圆锥曲线解题模型

圆锥曲线解题模型

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【专家解析】圆锥曲线解题模型

【优秀范文】圆锥曲线解题模型

范文一:圆锥曲线类型题目解法

浅谈圆锥曲线类型题目解法

关键词 解析几何二次曲线圆锥曲线

高中解析几何主要学习了4种二次曲线(圆,椭圆,双曲线和抛物线),统称为圆锥曲线。而曲线的切线是其中一项重要的学习内容,是各类考试的出题的常用素材,在高考中也多次出现。

过曲线上一点(切点)引切线只有一条,而过圆锥曲线外一点(不包括在曲线内的点如圆内的点)引切线有2条。设圆锥曲线方程为:f(x,y)=ax2+by2+cx+dy+e=0,点p(x0,y0)是该曲线上一点,设过p点该曲线的切线为直线l,下面推导切线l的方程:设切线l的方向向量是非零向量,坐标为(u,v),则l的参数方程是:代入f(x,y)=0得:a(x0+ut)2+b(y0+vt)2+c(x0+ut)+d(y0+vt)+e=0。整理为关于t的二次方程:(au2+bv2)t2+2(aux0++bvy0+)t+f(x0,y0)=0。显然,此方程只有一个实根,即=0,而由于f(x0,y0)=0,所以=4(aux0++bvy0+)2=0.即(ax0+)u+(by0+)v=0(1),而切线l的普通方程为(x!x0)v!(y!y0)u=0(2),方程(1)和(2)联立消去u与v可得到过圆锥曲线f(x,y)=0上一点p(x0,y0)的切线方程为:(x!x0)(ax0+)+(y!y0)(by0+)=0,由推导出的切线方程很容易可以得到:1.过椭圆x2/a2+y2/b2=1上任一点p(x0,y0)的切线方程:因为a=1/a2b=1/b2c=d=0e=1,切线方程为:(x!x0)(x0/a2)+(y!y0)(y0/b2)=0化简得:x0x/a2+y0y/b2=1。同理可得:2.过双曲线x2/a2!y2/b2

浅谈圆锥曲线类型题目解法

关键词 解析几何二次曲线圆锥曲线

高中解析几何主要学习了4种二次曲线(圆,椭圆,双曲线和抛物线),统称为圆锥曲线。而曲线的切线是其中一项重要的学习内容,是各类考试的出题的常用素材,在高考中也多次出现。

过曲线上一点(切点)引切线只有一条,而过圆锥曲线外一点(不包括在曲线内的点如圆内的点)引切线有2条。设圆锥曲线方程为:f(x,y)=ax2+by2+cx+dy+e=0,点p(x0,y0)是该曲线上一点,设过p点该曲线的切线为直线l,下面推导切线l的方程:设切线l的方向向量是非零向量,坐标为(u,v),则l的参数方程是:代入f(x,y)=0得:a(x0+ut)2+b(y0+vt)2+c(x0+ut)+d(y0+vt)+e=0。整理为关于t的二次方程:(au2+bv2)t2+2(aux0++bvy0+)t+f(x0,y0)=0。显然,此方程只有一个实根,即=0,而由于f(x0,y0)=0,所以=4(aux0++bvy0+)2=0.即(ax0+)u+(by0+)v=0(1),而切线l的普通方程为(x!x0)v!(y!y0)u=0(2),方程(1)和(2)联立消去u与v可得到过圆锥曲线f(x,y)=0上一点p(x0,y0)的切线方程为:(x!x0)(ax0+)+(y!y0)(by0+)=0,由推导出的切线方程很容易可以得到:1.过椭圆x2/a2+y2/b2=1上任一点p(x0,y0)的切线方程:因为a=1/a2b=1/b2c=d=0e=1,切线方程为:(x!x0)(x0/a2)+(y!y0)(y0/b2)=0化简得:x0x/a2+y0y/b2=1。同理可得:2.过双曲线x2/a2!y2/b2

范文二:圆锥曲线题型的常用解法

1.定义法

(1)椭圆、双曲线有两种定义.第一定义中,与两个定点距离问题正用定义;点在椭圆、双曲线上时逆用定义.第二定义中,常常将焦半径与“点到准线的距离”互相转化.

(3)抛物线只有一种定义,就是单一的焦半径与“点到准线的距离”互相转化,很多抛物线问题直接用定义解决.

例1设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足,如果直线AF斜率为-3,那么|PF|=().

A.43 B. 8 C.83D. 16

解析选B.利用抛物线定义,易证△PAF为正三角形,则|PF|=4sin30°=8.

2.点差法

“点差法”,在解析几何的运算中,是设一些量而并不解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决.这种方法的优点是“设而不求”.“点差法”是直线与圆锥曲线相交的弦中点问题的通解通法,一般模式:设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点为M(x0,y0),将点A、B坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关系,这是一种常见的“设而不求”法.

例2(2009宁夏海南卷理)设已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点为F(1,0),直线l与抛物线C相交于A,B两点.若AB的中点为(2,2),则直线l的方程为.

解析抛物线的方程为y2=4x, A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1≠x2,y21=4x1,

y22=4x2.

两式相减得,y21-y22=4(x1-x2),所以y1-y2x1-x2=4y1+y2=1.

所以直线l的方程为y-2=x-2,即y=x.

3.韦达定理法

用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,把直线方程代入圆锥曲线方程,韦达定理、弦长公式、判别式是高考解析几何重要解题思路.

例3设椭圆方程为x2+y24=1,过点M(0,1)的直线l交椭圆于点A、B,O是坐标原点,点P满足OP=12(OA+OB),当l绕点M旋转时,求动点P的轨迹方程.

解析直线l过点M(0,1)设其斜率为k,则l的方程为y=kx+1.

记A(x1,y1)、B(x2,y2),由题设可得点A、B的坐标(x1,y1)、(x2,y2)是方程组

y=kx+1

x2+y24=1①

②的解.将①代入②并化简得(4+k2)x2+2kx-3=0,所以x1+x2=-2k4+k2,

y1+y2=84+k2.

于是 OP=12(OA+OB)=(x1+x22,y1+y22)=(-k4+k2,44+k2).

设点P的坐标为(x,y),则x=-k4+k2,

y=44+k2.消去参数k得4x2+y2-y=0③.

当k不存在时,A、B中点为坐标原点(0,0),也满足方程③,所以点P的轨迹方程为4x2+y2-y=0.

4.数形结合法

“数”与“形”反映了事物两个方面的属性, 数形结合,主要指的是数与形之间的一一对应关系, 是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化.我国著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好,隔裂分家万事非”.

例4(2010湖北理数)若直线y=x+b与曲线y=3-4x-x2有公共点,则b的取值范围是().

A.[-1,1+22]B.[1-22,1+22]

C.[1-22,3]D.[1-2,3]

解析曲线方程可化简为(x-2)2+(y-3)2=4(1≤y≤3),即表示圆心为(2,3)半径为2的半圆.依据数形结合,当直线y=x+b与此半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线y=x+b距离等于2,解得b=1+22或b=1-22.因为是下半圆故应将b=1+22舍.当直线过(0,3)时,解得b=3.故1-22≤b≤3,所以C正确.

5.参数法

(1)有向线段的数量t为参数:当圆锥曲线问题与“距离”和“方向”有关时,常用有向线段的数量t为参数.

(1)点参数:动点在已知曲线上时,常设点参数,如圆的点参数常设为P(rcosα,rsinα)(α是参数且α∈[0,2π)); 如椭圆的点参数常设为P(acosα,bsinα)(α是参数且α∈[0,2π));x轴上一动点P,常设P(x,0);直线x-y+1=0上一动点P,除设P(x1,y1)外,也可直接设P(x,x+1).

(2)斜率为参数:当直线的截距为定值或过某一定点P(x0,y0)时,常以k为参数,再按命题要求依次列式求解等.

例5设点P(x,y)在椭圆x216+y29=1,试求点P到直线x+y-5=0的距离d的最大值和最小值.

解点P(x,y)在椭圆x216+y29=1上,设点P(4cosα,3sinα)(α是参数且α∈[0,2π)),

则d=|3cosα+4sinα-5|42+32=|5sin(α+arcsin35)-5|5.

当α=π2-arcsin35时,距离d有最小值0,此时椭圆x216+y29=1与直线x+y-5=0相切;当α=3π2-arcsin35时,距离d有最大值2.

范文三:如何解圆锥曲线问题

炼就好功夫,就啃硬骨头

————谈如何解决圆锥曲线问题

全国各省高考中圆锥曲线问题常以不争的地位做为最后一个压轴题,不少考生都是只做了第一步就毅然决然地放弃了,这类问题真如水蛇猛兽吗?要攻克这一“堡垒”就要了解其在高中数学中重要地位,而圆锥曲线问题一直以来都是高中数学的重要知识,其重要性又体现如处呢?旨在训练学生哪方面的能力呢?我们只有抱着“缺什么就补什么”的中医思想才能取得最后的胜利。

首先,是运算能力。这恐怕是同学们体会最为深刻的一个,但凡圆锥曲线问题,总不会让你三下五除二就能解决问题,必定要经过一翻周折,变形,整理,化简,计算......,关键是在整个过程中不能出现哪怕是再小的“失误”,否则都有可能导致全盘皆输,所以这类问题对于运算能力可谓要求颇高,当然在这个过程中是不是也很好地锻炼了锲而不舍的精神以及严谨审慎的作风啊。

其次,是转化的意识。这是整个解析几何的理论基础,解析法的根本思想就是把几何问题转化为代数运算问题来研究,你能体会它的威力吗?让大家望而却步的第二问往往是直线与圆锥曲线问题的位置关系问题,解决它就要抓住它的命脉,首先,把其中的几何关系转化为坐标运算(即形到数的转化,迈出这一步很关键,就如同数学建模!这里特别提出可以用向量中的理论来实现,向量的坐标运算是不是就找到用武之地了?),然后再把坐标运算转化为方程求解来解决(这基于曲线方程的定义,要知道曲线上的点与方程的解是一一对应的)。

第三,要有简约意识。圆锥曲线问题的运算相当可观,所以我们能简则简,这里包括直线方程的设法,以及坐标运算的处理。分析圆锥曲线问题,我们很少把交点坐标真的老老实实求出,原因一是往往不好求,二是即使求出也一定讨好,那如何办?这里我们特别提出的就是利用韦达定理,交点坐标设而不求,进行整体运算,所以我们很多问题都要努力变形为韦达定理的形式。

如:大家会经常看到这样的条件,以弦AB为直径的圆过定点P(1,2)(或者说

APBP,或者说APBPAPBP)即可化为两向量间的数量积运算APBP0,

从而化为坐标间的关系(x11)(x21)(y12)(y22)0,然后再利用直线AB的方程y1kx1b,y2kx2b是不是就可以化到关于x1,x2的韦达定理上面去了。

第四,做数学就要严谨。要能把圆锥曲线问题拿的满分,就要像水浒中的鲁达一样,即要有勇又要细心。如设直线方程时要先考虑斜率不存在的情况,如果可能符合题意就要进行分类讨论,再如直线与圆锥曲线问题中一般都是在方程组有解也即 “△>0”这一前提条件下进行的,切不可忽视。

不做纸上谈兵,下面再看一个例题:

x2y2

1,试确定m的取值范围,使得对于直线l:y4xm,椭圆上总有 已知椭圆43

不同的两点关于该直线对称.

此题短小精悍,却难到过不少英雄好汉,是不是很经典啊,其解法如下:

解:设P(x1,y1)、Q(x2,y2)是椭圆C上关于直线l:y4xm对称的两点,M为PQ的中点.如下图,

则过P,Q的直线l的方程为y1xb,将l的方程代入C中,整理得 4

13x28bx16b2480.(*) xx24b8b,∴ xM1 13213

4b12b112b). ∴yMxMb,即PQ的中点M的坐标为M(,1313413∴x1x2

又∵PQ的中点M在直线l:y4xm上 12b4b4b4()m,解得m.① 131313

∵ l与C有两个交点, ∴

∴ 在方程(*)中需Δ>0

,解得

代入①,解得m. 做出这道题,有以下思考:

(1)“两点关于直线对称”这一几何条件的运用。由对称的意义可得这一几何条件即为两点间线段被直线垂直平分,那么垂直、平分这两个条件如何使用呢?

实际上,把过P,Q的直线l的方程设为y1xb,就满足了垂直条件,所以再保4

证PQ的中点M在直线l上就可以了,从而几何条件转化为了坐标间的运算,这里在求中点M坐标时当然要使用韦达定理,而非把P,Q的坐标都求出来再用中点坐标公式。

(2) 仅靠①中得出的m4b只能得出参数m与直线截距成正比,对其范围好像并13

没有什么限制,实际上,这些都应该在直线与椭圆相交的前提下,故需Δ>0这一条件。

(3)在整个运算的过程中要认真仔细,这里特别提出直线与椭圆方程联立时化简一定要准确。

最后一点,要让成功成为习惯。实际上,平时上课、复习或者训练时,肯定不会让你去应付大批量的“敌人”,要珍惜每一个挑战自我,强大自我的机会,正如“蚕食”战术,遇到一个就要解决一个,“伤其十指不如断其一指”,只有在不断的彻底胜利中才能获取赢得最后胜利的信心,“两军阵前勇者胜”,这一点很重要,这决定着你能不能成为真正的赢家。

范文四:(圆锥曲线解答题)

2015届高三各地模拟试题汇编(圆锥曲线解答题)

x2y2

1.(江南十校2015届高三上学期期末大联考21.)21.已知椭圆C :221(a>b>0)左右焦

ab

点,上下定点依次为F1,F2,B2,B1若四边形的面积为8

(1)求椭圆C的方程。

(2)已知点在椭圆C上,若M, F2,N三点共线,且F1F2=的方程。

1

F1MF1N,求直线MN3

【知识点】椭圆及其几何性质

x2y21(2)

x【答案】(1)y-2=0. 84【解析】(1)

四边形F1B1F2B2为菱形,S菱形=

1

2b2c8,即bc=4

2

c22222,

又abc,则b=c,b4,a=8, ax2y2

1 故椭圆方程为84

(2)依题意知F2(2,

0),

M,N,F三点共线,且F1F2=

1

F1MF1N 3



2

且MF22F2N 3

设M(x1,y1),N(x2,y2),则MF2(2-x1,-y1)F2N=(x2,-2,y2)

x122y1282x12(x2,2)

又M,N在椭圆C上,则2 2

y2y12x22y28

代入求得x2=

55,y

2=,故N(,), 22

kMN

,故直线MN的方程为

y=(x-2)

22

x

y-2=0.

7

c22222

,

又abc,则b=c,b4,a=8, 

a2

【思路点拨】由

x122y128x2y21 .M,N在椭圆C上,则2故椭圆方程为 284x22y28

代入求得x2=

55,y

2=,故N(,)

,kMN,求出。 22

2.(2015滁州市高高级中学联谊会高三第一学期期末联考)21、(本小题满分13分)已知椭

x2y2

圆C:221(ab0)的右焦点F2是抛物线y24x的焦点,过点F2垂直于x

ab

轴的直线被椭圆C所截得的线段长度为3.

求椭圆C的方程;

设动直线l:ykxm与椭圆C有且只有一个公共点,且与直线x2相交于

点Q.请问:在x轴上是否存在定点,使得Q为定值?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.

32

(20)解析: (Ⅰ)抛物线y4x的焦点坐标为(1,0),则椭圆C过点 (1,),

2

a2b212

x2y2a4

则11.(4分) ,椭圆C的方程为,解得29

431b32

4b2a

(Ⅱ)假设在x轴上存在定点M(x1,0)满足条件,设P(x0,y0),则Q(2,2km),

ykxm222由x2y2,得(4k3)x8kmx4m120.

134

2222

∴64km4(4k3)(4m12)0,即4k23m2,m0.

4k34km4k3

,∴P(,).(8分) ,ykxm00

mm4k23mm

4k3

MP(x1,),MQ(2x1,2km),

mm

4k3k

MPMQ(x1)(2x1)(2km)=(4x12)x122x13,

mmm

此时x0

19

当4x120,即x1时,x122x13.

24

19

∴存在点M(,0),使得MPMQ为定值.(13分)

24

3.(2015届淮南市高三第一次模拟考试

)

1

(Ⅲ)解:对于椭圆C上的任意两点P、Q,当

2P

OP

2

1OQ

2

712

时,设

2

12k1212k21212222

x2,yP2;xQ2,yQ2,

OP:yk1x,OQ:yk2x,易得4k134k134k234k23由

7

22

12OPOQ

11

2

4k1234k237

,22

12k11212k21212 得

来源:Z,xx,k.Com]

22222222

8kk7k7k67(kkkk1),亦即k1k21,………………..13分 12121212即

1

所以当

OP

2

7

OQ

为定值12时,OPOQ不一定成立…………………14分

2

1

4.(2015届安庆一中、安师大附中期末联考)20、(本小题13分)

x2y2。 已知椭圆C:221(ab

0)的焦点是(

,且椭圆经过点ab

(1)求椭圆C的方程;

(2)设P(0,4),M、N是椭圆C上关于y轴对称的任意两个不同的点,连接PN交椭圆C于另一点E,证明:直线ME与y轴相交于定点。

x2y2

解:(1)椭圆C的方程为221(ab0)

ab

 a2b23,

2a4 x2

所以所求椭圆C的方程为y21 ……………………6分

4

(2)设N(x1,y1)、E(x2,y2)、M(x1,y1),直线PN的方程为ykx4,则

x22

y1由4 得:(14k2)x232kx600 ykxb

 x1x2

32k60

……………………8分 ,xx1222

12k12k

y2y1

(xx1) x2x1

直线lME:yy2

 当x0时,y

=

(y2y1)x1xyx2y1

y112

x1x2x1x2

x((2kx1x24(x1x2)2kx14)x1kx24) ……………………12分 x1x2x1x212014324

所以直线ME与y轴相交于定点(0,) ……………………13分

1

4

范文五:构造直线与圆锥曲线相交关系模型解题举隅

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・9   重 庆  6・ 《 学 教 学 通 讯  ̄ 0 2年 1 ( ) 数 20 2下

构 造 直 线 与 圆 锥 曲 线 相 交关 系模 型 解 题 举 隅

( 江 慈 溪教 师进 修 学校  3 5 0 ) 王 立 军  浙 1 3 0

解 析 几 何 的 优 点 在 于 形 数 结 合 , 几 何 问 题 化 作  把

证 明 : 已 知 等 式 分 别 化 为 z+ Y— n— z z + y 将 ,

=   一 Z2

数 、 的 推 演 计 算 . 过 来 , 、 问 题 也 可 以 借 助 于 解  式 反 数 式

析 几 何 模 型 去 处 理 . 于 某 些 数 、 问 题 , 果 能 挖 掘  对 式 如 出 它 潜 在 的 关 于 某 两 个 变 量 的 一 次 和 二 次 关 系 , 可  则 构 造 直 线 与 圆 锥 曲 线 相 交 关 系 模 型 , 能 找 到 解 题 捷  常

由 此 两 式 同 时 成 立 , 知 直 线 z+  : n—  即

z 圆z 譬一  f n 公 点 和 z  一 zf≤ ) 共 . + (   有   z

由 圆 心 0( , ) 直 线 的 距 离 不 大 于 圆 的 半 径 , OO 到 有

径 , 到 事 半 功 倍 的 效 果 . 文 举 例 说 明 如 何 构 造 模 型  达 本 并 利 用 直 线 与 圆 锥 曲 线 相 交 的 有 关 性 质 来 解 题 的 方

法.

≤ 譬 ,简 s—n   n  √   化 得 z z≤ > z z

0 2> 0 则 0< z≤ - n , , 6     . -

利 用 直 线 与 圆 锥 曲线 有 公 共点 的 条 件

同 可 o z 号,   n 理 证 < ≤ n < ≤号. o

例 2 已 知 锐 角 口  满 足 C S + c s — CS 口+    、 OO t of l O(

例 1 如 果 正 数 z, z满 足 z+  + z= n z    , ,  +

zz 等n O +z ( ) 一 >,   求 : z 号,   号 ,< ≤考. 证0 ≤ n < ≤ n0  _   < 寺 0 寺  2专 “ _ n

) ÷. : 求 、 之值 .

解 : 已知 得  由

金 额

兀 )

( /人 .年 ) 元

性 质 与 计 算 方 法

( ) 比较 : ( 2 5 1+  ) × 2 % 一 [ - ( + 1   0 o 1  )+

考 虑 物 价 因素 , 2 0 从 0 0年

基 础

o]  ̄l1 ) ( 9  .一 o +   ” ) 8 ( 一 +]

・ .

100 0 0  工 资

初 起 每 年 递 增 1 % ( 工  O 与

龄 无关 )

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)一 1 0+ , > "+ 9  l .

+c ・1 + …) :而

房 屋

400

按 职工到公 司年 限计算 ,   每 年 递 增 4 0元  0

10  60 固 定 不 变

≥ 1 1+  0(

’ ・ ・

补 贴

医疗 费

5 +南)×2%>01 +1

+08 ( 1   0 -( ) ・    -

故 公 司 每 年 发 给 职 工 工 资 总 额 中 , 屋 补 贴 和 医  房 疗费 的总 和不 会超 过 基础 工资 总额 的 2 %. O

解 :1 ( )第 , 年 共 有 5 t  个 职 工 , 么 基 础 工 资 总 额  那

图 表 是 信 息 的 良 好 载 体 , 观 通 俗 , 现 代 社 会  直 在

为5(+亩)万元) n1   ( ,

医 疗 费 总 额 为 5 × 0 1 ( 元 )    .6 万 ,

房 屋 补 贴 为 5× 0 0 . 4+ 5× 0 0 . 4× 2+ 5× 0 0   .4

× 3+ … + 5 × 0 0 × ; 、4 r /: 0 .1× ;( + 1 ( 元 )  rn / )万 ,

’ ・ ・

中 , 们 必 须具 备 从 各种 传 媒 的 图表 中及 时 收集 信 息 . 人

加 工 处 理 为 我 所 用 的 能 力 . 既 是 社 会 的 要 求 , 是 素  这 也 质 教 育 的要 求 , 以 预见 , 图表 作 信 息 源 的新 试 题 , 可 用   将 仍 是 高 考试 题 创 新 的生 长 点 , 确 求 解 图表 信 息 题  正 既 是 高 考 取 胜 的 需 要 , 是 学 生 踏 .社 会 的 必 备 能 力. 也 七

5(+南 +01 nn ) - ( n1 -× (+1+08  n

范文六:构造直线与圆锥曲线相交关系模型解题举隅

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数 学 教 学 研 究

20 0 2年 第 3期

^   =1   % 要 比较 s  与  。川 的 大 小 , 先 比 较 (   6 可 1+

力而

.   6 .; 0 ( ( 1  . 当

因 此 , 。 > l , 。)— 当 时 s

时 , 。< . s   。

1( ) 1+— ) 1+丁 ) 1 五    ( 1 1 …( +

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倒 5 ( 0 1年 全 国 高 考 理 科 2   20 0题 )已 知 、 . r、 a  是 正 整 数 , l ( 《 m ( , 明 : p ( r‘' 且     证     ap  .o

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3n   4   7   1  0 3n + 1

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‘ … ’  了 ‘

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故 A > B ) G, .   > A C = 3 .A B n+ 1   ,

即 1 1J ÷) + …1 l)   (+) + ( ÷)(+ 一 > ( 】

构 造 直线 与圆 锥 曲线 相 交 关 系模 型解 题 举 隅

王 立 军

( 江店 悬溪 市 教 师进修 学枝 浙 35 0 ) 13 0

解 析 几 何 的优 点 在 于 形 数 结 合 , 几 何 阿 题 化  把 作数 、 的推 演计 算 . 过 来 , 、 问题 也 可  借 助  式 反 数 式 于解 析 几 何模 型去 处 理. 于 某些 蕺 、 阿题 , 果  对 式 如 螗 挖 掘 出它 潜 在 的 关 于 某两 个 变量 的 一次 和 二次 关

系 式 , 可 构 造 直 线 与 躅 锥 曲 线 相 交 的关 系 横 型 ,   则 常

放 圆 心 o( 0 0, )刊 直 线的 距离 不 太 于 圆的半 径 ,

Iz- a l

又  ,

能 找到 解 题 捷 径 , 到 事半 功倍 的般 果. 文 举 例 说  达 本

明如 何构 造 模 墅 并 利 用直 线 与 圆锥 曲线 相 交 的 有关   性 质 解题 的 方法 .

o, :) 0 则 0 < ,

同理 可 证 o c    例 2 已知锐 角

Y   )= — 3

— ,  ,   0

1 利 用 直线 与 四堆 曲

皱 有公 共 点 酌条 件    倒 1 如 果 正 数  , , y z满 足 z Y+:= O,   -

满足 c s 0d+e, oa—cs d+ o(

+ = ( ≯ )求 o(     n 0 1 证:  ≤÷Ⅱ y   , , ≤ 0(

求 a、 p之 值

由 已 知 得

o  争   :

证 明  将 已知 等式 分 别 化 为  =   ,   一:.   由此 两 式 同 时成 立 , 即知 直线  +Y=Ⅱ

(  1

s )o8+s d・ j + d一÷ =0 d cs ; i s    n f

构 造 点 P(   ,j ) 则 P点 既 在 单 位 圆  +Y  o s   ,

l上 , 叉在 直 线 E :

(1一 e   ) + s a ・y + e s 一 — = 0 上 , 。 x m 0a

和圆  + = O   ,  -一

( l  1 ≤

) 公共点  有

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20 0 2年 第 3期  所 以 P是 直 线 1 单 位 圆  + 与

数 学 教 学 研 究  = 1的 公 其 点

求 函 数

=面 的 值 域 . 一

故 圆心 0( 0 0, )到 直 线   的 距 离 d ≤ J 即  ,

I s 一  c。     I

=   r  _ 解

设 ,  ) = 爪, (   3

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化 简得 ( 。  一 c s  1 ) ≤ 0

原 式 为 一2 +

令 y=一  一 2 3+m,

} 同  = ’ 理 号

锐 角 n 满 足  n  ̄   s  t i* +   )   = l 下 列   则

..

,  =

; 一百 _

2 利 用直 线 与 圆锥 曲线 切 点的 唯 一性    例3

0 此式 整 理得  ,

(   !=

:J

结 论 中 正 确 的是 (

( y≥ 0】

+ 詈   ≠

解  构 造 点

+ 手

P ( O  ,i  . : sn ,   C S s 卢) P ( i    n +   =l .   上 过

由于  =一2 x+m 一3是斜 率 为 一2的 一组 平 行  线 , ;、 _ Y 厂= 五r  二   为 中心 在 (   ), 轴 平  1 30 长

£   子 胁 + 手   +    =

c n) 剥 点 P , : 在 椭 圆    , lP 都 点 P 的 椭 圆 的 切 线 方 程 为  。

行 于 Y轴 的 椭 圆 在   轴 的 上 方 部 分 , 图 2 如

由图 知 当直 线过 点 ( √ 0 3一  . )时 , 取 最小 值 9 爪

2 ;   直线 与椭 圆 相切 对 m最 大 由 一2    +

=1 有 等 根 , 6 i 即   4

Y =1而 P 也 在此 切  ,

厂二  r  _ 、

+爪 一6   爪

+2 =0有 等 根 ,. 3 . △ =0 亦 即  - ,

一1 m

+6 = 0   8 9 ,

线 上 , 切 点 的 唯一 性 知 P 与 P 由 。 :重 台 .   故 sn n i    c s 且 sn  0  i。  ̄5 . 0

求 得 m :9+2 i( 去负 值 ) √ 舍

故 , )的 值域 为 [ ( 9—2  . √ 9+2   . √

・i s =c =s ( 一 . n o   l —  ) n丌 ^

又  为 锐 角 , 此   +卢 = 因   . 选 D) (

4 利 用 直 线 与 圆 锥 曲 线 的 交 点 不 多 于 两 个    恻 6 三 正 数 o 6  构 成 公 差 不 为 零 的 等 差 数     ,,

3 j 用 直 线 与 圆 锥 曲 线 相 切 时 的 特 殊 位 置    } 叮

列, 求证其倒数  , , ÷ —  不可能组成等差数列.

倒4

求 函数 ,= 、 —

二  的值 域. 1

= ≥ 0, 去    梢

证明 假设 , , 组     ÷ — 成等差数 则P(, _ l 列.  。

B  口  0

解  令 、1   = u≥ 0 、 /了 ,

得 孚= u 。≥) 图 是 圆   孚+ 1( , 。其 像 椭 譬    ,

亡)  , , c 三 共 又  :- ,(÷) - 点 线L P,, P 6  (÷) PP

都 在 曲 竣 c: ;     上 , j c最 多有 两 十公 共 点 , 由 与

知 P。  , 。 少 有 两 点 重 音 , 妨 设 P 与 P 重 音 , . P 至 不 。

l在 第 一 象 限 的 部 分 , 图 】 如 .

由  = “ + 口 知

则 o= 6 这 与 o 6 C , , , 构成 公 差 不 为 零 的 等差 数 列 矛  盾, 故  ,

Ⅱ  口  c

y表 示 直 线 , y为  其 在  轴 上 的 截 距 .   因 直 线 与 椭 圆 部 分  有 公 共 点 可 知 当 且 仅 当  直 线 与 椭 圆 部 分 相 切  时 , 最 大 , 时 不 难 用    此 判别 法 求 得 Y ~ :3   又 当 且 仅 当  = 一

= =

不 可 能组 成 等差 数 列.

倒 7 A A C三 内 角 A、 c满 足 :c sA +biA   B  、 口 0  sn   l口 0 ,c  B + b i = 10 o  + biC = 1 判 断  sn B , cs c sn , 解  设 P (   sn , 2 c s ,iB)    ㈣ A,iA) P ( 0  sn .

A ABC 形 状 .

( 0  sn ), P . . , 都 在 直 线  :  +6   csc,iC 则 1P: P 既 d y

1 , 都 在抛 物 线 c ,  上 又 :

+1 , 以 f c 上 所 与

Y过点 (, , )时 .  :  ̄i 0 ,   又 由 于 ,的取 值是 连 续 的 , ,E [i. ] 故  ̄ 3  ,

最 多 有 两 十 公 共 点 . P . :P 故 】 P .  中 至 少 有 两 点 重

舍.

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20 0 2年 第 3期

( )若 两 点 重 合 , 妨 设 P 与 P 1 不 ,  重 音 , csA 则 o:

c sB 且 sn = sn 0  iA iB,‘A = B ;

sn iA = sa   B = s nC .’ A : B = C  J i

因 此 , , B 是 等 腰 三 角 形 或 正 三 角 形   ̄A C sB    sc 且  :

( )若 三 点 重 合 . ㈨     2 则 A

类 数 列 问 题 的 求 解 及 二 个 推 广

廖  兴

r 南 害 第二 轻工 业学 校 . 南 长沙 瑚 垮 401) 1 18

在 中学 阶段 经 常 遇见 以下 数列 求 和 问题 :

f1 1 + 2O + 3   00 + … + n × 1  _ ; 0

( 1一Q S = Ⅱ     I+ [ q + ^

+ - k   一 ・+ q一:

f 2、1 + 3 x 2 + 5 ×2 +7 x 2          ’+ … + ( n — l1 2

n = ^ 臀 一。 n   ’   n

・ 。 ‘

上 述 数 列 是 由 一 个 等 差 数 列 一 + ( 一 1 d 和  。   ) 等 比 数 列 {q 。}相 应 的 项 相 乘 而 得 到 的 混 合 数 列  b

[ 。+( n一1 d1  一 ) .   通 常 采 用 错 位 相 减 法 ”   进

运 用.

F  ¨ 丌

— —

! !=! 2 :

亡  一

一! !  !!

有 趣 的 是 . 求 数 列 通 项 时 , 思 路 也 有 巧 妙 的  在 该

倒 1 设 d   ,=5. +    = 2  +3 求 数 列 1 . 的  a . Ⅱ  通 项.

行 计算

为 了 加 强 对 其 解 题 思 路 的 理 解 , 必 要 进 行  有

般 性探 讨  因 为 数列 通 项 “ = [ +( 一1 d   n n ) ]’b 卜 = q

+ 一 + Ⅱ

构 造 数 列 I  ’ j 令 S =d    q a   ,     L

q  :

[  b+ ( n— 1 b g . 简 单 起 见 . 妨 设 此 混 音 数  ) d]  为 不

列 为 d , 2 d g ,一.   一  其 中 d 1 。 ,    dg ,  一d   =d n > (

由 n

~ 2   = 3.   a 得

1 . 么上 述 求 和方 法 实质 上可 归结 为 : )那

设 S .= 。 :+d q+n g 2 3  + ,     .   ( ) 1

( 1—2 )   qs

d 1+Ⅱ q a q :   s  + 一 +a q    一

q  q 一 26 1   ‘ 一 2a

2   一 2a2   一 … a1 q

则( 1一 g S = d ). 1+d q Ⅱ

+ d q    一 一 aI 一 。!   一 q 目

+ …

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一 2a    q

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d    一 Ⅱ q q一)

取  = 1

那 么

芋 +

。 :

一.  :cn  ÷, .

一3

由 此 看 出 . 述 方 法 实 际 上 是 一 个 变 换 : 求  上 欲

可 以 转 化 成 先 求 y =厂 5 ) 而 v较 易 求 出 . 通  c. . 再

从 中解 出

:2

过 逆 变 换 厂 ‘求 出 S :厂  y) ,   (   推 广 1 如 果 式 ( )两 边 屙 乘 以 (   g 我 们    1 1一 ). 来 考 虑 所 能 解 决 的 数 列 问 题

( 1一 o )   = 。   t S q 1+

d d  ‘

倒 l的 解 法 很 多 , 文 本 所 提 供 的 解 法 颇 有 新  但

推广 2 如 果 在 式 ( )两 边 乘 以 ( 一 , —   1 1   g

Ⅱq   ‘+…

。 一 dd 1   。 一   q _

o q j 我 们 来 考 虑 所 能 解 决 的 数 列 问 题  t  , : 例2

a q

d。1   q

— d  ! : 一 q

设 n = .

: 1。 ,

+。 , 数 列    求

; 通 项 和 前 n项 和  的 解  构 造 新 的 数 列 1  一  令 S     q {,  = n

a    q ~

Ⅱ 1+ [ Ⅱ   n ) ( 2一 1

( ]一d ! q +…  。 。 )

。 q+

+ (  一 。 . q 一]一 Ⅱ q . Ⅱ      )     ‘   当  一邮

求 和.

=k时 ( ^为 常 数 ) 数 列 { q   易  .   一 l

由 。

: 。1 + 。2   q

一口 .   .一d : 0 得 (   , 1一q—q )   :S

3  + 。 q q d   一   ・   o q    ~ 一 。L 一 :   q   q维普资讯 http://www.cqvip.com

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20 0 2年 第 3期

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力而

.   6 .; 0 ( ( 1  . 当

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构 造 直线 与圆 锥 曲线 相 交 关 系模 型解 题 举 隅

王 立 军

( 江店 悬溪 市 教 师进修 学枝 浙 35 0 ) 13 0

解 析 几 何 的优 点 在 于 形 数 结 合 , 几 何 阿 题 化  把 作数 、 的推 演计 算 . 过 来 , 、 问题 也 可  借 助  式 反 数 式 于解 析 几 何模 型去 处 理. 于 某些 蕺 、 阿题 , 果  对 式 如 螗 挖 掘 出它 潜 在 的 关 于 某两 个 变量 的 一次 和 二次 关

系 式 , 可 构 造 直 线 与 躅 锥 曲 线 相 交 的关 系 横 型 ,   则 常

放 圆 心 o( 0 0, )刊 直 线的 距离 不 太 于 圆的半 径 ,

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能 找到 解 题 捷 径 , 到 事半 功倍 的般 果. 文 举 例 说  达 本

明如 何构 造 模 墅 并 利 用直 线 与 圆锥 曲线 相 交 的 有关   性 质 解题 的 方法 .

o, :) 0 则 0 < ,

同理 可 证 o c    例 2 已知锐 角

Y   )= — 3

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1 利 用 直线 与 四堆 曲

皱 有公 共 点 酌条 件    倒 1 如 果 正 数  , , y z满 足 z Y+:= O,   -

满足 c s 0d+e, oa—cs d+ o(

+ = ( ≯ )求 o(     n 0 1 证:  ≤÷Ⅱ y   , , ≤ 0(

求 a、 p之 值

由 已 知 得

o  争   :

证 明  将 已知 等式 分 别 化 为  =   ,   一:.   由此 两 式 同 时成 立 , 即知 直线  +Y=Ⅱ

(  1

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构 造 点 P(   ,j ) 则 P点 既 在 单 位 圆  +Y  o s   ,

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(1一 e   ) + s a ・y + e s 一 — = 0 上 , 。 x m 0a

和圆  + = O   ,  -一

( l  1 ≤

) 公共点  有

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20 0 2年 第 3期  所 以 P是 直 线 1 单 位 圆  + 与

数 学 教 学 研 究  = 1的 公 其 点

求 函 数

=面 的 值 域 . 一

故 圆心 0( 0 0, )到 直 线   的 距 离 d ≤ J 即  ,

I s 一  c。     I

=   r  _ 解

设 ,  ) = 爪, (   3

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化 简得 ( 。  一 c s  1 ) ≤ 0

原 式 为 一2 +

令 y=一  一 2 3+m,

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锐 角 n 满 足  n  ̄   s  t i* +   )   = l 下 列   则

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2 利 用直 线 与 圆锥 曲线 切 点的 唯 一性    例3

0 此式 整 理得  ,

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结 论 中 正 确 的是 (

( y≥ 0】

+ 詈   ≠

解  构 造 点

+ 手

P ( O  ,i  . : sn ,   C S s 卢) P ( i    n +   =l .   上 过

由于  =一2 x+m 一3是斜 率 为 一2的 一组 平 行  线 , ;、 _ Y 厂= 五r  二   为 中心 在 (   ), 轴 平  1 30 长

£   子 胁 + 手   +    =

c n) 剥 点 P , : 在 椭 圆    , lP 都 点 P 的 椭 圆 的 切 线 方 程 为  。

行 于 Y轴 的 椭 圆 在   轴 的 上 方 部 分 , 图 2 如

由图 知 当直 线过 点 ( √ 0 3一  . )时 , 取 最小 值 9 爪

2 ;   直线 与椭 圆 相切 对 m最 大 由 一2    +

=1 有 等 根 , 6 i 即   4

Y =1而 P 也 在此 切  ,

厂二  r  _ 、

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+2 =0有 等 根 ,. 3 . △ =0 亦 即  - ,

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线 上 , 切 点 的 唯一 性 知 P 与 P 由 。 :重 台 .   故 sn n i    c s 且 sn  0  i。  ̄5 . 0

求 得 m :9+2 i( 去负 值 ) √ 舍

故 , )的 值域 为 [ ( 9—2  . √ 9+2   . √

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又  为 锐 角 , 此   +卢 = 因   . 选 D) (

4 利 用 直 线 与 圆 锥 曲 线 的 交 点 不 多 于 两 个    恻 6 三 正 数 o 6  构 成 公 差 不 为 零 的 等 差 数     ,,

3 j 用 直 线 与 圆 锥 曲 线 相 切 时 的 特 殊 位 置    } 叮

列, 求证其倒数  , , ÷ —  不可能组成等差数列.

倒4

求 函数 ,= 、 —

二  的值 域. 1

= ≥ 0, 去    梢

证明 假设 , , 组     ÷ — 成等差数 则P(, _ l 列.  。

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都 在 曲 竣 c: ;     上 , j c最 多有 两 十公 共 点 , 由 与

知 P。  , 。 少 有 两 点 重 音 , 妨 设 P 与 P 重 音 , . P 至 不 。

l在 第 一 象 限 的 部 分 , 图 】 如 .

由  = “ + 口 知

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y表 示 直 线 , y为  其 在  轴 上 的 截 距 .   因 直 线 与 椭 圆 部 分  有 公 共 点 可 知 当 且 仅 当  直 线 与 椭 圆 部 分 相 切  时 , 最 大 , 时 不 难 用    此 判别 法 求 得 Y ~ :3   又 当 且 仅 当  = 一

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不 可 能组 成 等差 数 列.

倒 7 A A C三 内 角 A、 c满 足 :c sA +biA   B  、 口 0  sn   l口 0 ,c  B + b i = 10 o  + biC = 1 判 断  sn B , cs c sn , 解  设 P (   sn , 2 c s ,iB)    ㈣ A,iA) P ( 0  sn .

A ABC 形 状 .

( 0  sn ), P . . , 都 在 直 线  :  +6   csc,iC 则 1P: P 既 d y

1 , 都 在抛 物 线 c ,  上 又 :

+1 , 以 f c 上 所 与

Y过点 (, , )时 .  :  ̄i 0 ,   又 由 于 ,的取 值是 连 续 的 , ,E [i. ] 故  ̄ 3  ,

最 多 有 两 十 公 共 点 . P . :P 故 】 P .  中 至 少 有 两 点 重

舍.

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数 学 教 学 研 究

20 0 2年 第 3期

( )若 两 点 重 合 , 妨 设 P 与 P 1 不 ,  重 音 , csA 则 o:

c sB 且 sn = sn 0  iA iB,‘A = B ;

sn iA = sa   B = s nC .’ A : B = C  J i

因 此 , , B 是 等 腰 三 角 形 或 正 三 角 形   ̄A C sB    sc 且  :

( )若 三 点 重 合 . ㈨     2 则 A

类 数 列 问 题 的 求 解 及 二 个 推 广

廖  兴

r 南 害 第二 轻工 业学 校 . 南 长沙 瑚 垮 401) 1 18

在 中学 阶段 经 常 遇见 以下 数列 求 和 问题 :

f1 1 + 2O + 3   00 + … + n × 1  _ ; 0

( 1一Q S = Ⅱ     I+ [ q + ^

+ - k   一 ・+ q一:

f 2、1 + 3 x 2 + 5 ×2 +7 x 2          ’+ … + ( n — l1 2

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上 述 数 列 是 由 一 个 等 差 数 列 一 + ( 一 1 d 和  。   ) 等 比 数 列 {q 。}相 应 的 项 相 乘 而 得 到 的 混 合 数 列  b

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运 用.

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亡  一

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有 趣 的 是 . 求 数 列 通 项 时 , 思 路 也 有 巧 妙 的  在 该

倒 1 设 d   ,=5. +    = 2  +3 求 数 列 1 . 的  a . Ⅱ  通 项.

行 计算

为 了 加 强 对 其 解 题 思 路 的 理 解 , 必 要 进 行  有

般 性探 讨  因 为 数列 通 项 “ = [ +( 一1 d   n n ) ]’b 卜 = q

+ 一 + Ⅱ

构 造 数 列 I  ’ j 令 S =d    q a   ,     L

q  :

[  b+ ( n— 1 b g . 简 单 起 见 . 妨 设 此 混 音 数  ) d]  为 不

列 为 d , 2 d g ,一.   一  其 中 d 1 。 ,    dg ,  一d   =d n > (

由 n

~ 2   = 3.   a 得

1 . 么上 述 求 和方 法 实质 上可 归结 为 : )那

设 S .= 。 :+d q+n g 2 3  + ,     .   ( ) 1

( 1—2 )   qs

d 1+Ⅱ q a q :   s  + 一 +a q    一

q  q 一 26 1   ‘ 一 2a

2   一 2a2   一 … a1 q

则( 1一 g S = d ). 1+d q Ⅱ

+ d q    一 一 aI 一 。!   一 q 目

+ …

一 Ⅱ 1    . q ~   一 d    q

=n j

+ ( q+ 3 十 一+3   )一2   ‘ 3   q a g

s +

一 2a    q

= 。 + (d + d : + -・   g   ・

= 。 , - .  - +

d    一 Ⅱ q q一)

取  = 1

那 么

芋 +

。 :

一.  :cn  ÷, .

一3

由 此 看 出 . 述 方 法 实 际 上 是 一 个 变 换 : 求  上 欲

可 以 转 化 成 先 求 y =厂 5 ) 而 v较 易 求 出 . 通  c. . 再

从 中解 出

:2

过 逆 变 换 厂 ‘求 出 S :厂  y) ,   (   推 广 1 如 果 式 ( )两 边 屙 乘 以 (   g 我 们    1 1一 ). 来 考 虑 所 能 解 决 的 数 列 问 题

( 1一 o )   = 。   t S q 1+

d d  ‘

倒 l的 解 法 很 多 , 文 本 所 提 供 的 解 法 颇 有 新  但

推广 2 如 果 在 式 ( )两 边 乘 以 ( 一 , —   1 1   g

Ⅱq   ‘+…

。 一 dd 1   。 一   q _

o q j 我 们 来 考 虑 所 能 解 决 的 数 列 问 题  t  , : 例2

a q

d。1   q

— d  ! : 一 q

设 n = .

: 1。 ,

+。 , 数 列    求

; 通 项 和 前 n项 和  的 解  构 造 新 的 数 列 1  一  令 S     q {,  = n

a    q ~

Ⅱ 1+ [ Ⅱ   n ) ( 2一 1

( ]一d ! q +…  。 。 )

。 q+

+ (  一 。 . q 一]一 Ⅱ q . Ⅱ      )     ‘   当  一邮

求 和.

=k时 ( ^为 常 数 ) 数 列 { q   易  .   一 l

由 。

: 。1 + 。2   q

一口 .   .一d : 0 得 (   , 1一q—q )   :S

3  + 。 q q d   一   ・   o q    ~ 一 。L 一 :   q   q

范文七:圆锥曲线的切线方程模型

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第3 卷  20 年 6月第 6 07 期

中国基础教育研究

Re e r h M a a i eOf i e e Ba i  u a o   s a c   g zn     n s   s Ed c t n Ch c i

V 1  b- 3

No6 2 o   .  0 7

能。教学 中要关注学 生的这 些差异 ,允许学生思维方  十法 ”算 出结果。在凑十 时有 的学生先把 8 凑成 1 再  0 式多样化和思维水平 的不 同层次 。比如:在低年级 时, 计算 ,有的的学生先把 7   凑成 1 再计算 , 0 还有的学生  算法多样化就体现 了问题解决策略 的多样化。计算 1  根据 已学过的 9 7 6 0 + =1 进行 推理:因为 9 7 6 + =1 ,8比   以内的加法时 ,学生 可以通 过一个一个地数数得 出结  9少 1 ,所 以 8 7 -5 + - 1 。教师对学生提 出的各种算法 并  果,也可 以通过想 1 0以内数的组成来想得数。学生不  不急于评价 ,而 是引导他们 比较各种算法的特 点,选  同的思考角度 ,可 以克服 思维面的狭窄、单一 ;学生  择适合于 自己的算法 。   计算中的算法 多样化 ,还 能培养他们 的思维独创性 ,   总之 ,在数 学学习活动 中,教师要让学生都能积  从而培养创新精神 。例如 :教学 “ + =口”时,让学  极参加讨 论,激 发学生的思维 ,培养学生独 立运用数  87 生可以通过摆 小棒数 出结果 , 也可 以组织学生通 过“ 凑  学知识思考于创造 的意识,促进创新能力的发展。

圆锥 曲线 的切 线 方 程模 型

蒋小平  重庆璧 山县璧山中学 重庆 420  0 70

圆 锥 曲线 的 切 线 万 程 在 j 年 局 考 题 甲 出 蚬 , 征 教   £ [ ①抛 物 线 Y  =2 x 一 点 Px,o处 的切线方程  p上 (oY) 学 中教材及资料都涉 及较 少。本文主要探索 圆锥 曲线  是 YY ( + o 。 o =px x)

的切线方程及 其应用 。从而为解这一类题提供 统一 、   ② 过抛物 线 Y  =2 x外 一点 Px,o所 引两条切  p ( Y) o 清晰、简捷的解法。   线 的切 点弦方程是 Y = (+ o。 o px x) Y   1 .基础知识。   ③ 抛 物 线 Y = p( ) 直 线  + + 0相    2 xp>0与   c= 1 .1 椭圆的切线方程 :   切的条件是 p   A   B =2 C。

①椭 圆 2  2 X +y =1 > >0 上一点 P ,0处的切  ( b ) a ( y)

1 .4 基础知识的证明:   求椭 圆 x +y =1  -  -  >b O >) [ A Px, 处的切  2 - (  ) o

_

线方程 是  X+YY X   =1 o o

线 方程 。

② 过椭 圆 X +y  2  2 =   > >0 外一点 P , ) 引 1 6 ) (  所

两条切线的切 点弦方程是  X  o  1 ) +YY C 0

一2 .

解 :设过椭 圆 +Y = >6 )       >0 上一 APx (

oY ) ,o

处 的 切 线 方 程 的 斜 率 为 k, 则 切 线 方 程 为  ( 一 o= 一 o ,由直线与椭圆相交,△:0 出 k ) Y)   X) , 求 ,

③椭 圆 X +y  2  2 =1 b 0 - ( a> > ) ̄

相切的条件是 A 口 +    c 。    Bb =

1 .2 双 曲线的切线方程 :

A+ + x   c=0

再代入 (一Y)   一 ) ) o= ,   得切线方程 为  +   其他几项可 以类 比或利用几何性质 证明。   2 .典型例题 。   【 1 20 例 】( 0 6年全国卷 I )已知抛物线 X=4  I 2 y 。

① 双 曲线  一y   2

=1 06 0 上一 点 P ,o  > ,> ) ( Y)

的 线 程 等一Y1 切 方 是  =  Y 。 o

所引两条切线的切点弦方程是  X   一 X , ~YY o o

的 焦 点 为 F, A、 B 是 抛 物 线 上 的 两 动 点 , 且

② 双 线 一= >b)一  o) 过 曲    1 0 0 点(Y 吾 y1 ,   P,  2( >外 xo   a

A    >) F: 历 0,过A B 、 两点分别作抛物线的切线,

设其交点为 M  。 (I )证 明 F . B为定值 ; M A   ( I 设 AA M的面积 为 S 写出 S f 九) I) B , - ( 的表达  式 ,并求 S的最小值 。   解 :( ) I 由已知条 件,得 F 0 ) 九>0 (,1 , 。   设 A X, 。,B X,:,由A   ,即得 (x, ( Y   ) (:Y )  = 一

③ 曲   q0直  c  双线 {:>> 线 ++ 0 6与 ) =

1 、3 抛物线的切线方程 :

・1 ・ 07

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第3 卷  20 0 7年 6月第 6期

中国基础教育研究

Re e rhM a aieOf ieeBai  d c t n sac   g zn     n s  scE u ai   Ch o

V. I 03 l

No6 2 o   .  o 7

f X= — ,  (  1 ) I Y = (2 1 (  1 1   ) —) 2 - ,   )

将 () 1式两边平方 并把 y=1 。

y= 入 y l   2 ()   3

2 。

【 2 (06 例 】 2 0 年全 国卷 I 在平面直角坐标系. )

中 有 个  o  和 2, 为 点 离 率   , 一 以 ( ) Fo 焦 、 心

为 , 一 (  )

, y =  :

代入得

半的 圆 设 圆 第 象 的 分 曲 , 点 椭 , 椭 在 一 限 部 为 线c动

P在 C上, 在 点 P处的切线与 X 轴的交点分别为 A  C 、Y 、

B ,且 向量  : + 。求 :

解 () 3式得 y=  ,   1 且有 x 一 2 、() 。 y=    。 x:

= 一   y = 一4  4 2 .

一  x: 2

(I)点 M的轨迹方程 ;

(I 伽 I I)I 的最小值。

解 :( )根据题意 ,椭 圆半焦距长为  ,半长轴  I

抛物线方程为 y   2 =1

的切线方程分别是

所 以过抛物线上 A 、B两点

长为 。  二

半 短 轴 长 b 1 即椭 圆 的 方 程 为  = ,

x y)  2 y 即x( 。   +,x (   x2 2 x yx y)   y ) 。 1   + , 。七 ,   = =

x x:2 y 1 )     (+

设点 P坐标 为 ( o ,2i cs s )( 中o  < ) n 其 <   ,   则切线 C的方程为 : cs +   =   0   。

点 A坐标为:‘ 1

解 出 两条 切 线 的交 点 M的 坐 标 为

( ,2 TX 1 半   ,X 2) X) 1 ,。 1= + _  4  X

所 以

0 ,点 B坐标为 ( , 2 ) 0

2 )

而 . = 尝 ,) : 。:Y   ( 一 . 一 , 一1 兰 2(  ) )   ,

点 M坐标为 :(    1

。 一21x2 ) (

_

2 =0 )

所点的 方 (  1>  以M轨 酰  (_X 迹 (且 0

y 0  >)

所以而 . 为定值,其值为 0   。

( 由( ) U) I 知在△AM中 ,F JA , R M _B

因而s 去A f M, =f  { Bf   F

Ⅲ等 求 , √ ) c   于 数 (2 其 价 函(   +     (

中 o  c )的最小值  c

(   )

例 = i    x+ 2  x2

=   = +1   万

(+tn ) (+c t ) 1 a   +4 1 o

+ ——

为 lFl lF1 A 、 B 分别 等 十 A 、B剑 抛物 线 准 线 y =

1 的距离,所 以

: tJ  al

tn   a  0

_ >  4 59 一+

l =F l =+ += + += A l+ F yy 2 ÷ 2 B A B  :   l l l

当 啪  =

时等号成立 ,此时即 t :  。 a √   n )时,所求最小值为

因此,点 M坐标为 ( ,

于s 【  +   是= F 赤 = M   l 1 = 由 赤> S,  1 S    + 2 >且 时

取 知 4当 , 得

. =

练 习:

=。 3

①L是过抛物线 Y 2 2 X上一 点 P(o o ‘: P X ,Y )的抛  物线的切线,抛物线 的焦点是 F N垂直 于 L A平  ,P ,P

行于 X ,求证 :P 轴 N平分角 F A P

・1 8・ 0

范文八:圆锥曲线解答题12大题型解题套路归纳

圆锥曲线题10大题型:(1)弦长问题(2)中点问题(3)垂直问题(4)斜率问题(5)对称问题(6)向量问题(7)切线问题(

8)面积问题(9)最值问题(10)焦点三角形问题。中的2-----4类;分门别类按套路求解;

1.(总与三个问题有关)

(1)———————;(2)——————————;(3)—————————;

2.圆锥曲线题,直线代入圆锥曲线的:

---------------------------------------------------; ——————————————————————————————————————;

3.-------------------;---------------------------------------------

;————————————;—————————;——————————;—————————————————;———————————;——————————————;

4.STEP1:首先看是否属于3种特殊弦长:(1)圆的弦长问题;(2)中点弦长问题(3)焦点弦长问题;(1)圆的弦长问题:(2法)首选

方法:垂径定理+勾股定理:图示:--------------------------------;公式为:-------------------------;其中求“点线距”的方法:———————;次选:弦长公式;(2)中点弦长问题:(2法)首选方法:“点差法”(公式一)--------------------------------;(公式二)--------------------------------;副产品:两直线永远不可能垂直!原因:___________;

【两直线夹角的求法:(夹角公式)___________;】双曲线(公式一)--------------------------------;(公式二)--------------------------------;抛物线:形式一:___________;(公式一)--------------------------------;(公式二)--------------------------------;形式2:___________;(公式一)--------------------------------;(公式二)--------------------------------;附:“点差法”步骤:椭圆:“点”_______________________;___________________________;“差”__________________________________;“设而不求法”_______________________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________________;___________;___________;得公式:

_________________________;“设而不求法”___________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________;___________;___________;得公式:(公式一)---------------------;(公式二)--------------------;附:“点差法”步骤:抛物线:形式二:____________;“点”_______________________;_________________;“差”__________________________________;“设而不求法”______________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________;___________;___________;得公式:(公式一)-------------------;(公式二)--------------------------------;法二次选:中点公式;(2)焦点弦长问题:(2

(公式一)左焦点弦长:--------------------------------;图示:__________________;右焦点弦长:--------------------------------;图示:__________________;公式一适用于:__________________________;(公式二)--------------------------------;其中:________________;适用于:__________________________;

形式一:________;公式一:__________________;图示:_____________________;公式一适用于:__________________________;焦点弦公式二:____________________;公式2适用于:__________________________; STEP2:除了这三种特殊弦长以外,其余弦长求解都用【弦长公式】(保底方法);【弦长公式】3类型:【类1】___________;___________;_______________;适用于:__________________________;【类2】___________;____________;_______________;适用于:__________________________;【

类3】___________;____________;_______________;适用于:__________________________;

5.【2

-------------------------;--------------------------;--------------------------;---------;

6. 2种特殊的垂直问题:(1

)涉【2法】:法一:“圆的直径式方程”____________________________________;法二:向量垂直法:____________________;____________________________________;

7

“结论法+代入法最快!”【2题型】(1

【原点对称】_______________________________;结论二:【任意点对称】_______________________________;(2

结论一:【x轴对称】_______________________________;结论二:【y轴对称】_______________________________;结论三【x=a对称】------------------------------------------;结论四【y=b对称】:______________________;结论5【y=x对称】:__________________________;结论6【y=-x对称】:_______________________________;结论7【y=x+c对称】:___________________;结论8【y=-x+c对称】:_____________________;结论9【任意直线Ax+By+C=0对称】

:_______________________________;

8.【大纲内2题型】(

1【3套路8结论】(1)“点线距等于半径”________________________;(2)斜率乘积等于-1;______________;(3)勾股定理:__________________;结论:(1)【切线长公式】_______________________;(2)【圆心在原点时】_______________________;(3)【切点弦直线方程】_______________________;(4)_______________________;(5)_______________________;(6)_______________________;

(7)________________________;

(2【导数法】(2形式)【形式一】________;____________________

【形式二】_________;__________________________;

9.

_________+___________+_____________+___________+_____________+___________+_____________;【相关结论】:【两焦半径】左焦半径_____________;右焦半径_____________;特别的,通径:______________;半通径:______________;【三边长】_____________;_____________;_____________;【周长】_____________;【两焦半径乘积】_____________;【焦点三角形面积】_____________;_____________;作用:

【焦点三角形中内心公式】_____________________;

10.

“向量法最快”!平解几中,向量问题均采用“坐标运算”最佳!】首先:坐标化【平面向量10公式】【向量平行】_____________________;【向量垂直】_____________________;

【向量夹角公式】_____________________;【加减式】_____________________;【数乘式】_____________________;【向量数量积公式】_____________________;【向量模的公式】_____________________;【量模转化公式】_____________________;【向量平方差公式】_____________________;【向量完全平方公式】_____________________;

11.

【2类】(1

】“成锐角时《=》向量数量积>0;” “成钝角时《=》向量数量积

;”(2【2法】(1)向量数量积公式_____________________;(2)两直线夹角公式_____________________;

12.圆锥曲线题题型9:

固定套路:方法

基础:

_____________________;_____________________;_____________________;【凡与中点相关【凡与垂直相关的斜率问题】首选:斜率乘积等于-1。

【凡与夹角相关的斜率问题】

正切公式:_______________________________。【凡与椭圆,双曲线的顶点三角形相关的斜率问题】首选:____________________;____________________;

13. 圆锥曲线题题型10【6大相关结论】圆中最长的弦《=》_______;圆中最短的弦《=》____________________; 椭圆:a+c《=》____________________; a-c《=》_______________; 通径《=》___________;椭圆,双曲线的通径公式:__________; 抛

物线的通径公式:_____________; 焦点三角形的最大面积《=》____________; 【通性通法】:凡与弦长有关的最值问题,配方公式_________________________】

上述图形求解面积。【6大相关结论】椭圆焦点三角形面积:________________________;最大值:____________; 双曲线焦点三角形面积:_____________; 菱形面积:___________________;平行四边形面积:_________________;梯形面积公式:____________;特别的,当等腰梯形的对角线互相垂直时:________________________;

范文九:圆锥曲线解答题12大题型解题套路归纳

【高考数学中最具震撼力的一个解答题!】注:【求解完第一问以后,】WILL COME ACROSS圆锥曲线题10大题型:(1)弦长问题(2)中点问题(3)垂直问题(4)斜率问

1.:

(12.

3.3

法求法:(夹角公式)___________;】双曲线(公式一)

--------------------------------;(公式二)--------------------------------;抛物线:形式一:___________;(公式一)--------------------------------;(公式二)--------------------------------;形式2:___________;(公式一)--------------------------------;(公式二)--------------------------------;附:

“点差法”步骤:椭圆:“点”_______________________;___________________________;“差”__________________________________;“设而不求法”_______________________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________________;___________;___________;得公式:(公式一);(公式二)---------------------;附:“点差法”步骤:抛物线;形式一_______________________;_____________________;“差”“设而不求法”___________________;“斜率公式”+公式”_____________;___________;___________;得公式:;(公式二)--------------------;附:“点差法”步骤:抛物线:式二:“点”_______________________;_________________;““设而不求法”“斜率公式”+“中点公式”

得公式:(公式一)

--------------------------------;法二次选:中点

公式;(2

(公式一)左焦

;图示:__________________;右焦

;图示:__________________;公式

一适用于:(公式二)--------------------------------;其中:__________________________;

________;公式一:图示:_____________________;公式一适用

于:焦点弦公式二:____________________;

公式2适用于:__________________________; STEP2:除了这三种特

殊弦长以外,其余弦长求解都用【弦长公式】(保底方法);【弦长公式】

3类型:【类1】___________;___________;_______________;适用于:__________________________;【类2】___________;____________;_______________;适用于:

__________________________;【类3】___________;____________;_______________;适用于:__________________________;

5.

【2

8.【大纲内2题型】(1【3套路8结论】(1)“点线距等于半径”________________________;(2)斜率乘积等于-1;______________;(3)勾股定理:__________________;结论:(1)【切线长公式】

_______________________;(2)【圆心在原点时】_______________________;(3)【切点弦直线方程】_______________________;(4)_______________________;(5)_______________________;(6)_______________________;(7)________________________;

(2

9.别【量数量积公式】_____________________;【向量模的公式】_____________________;【量模转化公式】_____________________;【向量平方差公式】_____________________;【向量完全平方公式】_____________________;

11.

【2类】(1

】“成锐角时《=》向量数量积>0;” “成钝角时《=》向量数量积

;”(2【2法】(1)向量数量积公式_____________________;(2)

___________________;平行四边形面积:

_________________;梯形面积公式:____________;特别

的,当等腰梯形的对角线互相垂直时:________________________;

范文十:直线与圆锥曲线的常见题型及解题技巧

【摘要】解析几何在高考数学试卷总分中占比在20%左右,其中的直线与圆锥曲线又是解析几何主要内容及重点考察点.直线与圆锥曲线题型多样,综合性强.解题方法灵活,常常是高考试卷的压轴题.这部分知识题型能够较好地考查学生对于基础知识掌握程度,也能够反映出学生对数学思想方法及综合解决问题的能力,要求学生具备较扎实基础知识及较强综合能力.本文将重点分析下直线与圆锥曲线中常见题型,并给出相应解题技巧,使学生更好地备战高考数学.

【关键词】直线;圆锥曲线;常见题型;解题技巧

与圆锥曲线高中解析几何的核心内容及研究对象,学生通过学习圆锥曲线,能够逐渐培养起自己的数形结合思想及解决实际问题能力,这部分知识内容在历年高考试题中都占据较大分值,圆锥曲线常常与直线结合共同出题考查学生知识、解题技巧,考察形式丰富多样,但是大致上能分为几种,下面我们就先来分析下直线与圆锥曲线知识点的考查特点.

一、直线与圆锥曲线知识点的考查特点

(一)基本性质问题

高中数学教材将圆锥曲线性质总结归纳为以下内容:圆锥曲线对称性、范围、离心率及顶点等等,考查圆锥曲线基本性质就各个知识点间联系时常常表现出以下特点:圆锥曲线定义与焦半径、离心率结合;参数值与离心率结合;参数值与渐近线结合;参数值与准线间结合.

(二)曲线方程与轨迹问题

解析几何体系内部各个知识点之间错综复杂的关系,使得学生不能较清晰的理解并系统的掌握其知识体系,求多动点轨迹方程这类问题是解析几何中数学的重点和难点,这类问题中有时不只含有一个的主动点或者从动点,动中有静,因此求轨迹方程只要挖掘已知条件,将动点满足的规律找出来,并将规律用动点的坐标表示或成等式即可.

圆锥曲线解答题中出现频率最高的是方程与轨迹问题,而且常常放在大题第一问,一些设问一句曲线原本具有性质来求解曲线方程,或者是根据已知条件求曲线参数值;也有一些解答题依据平面动点运动规律与满足条件求轨迹方程,这两者都是求圆锥曲线方程,属于一类.除了圆锥曲线方程及参数值类型题目之外,主要还有以下几种题目类型:两种曲线交汇、以焦点弦、切线为条件、以平面图形周长或面积为条件等等.圆锥曲线轨迹问题中,轨迹生成方式基本上有三种:将圆锥曲线定义及性质作为出发点、将其他曲线作为运动载体及将向量关系作为条件.

(三)定值及定点问题

这部分问题主要是从圆锥曲线的一些性质得出的,涉及直线与圆锥曲线位置关系、两直线位置关系、及点与圆锥曲线位置关系等等.新课程改革实施之后,高考越来越重视考查学生的综合能力,圆锥曲线的定点、定值问题是考查其综合能力的重要途径,这些试题具有解法多样、整体思路令人深思等特点,成为高考热门话题,结合近几年高考试题,这类问题大致能分成以下四种形式:曲线过定点或点在曲线上、角或斜率是定值、多个几何量运算结果是定值、及直线过某定点或点在某定直线上.

(四)最值及值域问题

圆锥曲线中典型问题就是最值及值域问题,而且这部分问题常常与函数、不等式、向量及导数等知识进行交汇,在考查学生分析问题、解决问题能力方面具有重要作用.分析近几年来高考,对这部分问题考查主要有这五种试题类型:距离或长度最值、面积最值、多个几何量运算结果最值、斜率范围及最值条件下的参数值.

二、直线与圆锥曲线常见解题思想方法

直线与圆锥曲线常见解题思想方法有两种:几何法与代数法,下面将具体分析下这两种解题思想方法.

(一)几何法

几何法解决数学问题主要运用了数形结合思想,结合圆锥曲线定义、图形、性质等题目中已知条件转化成平面几何图形,并使用平面几何有关基本知识例如两点间线段最短、点到直线垂线段最短等来巧妙地解题.

(二)代数法

代数法主要是依据已知条件来构建目标函数,将其转化成函数最值问题,再结合使用配方法、不等式法、函数单调性法及参数法等等来求最值.

三、直线与圆锥曲线的常见题型及解题技巧实例分析

(一)题型一:弦的垂直平分线问题

解题技巧及规律:题干中给出直线与曲线M过点S(-1,0)相交于A,B两点,分析直线存在斜率并且不等于0,然后设直线方程,列出方程组,消元,对一元二次方程进行分析,分析判别式,并使用韦达定理,得出弦中点坐标,再结合垂直及中点,列出垂直平分线方程,求出N点坐标,最后结合正三角形性质:中线长是边长的32倍,使用弦长公式求出弦长.

(二)题型二:动弦过定点问题

解题技巧及规律:第一问是使用待定系数法求轨迹方程;第二问中,已知点A1、A2的坐标,因此可以设直线PA1、PA2方程,直线PA1与椭圆交点是A1(-2,0)和M,结合韦达定理,能求出点M坐标,同理求出点N坐标.动点P在直线L:x=t(t>2)上,这样就能知道点P横坐标,根据直线PA1,PA2方程求出点P纵坐标,得出两条直线斜率关系,通过计算出M,N点坐标,求出直线MN方程,代入交点坐标,如果解出是t>2,就可以了,否则不存在.

四、结 语

在历年的高考数学试卷中,圆锥曲线题目不仅分值一直保持稳定,而且题型多样,方法灵活,综合性强,常被安排在试卷的最后作为把关题或压轴题.圆锥曲线的最值问题是解析几何重点出题之一.它涉及知识面广,常用到函数、不等式、三角函数等重点知识,而且其考查方法灵活多样.圆锥曲线最值问题不仅能考查学生对基础知识的掌握程度,又能体现学生灵活运用数学思想和方法综合解决问题的能力,所以是数学学习中的一项重点.

圆锥曲线作为高中数学解析几何的重要知识点,其中蕴含着重要丰富的数学思想方法,解析几何基本思想是使用几何方法解决问题,也就是数形结合思想,所有的数学试题都不能离开形只谈抽象数或者是研究图.另外一种解决问题的数学思想方法是代数方法,主要是依据已知条件来构建目标函数,将其转化成函数最值问题,再结合使用配方法、不等式法、函数单调性法及参数法等等来求最值.本文在归纳总结直线与圆锥曲线知识点的考查特点基础上,结合使用相应数学思想方法,给出直线与圆锥曲线的常见题型及解题技巧实例分析,为学生解答此类题提供方法借鉴.

【参考文献】

[1]钱坤.新课改背景下圆锥曲线高考试题的考查特点分析[D].赣南师范学院,2013.

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