圆锥曲线解题技巧

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范文一:直线与圆锥曲线解题技巧

直线与圆锥曲线解题技巧

22

1.已知动点M的坐标满足方程13xy|12x5y12|,则动点M的轨迹是( )

A. 抛物线 B.双曲线 C. 椭圆 D.以上都不对

x2y2

1上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x2y0,F1、F22.设P是双曲线29a

分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1 A. 1或5

B. 1或9

|5,则|PF2|( )

C. 1 D. 9

3、设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2

为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( ).

A.

B. 21

C. 2

D. 2

1

4.过点(2,-1)引直线与抛物线yx2只有一个公共点,这样的直线共有( )条 A. 1 B.2

C. 3 D.4

5.已知点A(2,0)、B(3,0),动点P(x,y)满足y2,则点P的轨迹是 ( ) A.圆 B.椭圆

C.双曲线 D.抛物线

x2y2

1的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是( ) 6.如果椭圆

369

x2y0 x2y402x3y120 x2y80

22

7、无论为何值,方程x2siny1所表示的曲线必不是( )

A. 双曲线

2

B.抛物线 C. 椭圆 D.以上都不

2

2

8.方程mxny0与mxny1(mn0)的曲线在同一坐标系中的示意图应是

A B C D

题型一:数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系

x2y2

1始终有交点,求m的取值范围 例题1、已知直线l:ykx1与椭圆C:

4m

规律提示:通过直线的代数形式,可以看出直线的特点: l:ykx1过定点(01,) l:yk(x1)过定点(1,0) l:y2k(x1)过定点(1,2)

证明直线过定点,也是将满足条件的直线整理成以上三种形式之一,再得出结论。

练习:1、过点P(3,2) 和抛物线yx23x2 只有一个公共点的直线有( )条。

A.4 B.3 C.2 D.1

题型二:弦的垂直平分线问题

例题2、过点T(-1,0)作直线l与曲线N :yx交于A、B两点,在x轴上是否存在一点E(x0,0),使得ABE是等边三角形,若存在,求出x0;若不存在,请说明理由。 解:

2

13x2y2

练习1:已知椭圆C:221(ab0)过点(1,),且离心率e。

22ab

(Ⅰ)求椭圆方程;

(Ⅱ)若直线l:ykxm(k0)与椭圆交于不同的两点M、N,且线段MN的垂直平分线过定点G(,0),求k的取值范围。 解:

18

题型三:动弦过定点的问题

x2y2例题3、已知椭圆C:221(ab

0)的离心率为,且在x轴上的顶点分别为

ab2

A1(-2,0),A2(2,0)。

(I)求椭圆的方程;

(II)若直线l:xt(t2)与x轴交于点T,点P为直线l上异于点T的任一点,直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点,试问直线MN是否通过椭圆的焦点?并证明你的结论。

例题4 已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3;最小值为1;

(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;

(Ⅱ)若直线l:ykxm与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标。

2

练习:直线l:ykxm和抛物线y2px相交于A、B,以AB为直径的圆过抛物线的

顶点,证明:直线l:ykxm过定点,并求定点的坐标。 解:

题型五:共线向量问题

uuuruuurx2y2

1于P、Q两点,且DP=lDQ,求实数l例题7、设过点D(0,3)的直线交曲线M:

94

的取值范围。

练习:已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,它的一个顶点恰好是抛物线x24y的焦

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)点P为椭圆上一点,弦PA、PB分别过焦点F1、F2,(PA、PB都不与x轴垂直,其



点P的纵坐标不为0),若PF11F1A,PF22F2B,求12的值。

解:

题型六:面积问题

x2y26

例题8、已知椭圆C:221(a>b>0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的

ab3

距离为。

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为面积的最大值。 解:

,求△AOB2

x2

y21交于A、B两点,记ABC的面积为S。

练习1如图,直线ykxb与椭圆4

(Ⅰ)求在k0,0b1的条件下,S的最大值; (Ⅱ)当2,S1时,求直线AB的方程。 解:

题型七:弦或弦长为定值问题

例题9、在平面直角坐标系xOy中,过定点C(0,p)作直线与抛物线x2=2py(p>0)相交于A、B两点。

(Ⅰ)若点N是点C关于坐标原点O的对称点,求△ANB面积的最小值;

(Ⅱ)是否存在垂直于y轴的直线l,使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值?若存在,求出l的方程;若不存在,说明理由。(此题不要求在答题卡上画图) 练习

x2y2

设椭圆E: 221(a,b>0)过M(2

两点,O为坐标原点,

ab

(I)求椭圆E的方程;

(II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且



OAOB?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。

解:

题型八:角度问题

例题9、(08重庆理)如图(21)图,M(-2,0)和N(2,0)是平面上的两点,动点P满足:PMPN

6.

(Ⅰ)求点P的轨迹方程;

PN=(Ⅱ)若PM解:

2

,求点P的坐标.

1cosMPN

练习1、已知方向向量为v=(1,

)的直线l过点(0,-2)和椭圆C:

x2y2

21(a>b>0)的焦点,且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上. 2ab

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)是否存在过点E(-2,0)的直线m交椭圆C于点M、N,满足

OMON

请说明理由.

4

6cot∠MON≠0(O为原点).若存在,求直线m的方程;若不存在,3

问题九:四点共线问题

x2y2

例题10、设椭圆C:221(ab

0)过点M

,且着焦点为F1(

ab

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相交与两不同点A,B时,在线段AB上取点Q,



满足APQBAQPB,证明:点Q总在某定直线上

x2y2,右准线为l,练习设椭圆221 (ab0)的左、右焦点分别为F1、F

2,离心率eab

M、N是l上的两个动点,FMF2N0.

1



(Ⅰ)若|FM||F2N|a、b的值; 1



(Ⅱ)证明:当|MN|取最小值时,FMF2N与F1F2共线. 1

问题十:范围问题(本质是函数问题)

x2y2

例题1、已知直线yx1与椭圆221(ab0)相交于A、B两点。

ab

(1)若椭圆的离心率为

3

,焦距为2,求线段AB的长; 3

12

2]2

(2)若向量(其中O为坐标原点),当椭圆的离心率e[,与向量互相垂直

时,求椭圆的长轴长的最大值。

x2y2

设椭圆E: 221(a,b>0)过M(2

两点,O为坐标原点,

ab

(I)求椭圆E的方程;

(II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且



OAOB?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。

解:

问题十一、存在性问题:

x2y2

设椭圆E: 221(a,b>0)过M(2

两点,O为坐标原点, ab

(I)求椭圆E的方程;

(II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。

解:

练习设mR,在平面直角坐标系中,已知向量a(mx,y1),向量b(x,y1),ab,动点

M(x,y)的轨迹为E.

(1)求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;

(2)已知m 1,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交4

点A,B,且OAOB(O为坐标原点),并求出该圆的方程;

(3)已知m1222,设直线l与圆C:xyR(1

点B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值.

解:

11

直线与圆锥曲线解题技巧

22

1.已知动点M的坐标满足方程13xy|12x5y12|,则动点M的轨迹是( )

A. 抛物线 B.双曲线 C. 椭圆 D.以上都不对

x2y2

1上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x2y0,F1、F22.设P是双曲线29a

分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1 A. 1或5

B. 1或9

|5,则|PF2|( )

C. 1 D. 9

3、设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2

为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( ).

A.

B. 21

C. 2

D. 2

1

4.过点(2,-1)引直线与抛物线yx2只有一个公共点,这样的直线共有( )条 A. 1 B.2

C. 3 D.4

5.已知点A(2,0)、B(3,0),动点P(x,y)满足y2,则点P的轨迹是 ( ) A.圆 B.椭圆

C.双曲线 D.抛物线

x2y2

1的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是( ) 6.如果椭圆

369

x2y0 x2y402x3y120 x2y80

22

7、无论为何值,方程x2siny1所表示的曲线必不是( )

A. 双曲线

2

B.抛物线 C. 椭圆 D.以上都不

2

2

8.方程mxny0与mxny1(mn0)的曲线在同一坐标系中的示意图应是

A B C D

题型一:数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系

x2y2

1始终有交点,求m的取值范围 例题1、已知直线l:ykx1与椭圆C:

4m

规律提示:通过直线的代数形式,可以看出直线的特点: l:ykx1过定点(01,) l:yk(x1)过定点(1,0) l:y2k(x1)过定点(1,2)

证明直线过定点,也是将满足条件的直线整理成以上三种形式之一,再得出结论。

练习:1、过点P(3,2) 和抛物线yx23x2 只有一个公共点的直线有( )条。

A.4 B.3 C.2 D.1

题型二:弦的垂直平分线问题

例题2、过点T(-1,0)作直线l与曲线N :yx交于A、B两点,在x轴上是否存在一点E(x0,0),使得ABE是等边三角形,若存在,求出x0;若不存在,请说明理由。 解:

2

13x2y2

练习1:已知椭圆C:221(ab0)过点(1,),且离心率e。

22ab

(Ⅰ)求椭圆方程;

(Ⅱ)若直线l:ykxm(k0)与椭圆交于不同的两点M、N,且线段MN的垂直平分线过定点G(,0),求k的取值范围。 解:

18

题型三:动弦过定点的问题

x2y2例题3、已知椭圆C:221(ab

0)的离心率为,且在x轴上的顶点分别为

ab2

A1(-2,0),A2(2,0)。

(I)求椭圆的方程;

(II)若直线l:xt(t2)与x轴交于点T,点P为直线l上异于点T的任一点,直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点,试问直线MN是否通过椭圆的焦点?并证明你的结论。

例题4 已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3;最小值为1;

(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;

(Ⅱ)若直线l:ykxm与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标。

2

练习:直线l:ykxm和抛物线y2px相交于A、B,以AB为直径的圆过抛物线的

顶点,证明:直线l:ykxm过定点,并求定点的坐标。 解:

题型五:共线向量问题

uuuruuurx2y2

1于P、Q两点,且DP=lDQ,求实数l例题7、设过点D(0,3)的直线交曲线M:

94

的取值范围。

练习:已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,它的一个顶点恰好是抛物线x24y的焦

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)点P为椭圆上一点,弦PA、PB分别过焦点F1、F2,(PA、PB都不与x轴垂直,其



点P的纵坐标不为0),若PF11F1A,PF22F2B,求12的值。

解:

题型六:面积问题

x2y26

例题8、已知椭圆C:221(a>b>0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的

ab3

距离为。

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为面积的最大值。 解:

,求△AOB2

x2

y21交于A、B两点,记ABC的面积为S。

练习1如图,直线ykxb与椭圆4

(Ⅰ)求在k0,0b1的条件下,S的最大值; (Ⅱ)当2,S1时,求直线AB的方程。 解:

题型七:弦或弦长为定值问题

例题9、在平面直角坐标系xOy中,过定点C(0,p)作直线与抛物线x2=2py(p>0)相交于A、B两点。

(Ⅰ)若点N是点C关于坐标原点O的对称点,求△ANB面积的最小值;

(Ⅱ)是否存在垂直于y轴的直线l,使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值?若存在,求出l的方程;若不存在,说明理由。(此题不要求在答题卡上画图) 练习

x2y2

设椭圆E: 221(a,b>0)过M(2

两点,O为坐标原点,

ab

(I)求椭圆E的方程;

(II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且



OAOB?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。

解:

题型八:角度问题

例题9、(08重庆理)如图(21)图,M(-2,0)和N(2,0)是平面上的两点,动点P满足:PMPN

6.

(Ⅰ)求点P的轨迹方程;

PN=(Ⅱ)若PM解:

2

,求点P的坐标.

1cosMPN

练习1、已知方向向量为v=(1,

)的直线l过点(0,-2)和椭圆C:

x2y2

21(a>b>0)的焦点,且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上. 2ab

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)是否存在过点E(-2,0)的直线m交椭圆C于点M、N,满足

OMON

请说明理由.

4

6cot∠MON≠0(O为原点).若存在,求直线m的方程;若不存在,3

问题九:四点共线问题

x2y2

例题10、设椭圆C:221(ab

0)过点M

,且着焦点为F1(

ab

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相交与两不同点A,B时,在线段AB上取点Q,



满足APQBAQPB,证明:点Q总在某定直线上

x2y2,右准线为l,练习设椭圆221 (ab0)的左、右焦点分别为F1、F

2,离心率eab

M、N是l上的两个动点,FMF2N0.

1



(Ⅰ)若|FM||F2N|a、b的值; 1



(Ⅱ)证明:当|MN|取最小值时,FMF2N与F1F2共线. 1

问题十:范围问题(本质是函数问题)

x2y2

例题1、已知直线yx1与椭圆221(ab0)相交于A、B两点。

ab

(1)若椭圆的离心率为

3

,焦距为2,求线段AB的长; 3

12

2]2

(2)若向量(其中O为坐标原点),当椭圆的离心率e[,与向量互相垂直

时,求椭圆的长轴长的最大值。

x2y2

设椭圆E: 221(a,b>0)过M(2

两点,O为坐标原点,

ab

(I)求椭圆E的方程;

(II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且



OAOB?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。

解:

问题十一、存在性问题:

x2y2

设椭圆E: 221(a,b>0)过M(2

两点,O为坐标原点, ab

(I)求椭圆E的方程;

(II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。

解:

练习设mR,在平面直角坐标系中,已知向量a(mx,y1),向量b(x,y1),ab,动点

M(x,y)的轨迹为E.

(1)求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;

(2)已知m 1,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交4

点A,B,且OAOB(O为坐标原点),并求出该圆的方程;

(3)已知m1222,设直线l与圆C:xyR(1

点B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值.

解:

11

范文二:圆锥曲线问题解题技巧

圆锥曲线的综合问题包括 解析法的应用,与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题,圆锥曲线知识的纵向联系,圆锥曲线知识和三角、复数等代数知识的横向联系,解答这部分试题,需要较强的代数运算能力和图形认识能力,要能准确地进行数与形的语言转换和运算,推理转换,并在运算过程中注意思维的严密性,以保证结果的完整。

重难点归纳

解决圆锥曲线综合题,关键是熟练掌握每一种圆锥曲线(包括椭圆、双曲线、抛物线)的定义、标准方程、图形与几何性质,注意挖掘知识的内在联系及其规律,通过对知识的重新组合,以达到巩固知识、提高能力的目的

(1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题,需构造参数满足的不等式,通过求不等式(组)求得参数的取值范围;或建立关于参数的目标函数,转化为函数的值域。

(2)对于圆锥曲线的最值问题,解法常有两种 当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,可考虑利用数形结合法解;当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立目标函数,再求这个函数的最值。

典型题例示范讲解

如图,已知椭■+■=1(2≤m≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D,设f(m)=||AB|-|CD||

(1)求f(m)的解析式;

(2)求f(m)的最值.

解 (1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、c,则a2=m,b2=m-1,c2=a2-b2=1

∴椭圆的焦点为F1(-1,0),F2(1,0)

故直线的方程为y=x+1,又椭圆的准线方程为x=±■,即x=±m。

∴A(-m,-m+1),D(m,m+1)

考虑方程组y=x+1■+■=1,消去y得:(m-1)x2+m(x+1)2=m(m-1)

整理得:(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0

Δ=4m2-4(2m-1)(2m-m2)=8m(m-1)2

∵2≤m≤5,∴Δ>0恒成立,xB+xC=■.

又∵A、B、C、D都在直线y=x+1上

∴|AB|=|xB-xA|=■=(xB-xA)·■,|CD|=(xD-xC)

∴||AB|-|CD||=|xB-xA+xD-xC|=■|(xB+xC)-(xA+xD)|

又∵xA=-m,xD=m,∴xA+xD=0

∴||AB|-|CD||=|xB+xC|·■=|■|·■=(2≤m≤5)

故f(m)=■,m∈[2,5]

(2)由f(m)=■,可知f(m)=■

又2-■≤2-■≤2-■,∴f(m)∈■,■

故f(m)的最大值为■,此时m=2;f(m)的最小值为■,此时m=5

本题主要考查利用解析几何的知识建立函数关系式,并求其最值,体现了圆锥曲线与代数间的密切关系 主要应用直线与圆锥曲线的交点,韦达定理,根的判别式,利用单调性求函数的最值等知识点一定要注意在第(1)问中,要注意验证当2≤m≤5时,直线与椭圆恒有交点 第(1)问中,若注意到xA,xD为一对相反数,则可迅速将||AB|-|CD||化简 第(2)问,利用函数的单调性求最值是常用方法。

(作者单位:山东省淄博市第四中学)

范文三:圆锥曲线解题技巧

圆锥曲线:概念、方法、题型、及技巧总结

1.圆锥曲线的定义:

(1)定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F1,F2的距离的和等于常数2a,且此常数2a一定要大于F1F2,当常数等于F1F2时,轨迹是线段F1F2,当常数小于F1F2时,无轨迹;双曲线中,与两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数2a,且此常数2a一定要小于|F1F2|,定义中的“绝对值”与2a<|F1F2|不可忽视。若2a=|F1F2|,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线,若2a﹥|F1F2|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

如 (1)已知定点F1(3,0),F2(3,0),在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 A.

D.PF12 B.PF C.PF PF1PF2101PF241PF262PF212

(2)

8表示的曲线是_____

2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):

x2y2xacos(1)椭圆:焦点在x轴上时221(ab0)(参数方程,ybsinab

2yx2

22其中为参数),焦点在y轴上时22=1(ab0)。方程AxByC表示椭ab

圆的充要条件是什么? 

x2y2

如(1)已知方程1表示椭圆,则k的取值范围为____ 3k2k

22(2)若x,yR,且3x22y26,则xy的最大值是____,xy的最小值是

___

x2y2y2x2

(2)双曲线:焦点在x轴上:22 =1,焦点在y轴上:22=1abab

22(a0,b0)。方程AxByC表示双曲线的充要条件是什么?

x2y25如(1)双曲线的离心率等于,且与椭圆1有公共焦点,则该双曲线的方942

程_______

(2)设中心在坐标原点O,焦点F1、F2在坐标轴上,离心率e

过点P(4,),则C的方程为_______

(3)抛物线:开口向右时y2px(p0),开口向左时y2px(p0),开口向上时x2py(p0),开口向下时x2py(p0)。

3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):

(1)椭圆:由x,y222的双曲线C2222分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。

x2y2

如已知方程1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是__ m12m

(2)双曲线:由x,y项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;

(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。

特别提醒:(1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点F1,F2的位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数a,b,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向; (2)在椭圆中,a最大,abc,在双曲线中,22222

c最大,c2a2b2。

4.圆锥曲线的几何性质:

x2y2

(1)椭圆(以221(ab0)为例):①范围:axa,byb;ab

②焦点:两个焦点(c,0);③对称性:两条对称轴x0,y0,一个对称中心(0,0),

c四个顶点(a,0),(0,b),其中长轴长为2a,短轴长为2b;④离心率:e,椭圆a

0e1,e越小,椭圆越圆;e越大,椭圆越扁。

x2y2如(1)若椭圆,则m的值是__ 1的离心率e5m5

(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为__

x2y221(a0,b0)(2)双曲线(以为例):①范围:xa或xa,yR;2ab

②焦点:两个焦点(c,0);③对称性:两条对称轴x0,y0,一个对称中心(0,0),两个顶点(a,0),其中实轴长为2a,虚轴长为2b,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,

c称为等轴双曲线,其方程可设为x2y2k,k0;④离心率:e,双曲线e1,a

b等轴双曲线

ee越小,开口越小,e越大,开口越大;⑥两条渐近线:yx。 a

如 (1)双曲线的渐近线方程是3x2y0,则该双曲线的离心率等于______

(2)双曲线axby

1a:b22x2y2

(3)设双曲线221(a>0,b>0)中,离心率e∈[2,2],则两条渐近线夹角ab

θ的取值范围是________

(3)抛物线(以y2px(p0)为例):①范围:x0,yR;②焦点:一个焦点2

p(,0),其中p的几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴y0,没有2

pc对称中心,只有一个顶点(0,0);④准线:一条准线x; ⑤离心率:e,抛物2a

线e1。

范文四:圆锥曲线的解题技巧

摘 要: 作者从知识准备、常见问题出发,论述了圆锥曲线的利用几何图形、曲线方程、韦达定理等解题策略。

关键词: 圆锥曲线 题型 解题策略

一、知识准备

基本概念;基本公式;求直线方程的方法;在解决直线与圆的位置关系问题中,运用圆的几何性质;了解线性规划的意义及简单应用;熟悉圆锥曲线中基本量的计算;掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法;掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法;能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题。

二、题型罗列

1.中点弦问题

具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法):设曲线上两点为(x,y),(x,y),代入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式,消去四个参数。

例:给定双曲线x-=1,过A(2,1)的直线与双曲线交于两点P和P,求线段PP的中点P的轨迹方程。

2.焦点三角形问题

椭圆或双曲线上一点P,与两个焦点F、F构成的三角形问题,常用正、余弦定理。

例:设P(x,y)为椭圆+=1上任一点,F(-c,0),F(c,0)为焦点,∠PFF=α,∠PFF=β。

(1)求证:离心率e=;

(2)求|PF|+|PF|的最值。

3.直线与圆锥曲线位置关系问题

直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判别式,应特别注意数形结合的办法。

例:抛物线方程y=p(x+1)(p>0),直线x+y=t与x轴的交点在抛物线准线的右边。

(1)求证:直线与抛物线总有两个不同交点。

(2)设直线与抛物线的交点为A、B,且OA⊥OB,求p关于t的函数f(t)的表达式。

4.圆锥曲线的有关最值问题

圆锥曲线中的有关最值问题,常用代数法和几何法解决。若命题的条件和结论具有明显的几何意义,一般可用图像性质来解决。若命题的条件和结论体现明确的函数关系式,则可建立目标函数(通常利用二次函数,三角函数,均值不等式)求最值。下题中的(1),可先设法得到关于a的不等式,通过解不等式求出a的范围,即:“求范围,找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数,利用求函数的值域求出a的范围。对于(2),首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数,然后再求它的最大值,即“最值问题,函数思想”。

例:已知抛物线y=2px(p>0),过M(a,0)且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B,|AB|≤2p,(1)求a的取值范围;(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求△NAB面积的最大值。

5.求曲线的方程问题

(1)曲线的形状已知,这类问题一般可用待定系数法解决。

例:已知直线L过原点,抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴正半轴上。若点A(-1,0)和点B(0,8)关于L的对称点都在C上,求直线L和抛物线C的方程。

(2)曲线的形状未知,求轨迹方程。

例:已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C:x+y=1,动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ>0),求动点M的轨迹方程,并说明它是什么曲线。

6.存在两点关于直线对称问题

在曲线上两点关于某直线对称问题,可按如下方法解题:求两点所在的直线,求这两直线的交点,使这交点在圆锥曲线形内。当然也可利用韦达定理并结合判别式来解决。

例:已知椭圆C的方程+=1,试确定m的取值范围,使得对于直线y=4x+m,椭圆C上有不同两点关于直线对称。

7.两线段垂直问题

圆锥曲线两焦半径互相垂直问题,常用k•k==-1来处理或用向量的坐标运算来处理。

例:已知直线l的斜率为k,且过点P(-2,0),抛物线C:y=4(x+1),直线l与抛物线C有两个不同的交点。(1)求k的取值范围;(2)直线l的倾斜角θ为何值时,A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。

三、解题策略

事实上,如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程,以及运用“设而不求”的策略,往往能够减少计算量。下面举例说明。

1.充分利用几何图形的策略

解析几何的研究对象就是几何图形及其性质,所以在处理解析几何问题时,除了运用代数方程外,充分挖掘几何条件,并结合平面几何知识,往往能减少计算量。

例:设直线3x+4y+m=0与圆x+y+x-2y=0相交于P、Q两点,O为坐标原点,若OP⊥OQ,求m的值。

2.充分利用韦达定理的策略

我们经常设出弦的端点坐标但不求它,而是结合韦达定理求解,这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。

例:已知中心在原点O,焦点在y轴上的椭圆与直线y=x+1相交于P、Q两点,且OP⊥OQ,|PQ|=,求此椭圆方程。

3.充分利用曲线方程的策略

例:求经过两已知圆C:x+y-4x+2y=0和C:x+y-2y-4=0的交点,且圆心在直线l:2x+4y-1=0上的圆的方程。

4.充分利用椭圆的参数方程的策略

椭圆的参数方程涉及正、余弦,利用正、余弦的有界性,可以解决相关的求最值的问题。这也就是我们常说的三角代换法。

例:P为椭圆+=1上一动点,A为长轴的右端点,B为短轴的上端点,求四边形OAPB面积的最大值及此时点P的坐标。

5.线段长的几种简便计算策略

(1)充分利用现成结果,减少运算过程。

求直线与圆锥曲线相交的弦AB长:把直线方程y=kx+b代入圆锥曲线方程中,得到型如ax+bx+c=0的方程,方程的两根设为x,x,判别式为△,则|AB|=•|x-x|=•,若直接用结论,能减少配方、开方等运算过程。

例:求直线x-y+1=0被椭圆x+4y=16所截得的线段AB的长。

(2)结合图形的特殊位置关系,减少运算。

在求过圆锥曲线焦点的弦长时,由于圆锥曲线的定义都涉及焦点,结合图形运用圆锥曲线的定义,可回避复杂运算。

例:F、F是椭圆+=1的两个焦点,AB是经过F的弦,若|AB|=8,求|FA|+|FB|的值。

(3)利用圆锥曲线的定义,把到焦点的距离转化为到准线的距离。

例:点A(3,2)为定点,点F是抛物线y=4x的焦点,点P在抛物线y=4x上移动,若|PA|+|PF|取得最小值,求点P的坐标。

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范文五:圆锥曲线的解题技巧

圆锥曲线的解题技巧

一、高考考点

1、准确理解基本概念(如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等)

2、熟练掌握基本公式(如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等)

3、熟练掌握求直线方程的方法(如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为0等等)

4、在解决直线与圆的位置关系问题中,要善于运用圆的几何性质以减少运算

5、了解线性规划的意义及简单应用

6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算

7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法(如:定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等)

8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法,能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题

A:常规题型方面

(1)中点弦问题

具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法):设曲线上两点为(x1,y1),(x2,y2),代入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式,消去四个参数。

y2

1。 典型例题 给定双曲线x过A(2,1)的直线与双曲线交于两点P1 及P2,22

求线段P1P2的中点P的轨迹方程。

(2)焦点三角形问题

椭圆或双曲线上一点P,与两个焦点F1、F2构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭桥。

x2y2

典型例题 设P(x,y)为椭圆221上任一点,F1(c,0),F2(c,0)为焦点,ab

PF1F2,PF2F1。

(1)求证离心率esin(); sinsin

(2)求|PF1|3PF2|3的最值。

(3)直线与圆锥曲线位置关系问题

直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判别式,应特别注意数形结合的办法

典型例题

抛物线方程y2p(x1)(p0),直线xyt与x轴的交点在抛物线准线的右边。

(1)求证:直线与抛物线总有两个不同交点

(2)设直线与抛物线的交点为A、B,且OA⊥OB,求p关于t的函数f(t)的表达式。

(4)圆锥曲线的有关最值(范围)问题

圆锥曲线中的有关最值(范围)问题,常用代数法和几何法解决。

若命题的条件和结论具有明显的几何意义,一般可用图形性质来解决。

若命题的条件和结论体现明确的函数关系式,则可建立目标函数(通常利用二次函数,三角函数,均值不等式)求最值。

(1),可以设法得到关于a的不等式,通过解不等式求出a的范围,即:“求范围,找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数,利用求函数的值域求出a的范围;对于(2)首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数,然后再求它的最大值,即:“最值问题,函数思想”。

典型例题

已知抛物线y2=2px(p>0),过M(a,0)且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B, |AB|≤2p

(1)求a的取值范围;(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求△NAB面积的最大值。

(5)求曲线的方程问题

1.曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。

典型例题

已知直线L过原点,抛物线C 的顶点在原点,焦点在x轴正半轴上。若点A(-1,0)和

点B(0,8)关于L的对称点都在C上,求直线L和抛物线C的方程。

2.曲线的形状未知-----求轨迹方程

典型例题

已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C:x2+y2=1, 动

点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数(>0),

求动点M的轨迹方程,并说明它是什么曲线。

(6) 存在两点关于直线对称问题

在曲线上两点关于某直线对称问题,可以按如下方式分三步解决:求两点所在的直线,求这两直线的交点,使这交点在圆锥曲线形内。(当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决) x2y2

1,试确定m的取值范围,使得对于直线典型例题 已知椭圆C的方程43

y4xm,椭圆C上有不同两点关于直线对称

(7)两线段垂直问题

圆锥曲线两焦半径互相垂直问题,常用k1·k2

运算来处理。

典型例题 已知直线l的斜率为k,且过点P(2,0),抛物线C:y4(x1),直线l与抛物线C有两个不同的交点(如图)。

(1)求k的取值范围;

(2)直线l的倾斜角为何值时,A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。

2y1·y21来处理或用向量的坐标x1·x2

B:解题的技巧方面

在教学中,学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上,如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程,以及运用“设而不求”的策略,往往能够减少计算量。下面举例说明:

(1)充分利用几何图形

解析几何的研究对象就是几何图形及其性质,所以在处理解析几何问题时,除了运用代数方程外,充分挖掘几何条件,并结合平面几何知识,这往往能减少计算量。

典型例题 设直线3x4ym0与圆x2y2x2y0相交于P、Q两点,O为坐标原点,若OPOQ,求m的值。

二. 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略

我们经常设出弦的端点坐标而不求它,而是结合韦达定理求解,这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。

典型例题 已知中心在原点O,焦点在y轴上的椭圆与直线yx1相交于P、Q两点,且OPOQ,|PQ|,求此椭圆方程。 2

三. 充分利用曲线系方程

利用曲线系方程可以避免求曲线的交点,因此也可以减少计算。

典型例题 求经过两已知圆C1:xy4x2y0和C2:xy2y40的交点,且圆心在直线l:2x4y10上的圆的方程。 2222

四、充分利用椭圆的参数方程

椭圆的参数方程涉及到正、余弦,利用正、余弦的有界性,可以解决相关的求最值的问题.这也是我们常说的三角代换法。

x2y2

典型例题 P为椭圆221上一动点,A为长轴的右端点,B为短轴的上端点,求四ab

边形OAPB面积的最大值及此时点P的坐标。

五、线段长的几种简便计算方法

① 充分利用现成结果,减少运算过程

一般地,求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是:把直线方程ykxb代入圆锥曲线方程中,得到型如axbxc0的方程,方程的两根设为xA,xB,判别式为△,则|AB|k2·|xAxB|

过程。

例 求直线xy10被椭圆x24y216所截得的线段AB的长。

② 结合图形的特殊位置关系,减少运算

在求过圆锥曲线焦点的弦长时,由于圆锥曲线的定义都涉及焦点,结合图形运用圆锥曲线的定义,可回避复杂运算。 2,若直接用结论,能减少配方、开方等运算k2|a|

x2y2

1的两个焦点,AB是经过F1的弦,若|AB|8,求值例 F1、F2是椭圆259

|F2A||F2B|

③ 利用圆锥曲线的定义,把到焦点的距离转化为到准线的距离

例 点A(3,2)为定点,点F是抛物线y4x的焦点,点P在抛物线y4x上移动,若|PA||PF|取得最小值,求点P的坐标。 22

范文六:圆锥曲线的解题技巧

2013 个性化辅导教案 (数学)

老师 汪小勇 学生姓名 谢锐君 教材版本 姓名 学科 数学 年级 上课时间 11 名称 课题 圆锥曲线 名称 教学  掌握几种简单的圆锥曲线解题技巧 重点 知识梳理

苏教版 2013.12.13(19:00-21:00)

1. 直线方程的形式 (1)直线方程的形式有五种:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式. (2)与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率:_______________________ ②点到直线的距离:_____________________ ③夹角公式: __________________________ (3)弦长公式 直线 y  kx  b 上两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 之间的距离: ____________________________________________ (4)两条直线的位置关系及条件 ①__________________ ②____________________ 2.圆锥曲线方程及性质 (1) 椭圆方程的三种形式 标准方程: ____________________ 距离式方程: __________________ 参数方程: ____________________ (2) 双曲线的方程的形式有两种 标准方程: ____________________ 距离式方程: __________________ (3) 三种圆锥曲线的通径 椭圆:_________ 双曲线:_________ 抛物线:_________ (4) 圆锥曲线的定义记清楚 如:已知 F、F2 是椭圆 1

教 学 过 程

x2 y2   1 的两个焦点,平面内一个动点 M 满足 MF1  MF2  2 则动点 M 4 3

的轨迹是( ) A、双曲线; B、双曲线的一支; C、两条射线; D、一条射线 (5) 焦点三角形面积公式: P 在椭圆上时,______________________ P 在双曲线上时, ___________________

2 2 2      (其中 F1 PF2   , cos   | PF1 |  | PF2 | 4c , PF1  PF2 | PF1 | | PF2 | cos  )

| PF1 |  | PF2 |

(6) 记住焦半径公式: (a)椭圆焦点在 x 轴上为_____;焦点在 y 轴上时为_____,可简记为“左加右减,上加下减” . 第 1 页 共 5 页

2013 个性化辅导教案 (数学) (b)双曲线焦点在 x 轴上时为_______ (c)抛物线焦点在 x 轴上时为_______,焦点在 y 轴上时为_____.

1、点差法(中点弦问题)

例1

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M (a, b) 为椭圆

 x12 y12 1   4 3  2 2  x2  y2  1 4 3 

x2 y2   1 的弦 AB 中点 4 3

则有

两式相减得

( x12  x22 ) ( y12  y22 ) ( x  x )( x  x ) ( y  y )( y  y ) 3a   0  1 2 1 2   1 2 1 2  k AB   4 3 4 3 4b

2、联立消元法

怎样解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题呢, 经典套路是什么, 如果有两个 参数怎么办. 设直线的方程,并且与曲线的方程联立,消去一个未知数,得到一个二次方程, 使用判别式   0 ,以及根与系数的关系,代入弦长公式. 例 2 已知三角形 ABC 的三个顶点均在椭圆 4 x 2  5 y 2  80 上, 且点 A 是椭圆短轴的一 个端点(点 A 在 y 轴正

半轴上). (1)若三角形 ABC 的重心是椭圆的右焦点,试求直线 BC 的方程; (2)若角 A 为 90 0 , AD 垂直 BC 于 D ,试求点 D 的轨迹方程.

第 2 页 共 5 页

2013 个性化辅导教案 (数学) 3、求根公式法 例 5 设直线 l 过点 P(0,3) ,和椭圆

x2 y2 AP 的取值范围.   1 顺次交于 A、B 两点,试求 9 4 PB

分析:求取值范围,不外乎两条路: 1、构造所求变量关于某个参数的函数关系式,这只需利用对应的思想实施; 2、构造关于所求量的一个不等关系.

能力提升 1、 已知椭圆 E 的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过 A(2,0)、B(2,0)、C (1, ) 三点. (1)求椭圆 E 的方程: (2)若点 D 为椭圆 E 上不同于 A、B 的任意一点, F (1,0), H (1,0) ,当 DFH 内切圆的 面积最大时,求 DFH 内心的坐标;

3 2

2、 已知定点 C (1 0) 及椭圆 x  3 y  5 ,过点 C 的动直线与椭圆相交于 A,B 两点. ,

2 2

1 ,求直线 AB 的方程; 2   (2)在 x 轴上是否存在点 M ,使 MA  MB 为常数,若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请

(1)若线段 AB 中点的横坐标是  说明理由.

第 3 页 共 5 页

2013 个性化辅导教案 (数学) 3、 已知椭圆的中心在原点, 焦点在 x 轴上, 长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M (2,1) 平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m(m  0) , l 交椭圆于 A、B 两个不同点。 (1)求椭圆的方程; (2)求 m 的取值范围;

例 10 已知双曲线

x2 y2 2 3 3 ,过 A(a,0), B(0, b) 的直线到原点的距离是  2  1 的离心率 e  2 3 2 a b

(1)求双曲线的方程; (2)已知直线 y  kx  5(k  0) 交双曲线于不同的点 C, D 且 C, D 都在以 B 为圆心的圆上, 求

k 的值.

例 11 已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3 , 最小值为 1 . (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 l : y  kx  m 与椭圆 C 相交于 A、B 两点( A、B 不是左右顶点) ,且以 AB 为直 第 4 页 共 5 页

2013 个性化辅导教案 (数学) 径的圆过椭圆 C 的右顶点.求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

例 12、 已知双曲线

x2 y2   1(a  0, b  0) 的左右两个焦点分别为 F1、F2 ,点 P 在双曲线右支上. a2 b2

(1)若当点 P 的坐标为 (

3 41 16 , ) 时, PF1  PF2 ,求双曲线的方程; 5 5 (2)若 | PF1 | 3 | PF2 | ,求双曲线离心率 e 的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程.

课后 小结

上课情况: 课后需再巩固的内容: 教研组长签名

第 5 页 共 5 页2013 个性化辅导教案 (数学)

老师 汪小勇 学生姓名 谢锐君 教材版本 姓名 学科 数学 年级 上课时间 11 名称 课题 圆锥曲线 名称 教学  掌握几种简单的圆锥曲线解题技巧 重点 知识梳理

苏教版 2013.12.13(19:00-21:00)

1. 直线方程的形式 (1)直线方程的形式有五种:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式. (2)与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率:_______________________ ②点到直线的距离:_____________________ ③夹角公式: __________________________ (3)弦长公式 直线 y  kx  b 上两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 之间的距离: ____________________________________________ (4)两条直线的位置关系及条件 ①__________________ ②____________________ 2.圆锥曲线方程及性质 (1) 椭圆方程的三种形式 标准方程: ____________________ 距离式方程: __________________ 参数方程: ____________________ (2) 双曲线的方程的形式有两种 标准方程: ____________________ 距离式方程: __________________ (3) 三种圆锥曲线的通径 椭圆:_________ 双曲线:_________ 抛物线:_________ (4) 圆锥曲线的定义记清楚 如:已知 F、F2 是椭圆 1

教 学 过 程

x2 y2   1 的两个焦点,平面内一个动点 M 满足 MF1  MF2  2 则动点 M 4 3

的轨迹是( ) A、双曲线; B、双曲线的一支; C、两条射线; D、一条射线 (5) 焦点三角形面积公式: P 在椭圆上时,______________________ P 在双曲线上时, ___________________

2 2 2      (其中 F1 PF2   , cos   | PF1 |  | PF2 | 4c , PF1  PF2 | PF1 | | PF2 | cos  )

| PF1 |  | PF2 |

(6) 记住焦半径公式: (a)椭圆焦点在 x 轴上为_____;焦点在 y 轴上时为_____,可简记为“左加右减,上加下减” . 第 1 页 共 5 页

2013 个性化辅导教案 (数学) (b)双曲线焦点在 x 轴上时为_______ (c)抛物线焦点在 x 轴上时为_______,焦点在 y 轴上时为_____.

1、点差法(中点弦问题)

例1

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M (a, b) 为椭圆

 x12 y12 1   4 3  2 2  x2  y2  1 4 3 

x2 y2   1 的弦 AB 中点 4 3

则有

两式相减得

( x12  x22 ) ( y12  y22 ) ( x  x )( x  x ) ( y  y )( y  y ) 3a   0  1 2 1 2   1 2 1 2  k AB   4 3 4 3 4b

2、联立消元法

怎样解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题呢, 经典套路是什么, 如果有两个 参数怎么办. 设直线的方程,并且与曲线的方程联立,消去一个未知数,得到一个二次方程, 使用判别式   0 ,以及根与系数的关系,代入弦长公式. 例 2 已知三角形 ABC 的三个顶点均在椭圆 4 x 2  5 y 2  80 上, 且点 A 是椭圆短轴的一 个端点(点 A 在 y 轴正

半轴上). (1)若三角形 ABC 的重心是椭圆的右焦点,试求直线 BC 的方程; (2)若角 A 为 90 0 , AD 垂直 BC 于 D ,试求点 D 的轨迹方程.

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2013 个性化辅导教案 (数学) 3、求根公式法 例 5 设直线 l 过点 P(0,3) ,和椭圆

x2 y2 AP 的取值范围.   1 顺次交于 A、B 两点,试求 9 4 PB

分析:求取值范围,不外乎两条路: 1、构造所求变量关于某个参数的函数关系式,这只需利用对应的思想实施; 2、构造关于所求量的一个不等关系.

能力提升 1、 已知椭圆 E 的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过 A(2,0)、B(2,0)、C (1, ) 三点. (1)求椭圆 E 的方程: (2)若点 D 为椭圆 E 上不同于 A、B 的任意一点, F (1,0), H (1,0) ,当 DFH 内切圆的 面积最大时,求 DFH 内心的坐标;

3 2

2、 已知定点 C (1 0) 及椭圆 x  3 y  5 ,过点 C 的动直线与椭圆相交于 A,B 两点. ,

2 2

1 ,求直线 AB 的方程; 2   (2)在 x 轴上是否存在点 M ,使 MA  MB 为常数,若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请

(1)若线段 AB 中点的横坐标是  说明理由.

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2013 个性化辅导教案 (数学) 3、 已知椭圆的中心在原点, 焦点在 x 轴上, 长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M (2,1) 平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m(m  0) , l 交椭圆于 A、B 两个不同点。 (1)求椭圆的方程; (2)求 m 的取值范围;

例 10 已知双曲线

x2 y2 2 3 3 ,过 A(a,0), B(0, b) 的直线到原点的距离是  2  1 的离心率 e  2 3 2 a b

(1)求双曲线的方程; (2)已知直线 y  kx  5(k  0) 交双曲线于不同的点 C, D 且 C, D 都在以 B 为圆心的圆上, 求

k 的值.

例 11 已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3 , 最小值为 1 . (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 l : y  kx  m 与椭圆 C 相交于 A、B 两点( A、B 不是左右顶点) ,且以 AB 为直 第 4 页 共 5 页

2013 个性化辅导教案 (数学) 径的圆过椭圆 C 的右顶点.求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

例 12、 已知双曲线

x2 y2   1(a  0, b  0) 的左右两个焦点分别为 F1、F2 ,点 P 在双曲线右支上. a2 b2

(1)若当点 P 的坐标为 (

3 41 16 , ) 时, PF1  PF2 ,求双曲线的方程; 5 5 (2)若 | PF1 | 3 | PF2 | ,求双曲线离心率 e 的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程.

课后 小结

上课情况: 课后需再巩固的内容: 教研组长签名

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范文七:圆锥曲线解题技巧

圆锥曲线解题技巧

圆锥曲线学会注意这几点吧 ①定义和相应参数必须掌握。一些问题死算很花时间,而用定义几乎是秒杀。经常在最值类题目出现

②注意一些几何关系。在圆锥曲线题目中,经常用到三角形各心的性质,相似三角形以及全等等平面几何知识。这个经常在轨迹类题目出现。

③特别注意直线和圆锥曲线的位置关系这块知识,近几年各地高考考察率几乎是100%。尤其注意相交时的设而不求。这块知识往往是难点,难不是想不到,而是算不出。所以平时必须加强计算能力。常见问题:定值定点,参数范围,中点弦等、

④在基础的掌握后,必须自学一些课堂上讲不到的一些知识,对付一些题目可以起到事半功倍的效果。我推荐这几个:极坐标,参数方程,圆锥曲线硬解定理,隐函数求导,圆锥曲线的极点和极线。极坐标对于过焦点的直线的相关问题可谓是秒杀,参数方程可秒某些范围问题。硬解定理在80%的圆锥曲线题目中可用,但是式子复杂,我当时自己推了几

遍,然后每次都用用熟的,这个熟悉了之后,常见的一些题目都能在10分钟内解决了。隐函数求导和圆锥曲线的极点极线二选一,作用一样,都是用来解决中点弦问题,比点差法快。

注:极坐标和硬解定理以及参数方程可在答题卡上作答。其他的谨慎,大题老实点差法,小题偷偷用。

望采纳,祝学习愉快!

范文八:圆锥曲线解题技巧3

圆锥曲线解题技巧

一、常规七大题型:

(1)中点弦问题

具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法):设曲线上两点为(x1,y1),(x2,y2),代入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论),消去四个参数。

x2y2

如:(1)221(ab0)与直线相交于A、B,设弦AB中点为M(x0,y0),ab

则有x0y0k0。 a2b2

x2y2

(2221(a0,b0)与直线l相交于A、B,设弦AB中点为M(x0,y0)ab

则有x0y0k0 a2b2

(3)y2=2px(p>0)与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.

y2

1。过A(2,1)的直线与双曲线交于两点 典型例题 给定双曲线x22

P1 及P2,求线段P1P2的中点P的轨迹方程。

(2)焦点三角形问题

椭圆或双曲线上一点P,与两个焦点F1、F2构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭桥。

x2y2

典型例题 设P(x,y)为椭圆221上任一点,F1(c,0),F2(c,0)为焦点,ab

PF1F2,PF2F1。

(1)求证离心率esin(); sinsin

(2)求|PF1|3PF2|3的最值。

(3)直线与圆锥曲线位置关系问题

直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理,应特别注意数形结合的思想,通过图形的直观性帮助分析解决问题,如果直线过椭圆的焦点,结合三大曲线的定义去解。

典型例题

抛物线方程y2p(x1)(p0),直线xyt与x轴的交点在抛物线准线的右边。

(1)求证:直线与抛物线总有两个不同交点

(2)设直线与抛物线的交点为A、B,且OA⊥OB,求p关于t的函数f(t)的表达式。

(4)圆锥曲线的相关最值(范围)问题

圆锥曲线中的有关最值(范围)问题,常用代数法和几何法解决。

若命题的条件和结论具有明显的几何意义,一般可用图形性质来解决。

若命题的条件和结论体现明确的函数关系式,则可建立目标函数(通常利用二次函数,三角函数,均值不等式)求最值。

(1),可以设法得到关于a的不等式,通过解不等式求出a的范围,即:“求范围,找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数,利用求函数的值域求出a的范围;对于(2)首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数,然后再求它的最大值,即:“最值问题,函数思想”。

最值问题的处理思路:

1、建立目标函数。用坐标表示距离,用方程消参转化为一元二次函数的最值问题,关键是由方程求x、y的范围;

2、数形结合,用化曲为直的转化思想;

3、利用判别式,对于二次函数求最值,往往由条件建立二次方程,用判别

式求最值;

4、借助均值不等式求最值。

典型例题

已知抛物线y2=2px(p>0),过M(a,0)且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B,

|AB|≤2p

(1)求a的取值范围;(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求△NAB面积的最大值。

(5)求曲线的方程问题

1.曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。

典型例题

已知直线L过原点,抛物线C 的顶点在原点,焦点在x轴正半轴上。若点A(-1,0)和点B(0,8)关于L的对称点都在C上,求直线L和抛物线C的方程。

2.曲线的形状未知-----求轨迹方程

典型例题

已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C:x2+y2=1,

动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数

(>0),求动点M的轨迹方程,并说明它是什

么曲线。

(6) 存在两点关于直线对称问题

在曲线上两点关于某直线对称问题,可以按如下方式分三步解决:求两点所在的直线,求这两直线的交点,使这交点在圆锥曲线形内。(当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决)

x2y2

1,试确定m的取值范围,使得对于典型例题 已知椭圆C的方程43

直线y4xm,椭圆C上有不同两点关于直线对称

(7)两线段垂直问题

圆锥曲线两焦半径互相垂直问题,常用k1·k2

量的坐标运算来处理。

典型例题 已知直线l的斜率为k,且过点P(2,0),抛物线C:y24(x1),直线l与抛物线C有两个不同的交点(如图)。

(1)求k的取值范围;

(2)直线l的倾斜角为何值时,A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。

y1·y21来处理或用向x1·x2

二、解题的技巧方面:

在教学中,学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上,如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程,以及运用“设而不求”的策略,往往能够减少计算量。下面举例说明:

(1)充分利用几何图形

解析几何的研究对象就是几何图形及其性质,所以在处理解析几何问题时,除了运用代数方程外,充分挖掘几何条件,并结合平面几何知识,这往往能减少计算量。

典型例题 设直线3x4ym0与圆x2y2x2y0相交于P、Q两点,O为坐标原点,若OPOQ,求m的值。

(2) 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略

我们经常设出弦的端点坐标而不求它,而是结合韦达定理求解,这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。

典型例题 已知中心在原点O,焦点在y轴上的椭圆与直线yx1相交于P、Q两点,且OPOQ,|PQ|

(3) 充分利用曲线系方程

利用曲线系方程可以避免求曲线的交点,因此也可以减少计算。

典型例题 求经过两已知圆C1:x2y24x2y0和

C2:x2y22y40的交点,且圆心在直线l:2x4y10上的圆的方程。

(4)充分利用椭圆的参数方程

椭圆的参数方程涉及到正、余弦,利用正、余弦的有界性,可以解决相关的求最值的问题.这也是我们常说的三角代换法。

x2y2

典型例题 P为椭圆221上一动点,A为长轴的右端点,B为短轴的上ab,求此椭圆方程。 2

端点,求四边形OAPB面积的最大值及此时点P的坐标。

(5)线段长的几种简便计算方法

① 充分利用现成结果,减少运算过程

一般地,求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是:把直线方程ykxb

代入圆锥曲线方程中,得到型如ax2bxc0的方程,方程的两根设为xA,xB,判别式为△,则|AB|k2·|xAxB|k2,若直接用结论,能减少|a|

配方、开方等运算过程。

例 求直线xy10被椭圆x24y216所截得的线段AB的长。 ② 结合图形的特殊位置关系,减少运算

在求过圆锥曲线焦点的弦长时,由于圆锥曲线的定义都涉及焦点,结合图形运用圆锥曲线的定义,可回避复杂运算。

x2y2

1的两个焦点,例 F1、F2是椭圆AB是经过F1的弦,若|AB|8,259

求值|F2A||F2B|

③ 利用圆锥曲线的定义,把到焦点的距离转化为到准线的距离

例 点A(3,2)为定点,点F是抛物线y24x的焦点,点P在抛物线y24x上移动,若|PA||PF|取得最小值,求点P的坐标。

范文九:直线与圆锥曲线的常见题型及解题技巧

【摘要】解析几何在高考数学试卷总分中占比在20%左右,其中的直线与圆锥曲线又是解析几何主要内容及重点考察点.直线与圆锥曲线题型多样,综合性强.解题方法灵活,常常是高考试卷的压轴题.这部分知识题型能够较好地考查学生对于基础知识掌握程度,也能够反映出学生对数学思想方法及综合解决问题的能力,要求学生具备较扎实基础知识及较强综合能力.本文将重点分析下直线与圆锥曲线中常见题型,并给出相应解题技巧,使学生更好地备战高考数学.

【关键词】直线;圆锥曲线;常见题型;解题技巧

与圆锥曲线高中解析几何的核心内容及研究对象,学生通过学习圆锥曲线,能够逐渐培养起自己的数形结合思想及解决实际问题能力,这部分知识内容在历年高考试题中都占据较大分值,圆锥曲线常常与直线结合共同出题考查学生知识、解题技巧,考察形式丰富多样,但是大致上能分为几种,下面我们就先来分析下直线与圆锥曲线知识点的考查特点.

一、直线与圆锥曲线知识点的考查特点

(一)基本性质问题

高中数学教材将圆锥曲线性质总结归纳为以下内容:圆锥曲线对称性、范围、离心率及顶点等等,考查圆锥曲线基本性质就各个知识点间联系时常常表现出以下特点:圆锥曲线定义与焦半径、离心率结合;参数值与离心率结合;参数值与渐近线结合;参数值与准线间结合.

(二)曲线方程与轨迹问题

解析几何体系内部各个知识点之间错综复杂的关系,使得学生不能较清晰的理解并系统的掌握其知识体系,求多动点轨迹方程这类问题是解析几何中数学的重点和难点,这类问题中有时不只含有一个的主动点或者从动点,动中有静,因此求轨迹方程只要挖掘已知条件,将动点满足的规律找出来,并将规律用动点的坐标表示或成等式即可.

圆锥曲线解答题中出现频率最高的是方程与轨迹问题,而且常常放在大题第一问,一些设问一句曲线原本具有性质来求解曲线方程,或者是根据已知条件求曲线参数值;也有一些解答题依据平面动点运动规律与满足条件求轨迹方程,这两者都是求圆锥曲线方程,属于一类.除了圆锥曲线方程及参数值类型题目之外,主要还有以下几种题目类型:两种曲线交汇、以焦点弦、切线为条件、以平面图形周长或面积为条件等等.圆锥曲线轨迹问题中,轨迹生成方式基本上有三种:将圆锥曲线定义及性质作为出发点、将其他曲线作为运动载体及将向量关系作为条件.

(三)定值及定点问题

这部分问题主要是从圆锥曲线的一些性质得出的,涉及直线与圆锥曲线位置关系、两直线位置关系、及点与圆锥曲线位置关系等等.新课程改革实施之后,高考越来越重视考查学生的综合能力,圆锥曲线的定点、定值问题是考查其综合能力的重要途径,这些试题具有解法多样、整体思路令人深思等特点,成为高考热门话题,结合近几年高考试题,这类问题大致能分成以下四种形式:曲线过定点或点在曲线上、角或斜率是定值、多个几何量运算结果是定值、及直线过某定点或点在某定直线上.

(四)最值及值域问题

圆锥曲线中典型问题就是最值及值域问题,而且这部分问题常常与函数、不等式、向量及导数等知识进行交汇,在考查学生分析问题、解决问题能力方面具有重要作用.分析近几年来高考,对这部分问题考查主要有这五种试题类型:距离或长度最值、面积最值、多个几何量运算结果最值、斜率范围及最值条件下的参数值.

二、直线与圆锥曲线常见解题思想方法

直线与圆锥曲线常见解题思想方法有两种:几何法与代数法,下面将具体分析下这两种解题思想方法.

(一)几何法

几何法解决数学问题主要运用了数形结合思想,结合圆锥曲线定义、图形、性质等题目中已知条件转化成平面几何图形,并使用平面几何有关基本知识例如两点间线段最短、点到直线垂线段最短等来巧妙地解题.

(二)代数法

代数法主要是依据已知条件来构建目标函数,将其转化成函数最值问题,再结合使用配方法、不等式法、函数单调性法及参数法等等来求最值.

三、直线与圆锥曲线的常见题型及解题技巧实例分析

(一)题型一:弦的垂直平分线问题

解题技巧及规律:题干中给出直线与曲线M过点S(-1,0)相交于A,B两点,分析直线存在斜率并且不等于0,然后设直线方程,列出方程组,消元,对一元二次方程进行分析,分析判别式,并使用韦达定理,得出弦中点坐标,再结合垂直及中点,列出垂直平分线方程,求出N点坐标,最后结合正三角形性质:中线长是边长的32倍,使用弦长公式求出弦长.

(二)题型二:动弦过定点问题

解题技巧及规律:第一问是使用待定系数法求轨迹方程;第二问中,已知点A1、A2的坐标,因此可以设直线PA1、PA2方程,直线PA1与椭圆交点是A1(-2,0)和M,结合韦达定理,能求出点M坐标,同理求出点N坐标.动点P在直线L:x=t(t>2)上,这样就能知道点P横坐标,根据直线PA1,PA2方程求出点P纵坐标,得出两条直线斜率关系,通过计算出M,N点坐标,求出直线MN方程,代入交点坐标,如果解出是t>2,就可以了,否则不存在.

四、结 语

在历年的高考数学试卷中,圆锥曲线题目不仅分值一直保持稳定,而且题型多样,方法灵活,综合性强,常被安排在试卷的最后作为把关题或压轴题.圆锥曲线的最值问题是解析几何重点出题之一.它涉及知识面广,常用到函数、不等式、三角函数等重点知识,而且其考查方法灵活多样.圆锥曲线最值问题不仅能考查学生对基础知识的掌握程度,又能体现学生灵活运用数学思想和方法综合解决问题的能力,所以是数学学习中的一项重点.

圆锥曲线作为高中数学解析几何的重要知识点,其中蕴含着重要丰富的数学思想方法,解析几何基本思想是使用几何方法解决问题,也就是数形结合思想,所有的数学试题都不能离开形只谈抽象数或者是研究图.另外一种解决问题的数学思想方法是代数方法,主要是依据已知条件来构建目标函数,将其转化成函数最值问题,再结合使用配方法、不等式法、函数单调性法及参数法等等来求最值.本文在归纳总结直线与圆锥曲线知识点的考查特点基础上,结合使用相应数学思想方法,给出直线与圆锥曲线的常见题型及解题技巧实例分析,为学生解答此类题提供方法借鉴.

【参考文献】

[1]钱坤.新课改背景下圆锥曲线高考试题的考查特点分析[D].赣南师范学院,2013.

[2]陈发志,蔡小雄,张金良.2011年高考数学试题分类解析(十)――圆锥曲线与方程[J].中国数学教育,2011,Z4:79-85.

范文十:巧解圆锥曲线中的最值题

求最值是解析几何中一种较为常见的题型,要顺利求解常涉及到函数、不等式、三角函数、平面几何等知识,综合性很强,因此很多同学在求解此类问题是常常是望而生畏.其实求解此类问题并非无章可循,它有独特的求解思路和解题方法,下面举例分析.

巧用函数的单调性

在确立目标函数后,若函数在其定义域内呈现单调性,便可利用函数的单调性简捷地确定最值的大小.

例1 在平面直角坐标系中,在[y]轴的正半轴(坐标原点除外)上给定两点A,B,试在x轴的正半轴(原点除外)上求一点C,使∠ACB取得最大值.

解析 如图所示,设点[A,B,C]三点的坐标分别为[(0, a)],[(0, b)],[(x, 0)]且[x>0],则[∠OCA=α+β],显然0  ∵[tanα=tan[(α+β)-β]=tan(α+β)-tanβ1+tan(α+β)?tanβ]

=[ax-bx1+abx2]=[a-bx+abx]=[a-bab(xab+abx)].

令[y=xab+abx],那么当[x=ab]时,[y]取得最小值2,因此当[x=ab]时,[tanα]取得最大值为[a-b2ab].

∵在(0,[π2])上,[tanα]是增函数,

∴当[x=ab]时,[∠ACB]的最大值为arctan[a-b2ab],

故所求点[C]的坐标为[(ab],0).

妙用三角函数

与圆锥曲线上的点有关的最值问题,一般可用圆锥曲线的参数方程设点的坐标,进而建立起几何量与三角函数式之间的关系,化归为三角函数的最值问题,然后利用三角函数的有界性即可顺利求解.

例2 设椭圆的中心是坐标原点,焦点在[x]轴上,离心率[e=32].已知点P(0,[32])到这个椭圆上的点的最远距离是[7].

(1)求这个椭圆的方程;

(2)求椭圆上到[P]点距离为[7]的点的坐标.

解析 (1)由题意设椭圆的参数方程为[x=acosθ,y=bsinθ,][(a>b>0,0≤θ  由[e2=c2a2]=1-([ba)2],

故[ba=1-e2]=[12],∴[a=2b].

设椭圆上的点到[P]的距离为[d],

则d2=x2+(y-[32])2=a2cos2θ+(bsinθ-[32])2

=a2(1-sin2θ)+b2sin2θ-3bsinθ+[94]

=-3b2(sinθ+[12b])2+4b2+3.

当[12b]>1,即b  ∴b=[7]-[32]>[12],这与b  当[12b]≤1,即b≥[12]时,sinθ=-[12b],d2有最大值,即d有最大值,由题设得([7])2=4b+3,∴b=1,进而得a=2b=2.

故所求的椭圆方程为[x24+y2]=1.

(2)由sinθ=-[12],cosθ=±[32]可知,椭圆上的点[(-3],-[12])及点([3],-[12])到点P的距离都是[7].

活用二次函数配方法

在求解析几何中某些最值问题时,可根据已知条件及题目的特点,建立二次函数,然后通过配方便可顺利求出最值.

例3 已知A为椭圆[x225+y29]=1上任意一点,B为圆C:(x-1)2+y2=1上任意一点,求[|AB|]的最大值与最小值.

解析 欲求[|AB|]的最值,由于[|AB|=|AC|-|BC|],而[|BC|=1],故此转化为求[|AC|]的最值.

设A(x,y)为椭圆[x225+y29]=1上的一点,

则[|AC|2]=(x-1)2+y2=(x-1)2+9-[925]x2

=[1625](x-[2516])2+[13516].

∵点A在椭圆上,∴-5≤x≤5.

根据二次函数在[-5,5]上的性质,当x=[2516]时,|AC|min=[3154];当x=-5时,|AC|max=6.

∴|AB|min=|AC|min-1=[3154]-1,|AB|max=|AC|max+1=6+1=7.

妙用判别式

若把解析几何最值量的关系式转化为一元二次方程,有时可用判别式来求其最值.

例4 设圆满足:①截[y]轴所得弦长为2;②被[x]轴分成两段圆弧,其弧长的比为3∶1,在满足条件①②的所有圆中,求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程.

解析 解题的思维过程明显有三个层次:(1)求满足条件①②的圆的圆心轨迹;(2)圆心轨迹上的点到直线l最小距离或取得最小距离的条件;(3)确定合适的圆的方程.

设圆心为C(a,b),半径为r,则点C到x轴、y轴的距离分别为|b|,|a|.

由题设知圆C截x轴所得劣弧对的圆心角为90°,知圆截[x]轴所得的弦长为[2r],故r2=2b2.又圆C截y轴所得弦长为2,故有r2=a2+1,因此有2b2-a2=1.

又点C(a,b)到直线x-2y=0的距离d=[|a-2b|5],

∴a-2b=[±5d],平方得,

a2=4b2±4[5bd]+5d2 ①.

把a2=2b2-1代入①并整理得,

2b2±4[5bd]+5b2+1=0 ②.

由于方程有实根,故判别式非负,即△=8(5d2-1)≥0,解得5d2≥1.

当d=[15]时,代入②得b=±1,把b=±1代入r2=2b2,得r2=2.

由r2=a2+1得,a=±1.

综上可知,a=±1,b=±1,r2=2.

∵|a-2b|=1,∴a,b同号.

故所求圆的方程为:(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2.

活用均值不等式

在运用均值不等式求函数的最值时,务必要弄清楚使用不等式的条件、等号成立的条件等,否则就很容易出错.

例5 直线l过点P(3,2),与x轴、y轴分别交于A,B两点,求△AOB(O是原点)面积最小时的直线l的方程.

解析 设直线l分别与x轴、y轴的交点坐标为A(a,0),B(b,0)(a>0,b>0),则直线l的方程可表示为[xa+yb]=1,△AOB的面积为S=[12]ab.

∵直线l过定点P(3,2),∴[3a+2b]=1.

∵a>0, b>0,∴1=[3a+2b]≥2[6ab].

故可推得ab≥24,当且仅当[3a=2b]时取等号.

∴当a=6, b=4时,ab取最小值为24,从而△AOB的面积取得最小值12.

∴直线l方程为:[x6+y4]=1,即2x+3y-12=0为所求.