圆锥曲线解题技巧

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范文一:直线与圆锥曲线解题技巧

直线与圆锥曲线解题技巧

22

1.已知动点M的坐标满足方程13xy|12x5y12|,则动点M的轨迹是( )

A. 抛物线 B.双曲线 C. 椭圆 D.以上都不对

x2y2

1上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x2y0,F1、F22.设P是双曲线29a

分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1 A. 1或5

B. 1或9

|5,则|PF2|( )

C. 1 D. 9

3、设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2

为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( ).

A.

B. 21

C. 2

D. 2

1

4.过点(2,-1)引直线与抛物线yx2只有一个公共点,这样的直线共有( )条 A. 1 B.2

C. 3 D.4

5.已知点A(2,0)、B(3,0),动点P(x,y)满足y2,则点P的轨迹是 ( ) A.圆 B.椭圆

C.双曲线 D.抛物线

x2y2

1的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是( ) 6.如果椭圆

369

x2y0 x2y402x3y120 x2y80

22

7、无论为何值,方程x2siny1所表示的曲线必不是( )

A. 双曲线

2

B.抛物线 C. 椭圆 D.以上都不

2

2

8.方程mxny0与mxny1(mn0)的曲线在同一坐标系中的示意图应是

A B C D

题型一:数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系

x2y2

1始终有交点,求m的取值范围 例题1、已知直线l:ykx1与椭圆C:

4m

规律提示:通过直线的代数形式,可以看出直线的特点: l:ykx1过定点(01,) l:yk(x1)过定点(1,0) l:y2k(x1)过定点(1,2)

证明直线过定点,也是将满足条件的直线整理成以上三种形式之一,再得出结论。

练习:1、过点P(3,2) 和抛物线yx23x2 只有一个公共点的直线有( )条。

A.4 B.3 C.2 D.1

题型二:弦的垂直平分线问题

例题2、过点T(-1,0)作直线l与曲线N :yx交于A、B两点,在x轴上是否存在一点E(x0,0),使得ABE是等边三角形,若存在,求出x0;若不存在,请说明理由。 解:

2

13x2y2

练习1:已知椭圆C:221(ab0)过点(1,),且离心率e。

22ab

(Ⅰ)求椭圆方程;

(Ⅱ)若直线l:ykxm(k0)与椭圆交于不同的两点M、N,且线段MN的垂直平分线过定点G(,0),求k的取值范围。 解:

18

题型三:动弦过定点的问题

x2y2例题3、已知椭圆C:221(ab

0)的离心率为,且在x轴上的顶点分别为

ab2

A1(-2,0),A2(2,0)。

(I)求椭圆的方程;

(II)若直线l:xt(t2)与x轴交于点T,点P为直线l上异于点T的任一点,直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点,试问直线MN是否通过椭圆的焦点?并证明你的结论。

例题4 已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3;最小值为1;

(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;

(Ⅱ)若直线l:ykxm与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标。

2

练习:直线l:ykxm和抛物线y2px相交于A、B,以AB为直径的圆过抛物线的

顶点,证明:直线l:ykxm过定点,并求定点的坐标。 解:

题型五:共线向量问题

uuuruuurx2y2

1于P、Q两点,且DP=lDQ,求实数l例题7、设过点D(0,3)的直线交曲线M:

94

的取值范围。

练习:已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,它的一个顶点恰好是抛物线x24y的焦

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)点P为椭圆上一点,弦PA、PB分别过焦点F1、F2,(PA、PB都不与x轴垂直,其



点P的纵坐标不为0),若PF11F1A,PF22F2B,求12的值。

解:

题型六:面积问题

x2y26

例题8、已知椭圆C:221(a>b>0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的

ab3

距离为。

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为面积的最大值。 解:

,求△AOB2

x2

y21交于A、B两点,记ABC的面积为S。

练习1如图,直线ykxb与椭圆4

(Ⅰ)求在k0,0b1的条件下,S的最大值; (Ⅱ)当2,S1时,求直线AB的方程。 解:

题型七:弦或弦长为定值问题

例题9、在平面直角坐标系xOy中,过定点C(0,p)作直线与抛物线x2=2py(p>0)相交于A、B两点。

(Ⅰ)若点N是点C关于坐标原点O的对称点,求△ANB面积的最小值;

(Ⅱ)是否存在垂直于y轴的直线l,使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值?若存在,求出l的方程;若不存在,说明理由。(此题不要求在答题卡上画图) 练习

x2y2

设椭圆E: 221(a,b>0)过M(2

两点,O为坐标原点,

ab

(I)求椭圆E的方程;

(II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且



OAOB?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。

解:

题型八:角度问题

例题9、(08重庆理)如图(21)图,M(-2,0)和N(2,0)是平面上的两点,动点P满足:PMPN

6.

(Ⅰ)求点P的轨迹方程;

PN=(Ⅱ)若PM解:

2

,求点P的坐标.

1cosMPN

练习1、已知方向向量为v=(1,

)的直线l过点(0,-2)和椭圆C:

x2y2

21(a>b>0)的焦点,且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上. 2ab

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)是否存在过点E(-2,0)的直线m交椭圆C于点M、N,满足

OMON

请说明理由.

4

6cot∠MON≠0(O为原点).若存在,求直线m的方程;若不存在,3

问题九:四点共线问题

x2y2

例题10、设椭圆C:221(ab

0)过点M

,且着焦点为F1(

ab

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相交与两不同点A,B时,在线段AB上取点Q,



满足APQBAQPB,证明:点Q总在某定直线上

x2y2,右准线为l,练习设椭圆221 (ab0)的左、右焦点分别为F1、F

2,离心率eab

M、N是l上的两个动点,FMF2N0.

1



(Ⅰ)若|FM||F2N|a、b的值; 1



(Ⅱ)证明:当|MN|取最小值时,FMF2N与F1F2共线. 1

问题十:范围问题(本质是函数问题)

x2y2

例题1、已知直线yx1与椭圆221(ab0)相交于A、B两点。

ab

(1)若椭圆的离心率为

3

,焦距为2,求线段AB的长; 3

12

2]2

(2)若向量(其中O为坐标原点),当椭圆的离心率e[,与向量互相垂直

时,求椭圆的长轴长的最大值。

x2y2

设椭圆E: 221(a,b>0)过M(2

两点,O为坐标原点,

ab

(I)求椭圆E的方程;

(II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且



OAOB?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。

解:

问题十一、存在性问题:

x2y2

设椭圆E: 221(a,b>0)过M(2

两点,O为坐标原点, ab

(I)求椭圆E的方程;

(II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。

解:

练习设mR,在平面直角坐标系中,已知向量a(mx,y1),向量b(x,y1),ab,动点

M(x,y)的轨迹为E.

(1)求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;

(2)已知m 1,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交4

点A,B,且OAOB(O为坐标原点),并求出该圆的方程;

(3)已知m1222,设直线l与圆C:xyR(1

点B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值.

解:

11

范文二:圆锥曲线问题解题技巧

圆锥曲线的综合问题包括 解析法的应用,与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题,圆锥曲线知识的纵向联系,圆锥曲线知识和三角、复数等代数知识的横向联系,解答这部分试题,需要较强的代数运算能力和图形认识能力,要能准确地进行数与形的语言转换和运算,推理转换,并在运算过程中注意思维的严密性,以保证结果的完整。

重难点归纳

解决圆锥曲线综合题,关键是熟练掌握每一种圆锥曲线(包括椭圆、双曲线、抛物线)的定义、标准方程、图形与几何性质,注意挖掘知识的内在联系及其规律,通过对知识的重新组合,以达到巩固知识、提高能力的目的

(1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题,需构造参数满足的不等式,通过求不等式(组)求得参数的取值范围;或建立关于参数的目标函数,转化为函数的值域。

(2)对于圆锥曲线的最值问题,解法常有两种 当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,可考虑利用数形结合法解;当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立目标函数,再求这个函数的最值。

典型题例示范讲解

如图,已知椭■+■=1(2≤m≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D,设f(m)=||AB|-|CD||

(1)求f(m)的解析式;

(2)求f(m)的最值.

解 (1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、c,则a2=m,b2=m-1,c2=a2-b2=1

∴椭圆的焦点为F1(-1,0),F2(1,0)

故直线的方程为y=x+1,又椭圆的准线方程为x=±■,即x=±m。

∴A(-m,-m+1),D(m,m+1)

考虑方程组y=x+1■+■=1,消去y得:(m-1)x2+m(x+1)2=m(m-1)

整理得:(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0

Δ=4m2-4(2m-1)(2m-m2)=8m(m-1)2

∵2≤m≤5,∴Δ>0恒成立,xB+xC=■.

又∵A、B、C、D都在直线y=x+1上

∴|AB|=|xB-xA|=■=(xB-xA)·■,|CD|=(xD-xC)

∴||AB|-|CD||=|xB-xA+xD-xC|=■|(xB+xC)-(xA+xD)|

又∵xA=-m,xD=m,∴xA+xD=0

∴||AB|-|CD||=|xB+xC|·■=|■|·■=(2≤m≤5)

故f(m)=■,m∈[2,5]

(2)由f(m)=■,可知f(m)=■

又2-■≤2-■≤2-■,∴f(m)∈■,■

故f(m)的最大值为■,此时m=2;f(m)的最小值为■,此时m=5

本题主要考查利用解析几何的知识建立函数关系式,并求其最值,体现了圆锥曲线与代数间的密切关系 主要应用直线与圆锥曲线的交点,韦达定理,根的判别式,利用单调性求函数的最值等知识点一定要注意在第(1)问中,要注意验证当2≤m≤5时,直线与椭圆恒有交点 第(1)问中,若注意到xA,xD为一对相反数,则可迅速将||AB|-|CD||化简 第(2)问,利用函数的单调性求最值是常用方法。

(作者单位:山东省淄博市第四中学)

范文三:圆锥曲线解题技巧

圆锥曲线:概念、方法、题型、及技巧总结

1.圆锥曲线的定义:

(1)定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F1,F2的距离的和等于常数2a,且此常数2a一定要大于F1F2,当常数等于F1F2时,轨迹是线段F1F2,当常数小于F1F2时,无轨迹;双曲线中,与两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数2a,且此常数2a一定要小于|F1F2|,定义中的“绝对值”与2a<|F1F2|不可忽视。若2a=|F1F2|,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线,若2a﹥|F1F2|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

如 (1)已知定点F1(3,0),F2(3,0),在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 A.

D.PF12 B.PF C.PF PF1PF2101PF241PF262PF212

(2)

8表示的曲线是_____

2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):

x2y2xacos(1)椭圆:焦点在x轴上时221(ab0)(参数方程,ybsinab

2yx2

22其中为参数),焦点在y轴上时22=1(ab0)。方程AxByC表示椭ab

圆的充要条件是什么? 

x2y2

如(1)已知方程1表示椭圆,则k的取值范围为____ 3k2k

22(2)若x,yR,且3x22y26,则xy的最大值是____,xy的最小值是

___

x2y2y2x2

(2)双曲线:焦点在x轴上:22 =1,焦点在y轴上:22=1abab

22(a0,b0)。方程AxByC表示双曲线的充要条件是什么?

x2y25如(1)双曲线的离心率等于,且与椭圆1有公共焦点,则该双曲线的方942

程_______

(2)设中心在坐标原点O,焦点F1、F2在坐标轴上,离心率e

过点P(4,),则C的方程为_______

(3)抛物线:开口向右时y2px(p0),开口向左时y2px(p0),开口向上时x2py(p0),开口向下时x2py(p0)。

3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):

(1)椭圆:由x,y222的双曲线C2222分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。

x2y2

如已知方程1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是__ m12m

(2)双曲线:由x,y项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;

(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。

特别提醒:(1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点F1,F2的位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数a,b,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向; (2)在椭圆中,a最大,abc,在双曲线中,22222

c最大,c2a2b2。

4.圆锥曲线的几何性质:

x2y2

(1)椭圆(以221(ab0)为例):①范围:axa,byb;ab

②焦点:两个焦点(c,0);③对称性:两条对称轴x0,y0,一个对称中心(0,0),

c四个顶点(a,0),(0,b),其中长轴长为2a,短轴长为2b;④离心率:e,椭圆a

0e1,e越小,椭圆越圆;e越大,椭圆越扁。

x2y2如(1)若椭圆,则m的值是__ 1的离心率e5m5

(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为__

x2y221(a0,b0)(2)双曲线(以为例):①范围:xa或xa,yR;2ab

②焦点:两个焦点(c,0);③对称性:两条对称轴x0,y0,一个对称中心(0,0),两个顶点(a,0),其中实轴长为2a,虚轴长为2b,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,

c称为等轴双曲线,其方程可设为x2y2k,k0;④离心率:e,双曲线e1,a

b等轴双曲线

ee越小,开口越小,e越大,开口越大;⑥两条渐近线:yx。 a

如 (1)双曲线的渐近线方程是3x2y0,则该双曲线的离心率等于______

(2)双曲线axby

1a:b22x2y2

(3)设双曲线221(a>0,b>0)中,离心率e∈[2,2],则两条渐近线夹角ab

θ的取值范围是________

(3)抛物线(以y2px(p0)为例):①范围:x0,yR;②焦点:一个焦点2

p(,0),其中p的几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴y0,没有2

pc对称中心,只有一个顶点(0,0);④准线:一条准线x; ⑤离心率:e,抛物2a

线e1。

范文四:圆锥曲线解题技巧总结[1]

圆锥曲线―概念、方法、题型、及应试技巧总结

1.圆锥曲线的两个定义:

(1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F1,F2的距离的和等于常数2a,且此常数2a一定要大于F1F2,当常数等于F1F2时,轨迹是线段F1F2,当常数小于F1F2时,无轨迹;双曲线中,与两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数2a,且此常数2a一定要小于|F1F2|,定义中的“绝对值”与2a<|F1F2|不可忽视。若2a=|F1F2|,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线,若2a﹥|F1F2|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

8表示的曲线是_____(答:双曲线的左支) (2)点点距为分子、点线距为分母”,其商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用第二定义对它们进行相互转化。

x2

如已知点Q(22,0)及抛物线y上一动点P(x,y),则y+|PQ|的最小值是_____(答2)

4

2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):

x2y2y2x2

(1)椭圆:焦点在x轴上时221(ab0),焦点在y轴上时22=

abab

22

1(ab0)。方程AxByC表示椭圆的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B,

C同号,A≠B)。

x2y2

如(1)已知方程1表示椭圆,则k的取值范围为____(答:

3k2k

11

(3,)(,2));

22

22

(2)若x,yR,且3x22y26,则xy的最大值是____,xy的最小值是

___

2)

x2y2y2x2

(2)双曲线:焦点在x22 =1,焦点在y22=1(a0,b0)。

abab

22

方程AxByC表示双曲线的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B异号)。

如设中心在坐标原点O,焦点F1、F2在坐标轴上,离心率e

2的双曲线C过点

P(4,),则C的方程为_______(答:x2y26)

22

(3)抛物线:开口向右时y2px(p0),开口向左时y2px(p0),开口

22

向上时x2py(p0),开口向下时x2py(p0)。

如定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动,AB中点为M,求点M到x轴的最短距离。

5 4

3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):

(1)椭圆:由x,y

22

分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。

x2y2

如已知方程则m的取值范围是__(答:1表示焦点在y轴上的椭圆,

m12m3

(,1)(1,))

2

(2)双曲线:由x,y项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上; (3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 特别提醒:(1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点F1,F2的位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数a,b,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物

222

线问题时,首先要判断开口方向;(2)在椭圆中,a最大,abc,在双曲线中,c最大,c2a2b2。

4.圆锥曲线的几何性质:

22

x2y2

(1)椭圆(以221(ab0)为例):①范围:axa,byb;

ab

②焦点:两个焦点(c,0);③对称性:两条对称轴x0,y0,一个对称中心(0,0),a2四个顶点(a,0),(0,b),其中长轴长为2a,短轴长为2b;④准线:两条准线x;

c

c

⑤离心率:e,椭圆0e1,e越小,椭圆越圆;e越大,椭圆越扁。

a

25x2y2如(1)若椭圆,则m的值是__(答:3或); 1的离心率e

35m5

(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为__(答:22)

x2y2

1(2)双曲线(以(a0,b0)为例):①范围:xa或xa,yR;a2b2

②焦点:两个焦点(c,0);③对称性:两条对称轴x0,y0,一个对称中心(0,0),两个顶点(a,0),其中实轴长为2a,虚轴长为2b,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,

2

a

称为等轴双曲线,其方程可设为x2y2k,k0;④准线:两条准线x; ⑤离

c

c

心率:e,双曲线e1

ee越小,开口越小,e越大,

a

b

开口越大;⑥两条渐近线:yx。

a

如 (1)双曲线的渐近线方程是3x2y0,则该双曲线的离心率等于______(

(2)双曲线ax2by2

1a:b4或

1); 4

x2y2

(3)设双曲线221(a>0,b>0)中,离心率e∈[2,2],则两条渐近线夹角

ab



(锐角或直角)θ的取值范围是________(答:[,]);

32x2y2

1的左焦点,顶点为A1、A2, P是双曲线上任意(4) 已知F1、F2为双曲线

20102009

一点,则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆一定( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.以上情况均有可能

(3)抛物线(以y22px(p0)为例):①范围:x0,yR;②焦点:一个焦点

p

(,0),其中p的几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴y0,没有2

pc

对称中心,只有一个顶点(0,0);④准线:一条准线x; ⑤离心率:e,抛物

2a

线e1。

如设a0,aR,则抛物线y4ax的焦点坐标为________(答:(0,

2

1

; ))16a

x2y2

5、点P(x0,y0)和椭圆221(ab0)的关系:(1)点P(x0,y0)在椭圆

ab

2222

x0y0x0y0

外221;(2)点P(x0,y0)在椭圆上22=1;(3)点P(x0,y0)在椭圆

abab22x0y0

内221

ab

6.直线与圆锥曲线的位置关系:

(1)相交:0直线与椭圆相交; 0直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有0,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故0是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件;0直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有0,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。

22

如(1)若直线y=kx+2与双曲线x-y=6的右支有两个不同的交点,则k的取值范围是_______(答:(-

,-1)); 3

x2y2

1恒有公共点,则m的取值范围是_______(2)直线y―kx―1=0与椭圆

5m

(答:[1,5)∪(5,+∞));

x2y2

1的右焦点直线交双曲线于A、B两点,若│AB︱=4,则(3)过双曲线12

这样的直线有_____条(答:3);

(2)相切:0直线与椭圆相切;0直线与双曲线相切;0直线与抛物线相切;

(3)相离:0直线与椭圆相离;0直线与双曲线相离;0直线与抛物线相离。

特别提醒:(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果

x2y2

直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点;(2)过双曲线22=1

ab

外一点P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下:①P点在两条渐近线之间且

不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P为原点时不存在这样的直线;(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。

如(1)过点(2,4)作直线与抛物线y28x只有一个公共点,这样的直线有______(答:

x2y2

2); (2)过点(0,2)与双曲线1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为

916

4______

(答:,; )

3

y2

(3)过双曲线x1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点,若AB4,则

2

满足条件的直线l有____条(答:3);

22

(4)对于抛物线C:y4x,我们称满足y04x0的点M(x0,y0)在抛物线的内

2

部,若点M(x0,y0)在抛物线的内部,则直线l:y0y2(xx0)与抛物线C的位置关系是_______(答:相离);

(5)过抛物线y4x的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是p、q,则

2

11

; _______(答:1)

pq

x2y2

1的右焦点为F,右准线为l,设某直线m交其左支、右支(6)设双曲线

169

和右准线分别于P,Q,R,则PFR和QFR的大小关系为___________(填大于、小于或

等于) (答:等于);

(7)求椭圆7x24y228上的点到直线3x

2y160的最短距离(答:

2

2

); 13

(8)直线yax1与双曲线3xy1交于A、B两点。①当a为何值时,A、B分

别在双曲线的两支上?②当a为何值时,以AB

为直径的圆过坐标原点?(答:①

;②a1);

7、焦半径(圆锥曲线上的点P到焦点F的距离)的计算方法:利用圆锥曲线的第二定义,转化到相应准线的距离,即焦半径red,其中d表示P到与F所对应的准线的距离。

x2y2

如(1)已知椭圆1上一点P到椭圆左焦点的距离为3,则点P到右准线的

2516

距离为____(答:

35); 3

(2)已知抛物线方程为y28x,若抛物线上一点到y轴的距离等于5,则它到抛物线的焦点的距离等于____;

(3)若该抛物线上的点M到焦点的距离是4,则点M的坐标为_____(答:; 7,(2,4))

x2y2(4)点P在椭圆1上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点

259

25

P的横坐标为_______(答:);

12

(5)抛物线y22x上的两点A、B到焦点的距离和是5,则线段AB的中点到y轴

的距离为______(答:2);

x2y2

(6)椭圆1内有一点P(1,1),F为右焦点,在椭圆上有一点M,使

43

26

; MP2MF 之值最小,则点M的坐标为_______(答:(,1))

3

8、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:

Sb2tan

2

c|y0|,当|y0|b即P为短轴端点时,Smax的最大值为bc;对于双曲线

2

的椭圆的两焦点为F1、F2,过F1作3

S

b2tan

2

。 如 (1)短轴长为,离心率e

直线交椭圆于A、B两点,则ABF2的周长为________(答:6);

(2)设P是等轴双曲线x2y2a2(a0)右支上一点,F1、F2是左右焦点,若; PF2F1F20,|PF1|=6,则该双曲线的方程为(答:x2y24)

x2y2→→1的焦点为F1、F2,点P为椭圆上的动点,当PF(3)椭圆2 ·PF1

点P的横坐标的取值范围是

(答:(; )

6

(4)双曲线的虚轴长为4,离心率e=,F1、F2是它的左右焦点,若过F1的直线

2

与双曲线的左支交于A、B两点,且是AF2与BF2等差中项,则AB=__________

(答:;

(5)已知双曲线的离心率为2,F1、F2是左右焦点,P为双曲线上一点,且

F1PF260,SPF1F2

x2y2

; 3.求该双曲线的标准方程(答:1)

412

9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质:(1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;(2)设AB为焦点弦, M为准线与x轴的交点,则∠AMF=∠BMF;(3)设AB为焦点弦,A、B在准线上的射影分别为A1,B1,若P为A1B1的中点,则PA⊥PB;(4)若AO的延长线交准线于C,则BC平行于x轴,反之,若过B点平行于x轴的直线交准线于C

点,则A,O,C三点共线。

10、弦长公式:若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点A、B,且x1,x2分别为A、B的横坐标,则AB

=1x2,若y1,y2分别为A、B的纵坐标,则AB=

1y1y2。yy,若弦AB所在直线方程设为,则xkybAB

122

k

特别地,焦点弦(过焦点的弦):焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。

如(1)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,那么|AB|等于_______(答:8); (2)过抛物线y22x焦点的直线交抛物线于A、B两点,已知|AB|=10,O为坐标原点,则ΔABC重心的横坐标为_______(答:3); (3)已知抛物线y2px(p0)的焦点恰为双曲线12x4y3的右焦点,且倾斜角为

2

2

2

3

的直线交抛物线于P,Q两点,则|y1y2|的值为( ) 4

A. 2

B. 4

C.

D. 8

11、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

b2x0x2y2

在椭圆221中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=-2;在双曲线

abay0b2x0x2y21中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=2;在抛物线a2b2ay0

p

y22px(p0)中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=。

y0

x2y2

1弦被点A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是 如(1)如果椭圆

369

(答:x2y80);

x2y2

(2)已知直线y=-x+1与椭圆221(ab0)相交于A、B两点,且线段

ab

AB的中点在直线L:x-2y=0上,则此椭圆的离心率为_______

(答:

); 2

x2y2

(3)试确定m的取值范围,使得椭圆1上有不同的两点关于直线

43

; y4

xm对称(答:)



(4)抛物线y=2x2截一组斜率为2的平行直线,所得弦中点的轨迹方程是

11(y)) 22

特别提醒:因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验0!

(答:x

12.你了解下列结论吗?

2222

(1)双曲线xy1的渐近线方程为xy0;

a2b2a2b2

22

b

(2)以yx为渐近线(即与双曲线xy1共渐近线)的双曲线方程为

aa2b2

x2y2

2(为参数,≠0)。 2ab

x2y2

如与双曲线1有共同的渐近线,且过点(3,23)的双曲线方程为_______

916

4x2y2

1) (答:94

(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为mxny1;

2

2

2b2(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为,焦准距(焦点到

a

b2

相应准线的距离)为,抛物线的通径为2p,焦准距为p;

c

(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦;

(6)若抛物线y2px(p0)的焦点弦为AB,A(x1,y1),B(x2,y2),则①

2

p2

,y1y2p2 |AB|x1x2p;②x1x242

(7)若OA、OB是过抛物线y2px(p0)顶点O的两条互相垂直的弦,则直线AB恒经过定点(2p,0)

13.动点轨迹方程:

(1)求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围; (2)求轨迹方程的常用方法:

①直接法:直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y)0;

如已知动点P到定点F(1,0)和直线x3的距离之和等于4,求P的轨迹方程.(答:

y212(x4)(3x4)或y24x(0x3));

②待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数。

如线段AB过x轴正半轴上一点M(m,0)(m0),端点A、B到x轴距离之积为2m,以x轴为对称轴,过A、O、B三点作抛物线,则此抛物线方程为(答:y22x);

③定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程; 如(1)由动点P向圆x2y21作两条切线PA、PB,切点分别为A、B,∠APB=60,则

动点P的轨迹方程为

(答:x2y24);

(2)点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x50的距离小于1,则点M的轨迹方程是_______ (答:y216x);

(3) 一动圆与两圆⊙M:x2y21和⊙N:x2y28x120都外切,则动圆圆心的轨迹为 (答:双曲线的一支);

④代入转移法:动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)的变化而变化,并且Q(x0,y0)又在某已知曲线上,则可先用x,y的代数式表示x0,y0,再将x0,y0代入已知曲线得要求的轨迹方程;

如动点P是抛物线y2x1上任一点,定点为A(0,1),点M分PA所成的比为2,

1

则M的轨迹方程为__________(答:y6x2);

3

⑤参数法:当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将x,y均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程)。

如(1)AB是圆O的直径,且|AB|=2a,M为圆上一动点,作MN⊥AB,垂足为N,在OM上取点P,使|OP||MN|,求点P的轨迹。(答:xya|y|);

(2)若点P(x1,y1)在圆xy1上运动,则点Q(x1y1,x1y1)的轨迹方程是____

2

(答:y2x1(|x|

2



22

22

1

)); 22

(3)过抛物线x4y的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点,则弦AB的中点M的

2

轨迹方程是________(答:x2y2);

注意:①如果问题中涉及到平面向量知识,那么应从已知向量的特点出发,考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化,还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。

x2y2

如已知椭圆221(ab0)的左、右焦点分别是F1

ab

(-c,0)、F2(c,0),Q是椭圆外的动点,满足|F1|2a.点

P是线段F1Q与该椭圆的交点,点T在线段F2Q上,并且满足

TF20,|TF2|0.(1)设x为点P的横坐标,证明

cx;(2)求点T的轨迹C的方程;(3)试问:在点T的轨迹C上,是否存a

在点M,使△F1MF2的面积S=b2.若存在,求∠F1MF2的正切值;若不存在,请说明理由.

b2b2222

a时不存在;当a时存在,此时∠(答:(1)略;(2)xya;(3)当cc|F1|a

F1MF2=2)

②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.

③在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.

④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”,那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.

14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容:



(1) 给出直线的方向向量u1,k或um,n;

(2)给出OAOB与AB相交,等于已知OAOB过AB的中点; (3)给出0,等于已知P是MN的中点;



(5) 给出以下情形之一:①//;②存在实数,使;③若存在实



数,,且1,使OCOAOB,等于已知A,B,C三点共线.

(6) 给出0,等于已知MAMB,即AMB是直角,给出

(4)给出,等于已知P,Q与AB的中点三点共线;

m0,等于已知AMB是钝角, 给出m0,等于已知AMB是

锐角,



(8)

给出MP,等于已知MP是AMB的平分线/

(9)在平行四边形ABCD中,给出(ABAD)(ABAD)0,等于已知ABCD

是菱形; 矩形;

(11)在ABC中,给出,等于已知O是ABC的外心(三角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点); (12) 在ABC中,给出OAOBOC0,等于已知O是ABC的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点); (13)在ABC中,给出,等于已知O是ABC的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点);

2

2

2



ABCD(10) 在平行四边形中,给出|ABAD||ABAD|,等于已知ABCD是



ABAC)(R)等于已知通过(14)在ABC中,给出OPOA(|AB||AC|

ABC的内心;

(15)在ABC中,给出abc等于已知O是ABC的内心(三角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点);

1

ABAC,等于已知AD是ABC中BC边的中线; (16) 在ABC中,给出AD2

y22

1的焦点为F1、F2,点M在双曲线上且MF1MF20,则(1)已知双曲线x2



点M到x轴的距离为(C)

45 (B)

(C

(D33

(2)已知i,j是x,y轴正方向的单位向量,设a=(x3)iyj, 

b=(x

3)

iyj,且满足bi=|a|.求点P(x,y)的轨迹.



解:

bi(x

i2yijx,

(A)

∴x

y2, 故点P的轨迹是以(3,0)为焦点以x

2

(3)已知A,B为抛物线x=2py(p>0)上异于原点的两点,OAOB0,点C坐标为

(0,2p)

(1)求证:A,B,C三点共线;



(2)若=BM(R)且OMAB0试求点M的轨迹方程。

x12x22

(1)证明:设A(x1,),B(x2,),由OAOB0得

2p2p

x12x22x12x22x122

x1x20,x1x24p,又AC(x1,2p),AB(x2x1,)

2p2p2p2p

x22x12x12

x1(2p)(x2x1)0,AC//AB,即A,B,C三点共线。

2p2p



(2)由(1)知直线AB过定点C,又由OMAB0及=BM(R)知

OMAB,垂足为M,所以点M的轨迹为以OC为直径的圆,除去坐标原点。即点M的轨迹方程为x2+(y-p)2=p2(x0,y0)。

15.圆锥曲线中线段的最值问题:

例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为______________

(2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F为 。

分析:(1)A在抛物线外,如图,连PF,则PHPF,

当A、P、F三点共线时,距离和最小。

(2)B在抛物线内,如图,作QR⊥l交于R,则当B、Q、R三点共线时,距离和最小。

解:(1)(2,)(2)(1,1) 4

点评:这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题,请仔细体会。 x2y2

1的右焦点,A(1,1)为椭圆内一定点,P为椭圆上一动点。 例2、F是椭圆43

(1)PF的最小值为 (2)2PF的最小值为

分析:PF准线作出来考虑问题。

解:(1)4-5 设另一焦点为F,则F(-1,0)连AF,PF

PAPFPA2aPF2a(PF)2aAF45

当P是FA的延长线与椭圆的交点时, PF取得最小值为4-5。

(2)3 作出右准线l,作PH⊥l交于H,因a2=4,b2=3,c2=1, a=2,c=1,e=∴PF1, 21PH,即2PFPH 2∴2PFPH

a2

xA413 当A、P、H三点共线时,其和最小,最小值为c

范文五:圆锥曲线及解题技巧

椭圆与双曲线的对偶性质

椭 圆

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个

端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 6.

7.

8.

x0xy0yx2y2

21. 1若P在椭圆上,则过的椭圆的切线方程是(x,y)P0000

a2ba2b2

x2y2

若P0(x0,y0)在椭圆221外 ,则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是

ab

x0xy0y

21. a2b

x2y2

椭圆221 (a>b>0)的左右焦点分别为F1,F 2,点P为椭圆上任意一点F1PF2,则椭圆的焦点角形

ab

2

的面积为SF1PF2btan.

2

x2y2

椭圆221(a>b>0)的焦半径公式:

ab

|MF1|aex0,|MF2|aex0(F1(c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).

9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ分别交相应于焦点F

的椭圆准线于M、N两点,则MF⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q

交于点N,则MF⊥NF.

x2y2b2

11. AB是椭圆221的不平行于对称轴的弦,M(x0,y0)为AB的中点,则kOMkAB2,

aab

b2x0

即KAB2。

ay0x0xy0yx02y02x2y2

222. 12. 若P0(x0,y0)在椭圆221内,则被Po所平分的中点弦的方程是2ababab

x2y2x2y2x0xy0y

2. 13. 若P0(x0,y0)在椭圆221内,则过Po的弦中点的轨迹方程是222

ababab

双曲线

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的内角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的

两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P在右支;外切:P在左支) 5. 6.

7.

8.

x0xy0yx2y2

21. 1若P在双曲线(a>0,b>0)上,则过的双曲线的切线方程是(x,y)P0000222

abab

x2y2

若P0(x0,y0)在双曲线221(a>0,b>0)外 ,则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2,则切点

abxxyy

弦P1P2的直线方程是02021.

ab

x2y2

双曲线221(a>0,b>o)的左右焦点分别为F1,F 2,点P为双曲线上任意一点F1PF2,则双

ab

2

曲线的焦点角形的面积为SF1PF2bcot.

2

x2y2

双曲线221(a>0,b>o)的焦半径公式:(F1(c,0) , F2(c,0)

ab

当M(x0,y0)在右支上时,|MF1|ex0a,|MF2|ex0a.

当M(x0,y0)在左支上时,|MF1|ex0a,|MF2|ex0a

9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点,A为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和AQ分别交相

应于焦点F的双曲线准线于M、N两点,则MF⊥NF.

10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,

A2P和A1Q交于点N,则MF⊥NF.

x2y2

11. AB是双曲线221(a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M(x0,y0)为AB的中点,则

abb2x0b2x0

KOMKAB2,即KAB2。

ay0ay0x0xy0yx02y02x2y2

12. 若P(a>0,b>0)内,则被Po所平分的中点弦的方程是2222. 0(x0,y0)在双曲线221

abababx2y2x2y2x0xy0y

2. 13. 若P0(x0,y0)在双曲线221(a>0,b>0)内,则过Po的弦中点的轨迹方程是222

ababab

椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)

椭 圆

x2y2

1. 椭圆221(a>b>o)的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0),与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1

ab

x2y2

与A2P2交点的轨迹方程是221.

ab

x2y2

2. 过椭圆221 (a>0, b>0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点,则直

ab

b2x0

线BC有定向且kBC2(常数).

ay0x2y2

3. 若P为椭圆221(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, PF1F2, PF2F1,

ab

ac

tancot. ac22

x2y2

4. 设椭圆221(a>b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在△PF1F2中,

ab

记F1PF2, PF1F2,F1F2P,则有

sinc

e.

sinsina

x2y2

5. 若椭圆221(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当0<e

1时,可在椭圆

ab

上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

x2y2

6. P为椭圆221(a>b>0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为椭圆内一定点,则

ab

2a|AF2||PA||PF1|2a|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时,等号成立.

(xx0)2(yy0)2

1与直线Ax7. 椭圆22

ab

22

A2aBb2(Ax0By0C).

By0C有公共点的充要条件是

x2y2

8. 已知椭圆221(a>b>0),O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且OPOQ.(1)

ab

4a2b2a2b2111122

22;(2)|OP|+|OQ|的最大值为22;(3)SOPQ的最小值是22. 22

abab|OP||OQ|abx2y2

9. 过椭圆221(a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴

ab

|PF|e

. 于P,则

|MN|2x2y2

10. 已知椭圆221( a>b>0) ,A、B、是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0),

aba2b2a2b2

x0则. aax2y2

11. 设P点是椭圆221( a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记F1PF2,则

ab

2b22

(1)|PF1||PF2|.(2) SPF1F2btan.

21cos

x2y2

12. 设A、B是椭圆221( a>b>0)的长轴两端点,P是椭圆上的一点,PAB,

ab

2ab2|cos|

PBA,BPA,c、e分别是椭圆的半焦距离心率,则有(1)|PA|22.(2) 2

accos

tantan1e2.(3) SPAB

2ab

cot. 22

ba

22

x2y2

13. 已知椭圆221( a>b>0)的右准线l与x轴相交于点E,过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、

ab

B两点,点C在右准线l上,且BCx轴,则直线AC经过线段EF 的中点.

14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)

双曲线

x2y2

1. 双曲线221(a>0,b>0)的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0),与y轴平行的直线交双曲线于P1、

ab

x2y2

P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是221.

ab

x2y2

2. 过双曲线221(a>0,b>o)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两

ab

b2x0

点,则直线BC有定向且kBC2(常数).

ay0x2y2

3. 若P为双曲线221(a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, PF1F2,

ab

PF2F1,则

caca

tancot(或tancot). ca22ca22

x2y2

4. 设双曲线221(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点,在

ab

△PF1F2中,记F1PF2, PF1F2,F1F2P,则有

sinc

e.

(sinsin)a

x2y2

5. 若双曲线221(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当1<e

1时,

ab

可在双曲线上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

x2y2

6. P为双曲线221(a>0,b>0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为双曲线内一定点,则

ab

|AF2|2a|PA||PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时,等号成立.

x2y222222

7. 双曲线221(a>0,b>0)与直线AxByC0有公共点的充要条件是AaBbC.

ab

x2y2

8. 已知双曲线221(b>a >0),O为坐标原点,P、Q为双曲线上两动点,且OPOQ.

ab

4a2b2a2b2111122

(1);(3)SOPQ的最小值是2. 22;(2)|OP|+|OQ|的最小值为2

2222

baba|OP||OQ|abx2y2

9. 过双曲线221(a>0,b>0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点,弦MN的垂直平

ab

|PF|e

. 分线交x轴于P,则

|MN|2x2y2

10. 已知双曲线221(a>0,b>0),A、B是双曲线上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于

ab

a2b2a2b2

点P(x0,0), 则x0或x0.

aa

x2y2

11. 设P点是双曲线221(a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记F1PF2,

ab

2b22

则(1)|PF1||PF2|.(2) SPF1F2bcot.

21cos

x2y2

12. 设A、B是双曲线221(a>0,b>0)的长轴两端点,P是双曲线上的一点,PAB,

ab

2ab2|cos|

PBA,BPA,c、e分别是双曲线的半焦距离心率,则有(1)|PA|22. 2

|accos|

2a2b22

cot. (2) tantan1e.(3) SPAB2

2

bax2y2

13. 已知双曲线221(a>0,b>0)的右准线l与x轴相交于点E,过双曲线右焦点F的直线与双曲

ab

线相交于A、B两点,点C在右准线l上,且BCx轴,则直线AC经过线段EF 的中点.

14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与

切线垂直.

15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

圆锥曲线问题解题方法

圆锥曲线中的知识综合性较强,因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。熟记各种定义、基本公式、法则固然重要,但要做到迅速、准确解题,还须掌握一些方法和技巧。 一. 紧扣定义,灵活解题

灵活运用定义,方法往往直接又明了。

y2

1,P为双曲线上一点。 例1. 已知点A(3,2),F(2,0),双曲线x3

2

求|PA|

1

|PF|的最小值。2

解析:如图所示,

双曲线离心率为2,F为右焦点,由第二定律知

1

|PF|即点P到准线距离。 2

|PA| 

15

|PF||PA||PE|AM 22

二. 引入参数,简捷明快

参数的引入,尤如化学中的催化剂,能简化和加快问题的解决。 例2. 求共焦点F、共准线l的椭圆短轴端点的轨迹方程。

解:取如图所示的坐标系,设点F到准线l的距离为p(定值),椭圆中心坐标为M(t,0)(t为参数)

b

,而ct c2

bpcpt

2

p

再设椭圆短轴端点坐标为P(x,y),则

xct

ybpt

2

消去t,得轨迹方程ypx

三. 数形结合,直观显示

将“数”与“形”两者结合起来,充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性,以数促形,用形助数,结合使用,能使复杂问题简单化,抽象问题形象化。熟练的使用它,常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。 例3. 已知x,y

R,且满足方程x2y23(y0),又m

y3

,求m范围。 x3

解析:m

y322

的几何意义为,曲线xy3(y0)上的点与点(-3,-3)连线的斜率,如图所示 x3

kPAmkPB

33 m

22

四. 应用平几,一目了然

用代数研究几何问题是解析几何的本质特征,因此,很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联,要抓住关键,适时引用,问题就会迎刃而解。

OQ|的值为________。 y24和直线ymx的交点为P、Q,则|OP||

解:OMP~OQN

OQ||OM||ON|5 |OP||

例4. 已知圆(x3)

五. 应用平面向量,简化解题

向量的坐标形式与解析几何有机融为一体,因此,平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。

2

xyx2y2

1,直线l:1,P例5. 已知椭圆:

1282416

|OQ||OP||OR|2,当点P在l上移动时,求点Q的轨迹方程。

是l上一点,射线OP交椭圆于一点R,点Q在OP上且满足

 解:如图,OQ,OR,OP

OP(x,

y)

分析:考生见到此题基本上用的都是解析几何法,给解题带来了很大的难度,而如果用向量共线的条件便可简便地解出。



共线,设OROQ,OPOQ,OQ(x,y)

,则OR(x,y)

2|OQ||OP||OR| 

22

2

|OQ||OQ|



2

点R在椭圆上,P点在直线l上 

2x2

24

2y2

16

1,

x

12

y

8

1

xyxy 2416128

22

化简整理得点Q的轨迹方程为:

2(x1)2(y1)2

1(直线yx上方部分) 55323

六. 应用曲线系,事半功倍

利用曲线系解题,往往简捷明快,收到事半功倍之效。所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方法和技巧之一。 例6. 求经过两圆x

2

y26x40和x2y26y280的交点,且圆心在直线xy40上的圆的方程。

解:设所求圆的方程为:

x2y26x4(x2y26y28)0

22

(1)x(1)y6x6y(284)0

33

,),在直线xy40上 则圆心为(

11

解得7

22

故所求的方程为xyx7y320

七. 巧用点差,简捷易行

在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程,往往采用点差法,此法比其它方法更简捷一些。

y2

1相交于两点P1、P2,求线段P1P2中点的轨迹方程。 例7. 过点A(2,1)的直线与双曲线x2

解:设P1(x1,y1),P2(x2,y2),则

2

2y12

x1122

x2y2122

(x2x1)(x1x2)

1

2

-得

(y2y1)(y1y2)

2

y2y12(x1x2) 即 

x2x1y1y2

设P1P2的中点为M(x0,y0),则

y2y12x0

kPP 12

x2x1y0y01

又kAM,而P1、A、M、P2共线

x02

y012x0

 kPPkAM,即

12

x02y0

P1P2中点M的轨迹方程是2x

2

y24xy0

解析几何题怎么解

高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计30分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般

紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识,这点值得考生在复课时强化.

例1 已知点T是半圆O的直径AB上一点,AB=2、OT=t (0

AA垂直且等于

BB垂直且等于BT,AB交半圆于P、Q两点,建立如图所示的直角坐标系.

(1)写出直线AB的方程; (2)计算出点P、Q的坐标;

AT,使

(3)证明:由点P发出的光线,经AB反射后,反射光线通过点Q. 讲解: 通过读图, 看出A,B点的坐标. (1 ) 显然A

'

于是 直线AB 1,1t, B1,1t,

'

'

的方程为ytx1;

x2y21,2t1t2

,); (2)由方程组解出P(0,1)、Q(22

1t1tytx1,

101

, kQT

0tt

1t2

021t21. 22tt(1t)t2

1t

(3)kPT

由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知,由点P发出的光线经点T反射,反射光线通过点Q.

需要注意的是, Q点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?

x2y2

例2 已知直线l与椭圆221(ab0)有且仅有一个交点Q,且与x轴、y轴分别交于R、S,求以线段SR为对角线的矩

ab

形ORPS的一个顶点P的轨迹方程.

讲解:从直线l所处的位置, 设出直线l的方程,

由已知,直线l不过椭圆的四个顶点,所以设直线l的方程为ykxm(k0). 代入椭圆方程b2x2a2y2a2b2, 得 b2x2a2(k2x22kmxm2)a2b2. 化简后,得关于x的一元二次方程 (a2k2b2)x22ka2mxa2m2a2b20. 于是其判别式(2ka2m)24(a2k2b2)(a2m2a2b2)4a2b2(a2k2b2m2). 由已知,得△=0.即a2k2b2m2. ① 在直线方程

ykxm中,分别令y=0,x=0,求得R(

m

,0),S(0,m). k

myx,k,kx 令顶点P的坐标为(x,y), 由已知,得 解得

ym.my.

代入①式并整理,得 ab1, 即为所求顶点P的轨迹方程.

22

2

2

xy

22

ab方程1形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗? x2y2

x2y223 例3已知双曲线221的离心率e,过A(a,0),B(0,b)的直线到原点的距离是.

32ab

(1)求双曲线的方程; (2)已知直线

ykx5(k0)交双曲线于不同的点C,D且C,D都在以B为圆心的圆上,求k的值.

abab

dc23xy 讲解:∵(1)22,原点到直线AB:1的距离cababa3

b1,a3.

2

故所求双曲线方程为 xy21.

3

3.2.

(2)把ykx5代入x23y23中消去y,整理得 设C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点是E(x0,y0),则 xx1x20

(13k2)x230kx780.

2

y0115k51

ykx5,k.00BE

13k213k2x0k

x0ky0k0,即

.

15k5k2

k0,又k0,k7 22

13k13k

故所求k=±

为了求出k的值, 需要通过消元, 想法设法建构k的方程.

例4 已知椭圆C的中心在原点,焦点F1、F2在x轴上,点P为椭圆上的一个动点,且∠F1PF2的最大值为90°,直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点,△ABF2的面积最大值为12. (1)求椭圆C的离心率; (2)求椭圆C的方程. 讲解:(1)设|PF1|r1,|PF2

|r2,|F1F2|2c, 对PF1F2, 由余弦定理, 得

2r11r224c2(r1r2)22r1r24c24a24c24a24c2

cosF1PF21112e0,

rr2r1r22r1r22r1r2

2(12)2

2

解出 e

2 .2

(2)考虑直线l的斜率的存在性,可分两种情况: i) 当k存在时,设l的方程为

yk(xc)„„„„„„①

x2y2

椭圆方程为 由e2. 得 a22c2,b2c2. 1,A(x,y),B(x,y)1122

a2b22

于是椭圆方程可转化为 将①代入②,消去

x22y22c20„„„„„„②

y得 x22k2(xc)22c20,

整理为x的一元二次方程,得 (12k2)x24ck2x2c2(k21)0.

22

2ck则x1、x2是上述方程的两根.且|x2x1|,|AB|k2

|xx|22c(1k),

21

12k2122

也可这样求解:

AB边上的高h|FF|sinBFF2c|k|,

1212

1k2

S|F1F2||y1y2|

22

11k|k|S22c()2c 22212kk c|k||x1x2|

.2

ii) 当k不存在时,把直线x

c代入椭圆方程得

y

,|AB|,S2 2由①②知S的最大值为

2c2 由题意得c2=12 所以c26b2 a22

x22

y262

1.

故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为:

下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣: 设过左焦点的直线方程为:x

myc„„„„①

(这样设直线方程的好处是什么?还请读者进一步反思反思.)

22

椭圆的方程为:xy1,A(x,y),B(x,y)

112222

ab

由e

2得:2

a2c2,b2c2,于是椭圆方程可化为:x22y22c20„„② .

2

把①代入②并整理得:(m22)y22mcyc20 于是y1,y2是上述方程的两根

.

|AB|y2y1|

AB边上的高h

m

2

4m2c24c2(m22)

m2222c(1m2), 

m22

2cm

2

,

2

1m22从而S1|AB|h122c(1m)2c22c2

22m22(m2)222cm2

1

m21

1

2m1

2

2c2.

当且仅当m=0取等号,即Smax

2c2.

由题意知2c212, 于是 b2c262,a22. 故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为:

x212y262

1.

x2y2

例5 已知直线yx1与椭圆221(ab0)相交于A、B两点,且线段AB的中点在直线l:x2y0上.

ab

(1)求此椭圆的离心率;

(2 )若椭圆的右焦点关于直线l的对称点的在圆x

2

y24上,求此椭圆的方程.

yx1,

讲解:(1)设A、B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).则由x2 得 y2

221

ba(a2b2)x22a2xa2a2b20,

根据韦达定理,得

2a22b2

x1x22,y1y2(x1x2)22,

ab2ab2

a2b2

∴线段AB的中点坐标为(2,2

2

abab2

).

2a22b2222222

由已知得2,故椭圆的离心率为e0,a2b2(ac)a2c

2ab2a2b2

(2)由(1)知

.

bc,

从而椭圆的右焦点坐标为

F(b,0),

F(b,0)

关于直线

l:x2y0

的对称点为

(x0,y0),则

y001xby34

1且0200,解得 x0b且y0b

55x0b222

2

由已知得

3242x2y22

xy4,(b)(b)4,b4,故所求的椭圆方程为1 .

5584

2

例6 已知⊙M:x

2

(y2)21,Q是x轴上的动点,QA,QB分别切⊙M于A,B两点,

,求直线MQ的方程;(2)求动弦AB的中点P的轨迹方

程.

(1)如果|AB|

423

讲解:(1)由|AB|

423

,可得

|MP||MA|2(

|AB|22221

)2(),233

由射影定理,得

|MB|2|MP||MQ|,得|MQ|3, 在Rt△MOQ中,

|OQ||MQ|2|MO|23222,故a或a5,

所以直线AB方程是2x

5y20或2x5y20;

2y2

,(*) ax

(2)连接MB,MQ,设P(x,y),Q(a,0),由点M,P,Q在一直线上,得

2

由射影定理得|MB|

|MP||MQ|,即x2(y2)2a241,(**)

71

y2,可得x2(y)2(y2).

416

把(*)及(**)消去a,并注意到

适时应用平面几何知识,这是快速解答本题的要害所在,还请读者反思其中的奥妙.

例7 如图,在Rt△ABC中,∠CBA=90°,AB=2,AC=E上运动,且保持| PA |+| PB |的值不变. (1)建立适当的坐标系,求曲线E的方程;

2

2

。DO⊥AB于O点,OA=OB,DO=2,曲线E过C点,动点P在

(2)过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间,设

DM

,DN

定实数的取值范围.

讲解: (1)建立平面直角坐标系, 如图所示∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB | y=

22

22()222∴动点P的轨迹是椭圆

22

∵ab1,c1∴曲线E的方程是

x2

y21 . 2

, 代入曲线E的方程

(2)设直线L的方程为 (x1,y1),

ykx2

x22y22,得(2k21)x28kx60设

M1

N(x2,y2), 则

① ② ③

(8k)24(2k1)60,

8k

xx, 122

2k1

6

xx.122

2k1

i) L与y轴重合时,

|DM|1

|DN|3

ii) L与y轴不重合时, 由①得

x3DMxDxM

k2. 又∵1

2DNxDxNx2

,

∵x2x10, 或 x2x10,∴0<<1 ,

(xx2)2(x1x2)2x1x264k2321

∴ 22∵2

1x1x26(2k1)x1x2x2x13(22)k

而k

2

31

, ∴63(22)8.∴ 42k

323(2

1

)k2

16116, ∴ 42, 33

01,

1101

2,2,

3

110,3

11

1.∴的取值范围是,1 . 33

值得读者注意的是,直线L与y轴重合的情况易于遗漏,应当引起警惕. 例8 直线l过抛物线 (1)求证:4x1x2y22px(p0)的焦点,且与抛物线相交于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点.

p2;(2)求证:对于抛物线的任意给定的一条弦CD,直线l不是CD的垂直平分线.

2

讲解: (1)易求得抛物线的焦点F(P,0). 若l⊥x轴,则l的方程为xP,显然xxP.若l不垂直于x轴,可设yk(xP),代入

12

2242

22

抛物线方程整理得x2P(12P)xP0,则xxP. 综上可知

122

k44

4x1x2p2.

2

2p

4p

2222

(2)设C(c,c),D(d,d)且cd,则CD的垂直平分线l的方程为ycdcd(xcd)

2p2p

22

cdcdpcd222l假设过F,则0()整理得 (cd)(2pcd)0 p0

22p24p

2

2p2c2d20,cd0. 这时l的方程为y=0,从而l与抛物线y2px只相交于原点. 而l与抛物线有两个不同的交

点,因此l与l不重合,l不是CD的垂直平分线.

此题是课本题的深化,你能够找到它的原形吗?知识在记忆中积累,能力在联想中提升. 课本是高考试题的生长点,复课切忌忘掉例9 某工程要将直线公路l一侧的土石,通过公路上的两个道口A和B,沿着道路AP、BP运往公路另一侧的P处,PA=100m,讲解: 以直线l为x轴,线段AB的中点为原点对立直角坐标系,则在l一侧必存在经A到P和经B到P路程相等的点,设这样的课本!

PB=150m,∠APB=60°,试说明怎样运土石最省工?

点为M,则|MA|+|AP|=|MB|+|BP|,即|MA|-|MB|=|BP|-|AP|=50,

|AB|

7,∴M在双曲线

x2y2

21的右支上. 2

25256

故曲线右侧的土石层经道口B沿BP运往P处,曲线左侧的土石层经道口A沿AP运往P处,按这种方法运土石最省工.

范文六:圆锥曲线的解题技巧

圆锥曲线解题方法和技巧

圆锥曲线是高考的必考题型,很多学生认为它难,那是因为计算量大,尽管如此,但圆锥曲线这类题型也是有套路可循的。

首先,做圆锥曲线要有相应的知识储备: 1.直线方程:

(1)五种形式:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 (2)与直线相关的重要内容:

倾斜角与斜率 k=tan 点到直线距离公式d

AxByCAB

2

22

(3)弦长ABkx1x2k(x1x2)2x1x2或AB(4)两条直线的位置关系:垂直k1k21 平行k1k2且b1b2 2.圆锥曲线方程及性质

22

1

y1y2 2k

掌握了以上的基础知识后,还要有相应的方法储备,也就是所谓的套路。读题过后,了解题目考的是哪一类问题,然后再找到相应的方法做题即可。下面就是圆锥曲线常用的套路: 1.点差法(中点弦问题)

xyx2y2

设Ax1,y1,Bx2,y2, Mx0,y0为椭圆221的弦AB的中点,则有12121,

abab

22

(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)x2y2b2x0

21,两式相减得:kAB2

a2b2a2bay0

22

x2y2

1内一点M(2,1)引一条弦,使弦被点M平分,求这条弦所在的直线 例:过椭圆

164

方程。

解:设直线与椭圆的两个交点为Ax1,y1,Bx2,y2, M(2,1)为弦AB的中点

2.联立消元法(直线与圆锥曲线的位置关系)

解题步骤:○1设直线的方程;○2与曲线的方程联立,消去一个未知数,得到一个二次方程;○3使用判式0 ,以及韦达定理,代入弦长公式;○4若有两个字母未知数,则要找到它们的联系,消去一个,比如直线过焦点,则可以利用三点A、B、 共线解决之。若有向量的关系,则寻找坐标之间的关系,根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为y=kx+b ,就意味着k存在。

x2y2

例:如图,F为双曲线C:221(a0,b0)的右焦点,P为双曲线C右支上一点,且位于

ab

已知四边形OFPMPFOF。x轴上方,M为左准线上一点,O为坐标原点。

则当1时,经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B两点,若AB12,求此时的双

2

解:当1时,由ee20解得e2

从而c

2a,b 由此得双曲线得方程是

x2y2

21 2

a3a

设双曲线左准线与x轴的交点为N,P点的坐标为(x0,y0),则

a2a|ON|,

c2

|MN|

由于P(x0,y0)在双曲线的右支上,且位于x轴上方,因而

x1|MP||ON||OF||ON|c

a3a

,y0|MN|a 222

所以直线OP

的斜率为k

3a2

设过焦点F且平行于OP的直线与双曲线的交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则 直线AB

的斜线为k

,直线AB的方程为

y

x2a) 3

将其代入双曲线方程整理得

4x220ax29a20

 x1x25a,x1x2

292

a

4

|AB|

12a

y2

1 由|AB|12得a1,于是,所求双曲线得方程为x3

2

范文七:圆锥曲线解题技巧

圆锥曲线解题技巧

1.圆锥曲线的两个定义:

(1):椭圆中,与两个定点F1,F2的距离的和等于常数2a,且此常数2a一定要大于F1F2,当常数等于F1F2时,轨迹是线段F1F2,当常数小于F1F2时,无轨迹;双曲线中,与两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数2a,且此常数2a一定要小于|F1F2|,定义中的“绝对值”与2a<|F1F2|不可忽视。若2a=|F1F2|,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线,若2a﹥|F1F2|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

已知定点F1(3,0),F2(3,0),在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 A.D.PF1

2

B.PF C.PF PF1PF2101PF241PF26

2

PF2

; 12(答:C)

(2)

8表示的曲线是_____(答:双曲线的左

支)

(2)第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点线距为分母”,其商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用第二定义对它们进行相互转化。

x2

如已知点Q(22,0)及抛物线y上一动点P(x,y),则y+|PQ|的最小值是_____

4

(答:2)

2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):

x2y2xacos(1)椭圆:焦点在x轴上时221(ab0)(参数方程,

ybsinab

y2x2

其中为参数),焦点在y轴上时22=1(ab0)。方程Ax2By2C表示椭

ab

圆的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B,C同号,A≠B)。

x2y2

如(1)已知方程1表示椭圆,则k的取值范围为____(答:

3k2k

11

(3,)(,2));

22

22

(2)若x,yR,且3x22y26,则xy的最大值是____,xy的最小值是

___

2)

x2y2y2x2

(2)双曲线:焦点在x轴上:22 =1,焦点在y轴上:22=1

abab

22

(a0,b0)。方程AxByC表示双曲线的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,

B异号)。

x2y25

如(1)双曲线的离心率等于,且与椭圆1有公共焦点,则该双曲线的方

942

x2

程_______(答:; y21)

4

(2)设中心在坐标原点O,焦点F1、F2在坐标轴上,离心率e2的双曲线C

过点P(4,),则C的方程为_______(答:x2y26)

(3)抛物线:开口向右时y22px(p0),开口向左时y22px(p0),开口向上时x22py(p0),开口向下时x22py(p0)。

3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):

(1)椭圆:由x,y

2

2

分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。

x2y2如已知方程则m的取值范围是__(答:1表示焦点在y轴上的椭圆,

m12m3

(,1)(1,))

2

22

(2)双曲线:由x,y项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;

(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 特别提醒:(1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点F1,F2的位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数a,b,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向; (2)在椭圆中,a最大,abc,在双曲线中,

2

2

2

c最大,c2a2b2。

4.圆锥曲线的几何性质:

x2y2

(1)椭圆(以221(ab0)为例):①范围:axa,byb;

ab

②焦点:两个焦点(c,0);③对称性:两条对称轴x0,y0,一个对称中心(0,0),a2四个顶点(a,0),(0,b),其中长轴长为2a,短轴长为2b;④准线:两条准线x;

c

c

⑤离心率:e,椭圆0e1,e越小,椭圆越圆;e越大,椭圆越扁。

a

25x2y2如(1)若椭圆,则m的值是__(答:3或); 1的离心率e

35m5

(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为__(答:22)

x2y2

21(a0,b0)为例)(2)双曲线(以:①范围:xa或xa,yR;2ab

②焦点:两个焦点(c,0);③对称性:两条对称轴x0,y0,一个对称中心(0,0),两个顶点(a,0),其中实轴长为2a,虚轴长为2b,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,

a2

称为等轴双曲线,其方程可设为xyk,k0;④准线:两条准线x; ⑤离

c

c

心率:e,双曲线e1

ee越小,开口越小,e越大,

a

b

开口越大;⑥两条渐近线:yx。

a

如 (1)双曲线的渐近线方程是3x2y0,则该双曲线的离心率等于______(

2

或);

3

122

(2)双曲线axby

1a:b4或);

4

x2y2

(3)设双曲线221(a>0,b>0)中,离心率e∈[2,2],则两条渐近线夹角

ab



θ的取值范围是________(答:[,]);

32

(3)抛物线(以y22px(p0)为例):①范围:x0,yR;②焦点:一个焦点p

(,0),其中p的几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴y0,没有2

pc

对称中心,只有一个顶点(0,0);④准线:一条准线x; ⑤离心率:e,抛物

2a

线e1。

2

2

如设a0,aR,则抛物线y4ax2的焦点坐标为________(答:(0,

1

; ))16a

x2y2

5、点P(x0,y0)和椭圆221(ab0)的关系:(1)点P(x0,y0)在椭圆

ab

2222

x0y0x0y0

外221;(2)点P(x0,y0)在椭圆上22=1;(3)点P(x0,y0)在椭圆

abab22x0y0

内221

ab

6.直线与圆锥曲线的位置关系:

(1)相交:0直线与椭圆相交; 0直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有0,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故0是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件;0直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有0,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。

22

如(1)若直线y=kx+2与双曲线x-y=6的右支有两个不同的交点,则k的取值范围

是_______(答:(-

,-1)); 3

x2y2

1恒有公共点,则m的取值范围是_______(2)直线y―kx―1=0与椭圆

5m

(答:[1,5)∪(5,+∞));

x2y2

(3)过双曲线1的右焦点直线交双曲线于A、B两点,若│AB︱=4,则

12

这样的直线有_____条(答:3);

(2)相切:0直线与椭圆相切;0直线与双曲线相切;0直线与抛物线相切;

(3)相离:0直线与椭圆相离;0直线与双曲线相离;0直线与抛物线相离。

特别提醒:(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果

x2y2

直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点;(2)过双曲线22=1

ab

外一点P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下:①P点在两条渐近线之间且

不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P为原点时不存在这样的直线;(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。

如(1)过点(2,4)作直线与抛物线y8x只有一个公共点,这样的直线有______(答:

2

x2y2

2); (2)过点(0,2)与双曲线1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为

916

4______

(答:,; )

3

y2

(3)过双曲线x1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点,若AB4,则

2

满足条件的直线l有____条(答:3);

22

(4)对于抛物线C:y4x,我们称满足y04x0的点M(x0,y0)在抛物线的内

2

部,若点M(x0,y0)在抛物线的内部,则直线l:y0y2(xx0)与抛物线C的位置关系是_______(答:相离);

(5)过抛物线y4x的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是p、q,则

2

11

; _______(答:1)

pq

x2y2

1的右焦点为F,右准线为l,设某直线m交其左支、右(6)设双曲线

169

支和右准线分别于P,Q,R,则PFR和QFR的大小关系为___________(填大于、小于或等于) (答:等于);

); 13

(8)直线yax1与双曲线3x2y21交于A、B两点。①当a为何值时,A、B分别在双曲线的两支上?②当a为何值时,以AB为直径的圆过坐标原点?(答:

①;②a1);

(7)求椭圆7x24y228上的点到直线3x

2y160的最短距离(答:

7、焦半径(圆锥曲线上的点P到焦点F的距离)的计算方法:利用圆锥曲线的第二定义,转化到相应准线的距离,即焦半径red,其中d表示P到与F所对应的准线的距离。

x2y2

如(1)已知椭圆1上一点P到椭圆左焦点的距离为3,则点P到右准线的距

2516

离为____(答:

35); 3

2

(2)已知抛物线方程为y8x,若抛物线上一点到y轴的距离等于5,则它到抛物线的焦点的距离等于____;

(3)若该抛物线上的点M到焦点的距离是4,则点M的坐标为_____(答:7,(2,4));

x2y2

(4)点P在椭圆1上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点

259

25

P的横坐标为_______(答:);

12

2

(5)抛物线y2x上的两点A、B到焦点的距离和是5,则线段AB的中点到y轴

的距离为______(答:2);

x2y2

(6)椭圆1内有一点P(1,1),F为右焦点,在椭圆上有一点M,使

43

26

; MP2MF 之值最小,则点M的坐标为_______(答:(,1))

3

8、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点P(x0,y0)到两焦点F1,F2的距离

x2y2

S,则在椭圆221中, ①=分别为r1,r2,焦点F1PF2的面积为

ab

b2c22b2

;1),且当r1r2即P为短轴端点时,最大为max=a2r1r2

2

②Sbtanc|y0|,当|y0|b即P为短轴端点时,Smax的最大值为bc;对于双曲

2

2b21x2y22

1Srrsinbcot线221的焦点三角形有:①arccos;②。 12rr22ab12

如 (1)短轴长为5,离心率e

2

的椭圆的两焦点为F1、F2,过F1作直线交椭圆于3

A、B两点,则ABF2的周长为________(答:6);

(2)设P是等轴双曲线x2y2a2(a0)右支上一点,F1、F2是左右焦点,若; PF2F1F20,|PF1|=6,则该双曲线的方程为(答:x2y24)

x2y2→→1的焦点为F1、F2,点P为椭圆上的动点,当PF2 ·PF1

点P的横坐标的取值范围是

(答:(; )

(4)双曲线的虚轴长为4,离心率e=,F1、F2是它的左右焦点,若过F1的直线

2

与双曲线的左支交于A、B两点,且是AF2与BF2等差中项,则AB=__________

(答:;

(5)已知双曲线的离心率为2,F1、F2是左右焦点,P为双曲线上一点,且

F1PF260,SPF1F2

x2y2

; .求该双曲线的标准方程(答:1)

412

9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质:(1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;(2)设AB为焦点弦, M为准线与x轴的交点,则∠AMF=∠BMF;(3)设AB为焦点弦,A、B在准线上的射影分别为A1,B1,若P为A1B1的中点,则PA⊥PB;(4)若AO的延长线交准线于C,则BC平行于x轴,反之,若过B点平行于x轴的直线交准线于C

点,则A,O,C三点共线。

10、弦长公式:若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点A、B,且x1,x2分别为A、B的横坐标,则AB

=1x2,若y1,y2分别为A、B的纵坐标,则AB=

1y1y2。xkyb,若弦AB所在直线方程设为,则yyAB

122

k

特别地,焦点弦(过焦点的弦):焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。

如(1)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,那么|AB|等于_______(答:8); (2)过抛物线y2x焦点的直线交抛物线于A、B两点,已知|AB|=10,O为坐标原点,则ΔABC重心的横坐标为_______(答:3);

11、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

2

b2x0x2y2

在椭圆221中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=-2;在双曲线

abay0b2x0x2y21中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=2;在抛物线a2b2ay0

y22px(p0)中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=

p。 y0

x2y2

1弦被点A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是 如(1)如果椭圆

369

(答:x2y80); x2y2

(2)已知直线y=-x+1与椭圆221(ab0)相交于A、B两点,且线段

ab

AB的中点在直线L:x-2y=0上,则此椭圆的离心率为_______

x2y2

(3)试确定m的取值范围,使得椭圆1上有不同的两点关于直线

43

; y4

xm对称(答:)



特别提醒:因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验0!

12.你了解下列结论吗?

2222yyxx(1)双曲线21的渐近线方程为220; 2

abab

22

byx(2)以yx为渐近线(即与双曲线21共渐近线)的双曲线方程为2aab

22

yx(为参数,≠0)。 22ab

x2y2

如与双曲线1有共同的渐近线,且过点(3,23)的双曲线方程为_______

916

4x2y2

1) (答:94

(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为mxny1;

2

2

2b2(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为,焦准距(焦点到

a

b2

相应准线的距离)为,抛物线的通径为2p,焦准距为p;

c

(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦;

(6)若抛物线y2px(p0)的焦点弦为AB,A(x1,y1),B(x2,y2),则

2

p2

,y1y2p2 ①|AB|x1x2p;②x1x242

(7)若OA、OB是过抛物线y2px(p0)顶点O的两条互相垂直的弦,则直线AB恒经过定点(2p,0)

13.动点轨迹方程:

(1)求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围; (2)求轨迹方程的常用方法:

①直接法:直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y)0;

如已知动点P到定点F(1,0)和直线x3的距离之和等于4,求P的轨迹方程.(答:

y212(x4)(3x4)或y24x(0x3));

②待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数。

如线段AB过x轴正半轴上一点M(m,0)(m0),端点A、B到x轴距离之积为2m,以x轴为对称轴,过A、O、B三点作抛物线,则此抛物线方程为(答:y22x);

③定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程; 如(1)由动点P向圆x2y21作两条切线PA、PB,切点分别为A、B,∠APB=60,则

动点P的轨迹方程为

(答:x2y24);

(2)点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x50的距离小于1,则点M的轨迹方程是_______ (答:y216x);

(3) 一动圆与两圆⊙M:x2y21和⊙N:x2y28x120都外切,则动圆圆心的轨迹为 (答:双曲线的一支);

④代入转移法:动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)的变化而变化,并且Q(x0,y0)又在某已知曲线上,则可先用x,y的代数式表示x0,y0,再将x0,y0代入已知曲线得要求的轨迹方程;

如动点P是抛物线y2x1上任一点,定点为A(0,1),点M分PA所成的比为2,

1

则M的轨迹方程为__________(答:y6x2);

3

⑤参数法:当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将x,y均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程)。

如(1)AB是圆O的直径,且|AB|=2a,M为圆上一动点,作MN⊥AB,垂足为N,在OM上取点P,使|OP||MN|,求点P的轨迹。(答:xya|y|);

(2)若点P(x1,y1)在圆xy1上运动,则点Q(x1y1,x1y1)的轨迹方程是____(答:y2x1(|x|

2

2

2

2

2



1

)); 22

(3)过抛物线x4y的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点,则弦AB的中点M的

2

轨迹方程是________(答:x2y2);

注意向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化,还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。

2

x2y2

如已知椭圆221(ab0)的左、右焦点分别是F1

ab

(-c,0)、F2(c,0),Q是椭圆外的动点,满足|F1|2a.点

P是线段F1Q与该椭圆的交点,点T在线段F2Q上,并且满足PTTF20,|TF2|0.(1)

c

x;(2)求点T的轨迹C的方程;(3)试问:a

在点T的轨迹C上,是否存在点M,使△F1MF2的面积S=b2.若存在,求∠F1MF2的正切

b2222

值;若不存在,请说明理由. (答:(1)略;(2)xya;(3)当a时不存在;

c

b2当a时存在,此时∠F1MF2=2)

c

设x为点P的横坐标,证明|F1P|a

②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.

③在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.

④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”,那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.

14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容:



(1) 给出直线的方向向量u1,k或um,n;

(3)给出0,等于已知P是MN的中点;

(4)给出,等于已知P,Q与AB的中点三点共线;



(5) 给出以下情形之一:①AB//AC;②存在实数,使;③若存在实



数,,且1,使OCOAOB,等于已知A,B,C三点共线.

(2)给出与AB相交,等于已知过AB的中点;

(6) 给出

,等于已知P是的定比分点,为定比,即

1



(7) 给出0,等于已知MAMB,即AMB是直角,给出

m0,等于已知AMB是钝角, 给出m0,等于已知AMB是

锐角,



(8

)给出MP,等于已知MP是AMB的平分线/

(9)在平行四边形ABCD中,给出(ABAD)(ABAD)0,等于已知ABCD

是菱形; 矩形;

(11)在ABC中,给出,等于已知O是ABC的外心(三角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点);

2

2

2



(10) 在平行四边形ABCD中,给出|ABAD||ABAD|,等于已知ABCD是

(12) 在ABC中,给出OAOBOC0,等于已知O是ABC的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点); (13)在ABC中,给出,等于已知O是ABC的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点);



ABAC)(R)等于已知通过(14)在ABC中,给出(|AB||AC|

ABC的内心;

BC中,(15)在A给出abc0等于已知O是ABC的内心(三

1

ABAC,等于已知AD是ABC中BC边的中(16) 在ABC中,给出AD2

角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点);



线;

赖建浩 19号

范文八:圆锥曲线解题技巧3

圆锥曲线解题技巧

一、常规七大题型:

(1)中点弦问题

具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法):设曲线上两点为(x1,y1),(x2,y2),代入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论),消去四个参数。

x2y2

如:(1)221(ab0)与直线相交于A、B,设弦AB中点为M(x0,y0),ab

则有x0y0k0。 a2b2

x2y2

(2221(a0,b0)与直线l相交于A、B,设弦AB中点为M(x0,y0)ab

则有x0y0k0 a2b2

(3)y2=2px(p>0)与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.

y2

1。过A(2,1)的直线与双曲线交于两点 典型例题 给定双曲线x22

P1 及P2,求线段P1P2的中点P的轨迹方程。

(2)焦点三角形问题

椭圆或双曲线上一点P,与两个焦点F1、F2构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭桥。

x2y2

典型例题 设P(x,y)为椭圆221上任一点,F1(c,0),F2(c,0)为焦点,ab

PF1F2,PF2F1。

(1)求证离心率esin(); sinsin

(2)求|PF1|3PF2|3的最值。

(3)直线与圆锥曲线位置关系问题

直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理,应特别注意数形结合的思想,通过图形的直观性帮助分析解决问题,如果直线过椭圆的焦点,结合三大曲线的定义去解。

典型例题

抛物线方程y2p(x1)(p0),直线xyt与x轴的交点在抛物线准线的右边。

(1)求证:直线与抛物线总有两个不同交点

(2)设直线与抛物线的交点为A、B,且OA⊥OB,求p关于t的函数f(t)的表达式。

(4)圆锥曲线的相关最值(范围)问题

圆锥曲线中的有关最值(范围)问题,常用代数法和几何法解决。

若命题的条件和结论具有明显的几何意义,一般可用图形性质来解决。

若命题的条件和结论体现明确的函数关系式,则可建立目标函数(通常利用二次函数,三角函数,均值不等式)求最值。

(1),可以设法得到关于a的不等式,通过解不等式求出a的范围,即:“求范围,找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数,利用求函数的值域求出a的范围;对于(2)首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数,然后再求它的最大值,即:“最值问题,函数思想”。

最值问题的处理思路:

1、建立目标函数。用坐标表示距离,用方程消参转化为一元二次函数的最值问题,关键是由方程求x、y的范围;

2、数形结合,用化曲为直的转化思想;

3、利用判别式,对于二次函数求最值,往往由条件建立二次方程,用判别

式求最值;

4、借助均值不等式求最值。

典型例题

已知抛物线y2=2px(p>0),过M(a,0)且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B,

|AB|≤2p

(1)求a的取值范围;(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求△NAB面积的最大值。

(5)求曲线的方程问题

1.曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。

典型例题

已知直线L过原点,抛物线C 的顶点在原点,焦点在x轴正半轴上。若点A(-1,0)和点B(0,8)关于L的对称点都在C上,求直线L和抛物线C的方程。

2.曲线的形状未知-----求轨迹方程

典型例题

已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C:x2+y2=1,

动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数

(>0),求动点M的轨迹方程,并说明它是什

么曲线。

(6) 存在两点关于直线对称问题

在曲线上两点关于某直线对称问题,可以按如下方式分三步解决:求两点所在的直线,求这两直线的交点,使这交点在圆锥曲线形内。(当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决)

x2y2

1,试确定m的取值范围,使得对于典型例题 已知椭圆C的方程43

直线y4xm,椭圆C上有不同两点关于直线对称

(7)两线段垂直问题

圆锥曲线两焦半径互相垂直问题,常用k1·k2

量的坐标运算来处理。

典型例题 已知直线l的斜率为k,且过点P(2,0),抛物线C:y24(x1),直线l与抛物线C有两个不同的交点(如图)。

(1)求k的取值范围;

(2)直线l的倾斜角为何值时,A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。

y1·y21来处理或用向x1·x2

二、解题的技巧方面:

在教学中,学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上,如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程,以及运用“设而不求”的策略,往往能够减少计算量。下面举例说明:

(1)充分利用几何图形

解析几何的研究对象就是几何图形及其性质,所以在处理解析几何问题时,除了运用代数方程外,充分挖掘几何条件,并结合平面几何知识,这往往能减少计算量。

典型例题 设直线3x4ym0与圆x2y2x2y0相交于P、Q两点,O为坐标原点,若OPOQ,求m的值。

(2) 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略

我们经常设出弦的端点坐标而不求它,而是结合韦达定理求解,这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。

典型例题 已知中心在原点O,焦点在y轴上的椭圆与直线yx1相交于P、Q两点,且OPOQ,|PQ|

(3) 充分利用曲线系方程

利用曲线系方程可以避免求曲线的交点,因此也可以减少计算。

典型例题 求经过两已知圆C1:x2y24x2y0和

C2:x2y22y40的交点,且圆心在直线l:2x4y10上的圆的方程。

(4)充分利用椭圆的参数方程

椭圆的参数方程涉及到正、余弦,利用正、余弦的有界性,可以解决相关的求最值的问题.这也是我们常说的三角代换法。

x2y2

典型例题 P为椭圆221上一动点,A为长轴的右端点,B为短轴的上ab,求此椭圆方程。 2

端点,求四边形OAPB面积的最大值及此时点P的坐标。

(5)线段长的几种简便计算方法

① 充分利用现成结果,减少运算过程

一般地,求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是:把直线方程ykxb

代入圆锥曲线方程中,得到型如ax2bxc0的方程,方程的两根设为xA,xB,判别式为△,则|AB|k2·|xAxB|k2,若直接用结论,能减少|a|

配方、开方等运算过程。

例 求直线xy10被椭圆x24y216所截得的线段AB的长。 ② 结合图形的特殊位置关系,减少运算

在求过圆锥曲线焦点的弦长时,由于圆锥曲线的定义都涉及焦点,结合图形运用圆锥曲线的定义,可回避复杂运算。

x2y2

1的两个焦点,例 F1、F2是椭圆AB是经过F1的弦,若|AB|8,259

求值|F2A||F2B|

③ 利用圆锥曲线的定义,把到焦点的距离转化为到准线的距离

例 点A(3,2)为定点,点F是抛物线y24x的焦点,点P在抛物线y24x上移动,若|PA||PF|取得最小值,求点P的坐标。

范文九:圆锥曲线解题技巧.

圆锥曲线

1.圆锥曲线的两个定义:

(1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F1,F2的距离的和等于常数2a,且此常数2a一定要大于F1F2,当常数等于F1F2时,轨迹是线段F1F2,当常数小于F1F2时,无轨迹;双曲线中,与两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数2a,且此常数2a一定要小于|F1F2|,定义中的“绝对值”与2a<|F1F2|不可忽视。若2a=|F1F2|,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线,若2a﹥|F1F2|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

如 (1)已知定点F1(3,0),F2(3,0),在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 D.PF1

2

A.

PF2

PF1PF24

2

B.

PF1PF26

C.PF1PF210

; 12(答:C)

(2)

8表示的曲线是_____(答:双曲线的左

支)?

(2)第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点线距为分母”,其商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用第二定义对它们进行相互转化。

如已知点Q(22,0)及抛物线y

x

2

4

上一动点P(x,y),则y+|PQ|的最小值是_____

(答:2)

2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):

(1)椭圆:焦点在x轴上时

xa

2222



yb

2222

1(ab0)

xacos

(参数方程,

ybsin

其中为参数),焦点在y轴上时

yx

ab

圆的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B,C同号,A≠B)。

22

=1(ab0)。方程AxByC表示椭

如(1)已知方程

(3,

12)(

12

x

2

3k

y

2

2k

1表示椭圆,则k的取值范围为____(答:

,2));

22

(2)若x,yR,且3x22y26,则xy的最大值是____,xy的最小值是

___

2)

(2)双曲线:焦点在x轴上:

2

2

xa

22

yb

22

=1,焦点在y轴上:

ya

22

xb

22

=1

(a0,b0)。方程AxByC表示双曲线的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B异号)。

如(1)双曲线的离心率等于程_______(答:

x

2

52

,且与椭圆

x

2

9

y

2

4

1有公共焦点,则该双曲线的方

4

; y1)

2的双曲线C

2

(2)设中心在坐标原点O,焦点F1、F2在坐标轴上,离心率e

过点P(4,),则C的方程为_______(答:x2y26)

(3)抛物线:开口向右时y22px(p0),开口向左时y22px(p0),开口向上时x22py(p0),开口向下时x22py(p0)。

3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):

22

(1)椭圆:由x,y分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。

如已知方程

(,1)(1,

32

x

2

m1

y

2

2m

则m的取值范围是__(答:1表示焦点在y轴上的椭圆,

))

2

(2)双曲线:由x,y

2

项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;

(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。

特别提醒:(1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点F1,F2的位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数a,b,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向; (2)在椭圆中,a最大,a2b2c2,在双曲线中,c最大,c2a2b2。

4.圆锥曲线的几何性质: ab

②焦点:两个焦点(c,0);③对称性:两条对称轴x0,y0,一个对称中心(0,0),

(1)椭圆(以

x

22

y

22

:①范围:axa,byb;1(ab0)为例)

四个顶点(a,0),(0,b),其中长轴长为2a,短轴长为2b;④准线:两条准线x⑤离心率:e

ca

a

2

c

,椭圆0e1,e越小,椭圆越圆;e越大,椭圆越扁。

x

2

如(1)若椭圆

3

(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,则椭圆长

5

m

5

y

2

1的离心率e

,则m的值是__(答:3或

25

);

轴的最小值为__(答:22)

ab

②焦点:两个焦点(c,0);③对称性:两条对称轴x0,y0,一个对称中心(0,0),

2

2

(2)双曲线(以

x2

y2

1(a0,b0)为例):①范围:xa或xa,yR;

两个顶点(a,0),其中实轴长为2a,虚轴长为2b,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,

称为等轴双曲线,其方程可设为x2y2k,k0;④准线:两条准线x心率:e

ca

a

2

c

; ⑤离

,双曲线e1,等轴双曲线

e

bax。

e越小,开口越小,e越大,

开口越大;⑥两条渐近线:y

如 (1)双曲线的渐近线方程是3x2y0,则该双曲线的离心率等于______(

3

2

);

(答:4或

14

(2)双曲线ax2by2

1,则a:b= (3)设双曲线

xa

22

);

yb

22

1(a>0,b>0)中,离心率e∈[2,2],则两条渐近线夹角

θ的取值范围是________(答:[

32,

; ])

(3)抛物线(以y22px(p0)为例):①范围:x0,yR;②焦点:一个焦点(p2

,0),其中p的几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴y0,没有

p2

对称中心,只有一个顶点(0,0);④准线:一条准线x线e1。

; ⑤离心率:e

ca

,抛物

如设a0,aR,则抛物线y4ax2的焦点坐标为________(答:(0,5、点P(x0,y0)和椭圆外内

x0ax

222

02

116a

; ))

xa

22

yb

22

1(ab0)的关系:(1)点P(x0,y0)在椭圆

x0a

22



y0by

2

22

02

1;(2)点P(x0,y0)在椭圆上1

y0b

2

2

=1;(3)点P(x0,y0)在椭圆

ab

6.直线与圆锥曲线的位置关系:

(1)相交:0直线与椭圆相交; 0直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有0,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故0是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件;0直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有0,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。

如(1)若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点,则k的取值范围

是_______(答:(-

3

,-1));

x

2

(2)直线y―kx―1=0与椭圆(答:[1,5)∪(5,+∞));

5

y

2

m

1恒有公共点,则m的取值范围是_______

12

这样的直线有_____条(答:3);

(2)相切:0直线与椭圆相切;0直线与双曲线相切;0直线与抛物线相切;

(3)相离:0直线与椭圆相离;0直线与双曲线相离;0直线与抛物线相离。

特别提醒:(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果

(3)过双曲线

x

2

y

2

1的右焦点直线交双曲线于A、B两点,若│AB︱=4,则

直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点;(2)过双曲线

x

22

ab外一点P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下:①P点在两条渐近线之间且

y

22

=1

不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P为原点时不存在这样的直线;(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。

如(1)过点(2,4)作直线与抛物线y28x只有一个公共点,这样的直线有______(答:2); (2)过点(0,2)与双曲线______

(答:



43,

x

2

9

y

2

16

1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为

; )3y

2

(3)过双曲线x

2

2

1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点,若AB4,则

满足条件的直线l有____条(答:3);

(4)对于抛物线C:y4x,我们称满足y04x0的点M(x0,y0)在抛物线的内部,若点M(x0,y0)在抛物线的内部,则直线l:y0y2(xx0)与抛物线C的位置关系是_______(答:相离); 2

(5)过抛物线y4x的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是p、q,则

(6)设双曲线

2

2

1p

1q

2

; _______(答:1)

1的右焦点为F,右准线为l,设某直线m交其左支、右

x

2

16

y

9

支和右准线分别于P,Q,R,则PFR和QFR的大小关系为___________(填大于、小于或等于) (答:等于);

(7)求椭圆7x24y228上的点到直线3x

2y160的最短距离(答:

2

2

13

);

(8)直线yax1与双曲线3xy1交于A、B两点。①当a为何值时,A、B分别在双曲线的两支上?②当a为何值时,以AB为直径的圆过坐标原点?(答:

①;②a1);

7、焦半径(圆锥曲线上的点P到焦点F的距离)的计算方法:利用圆锥曲线的第二定义,转化到相应准线的距离,即焦半径red,其中d表示P到与F所对应的准线的距离。

如(1)已知椭圆距离为____(答:

353x

2

25

y

2

16

1上一点P到椭圆左焦点的距离为3,则点P到右准线的

);

(2)已知抛物线方程为y28x,若抛物线上一点到y轴的距离等于5,则它到抛物

线的焦点的距离等于____;

(3)若该抛物线上的点M到焦点的距离是4,则点M的坐标为_____(答:

); 7,(2,4)

(4)点P在椭圆

x

2

25

y

2

P的横坐标为_______(答:

1上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点

925

12

);

(5)抛物线y22x上的两点A、B到焦点的距离和是5,则线段AB的中点到y轴

的距离为______(答:2);

(6)椭圆

x

2

4

y

2

3

1内有一点P(1,1),F为右焦点,在椭圆上有一点M,使

263

MP2MF 之值最小,则点M的坐标为_______(答:(; ,1))

8、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点P(x0,y0)到两焦点F1,F2的距离分别为r1,r2,焦点F1PF2的面积为S,则在椭圆

arccos(

2b

2

xa

22

yb

22

1中, ①=

r1r2

1),且当r1r2即P为短轴端点时,最大为

max

=arccos

bca

2

22

2

②Sbtan

2

c|y0|,当|y0|b即P为短轴端点时,Smax的最大值为bc;对于双曲

线

xa

22

yb

22

2

2b12

;1Srrsinbcot1的焦点三角形有:①arccos②。 1222r1r2

如 (1)短轴长为5,离心率e

23

的椭圆的两焦点为F1、F2,过F1作直线交椭圆于

A、B两点,则ABF2的周长为________(答:6);

(2)设P是等轴双曲线x2y2a2(a0)右支上一点,F1、F2是左右焦点,若; PF2F1F20,|PF1|=6,则该双曲线的方程为 (答:x2y24)

(3)椭圆

x

2

2

9

y

4

→→

1的焦点为F1、F2,点P为椭圆上的动点,当PF2 ·PF1

(答:(

62

; )

55

点P的横坐标的取值范围是

(4)双曲线的虚轴长为4,离心率e=

,F1、F2是它的左右焦点,若过F1的直线

与双曲线的左支交于A、B两点,且AB是AF2与BF2等差中项,则AB=__________

(答:;

(5)已知双曲线的离心率为2,F1、F2是左右焦点,P为双曲线上一点,且412

9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质:(1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;(2)设AB为焦点弦, M为准线与x轴的交点,则∠AMF=∠BMF;(3)设AB为焦点弦,A、B在准线上的射影分别为A1,B1,若P为A1B1的中点,则PA⊥PB;(4)若

F1PF260,SPF1F2123.求该双曲线的标准方程(答:

x

2

y

2

; 1)

AO的延长线交准线于C,则BC平行于x轴,反之,若过B点平行于x轴的直线交准线于C

点,则A,O,C三点共线。

10、弦长公式:若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点A、B,且x1,x2分别为A、B的横坐标,则AB

=

1

2

1x2,若y1,y2分别为A、B的纵坐标,则AB=

k

特别地,焦点弦(过焦点的弦):焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。

如(1)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,那么|AB|等于_______(答:8);

y1y2,若弦AB所在直线方程设为xkyb,则AB

1y2。

(2)过抛物线y2x焦点的直线交抛物线于A、B两点,已知|AB|=10,O为坐标原点,则ΔABC重心的横坐标为_______(答:3);

11、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆xa

22

2

xa

22

22

yb

22

1中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=-

2

bx0ay0

2

2

2

;在双曲线

yb

1中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=

bx0ay0

;在抛物线

y2px(p0)中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=

2

py0

36

(答:x2y80);

如(1)如果椭圆

x

2

y

2

9

1弦被点A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是

(2)已知直线y=-x+1与椭圆

xa

22

yb

22

1(ab0)相交于A、B两点,且线段

2

AB的中点在直线L:x-2y=0上,则此椭圆的离心率为_______

(答:

(3)试确定m的取值范围,使得椭圆

y4

xm对称(答:

1313

); 

x

2

);

4

y

2

3

1上有不同的两点关于直线

特别提醒:因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验0!

12.你了解下列结论吗? (1)双曲线

xa

22

yb

22

1的渐近线方程为

xa

2222



yb

2222

0;

1共渐近线)的双曲线方程为

(2)以y

xa

22

ba

x为渐近线(即与双曲线

xa

yb

yb

22

(

为参数,≠0)。

x

2

如与双曲线(答:

4x9

2

9

y

2

16

1有共同的渐近线,且过点(3,23)的双曲线方程为_______

y

2

4

1)

2

2

(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为mxny1; (4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为相应准线的距离)为

,抛物线的通径为2p,焦准距为p; c

(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦;

(6)若抛物线y2px(p0)的焦点弦为AB,A(x1,y1),B(x2,y2),则①|AB|x1x2p;②x1x2

p

2

2

2ba

2

,焦准距(焦点到

b

2

2

4

,y1y2p

2

(7)若OA、OB是过抛物线y2px(p0)顶点O的两条互相垂直的弦,则直线AB恒经过定点(2p,0)

13.动点轨迹方程:

(1)求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围; (2)求轨迹方程的常用方法:

①直接法:直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y)0;

如已知动点P到定点F(1,0)和直线x3的距离之和等于4,求P的轨迹方程.(答:22

y12(x4)(3x4)或y4x(0x3));

②待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数。

如线段AB过x轴正半轴上一点M(m,0)(m0),端点A、B到x轴距离之积为2m,以x轴为对称轴,过A、O、B三点作抛物线,则此抛物线方程为 (答:y22x);

③定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程;

如(1)由动点P向圆x2y21作两条切线PA、PB,切点分别为A、B,∠APB=600,则动点P的轨迹方程为

(答:x2y24);

(2)点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x50的距离小于1,则点M的轨迹方程是_______ (答:y216x);

(3) 一动圆与两圆⊙M:x2y21和⊙N:x2y28x120都外切,则动圆圆心的轨迹为 (答:双曲线的一支);

④代入转移法:动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)的变化而变化,并且Q(x0,y0)又在某已知曲线上,则可先用x,y的代数式表示x0,y0,再将x0,y0代入已知曲线得要求的轨迹方程;

如动点P是抛物线y2x1上任一点,定点为A(0,1),点M分PA所成的比为2,则M的轨迹方程为__________(答:y6x2

13

2



);

⑤参数法:当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将x,y均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程)。

如(1)AB是圆O的直径,且|AB|=2a,M为圆上一动点,作MN⊥AB,垂足为N,在OM上取点P,使|OP||MN|,求点P的轨迹。(答:xya|y|);

(2)若点P(x1,y1)在圆xy1上运动,则点Q(x1y1,x1y1)的轨迹方程是____

2

(答:y2x1(|x|

22

22

12

));

(3)过抛物线x4y的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点,则弦AB的中点M的轨迹方程是________(答:x2y2);

注意:①如果问题中涉及到平面向量知识,那么应从已知向量的特点出发,考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化,还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。

如已知椭圆

xa

22

2

2

yb

22

1(ab0)的左、右焦点分别是F1

(-c,0)、F2(c,0),Q是椭圆外的动点,满足|F1Q|2a.点

P是线段F1Q与该椭圆的交点,点T在线段F2Q上,并且满足PTTF20,|TF2|0.(1)设x为点P的横坐标,证明|F1P|a

ca

(2)求点T的轨迹C的方程;(3)试问:x;

在点T的轨迹C上,是否存在点M,使△F1MF2的面积S=b2.若存在,求∠F1MF2的正切值;若不存在,请说明理由. (答:(1)略;(2)xya;(3)当当b

2

2

2

2

b

2

c

a时不存在;

c

a时存在,此时∠F1MF2=2)

②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.

③在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.

④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”,那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.

14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容:



(1) 给出直线的方向向量u1,k或um,n;

(2)给出OAOB与AB相交,等于已知OAOB过AB的中点;

(3)给出PMPN0,等于已知P是MN的中点;



(5) 给出以下情形之一:①AB//AC;②存在实数,使ABAC;③若存在实



数,,且1,使OCOAOB,等于已知A,B,C三点共线.

(4)给出APAQBPBQ,等于已知P,Q与AB的中点三点共线;

(6) 给出OP

APPB

OAOB1

,等于已知P是AB的定比分点,为定比,即

(7) 给出MAMB0,等于已知MAMB,即AMB是直角,给出

MAMBm0,等于已知AMB是钝角, 给出MAMBm0,等于已知

AMB是

锐角,



(8)给出MP,等于已知MP是AMB的平分线/

(9)在平行四边形ABCD中,给出(ABAD)(ABAD)0,等于已知ABCD

是菱形; 矩形;



(10) 在平行四边形ABCD中,给出|ABAD||ABAD|,等于已知ABCD是

2

2

2

(11)在ABC中,给出OAOBOC,等于已知O是ABC的外心(三角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点);

(12) 在ABC中,给出OAOBOC0,等于已知O是ABC的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点); (13)在ABC中,给出OAOBOBOCOCOA,等于已知O是ABC的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点);

ABAC

)(R)等于已知AP通过(14)在ABC中,给出OPOA(|AB||AC|

ABC的内心;

(15)在ABC中,给出aOAbOBcOC0,等于已知O是ABC的内心(三角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点);

1

(16) 在ABC中,给出ADABAC,等于已知AD是ABC中BC边的中

2



线;

范文十:圆锥曲线解题技巧

圆锥曲线解题技巧

圆锥曲线学会注意这几点吧 ①定义和相应参数必须掌握。一些问题死算很花时间,而用定义几乎是秒杀。经常在最值类题目出现

②注意一些几何关系。在圆锥曲线题目中,经常用到三角形各心的性质,相似三角形以及全等等平面几何知识。这个经常在轨迹类题目出现。

③特别注意直线和圆锥曲线的位置关系这块知识,近几年各地高考考察率几乎是100%。尤其注意相交时的设而不求。这块知识往往是难点,难不是想不到,而是算不出。所以平时必须加强计算能力。常见问题:定值定点,参数范围,中点弦等、

④在基础的掌握后,必须自学一些课堂上讲不到的一些知识,对付一些题目可以起到事半功倍的效果。我推荐这几个:极坐标,参数方程,圆锥曲线硬解定理,隐函数求导,圆锥曲线的极点和极线。极坐标对于过焦点的直线的相关问题可谓是秒杀,参数方程可秒某些范围问题。硬解定理在80%的圆锥曲线题目中可用,但是式子复杂,我当时自己推了几

遍,然后每次都用用熟的,这个熟悉了之后,常见的一些题目都能在10分钟内解决了。隐函数求导和圆锥曲线的极点极线二选一,作用一样,都是用来解决中点弦问题,比点差法快。

注:极坐标和硬解定理以及参数方程可在答题卡上作答。其他的谨慎,大题老实点差法,小题偷偷用。

望采纳,祝学习愉快!