工程电磁场导论

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范文一:工程电磁场导论

工程电磁场导论

王豫

西南交通大学电气工程学院

wangyu@swjtu.edu.cn

电气馆3561,87634849

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第零章 数学预备知识

高等数学是掌握电磁理论所必需的知识; 本章中将介绍本课程所需的重要高等数学 知识,不注重其严格推导和体系完整性, 侧重于应用; 希望大家课后复习有关数学知识。

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§0-1 矢量代数与分析

1. 矢量的基本概念

v ˆ ˆ ˆ a = ai ei + a j e j + ak ek

• 矢量的模 • 方向余弦

v ˆ ˆ ˆ a = a x ex + a y e y + a z ez

v 2 2 2 a = ai + a j + ak

(cos α , cos β , cos γ )

aj cos β = v a ak cos γ = v a

ai cos α = v a

cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1

(www.wenku1.com)工程电磁场导论:数学预备知识 对于单位矢量 a0 ,有 ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ a 0 = cos α ei + cos β e j + cos γ e k

2. 矢量的基本运算

标量积(点乘):

v v a ⋅ b = ai bi + a j b j + ak bk

v v a ⊥ b 的充要条件: v v a ⋅b = 0

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矢量积(叉乘):

ˆ ei v v a × b = ai bi ˆ ej aj bj ˆ ek ak bk

容易得到

v v v v a × b = −b × a

v v a // b 的充要条件是: v v a ×b = 0

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混合积:

(

ai v v v a × b ⋅ c = [abc ] = bi

)

aj bj cj

ak bk ck

ci

容易得到:

(

v v v v v v v v v a × b ⋅ c = b × c ⋅ a = (c × a ) ⋅ b

)

(

)

三矢量共面的充要条件是

(

v v v a ×b ⋅c = 0

)

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三矢积:

(

v v v v v v v v v a × b × c = (c ⋅ a )× b − c ⋅ b × a

)

(

)

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3. 矢量的微积分

• 矢量函数:

x = f (t ) → v ˆ ˆ ˆ a (t ) = a i (t )e i + a j (t )e j + a k (t )e k

可见,给定一个矢量函数相当于给定三个数量函数。

矢量函数模与方向变化:全变;模变;方向变

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矢量函数的微积分法就是它的三个投影的标量 函数的微积分法。

v 微分: d m a (t ) dt m d m a j (t ) d m a i (t ) d m a k (t ) ˆ ˆ ˆ = ei + ej + ek m m m dt dt dt

v d a (t ) v 的方向是 a (t ) 的矢端曲线在 M 点处的切线方向 dt

(指向 t 增大一方),模

v d a (t ) = dt ′ a i′ 2 (t ) + a ′j 2 (t ) + a k 2 (t )

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• 求导法则:

v d v v ( f ⋅ a ) = df a + f d a dt dt dt

v v v v da d v v db ⋅b + a ⋅ a ⋅b = dt dt dt

(

)

v v v da d v v v db ×b + a× a×b = dt dt dt

(

)

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• 弧微分:

v d a (t ) = a ′ (t )dt

v d a (t ) = da

i

ˆ (t )e i

+ da

j

ˆ (t )e j

+ da

k

ˆ (t )e k

v v 我们说, d a (t ) 是 a (t ) 表示的矢端曲线的弧微 v 分 ,即 d a (t ) = dl

dl

v v d a (t ) = d l

v 称 d l 为弧微分矢量。

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• 特别地,对于单位

矢量的微商

ˆ d a 0 (t ) dt

ˆ 1)其方向垂直于 a 0 (t ) ,是为

ˆ a 0 (t ) ⋅

ˆ d a 0 (t ) =0 dt

2)大小(模)等于其转动角速度

ˆ d a 0 (t ) d θ = dt dt

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积分:

v ˆ ˆ ˆ ∫ a (t )dt = e i ∫ a i (t )dt + e j ∫ a j (t )dt + e k ∫ a k (t )dt

注意这个不定积分是一族 t 的矢量函数。

v v v v ∫ c ⋅ a (t )dt = c ⋅ ∫ a (t )dt v v v ∫ [c × a (t )]dt = c ×

v a (t )dt

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4. 极矢量和轴矢量

• 镜象变换下,平行镜面的分量不变,垂直镜面的分量变

号,称为极矢量;而平行镜面分量变号,垂直镜面分量 不变,称为轴矢量。

极矢量的镜像变换

轴矢量的镜像变换

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极矢量: 位矢,加速度,力,电场强度,… 轴矢量: 角速度,角动量,力矩,磁感应强度,…

一些关系:

• 极矢量与极矢量的矢量积是轴矢量; • 轴矢量与轴矢量的矢量积是轴矢量; • 极矢量与轴矢量的矢量积是极矢量。

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§0-2 算符

• 算符表示作用在对象上的一个特定操作(或运

算),有很多形式,我们这里只介绍微分算 子。

• 定义

ˆ ∇ = ex ∂ ∂ ∂ ˆy ˆz +e +e ∂z ∂x ∂y

2 2 2

∂ ∂ ∂ ∇ = ∇ ⋅∇ = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z

2

哈密顿算子 拉普拉斯算子

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特别注意

• ∇ 和 ∇ 2 的作用顺序不能随便互换:

v v ∇ ⋅ a ≠ a ⋅∇

∇ 2 f ≠ f∇ 2

• ∇ 不是真正的矢量, 2 也不是真正的标量。 ∇

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微分算子性质 • 对于标量函数 f

∂f ∂f ∂f ˆ ˆ ˆ ∇f = ey + ez ex + ∂x ∂y ∂z

将一个标量变换为矢量 v • 对于矢量函数 a

∂a y ∂a x ∂a z v + ∇ ⋅a = + ∂y ∂z ∂x

点乘将一个矢量变换为标量

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以及

ˆ ex ∂ v ∇×a = ∂x ax

ˆ ey ∂ ∂y ay

ˆ ez ∂ ∂z az

叉乘将一个矢量变换为另一个矢量 注意

v 2v 2v ∂ a ∂ a ∂ a 2v ∇ a= 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z

2

∂2 f ∂2 f ∂2 f ∇2 f = + 2 + 2 2 ∂x ∂y ∂z

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§0-3 场论初步

• 空间研究的区域内,每一点都对应一个确定的

量,则称此空间为场,相应的量称为场量。 场量为标量,则此场称为标量场; 场量为矢量,则此场称为矢量场。

• 场是用物理参量在空间的点函数来表征的。 • 一个矢量场,由三个标量场决定。

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(1)标量场 f ( x , y , z )

• 等量面

f ( x, y , z ) = C

称此曲面为等量面。

• 特征:曲面上的场量数值不变。

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• 方向导数

标量场 f ( x, y, z ) 沿特定方向的

变化率。 设场函数 f ( x, y, z ) 在 M 0 ( x, y, z ) 可微,则在 M0 点它 沿任一方向 l (cos α , cos β , cos γ ) 的方向导数都存 在,其计算公式

∂f ∂f ∂f ∂f = cos α + cos β + cos γ ∂l ∂x ∂y ∂z

我们把此称为标量场 f 中沿 l 方向的方向导数。

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若以

∇f = ∂f ∂f ∂f ˆ ˆ ˆ ex + e y + ez ∂y ∂z ∂x

v ˆ ˆ ˆ l = cos αex + cos β e y + cos γez

可以得到

v ∂f ∂f ∂f ∇f ⋅ l = cos α + cos β + cos γ ∂z ∂x ∂y

v v l 方向的方向导数可以表为 ∇f ⋅ l 的形式

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讨论:

• 标量场 f 在任一方向上的方向导数,都是 ∇f

矢量在这个方向的投影;

• 矢量 ∇f 是独立的; • 对定点而言,什么方向上的方向导数最大?

v v ∇f ⋅ l = ∇f cos(∇f , l )

v cos(∇f , l ) = 1

欲 需要

极大

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表明:定点处,沿 ∇f 方向的方向导数取极大值。

• 梯度

对于标量场 f ,定义

∂f ∂f ∂f ˆ ˆ ˆ ∇f = e x + e y + e z ∂x ∂y ∂z

为其梯度。

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讨论:

1. 梯度

∇f

构成了一个矢量场;

2. 梯度表示的意义是从定点出发,函数 f 的最大变化率, 实际上,梯度也表示了相邻等量面的最大变化率:梯度 的方向与此点处的法线方向相同,指向 f 增大的方向; 3. 请记住:我们已经解决了标量场函数沿任意方向的变 化率计算问题!

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v (2)矢量场 A( x, y, z )

• 矢量线(矢线)

矢量场中的曲线,其上每一点处的切线方向与 该点的矢量方向相同,密度与场量成正比。

v 设 dl 为矢线上某点处的弧微分,于是

v v A × dl = 0

此即为矢线所满足的微分方程。

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展开得到

dx dy dz = = Ax Ay Az

其通解

⎧ ϕ 1 ( x , y , z , C1 ) = 0 ⎨ ⎩ϕ 2 ( x , y , z , C 2 ) = 0

其中 C 为任意常数,表示一簇空间曲线。

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• 性质:

1. 矢线分布于全矢量场; 2. 矢线互不相交; 3. 矢量管:一丛矢线围成的管状区域

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• 通量

v v 在矢量场 A 中,取曲面 S ,则

v v Φ = ∫ A ⋅ ds

S

称为该矢量场穿过 S 面的通量。 v 可见,A 相当于是 Φ 的密度(面积密度)。 v A 往往被理解为矢线的数密度。

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• 讨论

1)通量是标量,可正可负; 2)若取闭合曲面,法向为外法向,此时

⎧> 0 v v⎪ Φ = ∫∫ A ⋅ ds ⎨= 0 S ⎪

穿出多于穿入 穿出等于穿入 穿出小于穿入

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• 散度

v 矢量场 A 中,定义

v v ∫∫ A ⋅ ds

S

ΔV →0

lim

ΔV

v ∂Ax ∂Ay ∂Az = ∇

⋅ A = + + ∂x ∂y ∂z

v 称为矢量场 A 的散度。 v v 矢量场 A 的散度 ∇ ⋅ A 是一个标量场。

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• 讨论

v v 矢量场 A 的散度 ∇ ⋅ A 表示了一种源:汇聚与

发散的定量描述

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• 环量

v 矢量场 A 中,取有向闭合曲线 L ,则 v v ∫ A ⋅ dl

L

v 称为矢量 A 的环量。 • 环量形象地表征了矢量场的涡旋情况。

• Stokes 公式

v v v v ∫ A ⋅ dl = ∫∫ (∇ × A)⋅ ds

L S

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• 旋度

v 矢量场 A 中,定义

ˆ ex v ∂ ∇× A = ∂x Ax ˆ ey ∂ ∂y Ay ˆ ez ∂ ∂z Az

v 称为矢量场 A 的旋度。 v v 矢量场 A 的旋度 ∇ × A 是一个矢量场。

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• 讨论

旋度矢量在 n 方向的投影,称为方向旋度:

v ˆ (∇ × A)⋅ n = lim v v ∫ A ⋅ dl

L

ΔS →0

ΔS

v ( ˆ 显然,∇ × A) 取 n 方向时,方向旋度最大。

• 因此,旋度的方向就是使方向旋度为最大值的

取向,其模就是该方向的方向旋度值。

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(3)重要关系

• Gauss公式

v v v ∫ A ⋅ ds = ∫ ∇ ⋅ Adv

S V

v V 为 S 所围体积,ds 沿 S 曲面的外法线方向。

亦有

V →0

v ∇ ⋅ A = lim S

v v ∫ A ⋅ ds V

v 这可以看出散度 ∇ ⋅ A 的物理意义。

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• Stokes公式

v v v v ∫ A ⋅ dl = ∫ ∇ × A ⋅ ds

L S

v v S 为 L 所围面积, S 与 L 成右手螺旋关系。 亦有

v (∇ × A) n = lim v v ∫ A ⋅ dl

L S →M

S

v v (∇ × A) n表示 ∇ × A 在定点 M 处 S 的法线方向的投

影。

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• 其它结论

1. 旋度的散度为零 2. 梯度的旋度为零

v ∇⋅B = 0 v ∇× A = 0

v ∇ ⋅ (∇ × A) ≡ 0

∇ × (∇f ) ≡ 0

3. 无源场必可表为某一矢量场的旋度

v v → B = ∇× A v A = ∇f

4.无旋场必可表为某一标量场的梯度

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∇(φϕ ) = ϕ∇φ + φ∇ϕ

v v v ∇ ⋅ (ϕA) = ∇ϕ ⋅ A + ϕ∇ ⋅ A v v v ∇ × (ϕA) = ∇ϕ × A + ϕ∇ × A v v v v v v ∇ ⋅ (A × B ) = (∇ × A)⋅ B − A ⋅ (∇ × B ) v v v v v v v v v v ∇ × (A × B ) = (B ⋅ ∇ )A + (∇ ⋅ B )A − (A ⋅ ∇ )B − (∇ ⋅ A)B

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v v v v v v v v v v ∇(A ⋅ B ) = A × (∇ × B ) + (A ⋅ ∇ )B + B × (∇ × A) + (B ⋅ ∇ )A ∇ ⋅ ∇ϕ = ∇ 2ϕ v v v 2 ∇ × (∇ × A) = ∇(∇ ⋅ A) − ∇ A

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• 纵场与横场

v 矢量场 A 满足

v ∇⋅ A = 0

v 则称 A 为横场;

v 矢量场 A 满足

v ∇× A = 0

v 则称 A 为纵场。

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• Hemholtz 定理

v 在空间有限区域 V 内的任一矢量场 A ,由它

的散度、旋度和边界

条件( V 的闭合面 S 上 的确定矢量场分布)所唯一性地确定。 v 任一矢量场 A 均可表为纵场与横场之 v v v A = A1 + A2 和: v v ∇ ⋅ A1 = 0 ∇ × A2 = 0 且

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• 补充定理:

数量场 f 由梯度场 ∇f 和 f 在某一定点 M0 的值 f(M0) 所唯一确定。

• 调和场

散度和旋度都等于零的矢量场。 一个矢量场不可能在全空间为调和场。

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§0-4 正交曲线坐标系

• 空间一点可用三个参数确定,每个参数确定一

个坐标面。如果在空间的任一点 M 上,三个相 交的坐标曲面相互正交(各曲面在交点上的法 线相互正交),则坐标曲面的三条交线在该点 也相互正交(各交线在该点的切线相互正交, 这些交线称为坐标曲线或坐标轴),这样构成 的坐标系,称为正交曲线坐标系。

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• 沿三条坐标曲线的切线方向各取一个单位矢

量,称为坐标单位矢量,其模等于1并以各坐标 变量的正增加方向为正方向。

• 坐标单位矢量相互正交且满足右手螺旋法则。

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(1)直角坐标系(x,y,z)

• 特点:由三簇相互垂直的平面构成。

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(2)柱坐标系 (ρ , ϕ , z ) • 特点:在二维极坐标 (ρ , ϕ )

的基础上再增加 Z 轴作为 第三个坐标。

• 三个基矢与坐标面:

ˆ eρ 沿 ρ 增加方向,系 z 轴为轴线的圆柱面; ˆ eϕ 沿 ϕ 增加方向,为通过 z 轴的半平面;

ˆ ez 沿z 增加方向,与 z 轴垂直的平面。

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• 柱坐标的三簇坐标面

ρ = const

ϕ = const

z = const

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• 变量变化范围:

0 ≤ ρ

− ∞

• 任一矢量表达

v ˆ ˆ ˆ A = Aρ eρ + Aϕ eϕ + Az ez

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• 柱坐标中各微元表达: v ˆ ˆ ˆ d l = d ρ e ρ + ρ d ϕ e ϕ + dz e z

v ˆ ˆ ˆ d s = ρ d ϕ dz e ρ + d ρ dz e ϕ + ρ d ρ d ϕ e z

dv = ρ d ρ d ϕ dz

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• 变换关系:

⎧ x = ρ cos ϕ ⎪ ⎨ y = ρ sin ϕ ⎪ z= z ⎩

ˆ ˆ ˆ ⎧ e x = cos ϕ e ρ − sin ϕ eϕ ⎪ ˆ ˆ ˆ ⎨ e y = sin ϕ e ρ + cos ϕ eϕ ⎪ ˆ ˆ ez = ez ⎩

⎧ρ = x2 + y 2 ⎪ ⎪ tan ϕ = y ⎨ x ⎪ z= z ⎪ ⎩

ˆ ˆ ˆ ⎧ e ρ = cos ϕ e x + sin ϕ e y ⎪ ˆ ˆ ˆ ⎨ eϕ = − sin ϕ e x + cos ϕ e y ⎪ ˆ ˆ ez = ez ⎩

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(3)球坐标系 (r ,θ , ϕ )

• 特点:矢径的长度 r,矢径与

z 轴的夹角 θ ,以及矢径在xy 平面上的投影与x轴的夹角 ϕ 。

• 三个基矢与坐标面:

ˆ er 沿 r 增加方向,以原点为球心的球面;

ˆ eθ 沿 θ 增加方向

,以原点为顶点的圆锥面; ˆ eϕ 沿 ϕ 增加方向,通过 z 轴的半平面。

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• 球坐标的三簇坐标面

r = const

θ = const

ϕ = const

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• 变量变化范围:

0 ≤ r

0 ≤ ϕ

• 任一矢量表达

v ˆ ˆ ˆ A = Ar er + Aθ eθ + Aϕ eϕ

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• 球坐标中各微元表达: v ˆ ˆ ˆ d l = dr e r + rd θ e θ + r sin θ d ϕ e ϕ

v ˆ ˆ ˆ d s = r 2 sin θ d θ d ϕ e r + r sin θ drd ϕ eθ + rdrd θ eϕ

dv = r 2 sin θ drd θ d ϕ

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• 变换关系:

⎧ x = r sin θ cos ϕ ⎪ ⎨ y = r sin ϕ sin ϕ ⎪ z = r cos θ ⎩

ˆ ˆ ˆ ˆ ⎧ e x = sin θ cos ϕ e r + cos θ cos ϕ eθ − sin ϕ eϕ ⎪ ˆ ˆ ˆ ˆ ⎨ e y = sin θ e r + cos θ sin ϕ eθ + cos ϕ eϕ ⎪ ˆ ˆ ˆ e z = cos θ eϕ − sin θ eθ ⎩

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• 变换关系:

⎧ ⎪ r = x2 + y2 + z2 ⎪ ⎪ ⎨ cos θ = z x2 + y2 + z2 ⎪ ⎪ tan ϕ = y ⎪ x ⎩

ˆ ˆ ˆ ˆ ⎧ e r = sin θ cos ϕ e x + sin θ sin ϕ e y + cos θ e z ⎪ ˆ ˆ ˆ ˆ ⎨ eθ = cos θ cos ϕ e x + cos θ sin ϕ e y − sin θ e z ⎪ ˆ ˆ ˆ eϕ = − sin ϕ e x + cos ϕ e y ⎩

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(4)三度在柱、球坐标系中的表达式

• 梯度

柱面:

∂f ∂f 1 ∂f ˆ ˆ ˆ ∇f = eρ + eϕ + ez ∂z ρ ∂ϕ ∂ρ

球面:

∇f =

1 ∂f 1 ∂f ∂f ˆ ˆ ˆ er + eθ + eϕ r ∂θ r sin θ ∂ϕ ∂r

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• 散度

柱面:

v 1 ∂ 1 ∂Aϕ ∂Az (ρAρ ) + + ∇⋅ A = ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z

球面:

v 1 ∂ 2 ∂ 1 ∂Aϕ 1 (sin θAθ ) + ∇⋅ A = 2 r Ar + r ∂ρ r sin θ ∂θ r sin θ ∂ϕ

(

)

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• 旋度

柱面:

ˆ eρ v 1 ∂ ∇× A = ρ ∂ρ Aρ

∂ ∂ϕ ρAϕ

ˆ ρeϕ

ˆ ez ∂ ∂z Az

球面:

ˆ er v ∂ 1 ∇× A = 2 r sin θ ∂r Ar

ˆ r eθ ∂ ∂θ rAθ

ˆ r sin θ eϕ ∂ ∂ϕ r sin θ Aϕ

范文二:工程电磁场导论

工程电磁场导论

电磁场理论中“矢量分析”的一些相关知识

1. 标量场和矢量场 场是一个标量或一个矢量的位置函数,即场中任一个点都有一个确定的标量或矢量。例如,在直角坐标下:

(x,y,z)

5

4π [(x1)(y2)z]

2

2

2

标量场

如温度场、电位场、高度场等; A(x,y,z)2xyexxzeyxyzez

2

2

矢量场

如流速场、电场、涡流场等。

2. 标量场的梯度 设一个标量函数 (x,y,z),若函数  在点 P 可微,则  在点P 沿任意方向 的方向导数为

l

(



,,)(cos,cos,cos) xyz

设 g(



,,),el(cos,cos,cos) 式中,, 分别是任一方向l与 x, xyz

l

gel|g|cos(g,el) 当( g,el )0

l

y, z 轴的夹角 则有:

x

y

z

最大

exeyezgrad ——梯度(gradient)

式中(

xyz

,

,)——哈密顿算子

梯度的意义 标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数。 梯度的大小为该点标量函数的最大变化率,即最大方向导数。 梯度的方向为该点最大方向导数的方向。

3. 散度 如果包围点 P 的闭合面 S 所围区域 V 以任意方式缩小到点 P 时: lim AdSdivA

V0

V

S

散度的意义 矢量的散度是一个标量,是空间坐标点的函数; 散度代表矢量场的通量源的分布特性。

在矢量场中,若• A=   0,称之为有源场, 称为 ( 通量 ) 源密度;若矢量场中处处 • A=0 ,称之为无源场。

4. 旋度 旋度是一个矢量,其大小等于环量密度的最大值;其方向为最大环量密度的方向

rot AA——旋度(curl)

旋度的物理意义 矢量的旋度仍为矢量,是空间坐标点的函数。

某点旋度的大小是该点环量密度的最大值,其方向是最大环量密度的方向。

divAA

Axx

Ayy

Azz

———散度 (divergence)

在矢量场中,若 A=J 0 称之为旋度场(或涡旋场),J 称为旋度源(或涡旋源)。 若矢量场处处 A= 0 ,称之为无旋场。 第1章 静电场

本章要点 :电场强度、电位移矢量、电位、极化等概念。静电场基本方程和分界面衔接条件。电位的边值问题及其解法(分离变量法,有限差分法,镜像法,电轴法等)。 电场、电位、电容、能量、力的各种计算方法。 第2章 恒定电场

本章要点 :各种电流密度概念,通过欧姆定律和焦耳定律深刻理解场量之间的关系。 导电媒质中的恒定电场基本方程和分界面衔接条件。静电比拟法和电导的计算。 第3章 恒定磁场

本章要点 :磁感应强度、磁通、磁化、磁场强度的概念。恒定磁场的基本方程和分界面衔接条件。磁位及其边值问题。磁场、电感、能量与力的各种计算方法。了解磁路及其计算方法。

第4章 时变电磁场

本章要点 :电磁场基本方程组的物理意义,其中包 括位移电流的概念;动态位与场量的关系以及波动方程,理解电磁场的滞后效应及波动性;电磁波的产生和传播特性。 第5章 准静态电磁场

本章要点 :EQS和MQS的共性和个性;工程计算中简化为准静态场的条件;准静态场的计算方法。

第6章 平面电磁波的传播

本章要点:均匀平面电磁波在理想介质和导电媒质中的传播特性及基本规律。均匀平面电磁波在工程中的应用。均匀平面电磁波斜入射时的传播特性,均匀平面电磁波正入射时的传播特性。

第7章 均匀传输线中的导行电磁波

本章要点 :均匀传输线的稳态分析方法;电压波和电流波的传播特性 ( 行波、 驻波、匹配等 ) ;有损耗传输线的无畸变条件。 第8章 波导与谐振腔

本章要点 :波导的概念,导行电磁波的分类和一般特性;矩形波导、介质波导的特点,TEM波,TE波,TM波的概念;谐振腔概念。 例题分析

例1. 已知 A3xex4yey5zez,试判断它能否表示一个静电场?

解:静电场是一个无旋、有源场,静止电荷就是静电场的源。这两个重要特性的简洁数学形式为:

Df (DE)DdSq

S

E0

(E)

Edl0

l

根据静电场的旋度恒等于零的性质,

ex

A

xAx

eyyAy

ezzAz

(

Azy

Ayz

)ex(

Axz

Azx

)ey(

Ayx

Axy

)ez0

对应静电场的基本方程 E0,矢量 A 可以表示一个静电场。

例2. 试求图示两带电长直平行圆柱导体传输 线的电场及电位分布。

图1 平行圆柱导体传输线电场的计算 ( 以y 轴为电位参考点 ) 解:

a)建立坐标系

,

b

ha

2

确定电轴位置

2

:

b)圆柱导线间的电场与电

EP

位:1

2

(ln

1

1

e1

2

e2)

p

2

21

例3. 已知平行传输线之间电压为U0, 试求电位分布。

解: 确定电轴的位置b2h2a2

b

d2h

图2. 电压为U0的传输线

(d2

)a

2

2

图2. 电压为U0的传输线

设电轴线电荷,任一点电位



0

ln

2

1

U0

b(ha)b(ha)lnln 2π0b(ha)b(ha)

所以 

U0

ln2

b(ha)1

2ln

b(ha)

例4.求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为R1、R2,长度为l,中间媒质的电导率为,介电常数为。

图3. 同轴电缆横截面

解法一 直接用电流场的计算方法 设

IJ

I2l

E

J

I

2l U

R2R1

Edl

I2l

d

I2l

ln

R2R1

电导 G

IU

2l11R

绝缘电阻 Rln2 RG2lR1ln2

R1

解法二 静电比拟法 由静电场解得C

2lC

, 则根据关系式得 RGln2R12lRln2

R1

同轴电缆电导 G,绝缘电阻 R

12l

ln

R2R1

例5.球形接地器接地电阻的分析。

图4. 深埋球形接地器

1. 深埋球形接地器 解:深埋接地器可不考虑地面影响,其电流场可与无限大区域() 的孤立圆球的电流场相似。解法一 直接用电流场的计算方法 IJ

I4r

2

E

J

I4r

2

U

I4r

a

2

I4a

R4a

解法二 静电比拟法 CG



C4a,G4a,R14a

2. 浅埋半球形接地器 解:考虑地面的影响用镜像法处理。此时由静电比拟

图5. 浅埋半球形接地器

CG



,C4aG4a

实际电导 GG2, 接地器接地电阻 R12a

例 6. 用坡印亭矢量分析直流电源沿同轴电缆向负载传送能量的过程。设电缆为理想导体,内外半径分别为a和b。

图6. 同轴电缆中的电磁能流

解: 理想导体内部电磁场为零。电磁场分布如图所示。 电场强度 E

U

e 磁场强度 H

I2

e

ln(b/a)

坡印亭矢量SEH

U

ln(b/a)2

I

ez

单位时间内流入内外导体间的横截面A的总能量为 PSdA

A

ba

UI2

2

lnb/a

2dUI

这表明:• 穿出任一横截面的能量相等,电源提供的能量全部被负载吸收。 • 电磁能量是通过导体周围的介质传播的,导线只起导向作用。

例 7. 平板电容器如图所示,当两极板间加正弦工频交流电压 u(t) 时,试分析电容器中储存的电磁能量。

图4.5.1 两圆电极的平板电容器

U解:忽略边缘效应及感应电场, 则电场满足无旋性质,可表示为Eez d

根据全电流定律,由位移电流产生的磁场为 dlH

l

D

S

t

dS

2H

S

UjEdSj

d

2

U整理得 Hje 2d

~HjU(e) 复坡印亭矢量 SE2

2d

~UaSdSja(e)2ad(e)jU2

2dd

2

2

2

电容器吸收能量 

2

S

jCU

2

(无功功率)

显然,电容器中储存电场能量,磁场能量忽略不计,电磁场近似为EQS场。

范文三:工程电磁场导论实验

用有限差分法解静电场边值问题

学院:电气工程学院 名字:王英成 学号:20094450113 专业班级:电力091班

一、目的

1.掌握有限差分法的原理与计算步骤;

2.理解并掌握求解差分方程组的超松弛迭代法,分析加速收敛因子的作用; 3.学会用有限差分法解简单的二维静电场边值问题,并编制计算程序。

二、方法原理

有限差分法是数值计算中应用得最早而又相当简单、直观的一种方法。应用有限差分法通常所采取的步骤是:

⑴ 采用一定的网格分割方式离散化场域。

⑵ 进行差分离散化处理。用离散的、只含有限个未知数的差分方程组,来近似代替场域内具有连续变量的偏微分方程以及边界上的边界条件(也包括场域内不同媒质分界面上的衔接条件)。

⑶ 结合选定的代数方程组的解法,编制计算机程序,求解由上面所得对应于待求边值问题的差分方程组,所得解答即为该边值问题的数值解。

现在,以静电场边值问题

2

2

022

xy

Lf(s)

在D中

(1)(2)

为例,说明有限差分法的应用。f(s)为边界点s的点函数,二位场域D和边界L示于图5.1-1

中。

x

图5.1-1 有限差分的网格分割

1. 离散化场域

应用有限差分法时,首先需从网格划分着手决定离散点的分布方式。通常采用完全有规律的方式,这样在每个离散点上可得出相同形式的差分方程,有效地提高解题速度。如图5.1-1所示,现采用分别与x,y轴平行的等距(步距为h)网格线把场域D分割成足够多的正方形网格。各个正方形的顶点(也即网格线的交点)称为网格的结点。这样,对于场域内典型的内结点0,它与周围相邻的结点1、2、3和4构成一个所谓对称的星形。

2.差分格式

造好网格后,需把上述静电场边值问题中的拉普拉斯方程(1)式离散化。设结点0上

的电位值为0。结点1、2、3和4上的电位值相应为1、2、3和4,则基于差分原理的应用,拉普拉斯方程(1)式在结点0处可近似表达为

1+2+3+4-41=0 (3)

这就是规则正方形网格内某点的电位所满足的拉普拉斯方程的差分格式,或差分方程。对于场域内的每一个结点,关系式(3)式都成立,都可以列出一个相同形式的差分方程。

但是,对于近邻边界的结点,其边界不一定正好落在正方形网格的结点上,而可能如图5.1-2所示。其中1、2为边界线上的结点,p、q为小于1的正数。仿上所述,可推得对这些近邻边界结点的拉普拉斯方程的差分格式为

1

p(1p)

2

q(1q)

3

1p

4

1q

(

1p

1q

)00

(4) 式中:1和2分别是给定边界条件函数f (s)在对应边界点处的值,是已知的。

3

1

4

图5.1-2 近邻边界的结点

3.边界条件的近似处理

为了求解给定的边值问题,还必须对边界条件,以及具体问题中可能存在的分界面上的衔接条件,进行差分离散化处理,以构成相应的差分边值问题。这里,我们只考虑正方形网格分割下的边界条件的近似处理。

⑴ 第一类边界条件

如果网格结点正好落在边界L上,因此对应于边界条件(2)式的离散化处理,就是把点函数f (s)的值直接赋予对应的边界结点。如果边界L不通过网格分割时所引进的结点(例如图5.1-2中的1、2结点是边界线L与网格线的交点,并不是网格分割时所引进的网格结点),那末在紧邻边界的结点的差分格式应选用(4)式,这时,把点函数f (s)的值直接赋予边界线L与网格线的交点1和2。

⑵ 第二类边界条件

应当指出,从实际电场问题的分析出发,如图5.1-3所示,以电力线为边界的第二类齐次边界条件是常见的一种情况。



n

0 (5)

L

这时,可沿着场域边界外侧安置一排虚设的网格结点,显然,对于边界结点0,由于该处

n

0

,故必有1=3,因此相应于边界条件(5)式的差分计算格式为

21+2+4-40=0 (6)

设点

边界s

图5.1-3 第二类齐次边界的一种情况 图5.1-4对称线上结点的差分格式

同样,在许多工程问题中,常常能够判定待求电场具有某些对称性质,这样只需要计算某一对称部分的场就能完全决定整个场的分布。为此,还必须导出位于场的对称线上的结点所满足的差分计算格式。以对称线与网格结点相重合为例(见图5.1-4),设AA'线为一对称线,对于位于对称线上的任一结点0,由拉普拉斯方程(因对称性,必有1=3)可得相应的差分计算格式是

21+2+4-40=0 (7)

⑶ 媒质分界面上的衔接条件

在此选取两种情况进行差分离散化的处理。

分界面与网格线相重合的情况;设分界面L与网格线相重合,如图5.1-5所示,在两种媒质εa和εb中电位都满足拉普拉斯方程。容易导得,两种媒质分界面上衔接条件在结点0的差分格式为

21K

12

2K1K

34400 (8)

其中

K

ab

图5.1-5 分界面与网格线相重合 图5.1-6 分界面L对网格呈对角线形态

分界面对于网格呈对角线形态的情况:如图5.1-6所示,分界面L对于网格呈对角线形态,在两种媒质a和b中电位都满足拉普拉斯方程。容易导得,两种媒质分界面上衔接条件在结点0的差分格式为

21K

(12)

2K1K

(34)400 (9)

其中

K

ab 。

总之,类似以上的分析处理方法,可以逐个导得各种类型的边界条件和衔接条件差分离散化的计算格式。限于篇幅,在此不再展开。

4.差分方程组的求解 在对场域D内各个结点(包括所有场域内点和有关的边界结点)逐一列出对应的差分方程,组成差分方程组后,就可选择一定的代数解法,以算出各离散结点上待求的电位值。注意到差分方程组的系数一般是有规律的,且各个方程都很简单,包含的项数不多(最多不超过5项),因此,对于有限差分法,通常都采用逐次近似的迭代方法求解。

在迭代法的应用中,为加速迭代解收敛速度,一般采用的是超松弛迭代法。由于编写计算机程序的需要,每一网格结点的位置由双下标(i,j)予以识别,如图5.1-7所示。对于差分方程(3)式,采用超松弛迭代法(规定迭代的运算顺序是:从左下角开始做起,即i小的先做;对固定的i,j小的先做。),则关于结点0迭代到第(n+1)次时的近似值,应由如下迭代公式算得 (i,j)(i,j)

(n1)

(n)

4

((i1,j)(i,j1)(i1,j)(i,j1)4(i,j)) (10)

(n)(n)(n1)(n1)(n)

j

i+1,j)

图5.1-7 结点的双下标(i,j)标号

式中: 称为加速收敛因子,其取值范围是1≤

加速收敛因子有一个最佳取值问题,但随具体问题而异。对于第一类边值问题,若一正方形场域由正方形网格分割(每边结点数为m+1),则最佳收敛因子0可按下式计算

0

21sin

 (11) m

在更一般的情况下,0只能凭借经验取值。

应当指出,为加速迭代解收敛速度,在迭代运算前,恰当地给定各内点的初始值(即所谓第0次近似值)也是一个有效的途径。

5.迭代解收敛程度的检验

在超松弛迭代法的应用中,还必须涉及迭代解收敛程度的检验问题。对此,通常的处理方法是:迭代一直进行到所有内结点上相邻两次迭代解的近似值满足修正条件

(i,j)(i,j)W (12)

时,终止迭代。将式(12)作为检查迭代解收敛程度的依据。其中:W是指定的最大允许误差。

6.有限差分法的程序框图

(n1)n

图5.1-8 程序框图

三、上机作业

设有一个长直接地金属矩形槽,(a=2b),如题5.1-1图所示,其侧壁与底面电位均为零,顶盖电位为100V(相对值),求槽内的电位分布。

x

题5.1-1图 矩形接地金属槽

具体要求:

⑴ 编写一个计算机程序(用你熟悉的程序语言)

⑵ 求相邻两次迭代值的指定的最大允许误差小于10-5的迭代收敛解。

⑶ 以步距h

a40

的正方形网格离散化场域,然后应用有限差分法求电位的数值解。

a40

⑷ 根据场分布的对称性,试以半场域为计算对象,并以步距h将该半场域由正方

形网格予以分割,然后用有限差分法求电位的数值解。

⑸ 分别取为n个不同的值和最佳值0,求电位的数值解,以此分析加速收敛因子的作用。从迭代收敛时的迭代次数和最终数值解这两方面总结自已的看法。

⑹ 用计算机描绘等位线分布。

⑺ 取中心点P(

ab,)22

处电位的精确解(解析解)与数值解进行比较,说明误差范围。

程序:

#include #include

#define M 40 #define N 20 #define A 1.5

double gi[M+1][N+1]; // Define a array to store the values of fi[i][j]

double g(int i,int j) // Define a function to caculate fi[i][j](n+1) {

double result; result=gi[i][j]+(gi[i+1][j]+gi[i][j+1]+gi[i][j-1]+gi[i-1][j]-4*gi[i][j])*(A/4.0); return result; }

main() { double g(int ,int ); int flag=0,i,j,n=0;

for(i=0;i

do // Begin to caculate. { n++; flag=0; // Used as a mark to mark up if the process is finished. for(i=1;i

for(j=1;j 10E-5) //If there exists one point that doesn't meet the requirements ,then flag will not equals 0. flag++; gi[i][j]=g(i,j); } }while(flag); // If flag equals 0,then stop. for(j=0;j

运行结果:

范文四:工程电磁场导论十二讲

第十二讲、时变场之一

一、电磁感应定律

二、全电流定律

三、电磁场的基本方程组

四、电磁场边界衔接条件

一、电磁感应定律(磁‘生’电)

1、法拉第电磁感应定律(磁‘生’电)①、法拉第电磁感应定律概念表述:通过某一闭合回路的磁链发生变化时,闭合回路一定产生感生电动势,

感生电动势所产生的感生电流的磁链

的方向总是障碍原磁链的变化。问题:感生电流是如何产生的?

②、感生电场:电荷能够运动,空间一定有电场,这种电场称为感生电场。感生电场遍布空间。

问题:感生电场大小、方向以及在空间的分布如何?2、法拉第电磁感应定律的定量表述:d∫B⋅dS⋅dBdS∫dε

=−∂B∂dS=−S⇒Eidl=−=−∫⋅dS−∫B⋅dtdtdt∂t∂tSSε=EdliB⇒∇×Ei=−+∇×(V×B)∂t

第一种情况:

物质能够对电荷有力的作用,注意:

①、感应电场不同与静电场。

②、上式推导中,楞次定律所表达图、变化磁场周围产生电场的为左手法则,它的意义类比于电

流周围的磁场。第二种情况:闭合回路动,空间磁场恒

定。在磁场中放置一个闭合回路,当闭合

回路所包围的面积发生变化时(可以是膨

胀,也可以是收缩),在回路面积变化处

存在一种特殊物质,这种特殊物质能够对电荷有力的作用,也称为感生电场。图、导线切割磁力线产Ei=V×B生磁场

B∇×Ei=−∂t

注意:上述又可表达为只要导线运动,那么在导线的运动处就‘切割’了磁力线,也就意味着在‘切割’处导线有感生电场。

问题:(11.3)式如何推出来的?

第三种种情况:若空间存在的磁场也随时间变化,在磁场中的闭合回路面积也在变化,那么在回路面积变化处存在的感生电场是上述两种情况之‘合’。

注意:一般,若场的物理本质特征,不考虑运动媒质,变化磁场生电场的基本形式为:∂BB∇×Ei=−+∇×(V×B)∂t∇×Ei=−∂t

1):∂B

∂t⇒∂φ∂(BLL′)∂(BS)∂Bε1====S∂t∂t∂t∂t

R

2):B,V⇒ε2=BLV

∂Bε=ε1+ε2=S+BVL∂t

二、全电流定律(电‘生’磁)

1、问题的引入:安培环路定律的困惑∇×H=J∇⋅∇×H=∇⋅J

⇓0⇒∇⋅J=0①、安培环路定律是恒定磁场的基本方程。

②上式对稳恒情况固然适用,对非稳恒情形,∇•J≠0,上式就存在问题,如何解决?由电荷守恒定理

∂ρ∇⋅J=−∂t∂∇⋅D∂D=−=−∇⋅∂t∂t∂D⇒∇⋅(J+)=0∂t第二章:电荷守恒定律此项称为位移电流密度该式表明:在时变电场中电流密度散度不为零,但是它与位移电流所构成的全电流密度的散度一定为零

2、全电流定律



∂D∇×H=J+∂t(13.4)图、全电流守恒定律

∂D理解:1)J+∂t称为全电流一定

是连续的,例如在对电容器充电的过程

中,板内并无传导电流,但是平行板电

容器内有位移电流,故全电流是守恒的

2)、天线原理

图13.5 天线辐射原

3)、位移电流是Maxwell引入的,通过这一引入,Maxwell大胆得出法拉第电磁感应定律和全电流定律的向量方程表述,通过解这组方程,Maxwell大胆假设电磁波存在,意义重大。

例1、在无源的自由空间中,已知磁场强度−59H=2.63×10cos(3×10t−10z)eyA/m

XZY求位移电流密度Jd和电场强度E

解:在J=0区域,由麦克思韦第二表达式

∂D∂D∂∂∂∇×H=⇒Jd==(ex+ey+ez)×H∂t∂t∂x∂y∂z

∂H−49=−ex=−2.63×10sin(3×10t−10z)ex∂z

91∂D∂D36π×1099E=∫dt=36π×10×∫dt=[2.63cos(3×10−10z)]ex9ε0∂t∂t3×10

9=31.5cos(3×10t−10z)ex

例2、在无源的自由空间中,已知调频广播电台辐射的电磁波的电场强度为Z

Y

X−29E=10sin(6.28×10t−20.9z)eyV/m

求空间磁场强度分布

解:在J=0区域,由麦克思韦第一表达式

∂Ey∂B−29=−∇×E=ex=−20.9×10cos(6.28×10t−20.9z)ex∂t∂z∂B−119⇒B=∫=−3.33×10sin(6.28×10t−20.9z)exT∂t

例3、设在半径分别为a和b 的两个同心球之间充满理想的电介质,介电常数为ε,两球间接有交变电压u=Umsinωt,求1)应用位移电流的定义,求通过介质中任意点的位移电流密度;2)应用交流电路的方法计算两球间任意点的位移电流

解:1)关键是要找出电容器内的电场分布,既为同心球,当两球间充有电压时,设内导体带电量为q,由于对称性,应用高斯定律,得介质内任意点距球心为r处

bbqqE=e;u=∫E⋅dl=∫2r2aa44πεrπεrabqab

⇒=Umsinωt⇒E=4πεb−ab−a⇒

∂D∂EabεωUmJD==ε=er

2

∂t∂tb−ar

2)交流电路方法的本质就是全电流守恒定律,解题思路在于先找出通过电源流出的传导电流,传导电流肯定是没有流过电容器的,在电容器内传导电流断了,因为全电流一定是连续的,故又有位移电流接上了(Ic=ID)

qdqab

,q=Cu⇒ic=CC==4πε

ub−adt

4πεabω4πεabd

⇒ic=UmcosωtUmsinωt⇒ic=

b−adtb−a

iDεabωUmcosωt4πεabωiD=ic=Umcosωt⇒JD=r=r

b−a4πr2b−ar2

问题?没有考虑线上的位移电流?

例4、P184页4-3、圆形极板构成的平行板电容器,板间距为d,板间充满有耗媒质,电导率为γ,介电常数为ε,磁导率为µ0,当外加电压为u=Umsinωt

求任意点的位移电流和磁感应强度(忽略边缘效应和变化磁场对电场的影响)∂D∂EεωJd==ε=Umcosωtez解:u∂t∂tdE=ez⇒

dJ=γE=γ1Usinωte

cmzdUm∇×B=µ0(Jd+Jc)=µ0(εωcosωt+γsinωt)ez

d



B⋅dl=µ0∫J⋅dS=∫(Jd+Jc)⋅dS

s

s

B⋅2πρ=(Jd+Jc)πρπρ2Um⇒B=×µ0(εωcosωt+γsinωt)eφ

2πρd

2

例5、均匀绕制(单位长度为N匝)的细长螺线管,螺管的半径为a,且a

解:

1)分析:忽略边缘效应,可以将螺线管看成是无限长,磁场都集中在螺线管内,外部没有磁场

r≥aB(t)=0

r

∂B2)∇×E=−

∂t⇒E⋅dl=u0NImωcosωt2

πr=r

2πrr≥a

u0NImωcosωt

2

E=−πa=2πr电场方向如右图所示3)闭合导线的感应电流

2

4)若上问中导线不闭合,求开口处电压?

b2

Uab=∫E⋅dl=µ0πNImaωcosωt

a

µ0NImaω

E=cosωt,ε=E⋅dl

2r

2µ0NImaω

cosωt⋅2πR0mε=Edl=

2R

εµ0πNIma2ωi==cosωt

rr

三、电磁场的基本方程组(Maxwell Equations)

1、基本方程组

积分方程微分方程

BB⇒∇×E=−LE⋅dl=−S∂t⋅dS

∂tDD

LH⋅dl=SJc⋅dS+S∂t⋅dS⇒∇×H=Jc+∂t

⇒∇⋅B=0SB⋅dS=0



⇒∇⋅D=ρD⋅dS=∫ρdV

S

V

该项不是

独立方程,可由第一式导出

评注:方程组的本原为由时变电流激发磁场、磁场又产生电场,形成电磁波在空间传播。方程组只有6个独立分量方程,又有6个独立未知量,Maxwell Equations的解是唯一的

该项不是

独立方程,可由第二式导出

2、本购关系



B=µH(13.6)



J=γE(13.7)

3、电磁场边值条件

D=εE

(13.5)

注意:对存在局外场的位置:

J=γ(E+Ee)

∂DLH⋅dl=SJ⋅dS+S∂t⋅dS

∂BLE⋅dl=−S∂t⋅dSSB⋅dS=0

D⋅dS=∫ρdV

S

V



⇒en×(H2−H1)=Kc

⇒en×(E2−E1)=0⇒⇒



n⋅(B2−B1

)=0



n⋅(D2−D1)=σ

理解:

1)以上边界法向从媒质1指向2

2)以上四个边界条件方程的推导

要点、难点在于前两个叉积方程,后面

两个方程可以与静电场、恒定磁场类比。在推导前两个叉积方程过程中,利用向量恒等式:

∇×F⋅dV=−F×dS

VS

对于第一个边界条件的推导

∂D

−(H2−H1)×∆Sen=(J+)∆S∫由于任何场量对时间的变化率都不可能是

无限大;在分界面上电流的体密度与分界面的“厚度”的乘积为分界

面的传导电流面密度⇒e×(H−H)=J∆h=K

n

2

1

c

c

∂D

⇒e

n×(H2−H1)=Jc∆h+∆h

∂t

∂t

图13.7、边界条件

注意:完纯导体(γ=∞)的概念。在实际问题中,往往把良导体看成完纯导体以简化问题的分析。由于在完纯导体内部电场为零(E1=0, why?),故时变磁场(H1=0)也为零(不考虑与时间无关的常数:这里指恒定电流场),故完纯导体内的电流(时变电流)完全沿着导体表面流动形成面电流(时变电流),同时完纯导体表面也存在面电荷(时变面电荷)

E1=0,H1=0⇒D1=0,B1=0⇒E2t=E1t=0,B2n=B1n=0



n×H2=Kc,⇒n×H2t=0

n⋅D2=σ,⇒D2n=σ

图13.8、良导体的边界条件

例6:在两块导电平板Z=0和Z=d之间的空气中传播的电磁波的电场

π分量为:E=E0sinzcos(ωt−βx)ey

d

其中β为常数,求1)H=?;2)导板表面的电荷面密度σ和电流面

密度K。∂B

∇×E=−

解:1)利用Mxwellequations

H=−

1µ0

−µ

∫(−

∂E∂z

y

∂Eyex+ez)dt

∂x

∂Ey∂Ey∂H

ex+ez=−

∂x∂t∂z

∂t

E0ππzπz

=[cossin(ωt−βx)ex+βsincos(ωt−βx)ez]µ0ωddd

2)利用boundary conditions

z=0,

K=n×H=

z=d,



n×(H2−H1)=K



K1=ez×H=K

2

E0π

×sin(ωt−βx)ey

µ0ωdE0π

sin(ωt−βx)ey×

µ0ωd



=−ez×H=

第十二讲作业P151页

P156页

P184页

P184页4-1-24-2-34-34-4

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范文五:工程电磁场导论十三讲

第十三讲、时变场之二一、动态位及其积分解二、电磁功率流和玻印亭向量三、正弦电磁场四、电磁辐射

Review:电磁场的基本方程组

1、基本方程组

∂BLE⋅dl=−S∂t⋅dS

积分方程



LH⋅dl=SJc⋅dS+S



SB⋅dS=0



D⋅dS=∫ρdV

S

V

∂D⋅dS∂t

⇒⇒

∂D∇×H=Jc+

∂t

∇⋅B=0

∇⋅D=ρ

∂B∇×E=−

∂t

微分方程

2、本购关系



B=µH(13.6)



J=γE(13.7)

D=εE

(13.5)

注意:若考虑局外场时:

J=γ(E+Ee)

一、动态位

1、动态位

(4)(1)(3)



∇⋅B=0⇒B=∇×A

AAB

=−∇ϕ⇒∇×(E+=0⇒E+∇×E=−

∂t∂t∂t

ρ∂A

∇⋅D=ρ⇒∇⋅(−−∇ϕ)=

∂tε

A−∇ϕ)ε∂(−∂DA∇×H=J+⇒∇×(∇×)=J−

∂t∂tµ

ρ∂2

∇ϕ+∇⋅A=−

∂tε

2∂A∂2

∇(∇⋅A)−∇A=µJ−µε2−µε∇ϕ

∂t∂t

(2)

取规范

∂ϕ

∇⋅A+µε=0

∂t

取规范:

∂ϕ∇⋅A+µε=0

∂t

(洛仑兹条件)

2

A2

∇A−µε2=−µJ

∂t2∂ϕρ2

(14.4)∇

ϕ−µε2=−

∂tε

2

右式称为非齐次的波动方程或称为动态位的达朗贝尔方程

1A2

∇A−2=−µJ2

c∂t

2

1∂ϕρ2

∇ϕ−=−22

c∂t

ε

其中c称为真空中的电磁波传播速度(光速)

c=

1

=µ0ε0

1

1−9

4π×10×10

36π

−7

=3×10

8

2、无限域的电磁场方程组的解(达朗贝尔方程的解)

考虑r’一

2激发源21∂ϕρ′′′ρ(x,y,z,t)∇ϕ−2=−r=r′2

c∂tε

21∂ϕ2∇ϕ−=0r≠r′letr−r'=r22c∂t2

22222∂∂∂∂∂∂2

∇=2+2+2=++222

∂x∂y∂z∂(x−x')∂(y−y')∂(z−z')

21∂ϕ1∂1∂(rϕ)1∂ϕ2∂ϕ=0⇒2=2(r)=∇ϕ−2222

∂rc∂tr∂rr∂rc∂t22

∂∂(r)1(r)rrϕϕ⇒=2⇒rϕ=F1(t−)+F2(t+)22∂r∂tcccrr

F1(t−)F2(t+)

+,对于源激发场,只保留第一项⇒ϕ=

rr

rρ(x′,y′,z′,t−)2

1∂ϕρ12dV′∇−=−⇒=xyz(,,)ϕϕ22∫c∂tr4πεε

222

ρ

∇ϕ=−

ε

21

⇒ϕ(x,y,z)=

4πε

ρc(x′,y′,z′)

′dV∫V′

r

在全空间达朗贝尔方程的解:

r′′′J(x,y,z,t−)µdV′A(x,y,z)=∫4πV′r

r

ρc(x′,y′,z′,t−)1′ϕ(x,y,z)=dV∫4πε

V′r

注意:1)、波动方程解的时间宗量为:(t -r/v)是标志波动

性的重要特征;波动的本质在于该时间宗量以上两式又分别称为向量和标量推迟位,c为传播速度;2)、t±r/v分别表示电磁波的传播方向为由激励源向外扩散波或由其他处源传播的行波。

通解的物理意义:

当时间从t→t+∆t,信号从r→r+v∆t有

r+v∆tr

f1(t+∆t−)=f1(t−)

vv

r

f(t−)的物理意义图1

v

f1 在∆t时间内经过∆r距离后不变,说明它是以有限速度v向r方向传播,称之为入射波。

r−v∆tr

)=f2(t+)当时间从t→t+∆t,信号从r→r−v∆t时,有f2(t+∆t+

vv

它表明:f2在∆t时间内, 以速度v 向( -r )方向前进了v∆t

波。

在无限大均匀媒质中没有反射波,即f2=0。

距离,故称之为反射

二、玻印亭向量与玻印亭定理

1、玻印亭向量(PoyntingVector)

∂B∂B1∂①∇×E=−⇒H⋅∇×E=−H⋅=−(H⋅B)

∂t∂t2∂t

∂D∂D1∂∇×H=Jc+⇒E⋅∇×H=E⋅(Jc+)=E⋅Jc+(E⋅D)

∂t∂t2∂t

∂11H⋅∇×E−E⋅∇×H=−E⋅Jc−(E⋅D+H⋅B)

∂t22

∂11⇒∇⋅(E×H)=−E⋅Jc−(E⋅D+H⋅B)

∂t22

⇓⇓⇓

Jc∂S=−(−Ee)Jc−ω

γ∂t

令W=

ωdV为闭合曲面所包围体积内的电磁能量∫

V

2、玻印亭定理(PoyntingTheorem)

Jc2∂W

EHdSE×⋅=⋅JcdV−−es∫V∫Vγ

∂t

(13.9)

玻印亭定理的其本质为:能量转换与守恒定律在电磁场领域中的集中体现。

注意:1)、玻印亭向量是描述电磁能量传播行为的物理量:在空间某点上玻印亭向量的方向(为该点电场强度方向与磁场强度方向的叉积方向)即为电磁能量传播方向;玻印亭向量的大小(为该点电场强度与磁场强度叉积的大小)为在该点沿传播方向上取单位面积、单位时间穿出的能量。

2)、玻印亭向量的含义

该项为沿任意闭合曲面单位时间

穿出的能量外

单位时间的能量讨论:若场能不随时间变

−化,且区域内无电源

Jc2∂WE×⋅dS=Ee⋅JcdV−−s∫Vγ

∂t

闭曲内单位时间导体内部该项为闭合曲内电磁场能量的增加

E×H⋅dS=s

Jc2

γ

V

这表明外部流进的能量全部用于导电

媒质的热耗。



若无耗,−E×H⋅dS=0则表示流进=

s

例、设同轴电缆的内外导体均为完纯导体(内外半径分别为R1、R2),中间的介质也无损(γ=0),始端接有电压为U的电源,终端接有负载R,设外导体面、内导体均匀流过的电流为I,试计算流入图

d

分析:找出电场强度(E)、磁场强度(H)的大小及方向,进而找

出玻印亭向量S

U1E=eR2rr

U1ln

e⇒S=E×H=R12x

Rr2πlnI1R1H=eφ

2πr

闭合曲面功率计算:图示闭合曲面包括三个部分,截面ab、截面cd、

侧面

Sab

R21UI

⋅2πrdr=UIS⋅dS=∫2−∫SabR12r

2πln

R1

R21UI

⋅2πrdr=−UIS⋅dS=∫−∫Scd2R1r

2πln

R1



⋅dS=0−∫SS侧

注意:1)-∮SdS=0, 意味着对于闭合曲面而言,流进=流出=UI,

−S⋅dS=−(∫S⋅dS+∫S⋅dS+

S侧

∫S⋅dS)

Scd

它反映了一个客观事实,电源输送给负载的功率是通过介质中电磁场进行传递的!2)若导体为非完纯导体,电场就会有一个切向分量,玻印亭向量就有一个指向径向的分量。根据S=EχH=I/(γπr2)×I/(2πr),所以闭合曲面电流密度积分等于侧面积分为2πrLS=1/γ×L/πr2×I2=R I2

例:4-4-2、圆柱形导线长为l,电阻为R,载有电流I,求证电磁场通过表面导线的功率等于焦耳热功率,即解:



E×H⋅dS=I2R

UIRE==ezll

IH=eφ

2πρ

+

-

IRII2RS=E×H=ez×eφ=−eρ

l2πρl2πρ



I2R

−E×H⋅dS=2πρ×l=I2R

l2πρ

例、P184页4-5、圆形极板构成的平行板电容器,圆的半径为R,板间距为d,板间充满有耗媒质,电导率为γ,介电常数为ε,磁导率为µ0,把电容器接到直流电源上,求该系统中的电流及电容器极板间任意一点的玻印亭矢量,并证明其中消耗的功率等于电源提供的功率。

解:

UE=e,J=γE=γUe

xcx2ddγU

⇒S=E×H=ρe22

γUd2H=πρ×γUeρe=φφ

2πρd2d

γU2γU2U2−E×H⋅dS=R⋅2πRd=⋅πR=U⋅=U⋅I

1d2d2d

⋅γπR2

E=1000cos(ωt−βz)ex例4-6:已知自由空间中

电磁波的两个分量为H=2.65cos(ωt−βz)ey

式中f=20兆赫,β=ω(εμ)1/2= 0.42弧度/米1)写出玻印亭向量的时间函数2)计算出玻印亭向量的平均值

3)计算流入图示平行六面体(长1米、横截面积为0.25m2)体积中的净功率流解:由玻印亭向量的定义得

1)S=E×H=2650cos2(ωt−βz)ez

Y

2)利用平均值的定义

T2

TSdt02650cos(ωt−βz)dtezS==X

TTT12650(cos2(ωtβz)1)dte⋅⋅−+z∫0

==1325

T

3)由净功率流的定义



(∫Sds+∫Sds+∫Sds+∫Sds+∫Sds+∫Sds)−Sds=−上下里外前后

(∫Sds+∫Sds)=−前后

22

=−∫2650cosωtkds(−k)−∫2650cos(ωt−β)kdsk

26501=⋅(cos2ωt−cos2(ωt−0.25))

4226502ωt+2ωt−2β

(−2sin0.42sin())=−270.17sin(2ωt−β)=82

例、4-8设由完纯导体组成的同轴电缆,其内径为R1=1mm,外径为R2=4mm,内外导体间介质的物理参数为μr=1、εr=2.25,设已知内

100z为电缆的轴外导体间的电场强度为8其中E=sin(10t−βz)r

r向长度,问

(1)场强的表达式是否具有波动性?说明理由(2)确定β

(3)写出磁场强度的表达式

(4)写出内导体表面的面电流密度(5)计算0≤z≤1米中的位移电流

解:1)具有波动性,因为:电场表达式的总量为:

ωt−βz=ω(t−

ω

2)β为⇒=v=

β

z

1µε

β

)具备波动方程的形式

⇒β=ωµε=ωµ0µrε0εr

=ωµrεr⋅4π⋅10

−7

10⋅2.2518⋅=10=836π3×102

−9

3)磁场强度的表达式为

∂µH∂100sin(ωt−βz)r

ˆ×−=∇×E=α

∂t∂zr1∂100sin(ωt−βz)1∂100sin(ωt−βz)

ˆˆ=−∫⇒H=−∫×dtαdtαrrµ∂zµ∂zz8

t−sin(10)100εβ100αˆ=ˆ=0.ˆ=sin(ωt−βz)αsin(ωt−βz)α

rµµωr

问题:为什么不采用定积分?

因为定积分更合理!

4)、内导体表面的面电流密度为



ˆ×H=Kc⇒n

sin(10t−0.5z)

ˆˆ×0.398α−3=r−3r=10

10

8ˆ⇒Kc=398sin(10t−0.5z)k

内导体表面法向方向n

Kc

8

5)、由电场强度沿径向,可知,位移电流沿径向由内导体向外部扩散

DJd=⇒ID=∫Jd⋅ds

侧面

∂t

1008∂sin(10t−z)εβ1⇒ID=∫r⋅(2πrdzr)0∂t

=−2π⋅100⋅2.25ε0⋅10

8

8

8

=900πε0⋅10[sin(10t−0.5)−sin(10t)]

8

∫cos(10

8

1

8

t−0.5z)dz

=−1800πε0sin0.25cos(10t−0.25)=−1.237cos(10t−0.25)

8

三、正弦电磁场

1、时域与频域

时域:是指对所空间电流源或电荷源随时间的变化是任意形式的频域:是指对所空间电流源或电荷源随时间的变化是是正弦或余弦形式。我们知道,电磁波是由源产生的,故空间电场或磁场随时间的变化关系也是正弦或余弦形式的,而发射源通常是以一定频率激发电磁场的,故称为频域,参考(14.5)及(14.6)式任何一个场量(向量或标量),在频域都可以表达成如下形式:

F(x,y,z,t)=F(x,y,z)sin(ωt+ϕ)rr

F(x,y,z,t−=F(x,y,z)sin[ω(t−)+ϕ]=F(x,y,z)sin(ωt−βr+ϕ)

cc

f(x,y,z,t)=f(x,y,z)sin(ωt+ϕ)

rr

f(x,y,z,t−=f(x,y,z)sin[ω(t−+ϕ]=f(x,y,z)sin(ωt−βr+ϕ)

cc

上式中,F或f分别表示空间任意向量或标量

3)物理量的向量表示− j ( β r −φ ρ )    ρ ρme  ρ = ρ m cos( ω t − β r + φ ρ )     − j ( β r −φ δ )   J e  m J  J = J m cos( ω t − β r + φδ )   − j ( β r −φ I )   I e I  m i = I m cos( ω t − β r + φ I ) 1   − j ( β r −φϕ )     ϕ m e ϕ = ϕ m cos( ω t − β r + φϕ ) ⇒ ϕ = 2   − j ( β r −φ A )     ω β φ A A t r = cos( − + ) A A   Am e   m  − j ( β r −φ )  B  B = B cos( ω t − β r + φ ) B  e B  m   m B − j ( β r −φ E )     ω β φ E E t r = cos( − + )  E e m E   m E ∂F   e jω t ) = jω F F = Re( 2 F ∂t    1 T  1 S av = ∫ S dt = E × H cos( φ E − φ H ) = Re T 0 TPDF 文件使用

达朗贝尔方程的复数形式及其解在正弦电磁场中 ,达朗贝尔方程的复数形 式为  + β 2A  = − µJ   /ε  + β 2ϕ  = −ρ ∇2 A 和 ∇ 2ϕ 式中, β = ω µε = ω / v 称为相位常数,单位为rad/m。方程的特解形式 为: r r  ( r ′ )e − jβr J ( r ′ ) cos ω ( t − ) µ J ω ( t − ) = ω t − βr µ  v dV ′ A= dV ′ v A= ∫ ′ ∫ V ′ 4π r 4π V r r ρ ( r ′ ) cos ω ( t − ) − jβr 1  ′ 1 ρ ( r ) e v ′ ϕ = dV → = ϕ dV ′ 4 πε ∫V ′ r ′ V 4πε r∫•数。 • 当 0

        ∂ A  )     B = ∇ × A; E = − ( ∇ ϕ + ) = − (∇ ϕ + j ω A ∂t       ∂ ϕ ∇ ⋅ A  + µε =−  ∇⋅A =0 ⇒ϕ ∂t j ωµε  )   ∇ (∇ ⋅ A   ⇒ E = − jω A + j ωµε3、波动特性的相关表征参数r ω ) ⇒v= ω β β v ω T ω T 2π f 2π 2π λ = Tv = =T = = = Tf = f β β β β β 2π or β = λ j (ω t − β r + φ ) = j ω (t −在上式中,β称为波数,它与电磁波的波长之积为2πPDF 文件使用

4、电尺寸。在真空中,V=3*108m/s, 工频:f=50,λ=3*108/50=6000km 射频:f=100MHz,λ=3*108/(100*106)=3m 微波:f=1GHz,λ=3*108/(1000*106)=0.3m 对于工频,几十公里范围内的电压或电流信号以及空间电磁波,都 可以看作处处相等的场量都可以看成由静电场和恒定磁场的规律来 进行处理。电压或电流量可以以电路分析中集中参数的方式处理; 高频情况则完全不同。 工频下,一个周 期 T , 所 对 应 的波 长6000km几十 km 范围 , 对 应 的场 量则完全看成不变的PDF 文件使用

四、电磁辐射1、电流元的辐射公式 ①什么 是电磁 辐射?当 电荷 、电流随 时间变化 时,在其周 围 激发 电磁波,在电磁波向外传播的过程中,会 有部分电磁能 量 输送出 去 , 这 种现 象 称为电磁 辐射。用 于 辐射 的 导体 装置称为辐射 器 。 各种形式的天线都是辐射器。 i(t) ②电振子的辐射机理 设 辐射子 为一 既细 又短 的 导 线 ,其中的电 流 Δl 做 余 弦 变 化 , 为 了 简 明 , 设 i =cos(ωt +φ ) ,由元电流计算动态的向量磁位  = e − jφ = e − jβ r I  µ0  A( x, y, z ) = 4π ( x′, y′, z′)e − jβr  I dl = ∫V ′ r − jβ r  ′ ′ ′ µ I ( x , y , z ) e =A  = 0 ⇒A ∆l , z 4π r 电偶极子辐射元 ( x′, y′, z′)e − jβr  µ0 I ∆ lk 4π r  =A  =0 A x yPDF 文件使用

向量磁位 球坐 标系 下 的分量 可以写为   1 1 1 ∂ ) = E H = ( ∇ × [ ( r sin θ H α )] r  r j ωε 0 j ωε 0 r 2 sin θ ∂ θ      ∇× H   1 1 1 ∂  ) = E = E H = ( ∇ × [ ( r sin θ H α )]  θ θ j ωε 0  j ωε 0 j ωε 0 r sin θ ∂ r    1 ) = 0 (∇ × H  Eα = α j ωε 0 PDF 文件使用

2π ∆l r −j  I 2πr 1 1 − jβ r λ H e j C e j θ = sin ( 1 + ) = ( + ) 1 2  φ 4πr 2 λ βr (βr )  2π   r −j µ I l ∆ 2π 1 1 − jβ r 0 λ  E e j r C e j = cos θ [ 1 − ] = [ − ]  r 2 2 2 ε 0 2πr λ (βr ) βr   2π  r −j µ I l ∆ 2π λ 1 1 − jχr E 0 λ  = e j r j C e j j sin θ ( 1 + − ) = [ 1 + − ] 3 θ 2 3  ε 0 4πr λ 2πr βr (βr )  ∆l 2 ∆l 2 ∆l 2  µ0 I µ0 I I here : C1 = 4π β sin θ , C2 = ε 2π β cos θ , C3 = ε 4π β sin θ  0 0注意:由上两式可以看出,空间某点场量总体上与场点到波源的电 尺寸成反比 问题:上两式所得到的电流元所产生的电场、磁场分布,如何理解 其物理意义?PDF 文件使用

2、近场(似稳场)与远场(辐射场) ①近场:,场量大小与场量到电流源的‘电尺寸(βr)’有关, 当 βr

关于近场要注意的几个问题 Eθ 1 µ0 1 1)波阻抗 Z = = , Hα j ε 0 βr ⇒ Z

3)电偶极子与元电流的关系 则在两端积累的电荷+q(t) i(t) Δl Δl i(t)不 考虑 与 时间无关的常数 (k=0) , 利用电偶极子的电矩  Im    p = q (t ) ∆ l = sin ω t ∆ l = q m sin ω t∆ l ωIm q ( t ) = ∫ idt = sin ω t + k ω-q(t)p 1  E = q ∆ l 1 2 cos θ = 2 cos θ 3 3  r 4 πε 0 r 4 πε 0 r  q∆l 1 p 1  sin θ = sin θ Eθ = 3 3 4 πε 0 r 4 πε 0 r   i∆ l H = sin θ  α 2 4π r 比较第 一章静电场P20( 1-32)式以 及 第 三 章 恒定 磁场P117( 3-7) 式, 不 难发 现 近场 与静 电场、 恒定 磁场表 现 形 式 雷 同 , 故近 场又 称为‘似稳场’。PDF 文件使用

②远 场: 当 βr>>1 , 也即 r>>λ/2π 时, (14.12) 与 ( 14.13 )分别 保留其分母最低次项,得π I∆ l − j 2 2π r 2 π r  λ I ∆ l == e (1 + j − j ) sin rθ 2 λ 4 π r λ = j e φ H φ H4π r22π r sin θ λ =0 E  ∆ l µ I 2π r 2πλ  e + j − j [ 1 µ I ∆ l  − j r 2πr ] sin θ 0 ε 4π r λ j r sin θ λ E = e  2 4 ε π r λ 0  E  =0  φ∆ l − j 2 π r µ0 I 2π e λ [1 − ] cos θ 2 ε 0 4π r λr0 −j 2 2π r λ 0PDF 文件使用

关于远场要注意的几个问题 1)波阻抗高Eµ0 Eθ = = 120π ≈ 377 (Ω) Z= ε0 Hα这 说 明 在 远 场, 呈 现 高阻 , 分析场大小时,以电场为主 2)远场的波印亭向量以及场能量关系    ˆ= S = E × H = Srr  2 ∆2 l − 2 j 2 π r µ0 1 I  2 m λ sin θ e e r ε 0 λ 4r 2 低H由上式 可见,在 远 场,电场 与 磁场的相 位一致 ,一 个 周期 内的平 均功率不为 零 。也就 是 说 电磁能量以 球 面 波的 形 式 沿径向向远方传播,故远区场又称为‘辐射场’。PDF 文件使用

3)辐射功率S = =∫TS r dtT µ 0 I m ∆l 2 1 1 2 ( ) sin θ = 2 4 ε 0 λ 2r=∫T0µ 0 1 I 2 ∆ 2 l − 2 j 2 π r r λ sin 2 θ sin 2 ω ( t − ) dt e ε 0 λ 4r 2 v T µ 0 I∆ l 2 ( ) sin 2 θ ε0 λθ3、辐射的方向性(天线的极化)与辐射功率 ①电流元的辐射方向图 θ=900,场量最大 θ=00或1800,场量为零 电流元的辐射方向图ωt = 0ωt = 0时单元偶极子天线E线分布时单元偶极子天线H线分布PDF 文件使用

问题:一般线天线并非电流元,方向图如何? ②线天线的辐射 方向图θL=0.5λ , 半 波 振 L=2λ L=λ 子的辐射 问题? 有一半波振子向外 辐射 ,这 两 个 人 各 执 一 付 接 收天 线 检 测信号,问哪一位能够接收到信号?抛物面天线的方向图如何?军用与民用天线的用途分类?PDF 文件使用

③元天线的辐射功率、波阻抗(辐射电阻)辐射电阻 Z0 = µ0 = 120 π ; ε02π 0辐射功率 :  P = ∫ S ⋅ ds =∫ ∫0π1 [ 82 ∆l 2 µ0 Im ( ) )] sin 2 θ ⋅ rd θ ⋅ r sin θ d ϕ ε 0 rλ∆l 2 2 ∆l 2 2 1 4 = 120 π ( ) ⋅ I m ⋅ 2π ⋅ = 80 ( ) I 8 λ 3 λ辐射电阻的大小可以反映出一个辐射系统的辐射能力的强弱 讨论: 1)频率高,波长短,可以使用短天线发射 2)频率低,波长长,必须使用长天线发射 3)电磁波特点、波长短、方向性强、 能量衰减大(例如 :微波必须接力,而广播需要长波,可以远距离辐射)PDF 文件使用

④、细线天线和天线阵1). 细线天线 直线对称振子是一种细线天线,它是指线的横截面尺寸远比波长小,它的长度 l 与波长λ在同一数量级( 2l = Nλ )上,流经它的上面的电流 i不再等幅同相。设振子上 的电流为正弦分布i=i(z,t)。图4.6.12开路传输线张开成对称振子与前面相类似地分析方法,可以得到辐射电场为n −1 60 nπ 2  = j E − ( 1 ) I cos( cosθ )e − jβr θ 0 r sinθ 2n为奇数n为偶数 = 60 ( −1 ) 2 I sin( nπ cos θ )e − jβr E θ 0 r cos θ 2 特点: • 球面波; • 有方向性。其E平面方向因子为ncos( βl cosθ ) − cos βl f (θ ,φ ) = sinθPDF 文件使用

cos( β l cos θ ) − cos β l f ( θ ,φ ) = sin θf (θ , φ ) 中不仅与 θ 有关,还与半波天线长度 l 有关。图中给出四种天线长度的 E平面方向图。l=λ 4图4.6.13l=λ 23 l= λ 4l =λ细线天线的E平面方向图2). 天线阵: 为了削弱天线的方向性,增加辐射能量,用一组或阵列天线来代替单一天线, 以构成天线阵。PDF 文件使用

微波接力通信图 4.7.1 视距与天线高度的关系图 4.7.2 微波接力示意图d = ( h1 + R )2 − R 2 + ( h2 + R )2 − R 2 = 2 Rh1 + 2 Rh2当 h1 = h 2 = h 时,d = 7.14 h( m ) Km图 4.7.3 通信卫星PDF 文件使用

图 4.7.5 空间太阳能发电站和电力传输1. 在静止轨道上放置太阳能电池帆板,产生500万KW能量; 2. 通过“变电站”——微波发生器,将直流功率变为微波功率; 3. 通过天线阵向地面定向辐射; 4. 地面接收站将微波转换为电能; 5. 提供用户。PDF 文件使用

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微波发射天线PDF 文件使用

陕西省电视塔PDF 文件使用

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图 4.6.14一个简单的天线阵,画出了r>>l时的辐射图。两个波的天线间距为l/2,激发的相位一致。曲面上的矢径长表示E的数值对q和j的函数关系。曲面上的 曲线,是j为常数的曲线,每隔10 度画一条。为清楚起见,曲面切成了两半。沿 着y轴的方向,两个波相加,合成的电场强度是单个天线所产生的两倍。这点在整 个yz平面上都对,只要r>>l。沿着x轴,两个波相位相反而互相抵消了。在xz平面 的其他方向上,波并不完全抵消,因为路程差比l/2小。每个天线在z轴上的场都 是零,所以天线阵的场也是零。PDF 文件使用

图 4.6.15 两个波天线,用竖粗线表示,相距l/2, 但是在 x= -D/2的一个 相位超 前p弧度。此时两个波在yz平面上到处都对消了。在x轴上的所有点上,两个 波相位一致,得到二倍于单个天线的场强。在z轴的方向上还是没有辐射。PDF 文件使用

第十三讲作业 P164页 P169页 P179页 P184页 P184页 P184页 P185页 4-4-2 4-5-1 4-6-1 4-5 4-6 4-8 4-11PDF 文件使用

范文六:工程电磁场导论第二章

第 二 章

恒定电场

例 试用边值问题求解电弧片中电位、电场及导体分 界面上的面电荷分布。 解 选用圆柱坐标系,边值问题为:

1  21  21  2  0 (  1 区域) 2  

1  2 2  2 2  2  0 (  2 区域) 2  

不同媒质弧形导电片

2  0  0

1

π  U0  2

  时 4

1   2   2  1 1 2    

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恒定电场

通解

1  A  B ,

 2  C  D

4 2U 0 ( 1   2 )U 0  电位 1   ( 1   2 ) 1   2

4 1U 0 2    ( 1   2 ) 电场强度 4 2U 0 4 1U 0 E1   e E2   e  ( 1   2 )   ( 1   2 ) 

电荷面密度   D2n  D1n   0 E1   0 E2 

4 0U 0 ( 1 -  2 )  ( 1   2 ) 

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恒定电场

静电比拟的条件

微分方程相同;

场域几何形状及边界条件相同; 媒质分界面折射情况相似,满足 例 解 试求同轴电缆的电场。 静电场

1 1  2 2

 E e 2

τ R2 U ln 2πε R1

I

E D

τ R2 U R2  ln  ln 2πε ρ ln R2  R1

恒定电场

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恒定电场

恒定电场

I J e 2πρ

J I E  e  2

I R2 U ln 2π R1

结论 应用静电比拟可以

I R2 U R2  ln  ln 2π ρ ln R2  R1

E J

1)把求解恒定电场的解析解问题转化为求解静电场的 解析解问题; 2)把求解恒定电场的数值解问题转化为求解静电场的

数值解问题;

3)把静电场的镜像法直接用于恒定电场。

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恒定电场

镜像法的比拟

1   2 2 2 (    ,    ) 1   2 1   2

 

恒 定 电 场

1   2 2 2 ( I  I , I   I) 1   2 1   2

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恒定电场

求图示同轴电缆的绝缘电阻。 I I I J  E 解 设 2l 2l

1 I I 2 U  E  dl  d  ln l 2 l 1  2 2 l

同轴电缆横截面

用静电比拟法求解 由静电场 C 

I 2l  电导 G  2 U ln

2 ln 1 1 1 2 ln 绝缘电阻 R   G 2l 1

2 l

, 根据

C   关系式,得 G 

1

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恒定电场

例 试求图示电导片的电导。已知   0 时,  0;    时 ,   U 0 。  解 取圆柱坐标系,边值问题

1     2 2 0     0  0 ,     U 0

2 2

通解

弧形导电片

  C1  C2

U0 代入边界条件,得   ( )  电场强度 E      e   U 0 e

   

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恒定电场

电流密度

电流

U 0 J  E   e 

(e )  hd (e )  U 0 h ln b a   a

b U 0

I   J  dS  

S

电导

I h b G  ln U0  a

(S m)

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恒定电场

例 求深埋地中的球形接地器的接地电阻 解一 通过电流场计算电阻

解二

I I  IJ  E 2 2 4r 4r  I I   a dr  2 4r 4a  1 R  I 4a

静电比拟法

C   G 

C  4a ,

1 G   4a , R

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恒定电场

求浅埋的半球形接地器的接地电阻。 设 I

J

I 2r 2

E

I 2r 2

  a E  dl 

I 2a

1 2a

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接地器接地电阻 R 

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恒定电场

例 解

求跨步电压 (Step Voltage)

以浅埋半球接地器为例 I J I J , E   2r 2 2r 2

x b

bI U  x dr  2 2 r 2 x( x  b) bI  人体的安全电压U0≤40V 2 2 x

X0  Ib 为危险区半径 2U 0

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I

范文七:工程电磁场导论复习题

《工程电磁场导论》

一、 填空题(每空*2*分,共30分)

1. 2.流 。

3.在自由空间(如真空中)电荷运动形成的电流成为流 。

4.电磁能量的储存者和传递者都是电磁场,导体仅起着定向导引电磁能流的作用,故通常称为 导波系统 。

5.天线的种类很多,在通讯、广播、雷达等领域,选用电磁辐射能力较强的

细天线 。

6.电源是一种把它能把电源内导电原子或分子的 正负电荷 分开。

7.实际上直接危及生命的不是电压,而是通过人体的电流,当通过人体的工频电流超过 8mA 时,有可能发生危险,超过 30mA 时将危及生命。

8.静电场中导体的特点是:电场为0,每个导体都成等位体,其表面为等位面 。 9.

10.电导是流经导电媒质的之比。

11.在理想导体表面外侧的附近介质中,磁力线于其表面,电力线则与其表面相 垂直 。

12.如果是以大地为导线或为消除电气设备的导电部分对地电压的升高而接地,称为 工作接地 。

,存在的一种特殊形式的物质,称电场。 14.工程上常将电气设备的一部分和 ,这就叫接地。如果是为保护工作人员及电气设备的安全而接地,成为 保护接地 。

1. 库伦定律:

答:在无限大真空中,当两个静止的小带电体之间的距离远远大于它们

本身的几何尺寸时,该两带电体之间的作用力可以表示为:

这一规律成为库仑定律。 2.有限差分法的基本思想是什么?

答:把场域用网格进行分割,再把拉普拉斯方程用以各网格节点处的电位作为

未知数的差分方程式来进行代换,将求拉普拉斯方程解的问题变为求联立差分方程组的解的问题。 3.静电场在导体中有什么特点?

答:在导体表面形成一定的面积电荷分布,使导体内的电场为零,每个导体都成为等位体,其表面为等位面。 4.什么是击穿场强?

答:当电场增大到某一数值时,使得电介质中的束缚电荷能够脱离它们的分子

而自由移动,这时电介质就丧失了它的绝缘能力,称为被击穿。某种材料能够安全地承受的最大电场强度就称为该材料的击穿场强。 5. 什么叫静电屏蔽?

答:在工程上,常常把不可受外界电场影响的带电体或不希望去影响外界的带

电体用一个接地的金属壳罩起来,以隔离有害的的静电影响。例如高压设备周围的屏蔽网等,就是起静电屏蔽作用的。 6.分离变量法的基本思想是什么?

答:把电位函数φ用两个或三个仅含一个坐标变量的函数乘积表示,带入偏微

分方程后,借助“分离’常数使原来的偏微分方程转化为几个常微分方程,然后分别求解这些常微分方程,并以给定的边界条件确定其中待定常数和函数,最终得到电位函数解。所得的解往往具有傅里叶级数形式,因此又称傅里叶法。

7.分离变量法的具体步骤是什么?

.答:(1)按给定场域的形状选择适当的坐标系,使场域的边界面能与坐标面相

吻合,并写出静电场边值问题在该坐标系中的表达式。

(2)将偏微分方程通过“分离”变量转化为常微分方程。

(3)解各常微分方程并组成拉普拉斯方程的通解。通解含有“分离”常数

和待定常数。

(4)由边界条件确定“分离”常数和待定常数,得到问题的唯一确定解。 计算题

1 . 真空中的有电荷以体密度ρ均匀分布于一半径为α的球中。试求球内、

的电场强度及电位。

解:(1)电场强度:根据公式 ∮S D.dS=VρdV 当r

所以 D=(ρr/3 ) er 和 E=(ρr/3ε0 ) er

当r>α时,有4πr2D=4πr3ρ/3

所以 D= (ρα3/3 r2 ) er 和 E=(ρα3/3ε0 r2 ) er

(2)电位:因电荷分布在有限区域,故可选无穷远为电位参考点。

当r≤α时

=ρα2/2ε0-ρr 2/6ε 当r≥α时

=ρα3/3ε0 •1/r

2.如图1所示,两点电荷+q和-q 相距为d。当r»d时,这一对等量异号的电荷 ±q 称为电偶极字。计算任一点 P处的电位和电场强度。

解:根据叠加原理,P点的电位为

φp=q/4πε0 •(1/r1-1/r2)= q/4πε0• (r2- r1)/ r2 r1

因 r>>d , 则 r2 r1≈r2 r2- r1≈dCOSθ, 所以有 φp= q dCOSθ/4πε0 r2er

P点的电场强度为:E=P/4πε0 r •(2COSθer + sinθeθ)

3

3.如图所示为两根不同半径,相互平行,轴线距离为d,单位长度分别为+和-的长直圆柱体。试决定电轴位置。

解:列关系式

4.今有一球形薄膜带电表面,半径为α,其上带电荷q。求薄膜单位面积上所受的膨胀力。

解: 孤立导体球的电容C=4πε0α 采用球坐标,原点置于球心,选广义坐标

g为α,则

ƒr=q2/2C2•C/α= q2/2C•4πε

= q2/8πε0 α2

ƒr的方向与α增大的方向相同,为膨胀力。单位面积上的力 ƒr、= q2/2ε0(4πα2)2 =σ2/2ε0 = 1/2•σE =1/2•DE 5.已知图2中线圈匝数N=300,铁心的横截面积S=3X10-3 m 2,平均长度l=1铁磁质的μr=2600,欲在铁心中激发3X10-3Wb的磁通,线圈应通过多大的电流?

解:磁路总磁阻 RM=1/μ•l/S=1/2600X(4πx10-7)•1/3x10-3=105 1/H 磁路的磁动势 £m=ΦrM=(3x10-3)x105=300 故线圈应通过的电流 I=£m/N=300/300=1A

范文八:工程电磁场导论复习题

全国2007年4月高等教育自学考试

电磁场试题

课程代码:02305

一、单项选择题(本大题共15小题,每小题2分,共30分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.两点电荷所带电量大小不等,则电量大者所受作用力( )

A.更大

B.更小

C.与电量小者相等

D.大小不定

2.静电场中,场强大处,电位( )

A.更高

B.更低

C.接近于零

D.高低不定

3.A和B为两个均匀带电球,S为与A同心的球面,B在S之外,则S面的通量与B的( )

A.电量及位置有关

B.电量及位置无关

C.电量有关、位置无关

D.电量无关、位置有关

4.一中性导体球壳中放置一同心带电导体球,若用导线将导体球与中性导体球壳相联,则导体球的电位( )

A.会降低

B.会升高

C.保护不变

D.变为零

5.相同场源条件下,均匀电介质中的电场强度值为真空中电场强度值的( )

6.导电媒质中的恒定电流场是( )

A.散度场

B.无散场

C.旋度场

D.无旋场

7.在恒定电场中,电流密度的闭合面积分等于( )

A.电荷之和

B.电流之和

C.非零常数

D.零

8.电流从良导体进入不良导体时,电流密度的切向分量( )

A.不变

B.不定

C.变小

D.变大

9.磁感应强度B的单位为( )

A.特斯拉

B.韦伯

C.库仑

D.安培

10.如果在磁媒介中,M和H的关系处处相同,则称这种磁媒质为(

A.线性媒质

B.均匀媒质

C.各向同性媒质

D.各向异性媒质

11.关于洛仑兹力的正确说法是( )

A.对运动电荷做功

B.改变运动电荷的速度方向

C.改变运动电荷的速度大小

D.与运动电荷的运动方向平行

12.磁场能量密度的单位为( )

A.焦耳/米3

B.亨利/米3

C.安培/米3

D.伏特/米3

13.在恒定电流场中,对于各向同性媒质,损耗密度为( )

14.在理想介质中,波阻抗为( )

A.实数

B.虚数

C.复数

D.零

15.相速度是( )

A.波的加速度 )

B.波的行进速度

C.波的振动速度

D.等相位面的行进速度

二、填空题(本大题共10小题,每小题1分,共10分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

16.材料能够安全承受的最大电场强度称为___________。

17.平板电容器的板面积增大时,电容量___________。

18.在均匀媒质中,电位函数满足的偏微分方程称为___________。

19.深埋于地下的球形导体接地体,其半径越大,接地电阻越___________。

20.多匝线圈交链磁通的总和,称为___________。

21.恒定磁场中的库仑规范就是选定矢量磁位A的散度为___________。

22.磁通连续性定理的微分形式是磁感应强度

B的散度等于___________。

23.正弦电磁波在单位长度上相角的改变量称为___________。

24.电磁波的传播速度等于___________。

25.电场能量等于电场建立过程中外力所做的___________。

三、名词解释题(本大题共4小题,每小题3分,共12分)

26.非极性分子

27.体电流密度

28.恒定磁场

29.时变场

四、简答题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)

30.简述洛仑兹规范的基本意义。

31.简述法拉第电磁感应定律。

32.解释坡印亭矢量Sp=E×H的物理意义。

33.说明电磁场能量密度、电场能量密度及磁场能量密度的关系,给出数学表达式。

34.简述库仑电场与局外电场的异同。

五、计算题(本大题共2小题,第35小题10分,第36小题13分,共23分)

35.真空中两个点电荷q和-pq(0

(要求作图描述)

36.题36图所示电路,小半圆半径为a,大半圆半径为b,回路电流为I,试用毕奥—沙伐定律求中心点0处的磁感应强度。

范文九:工程电磁场论文

工程电磁场在电力系统中的应用

【摘要】:现代大量应用的电力设备和发电机、变压器等都与电磁感应作用有紧密联系。由于这个作用。时变场中的大块导体内将产生涡流及趋肤效应。电工中感应加热、表面淬火、电磁屏蔽等,都是这些现象的直接应用。时变电磁场还可以进一步分为周期变化的交变电磁场及非周期性变化的瞬变电磁场。对它们的研究在目的上和方法上有一些各自的特点。交变电磁场在单一频率的正弦式变化下,可采用复数表示以化简计算,在电力技术及连续波分析中应用甚多。瞬变电磁场又称脉冲电磁场,覆盖的频率很宽,介质或传输系统呈现出色散特性,往往需要采取频域、或时序展开等方法进行分析。

【关键词】:工程电磁场 电力系统 应用

工程电磁场的相关定义

工程电磁场,是面向工程的电磁场内容体系,内容主要是库仑定律、电荷守恒定律、安培定律、法拉第定律和麦克斯韦位移电流假设、静电场、恒定电场、恒定磁场和时变电磁场的基本方程及其边值问题、镜像法的基本原理、基于加权余量的工程中常用的有限元法和边界元法、电磁场的能量和力、平面电磁波和电路参数计算原理、电气工程中典型的电磁场问题(包括变压器的磁场、电机的磁场、绝缘子的电场、三相输电线路的工频电磁环境以及三相输电线路的电容和电感参数)。

场产生电场,两者互为因果,形成电磁场。电磁场可由变速运动的带电粒子引起,也可由强弱变化的电流引起,不论原因如何,电磁场总是以光速向四周传播,形成电磁波。电磁场是电磁作用的媒递物,具有能量和动量,是物质存在的一种形式。电磁场的性质、特征及其运动变化规律由麦克斯韦方程组确定。 交变电磁场与瞬变电磁场。时变电磁场还可以进一步分为周期变化的交变电磁场及非周期性变化的瞬变电磁场。对它们的研究在目的上和方法上有一些各自的特点。交变电磁场在单一频率的正弦式变化下,可采用复数表示以化简计算,在电力技术及连续波分析中应用甚多。瞬变电磁场又称脉冲电磁场,覆盖的频率很宽,介质或传输系统呈现出色散特性,往往需要采取频域、或时序展开等方法进行分析。

电力系统的定义

由发电、变电、输电、配电和用电等环节组成的电能生产与消费系统。它的功能是将自然界的一次能源通过发电动力装置(主要包括锅炉、汽轮机、发电机及电厂辅助生产系统等)转化成电能,再经输、变电系统及配电系统将电能供应到各负荷中心,通过各种设备再转换成动力、热、光等不同形式的能量,为地区经济和人民生活服务。

工程电磁场在电力系统中的应用

现代大量应用的电力设备和发电机、变压器等都与电磁感应作用有紧密联系。由于这个作用。时变场中的大块导体内将产生涡流及趋肤效应。电工中感应

加热、表面淬火、电磁屏蔽等,都是这些现象的直接应用。

1. 电机瞬态电磁场有限元分析的精确性和稳定性

通过对典型的电机瞬态电磁场进行时步法有限元分析,经过大量的理论分析和编程实践,研究了各有关参数对有限元分析过程的稳定性和分析结果的精确性所产生的影响,指出了时步法中瞬态综合参数0的最佳取值,并提出时间步长△f存在下限阈值。

电机内的电磁场属于非线性瞬态场,也是无源涡流场。目前,在电磁场有限元分析中广泛应用时步法求解瞬态问题,而当采用时步法解有限元方程时,必

须考虑计算精度及稳定性问题。精确性指的是有限元解与真值的一致性程度。显然,它与空间网格的疏密程度有关。除此之外,其他因素例如时间步长△f等参数是否会对其带来影响,这则是本文所要研究的问题。稳定性问题指的是误差的积累是否能由算法本身得到控制的问题,具体到时步法,指选取不同的时间步长时,计算过程中的误差会不会无限增长,如果误差不会无限增长,则称该算法是无条件稳定,如果步长只有满足一定条件才具有上述性质,则此算法是有条件稳定的。有关参数及时间步长本身对瞬变场有限元分析稳定性造成的影响,国内外已有许多学者进行了较为深入的研究,并提出了时间步长上限的表达式。而实际上,就电机涡流场而言,由于铁心材料非线性将引起场中大量高次谐波成分,若要对这样的场进行精确的分析,必须使得时间步长足够小,因此,研究时间步长是否存在下限的问题,有着更为实际的意义。无疑地,得出既满足电机瞬态电磁场有限元算法稳定性又满足精确性的条件,将是—个重要的研究课题。

利用时步法进行电机瞬态电磁场有限元分析,应注意以下几点:

(1)尽可能选择向后差分Euler法(皓1)以获得最佳计算精度;

(2)时间步长△f存在下限阈值,因此不可取得过小,以免产生不稳定解;

(3)空间网格疏密只影响计算精度而不影响稳定性,因此可完全根据实际工程要求和计算机硬件条件来划分。

2. 连续波金属探测器电磁场模型的理论分析

介绍了连续渡金属探测器的工作原理,提出一种新的连续波金属探测器电磁场模型,采用基于电磁场和电路的混合方法对该模型进行了详细的理论分析,推导出在空气及海水中金属探测器接收感应电压的计算公式,并给出了简要的设计实例.文中理论分析结果对于连续波金属探测器设计与分析具有指导意义,对其它类型的金属探测器设计也有参考价值.

金属探测器在安检、地下和水中管线探测、寻宝等许多领域有重要应用.基于电磁法的无源金属探测器依工作原理分类主要有3种:脉冲感应型(pulse induction)、VLF连续波型(very low frequencycontinuous wave)和LC振荡型【】].其中LC振荡型主要应用在小目标近距探测方面,工业领域较少用.工业领域广泛应用的金属探测器主要是脉冲感应型和VLF连续波型.脉冲感应型已有40多年发展历史[2],其工作原理是:通过探测被测金属感应电流产生的二次磁场确定被测金属的有无及种类,检测波型为随时间指数衰减的电压或电流波型.由于检测波型的特殊性,在很大程度上限制了数字信号处理新技术在脉冲感应型金属探测器中的应用.

通过运用电磁场和电路的混和方法,分别推导出在空气中和海水中金属探测器的接收线圈在二次场作用下产生感应电压.得出以下几点重要结论:

(1)接收电压和探测距离的6次方成反比,因此金属探测器探测距离不可能很大.接收电压和发射线圈电流成正比,增加电流有利于提高接收电压,增大探

测距离.

(2)海水中接收线圈感应电压 与发射机工作频率厂大约成反比,选用较低的频率有利于增加探测距离,但自然界噪声及放大器自身的噪声会随着频率的降低而增大,因此金属探测器工作频率不宜选得太低.

(3)金属探测器进入海水后由于海水的涡流损耗,接收电压将大幅度减小,因此在海水中工作的探测器必须采用更大的线圈、更强的电流以及更灵敏的检测技术(DSP),才能满足探测距离的要求。

3. SMES

超导磁储能系统(Superconductor Magnetics Energy Storage),一类通过超导磁体、电流变换控制系统等构件组成的电能快速存储、释放系统,用于抑制电力系统振荡等!

SMES在美国、日本已经有成功应用的实例,我国还在研究、开发的过程中。华科大超导电力研究中心自1999年以来对超导磁储能系统展开了研究,并于2005年成功研制35kJ高温超导磁储能系统,现已通过了动模试验,下一步拟接入电力系统试运行。在高温超导磁体、电流引线、直接冷却等关键技术上有较好的基础,可联合进行装置的技术开发、系统应用研究等。SMES在电力系统中可以用来提高系统稳定性、改善供电品质以及在含有太阳能、风能等新能源的分散电源系统中储存电能并改善电力输出特性,也可以用于重要装置的紧急备用电源。SMES所具有的这些优良性能将在电力系统中带来不可估量的技术经济效益。SMES以及在研究中所获得的相关技术可以广泛应用于所有需要强磁场的应用领域。

以上的例子只是工程电磁场在电力系统中的一些应用举例。工程电磁场中介绍的许多数值分析法,比如有限元法,时域有限差分法,优化模拟电荷法等等在电力系统中各领域已经起着很关键的作用。随便科技的发展,尤其是高速,大容量计算机的问世,为高精度,高效率的数值计算奠定了基础。工程电磁场中所介绍的理论,方法正更多地进入研究部门,生产企业,产生日益明显的经济效益。与此同时,电磁场数值计算的理论和方法日趋完善,也已成为电工理论学科中的一门新兴的应用学科分支。

范文十:工程电磁场导论习题课南京理工大学

静电场习题课

1.如图示真空中有两个半径分别为R1和R2的同心导体球壳,设内、外导体球壳上分别带有

净电荷Q1和Q2,外球壳的厚度忽略不计,并以无穷远处为电位参考点,试求:

(1)导体球壳内、外电场强度E的表达式;

(2)内导体球壳(rR1)的电位。

2.真空中有一个半径为3cm的无限长圆柱形区域内,有体密度

10 mCr3cm, r4cm处m均匀分布的电荷。求:r2cm,

3

的电场强度E。

3.内导体半径为2cm和外导体的内半径为4cm的球形电容器,其间充满介电常数

2

r

的电介质。设外导体接地,而内导体带电,试求电容器介质内某点电位为内导体电位的一半时,该处的值。

a

Fm

4.一同轴线内圆柱导体半径为a,外圆柱导体半径为b,其间填充相对介电常数r

质,当外加电压为U(外导体接地)时,试求:

(1)介质中的电通密度(电位移)D和电场强度E的分布; (2)介质中电位的分布;

5. 图示空气中一输电线距地面的高度h3m,输电线的半径为a5mm,输电线的

的介

轴线与地面平行,旦对地的电压为U3000V,试求地面上感应电荷分布的规律。(08.8510

12

Fm)

h

6. 已知半径为R的无限长中空半圆柱面,均匀带电,电荷面密度为0,则在其轴线上产生的电场强度为Ey

00

ey。一个带有均匀分布的电荷体密度为0的半圆柱,半径也为R,

问它在轴线上产生的电场强度是多少?

7. 下图所示空气中一根长直细导线(截面可忽略不计),单位长度所带电荷量为,平行放置于一块无限大导体平板上方,并与一块半无限大瓷介质(240)相邻,且已知长直细导线到导体平板与瓷介质的距离均为d,画出求解空气中电场时,所需镜像电荷的个数、大小和位置(不要求解出电场)。

半 无

8. 长直圆柱形电容器内外导体的半径分别为R1、R3,其间充满介电常数分别为1、2的两种介质,其分界面是半径为R2的圆柱面,若内导体单位长度带电荷量Q,外导体内表面单位长度所带电荷量

Q,且外导体接地,如图所示,请写出两种介质区域内电位函数所满足的微分方程和边界条件。

9.图示真空中有一半径为a的长直圆柱导体,其轴线离地面的高度为h,圆柱导体与地面

之间接有恒定电压源U0。若忽略端部的边缘效应,并以地面为电位参考点,试求:

(1)圆柱导体与地面之间区域的电场强度E和电位的表达式; (2)系统的单位长度电容

C0。

o

10. 内导体半径为2cm和外导体的内半径为4cm的球形电容器,其间充满介电常数

2

Fm的电介质。设外导体接地,而内导体带电,试求电容器介质内某点电位为内导体

r

电位的一半时,该处的值。

1. 同轴电缆内导体半径R1=0.2cm,外导体半径R2 =0.7cm,绝缘材料的电导率

1015 S/m,求电缆在内外导体间电压为U =500V时的漏电流。

2. 如图 所示,两块电导率分别分1和2,厚度为d的薄片构成导电弧片,其内外半径分别为R1和R2,导电弧片的两弧边有良导体制成的电极,电极间电压为U,且设内边电位为零,求 (1)弧片内的电位分布;(2)电极间的电阻。

1

2

4

4

R1

R2

3.在导电率为的均匀导电媒质里有半径为a1和a2的两个导体小球,两球之间距离为

d,其中da1且da2计算两导体之间电阻。

4.分别应用电场强度E,电流密度J和电位写出电源外恒定电流场中导电媒质(媒质1)与理想介质(媒质2)分界面上的边界条件。

5. 如图2所示,流过细丝的电流I沿z轴向下且流到中心在z0且与z轴垂直的导体薄层

上。求此薄层上电流线密度K的表达式,并求在平面60扇形区域内的电流。

zIO

60

y

x

1、下列矢量中哪个可能是恒定磁场中的磁矢位A?如果是,求出相应的磁感应强度B。

(1)

FA(xeyyex) (2)

FB(xexyey)

1、 (1)

F0是的 BF2Aez

(2)F2B不是

2、两根半径为R的长直导线平行放置,导线轴线间距离为D,通有相同方向的电流I,若在两导线轴线平面上放置一线框,如图所示,线框的高为C,求穿过线框的磁通。 2、在线框内:

B

0I12

(

1

xDx

)ez



BdS

ln

b

0I1

2

(x

a

1Dx

)cdx

0IC

2

ln

xln(Dx)a

b

a

bx

0IC

2

b(Db)a(Da)

3、内、外半径分别为110mm和212mm的空心长直铜导体,通

有电I200A。试用安培环路定律求场中的H。

3、由HdlI

0≤1 I0H0

1≤2, I

2

2

121

2

222

I

H

I

1

22

2

21

e7.23410(

5

10

4

)e A/m

≥2H

I2

e

31.83

e A/m

z

(1,0,0.5)

4、(10分)置于z轴的长直导线,通有电流I,求穿过三个顶点坐标为

(0.5,0,0),(1,0,0.5)和(1,0,0.5)的三角形回路的磁通。

1

I

4、

B(x)dxdz2

0I

2x

8

0.5

(x0.5)

dz2

1

0I

2x

O

x

(0.5,0,0(1,0,0.5)

0.5

(x0.5)dx

0I2

13710(1ln2)6.I

5两种媒质分界面与yOz平面重合,分界面上分布均匀电流

线密度JS4ezA/m,已知在1媒质中x0面上

H16ex8eyA/m,求分界面2侧的H

2

O

5.解enexetey

B2nB1nH2n

12

230

H1n2exA/m

H2tH1tJS844H2t4eyA/m H2H2nH2t2ex4eyA/m

6下列矢量中哪个可能是恒定磁场中的磁矢位A,如果是,求出相应的磁感应强度及电流密度,设场域中磁导率为0。 (1)

F6xyex2yey (2)

Axx

AyyAyx

2

23

F3xyex4yey

6.(1) F0

可能是磁矢位A

BF(

Axy

)ez12xyez

Fx

2

Axx

22

2

Ayy

2

12x0Jx Jx

12x

0

Fy

(2)

2

Axx

2

Ayy

2

2

12y0Jy Jy

12y

0

F3y40 不可能是磁矢位的表达式。

7求图所示空心长直导线单位长度的内自感,导线内、外半径分别为12cm,23cm。 7.设导线通有电流I,根据HdlJdA有 B

L

A

0I1

221

2

222

1≤≤2

m

0I

2



2

1

112

(2)d221

22

12442224

()()ln211211 22242(21)1

0I

L

m

I

314542224

2.18910 H (32)2(32)2ln22222(32)4

0

时变电磁场习题课

1.无源真空中,已知时变电磁场的磁场强度H(r,t为);

H(r,t)exA1sin(4x)cos(ty)ezA2cos(4x)sin(ty) A/m,其中A1、A2为常

数,求位移电流密度Jd。

2.在均匀导电媒质(介电常数,磁导率,电导率)中,若忽略位移电流,证明:电场强度

E和磁场强度H满足微分方程为:

E2

Et

H2H

t

3.如图所示,一尺寸为ab的矩形线框与无限长直导线共面:

(1)若长直导线中载有电流iImsint,求矩形线框中感应电动势的大小。 (2)求两导体的互感系数。

(3)若长直导线不载电流,而矩形线框中载有电流iImsint,那么长直导线上的感

应电动势为多少?

4.如图所示,一个尺寸为ab的矩形线框位于载有反向电流iImcost的平行双导线之间

并与其共面,求线框中的感应电动势e。

5.在线性各向同性的无损耗均匀媒质中,写出用E和H表示的无源麦克斯韦方程组的微分

形式,并由此推导出E和H所满足的波动方程,媒质的介电常数为,磁导率为,电

导率为零。

6.球形电容器的内、外半径分别为R1、R2,电极间的介质为空气。设电极间外加缓变电压

uUme

t

i

x

x

为常数。,(1)求内外导体之间的电场强度E;(2)求电容器的位移电流id.

准静态场随堂测验

1、 半径为1cm的铜导线(5.80107S

计算其交流电阻。

2、 球形电容器的内、外半径分别为R1、R2,电极间的介质为空气。设电极间外加缓变电

压uUmsint,求电容器的位移电流id。

3、 面积为A的平行圆形极板电容器,板间距离为d,外加低频电压uSUmcost,

m

),通过频率分别为50HZ和1MHZ的正弦交流电,

板间介质的电导率为,介电常数为。求电源提供的复功率S。

4、 细长空心螺线管半径为a,单位长度N匝,媒质参数分别为=0、0、0。设线圈中

电流为i(t)I0e

t

,线圈电流缓慢变化,求螺线管内媒质中的:

(1)磁场强度H(t);(2)电场强度E(t);(3)坡印亭矢量S(t)

5.写出磁准静态场所满足的电磁场方程组微分形式。并且由此推导出磁场H所满足的扩散方程。已知矢量恒等式:F(F)F。

6. 研究准静态场问题。要求:

(1)写出电准静态场微分形式的基本方程组; (2)写出洛伦兹条件的表达式;

(3) 证明:在电准静态场中,矢量位A和标量位均满足泊松方程,即

2A0J

 2



0

2

已知矢量恒等式(A)(A)A

2

电磁波习题课

1. 已知无限大完纯介质中均匀平面波的电场强度瞬时值为

E5sin(210t2z)

8

exV/m,设介质的相对磁导率为r1。求相对介电常

数r,并写出磁场强度的瞬时表示式。

2. 已知理想介质中均匀平面波的磁场强度瞬时值为

8

H0.04sin(210t2z)eyA/m,设介质的相对磁导率r1,求相对介电常数

r,并写出电场强度的瞬时表达式。

3. 均匀平面波磁场强度H的振幅为

13

以相位系数30 rad/m在空气中沿ez传播, A/m,

z0时,H的取向为ey,试写出E和H的表示式,并求出该波的频率和波当t0 , 长。

4. 在线性各向同性的无损耗均匀媒质中,写出用E和H表示的无源麦克斯韦方程组的微分

形式,并由此推导出E和H所满足的波动方程,媒质的介电常数为,磁导率为,电导率为零。

5. 自由空间波长00.3m的均匀平面波在导体内传播,已知铜的电导率

7

5.810s/m剩 相对介电常数r1,相对磁导率r1,试求:(1)波的透入深度

(趋肤深度);(2)铜的表面电阻Rs。