圆锥曲线硬解定理

圆锥曲线硬解定理

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范文一:圆锥曲线硬解定理

圆锥曲线硬解定理

圆锥曲线硬解定理,又称CGY-EH定理(The CGY Ellipse & Hyperbola Theorem),其是一套求解椭圆\双曲线与直线相交时∆、x1x2 、x1x2及相交弦长的简便算法。

∆´为一与∆同号的值.

3/定理说明

① 应用该定理于椭圆 时:

应将 代入

② 应用于双曲线 时:

5/可行性应用

1.

椭圆x^2/4+y^2/3=1与直线y=x+1相交于E、F两点,求解相交弦 |EF|,x1+x2, x1*x2, y1+y2, y1*y2. ⑴列表: A B C m n ε ∆'

1 -1

1 4 3 7 72 ⑵求解: x1+x2 x1*x2 |EF| -8/7 -8/7

互换表中A与B的值,m与n的值: A B -1 1 求解: y1+y2

m 32 y1*y2

n 4

2. 双曲线x^2/3-y^2/4=1

与直线y=x+2相交于E、F两点,求解相交弦 |EF| ,x1+x2, x1*x2, y1+y2, y1*y2. ⑴列表: A B C m n ε ∆' 1 -1 2 3 -4 -1 60 ⑵求解: x1+x2 x1*x2 |EF| 12 -24

互换表中A与B的值,m与n的值: A B -1 1 求解: y1+y2 16

m -4 y1*y2 4

n 3

范文二:圆锥曲线硬解定理

圆锥曲线硬解定理

圆锥曲线硬解定理,又称CGY-EH定理,其是一套求解椭圆/双曲线与直线相交时

适用领域范围:标准双曲线与抛物线

定理内容

若曲线与直线Ax+By+C=0相交于E、F两点,则:

其中 ,△‘为一与△同号的值,

定理说明:

1.应用该定理于椭圆

2.应用于双曲线

同时 时,应将 时,应将代入。 代入, 不应为零,即ε不为零。

3.求解y1+y2与 y1·y2只须将A与B的值互换且m与n的值互换.

可知ε与∆'的值不会因此而改变。

定理补充 联立曲线方程与y=kx+是现行高考中比联立”Ax+By+C=0“更为普遍的现象。其中联立后的二次方程是标准答案中必不可少的一项,x1+x2,x1x2都可以直接通过该方程与韦达定理求得,唯独弦长的表达式需要大量计算。这里给出一个CGY-EH的斜率式简化公式,以减少记忆量,以便在考试中套用。

1.若曲线

则: 与直线y=kx+ 相交于E、F两点,

这里的 既可以是常数,也可以是关于k的代数式。由这个公式我们可以推出:

2.若曲线

3.若曲线

由于在高考中CGY-EH定理不可以直接应用,所以学生如此解答才可得全步骤分(省略号的内容需要考生自己填写): 为椭圆 为双曲线

联立两方程得……(二次式子)(*)

所以x1+x2=……①,x1x2=……②;

所以|x1-x2|=√(x1+x2)2-4x1x2=……(此时代入①、②式得到一个大式子,但不必化简) 化简得 |x1-x2|=

了。 (偷偷地直接套公式,不必真化简)下面就可求弦长

范文三:圆锥曲线硬解定理(1)(1)

圆锥曲线硬解定理 介绍:圆锥曲线硬解定理,又称CGY-EH定理或JZQ-EH定理,其是一套求解椭圆\双曲线与直线相交时x1x2,x1x2,及相交弦长的简便算法。 定理简介:在将圆锥曲线的方程与直线方程联立求解时人们发现了可消项的存在。但其一般化的推导结果不具有普适性,且一直无法用一个简洁的形式表示.。由CGY(2010)以椭圆曲线推导,重新排列分组形式,并引入ε,从而得出了较为简洁的表示形式。后再由CGY成功引入弦长计算公式,并将适用范围扩大到对y值求解与对x的求解,从而奠定了CGY-EH定理强大的通用性与普适性。

定理内容:

x2y2

1与直线AxByC0相交于E、F两点,则:

若曲线mn

范文四:圆锥曲线中的几个定理

2007 年第 9 期

中学数学研究

圆 锥

曲 线 中 的 几 个 定 理

刘成龙 余小芬

丈 一 扩一 1 上, 所以

四川内江师范学院数学系 (6 4 n 12 )

文〔 1 对一道教材习题的解法进行了 探究,

并在文末给出了有关椭圆的几个结论, 但没有 给出结论的证明. 笔者读后深受启发, 在本文中 对这些结论加以了 证明, 并类比椭圆的结论得 到了 双曲线的相应结论. 为书写方便, 本文将得

到的结论以定理的形式给出, 见下文:

定理 1 如 图 1, 设 丈 一 护一

在 令十少

1

矿 巡令毕, 得lx, }

一 tan Z a) aZ( 占 2一 尸

aZ( 。 2一 bZ tan Za

cZ一 右 Z tan Z。 。 ( 注: 定理2 中 的。 任(0,

令] )

F l、 凡 是 椭 圆 纂 十

= bZ ta n a.

定理 3

如图 2, 设

(a > b > 0) 的两个焦点,

尸为椭圆上的一点, 。 为

F :、 。 是 椭 圆 纂

(a > b > 0 ) 的两个焦点, 尸 (孙, y, ) 为椭圆 上的一 点, 0 是坐标原点, 若艺F llF : = Za , }OP I =

椭 圆 的 半 焦 距 , 若 匕 F, 尸 尸 2=2。 , 则 有5△ F几 P

证明 设IPFI }= m , !尸 FZ}二n , }F , FZ} _ mZ+ 刀 2一 4c2 = Zc , 所以田女a

Zm n

(1) , 又m + n

己 , 则 有汉 2+ 乙 Z ta n。 = aZ .

证明 由 定 理2 可知!为}

1

L4 ‘ __ 2 a Z〔 cZ一bZ tanZ a 十 — U td l l “ c2 得 dZ+ bZ ta n a= 护

2 = 4a2, = Za , 所以 mZ+ 2 。 , n+ ” 即 mZ+ nZ = 4a2一 Zmn (2) , 把(2) 代入(1) 中可得:c o盆 a

b2 :二 二— t a l l a

, }x, 1

4a 2 一 2 执n 一 4c2 4b2 一 2执 n

Zm n Zm n

丝 m 一1 , 2 所

2 n

护 一 t a z b z 。 n , 所以 dZ二孙 2+ 为 2二

二 二

aZ一bZ tan Za, 可

。 , _ _ 2吞 2 二, 、 , 。 . _ 吩mn 一 亡 石 亚舀 干 1, 刀 , 林。 △ 毯凡一

bZ sin Z a bZ ta n a. 一印女a + 1 一

定理 2

a 一

告 m n s‘ Z“ n

口一

上面三个定理是文【 ] 给出的, 1 笔者经过仔

细研究进一步得到了 有关椭圆的另一个结论:

定理 4

二。 。, . , 麦二 丈 _ , , _ 、 公 吃诬 一 1、 孟 ’ 2 产 屯l r 口幽 2 ’, 2 一 1、 “沪 产

b> 0 ) 的 两 个 焦点, p (孙, 为) 为 椭圆 上的 一 动

点, 。 , e 分别为椭圆的半焦距和离心率, 若

b> 0 ) 的 两 个焦点, 尸 (x , y) 为椭圆 上的一点,

。 , 。 分别是半焦距和离 心率, 若乙FIP F : = Za ,

则有 sina 成e

设 ;1 、 ;2 是 椭 圆 荞 + 茶 一 “ “ >

乙Fl丹飞 二 Za一 , 则有1为}

=

b2

tan a

工 了 砰 二 了石 平 云 ,

证明

1 2

由 定 理1可 知5△ F 几一 P 护 ta n“ , 又

b2

C

证明 由 余弦定理可知}P F I !2十!P F 21 2 一 2} 即 11 !即 : }C 以 Za = IFIF: } 2, 即( IP F I} +} 尸 FZI)2一}FIF Z } 2= 2 !P F I 卜lpFZI(1+

。、 / 。 , , : , 、 , ! 尸 Fl 卜 阳 FZ{ 、 ,, co 女a) (1 )( = ‘ 巴炭二二已 )2 又 一一一 /镇 ~ 2 一、 一+

①盆 — a 一产 、 2 / , ’ /、

}P F I 卜 阳凡 }= Za , IF tF: 卜 2。 , 所以可得:

5△ F I凡 P = XZc XI为}, 所以占 Z ta na 2。 x l为1, 即} P !二 — y

14

t日 11a .

又因 为尸 (x, , P) y

4a2一 4c2( 2a2 (1+ ① 女 a), 故1 一 姗Za镇

中学数学研究

2007 年第 9 期

子 炎 一

荀 勺 推

吴赛瑛

广

福建省大田第一中学 (3 6 6 1 0 )

文【 ] 给出了一个定理: 若 f (x ) 是〔 1 a, 川

的两根分别为a , b, 则a 十 b= m.

文仁 2 ] 将这个定理推广为: 若方程 二一 十

上的 增函 数, x +了 (x ) = , ‘ , x +f 一 ‘ (x ) = m

2e2, 即S ina 簇。

类比上述椭圆的结论, 笔者得到了双曲线 的几个结论 : 定理 5 如图 3 , 设F, ,

证 明 由 定 理5可 知5△ F, P F Z 一 犷 ot c a, 又

5△ F :FZ P

l 2

XZc X }为!,

C

所以

, 力

o c

a

一 一

1 2

X

。 △。 , , 二 二燕 * 止 _ 丈 _ 凡 分别是双曲线气 一 六=

一‘ ”” 一‘ - 一 ”a ‘ b‘

可得}为}二 — ZcX}为1,

J P , 尸户 _ 2

C(〕 ta .

又因为尸 (x。 ,

b2

一 -

、 , 、 六 扩

1( a 、 b > 0 ) 的左、 右两个焦

丈 aZ (bZ+ 夕 。 2) 一 护1上 , 所以x广 =

入 4

_ 、

点, 尸(x , y ) 为双曲线上的

bZcota .

图 3

一 点 , 若艺 FIP F Z = 2。 , 则有 5△ F IF P Z

证明 这里仅以 点尸 (x , 刃在双曲 线 左支 为例进行证明, 当尸 (x , y ) 在右支的情况同理 可得. 设匡 华 , : }= m 、 }P F : != n , }FIF: }= 2。 ,

所 以 图女a

“\ U l cZ田La j

bZ

定理 7

_ 2 / L Z 上 卫二 _ _ J

孙 可得 }

1 一 e

cZ+ 占 Z o产 c

F Z 分 另 。 是 双 曲 线 纂 -

如图 4 , 设Fl、 丈 扩-

mZ+ nZ一 4c2

Zm n

( 1) , 又 n 一m 二

1(a 、 b > 0) 的左、 右两个焦

Za , 所以 mZ一 Zmn + nZ= 4a2, 即 mZ+ nZ

4a2+Zmn(2) , 把(2) 代入(1) 中 可 得:C osZa

4a 2+ Zmn 一 4c2

Zmn

点, 0 是坐标原点, 尸 ( xp, 分别是双曲线的半 为) 为 双曲 线 上的 一 点, 。 、 。

!OP 卜 d , 则 焦距和离心率, 若乙F IPFZ= Za ,

1 十 —

.

, _ 2 _ 。 _2

‘“ “

=

1 一 —

2b2

刀诬 n

, 即

有以 2一 占 2 耐。 =aZ .

证明 由 定理6 可 知} 为!

一 -

_ _ _2少 ‘ 匕 , 、 , 。 m刀 一「 几 磊石 , 阴弘 。 △ 叽凡

bZ sin Z a

1 一 co 双 a

1 m n sin Z a = 2

}x, }

bZo o ta .

1 e

cZ+ 占 2 淤。 , 所以以 2 = x, 2+ 为 2=

a2

, 「

定理 6

设 :1 、 F Z 分 别 是 双 曲 线 泰 b2

l

e

丈 护

aZ (。 2+ 占 Z co tZ 。

旦 丛 丛一 丝 _

_ ‘

L4 __ J

_

_ 2 土 LZ __ J

l , t

UU L 仗 , 协 r

_

日 n

二 1( a 、 b > 0) 的左、 右两个焦点, 0 是坐标原

a = a Z. 可得 dZ一 护c o产

点, 尸 (x, , 为) 为双曲 线上的一点, 。 , 。 分别是

双曲线的半焦距和离心率, 若匕FIPI了 : 二Za ,

考文献

〔 ] 赵一军. 对一道教材习题的解法探究与引申变形 1 【 J ]. 学 教学 通讯, 200 6 , 3.

15

则 有} 为}

二 二—

〔 劝t a

}x。 卜

a Z+ bZ co 产 a.

范文五:圆锥曲线的Ptolemy定理

60

数学通报

2014年第53卷第5期

圆锥曲线的Ptolemy定理

徐道

(江苏省如皋市教师进修学校226500)

“圆内接四边形两对角线的乘积等于两组对边乘积之和.”此结论就是著名的Ptolemy定理.=262(c。s—02+—03广--01--04一c。s

&+吼一口1

众所周知,圆是圆锥曲线的一种特殊情形.圆有同理,Az。・A。。IA:A。I・IA。A。I

Ptolemy定理,那圆锥曲线是否也有与Ptolemy定理类似的结论呢?答案是:有!

—262(c。s—03-'—]'-01丁--0—2--04一c。s0—3+—04丁--0—1-02)

..2

所以A12・A34

A1A2

I・J

A3A4

I+Az3・A41・

定理l

四边形A。A:A。A。是椭圆与+百y一

一2

“0

A:A。I・lA。A。l

1(口≥6>0)的内接四边形,直线AAi的斜率为K¨则A。2A。;IAlA2I・IA3A。I+A23A。1lA:A。I・铋2(cos盟写盟一cos盟写盟

(1)

lA。A,I—A,。A。。IA。A。l・IA。A。I.

而A,。・A。。}A。A。l・IA。A;4

其中Ai一,当直线AA,的斜率不

—262(c。s0—z+—03T--0一i--04一COS

0—3+—04广-01-02)

(2)

存在时,令A。一1.

由(1)、(2)得,A。:・A。;l

A1A2

I・lA。A。I+A2。・

证明设Ai(acos

0。,bsin0i),i一1,2,3,4,

A。,IA。A。I・1A。A,l—A。。・Az。IA。A。I・lA。A。1.O≤伊1<口2<03<04<27【,则

定理1证完.

所龇一{[(黑篇)2+(鲁)2l/一”口COS岛--acosK一!!i呈鱼二鱼!!呈堡

注:若a—b,则Ai一1,定理1就是PtolemyOi

定理,故定理1是Ptolemy定理的推广.

[(慧COS畿aCOS定理2

四边形A1AzAaAt是双曲线事一矿yZ

L\口

巩一

0)2+,])l/2

i/一JJ

=1(口>o,6>o)一支上内接四边形,直线AlA,的斜率为Ki,则A。:・A“IA。A:}・IA。A。}+Azs・[!!!里鱼二!i璺叟:!:±!!竺!鱼二竺竺!鱼!:]竺

2南瓜面i而再丽万研,(bsin以--bsin良)2+(aeos岛--acos0f)2A。。lA2A。I・IA。A,I—A。。・A:。1A,A。I・lA:A。1.

其中|;Li=,当直线AA,的斜率不

故A“I

aiA,l=6以而百i而酽干丽面j丽

-----b

铋卜学I’

证明由题意,I

K。I>鲁,所以K;一(詈)‘

>O,得Aj有意义.

所以

A,:・A。。IA,A:l・IA。A。I

设Ai(aseeoi,btan0;),i一1,2,3,4,

铋sin丁02--01一arctan

b丑<o。<晚<岛<吼<arctan鲁,则

=462sin

02

sin下O.I--@3

j.26sin学l

,,

一”

=一

btan以--btanO,

secoi—asecO,

万方数据

2014年第53卷第5期数学通报

61

所‰一[(btanOj--btanOi・)一(鲁)2]2/

L\口

一志瓜丽i面F瓦万丽矿

[(纂sec臼掣ia篙secO)2+・]}l/2

i/

。‘.J

J故,

A“|AA,I一6以面万二面丽F了五万i磊矿

一6以磊画磊面=瓦丽蕊丽

一6√鬲蒜[1一(c。sojc。s臼t+sin易sin馥)]

==2b

~cosO,cosOi

显然,cos以>0,cosOi>O,于是上式司化为,

,一●————-———・-——-・—2

A“I

A,Ai

I一丽2b二-—---一

sin学I

所以,A。。A。。IA,A:lISiIl学I彘|Sin学I

IA。A。I

一孺2丽b

而o<丝孑鱼<詈,o<丛≠<号,

故,A,:・A。。IA,A:I

A。A。I

=——====================S

4b2

02—01.04—03

81n

Jcos01

COS02cos03cos&1n

TT

262

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。——

COS————:厂—一一COS————:厂—一J・

吼+巩一口。一吼

臼z+吼一日・一岛、

同理,A。。A。。lA。A。IIA。A。I

262

Jcos01

cos02COS03COS04

吼+口。一目:一吼

巩+吼一口-一口z、

COS———_厂—一一COS———_厂—一J・

所以A12A341A1A2

IA3A4l+A23A。1lA2A3IA4A1

262

I————了■—一…o

Jcos01

cos02COS03cos04

COS

J.L6,J.(3)

又,A。。A:。1A,A。lIA。A。f

262

Jcos01cos02COS03cos&

万方数据

(I————丁—一一————矿—一J・L4,

0T2S-O[-C0230--u

010-0-4一0+sCOS

OT

).(4)、

由(3),(4),定理2获证.定理3

若Ai(zi,弘)(i一1,2,3,4),I

Y1

I≤

Y:1≤Iy。l≤IY。1,四边形A。A。A。A。是抛物线了2—2px(p>O)的内接四边形,直线A。A,的斜率为Ki,则A。zAa。IA,Az

lA。A。I+Az3A。。IAzA3I・

lA。A。I—A,。A。。lA。A。IIA:A。1.

其中k一了豆著亓’当直线AA,的斜率不存在

时,令A“=0.

证明显然,zi一五yi,故有Z口

Ko--理Yi--Yi一乒2ip

所以

Ad=

Y,+y。I

J4f+(yj+yi)2

lyj--y。1以万i万可‘

y;一y;1

舭A

一掣厄万瓣,

I一雁露两所以A口IazAj

1一去憎一y"

所以

A,:A。。IA,A:flA。A。1+A。。A。,1A。A。I・

AtA・1一壶[(y;一y;)(yi—Y1)+(y;一y;)(224

一yj)]一壶(yiy;+y;yi—yi了i—y:y;)・

A,。A:。1A。A。llA。A。I

2壶(yjy22+y;y;一y;y;一yiy;)・

所以A,。A。。lA,A:IA。A。l+A。。A。。IA。A。1・

lA。A。l—A。。A。。1A。A。f|A。A。1.定理3获证.

注:定理3中的四边形A。A。A。A。不一定是凸的,也有可能是一个折四边形.

范文六:巧用圆锥曲线的定义解题

  摘要:圆锥曲线是高中数学平面几何中的重要知识,因此,对其研究非常有意义。本文首先介绍了圆锥曲线的定义,在此基础上列举了几个巧用圆锥曲线定义解题的例子,包括利用椭圆和双曲线的定义联合解题、求解动点的轨迹和方程、利用圆锥曲线定义求解点的坐标。

  关键词:圆锥曲线;定义;解题

  【中图分类号】G634.6

  一、圆锥曲线的定义

  圆锥曲线是高考数学的必考内容,也是高中几何的重点和难点内容。由于圆锥曲线的试题变化多端,导致了很多学生顾此失彼,对涉及圆锥曲线的题目更是“惧怕”的不行。笔者认为,掌握、熟练运用圆锥曲线的基本概念,可以使很多复杂的题目迎刃而解。高中数学教材中给圆锥曲线下的定义是:到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线,我们一般用e表示到定点的距离与到定直线的距离的比。根据e的取值范围不同,我们可以将圆锥曲线分为三种,当0 1时,点的轨迹形成一个双曲线;当e =1时,点的轨迹形成一个抛物线。通过圆锥曲线的定义,我们可以发现它反映了一个最基本的数量关系,应用圆锥曲线的定义可以解决很多种类型的题目,比如求解椭圆、双曲线或抛物线的方程;判断题目给出的曲线是什么类型的圆锥曲线;求点的轨迹、方程;求解平面图形的面积等。下面,笔者将列举几个巧用圆锥曲线定义解题的例子,以让读者对圆锥曲线的定义有个更深刻的了解。

  四、利用圆锥曲线定义求解点的坐标

  五、结束语

  可以利用圆锥曲线的定义进行求解的题目数不胜数,但是由于篇幅和时间的限制,本文只能列举三个巧用圆锥曲线定义进行解题的例子。通过以上三个例子,我们可以发现掌握圆锥曲线的定义,并能够熟练使用圆锥曲线定义对于解一些曲线题目是非常有用的。但是,对于圆锥曲线的定义要想熟能生巧需要学生们反复练习,不断强化,想要在几个小时之内或几天之内掌握是不可能的。

  参考文献

  [1]裴树勤.例说圆锥曲线定义的应用[J].甘肃教育学院学报,2010,4

  [2]王剑红,杨素芳.巧用圆锥曲线定义解题[J].吕梁高等专科学校学报,2007,3

范文七:利用圆锥曲线的定义解题

  考查平面解析几何的题目中,圆锥曲线的题目占重要位置,重点考查椭圆、双曲线、抛物线的相关内容.其中利用椭圆、双曲线、抛物线的定义解题,能够考查学生对基本知识、基本方法、基本技能的理解、掌握和应用情况,所以在高考中出现的可能性比较大,并且有些题目用定义解题,步骤也会简化.

  在学习圆锥曲线中,首先要抓住定义,只有真正理解和掌握了定义,才能找到解题思路,避免走入死胡同.

  一、选择题中定义的利用

  例1 椭圆x26+y22=1和双曲线x23-y2=1的公共焦点为F1,F2,P是两曲线的一个交点,那么cos∠F1PF2的值是( ).

  解 由条件知,|PF1|+|PF2|=26,|PF1|-|PF2|=23(不妨设|PF1|>|PF2|),

  ∴|PF1|=6+3,|PF2|=6-3.

  又 |F1F2|=4,∴cos∠F1PF2=13.

  答案 A.

  分析 直接计算|PF1|,|PF2|,思路混乱,而且计算量较大.如果用椭圆和双曲线的定义,解题过程会大大简化.

  例2 F1,F2为椭圆两个焦点,Q为椭圆上任一点,以任一焦点作∠F1QF2的外角平分线的垂线,垂足为P,则P点轨迹为( ).

  A圆

  B椭圆

  C双曲线

  D抛物线

  解 延长F2P交F1Q的延长线于M,得|F1Q|+|F2Q|=2a,|F2Q|=|MQ|.而|F1Q|+|MQ|=|F1M|=2a,则点M(x0,y0)的轨迹方程为

  (x0+c)2+y20=4a2.①

  设P点坐标为(x,y),∵P为F2M中点,

  ∴x=c+x02,y=0+y02,x0=2x-c,y0=2y.

  代入①,得(2x-c+c)2+(2y)2=4a2,∴x2+y2=a2.

  分析 仔细作图观察,利用椭圆定义及角平分线,难题就不难了.

  二、填空题中定义的利用

  例3 抛物线y2=12x上与焦点的距离等于9的点的坐标.

  解 设待求点的坐标为(x0,y0),由抛物线的定义,得x0+3=9,解得x0=6.代入抛物线方程得y0=±62,所以满足条件的点为(6,-62),(6,62).

  答案 (6,-62),(6,62).

  分析 利用抛物线的定义,转化条件,可以减少运算量.

  例4 双曲线的虚轴长为4,离心率e=62,F1,F2分别是它的左、右焦点,若过F1的直线与双曲线的左支交于A,B两点,且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项,则|AB|=.

  解 ∵|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,

  ∴|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=4a.

  又 ∵2|AB|=|AF2|+|BF2|,|AF1|+|BF1|=|AB|,

  ∴2|AB|-|AB|=4a,|AB|=4a,而2b=4,ca=62,c2=a2+b2,

  ∴|AB|=82.

  分析 此题两次应用双曲线的定义,步骤清楚简单,何乐而不为.

  三、解答题中定义的利用

  例5 设点F(2,0),动点P到y轴的距离为d,求满足条件|PF|-d=2的点P的轨迹方程.

  解 由题意,得|PF|=2+d.

  当P在y轴右侧时,为|PF|=x+2,

  ∴点P在抛物线y2=8x上.

  当P在y轴左侧时,|PF|=2-x,

  有y=0(x  所求轨迹方程为y2=8x(x≥0)和y=0(x  变式 一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切,同时过点(3,0),求动圆圆心M的轨迹方程.

  解 由已知,得(x+3)2+y2=4.

  设圆心为A,A点坐标为(-3,0),B(3,0),动圆半径为R,

  得|MB|=R,|MA|=R+2.

  因此|MA|-|MB|=2  故M点轨迹为双曲线的右支,且2a=2,2c=6,

  即a=1,c=3,b=22.

  因此其方程为x2-y28=1(x≥1).

  例5和变式题都是用定义得出轨迹方程的,从这两道题可以深深体会到定义的重要性.

  例6 设椭圆与双曲线有共同的焦点F1(-4,0),F2(4,0),并且椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍,求椭圆与双曲线交点的轨迹.

  解 设椭圆与双曲线的交点P(x,y),得

  |PF1|+|PF2|=2||PF1|-|PF2||.

  即|PF1|=3|PF2|或|PF2|=3|PF1|.

  将点P(x,y)代入,得

  (x+5)2+y2=9或(x-5)2+y2=9.

  故所求轨迹为圆心在(5,0),半径为3的圆,除去(2,0)和(8,0)两点;或圆心在(-5,0),半径为3的圆,除去(-2,0)和(-8,0)两点.

  分析 利用圆锥曲线的定义,充分挖掘几何条件来列方程往往可以使过程变得简洁.

  总之,圆锥曲线的定义,始终是高考的重点,学生学习的要点,解题的依据.

范文八:巧用圆锥曲线第二定义解题

嚣 

整  警 

巧 用 圆 锥 曲线 第 二 定 义 解 题 

黔西南 民族职业技术学 院  姚忠安 

【 摘  要】 圆锥 曲线 第二 定义 ,揭 示 了圆锥 曲线 的 内在 联 系。应 用 圆锥 曲线 第二 定 义求解 圆锥 曲线 的轨 迹 

方程 、离心 率 、与 圆锥 曲线有 关的 最值 等非 常 简单 ,它 能使 问题化 繁 为 简 ,提 高准 确率 ,达 到事 半功倍 的 

效 果。  

【 关键 词】 圆锥 曲线 第二定 义 轨迹

离心 率

最值  条件 中的三个 ,用 圆锥 曲线定义来解 决 比较 简单 。   ( )求 圆锥 曲线 的 离心 率  二 例4过椭 圆 的左焦 点 F作直 线 与椭 圆交 于A、B .   两 点 ,l  : B   :   lI FI AF   =5 3,且直 线与 长轴 的夹 角为  6 。 ,求椭 圆的离心率 。 0   解 :如 图 ,作椭 圆的左 准线l 过A、B 两点分别作  左 准线 的垂线 ,垂足分别 为 c 、D,由圆锥 曲线 的定 

II 君 I      

l  

圆 锥 曲 线 第 二 定 义 :平 面 内动 点 M ( , ) 定  XY 到 点F 的距 离 与 它 到 定 直 线 1 距 离 的 比是 常 数 e( > 的 e  0 )的 点 的 轨 迹 , 当0 e 1 是 椭 圆 ; 当e 1 是 抛  < <时 =时 物 线 ; 当e 1 是 双 曲线 。e 离 心 率 ,F 焦 点 。 > 时 是 是  

( )求圆锥 曲线的轨迹 方程  一

例 1 经 过 点 M ( 1 2 , 以y 为 准 线 ,离 心  . 求 一 ,) 轴

率e 专的点 P x y的轨迹方程。 : (, )  

解 :依 题 意 ,所 求 的 点 P的 轨 迹 方 程 是 以 y 轴  为 右 准 线 的 椭 圆 方 程 ,设 椭 圆 的 右 焦 点F ( 。y)因 x,。   为P 在 椭 圆 上 且 过 椭 圆 的 右 顶 点 , 由第 二 定 义 知  点 即 X  4 工, 。 y o _ - XI= X O   Y = ,所 以 椭 圆 右 焦 点 

8  C X 6   l O   0。  

f  

一  

2  

,・  

为F(  

, ) ,又 ’ M ( 12 Y . ’ 一 , )在 椭 圆上 , 由  

一  

、 

F 

\ ~  

定 , 止 喜 即/4+。( z=   义 看  = , ( -+, ) {, j ) 一    x

化 简 得 P的 轨 迹 方 程 为 :  

即 ,椭 圆的离心率 为e   =

1( 6x+j)  +9) ) (-2 =1 ,   例2求 以 F(, ) 右焦点 ,X 为 右准线 ,离  . 50 为 =2

心率 e 的圆锥 曲线 的轨迹方程 。 =2  

解 :依 题 意 ,所 求 曲线 的 轨 迹 方 程 为 双 曲线 ,   设 M (, ) 曲 线 上 任 一 点 , 由 圆 锥 曲 线 第 二 定  xY为

例5已知 一抛 物 线 以椭 圆 三 + 。1的左 焦点  . ; 

F( , )为顶点

,以椭 圆的右 焦点F (c0 一c 0 , , )为焦 

点 ,P 抛 物 线 与 椭 圆 的 一 个 交 点 ,如 果 椭 圆 的 离  为

一  

l  

, 

心率满 足 =  

,求e 的值 。  

解 :如 图 ,设 椭 圆的左准线 与抛 物线 的准线分 

别 为l   。 ,过 点 P作 1   垂 线 ,垂 足 分 别 为 A、 、l . 的 、l  

义    , 有

=,  与 2即    

喜,简  2化 得  

所 线的 为: ; 一善 :  求曲 方程 堕   l

例3已知 圆锥 曲线过点 A( , ) . 一4 一8 ,它的一 个 

焦 点 为 F( 4 0 ,对 应 于 这 个 焦 点 的 准 线 方 程 为 x - ,)  

B ,由圆锥 曲线第二定 义可知 , 一 e  即 l ,l =       eI p I   ① 

又 。F是 抛物线 的焦点 , . I Fa _  B I ②  .2 ‘ ・    l   .P I p

4 ,求 这 条 曲 线 的轨 迹 方 程 。  

。   B  

<  

0  、  

— —

解 :设 圆锥 曲线 上 的任 意点 M(, ) x Y,由第二 定 

\、   

义   知:

苦 

i  

 

 

即 !± ± :   三至 三工至夏 ;        一 ;  化简得 

所 求 曲 线 的 轨 迹 方 程 为 :y= 1x 2。 6   一 由 以 上 几 例 可 知 ,在 求 圆 锥 曲 线 的 轨 迹 方 程 

、_  

将① 、②代入条 件。   =

程 为x -3 , =-     c

得 l AI       p君I P :l 即 

椭 圆 的左 准线 与抛 物线 的准线重 合 ,易 求得准 线方 

时 ,涉及 到焦点 、准线 、离心 率和 曲线上 的点 四个 

3  

谭 祚 

E CU R C  U R S A H  W  R I [ M  E E RC

舔 壤  酾 懿 潜 藏 攀 

海南师范大 学外语 系  耿 娟  彭正文 

多媒 体 电脑 的普及 和 网络技 术 的发展 ,从根 本 

上 改 变 了 人 类 现 有 的 生 活 和 工 作 方 式 。 将 以 多 媒  体 、 网 络 为 代 表 的 现 代 教 学 手 段 引 入 英 语 教 学 ,促 

使英语 教学观念 转变 ,能提高学 习者运 用语言 的实  际能力 ,能将 教学 、环境 、学 生三者有机 地结合 起  来 、互 为补充 、相得益 彰 。网络改变 了人 类传统 获 

取 知 识 的 方 式 ,因 为 网 络 突 破 时 空 限制 ,实 现 资 源 

一  

的教学 目标 ,教师通 过 网络向学 生传授 知识 ,并促 

进 其 发 展 的 英 语 教 学 活 动 。 网 络 英 语 教 学 模 式 ,就  是 利 用 网 络 , 过A tow r,P w r on M coot 通 uh r ae o eP it irsf  ̄   Wod 多 媒 体 软 件 制 作 的课 件 ,在 教 学 过 程 中按 教  r等

师 的意图播 放

,促进 学习者认 知的教学模 式 。  

在 网络 英 语 教 学 模 式 下 , 教 师 的 教 学 方 式 也 与 

传统 教学模 式有所 不 同。第一 ,教师 根据教 学 的内 

容 在 课 前 将 所 需 资 源 整 理 成 文 件 夹 ,或 内部 网站 ,   也 可 在 虚 拟 光 驱 上 设 置 各 种 书 面 及 听 力 自测 题 、 语 

共享 ,实现 以学习者 为主体 的学习 和协 作式学 习 。   如何 利用 网络资源 ,实现传 统英语教 学与 网络 英语  教学 相结合 ,构建利 于继 承传统英语 教学 的优 点 ,   发挥 网络优 势 ,避 免和排 除负面影 响的教 与学的英  语 教学模式 ,成为 网络环境 下进行 英语教学 的一个 

需 要 深 入 研 究 的课 题 。  

音 、对话 、阅读 短文 等辅导材 料 ,让 学生 根据各 自  

的需 要有 针对性 地咨询 选择有 关信 息 ;第 二 ,根据 

教 学 的 实 际情 况 ,教 师 可 向学 生 提供 一 些 教 育 网  址 ,引 导 学 生从 网络 资 源 库 中 收集 信 息 和 分 析 信  息 ,成 为主动学 习 的参 与者 ,从信 息 中获取 了分析  问题 和解 决 问题 的方 法 ,有力 地提 高 了学 生 的英语 

( )网络英语教 学模 式涵义、特点及 意义  一

网络 英 语 教 学 ,就 其 实 质 而 言 , 它 是 依 据 一 定 

即譬 一一 = 故 圆 离 率 e   一 =3 言 椭 的 心 为 孚 c 粤 =

( )求有关 圆锥 曲线 的一类最值  三

A ,, 为 曲 右 上 动 , I I l   (1P 双 线 支 一 点 求 A 孚Pl 2)点 P+ F 的

最小 值 以及 此时 P 的坐标 。 点  

例.知 ( , , F椭 嘉 譬 l  6 点A 2)点是 圆 + =的 已 一2 右 点 P 椭 上 动 , IA+ I  最 焦 ,是 圆 一 点 求 Pl   I       丢P 的 F

小值 。  

/ 

,  

,  

l   一  r p  

一 ~  且 

一  

、 -/      y p ’   p

/‘ 一  \  

解:由已知,双曲线的离心率e =6- ,右准线 

l 的方程 为x 1 = ,分 别过 P 、A两点作 l 的垂线 ,垂足 

分 别 为 P、A  ’ ’ 显 然 I A I2 1 1 由 圆锥 曲 线 第 二 定 义 知 乎     ・ 一 ., A = 一

悸   ̄ FeP  It P II. Pl I -P1 P P _  

’  

・ . . 

I I I IP I 6I ・I IP-   P +粤 P : A+ - P= A+ P≥ A F I 警x P lP I I

l AA’=1 I  

故I I孚 I I P + P 的最小值为1 A F  

此 时 ,P 为A ’ 双 曲 线 右 支 的 交 点 ,易 求 得  点 A与

P 点的坐标为P . , 。 ( 掣 1) 

范文九:圆锥曲线第二定义解题

圆锥曲线第二定义解题

1.(2010年辽宁理数20)(本小题满分12分)

x2y2

设椭圆C:221(ab0)的左焦点为F,过点F的直线与椭圆C相交于A,

ab

B两点,直线l的倾斜角为60,AF2FB.

o

(I) (II)

求椭圆C的离心率; 如果|AB|=

15

,求椭圆C的方程. 4

x2y2

2.(2009全国二理数11.)已知双曲线C221a0,b0的右焦点为F,过F且斜

ab

C于A、B两点,若AF4FB,则C的离心率为A.

6759

B. C. D. 5585

x2y2

3.(2010全国二理数12)已知椭圆C:221(a>b>

0)的离心率为,过右焦点F

2ab



且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A、B两点.若AF3FB,则k

(A)1 (B

(C

)2

4. (2010·山东聊城模考)已知A、B为抛物线C:y2=4x上的不同两点,F为抛物线C的焦点,→→

若FA=-4FB,则直线AB的斜率为( )

2A.

3

33B. C.

24

4

D.3

5.(2010·泰安质检)如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的直线l依次交抛物线及其准线于点A、B、C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程是________.

6.(2010·黑龙江双鸭山质检)过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于A、B两点,mn若线段AF、BF的长分别为m、n,则等于

m+n

1

A. 2a

( ) a4

1

4a

C.2a

7.(2007重庆市22本小题满分12分,其中(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问8分)

如右图,中心在原点O的椭圆的右焦点为F(3,0),右准线l的方程为:x12. (Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)在椭圆上任取三个不同点P使P证明: 1、P2、P3,1FP2P2FP3P3FP1,

111

为定值,并求此定值. 

|FP1||FP2||FP3|

8.(本小题满分12分,(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问8如题(21)图,倾斜角为a的直线经过抛物线y2B两点。

题(21)图

(Ⅰ)求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程;

(Ⅱ)若a为锐角,作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P,证明|FP|-|FP|cos2a为定值,并求此定值。

x2y2

9.(2012年高考(江苏))如图,在平面直角坐标系xoy中,椭圆22

1(ab0)的左、右

ab

e焦点分别为F1(c,0).已知(1,e)和0),F2(c,都在椭圆上,其中e为椭圆的离

心率.(1)求椭圆的方程;(2)

设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,

BF2平行,AF2与BF1交于点P.

(i)若AF1BF2

,求直线AF1的斜率;(ii)求证:PF1PF2是定值(第9题)

x2y2

10.(2010年高考四川卷9)椭圆221(ab)的右焦点F,其右准线与x轴的

ab

交点为A,在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范

围是 (A

)

11

1,1 (D),1 (B)0, (C)

22

11. (2010年全国高考宁夏卷12)已知双曲线E的中心为原点,P(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(12,15),则E的方程式为

x2y2x2y2

(A) 1 (B) 1

3645x2y2

(C) 1

63x2y2

(D) 1

54

x2

12.(2010年高考湖北卷文科15)已知椭圆c:y21的两焦点为F1,F2,点P(x0,y0)满

2

2x0xx2

足0y01,则|PF1|+PF2|的取值范围为_______,直线0y0y1与椭圆C的公

22

共点个数_____。

22

13 若直线2xyc0按向量(1,1)平移后与圆xy5相切,则c的值为

( ) A.8或-2 B.6或-4 C.4或-6 14.(2010年高考山东卷理科)(本小题满分12分)

D.2或-8

x2y2如图,已知椭圆221(a>b>0

,以该椭圆上的点和椭圆的左、右

ab

焦点F1,F

2为顶点的三角形的周长为1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设

P为该双曲线上异于顶点的任一点,直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、

D.

(Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程;

(Ⅱ)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2,证明k1·k21;

CD恒成立?若存在,求的值;若不(Ⅲ)是否存在常数,使得ABCDAB存在,请说明理由.

15.(2010年高考安徽卷理科19)(本小题满分13分)

已知椭圆E经过点A2,3,对称轴为坐标轴,焦点

F1,F2在x轴上,离心率e

(Ⅰ)求椭圆E的方程;

1

。 2

(Ⅱ)求F1AF2的角平分线所在直线l的方程; (Ⅲ)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点? 若存在,请找出;若不存在,说明理由。

16.(2010年高考天津卷文科21)(本小题满分14分)

x2y2已知椭圆221(a>b>0)的离心率

e=,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积

2ab

为4.(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B,已知点A的坐标为(-a,0).

|= (i

)若|AB

,求直线l的倾斜角; 5



(0,y0)QB=4.求y0的值.

(ii)若点Q在线段AB的垂直平分线上,且QA

范文十:巧用圆锥曲线的定义解题

毕业论文

题 目 巧用圆锥曲线的定义解题

学生姓名 杨林艳 学号 1109014081 所在学院 数学与计算机科学学院 专业班级 数学与应用数学数教1101班 指导教师 洪 洁 __ ____ _ 完成地点 陕西理工学院 _ __

2015年6月10日

巧用圆锥曲线的定义解题

杨林艳

(陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业数教1101班,陕西 汉中 723000)

指导老师:洪洁

[摘要]本文首先归纳了圆锥曲线的三种定义;其次总结了圆锥曲线的标准方程及几何性质;最后介绍了用圆锥

曲线定义解答的四种常见问题,并通过简单解答例题来诠释了在解题过程中如何巧用圆锥曲线的定义.

[关键词]圆锥曲线;定义;曲线方程;解题方法

1 引言

圆锥曲线是解析几何中的重点,也是高中数学教材的基本内容和高考重点内容.圆锥曲线为其他

[1]

学科的研究提供了理论基础.公元1609年德国天文学家开普勒发现许多天体的运行轨道是椭圆.在

[2]

这一时期,意大利物理学家伽利略发现抛掷物体的轨迹是抛物线;法国科学家买多尔日发现了圆锥曲线在光学中的应用.为此,数学家对圆锥曲线进行了深入的研究.直到16世纪,对圆锥曲线的研究基本完善.圆锥曲线有三类曲线,分别是椭圆、双曲线和抛物线.本文着重介绍圆锥曲线定义在求标准方程、轨迹方程、最值以及实际中的应用.

2 圆锥曲线的定义

在平面内,对于圆锥曲线,常用的定义有两种.第一定义展示了三类曲线各自独特的性质和几何特征[3],第二定义揭示了圆锥曲线之间的内在联系.在空间内,用平面切割直圆锥的方法来定义圆锥曲线.下面我们来介绍圆锥曲线的定义. 2.1圆锥曲线的第一定义

定义2.1.1在平面内,到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫做椭圆.这两个定点F1,F2叫作椭圆的焦点,两个焦点F1,F2间的距离叫作椭圆的焦距.

[4]

定义2.1.2在平面内,到两定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线.定点F1,F2叫作双曲线的焦点,两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距.

[4]

定义2.1.3在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫做抛物线.这个定点F叫作抛物线的焦点,这条定直线l叫作抛物线的准线.

以上圆锥曲线的第一定义都是用文字给出的,也可以转化为代数形式.定义中的动点用字母M表示,常数用字母a表示.有如下代数形式:

椭圆:|MF1|+|MF2|=2a,由三角形两边之和大于第三边可知:|F1F2|2a, 抛物线:|MF|等于点M到直线l的距离,l不过F.

由第一定义可知圆锥曲线实际上就是动点M的轨迹,可以由轨迹方程推导出圆锥曲线的标准方

第 1 页 共 10 页

[4]

程.

2.2圆锥曲线的第二定义

定义2.2.1平面上到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数e(0

定义2.2.2平面上到一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e(e>1)的点的轨迹(定点不在定直线上)叫做双曲线.定点叫做双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率.

定义2.2.3平面上到一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e(e=1)的点的轨迹叫做抛物线.定点叫做抛物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线,常数e叫做抛物线的离心率. 圆锥曲线第二定义用离心率把各类圆锥曲线联系在了一起,通过刻画离心率与1的关系来区分各类圆锥曲线.

2.3空间几何中圆锥曲线的表述

2000年前,古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割直圆锥的方法来研究这几种曲线.表述如下: 定义2.3.1在空间通过一定点V且与定曲线相交的一族直线所生成的曲面叫做锥面,这些直线都叫做锥面的母线,那个定点叫做锥面的顶点,定曲线叫做锥面的准线.

当准线是圆时所得锥面称为圆锥面.如果顶点在过圆心且与圆所在平面垂直的直线上,所得锥面称为直圆锥面.

定理2.3.1不通过直圆锥面的顶点的一个平面截直圆锥面一叶的所有母线,则所得的截痕是一个椭圆.如图2.1.

定理2.3.2不通过直圆锥面的顶点的一个平面截直圆锥面的两个叶,则所得的截痕是一条双曲线.如图2.2.

定理2.3.3平行于直锥面的一条母线

(只平行于这一条母线)

的一个平面截直圆锥面,则所得的截痕是一条抛物线.如图2.3.

[7]

[7] [7] [6] [5] [5] [5]

图2.1 图2.2 图2.3

3 圆锥曲线的标准方程及几何性质

第 2 页 共 10 页

3.2双曲线的标准方程及几何性质

第 3 页 共 10 页

4圆锥曲线的定义解题

圆锥曲线的定义是研究圆锥曲线最基本的知识,是解答所有关于圆锥曲线的习题的基础和关键.

[10]

它的两种定义不仅在解题中应用广泛,而且具有很大的灵活性.所以透彻的理解圆锥曲线的定义并能灵活应用在做题过程中会起到事半功倍的效果.下面我们通过例题来看一下如何运用圆锥曲线的定义解题. 4.1求标准方程

求圆锥曲线的标准方程.对于椭圆和双曲线,首先要看它的焦点,从而确定它满足的是哪个标准方程;其次,提取题目中的已知条件,知道a,b,c中的两个值,再利用a,b,c之间的代数关系,就可以求出它的标准方程.对于抛物线,首先根据焦点或准线方程确定该抛物线满足的标准方程,再根据题意求出p的值,就可以求出它的标准方程.

由椭圆第一定义知

第 4 页 共 10 页

又c=2,所以b=a-c=10-4=6. 所以椭圆的标准方程为

2

2

2

解法2 因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为

注 此题有两种解法,第一种直接运用椭圆的定义,计算简便.而第二种运用代数的方法,需要解带有带有分数的方程,没有第一种计算简便.

例4.3 根据下列条件求抛物线的标准方程 (1)已知抛物线的焦点坐标是F(2,0);

第 5 页 共 10 页

解 (1)设抛物线的标准方程为

因此,标准方程为

y2=8x.

(2)设抛物线的标准方程为

y=2

px(p>0).

2

因此,标准方程为

y2=6x.

4.2 求动点轨迹

三角形问题是求动点轨迹中典型的一类问题,已知三角形两定点坐标和动点所满足的条件,求动

点的轨迹.这类题的轨迹一般是椭圆或双曲线.还有一类是已知动点到定点与动点到定直线的距离关系,求动点的轨迹.这类题的轨迹一般是抛物线.

故|AC|+|BC|=10,满足椭圆的定义.

令椭圆方程为

则a=5,c=4, 可得

所以点的轨迹方程为

第 6 页 共 10 页

该图形为椭圆(不含左、右顶点).

注 本题|AC|+|BC|=10,如果不首先根据椭圆的定义判断它满足椭圆的方程,而是设点C的坐标,根据两点间距离公式列出代数式,再去根号,不仅运算复杂,而且容易出错.

例4.5 点M到点F(4,0)的距离比它到直线l:x+6=0的距离小2.求点M的轨迹.

解 如图4.1,点M到点F的距离比它到直线l:x+6=0的距离小2,就是“点M到点F的距离等于它到直线x+4=0的距离”,由此可知,点M的轨迹是以F为焦点,直线x+4=0为准线的抛物线.即点M的轨迹是一条以F(4,0)为焦点,x=-4为准线的抛物线,此时p=8.故所求的点M的轨迹方程是

y2=16x.

图4.1

由以上例题的解题过程,

可以得到用定义法求轨迹方程有五个步骤

[11]

:

1.定性:根据题中已知条件找到动点的运动轨迹与已知条件之间的联系,并判断动点的轨迹是否符合某种圆锥曲线的定义,初步确定解题方向.

2.定位:根据已知条件确定圆锥曲线对称轴、焦点、顶点位置. 3.定量:求出相关未知数的值. 4.定方程:确定动点的轨迹方程. 5.定范围:确定动点的取值范围. 4.3 最值问题

当已知定点在某类圆锥曲线的内部时,求与曲线上动点有关的这类最值问题时,通过数形结合利用圆锥曲线的轨迹条件或者把曲线转化成直线的方法可得出解决问题的方案.

x2y2

+=1上的动点和右焦点,椭圆内有一定点B(2,2).例4.6 已知点M和F分别是椭圆

3611

求:

(1)|MF|+|MB|的最大值及最小值.

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(2)

6

|MF|+|MB|的最小值. 5

解 (1)设F'为椭圆的左焦点,其坐标是(-5,0).由椭圆第一定义得

|MF'|+|MF|=2a=12,

|MF|=12-|MF'|,

|MF|+|MB|=12-|MF'|+|MB|

=12-(|MF'|-|MB|),

在MF'B中

,

|F'B|===

||MF'|-|MB|| |F'B|即

|MF'|-|MB|,

当且仅当M,F',B三点共线时取等号.

如图4.2可知当M处于M1位置时,|MF'|-|MB|取最大值51,此时|MF|+|MB|的最小值为12-;当M处于M2位置时,|MF'|-|MB|取最小值10-51,此时|MF|+|MB|的最大值为12+51.

(2)作M垂直右准线x=

36

于H,由椭圆第二定义得 5

|MF|5

=e=.

|MH|6

5

|MF|=|MH|.

6

6

|MF|+|MB|=|MH|+|MB|. 5

作BH1垂直右准线x=可知

36

于H1,交椭圆于M1,由直线外一点和直线上各点的连线中,垂线段最短5

26. 5

|MH||MB| |BH1|

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如图4.3可知,当M处于M1位置时,

266

|MF|+|MB|取最小值为.

55

图4.2 图4.3

注 此题若采用代数方法,用两点间距离公式来求解从理论上是可行的,但是实际操作非常困难[12]

的.通过数形结合,利用椭圆定义,干净利落得出解决问题的方案. 3.4实际问题

数学的学习是为了解决现实生活中的实际问题,圆锥曲线也不例外.例如,油罐汽车装油罐的截面周界是椭圆;发电站的冷却塔的轴截面两侧边沿是双曲线;隧道的横断面是抛物线等等.下面就来看看如何建立圆锥曲线模型解实际问题.

例4.7 相距2km的两个哨所A,B听到远处传来的炮弹爆炸声,在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所迟4s.已知当时的声速为340m/s,是判断爆炸点在什么样的曲线上,并求出曲线方程.

解 设爆炸点为P,由已知得

|PA|-|PB|=340×4=1360(m).

因为|AB|=2km=2000m>1360m,又|PA|>|PB|,所以点P在以A,B为焦点的双曲线靠近

B处的那一支上.

图4.4

如图4.4,建立平面直角坐标系xOy,使A,B两点在x轴上, 原点O是线段AB的中点. 由2a=1360,2c=2000,得

a=680,c=1000.

b2=c2-a2=537600.

因此,点P所在曲线的方程是

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陕西理工学院毕业论文

x2y2

-=1(x>0). 462400537600

说明 解圆锥曲线应用问题,要根据条件建立目标函数进行求解,但要注意函数的定义域

参考文献:

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[13]许有长.谈圆锥曲线定义的应用[J].淮北煤师院学报(自然科学版). 2000,21(03):89-90. [13].

Using the Conic Curve Definition Solving Problems

Yang Linyan

(Grade11, Class1, Major Mathematics and applied mathematics, Mathematics Dept, Shaanxi University

of Technology, Hanzhong 723000, Shaanxi)

Tutor: Hong Jie

Abstract This article introduced definition, standard equation and geometry characteristic about the conic curve ;concluded four common problem how to concisely solve problem use the conic curve of definition through example.

Key words:Conic curve; Defined ;Equation of a curve;Problem-solving method

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