圆锥曲线知识点

圆锥曲线知识点

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范文一:圆锥曲线(知识点)

圆锥曲线

一、椭圆

(一)定义:(Ⅰ)若F1,F2是两定点,P为动点,且PF1PF22aF1F2 (a为常数)则P点的轨迹是椭圆.

P到F1的距离与到定直线l的距离之比为常l(Ⅱ)若F1为定点,为定直线,动点数e(0

(二)图形:

(三)性质:

x2y2x2y2

标准方程:221 (ab0) 或 221(ab0).

baab

范围:-a#xa, -b#yb.

长轴长:2a 短轴长:2b 焦距:2c . 对称性:关于轴x对称;关于y轴对称;关于原点对称.

a,0),(0,b) 顶点坐标:(北

焦点坐标:(?c,0),c离心率:e

2

a2-b2

ce1时,椭圆越扁;e0时,椭圆越趋近于圆. aa2

准线方程:x.

c

焦半径:PF1ac等(注意涉及焦半径1aex0,PF2aex0,acPF

①用点P坐标表示,②第一定义.).

2b2通径:过焦点且垂直于焦点轴的弦(过焦点的最短弦)为.

a

注意:(1)图中线段的几何特征:A1F1A2F2ac,A1F2A2F1ac,

B1F1B1F2B2F2B2F1a ,A2B2A1B2

点与准线距离、焦点与准线距离分别与a,b,c有关.

a2b2等等.顶

2c,PF2、

(2)PF、三角形面积公式将有关线段PF11F2中经常利用余弦定理...........

有关角F1PF2结合起来,建立PF1

+PF2、PF1

PF2等关系.

ìïx=acos

(3)椭圆的参数方程:ï.椭圆上的点有时常用到(acos,bsin) í

ïy=bsinïî

(4)注意题目中椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上,请补充当焦点在y轴上时,其

22

相应的性质.中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆方程可设为Ax+Bx=1.

二、双曲线

(一)定义:(Ⅰ)若F1,F2是两定点,PF1PF22aF1F2(a为常数),

则动点P的轨迹是双曲线.

(Ⅱ)若动点P到定点F则动1与定直线l的距离之比是常数e(e>1),点P的轨迹是双曲线.

(二)图形:

(三)性质:

x2y2y2x2

标准方程:221 (a0,b0) 221 (a

0,b0)

abab

范围:x³a或 x£a; yÎR;

实轴长:2a,虚轴长:2b;焦距:2c .

对称性:关于轴x对称;关于y轴对称;关于原点对称. 顶点坐标:(±a,0) 焦点坐标:(?c,0),c2离心率:e

a2+b2

ce越大,双a曲线越开阔.

a2

准线方程:x.

c

焦半径:通径:过焦点且垂直于焦点轴的弦(过焦点且弦的两个端点在同一支上的最短

2b2

弦)为.

a

注意:(1)图中线段的几何特征:AF1BF2ca,AF2BF1ac;

a2a2a2a2

或a或c 顶点到准线的距离:a;焦点到准线的距离:c; cccc2a2

两准线间的距离=.

c

x2y2x2y2b

(2)若双曲线方程为221渐近线方程:220yx;

aabab

xyx2y2b

若渐近线方程为yx0双曲线可设为22;

abaab

x2y2x2y2

若双曲线与221有公共渐近线,可设为22.

abab

(0,焦点在x轴上,0,焦点在y轴上).

22

双曲线x2-y2=1,(a>0,b>0)的焦点到渐近线的距离为b.

ab

(3)特别地当ab时离心率e

2两渐近线互相垂直,分别为y=?x,

此时双曲线为等轴双曲线,可设为x2y2.

关线段PF1

(4)注意PF1F2中结合定义PF1PF22a与余弦定理cosF1PF2,将有

、PF2、F1F2

2

和角结合起来.

2

(5)完成当焦点在y轴上时,标准方程及相应性质.中心在原点,坐标轴为对称

轴的双曲线方程可设为Ax+Bx=1.

三、抛物线

(一)定义:到定点F与定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线(定点不在定直线

上).

即:到定点F的距离与到定直线l的距离之比是常数e(e=1).

(二)图形:

(三)性质: 标准方程:

y22px,(p0),p焦参数;

范围:x澄0,yR. 对称性:关于轴x对称; 顶点坐标:(0,0)

p

焦点: (,0) ,通径AB2p;

2

p

准线方程: x;

2ppp

焦半径:CF=x0+,过焦点弦长CDx1x2x1x2p

222

p

注意:(1)几何特征:焦点到顶点的距离=;焦点到准线的距离=p;通径长=2p

2

顶点是焦点向准线所作垂线段中点.

2y0

(2)抛物线y2px上的动点可设为P(,y0)或P(2pt2,2pt)或P(x0,y0)其中

2p

2y0=2px0.

2

四、直线与圆锥曲线的位置关系

1.直线与圆锥曲线的位置关系,从几何角度可分为三类:无公共点,仅有一个公共点及有两个相异公共点.

2.直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究.因为方程组解的个数与交点的个数是一样的.

位置关系判断:△法(△适用对象是二次方程,二次项系数不为0).

其中直线和双曲线只有一个公共点,包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种情形;后一种情形下,消元后关于x或y方程的二次项系数为0.

直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情况;后一种情形下,消元后关于x或y方程的二次项系数为0.

3.当涉及到弦的中点时,通常有两种处理方法:一是韦达定理;二是点差法. 计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式.

4.一般地,若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB,A,B两点分别为A(x1y1),B(x2,y2),则弦长

AB=

x2

x1=

11

yy(1)[(y1y2)24y1y2],这里体现了解析几何“设而不2122kk

求”的解题思想.

5.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考,一是建立函数,用求值域的方法求范围;二是建立不等式,通过解不等式求范围. 

范文二:圆锥曲线知识点

平面解析几何总结

一、直线

1、直线的倾斜角:一条直线向上的方向与X轴的正方向所成的最小正角。 2、范围 0

3、直线的斜率:当倾斜角不是90时,倾斜角的正切值。ktan(

2

)

4、直线的斜率公式:设P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2

) ky2y1

x 2x1

5、直线的倾斜角和斜率关系:(如右图)

0

2

;k0;单调增;

2

,k0;单调增 6、直线的方程

(1)点斜式:yy1k(xx1) ⑵、斜截式:ykxb (3)两点式:

yy1xx1

y

⑷、截距式:xy2y1x2x1

ab1 ⑸、一般式:AxByC0(A2B20)

⑹、参数式: xx1tcos

yy1

tsin(t为参数)参数t几何意义:定点到动点的向量

7、直线的位置关系的判定(相交、平行、重合)

l1:yk1xb1;l2:yk2xb2 l1:A1xBy1C10,l2:A2xB2yC20

平行:k1k2且b1b2

A1B1CA

1

C 2B22相交:kkA112

A

B1

2B2

重合:k1k2且b1b2

A1AB1C1 2B2C2

垂直:k1k21 A1A2B1B20

P(x0,y0)到l1:AxByC0的距离d

平行线间距离:l1:AxByC10 l2:AxByC20 d9、简单线性规划(确定可行域,求最优解,建立数学模型)

⑴、

目标函数:要求在一定条件下求极大值或极小值问题的函数。用关于变量是

一次不等式(等式)表示的条件较线性约束条件。 ⑵、

线性规划:求线性目标函数在线性的约束条件下的最值问题

10、直线系:具有某种公共属性的直线的集合。

(1)同斜率的直线系方程:ykxb(k为定值,b为变量) (2)共截距的直线系方程:ykxb(b为定值,k为变量)

(3)平行线束:与AxByC0平行的直线系:AxBym0(m为变量) (4)垂直线束:与AxByC0垂直的直线系:BxAym0(m为变量)

(5)过直线l1:A1xB1yC10和l2:A2xB2yC20交点的直线系方程:

A1xB1yC(A2xB2yC2)0或A2xB2yC2(A1xB1yC1)0 (不包含l1)

(适用于证明恒过定点问题) 二、轨迹问题

(一)求轨迹的步骤

1、建模:设点建立适当的坐标系,设曲线上任一点p(x,y) 2、立式:写出适条件的p点的集合

3、代换:用坐标表示集合列出方程式f(x,y)=0 4、化简:化成简单形式,并找出限制条件 5、证明:以方程的解为坐标的点在曲线上 (二)求轨迹的方法

1、直接法:求谁设谁,按五步去直接求出轨迹

2、定义法:利用已知或几何图形关系找到符合圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义 3、转移代入法:适用于一个动点随另一曲线上的动点变化问题

4、交轨法:适用于求两条动直线交点的轨迹问题。用一个变量分别表示两条动直线,

5、参数法:用一个变量分别表示所求轨迹上任一点的横坐标和纵坐标,联立消参。 6、同一法:利用两种思维分别求出同一条直线,再参考参数法,找到轨迹方程。 三、圆

1、定义:平面内与定点距离等于定长的点的集合叫圆 2、圆的方程

1)特殊式:x2y2r2

圆心(0,0)半径r 2)标准式:(xa)2(yb)2r2

3)一般式:x2y2DxEyF0(D2E24F0)圆心(D2,E2

) 半径

4)参数式:xar

cos

brsin(为参数)圆心(a,b)半径为r

y 3、点与圆的位置关系:设点到圆心距离为d,圆的半径为r

点在圆外d>r 点在圆上d=r 点在圆内d

4、直线与圆的位置关系:直线l:AxByC0 圆C(xa)2(yb)2r2 线心距d

相交0或dr 5、圆的切线求法

1)切点(x0,y0)已知

x2y2r2 切线xxyyr2

(xa)2

(yb2) 2r 切线(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2

x2y2DxEyF0 切线xx0xy0x

y0yD

2E0y

2

F0 满足规律:x2xy2yx0xyy

0x、0y、x2、y02

2)切线斜率k已知时,

x2y2r 2 切线ykx(xa)2(yb)2r

2 切线ybk(xa) 6、圆的切线长:自圆外一点P(x0,y0)引圆外切线,切点为P,则

PP7、切点弦方程:过圆外一点p(x0,y0)引圆x2y2r2的两条切线,过切点的直线即切点弦x0xy0yr2(其推到过程逆向思维的运用)

8、圆与圆的位置关系:设两圆圆心距离为d,半径分别为r1,r2 1)外离::dr1r2 2)外切:dr1r2 3)相交:r1r2dr1r2 4)内切:dr1r2 5)内含:dr1r2

圆与圆位置关系的判定中,不能简单的应用联立方程求根

当有两个根时候,肯定两圆相交;当没有根时候,不能确定是外离还是内含;当有且只有一个根时候,也不能确定是外切和内切

9、公共弦方程(相交弦):相交两圆C1:x2y2D1xE1yF10、

C2:x2y2D2xE2yF20公共弦方程(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0 10、(1)过直线l:AxByC0与圆C:x2y2DxEyF0的交点的圆系方程:

x2y2DxEyF(AxByC)0()简记为Cl0

(2)过两圆C1:x2y2D1xE1yF10,C2:x2y2D2xE2yF20交点的圆系方程:x2y2

1Dx1Ey1

(F2

x2

2yD2)x2

0E(y简F1记)为

C1C20

椭圆:平面内到两定点距离之和等于定长(定长大于两定点间距离)的点的集合

1、定义:PFPFc

1PF22a(2aF1F2) 第二定义:dea

(0e1) 、标准方程:x2y2y2ab1(ab0) 或 x2

222a2b

21(ab0);

3、参数方程xacos

ybsin (为参数)几何意义:离心角

4、几何性质:(只给出焦点在x轴上的的椭圆的几何性质) ①、顶点(a,0),(0,b) ②、焦点(c,0) ③、离心率e

c

a

(0e1) ④准线:xa2

c

(课改后对准线不再要求,但题目中偶尔给出)

5、焦点三角形面积:S2PF1F2btan

2

(设F1PF2)(推导过程必须会)

6、直线与椭圆位置关系:相离(0);相交(0);相切(0) 判定方法:直线方程与椭圆方程联立,利用判别式判断根的个数 7、椭圆切线的求法

1)切点(xx2y2

xxyy0y0)已知时,a2b21(ab0) 切线0a20b21

y2x2

yyxxa2b

21(ab0) 切线0a20b21

x22)切线斜率k已知时, y2

221(

ab0) 切线ykxab

22

ya2xb

21(ab0) 切线ykx x2y2

a2b21(ab0) rae0x(左加右减)

y2a2

a2b

21(ab0) rae0y(下加上减)

五、双曲线

1、定义:PF1PF22a 第二定义:

PFdec

a

(e1) x2ay2

2、标准方程:2b

21(a0,b0)(焦点在x轴)

y2x2

a2b2

1(a0,b0)(焦点在y轴) 参数方程:xasec

ybtan (为参数) 用法:可设曲线上任一点P(asec,btan)

3、几何性质 ① 顶点(a,0)

② 焦点(c,0) c2a2b2

③ 离心率e

c

a

e1 准线xa2

④c

x2y2bx2y2

⑤ 渐近线 a2b

21(a0,b0) yax或a

2b20

y2x2a2b2

1(a0,b0) yby2x2

ax或a2b20

4、特殊双曲线

①、等轴双曲线x2ay2

2a

21 e 渐近线yx

x2y2x2y2

②、双曲线a2b

21的共轭双曲线a2b21

性质1:双曲线与其共轭双曲线有共同渐近线

性质2:双曲线与其共轭双曲线的四个焦点在同一圆上 5、直线与双曲线的位置关系

① 相离(0);② 相切(0); ③ 相交(0) 判定直线与双曲线位置关系需要与渐近线联系一起 0时可以是相交也可以是相切 6、双曲线切线的求法

① 切点P(xx2y2

xxyy0,y0)已知 a2b21(a0,b0) 切线0a20b21

y2x2

yyxxa2b

21(a0,b0) 切线0a20b21

② 切线斜率K已知 x2y2a2b21

ykxkba) y2x2a2b

21 ykxkba) 8、焦点三角形面积:SPF1F2b2cot

2

(为F1PF2)

六、抛物线

1、定义:平面内与一定点和一定直线的距离相等的点的集合(轨迹) 2、几何性质:P几何意义:焦准距 焦点到准线的距离设为P

标准方程:y22px(p0) y22px(p0 )

图 像:

范 围: x0 x0 对 称 轴: x轴 x轴 顶 点: (0,0) (0,0)

焦 点: (p2

,0) (p

2,0)

准 线: xp2 xp

2

标准方程:x22py(p0) x22py(p0 )图 像:

范 围: y0 y0 对 称 轴: y轴 y轴

定 点: (0,0) (0,0)

焦 点: (0,p2) (0,p

2

)

离 心 率: e1 e1

准 线: yp2 yp

2

x2pt2

3、参数方程2pt(t为参数方程)y22px(p0)

y4、通径:过焦点且垂直于对称轴的弦

椭圆:双曲线通径长2b2

a

抛物线通径长2P

5、直线与抛物线的位置关系

1)相交(有两个交点或一个交点) 2)相切(有一个交点); 3)相离(没有交点) 6、抛物线切线的求法

1)切点P(x0,y0)已知:y22px(p0)的切线;y0yp(xx0) 此类公式填空选择或解答题中(部分)可作公式直接应用

ykxb与曲线交与两点A、B则

dABxy2x2y

附加:弦长公式:

范文三:圆锥曲线知识点

圆锥曲线知识点回顾

1.椭圆的性质

2.双曲线的性质

3.抛物线中的常用结论

①过抛物线y2=2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p

②设A(x1,y), 1B(x2,y2)是抛物线y2=2px上的两点, 则AB过F的充要条件是y1y2=-p2

③设A, B是抛物线y2=2px上的两点,O为原点, 则OA⊥OB的充要条件是直线AB恒过定点(2p,0)

(4).圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义

与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线,定点叫做焦点,定直线叫做准线、常数叫做离心率,用e表示,当0<e<1时,是椭圆,当e>1时,是双曲线,当e=1时,是抛物线. 4.直线与圆锥曲线的位置关系:(在这里我们把圆包括进来)

(1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的

a.直线与圆:一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法),也可以利用方程实根的个数来判断(解析法).

b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程,判断相交、相切、相离 c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性 (2).a.求弦所在的直线方程

b.根据其它条件求圆锥曲线方程

(3).已知一点A坐标,一直线与圆锥曲线交于两点P、Q,且中点为A,求P、Q所在的直线方程

(4).已知一直线方程,某圆锥曲线上存在两点关于直线对称,求某个值的取值范围(或者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对称) 5.二次曲线在高考中的应用

二次曲线在高考数学中占有十分重要的地位,是高考的重点、热点和难点。通过以二次曲线为载体,与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合,结合数学思想方法,并与高等数学基础知识融为一体,考查学生的数学思维能力及创新能力,其设问形式新颖、有趣、综合性很强。本文关注近年部分省的高考二次曲线问题,给予较深入的剖析,这对形成高三复习的新的教学理念将有着积极的促进作用。

(1).重视二次曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。 (2).重视二次曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。 (3).重视二次曲线性质与数列的有机结合。 (4).重视解析几何与立体几何的有机结合。

6.知识网络

圆锥曲线——椭圆、曲线、直线—定义—标准方程

性质:对称性、焦点、顶点、 离率、准线、焦半径等

范文四:圆锥曲线知识点汇编

圆锥曲线的方程与性质

1.椭圆

(1)椭圆概念

平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点,则有|MF1||MF2|2a。

椭圆的标准方程为:上)。

注:①以上方程中a,b的大小ab0,其中b2a2c2; ②在

xa

22

xa

22

yb

22

(焦点在x轴上)或1(ab0)

ya

22

xb

22

(焦点在y轴1(ab0)

yb

22

1和x

2

ya

22

2

xb

22

22

1两个方程中都有ab0的条件,要分清焦点的位置,只要看x和y的分

母的大小。例如椭圆

y

mn

表示焦点在y轴上的椭圆。

1(m0,n0,mn)当mn时表示焦点在x轴上的椭圆;当mn时

(2)椭圆的性质

21知|x|a,|y|b,说明椭圆位于直线xa,yb所围成的矩形里;2

ab

②对称性:在曲线方程里,若以y代替y方程不变,所以若点(x,y)在曲线上时,点(x,y)也在曲线上,所以曲线关于x轴对称,同理,以x代替x方程不变,则曲线关于y轴对称。若同时以x代替x,y代替y方程也不变,则曲线关于原点对称。

所以,椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中心,椭圆的对称中心叫椭圆的中心;

③顶点:确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中,令

x0,得yb,则B1(0,b),B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。同理令y0得xa,即A1(a,0),

①范围:由标准方程

x

2

y

2

A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点。

所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点。

同时,线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为2a和2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

|OB2|b,|OF2|c,|B2F2|a,由椭圆的对称性知:椭圆的短轴端点到焦点的距离为a;在RtOB2F2中,且|OF2||B2F2||OB2|,即cab;

④离心率:椭圆的焦距与长轴的比e

ca

2

2

2

222

叫椭圆的离心率。∵ac0,∴0e1,且e越接近1,c就

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越接近a,从而b就越小,对应的椭圆越扁;反之,e越接近于0,c就越接近于0,从而b越接近于a,这时椭圆越接近于圆。当且仅当ab时,c0,两焦点重合,图形变为圆,方程为x2y2a2。

2.双曲线

(1)双曲线的概念

平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线(||PF1||PF2||2a)。

注意:①式中是差的绝对值,在02a|F1F2|条件下;|PF1||PF2|2a时为双曲线的一支;;②当2a|F1F2|时,||PF1||PF2||2a表示两条射|PF2||PF1|2a时为双曲线的另一支(含F1的一支)

线;③当2a|F1F2|时,||PF1||PF2||2a不表示任何图形;④两定点F1,F2叫做双曲线的焦点,|F1F2|叫做焦距。

①范围:从标准方程

xa

22

yb

22

1,看出曲线在坐标系中的范围:双曲线在两条直线xa的外侧。即

22

xa,xa即双曲线在两条直线xa的外侧。

②对称性:双曲线是双曲线

xa

22

xa

22

yb

22

1关于每个坐标轴和原点都是对称的,这时,坐标轴是双曲线的对称轴,原点

yb

22

1的对称中心,双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。

xa

22

③顶点:双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线

yb

22

1的方程里,对称轴是x,y轴,所

xa

22

以令y0得xa,因此双曲线和x轴有两个交点A(a,0)A2(a,0),他们是双曲线

yb

22

1的顶点。

令x0,没有实根,因此双曲线和y轴没有交点。

1)注意:双曲线的顶点只有两个,这是与椭圆不同的(椭圆有四个顶点),双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。

2)实轴:线段AA2叫做双曲线的实轴,它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长。虚轴:线段BB2叫做双曲线的虚轴,它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长。

④渐近线:注意到开课之初所画的矩形,矩形确定了两条对角线,这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看,双曲线

x

22

ab

⑤等轴双曲线:

1)定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式:ab; 2)等轴双曲线的性质:(1)渐近线方程为:yx ;(2)渐近线互相垂直。

y

22

1的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接近。

注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一,即可推知双曲线为等轴双曲线,同时其他几个亦成立。

22

3)注意到等轴双曲线的特征ab,则等轴双曲线可以设为:xy(0) ,当0时交点在x轴,

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当0时焦点在y轴上。

⑥注意

x

2

169916

轴也变了。

3.抛物线

(1)抛物线的概念

平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线。

y

2

1与

y

2

x

2

1的区别:三个量a,b,c中a,b不同(互换)c相同,还有焦点所在的坐标

方程y22px

p0叫做抛物线的标准方程。

p2

注意:它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上,焦点坐标是F(

(2)抛物线的性质

,0),它的准线方程是x

p2

一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,有四种不同的情况,所以抛物线的标准方程还有其他几种形式:y22px,x22py,x22py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表:

点,一个焦点,一条准线,一条对称轴,无对称中心,没有渐近线;(3)注意强调p的几何意义:是焦点到准线的距离。

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范文五:圆锥曲线知识点小结2

《圆锥曲线》知识点小结

一、椭圆:(1)椭圆的定义:平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|其中:两个定点叫做椭圆的焦点,焦点间的距离叫做焦距。

注意:2a|F1F2|表示椭圆;2a|F1F2|表示线段F1F2;2a|F1F2|没有轨迹; (2

F1F2|)的点的轨迹。

22xy3.常用结论:(1)椭圆1(ab0)的两个焦点为F1,F2,过F1的直线交椭圆于A,B两a2b2

点,则ABF2的周长= (2)设椭圆

x2y2

21(ab0)左、右两个焦点为F1,F2,过F1且垂直于对称轴的直线2ab

交椭圆于P,Q两点,则P,Q的坐标分别是 |

PQ|

二、双曲线:

(1)双曲线的定义:平面内与两个定点F1,F2|迹。

其中:两个定点叫做双曲线的焦点,焦点间的距离叫做焦距。 注意:|

F1F2|PF1||PF2|2a与|PF2||PF1|2a(2a|F1F2|)表示双曲线的一支。

2a|F1F2|表示两条射线;2a|F1F2|没有轨迹;

(2)双曲线的标准方程、图象及几何性质:

标准方程

中心在原点,焦点在x轴上

中心在原点,焦点在

y轴上

x2y2

1(a0,b0) a2b2

y2x2

21(a0,b0) 2ab

图 形

B1(0,a),B2(0,a)

顶 点 对称轴 焦 点 焦 距 离心率 渐近线 通 径

(3)双曲线的渐近线:

A1(a,0),A2(a,0)

x轴,y轴;虚轴为2b,实轴为2a

F1(c,0),F2(c,0)

|F1F2|2c(c0) c

e

2

F1(0,c),F2(0,c)

a2b2

c

(e1)(离心率越大,开口越大) a

y

bx a

2b2 a

y

ax b

2222

①求双曲线xy1的渐近线,可令其右边的1为0,即得xy0,因式分解得到xy0。

aba2b2a2b2

x2y2x2y2

②与双曲线221共渐近线的双曲线系方程是2;

2

ab

(4)等轴双曲线为x

2

y2t2,其离心率为

22

yx(4)常用结论:(1)双曲线21(a0,b0)的两个焦点为F1,F2,过F1的直线交双曲线的2

ab

同一支于

A,B两点,则ABF2的周长x2y2

21(a0,b0)左、右两个焦点为F1,F2,过F1且垂直于对称轴的2ab

(2)设双曲线

直线交双曲线于P,Q两点,则P,Q的坐标分别是 |

三、抛物线:

PQ|

(1)抛物线的定义:平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。 其中:定点为抛物线的焦点,定直线叫做准线。 (2)抛物线的标准方程、图象及几何性质: 标准方程

焦点在x轴上,

开口向右

焦点在x轴上,

开口向左

焦点在

p0

y轴上,

焦点在

y轴上,

开口向上 开口向下

y22px y22px

x22py x22py

图 形

顶 点 对称轴 焦 点 离心率 准 线 通 径 焦半径 焦点弦 焦准距 O(0,0)

x轴

pF(,0) 2

p 2

y轴

F(

p ,0)2

pF(0,)

2

pF(0,)

2

e1

x

x

p 2

y

p 2

y

p 2

2p

|PF||x0|

p 2

|PF||y0|

p 2

p

四、弦长公式: |

AB|k2|x1x2|k2(x1x2)24x1x2k2

 |A|

其中,

A,分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y后所得关于x的一元二次方程

2

的判别式和x的系数

求弦长步骤:(1)求出或设出直线与圆锥曲线方程;(2)联立两方程,消去y,得关于x的一元二次方程

Ax2BxC0,

A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理求出x1x2

BA

x1x2

C

;(3)代入弦长公式计算。 A

2

法(二)若是联立两方程,消去x,得关于y的一元二次方程AyByC0,则相应的弦长公

式是:|

111

AB|()2|y1y2|()2(y1y2)24y1y2()2

kkk|A|

x1x2|(x1x2)24x1x2

|A|

和 |A|

注意(1)上面用到了关系式|

y1y2(y1y2)24y1y2

注意(2)求与弦长有关的三角形面积,往往先求弦长,再求这边上的高(点到直线的距离),但若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形,且线段的长度为定值,求面积一般用分割法 五、弦的中点坐标的求法

法(一):(1)求出或设出直线与圆锥曲线方程;(2)联立两方程,消去y,得关于x的一元二次方程

Ax2BxC0,设A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理求出x1x2

x1x2

2

;再把x

B

;(3)设中A

点M(x0,y0),由中点坐标公式得x0x0代入直线方程求出yy0。

法(二):用点差法,设

A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(x0,y0),由点在曲线上,线段的中

点坐标公式,过A、B两点斜率公式,列出5个方程,通过相减,代入等变形,求出x0,y0。

六、求离心率的常用方法:法一,分别求出a,c,再代入公式

法二、建立a,b,c满足的关系,消去b,再化为关于e的方程,最后解方程求e (求e时,要注意椭圆离心率取值范围是0﹤e﹤1,而双曲线离心率取值范围是e﹥1)

例1:设点P是圆x2y24上的任一点,定点D的坐标为(8,0),若点M满足



PM2MD.当点P在圆上运动时,求点M的轨迹方程.



解 设点M的坐标为x,y,点P的坐标为x0,y0,由PM2MD,

得xx0,yy028x,y,即x03x16,y03y.

因为点Px0,y0在圆x2y24上,所以x02y024.即3x163y4,

2

2

416

即xy2,这就是动点M的轨迹方程.

39

例2:已知椭圆的两个焦点为(-2,0),(2,0)且过点(,),求椭圆的标准方程

2

5

232

x2y2

解法1 因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为221(ab0),

ab

由椭圆的定义可知:2a

x2y2

1 ac2,bac6所以所求的标准方程为

106

2

2

2

x2y2

1,将解法2 c2,baca4,所以可设所求的方程为22

aa4

2

2

2

2

53x2y21 点(,

)代人解得:a 所以所求的标准方程为

22106

例3.

例4.

习题:1.已知椭圆长半轴与短半轴之比是5:3,焦距是8,焦点在x轴上,则此椭圆的

标准方程是( )

x2x2x2x2y2y2y2y2

(A)+=1(B)+=1 (C)+=1 (D)+=1

3952552539

2.以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点,则椭圆的离心率是( )

(A)

1233 (B) (C) (D) 2223

3. 已知椭圆x2+2y2=m,则下列与m无关的是( )

(A)焦点坐标 (B)准线方程 (C)焦距 (D)离心率

,则它的长半轴的长是( ) 2

1

(A)1 (B)1或2 (C)2 (D)或1

2

5椭圆的中心为O,左焦点为F1,P是椭圆上一点,已知△PF1O为正三角形,则P点到右准线的距离与长半轴的长之比是( )

4. 椭圆mx2+y2=1的离心率是

(A)3-1 (B)3-3 (C)3 (D)1

y2x2

6.若椭圆=1的准线平行于y轴,则m的取值范围是。

3m12m

7.椭圆的长半轴是短半轴的3倍,过左焦点倾斜角为30°的弦长为2则此椭圆的标准方程是 。

8. 椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,若椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于椭圆的焦距,又已知直线2x-y-4=0被此椭圆所截得的弦长为

45

,求此椭圆的方程。 3

9. 已知椭圆的对称轴是坐标轴,离心率e=,长轴长为6,那么椭圆的方程是( )。

x2y2x2y2x2y2

(A) +=1 (B)+=1或+=1

362036202036x2y2x2y2x2y2

(C) +=1 (D)+=1或+=1

959559

10. 椭圆25x2+16y2=1的焦点坐标是( )。

331

(A)(±3, 0) (B)(±, 0) (C)(±, 0) (D)(0, ±)

32020

x2y2y2x2

11. 曲线+=1与曲线+=1 (k

25-k9k259

(A)有相等的长、短轴 (B)有相等的焦距 (C)有相等的离心率 (D)一相同的准线

12.椭圆4x2+16y2=1的长轴长为,焦点坐标是 ,

13. 已知两点A(-3, 0)与B(3, 0),若|PA|+|PB|=10,那么P点的轨迹方程是

18

14. 椭圆的长、短轴都在坐标轴上,两准线间的距离为5,焦距为2,则椭圆的

5

方程为 。

x2y2

1共焦点,并经过点P(3, -2),则15. 椭圆的长、短轴都在坐标轴上,和椭圆94

椭圆的方程为 。

x2y2

16.在椭圆+=1内有一点M(4, -1),使过点M的弦AB的中点正好为点M,求弦AB

1040

所在的直线的方程。

x2y21

17. 椭圆+=1的离心率e=, 则k的值是。

k892

18.平面内有两个定点F1(-5,0)和F2(5,0),动点P满足条件|PF1|-|PF2|=6,则动点P的轨迹方程是( )。

x2x2y2y2

(A)-=1 (x≤-4) (B)-=1(x≤-3)

916169x2x2y2y2

(C)-=1 (x>≥4) (D)-=1 (x≥3)

916169

2

3

y2x2

19双曲线-=1的渐近线方程是 ( )

3649yyyyxxxx

(A)±=0 (B)±=0 (C)±=0 (D)±=0

36493649677620. 双曲线x2-ay2=1的焦点坐标是( )

(A)(a, 0) , (-a, 0) (B)(a, 0), (-a, 0)

(C)(-

a1a1a1a1

, 0),(, 0) (D)(-, 0), (, 0) aaaa

x2y2

21. 设双曲线221(b>a>0)的半焦距为c,直线l过(a, 0)、(0, b)两点,已知原点到

abc,则双曲线的离心率是( ) 4

23

(A)2 (B) (C)2 (D)

3

x2y2

22. 双曲线-=1的离心率是 。

79

y2x2

23, 已知方程+=1表示双曲线,则k的取值范围是。

3k2k

y22

24. 双曲线4x-=1的渐近线方程是( )。

9213

(A)y=±x (B)y=±x (C)y=±x (D)y=±6x

362

直线l的距离是

25. 若双曲线与椭圆x2+4y2=64共焦点,它的一条渐近线方程是x+y=0,则此双曲线

的标准方程只能是( )。

y2y2y2y2x2x2x2x2

(A)-=1(B)-=1 (C)-=±1 (D)-=±1

3612361236123612

y2x2

26.和椭圆+=1有共同焦点,且离心率为2的双曲线方程是( )。

259y2y2y2y2x2x2x2x2

(A)-=1 (B)-=1 (C)-=1(D)-=1

414412614612

1

27. 双曲线的两准线间的距离是它的焦距的,则它的离心率为 。

3

28. 双曲线的两个顶点三等分两个焦点间的线段,则离心率e。

29. 中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过(1, 3)的等轴双曲线的方程是

30. 渐近线是±=0,且经过P(62, 8)的双曲线方程是。

y2x231. 和椭圆+=1有公共的焦点,离心率e=的双曲线方程是 。

942

32. 59. 实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的系数a、b、c恰为一双曲线的半实轴、半虚轴、半焦距,且此二次方程无实根,求双曲线离心率e的范围。

y2x2

33. 过双曲线-=1的左焦点F1,作倾斜角为α=的直线与双曲线交于两点A、B,

9164

求|AB|的长。

34. 抛物线y2=8x的准线方程是( )。

(A)x=-2 (B)x=2 (C)x=-4 (D)y=-2

35.AB是过抛物线y2=4x焦点F的弦,已知A,B两点的横坐标分别是x1和x2,且x1+x2=6则|AB|等于( )

(A)10 (B)8 (C)7 (D)6

36. 经过(1,2)点的抛物线的标准方程是( )

(A)y2=4x (B)x2=

x3y4

11

y (C) y2=4x 或x2=y (D) y2=4x 或x2=4y 22

37.顶点在原点,焦点是F(6, 0)的抛物线的方程是。 38. 抛物线x2=4y的焦点为F,A是抛物线上一点,已知|AF|=4+22,则AF所在直线方程是 。

x2

39,抛物线y=-的准线方程是( )。

8

11

(A)y= (B)y=2 (C)y= (D)y=4

432

40. 已知点(-2, 3)与抛物线y2=2px (p>0) 的焦点的距离是5,则抛物线的方程是 。

41. 抛物线x2=4y上有一点Q到焦点的距离为3,那么Q点的纵坐标是( )。 (A)-2 (B)2 (C)4 (D)1

42. 如果抛物线y2=px (p>0)和圆(x-2)2+y2=3在x轴上方相交于A、B两点,且弦AB的中点M在直线y=x上,求抛物线的方程。

43. 抛物线的顶点在原点,对称轴为坐标轴,且点(-5, 2)在抛物线上,则抛物线的方程为( )。

(A)y2=-4x (B)x2=5y (C)y2=-4x或x2=

5y (D)x2=-4y 2

44. 抛物线y=4x2的准线方程是( )。

(A)x=-1 (B)y=-1 (C)x=-

11 (D)y=- 1616

范文六:圆锥曲线知识点小结

圆锥曲线知识点汇总

一.曲线与方程:

1.曲线的方程与方程的曲线

2、求曲线方程的一般步骤

3. 直线被圆锥曲线截得的弦长公式:

4. 直线与曲线的交点个数的判断:

二.圆:

1. 圆的定义:

2. 圆的标准方程:_______________________圆心__________半径 _________

3. 圆的一般方程:___________________________

4. 直线与圆的位置关系:设圆心到直线的距离为d,半径为r

(1)相离____________;(2)________________________;(3)______________________

三:椭圆:

1.椭圆的定义:

2.椭圆的标准方程:

3.椭圆的性质:

四.双曲线

1. 双曲线的定义:

2. 双曲线的标准方程:

3. 双曲线的性质:

五.抛物线:

1. 定义:

2. 抛物线方程:

七.直线与圆锥曲线的应用:

1.点M(x0,y0)与圆锥曲线C:f(x,y)=0的位置关系

2.直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系可分为:相交、相切、相离

注意:对于抛物线来说,平行于对称轴的直线与抛物线相交于一

点,但并不是相切;对于双曲线来说,平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点,但并不相切。即:直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件,但不是充分条件.

范文七:圆锥曲线知识点小结

圆锥曲线知识点小结

1.圆锥曲线的两个定义:

(1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件

定点F1(3,0),F2(3,0),在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中,是椭圆的是( ) A.PF1B.PF1

PF24PF26

C.PF1PF210 D.PF1

2

PF2

2

12

(2)

8表示的曲线是_____ (3)利用第二定义 已知点Q(2

2,0)及抛物线y

x

2

4

上一动点P(x,y),则y+|PQ|的最小值是___

2.圆锥曲线的标准方程 (1)已知方程

x

2

3k

y

2

2k

1表示椭圆,则k的取值范围为____

(2)若x,yR,且3x22y26,则xy的最大值是___,x2y2 (3)双曲线的离心率等于程_______

(4)设中心在坐标原点O,焦点F1、F2在坐标轴上,离心率e过点P(4,),则C的方程为_______

3.圆锥曲线焦点位置的判断: 椭圆:已知方程

x

2

2

,且与椭圆

x

2

9

y

2

4

1有公共焦点,则该双曲线的方

2的双曲线C

m1

y

2

2m

1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是( )

4.圆锥曲线的几何性质: (1)椭圆若椭圆

x

2

5

y

2

m

1的离心率e

5

,则m的值是__

(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为__

(3)双曲线的渐近线方程是3x2y0,则该双曲线的离心率等于______

(4)双曲线ax2by2

1a:b(5)设双曲线

xa

22

yb

22

[2,2],则两条渐近线夹角θ1(a>0,b>0)中,离心率e∈

的取值范围是________

(6)设a0,aR,则抛物线y4ax2的焦点坐标为________ 5、点P(x0,y0)和椭圆

xa

22

yb

22

1(ab0)的关系:

6.直线与圆锥曲线的位置关系:

(1)若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点,则k的取值范围是_______

(2)直线y―kx―1=0与椭圆

2

2

x

2

5

y

2

m

1恒有公共点,则m的取值范围是______

(3)过双曲线

x

1

y

2

1的右焦点直线交双曲线于A、B两点,若│AB︱=4,

则这样的直线有_____条.

(4)过双曲线况如下:

(5)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。

(6)过点(2,4)作直线与抛物线y28x只有一个公共点,这样的直线有__ (7)过点(0,2)与双曲线______

x

2

xa

22

yb

22

=1外一点P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个公共点的情

9

y

2

16

1有且仅有一个公共点的直线的斜率取值范围为

(8)过双曲线x

2

y

2

2

1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点,若AB4,则

满足条件的直线l有____条

(9)对于抛物线C:y24x,我们称满足y024x0的点M(x0,y0)在抛物线的内部,若点M(x0,y0)在抛物线的内部,则直线l:y0y2(xx0)与抛物线C的位置关系是_______

(10)过抛物线y24x的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是p、q,则

1p

2

1q

_______

(11)设双曲线

x

16

y

2

9

1的右焦点为F,右准线为l,设某直线m交其左支、

右支和右准线分别于P,Q,R,则PFR和QFR的大小关系为___________(填大于、小于或等于)

(12)求椭圆7x24y228上的点到直线3x2y160的最短距离 (13)直线yax1与双曲线3x2y21交于A、B两点。 ①当a为何值时,A、B分别在双曲线的两支上? ②当a为何值时,以AB为直径的圆过坐标原点? 7、焦半径 (1)已知椭圆离为____

(2)已知抛物线方程为y28x,若抛物线上一点到y轴的距离等于5,则它到抛物线的焦点的距离等于____;

(3)若该抛物线上的点M到焦点的距离是4,则点M的坐标为__ (4)点P在椭圆点P的横坐标为____

(5)抛物线y22x上的两点A、B到焦点的距离和是5,则线段AB的中点到y轴

x

2

x

2

25

y

2

16

1上一点P

到椭圆左焦点的距离为3,则点P到右准线的距

25

y

2

9

1上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则

的距离为______

(6)椭圆

x

2

4

y

2

3

1内有一点P(1,1),F为右焦点,在椭圆上有一点M,使

MP2MF 之值最小,则点M的坐标为____

8、焦点三角形

(1)短轴长为5,离心率e

23

的椭圆的两焦点为F1、F2,过F1作直线交椭圆

于A、B两点,则ABF2的周长为________

(2)设P是等轴双曲线x2y2a2(a0)右支上一点,F1、F2是左右焦点,若

PF2F1F20,|PF1|=6(3)椭圆

x

2

9

y

2

4

PF1

→→

点P的横坐标的取值范围是

(4)双曲线的虚轴长为4,离心率e=

62

,F1、F2是它的左右焦点,若过F1的直

线与双曲线的左支交于A、B两点,且AB是AF2与BF2等差中项,则AB=_______

(5)已知双曲线的离心率为2,F1、F2是左右焦点,P为双曲线上一点,且

F1PF260,SPF1F2123.求该双曲线的标准方程

9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质: 10、弦长公式:

(1)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,那么|AB|等于_______

(2)过抛物线y22x焦点的直线交抛物线于A、B两点,已知|AB|=10,O为坐标原点,则ΔABC重心的横坐标为_______

11、圆锥曲线的中点弦问题: (1)如果椭圆

x

2

36

y

2

9

1弦被点A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是

(2)已知直线y=-x+1与椭圆

xa

22

yb

22

1(ab0)相交于A、B两点,且线段

AB的中点在直线L:x-2y=0上,则此椭圆的离心率为_______

(3)试确定m的取值范围,使得椭圆

y4xm对称

x

2

4

y

2

3

1上有不同的两点关于直线

特别提醒12.你了解下列结论吗? 与双曲线

x

2

9

y

2

16

1有共同的渐近线,且过点(3,23)的双曲线方程为_______

13.动点轨迹方程:

(1)已知动点P到定点F(1,0)和直线x3的距离之和等于4,求P的轨迹方程. (2)线段AB过x轴正半轴上一点M(m,0)(m0),端点A、B到x轴距离之积为2m,以x轴为对称轴,过A、O、B三点作抛物线,则此抛物线方程为

(3)由动点P向圆x2y21作两条切线PA、PB,切点分别为A、B,∠APB=600,则动点P的轨迹方程为

(4)点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x50的距离小于1,则点M的轨迹方程是_______

(5) 一动圆与两圆⊙M:xy1和⊙N:xy8x120都外切,则动圆圆心的轨迹为

2



2222

(6)动点P是抛物线y2x1上任一点,定点为A(0,1),点M分PA所成的比为2,则M的轨迹方程为__________

(7)AB是圆O的直径,且|AB|=2a,M为圆上一动点,作MN⊥AB,垂足为N,在OM上取点P,使|OP||MN|,求点P的轨迹。

(8)若点P(x1,y1)在圆x2y21上运动,则点Q(x1y1,x1y1)的轨迹方程是____

(9)过抛物线x24y的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点,则弦AB的中点M的轨迹方程是________

(10)已知椭圆

xa

22

yb

22

右焦点分别是1(ab0)的左、

F1(-c,0)、F2(c,0),Q是椭圆外的动点,满足|F1Q|2a.点P是线段F1Q与该椭圆的交点,点T在线段F2Q上,并且满足

PTTF20,|TF2|0.

(1)设x为点P的横坐标,证明|F1P|a(2)求点T的轨迹C的方程;

ca

x;

(3)试问:在点T的轨迹C上,是否存在点M,使△F1MF2的面积S=b2.若存在,求∠F1MF2的正切值;若不存在,请说明理由.

1.(答 :C);(答 :双曲线的左支)(答 :2) 2. (答 :(3,)(

21

1232

;(答

2)(答 ,2))

x

2

4

;(答 : xy6)y1)

2

2

2

3.(答 :(,1)(1,)) 4.(答 :3或

253

5.(答 :22)(答

(0,

116a

)

2

3

);(答 :4或

14

);(答 :[



3,2

; (答 :])

);

3

6. (答 :(-,-1));(答 :[1,5)∪(5,+∞));(答 :3);(答 :①P点在两

条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;

②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;

③P在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;

④P为原点时不存在这样的直线;) (答 :2;(答

:



43,

;(答 :3);(答 :相离);(答 :1); )3

(答 :等于);(答

353

13

(答

:①;②a1);

2512

263

7.(答 :);(答 :7,(2,4));(答 :

);(答 :2);(答 :(

,1)

);

8.(答 :6);(答 :x2y24);(答

:(

x

2

,);(答

:; 55

(答 :

4

y

2

12

1);

10.(答 :8);(答 :3);

11.(答 :x2y80);(答

2

2

2

);(答

:

1313

); 

12.(答 :

4x9

y

4

(答 :y212(x4)(3x4)或y24x(0x3)); 1)

(答 :y22x);(答 :x2y24);(答 :y216x);(答 :双曲线的一支);

(答 :y

6x

2

13

);(答 :x2y2a|y|);(答 :y22x1(|x|));

2

2

2

2

2

1

(答 :x2y2);(答 :(1)略;(2)xya;(3)当

2

b

c

a

时不存在;当

b

2

c

a时存在,此时∠F1MF2=2)

范文八:圆锥曲线知识点回顾

圆锥曲线知识点回顾

1.椭圆的性质

2.双曲线的性质

3.抛物线中的常用结论

①过抛物线y=2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p

②设A(x1,y), 1B(x2,y2)是抛物线y2=2px上的两点, 则AB过F的充要条件是y1y2=-p2

2

③设A, B是抛物线y=2px上的两点,O为原点, 则OA⊥OB的充要条件是直线AB恒过定点(2p,0)

(4).圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义

与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线,定点叫做焦点,定直线叫做准线、常数叫做离心率,用e表示,当0<e<1时,是椭圆,当e>1时,是双曲线,当e=1时,是抛物线. 4.直线与圆锥曲线的位置关系:(在这里我们把圆包括进来)

(1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的

a.直线与圆:一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法),也可以利用方程实根的个数来判断(解析法).

b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程,判断相交、相切、相离 c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性 (2).a.求弦所在的直线方程

b.根据其它条件求圆锥曲线方程

(3).已知一点A坐标,一直线与圆锥曲线交于两点P、Q,且中点为A,求P、Q所在的直线方程

(4).已知一直线方程,某圆锥曲线上存在两点关于直线对称,求某个值的取值范围(或者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对称) 5.二次曲线在高考中的应用

二次曲线在高考数学中占有十分重要的地位,是高考的重点、热点和难点。通过以二次曲线为载体,与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合,结合数学思想方法,并与高等数学基础知识融为一体,考查学生的数学思维能力及创新能力,其设问形式新颖、有趣、综合性很强。本文关注近年部分省的高考二次曲线问题,给予较深入的剖析,这对形成高三复习的新的教学理念将有着积极的促进作用。

(1).重视二次曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。 (2).重视二次曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。 (3).重视二次曲线性质与数列的有机结合。 (4).重视解析几何与立体几何的有机结合。

2

6.知识网络

圆锥曲线——椭圆、曲线、直线—定义—标准方程

性质:对称性、焦点、顶点、 离率、准线、焦半径等

范文九:圆锥曲线知识点回顾

圆锥曲线知识点回顾

1.椭圆的性质

2.双曲线的性质

3.抛物线中的常用结论

①过抛物线y2=2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p

②设A(x1,y), 1B(x2,y2)是抛物线y2=2px上的两点, 则AB过F的充要条件是y1y2=-p2

③设A, B是抛物线y2=2px上的两点,O为原点, 则OA⊥OB的充要条件是直线AB恒过定点(2p,0)

(4).圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义

与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线,定点叫做焦点,定直线叫做准线、常数叫做离心率,用e表示,当0<e<1时,是椭圆,当e>1时,是双曲线,当e=1时,是抛物线. 4.直线与圆锥曲线的位置关系:(在这里我们把圆包括进来)

(1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的

a.直线与圆:一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法),也可以利用方程实根的个数来判断(解析法).

b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程,判断相交、相切、相离 c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性 (2).a.求弦所在的直线方程

b.根据其它条件求圆锥曲线方程

(3).已知一点A坐标,一直线与圆锥曲线交于两点P、Q,且中点为A,求P、Q所在的直线方程

(4).已知一直线方程,某圆锥曲线上存在两点关于直线对称,求某个值的取值范围(或者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对称) 5.二次曲线在高考中的应用

二次曲线在高考数学中占有十分重要的地位,是高考的重点、热点和难点。通过以二次曲线为载体,与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合,结合数学思想方法,并与高等数学基础知识融为一体,考查学生的数学思维能力及创新能力,其设问形式新颖、有趣、综合性很强。本文关注近年部分省的高考二次曲线问题,给予较深入的剖析,这对形成高三复习的新的教学理念将有着积极的促进作用。

(1).重视二次曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。 (2).重视二次曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。 (3).重视二次曲线性质与数列的有机结合。 (4).重视解析几何与立体几何的有机结合。

6.知识网络

圆锥曲线——椭圆、曲线、直线—定义—标准方程

性质:对称性、焦点、顶点、 离率、准线、焦半径等

范文十:圆锥曲线专题知识点

圆锥曲线知识点

1.圆锥曲线的两个定义:

(1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点

的距离的和等于常数2a,且此常数2a一定要大于

时,轨迹是线段

,当常数小于

,当常

数等于时,无轨迹;双曲

线中,与两定点一定要小于则轨迹是以

的距离的差的绝对值等于常数2a,且此常数2a

不可忽视。若

,定义中的“绝对值”与为端点的两条射线,若

,则轨迹不存在。若

去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。比如: ①已知定点椭圆的是 A.C.②方程左支)

(2)第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点线距为分母”,其商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用第二定义对它们进行相互转化。

,在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是

B. D.

(答:C);

表示的曲线是_____(答:双曲线的

如已知点及抛物线上一动点P(x,y),则y+|PQ|的最

小值是_____(答:2)

2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):

(1)椭圆:焦点在x轴上时程,其中为参数),焦点在y轴上时

(参数方。方程

表示椭圆的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B,C

同号,A≠B)。比如:已知方程范围为____(答:

(2)双曲线:焦点在x轴上:

。方程

);

,焦点在y轴上:表示双曲线的充要条件是什

表示椭圆,则k的取值

么?(ABC≠0,且A,B异号)。比如:双曲线的离心率等于,且与椭圆

);

(3)抛物线:开口向右时开口向上时

,开口向左时

,开口向下时

有公共焦点,则该双曲线的方程_______(答:

3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断): (1)椭圆:由 如已知方程

分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。

表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取

值范围是__(答: (2)双曲线:由轴上;

项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标

(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。

特别提醒:(1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点、的位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数a,b,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向;(2)在椭圆中,a最大,线中,c最大,

,在双曲

4.圆锥曲线的几何性质: (1)椭圆(以②焦点:两个焦点

为例):①范围:

;③对称性:两条对称轴x=0,y=0,一个对

,其中长轴长为2a,短轴长为

; ⑤离心率:

,椭圆

,e

称中心(0,0),四个顶点2b;④准线:两条准线

越小,椭圆越圆;e越大,椭圆越扁。

比如:若椭圆);

(2)双曲线(以②焦点:两个焦点

的离心率,则m的值是__(答:3或

为例):①范围:;

;③对称性:两条对称轴x=0,y=0,一个对

,其中实轴长为2a,虚轴长为2b,

称中心(0,0),两个顶点

特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为

;④准线:两条准线,等轴双曲线⑥两条渐近线:

,则该双曲线的离心率等; ⑤离心率:

,双曲线

,e越小,开口越小,e越大,开口越大;

比如:双曲线的渐近线方程是于______(答: (3)抛物线(以一个焦点

);

为例):①范围:;②焦点:

,其中p的几何意义是:焦点到准线的距离;③对称

性:一条对称轴y=0,没有对称中心,只有一个顶点(0,0);④准线:一条准线 如设

);

; ⑤离心率:,则抛物线

,抛物线

的焦点坐标为________(答:

5、点

和椭圆的关系:

(1)点(2)点(3)点

在椭圆外在椭圆上在椭圆内

; ;

6.直线与圆锥曲线的位置关系: (1)相交:

直线与椭圆相交;

直线与双曲线相交,

但直线与双曲线相交不一定有,当直线与双曲线的渐近线平行

是直线与双曲线相交

时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故的充分条件,但不是必要条件;抛物线相交不一定有

直线与抛物线相交,但直线与

,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与

也仅是直线与抛物线相交的充分

抛物线相交且只有一个交点,故条件,但不是必要条件。 比如:若直线y=kx+2与双曲线则k的取值范围是_______(答: (2)相切:

的右支有两个不同的交点,);

直线与双曲线相切;

直线与椭圆相切;

直线与抛物线相切;

(3)相离:

直线与椭圆相离;

直线与双曲线相离;

直线与抛物线相离。

特别提醒:

(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲

线相交,但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点; (2)过双曲线

外一点

的直线与双曲线只有一个公

共点的情况如下:①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P为原点时不存在这样的直线; (3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。比如: ①过点(2,4)作直线与抛物线线有______(答:2); ②对于抛物线C:抛物线的内部,若点

,我们称满足

的点

只有一个公共点,这样的直

在抛物线的内部,则直线:

与抛物线C的位置关系是_______(答:相离); ③求椭圆

上的点到直线

的最短距离(答:

);[要

学习网,只做中学生最喜欢、最实用的学习论坛,地址 www.yaoxuexi.cn 手机版地址 wap.yaoxuexi.cn]

7、焦半径(圆锥曲线上的点P到焦点F的距离)的计算方法:利用圆锥曲线的第二定义,转化到相应准线的距离,即焦半径r=ed,其

中d表示P到与F所对应的准线的距离。比如: ①已知椭圆

上一点P到椭圆左焦点的距离为3,则点P到

右准线的距离为____(答:); ②椭圆使

内有一点p(1,-1),F为右焦点,在椭圆上有一点M,之值最小,则点M的坐标为_______(答:

8、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点则在椭圆端点时,最大为为短轴端点时,形有:① 比如:短轴长为

到两焦点

的距离分别为中, ①

;②

的最大值为bc;对于双曲线

;②,离心率

的椭圆的两焦点为

,过作

,焦点,且当

的面积为,即P为短轴,当

即P

的焦点三角

直线交椭圆于A、B两点,则的周长为________(答:6);

9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质:(1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;(2)设AB为焦点弦, M为准线与x轴的交点,则∠AMF=∠BMF;(3)设AB为焦点弦,A、B在准线上的射影分别为

,若P为的中点,则PA⊥PB;(4)若AO的

延长线交准线于C,则BC平行于x轴,反之,若过B点平行于x轴的直线交准线于C点,则A,O,C三点共线。 10、弦长公式:若直线分别为A、B的横坐标,则

与圆锥曲线相交于两点A、B,且

,若

分别为A、B的

纵坐标,则

,则

,若弦AB所在直线方程设为。特别地,焦点弦(过焦点的弦):焦

点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。 比如:过抛物线

焦点的直线交抛物线于A、B两点,已知

|AB|=10,O为坐标原点,则ΔABC重心的横坐标为_______(答:3);

11、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆率斜率

;在双曲线;在抛物线中,以

中,以中,以

为中点的弦所在直线的斜为中点的弦所在直线的

为中点的弦所在直线的斜率。

比如:如果椭圆的直线方程是 (答:12.你了解下列结论吗? (1)双曲线

弦被点A(4,2)平分,那么这条弦所在

);

的渐近线方程为;

(2)以方程为

为渐近线(即与双曲线(为参数,≠0)。

共渐近线)的双曲线

(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为

(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为

焦准距(焦点到相应准线的距离)为,抛物线的通径为2p,焦准距为p;

(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦; (6)若抛物线

;②

(7)若OA、OB是过抛物线弦,则直线AB恒经过定点(2p,0) 13.动点轨迹方程:

(1)求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围;

(2)求轨迹方程的常用方法:

①直接法:直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y)=0; 如已知动点P到定点F(1,0)和直线x=3的距离之和等于4,求P的轨迹方程.(答:

);

的焦点弦为AB,

顶点O的两条互相垂直的

,则①

②待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程――先根据条

件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数。

如线段AB过x轴正半轴上一点M(m,0)(m>0),端点A、B到x轴距离之积为2m,以x轴为对称轴,过A、O、B三点作抛物线,则此抛物线方程为 (答:

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③定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程; 如点M与点F(4,0)的距离比它到直线则点M的轨迹方程是_______ (答:

的距离小于1,);

的变化而变

④代入转移法:动点P(x,y)依赖于另一动点化,并且

,再将

又在某已知曲线上,则可先用x,y的代数式表示代入已知曲线得要求的轨迹方程;

上任一点,定点为A(0,-1),点M分

);

如动点P是抛物线

所成的比为2,则M的轨迹方程为__________(答:

⑤参数法:当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将x,y均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程)。 如若点

在圆

上运动,则点);

的轨

迹方程是____(答:

注意:①如果问题中涉及到平面向量知识,那么应从已知向量的特点出发,考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化,还是

选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。 如已知椭圆

的左、右焦点分别是F1(-c,0)、

点P是线段

与(1)

F2(c,0),Q是椭圆外的动点,满足该椭圆的交点,点T在线段设x为点P的横坐标,证明

上,并且满足

;(2)求点T的轨迹C的方

程;(3)试问:在点T的轨迹C上,是否存在点M,使△F1MF2的面积S=若存在,求∠F1MF2的正切值;若不存在,请说明理由. (答:(1)略;(2)此时∠F1MF2=2)

;(3)当

时不存在;当

时存在,

②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.

③在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.

④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”,那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.

14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容: (1) 给出直线的方向向量 (2)给出 (3)给出 (4)给出

与AB相交,等于已知

过AB的中点;

,等于已知P是MN的中点;

,等于已知P,Q与AB的中点三点共线;

;②存在实数

,等于已知

(5) 给出以下情形之一:①③若存在实数A,B,C三点共线 (6) 给出即

,等于已知

,等于已知

已知

是锐角。

,等于已知P是的定比分点,为定比,

(7) 给出,即是直角,给出

,等于

是钝角, 给出

(8)给出,等于已知MP是的平分线;

,等于

(9)在平行四边形ABCD中,给出已知ABCD是菱形;

(10) 在平行四边形ABCD中,给出知ABCD是矩形;

(11)在△ABC中,给出

,等于已

,等于已知O是△ABC

的外心(三角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点);

(12) 在△ABC中,给出,等于已知O是△ABC

的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点); (13)在△ABC中,给出

,等于

已知O是△ABC的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点); (14)在△ABC中,给出通过△ABC的内心; (15)在△ABC中,给出

等于已知O是△ABC

等于已知

的内心(三角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点);

(16) 在△ABC中,给出中BC边的中线

,等于已知AD是△ABC