圆锥曲线高考题

圆锥曲线高考题

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【专家解析】圆锥曲线高考题

【优秀范文】圆锥曲线高考题

范文一:圆锥曲线高考题1

圆锥曲线高考题--全国卷

x2

1.(2015全国4)已知Mx0,y0是双曲线C:y21上的一点,F1,F2是C的两

2



个焦点,若MF1MF20,则y0的取值范围是( ) (A

)

 (B

) (C

) (D

) 

2.(2015全国

上,圆标准方程 .

x2y2

116414)一圆经过椭圆的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴

x2y2

3.(2013全国4)已知双曲线C:2-21(a>0,b>0)的离心率为错误!未找

ab

到引用源。,则C的渐近线方程为( )A、y=±错误!未找到引用源。x (B)y=±错误!未找到引用源。x (C)y=±错误!未找到引用源。x (D)y=±x

4.(2014全国4)已知F为双曲线C:x2my23m(m0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为( ) A. B. 3 C. m D. 3m

x2y2

5.(2013全国10)已知椭圆22=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直

ab线交椭圆于A、B两点。若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为( A、=1

) x245

y236

1 B、

x236

y227

=1错误!未找到引用源。 C、

x227

y218

D、

x218

+1

9

y2

6.(2012全国8)已知F1、F2为双曲线C:x2y22的左、右焦点,点P在C上,

1334

|PF1|2|PF2|,则cosF1PF2(A) (B) (C) (D)

4545

7.(2011全国10)已知抛物线C:y24x的焦点为F,直线y2x4与C交于A、4334

B两点,则cosAFB() (A) (B) (C)  (D) 

5555

2,椭圆E:x8.(2014全国20)已知点A0,

y2

21(ab

0)2ab2

F是椭圆E的右焦点,直线AF

,O为坐标原点.

(I)求E的方程;

1

(II)设过点A的动直线l与E 相交P,Q两点。当OPQ的面积最大时,求l的直线方程.

直线与圆锥曲线位置关系”的综合型试题的分类求解 1.向量综合型

例1.在直角坐标系xOy中,点P

到两点(0,的距离之和为4,设点P的轨迹为C,直线ykx1与C交于A,B两点。



(Ⅰ)写出C的方程; (Ⅱ)若OAOB,求k的值。

例2.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(,0) (1) 求双曲线C的方程;

(2) 若直线l:ykx与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且2(其中O为原点),求k的取值范围。

x2y26

例3.已知椭圆22(a>b>0)的离心率e,过点A(0,-b)和B(a,0)

ab3

的直线与原点的距离为.

2

(1)求椭圆的方程.

(2)已知定点E(-1,0),若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C、D两点.问:是否存在k的值,使以CD为直径的圆过E点?请说明理由.

2.“中点弦型”

例4.已知双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,离心率e,焦距为2 (I)求该双曲线方程.

(II)是否定存在过点P(1,1)的直线l与该双曲线交于A,B两点,且点P是

线段AB 的中点?若存在,请求出直线l的方程,若不存在,说明理由.

2)例5.已知椭圆的中心在原点,焦点为F1(0,2),F(,且离心率e20,

(I)求椭圆的方程;

2

22

。 3

(II)直线l(与坐标轴不平行)与椭圆交于不同的两点A、B,且线段AB中点的横坐标为

1

,求直线l倾斜角的取值范围。 2

3

圆锥曲线高考题--全国卷

x2

1.(2015全国4)已知Mx0,y0是双曲线C:y21上的一点,F1,F2是C的两

2



个焦点,若MF1MF20,则y0的取值范围是( ) (A

)

 (B

) (C

) (D

) 

2.(2015全国

上,圆标准方程 .

x2y2

116414)一圆经过椭圆的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴

x2y2

3.(2013全国4)已知双曲线C:2-21(a>0,b>0)的离心率为错误!未找

ab

到引用源。,则C的渐近线方程为( )A、y=±错误!未找到引用源。x (B)y=±错误!未找到引用源。x (C)y=±错误!未找到引用源。x (D)y=±x

4.(2014全国4)已知F为双曲线C:x2my23m(m0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为( ) A. B. 3 C. m D. 3m

x2y2

5.(2013全国10)已知椭圆22=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直

ab线交椭圆于A、B两点。若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为( A、=1

) x245

y236

1 B、

x236

y227

=1错误!未找到引用源。 C、

x227

y218

D、

x218

+1

9

y2

6.(2012全国8)已知F1、F2为双曲线C:x2y22的左、右焦点,点P在C上,

1334

|PF1|2|PF2|,则cosF1PF2(A) (B) (C) (D)

4545

7.(2011全国10)已知抛物线C:y24x的焦点为F,直线y2x4与C交于A、4334

B两点,则cosAFB() (A) (B) (C)  (D) 

5555

2,椭圆E:x8.(2014全国20)已知点A0,

y2

21(ab

0)2ab2

F是椭圆E的右焦点,直线AF

,O为坐标原点.

(I)求E的方程;

1

(II)设过点A的动直线l与E 相交P,Q两点。当OPQ的面积最大时,求l的直线方程.

直线与圆锥曲线位置关系”的综合型试题的分类求解 1.向量综合型

例1.在直角坐标系xOy中,点P

到两点(0,的距离之和为4,设点P的轨迹为C,直线ykx1与C交于A,B两点。



(Ⅰ)写出C的方程; (Ⅱ)若OAOB,求k的值。

例2.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(,0) (1) 求双曲线C的方程;

(2) 若直线l:ykx与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且2(其中O为原点),求k的取值范围。

x2y26

例3.已知椭圆22(a>b>0)的离心率e,过点A(0,-b)和B(a,0)

ab3

的直线与原点的距离为.

2

(1)求椭圆的方程.

(2)已知定点E(-1,0),若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C、D两点.问:是否存在k的值,使以CD为直径的圆过E点?请说明理由.

2.“中点弦型”

例4.已知双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,离心率e,焦距为2 (I)求该双曲线方程.

(II)是否定存在过点P(1,1)的直线l与该双曲线交于A,B两点,且点P是

线段AB 的中点?若存在,请求出直线l的方程,若不存在,说明理由.

2)例5.已知椭圆的中心在原点,焦点为F1(0,2),F(,且离心率e20,

(I)求椭圆的方程;

2

22

。 3

(II)直线l(与坐标轴不平行)与椭圆交于不同的两点A、B,且线段AB中点的横坐标为

1

,求直线l倾斜角的取值范围。 2

3

范文二:圆锥曲线高考题

圆锥曲线高考题

1. 【2015高考新课标2,理20】(本题满分12分)

已知椭圆C:9x2y2m2(m0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.

(Ⅰ)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值; (Ⅱ)若l过点(

m

,m),延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时3

l的斜率,若不能,说明理由.

2. 【2015高考福建,理18】 已知椭圆E:

2

2

xy+=1(a>b>

0)过点,且离心率为.

22ab2

(Ⅰ)求椭圆E的方程;

(Ⅱ)设直线x=my-1,(m?R)交椭圆E于A,B两点,判断点G(-,0)与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由.

3. 【2015高考浙江,理19】

9

4

x21

y21上两个不同的点A,B关于直线ymx对称.已知椭圆

22

(1)求实数m的取值范围;

(2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点).

4. 【2015江苏高考,18】(本小题满分16分)

x2y2 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆221ab0的离心率为,且右焦点F到左

ab2

准线l的距离为3. (1)求椭圆的标准方程;

(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于 点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程.

x2y2

5. 【2015高考山东,理20】平面直角坐标系xoy中,已知椭圆C:221ab

0的离心率为

ab

F1,F2,以F1错误!未找到引用源。为圆心以3为半径的圆与以F2错误!未找到引用源。为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上. (Ⅰ)求椭圆C的方程;

x2y2

(Ⅱ)设椭圆E:221,P错误!未找到引用源。为椭圆C错误!未找到引用源。上任意一点,

4a4b

过点P的直线ykxm交椭圆E 于A,B两点,射线PO 错误!未找到引用源。交椭圆E于点Q.

( i )求

OQOP

错误!未找到引用源。的值; (ii)求ABQ面积的最大值.

x2y2

6. 【2015高考安徽,理20】设椭圆E的方程为221ab0,点O为坐标原点,点A的坐

ab

标为a,0,点B的坐标为0,b,点M在线段AB上,满足BM2MA,直线OM

的斜率为(I)求E的离心率e;

(II)设点C的坐标为0,b,N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为求E的方程.

. 10

7, 2

x2y2

7. 【2015高考天津,理19】(本小题满分14分)已知椭圆2+2=1(a>b>0)的左焦点为F(c,0),

abb422

离心率为,点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆x+y=截得的线段的长为c

43

|FM|=

3

(I)求直线FM的斜率; (II)求椭圆的方程;

(III)设动点P在椭圆上,若直线FP

OP(O为原点)的斜率的取值范围.

x2y2

8. 【2015高考重庆,理21】如题(21)图,椭圆221ab0的左、右焦点分别为F1,F2,过F2

ab

的直线交椭圆于P,Q两点,且PQPF1 (1

)若PF12PF22,求椭圆的标准方程 (2)若PF1PQ,求椭圆的离心率e.

x2y29. 【2015高考四川,理20】如图,椭圆E:2+21(ab

0),过点P(0,1)的

ab动直线l与椭圆相交于A,B两点,当直线l平行与x轴时,直线l被椭圆E

截得的线段长为 (1)求椭圆E的方程;

(2)在平面直角坐标系xOy中,是否存在与点P不同的定点Q,使得

QAPA

恒成立?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理

QBPB

由.

x2y210. 【2015高考陕西,理20】(本小题满分12分)已知椭圆:221(ab0)的半焦距为c,

ab

原点到经过两点c,0,

1

c. 的直线的距离为0,b2

(I)求椭圆的离心率;

(II)如图,是圆:x2y1

2

2

5

的一条直径,2

若椭圆经过,两点,求椭圆的方程.

x2

11. 【2015高考新课标1,理20】在直角坐标系xoy中,曲线C:y=与直线ykxa(a>0)交与

4

M,N两点,

(Ⅰ)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;

(Ⅱ)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.

x2y2

1和点12. 【2015高考北京,理19】已知椭圆C:221ab

0的离心率为,点P0,

ab

Am,nm≠0都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M.

(Ⅰ)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示);

(Ⅱ)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N.问:y轴上是否存在点Q,使得OQMONQ?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由.

y2x2

13. 【2015高考湖南,理20】已知抛物线C1:x4y的焦点F也是椭圆C2:221(ab0)的

ab

2

一个焦点,C1与C

2的公共弦的长为. (1)求C2的方程;



(2)过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且AC与BD同向

(ⅰ)若|AC||BD|,求直线l的斜率

(ⅱ)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:直线l绕点F旋转时,MFD总是钝角三角形

14. 【2015高考上海,理21】已知椭圆x22y21,过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于、和

C、D,记得到的平行四边形CD的面积为S.

(1)设x1,y1,Cx2,y2,用、C的坐标表示点C到直线l1的距离,并证明S2x1y1x2y1; (2)设l1与l2的斜率之积为

1

,求面积S的值. 2

范文三:2012圆锥曲线高考题汇编

1.(2012年高考(天津理))设椭圆

xa

22

+

yb

22

=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,点P在

椭圆上且异于A,B两点,O为坐标原点. (Ⅰ)若直线AP与BP的斜率之积为

12

,求椭圆的离心率;

(Ⅱ)若|AP|=|OA|,证明直线OP的斜率k

满足|k.

2.(2012年高考(新课标理))设抛物线C:x2py(p0)的焦点为F,准线为l,AC,

2

已知以F为圆心,

FA为半径的圆F交l于B,D两点;

(1)若BFD900,ABD的面积为42;求p的值及圆F的方程;

(2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点, 求坐标原点到m,n距离的比值.

3(.2012年高考(浙江理))如图,椭圆C:

xa

22

+

yb

22

1(a>b>0)的离心率为

12

,其左焦点到点P(2,1)

不过原点O的直线l与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分. (Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ) 求ABP的面积取最大时直线l的方程.

4.(2012年高考(重庆理))(本小题满分12分(Ⅰ)小问5分(Ⅱ)小问7分)

如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左右焦点分别为F1,F2,线段

OF1,OF2的中点分别为B1,B2,且△AB1B2 是面积为4的直角三角形.

(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程;

(Ⅱ)过B1做直线l交椭圆于P,Q两点,使PB2QB2,求直线l的方程

5.(2012年高考(四川理))如图,动点M到两定点A(1,0)、B(2,0)构成MAB,且

MBA2MAB,设动点M的轨迹为C.

(Ⅰ)求轨迹C的方程;

(Ⅱ)设直线y2xm与y轴交于点P,与轨迹C相交于点Q、R,且|PQ||PR|,求

6.(2012年高考(上海理))在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C1:2xy1.

2

2

|PR||PQ|

的取值范围.

(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x轴围成 的三角形的面积;

(2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点,若l与圆xy1相切,求证:

2

2

OP⊥OQ;

(3)设椭圆C2:4x2y21. 若M、N分别是C1、C2上的动点,且OM⊥ON, 求证:O到直线MN的距离是定值.

7.(2012年高考(上海春))本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.

已知双曲线C1:x

2

y

2

4

1.

(1)求与双曲线C1有相同的焦点,

且过点P的双曲线C2的标准方程;



(2)直线l:yxm分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点.当OAOB3时,

求实数m的值.

x

2

2

8.(2012年高考(陕西理))已知椭圆C1:

4

y1,椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有

相同的离心率. (1)求椭圆C2的方程;



(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C1和C2上,OB2OA,求直线AB的方程.

9.(2012年高考(山东理))在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线C:x2py(p0)的

2

焦点,M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,过M,F,O三点的圆的圆心为Q,

点Q到抛物线C的准线的距离为(Ⅰ)求抛物线C的方程;

34

.

(Ⅱ)是否存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由; (Ⅲ)若点M

的横坐标为

直线l:ykx

12

14

与抛物线C有两个不同的交点A,B,l

2

与圆Q 有两个不同的交点D,E,求当

k2时,ABDE的最小值.

2

10.(2012年高考(辽宁理))如图,椭圆C0:

2

2

2

xa

22

yb

22

1(ab0,a,b为常数),动圆

C1:xyt1,bt1a.点A1,A2分别为C0的左,右顶点,C1与C0相交于A,B,C,D

四点.

(Ⅰ)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程;

222

(Ⅱ)设动圆C2:xyt2与C0相交于A,B,C,D四点,其中bt2a,

////

////

t1t2.若矩形ABCD与矩形ABCD的面积相等,证明:t1t

2为定值.

22

222

(文)如图,动圆C1:xyt,1

与椭圆C2:

x

2

9

y1相交于A,B,C,D四点,点A1,A2分别为C2的左,右顶点。

2

(Ⅰ)当t为何值时,矩形ABCD的面积取得最大值?并求出其最大面积; (Ⅱ)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程。

11.(2012年高考(江西理))已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)



满足MAMBOM(OAOB)2.

(1) 求曲线C的方程;

(2)动点Q(x0,y0)(-2

12.(2012年高考(江苏))如图,在平面直角坐标系xoy中,椭圆



xa

22

yb

22

1(ab0)的左、右

e焦点分别为F1(c,0),F2(c,0).已知(1,

e)和

都在椭圆上,其中e为椭圆的离2

心率.

(1) 求椭圆的方程;

(2)设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线AF1与直线BF

2点P.

(第19题)

(i)

若AF1BF2

2

,求直线AF1的斜率;

(ii)求证:PF1PF2是定值.

13.(2012年高考(湖南理))在直角坐标系xOy中,曲线C1的点均在C2:(x-5)+y=9外,且对

2

2

C1上任意一点M,M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.

(Ⅰ)求曲线C1的方程;

(Ⅱ)设P(x0,y0)(y0≠±3)为圆C2外一点,过P作圆C2的两条切线,分别与曲线C1相交于点A,B和C,D.证明:当P在直线x=﹣4上运动时,四点A,B,C,D的纵坐标之积为定值.

22

14.(2012年高考(湖北理))设A是单位圆xy1上的任意一点,l是过点A与x轴垂直

的直线,D是直线l与x 轴的交点,点M在直线l上,且满足

|DM|m|DA|(m0,且m1)

. 当点A在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线C.

(Ⅰ)求曲线C的方程,判断曲线C为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标;

(Ⅱ)过原点且斜率为k的直线交曲线C于P,Q两点,其中P在第一象限,它在y轴上的射影为点N,直线QN交曲线C于另一点H. 是否存在m,使得对任意的k0,都有PQPH?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由。

15.(2012年高考(广东理))(解析几何)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:

xa

22

yb

22

1

(ab0)

的离心率e

C上的点到点Q0,2的距离的最大值为3.

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)在椭圆C上,是否存在点Mm,n,使得直线l:mxny1与圆O:x2y21相交于不同的两点A、B,且OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的

OAB的面积;若不存在,请说明理由.

16.(2012年高考(福建理))如图,椭圆E:

xa

12

22

yb

22

1(ab0)的

左焦点为F1,右焦点为F2,离心率e

A,B两点,且ABF2的周长为8.

.过F1的直线交椭圆于

(Ⅰ)求椭圆E的方程.

(Ⅱ)设动直线l:ykxm与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x4相较于点

Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,

求出点M的坐标;若不存在,说明理由.

17.(2012年高考(大纲理))(注意:在试卷上作答无效) ........

2

已知抛物线C:y(x1)与圆M:(x1)(y

2

12

)r(r0) 有一个公共点A,

22

且在A处两曲线的切线为同一直线l. (1) 求r;

(2)设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线,m、n的交点为D,求D到l的距离.

18.(2012年高考(北京理))已知曲线C: (5m)x(m2)y8(mR)

2

2

(1)若曲线C是焦点在x轴的椭圆,求m的范围;

(2)设m4,曲线C与y轴的交点为A,B(点A位于点B的上方),直线ykx4与曲线C交于不同的两点M,N,直线y1与直线BM交于点G求证:A,G,N三点共线.

19.(2012年高考(安徽理))如图,F1(c,0),F2(c,0)分别是椭圆C:

xa

22

yb

22

1(ab0)

的左,右焦点,过点F1作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P,

a

2

过点F2作直线PF2的垂线交直线x

c

于点Q;

(I)若点Q的坐标为(4,4);求椭圆C的方程; (II)证明:直线PQ与椭圆C只有一个交点.

范文四:高考圆锥曲线经典真题

高考圆锥曲线经典真题

知识整合:

直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法,要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高,起到了拉开考生“档次”,有利于选拔的功能.

1.(江西卷15)过抛物线

x2py(p0)

2

的焦点F作倾角为30的直线,与抛物线

AFFB

1

分别交于A、B两点(A在y轴左侧),则 2 (2008年安徽卷)若过点

.3

2

2

A(4,0)的直线l与曲线(x2)y1有公共点,则直

线l的斜率的取值范围为 ( )

A.

[

B.

(

C.

[

3

3

D.

y

2

(

3

3

x

2

3(2008年海南---宁夏卷)设双曲线

9

16

1

的右顶点为A,右焦点为F,过点F

平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则三角形AFB的面积为-___________. 热点考点探究:

考点一:直线与曲线交点问题

例1.已知双曲线C:2x2-y2=2与点P(1,2)

(1)求过P(1,2)点的直线l的斜率取值范围,使l与C分别有一个交点,两个交点,没有交点.

解:(1)当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l

的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x-1),代入C的方程,并整理得 (2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0 (*) (ⅰ)当2-k2=0,即k=〒

2

时,方程(*)有一个根,l与C有一个交点

2

(ⅱ)当2-k2≠0,即k≠〒时

Δ=[2(k2-2k)]2-4(2-k2)(-k2+4k-6)=16(3-2k)

3

①当Δ=0,即3-2k=0,k=2时,方程(*)有一个实根,l与C有一个交点.

3

3

2

②当Δ>0,即k<2,又k≠〒,故当k<-

2

或-

2

<k<

2

2

<k<2

时,方程(*)有两不等实根,l与C有两个交点.

3

③当Δ<0,即k>2时,方程(*)无解,l与C无交点.

3

综上知:当k=〒

3

2

,或k=2,或k不存在时,l与C只有一个交点;

2

2

<k<2,或-

3

<k<

2

,或k<-

2

时,l与C有两个交点;

当k>2时,l与C没有交点.

(2)假设以Q为中点的弦存在,设为AB,且A(x1,y1),B(x2,y2),则2x12-y12=2,2x22-y22=2两式相减得:2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1-x2)=y1-y1

y1y2

即kAB=x1x2=2 但渐近线斜率为〒

2

,结合图形知直线AB与C无交点,所以假设不正确,即以

Q为中点的弦不存在.

(2)若Q(1,1),试判断以Q为中点的弦是否存在. 考点二:圆锥曲线中的最值问题

对于圆锥曲线问题上一些动点,在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的变量,从而使变量与其中的参变量之间构成函数关系,此时,用函数思想与函数方法处理起来十分方便。 例2 直线m

ykx1和双曲线xy:

2

2

1

的左支交于A、B两点,直线l过P(2,0)

和AB线段的中点M,求l在y轴上的截距b的取值范围。

ykx1

(x1)22

解:由xy1

2

2

消去得

y(k1)x2kx20

,由题意,有:

4k28(1k2)0

2k

xx0122

1k

2

xx0122

1k1k

2

x1x2k

x0221k

1ykx1

002x0,y01kM(),则

b

22kk2

2

k

由P(2,0)、M(1k设

f(k)2k

2

2

,

11k

14

2

)、Q(0,b)三点共线,可求得

2

k2

2(k)

178

,则f(k)在(1,

2)

上为减函数。

所以f(

2)f(k)f(1)

2)f(k)1

,且f(k)0 所以b(2

2)

所以(2

或b2

考点三:弦长问题

涉及弦长问题,应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长,涉及垂直关系往往也是利用韦达定理,设而不求简化运算

.

例3.如图所示,抛物线y2=4x的顶点为O,点A的坐标为(5,0),倾斜角为4的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点,求△AMN面积最大时直线l的方程,并求△AMN的最大面积. 解:由题意,可设l的方程为y=x+m,-5<m<0.

yxm2

由方程组y4x

,消去y,得x2+(2m-4)x+m2=0 ①

∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N,

∴方程①的判别式Δ=(2m-4)2-4m2=16(1-m)>0, 解得m<1,又-5<m<0,∴m的范围为(-5,0) 设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4-2m,x1〃x2=m2, ∴|MN|=4

2(1m)

.

5m2

点A到直线l的距离为d=∴S△=2(5+m)

m

.

,从而S△2=4(1-m)(5+m)2

22m5m5m

3

=2(2-2m)〃(5+m)(5+m)≤2(∴S△≤8

2

)3=128.

,当且仅当2-2m=5+m,即m=-1时取等号.

2

故直线l的方程为y=x-1,△AMN的最大面积为8考点4:圆锥曲线关于直线对称问题

.

例4. 已知椭圆的中心在圆点,一个焦点是F(2,0),且两条准线间的距离为

(4),

(I)求椭圆的方程;

(II)若存在过点A(1,0)的直线l,使点F关于直线l的对称点在椭圆上,求的取值范围

.

x

22

【解析】(I)设椭圆的方程为a由条件知

c2,且

2acx

22

2

yb

22

1(ab0)

,所以a

,b

2

ac4

22

故椭圆的方程是

y

2

4

1(4)

(II)依题意,直线l的斜率存在且不为0,记为k,则直线l的方程是yk(x1),设点

F(2,0)关于直线l的对称点为F(x0,y0),则

2

x021k

y2k021k

(

/

x02y0

k(1)22

解得

y0k1x02

21k

)2

2

因为

F(x0,y0)

4

/

在椭圆上,所以

2

2

1k

4

(

2k

2

)

2

1

即(4)k2(6)k(4)0

2

2

2

故kt,则(4)t2(6)t(4)0

因为

4,所以

(4)

2

(4)

0

[2(6)]24(4)30,

2(6)

(4)0,

于是,当且仅当(*)

上述方程存在正实根,即直线l存在.

16

,16

所以43

346

163

解(*)得

即的取值范围是规律总结

4

1. 判定直线与圆锥曲线位置关系时,应将直线l方程与圆锥曲线C的方程联立,

消去y(也可消去x)得一个关于变量x的一元方程ax①当a0时,若有离.

0,则l与

2

bx20.

C相交;若0,则l与C相切;若0,则l与C相

②当a0时,得到一个一元一次方程,若方程有解,则有直线l与C相交,此时只有一个公共点;若C为双曲线,则l平行于双曲线的渐近线;若C为抛物线,则l平行于抛物线的轴.所以只有当直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时,直线与双曲线、抛物线可能相切,也可能相交. 2. “设而不求”的方法

若直线l与圆锥曲线C有两个交点A和B时,一般地,首先设出交点A(x1,y1)、B(x2,y2),它们是过渡性参数,不须求出,有时运用韦达定理解决问题,有时利用点在曲线上代入曲线方程整体运算求解. 3. 韦达定理与弦长公式

斜率为k的直线被圆锥曲线截得弦AB,若A(x1,y1),B(x2,y2)

则|AB||x1x2||y1y2|

k0)

,然后再结合韦达定理可求出弦长等.

专题能力训练: 一、选择题

x

2

1.斜率为1的直线l与椭圆

45

44

+y2=1相交于A、B两点,则|AB|的最大值为( )

85

A.2 B.

5

C.

5

D.

2.抛物线y=ax2与直线y=kx+b(k≠0)交于A、B两点,且此两点的横坐标分别为x1,x2,直线与x轴交点的横坐标是x3,则恒有( ) A.x3=x1+x2 B.x1x2=x1x3+x2x3

C.x1+x2+x3=0 D.x1x2+x2x3+x3x1=0 1.解析:弦长|AB|=答案:C

yax2

2.解析:解方程组ykxb

2

45t5

2

4≤

5

.

kbb

,得ax2-kx-b=0,可知x1+x2=a,x1x2=-a,x3=-k,

代入验证即可. 答案:B

x

22

3.斜率为2的直线l过双曲线a

yb

22

1(a0,b0)

的右焦点,且与双曲线的左、右

两支分别相交,则双曲线的离心率e的取值范围是 ( D )

A. e

B. 1e

C. 1e

y4x

2

D. e

4.过点A(4,0)的直线与抛物线形BOC是 ( C )

交于另外两点B、C,O是坐标原点,则三角

A.锐角三角形 B.钝角三角形 C. 直角三角形 D.形状不确定 二、填空题

5

5

4)、5.已知两点M(1,N(-4,-4),给出下列曲线方程:①4x+2y-1=0,②x2+y2=3,

x

2

x

2

2

+y2=1,④

2

-y2=1,在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是

_________.

.解析:点P在线段MN的垂直平分线上,判断MN的垂直平分线于所给曲线是否存在交点. 答案:②③④

6.正方形ABCD的边AB在直线y=x+4上,C、D两点在抛物线y2=x上,则正方形

ABCD的面积为_________.

7.在抛物线y2=16x内,通过点(2,1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________.

6解析:设C、D所在直线方程为y=x+b,代入y2=x,利用弦长公式可求出|CD|的长,利用|CD|的长等于两平行直线y=x+4与y=x+b间的距离,求出b的值,再代入求出|CD|的长. 答案:18或50

7.解析:设所求直线与y2=16x相交于点A、B,且A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得y12=16x1,y22=16x2,两式相减得,(y1+y2)(y1-y2)=16(x1-x2).

y1y2

x1x2

16y1y2

kAB=8.

故所求直线方程为y=8x-15. 答案:8x-y-15=0 三、解答题

8.已知抛物线y2=2px(p>0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B,且|AB|≤2p. (1)求a的取值范围.

(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求△NAB面积的最大值

.

21

9.知中心在原点,顶点A1、A2在x轴上,离心率e=

3

的双曲线过点P(6,6).

(1)求双曲线方程.

(2)动直线l经过△A1PA2的重心G,与双曲线交于不同的两点M、N,问:是否存在直线l,使G平分线段MN,证明你的结论. 10.已知双曲线C的两条渐近线都过原点,且都以点A(

2

,0)为圆心,1为半

径的圆相切,双曲线的一个顶点A1与A点关于直线y=x对称. (1)求双曲线C的方程.

(2)设直线l过点A,斜率为k,当0<k<1时,双曲线C的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为

2

,试求k的值及此时B点的坐标.

x

2

11. 已知过双曲线方程

4

y

2

2

1

(1)过M(1,1)的直线交双曲线于A、B两点,若M为弦AB的中点,求直线AB的方程;

1N(1,)

2为l被双曲线所截得弦的中点,若存在,求出直线l(2)是否存在直线l,使

方程;若不存在,请说明理由.

8解:(1)设直线l的方程为:y=x-a,代入抛物线方程得(x-a)2=2px,即x2-2(a+p)x+a2=0 ∴|AB|=

2

4(ap)4a

p

2

2

≤2p.∴4ap+2p2≤p2,即4ap≤-p2

又∵p>0,∴a≤-4.

(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的中点 C(x,y), 由(1)知,y1=x1-a,y2=x2-a,x1+x2=2a+2p,

x1x2

则有x=

2

ap,y

y1y2

2

x1x22a

2

=p.

∴线段AB的垂直平分线的方程为y-p=-(x-a-p),从而N点坐标为(a+2p,0)

|a2pa|

点N到AB的距离为

1

2

2p

2p2p2app

2

从而S△NAB=2

24(ap)4a

22

p

当a有最大值-4时,S有最大值为

x

22

2

p2.

22

9.解:(1)如图,设双曲线方程为a得

a2=9,b2=12.

yb

6

22

=1.由已知得a

6b

22

1,e

2

aba

2

22

213

,解

x

2

所以所求双曲线方程为

9

y

2

12

=1.

(2)P、A1、A2的坐标依次为(6,6)、(3,0)、(-3,0), ∴其重心G的坐标为(2,2)

假设存在直线l,使G(2,2)平分线段MN,设M(x1,y1),N(x2,y2).则有

12x129y12108

22

yy212412x29y2108

1

x1x293x1x24

y1y24

4

,∴kl=3

4

∴l的方程为y=3 (x-2)+2,

12x29y21084y(x2)

3由

,消去y,整理得x2-4x+28=0.

∵Δ=16-4〓28<0,∴所求直线l不存在.

|2k|k

2

10.解:(1)设双曲线的渐近线为y=kx,由d=

1

=1,解得k=〒1.

即渐近线为y=〒x,又点A关于y=x对称点的坐标为(0,∴a=

2

2

).

=b,所求双曲线C的方程为x2-y2=2.

2

(2)设直线l:y=k(x-l′间的距离为

2

)(0<k<1),依题意B点在平行的直线l′上,且l与

.

|

2km|k

2

2

设直线l′:y=kx+m,应有

1

,化简得m2+2

2

km=2. ②

把l′代入双曲线方程得(k2-1)x2+2mkx+m2-2=0,

由Δ=4m2k2-4(k2-1)(m2-2)=0.可得m2+2k2=2 ③

2

25

②、③两式相减得k=

mk

2

m,代入③得m2=

2

5

,解设m=

5

,k=

5

,此时

x=

k

2

1

22

,y=

.故B(2,

).

11.解析(1)设A(x1,y1),B(x2,y2), 则

M(

x1x2

2

2

,

y1y2

2

)

x1

则有

x24

2

4

2

y12

2

1

…………………..①

y22

1

………………………..②

y2)(y1y2)0

①-②得(x1x2)(x1x2)2(y1∵x1x2

kAB

2,y1y22

y1y2x1x2

12

12(x1)

直线AB方程为y1

x2y10

y

2x

1

∵双曲线的一条渐近线方程为,

而2

2

,

直线x2y10与双曲线交于两点.

x2y10为所求.

(2)假设过N直线l交双曲线于, C(x1,y1),D(x2,y2)则有

x14

2

y12

2

1

x2

2

,

4

y22

2

1

.

y2)(y1y2)0

两式相减得(x1x2)(x1x2)2(y1∵x1

kCD

x2,x1x22,y1y21

y1y2x1x2

1

y

2

x,而1

2

∵双曲线的一条渐近线方程为,

直线l与双曲线没有公共点.

1N(1,)

2为弦中点的直线不存在. 以

【点评】”设而不求”是保证A、B两交点存在的情况下,所采用整体运算求直线方程的方法,但如果是假定直线与曲线存在两个交点A、B为前提下求出直线l,则必须验证l与圆锥曲线公共点的存在性.

范文五:圆锥曲线与方程高考真题

第二章 圆锥曲线与方程

高考真题

x2y2

1.(2012·湖南)已知双曲线C:-=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的ab方程为 ( ). x2y21 205

x2y2C.1 8020x2y2-1 520x2y2=1 2080

x2y241解析 双曲线C的渐近线方程为0及点P(2,1)在渐近线上,∴0,即a2abab=4b2,

又a2+b2=c2=25,解①②得b2=5,a2=20,故选A.

答案 A

2.(2012·大纲全国)已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=2 左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos ∠F1PF2=

1 4 3B. 5 4D. 5 ( ). 3 4

|PF1|-|PF2|=22,解析 ∵a=b2,∴c=2.由 |PF1|=2|PF2|

得|PF1|=42,|PF2|=22,

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

由余弦定理得cos ∠F1PF2=2|PF1|·|PF2|

3=,故选C. 4

答案 C

3.(2012·四川)已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|=

A.22 B.23 C.4 ( ). D.25

pp0,准线为x=-.由定义知|MF|解析 设抛物线方程为y2=2px(p>0),其焦点F22

p=2 2

p∴+2=3,∴p=2,∴y22=4p=8, 0=2p·2

∴y0=±2,∴|OM|=

答案 B 2+y0= 12= 3.

x2y23a4.(2012·课标全国)设F1、F2是椭圆E1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上ab2

一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为

1 22 3 3C. 4 45 ( ).

3解析 设直线x=与x轴交于点Q, 2

由题意得∠PF2Q=60°,|F2P|=|F1F2|=2c,

3|F2Q|=-c, 2

31c3∴a-c=×2c,e=,故选C. 22a4

答案 C

x2y2

5.(2012·江西)+1(a>b>0)的左、右顶点分别是A、B,左、右焦点分别是F1、abF2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为

1 45 51C. 2 5-2 ( ).

解析 在椭圆中,易知|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c,∵|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,

∴(a-c)(a+c)=(2c)2,则e答案 B

x2y2

6. (2012·安徽)如图,F1、F2分别是椭圆C1(a>bab

>0)的左、右焦点,A是椭圆C的顶点,B是直线AF2

与椭圆C的另一个交点,∠F1AF2=60°.

(1)求椭圆C的离心率;

(2)已知△AF1B的面积为3,求a,b的值.

解 (1)由题意可知,△AF1F2为等边三角形,a=2c,

1所以e=. 2

(2)法一 a2=4c2,b2=3c2,

直线AB的方程为:y=-3(x-c).

83将其代入椭圆方程3x2+4y2=12c2,得Bc,-

. 555,故选B. 5

所以|AB|= 8-0=16c. 1+3·55

11163232由S△AF1BAF1|·|AB|sin ∠F1AB=ac==40 3,解得a=10,b=5 3. 22525

法二 设|AB|=t.

因为|AF2|=a,所以|BF2|=t-a.

由椭圆定义|BF1|+|BF2|=2a可知,|BF1|=3a-t.

8183232再由余弦定理得(3a-t)2=a2+t2-2atcos 60°,解得t.由S△AF1Ba52525

=40 3知,a=10,b=5 3.

7.(2012·福建) 如图,等边三角形OAB的边长为83,且

其三个顶点均在抛物线E:x2=2py(p>0)上.

(1)求抛物线E的方程;

(2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1

相交于点Q.证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点.

解 法一 (1)依题意,|OB|=83,∠BOy=30°.

设B(x,y),则x=|OB|sin 30°=43,y=|OB|cos 30°=12.

因为点B(43,12)在x2=2py上,所以(43)2=2p×12,解得p=2.故抛物线E的方程为x2=4y.

11(2)由(1)知y=2,y′=. 42

设P(x0,y0),则x0≠0,且l的方程为

1y-y0=x0(x-x0), 2

121112y=2x0x-4x0,即yx0x0.由24y=-1,

2 x-42x=0x0-42x0得所以Q,-1. 2x0y=-1.

1→→设M(0,y1),令MP·MQ=0对满足y0=2(x≠0)的x0,y0恒成立. 400

→由于MP=(x0,y0-y1),

x-4→MQ=1-y1, 2x0

2x0-4→→由MP·MQ=0y0-y0y1+y1+y

21=0, 22

即(y21+y1-2)+(1-y1)y0=0.(*)

1由于(*)式对满足y0=x2(x≠0)的y0恒成立, 400

1-y1=0,所以2解得y1=1. y+y-2=0,11

故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1).

法二 (1)同解法一.

111(2)由(1)知y=2,y′=.设P(x0,y0),则x0≠0,且l的方程为y-y0=0(x-x0), 422

11即yx0x2. 240

11x-4x=0,y20x-420,2x0由得 y=-1,y=-1.

x0-4所以Q,-1. 2x0

取x0=2,此时P(2,1),Q(0,-1),以PQ为直径的圆为(x-1)2+y2=2,交y轴于点M1(0,1)

1-3,-1,x+12+y+31,,或M2(0,-1);取x0=1,此时PQ以PQ为直径的圆为4248

22 2 =71250,-. ,交y轴于M3(0,1)或M4464

故若满足条件的点M存在,只能是M(0,1).

以下证明点M(0,1)就是所要求的点.

x0-4→→因为MP=(x0,y0-1),MQ=2, 2x0

→→x0-4MP·MQ=2y0+2=2y0-2-2y0+2=0. 2

故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M. 22

范文六:圆锥曲线2013高考题汇总

圆锥曲线2013年高考题汇总

一、选择题

1 (.2013年高考课标Ⅱ卷(文))设抛物线C:y4x的焦点为F,直线L过F且与C交于A, B两点.若|AF|=3|BF|,

2=

则L的方程为 ( )

A.y=x-1或y=-x+1 B.y=错误!未找到引用源。(X-1)或y=错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。(x-1)

C.y=错误!未找到引用源。(x-1)或y=-错误!未找到引用源。(x-1) D.y=错误!未找到引用源。(x-1)或y=-错误!未找到引用源。(x-1)

2 .(2013年高考课标Ⅰ卷(文))O为坐标原点,F

为抛物线C:y的焦点,P为C上一点,

2

|PF|,则POF的面积为

A.2

B

.C

.D.4

( )

x2y23 .(2013年高考课标Ⅰ卷(文))已知双曲线C:221(a0,b0)的离心率为错误!未找到引用源。,

ab

则C的渐近线方程为 A.y

( )

1x 4

B.y

1x 3

C.y

1x 2

D.yx

x2y2

4 .(2013年高考课标Ⅱ卷(文))设椭圆C:221(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点

ab

PF2F1F2,PF1F230,则C的离心率为

A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。

到引用源。 D.错误!未找到引用源。

5)已知F1

( ) C.错误!未找

且1,0,F21,0是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交于A、B两点,

AB3,

则C的方程为

( )

x2

y21 A.2x2y2

1 B.32x2y2

1 C.43

2

x2y2

1 D.54

6.(2013年高考大纲卷(文))已知抛物线C:y

8x与点M2,2,过C的焦点且斜率为k的直线与C交

( )



MB0,则k 于A,B两点,若MA

A.

1

2

B

2

C

D.2

y2

1的充分必要条件是 7.(2013年高考北京卷(文))双曲线xm

A.mA.1

( )

1 2

B.m1 B.2

C.m1 C.4

1

D.m2 D

8.(2013年高考江西卷(文))已知点A(2,0),抛物线C:x=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与

2

其准线相交于点N,则|FM|:|MN|=

A.2:错误!未找到引用源。

二、填空题

B.1:2

( )

C.1:错误!未找到引用源。 D.1:3

x2y2

9.(2013年高考陕西卷(文))双曲线1的离心率为________.

169

10.若抛物线y

2

2px的焦点坐标为(1,0)则p=____;准线方程为_____.

x2y2

11.椭圆:221(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线与椭圆的一个交点M满

ab

足MF1F22MF2F1,则该椭圆的离心率等于__________

x2y2

12.(2013年高考天津卷(文))已知抛物线y8x的准线过双曲线221(a0,b0)的一个焦点, 且双

ab

2

曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为______.

三、解答题

x2

13.(2013年高考北京卷(文))直线ykxm(m0)W:y21相交于A,C两点,O 是坐标原点

4

(1)当点B的坐标为(0,1),且四边形OABC为菱形时,求AC的长. (2)当点B在W上且不是W的顶点时,证明四边形OABC不可能为菱形.

14.(2013年高考陕西卷(文))已知动点M(x,y)到直线l:x = 4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.

(Ⅰ) 求动点M的轨迹C的方程;

(Ⅱ) 过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A, B两点. 若A是PB的中点, 求直线m的斜率.

x2y215.(2013年高考天津卷(文))设椭圆221(ab0)的左焦点为F,

过点F且与x轴垂

ab(Ⅰ) 求椭圆的方程;

(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若AC·DBAD·CB8, 求k的值.

16.(2013年高考课标Ⅱ卷(文))在平面直角坐标系xOy中,己知圆P在x轴上截得线段长为2错误!未找到

引用源。,在Y轴上截得线段长为2错误!未找到引用源。. (Ⅰ)求圆心P的轨迹方程; (Ⅱ)若P点到直线y=x的距离为

,求圆P的方程.

2圆锥曲线2013年高考题汇总

一、选择题

1 (.2013年高考课标Ⅱ卷(文))设抛物线C:y4x的焦点为F,直线L过F且与C交于A, B两点.若|AF|=3|BF|,

2=

则L的方程为 ( )

A.y=x-1或y=-x+1 B.y=错误!未找到引用源。(X-1)或y=错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。(x-1)

C.y=错误!未找到引用源。(x-1)或y=-错误!未找到引用源。(x-1) D.y=错误!未找到引用源。(x-1)或y=-错误!未找到引用源。(x-1)

2 .(2013年高考课标Ⅰ卷(文))O为坐标原点,F

为抛物线C:y的焦点,P为C上一点,

2

|PF|,则POF的面积为

A.2

B

.C

.D.4

( )

x2y23 .(2013年高考课标Ⅰ卷(文))已知双曲线C:221(a0,b0)的离心率为错误!未找到引用源。,

ab

则C的渐近线方程为 A.y

( )

1x 4

B.y

1x 3

C.y

1x 2

D.yx

x2y2

4 .(2013年高考课标Ⅱ卷(文))设椭圆C:221(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点

ab

PF2F1F2,PF1F230,则C的离心率为

A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。

到引用源。 D.错误!未找到引用源。

5)已知F1

( ) C.错误!未找

且1,0,F21,0是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交于A、B两点,

AB3,

则C的方程为

( )

x2

y21 A.2x2y2

1 B.32x2y2

1 C.43

2

x2y2

1 D.54

6.(2013年高考大纲卷(文))已知抛物线C:y

8x与点M2,2,过C的焦点且斜率为k的直线与C交

( )



MB0,则k 于A,B两点,若MA

A.

1

2

B

2

C

D.2

y2

1的充分必要条件是 7.(2013年高考北京卷(文))双曲线xm

A.mA.1

( )

1 2

B.m1 B.2

C.m1 C.4

1

D.m2 D

8.(2013年高考江西卷(文))已知点A(2,0),抛物线C:x=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与

2

其准线相交于点N,则|FM|:|MN|=

A.2:错误!未找到引用源。

二、填空题

B.1:2

( )

C.1:错误!未找到引用源。 D.1:3

x2y2

9.(2013年高考陕西卷(文))双曲线1的离心率为________.

169

10.若抛物线y

2

2px的焦点坐标为(1,0)则p=____;准线方程为_____.

x2y2

11.椭圆:221(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线与椭圆的一个交点M满

ab

足MF1F22MF2F1,则该椭圆的离心率等于__________

x2y2

12.(2013年高考天津卷(文))已知抛物线y8x的准线过双曲线221(a0,b0)的一个焦点, 且双

ab

2

曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为______.

三、解答题

x2

13.(2013年高考北京卷(文))直线ykxm(m0)W:y21相交于A,C两点,O 是坐标原点

4

(1)当点B的坐标为(0,1),且四边形OABC为菱形时,求AC的长. (2)当点B在W上且不是W的顶点时,证明四边形OABC不可能为菱形.

14.(2013年高考陕西卷(文))已知动点M(x,y)到直线l:x = 4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.

(Ⅰ) 求动点M的轨迹C的方程;

(Ⅱ) 过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A, B两点. 若A是PB的中点, 求直线m的斜率.

x2y215.(2013年高考天津卷(文))设椭圆221(ab0)的左焦点为F,

过点F且与x轴垂

ab(Ⅰ) 求椭圆的方程;

(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若AC·DBAD·CB8, 求k的值.

16.(2013年高考课标Ⅱ卷(文))在平面直角坐标系xOy中,己知圆P在x轴上截得线段长为2错误!未找到

引用源。,在Y轴上截得线段长为2错误!未找到引用源。. (Ⅰ)求圆心P的轨迹方程; (Ⅱ)若P点到直线y=x的距离为

,求圆P的方程.

2

范文七:圆锥曲线历年高考题(2)

历届高考中的“椭圆”试题精选(自我测试)

1.(2007安徽文)椭圆x4y1的离心率为( )

22

322

(B) (C) (D)

4322

x2y2

1上的点.若F1,F2是椭圆的两个焦点,则PF1PF2等2.(2008上海文)设p是椭圆

2516

(A)于( )

A.4

B.5

C.8

D.10

x2y211的离心率为,则m=( ) 3.(2005广东)若焦点在x轴上的椭圆

22m

382

A. B. C. D.

233

x22

4.(2006全国Ⅱ卷文、理)已知△ABC的顶点B、C在椭圆+y=1上,顶点A是椭圆的一个焦

3

点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是( )

(A)3 (B)6 (C)3 (D)12 5.(2003北京文)如图,直线l:x2y20过椭圆的左焦点 F1和 一个顶点B,该椭圆的离心率为( )

A.

12525 B. C. D. 5555

6.(2002春招北京文、理)已知椭圆的焦点是F1、F2、P是椭圆上的一个动点.如果延长F1P到

Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点Q的轨迹是( )

(A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线的一支 (D)抛物线 7.(2004福建文、理)已知F1、F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点,若△ABF2是正三角形,则这个椭圆的离心率是( ) (A)

22 (B) (C) (D) 3322

8.(2007重庆文)已知以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x3y40有且仅有一

个交点,则椭圆的长轴长为( )

(A)2

(B)26 (C)27 (D)42

二、填空题:

9.(2008全国Ⅰ卷文)在△ABC中,A90,tanB则该椭圆的离心率e .

10.(2006上海理)已知椭圆中心在原点,一个焦点为F(-2,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是 .

11.(2007江苏)在平面直角坐标系xOy中,已知ABC顶点A(4,0)和C(4,0),顶点B在椭

3.若以A,B为焦点的椭圆经过点C,4

x2y2sinAsinC

圆1上,则

sinB259

12.(2001春招北京、内蒙、安徽文、理)椭圆x24y24长轴上一个顶点为A,以A为直角

顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形,该三角形的面积是_______________.

历届高考中的“双曲线”试题精选(自我测试)

xy

1的渐近线方程是( ) 49

2439

(A)yx (B)yx (C)yx (D)yx

3924

2.(2006全国Ⅰ卷文、理)双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍,则m( )

11A. B.4 C.4 D.

44

x2y2

3.(2000春招北京、安徽文、理)双曲线221的两条渐近线互相垂直,那么该

ba

1.(2005全国卷Ⅱ文,2004春招北京文、理)双曲线

双曲线的离心率是( )

A.2 B.3 C.2 D.

3

2

4.(2007全国Ⅰ文、理)已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则双曲线方程为( )

x2y2x2y2x2y2x2y2

1 (B)1 (C)1 (C)1 (A)

412124106610

5.(2008辽宁文) 已知双曲线9ymx1(m0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为则m( )

A.1 B.2

C.3

2

222

1

, 5

D.4

y2

1的焦点为F1、F2,点M在双曲线上且6.(2005全国卷III文、理)已知双曲线x2



MF1MF20,则点M到x轴的距离为(

45 A.

B. C D33x2y2

7.(2008福建文、理)双曲线221(a>0,b>0)的两个焦点为F1,F2,若P为其上的一点,

ab

且|PF1|2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为( )

A.(1,3) B.(1,3] C.(3,) D.[3,)

x2r2

8.(2007安徽理)如图,F1和F2分别是双曲线221(a0,b0)的两个焦点,A和B是

ab

以O为圆心,以OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,

且△F2AB是等边三角形,则双曲线的离心率为( ) (A)3

二、填空题:

(B)5

(C)

(D)13 2

x2y2

1n= 9.(2008安徽文)已知双曲线

n12

n

10.(2006上海文)已知双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长

之比为5:4,则双曲线的标准方程是____________________.

x2y2

1的两个焦点为F1、F2,点P在双曲线上,11.(2001广东、全国文、理)双曲线

916

若PF1⊥PF2,则点P到xx2y2

12.(2005浙江文、理)过双曲线221a0,b0的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲

ab

线相交于M、N两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于_____ ___.

历届高考中的“抛物线”试题精选(自我测试 )

1.(2006浙江文)抛物线的准线方程是( )

(A) x2 (B) x4 (C) y2 (D) y4

2.(2005江苏)抛物线y4x上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是( )

2

17157

B. C. D.0

16816

3.(2004春招北京文)在抛物线y22px上横坐标为4的点到焦点的距离为5,则p的值为( )

1A. B. 1 C. 2 D. 4

2

A.

4.(2004湖北理)与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x2的切线方程是( )

(A) 2x-y+3=0 (B) 2x-y-3=0 (C) 2x-y+1=0 (D) 2x-y-1=0

2

5.(2001江西、山西、天津文、理)设坐标原点为O,抛物线y2x与过焦点的直线交于A、B两点,则( ) (A)

33

(B)- (C)3 (D)-3 44

6.(2008海南、宁夏理)已知点P在抛物线y2 = 4x上,那么点P到点Q(2,-1)的距离与点P

到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为( )

A. (

11

,-1) B. (,1) 44

C. (1,2

) D. (1,-2)

7.(2007全国Ⅰ文、理)抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为3的直线与抛物线

在x轴上方的部分相交于点A,AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是( ) (A)4 (B)33 (C) 43 (D)8 8.(2006江苏)已知两点M(-2,0)、N(2,0),点P为坐标平面内的动点,满足



|MN||MP|MNNP =0,则动点P(x,y)的轨迹方程为( )

(A)y28x (B)y28x (C)y24x (D)y24x 二.填空题: 9.( 2007广东文)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线关于x轴对称,顶点在原点O,且过点P(2,4),则该抛物线的方程是 .

10.(2008上海文)若直线axy10经过抛物线y24x的焦点,则实数a. 11.(2004春招上海)过抛物线y24x的焦点F作垂直于x轴的直线,交抛物线于A、B两点,则以F为圆心、AB为直径的圆方程是________________.

12.(2006山东文、理)已知抛物线y24x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于

22

A(x1,y1)、B(x2,y2) 两点,则y1的最小值是 y2

历届高考中的“椭圆”试题精选(自我测试)

参 考 答 案

x2y215161 。 11. 。 12. 9. . 10.

2425164

历届高考中的“双曲线”试题精选(自我测试)

参 考 答 案

x2y216

1 11. ; 12._____. 9. ; 10.

5916

历届高考中的“抛物线”试题精选(自我测试 )

参 考 答 案

二.填空题:

2

9.y8x ; 10.. 11.(x1)y4 ;12.

22

范文八:圆锥曲线2015年高考题xs

专题十六 平面几何初步

1.(15北京文科)圆心为1,1且过原点的圆的方程是( )

A.x1y11 B.x1y11 C.x1y12 D.x1y12

2.(15年广东理科)平行于直线2xy10且与圆x2y25相切的直线的方程是 A.2xy0或2xy0 B. 2xy50或2xy0 C. 2xy50或2xy50 D. 2xy50或2xy50

3.(15年新课标2

文科)已知三点A(1,0),BC,则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )

2

2

2

2

2

2

2

2

54A.

D. 33x2y24.(15年新课标2文科)已知椭圆C:221ab0

的离心率为,

点在C上.

ab2

(I)求C的方程;

(II)直线l不经过原点O,且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB中点为M,证明:直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.

5.(15年陕西理科)设曲线ye在点(0,1)处的切线与曲线y为 .

6.(15年天津理科)如图,在圆O 中,M,N 是弦AB 的三等分点,弦CD,CE 分别经过点M,N .若

x

1

(x0)上点p处的切线垂直,则p的坐标 x

CM2,MD4,CN3 ,则线段NE 的长为

(A)

8105 (B)3 (C) (D) 323

7.(15年天津文科)如图,在圆O中,M,N是弦AB的三等分点,弦CD,CE分别经过点M,N,若CM=2,MD=4,CN=3,则线段NE的长为( ) (A)

8105 (B) 3 (C) (D)

332

x2y28.(15年天津文科)已知椭圆2+2=1(a>b>0)的上顶点为B,左焦点为F,

,

ab(I)求直线BF的斜率;

(II)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B),故点B且垂直于BF的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B)直线PQ与x轴交于点M,|PM|=l|MQ|. (i)求l的值; (ii

)若|PM|sinÐBQP

10.(15年山东理科)一条光线从点(2,3)射出,经y轴反射与圆(x3)(y2)1相切,则反射光线所在的直线的斜率为

(A)或 (B) 

2

2

求椭圆的方程. 5335335443或 (C) 或 (D) 或 224534

11.(15年江苏)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mxy2m10(mR)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为

专题十七 圆锥曲线与方程

x2

1.(15北京理科)已知双曲线2y21a

0y0,则aa

x2y2

1和点Am,nm≠0都在2.(15北京理科)已知椭圆C:221ab

0,点P0,

ab

椭圆C上,直线PA交x轴于点M.

(Ⅰ)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示);

(Ⅱ)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N.问:y轴上是否存在点Q,使得OQMONQ?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由.

y2

3.(15北京文科)已知2,0是双曲线x21(b0)的一个焦点,则b

b

2

4.(15北京文科)已知椭圆C:x3y3,过点D1,0且不过点2,1的直线与椭圆C交于,两点,

2

2

直线与直线x3交于点. (Ⅰ)求椭圆C的离心率;

(Ⅱ)若垂直于x轴,求直线的斜率;

(Ⅲ)试判断直线与直线D的位置关系,并说明理由.

5x2y2

5.(15年广东理科)已知双曲线C:221的离心率e,且其右焦点F25,0,则双曲线C的方程为

4ab

x2y2x2y2x2y2x2y2

1 B. 1 C. 1 D. 1 A.4316991634

6.(15年广东理科)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B. (1)求圆C1的圆心坐标;

(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;

(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点:若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.

x2y2

6.(15年广东文科)已知椭圆1(m0)的左焦点为F14,0,则m( )

25m2

A.9 B.4 C.3 D.2

x2y2

7.(15年安徽理科)设椭圆E的方程为221ab0,点O为坐标原点,点A的坐标为a,0,点B

ab

的坐标为0,b,点M在线段AB上,满足BM2MA,直线OM

(I)求E的离心率e;

(II)设点C的坐标为0,b,N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为

8.(15年安徽文科)下列双曲线中,渐近线方程为y2x的是( )

7

,求E的方程. 2

y2x2

1 (B)y21 (A)x44

2

y2x2

1 (D)y21 (C)x22

2

x2y2

9.(15年安徽文科)设椭圆E的方程为221(ab0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐

ab

标为(0,b),点M在线段AB上,满足BM2MA,直线OM

(1)求E的离心率e;

(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,证明:MNAB。

学优高考网x2y2

1 的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且PF13,10.(15年福建理科)若双曲线E:

916

则PF2 等于( )

A.11 B.9 C.5 D.3

x2y211.(15年福建理科)已知椭圆E:2+2=1(a>b>

0)过点

,且离心率为.

ab2

(Ⅰ)求椭圆E的方程;

(Ⅱ)设直线x=my-1,(m?R)交椭圆E于A,B两点,判断点G(-,0)与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由.

9

4

x2y2

12.(15年福建文科)已知椭圆E:221(ab0)的右焦点为F.短轴的一个端点为M,直线

abl:3x4y0交椭圆E于A,B两点.若AFBF4,点M到直线l的距离不小于

取值范围是( ) A.

(4

,则椭圆E的离心率的5

33 D.[,1) ] B.(0,] C

.442

13.(15年福建文科)已知点F为抛物线E:y2px(p0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且AF3. (Ⅰ)求抛物线E的方程;

(Ⅱ)已知点G(1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.

14.(15年新课标1理科)一个圆经过椭圆

的三个顶点,且圆心在x轴上,则该圆的标准方

程为 。

15.(15年新课标2理科)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交于y轴于M、N两点,则MN=

(A)26 (B)8 (C)46 (D)10

16.(15年新课标2理科)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,∆ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为

(A)√5 (B)2 (C)√3 (D)√2

17.(15年新课标2理科)已知椭圆C:9x2y2m2(m0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M。

(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;

m

(2)若l过点(,m),延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时l的斜率;

3

若不能,说明理由。 18.(15年新课标2文科)

已知双曲线过点,且渐近线方程为y

1

x,则该双曲线的标准方程为. 2

19.(15年陕西理科)若抛物线y22px(p0)的准线经过双曲线x2y21的一个焦点,则

x2y2

21.(15年陕西理科)已知椭圆:221(ab0)的半焦距为c,原点到经过两点

ab1

c,0,0,b的直线的距离为2c. (I)求椭圆的离心率;

522

(II)如图,是圆:x2y1的一条直径,若椭圆经过,两点,求椭圆的方

2

程.

22.(15年陕西文科)已知抛物线y2px(p0)的准线经过点(1,1),则抛物线焦点坐标为( ) A.(1,0) B.(1,0) C.(0,1) D.(0,1)

2

x2y223.(15年陕西文科)如图,椭圆E:221(ab0)经过点A(0,

1).

ab(I)求椭圆E的方程;

(II)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP与AQ的斜率之和为2.

x2y2

24.(15年天津理科)已知双曲线221a0,b0

的一条渐近线过点 ,且双曲线的一个焦点在

ab

抛物线y2 的准线上,则双曲线的方程为

x2y2x2y2x2y2x2y21(C)1 (B)1(D)1 (A)

282121283443

x2y225.(15年天津理科)已知椭圆2+2=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),

,点M在椭圆上且位于

abb4第一象限,直线FM被圆x+y=截得的线段的长为c

,.

42

2

(I)求直线FM的斜率;

(II)求椭圆的方程;

(III)设动点P在椭圆上,若直线FP

OP(O为原点)的斜率的取值范围.

x2y2

26.(15年天津文科)已知双曲线2-2=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆

ab

(x-2)+y2=3相切,则双曲线的方程为( )

x2y2x2y2x2y222

-y=1 (D) x-=1 -=1 (B) -=1 (C) (A)

33913139

x2y2

28.(15年山东理科)平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:221(a0,b0)的渐近线与抛物线

ab

2

C2:x22py(p0)交于点O,A,B,若OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为.

x2y229.(15年山东理科)平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:221(ab

0)ab

分别是F1,F2,以F1为圆心,以3为半径的圆与以F2为圆心,以1为半径的圆相交,交点在椭圆C上. (Ⅰ)求椭圆C的方程;

x2y2

(Ⅱ)设椭圆E:221,P为椭圆C上的任意一点,过点P的直线ykxm交椭圆E于A,B两点,射

4a4b

线PO交椭圆E于点Q. (ⅰ)求

|OQ|

的值;(ⅱ)求ABQ面积最大值. |OP|

2

2

30.(15年江苏) 在平面直角坐标系xOy中,若点P到直线xy10P为双曲线xy1右支上的一个动点。的距离大于c恒成立,则是实数c的最大值为

x2y231.(15年江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆221ab

0abF到左 准线l的距离为3.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程.

范文九:山东高考圆锥曲线真题

(22)(本小题满分13分)

垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为l.

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1、PF2,设∠F1PF2的角平分线

PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点p作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个这个定值.

(21)(本小题满分13分)

在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线C:x22py(p

0)的焦点,M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,过M,F,O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线的距离为3. 4

(Ⅰ)求抛物线C的方程;

(Ⅱ)是否存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由;

(Ⅲ)若点M直线l:ykx

圆Q有两个不同的交点D,E,求当

(22)(本小题满分14分) 1与抛物线C有两个不同的交点A,B,l与4122k2时,ABDE的最小值

. 2

x2y2

1交于Pxy1.Qx1y两不同点,且△OPQ的已知直线l与椭圆C: 32

面积其中Q为坐标原点。 2222(Ⅰ)证明X1+X2和Y1+Y2均为定值

(Ⅱ)设线段PQ的中点为M,求OMPQ的最大值;

(Ⅲ)椭圆C上是否存在点D,E,G,使得S△ODE=S△ODG=S△OEG若存在,判断△DEG的形状;若不存在,请说明理由。

(21)(本小题满分12分) 如图,已知椭圆x2y2,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦1(a>b>

0)的离心率为a2b22

点F1,F

2为顶点的三角形的周长为1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设P为该双曲线上异于顶点的任一点,直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、

D.

(Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程;

(Ⅱ)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2,证明k1·k21;

(Ⅲ)是否存在常数,使得ABCDAB恒成立?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.

(22)(本小题满分14分)

x2y2

设椭圆E: 221(a,b>0)过M(2

两点,O为坐标原点, ab

(I)求椭圆E的方程;

(II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。

答案:

232216)3x012x0,因为x0x04

,将向量坐标代入并化简得:m(4x04,

21.

2011.22.解析:(Ⅰ)当直线l的斜率不存在时,则x1x2,y1y2, P,Q两点关于x轴对称,

x12y12

1,而SOPQx1y1

由Px1,y1在椭圆上,则,则x1y11 32于是x12x223,y12y222.

x2y2

1可得 当直线l的斜率存在,设直线l为ykxm,代入32

2x23(kxm)26,即(23k2)x26km3m260,0,即3k22m2

6km3m26x1x2,x1x2 2223k2

3k

PQ1x2

d

,SPOQ11dPQ2222则3k22m,满足0

6km23(m22)xx2(x1x2)2x1x2()23, 2223k23k2

122

y12y22222(3x12)(3x22)4(x12x22)2, 333

综上可知x12x223,y12y222.

(Ⅱ))当直线l

的斜率不存在时,由(Ⅰ)知OMx1PQ

当直线l的斜率存在时,由(Ⅰ)知2 2x1x23k, 22m

y1y2x1x23k21k()mm, 222mm

x1x22y1y229k2111om()()(3) 222224mm2m2

24(3k22m2)2(2m21)1PQ(1k)2(2) 2222(23k)mm22

112511)(2)≤32

,当且仅当,即m时等号m2m24m2m2

5成立,综上可知OMPQ的最大值为。 2OM2PQ(32

(Ⅲ)假设椭圆上存在三点D,E,G

,使得SODESODGSOEG

由(Ⅰ)知xD2xE23,xE2xG23,xG2xD23, yD2yE22,yE2yG22,yG2yD22. 解得xDxExG2223,yD2yE2yG21, 2

因此xD,xE,x

G只能从中选取,yD,yE,yG只能从1中选取, 2

1)中选取三个不同点,而这三点的两两连线必有一个过原点,

因此D,E,G

只能从(这与SODESODGSOEG故椭圆上不存在三点D,E,G

,使得SODESODGSOEG

2010.22【解析】(Ⅰ)由题意知,椭圆离心率为c,

得a,又2a

2c4(a

2

2,

x2y2

1;所以可解得ac2,所以bac4,所以椭圆的标准方程为8422

所以椭圆的焦点坐标为(2,0),因为双曲线为等轴双曲线,且顶点是该椭圆的焦点,所以该双曲线的标准方程为

x2y2

1。 44

【命题意图】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系,是一道综合性的试题,考查了学生综合运用知识解决问题的能力。其中问题(3)是一个开放性问题,考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力,

x2y2

2009解:(1)因为椭圆E: 221(a,b>0)过M(2

两点, ab

24111222a28x2y2aba81 所以解得所以2椭圆E的方程为84b461111

a2b2b24

(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,

ykxm且OAOB,设该圆的切线方程为ykxm解方程组x2y2得148

x22(kxm)28,即(12k2)x24kmx2m280,

则△=16k2m24(12k2)(2m28)8(8k2m24)0,即8km40 22

4kmxx1212k2

2xx2m8

1212k222,k2(2m28)4k2m2m28k2

2y1y2(kx1m)(kx2m)kx1x2km(x1x2)mm2212k12k12k2

要使OAO,B需使x1x2

222m28m28k20,所以y1y02,即12k212k2m223m28223m8k80,所以k0又8km40,所以2,所以83m82

m28,

即m

或m,因为直线ykxm为圆心在原点的圆的一条切333

m2m28线,

所以圆的半径为r,r,所求的圆为r223m831k1

82

x2y28,此时圆的切线ykx

m都满足m

或m,而当切线的斜

333

x2y2

1的两个交点为(,

)或率不存在时切线为x与椭圆84333

8(满足OAOB,综上, 存在圆心在原点的圆x2y2,使得该圆的3

任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB. 4kmxx1212k2

因为, 2xx2m8

1212k2

4km22m288(8k2m24)所以(x1x2)(x1x2)4x1x2(,

)412k212k2(12k2)222

|AB|



 ①当k

0时|AB|因为4k2148所以0k211, 14k2248k所以32321[1]12,

334k224k

|AB|k时取”=”. 2② 当k0时

,|AB|

或(

,所以此时③ 当AB的斜率不存在时,

两个交点为|AB|, 3

|AB|

: |AB| 综上, |AB |

【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.

范文十:圆锥曲线2013高考题汇总

最新圆锥曲线高考题汇总

一、选择题

πx2y2y2x2

1 .(2013年高考湖北卷(文))已知0,则双曲线C1:1与C2:21的222

4sincoscossin

( ) A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等

x2y2

A2 .(2013年高考四川卷(文))从椭圆221(ab0)上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,

ab

是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB//OP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是 A

( )

B.

41 2

2=

C

2

D

( )

3 (.2013年高考课标Ⅱ卷(文))设抛物线C:y4x的焦点为F,直线L过F且与C交于A, B两点.若|AF|=3|BF|,

则L的方程为 A.y=x-1或y=-x+1

B.y=

(X-1)或y=-(x-1)

C.y=(x-1)或y=-(x-1) D.y=(x-1)或y=-(x-1)

2

4 .(2013年高考课标Ⅰ卷(文))O为坐标原点,F

为抛物线C:y的焦点,P为C上一点,

|PF|,则POF的面积为

A.2

B

.C

.D.4

( )

x2y25 .(2013年高考课标Ⅰ卷(文))已知双曲线C:221(a0,b

0),则C的渐近线方

ab程为 A.y

( )

1

x 4

B.y

1x 3

2

C.y

1x 2

D.yx

( )

6 .(2013年高考福建卷(文))双曲线x

y21的顶点到其渐近线的距离等于

C.1

D.2

A.

1

2

B.

2 2

7 .(2013年高考广东卷(文))已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于

1

,则C的方程是2

( )

x2y2

1 A.34

x2y2x2y2

1 B.1 C.

4243

1

x2y2

1 D.43

8 .(2013年高考四川卷(文))抛物线y

2

8x的焦点到直线x0的距离是

C

D.1

( )

A

.B.2

x2y2

C上的点9 .(2013年高考课标Ⅱ卷(文))设椭圆C:221(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是

ab

PF2F1F2,PF1F230,则C的离心率为

A.

10)已知F1

( )

B. C. D.

且AB3,1,0,F21,0是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交于A、B两点,

( )

则C的方程为

x2

y21 A.2x2y2

1 B.32x2y2

1 C.43x2y2

1 D.54

x2y2

11.(2013年高考辽宁卷(文))已知椭圆C:221(ab0)的左焦点为

ab

FF,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接了AF,BF,若AB10,BF8,cosABF

4

,则5

C的离心率为

3A.

5

( )

B.

5 7

C.

2

4 5

D.

6 7

12.(2013年高考大纲卷(文))已知抛物线C:y

8x与点M2,2,过C的焦点且斜率为k的直线与C交

( )

于A,B两点,若MAMB0,则k

A.

1

2

B

2

C

D.2

y2

13.(2013年高考北京卷(文))双曲线x

1的充分必要条件是

m

A.m

( )

1 2

B.m1 C.m1 D.m2

14.(2013年高考安徽(文))

直线x2y50被圆x2y22x4y0截得的弦长为 ( )

C.4

2

A.1 B.2

D

( )

15.(2013年高考江西卷(文))已知点A(2,0),抛物线C:x=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与

其准线相交于点N,则|FM|:|MN|= A.2:

B.1:2 C.1:

2

D.1:3

二、填空题

x2y2

16.(2013年高考湖南(文))设F1,F2是双曲线C,221 (a>0,b>0)的两个焦点.若在C上存在一点P.

ab

使PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,则C的离心率为____31_______.

x2y2

17.(2013年高考陕西卷(文))双曲线1的离心率为________.

169

x2y2

1的左焦点,P,Q为C上的点,若PQ的长等于18.(2013年高考辽宁卷(文))已知F为双曲线C:

916

虚轴长的2倍,点A5,0 在线段PQ上,则PQF的周长为____________.

19.(2013年上海高考数学试题(文科))设AB是椭圆

的长轴,点C在上,且CBA

π

.若4

AB

4,BC则的两个焦点之间的距离为_______.

20.若抛物线y

2

2px的焦点坐标为(1,0)则p=____;准线方程为_____.

x2y2

21.椭圆:221(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线与椭圆的一个交点M满

ab

足MF1F22MF2F1,则该椭圆的离心率等于__________

x2y2

22.(2013年高考天津卷(文))已知抛物线y8x的准线过双曲线221(a0,b0)的一个焦点, 且双

ab

2

曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为______.

三、解答题

23.(2013年高考山东卷(文))在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C的中心在原点O,焦点在x轴上,短轴长

为2,

(I)求椭圆C的方程

(II)A,B为椭圆C上满足

AOB,E为线段AB的中点,射线OE交椭圆C与点P,设OPtOE,求实数t的值.

24.(2013年高考广东卷(文))已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F

0,cc0到直线l:xy20的

设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点. (1) 求抛物线C的方程;

3

(2) 当点Px0,y0为直线l上的定点时,求直线AB的方程; (3) 当点P在直线l上移动时,求AFBF的最小值.

25.(2013年高考福建卷(文))如图,在抛物线E:

y24x的焦点为F,准线l与x轴的交点为A.点C在抛

物线E上,以C为圆心OC为半径作圆,设圆C与准线l的交于不同的两点M,N. (1)若点C的纵坐标为2,求MN; (2)若AF

2

AMAN,求圆C的半径.

x226.(2013年高考北京卷(文))直线ykxm(m0)W:y21相交于A,C两点,O 是坐标原点

4

(1)当点B的坐标为(0,1),且四边形OABC为菱形时,求AC的长. (2)当点B在W上且不是W的顶点时,证明四边形OABC不可能为菱形.

27.(2013年高考陕西卷(文))已知动点M(x,y)到直线l:x = 4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.

(Ⅰ) 求动点M的轨迹C的方程;

(Ⅱ) 过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A, B两点. 若A是PB的中点, 求直线m的斜率.

x2y228.(2013年高考天津卷(文))设椭圆221(ab0)的左焦点为F

, 过点F且与x

轴垂

ab(Ⅰ) 求椭圆的方程;

(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若AC·DBAD·CB8, 求k的值.

29.(2013年高考课标Ⅱ卷(文))在平面直角坐标系xOy中,己知圆P在x轴上截得线段长为2

,在Y轴上

截得线段长为2.

(Ⅰ)求圆心P的轨迹方程; (Ⅱ)若P点到直线y=x的距离为

,求圆P的方程.

4

x2

30.(2013年高考湖南(文))已知F1,F2分别是椭圆E:y21的左、右焦点F1,F2关于直线

5

xy20的对称点是圆C的一条直径的两个端点.

(Ⅰ)求圆C的方程;

(Ⅱ)设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a,b.当ab最大时,求直线l的方程.

(Ⅱ)设Q(x0,y0)(x0y00)为椭圆C上一点,过点Q作x轴的垂线,垂足为E.取点A(0,,连接

AE,过点A作AE的垂线交x轴于点D.点G是点D关于y轴的对称点,作直线QG,问这样作出的直

线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由

32.(2013年高考江西卷(文)

)椭圆C:=1(a>b>0)的离心率,a+b=3

(1) 求椭圆C的方程;

(2) 如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意点,直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m,证明2m-k为定值.

5