圆锥曲线解题模型

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范文一:圆锥曲线类型题目解法

浅谈圆锥曲线类型题目解法

关键词 解析几何二次曲线圆锥曲线

高中解析几何主要学习了4种二次曲线(圆,椭圆,双曲线和抛物线),统称为圆锥曲线。而曲线的切线是其中一项重要的学习内容,是各类考试的出题的常用素材,在高考中也多次出现。

过曲线上一点(切点)引切线只有一条,而过圆锥曲线外一点(不包括在曲线内的点如圆内的点)引切线有2条。设圆锥曲线方程为:f(x,y)=ax2+by2+cx+dy+e=0,点p(x0,y0)是该曲线上一点,设过p点该曲线的切线为直线l,下面推导切线l的方程:设切线l的方向向量是非零向量,坐标为(u,v),则l的参数方程是:代入f(x,y)=0得:a(x0+ut)2+b(y0+vt)2+c(x0+ut)+d(y0+vt)+e=0。整理为关于t的二次方程:(au2+bv2)t2+2(aux0++bvy0+)t+f(x0,y0)=0。显然,此方程只有一个实根,即=0,而由于f(x0,y0)=0,所以=4(aux0++bvy0+)2=0.即(ax0+)u+(by0+)v=0(1),而切线l的普通方程为(x!x0)v!(y!y0)u=0(2),方程(1)和(2)联立消去u与v可得到过圆锥曲线f(x,y)=0上一点p(x0,y0)的切线方程为:(x!x0)(ax0+)+(y!y0)(by0+)=0,由推导出的切线方程很容易可以得到:1.过椭圆x2/a2+y2/b2=1上任一点p(x0,y0)的切线方程:因为a=1/a2b=1/b2c=d=0e=1,切线方程为:(x!x0)(x0/a2)+(y!y0)(y0/b2)=0化简得:x0x/a2+y0y/b2=1。同理可得:2.过双曲线x2/a2!y2/b2

范文二:圆锥曲线典型例题讲解

9.1 椭 圆

典例精析

题型一 求椭圆的标准方程

45

【例1】已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P和

325

,过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆的方程. 3

x23y23x2y2

【解析】故所求方程为+=1或1.

510105

【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时,常用待定系数法,但是当焦点所在坐标轴不确定时,需要考虑两种情形,有时也可设椭圆的统一方程形式:mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n);(2)在求椭圆中的a、b、c时,经常用到椭圆的定义及解三角形的知识.

【变式训练1】已知椭圆C1的中心在原点、焦点在x轴上,抛物线C2的顶点在原点、焦点在x轴上.小明从曲线C1,C2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点),并记录其坐标(x,y).由于记录失误,使得其中恰有一个点既不在椭圆C1上,也不在抛物线

C2上.小明的记录如下:

x2y2

据此,可推断椭圆C1的方程为 . +=1.

126题型二 椭圆的几何性质的运用

【例2】已知F1、F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°. (1)求椭圆离心率的范围;

(2)求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.

113【解析】(1)e的取值范围是[,1).(2)SPFFsin 60°b2,

223

1

2

【点拨】椭圆中△F1PF2往往称为焦点三角形,求解有关问题时,要注意正、余弦定理,面积公式的使用;|PF1|+|PF2|2

求范围时,要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用,如|PF1|·|PF2|≤(),|PF1|≥a-

2x2y21

c. 【变式训练2】已知P是椭圆=1上的一点,Q,R分别是圆(x+4)2+y2=和圆

2594

1

(x-4)2+y2=|PQ|+|PR|的最小值是 .【解析】最小值为9.

4题型三 有关椭圆的综合问题

x2y2

【例3】(2010全国新课标)设F1,F2分别是椭圆E:+1(a>b>0)的左、右焦点,过F1斜率为

ab

1的直线l与E相交于A,B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列.

(1)求E的离心率;

2x2y2

(2)设点P(0,-1)满足|PA|=|PB|,求E的方程.(1))1.

2189

x2y2

【变式训练3】已知椭圆1(a>b>0)的离心率为e,两焦点为F1,F2,抛物线以F1为顶点,F2

ab|PF|

为焦点,Pe,则e的值是( )

|PF2|

A.3 2

B.33

2 2

D.

6

【解析】选B 3

题型思 有关椭圆与直线综合问题

x2y21

【例4】【2012高考浙江理21】如图,椭圆C:2+21(a>b>0)的离心率为,其左焦点到点P(2,1)

ab2

的距离

为.不过原点O的直线l与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平

分.

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ) 求ABP的面积取最大时直线l的方程.

.

【变式训练4】【2012高考广东理20】

x2y2

在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:221(ab0)的离心率

e=,且椭圆C上的点到Q

3ab

(0,2)的距离的最大值为3.

(1)求椭圆C的方程;

(2)在椭圆C上,是否存在点M(m,n)使得直线l:mx+ny=1与圆O:x2+y2=1相交于不同的两点A、B,且△OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积;若不存在,请说明理由.

总结提高

1.椭圆的标准方程有两种形式,其结构简单,形式对称且系数的几何意义明确,在解题时要防止遗漏.确定椭圆需要三个条件,要确定焦点在哪条坐标轴上(即定位),还要确定a、 b的值(即定量),若定位条件不足应分类讨论,或设方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)求解.

2.充分利用定义解题,一方面,会根据定义判定动点的轨迹是椭圆,另一方面,会利用椭圆上的点到两焦点的距离和为常数进行计算推理.

3.焦点三角形包含着很多关系,解题时要多从椭圆定义和三角形的几何条件入手,且不可顾此失彼,另外一定要注意椭圆离心率的范围.

练习

x2

y21的右焦点为F,右准线为l,1(2009全国卷Ⅰ理)已知椭圆C:点Al,线段AF交C于点B,2



若FA3FB,则|AF|=( )

D. 3选A

x2y2

.2(2009浙江文)已知椭圆221(ab0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BFx

ab



轴,直线AB交y轴于点P.若AP2PB,则椭圆的离心率是( )

A

11 B

. C. D.【答案】D2232

x2y2

3.(2009江西卷理)过椭圆221(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,

ab

若F1PF260,则椭圆的离心率为

A

11

B

. C. D.【答案】B2332

x2y23a

4.【2012高考新课标理4】设F1F2是椭圆E:221(ab0)的左、右焦点,P为直线x上一

ab2

点,F2PF1是底角为30的等腰三角形,则E的离心率为( )

(A)

12

(B) (C) 23

(D)

【答案】C 

x2y2

5【2012高考四川理15】椭圆1的左焦点为F,直线xm与椭圆相交于点A、B,当FAB

43

的周长最大时,FAB的面积是____________。【答案】3 x2y2

6【2012高考江西理13】椭圆 221(ab0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,

ab

F2。若AF1,F1F2,F1B成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________.【答案】

5

x2y2

【例4】【解析】(Ⅰ):+1.

43

(Ⅱ)易得直线OP的方程:y=

11x,设A(x,y),B(x,y),R(x,y).其中y=x.22

A

A

B

B

xA2yA2

+143∴22

xB+yB134

kAB

yAyB3xxB32x3

A0

xAxB4yAyB42y02

设直线AB的方程为l:y=﹣

3

xm2

(m≠0),入椭圆:

x2y2

+143

y=-3xm2

3x23mxm230

.显然

(3m)

∴|AB|

2

4m3(

2

3)

m23

mm≠0.由上又有:xA

xB=m,yAyB=.

m3(12

3

2

xAxB|

∵点P(2,1)到直线l的距离表示为:

d

|m+2|

11

∴S=d|AB|=|m+2|22

ABPm=﹣3 或m=0(舍去)时,(S

ABP)max=

1.

2

此时直线l的方程y=﹣

31x22

【变式训练4

】【解析】(1)设

c 由

e

c21

c2a2,所以b2a2c2a2 a33

x2y2y222

2

1,所以xa(12)

a23y2 设P(x,y)是椭圆C上任意一点,则

2abb|PQ|

b1时,当y1时,|PQ

|

3,可得a

b1,c b

1时,PQ3 不合题意

x2

故椭圆C的方程为:y21

3

11

AOB中,OAOB1,SAOBOAOBsinAOB

221

当且仅当AOB90时,S有最大值,

AOB

2

(2)

AOB90时,点O到直线AB

的距离为d

2

2

d

m2n22 2

31

m23n23m2,n2

,此时点M(22。 22

9.2 双曲线

典例精析

题型一 双曲线的定义与标准方程

【例1】已知动圆E与圆A:(x+4)2+y2=2外切,与圆B:(x-4)2+y2=2内切,求动圆圆心E的轨x2y2

迹方程.【解析】-=1(x≥2).

214

【点拨】利用两圆内、外切圆心距与两圆半径的关系找出E点满足的几何条件,结合双曲线定义求解,

要特别注意轨迹是否为双曲线的两支.

x2y2

【变式训练1】P为双曲线=1的右支上一点,M,N分别是圆(x+5)2+y2=4和

916(x-5)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为( )

A.6

B.7

C.8

D.9 【解析】选D.

题型二 双曲线几何性质的运用

x2y2

【例2】双曲线C:1(a>0,b>0)的右顶点为A,x轴上有一点Q(2a,0),若C上存在一点P,

ab使APPQ=0,求此双曲线离心率的取值范围.【解析】(1,

62

【点拨】根据双曲线上的点的范围或者焦半径的最小值建立不等式,是求离心率的取值范围的常用方法.

x2y2

【变式训练2】设离心率为e的双曲线C:1(a>0,b>0)的右焦点为F,直线l过焦点F,且

ab斜率为k,则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是( )

A.k2-e2>1 C.e2-k2>1

B.k2-e2<1

D.e2-k2<1【解析】,故选C.

题型三 有关双曲线的综合问题

x22

【例3】(2010广东)已知双曲线y=1的左、右顶点分别为A1、A2,点P(x1,y1),Q(x1,-y1)是双

2曲线上不同的两个动点.

(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程;(2)若过点H(0,h)(h>1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点,且l1⊥l2,求h的值.

x22

【解析】(1)轨迹E的方程为2y=1,x≠0且x≠±2.(2)符合条件的h的值为3或2.

x2y2

【变式训练3】双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e,过F2的直线与双

ab曲线的右支交于A,B两点,若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形,则e2等于( )

A.1+22

B.3+22 C.4-22 D.5-22 【解析】故选D

总结提高

1.要与椭圆类比来理解、掌握双曲线的定义、标准方程和几何性质,但应特别注意不同点,如a,b,c的关系、渐近线等.

2.要深刻理解双曲线的定义,注意其中的隐含条件.当||PF1|-|PF2||=2a<|F1F2|时,P的轨迹是双曲线;当||PF1|-|PF2||=2a=|F1F2|时,P的轨迹是以F1或F2为端点的射线;当 ||PF1|-|PF2||=2a>|F1F2|时,P无轨迹.

3.双曲线是具有渐近线的曲线,画双曲线草图时,一般先画出渐近线,要掌握以下两个问题: (1)已知双曲线方程,求它的渐近线;

bx2y2

(2)求已知渐近线的双曲线的方程.如已知双曲线渐近线y=x-λ(λ≠0),

aab再利用其他条件确定λ的值,求法的实质是待定系数法.

练习

x2y222

1、【2012高考山东理10】已知椭圆C:221(ab

0).双曲线xy1的渐

ab

近线与椭圆C有四个交点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为

x2y2x2y2x2y2x2y2

1 1 (B)1 (C)1 (D)(A)

20582126164

【答案】D

2.直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同两点,则k的取值范围是 A.(-C.(-

15 33

B.(015

) 3

1515,0) D.(,-1) 33

x2y2

3.【2012高考湖北理14】如图,双曲线221 (a,b0)的两顶点为A1,A2,虚轴两端点为B1,B2,

ab

两焦点为F1,F2. 若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2,切点分别为A,B,C,D. 则

(Ⅰ)双曲线的离心率e ;(Ⅱ)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值

S1

.【答案】eS2

1S12

;S222

-y1y1

(x,①直线A2Q的方程为y=x②方

x1+2x1-2

【例3】由题意知|x1|>

,A1(-,0),A2,0),则有直线A1P的方程为y=

2y12y

法一:联立①②解得交点坐标为x=,y=x1=y1=,③则x≠0,|x|<x1x1xx

x2x2而点P(x1,y1)y2=1上,所以-y21=1. 22

x2

将③代入上式,整理得所求轨迹E的方程为+y2=1,x≠0且x≠±2-y21

方法二:设点M(x,y)是A1P与A2Q的交点,①×②得y2=(x2-2).③

x1-2x2x2112

又点P(x1,y1)y2=1,即y=1. 11

22x2

代入③式整理得+y2=1.

2

因为点P,Q是双曲线上的不同两点,所以它们与点A1,A2均不重合.故点A1和A2均不在轨迹E上.过点(0,1)及A2(2,0)的直线l的方程为x+2y2=0.

x2y20,解方程组x2得x=

2

y12

,y=0.所以直线l与双曲线只有唯一交点A2.

故轨迹E不过点(0,1).同理轨迹E也不过点(0,-1).

x2

综上分析,轨迹E的方程为y2=1,x≠0且x≠±2(2)设过点H(0,h)的直线为y=kx+h(h>1), x2

y2=1得(1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0.

2令Δ=16k2h2-4(1+2k2)(2h2-2)=0,得h2-1-2k2=0, 解得k1=

h-1

k22

h-1h2-1

由于l1⊥l2,则k1k2=-=-1,故h22

hh

()=-1,得h2. 2

过点A1,A2分别引直线l1,l2通过y轴上的点H(0,h),且使l1⊥l2,因此A1H⊥A2H,由此时,l1,l2的方程分别为y=x+2与y=-x+2, 它们与轨迹E分别仅有一个交点(-

,)与(,). 3333

所以,符合条件的h的值为3或2.

【变式训练3】据题意设|AF1|=x,则|AB|=x,|BF1|=

由双曲线定义有|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a

2x.

⇒(|AF1|+|BF1|)-(|AF2|+|BF2|)=(2+1)x-x=4a,即x=2a=|AF1|. 故在Rt△AF1F2中可求得|AF2|=|F1F2|-|AF1|4c-8a.

c2

又由定义可得|AF2|=|AF1|-2a=22a-2a,即4c-8a=2-2a,两边平方整理得c2=a2(5-2)⇒e2=5-22,.

a

9.3 抛物线

典例精析

题型一 抛物线定义的运用

【例1】根据下列条件,求抛物线的标准方程. (1)抛物线过点P(2,-4);

(2)抛物线焦点F在x轴上,直线y=-3与抛物线交于点A,|AF|=5. 【解析】(1)y2=8x或x2=-y.(2)方程为y2=±2x或y2=±18x.

【变式训练1】已知P是抛物线y2=2x上的一点,另一点A(a,0) (a>0)满足|PA|=d,试求d的最小值. 【解析】dmin=2a-1. 题型二 直线与抛物线位置讨论

【例2】(2010湖北)已知一条曲线C在y轴右侧,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.

(1)求曲线C的方程;

(2)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有<0?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.

【解析】(1)y2=4x(x>0). (2)3-22<m<3+2.

由此可知,存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有·<0,且m的取值范围是(3-22,3+22).

【变式训练2】已知抛物线y2=4x的一条弦AB,A(x1,y1),B(x2,y2),AB所在直线与y轴的交点坐111

标为(0,2),则= .【解析】.

y1y22

题型三 有关抛物线的综合问题

【例3】已知抛物线C:y=2x2,直线y=kx+2交C于A,B两点,M是线段AB的中点,过M作x轴的垂线交C于点N.

(1)求证:抛物线C在点N处的切线与AB平行;

(2)是否存在实数k使·=0?若存在,求k的值;若不存在,说明理由. 【解析】

【点拨】直线与抛物线的位置关系,一般要用到根与系数的关系;有关抛物线

的弦长问题,要注意弦是否过焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不过焦点,则必须使用弦长公式.

【变式训练3】已知P是抛物线y2=2x上的一个动点,过点P作圆(x-3)2+y2=1的切线,切点分别5

为M、N,则|MN|的最小值是 .【解析】.

5

总结提高

1.在抛物线定义中,焦点F不在准线l上,这是一个重要的隐含条件,若F在l上,则抛物线退化为一条直线.

2.掌握抛物线本身固有的一些性质:(1)顶点、焦点在对称轴上;(2)准线垂直于对称轴;(3)焦点到准线的距离为p;(4)过焦点垂直于对称轴的弦(通径)长为2p.

3.抛物线的标准方程有四种形式,要掌握抛物线的方程与图形的对应关系.求抛物线方程时,若由已知条件可知曲线的类型,可采用待定系数法.

4.抛物线的几何性质,只要与椭圆、双曲线加以对照,很容易把握.但由于抛物线的离心率为1,所以抛物线的焦点有很多重要性质,而且应用广泛,例如:已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A、2p

B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有下列性质:|AB|=x1+x2+p或|AB|=α为AB的倾斜角),y1y2=

sinαp2

-p,x1x2=.

4

2

练习

1.【2012高考全国卷理8】已知F1、F2为双曲线C:x²-y²=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=|2PF2|,则cos

∠F1PF2=

(A)

1334

(B) (C) (D) 【答案】C

5445

2

2.【2012高考安徽理9】过抛物线y4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,点O是原点,若AF3,

则AOB的面积为( )

(A)

222

【例3】证明:如图,设A(x1,2x21),B(x2,2x2),把y=kx+2代入y=2x,得2x-kx-2=0,

(B

) 2

(C

)

(D)

C 2

x1+x2kkkk2

由韦达定理得x1+x2=,x1x2=-1,所以xN=xM==,所以点N的坐标为(22448

k2kmkk2

设抛物线在点N处的切线l的方程为y-m(x-,将y=2x2代入上式,得2x2-mx+-0,

8448mkk2

因为直线l与抛物线C相切,所以Δ=m2-8()=m2-2mk+k2=(m-k)2=0,所以m=k,即l∥AB.

48(2)假设存在实数k,使·

=0,则NA⊥NB, 又因为M是AB的中点,所以|MN|=

1|AB|. 2

2

1111k2k2k2k2k+16

由(1)知yMy1+y2)=(kx1+2+kx2+2)k(x1+x2)+4]=(4)=+2.因为MN⊥x轴,所以|MN|=|yM-yN|=+2-=222224488

又|AB|1+k·|x1-x2|=1+k(x1+x2)-4x1x21+k·

1

(2-4×(-1)=k+1k+16. 22

k2+161=k+1·k+16,解得k=±2.即存在k=±2,使·

84

=0.

9.4 直线与圆锥曲线的位置关系

典例精析

题型一 直线与圆锥曲线交点问题

【例1】若曲线y2=ax与直线y=(a+1)x-1恰有一个公共点,求实数a的值. 4【解析】综上所述,a=0或a=-1或a=-.

5

【点拨】本题设计了一个思维“陷阱”,即审题中误认为a≠0,解答过程中的失误就是不讨论二次项系数

a1

=0,即a=-1的可能性,从而漏掉两解.本题用代数方法解完后,应从几何上验证一下:①当a

2

a=0时,曲线y=ax,即直线y=0,此时与已知直线y=x-1 恰有交点(1,0);②当a=-1时,直线y=-1与抛物线的对称轴平行,恰有一个交点(代数特征是消元后得到的一元二次方程中二次项系数为零);4

③当a=-.

5

【变式训练1】若直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4有且只有一个公共点,则实数k的取值范围为( ) A.{1,-1,

55

} 22

B.(-∞,-

55

]∪[,+∞) 22

5

∞) 2

C.(-∞,-1]∪[1,+∞) 【解析】答案为A.

D.(-∞,-1)∪[

题型二 直线与圆锥曲线的相交弦问题

x2y2

【例2】(2010辽宁)设椭圆C+=1(a>b>0)的右焦点为F,过F的直线l与椭圆C相交于A,Bab两点,直线l的倾斜角为60°,=2.

(1)求椭圆C的离心率;

(2)如果|AB|=15,求椭圆C的方程. 4

c2x2y2 【解析】(1)e==.(2)1. a395

【点拨】本题考查直线与圆锥曲线相交及相交弦的弦长问题,以及用待定系数法求椭圆方程.

【变式训练2】椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于A,B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为3aay3的值为 .【解析】=. 2bbx02

题型三 对称问题

【例3】在抛物线y2=4x上存在两个不同的点关于直线l:y=kx+3对称,求k的取值范围.

【解析】故k的取值范围为(-1,0).

【点拨】(1)本题的关键是对称条件的转化.A(x1,y1)、B(x2,y2)关于直线l对称,则满足直线l与AB垂直,且线段AB的中点坐标满足l的方程;

(2)对于圆锥曲线上存在两点关于某一直线对称,求有关参数的范围问题,利用对称条件求出过这两点的直线方程,利用判别式大于零建立不等式求解;或者用参数表示弦中点的坐标,利用中点在曲线内部的条件建立不等式求参数的取值范围.

【变式训练3】已知抛物线y=-x2+3上存在关于x+y=0对称的两点A,B,则|AB|等于( )

A.3 B.4 2 D.42

【解析】设AB方程:y=x+b,代入y=-x2+3,得x2+x+b-3=0,

11所以xA+xB=-1,故AB中点为(-+b). 22

它又在x+y=0上,所以b=1,所以|AB|=32,故选C.

总结提高

1.本节内容的重点是研究直线与圆锥曲线位置关系的判别式方法及弦中点问题的处理方法.

2.直线与圆锥曲线的位置关系的研究可以转化为相应方程组的解的讨论,即联立方程组

AxByC0, 通过消去y(也可以消去x)得到x的方程ax2+bx+c=0进行讨论.这时要注意考虑a=0f(x,y)0,

和a≠0两种情况,对双曲线和抛物线而言,一个公共点的情况除a≠0,Δ=0外,直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行时,都只有一个交点(此时直线与双曲线、抛物线属相交情况).由此可见,直线与圆锥曲线只有一个公共点,并不是直线与圆锥曲线相切的充要条件.

3.弦中点问题的处理既可以用判别式法,也可以用点差法;使用点差法时,要特别注意验证“相交

9.5 圆锥曲线综合问题

典例精析

题型一 求轨迹方程

【例1】已知抛物线的方程为x2=2y,F是抛物线的焦点,过点F的直线l与抛物线交于A、B两点,分别过点A、B作抛物线的两条切线l1和l2,记l1和l2交于点M.

(1)求证:l1⊥l2;

(2)求点M的轨迹方程.

【解析】(1)所以l1⊥l2.

1(2)M的轨迹方程是y=-2

【点拨】直接法是求轨迹方程最重要的方法之一,本题用的就是直接法.要注意“求轨迹方程”和“求轨迹”是两个不同概念,“求轨迹”除了首先要求我们求出方程,还要说明方程轨迹的形状,这就需要我们对各种基本曲线方程和它的形态的对应关系了如指掌.

【变式训练1】已知△ABC的顶点为A(-5,0),B(5,0),△ABC的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C的轨迹方程是( )

x2y2A.-1 916

x2y21 169x2y21(x>4) 169x2y2-1(x>3) 916

x2y2【解析】,方程为1(x>3),故选C. 916

题型二 圆锥曲线的有关最值

【例2】已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆x2+3y2=4上,对角线BD

的斜率为1.当∠ABC=60°时,求菱形ABCD面积的最大值.

【解析】因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD.

于是可设直线AC的方程为y=-x+n. 所在直线

x23y24,由得4x2-6nx+3n2-4=0.

yxn

433因为A,C在椭圆上,所以Δ=-12n2+64>0,解得-n<. 33

3n2-43n设A,C两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2x1x2= 24

ny1=-x1+n,y2=-x2+n. 所以y1+y2=2

因为四边形ABCD为菱形,且∠ABC=60°,所以|AB|=|BC|=|CA|.

所以菱形ABCD的面积S=

2223|AC|2. 2-3n2+16334又|AC|=(x1-x2)+(y1-y2)=,所以S=-3n2+16) (-<n<2433

所以当n=0时,菱形

ABCD的面积取得最大值3.

【点拨】建立“目标函数”,借助代数方法求最值,要特别注意自变量的取值范围.在考试中很多考生没有利用判别式求出n的取值范围,虽然也能得出答案,但是得分损失不少.

【变式训练2】已知抛物线y=x2-1上有一定点B(-1,0)和两个动点P、Q,若BP⊥PQ,则点Q横坐标的取值范围是 .

2【解析】如图,B(-1,0),设P(xP,xP-1),Q(xQ,x2Q-1),

22x2P-1xQ-xP由kBP·kPQ=-1,得=-1. xP+1xQ-xP

11所以xQ=-xP-=-(xP-1)-1. xP-1xP-1

因为|xP-1+1|≥2,所以xQ≥1或xQ≤-3. xP-1

题型三 求参数的取值范围及最值的综合题

m2x2

【例3】(2010浙江)已知m>1,直线l:x-my-=0,椭圆C:y22m=1,F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点.

(1)当直线l过右焦点F2时,求直线l的方程;

(2)设直线l与椭圆C交于A,B两点,△AF1F2,△BF1F2的重心分别为G,H.若原点O在以线段GH为直径的圆内,求实数m的取值范围.

【解析】(1)故直线l的方程为x2y-1=0.

(2)A(x1,y1),B(x2,y2), m2

xmy,m222由2消去x得2y+my+-1=0, 4xy21m2

m2则由Δ=m-8(-1)=-m2+8>0知m2<8, 42

mm21且有y1+y2=-y1y2=. 282

由于F1(-c,0),F2(c,0),故O为F1F2的中点, xyxy由=2, =2,得G(,H(, 3333

(x1-x2)2(y1-y2)2|GH|=992

x1+x2y1+y2设M是GH的中点,则M(), 66

x1+x22y1+y22(x1-x2)2(y1-y2)2由题意可知,2|MO|<|GH|,即4[(+()]<+ 6699

即x1x2+y1y2<0.

m2m2m212而x1x2+y1y2=(my1+my2++y1y2=(m+1)(2282

m21<0,即m2<4. 82

又因为m>1且Δ>0,所以1<m<2.

所以m的取值范围是(1,2).

【点拨】本题主要考查椭圆的几何性质,直线与椭圆、点与圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.

【变式训练3】若双曲线x2-ay2=1的右支上存在三点A、B、C使△ABC为正三角形,其中一个顶点A与双曲线右顶点重合,则a的取值范围为.

【解析】即a的取值范围为(3,+∞).

总结提高

1.求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合

动点的轨迹方程,其实质就是利用题设中的几何条件,用“坐标某种条件的法”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义、性质等基础知识的掌握,还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力,因此这类问题成为高考命题的热点,也是同学们的一大难点.求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法、待定系数法.

2.最值问题的代数解法,是从动态角度去研究解析几何中的数学问题的主要内容,其解法是设变量、建立目标函数、转化为求函数的最值.其中,自变量的取值范围由直线和圆锥曲线的位置关系(即判别式与0的关系)确定.

3.范围问题,主要是根据条件,建立含有参变量的函数关系式或不等式,然后确定参数的取值范围.其解法主要有运用圆锥曲线上点的坐标的取值范围,运用求函数的值域、最值以及二次方程实根的分布等知识

范文三:(圆锥曲线解答题)

2015届高三各地模拟试题汇编(圆锥曲线解答题)

x2y2

1.(江南十校2015届高三上学期期末大联考21.)21.已知椭圆C :221(a>b>0)左右焦

ab

点,上下定点依次为F1,F2,B2,B1若四边形的面积为8

(1)求椭圆C的方程。

(2)已知点在椭圆C上,若M, F2,N三点共线,且F1F2=的方程。

1

F1MF1N,求直线MN3

【知识点】椭圆及其几何性质

x2y21(2)

x【答案】(1)y-2=0. 84【解析】(1)

四边形F1B1F2B2为菱形,S菱形=

1

2b2c8,即bc=4

2

c22222,

又abc,则b=c,b4,a=8, ax2y2

1 故椭圆方程为84

(2)依题意知F2(2,

0),

M,N,F三点共线,且F1F2=

1

F1MF1N 3



2

且MF22F2N 3

设M(x1,y1),N(x2,y2),则MF2(2-x1,-y1)F2N=(x2,-2,y2)

x122y1282x12(x2,2)

又M,N在椭圆C上,则2 2

y2y12x22y28

代入求得x2=

55,y

2=,故N(,), 22

kMN

,故直线MN的方程为

y=(x-2)

22

x

y-2=0.

7

c22222

,

又abc,则b=c,b4,a=8, 

a2

【思路点拨】由

x122y128x2y21 .M,N在椭圆C上,则2故椭圆方程为 284x22y28

代入求得x2=

55,y

2=,故N(,)

,kMN,求出。 22

2.(2015滁州市高高级中学联谊会高三第一学期期末联考)21、(本小题满分13分)已知椭

x2y2

圆C:221(ab0)的右焦点F2是抛物线y24x的焦点,过点F2垂直于x

ab

轴的直线被椭圆C所截得的线段长度为3.

求椭圆C的方程;

设动直线l:ykxm与椭圆C有且只有一个公共点,且与直线x2相交于

点Q.请问:在x轴上是否存在定点,使得Q为定值?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.

32

(20)解析: (Ⅰ)抛物线y4x的焦点坐标为(1,0),则椭圆C过点 (1,),

2

a2b212

x2y2a4

则11.(4分) ,椭圆C的方程为,解得29

431b32

4b2a

(Ⅱ)假设在x轴上存在定点M(x1,0)满足条件,设P(x0,y0),则Q(2,2km),

ykxm222由x2y2,得(4k3)x8kmx4m120.

134

2222

∴64km4(4k3)(4m12)0,即4k23m2,m0.

4k34km4k3

,∴P(,).(8分) ,ykxm00

mm4k23mm

4k3

MP(x1,),MQ(2x1,2km),

mm

4k3k

MPMQ(x1)(2x1)(2km)=(4x12)x122x13,

mmm

此时x0

19

当4x120,即x1时,x122x13.

24

19

∴存在点M(,0),使得MPMQ为定值.(13分)

24

3.(2015届淮南市高三第一次模拟考试

)

1

(Ⅲ)解:对于椭圆C上的任意两点P、Q,当

2P

OP

2

1OQ

2

712

时,设

2

12k1212k21212222

x2,yP2;xQ2,yQ2,

OP:yk1x,OQ:yk2x,易得4k134k134k234k23由

7

22

12OPOQ

11

2

4k1234k237

,22

12k11212k21212 得

来源:Z,xx,k.Com]

22222222

8kk7k7k67(kkkk1),亦即k1k21,………………..13分 12121212即

1

所以当

OP

2

7

OQ

为定值12时,OPOQ不一定成立…………………14分

2

1

4.(2015届安庆一中、安师大附中期末联考)20、(本小题13分)

x2y2。 已知椭圆C:221(ab

0)的焦点是(

,且椭圆经过点ab

(1)求椭圆C的方程;

(2)设P(0,4),M、N是椭圆C上关于y轴对称的任意两个不同的点,连接PN交椭圆C于另一点E,证明:直线ME与y轴相交于定点。

x2y2

解:(1)椭圆C的方程为221(ab0)

ab

 a2b23,

2a4 x2

所以所求椭圆C的方程为y21 ……………………6分

4

(2)设N(x1,y1)、E(x2,y2)、M(x1,y1),直线PN的方程为ykx4,则

x22

y1由4 得:(14k2)x232kx600 ykxb

 x1x2

32k60

……………………8分 ,xx1222

12k12k

y2y1

(xx1) x2x1

直线lME:yy2

 当x0时,y

=

(y2y1)x1xyx2y1

y112

x1x2x1x2

x((2kx1x24(x1x2)2kx14)x1kx24) ……………………12分 x1x2x1x212014324

所以直线ME与y轴相交于定点(0,) ……………………13分

1

4

范文四:构造直线与圆锥曲线相交关系模型解题举隅

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・9   重 庆  6・ 《 学 教 学 通 讯  ̄ 0 2年 1 ( ) 数 20 2下

构 造 直 线 与 圆 锥 曲 线 相 交关 系模 型 解 题 举 隅

( 江 慈 溪教 师进 修 学校  3 5 0 ) 王 立 军  浙 1 3 0

解 析 几 何 的 优 点 在 于 形 数 结 合 , 几 何 问 题 化 作  把

证 明 : 已 知 等 式 分 别 化 为 z+ Y— n— z z + y 将 ,

=   一 Z2

数 、 的 推 演 计 算 . 过 来 , 、 问 题 也 可 以 借 助 于 解  式 反 数 式

析 几 何 模 型 去 处 理 . 于 某 些 数 、 问 题 , 果 能 挖 掘  对 式 如 出 它 潜 在 的 关 于 某 两 个 变 量 的 一 次 和 二 次 关 系 , 可  则 构 造 直 线 与 圆 锥 曲 线 相 交 关 系 模 型 , 能 找 到 解 题 捷  常

由 此 两 式 同 时 成 立 , 知 直 线 z+  : n—  即

z 圆z 譬一  f n 公 点 和 z  一 zf≤ ) 共 . + (   有   z

由 圆 心 0( , ) 直 线 的 距 离 不 大 于 圆 的 半 径 , OO 到 有

径 , 到 事 半 功 倍 的 效 果 . 文 举 例 说 明 如 何 构 造 模 型  达 本 并 利 用 直 线 与 圆 锥 曲 线 相 交 的 有 关 性 质 来 解 题 的 方

法.

≤ 譬 ,简 s—n   n  √   化 得 z z≤ > z z

0 2> 0 则 0< z≤ - n , , 6     . -

利 用 直 线 与 圆 锥 曲线 有 公 共点 的 条 件

同 可 o z 号,   n 理 证 < ≤ n < ≤号. o

例 2 已 知 锐 角 口  满 足 C S + c s — CS 口+    、 OO t of l O(

例 1 如 果 正 数 z, z满 足 z+  + z= n z    , ,  +

zz 等n O +z ( ) 一 >,   求 : z 号,   号 ,< ≤考. 证0 ≤ n < ≤ n0  _   < 寺 0 寺  2专 “ _ n

) ÷. : 求 、 之值 .

解 : 已知 得  由

金 额

兀 )

( /人 .年 ) 元

性 质 与 计 算 方 法

( ) 比较 : ( 2 5 1+  ) × 2 % 一 [ - ( + 1   0 o 1  )+

考 虑 物 价 因素 , 2 0 从 0 0年

基 础

o]  ̄l1 ) ( 9  .一 o +   ” ) 8 ( 一 +]

・ .

100 0 0  工 资

初 起 每 年 递 增 1 % ( 工  O 与

龄 无关 )

’1 ( +  ) 01  一 1 ( 0 1+ Cl  ・

)一 1 0+ , > "+ 9  l .

+c ・1 + …) :而

房 屋

400

按 职工到公 司年 限计算 ,   每 年 递 增 4 0元  0

10  60 固 定 不 变

≥ 1 1+  0(

’ ・ ・

补 贴

医疗 费

5 +南)×2%>01 +1

+08 ( 1   0 -( ) ・    -

故 公 司 每 年 发 给 职 工 工 资 总 额 中 , 屋 补 贴 和 医  房 疗费 的总 和不 会超 过 基础 工资 总额 的 2 %. O

解 :1 ( )第 , 年 共 有 5 t  个 职 工 , 么 基 础 工 资 总 额  那

图 表 是 信 息 的 良 好 载 体 , 观 通 俗 , 现 代 社 会  直 在

为5(+亩)万元) n1   ( ,

医 疗 费 总 额 为 5 × 0 1 ( 元 )    .6 万 ,

房 屋 补 贴 为 5× 0 0 . 4+ 5× 0 0 . 4× 2+ 5× 0 0   .4

× 3+ … + 5 × 0 0 × ; 、4 r /: 0 .1× ;( + 1 ( 元 )  rn / )万 ,

’ ・ ・

中 , 们 必 须具 备 从 各种 传 媒 的 图表 中及 时 收集 信 息 . 人

加 工 处 理 为 我 所 用 的 能 力 . 既 是 社 会 的 要 求 , 是 素  这 也 质 教 育 的要 求 , 以 预见 , 图表 作 信 息 源 的新 试 题 , 可 用   将 仍 是 高 考试 题 创 新 的生 长 点 , 确 求 解 图表 信 息 题  正 既 是 高 考 取 胜 的 需 要 , 是 学 生 踏 .社 会 的 必 备 能 力. 也 七

5(+南 +01 nn ) - ( n1 -× (+1+08  n

范文五:构造直线与圆锥曲线相交关系模型解题举隅

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数 学 教 学 研 究

20 0 2年 第 3期

^   =1   % 要 比较 s  与  。川 的 大 小 , 先 比 较 (   6 可 1+

力而

.   6 .; 0 ( ( 1  . 当

因 此 , 。 > l , 。)— 当 时 s

时 , 。< . s   。

1( ) 1+— ) 1+丁 ) 1 五    ( 1 1 …( +

) , 与。 而

的大

倒 5 ( 0 1年 全 国 高 考 理 科 2   20 0题 )已 知 、 . r、 a  是 正 整 数 , l ( 《 m ( , 明 : p ( r‘' 且     证     ap  .o

设 =111÷ ( 丁 …1 A ( ) + ) + )(  ) +( 11 +

证   因 < ≤ n  0 詈 < , 明 为I  m< , ( I 所

由 结 论 ( ) 有  1 ,

÷・ 7 ・ 2 =  5 詈 ・ l÷・ … ・ 一, ÷・ ・     4 旦      2 旦 B 3 ’ n   一 …

3n   4   7   1  0 3n + 1

『  =

了 ‘

‘ … ’  了 ‘

! , ,   等 , = 鲁 苷 …,

: !     >o

由 论 ) ÷, =   = , 结 (,   ÷,  有 ÷

5  6 , - / 8

1 0

3 一 1

3n

了 ’丁 ’   , ’ i ’可 ,一, = ’ 丁 i     =1

m — i+ 1

,   ・ …・ 等 ・ 詈・ 鲁

一   ’

. .

j n

, 0.

故 A > B ) G, .   > A C = 3 .A B n+ 1   ,

即 1 1J ÷) + …1 l)   (+) + ( ÷)(+ 一 > ( 】

构 造 直线 与圆 锥 曲线 相 交 关 系模 型解 题 举 隅

王 立 军

( 江店 悬溪 市 教 师进修 学枝 浙 35 0 ) 13 0

解 析 几 何 的优 点 在 于 形 数 结 合 , 几 何 阿 题 化  把 作数 、 的推 演计 算 . 过 来 , 、 问题 也 可  借 助  式 反 数 式 于解 析 几 何模 型去 处 理. 于 某些 蕺 、 阿题 , 果  对 式 如 螗 挖 掘 出它 潜 在 的 关 于 某两 个 变量 的 一次 和 二次 关

系 式 , 可 构 造 直 线 与 躅 锥 曲 线 相 交 的关 系 横 型 ,   则 常

放 圆 心 o( 0 0, )刊 直 线的 距离 不 太 于 圆的半 径 ,

Iz- a l

又  ,

能 找到 解 题 捷 径 , 到 事半 功倍 的般 果. 文 举 例 说  达 本

明如 何构 造 模 墅 并 利 用直 线 与 圆锥 曲线 相 交 的 有关   性 质 解题 的 方法 .

o, :) 0 则 0 < ,

同理 可 证 o c    例 2 已知锐 角

Y   )= — 3

— ,  ,   0

1 利 用 直线 与 四堆 曲

皱 有公 共 点 酌条 件    倒 1 如 果 正 数  , , y z满 足 z Y+:= O,   -

满足 c s 0d+e, oa—cs d+ o(

+ = ( ≯ )求 o(     n 0 1 证:  ≤÷Ⅱ y   , , ≤ 0(

求 a、 p之 值

由 已 知 得

o  争   :

证 明  将 已知 等式 分 别 化 为  =   ,   一:.   由此 两 式 同 时成 立 , 即知 直线  +Y=Ⅱ

(  1

s )o8+s d・ j + d一÷ =0 d cs ; i s    n f

构 造 点 P(   ,j ) 则 P点 既 在 单 位 圆  +Y  o s   ,

l上 , 叉在 直 线 E :

(1一 e   ) + s a ・y + e s 一 — = 0 上 , 。 x m 0a

和圆  + = O   ,  -一

( l  1 ≤

) 公共点  有

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20 0 2年 第 3期  所 以 P是 直 线 1 单 位 圆  + 与

数 学 教 学 研 究  = 1的 公 其 点

求 函 数

=面 的 值 域 . 一

故 圆心 0( 0 0, )到 直 线   的 距 离 d ≤ J 即  ,

I s 一  c。     I

=   r  _ 解

设 ,  ) = 爪, (   3

了i i _   =

化 简得 ( 。  一 c s  1 ) ≤ 0

原 式 为 一2 +

令 y=一  一 2 3+m,

} 同  = ’ 理 号

锐 角 n 满 足  n  ̄   s  t i* +   )   = l 下 列   则

..

,  =

; 一百 _

2 利 用直 线 与 圆锥 曲线 切 点的 唯 一性    例3

0 此式 整 理得  ,

(   !=

:J

结 论 中 正 确 的是 (

( y≥ 0】

+ 詈   ≠

解  构 造 点

+ 手

P ( O  ,i  . : sn ,   C S s 卢) P ( i    n +   =l .   上 过

由于  =一2 x+m 一3是斜 率 为 一2的 一组 平 行  线 , ;、 _ Y 厂= 五r  二   为 中心 在 (   ), 轴 平  1 30 长

£   子 胁 + 手   +    =

c n) 剥 点 P , : 在 椭 圆    , lP 都 点 P 的 椭 圆 的 切 线 方 程 为  。

行 于 Y轴 的 椭 圆 在   轴 的 上 方 部 分 , 图 2 如

由图 知 当直 线过 点 ( √ 0 3一  . )时 , 取 最小 值 9 爪

2 ;   直线 与椭 圆 相切 对 m最 大 由 一2    +

=1 有 等 根 , 6 i 即   4

Y =1而 P 也 在此 切  ,

厂二  r  _ 、

+爪 一6   爪

+2 =0有 等 根 ,. 3 . △ =0 亦 即  - ,

一1 m

+6 = 0   8 9 ,

线 上 , 切 点 的 唯一 性 知 P 与 P 由 。 :重 台 .   故 sn n i    c s 且 sn  0  i。  ̄5 . 0

求 得 m :9+2 i( 去负 值 ) √ 舍

故 , )的 值域 为 [ ( 9—2  . √ 9+2   . √

・i s =c =s ( 一 . n o   l —  ) n丌 ^

又  为 锐 角 , 此   +卢 = 因   . 选 D) (

4 利 用 直 线 与 圆 锥 曲 线 的 交 点 不 多 于 两 个    恻 6 三 正 数 o 6  构 成 公 差 不 为 零 的 等 差 数     ,,

3 j 用 直 线 与 圆 锥 曲 线 相 切 时 的 特 殊 位 置    } 叮

列, 求证其倒数  , , ÷ —  不可能组成等差数列.

倒4

求 函数 ,= 、 —

二  的值 域. 1

= ≥ 0, 去    梢

证明 假设 , , 组     ÷ — 成等差数 则P(, _ l 列.  。

B  口  0

解  令 、1   = u≥ 0 、 /了 ,

得 孚= u 。≥) 图 是 圆   孚+ 1( , 。其 像 椭 譬    ,

亡)  , , c 三 共 又  :- ,(÷) - 点 线L P,, P 6  (÷) PP

都 在 曲 竣 c: ;     上 , j c最 多有 两 十公 共 点 , 由 与

知 P。  , 。 少 有 两 点 重 音 , 妨 设 P 与 P 重 音 , . P 至 不 。

l在 第 一 象 限 的 部 分 , 图 】 如 .

由  = “ + 口 知

则 o= 6 这 与 o 6 C , , , 构成 公 差 不 为 零 的 等差 数 列 矛  盾, 故  ,

Ⅱ  口  c

y表 示 直 线 , y为  其 在  轴 上 的 截 距 .   因 直 线 与 椭 圆 部 分  有 公 共 点 可 知 当 且 仅 当  直 线 与 椭 圆 部 分 相 切  时 , 最 大 , 时 不 难 用    此 判别 法 求 得 Y ~ :3   又 当 且 仅 当  = 一

= =

不 可 能组 成 等差 数 列.

倒 7 A A C三 内 角 A、 c满 足 :c sA +biA   B  、 口 0  sn   l口 0 ,c  B + b i = 10 o  + biC = 1 判 断  sn B , cs c sn , 解  设 P (   sn , 2 c s ,iB)    ㈣ A,iA) P ( 0  sn .

A ABC 形 状 .

( 0  sn ), P . . , 都 在 直 线  :  +6   csc,iC 则 1P: P 既 d y

1 , 都 在抛 物 线 c ,  上 又 :

+1 , 以 f c 上 所 与

Y过点 (, , )时 .  :  ̄i 0 ,   又 由 于 ,的取 值是 连 续 的 , ,E [i. ] 故  ̄ 3  ,

最 多 有 两 十 公 共 点 . P . :P 故 】 P .  中 至 少 有 两 点 重

舍.

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讯 http://www.cqvip.com

数 学 教 学 研 究

20 0 2年 第 3期

( )若 两 点 重 合 , 妨 设 P 与 P 1 不 ,  重 音 , csA 则 o:

c sB 且 sn = sn 0  iA iB,‘A = B ;

sn iA = sa   B = s nC .’ A : B = C  J i

因 此 , , B 是 等 腰 三 角 形 或 正 三 角 形   ̄A C sB    sc 且  :

( )若 三 点 重 合 . ㈨     2 则 A

类 数 列 问 题 的 求 解 及 二 个 推 广

廖  兴

r 南 害 第二 轻工 业学 校 . 南 长沙 瑚 垮 401) 1 18

在 中学 阶段 经 常 遇见 以下 数列 求 和 问题 :

f1 1 + 2O + 3   00 + … + n × 1  _ ; 0

( 1一Q S = Ⅱ     I+ [ q + ^

+ - k   一 ・+ q一:

f 2、1 + 3 x 2 + 5 ×2 +7 x 2          ’+ … + ( n — l1 2

n = ^ 臀 一。 n   ’   n

・ 。 ‘

上 述 数 列 是 由 一 个 等 差 数 列 一 + ( 一 1 d 和  。   ) 等 比 数 列 {q 。}相 应 的 项 相 乘 而 得 到 的 混 合 数 列  b

[ 。+( n一1 d1  一 ) .   通 常 采 用 错 位 相 减 法 ”   进

运 用.

F  ¨ 丌

— —

! !=! 2 :

亡  一

一! !  !!

有 趣 的 是 . 求 数 列 通 项 时 , 思 路 也 有 巧 妙 的  在 该

倒 1 设 d   ,=5. +    = 2  +3 求 数 列 1 . 的  a . Ⅱ  通 项.

行 计算

为 了 加 强 对 其 解 题 思 路 的 理 解 , 必 要 进 行  有

般 性探 讨  因 为 数列 通 项 “ = [ +( 一1 d   n n ) ]’b 卜 = q

+ 一 + Ⅱ

构 造 数 列 I  ’ j 令 S =d    q a   ,     L

q  :

[  b+ ( n— 1 b g . 简 单 起 见 . 妨 设 此 混 音 数  ) d]  为 不

列 为 d , 2 d g ,一.   一  其 中 d 1 。 ,    dg ,  一d   =d n > (

由 n

~ 2   = 3.   a 得

1 . 么上 述 求 和方 法 实质 上可 归结 为 : )那

设 S .= 。 :+d q+n g 2 3  + ,     .   ( ) 1

( 1—2 )   qs

d 1+Ⅱ q a q :   s  + 一 +a q    一

q  q 一 26 1   ‘ 一 2a

2   一 2a2   一 … a1 q

则( 1一 g S = d ). 1+d q Ⅱ

+ d q    一 一 aI 一 。!   一 q 目

+ …

一 Ⅱ 1    . q ~   一 d    q

=n j

+ ( q+ 3 十 一+3   )一2   ‘ 3   q a g

s +

一 2a    q

= 。 + (d + d : + -・   g   ・

= 。 , - .  - +

d    一 Ⅱ q q一)

取  = 1

那 么

芋 +

。 :

一.  :cn  ÷, .

一3

由 此 看 出 . 述 方 法 实 际 上 是 一 个 变 换 : 求  上 欲

可 以 转 化 成 先 求 y =厂 5 ) 而 v较 易 求 出 . 通  c. . 再

从 中解 出

:2

过 逆 变 换 厂 ‘求 出 S :厂  y) ,   (   推 广 1 如 果 式 ( )两 边 屙 乘 以 (   g 我 们    1 1一 ). 来 考 虑 所 能 解 决 的 数 列 问 题

( 1一 o )   = 。   t S q 1+

d d  ‘

倒 l的 解 法 很 多 , 文 本 所 提 供 的 解 法 颇 有 新  但

推广 2 如 果 在 式 ( )两 边 乘 以 ( 一 , —   1 1   g

Ⅱq   ‘+…

。 一 dd 1   。 一   q _

o q j 我 们 来 考 虑 所 能 解 决 的 数 列 问 题  t  , : 例2

a q

d。1   q

— d  ! : 一 q

设 n = .

: 1。 ,

+。 , 数 列    求

; 通 项 和 前 n项 和  的 解  构 造 新 的 数 列 1  一  令 S     q {,  = n

a    q ~

Ⅱ 1+ [ Ⅱ   n ) ( 2一 1

( ]一d ! q +…  。 。 )

。 q+

+ (  一 。 . q 一]一 Ⅱ q . Ⅱ      )     ‘   当  一邮

求 和.

=k时 ( ^为 常 数 ) 数 列 { q   易  .   一 l

由 。

: 。1 + 。2   q

一口 .   .一d : 0 得 (   , 1一q—q )   :S

3  + 。 q q d   一   ・   o q    ~ 一 。L 一 :   q   q

范文六:构造圆锥曲线模型巧解不等式

构造圆锥曲线模型巧解不等式

作者:冯作维 张国彬

来源:《中学教学参考·理科版》2013年第03期

数学思想是数学的灵魂.在平时学习的过程中,数学思维的发散与收敛,知识的外延和内涵训练都是培养学生思维的好方法.根据数学知识的框架特征,建立知识之间的联系,往往可以使得解题方法新颖别致、独到创新.现以一些不等式的解法为例加以说明.

一、构造椭圆模型,巧解一类含绝对值的不等式

【例1】 解不等式:|x-2|+|x+2|≥5.

分析:该不等式是含两个绝对值符号的不等式,这类不等式可使用零点划分区间法、构造函数法、几何意义法等.那么根据绝对值的定义可知,该不等式的含义是数轴上的点x到两定点(-2,0)和(2,0)的距离之和大于等于5.这也恰好符合椭圆的定义,用椭圆的知识来解释该不等式就是代表椭圆及其椭圆外部的x的取值范围,利用椭圆的有界性便可轻松求解. 解:不等式|x-2|+|x+2|≥5的含义是数轴上的点x到两定点(-2,0)和(2,0)的距离之和大于等于5.

根据椭圆的定义可知c=2,a=52,

∴a2=254,b=94,

因此椭圆的方程为x2254+y294=1.

根据椭圆的有界性可得x≤-52或x≥52,

∴不等式的解集为{x|x≤-52或x≥52}.

二、构造双曲线模型,巧解一类含绝对值的不等式

【例2】 解不等式:|x-5|-|x+5|≤8.

分析:根据绝对值的定义可知,该不等式的含义是数轴上的点x到两定点(-5,0)和(5,0)的距离之差小于或等于8.这也恰好符合双曲线的定义,用双曲线的知识来解释该不等式就是代表双曲线右支的x的取值范围,利用双曲线的有界性便可求解.

解:不等式|x-5|-|x+5|≤8的含义是数轴上的点x到两定点(-5,0)和(5,0)的距离之差小于或等于8.

根据双曲线的定义可知c=5,a=4,∴b=3.

因此双曲线方程为x216-y29=1(x>0).

由双曲线的有界性可得x≥4,

∴不等式的解集为{x|x≥4}.

三、构造抛物线模型,巧解一类无理不等式

【例3】 已知a∈R,求证:a4-3a2-6a+13-a4-a2+1≤10.

分析:该不等式含有两个根式,并且根号内表达式的次数高达4次,因此求解起来特别的困难.根据数学化繁为简的整体思想,将其配方降幂,其左端可变形为(a2-2)2+(a-3)2-(a2-1)2+(a-0)2,此不等式的几何意义是抛物线y=x2上点P(a,a2)到点A(3,2)与到点B(0,1)距离之差的最大值是10.

解:根据不等式的结构,可以将其左端变形为

(a2-2)2+(a-3)2-(a2-1)2+(a-0)2,

此不等式的几何意义是抛物线上点P(a,a2)到点A(3,2)与到点B(0,1)距离之差的最大值是10.

∵A(3,2),B(0,1),

∴|AB|=10.

由图可知||PA|-|PB||≤|AB|=10,因此原不等式得以证明.

在学习数学的过程中,若能根据数学表达式的结构特征,挖掘其蕴含的内在意义,不但能优化解题过程,而且还可以大大提高思维能力.

(责任编辑 金 铃)

范文七:构造圆锥曲线模型巧解不等式

数学思想是数学的灵魂.在平时学习的过程中,数学思维的发散与收敛,知识的外延和内涵训练都是培养学生思维的好方法.根据数学知识的框架特征,建立知识之间的联系,往往可以使得解题方法新颖别致、独到创新.现以一些不等式的解法为例加以说明.

一、构造椭圆模型,巧解一类含绝对值的不等式

【例1】 解不等式:|x-2|+|x+2|≥5.

分析:该不等式是含两个绝对值符号的不等式,这类不等式可使用零点划分区间法、构造函数法、几何意义法等.那么根据绝对值的定义可知,该不等式的含义是数轴上的点x到两定点(-2,0)和(2,0)的距离之和大于等于5.这也恰好符合椭圆的定义,用椭圆的知识来解释该不等式就是代表椭圆及其椭圆外部的x的取值范围,利用椭圆的有界性便可轻松求解.

解:不等式|x-2|+|x+2|≥5的含义是数轴上的点x到两定点(-2,0)和(2,0)的距离之和大于等于5.

根据椭圆的定义可知c=2,a=52,

∴a2=254,b=94,

因此椭圆的方程为x2254+y294=1.

根据椭圆的有界性可得x≤-52或x≥52,

∴不等式的解集为{x|x≤-52或x≥52}.

二、构造双曲线模型,巧解一类含绝对值的不等式

【例2】 解不等式:|x-5|-|x+5|≤8.

分析:根据绝对值的定义可知,该不等式的含义是数轴上的点x到两定点(-5,0)和(5,0)的距离之差小于或等于8.这也恰好符合双曲线的定义,用双曲线的知识来解释该不等式就是代表双曲线右支的x的取值范围,利用双曲线的有界性便可求解.

解:不等式|x-5|-|x+5|≤8的含义是数轴上的点x到两定点(-5,0)和(5,0)的距离之差小于或等于8.

根据双曲线的定义可知c=5,a=4,∴b=3.

因此双曲线方程为x216-y29=1(x>0).

由双曲线的有界性可得x≥4,

∴不等式的解集为{x|x≥4}.

三、构造抛物线模型,巧解一类无理不等式

【例3】 已知a∈R,求证:a4-3a2-6a+13-a4-a2+1≤10.

分析:该不等式含有两个根式,并且根号内表达式的次数高达4次,因此求解起来特别的困难.根据数学化繁为简的整体思想,将其配方降幂,其左端可变形为(a2-2)2+(a-3)2-(a2-1)2+(a-0)2,此不等式的几何意义是抛物线y=x2上点P(a,a2)到点A(3,2)与到点B(0,1)距离之差的最大值是10.

解:根据不等式的结构,可以将其左端变形为

(a2-2)2+(a-3)2-(a2-1)2+(a-0)2,

此不等式的几何意义是抛物线上点P(a,a2)到点A(3,2)与到点B(0,1)距离之差的最大值是10.

∵A(3,2),B(0,1),

∴|AB|=10.

由图可知||PA|-|PB||≤|AB|=10,因此原不等式得以证明.

在学习数学的过程中,若能根据数学表达式的结构特征,挖掘其蕴含的内在意义,不但能优化解题过程,而且还可以大大提高思维能力.

(责任编辑 金 铃)

范文八:典型圆锥曲线题型总结

典型圆锥曲线题型

与圆锥曲线有关的几种典型题,如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题等,在圆锥曲线的综合应用中经常见到,为了让同学们对这方面的知识有一个比较系统的了解,本文系统阐述一下“与圆锥曲线有关的几种典型题”.

一、重、难、疑点分析

1.重点:圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题.

2.难点:双圆锥曲线的相交问题.(应当提醒注意的是:除了要用一元二次方程的判别式,还要结合图形分析.)

3.疑点:与圆锥曲线有关的证明问题.(解决办法:因为这类问题涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法,以及定点、定值问题的判断方法,所以比较灵活,只能通过一些例题予以示范.)

二、题型展示

1.圆锥曲线的弦长求法

设圆锥曲线C∶f(x,y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则弦长|AB|为:

(2)若弦AB过圆锥曲线的焦点F,则可用焦半径求弦长,|AB|=|AF|+|BF|.

例1 过抛物线y12x的焦点作倾斜角为的直线l与抛物线交于A、B两点,旦4

|AB|=8,求倾斜角.

分析一:由弦长公式易解.解答为:

∵ 抛物线方程为x2=-4y, ∴焦点为(0,-1).

设直线l的方程为y-(-1)=k(x-0),即y=kx-1.

将此式代入x2=-4y中得:x2+4kx-4=0.∴x1+x2=-4,x1+x2=-4k.

由|AB|=8得:8k

又有tan1得:24k2414 ∴k1 或

43. 4

pp,BFy2 22分析二:利用焦半径关系.∵AFy1

∴|AB|=-(y1+y2)+p=-[(kx1-1)+(kx2-1)]+p=-k(x1+x2)+2+p.由上述解法易求得结果,可由同学们自己试试完成.

2.与圆锥曲线有关的最值(极值)的问题

在解析几何中求最值,关键是建立所求量关于自变量的函数关系,再利用代数方法求出相应的最值.注意点是要考虑曲线上点坐标(x,y)的取值范围.

22例2已知x+4(y-1)2=4,求:(1)x+y2的最大值与最小值;(2)x+y的最大值与最小值.

22解一:将x+4(y-1)2=4代入得:x+y2=4-4(y-1)2+y2=-3y2

+8y

由点(x,y)满足x+4(y-1)2=4知:4(y-1)2≤4 即|y-1|≤1.∴0≤y≤2.

2

当y=0时,(x+y2)min=0. 2

2解二:分析:显然采用(1)中方法行不通.如果令u=x+y,则将此代入x+4(y-1)2=4

中得关于y的一元二次方程,借助于判别式可求得最值.

令x+y=u, 则有x=u-y,代入x+4(y-1)2=4得:5y2-(2u+8)y+u=0.

又∵0≤y≤2,(由(1)可知) ∴[-(2u+8)]2-4×5×u≥0. ∴1u1 222

当u1时,y10,2; 当u15时,y10,2 55

∴xymax1;xymin1

3.与圆锥曲线有关的证明问题

它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法,以及定点、定值问题的判断方法.

例3.在抛物线x2=4y上有两点A(x1,y1)和B(x2,y2)且满足|AB|=y1+y2+2,求证:

(1)A、B和这抛物线的焦点三点共线;(2)11为定值. AFBF

证明:(1)∵抛物线的焦点为F(0,1),准线方程为y=-1.

∴ A、B到准线的距离分别d1=y1+1,d2=y2+1(如图2-46所示).

由抛物线的定义:|AF|=d1=y1+1,|BF|=d2=y2+1.

∴|AF|+|BF|=y1+y2+2=|AB| 即A、B、F三点共线.

(2)如图2-46,设∠AFK=θ.

∵|AF|=|AA1|=|AK|+2=|AF|sinθ+2 ∴AF

又|BF|=|BB1|=2-|BF|sinθ ∴BF

2 1sin2 1sin

小结:与圆锥曲线有关的证明问题解决的关键是要灵活运用圆锥曲线的定义和几何性质.

4.圆锥曲线与圆锥曲线的相交问题

直线与圆锥曲线相交问题,一般可用两个方程联立后,用△≥0来处理.但用△≥0来判断双圆锥曲线相交问题是不可靠的.解决这类问题:方法1,由“△≥0”与直观图形相结合;方法2,由“△≥0”与根与系数关系相结合;方法3,转换参数法(以后再讲). 例4 已知曲线C12ya:x22 1及C2:yx21有公共点,求实数a的取值范围.

可得:y2=2(1-a)y+a-4=0. 2

5∵ △=4(1-a)2-4(a2-4)≥0, ∴a. 2

如图2-47,可知:

椭圆中心0,a,半轴长a

交时,a12.

综上所述,当12a2,抛物线顶点为0,1,所以当圆锥曲线在下方相切或相5时, 曲线C1与C2相交. 2

5.利用共线向量解决圆锥曲线中的参数范围问题

x2y2

例5.已知椭圆221(ab0)的长、短轴端点分别为A、B,从此椭圆上一点Mab

向x轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点F1,向量与是共线向量。(1)求椭圆的离心率e;(2)设Q是椭圆上任意一点, F1、F2分别是左、右焦点,求∠F1QF2 的取值范围;

解:(1)∵F1(c,0),则xMc,yMb2b2,∴kOM。 aac

∵kABbb2b2,OM与AB是共线向量,∴,∴b=c,故e。 aaca2

(2)设FQr1,F2Qr2,F1QF2,r1r22a,c, 1122

r12r224c2(r1r2)22r1r24c2a2a2

cos110 r1r222r1r22r1r2r1r2()2

当且仅当r1r2时,cosθ=0,∴θ[0,

2]。

由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用,因此,解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类问题的关键是:正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系,把有关向量的问题转化为解析几何问题.

6. 利用向量的数量积解决圆锥曲线中的参数范围问题

x2y2

1的焦点为F1,F2,点P为其上的动点,当∠F1P F2为钝角时,例6.椭圆94

点P横坐标的取值范围是___。 x2y2

1的知焦点为F1(-5,0)F2(,0). 解:由椭圆94

设椭圆上的点可设为P(3cos,2sin).F1PF2为钝角

∴

PF(3cos,2sin)3cos,2sin) 1PF2

=9cos-5+4sin=5 cos-1

解得:553535 ∴点P横坐标的取值范围是(). cos,5555

解决与角有关的一类问题,总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值,通过坐标运算列出不等式,简洁明了.

范文九:圆锥曲线的光学模型

关于圆锥曲线的光学模型及应用

黎博文

一、 圆锥曲线的光学性质

1.1 椭圆的光学性质: 从椭圆一个焦点发出的光,经过椭圆反射后,反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上; (见图1.1)

椭圆的这种光学特性,常被用来设计一些照明设备或聚热装置.例如在

F1处放置一个热源,那么红外线也能聚焦于F2处,对F2处的物体加热.

1.2双曲线的光学性质 :从双曲线一个焦点发出的光,经过双曲线反射后,反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上;(见图1.2).

双曲线这种反向虚聚焦性质,在天文望远镜的设计等方面,也能找到实际应用.

1.3 抛物线的光学性质 : 从抛物线的焦点发出的光,经过抛物线反射后,反射光线都平行于抛物线的轴(如图1.3)

抛物线这种聚焦特性,成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择.例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线,把光源置于它的焦点处,经镜面反射后能成为平行光束,使照射距离加大,并可通过转动抛物线的对称轴方向,控制照射方向.卫星通讯像碗一样接收或发射天线,一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的,把接收器置于其焦点,抛物线的对称轴跟踪对准卫星,这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线,最大限度地集中到接收器上,保证接收效果;反之,把发射装置安装在焦点,把对称轴跟踪对准卫星,则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置,同样保证接收效果.最常见的太阳能热水器,它也是以抛物

1

线镜面聚集太阳光,以加热焦点处的贮水器的.

图1.1

要探究圆锥曲线的光学性质,首先必须将这样一个光学实际问题,转化为数学问题,进行解释论证。 二、问题转化及证明

2.1圆锥曲线的切线与法线的定义

设直线l与曲线c交于P,Q两点,当直线l连续变动时,P,Q两点沿着曲线渐渐靠近,一直到P,Q重合为一点M,此时直线l称为曲线c在点M处的切线,过M与直线l垂直的直线称为曲线c在点M处的法线。 此时,我们可以借助圆锥曲线的切线和法线,对这一问题进行转化: 2.2 圆锥曲线光学性质的证明

图1.2 图1.3

x2y2

预备定理 1.若点P(x0,y0)是椭圆221上任一点,则椭圆过该点的切

ab

x0xy0y

线方程为:221。

ab

y2x2

证明:由212

ba

1°当x

x2

yb(12)„„①

a

2

2

a时,过点P的切线斜率k一定存在,且ky'|xx

2b2

∴对①式求导:2yy'2x0

a

2

∴ky'|xx0

2bx0bx0

yy(xx0)„„„„② 2∴切线方程为02

ay0ay0

2

x2y2

∵点P(x0,y0)在椭圆221上,

ab

22x0xy0yx0y0

故 221 代入②得221„„„„③

abab

而当x

a时,y00 切线方程为xa,也满足③式

x0xy0y

故221是椭圆过点P(x0,y0)的切线方程. ab

x2y2

预备定理2. 若点P(x0,y0)是双曲线221上任一点,则双曲线过该

ab

x0xy0y

点的切线方程为:221

ab

2

y2x222x

证明:由221yb(21)„„①

baa

1°当xa时,过点P的切线斜率k一定存在,且k

2

bx02b

∴对①式求导:2yy'2x0∴ky'|xx02

ay0a

2

y'|xx0

b2x0

∴切线方程为yy02(xx0)„„„„②

ay0

x2y2

∵点P(x0,y0)在双曲线221上,

ab

22

x0xy0yx0y0

故221 代入②得221„„„„③

abab

而当xa时,

y00 切线方程为x

a,也满足③式

x0xy0y

故221是双曲线过点P(x0,y0)的切线方程. ab

预备定理 3.若点P(x0,y0)是抛物线y22px上任一点,则抛物线过该点的

3

切线方程是y0yp(xx0)

证明:由y22px,对x求导得:2yy'2pky'|xx当y00时,切线方程为yy

2

即y0yy0pxpx0

2而y02px0y0yp(xx0)„„„„„„①

p

y0

p

(xx0) y0

而当y00,x00时,切线方程为x00也满足①式 故抛物线在该点的切线方程是y0y

p(xx0).

定理1. 椭圆上一个点P的两条焦半径的夹角被椭圆在点P处的法线平分(图2.1)

x2y2

已知:如图,椭圆C的方程为221,F1,F2分别是其左、右焦点,l是过

ab

l'为垂直于l且过点P的椭圆的法线,椭圆上一点P(x0,y0)的切线,交x轴于D

设F2PD,F1PD,

求证:.

x2y2

证法一:在C:221上,

ab

P(x0,y0)C,

xxyy

则过点P的切线方程为:02021

ab

l'是通过点P且与切线l垂直的法线, L

y0x11l':(2)x(0)xy(2)0022则baba

∴法线l'与x轴交于D(()2x0,0)

c2c2

∴|F1D|2x0c,|F2D|c2x0

aa

|F1D|a2cx0∴ 2

|F2D|acx0

ca

又由焦半径公式得:|PF1|aex0,|PF2|aex0

4

|F1D||PF1|

|F2D||PF2|

∴PD是F1PF2的平分线 ∴

∵90,故可得

yb2x0

证法二:由证法一得切线l的斜率ky'|xx02,而PF1的斜率k10,PF2

xcay00

y

的斜率k20

x0c

∴l到PF1所成的角'满足

y0b2x0

22

x0ca2y0a2y0b2x0b2cx0k1k

tan'22

22bx0y01kk1(ab)x0y0acy0

1

(x0c)a2y0

x2y2

∵P(x0,y0)在椭圆C:221上

ab

b2

∴tan'

cy0

kk2b2

同理,PF2到l所成的角'满足tan 

1kk2cy0

∴tan'tan' 而','(0,)

2

∴''

证法三:如图,作点F3,使点F3与F2关于切线l对称,连结F1,F3交椭圆C于点P'

下面只需证明点P与P'重合即可

一方面,点P是切线l与椭圆C的唯一交点,则|PF1||PF2|2a,是l上的点到两焦点距离之和的最小值(这是因为l上的其它点均在椭圆外) 另一方面,在直线l上任取另一点P''

∵|P'F1||P'F2||P'F1||P'F3||F1F3||P''F1||P''F2|

即P'也是直线AB上到两焦点的距离这和最小的唯一点,从而P与P'重合

5

即而得证

定理2 双曲线上一个点P的两条焦半径的夹角被双曲线在点P处的切线平分(图2.2);

x2y2

已知:如图,双曲线C的方程为221,F1,F2分别是其左、右焦点,l是

ab

过双曲线C上的一点P(x0,y0)的切线,交x轴于点D,设FP,F2PD 1D求证:

x2y2

证明:C:221

ab

两焦点为F1(c,0),F2(c,0) (c2a2b2)

P(x0,y0)在双曲线上

则过点P的切线

x0xy0y

21 a2b

图2.2

a2

切线l与x轴交于D(,0)。

x0

由双曲线的焦半径公式得

|PF1||

cc

x0a|,|PF2||x0a| aa

双曲线的两焦点坐标为F(c,0),F(c,0)

c

x0a|

|PF1||DF1|acac故|DF1||||x0a|,|DF2||||x0a|, 

x0ax0a|PF2||cxa||DF2|

0a

|

故 , ∴切线l为FPF之角分线。

定理3 抛物线上一个点P的焦半径与过点P且平行于轴的直线的夹角被抛物线在点P处法线平分(图2.3)。 已知:如图,抛物线C的方程为为y24cx, 直线l是过抛物线上一点P(x0,y0)的切线,

6

交x轴于D,DPF,PDF, 反射线PQ与l所成角记为, 求证:

证明: 如图 ,抛物线C的方程为

C:y24cx,点P(x0,y0)在该抛物线上,

则过点P的切线为y0yp(xx0) 切线l与x轴交于D(x0,0) 焦点为F(c,0), (同位角)

∵|PF||x0c|,|DF||x0c| ∴|PF||DF| ∴

通过以上问题转化可知,圆锥曲线的光学性质是可以用我们学过的知识证明的。那么它在解题和生产生活中有何应用呢? 三、圆锥曲线的光学性质的应用 3.1解决入射与反射问题

例1. 设抛物线C:y2x,一光线从点A(5,2)射出,平行C 的对称轴,射在C 上的P点,经过反射后,又射到C上的Q点,则P点的坐标为____,Q点的坐标为______。

解:如图,直线AP平行于对称轴且A(5,2),∴则P点的坐标为(4,2) ∴反射线PQ过点F(,0) 设Q(t2,t),则解得:t ∴Q(

11,

) 648

14

tt2

4

244

8 15

18

7

x2y2

例2. 已知椭圆方程为 1,若有光束自焦点

2516

A(3,0)射出,经二次

反射回到A点,设二次反射点为B,C,如图3.1.2所示,则△ABC的周长为 。

x2y2

解:∵椭圆方程为 1中,c225169

2516

∴A(3,0)为该椭圆的一个焦点

∴自A(3,0)射出的光线AB反射后,反射光线AC定过另一个焦点A (-3,0)

故△ABC的周长为ABBA'A'CCA4a4520

x2y2

例3.双曲线C:1,又AC,已知A(4,

88

22),F(4,0),若由F射至A的光线被双曲线C反射,反射光通过P(8,k),则k 。

解:∵入射线FA反射后得到的光线AP的

反向延长线定过双曲线的另一个焦点F'(4,0)

kk128

3.1.3

3.2 解决一类“距离之和”的最值问题

张奠宙教授说“在一般情况下,光线在传播过程中,总是选择最近的路线从一点传播到另一点。这虽然还只是一种停留“经验、感觉”层面上的结论,但却为我们研究一类“距离之和” 取值范围问题时指明了思考的方向,从而解决了一个从“想不到”到“想得到”的关键问题。如果再辅以严格的数学证明,这种“经验、感觉”依然是很有价值的、不可替代的。”我读了他的文章,深受启发,并用圆锥曲线的光学性质解决了我们经常见到而又觉得复杂的一类最值问题。

8

x2y2

例4.已知椭圆C:1,F1、F2为分别是其左右焦点,点Q(2,1),P

259

是C上的动点,求|MF1|+|MQ|的取值范围。

图3.2.1

(一)分析猜想:

(1)经计算,Q(2,2)点在椭圆内,由于椭圆是封闭图形,因此|MF1|+|MQ|应该有一个封闭的取值范围,既有最小值也有最大值。

(2)同样根据光线的“最近传播法则”,结合椭圆的光学性质,可得:从F1射出被椭圆反射后经过点Q的光线所经过的路程往往是最短的。这种情况又分为两类,一是被上半椭圆反射(如图3.2.1,光线从F

1P1Q),二是被下半椭圆反射(如图3.2.2,光线从F1P2F2Q),究竟哪种情况距离之和更小呢?显然,根据椭圆定义,图3.2.1中的|P1F1|+|P1Q|

|+|P2Q|>2a,可见图3.2.1所示的情况距离之和更小。

但是,最大值又是多少呢?图3.2.2所示的光线又有什么特点呢? 将图3.2.1.和图3.2.2中的光线反射路线合并图3.2.3,由于|P2Q| +|P2F1|+|P1Q|+|P1F1|是定值4a(a为椭圆长半轴长),而|P1Q|+|P1F1|由前面知最小,由此猜测|P2Q| +|P2F1|可能就是最大值。

(二)证明|P1F1|+|P1Q|是最小值。 如图3.2.2,连接Q F2,延长交椭圆于P2,在椭圆上另取一点P2,由椭圆定义知:|P2Q|-|QF2| +|PF1| = |P2F1| +|P2F2|(*),因为|P2F2|≥

|P2Q|-|QF2|,代入(*)式得|P2Q|-|QF2| +|P2F1|≥|P2F1| +|P2Q|-|QF2|所以,|P2Q| +|P2F1|≥|P2F1| +|P2Q|。猜想得证。

(三)计算:

综上所述,只需求出|F2Q|可得最小值为2a|F2Q|10 9

最大值为2a|F2Q|109y2

例5.已知双曲线C:x1, F1、、F2为分别是其左右焦点,点Q(4,),

23

2

M是C上的动点,求|MF2|+|MQ|的取值范围。

分析猜想:经计算,Q点在双曲线右支开口内部。由于双曲线是不封闭曲线,显然|MF2|+|MQ|可以无限大,故要求|MF2|+|MQ|的取值范围,关键是求出|MF2|+|MQ|的最小值。根据光线的“最近传播”特点,我们猜想:从F1射出经双曲线反射后经过点Q的光线所经过的路程往往是最短的,再结合双曲线的光学性质(从一个焦点射出的光线经椭圆周反射,反射光线的反向延长线经过另一个焦点),可作出从F1射出被双曲线反射后经过点Q的光线:连接F1Q,与双曲线的交点即为使得|MF2|+|MQ|最小的点,设为P点,光线从F2PQ。(见图2)

(二)证明:如图2:按猜想作出点P,由于所求点P显然不在双曲线的左支上(此时显然距离之和不会最小),故在右支上另取一点P,由双曲线定义知:|PF1|-|PF2| = |PF1| -|PF2|,即|PF1|+|PF2| = |PF1| +|PF2|,因为|PF1|+|PQ|≤|PQ| +|PF1|,两边同加|PF2|得:所以|PF1|+|PQ| +|PF2|≤|PQ| +|PF1|+ |PF2|=|PQ| +|PF1|+|PF2|,故|PQ|+|PF2|≤|PQ|+|PF2|,猜想得证。 (三)计算:由题意知 9∵F1(2,0),Q(4,)

2

∴|PQ||PF2||FQ1||F1P||PF2|

=|FQ1|(|F1P||PF2|) =|FQ1|2A =

11

2

例6.已知抛物线C:y24x, F

|MF|+|MQ|的取值范围。。

分析:由于抛物线不是封闭曲线,显然没有最大值,因此关键是求最小值。根据抛物线光学性质(从焦点射出的光线经抛物线反射,反射光线与对称轴平行,反之也成立),结合光线的“最近传播”特点,我们猜想:过Q与对称轴平行的直线与抛物线的交点可能就是使距离之和最小的点,设为P点(见图3.2.6)。可由抛物线的定义证明猜想是正确的。且|PF|+|PQ|≥3

3.3. 圆锥曲线光学性质在解决与“切线”相关问题时起简捷作用。

10

光线反射总是满足反射定律(入射角等于反射角),光线被曲线反射也不例外,此时的法线就是过反射点的曲线的切线的垂线。可见,曲线的切线和与曲线有关的反射问题有着密切联系。

以椭圆为例:如图3.3.1,l是过椭圆周上一点P的椭圆的切线,m是P点处的法线,光线从F1(F2)射出被椭圆反射经过F2(F1),满足∠1=∠2,且∠3=∠4。

x2y2

例7.已知l是过椭圆C:1上一动点P的椭圆C的动切线,过

1612

C的左焦点F1作l的垂线,求垂足Q的轨迹方程。

分析:如图3.3.2,本题如果忽视了椭圆的光学性质将很难着手,或许借助椭圆参数方程可以求解,但运算相当繁琐。由于l是椭圆的切线,切点为P,联想到椭圆光学性质及反射定律,可知:l是∠F1PF2的外角平分线, F1关于直线l的对称点F2在F2P的延长线上。这样,由于| P F1| =|PF2|,故

|F1F2|=|P F 1|+|PF2|=2a=8,而Q、O分别是F1F1、F2F2的中点,所以|QO|=4。从而Q点轨迹是以O为圆心、以4为半径的圆。即点Q的方程为x2y216

3.4在生产生活中的作用 例8.某种碟形太阳能热水 器的外形示意图如图3.4.1,其中F为加热点;碟形反射壁是抛物线绕对称轴旋转而成的曲面;抛物线以cm为单位的设计尺寸如 图3.4.2.为了达到最佳加热效果,F应距碟底多少?

解 :以碟形内壁底为原点,抛物线的对称轴为x轴,开口方向为x

图3.4.1

图3.4.2 11

轴的正向,建立坐标系如图3.4.2,则内壁抛物线方程为y2=2px.据所示尺寸,抛物线过坐标为(40,85)的点,所以 852=2p40=80p,p90.3. 加热点F应置于抛物线的焦点.焦点坐标为(p,0)(45.2,0).所以F应距

2

碟底约45.2cm

圆锥曲线的光学性质是奇妙的,奇妙的背后蕴含着奇妙的数学关系。我们只有善于观察,勤于钻研,及时总结,才能闪现更多的灵感,才能在奥妙的数学世界畅游。

12

范文十:圆锥曲线题型的解题技巧总结

关于圆锥曲线问题的研究

一、圆锥曲线的两个定义:

1.第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F1,F2的距离的和等于常数2a,且此常数2a一定要大于迹是线段F1F2,当常数小于

F1F2

F1F2

,当常数等于

F1F2

时,轨

时,无轨迹;双曲线中,与两定点F1,F2的

距离的差的绝对值等于常数2a,且此常数2a一定要小于|F1F2|,定义中的“绝对值”与2a<|F1F2|不可忽视。若2a=|F1F2|,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线,若2a﹥|F1F2|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

如 (1)已知定点F1(3,0),F2(3,0),在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 A.D.

PF1

2

PF1PF24

B.

PF1PF26

C.

PF1PF210

PF2

2

12

(答:C);

8

(2)

表示的曲线是_____(答:双曲线的左支)

2.第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、

点线距为分母”,其商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用第二定义对它们进行相互转化。 如已知点

Q(2

2,0)

及抛物线

y

x

2

4

上一动点P(x,y),则y+|PQ|的最小值是_____

(答:2)

二、圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):

x

2

2(1)椭圆:焦点在x轴上时a

yb

22

1

(ab0)

x

2

xacosybsin

(参数方

2

y

22

程,其中为参数),焦点在

y

轴上时a

2

b=1(ab0)。方程AxByC

2

表示椭圆的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B,C同号,A≠B)。

x

2

如(1)已知方程

(3,

12)(

12,2)

3k

y

2

2k

1

表示椭圆,则k的取值范围为____(答:

);

2

2

2y6,则xy

(2)若x,yR,且3x___

(答:2)

22

的最大值是____,xy的最小值是

x

2

2

(2)双曲线:焦点在x轴上:a

yb

22

y

22

=1,焦点在

y

轴上:a

xb

22

=1

(a0,b0)。方程AxByC且A,B异号)。

5

22

表示双曲线的充要条件是什么?(ABC≠0,

x

2

如(1)双曲线的离心率等于

x

2

2

2

,且与椭圆

9

y

2

4

1

有公共焦点,则该双曲线

的方程_______(答:4

y1

);

2的双曲线

(2)设中心在坐标原点O,焦点F1、F2在坐标轴上,离心率e

2C过点P(4,),则C的方程为_______(答:x

y6

2

y2px(p0)

2

(3)抛物线:开口向右时口向上时

x2py(p0)

2

y2px(p0)

2

2

,开口向左时,开

,开口向下时

x2py(p0)

三、圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断): 1.椭圆:由x,y

2

2

分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。

y

2

x

2

如已知方程

m1

2m

32

1

表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是__

(答:

(,1)(1,)

2.双曲线:由x,y

2

2

项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;

3.抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。

特别提醒:(1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点F1,F2的位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数a,b,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向; (2)在椭圆中,

a最大,abc,在双曲线中,c最大,cab。

2

2

2

2

2

2

四、圆锥曲线的几何性质:

x

22

1.椭圆(以a

yb

22

1

(ab0)为例):①范围:axa,byb;②

焦点:两个焦点(c,0);③对称性:两条对称轴x0,y0,一个对称中心(0,0),四个顶点(a,0),(0,b),其中长轴长为2a,短轴长为2b;④准线:两条准线

x

a

2

c; ⑤离心率:

e

ca

,椭圆0e1,e越小,椭圆越圆;e越大,

椭圆越扁。

x

2

如(1)若椭圆

5

y

2

m

1

的离心率

e

5

25

,则m的值是__(答:3或3);

(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为__(答:22)

x2

y2b2

1

(2)双曲线(以

a2

(a0,b0)为例):①范围:xa或xa,yR;

②焦点:两个焦点(c,0);③对称性:两条对称轴x0,y0,一个对称中心(0,0),两个顶点(a,0),其中实轴长为2a,虚轴长为2b,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为

x2y2k,k0

;④准线:

两条准线

x

a

2

c; ⑤离心率:

e

ca

,双曲线e1,等轴双曲线

ey

bax

e越小,开口越小,e越大,开口越大;⑥两条渐近线:

如 (1)双曲线的渐近线方程是3x2y0,则该双曲线的离心率等于______

(答:

2

或3);

1

2

2

(2)双曲线axby

1a:b=

x

22

(答:4或4);

(3)设双曲线a

yb

22

1

(a>0,b>0)中,离心率e∈[2,2],则两条渐近线夹

[



3,2

角θ的取值范围是________(答:(3)抛物线(以

(p,0)

]

);

y2px(p0)

2

为例):①范围:x0,yR;②焦点:一个

焦点2

,其中p的几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称

x

p2

轴y0,没有对称中心,只有一个顶点(0,0);④准线:一条准线

e

ca

; ⑤

离心率:

,抛物线e1。

y4ax

2

如设

a0,aR

,则抛物线

x

22

的焦点坐标为________(答:

(0,

116a

)

);

5、点

P(x0,y0)

和椭圆a

yb

22

1

P(x0,y0)

(ab0)的关系:(1)点在椭圆

x0

2

2

外a

y0b

2

2

1

x0

2

;(2)点

P(x0,y0)

2

在椭圆上a

y0b

2

2

=1;(3)点

P(x0,y0)

x0

2

2

椭圆内a

y0b

2

2

1

6.直线与圆锥曲线的位置关系:

(1)相交:0直线与椭圆相交; 0直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有0,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故0是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件;

0

直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有0,当直线与抛

物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。

如(1)若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点,则k的取

值范围是_______(答:(-3,-1));

x

2

(2)直线y―kx―1=0与椭圆5

y

2

m

1

恒有公共点,则m的取值范围是

_______(答:[1,5)∪(5,+∞));

x

2

(3)过双曲线1

y

2

2

1

的右焦点直线交双曲线于A、B两点,若│AB︱=4,

则这样的直线有_____条(答:3);

(2)相切:0直线与椭圆相切;0直线与双曲线相切;0直线与抛物线相切;

(3)相离:0直线与椭圆相离;0直线与双曲线相离;0直线与抛物线相离。 特别提醒:(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点;

x

22

(2)过双曲线a

yb

22

=1外一点

P(x0,y0)

的直线与双曲线只有一个公共点的

情况如下:①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P为原点时不存在这样的直线;(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。

2

如(1)过点(2,4)作直线与抛物线y8x只有一个公共点,这样的直线有______

x

2

(答:2); (2)过点(0,2)与双曲线

9

y

2

16

1

有且仅有一个公共点的直线的斜

4,33)率的取值范围为______

(答:;

x

2

AB

y

2

(3)过双曲线

2

1

的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点,若

4,

则满足条件的直线l有____条(答:3); (4)对于抛物线C:内部,若点

M(x0,y0)

y

2

4x

,我们称满足

y04x0

2

的点

M(x0,y0)

在抛物线的

在抛物线的内部,则直线l:y0y

2(xx0)

与抛物线C的

位置关系是_______(答:相离); (5)过抛物线

y4x

2

的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与

11q

FQ的长分别是、,则p

x

2

pq

_______(答:1);

(6)设双曲线16

y

2

9

1

的右焦点为F,右准线为l,设某直线m交其左支、

右支和右准线分别于P,Q,R,则PFR和QFR的大小关系为___________(填大于、小于或等于) (答:等于);

(7)求椭圆7x

2

4y

2

28

上的点到直线3x2y160的最短距离

(答:13);

(8)直线

B

yax1与双曲线3xy1交于A

22

、B两点。①当a为何值时,A、

分别在双曲线的两支上?②当a为何值时,以AB为直径的圆过坐标原点?

(答:①;②a1);

7、焦半径(圆锥曲线上的点P到焦点F的距离)的计算方法:利用圆锥曲线的第二定义,转化到相应准线的距离,即焦半径red,其中d表示P到与F所对应的准线的距离。

x

2

如(1)已知椭圆25

y

2

16

1

上一点P到椭圆左焦点的距离为3,则点P到右准

35

线的距离为____(答:3); (2)已知抛物线方程为

y8x

2

,若抛物线上一点到y轴的距离等于5,则它到

抛物线的焦点的距离等于____;

(3)若该抛物线上的点M到焦点的距离是4,则点M的坐标为_____(答:

7,(2,4));

x

2

(4)点P在椭圆25

y

2

9

1

上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,

25

则点P的横坐标为_______(答:12); (5)抛物线

y

y2x

2

上的两点A、B到焦点的距离和是5,则线段AB的中点到

轴的距离为______(答:2);

x

2

(6)椭圆

4

y

2

3

1

内有一点P(1,1),F为右焦点,在椭圆上有一点M,使

(263

,1)

MP2MF

之值最小,则点M的坐标为_______(答:);

8、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点P(x0,y0)到两焦

x

22

F1,F2

的距离分别为

arccos(

2b

2

r1,r2

,焦点

F1PF2

的面积为S,则在椭圆a

yb

22

1

中,

①=

arccos

bca

22

2

r1r2

1)

,且当r1r2即P为短轴端点时,最大为

2

max

;②

Sbtan

2

c|y0|

,当|y0|b即P为短轴端点时,Smax的最

x

22

大值为bc;对于双曲线a

S

12

r1r2sinbcot

2

yb

22

2

2b

arccos11rr12的焦点三角形有:①;②

2

。 如 (1)短轴长为5,离心率

e

23

椭圆的两焦点为F1、F2,过F1作直线交椭圆于A、B两点,则ABF2的周长为________(答:6); (2)设P是等轴双曲线

xy

2

2

a(a0)

2

右支上一点,F1、F2是左右焦点,若

PF2F1F20,|PF1|=6,则该双曲线的方程为 (答:x2y24);

x

2

(3)椭圆9

y

2

4

1

→ ·PF1→

的焦点为F1、F2,点P为椭圆上的动点,当PF2

(

55);

时,点P的横坐标的取值范围是

(答:

6

(4)双曲线的虚轴长为4,离心率e=2,F1、F2是它的左右焦点,若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点,且=__________

(答:;

(5)已知双曲线的离心率为2,F1、F2是左右焦点,P为双曲线上一点,且

AB

AF2

BF2

等差中项,则

AB

x

F1PF260

2

SPF1F2123

.求该双曲线的标准方程(答:4

y

2

12

1

);

9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质:(1)以过焦点的弦为直径的

圆和准线相切;(2)设AB为焦点弦, M为准线与x轴的交点,则∠AMF=∠BMF;(3)设AB为焦点弦,A、B在准线上的射影分别为A1,B1,若P为A1B1的中点,则PA⊥PB;(4)若AO的延长线交准线于C,则BC平行于x

轴,反之,若过B点平行于x轴的直线交准线于C点,则A,O,C三点共线。 10、弦长公式:若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点A、B,且x1,x2分别为A、B的横坐标,则

AB

1k

2

AB

1x2

,若y1,y2分别为A、B的纵坐标,则

AB

y1y2

,若弦AB所在直线方程设为xkyb,则

y1y2

。特别地,焦点弦(过焦点的弦):焦点弦的弦长的计算,一般

不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。

如(1)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,那么|AB|等于_______(答:8); (2)过抛物线

y

2

2x

焦点的直线交抛物线于A、B两点,已知|AB|=10,O为

坐标原点,则ΔABC重心的横坐标为_______(答:3);

11、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”

x

22

求解。在椭圆a

bx0ay0

222

ybx

22

22

1

中,以

1

P(x0,y0)

为中点的弦所在直线的斜率k=-

;在双曲线a

yb

22

中,以

P(x0,y0)

为中点的弦所在直线的斜率

bx0

k=

ay0

2

;在抛物线

y2px(p0)

2

中,以

P(x0,y0)

为中点的弦所在直线的斜率

p

k=y0。

x

2

如(1)如果椭圆36

y

2

9

1

弦被点A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方

程是 (答:x2y80);

x

22

(2)已知直线y=-x+1与椭圆a

yb

22

1(ab0)

相交于A、B两点,且线段

AB的中点在直线L:x-2y=0上,则此椭圆的离心率为_______

(答:2);

x

2

(3)试确定m的取值范围,使得椭圆

1313y4

xm对称(答:

);

4

y

2

3

1

上有不同的两点关于直线

特别提醒:因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验0! 12.你了解下列结论吗?

x

22

(1)双曲线

y

a

yb

22

1

x

22

的渐近线方程为a

yb

22

0

ba

(2)以

xa

22

x

x

22

为渐近线(即与双曲线

a

yb

22

1

共渐近线)的双曲线方程为

yb

22

(

为参数,≠0)。

x

2

如与双曲线

9

y

2

16

2

1

有共同的渐近线,且过点(3,23)的双曲线方程为

1

4x

_______(答:9

y

2

4

mxny1

2

2

(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为

2b

2

(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为a,焦准距(焦

b

2

点到相应准线的距离)为c,抛物线的通径为2p,焦准距为p; (5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦;

2

(6)若抛物线y2px(p0)的焦点弦为AB,A(x1,y1),B(x2,y2),则①

|AB|x1x2p

;②

x1x2

p

2

4

,y1y2p

2

2

顶点O的两条互相垂直的弦,则

(7)若OA、OB是过抛物线直线AB恒经过定点(2p,0)

y2px(p0)

13.动点轨迹方程:

(1)求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围; (2)求轨迹方程的常用方法:

①直接法:直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y)0;

如已知动点P到定点F(1,0)和直线x3的距离之和等于4,求P的轨迹方程.(答:

y12(x4)(3x4)

2

y4x(0x3)

2

);

②待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数。

如线段AB过x轴正半轴上一点M(m,0)(m0),端点A、B到x轴距离之积为2m,以x轴为对称轴,过A、O、B三点作抛物线,则此抛物线方程为

(答:

y2x

2

);

③定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接

写出动点的轨迹方程; 如(1)由动点P向圆

xy1

2

2

作两条切线PA、PB,切点分别为A、B,∠APB=600,

(答:

xy4

2

2

则动点P的轨迹方程为 );

(2)点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x50的距离小于1,则点M的轨迹

方程是_______ (答:

y16x); xy

2

2

2

(3) 一动圆与两圆⊙M:圆圆心的轨迹为

1和⊙N:xy8x120

22

都外切,则动

(答:双曲线的一支);

④代入转移法:动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)的变化而变化,并且

Q(x0,y0)

又在某已知曲线上,则可先用x,y的代数式表示x0,y0,再将x0,y0代入

已知曲线得要求的轨迹方程; 如动点P是抛物线

y2x1

2

上任一点,定点为A(0,1)

y6x

2

,点M分PA所成的比为



2,则M的轨迹方程为__________(答:

13

);

⑤参数法:当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将x,y均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程)。

如(1)AB是圆O的直径,且|AB|=2a,M为圆上一动点,作MN⊥AB,垂足为N,在

|MN|OM上取点P,使|OP|

,求点P的轨迹。(答:

y1)

xya|y|

22

);

(2)若点

2

P(x1,y1)

在圆

xy112

22

上运动,则点Q(x1y1,x1

的轨迹方程是____

(答:

y2x1(|x|)

);

2

(3)过抛物线x4y的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点,则弦AB的中

2

点M的轨迹方程是________(答:

x2y2

);

注意:①如果问题中涉及到平面向量知识,那么应从已知向量的特点出发,考

虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化,还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。

x

22

如已知椭圆a

yb

22

1(ab0)

的左、右焦点分别是F1

(-c,0)、F2(c,0),Q是椭圆外的动点,满足|F1Q|2a.点P是线段F1Q与该椭圆的交点,点T在线段F2Q上,并且满足PTTF20,|TF2|0.(1)设

|F1P|a

cax

x为点P的横坐标,证明

;(2)求点T的轨迹C的方程;(3)试

2

问:在点T的轨迹C上,是否存在点M,使△F1MF2的面积S=b.若存在,求

∠F1MF2

b

的正切值;若不存在,请说明理由. (答:(1)略;(2)xya

2

222

(3)当c

a

b

2

时不存在;当c

a

时存在,此时∠F1MF2=2)

②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,寻求轨迹或轨迹方程

时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.

③在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.

④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”,那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.

14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容: (1) 给出直线的方向向量

u1,k

um,n

(2)给出OAOB与AB相交,等于已知OAOB过AB的中点;

(3)给出PMPN0,等于已知P

是MN的中点;

(4)给出APAQBPBQ,等于已知P,Q与AB的中点三点共线; (5) 给出以下情形之一:①AB//AC;②存在实数实数



,,且1,使OCOAOB



,使ABAC

;③若存在

,等于已知A,B,C三点共线.

(6) 给出

APPB

OP

OAOB1

,等于已知P是AB的定比分点,为定比,即

(7) 给出MAMB0,等于已知MAMB,即AMB是直角,给出

MAMBm0AMB是锐角,

,等于已知AMB是钝角, 给出MAMBm0,等于已知

MP(8

)给出

,等于已知MP是AMB的平分线/

(9)在平行四边形ABCD中,给出(ABAD)(ABAD)0,等于已知ABCD是菱形;

(10) 在平行四边形ABCD中,给出矩形; (11)在ABC

中,给出OA

2

2



|ABAD||ABAD|

,等于已知ABCD是

OB

OC,等于已知O是ABC的外心(三角

2

形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点);

(12) 在ABC中,给出OAOBOC0,等于已知O是ABC的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点);

(13)在ABC中,给出OAOBOBOCOCOA,等于已知O是ABC的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点);



ABAC)(

(R)|AB||AC|ABCOPOA(14)在中,给出等于已知AP通过

ABC

的内心;

(15)在ABC中,给出aOAbOBcOC0,等于已知O是ABC的内心(三角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点); (16) 中线;

1ADABAC

2在ABC中,给出



,等于已知AD是ABC中BC边的