圆锥曲线硬解定理

圆锥曲线硬解定理

【范文精选】圆锥曲线硬解定理

【范文大全】圆锥曲线硬解定理

【专家解析】圆锥曲线硬解定理

【优秀范文】圆锥曲线硬解定理

范文一:圆锥曲线硬解定理

圆锥曲线硬解定理

圆锥曲线硬解定理,又称CGY-EH定理,其是一套求解椭圆/双曲线与直线相交时

适用领域范围:标准双曲线与抛物线

定理内容

若曲线与直线Ax+By+C=0相交于E、F两点,则:

其中 ,△‘为一与△同号的值,

定理说明:

1.应用该定理于椭圆

2.应用于双曲线

同时 时,应将 时,应将代入。 代入, 不应为零,即ε不为零。

3.求解y1+y2与 y1·y2只须将A与B的值互换且m与n的值互换.

可知ε与∆'的值不会因此而改变。

定理补充 联立曲线方程与y=kx+是现行高考中比联立”Ax+By+C=0“更为普遍的现象。其中联立后的二次方程是标准答案中必不可少的一项,x1+x2,x1x2都可以直接通过该方程与韦达定理求得,唯独弦长的表达式需要大量计算。这里给出一个CGY-EH的斜率式简化公式,以减少记忆量,以便在考试中套用。

1.若曲线

则: 与直线y=kx+ 相交于E、F两点,

这里的 既可以是常数,也可以是关于k的代数式。由这个公式我们可以推出:

2.若曲线

3.若曲线

由于在高考中CGY-EH定理不可以直接应用,所以学生如此解答才可得全步骤分(省略号的内容需要考生自己填写): 为椭圆 为双曲线

联立两方程得……(二次式子)(*)

所以x1+x2=……①,x1x2=……②;

所以|x1-x2|=√(x1+x2)2-4x1x2=……(此时代入①、②式得到一个大式子,但不必化简) 化简得 |x1-x2|=

了。 (偷偷地直接套公式,不必真化简)下面就可求弦长

圆锥曲线硬解定理

圆锥曲线硬解定理,又称CGY-EH定理,其是一套求解椭圆/双曲线与直线相交时

适用领域范围:标准双曲线与抛物线

定理内容

若曲线与直线Ax+By+C=0相交于E、F两点,则:

其中 ,△‘为一与△同号的值,

定理说明:

1.应用该定理于椭圆

2.应用于双曲线

同时 时,应将 时,应将代入。 代入, 不应为零,即ε不为零。

3.求解y1+y2与 y1·y2只须将A与B的值互换且m与n的值互换.

可知ε与∆'的值不会因此而改变。

定理补充 联立曲线方程与y=kx+是现行高考中比联立”Ax+By+C=0“更为普遍的现象。其中联立后的二次方程是标准答案中必不可少的一项,x1+x2,x1x2都可以直接通过该方程与韦达定理求得,唯独弦长的表达式需要大量计算。这里给出一个CGY-EH的斜率式简化公式,以减少记忆量,以便在考试中套用。

1.若曲线

则: 与直线y=kx+ 相交于E、F两点,

这里的 既可以是常数,也可以是关于k的代数式。由这个公式我们可以推出:

2.若曲线

3.若曲线

由于在高考中CGY-EH定理不可以直接应用,所以学生如此解答才可得全步骤分(省略号的内容需要考生自己填写): 为椭圆 为双曲线

联立两方程得……(二次式子)(*)

所以x1+x2=……①,x1x2=……②;

所以|x1-x2|=√(x1+x2)2-4x1x2=……(此时代入①、②式得到一个大式子,但不必化简) 化简得 |x1-x2|=

了。 (偷偷地直接套公式,不必真化简)下面就可求弦长

范文二:圆锥曲线硬解定理(1)(1)

圆锥曲线硬解定理 介绍:圆锥曲线硬解定理,又称CGY-EH定理或JZQ-EH定理,其是一套求解椭圆\双曲线与直线相交时x1x2,x1x2,及相交弦长的简便算法。 定理简介:在将圆锥曲线的方程与直线方程联立求解时人们发现了可消项的存在。但其一般化的推导结果不具有普适性,且一直无法用一个简洁的形式表示.。由CGY(2010)以椭圆曲线推导,重新排列分组形式,并引入ε,从而得出了较为简洁的表示形式。后再由CGY成功引入弦长计算公式,并将适用范围扩大到对y值求解与对x的求解,从而奠定了CGY-EH定理强大的通用性与普适性。

定理内容:

x2y2

1与直线AxByC0相交于E、F两点,则:

若曲线mn

范文三:圆锥曲线硬解定理

圆锥曲线硬解定理

圆锥曲线硬解定理,又称CGY-EH定理(The CGY Ellipse & Hyperbola Theorem),其是一套求解椭圆\双曲线与直线相交时∆、x1x2 、x1x2及相交弦长的简便算法。

∆´为一与∆同号的值.

3/定理说明

① 应用该定理于椭圆 时:

应将 代入

② 应用于双曲线 时:

5/可行性应用

1.

椭圆x^2/4+y^2/3=1与直线y=x+1相交于E、F两点,求解相交弦 |EF|,x1+x2, x1*x2, y1+y2, y1*y2. ⑴列表: A B C m n ε ∆'

1 -1

1 4 3 7 72 ⑵求解: x1+x2 x1*x2 |EF| -8/7 -8/7

互换表中A与B的值,m与n的值: A B -1 1 求解: y1+y2

m 32 y1*y2

n 4

2. 双曲线x^2/3-y^2/4=1

与直线y=x+2相交于E、F两点,求解相交弦 |EF| ,x1+x2, x1*x2, y1+y2, y1*y2. ⑴列表: A B C m n ε ∆' 1 -1 2 3 -4 -1 60 ⑵求解: x1+x2 x1*x2 |EF| 12 -24

互换表中A与B的值,m与n的值: A B -1 1 求解: y1+y2 16

m -4 y1*y2 4

n 3

范文四:圆锥曲线的Ptolemy定理

60

数学通报

2014年第53卷第5期

圆锥曲线的Ptolemy定理

徐道

(江苏省如皋市教师进修学校226500)

“圆内接四边形两对角线的乘积等于两组对边乘积之和.”此结论就是著名的Ptolemy定理.=262(c。s—02+—03广--01--04一c。s

&+吼一口1

众所周知,圆是圆锥曲线的一种特殊情形.圆有同理,Az。・A。。IA:A。I・IA。A。I

Ptolemy定理,那圆锥曲线是否也有与Ptolemy定理类似的结论呢?答案是:有!

—262(c。s—03-'—]'-01丁--0—2--04一c。s0—3+—04丁--0—1-02)

..2

所以A12・A34

A1A2

I・J

A3A4

I+Az3・A41・

定理l

四边形A。A:A。A。是椭圆与+百y一

一2

“0

A:A。I・lA。A。l

1(口≥6>0)的内接四边形,直线AAi的斜率为K¨则A。2A。;IAlA2I・IA3A。I+A23A。1lA:A。I・铋2(cos盟写盟一cos盟写盟

(1)

lA。A,I—A,。A。。IA。A。l・IA。A。I.

而A,。・A。。}A。A。l・IA。A;4

其中Ai一,当直线AA,的斜率不

—262(c。s0—z+—03T--0一i--04一COS

0—3+—04广-01-02)

(2)

存在时,令A。一1.

由(1)、(2)得,A。:・A。;l

A1A2

I・lA。A。I+A2。・

证明设Ai(acos

0。,bsin0i),i一1,2,3,4,

A。,IA。A。I・1A。A,l—A。。・Az。IA。A。I・lA。A。1.O≤伊1<口2<03<04<27【,则

定理1证完.

所龇一{[(黑篇)2+(鲁)2l/一”口COS岛--acosK一!!i呈鱼二鱼!!呈堡

注:若a—b,则Ai一1,定理1就是PtolemyOi

定理,故定理1是Ptolemy定理的推广.

[(慧COS畿aCOS定理2

四边形A1AzAaAt是双曲线事一矿yZ

L\口

巩一

0)2+,])l/2

i/一JJ

=1(口>o,6>o)一支上内接四边形,直线AlA,的斜率为Ki,则A。:・A“IA。A:}・IA。A。}+Azs・[!!!里鱼二!i璺叟:!:±!!竺!鱼二竺竺!鱼!:]竺

2南瓜面i而再丽万研,(bsin以--bsin良)2+(aeos岛--acos0f)2A。。lA2A。I・IA。A,I—A。。・A:。1A,A。I・lA:A。1.

其中|;Li=,当直线AA,的斜率不

故A“I

aiA,l=6以而百i而酽干丽面j丽

-----b

铋卜学I’

证明由题意,I

K。I>鲁,所以K;一(詈)‘

>O,得Aj有意义.

所以

A,:・A。。IA,A:l・IA。A。I

设Ai(aseeoi,btan0;),i一1,2,3,4,

铋sin丁02--01一arctan

b丑<o。<晚<岛<吼<arctan鲁,则

=462sin

02

sin下O.I--@3

j.26sin学l

,,

一”

=一

btan以--btanO,

secoi—asecO,

万方数据

2014年第53卷第5期数学通报

61

所‰一[(btanOj--btanOi・)一(鲁)2]2/

L\口

一志瓜丽i面F瓦万丽矿

[(纂sec臼掣ia篙secO)2+・]}l/2

i/

。‘.J

J故,

A“|AA,I一6以面万二面丽F了五万i磊矿

一6以磊画磊面=瓦丽蕊丽

一6√鬲蒜[1一(c。sojc。s臼t+sin易sin馥)]

==2b

~cosO,cosOi

显然,cos以>0,cosOi>O,于是上式司化为,

,一●————-———・-——-・—2

A“I

A,Ai

I一丽2b二-—---一

sin学I

所以,A。。A。。IA,A:lISiIl学I彘|Sin学I

IA。A。I

一孺2丽b

而o<丝孑鱼<詈,o<丛≠<号,

故,A,:・A。。IA,A:I

A。A。I

=——====================S

4b2

02—01.04—03

81n

Jcos01

COS02cos03cos&1n

TT

262

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。——

COS————:厂—一一COS————:厂—一J・

吼+巩一口。一吼

臼z+吼一日・一岛、

同理,A。。A。。lA。A。IIA。A。I

262

Jcos01

cos02COS03COS04

吼+口。一目:一吼

巩+吼一口-一口z、

COS———_厂—一一COS———_厂—一J・

所以A12A341A1A2

IA3A4l+A23A。1lA2A3IA4A1

262

I————了■—一…o

Jcos01

cos02COS03cos04

COS

J.L6,J.(3)

又,A。。A:。1A,A。lIA。A。f

262

Jcos01cos02COS03cos&

万方数据

(I————丁—一一————矿—一J・L4,

0T2S-O[-C0230--u

010-0-4一0+sCOS

OT

).(4)、

由(3),(4),定理2获证.定理3

若Ai(zi,弘)(i一1,2,3,4),I

Y1

I≤

Y:1≤Iy。l≤IY。1,四边形A。A。A。A。是抛物线了2—2px(p>O)的内接四边形,直线A。A,的斜率为Ki,则A。zAa。IA,Az

lA。A。I+Az3A。。IAzA3I・

lA。A。I—A,。A。。lA。A。IIA:A。1.

其中k一了豆著亓’当直线AA,的斜率不存在

时,令A“=0.

证明显然,zi一五yi,故有Z口

Ko--理Yi--Yi一乒2ip

所以

Ad=

Y,+y。I

J4f+(yj+yi)2

lyj--y。1以万i万可‘

y;一y;1

舭A

一掣厄万瓣,

I一雁露两所以A口IazAj

1一去憎一y"

所以

A,:A。。IA,A:flA。A。1+A。。A。,1A。A。I・

AtA・1一壶[(y;一y;)(yi—Y1)+(y;一y;)(224

一yj)]一壶(yiy;+y;yi—yi了i—y:y;)・

A,。A:。1A。A。llA。A。I

2壶(yjy22+y;y;一y;y;一yiy;)・

所以A,。A。。lA,A:IA。A。l+A。。A。。IA。A。1・

lA。A。l—A。。A。。1A。A。f|A。A。1.定理3获证.

注:定理3中的四边形A。A。A。A。不一定是凸的,也有可能是一个折四边形.

范文五:圆锥曲线中的几个定理

2007 年第 9 期

中学数学研究

圆 锥

曲 线 中 的 几 个 定 理

刘成龙 余小芬

丈 一 扩一 1 上, 所以

四川内江师范学院数学系 (6 4 n 12 )

文〔 1 对一道教材习题的解法进行了 探究,

并在文末给出了有关椭圆的几个结论, 但没有 给出结论的证明. 笔者读后深受启发, 在本文中 对这些结论加以了 证明, 并类比椭圆的结论得 到了 双曲线的相应结论. 为书写方便, 本文将得

到的结论以定理的形式给出, 见下文:

定理 1 如 图 1, 设 丈 一 护一

在 令十少

1

矿 巡令毕, 得lx, }

一 tan Z a) aZ( 占 2一 尸

aZ( 。 2一 bZ tan Za

cZ一 右 Z tan Z。 。 ( 注: 定理2 中 的。 任(0,

令] )

F l、 凡 是 椭 圆 纂 十

= bZ ta n a.

定理 3

如图 2, 设

(a > b > 0) 的两个焦点,

尸为椭圆上的一点, 。 为

F :、 。 是 椭 圆 纂

(a > b > 0 ) 的两个焦点, 尸 (孙, y, ) 为椭圆 上的一 点, 0 是坐标原点, 若艺F llF : = Za , }OP I =

椭 圆 的 半 焦 距 , 若 匕 F, 尸 尸 2=2。 , 则 有5△ F几 P

证明 设IPFI }= m , !尸 FZ}二n , }F , FZ} _ mZ+ 刀 2一 4c2 = Zc , 所以田女a

Zm n

(1) , 又m + n

己 , 则 有汉 2+ 乙 Z ta n。 = aZ .

证明 由 定 理2 可知!为}

1

L4 ‘ __ 2 a Z〔 cZ一bZ tanZ a 十 — U td l l “ c2 得 dZ+ bZ ta n a= 护

2 = 4a2, = Za , 所以 mZ+ 2 。 , n+ ” 即 mZ+ nZ = 4a2一 Zmn (2) , 把(2) 代入(1) 中可得:c o盆 a

b2 :二 二— t a l l a

, }x, 1

4a 2 一 2 执n 一 4c2 4b2 一 2执 n

Zm n Zm n

丝 m 一1 , 2 所

2 n

护 一 t a z b z 。 n , 所以 dZ二孙 2+ 为 2二

二 二

aZ一bZ tan Za, 可

。 , _ _ 2吞 2 二, 、 , 。 . _ 吩mn 一 亡 石 亚舀 干 1, 刀 , 林。 △ 毯凡一

bZ sin Z a bZ ta n a. 一印女a + 1 一

定理 2

a 一

告 m n s‘ Z“ n

口一

上面三个定理是文【 ] 给出的, 1 笔者经过仔

细研究进一步得到了 有关椭圆的另一个结论:

定理 4

二。 。, . , 麦二 丈 _ , , _ 、 公 吃诬 一 1、 孟 ’ 2 产 屯l r 口幽 2 ’, 2 一 1、 “沪 产

b> 0 ) 的 两 个 焦点, p (孙, 为) 为 椭圆 上的 一 动

点, 。 , e 分别为椭圆的半焦距和离心率, 若

b> 0 ) 的 两 个焦点, 尸 (x , y) 为椭圆 上的一点,

。 , 。 分别是半焦距和离 心率, 若乙FIP F : = Za ,

则有 sina 成e

设 ;1 、 ;2 是 椭 圆 荞 + 茶 一 “ “ >

乙Fl丹飞 二 Za一 , 则有1为}

=

b2

tan a

工 了 砰 二 了石 平 云 ,

证明

1 2

由 定 理1可 知5△ F 几一 P 护 ta n“ , 又

b2

C

证明 由 余弦定理可知}P F I !2十!P F 21 2 一 2} 即 11 !即 : }C 以 Za = IFIF: } 2, 即( IP F I} +} 尸 FZI)2一}FIF Z } 2= 2 !P F I 卜lpFZI(1+

。、 / 。 , , : , 、 , ! 尸 Fl 卜 阳 FZ{ 、 ,, co 女a) (1 )( = ‘ 巴炭二二已 )2 又 一一一 /镇 ~ 2 一、 一+

①盆 — a 一产 、 2 / , ’ /、

}P F I 卜 阳凡 }= Za , IF tF: 卜 2。 , 所以可得:

5△ F I凡 P = XZc XI为}, 所以占 Z ta na 2。 x l为1, 即} P !二 — y

14

t日 11a .

又因 为尸 (x, , P) y

4a2一 4c2( 2a2 (1+ ① 女 a), 故1 一 姗Za镇

中学数学研究

2007 年第 9 期

子 炎 一

荀 勺 推

吴赛瑛

广

福建省大田第一中学 (3 6 6 1 0 )

文【 ] 给出了一个定理: 若 f (x ) 是〔 1 a, 川

的两根分别为a , b, 则a 十 b= m.

文仁 2 ] 将这个定理推广为: 若方程 二一 十

上的 增函 数, x +了 (x ) = , ‘ , x +f 一 ‘ (x ) = m

2e2, 即S ina 簇。

类比上述椭圆的结论, 笔者得到了双曲线 的几个结论 : 定理 5 如图 3 , 设F, ,

证 明 由 定 理5可 知5△ F, P F Z 一 犷 ot c a, 又

5△ F :FZ P

l 2

XZc X }为!,

C

所以

, 力

o c

a

一 一

1 2

X

。 △。 , , 二 二燕 * 止 _ 丈 _ 凡 分别是双曲线气 一 六=

一‘ ”” 一‘ - 一 ”a ‘ b‘

可得}为}二 — ZcX}为1,

J P , 尸户 _ 2

C(〕 ta .

又因为尸 (x。 ,

b2

一 -

、 , 、 六 扩

1( a 、 b > 0 ) 的左、 右两个焦

丈 aZ (bZ+ 夕 。 2) 一 护1上 , 所以x广 =

入 4

_ 、

点, 尸(x , y ) 为双曲线上的

bZcota .

图 3

一 点 , 若艺 FIP F Z = 2。 , 则有 5△ F IF P Z

证明 这里仅以 点尸 (x , 刃在双曲 线 左支 为例进行证明, 当尸 (x , y ) 在右支的情况同理 可得. 设匡 华 , : }= m 、 }P F : != n , }FIF: }= 2。 ,

所 以 图女a

“\ U l cZ田La j

bZ

定理 7

_ 2 / L Z 上 卫二 _ _ J

孙 可得 }

1 一 e

cZ+ 占 Z o产 c

F Z 分 另 。 是 双 曲 线 纂 -

如图 4 , 设Fl、 丈 扩-

mZ+ nZ一 4c2

Zm n

( 1) , 又 n 一m 二

1(a 、 b > 0) 的左、 右两个焦

Za , 所以 mZ一 Zmn + nZ= 4a2, 即 mZ+ nZ

4a2+Zmn(2) , 把(2) 代入(1) 中 可 得:C osZa

4a 2+ Zmn 一 4c2

Zmn

点, 0 是坐标原点, 尸 ( xp, 分别是双曲线的半 为) 为 双曲 线 上的 一 点, 。 、 。

!OP 卜 d , 则 焦距和离心率, 若乙F IPFZ= Za ,

1 十 —

.

, _ 2 _ 。 _2

‘“ “

=

1 一 —

2b2

刀诬 n

, 即

有以 2一 占 2 耐。 =aZ .

证明 由 定理6 可 知} 为!

一 -

_ _ _2少 ‘ 匕 , 、 , 。 m刀 一「 几 磊石 , 阴弘 。 △ 叽凡

bZ sin Z a

1 一 co 双 a

1 m n sin Z a = 2

}x, }

bZo o ta .

1 e

cZ+ 占 2 淤。 , 所以以 2 = x, 2+ 为 2=

a2

, 「

定理 6

设 :1 、 F Z 分 别 是 双 曲 线 泰 b2

l

e

丈 护

aZ (。 2+ 占 Z co tZ 。

旦 丛 丛一 丝 _

_ ‘

L4 __ J

_

_ 2 土 LZ __ J

l , t

UU L 仗 , 协 r

_

日 n

二 1( a 、 b > 0) 的左、 右两个焦点, 0 是坐标原

a = a Z. 可得 dZ一 护c o产

点, 尸 (x, , 为) 为双曲 线上的一点, 。 , 。 分别是

双曲线的半焦距和离心率, 若匕FIPI了 : 二Za ,

考文献

〔 ] 赵一军. 对一道教材习题的解法探究与引申变形 1 【 J ]. 学 教学 通讯, 200 6 , 3.

15

则 有} 为}

二 二—

〔 劝t a

}x。 卜

a Z+ bZ co 产 a.

范文六:巧用圆锥曲线的定义解题

摘要:圆锥曲线是高中数学平面几何中的重要知识,因此,对其研究非常有意义。本文首先介绍了圆锥曲线的定义,在此基础上列举了几个巧用圆锥曲线定义解题的例子,包括利用椭圆和双曲线的定义联合解题、求解动点的轨迹和方程、利用圆锥曲线定义求解点的坐标。

关键词:圆锥曲线;定义;解题

【中图分类号】G634.6

一、圆锥曲线的定义

圆锥曲线是高考数学的必考内容,也是高中几何的重点和难点内容。由于圆锥曲线的试题变化多端,导致了很多学生顾此失彼,对涉及圆锥曲线的题目更是“惧怕”的不行。笔者认为,掌握、熟练运用圆锥曲线的基本概念,可以使很多复杂的题目迎刃而解。高中数学教材中给圆锥曲线下的定义是:到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线,我们一般用e表示到定点的距离与到定直线的距离的比。根据e的取值范围不同,我们可以将圆锥曲线分为三种,当0 1时,点的轨迹形成一个双曲线;当e =1时,点的轨迹形成一个抛物线。通过圆锥曲线的定义,我们可以发现它反映了一个最基本的数量关系,应用圆锥曲线的定义可以解决很多种类型的题目,比如求解椭圆、双曲线或抛物线的方程;判断题目给出的曲线是什么类型的圆锥曲线;求点的轨迹、方程;求解平面图形的面积等。下面,笔者将列举几个巧用圆锥曲线定义解题的例子,以让读者对圆锥曲线的定义有个更深刻的了解。

四、利用圆锥曲线定义求解点的坐标

五、结束语

可以利用圆锥曲线的定义进行求解的题目数不胜数,但是由于篇幅和时间的限制,本文只能列举三个巧用圆锥曲线定义进行解题的例子。通过以上三个例子,我们可以发现掌握圆锥曲线的定义,并能够熟练使用圆锥曲线定义对于解一些曲线题目是非常有用的。但是,对于圆锥曲线的定义要想熟能生巧需要学生们反复练习,不断强化,想要在几个小时之内或几天之内掌握是不可能的。

参考文献

[1]裴树勤.例说圆锥曲线定义的应用[J].甘肃教育学院学报,2010,4

[2]王剑红,杨素芳.巧用圆锥曲线定义解题[J].吕梁高等专科学校学报,2007,3摘要:圆锥曲线是高中数学平面几何中的重要知识,因此,对其研究非常有意义。本文首先介绍了圆锥曲线的定义,在此基础上列举了几个巧用圆锥曲线定义解题的例子,包括利用椭圆和双曲线的定义联合解题、求解动点的轨迹和方程、利用圆锥曲线定义求解点的坐标。

关键词:圆锥曲线;定义;解题

【中图分类号】G634.6

一、圆锥曲线的定义

圆锥曲线是高考数学的必考内容,也是高中几何的重点和难点内容。由于圆锥曲线的试题变化多端,导致了很多学生顾此失彼,对涉及圆锥曲线的题目更是“惧怕”的不行。笔者认为,掌握、熟练运用圆锥曲线的基本概念,可以使很多复杂的题目迎刃而解。高中数学教材中给圆锥曲线下的定义是:到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线,我们一般用e表示到定点的距离与到定直线的距离的比。根据e的取值范围不同,我们可以将圆锥曲线分为三种,当0 1时,点的轨迹形成一个双曲线;当e =1时,点的轨迹形成一个抛物线。通过圆锥曲线的定义,我们可以发现它反映了一个最基本的数量关系,应用圆锥曲线的定义可以解决很多种类型的题目,比如求解椭圆、双曲线或抛物线的方程;判断题目给出的曲线是什么类型的圆锥曲线;求点的轨迹、方程;求解平面图形的面积等。下面,笔者将列举几个巧用圆锥曲线定义解题的例子,以让读者对圆锥曲线的定义有个更深刻的了解。

四、利用圆锥曲线定义求解点的坐标

五、结束语

可以利用圆锥曲线的定义进行求解的题目数不胜数,但是由于篇幅和时间的限制,本文只能列举三个巧用圆锥曲线定义进行解题的例子。通过以上三个例子,我们可以发现掌握圆锥曲线的定义,并能够熟练使用圆锥曲线定义对于解一些曲线题目是非常有用的。但是,对于圆锥曲线的定义要想熟能生巧需要学生们反复练习,不断强化,想要在几个小时之内或几天之内掌握是不可能的。

参考文献

[1]裴树勤.例说圆锥曲线定义的应用[J].甘肃教育学院学报,2010,4

[2]王剑红,杨素芳.巧用圆锥曲线定义解题[J].吕梁高等专科学校学报,2007,3

范文七:利用圆锥曲线的定义解题

圆锥曲线包括椭圆,双曲线和抛物线。圆锥曲线的定义是整章内容的理论基础。圆锥曲线的很多问题都与定义紧密相连,圆锥曲线的定义渗透在圆锥曲线的各个方面。因此合理应用定义是寻求解题捷径的一种重要方法,灵活运用圆锥曲线的定义常常会给解题带来极大方便,产生一种 “山重水复疑无路,柳暗花明又一村”的美好感觉.我认为在本章的教学中应强化定义的教学,积极主动地培养学生应用定义解题的意识。本文通过下面几个方面的问题谈谈如何利用圆锥曲线的定义解题。

1.利用定义法求值

例1.(1)从双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于P点,若M为线段FP的中点,O为坐标原点,则|MO|-|MT|与b-a的大小关系为( )

A.|MO|-|MT|>b-a B.|MO|-|MT|=b-a

C.|MO|-|MT|  解析:连结PF′,OT,∵|FP|-|F′P|=2a,∴2|FM|-2|OM|=2a,即|FM|-|OM|=a.又∵|FM|=|MT|+b,∴|MT|+b-|OM|=a,

即|MO|-|MT|=b-a,故选B.

(2)[2011・课标全国卷] 在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为22.过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么C的方程为________________.

解:设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).因为离心率为22,

所以22=1-b2a2,解得b2a2=12,即a2=2b2.

又△ABF2的周长为AB+AF2+BF2=AF1+BF1+BF2+AF2

=(AF1+AF2)+(BF1+BF2)=2a+2a=4a,

所以4a=16,a=4,所以b=22,所以椭圆方程为x216+y28=1.

2、利用定义法求最值

例2.(1)(2009・四川)已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )

A.2 B.3 C.115 D.3716

解析: 直线 :x=-1为抛物线 的准线,由抛物线的定义知,P到 的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离,故本题化为在抛物线 上找一个点P,使得P到点F(1,0)和直线 的距离之和最小,最小值为F(1,0)到直线 4x-3y+6=0的距离,即 = =2,故选A.

(2). 定长为3的线段AB的两端点在抛物线 上移动,AB的中点为M,求M到y轴的最短距离,并求点M的坐标。

解析:

其中等号成立当且仅当A、 F 、 B三点共线

所以最短距离为 ,

例3.已知 分别是椭圆 的左右焦点, , 是椭圆上的动点,求 的最小值。

解析:

当且仅当 共线,且P在 轴左侧时取“=”号 最小值为

3.利用定义法求轨迹

例4.一动圆与圆 外切,同时与圆 内切,求动圆圆心P的轨迹方程。

解析:因为 , ,

所以

4.利用定义法判断位置关系

例5.过抛物线C的焦点F作直线与抛物线交于A、B两点,研究以AB为直径的圆与抛物线的准线l的位置关系,并证明你的结论.

解析:设AB中点为M,A、B、M在准线L上的射影为A’、B’、N,

|AA’|=|AF|,|BB’|=|BF|

故以AB为直径的圆与l相切.

圆锥曲线的定义是根本,对于某些问题利用圆锥曲线的定义来求解比较简捷。总之,圆锥曲线的定义的运用还有很多,在这不一一列举,在解题过程中学生只要善于分析,探求实质性条件,灵活运用定义,就可以顺利解决在高考中对定义考查的题目。

范文八:在圆锥曲线中回归定义解题

摘要:我们在教学圆锥曲线时,可以把双曲线与椭圆类比理解记忆。从第一定义出发,椭圆和双曲线都强调的是到两定点距离(椭圆:和;双曲线:差的绝对值)为定值的问题,而抛物线则涉及的是一定点与一条直线的问题。与此同时,还要引导学生理解明白圆锥曲线定义的几何条件,这样更利于学生理解记忆圆锥曲线的定义。本文通过具体实例与大家共同交流“在圆锥曲线中回归定义解题”的体会与感悟。

关键词:圆锥曲线;定义解题;体会

中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1992-7711(2016)06-0109

圆锥曲线是平面解析几何的重要组成部分,也是高考的热点内容。但是在学习中学生比较害怕这部分内容,主要原因有两个:一是圆锥曲线中的运算量大,二是学生忽视三类圆锥曲线的定义。下面是圆锥曲线的具体定义:

1. 椭圆的定义

我们把平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的集合叫作椭圆。

2. 双曲线的定义

我们把平面内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于F1F2)的点的集合叫作双曲线。

3. 抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线

4. 圆锥曲线的第二定义

平面内与一个定点F和一条直线l(l不过F)的距离之比为定值e(大于零)的点的集合叫圆锥曲线

当0  当e>1时,圆锥曲线是双曲线;

当e=1时,圆锥曲线是抛物线。

陕西师范大学数学系数学高考工作负责者罗增儒说过:数学概念是数学的血和肉(根本),数学思想是数学的魂。对于圆锥曲线中的概念即定义尤为重要。我们在教学圆锥曲线时,可以把双曲线与椭圆类比理解记忆。从第一定义出发,椭圆和双曲线都强调的是到两定点距离(椭圆:和;双曲线:差的绝对值)为定值的问题,而抛物线则涉及的是一定点与一条直线的问题。与此同时,还要引导学生理解明白圆锥曲线定义的几何条件,这样更利于学生理解记忆圆锥曲线的定义。本文通过具体实例与大家共同交流“在圆锥曲线中回归定义解题”的体会与感悟。

总之,希望通过本文能多多少少带给大家一些收获与感悟。

(作者单位:陕西省靖边中学 718500)

范文九:利用圆锥曲线的定义解题

考查平面解析几何的题目中,圆锥曲线的题目占重要位置,重点考查椭圆、双曲线、抛物线的相关内容.其中利用椭圆、双曲线、抛物线的定义解题,能够考查学生对基本知识、基本方法、基本技能的理解、掌握和应用情况,所以在高考中出现的可能性比较大,并且有些题目用定义解题,步骤也会简化.

在学习圆锥曲线中,首先要抓住定义,只有真正理解和掌握了定义,才能找到解题思路,避免走入死胡同.

一、选择题中定义的利用

例1 椭圆x26+y22=1和双曲线x23-y2=1的公共焦点为F1,F2,P是两曲线的一个交点,那么cos∠F1PF2的值是( ).

解 由条件知,|PF1|+|PF2|=26,|PF1|-|PF2|=23(不妨设|PF1|>|PF2|),

∴|PF1|=6+3,|PF2|=6-3.

又 |F1F2|=4,∴cos∠F1PF2=13.

答案 A.

分析 直接计算|PF1|,|PF2|,思路混乱,而且计算量较大.如果用椭圆和双曲线的定义,解题过程会大大简化.

例2 F1,F2为椭圆两个焦点,Q为椭圆上任一点,以任一焦点作∠F1QF2的外角平分线的垂线,垂足为P,则P点轨迹为( ).

A圆

B椭圆

C双曲线

D抛物线

解 延长F2P交F1Q的延长线于M,得|F1Q|+|F2Q|=2a,|F2Q|=|MQ|.而|F1Q|+|MQ|=|F1M|=2a,则点M(x0,y0)的轨迹方程为

(x0+c)2+y20=4a2.①

设P点坐标为(x,y),∵P为F2M中点,

∴x=c+x02,y=0+y02,x0=2x-c,y0=2y.

代入①,得(2x-c+c)2+(2y)2=4a2,∴x2+y2=a2.

分析 仔细作图观察,利用椭圆定义及角平分线,难题就不难了.

二、填空题中定义的利用

例3 抛物线y2=12x上与焦点的距离等于9的点的坐标.

解 设待求点的坐标为(x0,y0),由抛物线的定义,得x0+3=9,解得x0=6.代入抛物线方程得y0=±62,所以满足条件的点为(6,-62),(6,62).

答案 (6,-62),(6,62).

分析 利用抛物线的定义,转化条件,可以减少运算量.

例4 双曲线的虚轴长为4,离心率e=62,F1,F2分别是它的左、右焦点,若过F1的直线与双曲线的左支交于A,B两点,且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项,则|AB|=.

解 ∵|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,

∴|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=4a.

又 ∵2|AB|=|AF2|+|BF2|,|AF1|+|BF1|=|AB|,

∴2|AB|-|AB|=4a,|AB|=4a,而2b=4,ca=62,c2=a2+b2,

∴|AB|=82.

分析 此题两次应用双曲线的定义,步骤清楚简单,何乐而不为.

三、解答题中定义的利用

例5 设点F(2,0),动点P到y轴的距离为d,求满足条件|PF|-d=2的点P的轨迹方程.

解 由题意,得|PF|=2+d.

当P在y轴右侧时,为|PF|=x+2,

∴点P在抛物线y2=8x上.

当P在y轴左侧时,|PF|=2-x,

有y=0(x  所求轨迹方程为y2=8x(x≥0)和y=0(x  变式 一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切,同时过点(3,0),求动圆圆心M的轨迹方程.

解 由已知,得(x+3)2+y2=4.

设圆心为A,A点坐标为(-3,0),B(3,0),动圆半径为R,

得|MB|=R,|MA|=R+2.

因此|MA|-|MB|=2  故M点轨迹为双曲线的右支,且2a=2,2c=6,

即a=1,c=3,b=22.

因此其方程为x2-y28=1(x≥1).

例5和变式题都是用定义得出轨迹方程的,从这两道题可以深深体会到定义的重要性.

例6 设椭圆与双曲线有共同的焦点F1(-4,0),F2(4,0),并且椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍,求椭圆与双曲线交点的轨迹.

解 设椭圆与双曲线的交点P(x,y),得

|PF1|+|PF2|=2||PF1|-|PF2||.

即|PF1|=3|PF2|或|PF2|=3|PF1|.

将点P(x,y)代入,得

(x+5)2+y2=9或(x-5)2+y2=9.

故所求轨迹为圆心在(5,0),半径为3的圆,除去(2,0)和(8,0)两点;或圆心在(-5,0),半径为3的圆,除去(-2,0)和(-8,0)两点.

分析 利用圆锥曲线的定义,充分挖掘几何条件来列方程往往可以使过程变得简洁.

总之,圆锥曲线的定义,始终是高考的重点,学生学习的要点,解题的依据.

范文十:圆锥曲线第二定义解析

圆锥曲线第二定义

圆锥曲线的第二定义(平面内到定点与到定直线距离的比为常数e的点的轨迹)是圆锥曲线概念的重要组成部分。揭示了圆锥曲线之间的内在联系,它不仅是研究圆锥曲线图象和性质的基础,而且在很多数学问题的求解过程中,具有不可低估的特殊功能。

一、导向功能

圆锥曲线第二定义对许多问题的求解,具有明显的导向作用,优先考虑第二定义,有助于启迪思路,理顺解题线索。

例1:椭圆x225+y29=1上有一点P,如果它到左准线的距离为52,那么P到右焦点的距离是 。

[分析]解题之前一定要认真审题,对有关曲线上一点到焦点、准线距离的问题,首先联想到圆锥曲线的第二定义。

[解]设P到左准线距离为PM

由椭圆第二定义PF1PM=e

∴PF1=ePM=45×52=2

又∵PF1+PF2=2a=10

∴PF2=8

例2:F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b0)的右焦点,P(x0,y0)是椭圆上任一点,则PF2的值为:

A. ex0-a B. a-ex0 C. ex0-a D.e-ax0

[分析]针对题中要求PF2的值,且各选项中含有e,从椭圆第二定义入手,问题不攻自破。

[解]设点P(x0,y0)到椭圆右准线x=a2c的距离为PN,则PN=a2c-x0 根据椭圆第二定义

PF2=ePN=e(a2c-x0)=a-ex0,故选B。

二、简化功能

巧用圆锥曲线的第二定义,可以简化复杂的变形与讨论,使问题简捷获解。

例3:过抛物线y2=4x的焦点的一条直线交抛物线于A、B两点,若线段的中点的横坐

标为3,则AB= 。

[分析]若按求焦点,设直线方程、联立方程组求AB过程繁琐,因此从定义出发。

[解]过A、B两点向准线引垂线AM、BN

设AB中点为C(3,y0),过C向准线引垂线CH,

则CH是直角梯形ABNM的中位线。

∴AM+BN=2CH

抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线为x=-1

所以有AB=AF+BF=AM+BN=2CH=2(3+1)=8

例4:已知椭圆方程为x2b2+y2a2=1(ab0),求与这个椭圆有公共焦点的双曲线,使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大,并求相应的四边形的顶点坐标。

[分析]本题若通过解椭圆与双曲线联立的二元二次方程组求交点将十分麻烦。

[解]如图:设所求双曲线为x2α2-y2β2=-1,

依题意c2=a2-b2=α2+β2(c为半焦距),两个焦点为F1、F2,

则PF1是椭圆的焦半径,又是双曲线的焦半径。

设椭圆与双曲线在第一象限的交点为P(x1,y1),则

PF1=e PK=e1 PK1

∴PF1=caa2c-y1=cβy1-β2c

∴a-cy1a=cy1β-β = y1=aβc

代入椭圆或双曲线方程得x1=bαc,

于是以它们四个交点为顶点的四边形面积为:

S=4(abαβc2)≤2ab (α2+β2) c2=2ab

当且仅当α=β=c 2 = 2(a2-b2)2时,Smax=2ab

故所求双曲线方程为x2-y2= -(a2-b2)2

由对称性,四个顶点的坐标分别为:

( 2b2, 2a2),(- 2b2, 2a2),(- 2b2, -2a2), (2b2,- 2a2)

三、显隐转化功能

从圆锥曲线的第二定义出发,分析题目的结构特征,有助于挖掘隐含在题目中的条件,从而使问题化隐为显,促成问题的快速解决。

例5:已知椭圆x24+y23=1内有一点P(1,-1),F为右焦点,椭圆上有一点M,使MP+2MF值最小,求点M的坐标。

[分析]按常规思路,设M(x,y)求出右焦点F(1,0)

则MP+2MF= (x-1)2+(y+1)2+ 2 (x-1)2+y2

由此表达式求最小值是比较困难的,联想椭圆方程中隐含的特征量,发现式中的2即1e,故2MF即为1eMF

[解]由椭圆第二定义MFMN= e

MN= MFe

当MN与PM共线,即过P作准线x=a2c的垂线

这条线与椭圆的交点就是所求的点M

此时M(2 63,-1)

四、联络功能

对于一些需综合运用各种数学思想方法和解题技巧的数学问题,圆锥曲线的第二定义,可在其中起到桥梁作用,使解题思路连贯畅通。

例6:已知双曲线x225-y2144=1的左右焦点分别为F1和F2,能否在双曲线的左支上找到一点P,使PF1是P到左准线的距离d与PF2的等比中项?若能,求出P的坐标,若不能,说明理由。

[分析]这是一道存在性探索问题,解题思路一般是:先假设存在,然后在合理的计算、推理或求解过程中做出准确的判断。圆锥曲线第二定义起到了条件联络转化的作用。

[解]根据题意:PF12=dPF2,即PF2PF1=PF1d= e

∴PF2= ePF1

∵PF2-PF1=2a=10 c=13 e=135

∴13PF15-PF1=10 PF1=254 PF2=654

∴PF1+PF2=452 又F1F2=26

从而PF1+PF2F1F2矛盾

∴符合条件的点P不存在。