电磁场与电磁波答案

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范文一:电磁场与电磁波试题答案

《电磁场与电磁波》试题1

一、填空题(每小题1分,共10分)



BH1.在均匀各向同性线性媒质中,设媒质的导磁率为,则磁感应强度和磁场满足的方程

为: 。 2.设线性各向同性的均匀媒质中,

2

0称为 方程。



3.时变电磁场中,数学表达式SEH称为 。

4.在理想导体的表面,的切向分量等于零。



5.矢量场A(r)穿过闭合曲面S的通量的表达式为: 。

6.电磁波从一种媒质入射到理想 7.静电场是无旋场,故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于 8.如果两个不等于零的矢量的

9.对平面电磁波而言,其电场、磁场和波的传播方向三者符合 关系。

10.由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场,恒定磁场是无散场,因此,它可用 函数的旋度来表

示。

二、简述题 (每小题5分,共20分)

BE

t,试说明其物理意义,并写出方程的积分形式。 11.已知麦克斯韦第二方程为

12.试简述唯一性定理,并说明其意义。

13.什么是群速?试写出群速与相速之间的关系式。 14.写出位移电流的表达式,它的提出有何意义?

三、计算题 (每小题10分,共30分)

15.按要求完成下列题目 (1)判断矢量函数

ˆxxzeˆyBy2e

是否是某区域的磁通量密度?

(2)如果是,求相应的电流分布。 16.矢量

ˆxeˆy3eˆzA2e

ˆx3eˆyeˆz,求 B5e,

(1)AB (2)AB

17.在无源的自由空间中,电场强度复矢量的表达式为



ˆx3E0eˆy4E0ejkzEe

(1) 试写出其时间表达式; (2) 说明电磁波的传播方向;

四、应用题 (每小题10分,共30分)

18.均匀带电导体球,半径为a,带电量为Q。试求 (1) 球内任一点的电场强度

(2) 球外任一点的电位移矢量。

19.设无限长直导线与矩形回路共面,(如图1所示), (1)判断通过矩形回路中的磁感应强度的方向(在图中标出); (2)设矩形回路的法向为穿出纸面,求通过矩形回路中的磁通量。

20.如图2所示的导体槽,底部保持电位为(1) 写出电位满足的方程; (2) 求槽内的电位分布

U0,其余两面电位为零,

五、综合题(10 分)

21.设沿

z方向传播的均匀平面电磁波垂直入射到理想导体,如图3所示,该电磁波电场只有x分量即

ˆxE0ejzEe

(1) 求出入射波磁场表达式;

(2) 画出区域1中反射波电、磁场的方向。

《电磁场与电磁波》试题2

一、填空题(每小题1分,共10分)

1.在均匀各向同性线性媒质中,设媒质的介电常数为为: 。

2.设线性各向同性的均匀媒质中电位为,媒质的介电常数为,电荷体密度为为 。

3.时变电磁场中,坡印廷矢量的数学表达式为 。 4.在理想导体的表面,电场强度的 分量等于零。



ED,则电位移矢量和电场满足的方程

V,电位所满足的方程

5.表达式S



ArdS

称为矢量场A(r)穿过闭合曲面S的 。

6.电磁波从一种媒质入射到理想导体表面时,电磁波将发生。 7.静电场是保守场,故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于 8.如果两个不等于零的矢量的点积等于零,则此两个矢量必然相互。 9.对横电磁波而言,在波的传播方向上电场、磁场分量为

10.由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场,恒定磁场是 场,因此,它可用磁矢位函数的旋度来表示。

二、 简述题 (每小题5分,共20分)

11.试简述磁通连续性原理,并写出其数学表达式。 12.简述亥姆霍兹定理,并说明其意义。

13.已知麦克斯韦第二方程为

BEdldStCS

,试说明其物理意义,并写出方程的微分形式。

14.什么是电磁波的极化?极化分为哪三种?

三、计算题 (每小题10分,共30分)

ˆxyzeˆzAyx2e

15.矢量函数

,试求

A(1)

(2)A



ˆxeˆyˆx2eˆzBeA2e16.矢量,,求

(1)AB

(2)求出两矢量的夹角 17.方程u(x,y,z)



x2y2z2给出一球族,求

(1)求该标量场的梯度; (2)求出通过点

1,2,0处的单位法向矢量。

四、应用题 (每小题10分,共30分)

18.放在坐标原点的点电荷在空间任一点r处产生的电场强度表达式为

E

q40r

2

ˆre

(1)求出电力线方程;(2)画出电力线。

19.设点电荷位于金属直角劈上方,如图1所示,求 (1) 画出镜像电荷所在的位置

(2) 直角劈内任意一点(x,y,z)处的电位表达式

20.设时变电磁场的电场强度和磁场强度分别为:



EE0cos(te) HH0cos(tm)

(1) 写出电场强度和磁场强度的复数表达式

(2)

1

SavE0H0cos(em)

2证明其坡印廷矢量的平均值为:

z方向传播的均匀平面电磁波垂直入射到理想导体,如图2所示,该电磁波电场只有x分量即

五、综合题 (10分)

21.设沿

ˆxE0ejzEe

(3) 求出反射波电场的表达式; (4) 求出区域1 媒质的波阻抗。

《电磁场与电磁波》试题3

一、填空题(每小题 1 分,共 10 分)

1.静电场中,在给定的边界条件下,拉普拉斯方程或理。

2.在自由空间中电磁波的传播速度为m/s。

3.磁感应强度沿任一曲面S的积分称为穿过曲面S的。

4.麦克斯韦方程是经典

5.在无源区域中,变化的电场产生磁场,变化的磁场产生磁波。

6.在导电媒质中,电磁波的传播速度随频率变化的现象称为 7.电磁场在两种不同媒质分界面上满足的方程称为 8.两个相互靠近、又相互绝缘的任意形状的可以构成电容器。

9.电介质中的束缚电荷在外加电场作用下,完全脱离分子的内部束缚力时,我们把这种现象称

为 。

10.所谓分离变量法,就是将一个

二、简述题 (每小题 5分,共 20 分)

DHJ

t,试说明其物理意义,并写出方程的积分形式。 11.已知麦克斯韦第一方程为

12.试简述什么是均匀平面波。

13.试简述静电场的性质,并写出静电场的两个基本方程。 14.试写出泊松方程的表达式,并说明其意义。

三、计算题 (每小题10 分,共30分)

25

ˆr2Ee

r,求 15.用球坐标表示的场

(1) 在直角坐标中点(-3,4,5)处的

E

(2) 在直角坐标中点(-3,4,5)处的Ex分量 16.矢量函数

ˆxyeˆyxeˆzAx2e

,试求

(1)A

(2)若在xy平面上有一边长为2的正方形,且正方形的中心在坐标原点,试求该矢量A穿过此正方形的

通量。

22

u(x,y)xy17.已知某二维标量场,求

(1)标量函数的梯度; (2)求出通过点

1,0处梯度的大小。

四、应用题 (每小题 10分,共30分)

jkz

ˆEe3Eex018.在无源的自由空间中,电场强度复矢量的表达式为

(3) 试写出其时间表达式; (4) 判断其属于什么极化。 19.两点电荷

q14C,位于x轴上x4处,q24C位于轴上y4处,求空间点0,0,4处的

(1) 电位;

(2) 求出该点处的电场强度矢量。

20.如图1所示的二维区域,上部保持电位为

U0,其余三面电位为零,

(1) 写出电位满足的方程和电位函数的边界条件 (2) 求槽内的电位分布

b

a

五、综合题 (10 分)

21.设沿

z方向传播的均匀平面电磁波垂直入射到理想导体,如图2所示,该电磁波为沿x方向的线极

E0,传播常数为。

化,设电场强度幅度为

(5) 试写出均匀平面电磁波入射波电场的表达式; (6) 求出反射系数。

《电磁场与电磁波》试题(4)

一、填空题(每小题 1 分,共 10 分)

ˆxeˆyeˆz的大小为 。 Ae1.矢量

2.由相对于观察者静止的,且其电量不随时间变化的电荷所产生的电场称为。 3.若电磁波的电场强度矢量的方向随时间变化所描绘的轨迹是直线,则波称为。 4.从矢量场的整体而言,无散场的不能处处为零。

5.在无源区域中,变化的电场产生磁场,变化的磁场产生电场,使电磁场以磁波。

6.随时间变化的电磁场称为场。

7.从场角度来讲,电流是电流密度矢量场的。

8.一个微小电流环,设其半径为a、电流为I,则磁偶极矩矢量的大小为 。

9.电介质中的束缚电荷在外加作用下,完全脱离分子的内部束缚力时,我们把这种现象称为击穿。 10.法拉第电磁感应定律的微分形式为

二、简述题 (每小题 5分,共 20 分)

11.简述恒定磁场的性质,并写出其两个基本方程。 12.试写出在理想导体表面电位所满足的边界条件。 13.试简述静电平衡状态下带电导体的性质。 14.什么是色散?色散将对信号产生什么影响?

三、计算题 (每小题10 分,共30分)

15.标量场

x,y,zx2y3ez,在点P1,1,0处

(1)求出其梯度的大小 (2)求梯度的方向 16.矢量

ˆx2eˆyAe

ˆx3eˆz,求 B,e

(1)AB (2)AB

17.矢量场A的表达式为



ˆx4xeˆyy2Ae

(1)求矢量场A的散度。 (2)在点

1,1处计算矢量场A的大小。

四、应用题 (每小题 10分,共30分)

18.一个点电荷q位于(1) 求出空间任一点

a,0,0处,另一个点电荷2q位于a,0,0处,其中a0。

x,y,z处电位的表达式;

(2) 求出电场强度为零的点。

19.真空中均匀带电球体,其电荷密度为,半径为a,试求 (1) 球内任一点的电位移矢量 (2) 球外任一点的电场强度

20. 无限长直线电流I垂直于磁导率分别为

1和2的两种磁介质的交界面,如图1所示。

(1) 写出两磁介质的交界面上磁感应强度满足的方程 (2) 求两种媒质中的磁感应强度

B1和B2。

B1

1

B2

2

五、综合题 (10分)

21. 设沿

z方向传播的均匀平面电磁波垂直入射到理想导体,如图

2所示,入射波电场的表达式为

ˆyE0ejzEe

(1)试画出入射波磁场的方向 (2)求出反射波电场表达式。

图2

《电磁场与电磁波》试题(5)

一、填空题(每小题 1 分,共 10 分)

1.静电场中,在给定的边界条件下,拉普拉斯方程或泊松方程的解是唯一的,这一定理称为 。

2.变化的磁场激发,是变压器和感应电动机的工作原理。 3.从矢量场的整体而言,无旋场的不能处处为零。 4.方程是经典电磁理论的核心。

5.如果两个不等于零的矢量的点乘等于零,则此两个矢量必然相互。 6.在导电媒质中,电磁波的传播速度随 7.电场强度矢量的方向随时间变化所描绘的

8.两个相互靠近、又相互的任意形状的导体可以构成电容器。

9.电介质中的束缚电荷在外加电场作用下,完全我们把这种现象称为击穿。 10.所谓分离变量法,就是将一个多变量函数表示成几个

二、简述题 (每小题 5分,共 20 分)

11.简述高斯通量定理,并写出其积分形式和微分形式的表达式。 12.试简述电磁场在空间是如何传播的? 13.试简述何谓边界条件。

14.已知麦克斯韦第三方程为S



BdS0

,试说明其物理意义,并写出其微分形式。

三、计算题 (每小题10 分,共30分)

15.已知矢量

ˆxxeˆyxyeˆzy2zAe

(1) 求出其散度 (2) 求出其旋度 16.矢量

ˆx2eˆyAe

ˆx3eˆz, B,e

(1)分别求出矢量A和B的大小

(2)AB 17.给定矢量函数



ˆxyeˆyxEe

,试

E(1)求矢量场的散度。

(2)在点

3,4处计算该矢量E的大小。

四、应用题 (每小题 10分,共30分

18.设无限长直线均匀分布有电荷,已知电荷密度为(1) 空间任一点处的电场强度; (2) 画出其电力线,并标出其方向。

19. 设半径为a的无限长圆柱内均匀地流动着强度为I的电流,设柱外为

(1) 柱内离轴心r任一点处的磁场强度; (2) 柱外离轴心r任一点处的磁感应强度。

20.一个点电荷q位于一无限宽和厚的导电板上方,如图2所示, (1) 计算任意一点的(2) 写出z

l如图1所示,求

Px,y,z的电位;

0的边界上电位的边界条件。

五、综合题 (10分)

21.平面电磁波在1

90的媒质1中沿z方向传播,在z0处垂直入射到240的媒质2中,

120,

如图3所示。入射波电场极化为x方向,大小为E0,自由空间的波数为k0, (1)求出媒质1中入射波的电场表达式; (2)求媒质2中的波阻抗。

《电磁场与电磁波》试题(6)

一、填空题(每小题 1 分,共 10 分)

1.如果一个矢量场的旋度等于零,则称此矢量场为。 2.电磁波的相速就是 传播的速度。

3. 实际上就是能量守恒定律在电磁问题中的具体表现。 4.在导电媒质中,电磁波的传播 随频率变化的现象称为色散。 5.一个标量场的性质,完全可以由它的 来表征。 6.由恒定电流所产生的磁场称为 。

7.若电磁波的电场强度矢量的方向随时间变化所描绘的轨迹是圆,则波称为。 8.如果两个不等于零的矢量相互平行,则它们的叉积必等于 9.对平面电磁波而言,其电场和磁场均

10.亥姆霍兹定理告诉我们,研究任何一个矢量场应该从矢量的 两个角度去研究。二、简述题 (每小题 5分,共 20 分)

11.任一矢量场为A(r),写出其穿过闭合曲面S的通量表达式,并讨论之。

12.什么是静电场?并说明静电场的性质。 13.试解释什么是TEM波。

14.试写出理想导体表面电场所满足的边界条件。

三、计算题 (每小题10分,共30分)

E

15.某矢量函数为x2e

ˆxyeˆy

(1)试求其散度

(2)判断此矢量函数是否可能是某区域的电场强度(静电场)?

C16.已知A、B

和为任意矢量,若ABAC,则是否意味着

(1)B

总等于C呢?

(2)试讨论之。

4,

2

17.在圆柱坐标系中,一点的位置由

3,3定出,求该点在 (1)直角坐标系中的坐标 (2)写出该点的位置矢量。

四、应用题 (每小题 10分,共30分)

18.设z

0为两种媒质的分界面,z0为空气,其介电常数为

10,z0为介电常数250的媒质2。已知空气中的

电场强度为E14e

ˆxeˆz,求 (1)空气中的电位移矢量。 (2)媒质2中的电场强度。

19.设真空中无限长直导线电流为I,沿z轴放置,如图1所示。求 (1)空间各处的磁感应强度B (2)画出其磁力线,并标出其方向。

20.平行板电容器极板长为a、宽为b,极板间距为d,设两极板间的电压为U,如图2所示。求 (1)电容器中的电场强度; (2)上极板上所储存的电荷。

五、综合题 (10分)

21.平面电磁波在1

90的媒质1中沿z方向传播,在z0处垂直入射到240的媒质2中,

120。电磁波极化为x方向,角频率为300Mrad/s,如图3所示。

(1)求出媒质1中电磁波的波数; (2)反射系数。

《电磁场与电磁波》试题(7)

一、填空题 (每小题 1 分,共 10 分)

1.如果一个矢量场的散度等于零,则称此矢量场为 。 2.所谓群速就是包络或者是 传播的速度。

3.坡印廷定理,实际上就是 定律在电磁问题中的具体表现。 4.在理想导体的内部,电场强度 。

A5.矢量场(r)在闭合曲线C上环量的表达式为: 。

6.设电偶极子的电量为q,正、负电荷的距离为d,则电偶极矩矢量的大小可表示为 。 7.静电场是保守场,故电场强度从P1到P2的积分值与 无关。

8.如果两个不等于零的矢量的叉积等于零,则此两个矢量必然相互。 9.对平面电磁波而言,其电场、磁场和波的 三者符合右手螺旋关系。

10.所谓矢量线,乃是这样一些曲线,在曲线上的每一点上,该点的切线方向与矢量场的方

向 。

二、简述题 (每小题 5分,共 20 分)

11.什么是恒定磁场?它具有什么性质?

12.试简述法拉第电磁感应定律,并写出其数学表达式。 13.什么是相速?试写出群速与相速之间的关系式。

D,试写出其积分形式,并说明其意义。 14.高斯通量定理的微分形式为

三、计算题 (每小题10 分,共30分)

15.自由空间中一点电荷位于S

3,1,4,场点位于P2,2,3

(1)写出点电荷和场点的位置矢量 (2)求点电荷到场点的距离矢量R 16.某二维标量函数u

y2x,求

(1)标量函数梯度u

(2)求梯度在正x方向的投影。

ˆxxeˆyyeˆzz,求 Ae17. 矢量场

(1)矢量场的散度 (2)矢量场A在点

1,2,2处的大小。

四、应用题 (每小题 10分,共30分)

18.电偶极子电量为q,正、负电荷间距为d,沿z轴放置,中心位于原点,如图1所示。 求(1)求出空间任一点处P(2)画出其电力线。

x,y,z的电位表达式;

19.同轴线内导体半径为a,外导体半径为b,内、外导体间介质为空气,其间电压为U (1)求r(2)求a

a处的电场强度;

rb处的电位移矢量。

2

20.已知钢在某种磁饱和情况下磁导率120000,当钢中的磁感应强度B10.510T、

175时,

此时磁力线由钢进入自由空间一侧后,如图3所示。

(1)B2与法线的夹角2

B(2)磁感应强度2的大小

五、综合题 (10分)

21.平面电磁波在1

90的媒质1中沿z方向传播,在z0处垂直入射到240的媒质2中,

120。极化为x方向,如图4所示。

(1)求出媒质2中电磁波的相速; (2)透射系数。

《电磁场与电磁波》试题(8)

一、填空题(每小题 1 分,共 10 分)

1.已知电荷体密度为,其运动速度为v,则电流密度的表达式为: 。

2.设线性各向同性的均匀媒质中电位为,媒质的介电常数为,电荷体密度为零,电位所满足的方程

为 。

3.时变电磁场中,平均坡印廷矢量的表达式为 。 4.时变电磁场中,变化的电场可以产生。 5.位移电流的表达式为 。 6.两相距很近的等值异性的点电荷称为 。

7.恒定磁场是场,故磁感应强度沿任一闭合曲面的积分等于零。

8.如果两个不等于零的矢量的叉积等于零,则此两个矢量必然相互。 9.对平面电磁波而言,其电场、磁场和波的 三者符合右手螺旋关系。

10.由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场,恒定磁场是连续的场,因此,它可用磁矢位函数的 来

表示。

二、简述题 (每小题 5分,共 20 分)

D

HdlJdStS11.已知麦克斯韦第一方程为C,试说明其物理意义,并写出方程的微分形

式。

12.什么是横电磁波?

13.从宏观的角度讲电荷是连续分布的。试讨论电荷的三种分布形式,并写出其数学表达式。



A14.设任一矢量场为(r),写出其穿过闭合曲线C的环量表达式,并讨论之。

三、计算题 (每小题5 分,共30分)

ˆx2eˆy3eˆz4BeAeˆx,求 15.矢量和

(1)它们之间的夹角; (2)矢量A在B上的分量。



ˆrr, 16.矢量场在球坐标系中表示为Ee

(1)写出直角坐标中的表达式; (2)在点(1,2,2)处求出矢量场的大小。

ˆxyeˆyx,求 Ae17.某矢量场

(1)矢量场的旋度; (2)矢量场A的在点

1,1处的大小。

四、应用题 (每小题 10分,共30分)

18.自由空间中一点电荷电量为2C,位于S(1)观察点处的电位; (2)观察点处的电场强度。

19.无限长同轴电缆内导体半径为a,外导体的内、外半径分别为b和c。电缆中有恒定电流流过

(内导体上电流为I、外导体上电流为反方向的I),设内、外导体间为空气,如图1所示。 (1)求a(2)求r

1,2,1处,设观察点位于P3,4,5处,求

rb处的磁场强度;

c处的磁场强度。

20.平行板电容器极板长为a、宽为b,极板间距为d,如图2所示。设x

为Q,求 (1) (2)

电容器间电场强度; 电容器极板间电压。

d的极板上的自由电荷总量

五、综合题 (10分)

21.平面电磁波在1

90的媒质1中沿z方向传播,在z0处垂直入射到240的媒质2中,

120。

极化为x方向,如图3所示。 (1)求出媒质2电磁波的波阻抗; (2)求出媒质1中电磁波的相速。

《电磁场与电磁波》试题(9)

一.填空题(共20分,每小题4分)



u1.对于某一标量和某一矢量A:



(u)= ;(A)= 。

2.对于某一标量u,它的梯度用哈密顿算子表示为 ;在直角坐标系下表示为 。

3.写出安培力定律表达式 。 写出毕奥-沙伐定律表达式 。

4.真空中磁场的两个基本方程的积分形式为 和 。

5.分析静电矢量场时,对于各向同性的线性介质,两个基本场变量之间的关系为 ,通常称它为 。

二.判断题(共20分,每小题2分)

正确的在括号中打“√”,错误的打“×”。

1.电磁场是具有确定物理意义的矢量场,但这些矢量场在一定的区域内并不具有一定的分布规律。( ) 2.矢量场在闭合路径上的环流和在闭合面上的通量都是标量。( )

3.按统一规则绘制出的力线可以确定矢量场中各点矢量的方向,还可以根据力线的疏密判别出各处矢量的大小及变化趋势。( )

4.从任意闭合面穿出的恒定电流为零。( )

5.在无界真空中,如果电荷分布状态已确定,则他们的电场分布就可以确定。( ) 6.一根微小的永久磁针周围的磁场分布与微小电流环周围的磁场分布是不同的。( ) 7.电场强度是“场”变量,它表示电场对带电质点产生作用的能力。( ) 8.导体或介质所受到的静电力可以由能量的空间变化率计算得出。( )

9. 静电场空间中,任意导体单位表面所受力等于该导体单位表面的电荷量与该点的电场强度的乘积。( )

10.无自由电流区域的磁场边值问题和无自由电荷区域的静电场边值问题完全相似,求解方法也相同。( )

三.简答题(共30分,每小题5分)

1.解释矢量的点积和差积。 2.说明矢量场的通量和环量。

3.当电流恒定时,写出电流连续性方程的积分形式和微分形式。 4.写出真空中静电场的两个基本方程的积分形式和微分形式。 5.写出静电场空间中,在不同的导电媒质交界面上的边界条件。 6.说明恒定磁场中的标量磁位。

四.计算题(共30分,每小题10分)

2

axb,求与其相应得电场及其电荷的分布。 1.已知空气填充的平面电容器内的电位分布为

2.一半径为a的均匀带电圆盘,电荷面密度为,求圆盘外轴线上任一点的电场强度。

3.自由空间中一半径为a的无限长导体圆柱,其中均匀流过电流I,求导体内外的磁感应强度。

《电磁场与电磁波》试题(10)

一、填空题(共20分,每小题4分)



1.对于矢量A,若A=exAx+eyAy+ezAz,



则:eyex= ;ezez= ;



ezex= ;exex= 。



2.对于某一矢量A,它的散度定义式为 ;

用哈密顿算子表示为 。



3.对于矢量A,写出:

高斯定理 ; 斯托克斯定理 。

4.真空中静电场的两个基本方程的微分形式为 和 。 5.分析恒定磁场时,在无界真空中,两个基本场变量之间的关系为 ,通常称它为 。

二.判断题(共20分,每小题2分)

正确的在括号中打“√”,错误的打“×”。

1.描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数,在时间为一定值的情况下,它们是唯一的。( ) 2.标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。( ) 3.梯度的方向是等值面的切线方向。( ) 4.恒定电流场是一个无散度场。( )

5.一般说来,电场和磁场是共存于同一空间的,但在静止和恒定的情况下,电场和磁场可以独立进行分析。( )

6.静电场和恒定磁场都是矢量场,在本质上也是相同的。( )

7.研究物质空间内的电场时,仅用电场强度一个场变量不能完全反映物质内发生的静电现象。( ) 8.泊松方程和拉普拉斯方程都适用于有源区域。( )

9.静电场的边值问题,在每一类的边界条件下,泊松方程或拉普拉斯方程的解都是唯一的。( ) 10.物质被磁化问题和磁化物质产生的宏观磁效应问题是不相关的两方面问题。( )

三.简答题(共30分,每小题5分)

1.用数学式说明梯无旋。

2.写出标量场的方向导数表达式并说明其涵义。 3.说明真空中电场强度和库仑定律。 4.实际边值问题的边界条件分为哪几类? 5.写出磁通连续性方程的积分形式和微分形式。 6.写出在恒定磁场中,不同介质交界面上的边界条件。

四.计算题(共30分,每小题10分)

1.半径分别为a,b(a>b),球心距为c(c

球半径为b的球面内任何一点的电场强度。

2.总量为q的电荷均匀分布在单位半径为a,介电常数为的体内,球外为空气,求静电能量。

3.证明矢位



A1excosyeysinx



A2ey(sinxxsiny)



给出相同得磁场B并证明它们

有相同的电流分布,它们是否均满足矢量泊松方程?为什么?

《电磁场与电磁波》试题(11)

一.填空题(共20分,每小题4分)



1.对于矢量A,若A=exAx+eyAy+ezAz,



则:ezex= ;exex= ;



ezey= ;eyey= 。

2.哈密顿算子的表达式为= , 其性质是 。 3.电流连续性方程在电流恒定时,

积分形式的表达式为 ; 微分形式的表达式为 。 4.静电场空间中,在不同的导电媒质交界面上,边界条件为 和 。

5.用矢量分析方法研究恒定磁场时,需要两个基本的场变量,即

和 。

二.判断题(共20分,每小题2分)

正确的在括号中打“√”,错误的打“×”。

1.电磁场是具有确定物理意义的矢量场,这些矢量场在一定的区域内具有一定的分布规律,除有限个点或面以外,它们都是空间坐标的连续函数。( )

2.矢量场在闭合路径上的环流是标量,矢量场在闭合面上的通量是矢量。( ) 3.空间内标量值相等的点集合形成的曲面称为等值面。( ) 4.空间体积中有电流时,该空间内表面上便有面电流。( ) 5.电偶极子及其电场与磁偶极子及其磁场之间存在对偶关系。( )

6.静电场的点源是点电荷,它是一种“标量点源”;恒定磁场的点源是电流元,它是一种“矢量性质的点源”。( )

7.泊松方程适用于有源区域,拉普拉斯方程适用于无源区域。( )

8.均匀导体中没有净电荷,在导体面或不同导体的分界面上,也没有电荷分布。( ) 9.介质表面单位面积上的力等于介质表面两侧能量密度之差。( ) 10.安培力可以用磁能量的空间变化率来计算。( )

三.简答题(共30分,每小题5分)

1.说明力线的微分方程式并给出其在直角坐标系下的形式。 2.说明矢量场的环量和旋度。

3.写出安培力定律和毕奥-沙伐定律的表达式。

4.说明静电场中的电位函数,并写出其定义式。

5.写出真空中磁场的两个基本方程的积分形式和微分形式。 6.说明矢量磁位和库仑规范。

四.计算题(共30分,每小题10分)

222

3xy,Axyzey3xyezrot(A)1.已知求

2.自由空间一无限长均匀带电直线,其线电荷密度为

,求直线外一点的电场强度

3.半径为a的带电导体球,已知球体电位为U(无穷远处电位为零),试计算球外空间的电位函数。

《电磁场与电磁波》试题(1)参考答案

二、简答题 (每小题5分,共20分)

11.答:意义:随时间变化的磁场可以产生电场。 (3分)

B

其积分形式为:EdldS (2分) tCS

12.答:在静电场中,在给定的边界条件下,拉普拉斯方程或泊松方程的解是唯一的,这一定理称为唯一性定理。 (3分)

它的意义:给出了定解的充要条件:既满足方程又满足边界条件的解是正确的。 13.答:电磁波包络或能量的传播速度称为群速。 (3分)

群速vg与相速vp的关系式为:

vg

vp

dvp

1

vpd

(2分)

D

14.答:位移电流:Jd 位移电流产生磁效应代表了变化的电场能够产生磁场,使麦克斯韦能够

t

预言电磁场以波的形式传播,为现代通信打下理论基础。

三、计算题 (每小题10 分,共30分)

15.按要求完成下列题目 (1)判断矢量函数B

ˆxxzeˆy是否是某区域的磁通量密度? y2e

(2)如果是,求相应的电流分布。 解:(1)根据散度的表达式

BxByBz

B

xyz

将矢量函数B代入,显然有

(3分)

B0 (1分)

故:该矢量函数为某区域的磁通量密度。 (1分) (2)电流分布为:

1JB

0

(2分)

ˆze

z0

ˆxe 

xy21

ˆyeyxz

(2分)

0

ˆx2yzeˆzxe

(1分)

16.矢量



ˆxeˆy3eˆz,B5eˆx3eˆyeˆz,求 A2e



(1)AB

(2)AB

解:(1)



ˆx2eˆy4eˆz (5分) AB7e



(2)AB103310 (5分)

17.在无源的自由空间中,电场强度复矢量的表达式为

ˆx3E0eˆy4E0ejkz Ee

(5) 试写出其时间表达式; (6) 说明电磁波的传播方向; 解:(1)该电场的时间表达式为:E

z,tReEejt (3分)

ˆx3E0eˆy4E0costkz (2分) Ez,te

(2)由于相位因子为e

jkz

,其等相位面在xoy平面,传播方向为z轴方向。 (5分)

四、应用题 (每小题 10分,共30分)

18.均匀带电导体球,半径为a,带电量为Q。试求 (3) 球内任一点的电场 (4) 球外任一点的电位移矢量

解:(1)导体内部没有电荷分布,电荷均匀分布在导体表面,由高斯定理可知在球内处处有:



DdS0 (3分)

S

故球内任意一点的电位移矢量均为零,即 (1分)

E0

(2)由于电荷均匀分布在r

ra

(1分)

a的导体球面上,故在ra的球面上的电位移矢量的大小处处相等,方

ˆr,由高斯定理有 向为径向,即DD0e



DdSQ (3分)

S

4r2D0Q (1分)

ra (1分)

Q

ˆrˆe整理可得:DD0e2r

4r

19.设无限长直导线与矩形回路共面,(如图1所示),求 (1)判断通过矩形回路中的磁感应强度的方向(在图中标出); (2)设矩形回路的法向为穿出纸面,求通过矩形回路中的磁通量。 解:建立如图坐标

(1) 通过矩形回路中的磁感应强度的方向为穿入纸面,即为

(5分)

(2) 在xoz平面上离直导线距离为x处的磁感应强度可由下式求出:

ˆye

方向。



Bdl0I

c

(3分)

即:

I

ˆy0 (1分) Be

2x

通过矩形回路中的磁通量

db



BdSS

0I0Iad

dxdzln2x2dbxdza/2

a/2

(1分)

20.解:(1)由于所求区域无源,电位函数必然满足拉普拉斯方程。 设:电位函数为

x,y,则其满足的方程为:

22

x,y220 (3分)

xy

2

(2)利用分离变量法: 

x,yfxgy

d2f

kx2f02

dxd2g2

kyg0 (2分) 2

dy

2

kx2ky0

根据边界条件

x0



xa



y

0,x,y的通解可写为:

ny

nax,yAnsinxe

an1

(1分)

再由边界条件:

y0

n

AnsinxU0

an1

求得

An An

2U0

1cosnπ (1分) n

ny

2U0na

槽内的电位分布为 x,y1cosnπsinxe

nan1

五、综合题 ( 10 分)

(7) 21.解:(1)H

1

0

ˆzE (2分) e

E

ˆy0ejz (2分) He

0

0120 (1分)

ˆx(3分) (2) 区域1中反射波电场方向为e

ˆy (2分) 磁场的方向为e

《电磁场与电磁波》试题(2)参考答案

二、简述题 (每小题 5分,共 20 分)

11. 答:磁通连续性原理是指:磁感应强度沿任一闭合曲面的积分等于零,或者是从闭合曲面S穿出去的通量等于由S外流入S内的通量。 (3分)



其数学表达式为:BdS0 (2分)

S

12.答:当一个矢量场的两类源(标量源和矢量源)在空间的分布确定时,该矢量场就唯一地确定了,这一规律称为亥姆霍兹定理。 (3分)

亥姆霍兹定理告诉我们,研究任意一个矢量场(如电场、磁场等),需要从散度和旋度两个方面去研究,或者是从矢量场的通量和环量两个方面去研究。 (2分) 13.答:其物理意义:随时间变化的磁场可以产生电场。 (3分)

B

方程的微分形式:E (2分)

t

14.答:电磁波的电场强度矢量的方向随时间变化所描绘的轨迹称为极化。(2分)

极化可以分为:线极化、圆极化、椭圆极化。(3分)

三、计算题 (每小题10分,共30分)

2

ˆxyzeˆz,试求 15.矢量函数Ayxe

(1)

A 

(2)A

AxAyAzA

解:(1)xyz

2xyy

(3分)

(2分)

eˆxeˆyeˆz(2)

A

xyz(3分)

yx20yz

eˆxzeˆzx2(2分)16.矢量A2e

ˆˆ

x2ez,Beˆxeˆy,求 AB

(1)

(2)求出两矢量的夹角

AB

2eˆˆ解:(1)

x2ezeˆxeˆy(3分)e

ˆxeˆy2eˆz(2分)

(2)根据AB

ABcos

(2分)

AB

2eˆx2eˆzeˆxeˆy2 cos

2222

1

2

(2分) 所以

60 (1分)

ue

ˆu17.解:(1)

xxeˆuu

yyeˆzz(3分)

e

ˆx2xeˆy2yeˆz2z(2分)

(2)n

ˆuu

(2分)

所以nˆ

eˆx2eˆy4e

ˆxeˆy2416

(3分)

四、应用题 (每小题 10分,共30分)

18.放在坐标原点的点电荷在空间任一点r

处产生的电场强度表达式为

E

q4e

ˆr 0r

2

(1)求出电力线方程;(2)画出电力线。

解:(1)E

qq4e

ˆqr

r0r2

43

e

x

ˆy

ye

ˆzz 0r4ˆxe0r3

2分)

由力线方程得

xyz

(2分) 

dxdydz

对上式积分得

yC1x (1分)

zC2y

式中,C1,C2为任意常数。 (2)电力线图18-2所示。

(注:电力线正确,但没有标方向得3分)

图18-2

19.设点电荷位于金属直角劈上方,如图1所示,求 (3) 画出镜像电荷所在的位置

(4) 直角劈内任意一点(x,y,z)处的电位表达式 解:(1)镜像电荷所在的位置如图19-1所示。 (注:画对一个镜像得2分,三个全对得5分)

q

q

q

19-1

(2)如图19-2所示任一点(x,y,z)处的电位为

图19-2

q1111 (3分) 40r1r2r3r4

r1

其中,

r2r3r4

x12y22z2

x12y22z2

(2分)

222

x1y2zx12y22z2

20.设时变电磁场的电场强度和磁场强度分别为:



EE0cos(te) HH0cos(tm)

(3) 写出电场强度和磁场强度的复数表达式 (4) 证明其坡印廷矢量的平均值为:Sav解:(1)电场强度的复数表达式

1

E0H0cos(em) 2

je

EE0e (3分)

电场强度的复数表达式



HH0ejm (2分)

*1

(2)根据 SavReEH

2

得 (2分)

11

SavReE0H0ej(em)E0H0cos(em) (3分)

22



五、综合题 (共10分)

21.设沿

z方向传播的均匀平面电磁波垂直入射到理想导体,如图2所示,该电磁波电场只有x分量即

ˆxE0ejz Ee

(8) 求出反射波电场的表达式; (9) 求出区域1 媒质的波阻抗。

解:(1)设反射波电场

ˆxErejz Er

e

区域1中的总电场为

根据z



ˆx(E0ejzErejz) (2分) EEre

0导体表面电场的切向分量等于零的边界条件得

ErE0 (2分)

因此,反射波电场的表达式为

ˆxE0ejz (1分) Ere

(2)媒质1的波阻抗



因而得

0

0

(3分)

120377() (2分)

《电磁场与电磁波》试题(3)参考答案

二、简述题 (每小题 5分,共 20 分)

D

11.答:它表明时变场中的磁场是由传导电流J和位移电流共同产生(3分)。

t

该方程的积分形式为

DHdlJtdS (2分)

CS

12. 答:与传播方向垂直的平面称为横向平面;(1分)

电磁场E和H的分量都在横向平面中,则称这种波称为平面波;(2分) 在其横向平面中场值的大小和方向都不变的平面波为均匀平面波。(2分)

13.答:静电场为无旋场,故沿任何闭合路径的积分为零;或指出静电场为有势场、保守场

静电场的两个基本方程积分形式:

S



DdSq



Edl0

l

或微分形式

E0

D

两者写出一组即可,每个方程1分。 14.答:

2V/ (3分)

它表示求解区域的电位分布仅决定于当地的电荷分布。(2分)

三、计算题 (每小题10分,共30分)

15.用球坐标表示的场E

ˆre

25

r2

,求

(3) 在直角坐标中点(-3,4,5)处的

E

(4) 在直角坐标中点(-3,4,5)处的Ex分量 解:

(1)在直角坐标中点(-3,4,5)在球坐标中的矢径大小为: r

324252

52 (2分)

故该处的电场大小为:

E

251

 (3分) r22

(2)将球坐标中的场表示为

252525

ˆr23r3xeˆxyeˆyzeˆz (2分) Eerrr

Ex

将r

25x

(2分) r3

52,x3代入上式即得:

Ex



2

3220

(1分)

16.矢量函数Ax

ˆxyeˆyxeˆz,试求 e

(1)A

(2)若在xy平面上有一边长为2的正方形,且正方形的中心在坐标原点,试求该矢量A穿过此正方形的

通量。 解: (1)

AxAyAzA

xyz

(3分)

2x1 (2分)

(2)

xy平面上面元矢量为

ˆzdxd y (2分) dSe

穿过此正方形的通量为



AdS

S

11

x1y1

xdxdy

0 (3分)

17.已知某二维标量场u(x,y)(1)标量函数的梯度; (2)求出通过点解:

(1)对于二维标量场

x2y2,求

1,0处梯度的大小。

u

uuˆxˆy (3分) eexy

ˆx2yeˆy (2分) 2xe

(2)任意点处的梯度大小为

则在点

u2x2y2

(2分)

1,0处梯度的大小为:

u2 (3分)

四、应用题 (每小题 10分,共30分)

ˆx3E0ejkz 18.在无源的自由空间中,电场强度复矢量的表达式为 Ee

(7) 试写出其时间表达式; (8) 判断其属于什么极化。 解:

jt

(1)该电场的时间表达式为:Ez,tReEe



(2分)

ˆx3E0costkz (3分) Ez,te

(2) 该波为线极化 (5分) 19.两点电荷q1

的 (3) 电位;

(4) 求出该点处的电场强度矢量。 解:

(1)空间任意一点

4C,位于x轴上x4处,q24C位于轴上y4处,求空间点0,0,4 处

x,y,z处的电位为:

q1

x,y,z

将x

40

x42

yz

22

q2

40xy4z

2

2

2

(3分)

0,y0,z4,q14C,q24C代入上式得空间点0,0,4处的电位为:

(2)空间任意一点

0,0,40 (2分)

x,y,z处的电场强度为

E

q140r13

r1

q240r23

r2 (2分)

其中,r1

将x

ˆxyeˆyzeˆz, r2xeˆxy4eˆyzeˆz x4e

0,y0,z4,q14C,q24C代入上式

r1r242



ˆy4eˆz (2分) ˆx4eˆz r24er14e

空间点

0,0,4处的电场强度

E

q14r

301

r1

q24r

302

r2

2640

ˆe

x

ˆy (1分) e

20.如图1所示的二维区域,上部保持电位为U0,其余三面电 位为零, (3) 写出电位满足的方程和电位函数的边界条件 (4) 求槽内的电位分布 解:

b

a

(1)设:电位函数为

x,y,

则其满足的方程为:

22

x,y220 (3分)

xy

2



(2)利用分离变量法: 

x0



xa



y0

0

yb

U0 (2分)

x,yfxgy

d2f2

kf0x2

dxd2g2

kyg0 (2分) 2

dy

2

kx2ky0

根据边界条件

x0



xa



y0

0,x,y的通解可写为:

x,yAnsin

n1

nn

xsinhy aa

再由边界条件:

求得

yb

nAnsin

an1

n

xsinha

bU0 

An An

2U0

1cosnπ (2分)

nnsinhb

a

槽内的电位分布为:

x,y

2U0nn

1cosnπsinxsinhy (1分) naan1

nsinhb

a

五、综合题 (10 分)

21.设沿

z方向传播的均匀平面电磁波垂直入射到理想导体,如图2所示,该电磁波为沿x 方向的线

极化,设电场强度幅度为E0,传播常数为。 (10) 试写出均匀平面电磁波入射波电场的表达式; (11) 求出反射系数。 解:

1.

由题意:

ˆxE0ejz (5分) Ee

(2)设反射系数为R,

ˆxRE0ejzEre

由导体表面z

(2分)

0处总电场切向分量为零可得:

1R0

故反射系数 R

1 (3分)

《电磁场与电磁波》试题(4)参考答案

二、简述题 (每小题 5分,共 20 分)

11.答:恒定磁场是连续的场或无散场,即磁感应强度沿任一闭合曲面的积分等于零。产生恒定磁场的源是矢量源。 (3分)

两个基本方程:



BdS0 (1分)

C

HdlI

S

(1分)

(写出微分形式也对)

12.答:设理想导体内部电位为2,空气媒质中电位为1。

由于理想导体表面电场的切向分量等于零,或者说电场垂直于理想导体表面,因此有

1S2

S

(3分)

0

1n



S

(2分)

13.答:静电平衡状态下,带电导体是等位体,导体表面为等位面;(2分)

导体内部电场强度等于零,在导体表面只有电场的法向分量。(3分)

14.答:在导电媒质中,电磁波的传播速度随频率变化的现象称为色散。 (3分)

色散将使信号产生失真,从而影响通信质量。 (2分)

三、计算题 (每小题10分,共30分)

15.标量场

x,y,zx2y3ez,在点P1,1,0处

(1)求出其梯度的大小 (2)求梯度的方向

解:(1)

e

ˆxxeˆye

yˆzz

e

ˆzx2xy3eˆy3x2y2eˆze



P

e

ˆx2eˆy3eˆz

梯度的大小: 

P

 (2)梯度的方向

n

ˆ

n

ˆe

ˆx2eˆy3eˆz 16.矢量A

eˆx2e

ˆ

y,Beˆx3eˆz,求 

(1)AB

(2)

AB

e

ˆxeˆyeˆz解:(1)根据AB

Ax

AyAz Bx

ByBze

ˆxeˆye

ˆz所以AB1

20eˆx6eˆy3eˆz2 1

3

(2)AB

e

ˆx2eˆyeˆx3eˆz (2分)

(2分) (1分)

(3分)

(2分) (3分)

(2分) 2分)



ˆx2eˆy3eˆz (3分) AB2e

17.矢量场A的表达式为

ˆx4xeˆyy2 Ae

(1)求矢量场

A的散度。

(2)在点1,1处计算矢量场A的大小。

解:(1)

AxAyAz

A

xyz42y

(2)在点

(3分)

(2分)

ˆx4eˆy Ae

1,1处 矢量

(2分)

所以矢量场A在点1,1处的大小为

A4212

(3分)

四、应用题 (每小题 10分,共30分)

18.一个点电荷

q位于a,0,0处,另一个点电荷2q位于a,0,0处,其中a0。求

(3) 求出空间任一点

x,y,z处电位的表达式;

(4) 求出电场强度为零的点。

图18-1

解:(1)建立如图

18-1所示坐标

空间任一点的电位

q12 (3分) 40r2r1

其中,r1

xa2y2z2 (1分)

(1分)

r2

xa2y2z2

(2)根据分析可知,电场等于零的位置只能位于两电荷的连线上的

q的左侧,(2分)

设位于x处,则在此处电场强度的大小为

E

q412 0xa2xa2

令上式等于零得

1

xa2

2

xa2

求得

x322

a

19.真空中均匀带电球体,其电荷密度为,半径为a,试求 (3) 球内任一点的电位移矢量 (4) 球外任一点的电场强度

解:(1)作半径为r的高斯球面,在高斯球面上电位移矢量的大小不变, 根据高斯定理,有

D4r

2

4

3r3 D3

r

ra (2)当r

a时,作半径为r的高斯球面,根据高斯定理,有

D4r

2

4

a33

 Da3

3r

3r 电场强度为

(1分)

(2分)

(2分)(1分)(2分) (2分)

2分)(

a3

Er (1分) 3

30r

20. 无限长直线电流I垂直于磁导率分别为1和2的两 种磁介质的交界面,如图1所示。试 (3) 写出两磁介质的交界面上磁感应强度满足的方程 (4) 求两种媒质中的磁感应强度B1和B2。 解:(1)磁感应强度的法向分量连续 B1n

B2n (2分)

B1 B2

1 2

根据磁场强度的切向分量连续,即 H1t

因而,有

H2t (1分)

B1t

1

B2t

2

(2分)

ˆ,也即是分界面的切向分量,再根据磁场强度的切(2)由电流在区域1和区域2中所产生的磁场均为e

向分量连续,可知区域1和区域2中的磁场强度相等。 (2分) 由安培定律

C



HdlIH

I2r

得 (1分)

因而区域1和区域2中的磁感应强度分别为

I

ˆ1B1e

2rI

ˆ2B2e

2r

(1分)

(1分)

五、综合题 (10分)

21. 设沿

z方向传播的均匀平面电磁波垂直入射到理想导体,如图

2所示,入射波电场的表达式为

ˆyE0ejz Ee

(1)试画出入射波磁场的方向 (2)求出反射波电场表达式。

解:(1)入射波磁场的方向如图21-1所示。

(2)设反射波电场

H图2

图21-1

ˆyErejz Ere

区域1中的总电场为

根据z



ˆy(E0ejzErejz) (2分) EEre

0导体表面电场的切向分量等于零的边界条件得

ErE0 (2分)

因此,设反射波电场为

ˆyE0ejz (1分) Ere

《电磁场与电磁波》试题(5)参考答案

二、简述题 (每小题 5分,共 20 分)

11.答:高斯通量定理是指从封闭面发出的总电通量数值上等于包含在该封闭面内的净正电荷。(3分)

其积分形式和微分形式的表达式分别为:

DdV

V

V

VdV

DV (2分)

12.答:变化的电场产生磁场;

变化的磁场产生电场;(3分)

使电磁场以波的形式传播出去,即为电磁波。(2分)

13.答:决定不同介质分界面两侧电磁场变化关系的方程称为边界条件。 (5分) 14.答:其物理意义为:

穿过闭合曲面的磁通量为零,可以理解为:穿过一个封闭面S

的磁通量等于离开这个封闭面的磁通量,

换句话说,磁通线永远是连续的。 (3分) 其微分形式为: B

0 (2分)

三、计算题 (每小题10 分,共30分)

ˆxxeˆyxyeˆzy15.已知矢量Ae

2

z,

(3) 求出其散度 (4) 求出其旋度 解 (1)

AAxAyxy

Az

z

1xy2 (2)

eˆe

ˆyeˆzAx

xyzxxyy2z

2yze

ˆxyeˆz16.矢量A

e

ˆx2eˆy,Beˆx3eˆz,

(1)分别求出矢量A和B的大小 AB(2)

解: (1) A

2225

B232

 (2)

AB

AxBxAyByAzBz 1120031 (3分)

(2分)

(3分)

(2分)

(3分)

2分)

(3分)

(2分)

17.给定矢量函数E

ˆxyeˆyx,试 e

(1)求矢量场E的散度。

(2)在点解: (1)

3,4处计算该矢量E的大小。

EEyEzEx

xyz

(3分)

0 (2分)

(2)点

ˆx3eˆy,故其大小为 3,4处E4e

E42325 (5分)

四、应用题 (每小题 10分,共30分)

18.设无限长直线均匀分布有电荷,已知电荷密度为l如图1所 示,求 (3) 空间任一点处的电场强度; (4) 画出其电力线,并标出其方向。 解(1)

ˆr,在底面半由电荷的分布对称性可知,离导线等距离处的电场大小处处相等,方向为沿柱面径向e

径为r长度为L的柱体表面使用高斯定理得:

EdS

s

侧面



EdS

顶面



EdS

底面



EdS

(3分)

2rLEr00lL/0

可得空间任一点处的电场强度为:

ˆrEe

l

20r

(2分)

(2)其电力线如图18-2所示。(5分) 注:如图中未标明方向得3分

19. 设半径为a的无限长圆柱内均匀地流动着强度为I的电流,设柱外为自由空间,求

(3) 柱内离轴心r任一点处的磁场强度; (4) 柱外离轴心r任一点处的磁感应强度。 解

(1)由电流的柱对称性可知,柱内离轴心r任一点处的磁场强度大小处处相等,方向为沿柱面切向

ˆ,由安培环路定律: e

r2

Hdl2rH2Iac

ˆHe

r

a (3分)

整理可得柱内离轴心r任一点处的磁场强度

r

I2

2a

ra (2分)

ˆ,由安培环路定律: (2)柱外离轴心r任一点处的磁感应强度也大小处处相等,方向为沿柱面切向e



Bdl2rB0I ra (3分)

c

整理可得柱内离轴心r任一点处的磁感应强度

I

ˆ0Be

2r

ra (2分)

20.一个点电荷q位于一无限宽和厚的导电板 上方,如图2所示, (3) 计算任意一点的P(4) 写出z x,y,z的电位

0的边界上电位的边界条件

解:

根据镜像法,镜像点的位置如图20-1,并建立如图坐标。 (1)任意一点的P

x,y,z的电位表示为

x,y,z

q4

q0r1

4 (3分)

0r 2

y2zd

2

其中,

r1x2(2分)

r22

2xy2 zd

(2)z0的边界上电位的边界条件为

z0

0 (5分)

五、综合题 (10分)

21.平面电磁波在1

90的媒质1中沿z方向传播,在z0处垂直入射到240的媒质2中,

120,如图3所示。入射波电场极化为x方向,大小为E0,自由空间的波数为k0,

(1)求出媒质1中入射波的电场表达式; (2)求媒质2中的波阻抗。 解: (1)

在媒质1中的波数为

k1

110903k0

(2分)

媒质1中入射波的电场表达式

E

ˆe

xEjkz0e1zeˆj3kxE0e0 (3分) (2)

媒质2中的波阻抗为

22

22

(3分)

6040

(2分)

《电磁场与电磁波》试题(6)参考答案

二、简述题 (每小题 5分,共 20 分)

11答:穿过闭合曲面S的通量表达式

AdS (2分)

S

通量表示在单位时间内流体从闭合曲面内流出曲面S的正流量与从闭合曲面S外流入内部的负流量的代数和,即净流量。 (1分) 当当当

0,表示流出多于流入,说明此时在S内有正源; 0则表示流入多于流出,此时在S内有负源;

0则表示流入等于流出,此时在S内无源。 (2分)

12.答:对于观察者静止且量值不随时间变化的电荷产生的电场称为静电场。(3分) 静电场是无旋场。 (2分) 13.答:与传播方向垂直的平面称为横向平面; (1分)

若电磁场分量都在横向平面中,则称这种波称为平面波;(2分) 也称为横电磁波即TEM波。 (2分)

14.答:理想导体表面电场所满足的边界条件: 电场的切向分量为零;

Et0 (3分)

法向分量满足:

En/0

其中,为导体表面电荷密度。 (2分)

三、计算题 (每小题10分,共30分)

15.某矢量函数为E(1)试求其散度

ˆxyeˆy x2e

(2)判断此矢量函数是否可能是某区域的电场强度(静电场)? 解: (1)

ExEyEzE

xyz

(3分)

2x1 (2分)

(2)

ˆxeE

xx20

ˆyeyyˆzez0

(2分)

(1分)

可见,该矢量函数为无旋场,故它可能是某区域的电场强度。 (2分)



16.已知A、B和C为任意矢量,若ABAC,则是否意味着 (1)B总等于C呢?

(2)试讨论之。 解:

(1) 不一定 (5分) (2)

由: 知:

ABAC



ABC0 (2分)

此时当有三种可能:

BC

或 或

A0



A与BC相互垂直 (3分)

17.在圆柱坐标系中,一点的位置由4,



2

,3定出,求该点在 3

(1)直角坐标系中的坐标 (2)写出该点的位置矢量。 解:

(1)设直角坐标系中的坐标为

x,y,z,由圆柱坐标系与直角坐标系转换关系得:

xcos4cos

2

2 (2分) 32

ysin4sin3.464 (2分)

3z3 (1分)

(2)任意点的位置矢量为 将

ˆxyeˆyzeˆz (3分) rxe

x,y,z的数值代入得该点的位置矢量:

ˆx3.464eˆy3eˆz (2分) r2e

四、应用题 (每小题 10分,共30分)

18.设z

0为两种媒质的分界面,z0为空气,其介电常数为10,z0为介电常数250

ˆxeˆz,求 的媒质2。已知空气中的电场强度为E14e

(1)空气中的电位移矢量。 (2)媒质2中的电场强度。 解: (1)

空气中的电位移矢量



D10E1 (3分)

ˆx0eˆz (2分) 40e

(2)由边界条件如图18-2所示,

切向分量 法向分量

E2xE1x4

D2zD1z0 (3分)

故:

E2zD2z/2

1 5

1

ˆxeˆz (2分) E24e

5

得媒质2中的电场强度为:

19.设真空中无限长直导线电流为I,沿z轴放置,如图1所示。求 (1)空间各处的磁感应强度B (2)画出其磁力线,并标出其方向。 解: (1)

由电流的柱对称性可知,柱内离轴心r任一点处的磁场强度大小处处相等,方向为

ˆ,由安培环路定律: 沿柱面切向e



Hdl2rHI (3分)

c

I

ˆ 得: He 2r

于是空间各处的磁感应强度为:

I

ˆ0B0He

2r

(2分)

(2) 磁力线如图19-2所示

(3分) 方向:与导线电流方向成右手螺旋。 (2分)

20.平行板电容器极板长为a、宽为b,极板间距为d,设两极板间的电压为U,求 (1)电容器中的电场强度; (2)上极板上所储存的电荷。 解

(1)电位满足如下方程

d2

0 (1分) 2

dx

边界条件: 

x0

0 xdU

方程的通解 

xCxD

xU

d

x (2分) 

ˆxe

Ud

(2分)

由边界条件得: 

故电容器中的电场强度为 E(2)

ˆ 上极板上的法向矢量为 n

故其上的电荷密度为:

ˆx (1分) e

Uˆ00En

d

(2分)

总的电荷为 QS

0U

d

ab (2分)

五、综合题 (10分)

21.平面电磁波在1

90的媒质1中沿z方向传播,在z0处垂直入射到240的媒质2中,

,如图3所示。

120。电磁波极化为x方向,角频率为300Mrad/s

(1)求出媒质1中电磁波的波数; (2)反射系数。 解 (1)

k0

c

1 (1分)

媒质1电磁波的波数

k111

(2分)

003k03 (2分)

(2)

1

0120401301206022

2

(2分)

R

216040

0.2 (3分)

216040

《电磁场与电磁波》试题(7)参考答案

二、简述题 (每小题 5分,共 20 分)

11.答:恒定电流所产生的不随时间变化的磁场称为恒定磁场; (3分)

它具有无散、有旋特性 (2分)

B0 HJ

12.答:当穿过线圈所包围面积S的磁通发生变化时,线圈回路C中将会感应一个电动势;(2分)感应

电动势在闭合回路中引起的感应电流的方向是使它所产生的磁场阻止回路中磁通的变化; (1分)

d

CEdldtSBdS (2分)

13.答:电磁波等相位面传播的速度称为相速。 (3分)

所谓群速则是包络或者是能量传播的速度; 相速vp与群速vg的关系式为:

vg

vp

dvp1

vpd

(2分)

14.高斯通量定理的微分形式为D,试写出其积分形式,并说明其意义。

答:



DdSVdVQ (3分)

S

V

它表明从封闭面发出的总电通量数值上等于包含在该封闭面内的净正电荷。 (2分)

二、计算题 (每小题10 分,共30分)

15.自由空间中一点电荷位于S

3,1,4,场点位于P2,2,3

(1)写出点电荷和场点的位置矢量

(2)求点电荷到场点的距离矢量R

解: (1)

点电荷位置矢量 rs

ˆxeˆy4eˆz (3分) 3e

场点位置矢量 r

f2e

ˆx2eˆy3eˆz(2)

点电荷到场点的距离矢量

Rrr

fs R

5e

ˆx3eˆyeˆz 16.某二维标量函数u

y2x,求

(1)标量函数梯度u

(2)求梯度在正x方向的投影。 解:

(1) 对于二维标量场

u

uxeˆuxy

eˆy (3分)

e

ˆx2yeˆy (2分) (2)梯度在正x方向的投影

ue

ˆx1 (5分) 18. 矢量场

A

e

ˆxxeˆyyeˆzz,求 (1)矢量场的散度

A

(2)矢量场在点1,2,2处的大小。

解: (1)

(2分) (3分) (2分)

AxAyAzA

xyz

(3分)

1113 (2分)

(2)矢量场A在点1,2,2处的大小

Ax2y2z2

(3分)

222223 (2分)

四、应用题 (每小题 10分,共30分)

18.电偶极子电量为q,正、负电荷间距为d,沿z轴放置,中心位于原点,求 (1)求出空间任一点P(2)画出其电力线。 解:

(1) 空间任一点P处的坐标为

则该点处的电位为:

x,y,z处的电位表达式

x,y,z

x,y,z

其中,

q40r2

q40r1

(3分)

r1x2y2zd/2

2

r2x2y2zd/2(2)电力线图如图18-2所示(5分)

(2分)

2

0

电力线

0

19.同轴线内导体半径为a,外导体半径为b

内、外导体间介质为空气,其间电压为U

(1)求r(2)求a解:

a处的电场强度 rb处的电位移矢量

(1) 导体内部没有电荷分布,故内导体内部ra处

图2

的电场强度处处为零。 (5分)

(2)

设单位长内导体表面电荷密度为l,由电荷的分布对称性可知,离导线等距离处的电场大小处处相

ˆr,在底面半径为r长度为L的柱体表面使用高斯定理得: 等,方向为沿柱面径向e



EdS

s

侧面



EdS

顶面



EdS

底面



EdS

2rLEr00lL/0

可得a

rb任一点处的电场强度为:

ˆrEe

再由

l

( 3分)

20r

UEdr

ra

b

llb

ln20r20ara

b

得arb任一点处的电位移矢量为:



ˆrD0Ee

rlnb/a0U

(2分)

20.已知钢在某种磁饱和情况下磁导率120000,当钢中的磁感应强度B10.5102T、

175时,此时磁力线由钢进入自由空间一侧后,如图3所示。求

(1)B2与法线的夹角2

(2)磁感应强度B2的大小 解: (1) 由

tan11

tan22

(3分

)

范文二:2014年-电磁场与电磁波——答案

西安电子科技大学

考试时间 120 分钟

试 题

1.考试形式:闭卷;2.本试卷共 7大题,满分100分.3全部答案写在试题纸上。 班级 学号 姓名 任课教师



)ˆxa(yyˆ一、(15分)已知a是常矢,矢径R(xx,a)ya(z

ˆ)zz



求(1) R,(2) R,(3) R,(4)(aR),R,



ˆxxyaˆyyzaˆzxz,矢量A是否满足库(5) (aR),(6) (RaR),(7)若Aa伦规范。 [解]

ˆ(yy)aˆ(zz)aˆR(xx)a

(1) R (2分)

R

(2) R3 (2分) 

(3) R0 (2分)

R

(4) (aR)Raa (2分)

R

R

(5) (aR)Raa (2分)

R

R

(6) (RaR)(R)aR(aR)R(Ra)R(a)R0(2分)

R

ˆyˆzˆyyzˆzxzˆ)(xxyˆ)yzx0,(7) A(x矢量A不满足库伦xyz

规。(3分)

二、(25分)

1. 写出麦克斯韦方程组微分形式的复数表达式及边界条件的矢量形式,并指出麦克斯韦方程组中独立的方程。 [解]

麦克斯韦方程组微分形式的复数表达式

HJjD

EjB

(2分) 

B0D边界条件的矢量形式



ˆE2E10n

ˆH2H1Jsn

(2分) 

ˆD2D1sn



ˆB2B10n

独立方程有三个:

HJjD



EjB (1分) D

或者

独立方程有三个:

HJjD



EjB (1分)

Jj

2. 在真空中有一个静止的点电荷q放置于直角坐标系的坐标原点处,写出空间任一点(x,y,z)处的电场强度、电位与等位面方程。 [解]

E(x,y,z)

q

40(x2y2z)

322

ˆyyˆzzˆ) (xx (2分)



(2分)

x2y2z2c (c0)为等位面方程 (1分)

3. 若一均匀平面电磁波在良导体银中传播,若电磁波的波长为7.3514×10-6m,银的电导率6.1510Sm,求银的集肤深度与表面电阻。

7

[解]



R

s

1



1

1.1710m (3分) 2

6

7

6

1



1

0.0139 (2分)

6.15101.1710

4. 对于非磁性介质,写出斜入射时均匀平面波产生全反射的条件。 [解]

12

(2分)

(3分)

i2

5. 计算自由空间中电流强度为10mA,长度为dl0.1的电基本振子的辐射电阻与辐射功率。 [解]

Rr802(

Pr

dl

)20.827.896 (2分)

(2分)

12

IRr0.5(102)27.8963.948104W2

三、(8分)推导无源区域,均匀、线性、各向同性、无耗媒质中时变电磁场的波动方程。 [解]

对于无源区域,均匀、线性、各向同性、无耗媒质中的时变Maxwell方程组为

E

 H (1) t

H

 E (2) t

H0 (3)

E0 (4) (2分)

对(1)两边去旋度,可得

E2

(H)H(E )(5) (2分) H tt

将(3)和(2)代入(5)中,可得

2H

2H20 (6) (1分)

t

类似地,将(2)两边去旋度,可得

H2

(E)E(H )(7) (2分) E tt

将(4)和(1)代入(7)中,可得

2E

2E20 (8) (1分)

t

四、(10分)同心球电容器的内导体半径为a,外导体内半径为b,其间填充两种均匀线性各向同性的电介质,上半部分的介电常数为1,下半部分的介电常数为2,如图1所示。设内外导体带电分别为q和-q,求上半部分与下半部分



的电场强度E和电位移矢量D,以及该电容器的电容C。

图1(第四题用图)

[解]为了满足介质分界面上电场强度切向分量连续的条件,上下两部分的电场强度满足



ˆ (2分) EEE(r)a

1

2

r

则对应的电位移矢量分别为



ˆr D22E2E2(r)aˆr D11E11E(r)a在半径为r的球面上应用高斯定理,有

2rE2rEq (2分)

2

2

1

2

于是

E

q

(1分)

2r()

2

1

2

上下部分的电场强度与电位移矢量分别为

EE

1

2

q

ˆ a

2r()

2

r

1

2

2

D

1

qq

ˆ (2分) ˆ Daa

2r()2r()

12

r

2

2

r

1

2

1

2

内外导体间的电位差为

U

最终两导体间的电容为

b

a



Edr

11

 (2分) 2()ab

1

2

q

C

q2()ab

 (1分) Uba

1

2

五、(12分)如图2所示,一个半径为a的金属半球壳,其底部连接一个接地

的金属导体版。若内部填充空气,并在距离球心d处放置一个电量为Q的点电荷,采用镜像法求半球壳内部的电位,并说明镜像法的理论基础。

z

图2(第五题用图)

[解]首先考虑一个半径为a的接地导体球壳,其内部在距球心距离为d处放置一个点电荷Q

的等效问题,如下图所示。

相应的等效问题为去掉导体球壳,在距球心距离为b处放置一个镜像点电荷Q',镜像电荷与原电荷共同作用在球壳位置处产生的电位为零,即



Q1Q1

0 (1) (2分)

40r140r2

其中r1和r2为球面上一点到Q和Q'的距离。若选择球面上的P点分别为离原电荷最远和最近处,则有

1Q1

0 (2) (1分)

40ad40abQ

求解(2)和(3),可得

1Q1

0 (3) (1分)

40ad40baQ

a

QQ (4) (1分)

d

a2

b (5) (1分)

d

由此,图2中的等效问题如下图所示。

z

为了同时满足球壳和导体平面的电位为零,则在(0,0,a2/d)的位置处放置镜像电荷-aQ/d(1分),在(0,0,-d)的位置处放置镜像电荷-Q(1分),以及在(0,0,-a2/d) 的位置处放置镜像电荷aQ/d(1分)。这三个镜像电荷与原电荷一起在半球壳内部产生的电位为



其中

Q1aQ1Q1aQ1

(3分) 40r140dr240r34d0r4

r1 (0za,x2y2z2

a2)

r2

r3

r4

六、(12分),如图3所示,一个右旋圆极化的均匀平面电磁波由空气(z

射到一个无限大理想介质交界面(z=0),入射波电场强度的复数表达式为

ˆxbaˆyz)ej2z)(V/m) Ei(a已知理想介质区域(z>0)的相对磁导率r1,若在空气(z

(1) 工作频率f,入射角i,以及参数b; (2) 理想介质的相对介电常数r;

(3) 透射波的传播矢量k。

t

图3(第六题用图)

[解]

(1)入射波的传播矢量为

xaˆz) (1分) k2i

则传播常数为

k4 radm (1分)

i

考虑到在空气中传播,则频率为 f进一步,传播方向单位矢量为

1ˆˆaˆ k

2

i

x

z

kc

i

2

610 Hz (1分)

8

则与z轴夹角的方向余弦为

1ˆaˆ cosk

2

i

i

z

从而入射角为

60 (1分)

o

i

ˆ0,以及aˆ0,则可将入射波电场矢量分解为两个分量

ˆxz)kˆyk由于(ai

ˆEae

i

x

z

j2z)

ˆeba

y

j2z)

(1分)

由于它是圆极化波,则

b2 (1分)

又因为是右旋圆极化波,并考虑到

ˆ)baˆˆbaˆ (a

x

z

y

x

z

ˆ平行,则 与k

b2j (1分)

(2)由于反射波是一个线极化波,则入射角应为布儒斯特角

tan (1分)

i

则可得

3 (1分)

r

(3)由Snell折射定律可知

sintsini1

 (1分) 2

则折射角为

t30o

透射波的传播常数为

kk

t

radm (1分)

则透射波的传播矢量

1ˆxsintaˆzcost)4aˆxaˆzˆx2aˆz6 (1分) ktkt(aa

2

七、(18分)如图4所示,区域I (z 0)为理想介质,其相对介电常数r5与相对磁导率r20。区域I中入射波电场强度的瞬时值为



ˆx60cos(2108tkz)aˆy60sin(2108tkz) Ei(r,t)a

(1) 传播常数k以及区域I中的波长; 

(2) 反射电磁波电场强度Er和透射电磁波电场强度Et的复数值表达式;



(3) 反射电磁波磁场强度Hr和透射电磁波磁场强度Ht的瞬时值表达式Hr(z,t)

和H(z,t);

t

(4) 判断入射电磁波、反射电磁波和透射电磁波是何种极化波;



(5) 计算反射平均功率密度Sav,r和透射平均功率密度Sav,r。

图4(第七题用图)

[解]

(1)入射波的频率f108 Hz,考虑到在空气中传播,则传播常数

21082

k rads (1分)

c31083

在I区域中的波长为



2

3 m (1分) k

(2)将入射电场表示成复数形式可得

2z2z

jj

3ˆx60eˆy603 (1分) Ei(r)aja

由于分界面是在z=0平面,则入射波是垂直入射到分界面上,相应的反射系数与透射系数为



102001 (1分)

102003

40214

(1分)

102003

T

透射波的常数为

kt

20

rads 3

第11页 共7 页

则反射电场与透射电场的复数形式为

2z2z2z2z

jjjj

ˆx60e3jaˆy603)aˆx20e3jaˆy203 (1分) Er(r)(a

20z20z20z20z

jjjj

ˆx60e3jaˆy603)aˆx80e3jaˆy803 (1分) Et(r)T(a

(3)入射波、反射波、透射波磁场强度的复数表达式为

j2z2z

jj1133ˆ60eˆx60ˆxHi(r)(aja)ja

0y2

2z

3

z

1j2

3ˆyae (1分) 2z

1j2ˆyae3 (1分) 6

2z2z

jj11

ˆy20e3jaˆx203)jaˆxHr(r)(a06j20z20z

jj11

ˆy80e3jaˆx803)jaˆxHt(r)(a13

j

2z

3

20z3

1j203zˆyae (1分) 3

对应的瞬时值为

12z12z

ˆxˆyHi(r,t)asin(2108t)acos(2108t) (1分) 2323

12z12z

ˆxˆyHr(r,t)asin(2108t)acos(2108t) (1分) 6363

120z120z

ˆxˆyHt(r,t)asin(2108t)acos(2108t) (1分) 3333(4)

入射电磁波是右旋圆极化波 (1分) 反射电磁波是左旋圆极化波 (1分) 透射电磁波是右旋圆极化波 (1分)

(5)

EH180010

ˆˆˆ (1分) SRe()zEzz

222403

*

r

r

2

av,r

r



EH11280080

ˆˆˆ (1分) SRe()zEzz

224803

*

t

t

2

av,t

t

1

第12页 共7 页

范文三:电磁场与电磁波习题及答案

1

1

麦克斯韦方程组的微分是:.HJDt

,E形式

B

t,B0,D

2静电场的基本方程积分形式为:





CEdl0 SDds

3理想导体(设为媒质2)与空气(设为媒质1)分界面上,电磁场的边界条件为:4线性且各向同性媒质的本构关系方程是:5电流连续性方程的微分形式为:。 6电位满足的泊松方程为 ; 在两种完纯介质分界面上电位满足的边界 。7应用镜像法和其它间接方法解静

态场边值问题的理论依据是。8.电场强度E

的单位是,

电位移D

的单位是 。9.静电场的两个基本方程的微分

形式为 E0 D ;10.一个直流电流回路除受到另一个直流电流回路的库仑力作用外还将受到安培力作用

e

n3.DeSnB DE,BH,

JE

e

0

4.nE0enHJS

J



212

5.

t6. 12 1n2n

7.唯一性定理 8.V/m C/m2

1.在分析恒定磁场时,引入矢量磁位

A,并令

BA的依据是(c.B

0 )

2. “某处的电位0,则该处的电场强度E

0”

的说法是(错误的 )。

3. 自由空间中的平行双线传输线,导线半径为a, 线间距为D,则传输线单位长度的电容为( C0

1

)。

lnDaa

)

4. 点电荷产生的电场强度随距离变化的规律为( 1/r2

)。 5. N个导体组成的系统的能量W1N

2qii

,其中i

i1

是(除i个导体外的其他导体)产生的电位。 6.为了描述电荷分布在空间流动的状态,定义体积电流密度J,其国际单位为(a/m2 )

7. 应用高斯定理求解静电场要求电场具有(对称性)

分布。

8. 如果某一点的电场强度为零,则该点电位的(不一定为零 )。

8. 真空中一个电流元在某点产生的磁感应强度dB随该点到电流元距离变化的规律为(1/r2 )。

10. 半径为a的球形电荷分布产生的电场的能量储存于 (整个空间 )。

三、海水的电导率为4S/m,相对介电常数为81,求频率为1MHz时,位幅与导幅比值?

三、解:设电场随时间作正弦变化,表示为:

Ee

xEmcost

则位移电流密度为:JD

dt

ex0rEmsint 其振幅值为:Jdm0rEm4.5103Em 传导电流的振幅值为:JcmEm4Em 因此: JdmJ1.125130

cm

四、自由空间中,有一半径为a、带电荷量q的导体球。

试求:(1)空间的电场强度分布;(2)导体球的电容。(15分)

四、解:由高斯定理

得qSDdSqD4r2

DeqrDer4r

2 空间的电场分布ED

eqr

4

0r

2

导体球的电位

Uq

a

Edl

a

Edra

er

d4rq2

0r

4

0a

导体球的电容C

q

U

40a 五、两块无限大接地导体板分别置于x=0和x=a处,其间在x=x0处有一面密度为C/m2的均匀电荷分布,如图所示。求两导体板间的电场和电位。(20分)

d2

1xd2dx

200x2

0;dx

20

x0xa 得:

1xC1xD10xx0;

2xC2xD2x0

x a 1

2

1x和2x满足得边界条件为

100,2a0;1x02x0,

x0a

,D1

0a

6.电介质的极性分子在无外电场作用下,所有正、负电

1x2xxx0

x0x

用下,极性分子的电矩发生________________,使电偶极矩的矢量和不再为零,而产生__________。 7.根据场的唯一性定理在静态场的边值问题中,只要满

解得

C1

x0Dx0

0,C2,2

00a

ax0

所以xx0≤x≤x,

1a

00 xx0ax2

x0≤x≤a 0a

Edxax101xex1dxex

0xx0

0a

Eed2x2xx0

2xdxex

x0xa

0a

六、有一平行金属板电容器,极板面积为l×b,板间

距离为d,用一块介质片(宽度为b、厚度为d,介电常数为ε)部分填充在两极板之间,如图所示。设极板间外加电压为U0,忽略边缘效应,求介质片所受的静电力。

六、解:平行板电容器的电容为:

C(lx)bbx

dd

所以电容器内的电场能量为:W12CU2

bU2

0e02d[0(lx)x]

由 FWe

i

g不变 可求得介质片受到的静电i

力为:FWe

b(2

x

x

U0)U0

0不变2d

1.旋度矢量的 恒等与零梯度矢量的 恒等与零。 2.在静电场中,导体表面的电荷密度与导体外的电

位函数满足 的关系式 。

3.极化介质体积内的束缚电荷密度与极化强度之间的关系式为 。

4.若密绕的线圈匝数为N,则产生的磁通为单匝时的

倍,其自感为单匝的 倍。

5.如果将导波装置的两端短路,使电磁波在两端来回反

射以产生振荡的装置称为 。

足给定的_______ 条件,则泊松方程或拉普拉斯方程的

解是__________。

8.谐振腔品质因素Q定义为_______________。

9.在导电媒质中,电磁波的传播速度(相速)随 改变的现象,称为色散效应。

10.在求解静电场的边值问题时,常常在所研究的区域之外,用一些假想的电荷代替场问题的边界,这种求解方法称为 法。

11.若电介质的分界面上没有自由电荷,则电场和电位移应满足的边界条件分别为 , 。 12.电磁波的恒定相位点推进的速度,称为 ,而包络波上某一恒定相位点推进的速度称为 。 13在任何导波装置上传播的电磁波都可分为三种模式,它们分别是 波、 波和 波 判断题

1.应用分离变量法求解电、磁场问题时,要求整个场域内媒质必须是均匀、线性的。()

2.一个点电荷Q 放在球形高斯面中心处。如果此电荷被移开原来的球心,但仍在球内,则通过这个球面的电

通量将会改变。() 3.在线性磁介质中,由

L

I 的关系可知,电感系数不仅与导线的几何尺寸、材料特性有关,还与通过线圈的

电流有关。( )

4.电磁波垂直入射至两种媒质分界面时,反射系数与透射系数之间的关系为1+=。()

5.损耗媒质中的平面波,其电场强度和磁场强度在空间

上互相垂直、时间上同相位。()

6.均匀平面波中的电场能量与磁场能量相等。()

7位移电流和传导电流都是电荷定向运动形成的。()

2

3

8.在时变电磁场中,只有传导电流与位移电流之和才是连续的。()

9.若有两个带电导体球的直径,与球间距离差不多,它们之间的静电力等于把每个球的电量集中于球心后所形成的两个点电荷之间的静电力。()

第三套 1.在均匀各向同性线性媒质中,设媒质的导

磁率为,则磁感应强度B

和磁场H满足的方程为:

2.设线性各向同性的均匀媒质中,2

0称为 方程。 3.时变电磁场中,数学表达式SEH称为 。

4.在理想导体的表面, 的切向分量等于零。

5.矢量场A(r)穿过闭合曲面S的通量的表达式为:

6.电磁波从一种媒质入射到理想 表面时,

电磁波将发生全反射。 7.静电场是无旋场,故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于 。

8.如果两个不等于零的矢量的 等于零,则此

两个矢量必然相互垂直。

9.对平面电磁波而言,其电场、磁场和波的传播方向三者符合 关系。 10.由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场,恒定磁场是无散场,因此,它可用 函数的旋度来表

示。

11.已知麦克斯韦第二方程为E

Bt,试说明其物理

意义,并写出方程的积分形式

11.答:意义:随时间变化的磁场可以产生电场。 其积分形式为:Ed

lBdSCS

t

12.试简述唯一性定理,并说明其意义。

12.答:在静电场中,在给定的边界条件下,拉普拉斯方程或泊松方程的解是唯一的,这一定理称为唯一性定理。 它的意义:给出了定解的充要条件:既满足方程又满足边界条件的解是正确的。

13.什么是群速?试写出群速与相速之间的关系式。

13.答:电磁波包络或能量的传播速度称为群速。 群速vg与相速vp的关系式为: vvpg

1

dvpvpd

14.写出位移电流的表达式,它的提出有何意义?

14.答:位移电流:JD

dt

位移电流产生磁效应代表了变化的电场能够产生磁场,使麦克斯韦能够预言电磁场以波的形式传播,为现代通信打下理论基础。

三、计算题 (每小题10 分,共30分)

15.按要求完成下列题目

(1)判断矢量函数B

y2eˆ

xxzeˆy是否是某区域的磁通量密度?(2)如果是,求相应的电流分布。

解:(1)根据散度的表达式BBxByBz将矢xyz

量函数B代入,显然有B0 故:该矢量函数为某

区域的磁通量密度。

(2)电流分布为:

J1B(2分)0

eˆxeˆyeˆz

xyz(2分)y2xz0

1

xeˆx2yzeˆz(1分)0

16.矢量A

2ˆexeˆy3eˆz,B

5eˆx3eˆyeˆz

,求(1)AB(2)AB 解:1AB

7eˆx2eˆy4eˆz 2AB

103310

17.在无源的自由空间中,电场强度复矢量的表达式

为E

eˆ

jkzx3E0eˆy4E0e 1.试写出其时间表达式;2.说明电磁波的传播方向; 解:(1)该电场的时间表达式为:Ez,tReEejt

E

z,te

ˆx3E0eˆy4E0costkz 由于相位因子为e

jkz

,其等相位面在xoy平面,传播

方向为z轴方向。

3

18.均匀带电导体球,半径为a,带电量为Q。试求球内任一点的电场球外任一点的电位移矢量 解:(1)导体内部没有电荷分布,电荷均匀分布在导

体表面,由高斯定理可知在球内处处有:DdS

0

S

故球内任意一点的电位移矢量均为零,即 E

0ra由于电荷均匀分布在ra的导体球面上,故在ra的球面上的电位移矢量的大小处处相等,即D

方向为径向,

D0ˆe

r,由高斯定理有DdS

Q即

S

4r2D

0Q整理可得:DDQ

0eˆr

4r2

ˆerra

19.设无限长直导线与矩形回路共面,(1)判断通过矩形回路中的磁感应强度的方向(画×);(2)设矩形回路的法向为穿出纸面,求通过矩形回路中的磁通量。 解:建立如图坐标

通过矩形回路中的磁感应强度的方向为穿入纸面,即

为ˆe

y方向。在xoz平面上离直导线距离为x处的磁感应强度可由下式求出:Bdl0I即:Beˆ0Iy c

2x通过矩形回路中的磁通量

a/2

Bdb

dS

0I0Iad

S

xdza/2

2x2lndb20.解:(1)由于所求区域无源,电位函数满足拉普拉斯方程设:电位函数为x,y,满足方程:

2

x,y22

(2)利用分离变量法:

x2y

20d2fx,yfxgy

dx2

k2

xf0d2g

根据边界条件

dy2

k2

y

g0k2k2xy0

x0



xa



y

0,x,y的通解可写为:

x,yAn

n nsin

a

yn1

ax

e

n再由边界条件:

y0Ansin

n1

a

x

U0

求得A2UnA0nn

1cosnπ

4

槽内的电位分布为



n

x,y2U01consπn

xeay

n1

nsin

a

1.在均匀各向同性线性媒质中,设媒质的介电常数为

,则电位移矢量D和电场E

满足的方程为:

2.设线性各向同性的均匀媒质中电位为,媒质的介电常数为,电荷体密度为V,电位所满足的方为 。

3.时变电磁场中,坡印廷矢量的数学表达式为 。

4.在理想导体的表面,电场强度的 分量等于零。 5.表达式

Ar

dS

S

称为矢量场A(r)穿过闭合曲面S的 。

6.电磁波从一种媒质入射到理想导体表面时,电磁波将发生 。

7.静电场是保守场,故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于 。

8.如果两个不等于零的矢量的点积等于零,则此两个矢量必然相互 。

9.对横电磁波而言,在波的传播方向上电场、磁场分量为 。

10.由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场,恒定磁场是 场,因此,它可用磁矢位函数的旋度来表示。

简述题 (每小题5分,共20分)

答:磁通连续性原理是指:磁感应强度沿任一闭合曲面的积分等于零,或者是从闭合曲面S穿出去的通量等于由S外流入S内的通量。 其数学表达式为:

BdS

0

S

12.答:当一个矢量场的两类源(标量源和矢量源)在空间的分布确定时,该矢量场就唯一地确定了,这一规律称为亥姆霍兹定理。亥姆霍兹定理告诉我们,研究任意一个矢量场(如电场、磁场等),需要从散度和旋度两个方面去研究,或者是从矢量场的通量和环量两个方面去研究。

13.答:其物理意义:随时间变化的磁场可以产生电

场。 方程的微分形式:EB

t

14.答:电磁波的电场强度矢量的方向随时间变化所描绘的轨迹称为极化。极化可以分为:线极化、圆极化、椭圆极化。

4

5

2

ˆxyzeˆz, 15.矢量函数Ayxe



试求(1)A(2)A

AxAyAz

解:1、Axyz

2xyy

解:(1)镜像电荷所在的位置如图19-1所示。(2)如图19-2所示任一点(x,y,z)处的电位为



q1111 40r1r2r3r4

(3分) (2分)

r1

ˆxe



2 、 A

xyx2

ˆxzeˆzx2e

ˆye

y0ˆzezyz

其中,r2

(3分)

r3r4

x12y22z2

x12y22z2 x12y22z2x12y22z2

(2分)



16.矢量A2eˆx2eˆz,Beˆxeˆy,求 

(1)AB(2)求出两矢量的夹角



ˆx2eˆzeˆxeˆyAB2e

解:1

ˆxeˆy2eˆze

20.设时变电磁场的电场强度和磁场强度分别为:



HH0cos(tm) EE0cos(te)

写出电场强度和磁场强度的复数表达式

证明其坡印廷矢量的平均值为:

(3分)

(2分)



2根据ABABcos

cos

2222

12



ˆx2eˆzeˆxeˆy2 AB2e

1

SavE0H0cos(m) e

2

所以

60

je

解:1电场强度的复数表达式 EE0e(电场强

度的复数表达式HH0e



jm

17.方程 给出一球族

ˆxˆyˆzee解:(1)uexyz

ˆx2xeˆy2yeˆz2ze

u

u

u

(3分)(2分)

*1

(2)据SavReEH得

2



ˆx2eˆy4eˆxeˆy2euˆ(2)n所n ˆ

u4165

18.放在坐标原点的点电荷在空间任一点r(1)求出电力线方程;(2)画出电力线。

1E

q40r2

ˆre

qr40r3

q40r3

ˆxeˆe

x

11

SavReE0H0ej(em)E0H0cos(em)

22



21.设沿z方向传播的均匀平面电磁波垂直入射到理想导体,如图2所示,该电磁波电场只有x分量即

ˆxE0ejz求出反射波电场的表达式;求出区域1 媒Ee

质的波阻抗。

ˆ由力线yyezz

ˆxErejz 解:(1)设反射波电场Ere

区域1中的总电场为

方程得xyz对上式积分得

dxdydz

yC1xzC2y



ˆx(E0ejzErejz) EEre

式中,C1,C2为任意常数。

-2

根据z0导体表面电场的切向分量等于零的边界条件得ErE0

(2)电力线图18-2所示。

q19.设点电荷位于金属直角劈上方,如图1所示,求画出镜像电荷所在的位置直角劈任意一点(x,y,z)处的

电位表达式 qq 图

ˆxE0e反射波电场的表达式为Ere

(2)媒质1的波阻抗0

0

jz

377() 因而得 120

5

范文四:电磁场与电磁波习题答案2

第二章

2-1 若真空中相距为d的两个电荷q1及q2的电量分别为q及4q,当点电荷q位于q1及q2的连线上时,系统处于平衡状态,试求q的大小及位置。

解 要使系统处于平衡状态,点电荷q受到点电荷q1及q2的力应该大小相等,方向相反,即FqqFqq。那么,

1

2

q1q40r1

2

q2q40r2

2

r22r1,同时考虑到r1r2d13

23

,求得

r1d, r2

d

可见点电荷q可以任意,但应位于点电荷q1和q2的连线上,且与点电荷q1相距

2-2 已知真空中有三个点电荷,其电量及位置分别为:

q11C, P1(0,0,1) q21C, P2(1,0,1) q34C, P3(0,1,0)

13d

试求位于P(0,1,0)点的电场强度。

解 令r1,r2,r3分别为三个电电荷的位置P1,P2,P3到P点的距离,则r1

2

,r23,r32。

q40r

2

利用点电荷的场强公式E

er,其中er

为点电

荷q指向场点P的单位矢量。那么,

q1在P点的场强大小为E1

q140r1

2

18

,方向为

er1

12

e

y

ez。

q2在P点的场强大小为E2

q240r2

2

112

,方向为

er2

13

e

x

eyez。

q340r3

2

q3在P点的场强大小为E3

14

,方向为

er3ey

则P点的合成电场强度为

EE1E2E3

1111111

eexy

012382123482123



ez

2-3 直接利用式(2-2-14)计算电偶极子的电场强度。 解 令点电荷q位于坐标原点,r为点电荷q至场点P的距离。再令点电荷q位于+z坐标轴上,r1为点电荷q至场点P的距离。两个点电荷相距为l,场点P的坐标为(r,,)。

根据叠加原理,电偶极子在场点P产生的电场为

E

q4

rr1

 3r3

r1

考虑到r >> l,er= er,r1rlcos,那么上式变为

1

E

q4

r12r2

r2r2

1

q

er4

(r1r)(r1r)

er 22rr1

式中

l

r1

1

rl2rlcos

2

2

12

1ll12cos2

rrr



12

2



12

ll

以为变量,并将12cos2rrr

2

在零点作泰勒展

开。由于lr,略去高阶项后,得

r1

1

1ll1

1coscos2rrrr

利用球坐标系中的散度计算公式,求出电场强度为

E

q4

1lqlcosqlsin1

coseeθr233

r20r40rrr

2-4 已知真空中两个点电荷的电量均为2106C,相距为2cm, 如习题图2-4所示。试求:①P点的电位;②将电量为2106C的点电荷由无限远处缓慢地移至P点时,外力必须作的功。

解 根据叠加原理,P点的合成电位为

2

q40r

2.510

6

习题图2-4

V

因此,将电量为2106C的点电荷由无限远处缓慢地移到

P

点,外力必须做的功为Wq5J

2-5 通过电位计算有限长线电荷

的电场强度。

解 建立圆柱坐标系。 令先电 荷沿z轴放置,由于结构以z轴对称,场强与无关。为了简单起见,令场点位于yz平面。 设线电荷的长度为L,密度为

l,线电荷的中点位于坐标原

点,场点P的坐标为

r,

2,z

。 



利用电位叠加原理,求得场点

习题图2-5

P

的电位为

L



l2

dl4

L2

r

式中r0

zl2

r

2

。故

L



l4

ln

zlzl2

r2

20



L2

L2

2

zL2

zl4

ln

2r

2

z

L

zL2

2

2r

因E,可知电场强度的z分量为

L2

Ez2

zL

2r

2z

z



l4

z

ln

z

L2

2zLr

2

2y



l

4



1L2zr

2

2

1L2

zr

2

2

 

l1



240r

zL2r





40r

1zL21

r

2

 

 

l

rr

2

zL2

2

r

2

rzL2

2

l40r

sin2sin1

电场强度的r分量为

zlnz

L2L2

L2zr

2

L2zr

2

22

Er

r



l4

r



l4



r

z

2

L2rzL2

2

z

2

L2r

2

r

zL22

2rzL2

zL22

 2r



l1

240r

zL2zL2

rr



zL21

r

2

1

2

zL2zL21

rr

 2

zL2r



l



40r1

12tan1

11tan

1

1

2

tan1

1

1

2

tan2tan2

1

1tan2

2

 



l40r

1cos11cos2

l40r

cos1cos2

rz

L2

,  2arctan

rz

L2

式中1arctan

,那么,合成电强为

E

l

40r

sin2sin1ezcos2cos1er

当L时,10, 2 ,则合成电场强度为

E

l

20r

er

可见,这些结果与教材2-2节例4完全相同。

2-6 已知分布在半径为a的半圆周上的电荷线密度

l0sin, 0,试求圆心处的电场强度。

习题图2-6

解 建立直角坐标,令线电荷位于xy平面,且以y轴为对称,如习题图2-6所示。那么,点电荷ldl在圆心处产生的电场强度具有两个分量Ex和Ey。由于电荷分布以y轴为对称,因此,仅需考虑电场强度的Ey分量,即

dEdEy

ldl40a

2

sin

考虑到dlad,l0sin,代入上式求得合成电场强度为

Eey

040a

sind

2

080a

ey

2-7 已知真空中半径为a的圆环上均匀地分布的线电荷密度为l,试求通过圆心的轴线上任一点的电位及电场强度。

习题图2-7

y

解 建立直角坐标,令圆环位于坐标原点,如习题图2-7所示。那么,点电荷ldl在z轴上P点产生的电位为



ldl40r

根据叠加原理,圆环线电荷在P点产生的合成电位为

z

14

2a

l

r

dl

l

4

r

2a

dl

20

la

az

2

2

因电场强度E,则圆环线电荷在P点产生的电场强度为

Eez

zz

ez

laz

20az

2

232

2-8 设宽度为W,面密度为S的带状电荷位于真空中, 试求空间任一点的电场强度。

解 建立直角坐标,且令带状电荷位于xz平面内,如习题图2-8所示。带状电荷可划分为很多条宽度为dx的无限长线电荷,其线密度为sdx。那么,该无限长线电荷

(a)

习题图2-8

(b)

y

)

y

产生的电场强度与坐标变量z无关,即

dE

sdx20r

er

式中

r

xx2

xxr

y

ey

yr1r

2

erex

exxey

x

y

dE

2

w

xx

sdx

2

y

2

exxey

x

y

那么

E

2w2

2

2

xx

sdx

2

y

2

exxey

x

y

ex

s4

ln

w2

xy

2

w2

xy

2

2

ww

xx

s

arctanarctaney

20yy

 

2-9 已知均匀分布的带电圆盘半径为a,面电荷密度 为S,位于z = 0平面,且盘心与原点重合,试求圆盘 轴线上任一点电场强度E。

解 如图 2-9所示,在圆盘上取一半径为r,宽度为dr的圆环,该圆环具有的电荷量为dq2rdrs。由于对称性,该圆环电荷在z轴上任一点P产生的电场强度仅的r有z分量。根据习题2-7结果,获知该圆环电荷在P产生的

y

习题图2-9

电场强度的z分量为

dEz

zrsdr20rz

2

232

那么,整个圆盘电荷在P产生的电场强度为

Eez

s

20

a

zrdr

z

2

r

2

32

ez

20z

sz

zza

2

2



2-10 已知电荷密度为S及S的两块无限大面电荷分别位于x = 0及x = 1平面,试求x1, 0x1及x0区域中的电场强度。

解 无限大平面电荷产生的场强分布一定是均匀的,其电场方向垂直于无限大平面,且分别指向两侧。因此,位于x = 0平面内的无限大面电荷S,在x 0区域中产生的电场强度

E1exE1。位于

x = 1平面内的无限大面电荷S,在x

1区域中产生的电场强度E2exE2,在x > 1区域中产生的电场强度E2exE2。

由电场强度法向边界条件获知,

0E10E1s

x0

x0

s20

0E20E2s



x0

0E10E1s

0E20E2s

x1

由此求得

E1E2

根据叠加定理,各区域中的电场强度应为

EE1E2exE1exE20, x0

EE1E2exE1exE2

s0

, 0x1

EE1E2exE1exE20, x1



2-11 若在球坐标系中,电荷分布函数为

0, 0ra



106, arb

0, rb

试求0ra, arb及rb区域中的电通密度D。 解 作一个半径为r的球面为高斯面,由对称性可知

s

DdsqD

q4r

2

er

式中q为闭合面S包围的电荷。那么

在0ra区域中,由于q = 0,因此D = 0。 在arb区域中,闭合面S包围的电荷量为

q

v

dv10

6

43

r3

a

3

6

3

因此,

D

10

r

3

a3

r

2

e

r

在rb区域中,闭合面S包围的电荷量为

q

6

v

dv10

43

b3

a

3

6

3

因此,

D

10

b

3

a3

r

2

e

r

2-12 若带电球的内外区域中的电场强度为

q

, raEer2

r

qr

a, ra试求球内外各点的电位。 解 在ra区域中,电位为

r

qr

Edr

a

r

Edr

a

Edr

2a

a

2

r

2



qa

在ra区域中,r

qr

Edr

r

2-13 已知圆球坐标系中空间电场分布函数为

r3, ra

Eera5

2, rar

试求空间的电荷密度。

解 利用高斯定理的微分形式E系中

r0E0

1r

2

0

,得知在球坐标

ddr

r

2

Er

那么,在ra区域中电荷密度为

r0

1r

2

ddr

r5

5

r

2

在ra区域中电荷密度为

r0

1r

2

ddr

a0

5

2-14 已知真空中的电荷分布函数为

2r, 0ra

(r)

0, ra

式中r为球坐标系中的半径,试求空间各点的电场强度。 解 由于电荷分布具有球对称性,取球面为高斯面,那么根据高斯定理

s

Eds

q

0

E4r

2

q

0

在0ra区域中

q

v

rdv

14r

2

r

4rrdr

22

45

r

5

Eer

45

r

5

1

0

r

3

50

er

在ra区域中

q

v

rdv

14r

2

a

4rrdr

22

45

a

5

Eer

45

a

5

1

0

a

5

5r0

2

er

2-15 已知空间电场强度E3ex4ey5ez,试求(0,0,0)与(1,1,2)两点间的电位差。

解 设P1点的坐标为(0,0,0,), P2点的坐标为(1,1,2,),那么,两点间的电位差为

V

P2

P1

Edl

,因此电位

式中 差为

E3ex4ey5ez, dlexdxeydyezdz

V



1,1,2

0,0,0

3dx4dy5dz3V

2-16 已知同轴圆柱电容器的内导体半径为a,外导体的内半径为b。若填充介质的相对介电常数r2。试求在外导体尺寸不变的情况下,为了获得最高耐压,内外导体半径之比。

解 已知若同轴线单位长度内的电荷量为q1,则同轴线内电场强度E

q12r

er。为了使同轴线获得最高耐压,应在

保持内外导体之间的电位差V不变的情况下,使同轴线内最大的电场强度达到最小值,即应使内导体表面ra处的电场强度达到最小值。因为同轴线单位长度内的电容为

C1

q1V

2b

lna

q1

2blna

V

则同轴线内导体表面ra处电场强度为

b

Vbaln

a

ba

E(a)

V

abblna

令b不变,以比值为变量,对上式求极值,获知当比

ba

e时,Ea取得最小值,即同轴线获得最高耐压。

2-17 若在一个电荷密度为,半径为a的均匀带电球中,存在一个半径为b的球形空腔,空腔中心与带电球中心的间距为d,试求空腔中的电场强度。

习题图2-17

解 此题可利用高斯定理和叠加原理求解。首先设半径为

a的整个球内充满电荷密度为的电荷,则球内P点的电

场强度为

E1P

140r

2

43

r er

3

30

r

式中r是由球心o点指向P点的位置矢量,

再设半径为b的球腔内充满电荷密度为的电荷,则其在球内P点的电场强度为

E2P

1

4

2

40r3

rer

3

30

r

式中r是由腔心o点指向P点的位置矢量。

那么,合成电场强度E1PE2P即是原先空腔内任一点的电场强度,即

EPE1PE2P

30

rr

30

d

式中d是由球心o点指向腔心o点的位置矢量。可见,空

腔内的电场是均匀的。

2-18 已知介质圆柱体的半径为a,长度为l,当沿轴线方向发生均匀极化时,极化强度为P,试求介质中束缚电荷在圆柱内外轴线上产生的电场强度。

解 建立圆柱坐标,且令圆柱的下端面位于xy平面。由于是均匀极化,故只考虑面束缚电荷。而且

该束缚电荷仅存在圆柱上下端面。已知面束缚电荷密度与极化强度的关系为

sPen

习题图2-18

式中en为表面的外法线方向上单位矢量。由此求得圆柱体上端面的束缚电荷面密度为s1P,圆柱体下端面的束缚面电荷密度为s2P。

由习题2-9获知,位于xy平面,面电荷为s的圆盘在其轴线上的电场强度为

E

20z

sz

zza

2

2

ez

因此,圆柱下端面束缚电荷在z轴上产生的电场强度为

E2

Pz20z

zza

2

2

ez 

而圆柱上端面束缚电荷在z轴上产生的电场强度为

PzlE1

20zl

zl(zl)a

2

2

e z

那么,上下端面束缚电荷在z轴上任一点产生的合成电场强度为

PzlEez20zl

zl

zl

2

a

2

zz

 22zaz

2-19 已知内半径为a,外半径为b的均匀介质球壳的介电常数为,若在球心放置一个电量为q的点电荷,试求:①介质壳内外表面上的束缚电荷;②各区域中的电场强度。

解 先求各区域中的电场强度。根据介质中高斯定理

s

Ddsq4rDqD

2

q4r

2

er

在0ra区域中,电场强度为

E

D

q40r

2

0

er

在arb区域中,电场强度为

E

D

q4r

2

er

在rb区域中,电场强度为

E

D

q40r

2

0

er

再求介质壳内外表面上的束缚电荷。

由于P0E,则介质壳内表面上束缚电荷面密度为

snPerP0

q4a

2

q

10

4a2

外表面上束缚电荷面密度为

snPerP0

q4b

2

q

10

4b2

2-20 将一块无限大的厚度为d的介质板放在均匀电场E中,周围媒质为真空。已知介质板的介电常数为,均匀

电场E的方向与介质板法线的夹角为1,如习题图2-20所示。当介质板中的电场线方向2介质表面的束缚电荷面密度。

解 根据两种介质的边界条件获知,边界上电场强度切向分量和电通密度的法向分量连续。因此可得

Esin1E2sin2;

Dcos1D2cos2

4

时,试求角度1及

eE

2

习题图2-20

已知D0E, D2E2,那么由上式求得

tan1tan2

0

tan1

0

tan2

0



1arctan0 

已知介质表面的束缚电荷senPen(D0E), 那么,介质左表面上束缚电荷面密度为

s1en1P2en11



0

00

D21en1D210Ecos1

介质右表面上束缚电荷面密度为

2en2P2en21s



0

00D21en2D210Ecos1

2-21 已知两个导体球的半径分别为6cm及12cm,电量均为3106C,相距很远。若以导线相连后,试求:①电荷移动的方向及电量;②两球最终的电位及电量。 解 设两球相距为d,考虑到d >> a, d >> b,两个带电球

的电位为

1

14

q1q1

2;2

4da

qq2

1

db

两球以导线相连后,两球电位相等,电荷重新分布,但总电荷量应该守恒,即12及q1q2q6106C, 求得两球最终的电量分别为

q1q2

adbadbd2ab

bdaadbd2ab

qq

1323

q210q410

6

C C

6

可见,电荷由半径小的导体球转移到半径大的导体球,移动的电荷量为1106C。

两球最终电位分别为

1

1414

00

q1aq2b

310

5

V V

2

310

5

2-22 已知两个导体球的重量分别为m1=5g,m2=10g,电量均为5106C,以无重量的绝缘线相连。若绝缘线的长度l = 1m,且远大于两球的半径,试求;①绝缘线切断的瞬时,每球的加速度;②绝缘线切断很久以后,两球的速度。

解 ① 绝缘线切断的瞬时,每球受到的力为

F

q1q240r

2

510

6

510

6

4

0.225N

因此,两球获得的加速度分别为

a1

Fm1Fm2

0.2250.0050.2250.01

45ms

2

2

a2

22.5ms



② 当两球相距为l时,两球的电位分别为

1

14

q1q21; 2rl41

W

q2q1

 rl2

此时,系统的电场能量为

12

1q1

12

2q2

绝缘线切断很久以后,两球相距很远(l>>a, l>>b),那么,两球的电位分别为

1

q140r1

;

2

q240r2

由此可见,绝缘线切断很久的前后,系统电场能量的变化为

ΔW

1

q2

q1

1

q1

q2

q

2

240l240l40l

0.225(J)

这部分电场能量的变化转变为两球的动能,根据能量守恒原理及动量守恒定理可得下列方程:

W

12m1v1

2

12

m2v2

2

m1v1m2v20

由此即可求出绝缘线切断很久以后两球的速度v1和v2:

v17.74ms;

v23.87ms

2-23 如习题图2-23所示,半径为a的导体球中有两个较小的球形空腔。若在空腔中心分别放置两个点电荷q1及q2,在距离ra处放置另一个点电荷q3,试求三个点电荷受到的电场力。

习题图2-23

解 根据原书2-7节所述,封闭导体空腔具有静电屏蔽特性。因此,q1与q2之间没有作用力,q3对于q1及q2也没有作用力。但是q1及q2在导体外表面产生的感应电荷-q1及-q2,对于q3有作用力。考虑到r>>a,根据库仑定律获知该作用力为

f

q1q2q3

40r

2

2-24 证明位于无源区中任一球面上电位的平均值等于其球心的电位,而与球外的电荷分布特性无关。 解 已知电位与电场强度的关系为E,又知

E



,由此获知电位满足下列泊松方程



2

0

利用格林函数求得泊松方程的解为

r

V

G0r,r

r01

dv

Gr,rrrGr,rds

S

式中G0r,r上式得

r

14

4rr

。考虑到G0r,r

1rr

3

4rr

,代入

rrr

V

dv

14

S

rr

rrds 3

rrrr

若闭合面S内为无源区,即0,那么

r

14

S

rr

rrds 3

rrrr

若闭合面S为一个球面,其半径为a,球心为场点,则

rra,那么上式变为

r

14

S

rr

rrds 3aa

考虑到差矢量rr的方向为该球面的半径方向,即与

ds的方向恰好相反,又E

,则上式变为

2

r

4a

1

S

Eds

14a

rds

S

由于在S面内无电荷,则Eds0,那么

S

r

14a

2

rds

S

由此式可见,位于无源区中任一球面上的电位的平均值等于其球心的电位,而与球外的电荷分布无关。 2-25 已知可变电容器的最大电容量Cmax100pF,最小电容量Cmin10pF,外加直流电压为300V,试求使电容器由最小变为最大的过程中外力必须作的功。

解 在可变电容器的电容量由最小变为最大的过程中,电源作的功和外力作的功均转变为电场储能的增量,即

W电源W外ΔWe

式中

W电源VΔqV(CmaxVCminV)8.110

6

(J)

ΔWe

12

(CmaxCmin)V

2

4.0510

6

J

因此,外力必须作的功为

W外4.0510

6

J

2-26 若使两个电容器均为C的真空电容器充以电压V后,断开电源相互并联,再将其中之一填满介电常数为

r

的理想介质,试求:①两个电容器的最终电位;②转移的电量。

解 两电容器断开电源相互并联,再将其中之一填满相对介电常数为r理想介质后,两电容器的电容量分别为

C1C, C2rC

两电容器的电量分别为q1,q2,且

q1q22CV

由于两个电容器的电压相等,因此

q1C1

q2C2

q1

q2

r

联立上述两式,求得

q1

2CV1r

q2

2CVr1r

因此,两电容器的最终电位为

V

q1C1

q2C2

2V1r

考虑到q2q1,转移的电量为

qq2CV

r1r1

CV

2-27 同轴圆柱电容器的内导体 半径为a,外导体半径为b,其 内一半填充介电常数为1的介 质,另一半填充介质的介电常 数为2,如习题图2-27所示。

当外加电压为V时,试求:①电容器中的电场强度; ②各边界上的电荷密度;③电容及储能。

解 ① 设内导体的外表面上单位长度的电量为q,外导体的内表面上单位长度的电量为q。取内外导体之间一个同轴的单位长度圆柱面作为高斯面,由高斯定理

Ddsq

s

arb

求得

rD1D2q

已知D11E1, D22E2,在两种介质的分界面上电场强度的切向分量必须连续,即E1E2,求得

E1E2E

q

r12

内外导体之间的电位差为

V

b

a

Edr

q

12

ln

ba

1

即单位长度内的电荷量为

q12V

ln

ba

故同轴电容器中的电场强度为 E

Vrln

ba

er

② 由于电场强度在两种介质的分界面上无法向分量,故此边界上的电荷密度为零。

内导体的外表面上的电荷面密度为

s11erE

1V

aln

ba

s22erE

2V

aln

ba

外导体的内表面上的电荷面密度为

s11erE

1V

bln

ba

qV

s22erE

2V

bln

ba

③单位长度的电容为

C

12

lnba

电容器中的储能密度为

we

12

V1

1Edv1

2

12

V2

2Edv2

2

1V2ln

2

ba

12

2-28 一平板电容器的结构如习题图2-28所示,间距

为d,极板面积为ll。试求:

① 接上电压V时,移去介质前后电容器中的电场强度、电通密度、各边界上的电荷密度、电容及储能; ② 断开电源后,再计算介质移去前后以上各个参数。

解 ①接上电源,介质存在时,介质边界上电场强度切向分量必须连续,因此,介质内外的电场强度E是相等的,即电场强度为E质内DE

Vd

Vd

习题图2-28

。但是介质内外的电通密度不等,介

Vd

,介质外D00E0

两部分极板表面自由电荷面密度分别为

s

Vd

s00l

2

Vd

lV2d

2

电容器的电量 q

2qV12

ss00

2

电容量为

C

0

l

2d

lV4d

2

2

电容器储能为

W

qV(0)

若接上电压时,移去介质,那么电容器中的电场强度为

E

Vd

电通密度为

Vd

极板表面自由电荷面密度为s0E0电容器的电量为

qls0

2

lVd

2

电容量为

C

qV12

0

l

2

d

lV2d

2

2

电容器的储能为

W

qV0

②断开电源后,移去介质前,各个参数不变。但是若移去介质,由于极板上的电量q不变,电场强度为

E

q

V02d0

0l

2

电通密度为

D0E

V02d

V02d

极板表面自由电荷面密度为

s

两极板之间的电位差为

VEd

V020

电容量为 C

qV

l0d

2

12

lV

2

2

电容器的储能为 W

qV



0

2

8d0

2-29 若平板电容器的结构如习题图2-29所示,尺寸同上题,计算上题中各种情况下的参数。

习题图2-29

解 ①接上电压,介质存在时,介质内外的电通密度均 为D

 d/2

ql

2

,因此,介质内外的电场强度分别为

E

ql

2

d2

E0

ql0

2

两极板之间的电位差为V

2lV

2

EE0

qd02l02V

2

则 q



0d

E

2V0



0d

,E0



0d

则电位移矢量为

DE

2V



0d

; D00E0

2V



0d

极板表面自由电荷面密度为

s

2V



0d

s0

2V



0d

介电常数为的介质在靠近极板一侧表面上束缚电荷面密度为

0Es0s

2V0



0d

介电常数为与介电常数为0的两种介质边界上的束缚电荷面密度为

0EE00s

2V0



0d

2

此电容器的电量 qlsls0

qV

2l

2

22

2Vl



0d

则电容量为 C



0d

2Vl

2

2

电容器的储能为 W

12

qV

20d

接上电压时,移去介质后: 电场强度为 E

Vd

电位移矢量为 D0E0

Vd

Vd

极板表面自由电荷面密度为 s0电容器的电量 qls0

2

lVd

2

电容量为 C

qV

0

l

2

d

12

lV2d

2

2

电容器的储能为 W

qV0

(2) 断开电源后,介质存在时,各个参数与接上电源时完全相同。但是,移去介质后,由于极板上的电量q不变,电容器中电场强度为E

2V

q

2V

0l

2



0d

,电通密度为

D0E



0d

2V

极板表面自由电荷面密度为

s



0d

两极板之间的电位差为 VEd

2V



l

0

2

电容量为

C

qV

0

d

2

2

2

电容器的储能为

W

12

qV

2Vl0



0d

2

2-30 已知两个电容器C1及C2的电量分别为q1及q2,试求两者并联后的总储能。若要求并联前后的总储能不变,则两个电容器的电容及电量应满足什么条件? 解 并联前两个电容器总储能为

W前Wc1Wc2

22

1q1q2

 2C1C2

并联后总电容为CC1C2,总电量为qq1q2,则总储能为

W后

1q

2

2C

1q1q22C1C2

2

要使W前W后,即要求

222

1q1q21q1q22C1C22C1C2

方程两边同乘C1C2,整理后得

C2C1

q1

2

C1C2

q2

2

2q1q2

方程两边再同乘C1C2,可得

C2q1C1q22C1C2q1q2

2

2

2

2

C2q1C1q22

0

由此获知两个电容器的电容量及电荷量应该满足的条件为

q1q2

C1C2

2-31 若平板电容器中介电 常数为

 (x)

 2 1

d

x 1

平板面积为A,间距为d,如 习题2-31所示。试求平板电 容器的电容。

习题图2-31

解 设极板上的电荷密度分别为s,则由高斯定理,可得电通密度Ds,因此电场强度为

Ex

D

x

s

21

d

x1

0xd

那么,两极板的电位差为 V

qV

AsV

d

Exdx

sd21

ln

21

则电容量为 C



A21dln

21

2-32 若平板空气电容器的 电压为V,极板面积为A, 间距为d,如习题图2-32所 示。若将一块厚度为t(td) 的导体板平行地插入该平板 电容器中,试求外力必须作 的功。

解 未插入导体板之前,电容量C

0A

d

V

习题图2-32

。插入导体板后,

0A

x

可看作两个电容串联,其中一个电容器的电容C1

0A

dtx

另一个电容器的电容C2

C1C2C1C2

,那么总电容量为

C

0A

dt

根据能量守恒原理,电源作的功和外力作的功均转变为电场能的增量,即

W电源W外ΔWeW2W1

式中

W电源ΔqVCVCVV

12

2

0Atddt

12W电源

2V

dWeW2W1则

W外

1

(CC)V

0At

2ddt

V

2

2-33 已知线密度l106(C/m)的无限长线电荷位于(1,0, z)处,另一面密度S106(C/m2)的无限大面电荷分布在x = 0平面。试求位于,0,0处电量q109C的点

2

1

电荷受到的电场力。

解 根据题意,两种电荷的位置如图2-33所示。由习题 2-10知,无限大面电荷在P点产生的电场强度为

Eex

s

20

无限长线电荷在P点产生的电场强度为

E2

习题图2-33

l

l

20r

exex

因此,P点的总电场强度为

sl

EE1E220

0

ex 

所以位于P点的点电荷受到的电场力为

sl

FEqex2

00

qex2.05105N 

2-34 已知平板电容器的极板尺寸为ab,间距为d,两板间插入介质块的介电常数为,如习题图2-34所示。试求:①当接上电压V时,插入介质块受的力;②电源

断开后,再插入介质时,介质块的受力。

解 ①此时为常电位系统,因此介质块受到的电场力为 FdWe

dxconst习题图2-34

式中x为沿介质块宽边b的位移。介质块插入后,引起电容改变。设插入深度x,则电容器的电容为

Cax

d0a(bx)

da

d0b(0)x

电容器的电场能量可表示为

We12UC2aU

2d20b(0)x

那么介质块受到的x方向的电场力为

FdW

dxconstaU2d2(0)

② 此时为常电荷系统,因此介质块受到的电场力为

FdWe

dxqconst

式中x为沿介质块宽边b的位移。

介质块插入后,极板电量不变,只有电容改变。此时电容器的电场能量可表示为

We1q22Cdq21

2a0b(0)x

因此介质块受到的x方向的电场力为

31

FdWe

dxqconstabU02d22200b0x2

32

范文五:《电磁场与电磁波》试题答案

《电磁场与电磁波》试题(1)参考答案

二、简答题 (每小题5分,共20分)

11.答:意义:随时间变化的磁场可以产生电场。 (3分) ????B??dS (2分) 其积分形式为:E?dl????tCS

12.答:在静电场中,在给定的边界条件下,拉普拉斯方程或泊松方程的解是唯一的,这一

定理称为唯一性定理。 (3分)

它的意义:给出了定解的充要条件:既满足方程又满足边界条件的解是正确的。

13.答:电磁波包络或能量的传播速度称为群速。 (3分)

群速vg与相速vp的关系式为: vg?vp

?dvp1?vpd? (2分)

???D14.答:位移电流:Jd? 位移电流产生磁效应代表了变化的电场能够产生磁场,使麦

克斯韦能够预言电磁场以波?t

的形式传播,为现代通信打下理论基础。

三、计算题 (每小题10 分,共30分)

15.按要求完成下列题目

?2?x?xze?y是否是某区域的磁通量密度? (1)判断矢量函数B??ye

(2)如果是,求相应的电流分布。

解:(1)根据散度的表达式 ??B???Bx?By?Bz?? (3分) ?x?y?z

将矢量函数B代入,显然有 ?

???B?0 (1分)

故:该矢量函数为某区域的磁通量密度。 (1分)

(2)电流分布为: ?1?J???B?0(2分)

?ze

?

?z

0?xe? ??x?y2

?1?ye??yxz(2分)

?0?x??2y?z?e?z???xe

?(1分)??x?3e?y?e?z,求 ?x?e?y?3e?z,B?5e16.矢量A?2e

??(1)A?B

??(2)A?B

35

范文六:电磁场与电磁波试题及答案[1].

电磁场与电磁波复习题

1. 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式,并简要说明其物理意义。



DB

2.答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为HJ(3,E,B0,D,

tt

分)(表明了电磁场和它们的源之间的全部关系除了真实电流外,变化的电场(位移电流)也是磁场的源;除电荷外,变化的磁场也是电场的源。

1. 写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件。 2. 时变场的一般边界条件 D2n、E2t0、H2tJs、B2n



nH2Js、nB20)



nE20、 (或矢量式nD2、0。

1. 写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义。



AA

2. 答矢量位BA,A0;动态矢量位E或E。库仑规范与洛仑兹规

tt



范的作用都是限制A的散度,从而使A的取值具有唯一性;库仑规范用在静态场,洛仑兹规范用在时变场。

1. 简述穿过闭合曲面的通量及其物理定义 2.





s



Ads 是矢量A穿过闭合曲面S的通量或发散量。若Ф> 0,流出S面的通量大于流入的通

量,即通量由S面内向外扩散,说明S面内有正源若Ф

1. 证明位置矢量rexxeyyezz 的散度,并由此说明矢量场的散度与坐标的选择无关。 2. 证明在直角坐标系里计算

,则有



r(r)eee(exeyez) yzxyzx

yzx

xx

yy

zz

3

若在球坐标系里计算,则

r(r)

1(rr)

2

1(r)3由此说明了矢量场的散度与坐标的选择无关。

3

r2

r

r2

r

1. 在直角坐标系证明A

0

2.

A

(eAzAxAxAzAyAxxxeyyezz)[ex(yz)ey(zx)ez(xy)]

Azx(y

AyAxz)

y(z

AzAyAxx)

z(x

y

)0

1. 简述亥姆霍兹定理并举例说明。

2. 亥姆霍兹定理研究一个矢量场,必须研究它的散度和旋度,才能确定该矢量场的性质。

Dds

q D00 有源

s



Edl

0 E0 无旋

l

1. 已知 Rrr,证明RRR

R

eR

2. 证明

ReRRRxxyyzz

xxeyyezzexReyRez

R

R …… R

1. 试写出一般电流连续性方程的积分与微分形式 ,恒定电流的呢?

2. 一般电流JdSdq/dt0,J

/t; 恒定电流

JdS0,J0 1. 电偶极子在匀强电场中会受作怎样的运动?在非匀强电场中呢?

2. 电偶极子在匀强电场中受一个力矩作用,发生转动;非匀强电场中,不仅受一个 力矩作用,发生转动,还要受力的作用,使 电偶极子中心 发生平动,移向电场强的方向。 1. 试写出静电场基本方程的积分与微分形式 。 2. 答静电场基本方程的 积分形式 E

ds

1

q ,Edl0

s





l

例静电场



微分形式 D,E0

1. 试写出静电场基本方程的微分形式,并说明其物理意义。



2. 静电场基本方程微分形式D,E0 ,说明激发静电场的源是空间电荷的分布(或是激

发静电场的源是是电荷的分布)。 1. 试说明导体处于静电平衡时特性。 2. 答导体处于静电平衡时特性有

①导体内 E0;

②导体是等位体(导体表面是等位面);

③导体内无电荷,电荷分布在导体的表面(孤立导体,曲率);



④导体表面附近电场强度垂直于表面,且 En/0。

1. 试写出两种介质分界面静电场的边界条件。 2. 答在界面上D的法向量连续 D1n



(n1E1n1E2)



;E的切向分量连续E1tE2t或D2n或(n1D2n1D2)

1. 试写出1为理想导体,二为理想介质分界面静电场的边界条件。 2. 在界面上D的法向量 D2n



;E的切向分量E2t0或(n1E20) 或(n1D2)

1. 试写出电位函数表示的两种介质分界面静电场的边界条件。 2. 答电位函数表示的两种介质分界面静电场的边界条件为12,11. 试推导静电场的泊松方程。

1n

2

2n



2. 解由 D ,其中 DE,E ,



DE 为常数



2



泊松方程

1. 简述唯一性定理,并说明其物理意义 2. 对于某一空间区域V,边界面为s,φ满足

给定

(对导体给定q)

则解是唯一的。只要满足唯一性定理中的条件,解是唯一的,可以用能想到的最简便的方法求解(直接求解法、镜像法、分离变量法……),还可以由经验先写出试探解,只要满足给定的边界条件,也是唯一解。

不满足唯一性定理中的条件无解或有多解。

1. 试写出恒定电场的边界条件。 2. 答恒定电场的边界条件为

1. 分离变量法的基本步骤有哪些?

2. 答具体步骤是1、先假定待求的位函数由两个或三个各自仅含有一个坐标变量的乘积所组成。2、把假定的函数代入拉氏方程,使原来的偏微分方程转换为两个或三个常微分方程。解这些方程,并利用给定的边界条件决定其中待定常数和函数后,最终即可解得待求的位函数。 1. 叙述什么是镜像法?其关键和理论依据各是什么?

2. 答镜像法是用等效的镜像电荷代替原来场问题的边界,其关键是确定镜像电荷的大小和位置,理论依据是唯一性定理。

7、 试题关键字恒定磁场的基本方程

1. 试写出真空中恒定磁场的基本方程的积分与微分形式,并说明其物理意义。 2. 答真空中恒定磁场的基本方程的积分与微分形式分别为



sBds0B0

’ 

HdlIHJ

l

说明恒定磁场是一个无散有旋场,电流是激发恒定磁场的源。1. 试写出恒定磁场的边界条件,并说明其物理意义。



2. 答:恒定磁场的边界条件为:n(H1H2)Jsn(B1B2)0,说明磁场在不同的边界条件下磁场

,

强度的切向分量是不连续的,但是磁感应强强度的法向分量是连续。

zz01. 一个很薄的无限大导电带电面,电荷面密度为。证明垂直于平面的z轴上处的电场强度E中,

有一半是有平面上半径为

3z0

的圆内的电荷产生的。

ldr

2. 证明半径为r、电荷线密度为

dEez

的带电细圆环在z轴上

zz0

处的电场强度为

rz0dr20(rz0)

2

232

故整个导电带电面在z轴上

zz0

处的电场强度为

ez

Eez

rz0dr20(rz0)

2

232

z0

2

1

212

20(rz0)

ez

20

zz0

而半径为3z0的圆内的电荷产生在z轴上处的电场强度为

Eez

rz0dr20(rz)

2

230

ez

ez

40

12

E

1. 由矢量位的表示式

A(r)

0

4

J(r)R

d

证明磁感应强度的积分公式

B(r)

0

4

J(r)R

R

3

d

并证明B0 2. 答

B(r)A(r)

0

4

J(r)R

d

J(r)R

d

04



04

J(r)(

1R

)d

d



04

J(r)(

RR

)d3

04

J(r)R

R

3

B[A(r)]0

1. 由麦克斯韦方程组出发,导出点电荷的电场强度公式和泊松方程。 2. 解 点电荷q产生的电场满足麦克斯韦方程

E0和D

由D得

Ddd

据散度定理,上式即为

DdS

s

q

利用球对称性,得

Der

q4r

2

故得点电荷的电场表示式

q4r

2

Eer

由于E0,可取E,则得

DE

2

即得泊松方程



2



1. 写出在空气和



的理想磁介质之间分界面上的边界条件。

2. 解 空气和理想导体分界面的边界条件为

nE0nHJs

根据电磁对偶原理,采用以下对偶形式

EHHEJsJms

即可得到空气和理想磁介质分界面上的边界条件

nH0nEJms

式中,Jms为表面磁流密度。

1. 写出麦克斯韦方程组(在静止媒质中)的积分形式与微分形式。 2.



Hdl



DD

s(Jt)dS HJt



l



BB

EdldSE lst

t



s



BdS0 B0



s



DdSq

D

1. 试写媒质1为理想介质2为理想导体分界面时变场的边界条件。 2. 答边界条件为

E1tE2t0 或



nE10



nH1Js



H1tJs 或



B1nB2n0 或 nB10

D1n



s 或 nD1s

1. 试写出理想介质在无源区的麦克斯韦方程组的复数形式。 2. 答

HjE EjH

B0 

D0

1. 试写出波的极化方式的分类,并说明它们各自有什么样的特点。 2. 答波的极化方式的分为圆极化,直线极化,椭圆极化三种。

2

圆极化的特点ExmEym,且Exm,Eym的相位差为

直线极化的特点Exm,Eym的相位差为相位相差0,,

2或

椭圆极化的特点ExmEym,且Exm,Eym的相位差为

0,,

1. 能流密度矢量(坡印廷矢量)S是怎样定义的?坡印廷定理是怎样描述的?

2. 答能流密度矢量(坡印廷矢量)S定义为单位时间内穿过与能量流动方向垂直的单位截面的能量。坡印

d

(EH)dS(WeWm)P或 廷定理的表达式为dts

d11222

(EH)dS(EH)dEd,反映了电磁场中能量的守恒和转换关系。 dt22s

1. 试简要说明导电媒质中的电磁波具有什么样的性质?(设媒质无限大) 2. 答导电媒质中的电磁波性质有电场和磁场垂直;振幅沿传播方向衰减 ; 电场和磁场不同相;以平面波形式传播。

2. 时变场的一般边界条件 D1nD2n、E1tE2t、H1tH2tJs、B1nB2n。 (写成矢量式



n(D1D2)、n(E1E2)0、n(H1H2)Js、n(B1B2)0一样给5分)

1. 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式,并简要说明其物理意义。



DB

2. 答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为HJ,E,B0,D

tt

(表明了电磁场和它们的源之间的全部关系除了真实电流外,变化的电场(位移电流)也是磁场的源;除电荷外,变化的磁场也是电场的源。

1. 写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件 2. 时变场的一般边界条件 D2n、E2t0、H2tJs、B2n



nE20、nH2Js、nB20一样给5分)



0。 (写成矢量式nD2、

1. 写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义。



AA

。库仑规范与洛仑兹2. .答矢量位BA,A0;动态矢量位E或E

tt



规范的作用都是限制A的散度,从而使A的取值具有唯一性;库仑规范用在静态场,洛仑兹规范用在时变

场。

1. 描述天线特性的参数有哪些?

2. 答描述天线的特性能数有辐射场强、方向性及它的辐射功率和效率。 1. 天线辐射的远区场有什么特点?

2. 答天线的远区场的电场与磁场都是与1/r成正比,并且它们同相,它们在空间相互垂直,其比值即为媒质的本征阻抗,有能量向外辐射。

1. 真空中有一导体球A, 内有两个介质为空气的球形空腔B和C。 其中心处分别放 置点电荷和求空间的电场分布。

2. 对于A球内除B、C 空腔以外的地区,由导体的性质可知其内场强为零。 对 A球 之外, 由于在A 球表面均匀分布

的电荷, 所以 A 球以外区域

, 试

(方向均沿球的径向)

对于 A内的B、C空腔内,由于导体的屏蔽作用则

(为B内的点到B 球心的距离

)

(为C内的点到C球心的距离)

1. 如图所示, 有一线密度点的磁感应强度。

2. 根据安培环路定律, 在面电流两侧作一对称的环路。则

的无限大电流薄片置于

平面上,周围媒质为空气。试求场中各

1. 已知同轴电缆的内外半径分别为 和 ,其间媒质的磁导率 为

, 忽略端部效应, 求电缆单位长度的外自感。

2. 设电缆带有电流

,且电缆

长度

1. 在附图所示媒质中,有一载流为的长直导线,导线到媒质分界面的距离为。 试求载流导线单位长度受到 的作用力。 2. 镜像电流

镜像电流在导线处产生的值为

单位长度导线受到的作用力

力的方向使导线远离媒质的交界面。

1. 图示空气中有两根半径均为a,其轴线间距离为 d

长直圆柱导体,设它们单位长度上所带的电荷 量分别为忽略端部的边缘效应,试求

(1) 圆柱导体外任意点p 的电场强度的电位的表达式 ; (2) 圆柱导体面上的电荷面密度

2.

值。

的平行 , 若

以y轴为电位参考点,则

1. 图示球形电容器的内导体半径两种电介质与

, 外导体内径

,其间充有

, 它们的分界面的半径为。 已知与的相对介电

常数分别为

2. 解

。 求此球形电容器的电 容。

11

1. 一平板电容器有两层介质,极板面积为,一层电介质厚度,电导率,相对介电常数,另一层电介质厚度,电导率。 相对介电常数

, 当电容器加有电压

时, 求

(1) 电介质中的电流 ;

(2) 两电介质分界面上积累的电荷 ; (3) 电容器消耗的功率 。 2.

(1)

(2)

12

(3)

1. 有两平行放置的线圈,载有相同方向的电流,请定性画出场 中的磁感应强度分布(线)。

2. 线上、下对称。

1. 已知真空中二均匀平面波的电场强度分别为: 时表示式及极化方式。

2.

求合 成波电场强度的瞬

合成波为右旋圆极化波。

1. 图示一平行板空气电容器, 其两极板均为边长为a 的 正方形, 板间距离为d, 两板分别带有电荷量

,现将厚度 为d、相对介电常数

13

, 边长为a 的正方形电介质插入平行板电容器内至处,试问该电介质要受多大的电场力? 方向如何?

2. (1)解 当电介质插入到平行板电容器内a/2处, 则其电容可看成两个电容器的并联

静电能量

时,

其方向为a/2增加的方向,且垂直于介质端面。

1. 长直导线中载有电流,其近旁有一矩形线框,尺寸与相互 位置如图所示

。设

时,线框与直导线共面

时,线框以均匀角速度 绕平行于直导线的对称

轴旋转,求线框中的感应电动势。 2. 长直载流导线产生的磁场强度

时刻穿过线框的磁通

14

感应电动势

参考方向

时为顺时针方向。

1. 无源的真空中,已知时变电磁场磁场强度的瞬时矢量为

试求(1) 的值 ; (2) 电场强度瞬时矢量2. (1)

和复矢量(即相量)

故得

(2)

15

1. 证明任一沿传播的线极化波可分解为两个振幅相等, 旋转方向相反的圆极化波 的叠加。 2. 证明 设线极化波

其中

:

分别是振幅为的右旋和左旋圆极化波。

1. 图示由两个半径分别为和的同心导体球壳组成的球形 电容器,在球壳间

以半径

为分界面的内、外填有两种不同的介质, 其 介电常数分别为

,试证明此球形电容器的电容

2. 证明设内导体壳外表面所带的电荷量为Q,则

两导体球壳间的电压为

16

(证毕) 1. 已知(1) 穿过面积

(2) 在上述面积中心处电流密度的模; (3) 在上述面上2.

(1)

(2) 面积中心 , (3)

的平均值

,

的平均值 。

在方向的总电流

1. 两个互相平行的矩形线圈处在同一平面内, 尺寸如图所示, 其中试求两线 圈间的互感。

2. 设线框带有电流,线框的回路方向为顺时针。线框产生的为

。略去端部效应,

17

1. 用有限差分法计算场域中电位,试列出图示正方形网格中内点的拉普拉斯方程的差分格式和内点的泊松方程的差分格式。

2.

1. 已知

, 今将边长为的方形线框放置在坐标

原点处,如图,当此线框的法线分别沿、 和方向时,求框中的感应电动势。

2. (1) 线框的法线沿时由

(2) 线 框 的 法 线 沿 时

18

线框的法线沿时

1. 无源真空中,已知时变电磁场的磁场强度

为;

, 其中、为常数,求位 移

电流密度

2. 因为



1. 利用直角坐标系证明(fG)fG(f)G

(fAx)ex(fAy)ey(fAz)ez

2. 证明左边=(fA)(fAxexfAyeyfAzez)( xyz

ff

(Ax)ex

x(Az)ez

z

AxAz

(f)ex

x(f)ez

z

(Ay)ey

f

(Ay)ey

y

Ay

(f)ey

y

[f

(Ax)ex

y



fAAf

Ay

x(f)ey

f

Ay

y(f)ey

y

f

(Az)ez

z

][Ax

(f)ex

x

]=右边

19

1. 求无限长直线电流的矢量位A和磁感应强度B

。 2. 解直线电流元产生的矢量位为

dAe0Idz'z4{[r2(zz')2]

12

积分得

Ale2

Iz4

{

dz'

[r2

(zz')2]

12

}

l

2

e0I

l2z4ln[(z'z)

l2

(l

z)[(l

z)2

r2]

12

e0Iz4

ln{

(l2z)[(l2

z)2r2]1e0I

lz4ln

r

当

l,A.附加一个常数矢量Ce0Ir0z

4

ln

l

则Ae0IlIrI

rz4lnre0z4ln0le0z4ln0r

则由BA

eAzI

e0r4r

1. 图示极板面积为S、间距为 d的平行板空气电容器内,平行地放入一块面积为S、厚度为a、介电常数为的介质板。 设左右两极板上的电荷量分别为Q与 Q。若忽略端部的边缘效应,试求 (1) 此电容器内电位移与电场强度的分布; (2) 电容器的电容及储存的静电能量。 2. 解1)D

Q1D2

S

ex EDQeD2Q

11Sx,E2ex

00S

20

Q

Q

2) C1

QU

QE1(da)Q

Sa

S0da

C2

QU2

E2a

C

C1C2C1C21Q

2

S0

0a(da)

W

2C

10a(da)2

S0

Q

2

1. 在自由空间传播的均匀平面波的电场强度复矢量为

j(20z)4j20z42Eax10eay10e(v/m)

求(1)平面波的传播方向; (2)频率; (3)波的极化方式; (4)磁场强度;

(5)电磁波的平均坡印廷矢量Sav。

2. 解(1)平面波的传播方向为+z方向

c2

(2)频率为fk0

310Hz

9

(3)波的极化方式因为ExmEym104,xy0

2



2

,故为左旋圆极化.

(4)磁场强度

H1

144j20z

zE(azax10jazay10)e

0

0

44j20z

(ay10jax10)e

(5)平均功率坡印廷矢量

*1144j20zSavRe[EH]Re[(ax10jay10)e

221

0

44j20z(ay10jax10)e

4

2

4

2

1(10)(10)[]az

20012

1120

8

[210]az10

0.26510

2az(W/m)

1. 利用直角坐标,证明(fA)fAAf



2. 证明左边=(fA)(fAxexfAyeyfAzez) 

(fAx)ex

x

(fAy)ey

y

(fAz)ez

z



(f)ey

y

ff

(Ax)ex

x(Az)ez

z

AxAz

(f)ex

x(f)ez

z

(Ay)ey

f

(Ay)ey

y

Ay

[f

(Ax)ex

Ay

y



fAAf

Ay

x(f)ey

f

y(f)ey

y

f

(Az)ez

z

][Ax

(f)ex

x

]

=右边

22

1. 1 求矢量Aexxeyxezyz沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分,此正方形的两

边分别与x轴和y轴相重合。再求A对此回路所包围的曲面积分,验证斯托克斯定理。

2. 解

2

2

2

2

2

C

Adlxdxxdx2

dy0dy8

ex

A

xx

eyyx

2

ezzyz

2

ex2yzez2x

所以

22

AdS(e

S

00

x

2yzez2x)ezdxdy8

故有

Adl8AdS

C

S

1. 同轴线内外半径分别为a和b,填充的介质0,具有漏电现象,同轴线外加电压U,求 (1)漏电介质内的;



(2)漏电介质内的E、J;

(3)单位长度上的漏电电导。 2. 解(1)电位所满足的拉普拉斯方程为

1drdr

ddr

(

)0

由边界条件ra,U;rb,0所得解为

(r)[

Ulnba

ddr

Urln

ba

er 

er,

]ln

br

(2)电场强度变量为E(r)er

U

则漏电媒质的电流密度为JE(r)

rln

ba

(3)单位长度的漏电流为I02r

U

rln

ba2U

e brlna

单位长度的漏电导为G0

I0U

2lnba

1. 如图 所示,长直导线中载有电流 iImcost,一 矩形导线框位于其近旁,其两边与直线平行并且共面,求导线框中的感应电动势。

2. 解载流导线产生的磁场强度的大小为

0i

2r

B

穿过线框的磁通量

ca



ca

c

B.ds

c

0i

2r

cac

ln

0bImcost

2

线框中的感应电动势



ddt2

lncac

0bImsint

参考方向为顺时针方向。

jkr

1. 空气中传播的均匀平面波电场为EexE0e,已知电磁波沿z轴传播,频率为f。求

(1)磁场H;

(2)波长;

(3)能流密度S和平均能流密度Sav;



(4)能量密度W。 2. 解

1

jkr

(1)HezexE0e

ey

1

0e

jkr

(2

)

vf

(3

)SEH

xE0e

jkr



jkreyE0e

ez

ez

e

20

2jkr

0cos(2ftkz)

2

2

*1SavRe(EH)ez

212

12

2

(4)W

0E

2

0H

2

1. 平行板电容器的长、宽分别为a和b,极板间距离为d。电容器的一半厚度(0d/2)用介电常数为的电介质填充,

(1)板上外加电压U0,求板上的自由电荷面密度、束缚电荷; (2)若已知板上的自由电荷总量为Q,求此时极板间电压和束缚电荷; (3)求电容器的电容量。

2. (1) 设介质中的电场为EezE,空气中的电场为E0ezE0。由DD0,有

E0E0

又由于

E

d2

E0

d2

U0

由以上两式解得

E

20U0(0)d2U0(0)d

E0

故下极板的自由电荷面密度为

下E

20U0(0)d

上极板的自由电荷面密度为

上0E0

20U0(0)d

电介质中的极化强度

P(0)Eez

20(0)U0

(0)d

故下表面上的束缚电荷面密度为

ezP

20(0)U0

(0)d

p下

上表面上的束缚电荷面密度为

p上ezP

20(0)U0

(0)d

(2)由



Qab

20U(0)d

得到

U

(0)dQ20ab

p下

(0)Q

ab

(3)电容器的电容为

C

QU

20ab(0)d

1. 频率为100MHz的正弦均匀平面波在各向同性的均匀理想介质中沿(z)方向传播,介质的特

1

性参数为r4、r1,0。设电场沿x方向,即EexEx;当t0,zm时,电场等

8

于其振幅值 104V/m 。试求 (1) H(z,t)和E(z,t); (2) 波的传播速度; (3) 平均波印廷矢量。

2. 解以余弦形式写出电场强度表示式



E(z,t)exEx(z,t)

exEmcos(tkz

)xE

把数据代入Em

104V/m

k

2f

43

rad/m

xE

kz

43

18

6

rad

448

E(z,t)ex10cos(210tz)V/m

36

4E48H(z,t)eyHyeyxeycos(210tz)

36

ey

160

10

4

cos(210t

8

43

z

6

)A/m

(2)波的传播速度

v

3102

8

1.510m/s

8

(3)平均坡印廷矢量为Sav

12

6

*

Re[EH]

Sav

12

j(4

Re[ex10e

43

z)

j(10

eye

60

443

z

6

)

]

(10)

Re[ez]260102ezW/m

120

8

1

42

1. 在由r5、z0和z4围成的圆柱形区域,对矢量Aerrez2z验证散度定理。 2. 解 在圆柱坐标系中

1rr

2

2

A(rr)

z

(2z)3r2

所以

4

2

5

Addzd(3r2)rdr1200

AdS(e

S

S

r

rez2z)(erdSredSezdSz)

2

52

2

42

5

00

5ddz

24rdrd

00

1200

故有

Ad

1200

AdS

S

1. 求(1)矢量

Aexxeyxyez24xyz

2

2

2

2

2

3

的散度;(2)求A对中心在原点的一个单位立方体的

积分;(3)求A对此立方体表面的积分,验证散度定理。 2.

解 (1)

(x)x

2

A

(xy)y

22

(24xyz)

z

223

2x2xy72xyz

2222

(2)A对中心在原点的一个单位立方体的积分为

112

12

Ad

1212(2x2xy72xyz)dxdydz

2222

124

(3)A对此立方体表面的积分

12

12

AdS

S(2)dydz

112

12

1

12

2

12



112

(

12

)dydz

2

2x(

2

2x(2)dxdz1212

12

2

1

12

12



1212

112

)dxdz

2

2

2

24xy(2)dxdy1212

1

13



1212

24xy(

12

)dxdy

3

124

故有

Ad

124

AdS

S

1. 计算矢量r对一个球心在原点、半径为a的球表面的积分,并求r对球体积的积分。 2. 解

2

2

rdSre

S

S

r

dS

daa

sind4a

3

又在球坐标系中

r

1rr

2

(rr)3

2

所以

2a

rd

3r

000

2

sindrdd4a

3

1. 求矢量Aexxeyxezyz沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分,此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。再求A对此回路所包围的曲面积分,验证斯托克斯定理。 2.

2

2

2

2

2

22

解 C

Adlxdxxdx2

dy0dy8

ex

A

xx

eyyx

2

ezzyz

2

ex2yzez2x

所以

22

AdS(e

S

00

x

2yzez2x)ezdxdy8

故有

Adl8AdS

C

S

Rexxeyyezz1. 证明(1)R3;(2)R0;(3)(AR)A。其中,A为一常矢

量。 2. 解 (1)

R

xxyyzz3

ex

eyyy

ezzy0

(2) R

xx

(3)设

AexAxeyAyeAz

ARAxxAyyAzz

(AR)ex

x

(AxxAyyAzz)ey

y

(AxxAyyAzz)

ez

z

(AxxAyyAzz)

exAxeyAyezAzA

1. 两点电荷q18C位于z轴上z4处,q24C位于y轴上y4处,求(4,0,0)处的电场强度。 2. 解 电荷q1在(4,0,0)处产生的电场为

E1

q1

rr1

3

40rr1

2e4e4

电荷q2在(4,0,0)处产生的电场为

E2

q2

rr2

3

40rr2



1e4e4

故(4,0,0)处的电场为

EE1E2

eee2

1. 两平行无限长直线电流1和2,相距为d,求每根导线单位长度受到的安培力2. 解 无限长直线电流1产生的磁场为

B1e

II

Fm

I

0I1

2r

直线电流2每单位长度受到的安培力为

1

I

Fm12

e12

I

I2ezB1dze12

0I1I22d

式中是由电流1指向电流2的单位矢量。

I

I

同理可得,直线电流1每单位长度受到的安培力为

Fm21Fm12e12

0I1I2

2d

1. 一个半径为a的导体球带电荷量为Q,当球体以均匀角速度绕一个直径旋转,求球心处的磁感应强度

B。

2. 解 球面上的电荷面密度为



Q4a

2

当球体以均匀角速度绕一个直径旋转时,球面上位置矢量rera点处的电流面密度为

JSvωrezera easine

Q

4a

sin

将球面划分为无数个宽度为dlad的细圆环,则球面上任一个宽度为dlad细圆环的电流为

dIJSdl

Q

4

sind

细圆环的半径为basin,圆环平面到球心的距离dacos,利用电流圆环的轴线上的磁场公式,则该细圆环电流在球心处产生的磁场为

dBez

0bdI2(bd)

3

2

2232

ez

0Qasind8(asinacos)

2

2

2

2

323

ez

0Qsind

8a

故整个球面电流在球心处产生的磁场为

Bez

0Qsin

8a

3

dez

0Q6a

1. 半径为a的球体中充满密度(r)的体电荷,已知电位移分布为

r3Ar2

Dra5Aa4

2r

(ra)(ra)

其中A为常数,试求电荷密度(r)。 2. 解 由D,有

(r)D

1r

2

ddr

(rDr)

2

故在ra区域

(r)0

1r

2

ddr

[r(rAr)]0(5r4Ar)

2322

在ra区域

(r)0

1drdr

2

[r

2

(aAa)

r

2

54

]0

1. 一个半径为a薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜,球内充满总电荷量为Q为的体电荷,球壳上又

4

另充有电荷量Q。已知球内部的电场为Eer(ra),设球内介质为真空。计算(1) 球内的电荷分布;

(2)球壳外表面的电荷面密度。

2. 解 (1) 由高斯定理的微分形式可求得球内的电荷体密度为

0E0[

1drdr

2

(rE)]0[

2

1drdr

2

(r

2

ra

44

)]60

ra

34

(2)球体内的总电量Q为

a

Q

d60

ra

34

4rdr40a

22

球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷Q,而且在球壳外表面上还要感应电荷Q,所以球壳外表面上的总电荷为2Q,故球壳外表面上的电荷面密度为

2Q4a

2



20

1. 中心位于原点,边长为L的电介质立方体的极化强度矢量为

PP0(exxeyyezz)。

(1)计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度;(2)证明总的束缚电荷为零。

P0 2. 解 (1) PP3

P(x

L2

)nP

xL2

exP

xL

L2

P0

P(x

L2

)nP

xLexP

xL2

L2

P0

同理

P(y

L2

)P(y

L2

)P(z

L2

)P(z

L2)

L2P0

(2) qP

Pd

PdS3P0L6L

S

32

L2

P00

1. 一半径为R0的介质球,介电常数为r0,其内均匀分布自由电荷,证明中心点的电位为

2r12r

(

30

)R0

2

2. 解 由

DdS

S

q

可得到

4rD1

2

4r3

3

(rR0)

3

4rD2

2

4R0

3

(rR0)

D1

r

3

,E1

D1

r0

D1

r

3r0

(rR0)

D2

R03r

2

3

,E2

0

R030r

32

(rR0)

故中心点的电位为

R0

1

2

R0

(0)

EdrE

R0

dr

3

r

r

0

dr

R0

3

R0

32

r

dr

R0

2

6r0

R0

30

2

2r12r

(

30

)R0

2

1. 一个半径为R的介质球,介电常数为,球内的极化强度PerKr,其中K为一常数。(1) 计算束缚电荷体密度和面密度;(2) 计算自由电荷密度;(3)计算球内、外的电场和电位分布。 2. 解 (1)介质球内的束缚电荷体密度为

pP

1dr

2

dr

(r

2

Kr

)

Kr

2

在rR的球面上,束缚电荷面密度为

p

nP

rRerP

rR

KR

(2)由于D0EP,所以

D0EP

0

DP

(1

0

)DP

由此可得到介质球内的自由电荷体密度为

D

K

P

0

p

2

(0)r

总的自由电荷量

q

d

KR

1

2

2

4rdr

4RK

r



(3)介质球内、外的电场强度分别为

EP

1

eKr

(R)

0)r

(r

E2er

q40r

2

er

RK0(0)r

2

(rR)

介质球内、外的电位分别为

R

1

2

1

EdlEdrE

r

r

R

R

dr

(

r

K

)r

dr



R

RK

(0)r

2

dr

K

0

ln

Rr

K0(0)RK

(rR)

2

r

E2dr



r

(0)r

2

dr

RK0(0)r

(rR)

1. 如图所示为一长方形截面的导体槽,槽可视为无限长,其上有一块与槽相绝缘的盖板,槽的电位为零,上边盖板的电位为U0,求槽内的电位函数。

2. 解 根据题意,电位(x,y)满足的边界条件为

)a(y,) 0① (0,y)② (x,0

③ (x,b)U0

根据条件①和②,电位(x,y)的通解应取为

(x,y)

n1

Ansinh(

nya

)sin(

nxa

)

由条件③,有

U0

n1

Ansinh(

nba

)sin(

nxa

)

两边同乘以sin(nxa),并从0到a对x积分,得到

An

2U0

asinh(nba)

2U0

a

sin(

nxa

)dx

nsinh(nba)

(1cosn)

4U0 

,n1,3,5,

nsinh(nba)0,n2,4,6,

故得到槽内的电位分布

(x,y)

4U0

n1,3,5,

1nsinh(nba)

sinh(

nya

)sin(

nxa

)

1. 两平行无限大导体平面,距离为b,其间有一极薄的导体片由yd到yb(z)。上板和薄片保持电位U0,下板保持零电位,求板间电位的解。设在薄片平面上,从y0到yd,电位线性变化,(0,y)U0y。

2. 解 应用叠加原理,设板间的电位为

(x,y)1(x,y)2(x,y)

其中,1(x,y)为不存在薄片的平行无限大导体平面间(电压为U0)的电位,即1(x,y)U0yb;

2(x,y)是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位,其边界条件为

① 2(x,0)2(x,b)0 ② 2(x,y)0( )

U0U0

yydb

③ 2(0,y)(0,y)1(0,y)

UU0y0b

(0yd)

(dyb)

根据条件①和②,可设2(x,y)的通解为

2(x,y)

n1

Ansin(

nyb

)e

nb

x

由条件③有

U0U0yynydb

Ansin()

bUU0y

0b

(0yd)

n1

(dyb)

两边同乘以sin(nyb),并从0到b对y积分,得到

An

2U0b

d

(

1d

1b

)ysin(

nyb

)dy

2U0b

b

(1

d

yb

)sin(

nyb

)dy

2U0b(n)d

2

sin(

ndb

)

故得到

(x,y)

U0by

2bU0d

2

n1

1n

2

sin(

ndb

)sin(

nyb

)e

nb

x

1. 如题(a)图所示,在z0的下半空间是介电常数为的介质,上半空间为空气,距离介质平面距为h处有一点电荷q。求(1)z0和z0的两个半空间内的电位;(2)介质表面上的极化电荷密度,并证明表面上极化电荷总电量等于镜像电荷q。

2. 解 (1)在点电荷q的电场作用下,介质分界面上出现极化电荷,利用镜像电荷替代介质分界面上的极化电荷。根据镜像法可知,镜像电荷分布为(如题图(b)、(c)所示)

q

00

q,位于 zh

q

00

q, 位于 zh

上半空间内的电位由点电荷q和镜像电荷q共同产生,即

1

q40R1

q40R

q40

下半空间内的电位由点电荷q和镜像电荷q共同产生,即

2

qq4R2

(2)由于分界面上无自由电荷分布,故极化电荷面密度为

pnP1P2

0(

2z

z0

0(E1zE2z)

)



z0

1z

(0)hq2(0)(rh)

2

2

3z0

极化电荷总电量为

qPPdSP2rdr

S

(0)hq

0

(r

r

2

h)

232

dr



(0)q

0

q

1. 一个半径为R的导体球带有电荷量为Q,在球体外距离球心为D处有一个点电荷q。(1)求点电荷q与导体球之间的静电力;(2)证明当q与Q同号,且

Qq

RD(D

2

32

2

R)

RD

成立时,F表现

2. 解 (1)导体在导体球上感应出等量异号的两种不同电荷。根据镜像法,像电荷q和q的大小和位置分别为(如题图所示)

q

RD

q, d

R

2

D

qq

RD

q,d0

导体球自身所带的电荷Q则与位于球心的点电荷Q等效。故点电荷q受到的静电力为

FFqqFqqFQq

qq40(Dd)

2

q(Dq) 40D

2

RqQ(RD)q

22

240DDDRD

q

 

(2)当q与Q同号,且F表现为吸引力,即F0时,则应有

Q(RD)q

D

2

Rq

DDRD

22

0

由此可得出

Qq

RD

2

32

2

(DR)

RD

z

1. 如题5.8所示图,无限长直线电流I垂直于磁导率分别为1和2的两种磁介质的分界面,试求(1)两种磁介质中的磁感应强度B1和B2;(2)磁化电流分布。

2. 解 (1)由安培环路定理,可得

He

I2r

I

10 2

x

所以得到

B10He

0I

2r

B2He

I

2r

(2)磁介质在的磁化强度

M

1

B2He

(0)I20r

0

则磁化电流体密度

JmMez

1drdr

(rM)ez

(0)I1d20

1

(r)0rdrr

在r0处,B2具有奇异性,所以在磁介质中r0处存在磁化线电流Im。以z轴为中心、r为半径作一个圆形回路C,由安培环路定理,有

IIm

1

0

Bdl

C

I0

故得到

(

0

Im

1)I

在磁介质的表面上,磁化电流面密度为

JmS=M?ez

er

z=0

(0)I20r

1. 如题图所示,一环形螺线管的平均半径r015cm,其圆形截面的半径a2cm,鉄芯的相对磁导率

r1400,环上绕N1000匝线圈,通过电流I0.7A。

(1)计算螺旋管的电感;

(2)在鉄芯上开一个l00.1cm的空气隙,再计算电感。(假设开口后鉄芯的r不变) (3)求空气隙和鉄芯内的磁场能量的比值。

2. 解 (1)由于ar0,可认为圆形截面上的磁场是均匀的,且等于截面的中心处的磁场。由安培环路定律,可得螺线管内的磁场为

H

NI2r0

与螺线管铰链的磁链为

NSH

aNI

2r0

22

故螺线管的电感为

L

I

aN

2r0

22

7

14004100.021000

22

20.15

2.346H

(2)当铁芯上开有小空气隙时,由于可隙很小,可忽略边缘效应,则在空气隙与鉄芯的分界面上,磁场只有法向分量。根据边界条件,有B0BB,但空气隙中的磁场强度H0与铁芯中的磁场强度H不同。根据安培环路定律,有

H0l0H(2r0l0)NI

又由于B00H0、B0rH及B0BB,于是可得

B

0rNIrl0(2r0l0)

所以螺线管内的磁链为

NSB

0raNIrl0(2r0l0)

2

2

故螺线管的电感为

L

I

0raN

22

rl0(2r0l0)

7

410

2

14000.021000

22

14000.00120.150.001

0.944H

(3)空气隙中的磁场能量为

Wm0

12

0H0Sl0

2

鉄芯中的磁场能量为

12

2

Wm0rHS(2r0l0)

Wm0Wm

rl02r0l0

14000.00120.150.001

1.487

1. 一根半径为a的长圆柱形介质棒放入均匀磁场BezB0中与z轴平行。设棒以角速度绕轴作等速旋转,求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。 2. 解 介质棒内距轴线距离为r处的感应电场为

EvBerezB0errB0

故介质棒内的极化强度为

PXe0Eer(r1)0rB0er(0)rB0

极化电荷体密度为

1rr

1rr

PP

(rP)

(0)rB0

2

2(0)B0

极化电荷面密度为

PPner(0)rB0er

ra

(0)aB0

则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为

QPa1P2a(0)B0QPS2a1P2a(0)B0

2

2

2

1. 一圆柱形电容器,内导体半径为a,外导体内半径为b,长为l。设外加电压为U0sint,试计算电容器极板间的总位移电流,证明它等于电容器的传导电流。

2. 解 当外加电压的频率不是很高时,圆柱形电容器两极板间的电场分布与外加直流电压时的电场分布可视为相同(准静态电场),即

Eer

U0sintrln(ba)

故电容器两极板间的位移电流密度为

Jd

Dt

er

U0costrln(ba)

id

JddS

s



2l0

U0costrln(ba)

ererrddz

2lln(ba)

U0costCU0cost

C

2l

ln(ba)是长为l的圆柱形电容器的电容。

式中,

流过电容器的传导电流为

dUdt

icCCU0cost

可见

idic

1. 已知在空气中

Eey0.1sin10xcos(610tz)

9

,求H和。

(提示将E代入直角坐标中的波方程,可求得。) 2. 解 电场E应满足波动方程

2

E00

Et

2

2

0

将已知的EeyEy代入方程,得

Eyx

22

Eyz

2

2

00

Eyt

2

2

0

式中

Eyx

2

22

0.1(10)sin10xcos(610tz)0.1sin10x[cos(610tz)]Eyt

22

2

9

29

Eyz

2

000.100sin10x[(610)cos(610tz)]

929

故得

(10)00(610)0

2

2

9

2



54.41rad/m

E0

Ht

Ht



1

E

1[ex

Eyz

ez

Eyx

9

0

1

0

]

0

[ex0.1sin10xsin(610tz)

9

ez0.110cos10xcos(610tz)]

将上式对时间t积分,得

Η

1

[ex0.1sin10xcos(610tz]

9

9

0610

4

9

ezcos10xsin(610tz)ex2.310

sin10xcos(610t54.41z)

4

99

ez1.3310

cos10xsin(610t54.41z)A/m

3

1. 在自由空间中,已知电场

E(z,t)ey10sin(tz)V/m

,试求磁场强度H(z,t)。

2. 解 以余弦为基准,重新写出已知的电场表示式

E(z,t)ey10cos(tz

3

2

)V/m

这是一个沿+z方向传播的均匀平面波的电场,其初相角为90。与之相伴的磁场为

H(z,t)

1

0

ezE(z,t)10

3

3

ezey10costz021

ex



costzex265sin(tz)A/m1202

1A/m

1. 均匀平面波的磁场强度和z=0时,若H的取向为

ey

H的振幅为3

,以相位常数30rad/m在空气中沿ez方向传播。当t=0

,试写出E和H的表示式,并求出波的频率和波长。

2. 解 以余弦为基准,按题意先写出磁场表示式

Hey

13

cos(tz)A/m

与之相伴的电场为

13

E0[H(ez)]120[ey

ex40cos(tz)V/m

cos(tz)(ez)]

由rad/m得波长和频率f分别为

f

2

0.21mc

3100.21

8

9

vp

Hz1.4310Hz

9

9

2f21.4310rad/s910rad/s

则磁场和电场分别为

13

9

Hey

cos(910t30z)A/m

9

Eex40cos(910t30z)V/m

81

1. 海水的电导率4S/m,相对介电常数r。求频率为10kHz、100kHz、1MHz、10MHz、100MHz、

1GHz的电磁波在海水中的波长、衰减系数和波阻抗。 2. 解 先判定海水在各频率下的属性



2fr0

42f810

8.810

f

8

可见,当

f10Hz

7

时,满足



1

,海水可视为良导体。此时

c(1jf=10kHz时



2

0.1260.396Np/m

20.126

15.87m

c(1j0.099(1j)

f=100kHz时



2

1.26Np/m

21.26

5m

c(1j0.314(1j)

f=1MHz时



2

3.96Np/m

23.96

1.587m

c(1j0.99(1j)

f=10MHz时



2

12.6Np/m

212.6

0.5m

c(1j

1

3.14(1j)

当f=100MHz以上时,

不再满足,海水属一般有损耗媒质。此时,

2f

2f

0

f=100MHz时

37.57Np/m42.1rad/mc

2

0.149m14.05e

j41.8

f=1GHz时

69.12Np/m203.58rad/m0

2

0.03m42

36.5e

j20.8

r80,r1,4S/m

10

1. 有一线极化的均匀平面波在海水()中沿+y方向传播,其磁场强度在y=0处为

Hex0.1sin(10t/3)A/m

(1)求衰减常数、相位常数、本征阻抗、相速、波长及透入深度;(2)求出H的振幅为0.01A/m时的位置;(3)写出E(y,t)和H(y,t)的表示式。

410800

10

2. 解 (1)

436108010

10

9

0.18

10

可见,在角频率10时,海水为一般有损耗媒质,故

10

10

83.9Np/m

10

10

300rad/m

c

j0.028

42.151.008e

41.82e

j0.028

8

vp

2



103002300183.9

10

0.33310m/s6.6710m

33

c

1

11.9210m

yy

0.1e0.1得 (2)由0.01即e

y

1

ln10

183.9

2.303m27.410

3

m

sin(10t300y

10

(3)

H(y,t)ex0.1e

83.9y

3

)A/m

其复数形式为

j

3

H(y)ex0.1e

83.9y

e

j300y

eA/m

故电场的复数表示式为

E(y)cH(y)ey41.82e

ez4.182e

83.9y

j0.028

83.9y

j(300y

3

0.1e

2)

e

2

)

exey

e

j(300y

3

0.028

V/m

E(y,t)Re[E(y)e

ez4.182e

jt

]

sin(10t300y

10

83.9y

3

0.028)V/m

1. 为了在垂直于赫兹偶极子轴线的方向上,距离偶极子100km处得到电场强度的有效值大于100V/m,赫兹偶极子必须至少辐射多大功率? 2. 解 赫兹偶极子的辐射场为

Ej

Idl

ke

jkr

2r

sin

当90,电场强度达到最大值为

E900

Idlk

2r



Idl2r

于是

Idl

2rE900

r110m,E900

5

4

代入上式,得

10V/m

Idl

210

5

10

4

而辐射功率

Idl22dl

2

2

P80I3

2

P2105104

3



P2.22W

范文七:电磁场与电磁波第一章答案

第一章

矢量分析

重点和难点

关于矢量的定义、运算规则等内容可让读者自学。应着重讲解梯度、散度、旋度的物理概念和数学表示,以及格林定理和亥姆霍兹定理。至于正交曲面坐标系一节可以略去。

考虑到高年级同学已学过物理学,讲解梯度、散度和旋度时,应结合电学中的电位、积分形式的高斯定律以及积分形式的安培环路定律等内容,阐述梯度、散度和旋度的物理概念。详细的数学推演可以从简,仅给出直角坐标系中的表达式即可。讲解无散场和无旋场时,也应以电学中介绍的静电场和恒定磁场的基本特性为例。

至于格林定理,证明可免,仅给出公式即可,但应介绍格林定理的用途。

前已指出,该教材的特色之一是以亥姆霍兹定理为依据逐一介绍电磁场,因此该定理应着重介绍。但是由于证明过程较繁,还要涉及 函数,如果学时有限可以略去。由于亥姆霍兹定理严格地定量描述了自由空间中矢量场与其散度和旋度之间的关系,因此应该着重说明散度和旋度是产生矢量场的源,而且也是惟一的两个源。所以,散度和旋度是研究矢量场的首要问题。

此外,还应强调自由空间可以存在无散场或无旋场,但是不可能存在既无散又无旋的矢量场。这种既无散又无旋的矢量场只能存在于局部的无源区中。

重要公式

直角坐标系中的矢量表示:AAxex AyeyAzez 矢量的标积:代数定义:ABAxBxAyByAzBz

几何定义:AB|A||B|cos

ex

矢量的矢积:代数定义:ABAx

Bx

eyAyByezAz Bz

几何定义:ABez|A||B|sin

标量场的梯度:ex



eyez

xyz

AxAyAz

矢量场的散度:A 

xyz

高斯定理: Ad V AdS

V

S

ex

矢量场的旋度:A

xAx

斯托克斯定理:

S

eyyAyez

; zAz

l

(A)dS Adl

无散场:(A)0; 无旋场:()0 格林定理:

第一和第二标量格林定理:

V

(2)dV()dS

S

V

(22)dV dS

S

第一和第二矢量格林定理:

V

[(P)(Q)PQ]dVPQdS

S

V

[Q(P)P(Q]dV [PQQP]dS

S

亥姆霍兹定理: F(r)(r)A(r),式中

(r)

14F(r)1

 dVA(r)Vrr4F(r)

VrrV

三种坐标系中矢量表示式之间的转换关系:

Arcos

AsinAz0

sincos0

0Ax0 Ay

1Az

cosAx



sin Ay

0Az

Arsincos



AcoscosA

sinArsinAcosA0

sinsincossincos

0cosAr



0sin A

10Az

题 解 第一章 题 解

1-1

已知三个矢量分别为

Aex2ey3ez;

B3exey2ez;C2exez。试求①|A|, |B|, |C|;②单

位矢量ea, eb, ec;③AB;④AB;⑤(AB)C及

(AC)B;⑥(AC)B及(AB)C。

22

解 ① AAxAyAz22223

2

22

BBxByBz2321222 22CCxCyCz222021

2

② ea

AA1

ex2ey3ez 

ABB1

3exey2ez 

Beb

ec

CC1

2exez 

C55

③ ABAxBxAyByAzBz3261

ex

④ ABAx

BxeyAyByezexAz1Bz3

ey

21ez

37ex11ey5ez 2

ex

⑤ ABC7

2

ex

ACAx

Cx

eyez

11511ex3ey22ez 0exAyCy

1exexAz1Cz2

ey

20

ez

32ex5ey4ez 1

exeyez

ACB2546ex8ey13ez

3

1

2

⑥ ACB235113215

ABC7205119。

1-2 已知z0平面内的位置矢量A与X轴的夹角为,位置矢量B与X轴的夹角为,试证

cos()coscossinsin

证明 由于两矢量位于z0平面内,因此均为二维矢量,它们可以分别表示为

AexAcoseyAsin BexBcoseyBsin

,求得 已知ABABcos

cos

ABcoscosABsinsin

AB

cos()coscossinsin

1-3 已知空间三角形的顶点坐标为P1, 2),1(0,

P2(4, 1, 3)及P3(6, 2, 5)。试问:①该三角形是否是直角三角形;②该三角形的面积是多少?

解 由题意知,三角形三个顶点的位置矢量分别为

P1ey2ez; P24exey3ez;

P36ex2ey5ez

那么,由顶点P1指向P2的边矢量为

P2P14exez

同理,由顶点P2指向P3的边矢量由顶点P3指向P1的边矢量分别为

P3P22exey8ez

P1P36exey7ez

因两个边矢量(P2P1)(P3P2)0,意味该两个边矢量相互垂直,所以该三角形是直角三角形。

P2P14212 P3P222128269,

所以三角形的面积为

S

1

P2P1P3P20.5 2

1-4 已知矢量Aexyeyx,两点P1及P2的坐标位置分别为P1(2, 1, 1)及P2(8, 2, 1)。若取P1及P2之间的抛物线

x2y2或直线P1P2为积分路径,试求线积分

p1

p2

Adl。

解 ①积分路线为抛物线。已知抛物线方程为x2y2,

dx4ydy,则

P1

P2

Adlydxxdy4y2dy2y2dy6y2dy2y3

P2

P2

P2

P1P1



P1

12

14

②积分路线为直线。因P1,P2两点位于z1平面内,过P1,P2两点的直线方程为y1

21

x2,即6yx4,82

dx6dy,则

P1

P2

Adl6ydy6y4dy12y4y

2

P2

P1

12

14。

1-5 设标量xy2yz3,矢量A2ex2eyez,试求标量函数在点(2, 1, 1)处沿矢量A的方向上的方向导数。 解 已知梯度

ex



eyezexy2ey(2xyz2)ez3yz2 xyz

那么,在点(2, 1, 1)处 的梯度为

ex3ey3ez

因此,标量函数在点(2, 1, 1)处沿矢量A的方向上的方向导数为

Aex3ey3ez2ex2eyez2631

1-6 试证式(1-5-11),式(1-5-12)及式(1-5-13)。 证明 式(1-5-11)为,该式左边为

ex

eyez xyz



exeyyxyx

ez

zz



eeeeee yzxyzxxyzxyz



即,

。

根据上述复合函数求导法则同样可证式(1-5-12)

和式(1-5-13)。



1-7 已知标量函数sinxsinyez,试求该标量函

23

数 在点P(1,2,3)处的最大变化率及其方向。

解 标量函数在某点的最大变化率即是函数在该点的梯度值。已知标量函数的梯度为

ex

那么

ex



eyez

xyz



zzcosxsinyeeysinxcosye223323



xsin

3

yez 

ezsin

2

将点P(1,2,3) 的坐标代入,得Pey那么,在P点的最大变化率为



ey

6

e3ez

33

e。2

6

P

e

3

ez

3e3e227 26

P点最大变化率方向的方向余弦为

cos0; cos

27

2

; cos

27

27

2

1-8 若标量函数为

x22y23z2xy3x2y6z

试求在P(1, 2, 1)点处的梯度。 解 已知梯度ex入得

ex2xy3ey4yx2ez6z6



,将标量函数代eyez

xyz

再将P点的坐标代入,求得标量函数 在P点处的梯度为

P3ex9ey

1-9 试证式(1-6-11)及式(1-6-12)。

证明 式(1-6-11)为CACA,该式左边为

AxAyAz

CACAxCAyCAzCxyzCAxyz即

CACA

式(1-6-12)为AAA,该式左边为

A

AxAyAz xyz

Ax

AyAAxAyAzz xxyyzz

AA;

AAA

1-10 试求距离|r1r2|在直角坐标、圆柱坐标及圆球坐标中的表示式。 解 在直角坐标系中

r1r2

x2x12y2y12z2z12

在圆柱坐标系中,已知xrcos,yrsin,zz,因此

r1r2

r2cos2r1cos12r2sin2r1sin12z2z12

2

r22r122r2r1cos21z2z1

在球坐标系中,已知xrsincos,yrsinsin,zrcos,因此

r1r2

r2sin2cos2r1sin1cos12r2sin2sin2r1sin1sin12r2cos2r1cos12

r22r122r2r1sin2sin1cos21cos2cos1 1-11 已知两个位置矢量r1及r2的终点坐标分别为

(r1,1,1)及(r2,2,2),试证r1与r2之间的夹角为

cossin1sin2cos(12)cos1cos2

证明 根据题意,两个位置矢量在直角坐标系中可表示为

r1exr1sin1cos1eyr1sin1sin1ezr1cos1 r2exr2sin2cos2eyr2sin2sin2ezr2cos2

已知两个矢量的标积为r1r2r1r2cos,这里为两个矢量的夹角。因此夹角为

cos

式中

r1r2

r1r2

r1r2r1r2(sin1cos1sin2cos2sin1sin1sin2sin2 cos1cos2)

r1r2r1r2

因此,

cossin1sin2(cos1cos2sin1sin2)cos1cos2 sin1sin2cos(12)cos1cos2

1-12试求分别满足方程式f1(r)r0及f2(r)r0的函数f1(r)及f2(r)。

解 在球坐标系中,为了满足

f1rrf1rrf1rrr

f1r3f1r0 r

即要求r

dfrdf1r3dr

,求得 3f1r0 1

f1rrdr

lnf1r3lnrlnC

f1r

C

r3

在球坐标系中,为了满足

f2rrf2rrf2rr0

由于f2rr0,r0,即上式恒为零。故f2r可以

是r的任意函数。

1-13 试证式(1-7-11)及式(1-7-12)。

证明 ①式(1-7-11)为CACA (C为常数) 令AAxexAyeyAzez, CACAxexCAyeyCAzez,则

ex

CA

xCAxeyyCAyezexCzxCAzAxey

yAyez

CA zAz

②式(1-7-12)为AAA 令AAxexAyeyAzez,AAxexAyeyAzez,则

exeyez



AAzAyex

xyzzyAxAyAz



AzAxeyAyAxez

zyxx

AAeAAeAyzzyxxzzxyxyyAxez



AzAyAyAxAzAx

yzexxzeyxyez



AA

若将式(1-7-12)的右边展开,也可证明。

rr

1-14 试证 r0,0及30。

rr

证明 已知在球坐标系中,矢量A的旋度为

er

r2sin

A

rAr

ersinrA

er

rsinA

对于矢量r,因Arr,A0,A0,代入上式,且 因r与角度,无关,那么,由上式获知r0。

对于矢量对于矢量

rr

,因Ar1,A0,A0,显然0。 rr1r,因,A0,A0,同理获知 Ar23

r

rr

r3

0。 1-15 若C为常数,A及k为常矢量,试证: ① eckrCkeckr; ② (Aeckr)CkAeckr;

③ (Aeckr)CkAeckr。

证明 ①证明eCkrCkeCkr。 利用公式FF,则

eCkreCkrCkrCeCkrkr

而krkxxkyykzzexkxeykyezkzk 求得

eCkrCkeCkr。

②证明AeCkr

CkAeCkr。

利用公式AAA,则

AeCkrAeCkreCkrAAeCkr

再利用①的结果,则

AeCkr

CkAeCkr

③证明AeCkr

CkAeCkr。

利用公式AAA,则

AeCkreCkrAeCkrAeCkr

A再利用①的结果,则

AeCkr

CkAeCkr。

ekr

1-16 试证 r

2kr

2ekr,式中k为常数。 

证明 已知在球坐标系中

12112

2rsin

rrrr2sinr2sin22

2

ekr

r

2

12ekrr2rrrr121krkkr

r2rrr2ere



kr

112ekrkrkrkr

k2ekre2ke1krke

rrrr



ekr

r

2kr

2ekr 

1

1-17 试证 (E)E(E)E|E|2

2

证明 利用公式

ABABBAABBA

令上式中的ABE,则

E2EE2EE2EE2EE

2

将上式整理后,即得

EEEE1E2。

2

1-18 已知矢量场F的散度Fq(r),旋度F0,试求该矢量场。

解 根据亥姆霍兹定理,FrΦrAr,其中

Φr

14

Fr1

dVAr;Vrr4Fr

VrrdV

当F0时,则Ar0,即FrΦr。那么因

Fqr,求得

Φr

14

qrq

 dVVrr4r

FrΦr

q

er 4r2

2

1-19 已知某点在圆柱坐标系中的位置为4, , 3,试

3

求该点在相应的直角坐标系及圆球坐标系中的位置。 解 已知直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换关系为

xrcos,yrsin,zz

因此,该点在直角坐标下的位置为

2

x4cos

3

22; y4sin3

23; 

z = 3

同样,根据球坐标系和直角坐标系坐标变量之间的转换关系,

22xyy

;arctan rx2y2z2;arctan

zx

可得该点在球坐标下的位置为

r5; arctan

4

53; 3

120

1-20 已知直角坐标系中的矢量Aaexbeycez,式中a, b, c均为常数,A是常矢量吗?试求该矢量在圆柱坐标系及圆球坐标系中的表示式。

解 由于A的大小及方向均与空间坐标无关,故是常矢量。

已知直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换关系为

rx2y2;arctan

y

; zz x

求得

b

ra2b2;arctan; zc

a

sin

bab

2

2

;cos

aab

2

2

又知矢量A在直角坐标系和圆柱坐标系中各个坐标分量之间的转换关系为

Arcos

AsinAz0

将上述结果代入,求得

sincos0

0Ax0Ay

1Az

a

22

Arab

b

A22

abA

z0



ba2b2

aa2b20

0

a2b2a0b0 cc1



即该矢量在圆柱坐标下的表达式为

Aera2b2ezc

直角坐标系和球坐标系的坐标变量之间的转换关系为

x2y2y;arctanrxyz;arctan zx

2

2

2

由此求得

a2b2

rabc;arctan

c

2

2

2b;arctan

a

矢量A在直角坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系为

Arsincos



AcoscosA

sin

求得

sinsincossincos

cosAx



sinAy

0Az

Arsincos

AcoscosA

sin

sinsincossincos

cosaa2b2c2

sinb0 00c

即该矢量在球坐标下的表达式为

Aera2b2c2。

1-21 已知圆柱坐标系中的矢量Aaerbecez,式中a, b, c均为常数,A是常矢量吗?试求A及A以及A在相应的直角坐标系及圆球坐标系中的表示式。 解 因为虽然a, b, c均为常数,但是单位矢量er和e均为变矢,所以A不是常矢量。

已知圆柱坐标系中,矢量A的散度为

11AAz

rArA

rrrz

将Aaerbecez代入,得 矢量A的旋度为

A

1

ar00a rrr

er

r

A

rAr

erA

erez

rr

rz

aAz

e

rb

ezrbez zrc

已知直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换关系为

xrcos; cos

xx2y2

yrsin; 

x

; sina

zz yx2y2

y a

又知矢量A在直角坐标系和圆柱坐标系中各个坐标分量之间的转换关系为

AxcosAysinAz0

sincos0

0Ar0A

1Az

将上述接结果代入,得

xAxayAyaA0z



y

axa0

b

0xaya

ybx 0b

a

1cc



即该矢量在直角坐标下的表达式为

bb

Axyexyxeycez,其中x2y2a2。

aa

矢量A在圆柱坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系

ArsinAcosA0

以及sin

a

,cosr

a

ArrcAr0A01



0cosAr



0sinA

10Az

c

,求得 rca2c2

rarr

a b00r

0cbb

即该矢量在球坐标下的表达式为Arerbe。

1-22 已知圆球坐标系中矢量Aaerbece,式中a, b, c均为常数,A是常矢量吗?试求A及A,以及A在直角坐标系及圆柱坐标系中的表示式。

解 因为虽然a, b, c均为常数,但是单位矢量er,e,e均为变矢,所以A不是常矢量。

在球坐标系中,矢量A的散度为

A

1211

rAsinAr

r2rrsinrsin



A

 

将矢量A的各个分量代入,求得A

2ab

cot。 rr

矢量A的旋度为

err2sin

A

rAr

ersinrA

er

rsinA

err2sin

raersinrb

e

rb

e rrsinc

利用矢量A在直角坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系

Axsincos

AysinsinA

zcos

coscoscossinsin

sinAr

cosA

0A

2222xxyxysincos22222xyaxyz

以及,,求得

yzzsincos2xy2x2y2z2a

该矢量在直角坐标下的表达式为

bxzcybyzAxexy222222axyxyaxy

bx2y2e zza

ey

x2y2cx

利用矢量A在圆柱坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系

ArsinA0Azcos

cos0sin

r

0Ara1A0

z0Aa

z

a0ra

b

0araz

c 1b0czbra

求得其在圆柱坐标下的表达式为

bb

Arzercezrez。

aa

1-23 若标量函数1(x,y,z)xy2z,2(x,,z)rzsin,

3(r,,)

2

sin222

,试求,及3。 122r

212121

解 1202xz02xz 22

xyz

1212222

2 r222rrrrz

2

2

1

rzsin12rzsin0 rrr

31311

32r22sin22

rrrrsinrsin

122sin1sincos

rr2rr3r2sinr2

0 

232

2sincos2sin21

 444

rrsinrsin

1-24 若

A(x,y,z)xy2z3exx3zeyx2y2ez

A(r,,z)err2cosezr3sin A(r,,)errsine

11

sine2cos rr

试求A,A及2A。 解 ①A

AxAyAz

y2z300y2z3; xyz

ex

A

xAxeyyAyezexzxAzxy2z3eyyx3zez

zx2y2

2x2yx3ex3xy2z22xy2ey3x2z2xyz3ez; 2Aex2Axey2Ayez2Az

2xz36xy2zex6xzey2y22x2ez;

11AAz13

② ArArrcos03rcos 

rrrrrz

er

r

A

rAr

erA

ezerrrzrAzr2cos

e0

ezr

zr2sin





er2e

rcose2rsinzr2sin

rr

errcos2ersinezrsin



A2Ar22Ar2A2

2AerAeAeAzrz2222rrrr

2ercos2esin3ezsin;

(此处利用了习题26中的公式) ③ A

1211rAsinAr

r2rrsinrsin



A

 

13112

rsinrsin0 2

rrrsin

2cos

; 3sinr2



err2sin

A

rArersinrAer

rr2sin

rrsinArsin

e

e

rsinsin

e

r1

rsincos

sin2cossiner3eecos 32

rrrer

sin2cossin

; eecos2r3r3r

A22

sinA222Aer2Ar2Ar2

rrsinrsin

2A2Ar2cosA

eA22222

rsinrrsinA2Ar2cosA

e2A22222

rsinrsinrsin

将矢量A的各个坐标分量代入上式,求得

coscos24cos2cos2sin

2Aeree4332rrrsinrsinr

cos2

, 1r2,试求 AdV,式中1-25 若矢量Aer

Vr3V为A所在的区域。

解 在球坐标系中,dVr2sindrdd,

A

1211

rAsinAr

r2rrsinrsin



A

 

将矢量A的坐标分量代入,求得

2

22coscos22

AdVdVddrsindr44VV001rr

2cos2

sindcos2d

02

d

2

1-26 试求

S

(er3sin)dS,式中S为球心位于原点,半径

为5的球面。

解 利用高斯定理,AdSAdV,则

S

V

AdSAdVdd

S

V

25

6sin2

rsindr752 r

范文八:电磁场与电磁波试题及答案

1.麦克斯韦的物理意义:根据亥姆霍兹定理,矢量场的旋度和散度都表示矢量场的源。麦克斯韦方程表明了电磁场和它们的源之间的全部关系:除了真实电流外,变化的电场(位移电流)也是磁场的源;除电荷外,变化的磁场也是电场的源。

1. 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式,并简要说明其物理意义。



DB

2.答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为HJ,E,B0,D,(3分)(表明

tt

了电磁场和它们的源之间的全部关系除了真实电流外,变化的电场(位移电流)也是磁场的源;除电荷外,变化的磁

场也是电场的源。

1.简述集总参数电路和分布参数电路的区别:

2.答:总参数电路和分布参数电路的区别主要有二:(1)集总参数电路上传输的信号的波长远大于传输线的几何尺寸;而分布参数电路上传输的信号的波长和传输线的几何尺寸可以比拟。(2)集总参数电路的传输线上各点电压(或电流)的大小与相位可近似认为相同,无分布参数效应;而分布参数电路的传输线上各点电压(或电流)的大小与相位均不相同,呈现出电路参数的分布效应。

1.写出求解静电场边值问题常用的三类边界条件。

2.答:实际边值问题的边界条件可以分为三类:第一类是整个边界上的电位已知,称为“狄利克莱”边界条件;第二类是已知边界上的电位法向导数,称为“诺依曼”边界条件;第三类是一部分边界上电位已知,而另一部分上的电位法向导数已知,称为混合边界条件。 1.简述色散效应和趋肤效应。

2.答:在导电媒质中,电磁波的传播速度(相速)随频率改变的现象,称为色散效应。在良导体中电磁波只存在于导体表面的现象称为趋肤效应。

1.在无界的理想媒质中传播的均匀平面波有何特性?在导电媒质中传播的均匀平面波有何特性?

2. 在无界的理想媒质中传播的均匀平面波的特点如下:电场、磁场的振幅不随传播距离增加而衰减,幅度相差一个实数因子η(理想媒质的本征阻抗);时间相位相同;在空间相互垂直,与传播方向呈右手螺旋关系,为TEM波。

在导电媒质中传播的均匀平面波的特点如下:电磁场的振幅随传播距离增加而呈指数规律衰减;电、磁场不同相,电场相位超前于磁场相位;在空间相互垂直,与传播方向呈右手螺旋关系,为色散的TEM啵。 1. 写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件。



2. 时变场的一般边界条件 D2n、E2t0、H2tJs、B2n0。 (或矢量式nD2、nE20、



nH2Js、nB20)

1. 写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义。



AA

2. 答矢量位BA,A0;动态矢量位E或E库仑规范与洛仑兹规范的作用都。

tt



是限制A的散度,从而使A的取值具有唯一性;库仑规范用在静态场,洛仑兹规范用在时变场。

1. 简述穿过闭合曲面的通量及其物理定义

2. 

s

面内向外扩散,说明S面内有正源若Ф

rexxeyyezz



Ads 是矢量A穿过闭合曲面S的通量或发散量。若Ф> 0,流出S面的通量大于流入的通量,即通量由S

的散度,并由此说明矢量场的散度与坐标的选择无关。 ,则有

2. 证明在直角坐标系里计算 r(r)ex







eyez(exeyez) xyzxyzxyz

3

xyz



1rr

2

若在球坐标系里计算,则 r(r)

(rr)

2

1rr

2

(r)3由此说明了矢量场的散度与坐标的选择无关。

3

1. 在直角坐标系证明A0

2.

A

AxAzAAAyAx

(exeyez)[ex(z)ey(x)ez()]

xyzyzzxxyx(Azy

Ayz)

y(Axz

Azx)

z(Ayx

Axy

)0

1. 简述亥姆霍兹定理并举例说明。

2. 亥姆霍兹定理研究一个矢量场,必须研究它的散度和旋度,才能确定该矢量场的性质。 例静电场



Ddsq0 D0 有源

s



l



Edl0 E0 无旋

RR

1. 已知 Rrr,证明

2. 证明

ReRR。

RRRxxyyzz

Rexeyezexeyez

xyzRRR

R „„ R

1. 试写出一般电流连续性方程的积分与微分形式 ,恒定电流的呢?

2. 一般电流JdSdq/dt0,J/t; 恒定电流JdS0,J0

1. 电偶极子在匀强电场中会受作怎样的运动?在非匀强电场中呢?

2. 电偶极子在匀强电场中受一个力矩作用,发生转动;非匀强电场中,不仅受一个

力矩作用,发生转动,还要受力的作用,使 电偶极子中心 发生平动,移向电场强的方向。 1. 试写出静电场基本方程的积分与微分形式 。 2. 答静电场基本方程的

1

积分形式

Edsq ,Edl0 sl0 微分形式 D,E0

1. 试写出静电场基本方程的微分形式,并说明其物理意义。 源是是电荷的分布)。

1. 试说明导体处于静电平衡时特性。 2. 答导体处于静电平衡时特性有

①导体内 E0;

②导体是等位体(导体表面是等位面);

③导体内无电荷,电荷分布在导体的表面(孤立导体,曲率);



2. 静电场基本方程微分形式D,E0 ,说明激发静电场的源是空间电荷的分布(或是激发静电场的



④导体表面附近电场强度垂直于表面,且 En/0。

1. 试写出两种介质分界面静电场的边界条件。 2. 答在界面上D的法向量连续 D1n



n1E1n1E2)



;E的切向分量连续E1tE2t或(D2n或(n1D2n1D2)

1. 试写出1为理想导体,二为理想介质分界面静电场的边界条件。 2. 在界面上D的法向量 D2n



;E的切向分量E2t0或(n1E20) 或(n1D2)

1. 试写出电位函数表示的两种介质分界面静电场的边界条件。

2. 答电位函数表示的两种介质分界面静电场的边界条件为12,11. 试推导静电场的泊松方程。

1n

2

2n



2. 解由 D ,其中 DE,E ,



DE 为常数



2



泊松方程

1. 简述唯一性定理,并说明其物理意义

2. 对于某一空间区域V,边界面为s,φ满足

给定

(对导体给定q)

则解是唯一的。只要满足唯一性定理中的条件,解是唯一的,可以用能想到的最简便的方法求解(直接求解法、镜像法、分离变量法„„),还可以由经验先写出试探解,只要满足给定的边界条件,也是唯一解。不满足唯一性定理中的条件无解或有多解。

1. 试写出恒定电场的边界条件。 2. 答恒定电场的边界条件为

1. 分离变量法的基本步骤有哪些?

2. 答具体步骤是1、先假定待求的位函数由两个或三个各自仅含有一个坐标变量的乘积所组成。2、把假定的函数代入拉氏方程,使原来的偏微分方程转换为两个或三个常微分方程。解这些方程,并利用给定的边界条件决定其中待定常数和函数后,最终即可解得待求的位函数。

1. 叙述什么是镜像法?其关键和理论依据各是什么?

2. 答镜像法是用等效的镜像电荷代替原来场问题的边界,其关键是确定镜像电荷的大小和位置,理论依据是唯一性定理。

1. 试写出真空中恒定磁场的基本方程的积分与微分形式,并说明其物理意义。 2. 答真空中恒定磁场的基本方程的积分与微分形式分别为



sBds0B0

’ 

HdlIHJ

l

说明恒定磁场是一个无散有旋场,电流是激发恒定磁场的源。1. 试写出恒定磁场的边界条件,并说明其物理意义。



2. 答:恒定磁场的边界条件为:n(H1H2)Jsn(B1B2)0,说明磁场在不同的边界条件下磁场强度的切

,

向分量是不连续的,但是磁感应强强度的法向分量是连续。 1. 由矢量位的表示式

A(r)

0

4

J(r)R

d

证明磁感应强度的积分公式

B(r)

0

4

J(r)R

R

3

d

并证明B0 2. 答

B(r)A(r)

0

4

J(r)R

d

J(r)R

d

04



04

J(r)(

1R

)d



04

J(r)(

RR

)d3

04

J(r)R

R

3

d

1. 由麦克斯韦方程组出发,导出点电荷的电场强度公式和泊松方程。

2. 解 点电荷q产生的电场满足麦克斯韦方程

E0和D

B[A(r)]0

由D得

Ddd

据散度定理,上式即为

DdS

s

q

利用球对称性,得

Der

q

故得点电荷的电场表示式

Eer

4r q

2

2

4r

由于E0,可取E,则得

即得泊松方程

DE



2

2



1. 写出在空气和的理想磁介质之间分界面上的边界条件。 2. 解 空气和理想导体分界面的边界条件为

nE0nHJs

根据电磁对偶原理,采用以下对偶形式 即可得到空气和理想磁介质分界面上的边界条件

nH0nEJms

EHHEJsJms

式中,Jms为表面磁流密度。

1. 写出麦克斯韦方程组(在静止媒质中)的积分形式与微分形式。 2.



DD

ls(Jt)dS HJt



BB

lEdlstdS Et



sBdS0 B0

DdSq D 

Hdl

s

1. 试写媒质1为理想介质2为理想导体分界面时变场的边界条件。 2. 答边界条件为



E1tE2t0 或 nE10



H1tJs 或 nH1Js



B1nB2n0 或 nB10

D1n



s 或 nD1s

EjH

B0 

D0

1. 试写出理想介质在无源区的麦克斯韦方程组的复数形式。 2. 答

HjE

1. 试写出波的极化方式的分类,并说明它们各自有什么样的特点。 2. 答波的极化方式的分为圆极化,直线极化,椭圆极化三种。 圆极化的特点ExmEym,且Exm,Eym的相位差为

2

直线极化的特点Exm,Eym的相位差为相位相差0,, 椭圆极化的特点ExmEym,且Exm,Eym的相位差为

0,, 或2

1. 能流密度矢量(坡印廷矢量)S是怎样定义的?坡印廷定理是怎样描述的?

2. 答能流密度矢量(坡印廷矢量)S定义为单位时间内穿过与能量流动方向垂直的单位截面的能量。坡印廷定理的

dd11222

(EH)dS(WW)P(EH)dS(EH)dEd,表达式为或 反映emdtdt22ss

了电磁场中能量的守恒和转换关系。

1. 试简要说明导电媒质中的电磁波具有什么样的性质?(设媒质无限大) 2. 答导电媒质中的电磁波性质有电场和磁场垂直;振幅沿传播方向衰减 ; 电场和磁场不同向;以平面波形式传播。



H1tH2tJs、B1nB2n。2. 时变场的一般边界条件 D1nD2n、E1tE2t、 (写成矢量式n(D1D2)



、n(E1E2)0、n(H1H2)Js、n(B1B2)0一样给5分)

1. 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式,并简要说明其物理意义。



DB

2. 答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为HJ,E,B0,D(表明了电磁

tt

场和它们的源之间的全部关系除了真实电流外,变化的电场(位移电流)也是磁场的源;除电荷外,变化的磁场也是

电场的源。

1. 写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件



2. 时变场的一般边界条件 D2n、E2t0、H2tJs、B2n0。 (写成矢量式nD2、nE20、



nH2Js、nB20一样给5分)

1. 写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义。



AA

。库仑规范与洛仑兹规范的作用2. .答矢量位BA,A0;动态矢量位E或E

tt



都是限制A的散度,从而使A的取值具有唯一性;库仑规范用在静态场,洛仑兹规范用在时变场。

1. 描述天线特性的参数有哪些?

2. 答描述天线的特性能数有辐射场强、方向性及它的辐射功率和效率。 1. 天线辐射的远区场有什么特点?

2. 答天线的远区场的电场与磁场都是与1/r成正比,并且它们同相,它们在空间相互垂直,其比值即为媒质的本征阻抗,有能量向外辐射。 1. 已知

(1) 穿过面积

(2) 在上述面积中心处电流密度的模; (3) 在上述面上

的平均值 。

在方向的总电流

2.

(1)

(2) 面积中心 , (3)

的平均值



1. 利用直角坐标系证明(fG)fG(f)G

,

(fAx)ex(fAy)ey(fAz)ez

2. 证明左边=(fA)(fAxexfAyeyfAzez)( 

xyz



(Ay)ey(f)ey(Ax)ex(f)ex

fAxfAy

xxyy



(Az)ez(f)ez

fAz

zz

(Ay)ey(Ax)ex(f)ex(Az)ez

[fff][Ax

xyzx(f)ey(f)eyAyAy]=右边

yy

fAAf

1. 在自由空间传播的均匀平面波的电场强度复矢量为

j(20z)4j20z42Eax10eay10e(v/m)

求(1)平面波的传播方向;

(2)频率;

(3)波的极化方式; (4)磁场强度;

(5)电磁波的平均坡印廷矢量Sav。 2. 解(1)平面波的传播方向为+z方向 (2)频率为fk0

c2

310Hz

9

4

(3)波的极化方式因为ExmEym10,xy0

2



2

,故为左旋圆极化.

(4)磁场强度

H1

144j20z

zE(azax10jazay10)e

0

0

44j20z

(ay10jax10)e

(5)平均功率坡印廷矢量

*1144j20zSavRe[EH]Re[(ax10jay10)e

221

0

44j20z(ay10jax10)e

4

2

4

2

1(10)(10)[]az

20012

1120

8

[210]az10

0.26510

2az(W/m)

1. 两平行无限长直线电流1和

I

I

I2

,相距为d,求每根导线单位长度受到的安培力

0I1

2r

Fm

2. 解 无限长直线电流1产生的磁场为

B1e

直线电流2每单位长度受到的安培力为

1

I

Fm12

I2ezB1dze12

0I1I22d

式中

e12

是由电流1指向电流2的单位矢量。

I

II

同理可得,直线电流1每单位长度受到的安培力为

Fm21Fm12e12

0I1I2

2d

1. 一个半径为a的导体球带电荷量为Q,当球体以均匀角速度绕一个直径旋转,求球心处的磁感应强度B。 2. 解 球面上的电荷面密度为



Q4a

2

当球体以均匀角速度绕一个直径旋转时,球面上位置矢量rera点处的电流面密度为

JSvωrezera

Q

easinesin

4a

将球面划分为无数个宽度为dlad的细圆环,则球面上任一个宽度为dlad细圆环的电流为

dIJSdl

Q

4

sind

细圆环的半径为basin,圆环平面到球心的距离dacos,利用电流圆环的轴线上的磁场公式,则该细圆环电流在球心处产生的磁场为

dBez

0bdI2(bd)

2

2

32

2

ez

0Qasind8(asinacos)

2

2

2

2

32

23

ez

0Qsind

8a

3

故整个球面电流在球心处产生的磁场为

Bez

dez

0Qsin

3

0Q

8a6a

1. 半径为a的球体中充满密度(r)的体电荷,已知电位移分布为

r3Ar2(ra)

Dra5Aa4

(ra)2

r

其中A为常数,试求电荷密度(r)。 2. 解 由D,有

(r)D

1rd

2

ddr

2

(rDr)

2

故在ra区域

(r)0

1r

2

dr

[r(rAr)]0(5r4Ar)

322

在ra区域

(r)0

1drdr

2

[r

2

(aAa)

r

2

54

]0

1. 一个半径为a薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜,球内充满总电荷量为Q为的体电荷,球壳上又另充有电荷量Q。已知球内部的电场为Eer(ra),设球内介质为真空。计算(1) 球内的电荷分布;(2)球壳外表面的电荷面密度。

2. 解 (1) 由高斯定理的微分形式可求得球内的电荷体密度为

0E0[

1drdr

a

4

2

(rE)]0[

2

1drdr

2

(r

2

ra

44

)]60

ra

34

(2)球体内的总电量Q为

Q

d60

ra

34

4rdr40a

22

球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷Q,而且在球壳外表面上还要感应电荷Q,所以球壳外表面上的总电荷为2Q,故球壳外表面上的电荷面密度为



2Q4a

2

20

1. 一个半径为R的介质球,介电常数为,球内的极化强度PerKr,其中K为一常数。(1) 计算束缚电荷体密度和面密度;(2) 计算自由电荷密度;(3)计算球内、外的电场和电位分布。 2. 解 (1)介质球内的束缚电荷体密度为

pP

1dr

2

dr

(r

2

Kr

)

Kr

2

在rR的球面上,束缚电荷面密度为

p

nP

rR

erP

rR

KR

(2)由于D0EP,所以

D0EP

0

DP

(1

0

)DP

由此可得到介质球内的自由电荷体密度为

D

0

P

0

2

p

K

(0)r

2

总的自由电荷量

q

d

K0

er

R

r

1

2

4rdr

4RK

0

(3)介质球内、外的电场强度分别为

E1

P

K(0)rer

0

q

(rR)

(rR)

E2er

RK0(0)r

2

40r

2

介质球内、外的电位分别为

R

1

1

R

EdlEdrE

r

r

R

2

dr

dr

(

r

K

)r0

dr



R

RK

(0)r0

2

K

0

ln

Rr

K0(0)RK

(0)r

2

(rR)

dr

2

r

E2dr



r

RK0(0)rsinh(

nya)e

(rR)

(x,y)

U0bWm0Wm

4U0

n1,3,5,

2

1nsinh(nba)1n

2

)sin(

nbx

nxa

)

y

2bU0d

n1

sin(

ndb

)sin(

nyb

rl02r0l0

13

14000.00120.150.001

9

1.487

Hey

cos(910t30z)A/m

9

Eex40cos(910t30z)V/m

。求频率为10kHz、100kHz、1MHz、10MHz、100MHz、1GHz

1. 海水的电导率4S/m,相对介电常数r

的电磁波在海水中的波长、衰减系数和波阻抗。 2. 解 先判定海水在各频率下的属性



81

2fr0

42f810

8.810

f

8

可见,当

f10Hz

7

时,满足



1

,海水可视为良导体。此时

c(1jf=10kHz时



2

0.1260.396Np/m

20.126

15.87m

c(1j0.099(1j)

f=100kHz时



2

1.26Np/m

21.26

5m

c(1j0.314(1j)

f=1MHz时



2

3.96Np/m

23.96

1.587m

c(1j0.99(1j)

f=10MHz时



2

12.6Np/m

212.6

0.5m

c(1j

1

3.14(1j)

当f=100MHz以上时,

2f

不再满足,海水属一般有损耗媒质。此时,

2f

0

f=100MHz时

37.57Np/m42.1rad/mc

2

0.149m14.05e

j41.8

f=1GHz时

69.12Np/m203.58rad/m0

2

0.03m36.5e

j20.8

r80,r1,4S/m

1. 有一线极化的均匀平面波在海水(

Hex0.1sin(10t/3)A/m

10

)中沿+y方向传播,其磁场强度在y=0处为

(1)求衰减常数、相位常数、本征阻抗、相速、波长及透入深度;(2)求出H的振幅为0.01A/m时的位置;(3)写出E(y,t)和H(y,t)的表示式。

2. 解 (1)

410800

10

436108010

10

9

0.18

10

可见,在角频率10时,海水为一般有损耗媒质,故



83.9Np/m

10

10



300rad/m

10

10

c

j0.028

42.151.008e

41.82e

8

j0.028

vp

2



103002300183.9

y

10

0.33310m/s6.6710m

33

c

1

11.9210m

0.1e(2)由0.01

y

1

即e

1

y

0.1得

3

ln10

83.9

2.303m27.410

10

m

(3)

其复数形式为

H(y,t)ex0.1e

83.9y

sin(10t300y

3

)A/m

H(y)ex0.1e

83.9y

e

j300y

e

j

3

A/m

故电场的复数表示式为

E(y)cH(y)ey41.82e

ez4.182e

83.9y

j0.028

0.1e

2)

83.9y

e

j(300y

3

2

)

exey

e

j(300y

3

0.028

V/m

E(y,t)Re[E(y)e

ez4.182e

jt

]

sin(10t300y

10

83.9y

3

0.028)V/m

范文九:电磁场与电磁波答案

: 专业班级: 学号: 姓名:

系(部)

----------------------------------------------------------------------------------------------密封线----------------------------------------------------------------------------------------------

答题纸不够时,可以写到纸的背面 注意保持试卷完整,试卷拆开无效

---------------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------------------

答题纸不够时,可以写到纸的背面 注意保持试卷完整,试卷拆开无效 ---------------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------------------

答题纸不够时,可以写到纸的背面

注意保持试卷完整,试卷拆开无效 ---------------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------------------

五、(12分)真空中有电荷以体密度均匀分布于一半径为a的球中。试求球内、外的电场强度和电位分布。

..

4

范文十:电磁场与电磁波习题及答案

1

1麦克斯韦方程组的微分形式

是:.HJDt

,EBt,B0,D

2静电场的基本方程积分形式为:

C

Edl0

SDds

3理想导体(设为媒质2)与空气(设为媒质1)分界面上,电磁场的边界条件为:

enD3.

S

enB0 enE0

enHJS

4线性且各向同性媒质的本构关系方程是: 4.DE,BH,JE 5电流连续性方程的微分形式为:

J

5.

t

6电位满足的泊松方程为

2



; 在两种完纯介质分界面上电位满足的边界 。

1 12

1n22n 7应用镜像法和其它间接方法解静态场边值问题的理

论依据是: 唯一性定理。

8.电场强度E的单位是V/m,电位移D

的单位是C/m2 。 9.静电场的两个基本方程的微分形式为 E0 D ;

10.一个直流电流回路除受到另一个直流电流回路的库仑力作用外还将受到安培力作用

1.在分析恒定磁场时,引入矢量磁位A,并令

BA的依据是( B0 )

2. “某处的电位0,则该处的电场强度E

0”

的说法是(错误的 )。

3. 自由空间中的平行双线传输线,导线半径为a, 线间距为D,则传输线单位长度的电容为( C0

1

)。

lnDaa

)

4. 点电荷产生的电场强度随距离变化的规律为(1/r2 )。

5. N个导体组成的系统的能量N

W12qii

,其中i

i1

是(除i个导体外的其他导体)产生的电位。 6.为了描述电荷分布在空间流动的状态,定义体积电流密度J,其国际单位为(a/m2 )

7. 应用高斯定理求解静电场要求电场具有(对称性)分布。

8. 如果某一点的电场强度为零,则该点电位的(不一定为零 )。

8. 真空中一个电流元在某点产生的磁感应强度dB随该点到电流元距离变化的规律为(1/r2 )。

10. 半径为a的球形电荷分布产生的电场的能量储存于 (整个空间 )。

三、海水的电导率为4S/m,相对介电常数为81,求频率为1MHz时,位幅与导幅比值?

三、解:设电场随时间作正弦变化,表示为:

EexEmcost

则位移电流密度为:JD

d

t

ex0rEmsint 其振幅值为:Jdm0rEm4.5103Em 传导电流的振幅值为:JcmEm4Em 因此: Jdm3J1.12510

cm

四、自由空间中,有一半径为a、带电荷量q的导体球。试求:(1)空间的电场强度分布;(2)导体球的电容。(15分)

四、解:由高斯定理

S

DdSq得D

q4r

2

DerDeqr4r2 空间的电场分布ED

eqr

40r2

导体球的电位

UEdl

a

a

Edr

q

a

er

42

dr

q0r

40a

导体球的电容Cq

U

40a

1

2

五、两块无限大接地导体板分别置于x=0和x=a处,其间在x=x0处有一面密度为C/m2的均匀电荷分布,如图所示。求两导体板间的电场和电位。(20分) d102

dx

2

1.旋度矢量的 恒等与零梯度矢量的 恒等与零。 2.在静电场中,导体表面的电荷密度与导体外的电位函数满足 的关系式 。 3.极化介质体积内的束缚电荷密度与极化强度之间的关系式为 。

4.若密绕的线圈匝数为N,则产生的磁通为单匝时的 倍,其自感为单匝的 倍。

5.如果将导波装置的两端短路,使电磁波在两端来回反

d22

0xx0;20

dx

x0xa

得:

1xC1xD10xx0;

2xC2xD2xx a 0

1x和2x满足得边界条件为

100,2a0;1x02x0,

射以产生振荡的装置称为 。

2x1x

所有正、负电xx0

xx0

荷的作用中心不相重合,而形成电偶极子,但由于电偶

极矩方向不规则,电偶极矩的矢量和为零。在外电场作用下,极性分子的电矩发生________________,使电偶 极矩的矢量和不再为零,而产生__________。

7.根据场的唯一性定理在静态场的边值问题中,只要满足给定的_______ 条件,则泊松方程或拉普拉斯方程的

解得

C1

x0x0ax ,D10,C20,D200a0a

ax0

x0a

所以

1x0≤x≤x0,

2xx0ax

0aE11xex

x0≤x≤a

d1xax0

ex

dx0a

0xx0

解是__________。

8.谐振腔品质因素Q定义为_______________。

E22xex

d2xx

ex0

dx0a

x0xa

9.在导电媒质中,电磁波的传播速度(相速)随 改变的现象,称为色散效应。

10.在求解静电场的边值问题时,常常在所研究的区域之外,用一些假想的电荷代替场问题的边界,这种求解方法称为 法。

11.若电介质的分界面上没有自由电荷,则电场和电位移应满足的边界条件分别为 , 。 12.电磁波的恒定相位点推进的速度,称为 ,而包络波上某一恒定相位点推进的速度称为 。 13在任何导波装置上传播的电磁波都可分为三种模式,它们分别是 波、 波和 波 判断题

1.应用分离变量法求解电、磁场问题时,要求整个场域内媒质必须是均匀、线性的。()

2.一个点电荷Q 放在球形高斯面中心处。如果此电荷被移开原来的球心,但仍在球内,则通过这个球面的电通量将会改变。()

2

六、有一平行金属板电容器,极板面积为l×b,板间

距离为d,用一块介质片(宽度为b、厚度为d,介电常数为ε)部分填充在两极板之间,如图所示。设极板间外加电压为U0,忽略边缘效应,求介质片所受的静电力。

六、解:平行板电容器的电容为:

(lx)bbxC0所以电容器内的电场能量为:

dd

2

bU012

WeCU0[0(lx)x]

22d

We

不变 可求得介质片受到的静电由 Figi

力为:Fx

Wex

U0不变

b(0)U

2d

20

3

3.在线性磁介质中,由

L

I

的关系可知,电感系数不

仅与导线的几何尺寸、材料特性有关,还与通过线圈的电流有关。( )

4.电磁波垂直入射至两种媒质分界面时,反射系数与透射系数之间的关系为1+=。()

5.损耗媒质中的平面波,其电场强度和磁场强度在空间上互相垂直、时间上同相位。()

6.均匀平面波中的电场能量与磁场能量相等。() 7位移电流和传导电流都是电荷定向运动形成的。() 8.在时变电磁场中,只有传导电流与位移电流之和才是连续的。()

9.若有两个带电导体球的直径,与球间距离差不多,它们之间的静电力等于把每个球的电量集中于球心后所形成的两个点电荷之间的静电力。()

第三套 1.在均匀各向同性线性媒质中,设媒质的导

磁率为,则磁感应强度B和磁场H满足的方程为: 。

2.设线性各向同性的均匀媒质中,2

0称为 方程。



3.时变电磁场中,数学表达式SEH称为 。

4.在理想导体的表面, 的切向分量

等于零。 r

5.矢量场A()穿过闭合曲面S的通量的表达式为:

6.电磁波从一种媒质入射到理想 表面时,电磁波将发生全反射。

7.静电场是无旋场,故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于 。

8.如果两个不等于零的矢量的 等于零,则此两个矢量必然相互垂直。

9.对平面电磁波而言,其电场、磁场和波的传播方向三者符合 关系。

10.由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场,恒定磁场是无散场,因此,它可用 函数的旋度来表示。

11.已知麦克斯韦第二方程为E

B

t,试说明其物理

意义,并写出方程的积分形式

11.答:意义:随时间变化的磁场可以产生电场。

其积分形式为:Ed

lBdS

CSt12.试简述唯一性定理,并说明其意义。

12.答:在静电场中,在给定的边界条件下,拉普拉斯方程或泊松方程的解是唯一的,这一定理称为唯一性定理。 它的意义:给出了定解的充要条件:既满足方程又满足边界条件的解是正确的。

13.什么是群速?试写出群速与相速之间的关系式。

13.答:电磁波包络或能量的传播速度称为群速。 群速vg与相速vp的关系式为: v

vpg

1

dvpvpd

14.写出位移电流的表达式,它的提出有何意义?

14.答:位移电流:JDdt

位移电流产生磁效应代

表了变化的电场能够产生磁场,使麦克斯韦能够预言电磁场以波的形式传播,为现代通信打下理论基础。

三、计算题 (每小题10 分,共30分) 15.按要求完成下列题目 (

1)判断矢量函数By2e

ˆxxzeˆy是否是某区域的磁通量密度?(2)如果是,求相应的电流分布。 解:(1)根据散度的表达式BBxByBz将矢xy

z

量函数B代入,显然有B

0 故:该矢量函数为某

区域的磁通量密度。 (2)电流分布为:

J1B

(2分)

eˆxeˆye

ˆz

xyz(2分)

y2xz

1

xe

ˆx2yzeˆz(1分)

16.矢量

A

2ˆe

xeˆy3eˆz,

3

B

5e

ˆeˆBx3eˆyz,求(1)AB(2)A 解:1AB

7eˆx2eˆy4eˆz 2AB

103310

17.在无源的自由空间中,电场强度复矢量的表达式

为E

e

ˆjkzx3E0eˆy4E0e 1.试写出其时间表达式;2.说明电磁波的传播方向;

解:(1)该电场的时间表达式为:E

z,tRe

E

ejt

E

z,te

ˆx3E0eˆy4E0

costkz 由于相位因子为e

jkz

,其等相位面在xoy平面,传播

方向为z轴方向。

18.均匀带电导体球,半径为a,带电量为Q。试求球内任一点的电场球外任一点的电位移矢量

解:(1)导体内部没有电荷分布,电荷均匀分布在导

体表面,由高斯定理可知在球内处处有:DdS

0 S

故球内任意一点的电位移矢量均为零,即 E

0ra由于电荷均匀分布在ra的导体球面上,故在ra的球面上的电位移矢量的大小处处相等,方向为径向,

即D

D0ˆe

r,由高斯定理有DdS

Q即

S

4r2D

0Q整理可得:DDQ

0eˆr

4r2

ˆerra

19.设无限长直导线与矩形回路共面,(1)判断通过矩形回路中的磁感应强度的方向(画×);(2)设矩形回路的法向为穿出纸面,求通过矩形回路中的磁通量。 解:建立如图坐标

通过矩形回路中的磁感应强度的方向为穿入纸面,即

为ˆe

y方向。在xoz平面上离直导线距离为x处的磁感应强度可由下式求出:BdlI0I即:Beˆ0y c

2x通过矩形回路中的磁通量

db

a/2

BdS

xdz0I0S

a/2

2xIa2lnd

db 20.解:(1)由于所求区域无源,电位函数满足拉普拉斯方程设:电位函数为x,y,满足方程:

2

2x,y2

x2y

20(2)利用分离变量法:

4

d2fx,yfxgy

dx2

k2

xf0d2g 根据边界条件

dy2

k2

yg0k22xky0

x0



xa



y

0,x,y的通解可写为:

x,yAnny

nsinxa

n1

ae

再由边界条件:

y0Ansin

nax

n1

U0

求得A2UnA0nn1cosnπ

槽内的电位分布为

x,y

2Un

0nn1consπsin

xay

n1

a

e1.在均匀各向同性线性媒质中,设媒质的介电常数为

,则电位移矢量D和电场E

满足的方程为:

2.设线性各向同性的均匀媒质中电位为,媒质的介电常数为,电荷体密度为V,电位所满足的方为 。

3.时变电磁场中,坡印廷矢量的数学表达式为 。

4.在理想导体的表面,电场强度的 分量等于零。 5.表达式

Ar

dS

S

称为矢量场A(r)穿过闭合曲面S的 。

6.电磁波从一种媒质入射到理想导体表面时,电磁波将发生 。

7.静电场是保守场,故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于 。

8.如果两个不等于零的矢量的点积等于零,则此两个矢量必然相互 。

9.对横电磁波而言,在波的传播方向上电场、磁场分量为 。

10.由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场,恒定磁场是 场,因此,它可用磁矢位函数的旋度来表示。

简述题 (每小题5分,共20分)

答:磁通连续性原理是指:磁感应强度沿任一闭合曲面的积分等于零,或者是从闭合曲面S穿出去的通量

4

5

等于由S外流入S内的通量。B 其数学表达式为:

dS

0

S

12.答:当一个矢量场的两类源(标量源和矢量源)在空

间的分布确定时,该矢量场就唯一地确定了,这一规律称为亥姆霍兹定理。亥姆霍兹定理告诉我们,研究任意一个矢量场(如电场、磁场等),需要从散度和旋度两个方面去研究,或者是从矢量场的通量和环量两个方面去研究。

13.答:其物理意义:随时间变化的磁场可以产生电

场。 方程的微分形式:EBt

14.答:电磁波的电场强度矢量的方向随时间变化所描绘的轨迹称为极化。极化可以分为:线极化、圆极化、椭圆极化。

15.矢量函数Ayx2

e

ˆxyzeˆz, 试求(1)A(2)A

解:1、AAxAyxAzyz(3分) 2xyy

(2分)

e

ˆxe

ˆyeˆz2 、 A

xyz(3分)

yx2

0yz

e

ˆxzeˆzx2(2分)

16.矢量A2eˆ

x2eˆz,Beˆxeˆy,求 (1)AB

(2)求出两矢量的夹角



解:1

AB2e

ˆx2eˆzeˆxeˆy(3分)

e

ˆxeˆy2eˆ(2分)

z2根据AB

ABcos

AB

2e

ˆx2eˆzeˆxeˆy2 cos2

1

所以

60

222

2

17.方程 给出一球族

解:(1)ueˆu

u

u

xxeˆyyeˆzz

(3分)e

ˆx2xeˆy2yeˆz2z(2分)

(2)nˆ

uu所nˆeˆx2eˆy4eˆxeˆy2416

18.放在坐标原点的点电荷在空间任一点r

(1)求出

电力线方程;(2)画出电力线。

1E

q4ˆq

e

rqr0r

2

43

0r

43

e

ˆx

xeˆy

ye

ˆzz由力线0r

方程得xyz对上式积分得

dxdydz

yC1xzC式中,C1,C2为任意常数。

2y

-2

(2)电力线图18-2所示。

19.设点电荷位于q金属直角劈上方,如图1所示,求画出镜像电荷所在的位置直角劈任意一点(x,y,z)处的

电位表达式 q 图q图解:(1)镜像电荷所在的位置如图19-1所示。(2)如图19-2所示任一点(x,y,z)处的电位为



q1111 40r1r2r3r4

r1

x12y22z2

其中,r2

x12y22z2 r3x12y22z2r4

x12y22z2

20.设时变电磁场的电场强度和磁场强度分别为:

EE

0cos(te)HH0cos(tm)

写出电场强度和磁场强度的复数表达式

证明其坡印廷矢量的平均值为:

S12

E

Hav00cose

(m) 解:1电场强度的复数表达式 

je

(电场强

EE0e度的复数表达式HHj0em

(2)据S1

2

ReEH*av

S1ReE1

av0H0ej(em)2

2

E0H0cos(em)

21.设沿z方向传播的均匀平面电磁波垂直入射到理想导体,如图2所示,该电磁波电场只有x分量即

E

e

ˆzxE0ej求出反射波电场的表达式;求出区域1 媒5

质的波阻抗。

解:(1)设反射波电场E

re

ˆxErejz 区域1中的总电场为

EE

ˆjzre

x(E0eEjzre) 根据z0导体表面电场的切向分量等于零的边界条件得ErE0

反射波电场的表达式为E

ˆzre

xE0ej (2)媒质1的波阻抗0 0

因而得 120

377() 6

6