椭圆

40

y2+10

=1内有一点M(4, -1),使过点M的弦AB的中点

正好为点M,求弦AB所在的直线的方程。

17.

x2y2

椭圆+

k89

=1的离心率e=1, 则k的值是。

2

18.平面内有两个定点F1(-5,0)和F2(5,0),动点P满足条件|PF1|-|PF2|=6,则动点P的轨迹方程是( )。

x2y2y2

-=1 (x≤-4) (B)-=1(x≤-3)

9169

x2y2y2

-=1 (x>≥4) (D)-=1 (x≥3)

9169y2x2

19双曲线-=1的渐近线方程是 ( )

3649

(A)x±y=0 (B)y±x=0 (C)x±y=0 (D)x±

36493649677

y

=0 6

x2

(A)

16x2

(C)

16

20. 双曲线x2-ay2=1的焦点坐标是( )

(A)(a, 0) , (-a, 0) (B)(a, 0), (-a, 0) (C)(-0) 21.

x2y2

设双曲线221(b>a>0)的半焦距为

ab

4

a1a1a1a1

, 0),(, 0) (D)(-, 0), (, aaaa

c,直线l过(a, 0)、(0, b)

两点,已知原点到直线l的距离是 (A)2 (B)

x2

双曲线

9

c,则双曲线的离心率是( )

23

3

3 (C)2 (D)

k的取值范围

y2

22. -=1的离心率是

7

y2x2

23, 已知方程+=1表示双曲线,则

3k2k

是 。

y2

24. 双曲线4x-=1的渐近线方程是( )。

9

(A)y=±2x (B)y=±1x (C)y=±3x

362

2

(D)y=±6x

25. 若双曲线与椭圆x2+4y2=64共焦点,它的一条渐近线方程是x+y=0,则此双曲线的标准方程只能是( )。

x2

(A)

36

x2

=±1 12

y2-12

y2

=1(B)

36

x2-12

x2

=1 (C)

36

y2-12

=±1

y2

(D)

36

x2

26.和椭圆

25y2+9

=1有共同焦点,且离心率为2的双曲线方程是

( )。

y212

x2

(A)

4

y2-14

=1

x2

(B)

4y2-12x2

=1 (C)

6y2-14x2

=1(D)

6

=1

3

27. 双曲线的两准线间的距离是它的焦距的1,则它的离心率为 。

28. 双曲线的两个顶点三等分两个焦点间的线段,则离心率e

29. 中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过(1, 3)的等轴双曲线的方程是 30. 渐近线是

x3

±

y4

=0,且经过P(62, 8)的双曲线方程

是 。 31.

x2

和椭圆

9

y24

=1有公共的焦点,离心率e=

52

的双曲线方程

是 。

32. 59. 实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的系数a、b、c恰为一双曲线的半实轴、半虚轴、半焦距,且此二次方程无实根,求双曲线离心率e的范围。 33.

x2

过双曲线

9

y2-16

=1的左焦点F1,作倾斜角为α=的直线与

4

双曲线交于两点A、B,求|AB|的长。 34. 抛物线y2=8x的准线方程是( )。

(A)x=-2 (B)x=2 (C)x=-4 (D)y=-2

35.AB是过抛物线y2=4x焦点F的弦,已知A,B两点的横坐标分别是x1和x2,且x1+x2=6则|AB|等于( ) (A)10 (B)8 (C)7 (D)6

36. 经过(1,2)点的抛物线的标准方程是( )

(A)y2=4x (B)x2=y (C) y2=4x 或x2=y (D) y2=4x 或x2=4y

37.顶点在原点,焦点是F(6, 0)的抛物线的方程是 。

38. 抛物线x2=4y的焦点为F,A是抛物线上一点,已知|AF|=4+22,则AF所在直线方程是

x2

39,抛物线y=-的准线方程是( )。

8

(A)y=1 (B)y=2 (C)y=1 (D)y=4

432

1

212

40. 已知点(-2, 3)与抛物线y2=2px (p>0) 的焦点的距离是5,则抛

物线的方程是 。

41. 抛物线x2=4y上有一点Q到焦点的距离为3,那么Q点的纵坐标是( )。

(A)-2 (B)2 (C)4 (D)1

42. 如果抛物线y2=px (p>0)和圆(x-2)2+y2=3在x轴上方相交于A、B两点,且弦AB的中点M在直线y=x上,求抛物线的方程。 43. 抛物线的顶点在原点,对称轴为坐标轴,且点(-5, 2线上,则抛物线的方程为( )。 (A)y2=-4x (B)x2=-4y

44. 抛物线y=4x2的准线方程是( )。 (A)x=-1 (B)y=-1 (C)x=-

1 16

y

5)在抛物

(C)y2=-4x或x2=

552

y (D)x2=

(D)y=-

1 16

范文九:圆锥曲线与方程知识总结

高二数学圆锥曲线与方程单元复习与巩固

知识网络

知识要点梳理

知识点一:圆锥曲线的统一定义

椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线。

平面内,到一定点的距离与它到一条定直线(不经过定点)的距离之比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线。定点叫做焦点,定直线叫做准线、常数叫做离心率。 ①e∈(0,1)时轨迹是椭圆; ②e=1时轨迹是抛物线;

③e∈(1,+∞)时轨迹是双曲线。

知识点二:圆锥曲线的标准方程和几何性质 1.椭圆: (1)定义:平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆,这两个定点叫焦点. (2)标准方程

当焦点在轴上时,

椭圆的标准方程:,其中;

当焦点在轴上时,

椭圆的标准方程:,其中;

(3)

椭圆 范围: 焦点

,顶点

的的简单几何性质:

, ,长轴长=

,短轴长=

,焦距=

2.双曲线 (1)定义:平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫双曲线的焦点. (2)标准方程

当焦点在

轴上时,双曲线的标准方程

:,其

当焦点

.

轴上时,双曲线的标准方程

:,其

(3)

双曲线 范围: 焦点

,顶点

的简单几何性质 ;

,虚轴长=

,焦距=

,实轴长=

离心率是,准线方程是;

渐近线:.

3.抛物线

(1)定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线. (2)标准方程 四种形式: (3)抛物线标准方程 范围:

的几何性质

对称性:关于x轴对称 顶点:坐标原点 离心率:

.

知识点三:直线和圆锥曲线的位置关系

1.直线Ax+By+C=0和椭圆

的位置关系:

将直线方程代入椭圆后化简为一元二次方程,其判别式为Δ。 (1)若Δ>0,则直线和椭圆相交,有两个交点(或两个公共点); (2)若Δ=0,则直线和椭圆相切,有一个切点(或一个公共点); (3)若Δ<0,则直线和椭圆相离,无公共点.

2.直线Ax+By+C=0和双曲线的位置关系:

将直线方程代入双曲线方程后化简方程

①若为一元一次方程,则直线和双曲线的渐近线平行,直线和双曲线只有一个交点,但不相切不是切点;

②若为一元二次方程,则

(1)若Δ>0,则直线和双曲线相交,有两个交点(或两个公共点); (2)若Δ=0,则直线和双曲线相切,有一个切点; (3)若Δ<0,则直线和双曲线相离,无公共点.

注意:如说直线和双曲线有一个公共点,则要考虑两种情况:一个切点和一个交点

3.直线Ax+By+C=0和抛物线y2=2px(p>0)的位置关系: 将直线方程代入抛物线方程后化简后方程:

①若为一元一次方程,则直线和抛物线的对称轴平行,直线和抛物线有一个交点,但不相切不是切点;

②若为一元二次方程,则

(1)若Δ>0,则直线和抛物线相交,有两个交点(或两个公共点); (2)若Δ=0,则直线和抛物线相切,有一个切点; (3)若Δ<0,则直线和抛物线相离,无公共点。

注意:如说直线和抛物线有一个公共点,则要考虑两种情况:一个切点和一个交点

4.直线被圆锥曲线截得的弦长公式:

当直线的斜率k存在时,直线y=kx+b与圆锥曲线相交于 弦长公式:

两点,

当k存在且不为零时, 弦长公式还可以写成:

知识点四:曲线的方程和方程的曲线的关系 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线上的点与一个二元方程

(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)

的实数解建立了如下的关系:

(1)曲线 (2)以方程 那么,方程

上所有点的坐标都是方程

的解为坐标的点都在曲线叫做曲线

的方程;曲线

的解; 上. 叫做方程

的曲线.

知识点五:求曲线的方程

1. 定义:在直角坐标系中,用坐标表示点,把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹,用曲线上点的坐标(x,y)所满足的方程

表示曲线,通过研究方程的性质

间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法.

2. 坐标法求曲线方程的步骤:

第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几何因素,将平面几何问题转化为代数问题;

第二步:通过代数运算,解决代数问题;

第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论.

通过坐标法,把点和坐标、曲线和方程联系起来,实现了形和数的统一. 用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何对象,然后对坐标和方程进行代数讨论;最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”。

3.求轨迹方程的常用方法:直接法、相关点法.定义法、代入法、参数法等。 规律方法指导

3.圆锥曲线综合题类型

(1)用待定系数法求圆锥曲线方程

①数形结合:先定型,再定量,注意区分解析条件与纯几何条件,如果位置不确定时,考虑是否两解.在图形上标出已知条件,检查轴上的点、垂直于轴的直线的位置是否准确; ②方程思想:n个未知数,列够n个独立的方程,并注意韦达定理的使用: ③注意“点在线上”条件的使用. (2)求轨迹方程

基本方法:定义法、直接代入法、参数法(利用已知参数方程法或自设参数). 注意:

①注意限制;

②求轨迹方程与求轨迹的区别。求轨迹是要求先求轨迹方程再描述该轨迹方程所表示的曲线类型及相应的几何特征;

③n个未知数,列够n-1个独立方程,特别注意考虑是否可利用定义直接列出方程. (3)求取值范围或最值

①函数方法----将待求范围参数表示为另一个变量的函数,注意求函数的定义域。 ②方程与不等式组----n个未知数,列够n个独立方程或不等式,注意归纳总结列不等式的方法:

③利用几何性质求参数范围;

④利用不等式性质(结合几何性质)求参数范同.

圆锥曲线知识点回顾

1.椭圆的性质

2.双曲线的性质

3.抛物线中的常用结论

①过抛物线y2=2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p

②设A(x1,y), 1B(x2,y2)是抛物线y2=2px上的两点, 则AB过F的充要条件是y1y2=-p2

③设A, B是抛物线y2=2px上的两点,O为原点, 则OA⊥OB的充要条件是直线AB恒过定点(2p,0)

(4).圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义

与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线,定点叫做焦点,定直线叫做准线、常数叫做离心率,用e表示,当0<e<1时,是椭圆,当e>1时,是双曲线,当e=1时,是抛物线. 4.直线与圆锥曲线的位置关系:(在这里我们把圆包括进来)

(1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的

a.直线与圆:一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法),也可以利用方程实根的个数来判断(解析法).

b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程,判断相交、相切、相离 c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性 (2).a.求弦所在的直线方程

b.根据其它条件求圆锥曲线方程

(3).已知一点A坐标,一直线与圆锥曲线交于两点P、Q,且中点为A,求P、Q所在的直线方程

(4).已知一直线方程,某圆锥曲线上存在两点关于直线对称,求某个值的取值范围(或者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对称) 5.二次曲线在高考中的应用

二次曲线在高考数学中占有十分重要的地位,是高考的重点、热点和难点。通过以二次曲线为载体,与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合,结合数学思想方法,并与高等数学基础知识融为一体,考查学生的数学思维能力及创新能力,其设问形式新颖、有趣、综合性很强。本文关注近年部分省的高考二次曲线问题,给予较深入的剖析,这对形成高三复习的新的教学理念将有着积极的促进作用。

(1).重视二次曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。 (2).重视二次曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。 (3).重视二次曲线性质与数列的有机结合。 (4).重视解析几何与立体几何的有机结合。

6.知识网络

圆锥曲线——椭圆、曲线、直线—定义—标准方程

性质:对称性、焦点、顶点、 离率、准线、焦半径等

范文十:圆锥曲线与方程知识总结

高二数学圆锥曲线与方程单元复习与巩固

知识网络

知识要点梳理

知识点一:圆锥曲线的统一定义

椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线。

平面内,到一定点的距离与它到一条定直线(不经过定点)的距离之比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线。定点叫做焦点,定直线叫做准线、常数叫做离心率。 ①e∈(0,1)时轨迹是椭圆; ②e=1时轨迹是抛物线;

③e∈(1,+∞)时轨迹是双曲线。

知识点二:圆锥曲线的标准方程和几何性质 1.椭圆: (1)定义:平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆,这两个定点叫焦点. (2)标准方程

当焦点在轴上时,

椭圆的标准方程:,其中;

当焦点在轴上时,

椭圆的标准方程:,其中;

(3)

椭圆 范围: 焦点

,顶点

的的简单几何性质:

, ,长轴长=

,短轴长=

,焦距=

2.双曲线 (1)定义:平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫双曲线的焦点. (2)标准方程

当焦点在

轴上时,双曲线的标准方程

:,其

当焦点

.

轴上时,双曲线的标准方程

:,其

(3)

双曲线 范围: 焦点

,顶点

的简单几何性质 ;

,虚轴长=

,焦距=

,实轴长=

离心率是,准线方程是;

渐近线:

3.抛物线

.

(1)定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线. (2)标准方程 四种形式: (3)抛物线标准方程 范围:

的几何性质

对称性:关于x轴对称 顶点:坐标原点 离心率:

.

知识点三:直线和圆锥曲线的位置关系

1.直线Ax+By+C=0和椭圆的位置关系:

将直线方程代入椭圆后化简为一元二次方程,其判别式为Δ。 (1)若Δ>0,则直线和椭圆相交,有两个交点(或两个公共点); (2)若Δ=0,则直线和椭圆相切,有一个切点(或一个公共点); (3)若Δ<0,则直线和椭圆相离,无公共点.

2.直线Ax+By+C=0和双曲线的位置关系:

将直线方程代入双曲线方程后化简方程

①若为一元一次方程,则直线和双曲线的渐近线平行,直线和双曲线只有一个交点,但不相切不是切点;

②若为一元二次方程,则

(1)若Δ>0,则直线和双曲线相交,有两个交点(或两个公共点); (2)若Δ=0,则直线和双曲线相切,有一个切点; (3)若Δ<0,则直线和双曲线相离,无公共点.

注意:如说直线和双曲线有一个公共点,则要考虑两种情况:一个切点和一个交点

3.直线Ax+By+C=0和抛物线y2=2px(p>0)的位置关系: 将直线方程代入抛物线方程后化简后方程:

①若为一元一次方程,则直线和抛物线的对称轴平行,直线和抛物线有一个交点,但不相切不是切点;

②若为一元二次方程,则

(1)若Δ>0,则直线和抛物线相交,有两个交点(或两个公共点);

(2)若Δ=0,则直线和抛物线相切,有一个切点; (3)若Δ<0,则直线和抛物线相离,无公共点。

注意:如说直线和抛物线有一个公共点,则要考虑两种情况:一个切点和一个交点

4.直线被圆锥曲线截得的弦长公式:

当直线的斜率k存在时,直线y=kx+b与圆锥曲线相交于 弦长公式:

两点,

当k存在且不为零时, 弦长公式还可以写成:

知识点四:曲线的方程和方程的曲线的关系 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线上的点与一个二元方程

(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)

的实数解建立了如下的关系:

(1)曲线 (2)以方程 那么,方程

上所有点的坐标都是方程

的解为坐标的点都在曲线叫做曲线

的方程;曲线

的解; 上. 叫做方程

的曲线.

知识点五:求曲线的方程

1. 定义:在直角坐标系中,用坐标表示点,把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹,用曲线上点的坐标(x,y

)所满足的方程间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法.

2. 坐标法求曲线方程的步骤:

第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几何因素,将平面几何问题转化为代数问题;

第二步:通过代数运算,解决代数问题;

第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论.

通过坐标法,把点和坐标、曲线和方程联系起来,实现了形和数的统一.

用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何对象,然后对坐标和方程进行代数讨论;最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”。

3.求轨迹方程的常用方法:直接法、相关点法.定义法、代入法、参数法等。 规律方法指导

3.圆锥曲线综合题类型

(1)用待定系数法求圆锥曲线方程

①数形结合:先定型,再定量,注意区分解析条件与纯几何条件,如果位置不确定时,考虑是否两解.在图形上标出已知条件,检查轴上的点、垂直于轴的直线的位置是否准确; ②方程思想:n个未知数,列够n个独立的方程,并注意韦达定理的使用: ③注意“点在线上”条件的使用.

(2)求轨迹方程

基本方法:定义法、直接代入法、参数法(利用已知参数方程法或自设参数). 注意:

①注意限制;

②求轨迹方程与求轨迹的区别。求轨迹是要求先求轨迹方程再描述该轨迹方程所表示的曲线类型及相应的几何特征;

③n个未知数,列够n-1个独立方程,特别注意考虑是否可利用定义直接列出方程. (3)求取值范围或最值

①函数方法----将待求范围参数表示为另一个变量的函数,注意求函数的定义域。 ②方程与不等式组----n个未知数,列够n个独立方程或不等式,注意归纳总结列不等式的方法:

③利用几何性质求参数范围;

④利用不等式性质(结合几何性质)求参数范同.

表示曲线,通过研究方程的性质

圆锥曲线知识点回顾

1.椭圆的性质

2.双曲线的性质

3.抛物线中的常用结论

①过抛物线y=2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p

②设A(x1,y), 1B(x2,y2)是抛物线y2=2px上的两点, 则AB过F的充要条件是y1y2=-p2

2

③设A, B是抛物线y=2px上的两点,O为原点, 则OA⊥OB的充要条件是直线AB恒过定点(2p,0)

(4).圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义

与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线,定点叫做焦点,定直线叫做准线、常数叫做离心率,用e表示,当0<e<1时,是椭圆,当e>1时,是双曲线,当e=1时,是抛物线. 4.直线与圆锥曲线的位置关系:(在这里我们把圆包括进来)

(1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的

a.直线与圆:一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法),也可以利用方程实根的个数来判断(解析法).

b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程,判断相交、相切、相离 c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性 (2).a.求弦所在的直线方程

b.根据其它条件求圆锥曲线方程

(3).已知一点A坐标,一直线与圆锥曲线交于两点P、Q,且中点为A,求P、Q所在的直线方程

(4).已知一直线方程,某圆锥曲线上存在两点关于直线对称,求某个值的取值范围(或者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对称) 5.二次曲线在高考中的应用

二次曲线在高考数学中占有十分重要的地位,是高考的重点、热点和难点。通过以二次曲线为载体,与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合,结合数学思想方法,并与高等数学基础知识融为一体,考查学生的数学思维能力及创新能力,其设问形式新颖、有趣、综合性很强。本文关注近年部分省的高考二次曲线问题,给予较深入的剖析,这对形成高三复习的新的教学理念将有着积极的促进作用。

(1).重视二次曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。 (2).重视二次曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。 (3).重视二次曲线性质与数列的有机结合。 (4).重视解析几何与立体几何的有机结合。

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6.知识网络

圆锥曲线——椭圆、曲线、直线—定义—标准方程

性质:对称性、焦点、顶点、 离率、准线、焦半径等