圆锥曲线解题技巧

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范文一:圆锥曲线问题解题技巧

圆锥曲线的综合问题包括 解析法的应用,与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题,圆锥曲线知识的纵向联系,圆锥曲线知识和三角、复数等代数知识的横向联系,解答这部分试题,需要较强的代数运算能力和图形认识能力,要能准确地进行数与形的语言转换和运算,推理转换,并在运算过程中注意思维的严密性,以保证结果的完整。

重难点归纳

解决圆锥曲线综合题,关键是熟练掌握每一种圆锥曲线(包括椭圆、双曲线、抛物线)的定义、标准方程、图形与几何性质,注意挖掘知识的内在联系及其规律,通过对知识的重新组合,以达到巩固知识、提高能力的目的

(1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题,需构造参数满足的不等式,通过求不等式(组)求得参数的取值范围;或建立关于参数的目标函数,转化为函数的值域。

(2)对于圆锥曲线的最值问题,解法常有两种 当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,可考虑利用数形结合法解;当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立目标函数,再求这个函数的最值。

典型题例示范讲解

如图,已知椭■+■=1(2≤m≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D,设f(m)=||AB|-|CD||

(1)求f(m)的解析式;

(2)求f(m)的最值.

解 (1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、c,则a2=m,b2=m-1,c2=a2-b2=1

∴椭圆的焦点为F1(-1,0),F2(1,0)

故直线的方程为y=x+1,又椭圆的准线方程为x=±■,即x=±m。

∴A(-m,-m+1),D(m,m+1)

考虑方程组y=x+1■+■=1,消去y得:(m-1)x2+m(x+1)2=m(m-1)

整理得:(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0

Δ=4m2-4(2m-1)(2m-m2)=8m(m-1)2

∵2≤m≤5,∴Δ>0恒成立,xB+xC=■.

又∵A、B、C、D都在直线y=x+1上

∴|AB|=|xB-xA|=■=(xB-xA)·■,|CD|=(xD-xC)

∴||AB|-|CD||=|xB-xA+xD-xC|=■|(xB+xC)-(xA+xD)|

又∵xA=-m,xD=m,∴xA+xD=0

∴||AB|-|CD||=|xB+xC|·■=|■|·■=(2≤m≤5)

故f(m)=■,m∈[2,5]

(2)由f(m)=■,可知f(m)=■

又2-■≤2-■≤2-■,∴f(m)∈■,■

故f(m)的最大值为■,此时m=2;f(m)的最小值为■,此时m=5

本题主要考查利用解析几何的知识建立函数关系式,并求其最值,体现了圆锥曲线与代数间的密切关系 主要应用直线与圆锥曲线的交点,韦达定理,根的判别式,利用单调性求函数的最值等知识点一定要注意在第(1)问中,要注意验证当2≤m≤5时,直线与椭圆恒有交点 第(1)问中,若注意到xA,xD为一对相反数,则可迅速将||AB|-|CD||化简 第(2)问,利用函数的单调性求最值是常用方法。

(作者单位:山东省淄博市第四中学)

范文二:圆锥曲线解题技巧.

圆锥曲线

1.圆锥曲线的两个定义:

(1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F1,F2的距离的和等于常数2a,且此常数2a一定要大于F1F2,当常数等于F1F2时,轨迹是线段F1F2,当常数小于F1F2时,无轨迹;双曲线中,与两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数2a,且此常数2a一定要小于|F1F2|,定义中的“绝对值”与2a<|F1F2|不可忽视。若2a=|F1F2|,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线,若2a﹥|F1F2|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

如 (1)已知定点F1(3,0),F2(3,0),在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 D.PF1

2

A.

PF2

PF1PF24

2

B.

PF1PF26

C.PF1PF210

; 12(答:C)

(2)

8表示的曲线是_____(答:双曲线的左

支)?

(2)第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点线距为分母”,其商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用第二定义对它们进行相互转化。

如已知点Q(22,0)及抛物线y

x

2

4

上一动点P(x,y),则y+|PQ|的最小值是_____

(答:2)

2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):

(1)椭圆:焦点在x轴上时

xa

2222



yb

2222

1(ab0)

xacos

(参数方程,

ybsin

其中为参数),焦点在y轴上时

yx

ab

圆的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B,C同号,A≠B)。

22

=1(ab0)。方程AxByC表示椭

如(1)已知方程

(3,

12)(

12

x

2

3k

y

2

2k

1表示椭圆,则k的取值范围为____(答:

,2));

22

(2)若x,yR,且3x22y26,则xy的最大值是____,xy的最小值是

___

2)

(2)双曲线:焦点在x轴上:

2

2

xa

22

yb

22

=1,焦点在y轴上:

ya

22

xb

22

=1

(a0,b0)。方程AxByC表示双曲线的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B异号)。

如(1)双曲线的离心率等于程_______(答:

x

2

52

,且与椭圆

x

2

9

y

2

4

1有公共焦点,则该双曲线的方

4

; y1)

2的双曲线C

2

(2)设中心在坐标原点O,焦点F1、F2在坐标轴上,离心率e

过点P(4,),则C的方程为_______(答:x2y26)

(3)抛物线:开口向右时y22px(p0),开口向左时y22px(p0),开口向上时x22py(p0),开口向下时x22py(p0)。

3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):

22

(1)椭圆:由x,y分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。

如已知方程

(,1)(1,

32

x

2

m1

y

2

2m

则m的取值范围是__(答:1表示焦点在y轴上的椭圆,

))

2

(2)双曲线:由x,y

2

项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;

(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。

特别提醒:(1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点F1,F2的位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数a,b,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向; (2)在椭圆中,a最大,a2b2c2,在双曲线中,c最大,c2a2b2。

4.圆锥曲线的几何性质: ab

②焦点:两个焦点(c,0);③对称性:两条对称轴x0,y0,一个对称中心(0,0),

(1)椭圆(以

x

22

y

22

:①范围:axa,byb;1(ab0)为例)

四个顶点(a,0),(0,b),其中长轴长为2a,短轴长为2b;④准线:两条准线x⑤离心率:e

ca

a

2

c

,椭圆0e1,e越小,椭圆越圆;e越大,椭圆越扁。

x

2

如(1)若椭圆

3

(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,则椭圆长

5

m

5

y

2

1的离心率e

,则m的值是__(答:3或

25

);

轴的最小值为__(答:22)

ab

②焦点:两个焦点(c,0);③对称性:两条对称轴x0,y0,一个对称中心(0,0),

2

2

(2)双曲线(以

x2

y2

1(a0,b0)为例):①范围:xa或xa,yR;

两个顶点(a,0),其中实轴长为2a,虚轴长为2b,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,

称为等轴双曲线,其方程可设为x2y2k,k0;④准线:两条准线x心率:e

ca

a

2

c

; ⑤离

,双曲线e1,等轴双曲线

e

bax。

e越小,开口越小,e越大,

开口越大;⑥两条渐近线:y

如 (1)双曲线的渐近线方程是3x2y0,则该双曲线的离心率等于______(

3

2

);

(答:4或

14

(2)双曲线ax2by2

1,则a:b= (3)设双曲线

xa

22

);

yb

22

1(a>0,b>0)中,离心率e∈[2,2],则两条渐近线夹角

θ的取值范围是________(答:[

32,

; ])

(3)抛物线(以y22px(p0)为例):①范围:x0,yR;②焦点:一个焦点(p2

,0),其中p的几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴y0,没有

p2

对称中心,只有一个顶点(0,0);④准线:一条准线x线e1。

; ⑤离心率:e

ca

,抛物

如设a0,aR,则抛物线y4ax2的焦点坐标为________(答:(0,5、点P(x0,y0)和椭圆外内

x0ax

222

02

116a

; ))

xa

22

yb

22

1(ab0)的关系:(1)点P(x0,y0)在椭圆

x0a

22



y0by

2

22

02

1;(2)点P(x0,y0)在椭圆上1

y0b

2

2

=1;(3)点P(x0,y0)在椭圆

ab

6.直线与圆锥曲线的位置关系:

(1)相交:0直线与椭圆相交; 0直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有0,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故0是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件;0直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有0,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。

如(1)若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点,则k的取值范围

是_______(答:(-

3

,-1));

x

2

(2)直线y―kx―1=0与椭圆(答:[1,5)∪(5,+∞));

5

y

2

m

1恒有公共点,则m的取值范围是_______

12

这样的直线有_____条(答:3);

(2)相切:0直线与椭圆相切;0直线与双曲线相切;0直线与抛物线相切;

(3)相离:0直线与椭圆相离;0直线与双曲线相离;0直线与抛物线相离。

特别提醒:(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果

(3)过双曲线

x

2

y

2

1的右焦点直线交双曲线于A、B两点,若│AB︱=4,则

直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点;(2)过双曲线

x

22

ab外一点P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下:①P点在两条渐近线之间且

y

22

=1

不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P为原点时不存在这样的直线;(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。

如(1)过点(2,4)作直线与抛物线y28x只有一个公共点,这样的直线有______(答:2); (2)过点(0,2)与双曲线______

(答:



43,

x

2

9

y

2

16

1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为

; )3y

2

(3)过双曲线x

2

2

1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点,若AB4,则

满足条件的直线l有____条(答:3);

(4)对于抛物线C:y4x,我们称满足y04x0的点M(x0,y0)在抛物线的内部,若点M(x0,y0)在抛物线的内部,则直线l:y0y2(xx0)与抛物线C的位置关系是_______(答:相离); 2

(5)过抛物线y4x的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是p、q,则

(6)设双曲线

2

2

1p

1q

2

; _______(答:1)

1的右焦点为F,右准线为l,设某直线m交其左支、右

x

2

16

y

9

支和右准线分别于P,Q,R,则PFR和QFR的大小关系为___________(填大于、小于或等于) (答:等于);

(7)求椭圆7x24y228上的点到直线3x

2y160的最短距离(答:

2

2

13

);

(8)直线yax1与双曲线3xy1交于A、B两点。①当a为何值时,A、B分别在双曲线的两支上?②当a为何值时,以AB为直径的圆过坐标原点?(答:

①;②a1);

7、焦半径(圆锥曲线上的点P到焦点F的距离)的计算方法:利用圆锥曲线的第二定义,转化到相应准线的距离,即焦半径red,其中d表示P到与F所对应的准线的距离。

如(1)已知椭圆距离为____(答:

353x

2

25

y

2

16

1上一点P到椭圆左焦点的距离为3,则点P到右准线的

);

(2)已知抛物线方程为y28x,若抛物线上一点到y轴的距离等于5,则它到抛物

线的焦点的距离等于____;

(3)若该抛物线上的点M到焦点的距离是4,则点M的坐标为_____(答:

); 7,(2,4)

(4)点P在椭圆

x

2

25

y

2

P的横坐标为_______(答:

1上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点

925

12

);

(5)抛物线y22x上的两点A、B到焦点的距离和是5,则线段AB的中点到y轴

的距离为______(答:2);

(6)椭圆

x

2

4

y

2

3

1内有一点P(1,1),F为右焦点,在椭圆上有一点M,使

263

MP2MF 之值最小,则点M的坐标为_______(答:(; ,1))

8、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点P(x0,y0)到两焦点F1,F2的距离分别为r1,r2,焦点F1PF2的面积为S,则在椭圆

arccos(

2b

2

xa

22

yb

22

1中, ①=

r1r2

1),且当r1r2即P为短轴端点时,最大为

max

=arccos

bca

2

22

2

②Sbtan

2

c|y0|,当|y0|b即P为短轴端点时,Smax的最大值为bc;对于双曲

线

xa

22

yb

22

2

2b12

;1Srrsinbcot1的焦点三角形有:①arccos②。 1222r1r2

如 (1)短轴长为5,离心率e

23

的椭圆的两焦点为F1、F2,过F1作直线交椭圆于

A、B两点,则ABF2的周长为________(答:6);

(2)设P是等轴双曲线x2y2a2(a0)右支上一点,F1、F2是左右焦点,若; PF2F1F20,|PF1|=6,则该双曲线的方程为 (答:x2y24)

(3)椭圆

x

2

2

9

y

4

→→

1的焦点为F1、F2,点P为椭圆上的动点,当PF2 ·PF1

(答:(

62

; )

55

点P的横坐标的取值范围是

(4)双曲线的虚轴长为4,离心率e=

,F1、F2是它的左右焦点,若过F1的直线

与双曲线的左支交于A、B两点,且AB是AF2与BF2等差中项,则AB=__________

(答:;

(5)已知双曲线的离心率为2,F1、F2是左右焦点,P为双曲线上一点,且412

9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质:(1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;(2)设AB为焦点弦, M为准线与x轴的交点,则∠AMF=∠BMF;(3)设AB为焦点弦,A、B在准线上的射影分别为A1,B1,若P为A1B1的中点,则PA⊥PB;(4)若

F1PF260,SPF1F2123.求该双曲线的标准方程(答:

x

2

y

2

; 1)

AO的延长线交准线于C,则BC平行于x轴,反之,若过B点平行于x轴的直线交准线于C

点,则A,O,C三点共线。

10、弦长公式:若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点A、B,且x1,x2分别为A、B的横坐标,则AB

=

1

2

1x2,若y1,y2分别为A、B的纵坐标,则AB=

k

特别地,焦点弦(过焦点的弦):焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。

如(1)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,那么|AB|等于_______(答:8);

y1y2,若弦AB所在直线方程设为xkyb,则AB

1y2。

(2)过抛物线y2x焦点的直线交抛物线于A、B两点,已知|AB|=10,O为坐标原点,则ΔABC重心的横坐标为_______(答:3);

11、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆xa

22

2

xa

22

22

yb

22

1中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=-

2

bx0ay0

2

2

2

;在双曲线

yb

1中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=

bx0ay0

;在抛物线

y2px(p0)中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=

2

py0

36

(答:x2y80);

如(1)如果椭圆

x

2

y

2

9

1弦被点A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是

(2)已知直线y=-x+1与椭圆

xa

22

yb

22

1(ab0)相交于A、B两点,且线段

2

AB的中点在直线L:x-2y=0上,则此椭圆的离心率为_______

(答:

(3)试确定m的取值范围,使得椭圆

y4

xm对称(答:

1313

); 

x

2

);

4

y

2

3

1上有不同的两点关于直线

特别提醒:因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验0!

12.你了解下列结论吗? (1)双曲线

xa

22

yb

22

1的渐近线方程为

xa

2222



yb

2222

0;

1共渐近线)的双曲线方程为

(2)以y

xa

22

ba

x为渐近线(即与双曲线

xa

yb

yb

22

(

为参数,≠0)。

x

2

如与双曲线(答:

4x9

2

9

y

2

16

1有共同的渐近线,且过点(3,23)的双曲线方程为_______

y

2

4

1)

2

2

(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为mxny1; (4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为相应准线的距离)为

,抛物线的通径为2p,焦准距为p; c

(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦;

(6)若抛物线y2px(p0)的焦点弦为AB,A(x1,y1),B(x2,y2),则①|AB|x1x2p;②x1x2

p

2

2

2ba

2

,焦准距(焦点到

b

2

2

4

,y1y2p

2

(7)若OA、OB是过抛物线y2px(p0)顶点O的两条互相垂直的弦,则直线AB恒经过定点(2p,0)

13.动点轨迹方程:

(1)求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围; (2)求轨迹方程的常用方法:

①直接法:直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y)0;

如已知动点P到定点F(1,0)和直线x3的距离之和等于4,求P的轨迹方程.(答:22

y12(x4)(3x4)或y4x(0x3));

②待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数。

如线段AB过x轴正半轴上一点M(m,0)(m0),端点A、B到x轴距离之积为2m,以x轴为对称轴,过A、O、B三点作抛物线,则此抛物线方程为 (答:y22x);

③定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程;

如(1)由动点P向圆x2y21作两条切线PA、PB,切点分别为A、B,∠APB=600,则动点P的轨迹方程为

(答:x2y24);

(2)点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x50的距离小于1,则点M的轨迹方程是_______ (答:y216x);

(3) 一动圆与两圆⊙M:x2y21和⊙N:x2y28x120都外切,则动圆圆心的轨迹为 (答:双曲线的一支);

④代入转移法:动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)的变化而变化,并且Q(x0,y0)又在某已知曲线上,则可先用x,y的代数式表示x0,y0,再将x0,y0代入已知曲线得要求的轨迹方程;

如动点P是抛物线y2x1上任一点,定点为A(0,1),点M分PA所成的比为2,则M的轨迹方程为__________(答:y6x2

13

2



);

⑤参数法:当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将x,y均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程)。

如(1)AB是圆O的直径,且|AB|=2a,M为圆上一动点,作MN⊥AB,垂足为N,在OM上取点P,使|OP||MN|,求点P的轨迹。(答:xya|y|);

(2)若点P(x1,y1)在圆xy1上运动,则点Q(x1y1,x1y1)的轨迹方程是____

2

(答:y2x1(|x|

22

22

12

));

(3)过抛物线x4y的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点,则弦AB的中点M的轨迹方程是________(答:x2y2);

注意:①如果问题中涉及到平面向量知识,那么应从已知向量的特点出发,考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化,还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。

如已知椭圆

xa

22

2

2

yb

22

1(ab0)的左、右焦点分别是F1

(-c,0)、F2(c,0),Q是椭圆外的动点,满足|F1Q|2a.点

P是线段F1Q与该椭圆的交点,点T在线段F2Q上,并且满足PTTF20,|TF2|0.(1)设x为点P的横坐标,证明|F1P|a

ca

(2)求点T的轨迹C的方程;(3)试问:x;

在点T的轨迹C上,是否存在点M,使△F1MF2的面积S=b2.若存在,求∠F1MF2的正切值;若不存在,请说明理由. (答:(1)略;(2)xya;(3)当当b

2

2

2

2

b

2

c

a时不存在;

c

a时存在,此时∠F1MF2=2)

②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.

③在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.

④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”,那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.

14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容:



(1) 给出直线的方向向量u1,k或um,n;

(2)给出OAOB与AB相交,等于已知OAOB过AB的中点;

(3)给出PMPN0,等于已知P是MN的中点;



(5) 给出以下情形之一:①AB//AC;②存在实数,使ABAC;③若存在实



数,,且1,使OCOAOB,等于已知A,B,C三点共线.

(4)给出APAQBPBQ,等于已知P,Q与AB的中点三点共线;

(6) 给出OP

APPB

OAOB1

,等于已知P是AB的定比分点,为定比,即

(7) 给出MAMB0,等于已知MAMB,即AMB是直角,给出

MAMBm0,等于已知AMB是钝角, 给出MAMBm0,等于已知

AMB是

锐角,



(8)给出MP,等于已知MP是AMB的平分线/

(9)在平行四边形ABCD中,给出(ABAD)(ABAD)0,等于已知ABCD

是菱形; 矩形;



(10) 在平行四边形ABCD中,给出|ABAD||ABAD|,等于已知ABCD是

2

2

2

(11)在ABC中,给出OAOBOC,等于已知O是ABC的外心(三角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点);

(12) 在ABC中,给出OAOBOC0,等于已知O是ABC的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点); (13)在ABC中,给出OAOBOBOCOCOA,等于已知O是ABC的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点);

ABAC

)(R)等于已知AP通过(14)在ABC中,给出OPOA(|AB||AC|

ABC的内心;

(15)在ABC中,给出aOAbOBcOC0,等于已知O是ABC的内心(三角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点);

1

(16) 在ABC中,给出ADABAC,等于已知AD是ABC中BC边的中

2



线;

范文三:圆锥曲线解题技巧总结

圆锥曲线―概念、方法、题型、及应试技巧总结

1.圆锥曲线的两个定义:

(1:椭圆中,与两个定点F1,F2的距离的和等于常数2a,且此常数2a一定要大于F1F2,当常数等于F1F2时,轨迹是线段F1F2,当常数小于F1F2时,无轨迹;双曲线中,与两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数2a,且此常数2a一定要小于|F1F2|,定义中的“绝对值”与2a<|F1F2|不可忽视。若2a=|F1F2|,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线,若2a﹥|F1F2|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

8表示的曲线是_____(答:双曲线的左支) (2)第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点线距为分母”,其商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用第二定义对它们进行相互转化。

x2

如已知点Q(22,0)及抛物线y上一动点P(x,y),则y+|PQ|的最小值是_____(答2)

4

2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):

x2y2y2x2

(1)椭圆:焦点在x轴上时221(ab0),焦点在y轴上时22=

abab

1(ab0)。方程Ax2By2C表示椭圆的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B,

C同号,A≠B)。

x2y2

如(1)已知方程1表示椭圆,则k的取值范围为____(答:

3k2k

11

(3,)(,2));

22

22

(2)若x,yR,且3x22y26,则xy的最大值是____,xy的最小值是

___

2)

x2y2y2x2

(2)双曲线:焦点在x轴上:22 =1,焦点在y轴上:22=1

abab

22

(a0,b0)。方程AxByC表示双曲线的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,

B异号)。

如设中心在坐标原点O,焦点F1、F2在坐标轴上,离心率e

2的双曲线C过点

P(4,),则C的方程为_______(答:x2y26)

22

(3)抛物线:开口向右时y2px(p0),开口向左时y2px(p0),开口

22

向上时x2py(p0),开口向下时x2py(p0)。

如定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动,AB中点为M,求点M到x轴的最短距离。

5 4

3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断): (1)椭圆:由x,y

2

2

分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。

x2y2如已知方程则m的取值范围是__(答:1表示焦点在y轴上的椭圆,

m12m3

(,1)(1,))

2

22

(2)双曲线:由x,y项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;

(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 特别提醒:(1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点F1,F2的位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数a,b,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向;(2)在椭圆中,a最大,abc,在双曲线中,c最大,cab。

4.圆锥曲线的几何性质:

2

2

2

2

2

2

x2y2

(1)椭圆(以221(ab0)为例):①范围:axa,byb;

ab

②焦点:两个焦点(c,0);③对称性:两条对称轴x0,y0,一个对称中心(0,0),a2四个顶点(a,0),(0,b),其中长轴长为2a,短轴长为2b;④准线:两条准线x;

c

c

⑤离心率:e,椭圆0e1,e越小,椭圆越圆;e越大,椭圆越扁。

a

25x2y2如(1)若椭圆的离心率,则的值是__(答:3或); m1e

35m5

(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为__(答:22)

x2y2

21(a0,b0)(2)双曲线(以为例):①范围:xa或xa,yR;2ab

②焦点:两个焦点(c,0);③对称性:两条对称轴x0,y0,一个对称中心(0,0),两个顶点(a,0),其中实轴长为2a,虚轴长为2b,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,

2a

称为等轴双曲线,其方程可设为x2y2k,k0;④准线:两条准线x; ⑤离

c

c

心率:e,双曲线e1

ee越小,开口越小,e越大,

a

b

开口越大;⑥两条渐近线:yx。

a

如 (1)双曲线的渐近线方程是3x2y0,则该双曲线的离心率等于______(

2

); (2)双曲线ax2by2

1a:b4或

1); 4

x2y2

(3)设双曲线221(a>0,b>0)中,离心率e∈[2,2],则两条渐近线夹角

ab



(锐角或直角)θ的取值范围是________(答:[,]);

32x2y2

1的左焦点,顶点为A1、A2, P是双曲线上任意(4) 已知F1、F2为双曲线

20102009

一点,则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆一定( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.以上情况均有可能

(3)抛物线(以y22px(p0)为例):①范围:x0,yR;②焦点:一个焦点

p

(,0),其中p的几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴y0,没有2

pc

对称中心,只有一个顶点(0,0);④准线:一条准线x; ⑤离心率:e,抛物

2a

线e1。

如设a0,aR,则抛物线y4ax2的焦点坐标为________(答:(0,

1

; ))16a

x2y2

5、点P(x0,y0)和椭圆221(ab0)的关系:(1)点P(x0,y0)在椭圆

ab

2222

x0y0x0y0

外221;(2)点P(x0,y0)在椭圆上22=1;(3)点P(x0,y0)在椭圆

abab22x0y0

内221

ab

6.直线与圆锥曲线的位置关系:

(1)相交:0直线与椭圆相交; 0直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有0,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故0是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件;0直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有0,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。

22

如(1)若直线y=kx+2与双曲线x-y=6的右支有两个不同的交点,则k的取值范围是_______(答:(-

,-1)); 3

x2y2

1恒有公共点,则m的取值范围是_______(2)直线y―kx―1=0与椭圆

5m

(答:[1,5)∪(5,+∞));

x2y2

1的右焦点直线交双曲线于A、B两点,若│AB︱=4,则(3)过双曲线12

这样的直线有_____条(答:3);

(2)相切:0直线与椭圆相切;0直线与双曲线相切;0直线与抛物线相切;

(3)相离:0直线与椭圆相离;0直线与双曲线相离;0直线与抛物线相离。

特别提醒:(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果

x2y2

直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点;(2)过双曲线22=1

ab

外一点P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下:①P点在两条渐近线之间且

不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P为原点时不存在这样的直线;(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。

如(1)过点(2,4)作直线与抛物线y28x只有一个公共点,这样的直线有______(答:

x2y2

2); (2)过点(0,2)与双曲线1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为

916

4______

(答:,; )

3

y22

(3)过双曲线x1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点,若AB4,则

2

满足条件的直线l有____条(答:3);

22

(4)对于抛物线C:y4x,我们称满足y04x0的点M(x0,y0)在抛物线的内

部,若点M(x0,y0)在抛物线的内部,则直线l:y0y2(xx0)与抛物线C的位置关系是_______(答:相离);

(5)过抛物线y4x的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是p、q,则

2

11

; _______(答:1)

pq

x2y2

1的右焦点为F,右准线为l,设某直线m交其左支、右(6)设双曲线

169

支和右准线分别于P,Q,R,则PFR和QFR的大小关系为___________(填大于、小于

或等于) (答:等于);

); 22

(8)直线yax1与双曲线3xy1交于A、B两点。①当a为何值时,A、B分别在双曲线的两支上?②当a为何值时,以AB为直径的圆过坐标原点?(答:

①;②a1);

(7)求椭圆7x24y228上的点到直线3x

2y1607、焦半径(圆锥曲线上的点P到焦点F的距离)的计算方法:利用圆锥曲线的第二定义,转化到相应准线的距离,即焦半径red,其中d表示P到与F所对应的准线的距离。

x2y2

如(1)已知椭圆1上一点P到椭圆左焦点的距离为3,则点P到右准线的

2516

距离为____(答:

35); 3

(2)已知抛物线方程为y28x,若抛物线上一点到y轴的距离等于5,则它到抛物线的焦点的距离等于____;

(3)若该抛物线上的点M到焦点的距离是4,则点M的坐标为_____(答:7,(2,4));

x2y2

(4)点P在椭圆1上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点

259

25

P的横坐标为_______(答:);

12

(5)抛物线y22x上的两点A、B到焦点的距离和是5,则线段AB的中点到y轴

的距离为______(答:2);

x2y2

(6)椭圆1内有一点P(1,1),F为右焦点,在椭圆上有一点M,使

43

26

; MP2MF 之值最小,则点M的坐标为_______(答:(,1))

3

8、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:

Sb2tan

2

c|y0|,当|y0|b即P为短轴端点时,Smax的最大值为bc;对于双曲线

2

的椭圆的两焦点为F1、F2,过F1作3

S

b2tan

2

。 如 (1)短轴长为,离心率e

直线交椭圆于A、B两点,则ABF2的周长为________(答:6);

(2)设P是等轴双曲线x2y2a2(a0)右支上一点,F1、F2是左右焦点,若; PF2F1F20,|PF1|=6,则该双曲线的方程为(答:x2y24)

x2y2→→1的焦点为F1、F2,点P为椭圆上的动点,当PF(3)椭圆2 ·PF1

点P的横坐标的取值范围是

(4)双曲线的虚轴长为4,离心率e=

(答:(; )

6

,F1、F2是它的左右焦点,若过F1的直线2

与双曲线的左支交于A、B两点,且是AF2与BF2等差中项,则AB=__________

(答:;

(5)已知双曲线的离心率为2,F1、F2是左右焦点,P为双曲线上一点,且

F1PF260,SPF1F2

x2y2

; .求该双曲线的标准方程(答:1)

412

9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质:(1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;(2)设AB为焦点弦, M为准线与x轴的交点,则∠AMF=∠BMF;(3)设AB为焦点弦,A、B在准线上的射影分别为A1,B1,若P为A1B1的中点,则PA⊥PB;(4)若AO的延长线交准线于C,则BC平行于x轴,反之,若过B点平行于x轴的直线交准线于C

点,则A,O,C三点共线。

10、弦长公式:若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点A、B,且x1,x2分别为A、B的横坐标,则AB

=1x2,若y1,y2分别为A、B的纵坐标,则AB=

1y1y2。xkyb,若弦AB所在直线方程设为,则yyAB

122

k

特别地,焦点弦(过焦点的弦):焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。

如(1)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,那么|AB|等于_______(答:8); (2)过抛物线y22x焦点的直线交抛物线于A、B两点,已知|AB|=10,O为坐标原点,则ΔABC重心的横坐标为_______(答:3); (3)已知抛物线y2px(p0)的焦点恰为双曲线12x4y3的右焦点,且倾斜角为

2

2

2

3

的直线交抛物线于P,Q两点,则|y1y2|的值为( ) 4

A. 2

B. 4

C.

D. 8

11、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

b2x0x2y2

在椭圆221中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=-2;在双曲线

abay0b2x0x2y2

21中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=2;在抛物线2

abay0

p

y22px(p0)中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=。

y0

x2y2

1弦被点A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是 如(1)如果椭圆

369

(答:x2y80); x2y2

(2)已知直线y=-x+1与椭圆221(ab0)相交于A、B两点,且线段

ab

AB的中点在直线L:x-2y=0上,则此椭圆的离心率为_______

x2y2

(3)试确定m的取值范围,使得椭圆1上有不同的两点关于直线

43

; y4

xm对称(答:)



(4)抛物线y=2x2截一组斜率为2的平行直线,所得弦中点的轨迹方程是

11(y)) 22

特别提醒:因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验0!

(答:x

12.你了解下列结论吗?

2222

(1)双曲线xy1的渐近线方程为xy0;

a2b2a2b2

22

b

(2)以yx为渐近线(即与双曲线xy1共渐近线)的双曲线方程为

aa2b2

x2y2

2(为参数,≠0)。 2ab

x2y2

如与双曲线1有共同的渐近线,且过点(3,23)的双曲线方程为_______

916

4x2y2

1) (答:94

(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为mxny1;

2

2

2b2(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为,焦准距(焦点到

a

b2

相应准线的距离)为,抛物线的通径为2p,焦准距为p;

c

(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦;

(6)若抛物线y2px(p0)的焦点弦为AB,A(x1,y1),B(x2,y2),则

2

p2

,y1y2p2 ①|AB|x1x2p;②x1x242

(7)若OA、OB是过抛物线y2px(p0)顶点O的两条互相垂直的弦,则直线AB恒经过定点(2p,0)

13.动点轨迹方程:

(1)求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围; (2)求轨迹方程的常用方法:

①直接法:直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y)0;

如已知动点P到定点F(1,0)和直线x3的距离之和等于4,求P的轨迹方程.(答:

y212(x4)(3x4)或y24x(0x3));

②待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数。

如线段AB过x轴正半轴上一点M(m,0)(m0),端点A、B到x轴距离之积为2m,以x轴为对称轴,过A、O、B三点作抛物线,则此抛物线方程为(答:y22x);

③定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程; 如(1)由动点P向圆x2y21作两条切线PA、PB,切点分别为A、B,∠APB=60,则

动点P的轨迹方程为

(答:x2y24);

(2)点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x50的距离小于1,则点M的轨迹方程是_______ (答:y216x);

(3) 一动圆与两圆⊙M:x2y21和⊙N:x2y28x120都外切,则动圆圆心的轨迹为 (答:双曲线的一支);

④代入转移法:动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)的变化而变化,并且Q(x0,y0)又在某已知曲线上,则可先用x,y的代数式表示x0,y0,再将x0,y0代入已知曲线得要求的轨迹方程;

如动点P是抛物线y2x21上任一点,定点为A(0,1),点M分PA所成的比为2,

1

则M的轨迹方程为__________(答:y6x2);

3

⑤参数法:当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将x,y均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程)。

如(1)AB是圆O的直径,且|AB|=2a,M为圆上一动点,作MN⊥AB,垂足为N,在OM上取点P,使|OP||MN|,求点P的轨迹。(答:xya|y|);

(2)若点P(x1,y1)在圆xy1上运动,则点Q(x1y1,x1y1)的轨迹方程是____(答:y2x1(|x|

2

2

2

2



1

)); 22

(3)过抛物线x4y的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点,则弦AB的中点M的

2

轨迹方程是________(答:x2y2);

注意:①如果问题中涉及到平面向量知识,那么应从已知向量的特点出发,考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化,还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。

2

x2y2

如已知椭圆221(ab0)的左、右焦点分别是F1

ab

(-c,0)、F2(c,0),Q是椭圆外的动点,满足|F1Q|2a.点P是线段F1Q与该椭圆的交点,点T在线段F2Q上,并且满足TF20,|TF2|0.(1)设x为点P的横坐标,

c

x;(2)求点T的轨迹C的方程;(3)试问:在点T的轨迹C上,是a

否存在点M,使△F1MF2的面积S=b2.若存在,求∠F1MF2的正切值;若不存在,请说明

b2b2222

a时不存在;当a时存在,此理由. (答:(1)略;(2)xya;(3)当cc

证明|F1|a

时∠F1MF2=2)

②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.

③在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.

④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”,那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.

14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容:



(1) 给出直线的方向向量u1,k或um,n;

(3)给出0,等于已知P是MN的中点;

(4)给出,等于已知P,Q与AB的中点三点共线;



(5) 给出以下情形之一:①//;②存在实数,使;③若存在实



数,,且1,使OCOAOB,等于已知A,B,C三点共线.

(2)给出与AB相交,等于已知过AB的中点;

(6) 给出MAMB0,等于已知MAMB,即AMB是直角,给出

MAMBm0,等于已知AMB是钝角, 给出MAMBm0,等于已知AMB是

锐角,

(8)

给出,等于已知MP是AMB的平分线/

(9)在平行四边形ABCD中,给出()()0,等于已知ABCD

是菱形; 矩形;

(11)在ABC中,给出OAOBOC,等于已知O是ABC的外心(三角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点); (12) 在ABC中,给出,等于已知O是ABC的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点); (13)在ABC中,给出OAOBOBOCOCOA,等于已知O是ABC的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点);

2

2

2



(10) 在平行四边形ABCD中,给出|ABAD||ABAD|,等于已知ABCD是

ABAC)(R)等于已知通过(14)在ABC中,给出(|AB||AC|

ABC的内心;

(15)在ABC中,给出abc等于已知O是ABC的内心

(三角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点);

1

ABAC,等于已知AD是ABC中BC边的中线; (16) 在ABC中,给出AD2

y22

1的焦点为F1、F2,点M在双曲线上且MF1MF20,则(1)已知双曲线x2



点M到x轴的距离为(C)

45 (B) (C

) (D

333



a(2)已知i,j是x,y轴正方向的单位向量,设=(x)iyj,



b=(x)iyj,且满足bi=|a|.求点P(x,y)的轨迹.

2

解:

bi(xiyijx,

(A)

∴x

y2, 故点P的轨迹是以(3,0)

为焦点以x

2

(3)已知A,B为抛物线x=2py(p>0)上异于原点的两点,OAOB0,点C坐标为

(0,2p)

(1)求证:A,B,C三点共线;



(2)若=(R)且OMAB0试求点M的轨迹方程。

x12x22

(1)证明:设A(x1,),B(x2,),由OAOB0得

2p2p

x12x22x12x12x222

) x1x20,x1x24p,又AC(x1,2p),AB(x2x1,

2p2p2p2p

x22x12x12

x1(2p)(x2x1)0,AC//AB,即A,B,C三点共线。

2p2p



(2)由(1)知直线AB过定点C,又由OMAB0及AM=BM(R)知

OMAB,垂足为M,所以点M的轨迹为以OC为直径的圆,除去坐标原点。即点M的轨迹方程为x2+(y-p)2=p2(x0,y0)。

15.圆锥曲线中线段的最值问题:

例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为______________

(2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为 。

分析:(1)A在抛物线外,如图,连PF,则PHPF,当A、P、F三点共线时,距离和最小。

(2)B在抛物线内,如图,作QR⊥l交于R,则当B、Q、R时,距离和最小。

解:(1)(2,2)(2)(

1

,1) 4

细体会。

x2y2

1的右焦点,A(1,1)为椭圆内一定点,P为椭圆上一动点。 例2、F是椭圆43

(1)PF的最小值为 (2)2PF的最小值为

分析:PF准线作出来考虑问题。

解:(1)4-5

设另一焦点为F,则F(-1,0)连AF,PF

PAPF2aPF2a(PF)2aAF4

当P是FA的延长线与椭圆的交点时, PF取得最小值为4-5。 (2)3 作出右准线l,作PH⊥l交于H,因a2=4,b2=3,c2=1, a=2,c=1,e=∴PF

1, 2

1

PH,即2PFPH 2

∴2PFPH

a2

xA413 当A、P、H三点共线时,其和最小,最小值为c

范文四:圆锥曲线的解题技巧

圆锥曲线的解题技巧

一、高考考点

1、准确理解基本概念(如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等)

2、熟练掌握基本公式(如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等)

3、熟练掌握求直线方程的方法(如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为0等等)

4、在解决直线与圆的位置关系问题中,要善于运用圆的几何性质以减少运算

5、了解线性规划的意义及简单应用

6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算

7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法(如:定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等)

8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法,能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题

A:常规题型方面

(1)中点弦问题

具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法):设曲线上两点为(x1,y1),(x2,y2),代入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式,消去四个参数。

y2

1。 典型例题 给定双曲线x过A(2,1)的直线与双曲线交于两点P1 及P2,22

求线段P1P2的中点P的轨迹方程。

(2)焦点三角形问题

椭圆或双曲线上一点P,与两个焦点F1、F2构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭桥。

x2y2

典型例题 设P(x,y)为椭圆221上任一点,F1(c,0),F2(c,0)为焦点,ab

PF1F2,PF2F1。

(1)求证离心率esin(); sinsin

(2)求|PF1|3PF2|3的最值。

(3)直线与圆锥曲线位置关系问题

直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判别式,应特别注意数形结合的办法

典型例题

抛物线方程y2p(x1)(p0),直线xyt与x轴的交点在抛物线准线的右边。

(1)求证:直线与抛物线总有两个不同交点

(2)设直线与抛物线的交点为A、B,且OA⊥OB,求p关于t的函数f(t)的表达式。

(4)圆锥曲线的有关最值(范围)问题

圆锥曲线中的有关最值(范围)问题,常用代数法和几何法解决。

若命题的条件和结论具有明显的几何意义,一般可用图形性质来解决。

若命题的条件和结论体现明确的函数关系式,则可建立目标函数(通常利用二次函数,三角函数,均值不等式)求最值。

(1),可以设法得到关于a的不等式,通过解不等式求出a的范围,即:“求范围,找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数,利用求函数的值域求出a的范围;对于(2)首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数,然后再求它的最大值,即:“最值问题,函数思想”。

典型例题

已知抛物线y2=2px(p>0),过M(a,0)且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B, |AB|≤2p

(1)求a的取值范围;(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求△NAB面积的最大值。

(5)求曲线的方程问题

1.曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。

典型例题

已知直线L过原点,抛物线C 的顶点在原点,焦点在x轴正半轴上。若点A(-1,0)和

点B(0,8)关于L的对称点都在C上,求直线L和抛物线C的方程。

2.曲线的形状未知-----求轨迹方程

典型例题

已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C:x2+y2=1, 动

点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数(>0),

求动点M的轨迹方程,并说明它是什么曲线。

(6) 存在两点关于直线对称问题

在曲线上两点关于某直线对称问题,可以按如下方式分三步解决:求两点所在的直线,求这两直线的交点,使这交点在圆锥曲线形内。(当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决) x2y2

1,试确定m的取值范围,使得对于直线典型例题 已知椭圆C的方程43

y4xm,椭圆C上有不同两点关于直线对称

(7)两线段垂直问题

圆锥曲线两焦半径互相垂直问题,常用k1·k2

运算来处理。

典型例题 已知直线l的斜率为k,且过点P(2,0),抛物线C:y4(x1),直线l与抛物线C有两个不同的交点(如图)。

(1)求k的取值范围;

(2)直线l的倾斜角为何值时,A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。

2y1·y21来处理或用向量的坐标x1·x2

B:解题的技巧方面

在教学中,学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上,如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程,以及运用“设而不求”的策略,往往能够减少计算量。下面举例说明:

(1)充分利用几何图形

解析几何的研究对象就是几何图形及其性质,所以在处理解析几何问题时,除了运用代数方程外,充分挖掘几何条件,并结合平面几何知识,这往往能减少计算量。

典型例题 设直线3x4ym0与圆x2y2x2y0相交于P、Q两点,O为坐标原点,若OPOQ,求m的值。

二. 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略

我们经常设出弦的端点坐标而不求它,而是结合韦达定理求解,这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。

典型例题 已知中心在原点O,焦点在y轴上的椭圆与直线yx1相交于P、Q两点,且OPOQ,|PQ|,求此椭圆方程。 2

三. 充分利用曲线系方程

利用曲线系方程可以避免求曲线的交点,因此也可以减少计算。

典型例题 求经过两已知圆C1:xy4x2y0和C2:xy2y40的交点,且圆心在直线l:2x4y10上的圆的方程。 2222

四、充分利用椭圆的参数方程

椭圆的参数方程涉及到正、余弦,利用正、余弦的有界性,可以解决相关的求最值的问题.这也是我们常说的三角代换法。

x2y2

典型例题 P为椭圆221上一动点,A为长轴的右端点,B为短轴的上端点,求四ab

边形OAPB面积的最大值及此时点P的坐标。

五、线段长的几种简便计算方法

① 充分利用现成结果,减少运算过程

一般地,求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是:把直线方程ykxb代入圆锥曲线方程中,得到型如axbxc0的方程,方程的两根设为xA,xB,判别式为△,则|AB|k2·|xAxB|

过程。

例 求直线xy10被椭圆x24y216所截得的线段AB的长。

② 结合图形的特殊位置关系,减少运算

在求过圆锥曲线焦点的弦长时,由于圆锥曲线的定义都涉及焦点,结合图形运用圆锥曲线的定义,可回避复杂运算。 2,若直接用结论,能减少配方、开方等运算k2|a|

x2y2

1的两个焦点,AB是经过F1的弦,若|AB|8,求值例 F1、F2是椭圆259

|F2A||F2B|

③ 利用圆锥曲线的定义,把到焦点的距离转化为到准线的距离

例 点A(3,2)为定点,点F是抛物线y4x的焦点,点P在抛物线y4x上移动,若|PA||PF|取得最小值,求点P的坐标。 22

范文五:圆锥曲线的解题技巧

2013 个性化辅导教案 (数学)

老师 汪小勇 学生姓名 谢锐君 教材版本 姓名 学科 数学 年级 上课时间 11 名称 课题 圆锥曲线 名称 教学  掌握几种简单的圆锥曲线解题技巧 重点 知识梳理

苏教版 2013.12.13(19:00-21:00)

1. 直线方程的形式 (1)直线方程的形式有五种:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式. (2)与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率:_______________________ ②点到直线的距离:_____________________ ③夹角公式: __________________________ (3)弦长公式 直线 y  kx  b 上两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 之间的距离: ____________________________________________ (4)两条直线的位置关系及条件 ①__________________ ②____________________ 2.圆锥曲线方程及性质 (1) 椭圆方程的三种形式 标准方程: ____________________ 距离式方程: __________________ 参数方程: ____________________ (2) 双曲线的方程的形式有两种 标准方程: ____________________ 距离式方程: __________________ (3) 三种圆锥曲线的通径 椭圆:_________ 双曲线:_________ 抛物线:_________ (4) 圆锥曲线的定义记清楚 如:已知 F、F2 是椭圆 1

教 学 过 程

x2 y2   1 的两个焦点,平面内一个动点 M 满足 MF1  MF2  2 则动点 M 4 3

的轨迹是( ) A、双曲线; B、双曲线的一支; C、两条射线; D、一条射线 (5) 焦点三角形面积公式: P 在椭圆上时,______________________ P 在双曲线上时, ___________________

2 2 2      (其中 F1 PF2   , cos   | PF1 |  | PF2 | 4c , PF1  PF2 | PF1 | | PF2 | cos  )

| PF1 |  | PF2 |

(6) 记住焦半径公式: (a)椭圆焦点在 x 轴上为_____;焦点在 y 轴上时为_____,可简记为“左加右减,上加下减” . 第 1 页 共 5 页

(www.wenku1.com)2013 个性化辅导教案 (数学) (b)双曲线焦点在 x 轴上时为_______ (c)抛物线焦点在 x 轴上时为_______,焦点在 y 轴上时为_____.

1、点差法(中点弦问题)

例1

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M (a, b) 为椭圆

 x12 y12 1   4 3  2 2  x2  y2  1 4 3 

x2 y2   1 的弦 AB 中点 4 3

则有

两式相减得

( x12  x22 ) ( y12  y22 ) ( x  x )( x  x ) ( y  y )( y  y ) 3a   0  1 2 1 2   1 2 1 2  k AB   4 3 4 3 4b

2、联立消元法

怎样解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题呢, 经典套路是什么, 如果有两个 参数怎么办. 设直线的方程,并且与曲线的方程联立,消去一个未知数,得到一个二次方程, 使用判别式   0 ,以及根与系数的关系,代入弦长公式. 例 2 已知三角形 ABC 的三个顶点均在椭圆 4 x 2  5 y 2  80 上, 且点 A 是椭圆短轴的一 个端点(点 A 在 y 轴正

半轴上). (1)若三角形 ABC 的重心是椭圆的右焦点,试求直线 BC 的方程; (2)若角 A 为 90 0 , AD 垂直 BC 于 D ,试求点 D 的轨迹方程.

第 2 页 共 5 页

(www.wenku1.com)2013 个性化辅导教案 (数学) 3、求根公式法 例 5 设直线 l 过点 P(0,3) ,和椭圆

x2 y2 AP 的取值范围.   1 顺次交于 A、B 两点,试求 9 4 PB

分析:求取值范围,不外乎两条路: 1、构造所求变量关于某个参数的函数关系式,这只需利用对应的思想实施; 2、构造关于所求量的一个不等关系.

能力提升 1、 已知椭圆 E 的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过 A(2,0)、B(2,0)、C (1, ) 三点. (1)求椭圆 E 的方程: (2)若点 D 为椭圆 E 上不同于 A、B 的任意一点, F (1,0), H (1,0) ,当 DFH 内切圆的 面积最大时,求 DFH 内心的坐标;

3 2

2、 已知定点 C (1 0) 及椭圆 x  3 y  5 ,过点 C 的动直线与椭圆相交于 A,B 两点. ,

2 2

1 ,求直线 AB 的方程; 2   (2)在 x 轴上是否存在点 M ,使 MA  MB 为常数,若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请

(1)若线段 AB 中点的横坐标是  说明理由.

第 3 页 共 5 页

(www.wenku1.com)2013 个性化辅导教案 (数学) 3、 已知椭圆的中心在原点, 焦点在 x 轴上, 长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M (2,1) 平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m(m  0) , l 交椭圆于 A、B 两个不同点。 (1)求椭圆的方程; (2)求 m 的取值范围;

例 10 已知双曲线

x2 y2 2 3 3 ,过 A(a,0), B(0, b) 的直线到原点的距离是  2  1 的离心率 e  2 3 2 a b

(1)求双曲线的方程; (2)已知直线 y  kx  5(k  0) 交双曲线于不同的点 C, D 且 C, D 都在以 B 为圆心的圆上, 求

k 的值.

例 11 已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3 , 最小值为 1 . (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 l : y  kx  m 与椭圆 C 相交于 A、B 两点( A、B 不是左右顶点) ,且以 AB 为直 第 4 页 共 5 页

(www.wenku1.com)2013 个性化辅导教案 (数学) 径的圆过椭圆 C 的右顶点.求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

例 12、 已知双曲线

x2 y2   1(a  0, b  0) 的左右两个焦点分别为 F1、F2 ,点 P 在双曲线右支上. a2 b2

(1)若当点 P 的坐标为 (

3 41 16 , ) 时, PF1  PF2 ,求双曲线的方程; 5 5 (2)若 | PF1 | 3 | PF2 | ,求双曲线离心率 e 的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程.

课后 小结

上课情况: 课后需再巩固的内容: 教研组长签名

第 5 页 共 5 页

范文六:圆锥曲线解题技巧

圆锥曲线解题技巧

圆锥曲线学会注意这几点吧 ①定义和相应参数必须掌握。一些问题死算很花时间,而用定义几乎是秒杀。经常在最值类题目出现

②注意一些几何关系。在圆锥曲线题目中,经常用到三角形各心的性质,相似三角形以及全等等平面几何知识。这个经常在轨迹类题目出现。

③特别注意直线和圆锥曲线的位置关系这块知识,近几年各地高考考察率几乎是100%。尤其注意相交时的设而不求。这块知识往往是难点,难不是想不到,而是算不出。所以平时必须加强计算能力。常见问题:定值定点,参数范围,中点弦等、

④在基础的掌握后,必须自学一些课堂上讲不到的一些知识,对付一些题目可以起到事半功倍的效果。我推荐这几个:极坐标,参数方程,圆锥曲线硬解定理,隐函数求导,圆锥曲线的极点和极线。极坐标对于过焦点的直线的相关问题可谓是秒杀,参数方程可秒某些范围问题。硬解定理在80%的圆锥曲线题目中可用,但是式子复杂,我当时自己推了几

遍,然后每次都用用熟的,这个熟悉了之后,常见的一些题目都能在10分钟内解决了。隐函数求导和圆锥曲线的极点极线二选一,作用一样,都是用来解决中点弦问题,比点差法快。

注:极坐标和硬解定理以及参数方程可在答题卡上作答。其他的谨慎,大题老实点差法,小题偷偷用。

望采纳,祝学习愉快!

范文七:圆锥曲线解题技巧3

圆锥曲线解题技巧

一、常规七大题型:

(1)中点弦问题

具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法):设曲线上两点为(x1,y1),(x2,y2),代入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论),消去四个参数。

x2y2

如:(1)221(ab0)与直线相交于A、B,设弦AB中点为M(x0,y0),ab

则有x0y0k0。 a2b2

x2y2

(2221(a0,b0)与直线l相交于A、B,设弦AB中点为M(x0,y0)ab

则有x0y0k0 a2b2

(3)y2=2px(p>0)与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.

y2

1。过A(2,1)的直线与双曲线交于两点 典型例题 给定双曲线x22

P1 及P2,求线段P1P2的中点P的轨迹方程。

(2)焦点三角形问题

椭圆或双曲线上一点P,与两个焦点F1、F2构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭桥。

x2y2

典型例题 设P(x,y)为椭圆221上任一点,F1(c,0),F2(c,0)为焦点,ab

PF1F2,PF2F1。

(1)求证离心率esin(); sinsin

(2)求|PF1|3PF2|3的最值。

(3)直线与圆锥曲线位置关系问题

直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理,应特别注意数形结合的思想,通过图形的直观性帮助分析解决问题,如果直线过椭圆的焦点,结合三大曲线的定义去解。

典型例题

抛物线方程y2p(x1)(p0),直线xyt与x轴的交点在抛物线准线的右边。

(1)求证:直线与抛物线总有两个不同交点

(2)设直线与抛物线的交点为A、B,且OA⊥OB,求p关于t的函数f(t)的表达式。

(4)圆锥曲线的相关最值(范围)问题

圆锥曲线中的有关最值(范围)问题,常用代数法和几何法解决。

若命题的条件和结论具有明显的几何意义,一般可用图形性质来解决。

若命题的条件和结论体现明确的函数关系式,则可建立目标函数(通常利用二次函数,三角函数,均值不等式)求最值。

(1),可以设法得到关于a的不等式,通过解不等式求出a的范围,即:“求范围,找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数,利用求函数的值域求出a的范围;对于(2)首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数,然后再求它的最大值,即:“最值问题,函数思想”。

最值问题的处理思路:

1、建立目标函数。用坐标表示距离,用方程消参转化为一元二次函数的最值问题,关键是由方程求x、y的范围;

2、数形结合,用化曲为直的转化思想;

3、利用判别式,对于二次函数求最值,往往由条件建立二次方程,用判别

式求最值;

4、借助均值不等式求最值。

典型例题

已知抛物线y2=2px(p>0),过M(a,0)且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B,

|AB|≤2p

(1)求a的取值范围;(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求△NAB面积的最大值。

(5)求曲线的方程问题

1.曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。

典型例题

已知直线L过原点,抛物线C 的顶点在原点,焦点在x轴正半轴上。若点A(-1,0)和点B(0,8)关于L的对称点都在C上,求直线L和抛物线C的方程。

2.曲线的形状未知-----求轨迹方程

典型例题

已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C:x2+y2=1,

动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数

(>0),求动点M的轨迹方程,并说明它是什

么曲线。

(6) 存在两点关于直线对称问题

在曲线上两点关于某直线对称问题,可以按如下方式分三步解决:求两点所在的直线,求这两直线的交点,使这交点在圆锥曲线形内。(当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决)

x2y2

1,试确定m的取值范围,使得对于典型例题 已知椭圆C的方程43

直线y4xm,椭圆C上有不同两点关于直线对称

(7)两线段垂直问题

圆锥曲线两焦半径互相垂直问题,常用k1·k2

量的坐标运算来处理。

典型例题 已知直线l的斜率为k,且过点P(2,0),抛物线C:y24(x1),直线l与抛物线C有两个不同的交点(如图)。

(1)求k的取值范围;

(2)直线l的倾斜角为何值时,A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。

y1·y21来处理或用向x1·x2

二、解题的技巧方面:

在教学中,学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上,如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程,以及运用“设而不求”的策略,往往能够减少计算量。下面举例说明:

(1)充分利用几何图形

解析几何的研究对象就是几何图形及其性质,所以在处理解析几何问题时,除了运用代数方程外,充分挖掘几何条件,并结合平面几何知识,这往往能减少计算量。

典型例题 设直线3x4ym0与圆x2y2x2y0相交于P、Q两点,O为坐标原点,若OPOQ,求m的值。

(2) 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略

我们经常设出弦的端点坐标而不求它,而是结合韦达定理求解,这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。

典型例题 已知中心在原点O,焦点在y轴上的椭圆与直线yx1相交于P、Q两点,且OPOQ,|PQ|

(3) 充分利用曲线系方程

利用曲线系方程可以避免求曲线的交点,因此也可以减少计算。

典型例题 求经过两已知圆C1:x2y24x2y0和

C2:x2y22y40的交点,且圆心在直线l:2x4y10上的圆的方程。

(4)充分利用椭圆的参数方程

椭圆的参数方程涉及到正、余弦,利用正、余弦的有界性,可以解决相关的求最值的问题.这也是我们常说的三角代换法。

x2y2

典型例题 P为椭圆221上一动点,A为长轴的右端点,B为短轴的上ab,求此椭圆方程。 2

端点,求四边形OAPB面积的最大值及此时点P的坐标。

(5)线段长的几种简便计算方法

① 充分利用现成结果,减少运算过程

一般地,求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是:把直线方程ykxb

代入圆锥曲线方程中,得到型如ax2bxc0的方程,方程的两根设为xA,xB,判别式为△,则|AB|k2·|xAxB|k2,若直接用结论,能减少|a|

配方、开方等运算过程。

例 求直线xy10被椭圆x24y216所截得的线段AB的长。 ② 结合图形的特殊位置关系,减少运算

在求过圆锥曲线焦点的弦长时,由于圆锥曲线的定义都涉及焦点,结合图形运用圆锥曲线的定义,可回避复杂运算。

x2y2

1的两个焦点,例 F1、F2是椭圆AB是经过F1的弦,若|AB|8,259

求值|F2A||F2B|

③ 利用圆锥曲线的定义,把到焦点的距离转化为到准线的距离

例 点A(3,2)为定点,点F是抛物线y24x的焦点,点P在抛物线y24x上移动,若|PA||PF|取得最小值,求点P的坐标。

范文八:圆锥曲线解题技巧

圆锥曲线应试技巧总结

1.圆锥曲线的两个定义:

(1):椭圆中,与两个定点F1,F2的距离的和等于常数2a,且此常数2a一定要大于F1F2,当常数等于F1F2时,轨迹是线段F1F2,当常数小于F1F2时,无轨迹;双曲线中,与两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数2a,且此常数2a一定要小于|F1F2|,定义中的“绝对值”与2a<|F1F2|不可忽视。若2a=|F1F2|,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线,若2a﹥|F1F2|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

已知定点F1(3,0),F2(3,0),在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 A.D.PF1

2

B.PF C.PF PF1PF2101PF241PF26

2

PF2

; 12(答:C)

(2)

8表示的曲线是_____(答:双曲线的左

支)

(2)第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点线距为分母”,其商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用第二定义对它们进行相互转化。

x2

如已知点Q(22,0)及抛物线y上一动点P(x,y),则y+|PQ|的最小值是_____

4

(答:2)

2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):

x2y2xacos(1)椭圆:焦点在x轴上时221(ab0)(参数方程,

ybsinab

y2x2

其中为参数),焦点在y轴上时22=1(ab0)。方程Ax2By2C表示椭

ab

圆的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B,C同号,A≠B)。

x2y2

如(1)已知方程1表示椭圆,则k的取值范围为____(答:

3k2k

11

(3,)(,2));

22

22

(2)若x,yR,且3x22y26,则xy的最大值是____,xy的最小值是

___

2)

x2y2y2x2

(2)双曲线:焦点在x轴上:22 =1,焦点在y轴上:22=1

abab

22

(a0,b0)。方程AxByC表示双曲线的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,

B异号)。

x2y25

如(1)双曲线的离心率等于,且与椭圆1有公共焦点,则该双曲线的方

942

x2

程_______(答:; y21)

4

(2)设中心在坐标原点O,焦点F1、F2在坐标轴上,离心率e2的双曲线C

过点P(4,),则C的方程为_______(答:x2y26)

(3)抛物线:开口向右时y22px(p0),开口向左时y22px(p0),开口向上时x22py(p0),开口向下时x22py(p0)。

3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):

(1)椭圆:由x,y

2

2

分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。

x2y2如已知方程则m的取值范围是__(答:1表示焦点在y轴上的椭圆,

m12m3

(,1)(1,))

2

22

(2)双曲线:由x,y项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;

(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 特别提醒:(1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点F1,F2的位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数a,b,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向; (2)在椭圆中,a最大,abc,在双曲线中,

2

2

2

c最大,c2a2b2。

4.圆锥曲线的几何性质:

x2y2

(1)椭圆(以221(ab0)为例):①范围:axa,byb;

ab

②焦点:两个焦点(c,0);③对称性:两条对称轴x0,y0,一个对称中心(0,0),a2四个顶点(a,0),(0,b),其中长轴长为2a,短轴长为2b;④准线:两条准线x;

c

c

⑤离心率:e,椭圆0e1,e越小,椭圆越圆;e越大,椭圆越扁。

a

25x2y2如(1)若椭圆,则m的值是__(答:3或); 1的离心率e

35m5

(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为__(答:22)

x2y2

21(a0,b0)为例)(2)双曲线(以:①范围:xa或xa,yR;2ab

②焦点:两个焦点(c,0);③对称性:两条对称轴x0,y0,一个对称中心(0,0),两个顶点(a,0),其中实轴长为2a,虚轴长为2b,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,

a2

称为等轴双曲线,其方程可设为xyk,k0;④准线:两条准线x; ⑤离

c

c

心率:e,双曲线e1

ee越小,开口越小,e越大,

a

b

开口越大;⑥两条渐近线:yx。

a

如 (1)双曲线的渐近线方程是3x2y0,则该双曲线的离心率等于______(

2

或);

3

122

(2)双曲线axby

1a:b4或);

4

x2y2

(3)设双曲线221(a>0,b>0)中,离心率e∈[2,2],则两条渐近线夹角

ab



θ的取值范围是________(答:[,]);

32

(3)抛物线(以y22px(p0)为例):①范围:x0,yR;②焦点:一个焦点p

(,0),其中p的几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴y0,没有2

pc

对称中心,只有一个顶点(0,0);④准线:一条准线x; ⑤离心率:e,抛物

2a

线e1。

2

2

如设a0,aR,则抛物线y4ax2的焦点坐标为________(答:(0,

1

; ))16a

x2y2

5、点P(x0,y0)和椭圆221(ab0)的关系:(1)点P(x0,y0)在椭圆

ab

2222

x0y0x0y0

外221;(2)点P(x0,y0)在椭圆上22=1;(3)点P(x0,y0)在椭圆

abab22x0y0

内221

ab

6.直线与圆锥曲线的位置关系:

(1)相交:0直线与椭圆相交; 0直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有0,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故0是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件;0直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有0,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。

22

如(1)若直线y=kx+2与双曲线x-y=6的右支有两个不同的交点,则k的取值范围

是_______(答:(-

,-1)); 3

x2y2

1恒有公共点,则m的取值范围是_______(2)直线y―kx―1=0与椭圆

5m

(答:[1,5)∪(5,+∞));

x2y2

(3)过双曲线1的右焦点直线交双曲线于A、B两点,若│AB︱=4,则

12

这样的直线有_____条(答:3);

(2)相切:0直线与椭圆相切;0直线与双曲线相切;0直线与抛物线相切;

(3)相离:0直线与椭圆相离;0直线与双曲线相离;0直线与抛物线相离。

特别提醒:(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果

x2y2

直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点;(2)过双曲线22=1

ab

外一点P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下:①P点在两条渐近线之间且

不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P为原点时不存在这样的直线;(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。

如(1)过点(2,4)作直线与抛物线y8x只有一个公共点,这样的直线有______(答:

2

x2y2

2); (2)过点(0,2)与双曲线1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为

916

4______

(答:,; )

3

y2

(3)过双曲线x1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点,若AB4,则

2

满足条件的直线l有____条(答:3);

22

(4)对于抛物线C:y4x,我们称满足y04x0的点M(x0,y0)在抛物线的内

2

部,若点M(x0,y0)在抛物线的内部,则直线l:y0y2(xx0)与抛物线C的位置关系是_______(答:相离);

(5)过抛物线y4x的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是p、q,则

2

11

; _______(答:1)

pq

x2y2

1的右焦点为F,右准线为l,设某直线m交其左支、右(6)设双曲线

169

支和右准线分别于P,Q,R,则PFR和QFR的大小关系为___________(填大于、小于或等于) (答:等于);

); 13

(8)直线yax1与双曲线3x2y21交于A、B两点。①当a为何值时,A、B分别在双曲线的两支上?②当a为何值时,以AB为直径的圆过坐标原点?(答:

①;②a1);

(7)求椭圆7x24y228上的点到直线3x

2y160的最短距离(答:

7、焦半径(圆锥曲线上的点P到焦点F的距离)的计算方法:利用圆锥曲线的第二定义,转化到相应准线的距离,即焦半径red,其中d表示P到与F所对应的准线的距离。

x2y2

如(1)已知椭圆1上一点P到椭圆左焦点的距离为3,则点P到右准线的距

2516

离为____(答:

35); 3

2

(2)已知抛物线方程为y8x,若抛物线上一点到y轴的距离等于5,则它到抛物线的焦点的距离等于____;

(3)若该抛物线上的点M到焦点的距离是4,则点M的坐标为_____(答:7,(2,4));

x2y2

(4)点P在椭圆1上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点

259

25

P的横坐标为_______(答:);

12

2

(5)抛物线y2x上的两点A、B到焦点的距离和是5,则线段AB的中点到y轴

的距离为______(答:2);

x2y2

(6)椭圆1内有一点P(1,1),F为右焦点,在椭圆上有一点M,使

43

26

; MP2MF 之值最小,则点M的坐标为_______(答:(,1))

3

8、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点P(x0,y0)到两焦点F1,F2的距离

x2y2

S,则在椭圆221中, ①=分别为r1,r2,焦点F1PF2的面积为

ab

b2c22b2

;1),且当r1r2即P为短轴端点时,最大为max=a2r1r2

2

②Sbtanc|y0|,当|y0|b即P为短轴端点时,Smax的最大值为bc;对于双曲

2

2b21x2y22

1Srrsinbcot线221的焦点三角形有:①arccos;②。 12rr22ab12

如 (1)短轴长为5,离心率e

2

的椭圆的两焦点为F1、F2,过F1作直线交椭圆于3

A、B两点,则ABF2的周长为________(答:6);

(2)设P是等轴双曲线x2y2a2(a0)右支上一点,F1、F2是左右焦点,若; PF2F1F20,|PF1|=6,则该双曲线的方程为(答:x2y24)

x2y2→→1的焦点为F1、F2,点P为椭圆上的动点,当PF2 ·PF1

点P的横坐标的取值范围是

(答:(; )

(4)双曲线的虚轴长为4,离心率e=,F1、F2是它的左右焦点,若过F1的直线

2

与双曲线的左支交于A、B两点,且是AF2与BF2等差中项,则AB=__________

(答:;

(5)已知双曲线的离心率为2,F1、F2是左右焦点,P为双曲线上一点,且

F1PF260,SPF1F2

x2y2

; .求该双曲线的标准方程(答:1)

412

9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质:(1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;(2)设AB为焦点弦, M为准线与x轴的交点,则∠AMF=∠BMF;(3)设AB为焦点弦,A、B在准线上的射影分别为A1,B1,若P为A1B1的中点,则PA⊥PB;(4)若AO的延长线交准线于C,则BC平行于x轴,反之,若过B点平行于x轴的直线交准线于C

点,则A,O,C三点共线。

10、弦长公式:若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点A、B,且x1,x2分别为A、B的横坐标,则AB

=1x2,若y1,y2分别为A、B的纵坐标,则AB=

1y1y2。xkyb,若弦AB所在直线方程设为,则yyAB

122

k

特别地,焦点弦(过焦点的弦):焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。

如(1)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,那么|AB|等于_______(答:8); (2)过抛物线y2x焦点的直线交抛物线于A、B两点,已知|AB|=10,O为坐标原点,则ΔABC重心的横坐标为_______(答:3);

11、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

2

b2x0x2y2

在椭圆221中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=-2;在双曲线

abay0b2x0x2y21中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=2;在抛物线a2b2ay0

y22px(p0)中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=

p。 y0

x2y2

1弦被点A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是 如(1)如果椭圆

369

(答:x2y80); x2y2

(2)已知直线y=-x+1与椭圆221(ab0)相交于A、B两点,且线段

ab

AB的中点在直线L:x-2y=0上,则此椭圆的离心率为_______

x2y2

(3)试确定m的取值范围,使得椭圆1上有不同的两点关于直线

43

; y4

xm对称(答:)



特别提醒:因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验0!

12.你了解下列结论吗?

2222yyxx(1)双曲线21的渐近线方程为220; 2

abab

22

byx(2)以yx为渐近线(即与双曲线21共渐近线)的双曲线方程为2aab

22

yx(为参数,≠0)。 22ab

x2y2

如与双曲线1有共同的渐近线,且过点(3,23)的双曲线方程为_______

916

4x2y2

1) (答:94

(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为mxny1;

2

2

2b2(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为,焦准距(焦点到

a

b2

相应准线的距离)为,抛物线的通径为2p,焦准距为p;

c

(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦;

(6)若抛物线y2px(p0)的焦点弦为AB,A(x1,y1),B(x2,y2),则

2

p2

,y1y2p2 ①|AB|x1x2p;②x1x242

(7)若OA、OB是过抛物线y2px(p0)顶点O的两条互相垂直的弦,则直线AB恒经过定点(2p,0)

13.动点轨迹方程:

(1)求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围; (2)求轨迹方程的常用方法:

①直接法:直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y)0;

如已知动点P到定点F(1,0)和直线x3的距离之和等于4,求P的轨迹方程.(答:

y212(x4)(3x4)或y24x(0x3));

②待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数。

如线段AB过x轴正半轴上一点M(m,0)(m0),端点A、B到x轴距离之积为2m,以x轴为对称轴,过A、O、B三点作抛物线,则此抛物线方程为(答:y22x);

③定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程; 如(1)由动点P向圆x2y21作两条切线PA、PB,切点分别为A、B,∠APB=60,则

动点P的轨迹方程为

(答:x2y24);

(2)点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x50的距离小于1,则点M的轨迹方程是_______ (答:y216x);

(3) 一动圆与两圆⊙M:x2y21和⊙N:x2y28x120都外切,则动圆圆心的轨迹为 (答:双曲线的一支);

④代入转移法:动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)的变化而变化,并且Q(x0,y0)又在某已知曲线上,则可先用x,y的代数式表示x0,y0,再将x0,y0代入已知曲线得要求的轨迹方程;

如动点P是抛物线y2x1上任一点,定点为A(0,1),点M分PA所成的比为2,

1

则M的轨迹方程为__________(答:y6x2);

3

⑤参数法:当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将x,y均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程)。

如(1)AB是圆O的直径,且|AB|=2a,M为圆上一动点,作MN⊥AB,垂足为N,在OM上取点P,使|OP||MN|,求点P的轨迹。(答:xya|y|);

(2)若点P(x1,y1)在圆xy1上运动,则点Q(x1y1,x1y1)的轨迹方程是____(答:y2x1(|x|

2

2

2

2

2



1

)); 22

(3)过抛物线x4y的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点,则弦AB的中点M的

2

轨迹方程是________(答:x2y2);

注意向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化,还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。

2

x2y2

如已知椭圆221(ab0)的左、右焦点分别是F1

ab

(-c,0)、F2(c,0),Q是椭圆外的动点,满足|F1|2a.点

P是线段F1Q与该椭圆的交点,点T在线段F2Q上,并且满足PTTF20,|TF2|0.(1)

c

x;(2)求点T的轨迹C的方程;(3)试问:a

在点T的轨迹C上,是否存在点M,使△F1MF2的面积S=b2.若存在,求∠F1MF2的正切

b2222

值;若不存在,请说明理由. (答:(1)略;(2)xya;(3)当a时不存在;

c

b2当a时存在,此时∠F1MF2=2)

c

设x为点P的横坐标,证明|F1P|a

②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.

③在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.

④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”,那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.

14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容:



(1) 给出直线的方向向量u1,k或um,n;

(3)给出0,等于已知P是MN的中点;

(4)给出,等于已知P,Q与AB的中点三点共线;



(5) 给出以下情形之一:①AB//AC;②存在实数,使;③若存在实



数,,且1,使OCOAOB,等于已知A,B,C三点共线.

(2)给出与AB相交,等于已知过AB的中点;

(6) 给出

,等于已知P是的定比分点,为定比,即

1



(7) 给出0,等于已知MAMB,即AMB是直角,给出

m0,等于已知AMB是钝角, 给出m0,等于已知AMB是

锐角,



(8

)给出MP,等于已知MP是AMB的平分线/

(9)在平行四边形ABCD中,给出(ABAD)(ABAD)0,等于已知ABCD

是菱形; 矩形;

(11)在ABC中,给出,等于已知O是ABC的外心(三角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点);

2

2

2



(10) 在平行四边形ABCD中,给出|ABAD||ABAD|,等于已知ABCD是

(12) 在ABC中,给出OAOBOC0,等于已知O是ABC的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点); (13)在ABC中,给出,等于已知O是ABC的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点);



ABAC)(R)等于已知通过(14)在ABC中,给出(|AB||AC|

ABC的内心;

BC中,(15)在A给出abc0等于已知O是ABC的内心(三

1

ABAC,等于已知AD是ABC中BC边的中(16) 在ABC中,给出AD2

角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点);



线;

范文九:圆锥曲线的解题技巧

摘 要: 作者从知识准备、常见问题出发,论述了圆锥曲线的利用几何图形、曲线方程、韦达定理等解题策略。

关键词: 圆锥曲线 题型 解题策略

一、知识准备

基本概念;基本公式;求直线方程的方法;在解决直线与圆的位置关系问题中,运用圆的几何性质;了解线性规划的意义及简单应用;熟悉圆锥曲线中基本量的计算;掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法;掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法;能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题。

二、题型罗列

1.中点弦问题

具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法):设曲线上两点为(x,y),(x,y),代入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式,消去四个参数。

例:给定双曲线x-=1,过A(2,1)的直线与双曲线交于两点P和P,求线段PP的中点P的轨迹方程。

2.焦点三角形问题

椭圆或双曲线上一点P,与两个焦点F、F构成的三角形问题,常用正、余弦定理。

例:设P(x,y)为椭圆+=1上任一点,F(-c,0),F(c,0)为焦点,∠PFF=α,∠PFF=β。

(1)求证:离心率e=;

(2)求|PF|+|PF|的最值。

3.直线与圆锥曲线位置关系问题

直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判别式,应特别注意数形结合的办法。

例:抛物线方程y=p(x+1)(p>0),直线x+y=t与x轴的交点在抛物线准线的右边。

(1)求证:直线与抛物线总有两个不同交点。

(2)设直线与抛物线的交点为A、B,且OA⊥OB,求p关于t的函数f(t)的表达式。

4.圆锥曲线的有关最值问题

圆锥曲线中的有关最值问题,常用代数法和几何法解决。若命题的条件和结论具有明显的几何意义,一般可用图像性质来解决。若命题的条件和结论体现明确的函数关系式,则可建立目标函数(通常利用二次函数,三角函数,均值不等式)求最值。下题中的(1),可先设法得到关于a的不等式,通过解不等式求出a的范围,即:“求范围,找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数,利用求函数的值域求出a的范围。对于(2),首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数,然后再求它的最大值,即“最值问题,函数思想”。

例:已知抛物线y=2px(p>0),过M(a,0)且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B,|AB|≤2p,(1)求a的取值范围;(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求△NAB面积的最大值。

5.求曲线的方程问题

(1)曲线的形状已知,这类问题一般可用待定系数法解决。

例:已知直线L过原点,抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴正半轴上。若点A(-1,0)和点B(0,8)关于L的对称点都在C上,求直线L和抛物线C的方程。

(2)曲线的形状未知,求轨迹方程。

例:已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C:x+y=1,动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ>0),求动点M的轨迹方程,并说明它是什么曲线。

6.存在两点关于直线对称问题

在曲线上两点关于某直线对称问题,可按如下方法解题:求两点所在的直线,求这两直线的交点,使这交点在圆锥曲线形内。当然也可利用韦达定理并结合判别式来解决。

例:已知椭圆C的方程+=1,试确定m的取值范围,使得对于直线y=4x+m,椭圆C上有不同两点关于直线对称。

7.两线段垂直问题

圆锥曲线两焦半径互相垂直问题,常用k•k==-1来处理或用向量的坐标运算来处理。

例:已知直线l的斜率为k,且过点P(-2,0),抛物线C:y=4(x+1),直线l与抛物线C有两个不同的交点。(1)求k的取值范围;(2)直线l的倾斜角θ为何值时,A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。

三、解题策略

事实上,如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程,以及运用“设而不求”的策略,往往能够减少计算量。下面举例说明。

1.充分利用几何图形的策略

解析几何的研究对象就是几何图形及其性质,所以在处理解析几何问题时,除了运用代数方程外,充分挖掘几何条件,并结合平面几何知识,往往能减少计算量。

例:设直线3x+4y+m=0与圆x+y+x-2y=0相交于P、Q两点,O为坐标原点,若OP⊥OQ,求m的值。

2.充分利用韦达定理的策略

我们经常设出弦的端点坐标但不求它,而是结合韦达定理求解,这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。

例:已知中心在原点O,焦点在y轴上的椭圆与直线y=x+1相交于P、Q两点,且OP⊥OQ,|PQ|=,求此椭圆方程。

3.充分利用曲线方程的策略

例:求经过两已知圆C:x+y-4x+2y=0和C:x+y-2y-4=0的交点,且圆心在直线l:2x+4y-1=0上的圆的方程。

4.充分利用椭圆的参数方程的策略

椭圆的参数方程涉及正、余弦,利用正、余弦的有界性,可以解决相关的求最值的问题。这也就是我们常说的三角代换法。

例:P为椭圆+=1上一动点,A为长轴的右端点,B为短轴的上端点,求四边形OAPB面积的最大值及此时点P的坐标。

5.线段长的几种简便计算策略

(1)充分利用现成结果,减少运算过程。

求直线与圆锥曲线相交的弦AB长:把直线方程y=kx+b代入圆锥曲线方程中,得到型如ax+bx+c=0的方程,方程的两根设为x,x,判别式为△,则|AB|=•|x-x|=•,若直接用结论,能减少配方、开方等运算过程。

例:求直线x-y+1=0被椭圆x+4y=16所截得的线段AB的长。

(2)结合图形的特殊位置关系,减少运算。

在求过圆锥曲线焦点的弦长时,由于圆锥曲线的定义都涉及焦点,结合图形运用圆锥曲线的定义,可回避复杂运算。

例:F、F是椭圆+=1的两个焦点,AB是经过F的弦,若|AB|=8,求|FA|+|FB|的值。

(3)利用圆锥曲线的定义,把到焦点的距离转化为到准线的距离。

例:点A(3,2)为定点,点F是抛物线y=4x的焦点,点P在抛物线y=4x上移动,若|PA|+|PF|取得最小值,求点P的坐标。

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范文十:圆锥曲线解题技巧

圆锥曲线:概念、方法、题型、及技巧总结

1.圆锥曲线的定义:

(1)定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F1,F2的距离的和等于常数2a,且此常数2a一定要大于F1F2,当常数等于F1F2时,轨迹是线段F1F2,当常数小于F1F2时,无轨迹;双曲线中,与两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数2a,且此常数2a一定要小于|F1F2|,定义中的“绝对值”与2a<|F1F2|不可忽视。若2a=|F1F2|,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线,若2a﹥|F1F2|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

如 (1)已知定点F1(3,0),F2(3,0),在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 A.

D.PF12 B.PF C.PF PF1PF2101PF241PF262PF212

(2)

8表示的曲线是_____

2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):

x2y2xacos(1)椭圆:焦点在x轴上时221(ab0)(参数方程,ybsinab

2yx2

22其中为参数),焦点在y轴上时22=1(ab0)。方程AxByC表示椭ab

圆的充要条件是什么? 

x2y2

如(1)已知方程1表示椭圆,则k的取值范围为____ 3k2k

22(2)若x,yR,且3x22y26,则xy的最大值是____,xy的最小值是

___

x2y2y2x2

(2)双曲线:焦点在x轴上:22 =1,焦点在y轴上:22=1abab

22(a0,b0)。方程AxByC表示双曲线的充要条件是什么?

x2y25如(1)双曲线的离心率等于,且与椭圆1有公共焦点,则该双曲线的方942

程_______

(2)设中心在坐标原点O,焦点F1、F2在坐标轴上,离心率e

过点P(4,),则C的方程为_______

(3)抛物线:开口向右时y2px(p0),开口向左时y2px(p0),开口向上时x2py(p0),开口向下时x2py(p0)。

3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):

(1)椭圆:由x,y222的双曲线C2222分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。

x2y2

如已知方程1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是__ m12m

(2)双曲线:由x,y项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;

(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。

特别提醒:(1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点F1,F2的位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数a,b,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向; (2)在椭圆中,a最大,abc,在双曲线中,22222

c最大,c2a2b2。

4.圆锥曲线的几何性质:

x2y2

(1)椭圆(以221(ab0)为例):①范围:axa,byb;ab

②焦点:两个焦点(c,0);③对称性:两条对称轴x0,y0,一个对称中心(0,0),

c四个顶点(a,0),(0,b),其中长轴长为2a,短轴长为2b;④离心率:e,椭圆a

0e1,e越小,椭圆越圆;e越大,椭圆越扁。

x2y2如(1)若椭圆,则m的值是__ 1的离心率e5m5

(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为__

x2y221(a0,b0)(2)双曲线(以为例):①范围:xa或xa,yR;2ab

②焦点:两个焦点(c,0);③对称性:两条对称轴x0,y0,一个对称中心(0,0),两个顶点(a,0),其中实轴长为2a,虚轴长为2b,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,

c称为等轴双曲线,其方程可设为x2y2k,k0;④离心率:e,双曲线e1,a

b等轴双曲线

ee越小,开口越小,e越大,开口越大;⑥两条渐近线:yx。 a

如 (1)双曲线的渐近线方程是3x2y0,则该双曲线的离心率等于______

(2)双曲线axby

1a:b22x2y2

(3)设双曲线221(a>0,b>0)中,离心率e∈[2,2],则两条渐近线夹角ab

θ的取值范围是________

(3)抛物线(以y2px(p0)为例):①范围:x0,yR;②焦点:一个焦点2

p(,0),其中p的几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴y0,没有2

pc对称中心,只有一个顶点(0,0);④准线:一条准线x; ⑤离心率:e,抛物2a

线e1。