圆锥曲线题型总结

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【优秀范文】圆锥曲线题型总结

范文一:典型圆锥曲线题型总结

典型圆锥曲线题型

与圆锥曲线有关的几种典型题,如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题等,在圆锥曲线的综合应用中经常见到,为了让同学们对这方面的知识有一个比较系统的了解,本文系统阐述一下“与圆锥曲线有关的几种典型题”.

一、重、难、疑点分析

1.重点:圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题.

2.难点:双圆锥曲线的相交问题.(应当提醒注意的是:除了要用一元二次方程的判别式,还要结合图形分析.)

3.疑点:与圆锥曲线有关的证明问题.(解决办法:因为这类问题涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法,以及定点、定值问题的判断方法,所以比较灵活,只能通过一些例题予以示范.)

二、题型展示

1.圆锥曲线的弦长求法

设圆锥曲线C∶f(x,y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则弦长|AB|为:

(2)若弦AB过圆锥曲线的焦点F,则可用焦半径求弦长,|AB|=|AF|+|BF|.

例1 过抛物线y12x的焦点作倾斜角为的直线l与抛物线交于A、B两点,旦4

|AB|=8,求倾斜角.

分析一:由弦长公式易解.解答为:

∵ 抛物线方程为x2=-4y, ∴焦点为(0,-1).

设直线l的方程为y-(-1)=k(x-0),即y=kx-1.

将此式代入x2=-4y中得:x2+4kx-4=0.∴x1+x2=-4,x1+x2=-4k.

由|AB|=8得:8k

又有tan1得:24k2414 ∴k1 或

43. 4

pp,BFy2 22分析二:利用焦半径关系.∵AFy1

∴|AB|=-(y1+y2)+p=-[(kx1-1)+(kx2-1)]+p=-k(x1+x2)+2+p.由上述解法易求得结果,可由同学们自己试试完成.

2.与圆锥曲线有关的最值(极值)的问题

在解析几何中求最值,关键是建立所求量关于自变量的函数关系,再利用代数方法求出相应的最值.注意点是要考虑曲线上点坐标(x,y)的取值范围.

22例2已知x+4(y-1)2=4,求:(1)x+y2的最大值与最小值;(2)x+y的最大值与最小值.

22解一:将x+4(y-1)2=4代入得:x+y2=4-4(y-1)2+y2=-3y2

+8y

由点(x,y)满足x+4(y-1)2=4知:4(y-1)2≤4 即|y-1|≤1.∴0≤y≤2.

2

当y=0时,(x+y2)min=0. 2

2解二:分析:显然采用(1)中方法行不通.如果令u=x+y,则将此代入x+4(y-1)2=4

中得关于y的一元二次方程,借助于判别式可求得最值.

令x+y=u, 则有x=u-y,代入x+4(y-1)2=4得:5y2-(2u+8)y+u=0.

又∵0≤y≤2,(由(1)可知) ∴[-(2u+8)]2-4×5×u≥0. ∴1u1 222

当u1时,y10,2; 当u15时,y10,2 55

∴xymax1;xymin1

3.与圆锥曲线有关的证明问题

它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法,以及定点、定值问题的判断方法.

例3.在抛物线x2=4y上有两点A(x1,y1)和B(x2,y2)且满足|AB|=y1+y2+2,求证:

(1)A、B和这抛物线的焦点三点共线;(2)11为定值. AFBF

证明:(1)∵抛物线的焦点为F(0,1),准线方程为y=-1.

∴ A、B到准线的距离分别d1=y1+1,d2=y2+1(如图2-46所示).

由抛物线的定义:|AF|=d1=y1+1,|BF|=d2=y2+1.

∴|AF|+|BF|=y1+y2+2=|AB| 即A、B、F三点共线.

(2)如图2-46,设∠AFK=θ.

∵|AF|=|AA1|=|AK|+2=|AF|sinθ+2 ∴AF

又|BF|=|BB1|=2-|BF|sinθ ∴BF

2 1sin2 1sin

小结:与圆锥曲线有关的证明问题解决的关键是要灵活运用圆锥曲线的定义和几何性质.

4.圆锥曲线与圆锥曲线的相交问题

直线与圆锥曲线相交问题,一般可用两个方程联立后,用△≥0来处理.但用△≥0来判断双圆锥曲线相交问题是不可靠的.解决这类问题:方法1,由“△≥0”与直观图形相结合;方法2,由“△≥0”与根与系数关系相结合;方法3,转换参数法(以后再讲). 例4 已知曲线C12ya:x22 1及C2:yx21有公共点,求实数a的取值范围.

可得:y2=2(1-a)y+a-4=0. 2

5∵ △=4(1-a)2-4(a2-4)≥0, ∴a. 2

如图2-47,可知:

椭圆中心0,a,半轴长a

交时,a12.

综上所述,当12a2,抛物线顶点为0,1,所以当圆锥曲线在下方相切或相5时, 曲线C1与C2相交. 2

5.利用共线向量解决圆锥曲线中的参数范围问题

x2y2

例5.已知椭圆221(ab0)的长、短轴端点分别为A、B,从此椭圆上一点Mab

向x轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点F1,向量与是共线向量。(1)求椭圆的离心率e;(2)设Q是椭圆上任意一点, F1、F2分别是左、右焦点,求∠F1QF2 的取值范围;

解:(1)∵F1(c,0),则xMc,yMb2b2,∴kOM。 aac

∵kABbb2b2,OM与AB是共线向量,∴,∴b=c,故e。 aaca2

(2)设FQr1,F2Qr2,F1QF2,r1r22a,c, 1122

r12r224c2(r1r2)22r1r24c2a2a2

cos110 r1r222r1r22r1r2r1r2()2

当且仅当r1r2时,cosθ=0,∴θ[0,

2]。

由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用,因此,解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类问题的关键是:正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系,把有关向量的问题转化为解析几何问题.

6. 利用向量的数量积解决圆锥曲线中的参数范围问题

x2y2

1的焦点为F1,F2,点P为其上的动点,当∠F1P F2为钝角时,例6.椭圆94

点P横坐标的取值范围是___。 x2y2

1的知焦点为F1(-5,0)F2(,0). 解:由椭圆94

设椭圆上的点可设为P(3cos,2sin).F1PF2为钝角

∴

PF(3cos,2sin)3cos,2sin) 1PF2

=9cos-5+4sin=5 cos-1

解得:553535 ∴点P横坐标的取值范围是(). cos,5555

解决与角有关的一类问题,总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值,通过坐标运算列出不等式,简洁明了.

典型圆锥曲线题型

与圆锥曲线有关的几种典型题,如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题等,在圆锥曲线的综合应用中经常见到,为了让同学们对这方面的知识有一个比较系统的了解,本文系统阐述一下“与圆锥曲线有关的几种典型题”.

一、重、难、疑点分析

1.重点:圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题.

2.难点:双圆锥曲线的相交问题.(应当提醒注意的是:除了要用一元二次方程的判别式,还要结合图形分析.)

3.疑点:与圆锥曲线有关的证明问题.(解决办法:因为这类问题涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法,以及定点、定值问题的判断方法,所以比较灵活,只能通过一些例题予以示范.)

二、题型展示

1.圆锥曲线的弦长求法

设圆锥曲线C∶f(x,y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则弦长|AB|为:

(2)若弦AB过圆锥曲线的焦点F,则可用焦半径求弦长,|AB|=|AF|+|BF|.

例1 过抛物线y12x的焦点作倾斜角为的直线l与抛物线交于A、B两点,旦4

|AB|=8,求倾斜角.

分析一:由弦长公式易解.解答为:

∵ 抛物线方程为x2=-4y, ∴焦点为(0,-1).

设直线l的方程为y-(-1)=k(x-0),即y=kx-1.

将此式代入x2=-4y中得:x2+4kx-4=0.∴x1+x2=-4,x1+x2=-4k.

由|AB|=8得:8k

又有tan1得:24k2414 ∴k1 或

43. 4

pp,BFy2 22分析二:利用焦半径关系.∵AFy1

∴|AB|=-(y1+y2)+p=-[(kx1-1)+(kx2-1)]+p=-k(x1+x2)+2+p.由上述解法易求得结果,可由同学们自己试试完成.

2.与圆锥曲线有关的最值(极值)的问题

在解析几何中求最值,关键是建立所求量关于自变量的函数关系,再利用代数方法求出相应的最值.注意点是要考虑曲线上点坐标(x,y)的取值范围.

22例2已知x+4(y-1)2=4,求:(1)x+y2的最大值与最小值;(2)x+y的最大值与最小值.

22解一:将x+4(y-1)2=4代入得:x+y2=4-4(y-1)2+y2=-3y2

+8y

由点(x,y)满足x+4(y-1)2=4知:4(y-1)2≤4 即|y-1|≤1.∴0≤y≤2.

2

当y=0时,(x+y2)min=0. 2

2解二:分析:显然采用(1)中方法行不通.如果令u=x+y,则将此代入x+4(y-1)2=4

中得关于y的一元二次方程,借助于判别式可求得最值.

令x+y=u, 则有x=u-y,代入x+4(y-1)2=4得:5y2-(2u+8)y+u=0.

又∵0≤y≤2,(由(1)可知) ∴[-(2u+8)]2-4×5×u≥0. ∴1u1 222

当u1时,y10,2; 当u15时,y10,2 55

∴xymax1;xymin1

3.与圆锥曲线有关的证明问题

它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法,以及定点、定值问题的判断方法.

例3.在抛物线x2=4y上有两点A(x1,y1)和B(x2,y2)且满足|AB|=y1+y2+2,求证:

(1)A、B和这抛物线的焦点三点共线;(2)11为定值. AFBF

证明:(1)∵抛物线的焦点为F(0,1),准线方程为y=-1.

∴ A、B到准线的距离分别d1=y1+1,d2=y2+1(如图2-46所示).

由抛物线的定义:|AF|=d1=y1+1,|BF|=d2=y2+1.

∴|AF|+|BF|=y1+y2+2=|AB| 即A、B、F三点共线.

(2)如图2-46,设∠AFK=θ.

∵|AF|=|AA1|=|AK|+2=|AF|sinθ+2 ∴AF

又|BF|=|BB1|=2-|BF|sinθ ∴BF

2 1sin2 1sin

小结:与圆锥曲线有关的证明问题解决的关键是要灵活运用圆锥曲线的定义和几何性质.

4.圆锥曲线与圆锥曲线的相交问题

直线与圆锥曲线相交问题,一般可用两个方程联立后,用△≥0来处理.但用△≥0来判断双圆锥曲线相交问题是不可靠的.解决这类问题:方法1,由“△≥0”与直观图形相结合;方法2,由“△≥0”与根与系数关系相结合;方法3,转换参数法(以后再讲). 例4 已知曲线C12ya:x22 1及C2:yx21有公共点,求实数a的取值范围.

可得:y2=2(1-a)y+a-4=0. 2

5∵ △=4(1-a)2-4(a2-4)≥0, ∴a. 2

如图2-47,可知:

椭圆中心0,a,半轴长a

交时,a12.

综上所述,当12a2,抛物线顶点为0,1,所以当圆锥曲线在下方相切或相5时, 曲线C1与C2相交. 2

5.利用共线向量解决圆锥曲线中的参数范围问题

x2y2

例5.已知椭圆221(ab0)的长、短轴端点分别为A、B,从此椭圆上一点Mab

向x轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点F1,向量与是共线向量。(1)求椭圆的离心率e;(2)设Q是椭圆上任意一点, F1、F2分别是左、右焦点,求∠F1QF2 的取值范围;

解:(1)∵F1(c,0),则xMc,yMb2b2,∴kOM。 aac

∵kABbb2b2,OM与AB是共线向量,∴,∴b=c,故e。 aaca2

(2)设FQr1,F2Qr2,F1QF2,r1r22a,c, 1122

r12r224c2(r1r2)22r1r24c2a2a2

cos110 r1r222r1r22r1r2r1r2()2

当且仅当r1r2时,cosθ=0,∴θ[0,

2]。

由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用,因此,解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类问题的关键是:正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系,把有关向量的问题转化为解析几何问题.

6. 利用向量的数量积解决圆锥曲线中的参数范围问题

x2y2

1的焦点为F1,F2,点P为其上的动点,当∠F1P F2为钝角时,例6.椭圆94

点P横坐标的取值范围是___。 x2y2

1的知焦点为F1(-5,0)F2(,0). 解:由椭圆94

设椭圆上的点可设为P(3cos,2sin).F1PF2为钝角

∴

PF(3cos,2sin)3cos,2sin) 1PF2

=9cos-5+4sin=5 cos-1

解得:553535 ∴点P横坐标的取值范围是(). cos,5555

解决与角有关的一类问题,总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值,通过坐标运算列出不等式,简洁明了.

范文二:圆锥曲线题型总结

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高考圆锥曲线题型归类总结50

高考圆锥曲线的七种题型;题型一:定义的应用;1、圆锥曲线的定义:;

(1)椭圆;(2)椭圆;(3)椭圆;2、定义的应用;(1)寻找符合条件的等量关系;(2)等价转换,数形结合;3、定义的适用条件:;典型例题;例1、动圆M与圆C1:(x+1)+y=36内切,;例2、方程;题型二:圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程;1、椭圆:由2、双曲线:由,,分母的大小决

高考圆锥曲线的七种题型

题型一:定义的应用

1、圆锥曲线的定义:

(1)椭圆

(2)椭圆

(3)椭圆

2、定义的应用

(1)寻找符合条件的等量关系

(2)等价转换,数形结合

3、定义的适用条件:

典型例题

例1、动圆M与圆C1:(x+1)+y=36内切,与圆C2:(x-1)+y=4外切,求圆心M的轨迹方程。

例2、方程

题型二:圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):

1、椭圆:由2、双曲线:由,,分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。 项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上; 表示的曲线是 2222

3、抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 典型例题

x2y2

例1、已知方程??1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是 m?12?m x2y2

??1的曲线: 例2、k为何值时,方程9?k5?k

(1)是椭圆;

(2)是双曲线.

题型三:圆锥曲线焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题

1、椭圆焦点三角形面积S?btan2?

2 ;双曲线焦点三角形面积S?bcot2?

2

2、常利用第一定义和正弦、余弦定理求解

3、m?n,m?n,mn,m2?n2四者的关系在圆锥曲线中的应用;

典型例题

22xy例1、椭圆22?,求1(a?b?0)上一点P与两个焦点FFPF?1,2的张角∠F12?ab

证:△F1PF2的面积为btan2?。

2

例2、已知双曲线的离心率为2,F1、F2是左右焦点,P为双曲线上一点,且

.求该双曲线的标准方程

题型四:圆锥曲线中离心率,渐近线的求法

1、a,b,c三者知道任意两个或三个的相等关系式,可求离心率,渐进线的值; ,

2、a,b,c三者知道任意两个或三个的不等关系式,可求离心率,渐进线的最值或范围;

3、注重数形结合思想不等式解法

典型例题

x2y2

例1、已知F1、F2是双曲线2?2?1(a?0,b?0)的两焦点,以线段F1F2为边作正ab

三角形MF1F2,若边MF1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是( )

A. 4?2 B. ?1 C.

?1 D. ?1

2

x2y2

例2、双曲线2?2?1(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,ab

则双曲线离心率的取值范围为

A. (1,3)

B.?1,3? C.(3,+?) D.?3,???

x2y2

例3、椭圆G:2?2?1(a?b?0)的两焦点为F1(?c,0),F2(c,0),椭圆上存在 ab 点M使F1M?F2M?0. 求椭圆离心率e的取值范围;

??????????

x2y2

例4、已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60?的直线 ab

与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是

(A)(1,2] (B)(1,2) (C)[2,??) (D)(2,??)

题型五:点、直线与圆锥的位置关系判断

1、点与椭圆的位置关系

x2y2

点在椭圆内?2?2?1 ab

x2y2

点在椭圆上?2?2?1 ab

x2y2

点在椭圆外?2?2?1 ab

2、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题:

?>0?相交

?=0?相切 (需要注意二次项系数为0的情况)

?

3、弦长公式: AB??k2x1?x2??k2(x1?x2)??k2? a

AB??111? y?y??(y?y)??1212222kkka

4、圆锥曲线的中点弦问题:

1、伟达定理:

2、点差法:

(1)带点进圆锥曲线方程,做差化简

(2)得到中点坐标比值与直线斜率的等式关系

典型例题

例1、双曲线x2-4y2=4的弦AB被点M(3,-1)平分,求直线AB的方程.

例2、已知中心在原点,对称轴在坐标轴上的椭圆与直线L:x+y=1交于A,B两点,C是AB的中点,若|AB|=22,O为坐标原点,OC的斜率为2/2,求椭圆的方程。

题型六:动点轨迹方程:

1、求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围;

2、求轨迹方程的常用方法:

(1)直接法:直接利用条件建立之间的关系;

例1、如已知动点P到定点F(1,0)和直线

的距离之和等于4,求P的轨迹方程.

(2)待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数。

例2、如线段AB过x轴正半轴上一点M(m,0),端点A、B到x轴距离之积为2m,以x轴为对称轴,过A、O、B三点作抛物线,则此抛物线方程为

(3)定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程;

例3、由动点P向圆作两条切线PA、PB,切点分别为A、B,∠APB=60,则动点0P的轨迹方程为

例4、点M与点F(4,0)的距离比它到直线

例5、一动圆与两圆⊙M:

的轨迹为

(4)代入转移法:动点

在某已知曲线上,则可先用迹方程:

例6、如动点P是抛物线则M的轨迹方程为__________

(5)

参数法:当动点

虑将

例7、过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点,则弦AB的中点M的轨迹方坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考上任一点,定点为,点M分所成的比为2,依赖于另一动点

的代数式表示的变化而变化,并且,再将又和⊙N:都外切,则动圆圆心的距离小于1,则点M的轨迹方程是_______ 代入已知曲线得要求的轨均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程)。 程是

题型七:(直线与圆锥曲线常规解题方法)

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范文三:圆锥曲线题型归类总结

高考圆锥曲线的常见题型

题型一:定义的应用 1、圆锥曲线的定义:

(1)椭圆 (2)椭圆 (3)椭圆 2、定义的应用

(1)寻找符合条件的等量关系 (2)等价转换,数形结合 3、定义的适用条件: 典型例题

例1、动圆M与圆C1:(x+1)2+y2=36内切,与圆C2:(x-1)2+y2=4外切,求圆心M的轨迹方程。

例2、方程

题型二:圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断): 1、椭圆:由2、双曲线:由

,,

分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。 项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;

表示的曲线是

3、抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 典型例题

x2y2

例1、已知方程1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是

m12m

x2y2

1的曲线: 例2、k为何值时,方程

9k5k

(1)是椭圆; (2)是双曲线.

题型三:圆锥曲线焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题

1、椭圆焦点三角形面积Sb2tan

2

;双曲线焦点三角形面积Sb2cot

2

2、常利用第一定义和正弦、余弦定理求解

3、mn,mn,mn,m2n2四者的关系在圆锥曲线中的应用; 典型例题

22xy

例1、椭圆221(ab0)上一点P与两个焦点FF1,2的张角∠

ab

,求证:△F1PF2的面积为b2tanFPF12

2

例2、已知双曲线的离心率为2,F1、F2是左右焦点,P为双曲线上一点,且

题型四:圆锥曲线中离心率,渐近线的求法

1、a,b,c三者知道任意两个或三个的相等关系式,可求离心率,渐进线的值; 2、a,b,c三者知道任意两个或三个的不等关系式,可求离心率,渐进线的最值或范围;

3、注重数形结合思想不等式解法 典型例题

.求该双曲线的标准方程

x2y2

例1、已知F1、F2是双曲线221(a0,b0)的两焦点,以线段F1F2为

ab

边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是( )

A. 42 B. 31 C.

x2y2

例2、双曲线221(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,若P

ab

31

D. 1 2

为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为 A. (1,3)

x2y2

例3、椭圆G:221(ab0)的两焦点为F1(c,0),F2(c,0),椭圆上存在

ab

B.1,3

C.(3,+)

D.3,



点M使F1MF2M0. 求椭圆离心率e的取值范围;

x2y2

例4、已知双曲线221(a0,b0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60的直

ab

线

与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 (A)(1,2] (B)(1,2) (C)[2,) (D)(2,)

题型五:点、直线与圆锥的位置关系判断 1、点与椭圆的位置关系

x2y2

点在椭圆内221

abx2y2

点在椭圆上221

abx2y2

点在椭圆外221

ab

2、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题:

>0相交

=0相切 (需要注意二次项系数为0的情况) 

ABk2x1x2k2(x1x2)k2

a

AB

111

yy(yy)12122

k2k2ak

4、圆锥曲线的中点弦问题: 1、伟达定理: 2、点差法:

(1)带点进圆锥曲线方程,做差化简

(2)得到中点坐标比值与直线斜率的等式关系

典型例题

例1、双曲线x2-4y2=4的弦AB被点M(3,-1)平分,求直线AB的方程.

例2、已知中心在原点,对称轴在坐标轴上的椭圆与直线L:x+y=1交于A,B两点,C是AB的中点,若|AB|=22,O为坐标原点,OC的斜率为2/2,求椭圆的方程。

题型六:动点轨迹方程:

1、求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围; 2、求轨迹方程的常用方法: (1

)直接法:直接利用条件建立

之间的关系

例1、如已知动点P到定点F(1,0)和直线程.

的距离之和等于4,求P的轨迹方

(2)待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数。 例2、如线段AB过x轴正半轴上一点M(m,0)

,端点A、B到x轴距离

之积为2m,以x轴为对称轴,过A、O、B三点作抛物线,则此抛物线方程为

(3)定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程; 例3、由动点P向圆

作两条切线PA、PB,切点分别为A、B,∠APB=60,

则动点P的轨迹方程为

例4、点M与点F(4,0)的距离比它到直线方程是_______

例5、一动圆与两圆⊙M:

和⊙N:

都外切,则动

的距离小于1,则点M的轨迹

圆圆心的轨迹为

(4)

代入转移法:动点

依赖于另一动点

的代数式表示

的变化而变化,并且

,再将

代入

又在某已知曲线上,则可先用

已知曲线得要求的轨迹方程:

例6、如动点P是抛物线上任一点,定点为,点M分所成的

比为2,则M的轨迹方程为__________

(5)

参数法:当动点时,可考虑将通方程)。

例7、过抛物线

的焦点F作直线交抛物线于A、B两点,则弦AB的中点

坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用

均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普

M的轨迹方程是

题型七:(直线与圆锥曲线常规解题方法)

一、设直线与方程;(提醒:①设直线时分斜率存在与不存在;②设为y=kx+b与x=my+n的区别)

二、设交点坐标;(提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”) 三、联立方程组;

四、消元韦达定理;(提醒:抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单)

五、根据条件重转化;常有以下类型:

①“以弦AB为直径的圆过点0”(提醒:需讨论K是否存在)



OAOB K1K21 OAOB0  x1x2y1y20 ②“点在圆内、圆上、圆外问题”

“直角、锐角、钝角问题” “向量的数量积大于、等于、小于0问题”

x1x2y1y2>0;

③“等角、角平分、角互补问题” 斜率关系(K1K20或K1K2);

④“共线问题”



(如:AQQB 数的角度:坐标表示法;形的角度:距离转化法); (如:A、O、B三点共线直线OA与OB斜率相等); ⑤“点、线对称问题” 坐标与斜率关系; ⑥“弦长、面积问题”

转化为坐标与弦长公式问题(提醒:注意两个面积公式的合理选择); 六、化简与计算; 七、细节问题不忽略;

①判别式是否已经考虑;②抛物线问题中二次项系数是否会出现0. 基本解题思想:

1、“常规求值”问题:需要找等式,“求范围”问题需要找不等式; 2、“是否存在”问题:当作存在去求,若不存在则计算时自然会无解; 3、证明定值问题的方法:⑴常把变动的元素用参数表示出来,然后证明计算结果与参数无关;⑵也可先在特殊条件下求出定值,再给出一般的证明。 4、处理定点问题的方法:⑴常把方程中参数的同次项集在一起,并令各项的系数为零,求出定点;⑵也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明 5、求最值问题时:将对象表示为变量的函数,几何法、配方法(转化为二次函数的最值)、三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决;

6、转化思想:有些题思路易成,但难以实施。这就要优化方法,才能使计算具有可行性,关键是积累“转化”的经验;

7、思路问题:大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来,即可自然而然产生思路。 典型例题:

例1、已知点F0,1,直线l:y1,P为平面上的动点,过点P作直线l的垂

线,垂足为Q,且QPQFFPFQ.

(1)求动点P的轨迹C的方程;

(2)已知圆M过定点D0,2,圆心M在轨迹C上运动,且圆M与x轴交

于A、B两点,设DAl1,DBl2,求

例2、如图半圆,AB为半圆直径,O为半圆圆心,且OD⊥

l1l2

的最大值. l2l1

AB,Q为线段OD的中点,已知|AB|=4,曲线C过Q点,动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变.

(1)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程;

(2)过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N,且M在D、N之间,设

x2y2

例3、设F1、F2分别是椭圆C:221(ab0)的左右焦点。

ab

(1)设椭圆C

上点到两点F1、F2距离和等于4,写出椭圆C的方程和

DM

=λ,求λ的取值范围. DN

焦点坐标;

(2)设K是(1)中所得椭圆上的动点,求线段KF1的中点B的轨迹方程; (3)设点P是椭圆C上的任意一点,过原点的直线L与椭圆相交于M,N两点,

当直线PM ,PN 的斜率都存在,并记为kPM,kPN ,试探究kPM

KPN的

值是否与点P及直线L有关,并证明你的结论。

例4、已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1. (Ⅰ)求椭圆C的标准方程;

(Ⅱ)若直线l:ykxm与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.

例5、已知椭圆两焦点F1、F2在y

轴上,短轴长为

圆在第一

,P是椭

象限弧上一点,且PF1PF21,过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭圆 于A、B两点。 (1)求P点坐标;

(2)求证直线AB的斜率为定值;

典型例题:

例1、

由①、②解得,xa2. 不妨设Aa2,0,Ba2,0, ∴

l1

l2

∴l1l22l1ll222l

2l11l2

 ③ l1l2

l2l1 当a

0时,由③得,

当且仅当a 当a0时,由③得,

l1l2



2. l2l1

故当al1l2

的最大值为 l

2l1

例2、解:(1)以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴,O为原点,建立平面直角坐标系,

∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=222125>|AB|=4. ∴曲线C为以原点为中心,A、B为焦点的椭圆.

设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2,∴a=,c=2,b=1.

x2

∴曲线C的方程为+y2=1.

5

(2)设直线l的方程为y=kx+2,

x2

代入+y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0.

5

Δ=(20k)2-4×15(1+5k2)>0,得k2>.由图可知

20k

xx12215k由韦达定理得 xx151215k2

3

5

DMx1

=λ DNx2

将x1=λx2代入得

400k222

(1

)x2(15k2)2

x215

215k2

(1)2400k280

两式相除得 2115(15k)3(5)

k2

3151208016

k2,02,52,即4

1533kk533(25)k(1)216DM14,0,解得3

3DN3



x1DM,M在D、N中间,∴λ<1 x2DN

又∵当k不存在时,显然λ=综合得:1/3 ≤λ<1.

DM1

 (此时直线l与y轴重合) DN3

例3、解:(1

)由于点分

2

2

1b2

得2a=4, „2

x2y2

1椭圆C的方程为 43

,焦点坐标分别为(1,0),(1,0) „„4

(2)设KF1的中点为B(x, y)则点K(2x1,2y) „„„„„„„„„5分

x2y2

1把K的坐标代入椭圆

43

(2x1)2(2y)2

1中得

43

„„„„„7

12y2

1线段KF1的中点B的轨迹方程为 (x)2

4

„„„„„„„„„8

(3)过原点的直线L与椭圆相交的两点M,N关于坐标原点对称

设M(x0,y0)N(x0,y0),p(x,y),

x02y02x2y2

M,N,P在椭圆上,应满足椭圆方程,得221221 „„

abab

10分

b2yy0yy0y2y02

=2 „„„„„„„„„„„kPMKPN=2

2

axx0xx0xx0

13分

故:kPMKPN的值与点P的位置无关,同时与直线L无关, „„„„„„14分

x2y2

1. „„„„(5分) 例4、解:(Ⅰ)椭圆的标准方程为

43

(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),

ykxm,

联立x2y2得(34k2)x28mkx4(m23)0,

1.34

64m2k216(34k2)(m23)0,即34k2m20,则

8mk

, x1x22

34k

4(m23)

.x1x22

34k

3(m24k2)

又y1y2(kx1m)(kx2m)kx1x2mk(x1x2)m, 2

34k

2

2

0), 因为以AB为直径的圆过椭圆的右焦点D(2,

kADkBD1,即

y1y

21, x12x22

3(m24k2)4(m23)16mk

40, y1y2x1x22(x1x2)40,222

34k34k34k9m216mk4k20.

解得:m12k,m2

2k

,且均满足34k2m20, 7

0),与已知矛盾; 1、当m12k时,l的方程为yk(x2),直线过定点(2,

2、当m2

2k22

0. 时,l的方程为ykx,直线过定点,

777

2

0. „„„„(14分) 所以,直线l过定点,定点坐标为,7

y2x2

例5、解(1)1F1F2(0,,设P(x0,y0)(x00,y00)

42。

22则PF1(x0y0),PF2(x0,y0), PFPFx(2y1200)1

222

x0y04y02

1. x0 点P(x0,y0)在曲线上,则

2422

4y02

(2y0)

1,得y0P

的坐标为 从而2

(2)由(1)知PF1//x轴,直线PA、PB斜率互为相反数,设PB斜率为k(k0),

yk(x1)

则PB

的直线方程为:yk(x1)

由x2y2得

1

24

(2k2)x22kk)xk)240

设B(xB,y

B),则xB 1xx

同理可得xA,则AB

8k(x1)k(x1 yAyBk AB

2k2

yyB

 所以:AB

的斜率kABA

xAxB

例6、 解:(1)由2

得tan4

t

14tsin

|OF||FP|sin,得|OF||FP|,由cos2sin43,

.„„„„„„„„3

4t41tan([0,] ∴夹角的取值范围是



,)„„43

6分

(2)设P(x0,y0),则FP(x0c,y0),OF(c,0).



OFFP(x0c,y0)(c,0)(x0c)ct1)c2 1SOFP|OF||y0|y0

2c

x0

„„„8分

|OP|10分

∴当且仅当3c

OM

4,即c2时,|OP|取最小值26,此时,OP(23,2) c

3

(2,23)(0,1)(2,3) 33

或(2,23)(0,1)(2,1) „„„„12分 椭圆长轴

2a(22)2(30)2(22)2(30)28

a4,b212

或2a(22)2(10)2(22)2(10)21a

121

,b22

x2y2

1.或x2y21 „„„„14分 故所求椭圆方程为

1612912

2

范文四:圆锥曲线题型的总结

1、指明曲线类型,求曲线方程题目明确指出所求曲线的类型(直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线),可设出曲线方程的形式,依据已知条件列出等量关系,进行待定系数,求出曲线方程。 方法:待定系数法如,椭圆:8 双曲线: 6,7 抛物线: 9 二.有关第一定义和统一定义的应用 1.第一定义的应用:利用椭圆、双曲线的第一定义可解决有关曲线上一点与两焦点构成的三角形△PF1F2的有关问题。如,椭圆:2,4,5,6,7,10;双曲线:2,8

2.统一定义、焦半径的应用有关曲线上一点到焦点距离——焦半径和过焦点弦的问题,往往将焦半径转化为到相应准线距离去解决,可使问题迎刃而解。如,椭圆:2,9,12,13,25 双曲线:4,5,11,12,14,16,17 抛物线:4,5,8,10 三.直线与圆锥曲线的位置关系 1.常规方法:程序——①联立方程组→→②求出式★→→③利用韦达定理、判别式→→④寻求“目标”的实现注意:判别式的作用如,椭圆:14,15,16,17,18,19 双曲线:10,11,12 抛物线:5,6,7,8,11,12

2.设而不求:

解决有关弦的斜率)2 ,2 2 12 12 121yyxxxxyykAB????和中点? (的有关问题。如,椭圆:17,18 双曲线:10 抛物线:13 四.有关最值问题的解法 1.曲线的参数方程的应用(点参)利用圆、椭圆、抛物线的参数方程设曲线上一点的坐标——点参,可将最值问题转化为函数最值问题解决。如,椭圆:20,21,23 双曲线:13 抛物线:15,16 2.曲线的几何性质与平面几何知识的有机结合将圆锥曲线的第一定义、统一定义、几何性质与平面几何的知识(尤其是对称)有机的结合,可解决一些活、奇、巧的题目,从而培养学生的创造性思维。如,椭圆:9,10 双曲线:14 抛物线:10 五.轨迹问题的探求——见专题《轨迹问题的探求》六.对称问题的研究七.参数取值范围的求法

范文五:圆锥曲线知识题型总结

高二选修1圆锥曲线知识点及典型例题总结

1.圆锥曲线的定义:

椭圆中,与两个定点F1,F2的距离的和等于常数2a,且此常数2a一定要大于F1F2,当常数等于F1F2时,轨迹是线段F1F2,当常数小于F1F2时,无轨迹;

双曲线中,与两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数2a,且此常数2a一定要小于|F1F2|,定义中的“绝对值”与2a<|F1F2|不可忽视。若

x2y2y2x2

(2)双曲线:焦点在x22 =1,焦点在y22=

abab

1(a0,b0)。

x2y25

如(1)双曲线的离心率等于,且与椭圆1有公共焦点,则该双

942

曲线的方程_______

2a=|F1F2|,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线,若2a﹥|F1F2|,则

轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 (2)设中心在坐标原点O,焦点F1、F2在坐标轴上,离心率e2的

如(1)已知定点F1(3,0),F2(3,0),在满足下列条件的平面上动点P的轨

双曲线C过点P(4,),则C的方程为_______

迹中是椭圆的是 A.PF PF412

B.PF 1PF26(3)抛物线:开口向右时y22px(p0,) 开口向左时

22

C.PF D.PF1PF212 1PF210y22px(p0),

(2)

8表示的曲线是_____

开口向上时x2py(p0,) 开口向下时。) x22py(p0

3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断): (1)椭圆:由x,y

22

2

2

x2

如已知点Q(22,0)及抛物线y上一动点P(x,y),则y+|PQ|的最小

4

值是__ ___

2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):

分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。

2

x2y2

(1)椭圆:焦点在x轴上时221(ab0)

aby2x2

焦点在y轴上时22=1(ab0)。

ab

x2y2

如(1)已知方程1表示椭圆,则k的取值范围为____

3k2k

1

(2)双曲线:由x,y项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;

(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定焦点具体位置及开口方向。

特别提醒:(1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点F1,F2的位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数a,b,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向;(2)在椭圆中,a最大,abc,在双曲线中,c最大,cab。

2

2

2

2

2

2

4.圆锥曲线的几何性质:

xy1(ab0)为例):①范围:a2b2

axa,byb(c,0);③对称性:两条对称轴;②焦点:两个焦点

,四个顶点(a,0),(0,b),其中长轴长x0,y0,一个对称中心(0,0)

(1)椭圆(以

22

(2)双曲线ax2by2

1a:bx2y2

(3)设双曲线221(a>0,b>0)中,离心率e∈[2,2],则两

ab

条渐近线夹角θ的取值范围是________

ca2

为2a,短轴长为2b;④准线:两条准线x; ⑤离心率:e,椭

(3)抛物线(以y22px(p0)为例): ac

①范围:x0,yR; 圆0e1,e越小,椭圆越圆;e越大,椭圆越扁。

px2y2如(1)若椭圆,则m的值是_ 1的离心率e ②焦点:一个焦点(,0),其中p的几何意义是:焦点到准线的距离;

5m52

_ ③对称性:一条对称轴y0,没有对称中心,只有一个顶点(0,0);

pc

xe ④准线:一条准线; ⑤离心率:,抛物线e1。 (2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,

2a

则椭圆长轴的最小值为_ 2

如设a0,aR,则抛物线y4ax的焦点坐标为________

x2y2

1(a0,b0)为例)(2)双曲线(以: a2b2

①范围:xa或xa,yR;②焦点:两个焦点(c,0); ③对称性:两条对称轴x0,y0,一个对称中心(0,0), ④两个顶点(a,0),实轴长为2a,虚轴长为2b,

特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为x2y2k,k0;

x2y2

5、点P(x0,y0)和椭圆221(ab0)的关系:

ab

22x0y0

(1)点P(x0,y0)在椭圆外221;

ab22x0y0

(2)点P(x0,y0)在椭圆上22=1;

ab22x0y0

(3)点P(x0,y0)在椭圆内221

ab

6.直线与圆锥曲线的位置关系:

(1)相交:0直线与椭圆相交;

0直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有0,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故0是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件;

0直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有0,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。

2

c

⑤离心率:e,双曲线e1

ee越小,

a

b

开口越小,e越大,开口越大;⑥两条渐近线:yx。

a

如(1)双曲线的渐近线方程是3x2y0,则该双曲线的离心率等于

______

如(1)若直线y=kx+2与双曲线x-y=6的右支有两个不同的交点,则k的取值范围是_______;

22

x2y2

1恒有公共点,则m的取值范 (2)直线y―kx―1=0与椭圆

5m

围是_______

x2y2

(2)过点(0,2)与双曲线1有且仅有一个公共点的直线的斜率的

916

取值范围为______

(3)求椭圆7x24y228上的点到直线3x2y160的最短距离

7.圆锥曲线上的点P到焦点F的距离的计算方法:

(1)已知抛物线方程为y8x,若抛物线上一点到y轴的距离等于5,则它到抛物线的焦点的距离等于____;

(2)若该抛物线上的点M到焦点的距离是4,则点M的坐标为_____

2

(3)抛物线y2x上的两点A、B到焦点的距离和是5,则线段AB的中点到y轴的距离为______

3

2

x2y2

1的右焦点直线交双曲线于A、B两点,若 (3)过双曲线12

│AB︱=4,则这样的直线有_____条

(2)相切:0直线与椭圆相切;0直线与双曲线相切;0直线与抛物线相切;

(3)相离:0直线与椭圆相离;0直线与双曲线相离;0直线与抛物线相离。

特别提醒:(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点;

x2y2

(2)过双曲线22=1外一点P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个公

ab

共点的情况如下:①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条

与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P为原点时不存在这样的直线;

(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。

如(1)过点(2,4)作直线与抛物线y8x只有一个公共点,这样的直线有______

2

8.椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形问题:常利用定义和正弦、余弦定理求解。

2

的椭圆的两焦点为F1、F2,过F1作3

直线交椭圆于A、B两点,则ABF2的周长为________

(2)设P是等轴双曲线x2y2a2(a0)右支上一点,F1、F2是左右焦

如(1)短轴长为5,离心率e

点,若PF2F1F20,|PF1|=6,则该双曲线的方程为

9.弦长公式:若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点A、B,且x1,x2分别为A、B的横坐标,则AB

坐标,则AB

y1,y2分别为A、B的纵

特别地,抛物线的焦点弦(过

x2y2→→1的焦点为F1、(3)椭圆F2,点P为椭圆上的动点,当PF2 ·PF1 94

(4)双曲线的虚轴长为4,离心率e=

焦点的弦)一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦用定义转化后求解。

过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,那么|AB|等于_______

10.圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

x2y2

1弦被点A(4,2)平分,那么这条弦所在的直 如(1)如果椭圆

369

线方程是

6

,F1、F2是它的左右焦点,若2

过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点,且AB是AF2与BF2等差中

项,则AB=__________

(5)已知双曲线的离心率为2,F1、F2是左右焦点,P为双曲线上一点,且F1PF260,SPF1F2.求该双曲线的标准方程

4

x2y2

(2)已知直线y=-x+1与椭圆221(ab0)相交于A、B两点,

ab

且线段AB的中点在直线L:x-2y=0上,则此椭圆的离心率为_______

11.常见结论

(1)以y

③定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程;

bx2y2

为渐近线(即与双曲线x21共渐近线)的双曲线2aab

22

方程为xy(为参数,≠0)。

a2b2

x2y2

如与双曲线1有共同的渐近线,且过点(3,23)的双曲线方程

916

为_______

(2)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为

如(1)由动点P向圆x2y21作两条切线PA、PB,切点分别为A、B,

∠APB=60,则动点P的轨迹方程为

(2)点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x50的距离小于1,则点M的轨迹方程是_____ (3) 一动圆与两圆⊙M:x2y21和⊙N:x2y28x120都外切,则动圆圆心的轨迹为

④相关点法:动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)的变化而变化,并且Q(x0,y0)又在某已知曲线上,则可先用x,y的代数式表示x0,y0,再将

mx2ny21;

13.动点轨迹方程:

(1)求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围; (2)求轨迹方程的常用方法:

①直接法:直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y)0;

如已知动点P到定点F(1,0)和直线x3的距离之和等于4,求P的轨迹方程;

②待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数。

如线段AB过x轴正半轴上一点M(m,0)(m0),端点A、B到x轴距离之积为2m,以x轴为对称轴,过A、O、B三点作抛物线,则此抛物线方程为

x0,y0代入已知曲线得要求的轨迹方程;



PM2MA,则M的轨迹方程为__________

如动点P是抛物线y2x21上任一点,定点为A(0,1),点M在PA上且

5

例:椭圆

xy1的左、右焦点分别为F1,F2,直线l过F2与椭圆相交于42

22

2

(2)又y12

A、B两点,O为坐标原点.

(1)当时,求直线l的方程;(2)当与的夹角为120°

12212

x1,y22x2, 22

42

36k16k16

2 222时,求直线l的斜率k的值.

解:(1)F2(2,0),设直线l的方程yk(x2)

22

由x2y40得:(12k2)x242k2x4(k21)0yk(x2)

设A(xy424(k21)1,1),B(x2,y2),则x1x212k2,x1x2

12k2

又y1k(x12),y2k(x22), y2

2

1y2kx1x22k(x1x2)2k2

又OA(x1,y1),OB(x2,y2)

OAOB,OAOB0,

OAOBx2k24

1x2y1y212k2

0,

k2.

又当k不存在时,与不垂直.

∴所求直线方程为y2(x2).

||||

x1

y1

x2

y12k2

cos120

2k241

36k416k216



2

2k2405k4

20k2

120

k

4

5

2.

6

范文六:圆锥曲线题型总结(学生)

直线和圆锥曲线常考题型

运用的知识:

1、中点坐标公式:xx1x2yy2,y1,其中x,y是点A(x1,y1),B(x2,y2)的中点坐标。 22

2、弦长公式:若点A(x1,y1),B(x2,y2)在直线ykxb(k0)上,则y1kx1b,y2kx2b,这是同点纵横坐

标变换,是两大坐标变换技巧之一,AB

或者AB

 3、两条直线l1:yk1xb1,l2:yk2xb2垂直:则k1k21

两条直线垂直,则直线所在的向量v1v20

4、韦达定理:若一元二次方程ax2bxc0(a0)有两个不同的根x1,x2,则x1x2

常见的一些题型:

题型一:数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 rrbc,x1x2。 aa

x2y2

1始终有交点,求m的取值范围 例题1、已知直线l:ykx1与椭圆C:4m

规律提示:通过直线的代数形式,可以看出直线的特点:

l:ykx1过定点(01,) l:yk(x1)过定点(1,0)

l:y2k(x1)过定点(1,2)

题型二:弦的垂直平分线问题

例题2、过点T(-1,0)作直线l与曲线N :yx交于A、B两点,在x轴上是否存在一点E(x0,0),使得ABE是等边三角形,若存在,求出x0;若不存在,请说明理由。

2

题型三:动弦过定点的问题

x2y2例题3、已知椭圆C:221(ab

0),且在x轴上的ab顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。

(I)求椭圆的方程;

(II)若直线l:xt(t2)与x轴交于点T,点P为直线l上异于点T的任一点,

直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点,试问直线MN是否通过椭圆的焦点?

并证明你的结论

题型四:过已知曲线上定点的弦的问题

x2y2

例题4、已知点A、B、C是椭圆E221 (ab0)上的三点,其中点

Aab

uuuruuuruuuruuur是椭圆的右顶点,直线BC过椭圆的中心O,且ACBC0,BC2AC,如图。

(II)若椭圆E上存在两点P、Q,使得直线PC与直线QC

关于直线xPQ的斜率。

题型五:共线向量问题

uuuruuurx2y2

1于P、Q两点,且DP=lDQ,求实数l的取值范围。 例题5、设过点D(0,3)的直线交曲线M:94

题型六:面积问题

x2y2,短轴一个端点到右焦点的距离为3。 例题6、已知椭圆C:221(a>b>0)的离心率为ab3

(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为

题型七:弦或弦长为定值问题 3,求△AOB面积的最大值。 2

例题7、在平面直角坐标系xOy中,过定点C(0,p)作直线与抛物线x2=2py(p>0)相交于A、B两点。

(Ⅰ)若点N是点C关于坐标原点O的对称点,求△ANB面积的最小值;

(Ⅱ)是否存在垂直于y轴的直线l,使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值?若存在,求出l的方程;若不存在,说明理由。

题型八:角度问题

例题8、如图,M(-2,0)和N(2,0)是平面上的两点,动点P满足:PMPN

6.

(Ⅰ)求点P的轨迹方程; PN=(Ⅱ)若PM

问题九:四点共线问题 2,求点P的坐标. 1cosMPN

x2y2

例题9、设椭圆C:221(ab

0)过点M

,且着焦点为F1( ab

(Ⅰ)求椭圆C的方程; uuuruuuruuuruur(Ⅱ)当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相交与两不同点A,B时,在线段AB上取点Q,满足APQBAQPB,证明:点Q总在某定直线上

问题十:存在性问题:(存在点,存在直线y=kx+m,存在实数,存在图形:三角形(等比、等腰、直角),四边形(矩形、菱形、正方形),圆)

x2y2

例题10、设椭圆E: 221(a,b>0)过M(2

,1)两点,O为坐标原点, ab

(I)求椭圆E的方程;

(II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB?若存在,写出该

圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。直线和圆锥曲线常考题型

运用的知识:

1、中点坐标公式:xx1x2yy2,y1,其中x,y是点A(x1,y1),B(x2,y2)的中点坐标。 22

2、弦长公式:若点A(x1,y1),B(x2,y2)在直线ykxb(k0)上,则y1kx1b,y2kx2b,这是同点纵横坐

标变换,是两大坐标变换技巧之一,AB

或者AB

 3、两条直线l1:yk1xb1,l2:yk2xb2垂直:则k1k21

两条直线垂直,则直线所在的向量v1v20

4、韦达定理:若一元二次方程ax2bxc0(a0)有两个不同的根x1,x2,则x1x2

常见的一些题型:

题型一:数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 rrbc,x1x2。 aa

x2y2

1始终有交点,求m的取值范围 例题1、已知直线l:ykx1与椭圆C:4m

规律提示:通过直线的代数形式,可以看出直线的特点:

l:ykx1过定点(01,) l:yk(x1)过定点(1,0)

l:y2k(x1)过定点(1,2)

题型二:弦的垂直平分线问题

例题2、过点T(-1,0)作直线l与曲线N :yx交于A、B两点,在x轴上是否存在一点E(x0,0),使得ABE是等边三角形,若存在,求出x0;若不存在,请说明理由。

2

题型三:动弦过定点的问题

x2y2例题3、已知椭圆C:221(ab

0),且在x轴上的ab顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。

(I)求椭圆的方程;

(II)若直线l:xt(t2)与x轴交于点T,点P为直线l上异于点T的任一点,

直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点,试问直线MN是否通过椭圆的焦点?

并证明你的结论

题型四:过已知曲线上定点的弦的问题

x2y2

例题4、已知点A、B、C是椭圆E221 (ab0)上的三点,其中点

Aab

uuuruuuruuuruuur是椭圆的右顶点,直线BC过椭圆的中心O,且ACBC0,BC2AC,如图。

(II)若椭圆E上存在两点P、Q,使得直线PC与直线QC

关于直线xPQ的斜率。

题型五:共线向量问题

uuuruuurx2y2

1于P、Q两点,且DP=lDQ,求实数l的取值范围。 例题5、设过点D(0,3)的直线交曲线M:94

题型六:面积问题

x2y2,短轴一个端点到右焦点的距离为3。 例题6、已知椭圆C:221(a>b>0)的离心率为ab3

(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为

题型七:弦或弦长为定值问题 3,求△AOB面积的最大值。 2

例题7、在平面直角坐标系xOy中,过定点C(0,p)作直线与抛物线x2=2py(p>0)相交于A、B两点。

(Ⅰ)若点N是点C关于坐标原点O的对称点,求△ANB面积的最小值;

(Ⅱ)是否存在垂直于y轴的直线l,使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值?若存在,求出l的方程;若不存在,说明理由。

题型八:角度问题

例题8、如图,M(-2,0)和N(2,0)是平面上的两点,动点P满足:PMPN

6.

(Ⅰ)求点P的轨迹方程; PN=(Ⅱ)若PM

问题九:四点共线问题 2,求点P的坐标. 1cosMPN

x2y2

例题9、设椭圆C:221(ab

0)过点M

,且着焦点为F1( ab

(Ⅰ)求椭圆C的方程; uuuruuuruuuruur(Ⅱ)当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相交与两不同点A,B时,在线段AB上取点Q,满足APQBAQPB,证明:点Q总在某定直线上

问题十:存在性问题:(存在点,存在直线y=kx+m,存在实数,存在图形:三角形(等比、等腰、直角),四边形(矩形、菱形、正方形),圆)

x2y2

例题10、设椭圆E: 221(a,b>0)过M(2

,1)两点,O为坐标原点, ab

(I)求椭圆E的方程;

(II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB?若存在,写出该

圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。

范文七:圆锥曲线题型总结学生用(3)

知识点——圆锥曲线

1.圆锥曲线的两个定义:(1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件

(2)

8表示的曲线是_____

x2

(3)利用第二定义已知点Q(22,0)及抛物线y上一动点P(x,y),则y+|PQ|的最小值是___ 4

x2y2

2.圆锥曲线的标准方程(1)已知方程1表示椭圆,则k的取值范围为____; 3k2k

(2)若x,yR,且3x22y26,则xy的最大值是___,x2y2的最小值是3.圆锥曲线焦点位置的判断:

x2y2

椭圆:已知方程1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是( ) m12m

4.圆锥曲线的几何性质:

双曲线的渐近线方程是3x2y0,则该双曲线的离心率等于______

22双曲线axby

1a:bx2y2

设双曲线221(a>0,b>0)中,离心率e∈[2,2],ab

则两条渐近线夹角θ的取值范围是____ 设a0,aR,则抛物线y4ax2的焦点坐标为________

6.直线与圆锥曲线的位置关系:

(1)若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点,则k的取值范围是_______

x2y2

1恒有公共点,则m的取值范围是______ (2)直线y―kx―1=0与椭圆5m

7、焦半径

x2y2

点P在椭圆1上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点P的横坐标为____ 259

x2y2

抛物线y2x上的两点A、B到焦点的距离和是5,则线段AB的中点到y轴的距离为______(6)椭圆1432

内有一点P(1,1),F为右焦点,在椭圆上有一点M,使MP2MF 之值最小,则点M的坐标为____

8、焦点三角形

(1)短轴长为5,离心率e

为________

(2)设P是等轴双曲线x2y2a2(a0)右支上一点,F1、F2是左右焦点,若PF2F1F20,|PF1|=6,则该双曲线的方程为

1 2的椭圆的两焦点为F1、F2,过F1作直线交椭圆于A、B两点,则ABF2的周长3

x2y2→→1的焦点为F1、F2,点P为椭圆上的动点,当PF2 ·(3)椭圆PF1

9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质:

10、弦长公式:

(1)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,那么|AB|等于_______

(2)过抛物线y22x焦点的直线交抛物线于A、B两点,已知|AB|=10,O为坐标原点,则ΔABC重心的横坐标为_______

11、圆锥曲线的中点弦问题:

x2y2

1弦被点A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是(1)如果椭圆369

2

范文八:第三讲+圆锥曲线复习之椭圆题型及方法总结

第三讲

一、椭圆的两种定义

椭圆

(1)平面内与两定点F1,F2的距离的和等于定长2aF1F2的点的轨迹,即点集M={P||PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|};其中两定点F1,F2叫焦点,定点间的距离叫焦距。

注:①2aF1F2时为线段F1F2;②2aF1F2无轨迹

(2)平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹,即点集M={P|为双曲线)

PFd

e,0<e<1的常数

。(e1为抛物线;e1

二、标准方程

x2y2

(1)焦点在x轴上,中心在原点:221(a>b>0);

ab

焦点F1(-c,0),F2(c,0)。其中ca2b2(一个Rt)

y2x2

(2)焦点在y轴上,中心在原点:221(a>b>0);

ab

焦点F1(0,-c),F2(0,c)。其中ca2b2

注:①在两种标准方程中,总有a>b>0,ca2b2并且椭圆的焦点总在

长轴上;

22

②两种标准方程可用一般形式表示:Ax+By=1(A>0,B>0,A≠B),当A<B时,椭圆的焦点在x轴上,A>B时焦点在y轴上。

三、参数方程

x2y2

椭圆221(ab0)的参数方程

ab

xacos

(为参数)

ybsin

四、椭圆的几何性质

x2y2

+=1a2b2

(a>b>0)

y2x2

+=1a2b2

(a>b>0)

标准方程

图形

性质

-a≤x≤a-b≤x≤b-b≤y≤b-a≤y≤a

对称性对称轴:坐标轴对称中心:原点

A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,

顶点B1(0,-b),B2(0,a)

b)B1(-b,0),B2(b,0)范围轴焦距离心率

长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b

|F1F2|=2c

c

e=ac2=a2-b2

a,b,c

的关系

2a2a

准线方程:x;或y

cc

1

2

焦半径公式:P(x0,y0)为椭圆上任一点。|PF1|=r左=a+ex0,|PF2|=r右=a-ex0;|PF1|=r下=a+ey0,|PF2|=r上=a-ey0;PF

max

ac,PF

min

ac

五、焦点三角形

x2y2

结论一:若F1、F2是椭圆221(ab0)的两个焦点,P是椭圆上一点,

ab

且F1PF2,当点P位于___________时最大,cos=______________.|PF1||PF2|的最大值为______________.

2

结论二:过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短,通径为__________。

SF1PF2b2tan

x2y2

结论三:已知椭圆方程为221(ab0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角

ab

形PF1F2,PF1F2,PF2F1,则椭圆的离心率e

结论四:四心的轨迹

sin()

sinsin

x2y2x2y2

(1)、221(ab0)焦点三角形内心的轨迹及其方程21.22

abcbc

(ac)2x2y2

(2)、221(ab0)焦点三角形重心的轨迹及其方程:

ab

9x29y2

21(ab0)a2b

x

2y2

(3)、221(ab0)焦点三角形垂心的轨迹及其方程:

ab

y

22x2y2

(4)、221(ab0)焦点三角形的外心的轨迹及其方程

ab

22

bcbcsin|y|().y

2b2sin2b

2

六、中点弦问题

x2y2

AB是椭圆221(ab0)的一条弦,中点M坐标为(x0,y0),则直线的斜率

ab为

七、弦长问题

(1)斜率为k的直线与圆锥曲线相交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则所得的弦长

或.

(2)当直线的斜率不存在时,可求出交点的坐标,直接运算;

(3)经过圆锥曲线的焦点的弦(也称为焦点弦)的长度问题,可利用圆锥曲线的定义,将其转化为利用

八、X轴正半轴到椭圆的最短距离问题

x2y2

已知椭圆221(ab0),则点(m,O)到椭圆的最短距离为:

ab_________________.

九、过椭圆上点切线问题

x0xy0yx2y2

121222P0(x0,y0)Pbb若在椭圆a上,则过0的椭圆的切线方程是a.

【题型讲解】

题型一.定义及其应用

例1、(1)已知一个动圆与圆C:(x4)2y2100相内切,且过点A(4,0),求这个动圆圆心M的轨迹方程;

(2)方程x2所表示的曲线是跟踪练习:

6对应的图形是(

A.直线

B.线段

C.椭圆

D.圆

))

10对应的图形是(

A.直线

B.线段

C.椭圆

D.圆

10成立的充要条件是()

x2y2

1A.

2516x2y2

1B.

259x2y2

1C.

1625x2y2



1D.

925

m1表示椭圆,则m的取值范围是

5.过椭圆9x24y21的一个焦点F1的直线与椭圆相交于A,B两点,则A,B两点

6.设圆(x1)2y225的圆心为C,A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任意一点,线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M,则点M的轨迹方程为

题型二.椭圆的方程(一)由方程研究曲线

x2y2

例2、方程1的曲线是到定点

1625的点的轨迹;

(二)分情况求椭圆的方程

例3、已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3倍,并且过点P(3,0),求椭圆的方程;

(三)用待定系数法求方程

例4、

已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P

1、

P2(,求椭圆的方程;

例5、求经过点(2,3)且与椭圆9x24y236有共同焦点的椭圆方程;

x2y2

注:一般地,与椭圆221共焦点的椭圆可设其方程为

abx2y22

1(kb);22

akbk

(四)定义法求轨迹方程;

例6、在ABC中,A,B,C所对的三边分别为a,b,c,且B(1,0),C(1,0),求满足

bac且b,a,c成等差数列时顶点A的轨迹;

(五)相关点法求轨迹方程;

x2

例7、已知x轴上一定点A(1,0),Q为椭圆y21上任一点,求AQ的中点M

4的轨迹方程;

(六)直接法求轨迹方程;

例8、设动直线l垂直于x轴,且与椭圆x22y24交于A,B两点,点P是直线l上满足PAPB1的点,求点P的轨迹方程;

(七)列方程组求方程

例9、

中心在原点,一焦点为F的椭圆被直线y3x2截得的弦的中点的横坐标为

1

,求此椭圆的方程;2

题型三.焦点三角形问题

x2y25

例10、已知椭圆1上一点P的纵坐标为,椭圆的上下两个焦点分别为

16253F2、F1,求PF1、PF2及cosF1PF2;

题型四.椭圆的几何性质

x2y25

例11、(1)已知P是椭圆221上的点,点P的纵坐标为,F1、F2分别

ab3为椭圆的两个焦点,椭圆的半焦距为c,则PF1PF2的最大值与最小值之差为

x2y2

(2)椭圆221(ab0)的四个顶点为A,B,C,D,若四边形ABCD的内切圆

ab恰好过焦点,则椭圆的离心率为

x2y21

(3)若椭圆1的离心率为,则k

k142

x2y2

(4)若P为椭圆221(ab0)上一点,F1、F2为其两个焦点,且

abPF1F2150,PF2F1750,则椭圆的离心率为

题型五.求范围

x2y2

例12、方程21

表示准线平行于x轴的椭圆,求实数m的取值范围;2

m(

m1)

题型六.椭圆的第二定义的应用

例13、(1)方程xy2所表示的曲线是(2)求经过点M(1,2),以y轴为准线,离心率为

1

的椭圆的左顶点的轨迹方程;2

x2y25

(3)椭圆1上有一点P,它到左准线的距离等于,那么P到右焦点的

2592距离为

x2y2

(4)已知椭圆使1,能否在此椭圆位于y轴左侧的部分上找到一点M,

43它到左准线的距离为它到两焦点F1,F2距离的等比中项,若能找到,求出该点的坐标,若不能找到,请说明理由。

x2y2

(5)已知椭圆右焦点,点P1内有一点A(1,1),F1、F2分别是椭圆的左、

95是椭圆上一点.求PA题型七.求离心率

3

PF2的最小值及对应的点P的坐标.2

x2y2

例14、(1)椭圆221(ab0)的左焦点为F1(c,0),A(a,0),B(0,b)是

ab

x2y2

(2)若P为椭圆221(ab0)上一点,F1、F2为其两个焦点,且

abPF1F2,PF2F12,则椭圆的离心率为

(3)F1、F2为椭圆的两个焦点,过F2的直线交椭圆于P,Q两点,PF1PQ,且PF1PQ,则椭圆的离心率为

题型八.椭圆参数方程的应用

x2y2

例15、(1)椭圆1上的点P到直线x2y70的距离最大时,点P的

43坐标

例2.方程x2siny2cos1(0)表示焦点在y轴上的椭圆,求的取值范围;

题型九.直线与椭圆的关系

(1)直线与椭圆的位置关系

例16、(1)当m为何值时,直线l:yxm与椭圆9x216y2144相切、相交、相离?

(2)曲线2x2y22a2(a0)与连结A(1,1),B(2,3)的线段没有公共点,求a的取值范围。(3)过点P(, 0)作直线l与椭圆3x24y212相交于A,B两点,O为坐标原点,求OAB面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。

(4)求直线xcosysin2和椭圆x23y26有公共点时,的取值范围(0)。

(二)弦长问题

(5)已知椭圆x22y212,A是x轴正方向上的一定点,若过点A,斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为4,求点A的坐标。3

(6)椭圆ax2by21与直线xy1相交于A,B两点,C是AB的中点,若|AB|22,O为坐标原点,OC的斜率为2,求a,b的值。2

x2y2

(7)椭圆1的焦点分别是F1和F2,过中心O作直线与椭圆交于A,B两4520

点,若ABF2的面积是20,求直线方程。

(三)弦所在直线方程x2y2

(8)已知椭圆1,过点P(2,0)能否作直线l与椭圆相交所成弦的中点恰164

好是P;(9)已知一直线与椭圆4x29y236相交于A,B两点,弦AB的中点坐标为M(1,1),求直线AB的方程;

(10)椭圆E中心在原点O,焦点在x轴上,其离心率e2,过点C(1,0)的3

直线l与椭圆E相交于A,B两点,且C分有向线段AB的比为2.

(1)用直线l的斜率k(k0)表示OAB的面积;

(2)当OAB的面积最大时,求椭圆E的方程.

x2y2

(11)已知A(x1,y1),B(1,y0),C(x2,y2)是椭圆1上的三点,F为椭圆的左43

焦点,且AF,BF,CF成等差数列,则AC的垂直平分线是否过定点?请证明你的结论。

(四)关于直线对称问题x2y2

(12)已知椭圆1,试确定m的取值范围,使得椭圆上有两个不同的点43

关于直线y4xm对称;

(13)已知中心在原点,焦点在y轴上,长轴长等于6,离心率e22,试问3

1平2是否存在直线l,使l与椭圆交于不同两点A,B,且线段AB恰被直线x

分?若存在,求出直线l倾斜角的取值范围;若不存在,请说明理由。

题型十.最值问题

x2y2

例17、

(1)若P(,F2为椭圆1的右焦点,点M在椭圆上移动,2516

求MPMF2的最大值和最小值。

M1

FF2

M2

x2y2结论1:设椭圆221的左右焦点分别为F1,F2,P(x0,y0)为椭圆内一点,ab

M(x,y)为椭圆上任意一点,则MPMF2的最大值为2aPF1,最小值为2aPF1;

x2y2

(2)点M在椭圆上移动,求MPMF2P(2,6),F2为椭圆1的右焦点,2516

的最大值和最小值。

x2y2

结论2设椭圆221的左右焦点分别为F1,F2,P(x0,y0)为椭圆外一点,ab

M(x,y)为椭圆上任意一点,则MPMF2的最大值为2aPF1,最小值为PF2;

x2y2

(3)求定点A(a,0)到椭圆2

21上的点之间的最短距离。abx2y2

结论3:椭圆221上的点M(x,y)到定点A(m,0)或B(0,n)距离的最值问题,ab

可以用两点间距离公式表示︱MA︱或︱MB︱,通过动点在椭圆上消去y或x,转化为二次函数求最值,注意自变量的取值范围。

x2

(4)求椭圆2y21上的点M(x,y)到直线l:x2y4的距离的最值;4

x2y2

结论4:若椭圆221上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时,可ab

通过椭圆的参数方程,统一变量转化为三角函数求最值。

(4)的解决还可以用下面方法

把直线平移使其与椭圆相切,有两种状态,一种可求最小值,另一种求最大值。解:令直线m:x2yc0将x2yc代入椭圆方程整理得8y24cyc240,由△=0解得c,

m:x2y0与椭圆切于点P,c时直线

则P到直线l的距离为最小值,且最小值就是两平行直线m与l的距离,

所以dmin

;5

c

时直线m:x2y0与椭圆切于点Q,则Q到直线l的距离为最大值,且最大值就是两平行直线m与l

的距离,所以dmax。5

结论5:椭圆上的点到定直线l距离的最值问题,可转化为与l平行的直线m与椭圆相切的问题,利用判别式求出直线m方程,再利用平行线间的距离公式求出最值。

x2y2

(5)已知定点A(,点F为椭圆1的右焦点,点M在该椭圆上移动1612

时,求AM2MF的最小值,并求此时点M的坐标;(第二定义的应用)

x2y2

(6)已知F1、F2分别为椭圆1的左、右焦点,椭圆内一点M的坐标为10064

(2,6),P为椭圆上的一个动点,试分别求:(1)PM

5

PF2的最小值;(2)PMPF2的取值范围.

题型十一.轨迹问题

例18、(1)到两定点(2,1),(2,2)的距离之和为定值5的点的轨迹是

A.椭圆B.双曲线C.直线()D.线段

(2)已知点A(3,0),点P在圆x2y21的上半圆周上(即y>0),∠AOP的平分线交PA于Q,求点Q的轨迹方程。

例3.已知圆C:(x3)2y2100及点A(3,0),P是圆C上任一点,线段PA的垂直平分线l与PC相交于Q点,求Q点的轨迹方程。

题型十二.椭圆与数形结合

例19、(1)关于x

kx2k0有两个不相等的实数解,求实数k的取值范围.

(2)求函数

范文九:圆锥曲线知知识总结及典型题型

圆锥曲线知知识总结及典型题型

1.圆锥曲线的定义:

椭圆中,与两个定点F1,F2的距离的和等于常数2a,且此常数2a一定要大于|F1F2|, 当常数等于|F1F2|时,轨迹是线段F1F2, 当常数小于|F1F2|时,无轨迹;

双曲线中,与两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数2a,且此常数2a一定要小于|F1F2|,定义中的“绝对值”与2a<|F1F2|不可忽视。 若2a=|F1F2|,则轨迹是以F1F2为端点的两条射线, 若2a﹥|F1F2|,则轨迹不存在。 若2a=0,则轨迹是线段F1F2的中垂线;

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 比如:①已知定点A. C. ②方程

,在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 ( )

B. D.

(答:C);

表示的曲线是_____(答:双曲线的左支)

0)的距离小1,则点P的轨迹3.(2008北京,理4)若点P到直线x1的距离比它到点(2,

为( )

A.圆

2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时

B.椭圆

C.双曲线

D.抛物线

的标准位置的方程):

(1)椭圆:焦点在轴上时(

)(参数方程,

其中为参数),焦点在轴上时=1()。方程表

示椭圆的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B,C同号,A≠B)。

比如: ①已知方程表示椭圆,则的取值范围为____

(答:

);

②若

,且

,则

的最大值是____,

的最小值是___(答:

(2)双曲线:焦点在轴上:方程

=1,焦点在轴上:=1()。

表示双曲线的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B异号)。

比如: ①双曲线的离心率等于,且与椭圆有公共焦点,则该双曲线的方程_______

(答:);

,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率

,开口向左时

,开口向上时

的双曲线C过点

②设中心在坐标原点

则C的方程为_______

(答: (3)抛物线:开口向右时

,开口向下时

3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):

(1)椭圆:由

,分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。

如已知方程表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是 _ (

答:

(2)双曲线:由

,

项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;

(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。焦点到原点的距离等

于一次项系数的四分之一;

4.圆锥曲线的几何性质:

①双曲线的渐近线方程是,则该双曲线的离心率等于______(答:或);

②双曲线的离心率为,则= (答:4或);

③设双曲线(a>0,b>0)中,离心率e∈[,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围

是________(答:);

(3)抛物线(以其中

为例):①范围:;②焦点:一个焦点,

的几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴,没有对称中心,只

有一个顶点(0,0);④准线:一条准线; ⑤离心率:,抛物线。

如设,则抛物线的焦点坐标为________(答:);

5、点

和椭圆(

)的关系:

(1)点

在椭圆外;

(2)点

在椭圆上=1;

(3)点

在椭圆内

6.直线与圆锥曲线的位置关系:(代数法)

联立 消元得axbxc0(或ay2byc0)

当a0,o直线与曲线相交(2个交点);

o直线与曲线相切(1个交点); o直线与曲线相离(0个交点);

当a0,①曲线定不是椭圆;

②若曲线是双曲线,则直线l与渐近线平行(1个交点)或重合(0个交点); ③若曲线是抛物线。则直线l与抛物线的对称轴平行或重合(1个交点);

lC

2

比如:① 直线y―kx―1=0与椭圆[1,5)∪(5,+∞)); ②对于抛物线C:

,我们称满足

恒有公共点,则m的取值范围是_______(答:

的点

在抛物线的内部,若点

在抛物线的内部,则直线:

相离);

特别提醒:

与抛物线C的位置关系是_______(答:

直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。 1,双曲线

①过双曲线内一点的直线只有一个公共点的直线有2条(2与渐近线平行)

②过双曲线上一点的直线只有一个公共点的直线有3条(1切线+2与渐近线平行)

③过双曲线外一点(除渐近线上点)的直线与双曲线只有一个公共点的直线有4条(2切线+2与渐近线平行)

若点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;

若在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;

注意:①点在两条渐近线上但非原点,只有两条(1切线+2与另一渐近线平行);②P为原点时不存在这样的直线; 2,抛物线

①过抛物线内一点的直线只有一个公共点的直线有1条(与对称轴平行)

②过抛物线上一点的直线只有一个公共点的直线有1条(1切线+1与对称轴平行)

③过抛物线外一点(除渐近线上点)的直线与双曲线只有一个公共点的直线有3条(2切线+1与对称轴平行) 比如: ①过点

作直线与抛物线

只有一个公共点,这样的直线有______(答:2);

②过点(0,2)与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______(答:

);

③若直线y=kx+2与双曲线x-y=6的右支有两个不同的交点,则k的取值范围是_______(答:

2

2

(-,-1));

④过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B两点,若4,则满足条件的直

线有____条(答:3); ⑤过抛物线

的焦点

作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是

,则_______(答:1);

⑥设双曲线别于于);

,则

的右焦点为和

,右准线为,设某直线交其左支、右支和右准线分

的大小关系为___________(填大于、小于或等于) (答:等

⑦求椭圆⑧直线

上的点到直线与双曲线

交于

的最短距离(答:两点。①当为何值时,

); 、

分别在双曲;②

);

线的两支上?②当为何值时,以AB为直径的圆过坐标原点?(答:①

10、弦长公式:若直线

与圆锥曲线相交于两点A、B,且分别为A、B的横坐

标,则=,若分别为A、B的纵坐标,则,则

=,

若弦AB所在直线方程设为。特别地,焦点弦(过焦点

的弦):焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和

后,利用第二定义求解。

2

比如:①过抛物线y=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,那么|AB|等于_______(答:8); ②过抛物线

焦点的直线交抛物线于A、B两点,已知|AB|=10,O为坐标原点,则ΔABC

重心的横坐标为_______(答:3);

11、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

在椭圆中,以为中点的弦所在直线的斜率k=-;在双曲线

中,以为中点的弦所在直线的斜率k=;在抛物线

中,以为中点的弦所在直线的斜率k=。

比如: ①如果椭圆是 (答:

弦被点A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程);

②已知直线y=-x+1

与椭圆相交于A、B两点,且线段AB的中点在直

线L:x-2y=0上,则此椭圆的离心率为_______(答:);

③试确定m的取值范围,使得椭圆上有不同的两点关于直线对称

(答:

);

特别提醒:因为题时,务必别忘了检验

是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问

12.你了解下列结论吗?

(1)双曲线

的渐近线方程为

(2)以为参数,

为渐近线(即与双曲线≠0)。

共渐近线)的双曲线方程为

y2

x21具有相同渐近线,则C的1.(2014北京,理11)设双曲线C经过点2,2,且与4

方程为________;渐近线方程为________. x2y2

【答案】1; y2x

312

(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆双曲线方程可设为

(mn0);

(m0,n0,mn);

(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为,焦准距(焦点到相应准线

的距离)为,抛物线的通径为,焦准距为;

(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦; (6)若抛物线

的焦点弦为AB,

,则①

顶点O的两条互相垂直的弦,则直线AB恒经过定

(7)若OA、OB是过抛物线点

13.动点轨迹方程:

(1)求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围; (2)求轨迹方程的常用方法:

①直接法:直接利用条件建立

之间的关系

如已知动点P到定点F(1,0)和直线

的距离之和等于4,求P

的轨迹方程.(答:

);

②待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数。

如线段AB过x轴正半轴上一点M(m,0),端点A、B到x轴距离之积为2m,以x轴为对称轴,过A、O、B三点作抛物线,则此抛物线方程为 (

答:

);

③定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程;

如(1)由动点P向圆作两条切线PA、PB,切点分别为A、B,∠APB=60,则动点P的

);

的距离小于1,则点M的轨迹方程是_______ 0轨迹方程为 (答:(2)点M与点F(4,0)的距离比它到直线

(答:);

和⊙N:(3) 一动圆与两圆⊙M:都外切,则动圆圆心的轨迹

为 (答:双曲线的一支);

④代入转移法:动点已知曲线上,则可先用如动点P是抛物线依赖于另一动点的代数式表示,再将的变化而变化,并且又在某代入已知曲线得要求的轨迹方程; ,点M分所成的比为2,则M的轨上任一点,定点为

迹方程为__________(答:

⑤参数法:当动点

); 坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将

均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程)。

- 11 -

如(1)AB是圆O的直径,且|AB|=2a,M为圆上一动点,作MN⊥AB,垂足为N,在OM上取点使(2)若点,求点在圆的轨迹。(答:上运动,则点); 的轨迹方程是____

(答:,);

(3)过抛物线

是________(答:的焦点F作直线交抛物线于A、B两点,则弦AB的中点M的轨迹方程);

注意:①如果问题中涉及到平面向量知识,那么应从已知向量的特点出发,考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化,还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。 如已知椭圆

外的动点,满足的左、右焦点分别是F1(-c,0)、F2(c,0),Q是椭圆点P是线段F1Q与该椭圆的交点,点T在线段F2Q

上,并且满足

(1)设为点P的横坐标,证明

迹C的方程;(3)试问:在点T的轨迹C上,是否存在点M,

使△F1MF2的面积S=若存在,求∠F1MF2的正切值;若不存在,;(2)求点T的轨

请说明理由. (答:(1)略;(2);(3)当时不存在;当

时存在,此时∠F1MF2=2) - 12 -

- 13 -

范文十:圆锥曲线题型汇总

圆锥曲线题型汇总 经典模拟·演练卷

一、填空题

x2y25

1.(2015·南通·泰州调研)双曲线16-m1(m>0)的离心率为4,则m等于________. 2.(2015·河南名校联考)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为________.

3.(2015·广州模拟)若圆C经过(1,0),(3,0)两点,且与y轴相切,则圆C的方程为________.

x2y24.(2015·江苏五市模拟)已知椭圆9m1(0<m<9),左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆于A,B两点,若AF2+BF2的最大值为10,则m的值为________.

x2y25.(2015·北京东城调研)已知双曲线C:ab1(a>0,b>0)5,则C的渐近线方程为________.

6.(2015·潍坊三模)已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与圆(x-2)2+(y-3)2=8相外切,则圆C的方程为________.

7.(2015·烟台模拟)等轴双曲线x2-y2=a2(a>0)的左、右顶点分别为A、B,P是双曲线上在第一象限内的一点,若直线PA,PB的倾斜角分别为α,β,且β=2α,那么β的值是________.

8.(2015·济南模拟)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0),若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为________.

9.(2015·泰州调研)若圆上一点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,且圆与直线x-y+1=0相交的弦长为2,则圆的方程是________.

y210.(2015·苏北四市调研)若双曲线x-b1(b>0)的一条渐近线与圆x2+(y-2)2

2

=1至多有一个公共点,则双曲线离心率的取值范围是________. 二、解答题

11.(2015·哈尔滨调研)椭圆C的中心在原点,一个焦点F(-2,0),且短轴长与3长轴长的比是2. (1)求椭圆C的方程;

→最小时,点(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上,点P是椭圆上任意一点.当MPP恰好落在椭圆的右顶点,求实数m的取值范围.

x2

12.(2015·南京、盐城模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A为椭圆9+2y2→=

DA→. 1的右顶点,点D(1,0),点P,B在椭圆上,BP9

(1)求直线BD的方程;

(2)求直线BD被过P,A,B三点的圆C截得的弦长;

(3)是否存在分别以PB,PA为弦的两个相外切的等圆?若存在,求出这两个圆的方程;若不存在,请说明理由.

x2y2

13.(2015·江苏高考命题原创卷)如图,过点C(0,3)的椭圆ab=1(a>b>0)1

2,椭圆与x轴交于A(a,0)和B(-a,0)两点,过点C的直线l与椭圆交于另一点D,并与x轴交于点P,直线AC与直线BD交于点Q

.

(1)当直线l过椭圆的右焦点时,求线段CD的长; →·→为定值. (2)当点P异于点B时,求证:OPOQ

专题五 解析几何 专题过关·提升卷

(时间:120分钟 满分:160分)

一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)

1.(2015·长沙调研)若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m=________.

x2y2

2.(2015·福建高考改编)若双曲线E9-16=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且PF1=3,则PF2=________.

3.(2015·北京高考改编)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是________. →+OB→|=|OA→-OB→|(其4.已知直线x+y=a与圆x2+y2=1交于A、B两点,且|OA中O为坐标原点),则实数a的值为________.

x2y255.(2015·广东高考改编)已知双曲线C:ab=1(a>0,b>0)的离心率e=4,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为________.

2

y

6.(2015·长沙模拟)双曲线x2-3=1的右焦点为F,O为坐标原点,以F为圆心,

FO为半径的圆与此双曲线的两条渐近线分别交于点A,B(不同于O点),则|AB|=________.

7.(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,直线x+2y-3=0被圆(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦长为________.

x2y28.(2015·唐山调研)椭圆C:ab=1(a>b>0)的左焦点为F,若F关于直线3x+y=0的对称点A是椭圆C上的点,则椭圆C的离心率为________. 9.(2015·重庆高考改编)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴,过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则AB=________. 10.(2015·山东高考改编)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+

3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为________.

x2y2

11.(2015·青岛模拟)已知双曲线ab=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过F作斜率为-1的直线交双曲线的渐近线于点P,点P在第一象限,O为坐标原点,若△OFPa2+b2

的面积为8________.

x2y2

12.已知动点P(x,y)在椭圆C16+12=1上,点F为椭圆C的右焦点,若点Q→=1,且QP→·→=0,则PQ→的最大值为________. 满足QFQF

x2y2

13.(2015·衡水中学冲刺卷)已知F1,F2是双曲线ab1(a>0,b>0)的两个焦点,M为该双曲线右支上一点,且

2122

MF11F2,MF2成等差数列,该点到

2

x轴的距离

c

为2________.

y2

14.(2015·合肥质检)设F1,F2分别是椭圆E:x+b=1(0

2

过点F1的直线交椭圆E于A,B两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x轴,则椭圆E的方程为________.

二、解答题(本大题共6小题,共90分,解答时写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)

15.(本小题满分14分)(2015·全国卷Ⅰ)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点. (1)求k的取值范围;

→·→=12,其中O为坐标原点,求MN. (2)若OMON

y2x216.(本小题满分14分)(2015·太原模拟)已知动点A在椭圆C:ab=1(a>b>0)→⊥OB→(O为坐标原点),椭圆C上的点上,动点B在直线x=-2上,且满足OA



M,3到两焦点距离之和为3. 2

(1)求椭圆C的方程;

(2)判断直线AB与圆x2+y2=3的位置关系,并证明你的结论.

x2y217.(本小题满分14分)(2015·北京高考)已知椭圆C:ab=1(a>b>0)的离心率2

为2,点P(0,1)和点A(m,n)(m≠0)都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M. (1)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示);

(2)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N.问:y轴上是否存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由.

18.(本小题满分16分)(2014·江苏高考)如图,在平面直角坐标系xOy中,F1,x2y2

F2分别是椭圆a+b=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F1C.

41

(1)若点C的坐标为3,3,且BF2=2,求椭圆的方程;



(2)若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值.

x22

19.(本小题满分16分)(2015·苏、锡、常、镇模拟)如图,已知椭圆:4+y=1,点A,B是它的两个顶点,过原点且斜率为k的直线l与线段AB相交于点D,且与椭圆相交于E、F两点.

→=6DF→,求k的值; (1)若ED

(2)求四边形AEBF面积的最大值.

x220.(本小题满分16分)(2012·江苏高考)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆ay23+b=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).已知点(1,e)和e,

2

都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率.

(1)求椭圆的方程;

(2)设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线AF1与直线BF2平行,AF2与BF1交于点P.

6

(ⅰ)若AF1-BF2=2,求直线AF1的斜率; (ⅱ)求证:PF1+PF2是定值.