圆锥曲线硬解定理

圆锥曲线硬解定理

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【专家解析】圆锥曲线硬解定理

【优秀范文】圆锥曲线硬解定理

范文一:圆锥曲线硬解定理

圆锥曲线硬解定理

圆锥曲线硬解定理,又称CGY-EH定理,其是一套求解椭圆/双曲线与直线相交时

适用领域范围:标准双曲线与抛物线

定理内容

若曲线与直线Ax+By+C=0相交于E、F两点,则:

其中 ,△‘为一与△同号的值,

定理说明:

1.应用该定理于椭圆

2.应用于双曲线

同时 时,应将 时,应将代入。 代入, 不应为零,即ε不为零。

3.求解y1+y2与 y1·y2只须将A与B的值互换且m与n的值互换.

可知ε与∆'的值不会因此而改变。

定理补充 联立曲线方程与y=kx+是现行高考中比联立”Ax+By+C=0“更为普遍的现象。其中联立后的二次方程是标准答案中必不可少的一项,x1+x2,x1x2都可以直接通过该方程与韦达定理求得,唯独弦长的表达式需要大量计算。这里给出一个CGY-EH的斜率式简化公式,以减少记忆量,以便在考试中套用。

1.若曲线

则: 与直线y=kx+ 相交于E、F两点,

这里的 既可以是常数,也可以是关于k的代数式。由这个公式我们可以推出:

2.若曲线

3.若曲线

由于在高考中CGY-EH定理不可以直接应用,所以学生如此解答才可得全步骤分(省略号的内容需要考生自己填写): 为椭圆 为双曲线

联立两方程得……(二次式子)(*)

所以x1+x2=……①,x1x2=……②;

所以|x1-x2|=√(x1+x2)2-4x1x2=……(此时代入①、②式得到一个大式子,但不必化简) 化简得 |x1-x2|=

了。 (偷偷地直接套公式,不必真化简)下面就可求弦长

范文二:圆锥曲线硬解定理(1)(1)

圆锥曲线硬解定理 介绍:圆锥曲线硬解定理,又称CGY-EH定理或JZQ-EH定理,其是一套求解椭圆\双曲线与直线相交时x1x2,x1x2,及相交弦长的简便算法。 定理简介:在将圆锥曲线的方程与直线方程联立求解时人们发现了可消项的存在。但其一般化的推导结果不具有普适性,且一直无法用一个简洁的形式表示.。由CGY(2010)以椭圆曲线推导,重新排列分组形式,并引入ε,从而得出了较为简洁的表示形式。后再由CGY成功引入弦长计算公式,并将适用范围扩大到对y值求解与对x的求解,从而奠定了CGY-EH定理强大的通用性与普适性。

定理内容:

x2y2

1与直线AxByC0相交于E、F两点,则:

若曲线mn

范文三:圆锥曲线硬解定理

圆锥曲线硬解定理

圆锥曲线硬解定理,又称CGY-EH定理(The CGY Ellipse & Hyperbola Theorem),其是一套求解椭圆\双曲线与直线相交时∆、x1x2 、x1x2及相交弦长的简便算法。

∆´为一与∆同号的值.

3/定理说明

① 应用该定理于椭圆 时:

应将 代入

② 应用于双曲线 时:

5/可行性应用

1.

椭圆x^2/4+y^2/3=1与直线y=x+1相交于E、F两点,求解相交弦 |EF|,x1+x2, x1*x2, y1+y2, y1*y2. ⑴列表: A B C m n ε ∆'

1 -1

1 4 3 7 72 ⑵求解: x1+x2 x1*x2 |EF| -8/7 -8/7

互换表中A与B的值,m与n的值: A B -1 1 求解: y1+y2

m 32 y1*y2

n 4

2. 双曲线x^2/3-y^2/4=1

与直线y=x+2相交于E、F两点,求解相交弦 |EF| ,x1+x2, x1*x2, y1+y2, y1*y2. ⑴列表: A B C m n ε ∆' 1 -1 2 3 -4 -1 60 ⑵求解: x1+x2 x1*x2 |EF| 12 -24

互换表中A与B的值,m与n的值: A B -1 1 求解: y1+y2 16

m -4 y1*y2 4

n 3

范文四:圆锥曲线第二定义解析

圆锥曲线第二定义

圆锥曲线的第二定义(平面内到定点与到定直线距离的比为常数e的点的轨迹)是圆锥曲线概念的重要组成部分。揭示了圆锥曲线之间的内在联系,它不仅是研究圆锥曲线图象和性质的基础,而且在很多数学问题的求解过程中,具有不可低估的特殊功能。

一、导向功能

圆锥曲线第二定义对许多问题的求解,具有明显的导向作用,优先考虑第二定义,有助于启迪思路,理顺解题线索。

例1:椭圆x225+y29=1上有一点P,如果它到左准线的距离为52,那么P到右焦点的距离是 。

[分析]解题之前一定要认真审题,对有关曲线上一点到焦点、准线距离的问题,首先联想到圆锥曲线的第二定义。

[解]设P到左准线距离为PM

由椭圆第二定义PF1PM=e

∴PF1=ePM=45×52=2

又∵PF1+PF2=2a=10

∴PF2=8

例2:F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b0)的右焦点,P(x0,y0)是椭圆上任一点,则PF2的值为:

A. ex0-a B. a-ex0 C. ex0-a D.e-ax0

[分析]针对题中要求PF2的值,且各选项中含有e,从椭圆第二定义入手,问题不攻自破。

[解]设点P(x0,y0)到椭圆右准线x=a2c的距离为PN,则PN=a2c-x0 根据椭圆第二定义

PF2=ePN=e(a2c-x0)=a-ex0,故选B。

二、简化功能

巧用圆锥曲线的第二定义,可以简化复杂的变形与讨论,使问题简捷获解。

例3:过抛物线y2=4x的焦点的一条直线交抛物线于A、B两点,若线段的中点的横坐

标为3,则AB= 。

[分析]若按求焦点,设直线方程、联立方程组求AB过程繁琐,因此从定义出发。

[解]过A、B两点向准线引垂线AM、BN

设AB中点为C(3,y0),过C向准线引垂线CH,

则CH是直角梯形ABNM的中位线。

∴AM+BN=2CH

抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线为x=-1

所以有AB=AF+BF=AM+BN=2CH=2(3+1)=8

例4:已知椭圆方程为x2b2+y2a2=1(ab0),求与这个椭圆有公共焦点的双曲线,使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大,并求相应的四边形的顶点坐标。

[分析]本题若通过解椭圆与双曲线联立的二元二次方程组求交点将十分麻烦。

[解]如图:设所求双曲线为x2α2-y2β2=-1,

依题意c2=a2-b2=α2+β2(c为半焦距),两个焦点为F1、F2,

则PF1是椭圆的焦半径,又是双曲线的焦半径。

设椭圆与双曲线在第一象限的交点为P(x1,y1),则

PF1=e PK=e1 PK1

∴PF1=caa2c-y1=cβy1-β2c

∴a-cy1a=cy1β-β = y1=aβc

代入椭圆或双曲线方程得x1=bαc,

于是以它们四个交点为顶点的四边形面积为:

S=4(abαβc2)≤2ab (α2+β2) c2=2ab

当且仅当α=β=c 2 = 2(a2-b2)2时,Smax=2ab

故所求双曲线方程为x2-y2= -(a2-b2)2

由对称性,四个顶点的坐标分别为:

( 2b2, 2a2),(- 2b2, 2a2),(- 2b2, -2a2), (2b2,- 2a2)

三、显隐转化功能

从圆锥曲线的第二定义出发,分析题目的结构特征,有助于挖掘隐含在题目中的条件,从而使问题化隐为显,促成问题的快速解决。

例5:已知椭圆x24+y23=1内有一点P(1,-1),F为右焦点,椭圆上有一点M,使MP+2MF值最小,求点M的坐标。

[分析]按常规思路,设M(x,y)求出右焦点F(1,0)

则MP+2MF= (x-1)2+(y+1)2+ 2 (x-1)2+y2

由此表达式求最小值是比较困难的,联想椭圆方程中隐含的特征量,发现式中的2即1e,故2MF即为1eMF

[解]由椭圆第二定义MFMN= e

MN= MFe

当MN与PM共线,即过P作准线x=a2c的垂线

这条线与椭圆的交点就是所求的点M

此时M(2 63,-1)

四、联络功能

对于一些需综合运用各种数学思想方法和解题技巧的数学问题,圆锥曲线的第二定义,可在其中起到桥梁作用,使解题思路连贯畅通。

例6:已知双曲线x225-y2144=1的左右焦点分别为F1和F2,能否在双曲线的左支上找到一点P,使PF1是P到左准线的距离d与PF2的等比中项?若能,求出P的坐标,若不能,说明理由。

[分析]这是一道存在性探索问题,解题思路一般是:先假设存在,然后在合理的计算、推理或求解过程中做出准确的判断。圆锥曲线第二定义起到了条件联络转化的作用。

[解]根据题意:PF12=dPF2,即PF2PF1=PF1d= e

∴PF2= ePF1

∵PF2-PF1=2a=10 c=13 e=135

∴13PF15-PF1=10 PF1=254 PF2=654

∴PF1+PF2=452 又F1F2=26

从而PF1+PF2F1F2矛盾

∴符合条件的点P不存在。

范文五:巧用圆锥曲线定义解题

高 考

园地

巧 用 圆 锥

中学 生数学

年! 月上

第 ! 期 #高中

曲 线 定 里 解

%

山 东 省 平 邑县 第 二 中学 #

胡大 破

圆 锥 曲线作 为 高考 必 考 内容 高 考 中 一 般

一 道 客 观 题 一 道 解 答 题 题 目涉 及 到对 圆锥

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本 题 综 合 了 直 线 圆 以 及 圆 锥 曲线

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二 求 离心 率

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圆 锥 曲线 的 定 义 是 一 个 重 要 的 内

,

如图 Ι

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容 也 是 解 题 的重 要 策 略 特 别 对 于 抛 物 线 应

用 定 义 实质 上是 实 现 一 种 转 化 即 把 抛 物 线

,

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化 从 而方 便 地 解 决 问题 体 现 了转 化 思 想 的

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点评

本题 考 查 了 圆 与双 曲线 的 交 汇

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查 了双 曲 线 的 基 本 最 之 间 的 关 系 利 用 定 义 法

求 圆 锥 曲线 的 客 观 题 是 常 见 的 技 巧 之 一

三 判 断 等 式 成 立 问题 例

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点评

本题 涉 及 到 向量 与抛 物 线 的 交汇

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考查 了圆锥 曲线 的定 义 以 及 解 三 角形 等 知识

,

解题 的关键 是 搞 清所 涉 及 到 的基 本 量 再 结 合 ! 抛 物 线 的 定 义求 解

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范文六:圆锥曲线第二定义解题

圆锥曲线第二定义解题

1.(2010年辽宁理数20)(本小题满分12分)

x2y2

设椭圆C:221(ab0)的左焦点为F,过点F的直线与椭圆C相交于A,

ab

B两点,直线l的倾斜角为60,AF2FB.

o

(I) (II)

求椭圆C的离心率; 如果|AB|=

15

,求椭圆C的方程. 4

x2y2

2.(2009全国二理数11.)已知双曲线C221a0,b0的右焦点为F,过F且斜

ab

C于A、B两点,若AF4FB,则C的离心率为A.

6759

B. C. D. 5585

x2y2

3.(2010全国二理数12)已知椭圆C:221(a>b>

0)的离心率为,过右焦点F

2ab



且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A、B两点.若AF3FB,则k

(A)1 (B

(C

)2

4. (2010·山东聊城模考)已知A、B为抛物线C:y2=4x上的不同两点,F为抛物线C的焦点,→→

若FA=-4FB,则直线AB的斜率为( )

2A.

3

33B. C.

24

4

D.3

5.(2010·泰安质检)如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的直线l依次交抛物线及其准线于点A、B、C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程是________.

6.(2010·黑龙江双鸭山质检)过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于A、B两点,mn若线段AF、BF的长分别为m、n,则等于

m+n

1

A. 2a

( ) a4

1

4a

C.2a

7.(2007重庆市22本小题满分12分,其中(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问8分)

如右图,中心在原点O的椭圆的右焦点为F(3,0),右准线l的方程为:x12. (Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)在椭圆上任取三个不同点P使P证明: 1、P2、P3,1FP2P2FP3P3FP1,

111

为定值,并求此定值. 

|FP1||FP2||FP3|

8.(本小题满分12分,(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问8如题(21)图,倾斜角为a的直线经过抛物线y2B两点。

题(21)图

(Ⅰ)求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程;

(Ⅱ)若a为锐角,作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P,证明|FP|-|FP|cos2a为定值,并求此定值。

x2y2

9.(2012年高考(江苏))如图,在平面直角坐标系xoy中,椭圆22

1(ab0)的左、右

ab

e焦点分别为F1(c,0).已知(1,e)和0),F2(c,都在椭圆上,其中e为椭圆的离

心率.(1)求椭圆的方程;(2)

设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,

BF2平行,AF2与BF1交于点P.

(i)若AF1BF2

,求直线AF1的斜率;(ii)求证:PF1PF2是定值(第9题)

x2y2

10.(2010年高考四川卷9)椭圆221(ab)的右焦点F,其右准线与x轴的

ab

交点为A,在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范

围是 (A

)

11

1,1 (D),1 (B)0, (C)

22

11. (2010年全国高考宁夏卷12)已知双曲线E的中心为原点,P(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(12,15),则E的方程式为

x2y2x2y2

(A) 1 (B) 1

3645x2y2

(C) 1

63x2y2

(D) 1

54

x2

12.(2010年高考湖北卷文科15)已知椭圆c:y21的两焦点为F1,F2,点P(x0,y0)满

2

2x0xx2

足0y01,则|PF1|+PF2|的取值范围为_______,直线0y0y1与椭圆C的公

22

共点个数_____。

22

13 若直线2xyc0按向量(1,1)平移后与圆xy5相切,则c的值为

( ) A.8或-2 B.6或-4 C.4或-6 14.(2010年高考山东卷理科)(本小题满分12分)

D.2或-8

x2y2如图,已知椭圆221(a>b>0

,以该椭圆上的点和椭圆的左、右

ab

焦点F1,F

2为顶点的三角形的周长为1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设

P为该双曲线上异于顶点的任一点,直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、

D.

(Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程;

(Ⅱ)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2,证明k1·k21;

CD恒成立?若存在,求的值;若不(Ⅲ)是否存在常数,使得ABCDAB存在,请说明理由.

15.(2010年高考安徽卷理科19)(本小题满分13分)

已知椭圆E经过点A2,3,对称轴为坐标轴,焦点

F1,F2在x轴上,离心率e

(Ⅰ)求椭圆E的方程;

1

。 2

(Ⅱ)求F1AF2的角平分线所在直线l的方程; (Ⅲ)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点? 若存在,请找出;若不存在,说明理由。

16.(2010年高考天津卷文科21)(本小题满分14分)

x2y2已知椭圆221(a>b>0)的离心率

e=,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积

2ab

为4.(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B,已知点A的坐标为(-a,0).

|= (i

)若|AB

,求直线l的倾斜角; 5



(0,y0)QB=4.求y0的值.

(ii)若点Q在线段AB的垂直平分线上,且QA

范文七:圆锥曲线的Ptolemy定理

60

数学通报

2014年第53卷第5期

圆锥曲线的Ptolemy定理

徐道

(江苏省如皋市教师进修学校226500)

“圆内接四边形两对角线的乘积等于两组对边乘积之和.”此结论就是著名的Ptolemy定理.=262(c。s—02+—03广--01--04一c。s

&+吼一口1

众所周知,圆是圆锥曲线的一种特殊情形.圆有同理,Az。・A。。IA:A。I・IA。A。I

Ptolemy定理,那圆锥曲线是否也有与Ptolemy定理类似的结论呢?答案是:有!

—262(c。s—03-'—]'-01丁--0—2--04一c。s0—3+—04丁--0—1-02)

..2

所以A12・A34

A1A2

I・J

A3A4

I+Az3・A41・

定理l

四边形A。A:A。A。是椭圆与+百y一

一2

“0

A:A。I・lA。A。l

1(口≥6>0)的内接四边形,直线AAi的斜率为K¨则A。2A。;IAlA2I・IA3A。I+A23A。1lA:A。I・铋2(cos盟写盟一cos盟写盟

(1)

lA。A,I—A,。A。。IA。A。l・IA。A。I.

而A,。・A。。}A。A。l・IA。A;4

其中Ai一,当直线AA,的斜率不

—262(c。s0—z+—03T--0一i--04一COS

0—3+—04广-01-02)

(2)

存在时,令A。一1.

由(1)、(2)得,A。:・A。;l

A1A2

I・lA。A。I+A2。・

证明设Ai(acos

0。,bsin0i),i一1,2,3,4,

A。,IA。A。I・1A。A,l—A。。・Az。IA。A。I・lA。A。1.O≤伊1<口2<03<04<27【,则

定理1证完.

所龇一{[(黑篇)2+(鲁)2l/一”口COS岛--acosK一!!i呈鱼二鱼!!呈堡

注:若a—b,则Ai一1,定理1就是PtolemyOi

定理,故定理1是Ptolemy定理的推广.

[(慧COS畿aCOS定理2

四边形A1AzAaAt是双曲线事一矿yZ

L\口

巩一

0)2+,])l/2

i/一JJ

=1(口>o,6>o)一支上内接四边形,直线AlA,的斜率为Ki,则A。:・A“IA。A:}・IA。A。}+Azs・[!!!里鱼二!i璺叟:!:±!!竺!鱼二竺竺!鱼!:]竺

2南瓜面i而再丽万研,(bsin以--bsin良)2+(aeos岛--acos0f)2A。。lA2A。I・IA。A,I—A。。・A:。1A,A。I・lA:A。1.

其中|;Li=,当直线AA,的斜率不

故A“I

aiA,l=6以而百i而酽干丽面j丽

-----b

铋卜学I’

证明由题意,I

K。I>鲁,所以K;一(詈)‘

>O,得Aj有意义.

所以

A,:・A。。IA,A:l・IA。A。I

设Ai(aseeoi,btan0;),i一1,2,3,4,

铋sin丁02--01一arctan

b丑<o。<晚<岛<吼<arctan鲁,则

=462sin

02

sin下O.I--@3

j.26sin学l

,,

一”

=一

btan以--btanO,

secoi—asecO,

万方数据

2014年第53卷第5期数学通报

61

所‰一[(btanOj--btanOi・)一(鲁)2]2/

L\口

一志瓜丽i面F瓦万丽矿

[(纂sec臼掣ia篙secO)2+・]}l/2

i/

。‘.J

J故,

A“|AA,I一6以面万二面丽F了五万i磊矿

一6以磊画磊面=瓦丽蕊丽

一6√鬲蒜[1一(c。sojc。s臼t+sin易sin馥)]

==2b

~cosO,cosOi

显然,cos以>0,cosOi>O,于是上式司化为,

,一●————-———・-——-・—2

A“I

A,Ai

I一丽2b二-—---一

sin学I

所以,A。。A。。IA,A:lISiIl学I彘|Sin学I

IA。A。I

一孺2丽b

而o<丝孑鱼<詈,o<丛≠<号,

故,A,:・A。。IA,A:I

A。A。I

=——====================S

4b2

02—01.04—03

81n

Jcos01

COS02cos03cos&1n

TT

262

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。——

COS————:厂—一一COS————:厂—一J・

吼+巩一口。一吼

臼z+吼一日・一岛、

同理,A。。A。。lA。A。IIA。A。I

262

Jcos01

cos02COS03COS04

吼+口。一目:一吼

巩+吼一口-一口z、

COS———_厂—一一COS———_厂—一J・

所以A12A341A1A2

IA3A4l+A23A。1lA2A3IA4A1

262

I————了■—一…o

Jcos01

cos02COS03cos04

COS

J.L6,J.(3)

又,A。。A:。1A,A。lIA。A。f

262

Jcos01cos02COS03cos&

万方数据

(I————丁—一一————矿—一J・L4,

0T2S-O[-C0230--u

010-0-4一0+sCOS

OT

).(4)、

由(3),(4),定理2获证.定理3

若Ai(zi,弘)(i一1,2,3,4),I

Y1

I≤

Y:1≤Iy。l≤IY。1,四边形A。A。A。A。是抛物线了2—2px(p>O)的内接四边形,直线A。A,的斜率为Ki,则A。zAa。IA,Az

lA。A。I+Az3A。。IAzA3I・

lA。A。I—A,。A。。lA。A。IIA:A。1.

其中k一了豆著亓’当直线AA,的斜率不存在

时,令A“=0.

证明显然,zi一五yi,故有Z口

Ko--理Yi--Yi一乒2ip

所以

Ad=

Y,+y。I

J4f+(yj+yi)2

lyj--y。1以万i万可‘

y;一y;1

舭A

一掣厄万瓣,

I一雁露两所以A口IazAj

1一去憎一y"

所以

A,:A。。IA,A:flA。A。1+A。。A。,1A。A。I・

AtA・1一壶[(y;一y;)(yi—Y1)+(y;一y;)(224

一yj)]一壶(yiy;+y;yi—yi了i—y:y;)・

A,。A:。1A。A。llA。A。I

2壶(yjy22+y;y;一y;y;一yiy;)・

所以A,。A。。lA,A:IA。A。l+A。。A。。IA。A。1・

lA。A。l—A。。A。。1A。A。f|A。A。1.定理3获证.

注:定理3中的四边形A。A。A。A。不一定是凸的,也有可能是一个折四边形.

范文八:圆锥曲线中的几个定理

2007 年第 9 期

中学数学研究

圆 锥

曲 线 中 的 几 个 定 理

刘成龙 余小芬

丈 一 扩一 1 上, 所以

四川内江师范学院数学系 (6 4 n 12 )

文〔 1 对一道教材习题的解法进行了 探究,

并在文末给出了有关椭圆的几个结论, 但没有 给出结论的证明. 笔者读后深受启发, 在本文中 对这些结论加以了 证明, 并类比椭圆的结论得 到了 双曲线的相应结论. 为书写方便, 本文将得

到的结论以定理的形式给出, 见下文:

定理 1 如 图 1, 设 丈 一 护一

在 令十少

1

矿 巡令毕, 得lx, }

一 tan Z a) aZ( 占 2一 尸

aZ( 。 2一 bZ tan Za

cZ一 右 Z tan Z。 。 ( 注: 定理2 中 的。 任(0,

令] )

F l、 凡 是 椭 圆 纂 十

= bZ ta n a.

定理 3

如图 2, 设

(a > b > 0) 的两个焦点,

尸为椭圆上的一点, 。 为

F :、 。 是 椭 圆 纂

(a > b > 0 ) 的两个焦点, 尸 (孙, y, ) 为椭圆 上的一 点, 0 是坐标原点, 若艺F llF : = Za , }OP I =

椭 圆 的 半 焦 距 , 若 匕 F, 尸 尸 2=2。 , 则 有5△ F几 P

证明 设IPFI }= m , !尸 FZ}二n , }F , FZ} _ mZ+ 刀 2一 4c2 = Zc , 所以田女a

Zm n

(1) , 又m + n

己 , 则 有汉 2+ 乙 Z ta n。 = aZ .

证明 由 定 理2 可知!为}

1

L4 ‘ __ 2 a Z〔 cZ一bZ tanZ a 十 — U td l l “ c2 得 dZ+ bZ ta n a= 护

2 = 4a2, = Za , 所以 mZ+ 2 。 , n+ ” 即 mZ+ nZ = 4a2一 Zmn (2) , 把(2) 代入(1) 中可得:c o盆 a

b2 :二 二— t a l l a

, }x, 1

4a 2 一 2 执n 一 4c2 4b2 一 2执 n

Zm n Zm n

丝 m 一1 , 2 所

2 n

护 一 t a z b z 。 n , 所以 dZ二孙 2+ 为 2二

二 二

aZ一bZ tan Za, 可

。 , _ _ 2吞 2 二, 、 , 。 . _ 吩mn 一 亡 石 亚舀 干 1, 刀 , 林。 △ 毯凡一

bZ sin Z a bZ ta n a. 一印女a + 1 一

定理 2

a 一

告 m n s‘ Z“ n

口一

上面三个定理是文【 ] 给出的, 1 笔者经过仔

细研究进一步得到了 有关椭圆的另一个结论:

定理 4

二。 。, . , 麦二 丈 _ , , _ 、 公 吃诬 一 1、 孟 ’ 2 产 屯l r 口幽 2 ’, 2 一 1、 “沪 产

b> 0 ) 的 两 个 焦点, p (孙, 为) 为 椭圆 上的 一 动

点, 。 , e 分别为椭圆的半焦距和离心率, 若

b> 0 ) 的 两 个焦点, 尸 (x , y) 为椭圆 上的一点,

。 , 。 分别是半焦距和离 心率, 若乙FIP F : = Za ,

则有 sina 成e

设 ;1 、 ;2 是 椭 圆 荞 + 茶 一 “ “ >

乙Fl丹飞 二 Za一 , 则有1为}

=

b2

tan a

工 了 砰 二 了石 平 云 ,

证明

1 2

由 定 理1可 知5△ F 几一 P 护 ta n“ , 又

b2

C

证明 由 余弦定理可知}P F I !2十!P F 21 2 一 2} 即 11 !即 : }C 以 Za = IFIF: } 2, 即( IP F I} +} 尸 FZI)2一}FIF Z } 2= 2 !P F I 卜lpFZI(1+

。、 / 。 , , : , 、 , ! 尸 Fl 卜 阳 FZ{ 、 ,, co 女a) (1 )( = ‘ 巴炭二二已 )2 又 一一一 /镇 ~ 2 一、 一+

①盆 — a 一产 、 2 / , ’ /、

}P F I 卜 阳凡 }= Za , IF tF: 卜 2。 , 所以可得:

5△ F I凡 P = XZc XI为}, 所以占 Z ta na 2。 x l为1, 即} P !二 — y

14

t日 11a .

又因 为尸 (x, , P) y

4a2一 4c2( 2a2 (1+ ① 女 a), 故1 一 姗Za镇

中学数学研究

2007 年第 9 期

子 炎 一

荀 勺 推

吴赛瑛

广

福建省大田第一中学 (3 6 6 1 0 )

文【 ] 给出了一个定理: 若 f (x ) 是〔 1 a, 川

的两根分别为a , b, 则a 十 b= m.

文仁 2 ] 将这个定理推广为: 若方程 二一 十

上的 增函 数, x +了 (x ) = , ‘ , x +f 一 ‘ (x ) = m

2e2, 即S ina 簇。

类比上述椭圆的结论, 笔者得到了双曲线 的几个结论 : 定理 5 如图 3 , 设F, ,

证 明 由 定 理5可 知5△ F, P F Z 一 犷 ot c a, 又

5△ F :FZ P

l 2

XZc X }为!,

C

所以

, 力

o c

a

一 一

1 2

X

。 △。 , , 二 二燕 * 止 _ 丈 _ 凡 分别是双曲线气 一 六=

一‘ ”” 一‘ - 一 ”a ‘ b‘

可得}为}二 — ZcX}为1,

J P , 尸户 _ 2

C(〕 ta .

又因为尸 (x。 ,

b2

一 -

、 , 、 六 扩

1( a 、 b > 0 ) 的左、 右两个焦

丈 aZ (bZ+ 夕 。 2) 一 护1上 , 所以x广 =

入 4

_ 、

点, 尸(x , y ) 为双曲线上的

bZcota .

图 3

一 点 , 若艺 FIP F Z = 2。 , 则有 5△ F IF P Z

证明 这里仅以 点尸 (x , 刃在双曲 线 左支 为例进行证明, 当尸 (x , y ) 在右支的情况同理 可得. 设匡 华 , : }= m 、 }P F : != n , }FIF: }= 2。 ,

所 以 图女a

“\ U l cZ田La j

bZ

定理 7

_ 2 / L Z 上 卫二 _ _ J

孙 可得 }

1 一 e

cZ+ 占 Z o产 c

F Z 分 另 。 是 双 曲 线 纂 -

如图 4 , 设Fl、 丈 扩-

mZ+ nZ一 4c2

Zm n

( 1) , 又 n 一m 二

1(a 、 b > 0) 的左、 右两个焦

Za , 所以 mZ一 Zmn + nZ= 4a2, 即 mZ+ nZ

4a2+Zmn(2) , 把(2) 代入(1) 中 可 得:C osZa

4a 2+ Zmn 一 4c2

Zmn

点, 0 是坐标原点, 尸 ( xp, 分别是双曲线的半 为) 为 双曲 线 上的 一 点, 。 、 。

!OP 卜 d , 则 焦距和离心率, 若乙F IPFZ= Za ,

1 十 —

.

, _ 2 _ 。 _2

‘“ “

=

1 一 —

2b2

刀诬 n

, 即

有以 2一 占 2 耐。 =aZ .

证明 由 定理6 可 知} 为!

一 -

_ _ _2少 ‘ 匕 , 、 , 。 m刀 一「 几 磊石 , 阴弘 。 △ 叽凡

bZ sin Z a

1 一 co 双 a

1 m n sin Z a = 2

}x, }

bZo o ta .

1 e

cZ+ 占 2 淤。 , 所以以 2 = x, 2+ 为 2=

a2

, 「

定理 6

设 :1 、 F Z 分 别 是 双 曲 线 泰 b2

l

e

丈 护

aZ (。 2+ 占 Z co tZ 。

旦 丛 丛一 丝 _

_ ‘

L4 __ J

_

_ 2 土 LZ __ J

l , t

UU L 仗 , 协 r

_

日 n

二 1( a 、 b > 0) 的左、 右两个焦点, 0 是坐标原

a = a Z. 可得 dZ一 护c o产

点, 尸 (x, , 为) 为双曲 线上的一点, 。 , 。 分别是

双曲线的半焦距和离心率, 若匕FIPI了 : 二Za ,

考文献

〔 ] 赵一军. 对一道教材习题的解法探究与引申变形 1 【 J ]. 学 教学 通讯, 200 6 , 3.

15

则 有} 为}

二 二—

〔 劝t a

}x。 卜

a Z+ bZ co 产 a.

范文九:圆锥曲线的定义

一、设计背景

圆锥曲线的定义是解决圆锥曲线问题的灵魂,圆锥曲线的标准方程中的各字母都有明确的几何意义,在解决圆锥曲线问题时,如果能够恰当的利用定义解题,许多时候能够以简驭繁,起到事半功倍的效果。因此,在学习了圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质后,我设计了三个例题让学生们来做。以检测其定义的理解程度。

二、情景过程

一上课,我就直截了当地给出———

(1)、一椭圆C的焦点坐标分别为(-3,0)和(3,0)且过M(4,2。4)点,求椭圆的标准方程。

(2)、已知椭圆C:(a>b>0)的右焦点为F(1,0)且点M(-1,)在椭圆C上,求椭圆C的标准方程。

(3)、设点Q是圆C:(x+1)2+y2=25上动点,C是圆心,点A(1,0)是圆内一点,AQ的垂直平分线与CQ交于点M。求点M的轨迹方程。

题目给出来后,同学们都争先恐后的开始算了,有的小组内在悄悄的小声讨论,过了十分钟后我让一些同学谈自己的做法。

三、问题讨论

生甲:第一个题和课本上的例题差不多,设椭圆的方程是,又知道半焦距c等于3,则a2-b2=9,用待定系椭圆上,它的横坐标与F的横坐标相等,M与F的连线垂直于坐标轴,因此,M点的纵坐标即为MF2,进一步用勾股定理求出MF1最后利用定义求出2a。

师:很好!这种方法省略了大量的计算,较上一种方法简单,可见,我们要充分挖掘题目条件,这样才能起到事半功倍的效果,还有方法吗?

生乙:∵c=1∴c2=1,观察可得b2=1∴a2=2

师:这个方法也很好,对这个题它更简单。

生1:题目中涉及到两个定点,圆心C和点A,动点M总在半径上,即│MC│+│MQ│=2r而M是中垂线上的点,所以│MQ│=│MA│,因此有│MC│+│MA│=2r,符合椭圆的定义,所以轨迹是椭圆,由题目条件能知道a,c。就可以求出椭圆方程。

师:回答得很好!这位同学观察很敏锐,直接抓住关键地方!可见,定义是揭示概念内涵的逻辑方法,熟悉不同概念的不同定义方式,是学习和研究数学的一个必备条件,而通过一个阶段的学习之后,我们要对圆锥曲线的定义有一定的认识,你是否能真正掌握它们的本质,这是我本节课应该要弄清楚的问题。

四、诠释与研究

为了使学生真正成为提出问题和解决问题的主体,成为知识的“发现者”和“创造者”,使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程。我想到了“情境———问题”教学模式,即构建一个以情境为基础,提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情境———问题”学习链。

五、教学反思

这节课既是一堂复习课又是一堂探究课。整个教学过程,以问题为教学出发点,以教师为主导,学生为主体,设计情境激发学生的学习动机,激励学生去取得成功,顺应合理的逻辑结构和认知结构,符合学生的认知规律和心理特点,重视思维训练,发挥学生的主体作用,注意数学思想方法的溶入渗透,满足学生渴望的奖励结构。整个教学设计中,特别注重以下几个方面:

(1)重视学生的学习体验,突出他们的主体地位。训练了他们用从特殊到一般,再由一般到特殊的思维方式解决问题的能力。不断加强他们的转化类比思想。

(2)注重学生参与知识的形成过程,动手、动口、动脑相结合,使他们“听”有所思,“学”有所获,增强学习数学的信心,体验学习数学的乐趣。

(3)注重师生之间、同学之间互动,注重他们之间的相互协作,共同提高。

范文十:圆锥曲线的定义

掌握圆锥曲线的定义和几何图形.

圆、双曲线、抛物线都可以看成是平面截圆锥面所得的截线,其本质是统一的,都可以看做是“一个动点到定点和定直线的距离之比是一个常数的轨迹”. 定义是分析、解决问题的重要依据,用定义法求椭圆、双曲线的方程,首先要弄清楚他们的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴;其次,要紧紧地抓住由定义产生的椭圆的基本量a,b,c.

已知A,B,C是直线l上的三点,且AB=BC=6,圆O′切直线l于点A,又过B,C作圆O′异于l的两切线,设这两切线交于点P,求点P的轨迹方程.

破解思路 由圆外一点向圆引的两条切线长相等,可以得出点P到B,C两定点的距离和等于定值,故考虑用椭圆的定义来解决. 利用定义求解问题也是椭圆中必须掌握的重要技巧之一. 本题首先要清楚点P的轨迹是椭圆,再由定义得到方程中的基本量a,b,c,从而求得轨迹方程. 但是还要特别注意是否椭圆上的所有点都能满足条件. 定义法的关键是条件的转化――转化成某一基本轨迹的定义条件.

完美解答 设过B,C异于l的两切线分别切圆O′于D,E两点,两切线交于点P. 由切线的性质可知:BA=BD=6,CA=CE=12,PD=PE,故PE=CE-PC=12-PC,PD=PB-BD=PB-6.

因为PD=PE,所以12-PC=PB-6,PB+PC=18>6=BC. 故由椭圆的定义知,点P的轨迹是以B,C为两焦点的椭圆,以l所在的直线为x轴,以BC的中点为原点,建立坐标系,可求得动点P的轨迹方程为