地球的表面积

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范文一:球的表面积

《球的表面积》教学设计

一、 教学目标

【知识目标】

1、 领会并能记住球的表面积公式

2、 了解球的表面积公式推导过程

3、 能根据球的表面积公式来解决一些具体的关于球的表面积的计算和证明问题。并且能根据球的具体条件变化,计算变化前后的表面积之比

【能力目标】

1、培养学生观察、估算、构造、论证与总结的能力,同时激发学生分析问题,解决问题的能力。

2、培养学生的空间思维能力和空间想象能力。

【思想目标】

通过对球的表面积公式的推导,让学生了解推导过程中所运用的基本数学思想方法“分割——求和——化为准确和”,为学生们今后进一步学习微积分和近代数学知识做好铺垫。 通过“类比”、“分割”、“求和”,“极限”等数学思想在教学中的运用,让学生理解这些方法,并学会应用。

二、 设计意图

《球的表面积》是高三第一学期15.4中的内容,是柱体和锥体表面积计算方法的一个延伸。而且球的表面积在现实生活中具有广泛的应用,这节课不仅要让学生明白球是一个不可展曲面,而且要让学生在推导球的表面积公式中领会类比、分割、求和、极限的数学思想。

三、 教学过程

(一)提出问题,引入新课

1)、利用实际物体提出设计场景。

问题:如果用油漆去涂一个乒乓球和一个篮球,且假设涂的油漆厚度相同,问哪一个球所用

的油漆比较多?为什么?

2)这就与球的表面积有关了。我们已经学习了柱体、锥体的表面积计算公式,我们那时候

是用什么方法推导那些公式的?

(将柱体与锥体展成平面图形)

3)想一想,球体能不能展成平面图形?

(不能,此处可告诉学生球是一个不可展曲面,并对不可展曲面做出适当的展开)

4)正式提出问题。

球既没有底面,也无法像柱、锥一样展成平面图形,那怎样求球的表面积呢?

(二)通过类比,探究新知

1)记得在学习球的体积公式的时候,我们介绍过一个特殊的方法——分割,求和。

简单的回顾:有一种方法可将所求的圆分割成许多小的圆片,通过求第i块小圆片的体积,从而推出整个大球的体积公式。

2)问题:我们可不可以类似的来求圆的表面积呢?(可以)

此处引导学生通过类比的方法,探索求圆的表面积的思路。

3)问题:如果可以,那么如何分割才是最合适的,最方便计算的?

此处可以让学生分组讨论,打开学生的思路,培养学生对未知事物的探索精神。

(三)逐步引导,推出公式

1) .若将球表面平均分割成n个小块,则每小块表面可近似看作一个平面,这n小块平面面积之和可近似看作球的表面积.当n趋近于无穷大时,这n小块平面面积之和接近

于甚至等于球的表面积.

这时候学生已经得出了用分割法求球的表面积的结论,并且也想出了很多分割的方案。此处教师可介绍最普遍的一种。(学生推导为主,教师引导为辅)

2)若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面,球心作为顶点便得到n个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积.当n越大,越接近于球的体积,当n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积.

第一步:分割

如图所示,球面可被分割成n个网格,它们的表面积分别为S1,S2,S3,,Sn 则球的表面积S=S1S2S3Sn

如果设“小锥体”的体积为Vi

则球的体积为:

V=V1V2V3Vn

第二步:求和

1VSihi3

由第一步得到V=V1V2V3Vn V1111S1h1S2h2S3h3Snhn 3333

第三步:准确和

如果网格分布越细,则“小锥体”就越接近小棱锥

hi的值就趋向于球的半径

R

1SiR 3

1111V=S1RS2RS3RSn 3333Vi

又球的体积我们已经学过为:V43R 3

431RRS,从而S=4R2 33

3)得出结论:半径R的球的表面积公式为:

S球=4R2

(三)、适当练习,巩固应用

1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的______倍. (答案8倍)

2.若球半径变为原来的2倍,则表面积变为原来的________倍(答案4倍)

3.若两球表面积之比为1:9,则其体积之比是______.(答案1:27)

4.若两球体积之比是8:1,则其表面积之比是______.(答案4:1)

35.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,这个球的体积为___cm. (答案:)

6正方体的内切球和外接球的体积比为 ,表面积比为 。 (答案:3:1 ; 3 :1)

7.长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5,是它的八个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是 。 (答案50)

此处希望学生通过适当的练习加强对球的表面积公式的运用与记忆,同时也是对原先知识的回顾。

(四)、归纳小结,布置作业

教师:我们本节课主要学习了球的表面积公式的推导,以及利用公式解决相关球的问题,了解了推导中“分割、求近似和,再有近似和转化为准确和”解题的方法。希望大家可以在以后遇到类似问题的时候想到这些方法,并学会运用方法。而且大家还可以在课后想一想球的表面积公式推导中,除了以上的方法之外,还有别的什么分割方法。也自己尝试着动脑想一想,动手算一算。

学生:„„

布置作业:„„

范文二:球的表面积

球的表面积

授课教师:周锦泉

一、 教材分析:球的表面积公式是旋转体一章的重点内容,从演绎的角度来看教材的安排是比较科学的——在给出预备定理的基础上,再建立球的表面积公式。但从学生发展的过程来看,却又在学生认识规律之外,这是因为,按现行的教材的体系,学生难以解决下列问题:

1.作半圆的内接正折线是怎样想到的?作半圆珠笔的任意内接折线行不行?

2.已有一整套圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式,为什么还需要一个统一的公式?

3.这个预备定理起什么作用?事先又是怎样想到这个定理的?

4.这个预备定理是不是仅仅为了学习球的侧面积公式而提出来的?学生还能获得什么?

二、 教学目的:

1、 通过球的表面面积公式的预备定理的证明,培养学生的空间想象能力和分析问题、解决问题的能力。 2、 会应用预备定理推导球的表面积公式,同时向学生渗透分割、逼近的数学思想。

3、 会运用球的表面积公式解答一些多面体和旋转体的相切、相接问题。

4、培养学生认真观察,大胆想象,积极探索发现问题,大胆提出问题的良好习惯。

三、教学重点:

球的表面积公式及其推导

二、 教学难点:

运用预备定理推导球的表面积公式·

三、 教学方法:

探索发现方法

四、 教学工具:

投影仪、投影片、自制教具

五、 教学过程:

创造问题情境

师:同学们,这节课我们一起来研究一类我们日常生活中觉见的问题:

求球的表面积问题。(板书课题)

师:在这之前,我们已学习了圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式。(复习公式)

探求这些公式时,我们运用的方法是:先展开再求面积。那么,求球的表面积能否也这样做呢?我们先一起来看这样的两个实验。

实验1:动手剪皮球,说明球面不可展。

实验2:自制半圆柱“复印”球面的错误理解。这两个实验说明球面不可展。

那么,我们应如何来求球的表面积呢? 新问题旧知识 S=?

师生共同探索

通过教具启发学生分割半球为若干块,然后把这些几何体可近似地看成圆台、圆锥,当分割的块数无限多时,这些圆台、圆锥的侧面积之和就会近似地等于半球的面积。

这种方法叫做分割,无限逼近法。这样就转化成了求球面的内接圆柱、圆台、圆锥的侧面积问题了。如何求呢?请看如下问题:

问题1:已知球面O的内接圆台的高OO’=h,球心O到母线AD的距离OE=p,求证:

S=2ph

分析:过圆台的轴的平面截圆台和球分别及轴截面ABCD和球的大圆⊙O,这时轴截面ABCD是⊙O的内接等腰梯形。

要证:S=2ph 2ph=(r+r’) 2ph=(r+r’)

ph=

OE•DD’=EE’•AD

△ADD’∽ △OEE’

总结:该问题结论即为教材P的预备定理。即:

定理1:球面内接圆台的高为h,球心到母线距离为p,则S=2ph。

问题2:请同学们思考一下,球的内接圆锥、圆柱对这个结果是否同样成立?

为什么?

结论:这个结果对于球的内接圆柱、圆锥仍然成立,因为圆柱、圆锥可以看成是特殊的圆台。 学生讨论交流

师:现在我们已有定理1这个结论,下面请同学们思考一下,我们应如何运用无限逼近法求S? 教师点拔

1、 预备定理的作用在于:‘把半球分割后,求球的内接圆台、圆锥的侧面积’。

2、 S=2

ph =2p(h =2

=2p•ON pR

分点无限增加,侧面积无限地接近半球面,同时P

R,S

我们把这个和作为半球面的面积。

∴定理2:S

3、 课本是采用等分圆弧无限逼近的,采用等分半径行吗?

巩固与应用

例1、 填空:球半径扩大2倍时,大圆面积扩大_______倍,球面面积扩大 ______倍。

球的半径扩大K倍时,球面面积扩大_____倍。

大圆面积扩大K倍时,球面面积扩大_____倍。

例2、 已知:圆柱的底面直径与高都等于球的直径。

求证:(1)球的表面积等于圆柱的侧面积。

(2)球的表面积等于圆柱全面积的

归纳小结

组织学生对以上教学环节归纳小结,并回答下面问题:

(1) 本节课学习的主要内容是什么?

(2) 这节课你印象最深刻的是什么?你认为理解得不够深刻的是哪些地方?

(3) 通过这节课的学习,你得到了哪些启示?以后在课堂上刻如何学习才能提高效率?

(4) 这节课的学习运用了哪些数学思想方法,哪些解题技巧、规律?

a、实验联想建模证明

b、无限逼近思想

作业布置

P

板书设计

课题:球的表面积

1、 实验:

2、 新问题旧知识 S?

3、 定理1:S=2ph

4、定理2:S

5、小结: ①实验②无限逼近思想 联想建模证明

范文三:“地球表面71%的面积是海洋”阅读答案

①地球表面71%的面积是海洋,其可耕面积大约是陆地的15倍,海洋能提供的食物要比陆地全部可耕农田提供的食物多上千倍,如果从中提取蛋白质,该是多么丰富的蛋白质源啊!

②鱼肉含有丰富的蛋白质和脂肪,其热量不亚于牛、羊、猪肉,尤其是蛋白质和人体所必需的氨基酸含量很高。

③海洋鱼类多达1500余种,蛋白质含量按干物质计算,都在80%—90%,而牛肉仅为80%,鸡蛋、猪肉均为50%,牛奶只有35%。鱼肉中有8种氨基酸在种类和数量上都接近人体所必需的氨基酸,极易被人体吸收。

④海洋中虾类虽远不如鱼类多,但其资源却十分诱人。南极海域的小虾,科学家称之为南极磷虾。有未来动物蛋白质仓库之誉,其总量约在10—30亿吨之间。如果我们每年捕捞其中的10%,那这个数字也正好与目前全世界年水产品的总量相当。可见,开发南极磷虾可使目前水产品产量翻一番。

⑤磷虾肉具有比鱼肉、牛肉都高的营养价值。磷虾体内有17种氨基酸,其中人体必需的氨基酸有7种,占氨基酸总量的43.65%。

⑥藻类是生长在海洋里的含叶绿素和其他辅助色素的低等生物。目前海洋中可供人类食用的藻类有70多种,如海带、紫菜等。从营养学角度看,这些食用海藻含有大量蛋白质、脂肪、纤维素、无机盐和某些人体必需的微量元素等,营养价值要比陆地上的各种谷物和蔬菜高得多。

⑦大量海生无脊椎动物,如蟹、乌贼、海参、牡蛎、贻贝、扇贝等,基本上都是高蛋白食品。除牡蛎外,其蛋白质含量均在11%以上,如干海参的蛋白质含量高达50.2%,海参还含有大量的铁、铜、碘、矿物盐。牡蛎的营养价值远远高于鲈鱼、鳊鱼和鳕鱼;贻贝内含有大量人体不可缺少的贵重化学元素,其中钴占首位;扇贝除富含蛋白质,还含B族维生素和大量矿物质。

⑧总之,随着科学技术的发展,把海洋作为优质蛋白质的粮仓是大有可为的。

(选自《青年科学》选用时有删节)

19.海洋中可作为人类蛋白质的食物大体上有哪四类?

答: 。

20.①第③段用了列数字和 的说明方法。

②全文的结构方式是 。

21.第①段其‘可耕’面积大约是陆地的15倍中的大约能否去掉?为什么?

答:

参考答案:

19.鱼类、虾类、藻类、海生无椎脊动物类。

20.①作比较 ②总——分——总

21.不能,因为大约表估计,如果去掉,变成肯定,与实际不符。

范文四:球的体积与表面积

球的体积与表面积

(2015高考数学)10.已知A,B是球O的球面上两点,AOB90,C为该球面上的动点。若三棱锥OABC体积的最大值为36,则球O的表面积为

A、36 B、 64 C、144 D、 256

(2013高考数学)(15)已知正四棱锥O

ABCD的体积为

为球心,OA为半径的球的表面积为________。

知识点

习题

一、选择题

1.若球的大圆面积扩大为原来的4倍,则球的表面积比原来增加( ) A.2倍 B.3倍 C.4倍 D,8倍

2.若生成球的圆周长是C,则这个球的表面积是( )

222ccc A. B. C. D.2πc2

44,

则以O2

3.生成球的圆面积增大为原来的4倍,那么球的体积增大为原来的( ) A.4倍 B.8倍 C.16倍 D.32倍 4.三个球的半径之比为1∶2∶3,那么最大球的体积是其余两个球的体积和的( ) A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍

5.棱长为1的正方体内有一个球与正方体的12条棱都相切,则球的体积为( ) A.4π B. C.42 D.2π 34

6.圆柱形烧杯内壁半径为5cm,两个直径都是5 cm的铜球都浸没于烧杯的水中,若取出这两个铜球,则烧杯内的水面将下降( )

A.5cm B.10cm C.40cm D.5cm 3336

7.长方体一个顶点上的三条棱的长度分别为3、4、5,且它的8个顶点都在同一球面上,这个球的表面积为( )

A.202π B.252π C.50π D.200π 8.等体积的球与正方体,其表面积的大小关系为( )

A.S球>S正方体 B.S球=S正方体

C.S球<S正方体 D.大小关系不确定

二、填空题

9.已知三个球的表面积之比为1∶4∶9,若它们的体积依次为V1、V2、V3,则V1+V2=

_____V3.

10.将一个玻璃球放人底面面积为64πcm2的圆柱状容器中,容器水面升高4cm,则玻璃3

球的半径为__________.

11.将一个半径为R的木球削成一个尽可能大的正方体,则此正方体的体积为______. 12.国际乒乓球比赛已将“小球”改为“大球”,“小球”的外径为38 mm,“大球”的外径

为40 mm,则“小球”与“大球”的表面积之比为__________.

三、解答题

13.已知正三棱柱的底面边长为1,侧棱长为2,则这样的三棱柱内能否放进一个体积为

的小球?

14.表面积 为324π的球,其内接正四棱柱的高是14,求这个正四棱柱的表面积. 平面基本性质

1.判断下列命题的真假,真的打“√”,假的打“×”

(1)空间三点可以确定一个平面 ( )

(2)两条直线可以确定一个平面 ( )

(3)两条相交直线可以确定一个平面 ( )

(4)一条直线和一个点可以确定一个平面 ( )

(5)三条平行直线可以确定三个平面 ( )

(6)两两相交的三条直线确定一个平面 ( )

(7)两个平面若有不同的三个公共点,则两个平面重合 ( )

(8)若四点不共面,那么每三个点一定不共线 ( )

画出图形

(1)A,B,Al,Bl;

(2)a,b,a//c,b16cp,

例2 将下列文字语言转化为符号语言:

(1)点A在平面内,但不在平面内;(2)直线a经过平面外一点M;

(3)直线l在平面内,又在平面和相交于直线l

范文五:球的体积和表面积

球的体积和表面积

一. 教学目标

1. 知识与技能

⑴通过对球的体积和面积公式的推导,了解推导过程中所用的基本数学思想方法:“分

割——求和——化为准确和”,有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。

⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。

⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。

2. 过程与方法 通过球的体积和面积公式的推导,从而得到一种推导球体积公式V=4πR3和面积公式S=43

πR2的方法,即“分割求近似值,再由近似和转化为球的体积和面积”的方法,体现了极限思想。 3. 情感与价值观

通过学习,使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解,提高了空间思维能力和空间想象能力,增强了我们探索问题和解决问题的信心。

二. 教学重点、难点

重点:引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。

难点:推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。

三. 学法和教学用具

1. 学法:学生通过阅读教材,发挥空间想象能力,了解并初步掌握“分割、求近似值 的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。

2. 教学用具:投影仪

四. 教学设计

(一) 创设情景

⑴教师提出问题:球既没有底面,也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形,那么怎样来求球的表面积与体积呢?引导学生进行思考。

⑵教师设疑:球的大小是与球的半径有关,如何用球半径来表示球的体积和面积?激发学生推导球的体积和面积公式。

(二) 探究新知

1.球的体积:

如果用一组等距离的平面去切割球,当距离很小之时得到很多“小圆片”,“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积,由于“小圆片”近似于圆柱形状,所以它的体积也近似于圆柱形状,所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积,因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。

步骤:

第一步:分割

如图:把半球的垂直于底面的半径OA作n等分,过这

一组平行于底面的平面把半球切割成n个“小圆片”,“小圆

为些等分点,用片”厚度近似R,底面是“小圆片”的底面。 n

如图:

RR3i12[1()]  (i1、2n) 得Vi

rinnn2

第二步:求和

(12V半球=v1v2v3vnR[1] 63

第三步:化为准确的和

当n→∞时, →0 (同学们讨论得出)

所以 V半球=R3(1122)R3 63

V球得到定理:半径是R的球的体积4R3 3

3练习:一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径(钢的密度是7.9g/cm)

2.球的表面积:

球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径R的函数,由于球面是不可展的曲面,所以不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导球的表面积公式,所以仍然用“分割、求近似和,再由近似和转化为准确和”方法推导。

思考:推导过程是以什么量作为等量变换的?

半径为R的球的表面积为 练习:长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5,是它的八个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是 。 (答案50元)

(三) 典例分析

课本P47 例4和P29例5

(四) 巩固深化、反馈矫正

⑴正方形的内切球和外接球的体积的比为 ,表面积比为 。

(答案:33:1 ; 3 :1)

⑵在球心同侧有相距9cm的两个平行截面,它们的面积分别为49πcm和400πcm,求球的表面积。 (答案:2500πcm)

分析:可画出球的轴截面,利用球的截面性

质求球的半径

222(五) 课堂小结

本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导,以及利用公式解决相关的球的问题,了解了推导中的“分割、求近似和,再由近似和转化为准确和”的解题方法。

(六) 评价设计

作业 P30 练习1、3 ,B(1)

范文六:1.3.2球的体积和表面积

1.3.2 球的体积和表面积

一、知识点回顾与梳理

1、球的体积和表面积公式

4

设球的半径为R,它的体积为VR3,表面积为S4R2

3

2、球的截面问题

(1)大圆与小圆:球中过球心的截面圆称为球的大圆,而不过球心的截面圆称为球的小圆。 (2)球的截面性质:球的半径为R,截面圆的半径为r,球心到截面的距离为d

,则有d。

当d0时,截面圆过球心,截面圆面积最大,此圆叫球的大圆; 当0dR时,截面圆不过球心,此圆叫做小圆;

二、典型例题分析与方法总结

题型一:与球的体积有关的问题

例1、据说伟大的阿基米德死了以后,敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑。在墓碑上刻了一个如图所示的图案,图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等,圆锥的顶点在圆柱上底面的圆心,圆锥的底面是圆柱的下底面,试计算出图形中圆锥、球、圆柱的体积比。

题型二:与球的表面积有关的问题

例2、过球的某一条半径的中点,作一个垂直于这条半径的截面,截面面积为48cm2,求球的表面积。

题型三:与球有关的组合体问题

例3、已知圆锥的全面积是它的内切球表面积的2倍,求圆锥侧面积与底面积之比。

变式1:一个高为16的圆锥内接于一个体积为972的球,在圆锥内又有一个内切球 求(1)圆锥的侧面积;(2)圆锥内切球的体积。

变式2:圆锥的内切球半径为r,求圆锥体积的最小值。

例4、半径为R的球的内接正四面体内有一内切球,求这两球的体积比。

变式1:正三棱锥PABC的侧棱长为l,两侧棱的夹角为2,求它的外接球的体积。

变式2:(05全国)将半径为1的四个完全相同的钢球完全装进一个正四面体中,求正四面体的高的最小值。

例5、正方形ABCD的中心为O,过O作正方形

所在平面的垂线EO,一个半径为1的球内切于正四棱锥EABCD,当正四棱锥的体积最小时,正方形的边长为多少?此时体积的最小值是多少?

C

变式:在棱长为1的正方体内,有两个球外切并且分别与正方体的面相切。 (1)求这两个球的半径之和;

(2)球的半径满足什么条件时,两球体积之和最小。

第二章 点、直线、平面之间的位置关系

2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系

第一课时 2.1.1 平面

一、知识点回顾与梳理

1、平面的概念

平面是一个不加定义,只需理解的原始概念。立体几何里所说的平面是从现实生活中常见的平面抽象出来的,常见的桌面、黑板面、平静的水面等都给我们以平面的局部形象。

平面具有无限延展性、理想的、绝对的平且无大小,无厚薄,不可度量,它与平面图形的区别在于:平面图形如三角形、正方形、梯形、圆形等有大小、长短之分,可以度量。

类似一条直线把平面分成两部分一样,一个平面把空间分成两部分。

2、平面的画法

当我们从适当的角度和距离观察桌面或黑板时,感到它们都很像平行四边形,因此立体几何中我们通常画平行四边形来表示平面。 (1)一个平面:水平放置和直立;

当平面水平放置时,通常把平行四边形的锐角画成45,横边画成邻边的2倍长。如图

C

B (2) 直线与平面相交,如图:

a

β

(3)两个相交平面:

画两个相交平面时,若一个平面的一部分被另一个平面遮住,应把被遮住部分的线段画成虚线或不画,如图2

β B β 图 2

3、平面的表示

(1)平面通常用一个希腊字母,,,„„来表示,如平面、平面、平面等;

(2)用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示,如平面AC、平面BD, (今后一般用A、B、C等表示点,a,b,c等表示线,,,表示平面。)

4、空间图形中点、线、面位置关系的集合语言表示

空间图形的基本元素是点、直线、平面。从运动的观点看,点动成线,线动成面,从而可以把直线、平面看成是点的集合,因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外,还可借用集合中的符号语言来表示。规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示,点用一个大写的英文字母表示,而平面则用一个小写的希腊字母表示。 点、线、面的基本位置关系如下表所示:

用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系,虽然借用于集合符号,但在读法上仍用几何语言,如a,表示平面外的直线a,有两种情形: a或aA。

5、平面的基本性质(三个公理与三个推论) 平面的基本性质,是研究立体几何的理论基础,要熟练掌握每个公理及推论的三种数学语言叙述及其用途。

(1)公理1

文字语言:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内。 符号语言:

A

AB. B

图形语言:

剖析:公理1的内容反映了直线与平面的位置关系,公理1的条件是“线上两点在平面内”,结论是“线上所有的点在平面内”。从集合的角度看,这个公理就是说,如果一条直线(点集)中有两个元素(点)属于一个平面(点集),那么这条直线就是这个平面的真子集。公理1说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直”来刻划平面的“平”,通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”,它既是判断直线在平面内,又是检验平面的方法.

用途:①判定点在平面内;②判定直线是否在平面内的依据;③验证一个面是否是平面

(2)公理2

文字语言: 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面

A,B,C 不共线

符号语言:A,B,C与重合 (或者:∵A,B,C不共线,∴存在唯一的

A,B,C

平面,使得A,B,C.) 图形语言:

剖析:公理2中的条件是“过不在同一直线上的三点”,结论是“有且只有一个平面”,条

件中的“三点”是条件的骨干,不会被忽视,但“不在同一直线上”这一附加条件则易被遗忘,因为经过一点、两点或同在一条直线上的三点可以有无数个平面;过不在同一直线上的四点,不一定有平面,因此要重视这一条件的重要性。

(4)公理2的三个推论 推论1

文字语言: 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面. 符号语言:Aa存在唯一的平面,使得A,l

图形语言:

推论2

文字语言: 符号语言:abP存在唯一的平面,使得a,b

图形语言:

推论3

文字语言: 经过两条平行直线有且只有一个平面

符号语言:a//b存在唯一的平面,使得a,b

图形语言:

说明:公理2及其三个推论中均出现“有且只有一个”, “有且只有一个”的含义分两部分理解,“有”说明图形存在,但不唯一,“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个,但不保证符合条件的图形存在,“有且只有一个”既保证了图形的存在性,又保证了图形的唯一性.在数学语言的叙述中,“确定一个”,“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词,因此,在证明有关这类语句的命题时,要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证.

公理2及其三个推论是空间里确定一个平面位置的方法与途径,而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件,这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决,是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法.

用途:①确定平面;②证明两个平面重合 ③证明点、线共面

公理3

文字语言:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线

A

符号语言:Al

A

图形语言:

剖析:公理3的内容反映了平面与平面的位置关系。公理的条件简言之是“两面共一点”,结论是“两面共一线,且过这一点,线唯一”,公理2说明对于两个不重合的两个平面,只要它们有公共点,它们就是相交的位置关系,交集是一条直线。公理3揭示了两个平面相交的主要特征,是判定两平面相交的依据,提供了确定两个平面交线的方法.

(今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线))

用途:①确定两相交平面的交线位置;②判定点在直线上 (3)

二、典型例题分析与方法总结

问题一:平面的概念及表示的理解

通过类比直线来理解平面的概念,抓住平面的两个基本特征:一是“平”,二是“无限延展”。观察、类比形成对平面概念的感性理解

例1、 判断下列说法是否正确?并说明理由 (1)平行四边形是一个平面;

(2)任何一个平面图形都是一个平面;

(3)空间图形中先画的线是实线,后画的线是虚线;

解:(1)不正确。平行四边形它仅是平面上四条线段构成的图形,它是不能无限延伸的。 (在立体几何中,我们通常用平行四边形表示平面,但绝不是说平行四边形就是平面) (2)不正确。平面图形和平面是两个完全不同的两个概念,平面图形是有大小的,它是不可能无限延伸的。要严格区分“平面图形”与“平面”这两个概念。

(3)不正确。立体几何中遵循被平面遮住的部分画虚线,能够看得见的线画成实线(无论是题中原有的,还是引入的辅助线)。

问题二:借用集合符号反映空间点、线、面 的位置关系

准确使用符号语言表示空间点、线、面 的位置关系,文字语言、符号语言、图形语言互译问题

例2、 用符号语言表示下列语句,并画出图形

(1)三个平面、、相交于一点P,且平面与平面交于PA,平面与平面交于PB ,平面与平面交于PC ;

(2)平面ABD与平面BDC相交于BD,平面ABC与平面ADC交于AC

问题三:平面的基本性质的应用 1、证明若干点共线问题

只需证明这些点同在两个相交平面内即可,根据公理2,找出相关的平面与平面的交线,说明这些点都在两个平面的交线上。

例3、 已知ABC在平面外,它的三边所在的直线分别交 于P、Q、R,求证:P、

Q、R在同一直线上。

A

C

B

P

Q

评注:在空间中,证明点共线的问题,常转化为证明点在直线上,而证明点在直线上,可设法找两个平面,使该直线是这两个平面的交线,再证明该点是这两个平面的公共点,由公理2知,两个平面的公共点必在这两个平面的公共直线上。

2、 证明三线共点问题

只需证明其中两线相交,然后证另一条也过交点 ,由公理2,可以证明交点在过第三条直线的两个平面上。

例4、 点A平面BCD,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,若EH与FG交于

P。

求证:P在直线BD

证明:∵EHFGP,∴PEH,PFG,

∵E,H分别属于直线AB,AD, ∴EH平面ABD,∴P平面ABD, 同理:P平面CBD,

又∵平面ABD平面CBDBD,

所以,P在直线BD上。

3、证明点线共面问题 方法有二:

法一:先用部分点、线确定一个平面,再证余下的点线都在此平面内; 法二:分别用部分点线确定两个平面,再证它们重合

例5、已知一条直线与三条平行直线都相交,求证:这四条直线共面。

变式:不共点的四条直线两两相交,求证:四条直线在同一个平面内

评注:分别由某些直线确定出平面,然后证明这几个平面重合是证明线共面问题的常用方法,根据是公理2及其推论,由唯一性证明重合;证明线共面还可以用部分条件先确定一个平面,再证其余的线在该平面内。

问题四:关于空间图形的截面问题

例6、如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为8cm ,M、N、P分别是AB、A1D1、BB1的中点,

(1)画出过M、N、P三点的平面与平面A1B1C1D1的交线以及与平面BB1C1C的交线; (2)设过M、N、P三点的平面与B1C1交于Q,求PQ长。

C

AM

B

A1P

C1

1

问题六:立体几何中的计数问题 例7、(1)直线与平面公共点的个数可能为_____________;

(2)一条直线和这条直线外不共线的三点能确定的平面的个数为_____________;

(3)四条平行直线最多能确定_____________个平面;

(4)同时过空间四点可以作_____________个平面;

(5)四条直线相交于一点,它们能确定的平面的个数为_____________;

本讲小结:平面的概念和平面的性质是立体几何全部理论的基础.平面,是现实世界存在着的客观事物形态的数学抽象,在立体几何中是只描述而不定义的原始概念,但平面是把三维空间图形转化为二维平面图形的主要媒介,在立体几何问题平面化的过程中具有重要的桥梁作用.

“平面”也是空间图形的基本元素,很多空间图形的面都是平面图形,平面图形及其性质是初中平面几何的主要学习内容,因此,要建立起“空间问题平面化”的观点.

范文七:课题:球的体积和表面积

课题: 球的体积和表面积

课 型:新授课

一. 教学目标

1.知识与技能 ⑴通过对球的体积和面积公式的推导,了解推导过程中所用的基本数学思想方法:“分割——求和——化为准确和”,有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。 ⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。

⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。

2.过程与方法[来源:学+科+网] 通过球的体积和面积公式的推导,从而得到一种推导球体积公式V=4πR3和面积公3

式S=4πR2的方法,即“分割求近似值,再由近似和转化为球的体积和面积”的方法,体现了极限思想。

3.情感与价值观 通过学习,使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解,提高了空间思维能力和空间想象能力,增强了我们探索问题和解决问题的信心。

二. 教学重点、难点

重点:引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。

难点:推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。

三. 学法和教学用具

1.

骤。

2.

四. 教学设计 学法:学生通过阅读教材,发挥空间想象能力,了解并初步掌握“分割、求近似值的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步教学用具:多媒体课件

(一) 创设情景

⑴教师提出问题:球既没有底面,也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形,那么怎样来求球的表面积与体积呢?引导学生进行思考。 ⑵教师设疑:球的大小是与球的半径有关,如何用球半径来表示球的体积和面积?激发学生推导球的体积和面积公式。

(二) 探究新知

1.球的体积: 如果用一组等距离的平面去切割球,当距离很小之时得到很多“小圆片”,“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积,由于“小圆片”近似于圆柱形状,所以它的体积也 1

近似于圆柱形状,所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积,因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。[来源:学&科&网Z&X&X&K]

步骤:

第一步:分割

如图:把半球的垂直于底面的半径OA作n等分,过这些等分点,用一组平行于底面的平面把半球切割成n个“小圆片”,“小圆片”厚度近 似为R,底面是“小圆片”的底面。 n

如图:

RR3i12Viri[1(]  (i1、2n) nnn2

第二步:求和

1(112V半球=v1v2v3vnR[1] 63

第三步:化为准确的和

当n→∞时, n→0 (同学们讨论得出)

3所以 V半球=R(1122R3 63

V球4R3 3

3得到定理:半径是R的球的体积练习:一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径(钢的密度是7.9g/cm)

2.球的表面积:

球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径R的函数,由于球面是不可展的曲面,所以不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导球的表面积公式,所以仍然用“分割、求近似和,再由近似和转化为准确和”方法推导。

半径为R的球的表面积为

2

练习:长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5,是它的八个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是 。 (答案50元)

(三)体积公式的实际应用:

例①:一种空心钢球的质量是142g,外径是5.0cm,求它的内径. (钢密度7.9g/cm3) 讨论:如何求空心钢球的体积?

→ 列式计算 → 小结:体积应用问题.

[来源:学科网]

② 有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内

个半径为R的球,并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,

容器中水的深度.

[来源:学§科§网]

③ 探究阿基米德的科学发现:图中所示的圆及其外切正方形绕图中由虚线表示的对称轴旋转一周生成的几何体称为圆柱容球。在圆柱容球中,球的体积是圆柱体积的

积也是圆柱全面积的

五、课堂小结:

本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导,以及利用公式解决相关的球的问题,了解了推导中的“分割、求近似和,再由近似和转化为准确和”的解题方法。

六、作业:1、P28 练习1、2、3

2、⑴正方形的内切球和外接球的体积的比为,表面积比为。

(答案:3:1 ; 3 :1)

⑵在球心同侧有相距9cm的两个平行截面,它们的面积分别为49πcm和400πcm,求球的表面积。 (答案:2500πcm)

222放入一求此时2 ,球的表面32. 3

3

范文八:球的体积和表面积

课    型:新授课

一. 教学目标

1.知识与技能

⑴通过对球的体积和面积公式的推导,了解推导过程中所用的基本数学思想方法:“分割——求和——化为准确和”,有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。

⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。

⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。

2.过程与方法

通过球的体积和面积公式的推导,从而得到一种推导球体积公式v= πr3和面积公式s=4πr2的方法,即“分割求近似值,再由近似和转化为球的体积和面积”的方法,体现了极限思想。

3.情感与价值观

通过学习,使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解,提高了空间思维能力和空间想象能力,增强了我们探索问题和解决问题的信心。

二. 教学重点、难点

重点:引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。

难点:推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。

三. 学法和教学用具

1. 学法:学生通过阅读教材,发挥空间想象能力,了解并初步掌握“分割、求近似值的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。

2. 教学用具:多媒体课件

四. 教学设计

(一) 创设情景

⑴教师提出问题:球既没有底面,也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形,那么怎样来求球的表面积与体积呢?引导学生进行思考。

⑵教师设疑:球的大小是与球的半径有关,如何用球半径来表示球的体积和面积?激发学生推导球的体积和面积公式。

(二) 探究新知

1.球的体积:

如果用一组等距离的平面去切割球,当距离很小之时得到很多“小圆片”,“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积,由于“小圆片”近似于圆柱形状,所以它的体积也近似于圆柱形状,所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积,因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。

步骤:

第一步:分割

如图:把半球的垂直于底面的半径oa作n等分,过这些等分点,用一组平行于底面的平面把半球切割成n个“小圆片”,“小圆片”厚度近似为 ,底面是“小圆片”的底面。

如图:

第二步:求和

第三步:化为准确的和

当n→∞时,  →0  (同学们讨论得出)

所以

得到定理:半径是r的球的体积

练习:一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径(钢的密度是7.9g/cm3)

2.球的表面积:

球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径r的函数,由于球面是不可展的曲面,所以不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导球的表面积公式,所以仍然用“分割、求近似和,再由近似和转化为准确和”方法推导。

思考:推导过程是以什么量作为等量变换的?

半径为r的球的表面积为    s=4πr2

练习:长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5,是它的八个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是           。 (答案50元)

(三)体积公式的实际应用:

例①:一种空心钢球的质量是142g,外径是5.0cm,求它的内径. (钢密度7.9g/cm3)

范文九:球的表面积和体积教案

课题: 1.3.2 球的表面积与体积

(一)教学目标

1.了解球的表面积与体积公式,培养学生空间想象能力和思维能力

2. 通过作轴截面,寻找旋转体类组合体中量与量之间的关系.

3. 会用球的表面积和体积公式进行计算;会求一些简单几何体的表面积和体积.

4. 让学生更好地认识空间几何体的结构特征,培养学生学习的兴趣.(二)教学重点、难点

重点:球的表面积与体积的计算

难点:简单组合体的体积计算

(三)教学方法

讲练结合

(四)教学过程

新课引入

复习柱体、锥体、台体的表面积和体积,点出主题.

探索新知

43VRS4R2 球的体积:球的表面积:3

总结:这两个公式说明球的体积和表面积都由球的半径R惟一确定.其中球的体积是半径R的三次函数,球的表面积是半径R的二次函数.

随堂练习:

2cm(1)设球的半径约8cm,则球的表面积为 (256)

(2)若球的体积为36cm,则球的表面积为 36cm)

典例分析(课本P27页)

例1 如图,圆柱的底面直径与高都等于球的

直径。求证: 32

2(1)球的体积等于圆柱体积的3;(2)球的表面积等于圆柱的侧面积.

证明:

(1)设球的半径为R,则圆柱的底面半径为 R,高为2R.43VR因为,球3V圆柱R22R2R3,

2

所以,V球3V圆柱

2S4R (2)因为,球

S圆柱侧2R2R4R2

所以,S球=S圆柱侧

课堂练习(课本P28页):

1.将一个气球的半径扩大1倍,它的体积扩大到原来的多少倍?

2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是acm,求球的体积。

>

在球面上有四个点 , A , B , ,如果 PA , PB , PC ,两 CP

两垂直且 PA  PB   PCa ,求这个球的体积。

3.一个球的体积是100 cm ,试计算它的表面积。( 取3.14,结果精3

确到1 cm ) 2

a3a3

,变式题: ;(参考答案:(1)8;(2)(3)104.) 22

补充高考题

(1)如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,求得该几何体的表面积.

俯视图 24正(主)视图

4侧(左)视图

解:由三视图可知,该几何体是半径为2 的半球体,其表面积为

SS半球S底面8412 (2)如图是一个几何体的三视图,根据图中的数据,求该几何体的表面积?

正主视图2侧左视图()() 3 22

俯视图

解:几何体的表面积为:

S球S圆柱4812

课后思考题

球与圆台的上、下底面及侧面都相切,且球面面积与圆台的侧面积之比为3:4,则球的体积与圆台的体积之比为(A)

A.6:13 B.5:14 C.3:4 D.7:15

课堂小结

(1)球的表面积公式,球的体积公式.

(2)球的体积公式和表面积的一些运用.

(3)轴截面的应用(与其他几何体外接内切).

布置作业

1 一个球的体积是100 cm ,试计算它的表面积。

2 已知一个球的球心到过球面上A、B、C三点的截面的距离等于此 3

 PB 3 球半径的一半,若 PA  PC ,求球的体积。

范文十:球的表面积和体积

数学学案 球的表面积与体积

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【学习目标】1.了解球的表面积和体积公式

2.能熟练应用球的表面积和体积公式

【学习重点】球的表面积和体积公式的应用

【学习难点】球的表面积公式和体积公式的推导

【学习过程】

阅读课本第27页并参照第32页,回答:

V

球 = __________S球=__________ 【例1】求直径为2cm的球的表面积和体积。

【例2】已知一个半径为2的球内切于一个等边圆柱(底面直径等于母线长),求球与圆柱表面积之比,体积之比。

【例3】有一个棱长为a的正方体和三个球,第一个球与正方体各面相切,第二个球与正方体各条棱相切,第三个球经过正方体的各顶点,求这三个球的表面积之比和体积之比。

【例4】求棱长为

【达标测试】 a的正四方体(各面都是全等的正三角形)的内切球的与外接球的表面积之比与体积之比。

1.讲一个气球的半径扩大一倍,它的体积扩大到原来的( )倍。

A . 2倍 B. 4倍 C.6倍 D.8倍

2.若球、正方体、等边圆柱的体积相等,则它们的表面积的大小关系是( )

A.

C.S球

3.三个球的半径之比是1:2:3,那么最大球的体积是其余两个球的的体积之和的( )倍。

A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍

4.过球半径的中点,作一垂直于这条半径的截面,已知此截面的面积是48cm2,求此球的表面积。

25.一个球内有相距9cm的两个平行截面,它们的面积分别是49cm和

400cm2,求球的表面积。