圆锥曲线第二定义

圆锥曲线第二定义

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范文一:圆锥曲线的第二定义

圆锥曲线的第二定义(平面内到定点与到定直线距离的比为常数e的点的轨迹)是圆锥曲线概念的重要组成部分。揭示了圆锥曲线之间的内在联系,它不仅是研究圆锥曲线图象和性质的基础,而且在很多数学问题的求解过程中,具有不可低估的特殊功能。

一、导向功能

圆锥曲线第二定义对许多问题的求解,具有明显的导向作用,优先考虑第二定义,有助于启迪思路,理顺解题线索。

22 例1:椭圆x/25+y/9=1上有一点P,如果它到左准线的距离为5/2,那么P到右焦点

的距离是 。

[分析]解题之前一定要认真审题,对有关曲线上一点到焦点、准线距离的问题,首先联想到圆锥曲线的第二定义。

[解]设P到左准线距离为|PM|

由椭圆第二定义|PF1|/|PM|=e

∴|PF1|=e|PM|=4/5×5/2=2

又∵|PF1|+|PF2|=2a=10

∴|PF2|=8

2222 例2:F2是椭圆x/a+y/b=1(a>b>0)的右焦点,P(x0,y0)是椭圆上任一点,则|PF2|的

值为:

A. ex0-a B. a-ex0 C. ex0-a D.e-ax0

[分析]针对题中要求|PF2|的值,且各选项中含有e,从椭圆第二定义入手,问题不攻自破。

22 [解]设点P(x0,y0)到椭圆右准线x=a/c的距离为|PN|,则|PN|=a/c-x0 根据椭圆第二定

2 |PF2|=e|PN|=e(a/c-x0)=a-ex0,故选B。

二、简化功能

巧用圆锥曲线的第二定义,可以简化复杂的变形与讨论,使问题简捷获解。

2 例3:过抛物线y=4x的焦点的一条直线交抛物线于A、B两点,若线段的中点的横坐标

为3,则|AB|= 。

[分析]若按求焦点,设直线方程、联立方程组求|AB|过程繁琐,因此从定义出发。

[解]过A、B两点向准线引垂线AM、BN

设AB中点为C(3,y0),过C向准线引垂线CH,

则CH是直角梯形ABNM的中位线。

∴|AM|+|BN|=2|CH|

2 抛物线y=4x的焦点为F(1,0),准线为x=-1

所以有|AB|=|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=2|CH|=2(3+1)=8

2222 例4:已知椭圆方程为x/b+y/a=1(a>b>0),求与这个椭圆有公共焦点的双曲线,使

得以它们的交点为顶点的四边形面积最大,并求相应的四边形的顶点坐标。

[分析]本题若通过解椭圆与双曲线联立的二元二次方程组求交点将十分麻烦。

2222[解]如图:设所求双曲线为x/α-y/β=-1,

22222依题意c=a-b=α+β(c为半焦距),两个焦点为F1、F2,

则|PF1|是椭圆的焦半径,又是双曲线的焦半径。

设椭圆与双曲线在第一象限的交点为P(x1,y1),则

|PF1|=e |PK|=e1 |PK1|

22 ∴|PF1|=c/a|a/c-y1|=c/β|y1-β/c|

∴a-cy1/a=cy1/β-β => y1=aβ/c

代入椭圆或双曲线方程得x1=bα/c,

于是以它们四个交点为顶点的四边形面积为:

2222 S=4(abαβ/c)≤2ab (α+β) /c=2ab

22 当且仅当α=β=c/ 2 = 2(a-b)/2时,Smax=2ab

2222 故所求双曲线方程为x-y= -(a-b)/2

由对称性,四个顶点的坐标分别为:

( 2b/2, 2a/2),(- 2b/2, 2a/2),(- 2b/2, -2a/2), (2b/2,- 2a/2)

三、显隐转化功能

从圆锥曲线的第二定义出发,分析题目的结构特征,有助于挖掘隐含在题目中的条件,从而使问题化隐为显,促成问题的快速解决。

22 例5:已知椭圆x/4+y/3=1内有一点P(1,-1),F为右焦点,椭圆上有一点M,使

|MP|+2|MF|值最小,求点M的坐标。

[分析]按常规思路,设M(x,y)求出右焦点F(1,0)

2222则|MP|+2|MF|= (x-1)+(y+1)+ 2 (x-1)+y

由此表达式求最小值是比较困难的,联想椭圆方程中隐含的特征量,发现式中的2即1/e,故2|MF|即为1/e|MF|

[解]由椭圆第二定义|MF|/|MN|= e

|MN|= |MF|/e

2当MN与PM共线,即过P作准线x=a/c的垂线

这条线与椭圆的交点就是所求的点M

此时M(2 6/3,-1)

四、联络功能

对于一些需综合运用各种数学思想方法和解题技巧的数学问题,圆锥曲线的第二定义,可在其中起到桥梁作用,使解题思路连贯畅通。

22 例6:已知双曲线x/25-y/144=1的左右焦点分别为F1和F2,能否在双曲线的左支上找

到一点P,使|PF1|是P到左准线的距离d与|PF2|的等比中项?若能,求出P的坐标,若不能,说明理由。

[分析]这是一道存在性探索问题,解题思路一般是:先假设存在,然后在合理的计算、推理或求解过程中做出准确的判断。圆锥曲线第二定义起到了条件联络转化的作用。

2 [解]根据题意:|PF1|=d|PF2|,即|PF2|/|PF1|=|PF1|/d= e

∴|PF2|= e|PF1|

∵|PF2|-|PF1|=2a=10 c=13 e=13/5

∴13|PF1|/5-|PF1|=10 |PF1|=25/4 |PF2|=65/4

∴|PF1|+|PF2|=45/2 又|F1F2|=26

从而|PF1|+|PF2|

∴符合条件的点P不存在。

范文二:圆锥曲线第二定义

大成培训教案

圆锥曲线第二定义及其应用

教学目标:理解熟悉圆锥曲线统一定义,会利用统一定义灵活解题; 教学重难点:会利用统一定义灵活解题; 教学过程: 

回顾圆锥曲线第二定义:

平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之 比是一个常数e(e>0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.

其中定点F(c,0)称为焦点,定直线l称为准线,正常数e称为离心率. 当0<e<1时,轨迹为 当e=1时,轨迹为 当e>1时,轨迹为 

统一定义的应用 一、焦点弦长

例1 过抛物线y24x的焦点F作直线交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2),若

x1x26,求|AB|的长。

例2 已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,其上的点P(m,3)到焦点的距离为5,则抛物线方程为

二、求离心率

xa

22

例3 设椭圆

yb

22

=1(a>b>0)的右焦点为F1,右准线为l1,若过F1且垂直于x轴

的弦的长度等于F1到准线l1的距离,求椭圆的离心率。

练习:已知过椭圆的左焦点F1且倾斜角为60°的直线交椭圆于A、B两点,若F1A=2F1B,则椭圆的离心率为________.

三、求点的坐标 例4 双曲线x1,求点P的坐标。

例5 P点在椭圆是 .

练习:1、抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是

x

2

2

y

2

3

1的右支上一点P,到左焦点F1与到右焦点F2的距离之比为2:

45

y

2

20

1上,F1、F2是两个焦点,若PF1PF2,则P点的坐标

2、点P在椭圆

点P的横坐标为_______

四、求离心率的范围

xa

22

x

2

25

y

2

9

1上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则

例6 已知椭圆

yb

22

1(ab0),F1、F2分别是左、右焦点,若椭圆上存在点P,

使∠F1PF2=90°,求椭圆的离心率e的取值范围。

xa

22

练习:若双曲线

yb

22

1(a>0,b>0)上横坐标为

3a2

的点到右焦点的距离大于它

到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是

五、求最值

例7 已知点A(23),设点F为椭圆

x

2

16

y

2

12

1的右焦点,点M为椭圆上一动

点,求|MA|2|MF|的最小值,并求此时点M的坐标。

练习:若点A的坐标为(3,2),F为抛物线y2=2x的焦点,点P在抛物线上移动,为使|PA|+|PF|取最小值,P点的坐标为( )

y

x

2

例8 已知点

Q(2

2

2,0)

2

及抛物线

4上一动点P(x,y),则y+|PQ|的最小值是_____

练习:1、椭圆

x

4

y

3

1内有一点P(1,1),F为右焦点,在椭圆上有一点M,使

MP2MF 之值最小,则点M的坐标为_______

x

2

y

2

2、已知点A(3,2),F(2,0),双曲线

|PA|

3

1

,P为双曲线上一点,求

12

|PF|的最小值。

例9 (海南宁夏卷理11)已知点P在抛物线y2 = 4x上,那么点P到点Q(2,-1)的

距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为 .

练习:(辽宁卷理10)已知点P是抛物线y2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 .

2

范文三:圆锥曲线第二定义解题

圆锥曲线第二定义解题

1.(2010年辽宁理数20)(本小题满分12分)

x2y2

设椭圆C:221(ab0)的左焦点为F,过点F的直线与椭圆C相交于A,

ab

B两点,直线l的倾斜角为60,AF2FB.

o

(I) (II)

求椭圆C的离心率; 如果|AB|=

15

,求椭圆C的方程. 4

x2y2

2.(2009全国二理数11.)已知双曲线C221a0,b0的右焦点为F,过F且斜

ab

C于A、B两点,若AF4FB,则C的离心率为A.

6759

B. C. D. 5585

x2y2

3.(2010全国二理数12)已知椭圆C:221(a>b>

0)的离心率为,过右焦点F

2ab



且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A、B两点.若AF3FB,则k

(A)1 (B

(C

)2

4. (2010·山东聊城模考)已知A、B为抛物线C:y2=4x上的不同两点,F为抛物线C的焦点,→→

若FA=-4FB,则直线AB的斜率为( )

2A.

3

33B. C.

24

4

D.3

5.(2010·泰安质检)如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的直线l依次交抛物线及其准线于点A、B、C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程是________.

6.(2010·黑龙江双鸭山质检)过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于A、B两点,mn若线段AF、BF的长分别为m、n,则等于

m+n

1

A. 2a

( ) a4

1

4a

C.2a

7.(2007重庆市22本小题满分12分,其中(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问8分)

如右图,中心在原点O的椭圆的右焦点为F(3,0),右准线l的方程为:x12. (Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)在椭圆上任取三个不同点P使P证明: 1、P2、P3,1FP2P2FP3P3FP1,

111

为定值,并求此定值. 

|FP1||FP2||FP3|

8.(本小题满分12分,(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问8如题(21)图,倾斜角为a的直线经过抛物线y2B两点。

题(21)图

(Ⅰ)求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程;

(Ⅱ)若a为锐角,作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P,证明|FP|-|FP|cos2a为定值,并求此定值。

x2y2

9.(2012年高考(江苏))如图,在平面直角坐标系xoy中,椭圆22

1(ab0)的左、右

ab

e焦点分别为F1(c,0).已知(1,e)和0),F2(c,都在椭圆上,其中e为椭圆的离

心率.(1)求椭圆的方程;(2)

设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,

BF2平行,AF2与BF1交于点P.

(i)若AF1BF2

,求直线AF1的斜率;(ii)求证:PF1PF2是定值(第9题)

x2y2

10.(2010年高考四川卷9)椭圆221(ab)的右焦点F,其右准线与x轴的

ab

交点为A,在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范

围是 (A

)

11

1,1 (D),1 (B)0, (C)

22

11. (2010年全国高考宁夏卷12)已知双曲线E的中心为原点,P(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(12,15),则E的方程式为

x2y2x2y2

(A) 1 (B) 1

3645x2y2

(C) 1

63x2y2

(D) 1

54

x2

12.(2010年高考湖北卷文科15)已知椭圆c:y21的两焦点为F1,F2,点P(x0,y0)满

2

2x0xx2

足0y01,则|PF1|+PF2|的取值范围为_______,直线0y0y1与椭圆C的公

22

共点个数_____。

22

13 若直线2xyc0按向量(1,1)平移后与圆xy5相切,则c的值为

( ) A.8或-2 B.6或-4 C.4或-6 14.(2010年高考山东卷理科)(本小题满分12分)

D.2或-8

x2y2如图,已知椭圆221(a>b>0

,以该椭圆上的点和椭圆的左、右

ab

焦点F1,F

2为顶点的三角形的周长为1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设

P为该双曲线上异于顶点的任一点,直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、

D.

(Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程;

(Ⅱ)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2,证明k1·k21;

CD恒成立?若存在,求的值;若不(Ⅲ)是否存在常数,使得ABCDAB存在,请说明理由.

15.(2010年高考安徽卷理科19)(本小题满分13分)

已知椭圆E经过点A2,3,对称轴为坐标轴,焦点

F1,F2在x轴上,离心率e

(Ⅰ)求椭圆E的方程;

1

。 2

(Ⅱ)求F1AF2的角平分线所在直线l的方程; (Ⅲ)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点? 若存在,请找出;若不存在,说明理由。

16.(2010年高考天津卷文科21)(本小题满分14分)

x2y2已知椭圆221(a>b>0)的离心率

e=,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积

2ab

为4.(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B,已知点A的坐标为(-a,0).

|= (i

)若|AB

,求直线l的倾斜角; 5



(0,y0)QB=4.求y0的值.

(ii)若点Q在线段AB的垂直平分线上,且QA

范文四:圆锥曲线第二定义学案

圆锥曲线第二定义练习学案

1.过抛物线y24x的焦点F作直线交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2),若x1x26,求|AB|的长。

x2y2

2. 设椭圆22=1(a>b>0)的右焦点为F1,右准线为l1,若过F1且垂直于x轴的弦的ab

长度等于F1到准线l1的距离,求椭圆的离心率。

y2

1的右支上一点P,到左焦点F1与到右焦点F2的距离之比为2:1,求3. 双曲线x3

点P的坐标。 2

4.点P在椭圆

标为_______

5. 抛物线上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点P的横坐上的两点A、B到焦点的距离和是5,则线段AB的中点到轴的距离为

6. 椭圆内有一点,F为右焦点,在椭圆上有一点M,使 之值最小,则点M的坐标为_______

x2y2

7. 已知椭圆221(ab0),F1、F2分别是左、右焦点,若椭圆上存在点P,使∠ab

F1PF2=90°,求椭圆的离心率e的取值范围。

x2y2

1的右焦点,点M为椭圆上一动点,求8. 已知点A(2),设点F为椭圆1612

|MA|2|MF|的最小值,并求此时点M的坐标。

9.椭圆x/25+y/9=1上有一点P,如果它到左准线的距离为5/2,那么P到右焦点的距离是 。

222210. F2是椭圆x/a+y/b=1(a>b>0)的右焦点,P(x0,y0)是椭圆上任一点,则|PF2|的值为:

A. ex0-a B. a-ex0 C. ex0-a D.e-ax0

11.过抛物线y=4x的焦点的一条直线交抛物线于A、B两点,若线段的中点的横坐标为3,则|AB|= 。

222212. 已知椭圆方程为x/b+y/a=1(a>b>0),求与这个椭圆有公共焦点的双曲线,使得以它

们的交点为顶点的四边形面积最大,并求相应的四边形的顶点坐标。

13. 已知椭圆x/4+y/3=1内有一点P(1,-1),F为右焦点,椭圆上有一点M,使|MP|+2|MF|值最小,求点M的坐标 22222

14. 已知双曲线x/25-y/144=1的左右焦点分别为F1和F2,能否在双曲线的左支上找到一点P,使|PF1|是P到左准线的距离d与|PF2|的等比中项?若能,求出P的坐标,若不能,说明理由。

1.解:设AB的中点为E,点A、E、B在抛物线准线l:x1上的射影分别为G、H、M。由第二定义知: 22

|AB||AF||BF||AG||BM|2|EH|2

。 x1x2(1)82

2. 解:如图,AB是过F1垂直于x轴的弦,|F1C|

为F1到准线l1的距离,AD⊥l1于D,则|AD|=|F1C|,由题意知|AF1|1|AB|。 2

由椭圆的第二定义知:

11|AB||AB||AF1|1e |AD||F1C||AB|2

3. 解:设点P(x0,y0)(x00),双曲线的左准线为l1:x

则点P到l1、l2的距离分别为d1x011,右准线为l2:x,2211,d2x0。 22

1

PF1d22,解得x3。 1所以,011PF2d22x02x0

将其代入原方程,得y03。 。因此,点P的坐标为,222

4.

a2aex0,7. 解:设点P(x0,y0),则由第二定义得|PF1|ex0c

a2|PF2|ex0aex0。

c

222因为PF1F2为直角三角形,所以|PF1||PF2||F1F2|。

即(aex0)2(aex0)2(2c)24c2 2解得x02c2a222,由椭圆方程中x的范围知。 0xa0e2

22c2a22e1。 0a,解得22e

8. 解:如图,过点A作右准线l的垂线,垂足为N,与椭圆交于点M。

∵椭圆的离心率e1 2

∴由第二定义得2|MF||MN|

∴|AM|2|MF|的最小值为|AN|的长,且|AN|2810

∴|AM|2|MF|的最小值为10,此时点M的坐标为(2,)

9. [解]设P到左准线距离为|PM|

由椭圆第二定义|PF1|/|PM|=e

∴|PF1|=e|PM|=4/5×5/2=2

又∵|PF1|+|PF2|=2a=10

∴|PF2|=8

2210. [解]设点P(x0,y0)到椭圆右准线x=a/c的距离为|PN|,则|PN|=a/c-x0 根据椭圆第二定

|PF2|=e|PN|=e(a/c-x0)=a-ex0,故选B

11. [解]过A、B两点向准线引垂线AM、BN

设AB中点为C(3,y0),过C向准线引垂线CH,

则CH是直角梯形ABNM的中位线。

∴|AM|+|BN|=2|CH|

2 抛物线y=4x的焦点为F(1,0),准线为x=-1

所以有|AB|=|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=2|CH|=2(3+1)=8

222212. [解]设所求双曲线为x/α-y/β=-1,

22222依题意c=a-b=α+β(c为半焦距),两个焦点为F1、F2, 2

则|PF1|是椭圆的焦半径,又是双曲线的焦半径。

设椭圆与双曲线在第一象限的交点为P(x1,y1),则

|PF1|=e |PK|=e1 |PK1|

22 ∴|PF1|=c/a|a/c-y1|=c/β|y1-β/c|

∴a-cy1/a=cy1/β-β => y1=aβ/c

代入椭圆或双曲线方程得x1=bα/c,

于是以它们四个交点为顶点的四边形面积为:

2222 S=4(abαβ/c)≤2ab (α+β) /c=2ab

22 当且仅当α=β=c/ 2 = 2(a-b)/2时,Smax=2ab

2222 故所求双曲线方程为x-y= -(a-b)/2

由对称性,四个顶点的坐标分别为:( 2b/2, 2a/2),(- 2b/2, 2a/2),(- 2b/2, -2a/2), (2b/2,- 2a/2)

13. [分析]按常规思路,设M(x,y)求出右焦点F(1,0)

2222则|MP|+2|MF|= (x-1)+(y+1)+ 2 (x-1)+y

由此表达式求最小值是比较困难的,联想椭圆方程中隐含的特征量,发现式中的2即1/e,故2|MF|即为1/e|MF|

[解]由椭圆第二定义|MF|/|MN|= e

|MN|= |MF|/e

2当MN与PM共线,即过P作准线x=a/c的垂线

这条线与椭圆的交点就是所求的点M

此时M(2 6/3,-1)

214. [解]根据题意:|PF1|=d|PF2|,即|PF2|/|PF1|=|PF1|/d= e

∴|PF2|= e|PF1|

∵|PF2|-|PF1|=2a=10 c=13 e=13/5

∴13|PF1|/5-|PF1|=10 |PF1|=25/4 |PF2|=65/4

∴|PF1|+|PF2|=45/2 又|F1F2|=26

从而|PF1|+|PF2|

∴符合条件的点P不存在。

范文五:圆锥曲线第二定义解析

圆锥曲线第二定义

圆锥曲线的第二定义(平面内到定点与到定直线距离的比为常数e的点的轨迹)是圆锥曲线概念的重要组成部分。揭示了圆锥曲线之间的内在联系,它不仅是研究圆锥曲线图象和性质的基础,而且在很多数学问题的求解过程中,具有不可低估的特殊功能。

一、导向功能

圆锥曲线第二定义对许多问题的求解,具有明显的导向作用,优先考虑第二定义,有助于启迪思路,理顺解题线索。

例1:椭圆x225+y29=1上有一点P,如果它到左准线的距离为52,那么P到右焦点的距离是 。

[分析]解题之前一定要认真审题,对有关曲线上一点到焦点、准线距离的问题,首先联想到圆锥曲线的第二定义。

[解]设P到左准线距离为PM

由椭圆第二定义PF1PM=e

∴PF1=ePM=45×52=2

又∵PF1+PF2=2a=10

∴PF2=8

例2:F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b0)的右焦点,P(x0,y0)是椭圆上任一点,则PF2的值为:

A. ex0-a B. a-ex0 C. ex0-a D.e-ax0

[分析]针对题中要求PF2的值,且各选项中含有e,从椭圆第二定义入手,问题不攻自破。

[解]设点P(x0,y0)到椭圆右准线x=a2c的距离为PN,则PN=a2c-x0 根据椭圆第二定义

PF2=ePN=e(a2c-x0)=a-ex0,故选B。

二、简化功能

巧用圆锥曲线的第二定义,可以简化复杂的变形与讨论,使问题简捷获解。

例3:过抛物线y2=4x的焦点的一条直线交抛物线于A、B两点,若线段的中点的横坐

标为3,则AB= 。

[分析]若按求焦点,设直线方程、联立方程组求AB过程繁琐,因此从定义出发。

[解]过A、B两点向准线引垂线AM、BN

设AB中点为C(3,y0),过C向准线引垂线CH,

则CH是直角梯形ABNM的中位线。

∴AM+BN=2CH

抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线为x=-1

所以有AB=AF+BF=AM+BN=2CH=2(3+1)=8

例4:已知椭圆方程为x2b2+y2a2=1(ab0),求与这个椭圆有公共焦点的双曲线,使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大,并求相应的四边形的顶点坐标。

[分析]本题若通过解椭圆与双曲线联立的二元二次方程组求交点将十分麻烦。

[解]如图:设所求双曲线为x2α2-y2β2=-1,

依题意c2=a2-b2=α2+β2(c为半焦距),两个焦点为F1、F2,

则PF1是椭圆的焦半径,又是双曲线的焦半径。

设椭圆与双曲线在第一象限的交点为P(x1,y1),则

PF1=e PK=e1 PK1

∴PF1=caa2c-y1=cβy1-β2c

∴a-cy1a=cy1β-β = y1=aβc

代入椭圆或双曲线方程得x1=bαc,

于是以它们四个交点为顶点的四边形面积为:

S=4(abαβc2)≤2ab (α2+β2) c2=2ab

当且仅当α=β=c 2 = 2(a2-b2)2时,Smax=2ab

故所求双曲线方程为x2-y2= -(a2-b2)2

由对称性,四个顶点的坐标分别为:

( 2b2, 2a2),(- 2b2, 2a2),(- 2b2, -2a2), (2b2,- 2a2)

三、显隐转化功能

从圆锥曲线的第二定义出发,分析题目的结构特征,有助于挖掘隐含在题目中的条件,从而使问题化隐为显,促成问题的快速解决。

例5:已知椭圆x24+y23=1内有一点P(1,-1),F为右焦点,椭圆上有一点M,使MP+2MF值最小,求点M的坐标。

[分析]按常规思路,设M(x,y)求出右焦点F(1,0)

则MP+2MF= (x-1)2+(y+1)2+ 2 (x-1)2+y2

由此表达式求最小值是比较困难的,联想椭圆方程中隐含的特征量,发现式中的2即1e,故2MF即为1eMF

[解]由椭圆第二定义MFMN= e

MN= MFe

当MN与PM共线,即过P作准线x=a2c的垂线

这条线与椭圆的交点就是所求的点M

此时M(2 63,-1)

四、联络功能

对于一些需综合运用各种数学思想方法和解题技巧的数学问题,圆锥曲线的第二定义,可在其中起到桥梁作用,使解题思路连贯畅通。

例6:已知双曲线x225-y2144=1的左右焦点分别为F1和F2,能否在双曲线的左支上找到一点P,使PF1是P到左准线的距离d与PF2的等比中项?若能,求出P的坐标,若不能,说明理由。

[分析]这是一道存在性探索问题,解题思路一般是:先假设存在,然后在合理的计算、推理或求解过程中做出准确的判断。圆锥曲线第二定义起到了条件联络转化的作用。

[解]根据题意:PF12=dPF2,即PF2PF1=PF1d= e

∴PF2= ePF1

∵PF2-PF1=2a=10 c=13 e=135

∴13PF15-PF1=10 PF1=254 PF2=654

∴PF1+PF2=452 又F1F2=26

从而PF1+PF2F1F2矛盾

∴符合条件的点P不存在。

范文六:圆锥曲线第二定义

圆锥曲线的二个定义

(1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F,F的距离的和等于常数

当常数小于

,且此常数,且此常数一定要大于,当常数等于时,轨迹是线段FF,时,无轨迹;双曲线中,与两定点F,F

的距离的差的绝对值等于常数一定要小于|FF|,定义中的“绝对值”与<|FF|不可忽视。若=|FF|,则轨迹是以F,F为端点的两条射线,若

掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。比如:

﹥|FF|,则轨迹不存在。若去

①已知定点,在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是

A.

B.

C.

D.(答:C);

②方程

表示的曲线是_____(答:双曲线的左支)

(2)第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点线距为分母”,其商即是离心率。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用第二定义对它们进行相互转化。

如已知点2)

一、求焦点弦长 及抛物线上一动点P(x,y),则y+|PQ|的最小值是_____(答:

例1 过抛物线y24x的焦点F作直线交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2),若x1x26,求|AB|的长。

解:设AB的中点为E,点A、E、B在抛物线准线l:x1上的射影分别为G、H、M。由第二定义知:

|AB||AF||BF||AG||BM|2|EH|2x1x2(1)8。 2

二、求离心率

x2y2

例2 设椭圆22=1(a>b>0)的右焦点为F1,右准线为l1,若过F1且垂直于x轴ab

的弦的长度等于F1到准线l1的距离,求椭圆的离心率。

解:如图,AB是过F1垂直于x轴的弦,|F1C|为F1到准线l1的距离,AD⊥l1于D,则|AD|=|F1C|,由题意知|AF1|

由椭圆的第二定义知: 1|AB|。 2

11|AB||AB||AF|11e |AD||F1C||AB|2

三、求点的坐标

y2

例3 双曲线x1的右支上一点P,到左焦点F1与到右焦点F2的距离之比为2:3

1,求点P的坐标。 2

解:设点P(x0,y0)(x00),双曲线的左准线为l1:x11,右准线为l2:x,22

11则点P到l1、l2的距离分别为d1x0,d2x0。 22

1

PF1d22,解得x3。 所以,10112PF2d2x02x0

将其代入原方程,得y03。 。因此,点P的坐标为,222

四、求焦半径

(圆锥曲线上的点P到焦点F的距离)的计算方法:利用圆锥曲线的第二定义,转化到相应准线的距离,即焦半径,其中表示P到与F所对应的准线的距离。比如:

1、点P在椭圆上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点P的横坐标为_______(答:);

2、抛物线上的两点A、B到焦点的距离和是5,则线段AB的中点到轴的距离为______(答:2);

3、椭圆内有一点,F为右焦点,在椭圆上有一点M,使 之值最小,则点M的坐标为_______(答:

五、求离心率的范围 );

x2y2

例4 已知椭圆221(ab0),F1、F2分别是左、右焦点,若椭圆上存在点P,ab

使∠F1PF2=90°,求椭圆的离心率e的取值范围。

a2解:设点P(x0,y0),则由第二定义得|PF1|ex0caex0,



a2|PF2|ex0aex0。 c

因为PF1F2为直角三角形,所以|PF1|2|PF2|2|F1F2|2。

即(aex0)2(aex0)2(2c)24c2 2解得x02c2a22a2。 ,由椭圆方程中x的范围知0x02e

2c2a222,解得0ae1。 22e

五、求最值

x2y2

例5 已知点A(23),设点F为椭圆1的右焦点,点M为椭圆上一动1612

点,求|MA|2|MF|的最小值,并求此时点M的坐标。

解:如图,过点A作右准线l的垂线,垂足为N,与椭圆交于点M。

∵椭圆的离心率e1 2

∴由第二定义得2|MF||MN|

∴|AM|2|MF|的最小值为|AN|的长,且|AN|2810

∴|AM|2|MF|的最小值为10,此时点M的坐标为(23,)

范文七:圆锥曲线第二定义

圆锥曲线第二定义解题例说

圆锥曲线的第二定义出现在例题中,教材中没有专门举例说明其应用,有很多同学对其认识不足,为此本文举例说明第二定义的应用。

一、求焦点弦长

例1 过抛物线y24x的焦点F作直线交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2),若x1x26,求|AB|的长。

解:设AB的中点为E,点A、E、B在抛物线准线l:x1上的射影分别为G、H、M。由第二定义知:

x1x2|AB||AF||BF||AG||BM|2|EH|2(1)82

二、求离心率

x2y2

例2 设椭圆22=1(a>b>0)的右焦点为F1,右准线为l1,若过F1且垂直于x轴ab

的弦的长度等于F1到准线l1的距离,求椭圆的离心率。

解:如图,AB是过F1垂直于x轴的弦,|F1C|为F1到准线l1的距离,AD⊥l1于D,则|AD|=|F1C|,由题意知|AF1|

1|AB|。 2

由椭圆的第二定义知:

11|AB||AB||AF1|1e |AD||F1C||AB|2

三、求点的坐标

y2

1的右支上一点P,到左焦点F1与到右焦点F2的距离之比为2:例3 双曲线x3

1,求点P的坐标。 2

解:设点P(x0,y0)(x00),双曲线的左准线为l1:x11,右准线为l2:x,22

11

则点P到l1、l2的距离分别为d1x0,d2x0。 22

1x0PF1d12211,解得PF2d2x02所以,3x02。 将其代入原方程,得y03。 。因此,点P的坐标为,222

四、求离心率的范围

x2y2

例4 已知椭圆221(ab0),F1、F2分别是左、右焦点,若椭圆上存在点P,ab

使∠F1PF2=90°,求椭圆的离心率e的取值范围。

a2aex0,解:设点P(x0,y0),则由第二定义得|PF1|ex0c

a2aex0|PF2|ex0c。 

222因为PF1F2为直角三角形,所以|PF1||PF2||F1F2|。

即(aex0)2(aex0)2(2c)24c2 2解得x02c2a222,由椭圆方程中x的范围知。 0xa0e2

22c2a22e1。 0a,解得22e

五、求最值

x2y2

1的右焦点,点M为椭圆上一动例5 已知点A(2),设点F为椭圆1612

点,求|MA|2|MF|的最小值,并求此时点M的坐标。

解:如图,过点A作右准线l的垂线,垂足为N,与椭圆交于点M。

∵椭圆的离心率e1 2

∴由第二定义得2|MF||MN|

∴|AM|2|MF|的最小值为|AN|的长,且|AN|2810

∴|AM|2|MF|的最小值为10,此时点M的坐标为(2,)

范文八:巧用圆锥曲线第一定义

圆锥曲线第一定义,是个重要概念,对它的准确理解与正确运用,是学好圆锥曲线的关键.本文以椭圆和双曲线说下其应用.

一、焦半径

【例1】 设F1,F2是双曲线x216-y220=1的左、右焦点,点P在双曲线上,若点P到焦点F1的距离等于9,求点P到焦点F2的距离.

分析:已知双曲线上的点到一个焦点的距离,求该点到另一个焦点的距离是双曲线第一定义的直接利用形式.

解析:由||PF1|-|PF2||=8及|PF1|=9,得|PF2|=1或17.

由2a=8,c2=36c=6知右支的顶点到F1的距离为10,而已知|PF1|=9,说明点P在左支上,此时,

|PF2|≥10,所以,点P到焦点F2的距离为17.

点评:此类问题可以是一解,也可以是两解.如,当|PF1|≥10时,有两解;当2≤|PF1|  二、焦点三角形

【例2】 如图,双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)

其焦点为F1,F2,过F1作直线交双曲线的左支于A,B两点,且|AB|=n,则△ABF2的周长为 .

分析:本题中AF1,AF2,BF1,AF2都是焦半径,而△ABF2的周长恰好是这四条焦半径之和,应用第一定义便可求解.

解析:由

|AF2|-|AF1|=2a

|BF2|-|BF1|=2a

|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=4a;

由|AF1|+|BF1|=|AB|=n,∴|AF2|+|BF2|=4a+n;

故△ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2n.

反思:本题结合定义,求出|AF2|+|BF2|,再求周长,简便易行;假如本题未给图形及条件“过F1作直线交双曲线的左支于A,B两点”中“左支”两字,情况又会怎样呢?

点评:本题考查的是双曲线的定义及常规的运算能力;运算过程既要注重方程思想又要注重分类讨论思想,体现了重思维、轻运算这一大纲要求.

【例3】 设F1,F2是双曲线x24-y245=1左右两个焦点,P是双曲线左支上的点,已知|PF1|、|PF2|、|F1F2|成等差数列,且公差大于0,则∠F1PF2= ,点P的横坐标为 .

提示:由|PF1|+|F1F2|=2|PF2|,|PF2|-|PF1|=4,得|PF1|=6,|PF2|=10,又2c=14,由余弦定理可得cos∠F1PF2=-12,∴∠F1PF2=120°.由|PF1|=-(ex-a)=6,即-(72x+2)=6,得x=-167.

三、类比与联想

【例4】 解方程x2+4x+7+x2-4x+7=6.

分析:对第一个式子配方,得(x+2)2+3.联想两点间的距离公式,可设y2=3,此时变为(x+2)2+y2,问题即可解决.

解析:原方程可变为(x+2)2+3+(x-2)2+3=6,令y2=3,

则方程以变为(x+2)2+y2+(x-2)2+y2=6,显然,点(x,y)在以(-2,0),(2,0)为焦点,实轴长为6的双曲线上,易得其方程为x29+y25=1.

由x29+y25=1y2=3,得x=±3105.

点评:本题假设y2=3,使问题很巧妙地转化为几何问题,再结合椭圆的第一定义使问题获解,这种方法体现了类比、联想思想.

四、最值问题

【例5】 如图,M是以A、B为焦点的双曲线x2-y2=2右支上任一点,若点M到点C(3,1)与点B的距离之和为S,则S的取值范围是( ).

A.[26+2,+∞)

B.[26-22,+∞)

C.[26-22,26+22)

D.[26-2,+∞)

解法如下:

连结MA,由双曲线的第一定义可得:|MB|+|MC|=|MA|-2a+|MC|

=|MA|+|MC|-22≥|AC|-22=26-22,

当且仅当A、M、C三点共线时取得最小值.

如果此题就到此为止,未免太可惜了,可以引导学生作如下的探究:

(1)如果M点在左支上,则点M到点C(3,1)与点B的距离之和为S,则S的取值范围是多少?

(2)如果M是以A、B为焦点的椭圆x24+y23=1上任一点,若点M到点C 12,1 与点B的距离之差为S,则S的最大值是多少?

(3)如果M是以A、B为焦点的椭圆x24+y23=1上任一点,若点M到点C 12,1 与点B的距离之和为S,则S的取值范围是多少?

|MB|+|MC|=2a-|MA|+|MC|=2a-(|MA|-|MC|)

分析:连结MA,由椭圆的第一定义可得:

|MB|+|MC|=2a-|MA|+|MC|=2a-(|MA|-|MC|),当且仅当A、M、C三点共线时取得最大、最小值,如上图所示.对于抛物线,也有类似的结论,由于较简单,在此就不一一列举了.

【例6】 双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为( ).

A.(1,3) B.(1,3]

C.(3,+∞)D.[3,+∞)

分析:若能利用双曲线的第一定义,则迅速获解.解法如下:不妨设|PF2|=m,则|PF1|=2m,

故a=m,由|PF1|+|PF2|≥|F1F2|可得3m≥2ce=ca≤3,∴1  圆锥曲线的第一定义这一重要概念应用广泛,应引起足够的重视.特别是求解有关圆锥曲线的最值问题时,若能根据题目的实际条件,考虑用圆锥曲线的定义来求解,就能起到出奇制胜的效果.总而言之,在教学过程中,不应轻易错过某一细节.如果能够对一些细节问题进行探究反思,就可以提高教学质量,从而提高学生的数学成绩.

(责任编辑 黄桂坚)

范文九:圆锥曲线的第三定义

圆锥曲线的第三定义及运用

一、 椭圆和双曲线的第三定义

1. 椭圆

x2y2

在椭圆C221a

ab

b

0中,A、B是关于原点对称的两点,P是椭圆上异于A、B的一

b2

点,若kPA、kPB存在,则有:kPAkPB=e1=2

a

2

b2

kMOkPB=e1=2证明:构造△PAB的PA边所对的中位线MO,由点差法结论:kPAkMO,

a

2

知此结论成立。

2. 双曲线

x2y2

在双曲线C221中,A、B是关于原点对称的两点,P是椭圆上异于A、B的一点,若kPA、kPB

ab

b2

存在,则有:kPAkPB=e1=2

a

2

证明:只需将椭圆中的b全部换成b就能将椭圆结论转换成双曲线的结论。

22

二、 与角度有关的问题

x2y2

例题一:已知椭圆C

221a

ab

b

0的离心率e

A、B是椭圆的左右顶点,为椭圆与双曲x2y2cos1的一个交点,令PAB=,APB=,则=线 78cos2 .

解答:

2

令PBx=,由椭圆第三定义可知:tantan=e1=

1 4

coscoscossinsin1tantan3cos

===

cos2coscoscossinsin1tantan5点评:

其实所谓的双曲线方程只是一个障眼法,并不影响题目的解答。两顶点一动点的模型要很快的联想到第三定义,那么剩下的任务就是把题目中的角转化为两直线的倾斜角,把正余弦转化为正切。题目中的正余弦化正切是三角函数的常见考点☆。

变式1-1:(石室中学2015级高二下4月18日周末作业)

已知双曲线C:x2y22015的左右顶点分别为A、B,P为双曲线右支一点,且PAB=4APB,求

PAB= .

解答:

令PAB=0,PBA=0,则=5,由双曲线的第三定义知:



22

tantan=tantan5=e21=1

则:tan=

1

=tan5=5=

tan52122

点评:

与例题1采取同样的思路转化角,但对于正切转换的要求较高。两锐角正切乘积为1即表示sinα=cosβ,cosα=sinβ两角互余☆,则可解出α的值。当然双曲线的题目较于椭圆和抛物线题目考试概率较小,但既然提到了双曲线的第三定义,不妨做一做。

三、 与均值定理有关的问题

x2y2

例题2:已知A、B是椭圆221a

ab

b

0 长轴的两个端点,M、N是椭圆上关于x轴对称的两

点,直线AM、BN的斜率分别为k1、k2,且k1k20。若k1k2的最小值为1,则椭圆的离心率为

.

解答一(第三定义+均值):

由题意可作图如下:

连接MB,由椭圆的第三定义可知:kAM

b2b2

kBM=e1=2,而kBMkBN

k1k2=2

aa

2

k1k22bb1=1=eaa2

解答二(特殊值法):

这道题由于表达式k1k2



min

1非常对称,k1=k2=

1

时可取最值,2

则M、N

分别为短轴的两端点。此时:k1=k2=

b1。 =ea2点评:

对于常规解法,合理利用M、N的对称关系是解题的关键,这样可以利用椭圆的第三定义将两者斜率的关系联系起来,既构造了“一正”,又构造了“二定”,利用均值定理“三相等”即可用a、b表示出最值1。当然将k1k2前的系数改为不相等的两个数,就不能利用特殊值法猜答案了,但常规解法相同,即变式

2-1。

x2y2

变式2-1:已知A、B是椭圆221a

ab

b

0 长轴的两个端点,M、N是椭圆上关于x轴对称的

两点,直线AM、BN的斜率分别为k1、k2,且k1k2

012的最小值为1,则椭圆的离心率为

.

解答:

连接MB,由椭圆的第三定义可知:kAM

b2b2

kBM=e1=2,而kBMkBN

k1k2=2

aa

2

12

4bb1=1=e=aa44

x2y2

变式2-2:已知A、B是椭圆221a

ab

b

QB0长轴的两个端点,若椭圆上存在Q,使A

2

,3

则椭圆的离心率的取值范围为 .

解答一(正切+均值):

令Q在x轴上方,则直线QA的倾斜角为0,直线QB的倾斜角为, 。

22





tantan

AQB,,tanAQBtan

1tantan2b2b2

由椭圆的第三定义:tantan=2,则tan=2

aatanb2b2

tan22tanatantantan

带入可得:=2=

bb21tantan

121

2

aa

2b

=2ab (取等条件:tanb,即Q为上顶点) b2a2b2a1212

aa1而tanx在,单增,则Q为上顶点时AQBmax,所以此时AQB,

故e32



2

解答二(极限法):

当Q趋近于A、B两点时,AQB

2

(此时Q点所在的椭圆弧趋近于以AB为直径的圆的圆

弧,AQB相当于直径所对的圆周角);当Q在A、B间运动时AQB的圆内部,AQB

2

(Q在以AB为直径

直径所对的圆周角=90°),由椭圆的对称性可猜测当Q为短轴端点时

AQBmax。

由于:椭圆上存在Q,使AQB

22

,那么 Q为短轴端点时AQBmax。 33

2a,

此时e;当椭圆趋于饱满(e0)3b取临界情况,即Q为短轴端点时AQB

时,椭圆趋近于圆,圆的直径所对的圆周角永远为90°,不满足;当椭圆趋于线段(e1)时,

,满足。故。 e1AQB

max

3

当然这些只需要在头脑中一想而过,简洁而有逻辑。

点评:

这道题可以增加对于圆周角的理解,在用极限法讨论:“当Q趋近于A、B两点时,AQB

2

时能会颠覆“AQB”的认知,当然这肯定是错的,结合常规解法可以看出此时是角最小的情况,而不是角最大的情况。要搞清楚,不然会被弄晕的。对于常规解法选择正切表示角的大小的原因有二:①与第三定义发生联系②tanx在,单增便于利用tanx的大小比较角度的大小。

2





四、 总结归纳

1. 上述部分题目的常规解法较复杂,但做题时一定要能猜答案,而且要猜得有理由。

2. 对于均值不等式,注意取等条件是“三相等”,即相等时取最值。这可以帮助猜测表达形式是高度

对称的式子的最值,如:例题

2

2-2中P在椭圆上滑动,角度的变

3. 极限法可以刻画出单调变化的某一变量的端点值,如:变式化一定是光滑的(无突变,连续), 所以只需考虑边界值。

4. 做几何的选填题时,有时利用圆周角定理可以很快的找到最大角,注意学会恰当运用,如:变式

2-2。

5. 常以正切值刻画角度大小。

6. 在做综合性较大的题目时要联系各种知识,灵活转化,以最巧妙的方法致胜。

7. . 8. .

五、 方法链接

针对上文提到的“圆周角找最大角”与“椭圆中另一类均值”进行拓展补充,各附例题。

例题3:在平面直角坐标系XOY中,给定两点M1,2 和N1,4,点P在X轴上移动,当MPN取

最大值时,点P的横坐标为 .

解答一(正切+均值):

已知:M1,2 、N1,4,lMN:yx3与x轴交于P03,0 令Pt,0,则:kMP① 当t3时,=0 ② 当t

24

,kNP,MPN= 1t1t

3时,lMP的倾斜角较大,tan=

kMPkNP2t6

=2

1kMPkNPt

7

令xt30,

则tan=

2t62x2(tan==22

t7x6x16x6x0)

此时x4,t1,max③ 当t

4

3时,lNP的倾斜角较大,tan=

kNPkMP2t6

=2

1kMPkNPt7

xt

30,则tan=

2t62x21

==t27x26x16x1667x(tan0)

1

7

此时x4,t7,tanmax

由于0,,且tan在0,上单增,tan01,

max

4

,此时t1

解答二(圆周角定理):

本题中的取极值时的P点的几何意义为:过M、N的圆与x轴切于P点。下面给出证明:

证明:以与x轴切于P2点的圆满足所求最大角为例:

由于lMN:yx3是过M、N两点的圆的一条弦,由垂径定理知圆心在l:yx3上 随着圆心横坐标从0开始增大:当半径r较小时,圆与x

轴无交点;当半径稍大一点时,圆

与x轴相切,有一个交点;当半径更大一点时,圆与x轴有两交点P3、P4。 此时:根据圆周角定理:MP3NMP4N

MQN=MP2N,可知:圆与x轴相切时,

MPNmax。

R较小的情况(圆与x轴相离) R较大的情况(圆与x轴相交于P3、P4)

所以:过M、N的圆与x轴切于P3、P4点时,分别有MPNmax

与MP只需比较MPN12N,哪一个更大。

令与x轴相切的圆的圆心为x,y ,则切点Px,0,半径为y

222x1y2y2圆满足:x6x70x7or1 (消去y)

222

x1y4y

比较可知:当x=1时,MPNmax

点评:

常规方法依旧是利用正切度量角的大小,但注意用倾斜角表示所求角时要用大角减去小角,才能得到正角;均值时要注意以分子(一次)为新元构建均值。用圆周角角的性质解答,只要转化为切点,解一个方程组,比较两个角谁大就行了。(不比较也行,画图可知右边角大于左边角:弦长相等,半径越大,弦所对的圆周角越小。)其实两种解法的难度是一样,只是一种要写得多,一种要想得多。☆

变式3-1:若G为△ABC的重心,且AGBG,则sinC的最大值为 .

解答一(余弦定理+均值):

1

xxxxG3ABC

Ca,b

令G0,0,Aa,0,B0,b,则由

1yyyyGABC

3

由点间的距离公式:AB

AC

BC222

4a2b2a24b2a2b2ACBCAB由余弦定理:

cosC2AC

BC4a2b2

2a2b2ab

2

5

ab

2

2

2

cosC

4330sinCsinCmax 555

解法二(圆周角定理):

令A1,0,B1,0,Gsin,cos,则C3sin,3cos

题目转化为:A1,0,B1,0,Cx,y满足:xy9,求sinC的最大值。

2

2

目测可知C0,

3

时,ABCmax,下面以C'0,3来证明。

2015.1.23-24 JZX

过A1,0,B1,0,C'0,3作圆O:

若C不在C'点,令AC交圆O于Q点。由圆周角定理:ACB

此时由余弦定理cosCmin=AQBAC'B 证得 43sinCmax 55

点评:

可以说这道题与例题3有异曲同工之妙,直观感觉加上圆周角定理可以说是画几个圆就解出题

了。其实余弦函数在0,单调,也可用来度量角的大小。

不过更值得一提的是两种方法以不同的方式,间接地表现了题中点的关系,设点的方式☆值得思

考领悟。解法一照顾垂直结论,把重心放在原点,利用重心的坐标很好地刻画了C点的坐标;解法二联系圆的直径所对圆周角为直角表示垂直条件,以同样方式刻画C点的坐标。两种方式都完全的展现了题目中的关系。

x2y2例题4:(对椭圆用均值):过椭圆221abab1上一点P引圆O:x2y21的两条切线PA、

PB,其中A、B为切点,直线AB与x轴、y轴分别相交于M、N,则△OMN面积的最小值为 .

解答:设Px0,y0x02y022x0y0ab,P

点满足2211 xy00baab2

Px0,y0在圆外,则圆的切点弦方程为:x0xy0y1M11,0、M0,

x0y0

SOMN111OMON=22x0y0ab

点评:

解法巧妙,很难想到,权当欣赏。注意看到题目就要马上联想到圆的切点弦方程,当遇到面积表达式中含有x0y0时,可对椭圆进行均值,构造x0y0的范围。

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范文十:对圆锥曲线第二定义的再探究

在平面直角坐标系中,点P(x,y)为动点,已知点A2,0,B-2,0,直线PA与PB的斜率之积为-12.

(1)求动点P的轨迹E的方程;

(2)过点F(1,0)的直线l交曲线E于M,N两点,设点N关于x轴的对称点为Q(M,Q不重合),求证:直线MQ过x轴上一定点.

答案:(1)x22+y2=1;(2)通过证明得到定点为2,0.

我们发现第(2)问中,求出的定点2,0为椭圆x22+y2=1的准线x=2与x轴的交点.

对于一般的圆、椭圆、双曲线、抛物线是否有类似结论?是否需要满足什么特殊的条件?能否抽象概括出圆锥曲线的一个通性呢?如果是这样的话,则问题就有了研究的价值.为了增加问题研究的可行性,避免劳而无功,笔者先用几何画板对抛物线、椭圆、双曲线分别进行验证,其结果都是成立的.笔者在问题的驱动下马上拿出笔和草稿纸进行运算推理,最终证明上述猜想是正确的,现将主要结论和证明整理成文与大家分享.

推广1:已知圆x2+y2=R2R>0,过圆内点A(m,0)任作一直线l交椭圆于M,N两点,设点N关于x轴的对称点为Q(M,Q不重合),则直线MQ过x轴上一定点R2m,0.

证明:与椭圆的证明一致,见椭圆证明.