工程电磁场

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范文一:工程电磁场

静电场

微分形式 E0 D 积分形式

Edl0 DdS

l

q

S

(stokes定理:EdS

S

Edl0)(Gauss定理:DdVDdSQ(q))

l

VS

构成方程 DE 静电场是有源无旋场。

静电场分界面上的衔接条件:

DdSqD2nD1n1

S

1

22 nn

当0时,D2nD1n0

Edl0E

l

1t

E2t,12

说明:导体表面是等位面,E线与导体表面垂直; 导体表面任一点的D等于该点的。(E

边值问题:

D

0

) 0

E0E

DEEE

泊松方程:拉普拉斯方程:

第一类边界条件:|sf1(s)

2

2

0



|sf2(s) n



)|sf3(s) 第三类边界条件:(n

第二类边界条件:

重点题型:

此题考查静电场镜像法的应用,同时检验了对静电场电场和电位方程的应用。

此题考查了高斯定理的运用和电极化强度密度公式。

恒定电场

0 微分形式 E0 J

积分形式

Edl0 JdS0

l

S

(stokes定理:EdS

S

Edl0)(Gauss定理:JdVJdS0)

l

VS

构成方程 JE

恒定电场是无源无旋场。

恒定电场分界面上的衔接条件:

S

JdS0J1nJ2n1

1

22 nn

J1tJ2t

Edl0EE, 1t2t12

l

12

说明:1.分界面导体侧的电流一定与导体表面平行(理想介质20,J20故

J1nJ2n0)

E2n

J2n

2

0

)

2.导体与理想介质分界面上必有面电荷(E1n0

D2nD1n2E2

不同导体分界面0

3.电场切向分量不为零,导体非等位体,导体表面非等位面(E1tE2t边值问题:

J1t

1

0)

E0E

J0(E)E0

泊松方程:20

重点题型:

此题考查了恒定电场的laplace方程和分界面条件,必须熟练掌握!

此题考查对电轴法的应用和采用比拟法求电导。此外,还应熟记U-E-J-I-G的求解思路。

磁场

0 微分形式 HJ B

积分形式

HdlI BdS0

l

S

构成方程 BH

(stokes定理:HdS

S

HdlI)(Gauss定理:BdVBdS0)

l

VS

恒定磁场是无源有旋场。

恒定磁场分界面上的衔接条件:

BdS0B

Sl

1n

B2n

H2tK 当K0时,H1tH2t

HdlIH

1t

说明:铁磁煤质,空气侧的B与分界面近似垂直,铁磁煤质表面近似为等磁面。

磁矢位及其边值问题

B0A0BA HJB

1

AJ

0

A(A)2AJ

取库伦规范A0 泊松方程:A0J

拉普拉斯方程:A0( J0)

磁位及其边值问题:

无电流区H0Hmm说明:1.磁位m仅适用于无自由电流区域

2.等磁位面方程为m常数,等磁位面(线)与磁场强度H线垂直 3.

2

2

Hdl

l

m的多值性。

H0Hm

B0H(m)mm0

2m0 (仅适用于无电流区域)

衔接条件:

m1m2

 1m12m2

n

n

重点题型:

此题检验对安培环路定理的应用,必须熟练掌握!

此题考查磁场的分界面条件,牢记分界面条件

BdS0B

Sl

1n

B2n

H2tK 当K0时,H1tH2t

HdlIH

则较容易解决。

1t

准静态电磁场与时变电磁场

电磁感应定律: e

d

(负号感应电流产生的磁场总是阻碍原磁场的变化) dt

1. 回路不变,磁场随时间变化: e

dB

dS(感生电动势或变压器电动势) dttS

2. 磁场不变,回路切割磁力线:e

ddt

(vB)dl(动生电动势或发电机电动势)

l

3. 磁场随时间变化,回路切割磁力线:e

麦克斯韦方程: 微分形式:H

dB

(vB)dldS dttlS

D

)dS t

J

D

t

Hdl(J

l

S

(全电流定律:表明传导电流和变化的电场都能产生磁场。) E

B

t

Edl

l

B

dS tS

(电磁感应定律:表明电荷和变化的磁场都能产生电场。)

B0

BdS0

S

(磁通连续性原理:表明磁场是无源场,磁力线总是闭合曲线。)

D

DdSq

S

(高斯定律:表明电荷以发散的方式产生电场(变化的磁场以涡旋的形式产生电场)。)

构成方程:J

E DE BH

分界面上的衔接条件: 磁场:

B1nB2nH2tH1tK

电场:

D2nD1nE2tE1t

动态位及其积分解

由B0BA

由E

BA (A)

tttAA)0E tt

(E

A,称为动态位,是时间和空间坐标的函数

达朗贝尔方程

2A

A2J

t

2

2

2

t

2

洛伦兹条件

A



t

11

DEBH 22

坡印廷定理和坡印廷矢量 时变场中,能量密度为:体积V储存的能量为:W

em

1

dV(DEBH)dV

2VV

坡印廷定理:

(EH)dSEeJdV

S

V

V

J2

W

t

物理意义:体积V内电源提供的功率,减去电阻消耗的热功率,减去电磁能量的增加率,等于穿出闭合面S电磁功率。

坡印廷矢量:SEH

正弦电磁场

电路三要素:振幅,频率,相位

IIej

jIjIej

正弦电磁场三要素:振幅,频率,相位

FF(x,y,z)ej jFjFej

正弦电磁场基本方程组的复数形式:

HJjD

Hdl(JjD)dS

l

S

EjB

EdljBdS

l

S

B0

BdS0

S

D

DdSq

S

场量与动态位关系

BA

Aj

EjAjA

1j

(A)

坡印廷矢量的复数形式:SEH

电准静态场 磁准静态场 忽略

DB

忽略 tt

HJ

D

HJ t

B0 B0

E0 E

B

t

D D0



J0 t



用洛伦兹规范A 用库伦规范A0

tJ

得到泊松方程 得到泊松方程



2AJ 2 2AJ 2



EQS与MQS的共性与个性

1.,A满足泊松方程,说明EQS和MQS没有波动性;

2. 在EQS和MQS场中,同时存在着电场与磁场,两者相互依存;

3. EQS场的电场与静电场满足相同的微分方程,在任一时间t,两种电场分布一致,解题方法相同。EQS场的磁场按H

J

D

计算; t

4. MQS场的磁场与恒定磁场满足相同的基本方程,在任一时间t,两种磁场分布一致,解题方法

相同。MQS场的磁场按E磁准静态场与集总电路 基尔霍夫电流定律

B

计算。 t

i0 u0

基尔霍夫电流定律

电准静态场与电荷弛豫

导电煤质,均匀,且各向同性,在EQS场中 其中0是t

0e

t

e

0时的电荷分布,e



导体中体电荷产生的电位很快衰减,导体电位有面电荷决定

集肤效应与邻近效应 良导体()可以忽略位移电流,属于MQS场。

集肤效应:在导体表面处的场量强,电流大,愈深入导体内部,场量减弱、电流减小

透入深度

d

1

邻近效应:靠近的导体通交变电流时,所产生的相互影响

涡流及其损耗

MQS场中,磁场满足涡流场方程(扩散方程)

d2HZ2HkHjHkHZ Z2

dx

2

2

解方程,得到

HZ

B0ch(kx)

BZB0ch(kx)

JyJ0sh(kx)

涡流损耗:Pe

a,,,

1

导体的交流电阻

直流或低频交流电流均匀分布R

l S

高频交流集肤、去磁效应电流不均匀分布

Z

1I2

(EH)dSRjX

S

RX

2da

,L L直R直

2da重点题型:

此题考查电磁感应定理,从感生电场定义出发求解。

此题考查对麦克斯韦方程的运用。

此题考查了欧姆定理的微分形式以及位移电流。

平面电磁波的传播

H2H

电磁波动方程:H20

tt

2

E2E

E20

tt

2

2HH2H

一维波动方程:20

x2tt

2EE2E

20 2

xtt

理想介质中的均匀平面波(0)

2Eyx

2



2Eyt22

1Ey2H12H2及 2

222

vtxvt

xx

))Et(y

vvxx

H(x,t)=H(tH(t) zzz

vv

通解

E(x,t)=Eyy(t

传播特性

相速v

vC310m/s

8

波阻抗Zo

EyHz



EyHz

能量的传播方向与波的传播方向一致 入射波能量密度

11

w(Ey)2(Hz)2(Ey)2(Hz)2

22

反射波能量密度

11

w(Ey)2(Hz)2(Ey)2(Hz)2

22

+

+

入射波功率流密度

SEHEyHzex

2

Hz)exvw

ex 反射波功率流密度

SEHEyHzex



2

Hz)exvwex 正弦稳态电磁波

d2Eydx2

d2H(j)Ey

kEy,(j)2Hzk2Hz 2

dx

2

2

kjj--传播常数

通解 EyEe

jx

Eejx

HzHe

jx

Hejx

1

(EejxEejx) Zo



v

2

--波数、相位常数

理想介质中的均匀平面波

2Eyx2

d2Hk2Hz (j)EykEy,2

dx

2

2

k2(j)2(

jj' j

'(1

)--复介电常数 j

kj--传播常数

--衰减常数 当,忽略位移电流。 (良导体)k2

j,kj

j)

1

(1j) d





=

1 d

良导体中的传播特性:

E,H为减幅波(集肤效应)

波阻抗为复数,E超前H

45

Zo



45

v

 波速与有关,是色散波

平面电磁波的极化 直线极化波 圆极化波 椭圆极化波

平面电磁波的反射与折射

反射定律和折射定律

vv'v

 sin1sin'1sin2

反射波与入射波在同一种介质中传播,有v'1

v1,得'11(反射定律)

sin2v2

sin1v1

一般介质的磁导率120

sin2(折射定律)

sin1折射率n

c

,一般r1,则

v

sin2sinn 或 sin1sin1n2反射系数和折射系数

EZ02cos1Z01cos2



EZ02cos1Z01cos2

2ZcosE' 

EZ02cos1Z01cos2



EEE'E

Z02cos2Z01cos1

Z01cos1Z02cos2

2Z02cos1

理想介质

Z01cos1Z02cos2



平面电磁波在理想介质分界面上的全反射和全折射

当|

|1或||1,即290,发生全反射,把

290的入射角称为临界入射角c

csin1

当|

1应大于2,即由光密介质射向光疏介质同时1c)

|0或|

|0,发生全折射。产生全折射的入射角B,称为布儒斯特角。

Btan1

良导体表面(

,0)

'2j

2

,相速v2

折射定律

sin2

v2

sin1v1



sin 1

平面电磁波的正入射驻波 理想导体中 E0,H0 分界面上 EE0,1 理想介质中

EEejxEejxE(ejxejx)2jEsinx

HHe

jx

He

jx

EjxEjx2Eeecosx Z01Z01Z01

2E

复数形式 E2jE

sinx Hcosx

Z01

瞬时形式

E(x,

t)sin(x)sin(t) H(x,t)

Ecos(x)cos(t) Z01

当xn,x

n



n

n0,1,2,......(波节) 2

x

(2n1)2n1

n0,1,2,......(波腹) ,x

42

重点题型:

TIPS:

1. 熟记各章公式,遇题灵活运用。 2. 对定义心中有素,理解电磁本质。

3. 根据自身条件合理规划复习,使时间利用率最大化。 4. 考试胆大心细,减少失误。 5. 注意休息,保持清醒头脑。

祝同学们get good marks!

范文二:工程电磁场

工程电磁场

------雷电电磁脉冲(LEMP) 姓名:刘静雯

学号:2015202070094

一 雷电电磁脉冲的影响

一直以来,雷电对人类的生活都有着极大的危害,并随着人类社会的发展表现出不同的危害形式。雷电是带电的云层和带异种电荷的其它云层或大地之间发生的一种强烈的放电现象,其具有选择性、随机性、不可预测性以及破坏性。雷电是自然界中一种典型的电磁危害源。闪电发生时,闪电回击通道中的电压可高达几百万伏,电流可高达几十万安培,电流上升率可达每微秒几万安培,这种强大的瞬态强电流会在闪电通道周围产生强大的电磁辐射效应,早期雷电的危害形式为雷击,每年造成大量的人畜伤亡、建筑物损坏以及森林火灾等,给人类生活带来了严重的负面影响。在当今信息化时代,强大的雷电电磁场脉冲(LEMP)可导致各种微电子设备的运行失效甚至损坏,成为威胁航天航空、国防军事、计算机与通信等领域的公害。

二 雷电电磁脉冲的产生

主放电通道形成后,云层电荷迅速与大地或云层异性感应电荷中和,回击电流急剧上升,受电荷电量、电位和通道阻抗影响,其上升速率最大可达500kA /μs。此时,放电通道构成等效天线,产生强烈的电磁脉冲。无论闪电在空间的先导通道或回击通道中闪电产生的瞬变电磁场,还是闪电流入建筑物的避雷针系统以后所产生的瞬变电磁场,

都会在一定范围内对各种电子设备产生干扰和破坏作用。

由于LEMP是脉冲大电流产生的,其磁场部分的危害也不容忽视。它能在导体环路中感应生成浪涌电流,或者在环形导体的断开处感应出高电压,甚至击穿空气出现火花放电,引发火灾、爆炸。经专家确认, 1989年的黄岛油库火灾事故。起因就是LEMP引起混凝土内钢筋断头处的火花放电。避雷装置(接闪器、引下线、接地体)遭雷击时也会辐射强电磁脉冲,由于靠近建筑物,将以感性耦合及容性耦合等方式作用,严重威胁着室内电子装备,这是传统避雷方式的缺陷。

雷击暂态电磁脉冲是指雷电流经电阻"电感"电容耦合产生的电磁效应,包含闪电和辐射电磁场!雷击暂态电磁脉冲的传播方式包括静电感应和电磁感应。雷击暂态电磁脉冲发生的机率比直击雷高得多!直接雷只发生在雷云对地闪,才会对地面造成灾害,而雷电的静电感 应和电磁感应,则不论雷云对地闪击,或者雷云对雷云之间闪击,都可能发生并造成灾害。

三 雷击电磁脉冲的特性

根据实际观测,雷电回击电磁场具有以下四个特征:a. 电场和磁场都有一个起始尖峰,观测距离超过 1km 时,峰值随距离下降;b. 在几十千米范围内的电场,起始峰值后有一个缓慢的上升沿,持续时间超过 100μs ;c. 在几十千米范围内的磁场,起始峰值后有一个隆起,隆起最大值发生在 10~40μs 之间;d. 在 50~200km 范围内的电场和磁场,起始峰值后都有过零点现象。

四 雷击电磁脉冲的分析

计算模型概述 根据控制方程的不同,目前雷电电磁场的计算模型可以被归纳为四种主要类型:第一类是气动模型(gas dynamic models),也称为物理模型(physical models),其控制方程为三个气动方程,分别以质量守恒、动量守恒和能量守恒为出发点;第二类是电磁模型(electromagnetic models),这种模型通常是将雷电通道简化为有损线天线,通过对 Maxwell 方程组进行数值求解得出电流沿通道的分布,进而确定空间电磁场。第三类是分布电路模型(distributed-circuit models),也叫 R-L-C 传输线模型(R-L-C transmission-line models),这种模型将电流通道简化为传输线,其电磁特性由传输线上的分布阻抗、电感和电容决定;第四类是工程模型(engineering models),该模型认为通道电流可以通过观测到 的通道基电流确定。工程模型通常不考虑电流通道的形状、发光强度等,重点考虑的在于距离雷电通道数十米以至上百千米处,实测电磁场强度能通过模型计算得出的电磁场强度进行预测。

目前,对雷击建筑物暂态电磁场常用的方法可分为路的方法( Current approach) 和场的方法( Field approach)。

3

四 雷击电磁脉冲的防护

对雷电电磁脉冲的防护措施,主要包括接地、等电位连接、屏蔽、合理布线、安装协调配合的浪涌保护器(SPD)和采用隔离界面。

[1] 侯民胜,贾宏亮.HEMP和LEMP的实验室产生方法[J]电工技术学报,2007,22(11):12-16

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[4] 李刚,变电所直接雷击下的 LEMP 计算[J]继电器,2007,35

(11):75-78

[5] 陈亚洲,肖雪荣,地表近场LEMP与回击电流的近似性[J]高电压技术,2007,33(12):23-26

[6] 叶平,防雷电电磁脉冲(LMP)的基本原则和方法[J]广东气象,2001:26-29

[7]

[8] 邹相国,雷电电磁场空间分布的研究与计算[C]武汉,华中科技大学,2006:1-61

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特性分析及屏蔽[J],环境技术增刊,2014:159-167

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范文三:工程电磁场三章3

第 三 章

恒定磁场

3.7 电 感

Inductance

磁场中一重要物理参数是电感,电感分自感和互感。

1. 自感(Self-Inductance)

回路的电流与该回路交链 的磁链的比值称为自感。

ψ(t)=N Φ(t)

ψ = N ∫sB ⋅ dS = LI

L=

ψ

I

H(亨利)

i (t)

L = 内自感 Li + 外自感 L0

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第 三 章

恒定磁场

内自感

Li =

ψi

I

载流导线 内的磁通 载流导线 外的磁通

外自感 Le =

ψe

I

自感系数L只与载流回路的形状、 尺寸以及空间媒质的磁性质有关。

2. 互感(Mutual Inductance)

互感是一个回路电流与其在另一个回路所产生的磁链之 比值,它与两个回路的几何尺寸,相对位置及周围媒质有 关。

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第 三 章

恒定磁场

ψ 21 = M 21 I1 M 21 = ψ 21 I1

对于多回路系统

H(亨利)

ψ1 = L1 I1 + M12 I 2 + M13 I3 + ... .......... ψk = M k1 I1 + M k 2 I 2 + ... + Lk I k + ...

注意

① 自感始终为正,互感可正可负。 ② 互感具有互易性。

可以证明 M 12 =

ψ 12

I2

= M 21

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第 三 章

恒定磁场

3. 电感的计算

电感的计算是场的计算,一般步骤为

设 I → H → B → Φ → ψ → L ( Li , L0 ) → M A 例 解

试求图示长为 l 的同轴电缆的自感 L。

1、 外自感 ( ρ1

μ0 I B= 2πρ

μ0I dψ 0 = dΦ0 = ld ρ 2 πρ

1 = L0 = I I

ψ0

∫ρ

ρ2

1

μ0I μ0 ρ2 ld ρ = ln 2πρ 2π ρ1

同轴电缆截面

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第 三 章

恒定磁场

2、内导体的内自感 (0 ≤ ρ ≤ ρ1 )

∫ H ⋅ dl = I ′ =

l

I

2 ′ ρ I H= ρ , 匝数 N = = 2 2πρ1 I ρ12

I

πρ 1

πρ = 2

2

I

ρ 12

ρ2

I’

ρ1

磁通 dΦ = B ⋅ dS =

μ0 I

2πρ12

ρ ldρ

因此, ψ i1 = ∫SNdΦ = 内自感

ρ1

0

μ 0 I lρ ρ 2 dρ = 2 2 2πρ 1 ρ1

μ0 I l 8π

μ 0l Li 1 = = I 8π

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ψ i1

第 三 章

恒定磁场

3、外导体内自感 (ρ2 ≤ ρ ≤ ρ3 )

2 I ′μ 0 μ 0 I ρ 3 − ρ2 B= = 2 2 2πρ 2πρ ρ 3 − ρ2

dΦi 2 = BdS = B ⋅ ldρ

匝数

I ' ρ3 − ρ 2 N= = 2 I ρ3 − ρ 22

2

1 ρ3 Li 2 = ∫ N Bl d ρ I ρ2 2 2 2 μ 0l ρ 32 ρ μ l ρ μ l ( ρ + ρ 2 0 3 2) 3 0 3 = ( 2 ) ln − + 2 2 2 2 2π ρ 3 − ρ 2 ρ 2 2π ( ρ 3 − ρ 2 ) 8π ( ρ 32 − ρ 2 )

总自感

L = L0 + Li1 + Li 2

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第 三 章

恒定磁场

试求半径为R的两平行传输线自感。

μ0l , 总自感 L = 2Li + L0 解 内自感 Li = 8π 解法一 B = Iμ0 + Iμ0 2πx 2π ( D − x)

μ0 I ψ= 2π

∫R

D− R ⎛ 1

1 ⎞ ⎜ ⎜ x + ( D − x) ⎟ ⎟ldx ⎝ ⎠

两线传输线

μ0 Il D − R = ln π R

μ0l μ0l D − R + ln 总自感为 L = 2Li + L0 = 4π π R

μ 0l D − R ln L0 = = I π R ψ

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第 三 章

恒定磁场

解法二

由 A → L0

μ0 I ⎛ D − R ⎞ A1 x=R = ⎟ ez ⎜ ln 2π ⎝ R ⎠ μ0 I ⎛ R ⎞ A2 x=D−R = ⎜ ln ⎟ ez 2π ⎝ D − R ⎠

两线传输线

μ0 I l D − R ψ =

∫ A ⋅ d l = A1 l − A 2 l = ln = L0 I l R π

μ 0l D − R L0 = = ln I π R ψ

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第 三 章

恒定磁场

例 解

试求图示两对传输线的互感。 设传输线 AB 带电,求穿过 CD 回路的磁链

μ0 I 导线 A 作用 B = 2πρ

μ0 Il AD ψ mA = ΦmA = ∫ B ⋅ dS = ln S 2π AC

导线 B 作用

两对传输线的互感

ψ mB

合成后

ψ m = ψ mA + ψ mB

μ 0 I l BC = ΦmB = ln BD 2π

μ 0 I l AD ⋅ BC = ln AC ⋅ BD 2π

μ l AD ⋅ BC M = 0 ln 2π AC ⋅ BD

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第 三 章

恒定磁场

讨论

1)铁板放在两线圈的下方,互感增加否?

2) 铁板放在两线圈之间,互感、自感是否增加?

3)如何绕制无感电阻?

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第 三 章

恒定磁场

4. 聂以曼公式(Neumann’s Formula) 1)求两导线回路的互感

设回路 1 通以电流 I1,则空间任意点的磁矢位为

μ0 A = 4π

l1

I 1 d l1 R

穿过回路 2 的磁通为

Φ21 = ∫ A ⋅ dl2

l2

互感

μ0 I1d l1 = (∫ ) ⋅ dl 2 ∫ 4π l l R dl1 ⋅ dl2 Φ21 μo M 21 = = =M12 ∫ ∫ I1 4π l2 l1 R

2 1

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第 三 章

恒定磁场

2)用聂以曼公式计算回路的外自感

设电流 I 集中在导线的轴线 l1上,磁通穿过外表面轮 廓 l2 所限定的面积

电流 I 在 l2 上产生的磁矢位为

μ0 A= 4π

l1

I 1 d l1 R

与 l2 交链的磁通为 μ0 I dl1 ⋅ dl2 Φ = ∫ A ⋅ dl2 = l 4π ∫l ∫l R

2 2 1

线圈的自感

外自感

Φ μ0 L0 = = I 4π

dl1 ⋅ dl2 ∫l2 ∫l1 R

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第 三 章

恒定磁场

4. 用类比法求电感 在一定的条件下,电场和恒定磁场的场量满足 相似的方程,所以两个场的参数可以通过类比的方 法加以联系。 可以证明在均匀媒质的平行平面场中,载流导 体每单位长度的外电感与相应的电场中每单位长度 的电容满足关系:

L e′ C ′ = με

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第 三 章

恒定磁场

试求长为 l 的同轴电缆的外自感 L。

μ0 I B= 解 2πρ 1 ρ μ0 I μ0 ρ2 L e′ = ∫ dρ = ln I ρ 2 πρ 2π ρ1

2 1

同轴电缆截面

τ 静电场中 E = 2περ

2 πε C′ = = ρ2 U ln ρ1

τ ρ2 ln U = ∫ dρ = 2ε π ρ1 ρ 2 περ

ρ2

1

τ

τ

L e′ C ′ = με

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第 三 章

恒定磁场

1.9 静电能量与力

Electrostatic Energy and Force

1. 静电能量 (Electrostatic Energy) 电磁场是一种特殊形式的物质,能量是物质的 属性之一。电场能量是在建立电场过程中从与各导 体相连接的电源中取得的,因此电场储能是外力做 功形成的。 ① 用场源表示静电能量 讨论前提

a) 线性系统; b) 电场建立无限缓慢,忽略能量的辐射; c) 没有动能,只考虑位能。

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第 三 章

恒定磁场

0 0 0

t′ ρ′ ϕ′

t ρ

ρ ′ = mρ ϕ ′ = mϕ

( 0

ϕ

电荷增量

d ρ ′ = ρ dm

dq = ρ dm Δ V

将dq电荷移至电场中外源

做功

d W = ϕ ′d q = m ϕρ dm Δ V

1 W = ∫0 mdm ∫ ρϕdV= ∫ ρϕdV 2V V

1

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第 三 章

恒定磁场

1 W = ∫ ρϕdV 2V

注意 上式建立在静电场是位场的基础上,只适用

于静电场。

推广1 :若是连续分布的电荷, dq = ρ dV , σ dS ,τ dl

1 1 1 W = ∫V ρϕdV + ∫S σϕdS + ∫lτϕdl 2 2 2

推广2: 若是带电导体系统,静电能量为

1 1 n 1 n W = ∫ σϕdS = ∑ ϕ i ∫ σdS = ∑ qiϕ i 2S 2 i =1 Si 2 i =1

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第 三 章

恒定磁场

推广3: 若是 n 个点电荷的系统,静电能量为

1 n W = ∑ qiϕ i 2 i =1

只含互有能

固有能和相互作用能 固有能 互有能 把某一区域的电荷从无穷远聚拢到 给定分布所需的功。 把各区域的电荷放置到各自给定位 置所需的功。

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第 三 章

恒定磁场

设空间有两个电荷分布区

1 1 W = ∫ ρϕdV = ∑ ∫ ρi (ϕ ii + ϕ i 0 )dV 2V i =1 2 V 2 ⎡ ⎤ 1 1 = ∑ ⎢ ∫ ρiϕ ii dV + ∫ ρiϕ i 0dV ⎥ = Wii + Wi 0 2V i =1 ⎣ 2 V ⎦

2

i

i i

V1 ρ 1 V2 ρ 2

当 Vi → 0

点电荷q ϕ ii → ∞

W ii → ∞

说明要把一定量的电荷压缩到几何上的一个 点需要克服无穷大的斥力,需要作无穷大的功。 同理,线电荷的固有能也为无穷大。对点、线电 荷只研究互有能。

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第 三 章

恒定磁场

例 解

半径为a的球面带电荷Q,球心放一点电荷q,求静电 能量。

W总 = W固 + W互

Q

σ q

Q在球面产生的电位 ϕ ( r = a ) =

4πε 0a 1 ϕ Q2 球面电荷的固有能 W固 = ∫ σϕdS = ∫ σdS = 2S 2S 8πε 0 a 1 1 把点电荷从 W互 = qϕ12 + Qϕ 21 = Qq 2 2 4πε 0a ∞移至球面 电荷中心所 Q Q在球心建立的电位 ϕ12 = 4πε a 需作的功 0 q q在球面产生的电位 ϕ 21 = 4πε0a 返 回 上 页 下

第 三 章

恒定磁场

若用公式计算

1 1 W = ∫V ρϕdV + ∫S σϕdS 2 2

② 用场量表示静电能量 能量

1 1 W = ∫ ρϕ dV = ∫ ϕ∇ ⋅ D d V 2 V 2 V

矢量衡等式

ϕ ( ∇ ⋅ D ) = ∇ ⋅ (ϕ D ) − D ∇ ϕ

1 1 1 W = [∫ ∇ ⋅ (ϕ D)dV −∫ D ⋅ ∇ϕ dV ] = ∫ ϕD ⋅ dS + ∫ D ⋅ EdV V 2 S 2 V 2 V

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第 三 章

恒定磁场

1 2 因 ϕ D ∝ 3 , s ∝ r , r → ∞ 当时,面积分为零,故 r

1 1 W = ∫S ϕD ⋅ dS + ∫VD ⋅ EdV 2 2

1 W = ∫VD ⋅ EdV 2

定义能量密度 各向同性均匀媒质

J

J/m

3

1 w = D⋅E 2

适用 于静 电场 和时 变场

2 1 1 D w = εE 2 = 2 2 ε

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第 三 章

恒定磁场

半径为a的球面带面电荷Q,球心放一点电荷q,求静 电能量。 σ q

∞ 2

解 W = 1 D ⋅ EdV = ε0 E 2dV ∫V ∫V

2

2

ε0 ⎛ q ⎞ ε0 ⎛ q + Q ⎞ 2 2 ⎟ ⎜ ⎟ 4 π r dr 4 π r dr = ∫⎜ + ∫ 2 ⎟ 2 ⎟ ⎜ ⎜ 2 0 ⎝ 4πε0 r ⎠ 2 a ⎝ 4πε0 r ⎠

a

2 1 ⎛ − q2 (q + Q)2 ⎞ Q qQ ⎟ ⎜ = ⎜ +∞+ =∞+ + ⎟

2 ⎝ 4πε0a 4πε0a ⎠ 8 πε0a 4πε0a

2

点电荷的固有能

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第 三 章

恒定磁场

例 解

试求平板电容器的静电能量。

带电导体系统

1 2 1 We = ∑ ϕ K qK = (ϕ1q1 + ϕ 2q2 ) 2 K =1 2 1 1 = (ϕ1q − ϕ 2q ) = qU 2 2

1 = CU 2 2

电容能量 的计算式

平行板电容器

1 qU We 2 1 1 w= = = σE = D ⋅ E V Sd 2 2

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第 三 章

恒定磁场

例 解一

试求真空中体电荷密度为ρ的介质球产生的静电能量。

由场量求静电能量

⎧ ρr er ⎪ ⎪ 3ε E = ⎨ 3 ρa ⎪ er 2 ⎪ ⎩ 3ε 0 r

r a

∞ 1 1a 1 2 2 2 We = ∫VD ⋅ EdV = ∫ εE1 4πr dr+ ∫ ε 0 E2 4πr 2dr 2 20 2a 2π 2 5 1 1 = ρ a( + ) 9 5ε ε 0

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第 三 章

恒定磁场

解二

由场源求静电能量

1 W = ∫V ϕρdV 2

球内任一点的电位

3 ∞ ρ 4πa / 3 ρ 4πr 3 / 3 dr dr + ∫ ϕ=∫ 2 2 a r 4πε 0 r 4πεr a

ρ a2 r 2 a2 = ( - + ) 3 2ε 2ε ε 0

2 5 a 1 2 1 πρ 1 a ρ 2 a2 r2 a2 2 ( + ) W = ∫0 ( − + )4πr dr = 9 5ε ε 0 2 3 2ε 2ε ε 0

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第 三 章

恒定磁场

原子可看成由带正电荷q的原子核被体电荷分布的负 电荷云-q包围,试求原子结合能。

W总 = W点 + W体

前例中当

ε =ε0 ,ρ =- ρ时

−ρ 2 r ρa (a − ) r =0 = − ϕ − (0) = 2ε 0 3 2ε 0 3q 2 W点 = qϕ − (0) = − 8πε 0 a 2

2

原子结构模型

4π 2 5 W体 = − ρ a 15ε 0

2

a2 3q =− ⋅ =− 2 4 4 2ε 0 8 πε a 0 πa 3 q

4π 2 5 3q 2 9q 2 =− W总 = ρ a − 15ε 0 8πε 0 a 40πε 0 a

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第 三 章

恒定磁场

2.静电力 (Electrostatic Force) 1) 根据电场定义计算静电力

df = Edq

注意上式使用的条件

① 只适用于均匀介质

f = ∫ Edq

矢量积分

② 式中的电场E不包括dq本身的贡献

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第 三 章

恒定磁场

2) 根据电场能量计算静电力

能过程为:

虚位移法

在多导体系统中,导体p发生位移dg后,系统发生的功

外源提供能量 = 静电能量增量 + 电场力所作功

dW = dWe + fdg

① 常电荷系统(K打开)

0 = dWe + fdg

− fdg = dWe

多导体系统 ( K 打开 )

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第 三 章

恒定磁场

∂We f =− ∂g

表明

qk = cunst .

取消外源后,电场力做功必须靠减少电场 中静电能量来实现。 p

② 常电位系统(K 闭合) 外源提供能量的增量

dW = ∑ ϕ k dq k

多导体系统( K 闭合 )

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第 三 章

恒定磁场

1 ∑ ϕ k dqk = 2 ∑ϕ k dqk + fdg

表明

外源提供的能量有一半用于静电能量的增量, 另一半用于电场力做功。

1 fdg = ∑ ϕ k dqk = dWe 2

注意

∂We f = ∂g

ϕ k = const

dg→广义坐标:距离、面积、体积、角度。

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第 三 章

恒定磁场

f→广义力:企图改变某一个广义坐标的力。 满足 广义力×

广义坐标 =功

对应关系: 广义坐标 广义力 单 位 距 离 机械力 N 面 积 表面张力 N/m 体 积 压强 N/m2 角 度 转矩 Nm

广义力是代数量 ,根据 f 的“±”号判断力的方 向。广义力的正方向为广义坐标增加的方向。

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第 三 章

恒定磁场

试求图示平行板电容器两极板间的电场力。 解一 常电位系统

1 We = CU 2 2

C=

ε 0S

d

取d 为广义坐标(相对位置坐标)

∂We f = ∂d

平行板电容器

U 2ε0S U 2 ∂C ⋅ =−

负号表示电场力的方向企图使 广义坐标d 减小,即电容增大。

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第 三 章

恒定磁场

解二

常电荷系统

2 2 1 1 q q d 2 We = CU = ⋅ = 2 2 C 2ε 0 S

∂W f =− ∂d

2

=−

q =c

q2 2ε 0 S

2

2 2

S D Sε 0 E Sε 0U =− =− =− 2ε 0 S 2ε 0 2d 2

2

当满足所设条件,两种计算结果相同

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第 三 章

恒定磁场

图示一球形薄膜带电表面,半径为a ,其上带电荷为 q,试求薄膜单位面积所受的电场力。

取体积为广义坐标

1 q2 We = ⋅ 2 C

C = 4πε 0 a

∂We =− 4 3 q =c ∂ ( πa ) 3 球形薄膜 q2 ∂ 1 q2 >0 =− ( ⋅ ) = 2 4 2 32π ε 0 a 4πa ∂a 2 4πε 0 a

∂We f =− ∂V

N/m2

f 的方向是广义坐标V 增加的方向,表现为膨胀力。

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第 三 章

恒定磁场

例 图示为半径为R、接电压U0的导体球位于点电荷q的电

场中,试求导体球所受的电场力。

解 应用镜像法 Q = 4πε0 RU 0

Q

根据库仑定律,点电荷q处的电场

1 ⎛ 4πε0 RU 0 q′ ⎞ ⎜ ⎟ − E= 2 2 ⎟ ⎜ 4πε0 ⎝ d (d − b ) ⎠

应用虚位移法 ⎞ 1 q ⎛ RU 0 Rq We = ∑ ϕ k qk = ⎜ ⎟ − 2 2 ⎟ ⎜ 2 2⎝ d 4πε0 (d − R ) ⎠ 1 R + U 0 ( 4πε0 RU 0 − q ) 2 d

RU 0q dRq 2 f = qE = − 2 d 4πε0 (d 2 − R 2 )2

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第 三 章

2 R q We = 2πε0 RU 02 − 8πε0 (d 2 − R 2 )

恒定磁场

设为常电位系统

∂We f = ∂d

ϕ =c

dRq 2 = 4π ε0 (d 2 − R 2 )2

沿广义坐标 增大的方向

设为常电荷系统

∂We f =− ∂d

q =c

dRq 2 =− 4π ε0 (d 2 − R 2 )2

虚位移法的结果不正确,因为系统不属于常电 位系统,也不是常电荷系统。

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第 三 章

恒定磁场

3) 根据法拉第观点计算静电力(Farade’s review)

法拉第认为,在场中沿通量线作一通量管,沿其轴向受 到电场的纵张力,垂直于轴线方向受到侧压力,纵张力和侧 压力大小相等,为:

1 f = D⋅E 2

(N m2)

电位移管受力情况

物体受力情况

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第 三 章

恒定磁场

如平板电容器极板受力大小: 极板单位面积受力大小:

Sε 0U 2 f = 2d 2

Sε0U 2 ε0U 2 1 f′= /S = = E⋅D 2 2 2d 2d 2

法拉第观点的作用 ① 应用法拉第对电场清 晰和形象化的描述可 以定性的分

析判断带 电系统受力情况

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第 三 章

恒定磁场

② 应用法拉第观点可以对一些电场力问题进行定量的计算。

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第 三 章

恒定磁场

例 计算平板电容器中介质分界面上的压强。

解 图(a)

( a)

( b)

D2 1 1 1 1 f = f1 − f 2 = DE1 − DE2 = ( − ) 2 2 2 ε1 ε 2

若ε1 > ε 2 ,则 f f1 ,力由 ε1指向 ε 2。

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第 三 章

恒定磁场

图(b)

f = f3 − f 4

1 1 E2 = D1E − D2 E = (ε1 − ε 2) 2 2 2

( b) 若 ε1 > ε 2,则 f > 0, f 3 > f 4 , 力由 ε 1指向 ε 2。

结论 • • 当有电场垂直或平行于两种介质分界面时,作用在分 界面处的力总是和界面垂直。 分界面受力总是从 ε 大的介质指向 ε 小的介质。

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第 三 章

恒定磁场

带电长直导线位于大地上方,试分析导线正下方介质的 受力情况。

分析

应用法拉第观点 受到膨胀力 同时受到向上的力

τ

ε

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第 三 章

恒定磁场

作业

• P61页,1-9-3 • P125页,3-7-2 • P125页,3-7-3

范文四:工程电磁场导论第一章2

第 一 章

静 电 场

试写出导体与电介质分界面上的衔接条件。 解 分界面衔接条件

D2 n  D1n   ,E1t  E2t

1 2 1=2 ,1  2  n n 导体与电介质分界面 导体中 E1=0 ,D1=0  分界面介质侧 D2 n    E 2 n  , E2t  0   2  1  C ,  2 

表明

n

① 导体表面是等位面,E 线与导体表面垂直; ② 导体表面上任一点的 D 等于该点的 。

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第 一 章

静 电 场

例 解 图(a)

试求两个平板电容器的电场强度。 忽略边缘效应

1E1   2 E2

E1d1  E2d 2  U 0

 2U 0 E1  1d 2   2 d1

 1S1   2 S2  q0

1  2  1 2

平行板电容器

图(b)

1U 0 E2  1d 2   2 d1 1 q0  E1  E2  1 1S1   2 S 2

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第 一 章

静 电 场

试写出图示静电场的边值问题。 大地以上空间:

 2  2  2  2    0 2 2 2 x y z

S2 50V

S1 100V

( S1)

 100 V  50 V

(S2 )

( 大地,  )

0

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第 一 章

静 电 场

+q

试写出图示平板电容器电场的边值问题。

 21  21  0 2 x

-q

1

2

 2 2  2 2  0 2 x 1 q  ε1 σ  n S x 0

同一个条件

1

0

2

d/2 d x

2 q ε2  σ   n S

1  2

xd

x

d 2

1  0 x 0

参考点

1  2 ε1  ε2 n n

x

d 2

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第 一 章

静 电 场

试写出长直同轴电缆中静电场的边值问题。 解 根据场分布的对称性

2 2

确定计算场域,边值问题

    0 2 2 x y

2

(阴影区域)

缆心为正方形的

0

( x b , 0 y b及y b , 0 x b )

U

( x 2  y 2  a 2 , x 0 , y 0 )

0

0

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 x

( x  0 ,b  y  a )

 y

( y  0 ,b  x  a )

第 一 章

静 电 场

3. 唯一性定理的意义 ① 给出了唯一确定静电场问题的解所需满足的条件。 ② 可用以判断静电场问题解的正确性。 例 图示平板电容器的电位,哪一个解答正确? U0 2 b   U0 x  U a 1  x 2 0 d d U0 c 3   x  U0 d

 2  0 2 x

2

平板电容器外加电源U0

  U 0 x 0 ,   0 x d

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第 一 章

静 电 场

解一

图示无限长同轴电缆,内导体加电压U,外 导体接地,求内外导体间的电场分布。 应用高斯定律

R2 R2

τ E eρ 2περ

τ τ R2 U   E  dρ   dρ  ln 2πε R1 R R 2περ

1 1

U

R1

τ R2 U  U ln E eρ R1 2πε ρ ln R2 R1 任一点的电位 R R U U R2    E  dρ    dρ  ln ln R2 R1 ρ ρ ρ ρ ln R2 R1

2 2

R2

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一 章

静 电 场

解二

解边值问题,场为轴对称,取圆柱坐标 1 d  d  2 ρ  0  dρ   ρ dρ    U   A ln ρ  B 通解

R1

  U0

ρ  R1

,   0 ρ R 边界条件

2

R2

U  A ln R1  B 0  A ln R2  B

U R2  ln ln R2 R1 ρ  U E e  eρ  ρ ln R2 R1

U A ln R1 R2

U B ln R2 ln R1 R2

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第 一 章

静 电 场

解一

图示长度为l 的同轴电缆(l>>R),内外导体带电荷 Q,求内外导体间的电场分布。 应用高斯定律,以外导体为电位参考

τ Q E eρ  2περ 2περl R R Q Q R2    E  dρ   dρ  ln 2πεl    2 περl

2 2

Q

R1

R2

-Q

解二 通解

解边值问题,

0  A ln R2  B

 Q ε σ  ρ 2πR1l

  A ln ρ  B

Q 2πl Q B ln R2 2πεl A

ρ  R1

边 界 条 件

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第 一 章

静 电 场

例 解

图示充以两种介质的无限长同轴电缆,内导体加电 压U,外导体接地,求内外导体间的电场分布。 解边值问题,

21  0

22  0

通解

1  A1 ln ρ  B1 2  A2 ln ρ  B2

2

1

R2

R1

1  U 0

1  2

ρ  R1

, 2  0 ρ  R

R3

3

ρ R2

边界条件

1 2 ε1  ε2 ρ ρ

ρ  R2

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第 一 章

静 电 场

试求体电荷分布的球体产生的电位及电场。

解 采用球坐标系,分区域建立方程 1 d 2 d1  2 (r  a)  1  2 (r ) r dr dr 0 1 d 2 d 2 2 ( a  r  )   2  2 (r )0 r dr dr

体电荷分布的球体

r 2 1 通解 1(r )    C1  C2 6 0 r

边界条件

C3  2 ( r )   C4 r

1 r  a  2 r  a

2

1 r 0  有限值

r 

1  2 0 r a   0 r a r r

 0 参考电位

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第 一 章

静 电 场

得到

 1(r )  (3a 2  r 2 ) 6 0 a 3  2 (r )  3 0 r

r 1

0r a ar

 1  电场强度(球坐标梯度公式): 1  e = er  e   r  rsin   r E1(r )  1   er  er 0  r  a r 3 0

 ,E

随r变化曲线

 2 a 2 E2 (r )   2   er  e ar 2 r r 3 0 r

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范文五:工程电磁场基础

目录

引 言

一、电磁学发展简史

二、电磁场理论课程的特点

第一章 自由空间中的电磁场定律

1.1基本定义

1.1.1电荷密度

一、体电荷密度ρ

二、面电荷密度η

三、线电荷密度λ

四、点电荷q

1.1.2电流密度

一、体电流密度J

二、面电流密度K

三、线电流I

1.1.3基本场量

一、洛仑兹力公式

二、电场强度E

三、磁场强度H

1.2自由空间中的电磁场定律

1.2.1场定律中符号的意义

1.2.2各电磁场定律的数学物理意义

一、法拉第电磁感应定律的意义

二、修正的安培环路定律的意义

三、电场高斯定律的意义

四、磁场高斯定律的意义

五、电荷守恒定律的意义

1.2.3电磁场定律整体的物理意义

1.3积分形式场定律的应用

习 题

第二章 矢量分析

2.1标量场的梯度

2.1.1标量场的等值面

2.1.2标量场的梯度

一、位移的方向余弦和单位矢量

二、方向导数

三、标量场的梯度

2.1.3梯度的性质

2.1.4标量场梯度的物理意义

2.1.5例题

2.2矢量场的散度和高斯定理

2.2.1矢量场的场流图

2.2.2矢量场的散度

一、散度的定义

二、散度的数学计算式

2.2.3矢量场散度的性质

2.2.4矢量场散度的物理意义

2.2.5高斯定理

一、高斯定理

二、高斯定理的证明

2.2.6自由空间中微分形式场定律的散度关系式

2.2.7拉普拉斯运算符

2.2.8例题

2.3矢量场的旋度和斯托克斯定理

2.3.1保守场和非保守场

2.3.2矢量场的旋度

一、旋度的定义

二、旋度的数学计算式

2.3.3矢量场的旋度的性质

2.3.4矢量场旋度的物理意义

2.3.5斯托克斯定理

一、斯托克斯定理

二、定理证明

三、保守场的判据

2.3.6自由空间微分场定律中的旋度关系式

2.3.7例题

习 题

第三章 自由空间的微分场定律

3.1微分场定律

3.1.1微分场定律的数学物理意义

一、法拉第电磁感应定律的意义

二、修正的安培定律的意义

三、电场高斯定律的意义

四、磁场高斯定律的意义

五、电荷守恒定律的意义

3.1.2微分场定律整体的意义

3.1.3例题

3.2边界条件

3.2.1电磁场中的不连续界面

3.2.2边界条件

一、边界法线方向上的关系式(法向边界条件)

二、边界切线方向上的关系式(切向边界条件)

3.2.3边界条件的物理意义

一、电场强度切向边界条件的意义

二、磁场强度切向边界条件的意义

三、电场法向边界条件的意义

四、磁场法向边界条件的意义

五、电场和磁场边界条件的物理解释

六、电流边界条件的意义

七、边界条件所含的方向关系

3.2.4微分场定律与边界条件的形式对应关系

3.3微分场定律(含边界条件)的应用

3.3.1已知场分布求源分布

3.3.2已知源分布求场分布

习 题

第四章 静电场的标量位

4.1静电场的标量位

4

.1.1静电场标量位的引入

一、在原点的点电荷电场的标量位

二、在空间某点的点电荷电场的标量位

三、点电荷系电场的标量位

四、分布在有限区域的带电系统的标量位

4.1.2标量位(电位)的物理意义

4.1.3电偶极子的电场和电位

一、直接计算电场

二、使用标量位计算电场

4.1.4标量位的微分方程和边界条件

一、微分方程

二、一般边界条件

三、边界为偶极层时的条件

四、导体表面的边界条件

4.1.5泊松方程的解

4.2标量位的性质

4.2.1极值定理

4.2.2平均值定理

一、格林定理

二、平均值定理的证明

三、平均值定理的应用

4.2.3唯一性定理

一、定理内容

二、唯一性定理的证明

4.3唯一性定理的应用

4.3.1静电镜象法

一、在无限大接地导体平板上方放置一个点电荷的系统

二、接地导体角域内放置点电荷的系统

三、接地导体球外放置一个点电荷的系统

四、不接地不带电的导体球外放置一个点电荷的系统

五、不接地、带电量为Q的导体球外放置一个点电荷的系统

六、在一个接地的无限大导电平面上方放置一个偶极子的系统

4.3.2电轴法

一、两根相互平行且带等量异号电荷的无限长直导线的场

二、两个等截面导体圆柱系统

三、两个截面不相等的导体圆柱系统

4.4复变函数在静电场问题中的应用

4.4.1复电位(复位函数)

4.4.2保角变换(保角映射)

4.4.3许瓦兹-克瑞斯托弗尔变换

4.5静电场示意场图的画法

4.5.1静电场示意场图的作用

4.5.2绘制静电场示意场图的基本法则

4.5.3静电场示意场图实例

一、在球形接地导体空腔内有一个点电荷

二、两个不等量的异号电荷

三、接地导体上的矩形空气槽

四、矩形空气域

五、两个同轴圆柱面间的空气域

习 题

第五章 静电场的分离变量法求解

5.1拉普拉斯方程的变量可分离解

5.1.1在直角坐标系中

一、平凡解(明显解)

二、一般解

5.1.2在柱坐标系中

一、平凡解

二、与z变量无关的二维一般解

三、柱坐标中拉普拉斯方程解的物理意义

5.1.3在球坐标系中

一、平凡解

二、一般解

三、球坐标中拉普拉斯方程解的物理意义

5.2静电场问题求解实例

5.2.1边界电位值已知的静电系统

例1(上下为导体板,左右为源的矩形二维空气域)

例2(扇形域)

例3(锥面间域)

例4(导体块上的空气槽)

例5(有导体角的矩形域,迭加原理)

例6(立方域)

5.2.2带有自然边界条件的静电系统

例1(导体上的半无界缝)

例2(已知电位分布的圆柱面)

例3(已知电位分布的球面)

5.2.3带有电位导数边界条件的静电系统

例1(平板电容器)

例2(长方体形电阻器)

例3(矩形导体片)

例4(内有面电荷

的二维矩形空腔)

例5(带面电荷的圆柱面)

例6(带面电荷的球面)

例7(两种导体构成的半圆形电阻)

5.2.4带有趋势性边界条件的静电系统

例1(中心放置电偶极子的导体球壳)

例2(中心放置点电荷的导体球壳)

例3(上下异号的线电荷)

例4(均匀电流场中的导体球)

例5(均匀电场中的导体圆柱)

5.3柱坐标系中三维拉普拉斯方程的分离变量解

习 题

第六章 静磁场与位函数的远区多极子展开式

6.1静磁场的矢量位

6.1.1毕奥-沙瓦定律

一、电流元产生的磁场

二、闭合电流线产生的磁场

三、分布电流产生的磁场

6.1.2磁场的矢量位

一、静磁场方程

二、磁场的矢量位

三、磁矢位的方程

四、磁矢位方程的解

五、磁矢位的物理意义

六、边界条件

6.1.3例题

6.2静磁场的标量位

6.2.1磁标位

一、磁标位的定义

二、一个电流环的磁标位

三、磁标位的方程和方程解族

四、边界条件

6.2.2例题

6.3位函数在远区的多极子展开式

6.3.1静电标量位Φ(r)的多极子展开式

一、1/RQP的级数展开式

二、Φ(r)的展开式

三、电位Φ(r)多极子展开式的物理意义

四、多极子展开式的应用

6.3.2磁矢位A(r)的远区多极子展开式

习 题

第七章 有物质存在时的宏观场定律

7.1物质极化的宏观模型

7.1.1极化的概念

7.1.2极化强度P

7.1.3极化电荷与电场高斯定律

一、极化电荷

二、宏观极化模型下的电场高斯定律

7.1.4极化电流与修正的安培定律

一、极化电流

二、宏观极化模型下的修正安培定律

7.2极化问题举例

7.2.1永久极化物体

一、永久极化板

二、永久极化球

7.2.2非永久极化物体

一、均匀电场中的电介质球

二、填充均匀∈材料的平行板电容器

三、填充非均匀∈材料的电容器

四、空心介质球心放置一个电偶极子

7.3物质磁化的安培电流模型

7.3.1物质磁化的机理

7.3.2磁化强度M

7.3.3磁化电流密度

7.3.4安培电流模型下的场定律

7.3.5永久磁化圆柱的磁场

7.4物质磁化的磁荷模型

7.4.1物质磁化的机理

7.4.2磁荷模型下的磁化强度

7.4.3物质中的磁场高斯定律

7.4.4物质中的法拉第电磁感应定律

7.4.5永久磁化圆柱的磁场

7.4.6有均匀磁介质的磁场系统

一、均匀磁场中的磁介质球

二、空心磁介质球心放置一个磁偶极子

7.5物质中的场量组成关系和场定律

7.5.1物质中的场量组成关系

一、单值关系

二、多值关系

三、各向同性和各向异性

7.5.2物质中的电磁场定律

一、B-D形式的场定律

二、E-H形式的场定律

三、对称形式的场定律

习 题

第八章 电磁场的能量和功率

8.1静电场和静磁场的能量

8.1.1静电场的能量

8.1.2静电场能计算举例

8.1.3静磁场能

8.1.4静磁场能计算举例

8.2坡印廷定理

8.2.1电磁场供给运动电磁荷的功率

一、电磁场对运动电磁荷的电磁力

二、电磁场供给运动电磁荷的功率

8.2.2坡印廷定理

一、微分形式的坡印廷定理

二、积分形式的坡印廷定理

8.2.3坡印廷定理的量纲单位分析

8.2.4坡印廷定理的物理解释

一、对微分形式坡印廷定理的物理解释

二、对积分形式坡印廷定理的物理解释

三、在解释坡印廷定理上的假说性

8.2.5对S和w的补充规定

8.2.6坡印廷定理在物质中的应用

8.3静态功率流与损耗

8.4物质中的极化能和磁化能

8.4.1极化能和电能

8.4.2磁化能和磁能

8.4.3磁能计算举例

8.4.4物质宏观模型与坡印廷定理的关系

8.5小结

习 题

第九章 时变场的低频特性

9.1平行板系统中的交变电磁场

9.1.1交变电磁场的严格解

9.1.2平行板系统的低频响应

9.2时变场的幂级数解法

9.3低频系统中的场

9.3.1平行板系统

一、参考点的选取

二、零阶场

三、一阶场

四、高阶场

五、场分布和等效电路

9.3.2单匝电感器

一、系统的参考点

二、零级近似场

三、一级近似场

四、二级近似场

五、高阶场

9.3.3多匝线圈

一、不考虑线圈存在时的一阶电场

二、放入线圈后的一阶电场

三、计算a、b两点间的端电压

9.4电路理论与电磁场理论的关系

习 题

第十章 平面电磁波

10.1自由空间中均匀平面波的时域解

10.1.1均匀平面波的电场和磁场时域解

10.1.2均匀平面波的传播特性

10.2正弦律时变场

10.2.1复矢量

10.2.2复数形式的场定律

10.2.3复矢量乘积的物理意义

10.3正弦律均匀平面波

10.3.1均匀平面波的频域解

10.3.2复数形式的坡印廷定理

10.3.3复数坡印廷定理与微波网络的关系

10.4平面波在有耗媒质中的传播

10.4.1有耗媒质中的均匀平面波解

10.4.2半导电媒质中均匀平面波的传播

10.4.3良导体的趋肤效应

10.4.4相速、群速和色散

10.5电磁波的极化状态

10.5.1电场极化状态的概念

10.5.2极化方向的工程判断法

一、瞬时场极化方向的判断

二、复数场极化方向的判断

10.5.3波的分解与合成

一、线极化波的分解

二、椭圆极化波的分解

三、圆极化波的分解

10.6沿任意方向传播的均匀平面波

10.6.1波的数学表达式

一、一般形式

二、在直角坐标系中的表达式

三、在柱坐标系和球坐标系中的表达式

10.6.2波的特性

10.7无耗媒质中的非均匀平面波

10.8频率极高时媒质中的波

10.8.1电介质中的波

10.8.2金属中的波

10.8.3电离层和等离子体中的波

习 题

第十一章 平面波的反射与折射

11.1在自由空间与理想导体分界面处的反射现象

11.1.1正入射

11.1.2斜入射

一、垂直极化

二、平行极化

11.2在两种介质分界

面处的反射和折射现象

11.2.1垂直极化

一、入射角θi=0

二、入射角θi>0

11.2.2平行极化

11.3导电媒质表面的反射和折射

11.3.1导电媒质中的实数折射角

一、媒质Ⅱ是良导体

二、媒质Ⅱ是不良导体

11.3.2良导体中的透射功率

11.3.3导电表面的反射

一、媒质Ⅱ是良导体

二、媒质Ⅱ是不良导体

11.4透波和吸波现象

11.4.1透波现象

一、电磁波正入射

二、电磁波斜入射

三、多层介质板的透波现象

11.4.2吸波现象

一、干涉型吸收材料

二、宽带吸收材料

习 题

第十二章 电磁波的辐射

12.1时变场的位函数

12.1.1标量位和矢量位

12.1.2赫兹电矢量Ⅱ

12.2时变场位函数方程的解

12.2.1克希荷夫积分

12.2.2达朗贝尔公式

12.3交变电偶极子的辐射

12.3.1交变电偶极子的电磁场量

一、矢量位

二、磁场强度

三、电场强度

12.3.2交变电偶极子场的分析

一、近区场

二、远区场

三、辐射场的方向性

四、辐射功率

五、辐射电阻

12.4交变磁偶极子的辐射

12.4.1通过复数矢量位求电磁场

12.4.2使用电磁对偶原理求电磁场

12.5缝隙元的辐射

12.6半波天线

12.7天线阵

12.8线天线电磁场的精确计算

12.9天线的输入功率和输入阻抗

习 题

第十三章 电磁场的基本定理

13.1格林定理

13.1.1标量格林定理

13.1.2广义格林定理

13.1.3矢量格林定理

13.2亥姆霍尔兹定理

13.3静态场的几个定理

13.3.1标量位Φ的唯一性定理

13.3.2平均值定理

13.3.3无极值定理

13.3.4汤姆生定理

13.3.5恩绍定理

13.3.6矢量位A的唯一性定理

13.4坡印廷定理

13.5电磁力的定理――麦克斯韦定理

13.6时变场的唯一性定理

13.7相似原理

13.8二重性原理和电磁对偶原理

13.9等效原理

13.10感应定理

13.11互易定理

13.12天线远场定理

13.13克希荷夫-惠更斯原理

13.14费马原理

附录A 矢量的代数运算

附录B 坐标系的有关概念

附录C 立体角的有关概念

范文六:工程电磁场论文

工程电磁场在电力系统中的应用

【摘要】:现代大量应用的电力设备和发电机、变压器等都与电磁感应作用有紧密联系。由于这个作用。时变场中的大块导体内将产生涡流及趋肤效应。电工中感应加热、表面淬火、电磁屏蔽等,都是这些现象的直接应用。时变电磁场还可以进一步分为周期变化的交变电磁场及非周期性变化的瞬变电磁场。对它们的研究在目的上和方法上有一些各自的特点。交变电磁场在单一频率的正弦式变化下,可采用复数表示以化简计算,在电力技术及连续波分析中应用甚多。瞬变电磁场又称脉冲电磁场,覆盖的频率很宽,介质或传输系统呈现出色散特性,往往需要采取频域、或时序展开等方法进行分析。

【关键词】:工程电磁场 电力系统 应用

工程电磁场的相关定义

工程电磁场,是面向工程的电磁场内容体系,内容主要是库仑定律、电荷守恒定律、安培定律、法拉第定律和麦克斯韦位移电流假设、静电场、恒定电场、恒定磁场和时变电磁场的基本方程及其边值问题、镜像法的基本原理、基于加权余量的工程中常用的有限元法和边界元法、电磁场的能量和力、平面电磁波和电路参数计算原理、电气工程中典型的电磁场问题(包括变压器的磁场、电机的磁场、绝缘子的电场、三相输电线路的工频电磁环境以及三相输电线路的电容和电感参数)。

场产生电场,两者互为因果,形成电磁场。电磁场可由变速运动的带电粒子引起,也可由强弱变化的电流引起,不论原因如何,电磁场总是以光速向四周传播,形成电磁波。电磁场是电磁作用的媒递物,具有能量和动量,是物质存在的一种形式。电磁场的性质、特征及其运动变化规律由麦克斯韦方程组确定。 交变电磁场与瞬变电磁场。时变电磁场还可以进一步分为周期变化的交变电磁场及非周期性变化的瞬变电磁场。对它们的研究在目的上和方法上有一些各自的特点。交变电磁场在单一频率的正弦式变化下,可采用复数表示以化简计算,在电力技术及连续波分析中应用甚多。瞬变电磁场又称脉冲电磁场,覆盖的频率很宽,介质或传输系统呈现出色散特性,往往需要采取频域、或时序展开等方法进行分析。

电力系统的定义

由发电、变电、输电、配电和用电等环节组成的电能生产与消费系统。它的功能是将自然界的一次能源通过发电动力装置(主要包括锅炉、汽轮机、发电机及电厂辅助生产系统等)转化成电能,再经输、变电系统及配电系统将电能供应到各负荷中心,通过各种设备再转换成动力、热、光等不同形式的能量,为地区经济和人民生活服务。

工程电磁场在电力系统中的应用

现代大量应用的电力设备和发电机、变压器等都与电磁感应作用有紧密联系。由于这个作用。时变场中的大块导体内将产生涡流及趋肤效应。电工中感应

加热、表面淬火、电磁屏蔽等,都是这些现象的直接应用。

1. 电机瞬态电磁场有限元分析的精确性和稳定性

通过对典型的电机瞬态电磁场进行时步法有限元分析,经过大量的理论分析和编程实践,研究了各有关参数对有限元分析过程的稳定性和分析结果的精确性所产生的影响,指出了时步法中瞬态综合参数0的最佳取值,并提出时间步长△f存在下限阈值。

电机内的电磁场属于非线性瞬态场,也是无源涡流场。目前,在电磁场有限元分析中广泛应用时步法求解瞬态问题,而当采用时步法解有限元方程时,必

须考虑计算精度及稳定性问题。精确性指的是有限元解与真值的一致性程度。显然,它与空间网格的疏密程度有关。除此之外,其他因素例如时间步长△f等参数是否会对其带来影响,这则是本文所要研究的问题。稳定性问题指的是误差的积累是否能由算法本身得到控制的问题,具体到时步法,指选取不同的时间步长时,计算过程中的误差会不会无限增长,如果误差不会无限增长,则称该算法是无条件稳定,如果步长只有满足一定条件才具有上述性质,则此算法是有条件稳定的。有关参数及时间步长本身对瞬变场有限元分析稳定性造成的影响,国内外已有许多学者进行了较为深入的研究,并提出了时间步长上限的表达式。而实际上,就电机涡流场而言,由于铁心材料非线性将引起场中大量高次谐波成分,若要对这样的场进行精确的分析,必须使得时间步长足够小,因此,研究时间步长是否存在下限的问题,有着更为实际的意义。无疑地,得出既满足电机瞬态电磁场有限元算法稳定性又满足精确性的条件,将是—个重要的研究课题。

利用时步法进行电机瞬态电磁场有限元分析,应注意以下几点:

(1)尽可能选择向后差分Euler法(皓1)以获得最佳计算精度;

(2)时间步长△f存在下限阈值,因此不可取得过小,以免产生不稳定解;

(3)空间网格疏密只影响计算精度而不影响稳定性,因此可完全根据实际工程要求和计算机硬件条件来划分。

2. 连续波金属探测器电磁场模型的理论分析

介绍了连续渡金属探测器的工作原理,提出一种新的连续波金属探测器电磁场模型,采用基于电磁场和电路的混合方法对该模型进行了详细的理论分析,推导出在空气及海水中金属探测器接收感应电压的计算公式,并给出了简要的设计实例.文中理论分析结果对于连续波金属探测器设计与分析具有指导意义,对其它类型的金属探测器设计也有参考价值.

金属探测器在安检、地下和水中管线探测、寻宝等许多领域有重要应用.基于电磁法的无源金属探测器依工作原理分类主要有3种:脉冲感应型(pulse induction)、VLF连续波型(very low frequencycontinuous wave)和LC振荡型【】].其中LC振荡型主要应用在小目标近距探测方面,工业领域较少用.工业领域广泛应用的金属探测器主要是脉冲感应型和VLF连续波型.脉冲感应型已有40多年发展历史[2],其工作原理是:通过探测被测金属感应电流产生的二次磁场确定被测金属的有无及种类,检测波型为随时间指数衰减的电压或电流波型.由于检测波型的特殊性,在很大程度上限制了数字信号处理新技术在脉冲感应型金属探测器中的应用.

通过运用电磁场和电路的混和方法,分别推导出在空气中和海水中金属探测器的接收线圈在二次场作用下产生感应电压.得出以下几点重要结论:

(1)接收电压和探测距离的6次方成反比,因此金属探测器探测距离不可能很大.接收电压和发射线圈电流成正比,增加电流有利于提高接收电压,增大探

测距离.

(2)海水中接收线圈感应电压 与发射机工作频率厂大约成反比,选用较低的频率有利于增加探测距离,但自然界噪声及放大器自身的噪声会随着频率的降低而增大,因此金属探测器工作频率不宜选得太低.

(3)金属探测器进入海水后由于海水的涡流损耗,接收电压将大幅度减小,因此在海水中工作的探测器必须采用更大的线圈、更强的电流以及更灵敏的检测技术(DSP),才能满足探测距离的要求。

3. SMES

超导磁储能系统(Superconductor Magnetics Energy Storage),一类通过超导磁体、电流变换控制系统等构件组成的电能快速存储、释放系统,用于抑制电力系统振荡等!

SMES在美国、日本已经有成功应用的实例,我国还在研究、开发的过程中。华科大超导电力研究中心自1999年以来对超导磁储能系统展开了研究,并于2005年成功研制35kJ高温超导磁储能系统,现已通过了动模试验,下一步拟接入电力系统试运行。在高温超导磁体、电流引线、直接冷却等关键技术上有较好的基础,可联合进行装置的技术开发、系统应用研究等。SMES在电力系统中可以用来提高系统稳定性、改善供电品质以及在含有太阳能、风能等新能源的分散电源系统中储存电能并改善电力输出特性,也可以用于重要装置的紧急备用电源。SMES所具有的这些优良性能将在电力系统中带来不可估量的技术经济效益。SMES以及在研究中所获得的相关技术可以广泛应用于所有需要强磁场的应用领域。

以上的例子只是工程电磁场在电力系统中的一些应用举例。工程电磁场中介绍的许多数值分析法,比如有限元法,时域有限差分法,优化模拟电荷法等等在电力系统中各领域已经起着很关键的作用。随便科技的发展,尤其是高速,大容量计算机的问世,为高精度,高效率的数值计算奠定了基础。工程电磁场中所介绍的理论,方法正更多地进入研究部门,生产企业,产生日益明显的经济效益。与此同时,电磁场数值计算的理论和方法日趋完善,也已成为电工理论学科中的一门新兴的应用学科分支。

范文七:工程电磁场导论-1

工程电磁场导论

董 亮

西南交通大学电气工程学院

E-mail:ldong@home.swjtu.edu.cn

电 话:86467315

工程电磁场导论:课程介绍

一、课程意义

1. 从专业看,电气工程的理论基础 2. 从知识看,继续提高的必需前提 3. 从应用看,指导工作中的创新与改革

工程电磁场导论:课程介绍

二、课程简介

1. 教材:冯慈璋 马西奎编:工程电磁场导论 2. 学时:讲课 48 学时 3. 成绩:期末考试+平时成绩=(70+30)% 4. 平时成绩=作业+上课 5. 特点:大学物理的实验基础

高等数学的大量应用 体系简单而问题庞杂 内容量大但学时有限 看似复杂系统性很强

工程电磁场导论:课程介绍

三、一些希望:

z

上课时请关闭手机或调至静音状态;

z 上课时请勿吃东西及高声交谈; z 上课时请勿迟到或早退; z 按时完成作业,对大家非常重要。

《电磁场》教材使用说明

chapter1、§1-5、§1-6、§1-8节不作要求 chapter3、§3-6、§3-9节不作要求 chapter4、要求到书上讲到的例题和布置过的习题 chapter5、不做要求 chapter6、定性,了解 chapter7、定性:了解 chapter8、不做要求 注意:在看书过程中,凡是见到二维以上的例题,统统不要求;书上例 题中的结论,若不作特殊说明,在作业或考试中均可当作公式使用。

工程电磁场导论:数学预备知识

第零章 数学预备知识

z 高等数学是掌握电磁理论所必需的知识; z 本章中将介绍本课程所需的重要高等数学

知识,不注重其严格推导和体系完整性, 侧重于应用;

z 希望大家课后认真复习有关数学知识。

工程电磁场导论:数学预备知识

§0-1 矢量代数与分析

1. 矢量的基本概念

v ˆi + a j e ˆ j + ak e ˆk a = ai e

• 矢量的模 • 方向余弦

v ˆx + a y e ˆy + az e ˆz a = axe

v 2 2 2 a = ai + a j + ak

(cos α , cos β , cos γ )

aj cos β = v a ak cos γ = v a

ai cos α = v a

cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1

工程电磁场导论:数学预备知识 对于单位矢量 a ˆ,有 0

ˆ 0 = cos α e ˆi + cos β e ˆ j + cos γ e ˆk a

2. 矢量的基本运算

标量积(点乘):

v v a ⋅ b = ai bi + a j b j + ak bk

v v 的充要条件: a ⊥b v v a ⋅b = 0

工程电磁场导论:数学预备知识

矢量积(叉乘):

ˆi e v v a × b = ai bi ˆj e aj bj ˆk e ak bk

容易得到

v v v v a × b = −b × a

v v 的充要条件是: a // b v v a ×b = 0

工程电磁场导论:数学预备知识

混合积:

(

ai v v v a × b ⋅ c = [abc ] = bi

)

aj bj cj

ak bk ck

ci

容易得到:

(

v v v v v v v v v a × b ⋅ c = b × c ⋅ a = (c × a ) ⋅ b

)

(

)

三矢量共面的充要条件是

(

v v v a ×b ⋅c = 0

)

工程电磁场导论:数学预备知识

三矢积:

(

v v v v v v v v v a × b × c = (c ⋅ a )× b − c ⋅ b × a

)

(

)

程电磁场导论:数学预备知识

3. 矢量的微积分

• 矢量函数:

x = f (t ) → v ˆ i + a j (t )e ˆ j + a k (t )e ˆk a (t ) = a i (t )e

可见,给定一个矢量函数相当于给定三个数量函数。

矢量函数模与方向变化:全变;模变;方向变

工程电磁场导论:数学预备知识

(矢量函数的微积分法就是它的三个投影的标量 函数的微积分法。

¾ 微分:

v d m a j (t ) d m a k (t ) d m a (t ) d m a i (t ) ˆi + ˆj + ˆk = e e e m m m m dt dt dt dt

v v d a (t ) 的方向是 a 的矢端曲线在 M 点处的切线方向 (t ) dt

(指向 t 增大一方),模

v d a (t ) = dt ′ 2 (t ) a i′ 2 (t ) + a ′j 2 (t ) + a k

工程电磁场导论:数学预备知识

• 求导法则:

v d da v v (f ⋅a ) = df a + f dt dt dt

v v v v da d v v db ⋅b + a ⋅ a ⋅b = dt dt dt

(

)

v v da v v db d v v ×b + a× a×b = dt dt dt

(

)

工程电磁场导论:数学预备知识

• 弧微分:

v d a (t ) = a ′ (t )dt

v d a (t ) = da

i

ˆi (t )e

+ da

j

ˆj (t )e

+ da

k

ˆk (t )e

v v 我们说 d a (t )是 a (t )表示的矢端曲线的弧微分 v 即 da (t ) = dl

dl ,

v v d a (t ) = d l

v 称 d l 为弧微分矢量。

工程电磁场导论:数学预备知识

• 特别地,对于单位矢量的微商

ˆ 0 (t ) da dt

1)其方向垂直于

ˆ 0 (t ) ⋅ a

ˆ,是为 a 0 (t )

ˆ 0 (t ) da =0 dt

2)大小(模)等于其转动角速度

ˆ 0 (t ) d θ da = dt dt

工程电磁场导论:数学预备知识

¾ 积分:

v ˆ i ∫ a i (t )dt + e ˆ j ∫ a j (t )dt + e ˆ k ∫ a k (t )dt ∫ a (t )dt = e

注意这个不定积分是一族 t 的矢量函数。

v v v v ∫ c ⋅ a (t )dt = c ⋅ ∫ a (t )dt v v v ∫ [c × a (t )]dt = c ×

v a (t )dt

工程电磁场导论:数学预备知识

4. 极矢量和轴矢量

• 镜象变换下,平行镜面的分量不变,垂直镜面的分量变

号,称为极矢量;而平行镜面分量变号,垂直镜面分量 不变,称为轴矢量。

极矢量的镜像变换

轴矢量的镜像变换

工程电磁场导论:数学预备知识

极矢量: 位矢,加速度,力,电场强度,… 轴矢量: 角速度,角动量,力矩,磁感应强度,…

一些关系:

• 极矢量与极矢量的矢量积是轴矢量; • 轴矢量与轴矢量的矢量积是轴矢量; • 极矢量与轴矢量的矢量积是极矢量。

工程电磁场导论:数学预备知识

§0-2 算符

算符表示作用在对象上的一个特定操作(或运 算),有很多形式,我们这里只介绍微分算 子。 定义 哈密顿算子 拉普拉斯算子

ˆx ∇=e ∂ ∂ ∂ ˆy ˆz +e +e ∂z ∂x ∂y

2 2 2 ∂ ∂ ∂ ∇2 = ∇ ⋅ ∇ = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z

工程电磁场导论:数学预备知识

特别注意

• ∇ 和 ∇ 2 的作用顺序不能随便互换:

v v ∇ ⋅ a ≠ a ⋅∇

∇ 2 f ≠ f∇ 2

不是真正的矢量, ∇

也不是真

正的标量。 ∇2

工程电磁场导论:数学预备知识

微分算子性质 • 对于标量函数 f

∂f ∂f ∂f ˆx + ˆy + ˆz ∇f = e e e ∂z ∂x ∂y

将一个标量变换为矢量 v • 对于矢量函数 a

∂a y ∂a x ∂a z v + ∇ ⋅a = + ∂y ∂z ∂x

点乘将一个矢量变换为标量

工程电磁场导论:数学预备知识

以及

ˆx e ∂ v ∇×a = ∂x ax

ˆy e ∂ ∂y ay

ˆz e ∂ ∂z az

叉乘将一个矢量变换为另一个矢量 注意

v 2v 2v ∂ a ∂ a ∂ a 2v ∇ a= 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z

2

2 2 2 ∂ f ∂ f ∂ f 2 + 2 ∇ f = + 2 2 ∂x ∂y ∂z

直角、柱坐标系下拉普拉斯算符

∂ f ∂ f ∂ f ∇ f = 2 + 2 + 2 ∂z ∂x ∂y

2 2 2 2

1 ∂ ∂f ∂ 1 ∂f )+ ( )+ ∇ f = [ (rc rc ∂rc ∂rc ∂ϕ rc ∂ϕ

2

∂ ∂f (rc )] ∂z ∂z 1 ∂ 1 ∂2 f ∂2 f ∂f (rc )+ 2 + 2 = 2 rc ∂ϕ ∂z rc ∂rc ∂rc

球坐标系下拉普拉斯算符

1 ∂ 2 ∂f ∇ f = 2 [ (rs sin θ ) + rs sin θ ∂rs ∂rs

2

∂ ∂f ∂ 1 ∂f (sin θ ) + ( )] ∂θ ∂θ ∂ϕ sin θ ∂ϕ 1 ∂ 2 ∂f 1 ∂ ∂f = 2 (rs )+ 2 (sin ϑ ) + ∂rs rs sin ϑ ∂ϑ ∂ϑ rs ∂rs 1 ∂2 f 2 2 2 rs sin ϑ ∂ϕ

工程电磁场导论:数学预备知识

§0-3 场论初步

场的含义

ƒ 空间性:场是所关注量的空间分布特性,其可以是

矢量场,也可以是标量场。

ƒ 时间性:场不但是空间的函数,往往也是时间的函

数。

ƒ 事件性:当一个事件对另一个空间位置的某个事件

产生影响,称这些事件被场所联系。

工程电磁场导论:数学预备知识

§0-3 场论初步

• 空间研究的区域内,每一点都对应一个确定的

量,则称此空间为场,相应的量称为场量。 场量为标量,则此场称为标量场; 场量为矢量,则此场称为矢量场。

• 场是用物理参量在空间的点函数来表征的。 • 一个矢量场,由三个标量场决定。

例如,在直角坐标下,空间区域内的某个物理量满足如下两 个函数:

5 4 π [( x − 1) 2 + ( y + 2) 2 + z 2 ]

ϕ ( x, y , z ) =

标量场

如温度场、电位场、高度场等;

A ( x , y , z ) = 2 xy 2 e x + x 2 ze y + xyz e z

矢量场

如流速场、电场、涡流场等。

工程电磁场导论:数学预备知识

1标量场 f ( x , y , z )

• 等量面

f ( x, y , z ) = C

称此曲面为等量面。

• 特征:曲面上的场量数值不变。

高度场的等高线

工程电磁场导论:数学预备知识

• 方向导数

标量场 f ( x, y, z ) 沿特定方向的变化率。 设场函数f ( x, y, z ) 在M 0 ( x, y, z ) 可微,则在 M0 点它沿 任一方向 l (cos α , cos β , cos γ )的方向导数都存在, 其计算公式

∂f ∂f ∂f ∂f = cos α + cos β + cos γ ∂l ∂x ∂y ∂z

l 我们把此称为标量场 f 中沿 方向的方向导数。

工程电磁场导论:数学预备知识

若以

∇f = ∂f ∂f ∂f ˆx + e ˆy + e ˆz e ∂y ∂z ∂x

v ˆx + cos β e ˆ y + cos γe ˆz l = cos αe

可以得到

v ∂f ∂f ∂f ∇f ⋅ l = cos α + cos β + cos γ ∂z ∂x ∂y

v v 方向的方向导数可以表为 l ∇f ⋅ l 的形式

工程电磁场导论:数学预备知识

讨论:

• 标量场 f 在任一方向上的方向导数,都是 ∇f

矢量在这个方向的投影;

• 矢量 ∇f 是独立的; • 对定点而言,什么方向上的方向导数最大?

v v ∇f ⋅ l = ∇f cos(∇f , l )

v cos(∇f , l ) = 1

极大, 需要

工程电磁场导论:数学预备知识

表明:定点处,沿 ∇f方向的方向导数取极大值。

• 梯度

对于标量场 f ,定义

∂f ∂f ∂f ˆx + e ˆy + e ˆz ∇f = e ∂x ∂y ∂z 为其梯度。

工程电磁场导论:数学预备知识

讨论:

1. 梯度∇f 构成了一个矢量场; 2. 梯度表示的意义是从定点出发,函数 f 的最大变化率, 实际上,梯度也表示了相邻等量面的最大变化率:梯度 的方向与此点处的法线方向相同,指向 f 增大的方向; 3. 请记住:我们已经解决了标量场函数沿任意方向的变 化率计算问题!

电位场的梯度 电位场的梯度与过该点的 等位线垂直;

数值等于该点的最大方向导数; 指向电位增加的方向。

电位场的梯度

工程电磁场导论:数学预备知识

2矢量场

v A( x, y, z )

• 矢量线(矢线)

矢量场中的曲线,其上每一点处的切线方向与 该点的矢量方向相同,密度与场量成正比。 设

v 为矢线上某点处的弧微分,于是 dl

v v A × dl = 0

此即为矢线所满足的微分方程。

工程电磁场导论:数学预备知识

展开得到

dx dy dz = = Ax Ay Az

两向量平行

其通解

⎧ ϕ 1 ( x , y , z , C1 ) = 0 ⎨ ⎩ϕ 2 ( x , y , z , C 2 ) = 0

其中 C 为任意常数,表示一簇空间曲线。

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• 性质:

1. 矢线分布于全矢量场; 2. 矢线互不相交; 3. 矢量管:一丛矢线围成的管状区域

工程电磁场导论:数学预备知识

• 3 场的性质

• 通量

v v 在矢量场 A 中,取曲面S ,则 v v Φ = ∫ A ⋅ ds

称为该矢量场穿过 S 面的通量。 v 可见, A 相当于是 Φ的密度(面积密度)。 v A 往往被理解为矢线的数密度。

S

矢量E 沿有向曲面 S 的面积分

Φ = ∫ S E ⋅ dS

若 S 为闭合曲面 Φ = ∫S E ⋅ dS

矢量场的通量

根据通量的大小判断闭合面中源的性质:

Φ = 0 (无源)

Φ

Φ > 0 (有正源)

矢量场通量的性质

工程电磁场导论:数学预备知识

• 散度

v 矢量场 A中,定义

lim v v ∫∫ A ⋅ ds

S

ΔV →0

ΔV

v ∂Ax ∂Ay ∂Az = ∇⋅ A = + + ∂x ∂y ∂z

v 称为矢量场 A 的散度。 v v 矢量场 A 的散度 ∇ ⋅ A 是一个标量场。

散度的意义 矢量的散度是一个标量,是空间坐标点的函数; 散度代表矢量场的通量

源的分布特性。

∇ ⋅ A = 0(无源)

∇ ⋅ A = ρ (正源)

通量的物理意义

∇ ⋅ A = −ρ (负源)

在矢量场中,若∇• A= ρ≠ 0,称之为有源场,ρ 称为 ( 通量 ) 源密度;若矢量场中处处 ∇• A=0 ,称之为无 源场。

工程电磁场导论:数学预备知识

• 讨论

v v 矢量场 A 的散度 ∇ ⋅ A表示了一种源:汇聚与发

散的定量描述

高斯散度定理 ( Divergence Theorem )

∇ ⋅ A = lim

1 ΔV → 0 ΔV

∫S A ⋅ dS

通量元密度

Φ = ∫ A ⋅ dS = lim

S

n →∞ n =1 ΔVn →0

∑ ∇ ⋅ AΔVn = ∫V ∇ ⋅ AdV

——高斯公式

散度定理

S

A ⋅ dS =

∫ ∇ ⋅ A dV

V

矢量函数的面积分与体积分的相互转换。

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• 环量

v 矢量场 A 中,取有向闭合曲线 L ,则 v v ∫ A ⋅ dl

L

v 称为矢量 A 的环量。

• 环量形象地表征了矢量场的涡旋情况。 • Stokes 公式

v v v v ∫ A ⋅ dl = ∫∫ (∇ × A)⋅ ds

L S

环量 ( Circulation ) 矢量 A 沿空间有向闭合曲线 L 的线积分

Γ =

L

A ⋅dl

——环量

环量的计算

环量的大小与闭合路径有关,它表示绕环线旋转趋势 的大小。

旋度 ( Rotation ) 1. 环量密度 过点 P 作一微小曲面 ΔS,它的边界曲线记为 ΔL,面的法线方向与曲线绕向符合右手定则。当 ΔS →点 P 时,存在极限

dΓ 1 = lim ΔS → 0 Δ S dS

∫ Α ⋅ dl

ΔL

——环量密度 环量密度是单位面积上的环量。

2. 旋度 旋度是一个矢量,其大小等于环量密度的最大 值;其方向为最大环量密度的方向

rot A = ∇ × A

它与环量密度的关系为

dΓ = (∇ × A) ⋅ en dS

——旋度(curl)

en - S 的法线方向

ey ∂ ∂y Ay ez ∂ ∂z Az

在直角坐标下:

ex ∂ ∇× A = ∂x Ax

3. 旋度的物理意义 矢量的旋度仍为矢量,是空间坐标点的函数。 某点旋度的大小是该点环量密度的最大值,其 方向是最大环量密度的方向。 在矢量场中,若 ∇×A=J≠ 0 称之为旋度场(或 涡旋场),J 称为旋度源(或涡旋源)。 若矢量场处处 ∇×A= 0 ,称之为无旋场。

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4 重要关系

• Gauss公式

v v v ∫ A ⋅ ds = ∫ ∇ ⋅ Adv

S V

V 为 S 所围体积, 亦有

vS 曲面的外法线方向。 沿 ds

V →0 V 这可以看出散度 的物理意义。

v ∇ ⋅ A = lim S

v v ∫ A ⋅ ds

v ∇⋅ A

工程电磁场导论:数学预备知识

• Stokes公式

L

v v v v ∫ A ⋅ dl = ∫ ∇ × A ⋅ ds

S

v v S 为 L 所围面积, S 与 L 成右手螺旋关系。 亦有

v (∇ × A) n = lim v v ∫ A ⋅ dl

L S →M

(∇ × A) n 影。

表示 v

在定点 M 处 S 的法线方向的投

v ∇× A

S

工程电磁场导论:数学预备知识

• 其它结论

1. 旋度的散度为零 2. 梯度的旋度为零

v ∇⋅B = 0 v ∇× A = 0

v ∇ ⋅ (∇ ×

A) ≡ 0

∇ × (∇f ) ≡ 0

3. 无源场必可表为某一矢量场的旋度

v v → B = ∇× A v A = ∇f

4.无旋场必可表为某一标量场的梯度

工程电磁场导论:数学预备知识

∇(φϕ ) = ϕ∇φ + φ∇ϕ

v v v ∇ ⋅ (ϕA) = ∇ϕ ⋅ A + ϕ∇ ⋅ A v v v ∇ × (ϕA) = ∇ϕ × A + ϕ∇ × A v v v v v v ∇ ⋅ (A × B ) = (∇ × A)⋅ B − A ⋅ (∇ × B ) v v v v v v v v v v ∇ × (A × B ) = (B ⋅ ∇ )A + (∇ ⋅ B )A − (A ⋅ ∇ )B − (∇ ⋅ A)B

工程电磁场导论:数学预备知识

v v v v v v v v v v ∇(A ⋅ B ) = A × (∇ × B ) + (A ⋅ ∇ )B + B × (∇ × A) + (B ⋅ ∇ )A ∇ ⋅ ∇ϕ = ∇ 2ϕ v v v 2 ∇ × (∇ × A) = ∇(∇ ⋅ A) − ∇ A

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• 纵场与横场

v 矢量场 A 满足 v 则称 A 为横场;

v ∇⋅ A = 0

v 矢量场 A 满足 v 则称 A为纵场。

v ∇× A = 0

工程电磁场导论:数学预备知识

• Hemholtz 定理

在空间有限区域 V 内的任一矢量场

v ,由它 A

的散度、旋度和边界条件( V 的闭合面 S 上 的确定矢量场分布)所唯一性地确定。 v 任一矢量场 A 均可表为纵场与横场之 v v v A = A1 + A2 和: v v ∇ ⋅ A1 = 0 ∇ × A2 = 0 且

亥姆霍兹定理: 亥姆霍兹定理 在有限区域V内,矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定。 1.

vv v v F(r) =−∇u(r) +∇× A(r)

v v v F = Fl + Fc

2. 一个矢量场可以表示为一个无旋场F1和一个无散场FC之和

v v ⎧ ⎪∇⋅ Fl = ∇⋅ F v ⎨ ⎪ ⎩∇× Fl = 0

4.

v ⎧ ⎪∇⋅ Fc = 0 v v ⎨ ⎪ ⎩∇× Fc = ∇× F

3. 如果在区域V内矢量场F的散度和旋度处处为零,F由边界面S上的场分布确定

v v v 1+δ 无界空间,若 矢量场 F ∝ 1/ r − r ′ (δ > 0) 则矢量场由其散度和旋度

完全确定

亥姆霍兹定理告诉我们, 研究任意一个矢量场(如电场、磁场等)都应该 从散度和旋度两个方面去进行, 其中

v ∇⋅F = ρ v v ∇× F = J

此为矢量场基本方程的微分形式。 或者从矢量场的通量和环量两个方面去研究,

∫ ∫

矢量F的通量源密度 已知 矢量F的旋度源密度 场域边界条件

S l

v v F ⋅ dS = ∫ ρ dV V v v F ⋅ dl = ∫ JdS

S

电荷密度ρ 在电磁场中 电流密度J (矢量F唯一地确定) 场域边界条件

工程电磁场导论:数学预备知识

• 补充定理:

数量场 f 由梯度场 ∇f 和 f 在某一定点 M0 的值 f(M0) 所唯一确定。

• 调和场

散度和旋度都等于零的矢量场。 一个矢量场不可能在全空间为调和场。

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§0-4 正交曲线坐标系

• 空间一点可用三个参数确定,每个参数确定一

个坐标面。如果在空间的任一点 M 上,三个相 交的坐标曲面相互正交(各曲面在交点上的法 线相互正交),则坐标曲面的三条交线在该点 也

相互正交(各交线在该点的切线相互正交, 这些交线称为坐标曲线或坐标轴),这样构成 的坐标系,称为正交曲线坐标系。

工程电磁场导论:数学预备知识

• 沿三条坐标曲线的切线方向各取一个单位矢

量,称为坐标单位矢量,其模等于1并以各坐标 变量的正增加方向为正方向。

• 坐标单位矢量相互正交且满足右手螺旋法则。

工程电磁场导论:数学预备知识

1 直角坐标系(x,y,z)

• 特点:由三簇相互垂直的平面构成。

z

Z=3

Y=4坐标面

ˆz i

Z=3坐标面

P

ˆx i

x

X=2

ˆy i

Y=4

y X=2坐标面

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2 柱坐标系

(ρ , ϕ , z )

• 特点:在二维极坐标 (ρ , ϕ )

的基础上再增加 Z 轴作为 第三个坐标。

• 三个基矢与坐标面:

ˆρ e 沿 ρ 增加方向,系 z 轴为轴线的圆柱面; ˆϕ 沿 ϕ 增加方向,为通过 z 轴的半平面; e

ˆz 沿z 增加方向,与 z 轴垂直的平面。 e

工程电磁场导论:数学预备知识

• 柱坐标的三簇坐标面

ρc = 0

Z=1.5

ˆz i

P

ˆϕ i ˆρ i c

Z=1.5坐标面

ϕ =0

ρc = 2坐标面 ϕ = π

ϕ = π 4 坐标面

4

工程电磁场导论:数学预备知识

• 变量变化范围:

0 ≤ ρ

− ∞

• 任一矢量表达

v ˆρ + Aϕ e ˆϕ + Az e ˆz A = Aρ e

工程电磁场导论:数学预备知识

• 柱坐标中各微元表达: v ˆρ + ρ d ϕ e ˆ ϕ + dz e ˆz dl = dρe

v ˆ ρ + d ρ dz e ˆϕ + ρ d ρ d ϕ e ˆz d s = ρ d ϕ dz e

dv = ρ d ρ d ϕ dz

工程电磁场导论:数学预备知识

• 变换关系:

⎧ x = ρ cos ϕ ⎪ ⎨ y = ρ sin ϕ ⎪ z= z ⎩

ˆ x = cos ϕ e ˆ ρ − sin ϕ e ˆϕ ⎧e ⎪ ˆ y = sin ϕ e ˆ ρ + cos ϕ e ˆϕ ⎨e ⎪ ˆz = e ˆz e ⎩

⎧ρ = x2 + y 2 ⎪ ⎪ y tan ϕ = ⎨ x ⎪ z= z ⎪ ⎩

ˆ ρ = cos ϕ e ˆ x + sin ϕ e ˆy ⎧ e ⎪ ˆϕ = − sin ϕ e ˆ x + cos ϕ e ˆy ⎨e ⎪ ˆz = e ˆz e ⎩

工程电磁场导论:数学预备知识

3 球坐标系

(r ,θ , ϕ )

• 特点:矢径的长度 r,矢径与

z 轴的夹角 θ ,以及矢径在xy 平面上的投影与x轴的夹角 ϕ 。

• 三个基矢与坐标面:

ˆr 沿 r 增加方向,以原点为球心的球面; e

ˆθ 沿 θ 增加方向,以原点为顶点的圆锥面; e ˆϕ 沿 ϕ 增加方向,通过 z 轴的半平面。 e

工程电磁场导论:数学预备知识

• 球坐标的三簇坐标面

ˆr i s

P

θ =0

θ = π 6 坐标面

ˆϕ i

ϕ =π 2

ˆϑ i

ϕ =0

ϕ = 0 坐标面

rs = 4 坐标面

θ =π

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• 变量变化范围:

0 ≤ r

0 ≤ ϕ

• 任一矢量表达

v ˆr + Aθ e ˆθ + Aϕ e ˆϕ A = Ar e

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• 球坐标中各微元表达: v ˆ r + rd θ e ˆθ + r sin θ d ϕ e ˆϕ d l = dr e

v ˆ r + r sin θ drd ϕ e ˆθ + rd

rd θ e ˆϕ d s = r 2 sin θ d θ d ϕ e

dv = r 2 sin θ drd θ d ϕ

工程电磁场导论:数学预备知识

• 变换关系:

⎧ x = r sin θ cos ϕ ⎪ ⎨ y = r sin ϕ sin ϕ ⎪ z = r cos θ ⎩

ˆ x = sin θ cos ϕ e ˆ r + cos θ cos ϕ e ˆθ − sin ϕ e ˆϕ ⎧e ⎪ ˆ y = sin θ e ˆ r + cos θ sin ϕ e ˆθ + cos ϕ e ˆϕ ⎨ e ⎪ ˆ z = cos θ e ˆϕ − sin θ e ˆθ e ⎩

工程电磁场导论:数学预备知识

• 变换关系:

⎧ ⎪ r = x2 + y2 + z2 ⎪ ⎪ ⎨ cos θ = z 2 2 2 x y z + + ⎪ y ⎪ = tan ϕ ⎪ x ⎩

ˆ r = sin θ cos ϕ e ˆ x + sin θ sin ϕ e ˆ y + cos θ e ˆz ⎧e ⎪ ˆθ = cos θ cos ϕ e ˆ x + cos θ sin ϕ e ˆ y − sin θ e ˆz ⎨e ⎪ ˆϕ = − sin ϕ e ˆ x + cos ϕ e ˆy e ⎩

工程电磁场导论:数学预备知识

4 三度在柱、球坐标系中的表达式

• 梯度

柱面:

∂f ∂f 1 ∂f ˆ ˆ ˆz ∇f = eρ + eϕ + e ∂z ρ ∂ϕ ∂ρ 1 ∂f 1 ∂f ∂f ˆr + ˆθ + ˆϕ e e e r ∂θ r sin θ ∂ϕ ∂r

球面:

∇f =

工程电磁场导论:数学预备知识

• 散度

柱面:

v 1 ∂ 1 ∂Aϕ ∂Az (ρAρ ) + + ∇⋅ A = ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z

球面:

v 1 ∂ 2 ∂ 1 ∂Aϕ 1 (sin θAθ ) + ∇⋅ A = 2 r Ar + r ∂ρ r sin θ ∂θ r sin θ ∂ϕ

(

)

工程电磁场导论:数学预备知识

• 旋度

柱面:

ˆρ e v 1 ∂ ∇× A = ρ ∂ρ Aρ

∂ ∂ϕ ρAϕ

ˆϕ ρe

ˆz e ∂ ∂z Az

球面:

ˆr e v 1 ∂ ∇× A = 2 r sin θ ∂r Ar

ˆθ re ∂ ∂θ rAθ

ˆϕ r sin θ e ∂ ∂ϕ r sin θ Aϕ

谢 谢!

范文八:2010工程电磁场A卷

华侨大学2009~2010学年第二学期《工程电磁场》课程考试试题(A)

考试形式:闭卷(120分钟)考试日期: 2010.6.22 院系: 班级: 姓名: 学号: 注:所有解答写在答题纸上

一、填空题(每空1分,共20分)

1、。 2、电准静态场中,麦克斯韦方程组的微分形式表示为

3、真空中半径为a 的圆球形空间内,分布有体密度为的均匀电荷,则圆球内任一点的电场强度E1er(ra);圆球外任一点的电场强度E2er(ra)。 4、恒定磁场中磁矢位A与磁感应强度B的关系是A满足的泊松方程是 ,A的散度是 。

5、导电媒质中,自由电荷体密度随时间衰减的过程称为。涡流将使导电媒质中的场量趋于表面分布,且沿其纵深方向衰减,这一现象称为 。 6、感应电场是由产生的,而库仑电场是由Ec沿任意一闭合曲线的积分为 ,所以其电力线是 。

7、两个载流线圈的自感分别为L1和L2,互感为M0,分别通有电流I1和I2,则该系统的自有能为 ,互有能为 。 二、计算题(80分)

1、 如图1所示半径为a的传输线平行于地面,传输线轴心对地高度为h,对地电位为U0。试求:(1)大地上方传输线的电场;(2)场域最大电场场强的位置及其数值。(15分) 2、 求图2所示深度为d的平行板电容器的电容。(平行板电容器面积Swd)(10分)

图1 图2

3、 球形电容器的内外半径分别为R1和R2,中间的非理想介质的电导率为。若在内外导

体间加电压U0,设外导体电位为零。求(1)泄漏电流密度J和电场强度E;(2)电容器的漏电导;(3)电容器的功率损耗。(15分)

4、 一矩形线框(匝数为N)置于一无限长直载流导线(半径为R)的近旁,如图4所示,

线框边与导线轴线平行。试求:(1)长直载流导线与线框间的互感M;(2)若线框中顺时针方向流过电流I,试计算线框各边所受的作用力(在图中表明力的假定正方向),并求该线框所受的合力。(10分)

5、 一长直流导线平行于一无限大铁板,相距为h,通过的电流方向如图5所示,求:(1)

铁板表面任意点处的磁感应强度B(2)铁板内任意点处的磁场强度。(10分)

图4 图5

6、 已知在某一理想电介质(参数为0,40,50)中的位移电流密度为

(2

)该媒质中的B和H。(102cos(t5z)ex A/m2。求(1)该媒质中的D和E;分)

7、 已知自由空间中的电磁波的两个场分量表达式为

Ex1000cos(tz) V/mHy2.65cos(tz) A/m

,式中

(2)平均坡印廷f20MHz,0.42

rad/m,求(1)瞬时坡印廷矢量;

矢量;(3)流入图6示的平行六面体(长为1m,横截面积为0.25m)中的净瞬时功率。(10分)

2

图6

华侨大学2009~2010学年第二学期《工程电磁场》课程考试答案(A)

一、 填空题(20分)

1、 介电常数,电导率,磁导率 2、 E0,D=,H=J+

D

,B=0 t

ra3

3、 E1er,E2er

3030r2

4、 BA,2AJc,A0

5、

6、 7、

112L1I12L2I2,M0I1I2 22

计算题(80分)

二、

1、解: (1)首先,由电轴法确定电轴的位置,得

bh2a2

大地上方任意场点P处的电位为

2

2

1

xby2

lnln(5分)

20120xb2y2

由传输线表面点A的电位U0,得

b(ha)

=> AU0ln

20b(ha)

20U0



ln

b(ha)

大地上方任意场点P处的电位为

图 同半径圆柱体电轴法

12



xbyU0

ln (5分)

b(ha)xb2y2ln

b(ha)

2

2

(2)显然,最大场强将出现在导线相距地面最近处,即点A处,有

EAEmax

enn

xhay0

x

xhay0

2bU0

(5分)

bha

ha2b2ln

ahb

2、解:令两极板分别带有电量为+Q和-Q,介质1的场强为E1,介质2的场强为E2

则有E1aE2bU 2分

根据分界面衔接条件有1E12E2,1E1=2E2 4分

C

QUwd

EaE1E1wd12wd 4分 12bEa1Eb2a1b

11

2

3、解:J

I4r

2er

R2

R2

U0

=

J

dl=

I

(

1R

Edl1

R1

4R1

R)

5分

12

(1)J

IR1R2U0

1R2U0

4r

2er

(R2R,ER2r

1)r

e(R2er

4分 2R1)r

(2)G

I4R1R2

U

R 2分 2R1

(3) PU2

G4R1R2U2

,或者PJEdV

1R2

2

2

dr4R2

RJ4r1R2U2R1V

R1

R2R14、解:(1)M

I

,其中为无限长直流导线在矩形线框中产生的磁链

NBdSb

N

0Is

a

2cdN0Icb

2lna

所以M

N0c2lnb

a

5分 (2)FIlB

FNIcBI

ABANIc02a,方向水平向左 1分

FcBNIc0I

CDNID2b

,方向水平向右 1分

FADNIdlBb

0I2dN0IIa

NI

2lnb

a,方向垂直向上 1分 F0IN0IIBC

NIdlBb

a

NI

22lnb

a

,方向垂直向下 1分 F0I合NIc

2aNIc0IN0IIc(ba)2b2ab

,方向水平向左。 1分

5、解:应用镜像法,如下图所示。

3分

(1)Bp

4分

0IIx0Ix

cos0(ey) 3分 22(xh)

D2sin(t5z)

ex C/m2 3分 得DJDdt

t

(2)H0 3分 6、解:(1)由JD

E

D

sin(t5z)

ex V/m 2分

20

BE2.5sin(t5z)得B(E)dtx(ey)ey T tz20

(2)由E

3分

由H

B

sin(t5z)

A/m 2分

2002

7、解:(1)由SEH得S(z,t

)

2650cos2(tz)ez W/m2 2分

(2)E

jz

jze 2分 ex Hy

H*]26501325e W/m2 2分 SavRE[Ez

2

22

(EH)dS2650cos(tz)dS2650cos(tz)dS (3)P

S

S1

S2

其中S1和S2分别z=0和z=1m的截面

P0.25[2650cos2t2650cos2(t)]

所以P662.5[cos

2

tcos2(t)] 4分

范文九:工程电磁场导论

工程电磁场导论

王豫

西南交通大学电气工程学院

wangyu@swjtu.edu.cn

电气馆3561,87634849

工程电磁场导论:数学预备知识

第零章 数学预备知识

高等数学是掌握电磁理论所必需的知识; 本章中将介绍本课程所需的重要高等数学 知识,不注重其严格推导和体系完整性, 侧重于应用; 希望大家课后复习有关数学知识。

工程电磁场导论:数学预备知识

§0-1 矢量代数与分析

1. 矢量的基本概念

v ˆ ˆ ˆ a = ai ei + a j e j + ak ek

• 矢量的模 • 方向余弦

v ˆ ˆ ˆ a = a x ex + a y e y + a z ez

v 2 2 2 a = ai + a j + ak

(cos α , cos β , cos γ )

aj cos β = v a ak cos γ = v a

ai cos α = v a

cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1

工程电磁场导论:数学预备知识 对于单位矢量 a0 ,有 ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ a 0 = cos α ei + cos β e j + cos γ e k

2. 矢量的基本运算

标量积(点乘):

v v a ⋅ b = ai bi + a j b j + ak bk

v v a ⊥ b 的充要条件: v v a ⋅b = 0

工程电磁场导论:数学预备知识

矢量积(叉乘):

ˆ ei v v a × b = ai bi ˆ ej aj bj ˆ ek ak bk

容易得到

v v v v a × b = −b × a

v v a // b 的充要条件是: v v a ×b = 0

工程电磁场导论:数学预备知识

混合积:

(

ai v v v a × b ⋅ c = [abc ] = bi

)

aj bj cj

ak bk ck

ci

容易得到:

(

v v v v v v v v v a × b ⋅ c = b × c ⋅ a = (c × a ) ⋅ b

)

(

)

三矢量共面的充要条件是

(

v v v a ×b ⋅c = 0

)

工程电磁场导论:数学预备知识

三矢积:

(

v v v v v v v v v a × b × c = (c ⋅ a )× b − c ⋅ b × a

)

(

)

工程电磁场导论:数学预备知识

3. 矢量的微积分

• 矢量函数:

x = f (t ) → v ˆ ˆ ˆ a (t ) = a i (t )e i + a j (t )e j + a k (t )e k

可见,给定一个矢量函数相当于给定三个数量函数。

矢量函数模与方向变化:全变;模变;方向变

工程电磁场导论:数学预备知识

矢量函数的微积分法就是它的三个投影的标量 函数的微积分法。

v 微分: d m a (t ) dt m d m a j (t ) d m a i (t ) d m a k (t ) ˆ ˆ ˆ = ei + ej + ek m m m dt dt dt

v d a (t ) v 的方向是 a (t ) 的矢端曲线在 M 点处的切线方向 dt

(指向 t 增大一方),模

v d a (t ) = dt ′ a i′ 2 (t ) + a ′j 2 (t ) + a k 2 (t )

工程电磁场导论:数学预备知识

• 求导法则:

v d v v ( f ⋅ a ) = df a + f d a dt dt dt

v v v v da d v v db ⋅b + a ⋅ a ⋅b = dt dt dt

(

)

v v v da d v v v db ×b + a× a×b = dt dt dt

(

)

工程电磁场导论:数学预备知识

• 弧微分:

v d a (t ) = a ′ (t )dt

v d a (t ) = da

i

ˆ (t )e i

+ da

j

ˆ (t )e j

+ da

k

ˆ (t )e k

v v 我们说, d a (t ) 是 a (t ) 表示的矢端曲线的弧微 v 分 ,即 d a (t ) = dl

dl

v v d a (t ) = d l

v 称 d l 为弧微分矢量。

工程电磁场导论:数学预备知识

• 特别地,对于单位

矢量的微商

ˆ d a 0 (t ) dt

ˆ 1)其方向垂直于 a 0 (t ) ,是为

ˆ a 0 (t ) ⋅

ˆ d a 0 (t ) =0 dt

2)大小(模)等于其转动角速度

ˆ d a 0 (t ) d θ = dt dt

工程电磁场导论:数学预备知识

积分:

v ˆ ˆ ˆ ∫ a (t )dt = e i ∫ a i (t )dt + e j ∫ a j (t )dt + e k ∫ a k (t )dt

注意这个不定积分是一族 t 的矢量函数。

v v v v ∫ c ⋅ a (t )dt = c ⋅ ∫ a (t )dt v v v ∫ [c × a (t )]dt = c ×

v a (t )dt

工程电磁场导论:数学预备知识

4. 极矢量和轴矢量

• 镜象变换下,平行镜面的分量不变,垂直镜面的分量变

号,称为极矢量;而平行镜面分量变号,垂直镜面分量 不变,称为轴矢量。

极矢量的镜像变换

轴矢量的镜像变换

工程电磁场导论:数学预备知识

极矢量: 位矢,加速度,力,电场强度,… 轴矢量: 角速度,角动量,力矩,磁感应强度,…

一些关系:

• 极矢量与极矢量的矢量积是轴矢量; • 轴矢量与轴矢量的矢量积是轴矢量; • 极矢量与轴矢量的矢量积是极矢量。

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§0-2 算符

• 算符表示作用在对象上的一个特定操作(或运

算),有很多形式,我们这里只介绍微分算 子。

• 定义

ˆ ∇ = ex ∂ ∂ ∂ ˆy ˆz +e +e ∂z ∂x ∂y

2 2 2

∂ ∂ ∂ ∇ = ∇ ⋅∇ = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z

2

哈密顿算子 拉普拉斯算子

工程电磁场导论:数学预备知识

特别注意

• ∇ 和 ∇ 2 的作用顺序不能随便互换:

v v ∇ ⋅ a ≠ a ⋅∇

∇ 2 f ≠ f∇ 2

• ∇ 不是真正的矢量, 2 也不是真正的标量。 ∇

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微分算子性质 • 对于标量函数 f

∂f ∂f ∂f ˆ ˆ ˆ ∇f = ey + ez ex + ∂x ∂y ∂z

将一个标量变换为矢量 v • 对于矢量函数 a

∂a y ∂a x ∂a z v + ∇ ⋅a = + ∂y ∂z ∂x

点乘将一个矢量变换为标量

工程电磁场导论:数学预备知识

以及

ˆ ex ∂ v ∇×a = ∂x ax

ˆ ey ∂ ∂y ay

ˆ ez ∂ ∂z az

叉乘将一个矢量变换为另一个矢量 注意

v 2v 2v ∂ a ∂ a ∂ a 2v ∇ a= 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z

2

∂2 f ∂2 f ∂2 f ∇2 f = + 2 + 2 2 ∂x ∂y ∂z

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§0-3 场论初步

• 空间研究的区域内,每一点都对应一个确定的

量,则称此空间为场,相应的量称为场量。 场量为标量,则此场称为标量场; 场量为矢量,则此场称为矢量场。

• 场是用物理参量在空间的点函数来表征的。 • 一个矢量场,由三个标量场决定。

工程电磁场导论:数学预备知识

(1)标量场 f ( x , y , z )

• 等量面

f ( x, y , z ) = C

称此曲面为等量面。

• 特征:曲面上的场量数值不变。

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• 方向导数

标量场 f ( x, y, z ) 沿特定方向的

变化率。 设场函数 f ( x, y, z ) 在 M 0 ( x, y, z ) 可微,则在 M0 点它 沿任一方向 l (cos α , cos β , cos γ ) 的方向导数都存 在,其计算公式

∂f ∂f ∂f ∂f = cos α + cos β + cos γ ∂l ∂x ∂y ∂z

我们把此称为标量场 f 中沿 l 方向的方向导数。

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若以

∇f = ∂f ∂f ∂f ˆ ˆ ˆ ex + e y + ez ∂y ∂z ∂x

v ˆ ˆ ˆ l = cos αex + cos β e y + cos γez

可以得到

v ∂f ∂f ∂f ∇f ⋅ l = cos α + cos β + cos γ ∂z ∂x ∂y

v v l 方向的方向导数可以表为 ∇f ⋅ l 的形式

工程电磁场导论:数学预备知识

讨论:

• 标量场 f 在任一方向上的方向导数,都是 ∇f

矢量在这个方向的投影;

• 矢量 ∇f 是独立的; • 对定点而言,什么方向上的方向导数最大?

v v ∇f ⋅ l = ∇f cos(∇f , l )

v cos(∇f , l ) = 1

欲 需要

极大

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表明:定点处,沿 ∇f 方向的方向导数取极大值。

• 梯度

对于标量场 f ,定义

∂f ∂f ∂f ˆ ˆ ˆ ∇f = e x + e y + e z ∂x ∂y ∂z

为其梯度。

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讨论:

1. 梯度

∇f

构成了一个矢量场;

2. 梯度表示的意义是从定点出发,函数 f 的最大变化率, 实际上,梯度也表示了相邻等量面的最大变化率:梯度 的方向与此点处的法线方向相同,指向 f 增大的方向; 3. 请记住:我们已经解决了标量场函数沿任意方向的变 化率计算问题!

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v (2)矢量场 A( x, y, z )

• 矢量线(矢线)

矢量场中的曲线,其上每一点处的切线方向与 该点的矢量方向相同,密度与场量成正比。

v 设 dl 为矢线上某点处的弧微分,于是

v v A × dl = 0

此即为矢线所满足的微分方程。

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展开得到

dx dy dz = = Ax Ay Az

其通解

⎧ ϕ 1 ( x , y , z , C1 ) = 0 ⎨ ⎩ϕ 2 ( x , y , z , C 2 ) = 0

其中 C 为任意常数,表示一簇空间曲线。

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• 性质:

1. 矢线分布于全矢量场; 2. 矢线互不相交; 3. 矢量管:一丛矢线围成的管状区域

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• 通量

v v 在矢量场 A 中,取曲面 S ,则

v v Φ = ∫ A ⋅ ds

S

称为该矢量场穿过 S 面的通量。 v 可见,A 相当于是 Φ 的密度(面积密度)。 v A 往往被理解为矢线的数密度。

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• 讨论

1)通量是标量,可正可负; 2)若取闭合曲面,法向为外法向,此时

⎧> 0 v v⎪ Φ = ∫∫ A ⋅ ds ⎨= 0 S ⎪

穿出多于穿入 穿出等于穿入 穿出小于穿入

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• 散度

v 矢量场 A 中,定义

v v ∫∫ A ⋅ ds

S

ΔV →0

lim

ΔV

v ∂Ax ∂Ay ∂Az = ∇

⋅ A = + + ∂x ∂y ∂z

v 称为矢量场 A 的散度。 v v 矢量场 A 的散度 ∇ ⋅ A 是一个标量场。

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• 讨论

v v 矢量场 A 的散度 ∇ ⋅ A 表示了一种源:汇聚与

发散的定量描述

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• 环量

v 矢量场 A 中,取有向闭合曲线 L ,则 v v ∫ A ⋅ dl

L

v 称为矢量 A 的环量。 • 环量形象地表征了矢量场的涡旋情况。

• Stokes 公式

v v v v ∫ A ⋅ dl = ∫∫ (∇ × A)⋅ ds

L S

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• 旋度

v 矢量场 A 中,定义

ˆ ex v ∂ ∇× A = ∂x Ax ˆ ey ∂ ∂y Ay ˆ ez ∂ ∂z Az

v 称为矢量场 A 的旋度。 v v 矢量场 A 的旋度 ∇ × A 是一个矢量场。

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• 讨论

旋度矢量在 n 方向的投影,称为方向旋度:

v ˆ (∇ × A)⋅ n = lim v v ∫ A ⋅ dl

L

ΔS →0

ΔS

v ( ˆ 显然,∇ × A) 取 n 方向时,方向旋度最大。

• 因此,旋度的方向就是使方向旋度为最大值的

取向,其模就是该方向的方向旋度值。

工程电磁场导论:数学预备知识

(3)重要关系

• Gauss公式

v v v ∫ A ⋅ ds = ∫ ∇ ⋅ Adv

S V

v V 为 S 所围体积,ds 沿 S 曲面的外法线方向。

亦有

V →0

v ∇ ⋅ A = lim S

v v ∫ A ⋅ ds V

v 这可以看出散度 ∇ ⋅ A 的物理意义。

工程电磁场导论:数学预备知识

• Stokes公式

v v v v ∫ A ⋅ dl = ∫ ∇ × A ⋅ ds

L S

v v S 为 L 所围面积, S 与 L 成右手螺旋关系。 亦有

v (∇ × A) n = lim v v ∫ A ⋅ dl

L S →M

S

v v (∇ × A) n表示 ∇ × A 在定点 M 处 S 的法线方向的投

影。

工程电磁场导论:数学预备知识

• 其它结论

1. 旋度的散度为零 2. 梯度的旋度为零

v ∇⋅B = 0 v ∇× A = 0

v ∇ ⋅ (∇ × A) ≡ 0

∇ × (∇f ) ≡ 0

3. 无源场必可表为某一矢量场的旋度

v v → B = ∇× A v A = ∇f

4.无旋场必可表为某一标量场的梯度

工程电磁场导论:数学预备知识

∇(φϕ ) = ϕ∇φ + φ∇ϕ

v v v ∇ ⋅ (ϕA) = ∇ϕ ⋅ A + ϕ∇ ⋅ A v v v ∇ × (ϕA) = ∇ϕ × A + ϕ∇ × A v v v v v v ∇ ⋅ (A × B ) = (∇ × A)⋅ B − A ⋅ (∇ × B ) v v v v v v v v v v ∇ × (A × B ) = (B ⋅ ∇ )A + (∇ ⋅ B )A − (A ⋅ ∇ )B − (∇ ⋅ A)B

工程电磁场导论:数学预备知识

v v v v v v v v v v ∇(A ⋅ B ) = A × (∇ × B ) + (A ⋅ ∇ )B + B × (∇ × A) + (B ⋅ ∇ )A ∇ ⋅ ∇ϕ = ∇ 2ϕ v v v 2 ∇ × (∇ × A) = ∇(∇ ⋅ A) − ∇ A

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• 纵场与横场

v 矢量场 A 满足

v ∇⋅ A = 0

v 则称 A 为横场;

v 矢量场 A 满足

v ∇× A = 0

v 则称 A 为纵场。

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• Hemholtz 定理

v 在空间有限区域 V 内的任一矢量场 A ,由它

的散度、旋度和边界

条件( V 的闭合面 S 上 的确定矢量场分布)所唯一性地确定。 v 任一矢量场 A 均可表为纵场与横场之 v v v A = A1 + A2 和: v v ∇ ⋅ A1 = 0 ∇ × A2 = 0 且

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• 补充定理:

数量场 f 由梯度场 ∇f 和 f 在某一定点 M0 的值 f(M0) 所唯一确定。

• 调和场

散度和旋度都等于零的矢量场。 一个矢量场不可能在全空间为调和场。

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§0-4 正交曲线坐标系

• 空间一点可用三个参数确定,每个参数确定一

个坐标面。如果在空间的任一点 M 上,三个相 交的坐标曲面相互正交(各曲面在交点上的法 线相互正交),则坐标曲面的三条交线在该点 也相互正交(各交线在该点的切线相互正交, 这些交线称为坐标曲线或坐标轴),这样构成 的坐标系,称为正交曲线坐标系。

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• 沿三条坐标曲线的切线方向各取一个单位矢

量,称为坐标单位矢量,其模等于1并以各坐标 变量的正增加方向为正方向。

• 坐标单位矢量相互正交且满足右手螺旋法则。

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(1)直角坐标系(x,y,z)

• 特点:由三簇相互垂直的平面构成。

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(2)柱坐标系 (ρ , ϕ , z ) • 特点:在二维极坐标 (ρ , ϕ )

的基础上再增加 Z 轴作为 第三个坐标。

• 三个基矢与坐标面:

ˆ eρ 沿 ρ 增加方向,系 z 轴为轴线的圆柱面; ˆ eϕ 沿 ϕ 增加方向,为通过 z 轴的半平面;

ˆ ez 沿z 增加方向,与 z 轴垂直的平面。

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• 柱坐标的三簇坐标面

ρ = const

ϕ = const

z = const

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• 变量变化范围:

0 ≤ ρ

− ∞

• 任一矢量表达

v ˆ ˆ ˆ A = Aρ eρ + Aϕ eϕ + Az ez

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• 柱坐标中各微元表达: v ˆ ˆ ˆ d l = d ρ e ρ + ρ d ϕ e ϕ + dz e z

v ˆ ˆ ˆ d s = ρ d ϕ dz e ρ + d ρ dz e ϕ + ρ d ρ d ϕ e z

dv = ρ d ρ d ϕ dz

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• 变换关系:

⎧ x = ρ cos ϕ ⎪ ⎨ y = ρ sin ϕ ⎪ z= z ⎩

ˆ ˆ ˆ ⎧ e x = cos ϕ e ρ − sin ϕ eϕ ⎪ ˆ ˆ ˆ ⎨ e y = sin ϕ e ρ + cos ϕ eϕ ⎪ ˆ ˆ ez = ez ⎩

⎧ρ = x2 + y 2 ⎪ ⎪ tan ϕ = y ⎨ x ⎪ z= z ⎪ ⎩

ˆ ˆ ˆ ⎧ e ρ = cos ϕ e x + sin ϕ e y ⎪ ˆ ˆ ˆ ⎨ eϕ = − sin ϕ e x + cos ϕ e y ⎪ ˆ ˆ ez = ez ⎩

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(3)球坐标系 (r ,θ , ϕ )

• 特点:矢径的长度 r,矢径与

z 轴的夹角 θ ,以及矢径在xy 平面上的投影与x轴的夹角 ϕ 。

• 三个基矢与坐标面:

ˆ er 沿 r 增加方向,以原点为球心的球面;

ˆ eθ 沿 θ 增加方向

,以原点为顶点的圆锥面; ˆ eϕ 沿 ϕ 增加方向,通过 z 轴的半平面。

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• 球坐标的三簇坐标面

r = const

θ = const

ϕ = const

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• 变量变化范围:

0 ≤ r

0 ≤ ϕ

• 任一矢量表达

v ˆ ˆ ˆ A = Ar er + Aθ eθ + Aϕ eϕ

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• 球坐标中各微元表达: v ˆ ˆ ˆ d l = dr e r + rd θ e θ + r sin θ d ϕ e ϕ

v ˆ ˆ ˆ d s = r 2 sin θ d θ d ϕ e r + r sin θ drd ϕ eθ + rdrd θ eϕ

dv = r 2 sin θ drd θ d ϕ

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• 变换关系:

⎧ x = r sin θ cos ϕ ⎪ ⎨ y = r sin ϕ sin ϕ ⎪ z = r cos θ ⎩

ˆ ˆ ˆ ˆ ⎧ e x = sin θ cos ϕ e r + cos θ cos ϕ eθ − sin ϕ eϕ ⎪ ˆ ˆ ˆ ˆ ⎨ e y = sin θ e r + cos θ sin ϕ eθ + cos ϕ eϕ ⎪ ˆ ˆ ˆ e z = cos θ eϕ − sin θ eθ ⎩

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• 变换关系:

⎧ ⎪ r = x2 + y2 + z2 ⎪ ⎪ ⎨ cos θ = z x2 + y2 + z2 ⎪ ⎪ tan ϕ = y ⎪ x ⎩

ˆ ˆ ˆ ˆ ⎧ e r = sin θ cos ϕ e x + sin θ sin ϕ e y + cos θ e z ⎪ ˆ ˆ ˆ ˆ ⎨ eθ = cos θ cos ϕ e x + cos θ sin ϕ e y − sin θ e z ⎪ ˆ ˆ ˆ eϕ = − sin ϕ e x + cos ϕ e y ⎩

工程电磁场导论:数学预备知识

(4)三度在柱、球坐标系中的表达式

• 梯度

柱面:

∂f ∂f 1 ∂f ˆ ˆ ˆ ∇f = eρ + eϕ + ez ∂z ρ ∂ϕ ∂ρ

球面:

∇f =

1 ∂f 1 ∂f ∂f ˆ ˆ ˆ er + eθ + eϕ r ∂θ r sin θ ∂ϕ ∂r

工程电磁场导论:数学预备知识

• 散度

柱面:

v 1 ∂ 1 ∂Aϕ ∂Az (ρAρ ) + + ∇⋅ A = ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z

球面:

v 1 ∂ 2 ∂ 1 ∂Aϕ 1 (sin θAθ ) + ∇⋅ A = 2 r Ar + r ∂ρ r sin θ ∂θ r sin θ ∂ϕ

(

)

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• 旋度

柱面:

ˆ eρ v 1 ∂ ∇× A = ρ ∂ρ Aρ

∂ ∂ϕ ρAϕ

ˆ ρeϕ

ˆ ez ∂ ∂z Az

球面:

ˆ er v ∂ 1 ∇× A = 2 r sin θ ∂r Ar

ˆ r eθ ∂ ∂θ rAθ

ˆ r sin θ eϕ ∂ ∂ϕ r sin θ Aϕ

范文十:工程电磁场导论

工程电磁场导论

电磁场理论中“矢量分析”的一些相关知识

1. 标量场和矢量场 场是一个标量或一个矢量的位置函数,即场中任一个点都有一个确定的标量或矢量。例如,在直角坐标下:

(x,y,z)

5

4π [(x1)(y2)z]

2

2

2

标量场

如温度场、电位场、高度场等; A(x,y,z)2xyexxzeyxyzez

2

2

矢量场

如流速场、电场、涡流场等。

2. 标量场的梯度 设一个标量函数 (x,y,z),若函数  在点 P 可微,则  在点P 沿任意方向 的方向导数为

l

(



,,)(cos,cos,cos) xyz

设 g(



,,),el(cos,cos,cos) 式中,, 分别是任一方向l与 x, xyz

l

gel|g|cos(g,el) 当( g,el )0

l

y, z 轴的夹角 则有:

x

y

z

最大

exeyezgrad ——梯度(gradient)

式中(

xyz

,

,)——哈密顿算子

梯度的意义 标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数。 梯度的大小为该点标量函数的最大变化率,即最大方向导数。 梯度的方向为该点最大方向导数的方向。

3. 散度 如果包围点 P 的闭合面 S 所围区域 V 以任意方式缩小到点 P 时: lim AdSdivA

V0

V

S

散度的意义 矢量的散度是一个标量,是空间坐标点的函数; 散度代表矢量场的通量源的分布特性。

在矢量场中,若• A=   0,称之为有源场, 称为 ( 通量 ) 源密度;若矢量场中处处 • A=0 ,称之为无源场。

4. 旋度 旋度是一个矢量,其大小等于环量密度的最大值;其方向为最大环量密度的方向

rot AA——旋度(curl)

旋度的物理意义 矢量的旋度仍为矢量,是空间坐标点的函数。

某点旋度的大小是该点环量密度的最大值,其方向是最大环量密度的方向。

divAA

Axx

Ayy

Azz

———散度 (divergence)

在矢量场中,若 A=J 0 称之为旋度场(或涡旋场),J 称为旋度源(或涡旋源)。 若矢量场处处 A= 0 ,称之为无旋场。 第1章 静电场

本章要点 :电场强度、电位移矢量、电位、极化等概念。静电场基本方程和分界面衔接条件。电位的边值问题及其解法(分离变量法,有限差分法,镜像法,电轴法等)。 电场、电位、电容、能量、力的各种计算方法。 第2章 恒定电场

本章要点 :各种电流密度概念,通过欧姆定律和焦耳定律深刻理解场量之间的关系。 导电媒质中的恒定电场基本方程和分界面衔接条件。静电比拟法和电导的计算。 第3章 恒定磁场

本章要点 :磁感应强度、磁通、磁化、磁场强度的概念。恒定磁场的基本方程和分界面衔接条件。磁位及其边值问题。磁场、电感、能量与力的各种计算方法。了解磁路及其计算方法。

第4章 时变电磁场

本章要点 :电磁场基本方程组的物理意义,其中包 括位移电流的概念;动态位与场量的关系以及波动方程,理解电磁场的滞后效应及波动性;电磁波的产生和传播特性。 第5章 准静态电磁场

本章要点 :EQS和MQS的共性和个性;工程计算中简化为准静态场的条件;准静态场的计算方法。

第6章 平面电磁波的传播

本章要点:均匀平面电磁波在理想介质和导电媒质中的传播特性及基本规律。均匀平面电磁波在工程中的应用。均匀平面电磁波斜入射时的传播特性,均匀平面电磁波正入射时的传播特性。

第7章 均匀传输线中的导行电磁波

本章要点 :均匀传输线的稳态分析方法;电压波和电流波的传播特性 ( 行波、 驻波、匹配等 ) ;有损耗传输线的无畸变条件。 第8章 波导与谐振腔

本章要点 :波导的概念,导行电磁波的分类和一般特性;矩形波导、介质波导的特点,TEM波,TE波,TM波的概念;谐振腔概念。 例题分析

例1. 已知 A3xex4yey5zez,试判断它能否表示一个静电场?

解:静电场是一个无旋、有源场,静止电荷就是静电场的源。这两个重要特性的简洁数学形式为:

Df (DE)DdSq

S

E0

(E)

Edl0

l

根据静电场的旋度恒等于零的性质,

ex

A

xAx

eyyAy

ezzAz

(

Azy

Ayz

)ex(

Axz

Azx

)ey(

Ayx

Axy

)ez0

对应静电场的基本方程 E0,矢量 A 可以表示一个静电场。

例2. 试求图示两带电长直平行圆柱导体传输 线的电场及电位分布。

图1 平行圆柱导体传输线电场的计算 ( 以y 轴为电位参考点 ) 解:

a)建立坐标系

,

b

ha

2

确定电轴位置

2

:

b)圆柱导线间的电场与电

EP

位:1

2

(ln

1

1

e1

2

e2)

p

2

21

例3. 已知平行传输线之间电压为U0, 试求电位分布。

解: 确定电轴的位置b2h2a2

b

d2h

图2. 电压为U0的传输线

(d2

)a

2

2

图2. 电压为U0的传输线

设电轴线电荷,任一点电位



0

ln

2

1

U0

b(ha)b(ha)lnln 2π0b(ha)b(ha)

所以 

U0

ln2

b(ha)1

2ln

b(ha)

例4.求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为R1、R2,长度为l,中间媒质的电导率为,介电常数为。

图3. 同轴电缆横截面

解法一 直接用电流场的计算方法 设

IJ

I2l

E

J

I

2l U

R2R1

Edl

I2l

d

I2l

ln

R2R1

电导 G

IU

2l11R

绝缘电阻 Rln2 RG2lR1ln2

R1

解法二 静电比拟法 由静电场解得C

2lC

, 则根据关系式得 RGln2R12lRln2

R1

同轴电缆电导 G,绝缘电阻 R

12l

ln

R2R1

例5.球形接地器接地电阻的分析。

图4. 深埋球形接地器

1. 深埋球形接地器 解:深埋接地器可不考虑地面影响,其电流场可与无限大区域() 的孤立圆球的电流场相似。解法一 直接用电流场的计算方法 IJ

I4r

2

E

J

I4r

2

U

I4r

a

2

I4a

R4a

解法二 静电比拟法 CG



C4a,G4a,R14a

2. 浅埋半球形接地器 解:考虑地面的影响用镜像法处理。此时由静电比拟

图5. 浅埋半球形接地器

CG



,C4aG4a

实际电导 GG2, 接地器接地电阻 R12a

例 6. 用坡印亭矢量分析直流电源沿同轴电缆向负载传送能量的过程。设电缆为理想导体,内外半径分别为a和b。

图6. 同轴电缆中的电磁能流

解: 理想导体内部电磁场为零。电磁场分布如图所示。 电场强度 E

U

e 磁场强度 H

I2

e

ln(b/a)

坡印亭矢量SEH

U

ln(b/a)2

I

ez

单位时间内流入内外导体间的横截面A的总能量为 PSdA

A

ba

UI2

2

lnb/a

2dUI

这表明:• 穿出任一横截面的能量相等,电源提供的能量全部被负载吸收。 • 电磁能量是通过导体周围的介质传播的,导线只起导向作用。

例 7. 平板电容器如图所示,当两极板间加正弦工频交流电压 u(t) 时,试分析电容器中储存的电磁能量。

图4.5.1 两圆电极的平板电容器

U解:忽略边缘效应及感应电场, 则电场满足无旋性质,可表示为Eez d

根据全电流定律,由位移电流产生的磁场为 dlH

l

D

S

t

dS

2H

S

UjEdSj

d

2

U整理得 Hje 2d

~HjU(e) 复坡印亭矢量 SE2

2d

~UaSdSja(e)2ad(e)jU2

2dd

2

2

2

电容器吸收能量 

2

S

jCU

2

(无功功率)

显然,电容器中储存电场能量,磁场能量忽略不计,电磁场近似为EQS场。