线性方程组解的结构

线性方程组解的结构

【范文精选】线性方程组解的结构

【范文大全】线性方程组解的结构

【专家解析】线性方程组解的结构

【优秀范文】线性方程组解的结构

范文一:线性方程组解的结构

齐次线性方程组解的结构

齐次线性方程组Ax=0的两个解向量的和仍是解向量.

齐次线性方程组Ax=0的一个解向量乘以常数k仍为解向量.

注:解向量的任意线性组合仍为解向量.

基础解系是齐次方程组解向量组的最大线性无关组. 而一个向量组的最大线性无关组不唯一, 同一向量组的不同最大线性无关组所含向量个数相同, 这样齐次线性方程组Ax=0的基础解系所含向量个数是唯一确定的.

齐次线性方程组(2)的系数矩阵A的秩R(A)=r

齐次线性方程组(2)的系数矩阵A的秩R(A)=r

非齐次线性方程组解的结构

非齐次方程组(1)的任意两个解向量的差是对应齐次方程组(2)的解向量.

非齐次方程组(1)的任意一个解向量与对应齐次方程组(2)的任意一个解向量的和仍为非齐次方程组(1)的解向量。

设γ0是非齐次方程组(1)的一个解向量,α1, α2, …, αn-r是对应齐次方程组(2)的一个基础解系,则非齐次方程组(1)的解的一般形式为:

0k11k22knrnr,

其中R(A)= r, k1, k2, …, kn-r为任意常数.

非齐次线性方程组Ax=b全部解向量(称为非齐次通解,或称一般解)可以表示为某个已知解向量(特解)加上对应的齐次线性方程组Ax=0的全部解向量(齐次通解) .

齐次线性方程组解的结构

齐次线性方程组Ax=0的两个解向量的和仍是解向量.

齐次线性方程组Ax=0的一个解向量乘以常数k仍为解向量.

注:解向量的任意线性组合仍为解向量.

基础解系是齐次方程组解向量组的最大线性无关组. 而一个向量组的最大线性无关组不唯一, 同一向量组的不同最大线性无关组所含向量个数相同, 这样齐次线性方程组Ax=0的基础解系所含向量个数是唯一确定的.

齐次线性方程组(2)的系数矩阵A的秩R(A)=r

齐次线性方程组(2)的系数矩阵A的秩R(A)=r

非齐次线性方程组解的结构

非齐次方程组(1)的任意两个解向量的差是对应齐次方程组(2)的解向量.

非齐次方程组(1)的任意一个解向量与对应齐次方程组(2)的任意一个解向量的和仍为非齐次方程组(1)的解向量。

设γ0是非齐次方程组(1)的一个解向量,α1, α2, …, αn-r是对应齐次方程组(2)的一个基础解系,则非齐次方程组(1)的解的一般形式为:

0k11k22knrnr,

其中R(A)= r, k1, k2, …, kn-r为任意常数.

非齐次线性方程组Ax=b全部解向量(称为非齐次通解,或称一般解)可以表示为某个已知解向量(特解)加上对应的齐次线性方程组Ax=0的全部解向量(齐次通解) .

范文二:补充:线性方程组解的结构

§3.4 线性方程组解的结构

对于线性方程组,当

, 中不为零的 阶子式所含的 个列以外的 个列对应的未知量称为自由未知量;当

, 中不为零的 阶子式所含的 个行所对应的 个方程以外的 个方程是多余的,可删去而不影响方程组的解 .

时,方程组无穷多个解,为什么代表了它的全部解?

(一) 齐次线性方程组解的结构

齐次线性方程组的矩阵形式为

其中

,

方程的解有下列性质:

1、如果

2、如果

3、如果

也是它的解 .其中

是齐次线性方程组的两个解,则

是齐次线性方程组的解,则 也是它的解 . 是常数) . 也是它的解( 都是齐次线性方程组的解,则其线性组合 都是任意常数 .

由此可知,如果一个齐次线性方程组有非零解,则它就有无穷多解,这无穷多解就构成了一个 维向量组 .如果我们能求出这个向量组的一个极大无关组,就能用它的线性组合来表示它的全部解 .

定义3.9 如果

是齐次线性方程组的解向量组的一个极大无关组,则是方程组的一个基础解系 .

,则方程组的基础 定理3.12 如果齐次线性方程组的系数矩阵

的秩数

解系存在,且每个基础解系中,恰含有 个解 .

定理的证明过程给我们指出了求齐次线性方程组的基础解系的方法 .

例1 如下齐次线性方程组的一个基础解系 .

解:对增广矩阵

施以如下的初等行变换:

即原方程组与下面方程组

同解,其中

为自由未知量 .

让自由未知量

取值

,分别得方程组的解为

就是所给方程组的一个基础解系 .

例2 用基础解系表示如下线性方程组的全部解 .

解:

,

初等行变换:

, ,因此所给方程组有无穷多个解 .对增广矩阵

施以

即原方程组与方程组

同解,其中

为自由未知量 .

让自由未知量

取值

分别得方程组的解为

就是所组方程组的一个基础解系 .因此,方程组的全部解为

其中 为任意常数 .

(二) 非齐次线性方程组解的结构

非齐次线性方程组可以表示为

称为非齐次线性方程组

,取

,得到的齐次线性方程组

,的导出组 .

非齐次线性方程组的解与它的导出组的解之间有下列性质:

1、如果

是非齐次线性方程组(3.1)的一个解,

也是方程组(3.1)的一个解 .

2、如果

是非齐次线性方程组的两个解,则

是非齐次线性方程组的一个解, 是其导出组的一个解,则

是其导出组的解 . 是其导出组的全部解,则

定理3.13 如果

也是方程组的全部解 .

例:用基础解系表示如下线性方组的全部解 .

解:作方程组的增广矩阵

,并对它放以初等行变换:

即原方程组与方程组

同解,其中

为自由未知量 .

让自由未知量

取值

,得方程组的一个解

原方程组的导出组与方程组

同解,其中

为自由未知量 .

对自由未知量

取值

,即得导出组的基础解系

因此所组方程组的通解为

其中

为任意常数 .

范文三:线性方程组的解的结构

I T 技 术

2009  NO.35

科技创新导报

线性方程组的解的结构

刘勇

(大连交通大学理学院 辽宁大连 116028)

摘 要:本文对非齐次线性方程组进行了深入的讨论,并给出了另一种刻画非齐次线性方程组解的结构的方法,即只用自身的有限个解来表示全部的解。从而使非齐次线性方程组解的结构更加完善。关键词:线性方程组 线性无关 解的结构中图分类号:G642文献标识码:A文章编号:1674-098X(2009)12(b)-0033-01

线性方程组理论是线性代数最基本的内容之一,它在数学的各个领域及其他学科的各个分支都有着广泛的应用。研究线性方程组解之间的关系及解的结构是线性方程组理论的核心内容。齐次线性方程组解的结构可以通过自身的有限个解来表示其全部解。而在一般的线性代数教材中关于非齐次线性方程组解的结构则是借助于它的导出方程组的基础解系和它自身的一个解来表示。那么,非齐次线性方程组能否也像齐次线性方程组一样也用其自身的解来表示全部解呢?这是我们要讨论的问题。

设数域P上的线性方程组为

AX=B (1)对应齐次方程组可表为

AX=0 (2)若令α1,α2,L,αn为A的列向量则(1)还可表为x1α1+x2α2+L+xnαn=B,显然方程组(1)有解的充要条件是B可由α1,α2,L,αn线性表示。

在解决线性方程组有解的判定之后,进一步讨论线性方程组解的结构问题。在线性方程组解是唯一的情况下当然不存在什么结构问题。有许多解的情况下,所谓的解的结构问题就是解与解之间的关系问题。同样分两种情况:1.B=O

定理1设齐次线性方程组(2)有非零解即r(A)=r

定理2(齐次线性方程组解的结构定理)设齐次线性方程组(2)中,r(A)=r

2.B≠O

定理3(非齐次线性方程组解的结构定理)设非齐次线性方程组(1)中,

r(A)=r(A

%)=r

是非齐次线性方程组(1)的

导出η1方,η2程,L组,ηn(2)−r

的一个基础解系,那么非齐次线性方程组(1)的全部解为

γ0+k1η1+k2η2+L+kn−rη,

n−r

其中k1,k2,L,kn−r∈P。

r(A)=r(A

上述3个定理在一般的线性代数教材%)=r

如果γ1,γ2,L,γn−r+1是它的n−r+1个线现在,我们比较上述两种情况,齐次线性无关解,那么非齐次线性方程组(1)的全性方程组解的结构是通过自身有限个解来部解为:γ=k1γ1+k2γ2+L+kn−r+1γn−r+1,其表示全部解的,而非齐次线性方程组解的中k1+k2+L+kn−r+1=1。

结构则是通过导出方程组的基础解系和它这样,关于非齐次线性方程组解的结自身的一个解来表示的。那么,非齐次线性构我们有定理3和定理4两种表达形式。可方程组是否也可以用自身的有限个解表示以证明两个定理是等价的。

全部解呢?我们构想非齐次线性方程组(1)在有无穷多解时的另一种解的结构。

参考文献

引理1设非齐次线性方程组(1)有无穷

[1]陈志杰著.高等代数与解析几何[M].北

多解,即r(A)=r(A

%)=r

n−r+1个线性无关解。

[2]王德生著.高等代数与解析几何习题解

引理2设非齐次线性方程组(1)中

析[M].大连:辽宁师范大学出版社,2002.

r(A)=r(A

%)=r

如果γ1,γ2,L,γn−r+1是它的n−r+1个线育出版社,1994.

性无关解,则当k1+k2+L+kn−r+1=1时,

[4]蔡光兴著.线性代数[M].北京:科学出

γ=k1γ1+k2γ2+L+kn−r+1γn−r+1是非齐次线性

版社,2002.

方程组(1)的一个解。

引理3设非齐次线性方程组(1)满足r(A)=r(A

%)=r

程组(1)的任意一个解γ都是γ1,γ2,L,γn−r+1的线性组合:γ=k1γ1+k2γ2+L+kn−r+1γn−r+1,其中k1+k2+L+kn−r+1=1。

从引理1与引理3可以得到以下的结论:

非齐次线性方程组(1)中r(A)=r(A%)=r

η1,η2,L,ηn−r是齐次线性方程组(2)的一个基

础解系,则γ0,γ0+η1,γ0+η2,…,γ0+ηn−r线性无关且非齐次线性方程组(1)的任意解

可表示为:

nr

γ=k−0γ0+∑ki(γ0+ηi)i=1

,

其中k0+k1+L+kn−r=1

这并不是一个一般的结论。

现在,把上面这个结论进一步深化我们就得到了非齐次线性方程组在有无穷多解的时候如何用自身的有限个解来表示它全部解的方法。

定理4 (非齐次线性方程组解的结构定理)设非齐次线性方程组(1)中,

科技创新导报 Science and Technology Innovation Herald33

范文四:4-4线性方程组解的结构

练习1 设有四组向量

   1, 2, 3;    1, 2, 3, 4;    1, 2, 3, 5;  V  1, 2, 3, 4 +5; 且r   r   3,r   4, 则 r   V   C  .  A 2  B 3 C  4  D 5

练习2 设向量组 1 ,  2 , ,  s 的秩为r,则( D ). (A)必定有r

小结: 1.向量空间的概念: 向量的集合对加法及数乘两种运算封闭; 子空间的概念. 2.由向量组生成的向量空间. 3.向量空间的基和维数: 4.基变换和坐标变换:

第四章

向量空间

第四节

线性方程组解的结构

齐次方程组解的结构 非齐次方程组解的结构

一、齐次线性方程组解的结构

齐次线性方程组Ax = 0的解也称为方程组的解向量. 若Am×nx = 0有非零解,则其全体解的集合V  R n .

  1 ,  2  V及 k  R  A(1   2 )  A1  A 2  0, A ( k  1 )  kA 1  0  1   2  V ,k1  V

即V对线性运算封闭,故V构成一向量空间. 称此向量空间为齐次线性方程组 Ax= 0 的解空间 (或零空间或核).一般记作N(A).

Ax = 0有非零解 r(A)

问题: 如何理解通解形式不唯一,但含参数个数确定?

Ax = 0的解空间N(A)的基称为Ax = 0的基础解系

而dim N(A) = n -r (A). 所以 Ax = 0的解空间N(A)为基础解系的生成空间,即

Ax= 0 的每一个解向量皆可表为基础解系的线性组合.

若设 1 ,  2 , ,  n r  A为Ax = 0的基础解系,则Ax = 0

x  t 1 1  t 2  2    t n  r ( A )  n  r ( A ) 的通解为: 其中t1 , t 2 ,  , t n  r ( A )为任意常数.

解空间:

N  A   x  t11 +t 2 2    t nr  A nr  A t1 , t 2 , , t nr  A  R

 span 1 ,  2 , ,  n r  A

说明 (1)由于向量空间的基不唯一,故Ax = 0的基础解 系不唯一,所以Ax = 0的通解形式不唯一. (2)由于向量空间的维数即每组基所含向量个数固 定,所以Ax = 0的基础解系所含向量个数确定,即 为通解中所含任意常数个数,dim N(A) = n -r (A). 特别当r (A) = n 时, Ax = 0只有零解,故没有 基础解系, dim N(A) = 0.

 x1  x2  x3  x4  0 【例1】 求齐次线性方程组   2 x1  5 x2  3 x3  2 x4  0 7 x  7 x  3 x  x  0 的基础解系与通解. 2 3 4  1

【解】对系数矩阵A作行初等变换,变为行最简矩 阵,有  1 1 1 1   1 0 2 / 7 3 / 7 

    A   2

5 3 2  ~  0 1 5 / 7 4 / 7   7 7 3 1   0 0  0 0     2/ 7 3/ 7   2 3      x1  x3  x4  5 / 7 4 / 7 7 7  c  ,  x c 得通解  即 1 2   1   0  x  5 x  4 x     2 3 4  0 1  7 7      2/ 7  3/ 7  c1 , c2  R      5/ 7 4/ 7   其中1  是基础解系. , 2   1   0       0   1 

 x3   1  或令    及  x4   0 

 0  对应有 x1   2 / 7 及  3 / 7  ,    ,     1  x2   5 / 7   4 / 7  T T 2 5  3 4    , , 1 , 0 , , ,0 , 1   即得基础解系 1     。 2 7 7  7 7   x3   7   7   x1   5   8  若令     及   , 对应有     及   ,  x2   9   13   x4   7   14 

得基础解系 通解为

1  (5,,, 9 7 7)T , 2  (8, 13,, 7 14)T .

x  c 1 1  c 2 2  t 1 1  t 2 2

 c1 , c 2 , t1 , t 2  R 

N  A   span   1,  2   span  1,  2 

【例2】设A为n阶方阵, An = 0,但An-1 ≠ 0,且 A n  1  0.试证:A , A 2 ,  , A n  1  为n维列向量, 为方程组An-1 x = 0的一个基础解系. 【分析】:须证明三点 (1) A i ( i  1, 2, , n  1)是An-1 x = 0的解; (2) A , A 2 ,  , A n  1 线性无关; (3) n -r (An-1 ) = n-1 ,即r (An-1 ) = 1. 【证明】: (1)显然 An1 ( Ai )  0, i  1, 2, , n  1.

(2)设 t 1 A  t 2 A 2    t n  1 A n  1  0(*)

n-2得 t A n  1  0  两边左乘 A A  0 1

n

An1  0

t1  0

(*)式即为

t 2 A   t 3 A     t n 1 A   0

2 3 n 1

两边左乘An-3

t 2 An1  0  t 2  0

依次类推可得: t 3  t4    t n1  0

 A , A 2 ,  , A n  1 线性无关

(3)  An1  0  r ( An1 )  1 又 A , A 2 ,  , A n  1是An-1 x = 0的n-1个线性无关的解.

 dim N ( An1 )  n  r ( An1 )  n  1  r ( A n  1 )  1  r ( An  1 )  1

二、非齐次线性方程组解的结构

1. 若x   1 和 x   2 都是Ax = b的解,则x   1   2 是对应的齐次方程组Ax = 0的解. 2. 若 x   是Ax = b的解,x   是Ax = 0的解,则 x     是非齐次方程组Ax = b的解. 3.非齐次线性方程组Ax = b的通解为

x   *  xh

* 其中 x h 为对应齐次线性方程组Ax = 0的通解,

为非齐次线性方程组Ax = b的任意一个特解. 注意: Ax = b的解集

不构成向量空间。

4. 与方程组Ax = b有解等价的命题 设 A  (1, 2, , n ) ,则 线性方程组Ax = b有解

~ 矩阵 A  ( 1 ,  2 , ,  n ) 与 A  ( 1 ,  2 , ,  n , b) 等秩

向量b能由向量组1 ,  2 , ,  n线性表示 向量组 1 ,  2 , ,  n与向量组 1 ,  2 , ,  n , b等价

【例4】设A为m×3矩阵,且r (A) = 1,如果非齐次 线性方程组Ax = b的三个解向量 1 , 2 , 3 满足

 1  1  2   2  ,  3    0  1       2  3     1 , 3 1    0  1  1     

求Ax = b的通解. 【分析】 r (A) = 1, n -r (A) = 3- 1 = 2. Ax = b的通解 x   *  xh Ax = 0的基础解系含两个向量  1,  2

x h  t 1 1  t 2  2

 t1 , t 2  R 

【例5】已知三阶方阵 A  ( 1 ,  2 ,  3 ) 满足  1, 2 线性无关,且  1   2  2 3 ,向量 b   1  2 2  3 3 . 求:(1) Ax  0 的通解;(2) Ax  b 的通解.

 1    即   1 为 Ax  0的解 ,  2     1     Ax  0 的通解为 x  t   1  , t  R .  2    1     (2)由 b   1  2 2  3 3 ,知  2 为Ax  b的一个特解  3    1  1     Ax  b 的通解为 x    1 t   2 , t  R.  2   3    

 1     1   2  2 3  ( 1 ,  2 ,  3 )  1   0  2   

【解】(1) r ( A)  2

第四章

向量空间

第五节

向量的内积

内积的概念 正交向量组的概念及求法

一、内积的概念

定义1

  设有n维向量 x     

x1   y1     x2  y , y 2         xn   yn 

向量 x 与 y 的内积定义为:

 x , y  x T y  x 1 y1  x 2 y 2    x n y n

注意: n  n  4 维向量的内积是3维向量数量积 的推广,但是没有3维向量直观的几何意义.  内积的运算性质:(其中x, y, z为n维向量,为实数 )

(1)  x , y  y , x  y T x; (2)   x , y    x , y ;

(3)  x  y , z  x , z    y , z ; (4) x , x   0,而 x , x   0  x  0.

定义2

记 x   x, x  

x1 2  x 2 2    x n 2

称|| x ||为n维向量x的长度(或范数) . 当|| x || = 1,称x为单位向量; 1  x  x 称为x的单位化(或规范化)向量. x 向量的长度具有下述性质: 1. 非负性:当x ≠ 0时, || x || > 0;当x = 0时, || x || = 0. 2. 齐次性:  x  

x

3. 三角不等式: x  y  x  y

二、正交向量组的概念及求法

1. 正交的概念

当<x , y>= 0

时,称向量x与y正交(或垂直) 由定义知零向量与任何向量都正交.

2. 正交向量组的概念

若一向量组中的向量两两正交,则称该向量 组为正交向量组. 即若向量组 1 ,  2 ,  ,  m是正交向量组,则必有

 i T j  0

i

 j

3. 正交向量组的性质

定理1 若n维向量  1 ,  2 ,  ,  r是一组两两正交 的非零向量,则 1 ,  2 ,  ,  r线性无关. 证明:设有  1 ,  2 ,  ,  r 使

 1 1   2 2     r  r  0

以 1T左乘上式两端,得

 1 1 T  1  0

 1  0   1   1 T 1  0   1  0

同理可得:  2     r  0 故  1 ,  2 ,  ,  r 线性无关.

由定理1得: Rn中n个两两正交的非零向量必构 成Rn的一组基,称为Rn的正交基. 一般地,称向量空间的两两正交的基为正交基. 若正交基中每个向量又都是单位向量,则称其为 规范(或标准)正交基.

 1  0  0       0 1 0      e1  , e2  , , en            0  0  1

即为Rn的一组规范正交基,我们称其为自然基.

又如,4 维向量组

 1   1   0   0           2  2   0   0   1   1   1   1  1    , 2     ,3    ,4   . 2  2   2  2   0   0   1   1   0   0      2      2     i ,  j  0 i  j且i , j  1, 2, 3, 4  由于 i  j且i , j  1, 2, 3, 4     i ,  j  1

所以1 ,  2 ,  3 ,  4是R 的一组规范正交基.

4

范文五:线性方程组解的结构探讨

维普资讯 http://www.cqvip.com

第 6卷 第 1 2期

2 0 0 7年 1   2月

南阳师 范 学院 学报

J u n lo  n a g No ma  o r a  fNa y n   r lUnie st  v ri y

Vo .   .1   1 6 NO 2 De . 2 0   c 0 7

线 性 方 程 组 解 的 结构 探 讨

李 伟 超 ,马 淑 云

( 阳 师 范 学 院 数 学与 统 计 学 院 , 南 南 阳 4 36 ) 南 河 7 0 1

要 :l 分 块 矩 阵 的 性 质 来研 究一 般 线性 方程 组 解 的 结 构 , 出 了一般 线 性 方 程 组 A 并用 】 给 X=b的解 存 在 的 充分 必 要 条

。  ・

其 中 , ( )=R A . =rA . A的 r   阶 子 块 , :为 A 的 ( RA ( 。) , 。为  r x A    厂 ● ● +  ● l   _   广

中 图 分 类 号 :   5 .  O 11 2

文 献 标 识 码 :  A

文 章 编 号 :6 1 6 3 ( 0 7 1 0 1 0   1 7 — 1 2 2 0 ) 2— 0 5— 3

r l l+ dl dI   2  2+ … + dl n =0 ,

1 预 备 知 识

设 F是一 个数 域 , 1 1 是 F上 含 m个 方 程 n (.)   个 未知 量 的线 性 方程组

al l  l+ a 2 1  2+ … +aiUn= b    ; n l, a 1 l+ a 2 2+ … +a2 X 2   2x n n= b   2,

1l2 …d= l +2 + n,   d+ 2 0 d 2 n  ;       2 l

L  dl  1+dr 2  2+… +d

r.

有一 个 基础解 系 D =(     D

(. ) 1 1

, ,    , … D )  =r , +1

r 2 … ,. 中 D ( + , n其    =1 2 … , ) D 中元素  ,, n 是

a ml l + (   z

m 2+ … 十 am x 2 n n= b

m .

的代数 余子 式.   引理 2 2 线性 方 程 组 ( . ) 解甘 J( 『   12 有 R A)=

R( b A, )=r 这 里 ( b 为 方 程 组 ( . )的 增 广  , A, ) 12 矩 阵.   1当r ) =n时 , 方程 组 ( . ) 12 有唯 一 的解 ;

令 A=(   , 0 ) b=( 1 2 b ) X=(  2 b b …    ,    l …  )

这 个方 程组 可写 为 A X=b .

称  A =0 X

(. ) 12

(.   1 3)

叫做方 程组 ( . ) 1 2 的导 出组 .

引 理 1   设 n阶 行 列 式 I  = I  ≠0 则 当  … DI   I , d

2 当r ) <n时 , 方程 组 ( . ) 12 有无 穷 多 个 解 , 其

解 的一 般形 式 为

= o +kl l+ 尼  2+

… + k       2 …

r <n时 , 次线 性方 程组  齐

O n   e n to   f d fe e i lo  he v c o  un to   y no s a da d a a y i  e d f ii n o   if r nta   f t   e t r f c i n b   n t n r   n l ss i

JA  n CHEN  n =i I Pe g, Do g l ,MA  u hu  Ch n- i

( colfSi c , ia   nvrt o rht tr a dTcn l y X ’ n7  5 , hn ) Sho   c neX ’ n U i sy fAc ic e n  eh oo , ia    0 5 C ia   o e e i  eu   g 1 0

Ab t ac :   e i   he dfe e il o   e tr f n t n y n n tnd r   n lss I  t e e lr e n  d lu e   s r t To d fne t   i r n a  f v co   u c i  b   o sa a d a ay i. n h   n a g me tmo e  s d f o ta se   rncp e,h   fe e ilo   e t rv l e   u ci n i  e i d b  o al  i rma r n f rp i i l t e di r nt   fv co - au d f n t   sd fne   y l c ly lne  p.Th   e d fn to   f a o e n w  ei iin o  di ee ta  fv co  u c in i  o sse twih t   e e a , n   a e   n i,v co  u ci n t a  fe e t b e a  f r n ilo  e trf n to   sc n itn   t he g n r l a d b s d o   t e t rf n to  h tdi r ni l  t f f a

a p i ti  e ie     on  s d fn d.

Ke   r s v co u cin lc l  ie  p; i ee iljc ba   ti  y wo d :e trf n t ;o al l rma df r na ; o in mar o y n f a x

收 稿 日期 :0 7—1 O   20 O— 9

作 者 简 介 : 伟 超 (9 2一) 开 封 尉 氏人 ,0 3级 学 生 。 李 18 , 20

维普资讯 http://www.cqvip.com

l   6・

南 阳 师 范 学 院 学 报

第 6卷

其 中 , 。 方 程 组 ( . )的一 个 特 解 , 。 叼 , , y是 12 叼 ,:…

引理 3   设 线 性方 程 组 ( . ) P是 m 阶可  12 ,

逆矩阵, Q是 n阶可逆 矩 阵 , 足  Q= E 满

三 ) ,

‘], o A E / 。【   : , J

0   0

设= 三) ,…, Q 一4 c :  ( ? =  ,    , , =

,+ l , … ,

)  ,

由引理 3知 方 程 组 ( . ) 解 的充 分 必 要 条 件 为  12 有 P 6的后 m—r 全为 零 , 行 即

b  1

b  l

 ̄2 2 + … 0/

+ Cr t O,

+∑ 后 。其中k k , k l,   …, …,

P rE 0  6  , 、   l j

b  ,

A:A

b +  ,l

A:A

I I ● I ,

0 \==  == 二 ==,

f 三则 方 有 充 要 为 三 线 程 解 分 条     ]性组 的必 件 ,

[ , ≥] ]: +。 [

A:A 。

[ . :]  = ]。 +  f

异 =: 记  矩 。 , (三  × 阵 =   三] :.   ( 曰这曰 是 -。 阵  A 里,满。 的   1   足- 矩, : 曰 ≠   2 :   " J  ̄ c

证 程c, 为u = 明方组. 写 A三 6  可 2 ],

i ,   。 +l

+∑ k   i, D

尸一‘ Q0 三)   ,一  Ej lA , ( …’ (。E,  蔓, — )l   A j  一   : ’ =

尸 =

其 中 ,  ,Ⅲ , , 是 任 意 常 数 ,   D D   k k … k D =(    ,

D ) ( r , + … , ) Df 矩 阵 D 中第       +1 r 2, n , ^ 是

【   AA (1E厂三  一. ,    , ] 2 A, J 2      2 :] A  J     =

A I 2   ]

行 第 k列元 素 的代数 余 子式 ( A 若  奇 异 , A必 有  则 r 阶非 奇异子 块 , 可将 未 知 数 的号 码 及 方程 组 中方

A  l l

程 的 位 置 作 适 当 调 整 , 可 将 此 子 块 移 到 左 上  即

角) .   证 明  由题设 及 引 理 2知 方 程组 ( . ) 12 有解 ,   又A  非奇异 , 方程 组 ( . ) 则 1 2 与

( 一2 A+2‘ 0 AA lA/   2 2 1

因为R P ) 尺 A , (A = ( )故必有 一 2  A: A: 0 AI 。+ := , A

维普资讯 http://www.cqvip.com

第 1 2期

李 伟 超 等 : 性 方 程 组 解 的结 构 探 讨  线

6 , l

・1   7・

a l  ̄ l + 。 l  2 + … l 2

+ 。 1  n

j -a ̄ ‘a ̄=2 ( 1   +22 +2nb  2 ) 2  n , .

L l ;

口  戈 l + 口 r 戈2 + … l 2 +

a  r n

戈 =b

( ) = 92( )   , ( )2  , A   ,=     A 由A=( 。2 =2 , 于       , i( ) A  一   1 。 A ∑一

)) 同而= ]・ 。引・ 可一A(+:一 。) ) 解 。:2且・用理得 得A : (=( ( + . [ ,。 ,       :       ≠

( . ) 导 出 组 的 基 础 解 系 为  21 的 D , +, ,   从 而 D ,   Dr2 … D ,   Dm , ,  也 是  … D

\ , ● ●●  ●● /

o.

方程组 ( . ) 导 出 组 的 基 础 解 系. 12 的 由定 理 1知 ,

线 性 方 程 组 ( . ) 通 解 可 以 表 示 为  12 的

∑一

[ :

D【    。0 , I J      E’

。 =

其 中 k ,Ⅲ , , 是 任 意 常 数 ,     k … k D =(   D   D  ,

[=主]] A[ =,   ‘[ :‘        ]

杨 子 胥 . 等 代 数 习题 解 [ . 订 版 . 南 : 东 科  高 M] 修 济 山 学 技 术 出 版社 ,0 1 20 .   等 代 数 [ . 京 : 等 教 育 出版 ,0 3 M] 北 高 20 .

学 报 ,0 2 1 ( ) 3 4 . 2 0 , 2 1 :8— 0

D   i +1 r , , ) D 是 矩 阵 D的第 i  )( =r , +2 … n ,

由以上证 明可 知 ,   B B ,  的选 择 只要 使 I ≠ DI

行第 k列元 素 的代 数余 子式.

0 所 以可 取 B =0 B E . ,   , = …

f  1+5 2   — x 一  4= 一1  ,

解线 性方 程组

j 2++43   2 x   l x 3=,  -

3 1+8 2一 + 4= 1, x x

[ ] 北京大 学数 学系几 何 与代数 教研 室前代 数 小组. 2  高

【  1—9 2+3 +7 4=7  x x x .

[ ] 陈 红 . 性 方 程 组 解 的 结 构 [ ] 广 西 大 学 梧 州 分 校  3  线 J.

A =

对系 数矩 阵 A进 行分 块 可知

f 三 其 A ( 2  三  中 = ) =  ]   : ,   :,   A

A  i pl  x l r to   n sr t e o  o uto s o  y t m   fln a   qu to   sm e e p o a i n o   t uc ur   fs l i n   f s s e o  i e r e a i ns

L   e— ha I W ic o, M A  h — un S uy

( colfMahm t s Saii , a y n   om l nvrt , a y n  7 0 , hn ) Sho    te ai & tttsN n a gN r a  i s

y N na g4 3 6 C ia  o c sc U ei 1

A A

[ , :.  二 ]] += [。

范文六:线性方程组解的结构

§4-4 线性方程组的解的结构

一、齐次线性方程组解的结构

设有齐次线性方程组

a11x1a12x2a1nxn0

a21x1a22x2a2nxn0



axaxax0

m22mnnm11

(1)

若记

a11

a21A

am1

a12a22am2



a1n

a2n

amn

x1

xX

xn

,

则方程组(1)可写为向量方程

AX0 (2)

x1x2

称方程(2)的解X为方程组(1)的解向量.

xn

1.齐次线性方程组解的性质:

性质1 若1,2为方程组(2)的解, 则12也是该方程组的解. 性质2 若1为方程组(2)的解, k为实数, 则k1也是(2)的解. 注: 齐次线性方程组若有非零解, 则它就有无穷多个解. 2.齐次线性方程组的基础解系.

齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解

系。

当一个齐次线性方程组只有零解时, 该方程组没有基础解系; 而当一个齐次线性方程组有非零解时, 是否一定有基础解系呢? 如果有的话,怎样去求它的基础解系? 下面的定理回答了这两个问题.

定理 设mn矩阵A的秩R(A)r,则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩Rsnr

二、非齐次线性方程组解的结构

设有非齐次线性方程组

a11x1a12x2a1nxnb1

a21x1a22x2a2nxnb2



axaxaxb

m22mnnmm11

(3)

它也可写作向量方程

AXb (4)

性质3 设1,2是非齐次线性方程组AXb的解, 则12是对应的齐次线性方程组AX0的解.

性质4 设是非齐次线性方程组AXb的解, 为对应的齐次线性方程组AX0的解,则非齐次线性方程组AXb的解.

定理2 设*是非齐次线性方程组AXb的一个解, 是对应齐次线性方程组AX0的通解, 则x*是非齐次线性方程组AXb 的通解.

注:设有非齐次线性方程组AXb,而1,2,,n是系数矩阵A的列向量组,则下列四个命题等价:

(1) 非齐次线性方程组AXb有解; (2) 向量b能由向量组1,2,,n线性表示;

(3) 向量组1,2,,n与向量组1,2,,n,b等价; (4) r(A)r(Ab).

x1x2x3x40,

例1求齐次线性方程组2x15x23x32x40,的基础解系与通解.

7x7x3xx0

2341

例2 求出一个齐次线性方程组, 使它的基础解系由下列向量组成:

121,

34

43. 21

2

x1x2x33x4x57.

3x1x22x3x43x52,

例3 求下列方程组的通解 

2xx2x6x23,3452

8x3x4x3xx12.

23451

例4 设四元非齐次线性方程组AXb的系数矩阵A的秩为3, 已经它的三个解向量为1,2,3, 其中

341,

12

4

6

80

23

,

求该方程组的通解.§4-4 线性方程组的解的结构

一、齐次线性方程组解的结构

设有齐次线性方程组

a11x1a12x2a1nxn0

a21x1a22x2a2nxn0



axaxax0

m22mnnm11

(1)

若记

a11

a21A

am1

a12a22am2



a1n

a2n

amn

x1

xX

xn

,

则方程组(1)可写为向量方程

AX0 (2)

x1x2

称方程(2)的解X为方程组(1)的解向量.

xn

1.齐次线性方程组解的性质:

性质1 若1,2为方程组(2)的解, 则12也是该方程组的解. 性质2 若1为方程组(2)的解, k为实数, 则k1也是(2)的解. 注: 齐次线性方程组若有非零解, 则它就有无穷多个解. 2.齐次线性方程组的基础解系.

齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解

系。

当一个齐次线性方程组只有零解时, 该方程组没有基础解系; 而当一个齐次线性方程组有非零解时, 是否一定有基础解系呢? 如果有的话,怎样去求它的基础解系? 下面的定理回答了这两个问题.

定理 设mn矩阵A的秩R(A)r,则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩Rsnr

二、非齐次线性方程组解的结构

设有非齐次线性方程组

a11x1a12x2a1nxnb1

a21x1a22x2a2nxnb2



axaxaxb

m22mnnmm11

(3)

它也可写作向量方程

AXb (4)

性质3 设1,2是非齐次线性方程组AXb的解, 则12是对应的齐次线性方程组AX0的解.

性质4 设是非齐次线性方程组AXb的解, 为对应的齐次线性方程组AX0的解,则非齐次线性方程组AXb的解.

定理2 设*是非齐次线性方程组AXb的一个解, 是对应齐次线性方程组AX0的通解, 则x*是非齐次线性方程组AXb 的通解.

注:设有非齐次线性方程组AXb,而1,2,,n是系数矩阵A的列向量组,则下列四个命题等价:

(1) 非齐次线性方程组AXb有解; (2) 向量b能由向量组1,2,,n线性表示;

(3) 向量组1,2,,n与向量组1,2,,n,b等价; (4) r(A)r(Ab).

x1x2x3x40,

例1求齐次线性方程组2x15x23x32x40,的基础解系与通解.

7x7x3xx0

2341

例2 求出一个齐次线性方程组, 使它的基础解系由下列向量组成:

121,

34

43. 21

2

x1x2x33x4x57.

3x1x22x3x43x52,

例3 求下列方程组的通解 

2xx2x6x23,3452

8x3x4x3xx12.

23451

例4 设四元非齐次线性方程组AXb的系数矩阵A的秩为3, 已经它的三个解向量为1,2,3, 其中

341,

12

4

6

80

23

,

求该方程组的通解.

范文七:线性方程组解的结构

§3.4 线性方程组解的结构

线性方程组无解和有唯一解,无须研究其解的结构;所谓解的结构主要是对无穷多个解的情况.为了有利于研究和应用,常把方程组的解写成向量的形式.

一、齐次线性方程组解的结构

对含n个未知数的齐次线性方程组

AX=0 (3.4.1)

1.解的性质:X1是(3.4.1)的解,X2是(3.4.1)的解,k1 和k2为常数;则

k1X1+k2X2

也是(3.4.1)的解 [代入方程即可证明] .

2.基本概念:① (3.4.1)的基础解系 —— (3.4.1)解向量集合的一个极大线性无关向量组.

②(3.4.1)的通解 —— (3.4.1)基础解系的线性组合.

3.定理:若(3.4.1)系数矩阵的秩R(A)=r

说明:① 齐次线性方程组的基础解系并不是唯一的,但所含线性无关向量的个数却是确定的.

② 求齐次线性方程组的基础解系,在特征值和特征向量、实对称矩阵对角化、二次型化为标准形等问题中都有重要的应用.

4.例题[P.113例1]:求齐次线性方程组

⎧x1+2x2+3x3+x4=0⎪2x+4x−x4=0⎪12⎨⎪−x1−2x2+3x3+2x4=0

⎪⎩x1+2x2−9x3−5x4=0

的一个基础解系及通解.

解:对系数矩阵A进行初等行变换:(注:最后两步与教材不同)

231⎤⎡1⎡1⎢2⎥⎢0−401⎥→⎢A=⎢⎢−1−23⎢02⎥⎢⎥⎢−−1295⎣⎦⎣01⎤⎡1⎢00−6−3⎥⎥→⎢⎢0063⎥⎥⎢0−12−6⎦⎣023231⎤⎡1⎢0021⎥⎥→⎢⎢0000⎥⎥⎢000⎦⎣0210⎤021⎥⎥000⎥⎥000⎦

R(A) = 2(可知基础解系有4-2 = 2个线性无关的解向量),对应同解方程组

⎧x1+2x2+x3=0 ;⎨xx2+=04⎩3

1⎧x2xx4=−+2⎪12 ,即 ⎨1⎪x3=−x42⎩

x2,x4=~x4 ,其中~x2和~x4为任意常数; [初级写法: 令 x2=~

11x2+~x4,x2=~x2,x3=−~x4,x4=~x4 则 x1=−2~

22

⎡~1~⎤⎡1⎤⎡x1⎤⎢−2x2+x4⎥⎡−2⎤⎢2⎥⎢x⎥⎢~2⎥⎢1⎥⎢0⎥x2+02⎥~~⎢⎥⎢ 即 +x4⎢1⎥为原方程组的通解. ]=⎢⎥=x21~⎥⎢x3⎥⎢⎢0⎥⎢−⎥0−x4⎢⎥⎢⎥⎢2⎥⎢2⎥0⎦⎣⎣x4⎦⎢~⎢0+x4⎥⎣1⎥⎦⎦⎣

[正常(高级)写法:]

⎡x⎤⎡1⎤⎡0⎤ 令⎢2⎥=⎢⎥,⎢⎥,(注:二个向量肯定线性无关)

⎣x4⎦⎣0⎦⎣1⎦

⎡1⎤⎡x1⎤⎡−2⎤⎢2⎥则 ⎢⎥=⎢⎥,⎢⎥.

⎣x3⎦⎣0⎦⎢−1⎥⎣2⎦

于是,该方程组的一个基础解系为

X1=[−2100]T⎡1,X2=⎢⎣21⎤0−1⎥ ;2⎦T

原齐次线性方程组的通解是 X=k1X1+k2X2 ,

其中k1,k2为任意常数.

二、非齐次线性方程组解的结构

对含n个未知数的非齐次线性方程组

AX=b (3.4.2)

1.基本概念:①(3.4.2)的导出组 —— 与(3.4.2)相应的齐次线性方程组

AX=0.

②(3.4.2)的通解 —— 其相应导出组的通解加本身的一个特解.

2.解的性质:若X1 和X2都是(3.4.2)的解,X 0 是其导出组的解,则 ① X1 - X2是导出组的解;

② X1 + X 0 是(3.4.2)的解.

3.定理:

若含n个未知数的非齐次线性方程组AX=b满足R(A)=R()=r

其中k1 ,k2 ,… k n – r ,为任意常数.

3.例题[P.116例3]:已知X1=(0,1,0)T,X2=(−3,2,2)T是线性方程组

⎧x1−x2+2x3=−1⎪⎨3x1+x2+4x3=1

⎪ax+bx+cx=d23⎩1

的两个解,求此方程组的通解.

⎡1−12⎤⎥ 解:线性方程组的系数矩阵为A=⎢314⎢⎥⎢⎣abc⎥⎦

因方程组有两个解,即解不唯一,所以R(A)=R()=r

又因A有二阶子式1−1

31=4≠0,即R(A)≥2,所以R(A)=R()=2.故

导出组AX=0的基础解系中只包含一个非零解向量.

因X3=X1−X2=(3,−1,−2)T≠0,所以X3就是AX=0的基础解系. 从而给定方程组的通解为:

X=kX3+X1=k(3,−1,−2)T+(0,1,0)T .

k为任意常数.

本题注1:通解中的X1换成X2也可以.因X1 = X3 + X2 ,换后的结果为:

X=(k+1)X3+X2 .

注2:原方程组因有两个解,可知A=0,R(A)=R(),以及R(A)=2;即a、b、c、d不能都为任意常数,具体可求得 b = d = 3a - 2c .

作业(P.117):3.(1)[ 提示:R(A) = 2 ];

5[ 提示:AB = 0,即B的列向量都是AX = 0的解向量;注意 R(AB) 的取值 ];

附录:对齐次线性方程组的系数矩阵进行初等行变换,从而确定基础解系的简便方法

1.理论根据:

2.简化的方法:

范文八:用几何方法讨论线性方程组解的结构及其性质

第3 3卷  第 6 期

2 01 3芷

高 师 理 科 学 刊

J o u r n a l   o f   S c i e n c e   o f   Te a c h e r s   C o l l e g e   a n d   Un i v e r s i t y

Vo 1 . 3 3   No . 6

NO V. 201 3

1 1 月

文章 编号 :1 0 0 7 — 9 8 3   1( 2 0 1 3)0 6 — 0 0 2 5 — 0 3

用几何方法讨论线性方程组解 的结构及其 性质

马金 江 ,张凤 然

( 南 通大 学 理学 院 ,江苏 南 通 2 2 6 0 0 7 )

摘 要 :线性 方程组 有其 明显 的几 何 意义 ,这 一点在许 多文献 中都有 提 到 ,但 对 线性方 程组 解的 结  构及 其性 质 的几何 背景 却很 少提 及. 以三 元 线性方 程组 为例 ,用几何 的方 法对非 齐次与 齐次线 性

方程 组解 的 结构及 其性 质进行 了较 详 细 的讨论 .   关键 词 :线性 方程 组 ;解 的结构 ;几何意 义

中 图分类 号 :O 1 5 1 . 2 1

文 献标识 码 :A

d o i :1 0 . 3 9 6 9 / j . i s s n . 1 0 0 7 — 9 8 3 1 . 2 0 1 3 . 0 6 . 0 0 9

Re s e a r c h i n g   o n   t h e   s t r u c t u r e   a n d   p r o p e r t i e s   o f   t h e   s o l u t i o ns   o f   s y s t e m  o f   l i n e a r   e q u a t i o n s   b y   g e o me t r i c   me t h o d

MA   J i n - j i n g ,Z HA N G   F e n g - r a n

( S c h o o l   o f   S c i e n c e ,N a n t o n g   U n i v e r s i t y ,N a n t o n g   2 2 6 0 0 7 ,C h i n a )

Ab s t r a c t : Ge o me t r y   me a n i n g   o f   t h e   s y s t e m  o f   l i n e a r   e q u a t i o n s   w a s   me n t i o n e d   i n   ma n y   l i t e r a t u r e s ,b u t   i t   h a s   r a r e l y   b e e n   me n t i o n e d   a b o u t   t h e   g e o me t y  r b a c k g r o u n d   o f   s t r u c t u r e   a n d   p r o p e r t i e s   o n   i t s   s o l u t i o n s .T a k i n g   t h

e   t h r e e   e l e me n t

l i n e a r   e q u a t i o n s   a s   a n   e x a mp l e, d i s c u s s e d   t h e   s t r u c t u r e   a n d   p r o p e r t i e s   o f   t h e   s o l ut i o ns   o f   n o n h o mo g e n e o us   a n d   h o mo g e ne o us   l i n e a r   e q ua t i o n s   b y   g e o me t ic r   me t ho d   i n   d e t a i l .

Ke y   wo r d s :s y s t e m  o f   l i n e a r   e q u a t i o n; s t uc r t u r e   o f   t h e   s o l u t i o n; g e o me t y  r me a n i n g

线性方程组有其明确的几何意义 ,即求解几个平 面的交点问题  .按解的个数可分为无解 、唯一解和  无穷解三种 情况口   .若几个平面没有公共点则方程组无解 ; 若几个平面相交于同一个点则方程组有唯一解 ;   若几个平面相交于一条直线或几个平面全部重合则方程组有无穷解  ,此时这条直线或这个重合的平面上  所有的点都是方程组的解.本文就非齐次与齐次线性方程组解的结构及其性质的几何背景进行 了讨论.

1 线 性方程组解 的几何意义

设 三元线 性方 程组 为

{ f a I 】   - 4 -  2 Y - I -  3 z = b l

【 a i i x + a 3 2 Y + a 3 3 z =

系数 矩 阵为 A ,增广 矩 阵为 A   1 4 ) .

口 2 1  +a 2 2 Y+a 2 3 z=b 2

(1)

方程组 ( 1 ) 所对应的齐次线性方程组为

收 稿 日期 :2 0 1 3 - 0 6 一 O l

基 金 项 目 :南 通大 学课 程资 源建设 项 目 ( 2 0 1 3 年 度 );南 通 大学课 程 改革项 目 ( 2 0 1 3 B 0 4 3)   作 者 简 介 :马 金江 ( 1 9 6 5 一),男 ,黑 龙江 嫩 江人 ,副 教授 ,从 事几何 学研 究 .E — m a i l :m j j @n t u . e d u . c n

高 师 理 科 学 刊

第 3 3卷

』   a 2 1 l   x : +   口 a l 2 2   Y : +   a 2 3 3 z Z   =   0

I a ; i x + a 3 2 Y + a 3 3 z = 0

( 2 Z ) ,

当 R (   ) <   (   ) 时 , 方 程 组( 1 ) 无 解 , 此 时 三 个 平 面 没 有 公 共 点 ;   当 R (   ) =   (   ) = 3 时 , 方 程 组(

1 ) 有 唯 一 解 , 此 时 三 个 平 面 相 交 于 同 一 个 点 ;

当   (   ) :  f  1 _ 1 时, 方 程 组( 2 ) 的 解空间S 的 秩   (   ) = 2 , 且基 础解

系 中含有 两个 解 向量 , 设 为  =

( 耋 ] ,   = ( 薹 ] . 则 其 通 解 为 墨 =   毒 +   ,

z0

显然 , 此 为过原 点 的平面参 数方 程 (  ,   为参数 ) .设 其平 面 为  , 则  ,

为 平 面   的 方 位 向 量 . 若 方 程 组 ( 1 ) 的 一 个 特 解 为   :   l x o   l , 则 方 程 组 ( 1 )

的通 解为  =   +   +  , 这是 一个 过点 M( x o , Y o ,   ) 的平 面参数 方程  . 设  此平 面为  ,而  ,   仍 为平 面  的方 位 向量 ,所 以平面  / / 万 :( 见图 1 ) .

图 1   平面7 1 " 1 / /  2

当 R (   ) = R ( - z  2 时 , 方 程 组( 2 ) 的 解 空 间 S 的 秩 尺 (   ) = 1 , 且 基 础 解

r  、

系 中 含 有 一 个 解向 量, 设 为   = l  l , 其 通 解 为墨=  , 此 为 过 原 点 的 直 线

zi

参数方程 (   为参数 ) .设此直线为 ‘,则 为直线 I 『 l 的方 向向量.若设方程

组( 1 ) 的 一 个 特 解 为   : I   X 0   l , 则 方 程 组( 1 ) 的 通 解 为  :  +   , 这 是

条过一M( x o , Y 。 , z 0 ) 的直线参数方程・设此直线为『 2 , 则  仍为直线, 2 的

图2 直线| 『 I / / f 2

方 向向量 ,所 以直线 ‘∥1 2( 见图 2) .

2 线性方程组解性质 的几何 背景

假定齐次线性方程组 ( 1 ) 满足尺 ( / 4 ) = R ( A) _ 1 , 用几何的方法推出线性方

程组 解 的几个 重要 性质 ,同时揭示 其几何 意 义.

当  (   ) = R ( A   l _ 1 时, 通过前面讨论可知, 非齐次线性方程组 ( 1 ) 与齐次

线性 方 程组 ( 2)的通解 分别 为空 间 的平 面 , 和 过原点 的平 面  ,且  / /   .   性质 1   齐次 线性 方程组 ( 2 ) 两 个解 的和仍然 是齐 次线性 方程 组 ( 2)的解 .   证明 在  上 任 取两点 A,B ( 见图3 ),即方 程组 ( 2)的任意 两个解 ,其

证毕.

对应 的向径分 别 为  和 , , 则其 和  的终点 C仍 然 在平 面  上 , 即点 C仍 然为 方  图 3 性 质 1图示

程组 ( 2)的解 .   性 质 2 非 齐次线 性方 程组 ( 1 )两个解 的差 是齐 次线 性方程 组 ( 2)的解 .

证明 若在  上任取两点  ,

( 见图4 ),即方程组 ( 1 )的任意两个解 ,   证 毕.

其对应的向径分别为  和  ,则其差向量 , ,   一  = A B平行于平面  ,所以 ,向  量A B对应的向径  的终点 C在平面  上 ,即 c为方程组 ( 2 ) 的解.

和是非 齐 次线性 方程组 ( 1 )解 .   证明 在  ,   上 各取 一点 A ,B ( 见图 5 ),即非齐 次与 齐次线 性方 程组

性 质 3 非 齐次 线性方 程组 ( 1 )的一 个解 与齐 次线 性方 程组 ( 2)一个 解 的

各取一个解 , 其对应的向径分别为  和  , 则 由平行 四边形法则可知 , 其和向量

OC对 应 的 向径 , , 的终 点 C在平 面  上 ,即 C为方 程 组 ( 2) 的解 .   证毕.

图 4 性 质 2图示

第 6期

马金江 ,等 :用几何方法讨论线性 方程组解 的结 构及 其性 质

2 7

性质 4 非齐 次线 性 方程 组 ( 1 )的一个 特解 与 齐次 线  性 方 程组 ( 2) 的通 解 的和 是非 齐次 线性 方程 组 ( 1 ) 的通解 .   证明 设 A为平 面 码 上 的一个 已知 点 ( 见 图 6),即方

程组 ( 1 ) 的一个特解 , 其对应 的向径为 7 " o ; 设 P为平面  上的任一点 ,即非齐次线性方程组 ( 1 )的任意解 ,其对应

的 向径 为  .过 点 P做 向量 O A的平 行 线交 平 面  于 点  ,

其对应的向径为 , , ’ , 则点  为方程组 ( 2 ) 的一个解.由于  点O A P B构 成一 个平 行 四边 形 ,所 以  =7 " 1 一   ,即非 齐次  线性方程组的任意一个解都可表示成非齐次线性方程组 的   个 特解 和一 个齐 次线 性方 程 组 的解 的和.

图 5 性质 3图示  图 6 性 质 4图示

由性 质 3的证 明可 知 ,非齐 次 线性方 程 组 (1 )的一个 解 与齐次 线性 方程 组 ( 2) 一个 解 之和 一定是 非  齐 次线 性 方程 组 ( 1)的解 .   因此 , 非 齐次 线性 方 程组 ( 1 ) 的一个 特解 与 齐次 线性 方程 组 ( 2) 的通 解 的和是非 齐 次线 性方程 组 ( 1 )   的通解 .   证毕 .

注 当R ( A ) = R f A   l _ 2 时,通过前面讨论可知, 非齐次三元线性方程组 ( 1 ) 与其对应的齐次线性方

程组 ( 2 ) 的通解分别为空间直线 和过原点的直线‘, 且J 『 l ∥   ( 见图 2 ) .同样可以证 明上述结论.

参 考 文献 :

【 1 】   姜景 莲.浅谈 高等代数教学中的的几何解释[ J 】 _南平师专学报 ,1 9 9 8( 4) :2 9 — 3 2

【 2 ]   刘 勇.线 性方 程组的解的结

构[ J 】 .科技创新导报 ,2 0 0 9( 3 5) :3 3

【 3 ]   王健 .浅谈几 何直观在线性代数中的作用[ J 】 .漯河职业技术学院学报 ,2 0 0 3( 1 ) :7 - 8   [ 4 】   同济 大学 应用 数学系.线性代数 [ M】 .4版.北京 :高等教 育出版社 ,2 0 0 3   【 5 】   吕林 根 ,许 子道.解析几何【 M】 .4版.北京 :高 等教 育出版社 ,2 0 0 6

( 上 接第 1 7页 )

即   (   ,  ) = ∑口  =  (   ,  ) , 由 定 理 1 可 知,  :  , 这 说 明厂 :

的单射.因此 ,映射 - 厂 是双射.

是 从   (   ,  ; c , ) 到F  州

设   ,  ∈   (   ,  ;  ) , 且   (   ,  ) = ∑   ,  (   ,  ) : ∑   . 令   (   ) = A ,  (   ) = B , 则

满 足 式 ( 3 ) ,   : f I   奄 :   : % :   :  :   : 毒 I ] 1   . 由 于   (   +   ) (   ,   , ) :   (   ,   , ) +   (   ,   , ) :

满足 式  3  ,  :

6 f

…   / l  、

+ ∑ t   = ∑ t (  +   )  , (   ) (   ,  ) =  (   ,  ) = 足 ∑ t   = ∑ t (   , 因 此 / (   +   ) =   +   =

f ( O ) + 厂 (  ) ,   (  ) = k A=  (   ) ,即映射  保持线性运算.

(  ,   综 上 可 知 , 厂是 从 L

; U) 到 F“ ‘   的 同构 映射 ,即 L (  ,

; U) 与 F“ ‘   同 构 , 因 此

证 毕.

d i mL ( V ,   :U 1 :d i mF   (   :n mt .

参 考文 献 :

[ 1 ]   北京大学数学系.高等代数[ M ] .3 版 .北京 :高等教育出版社 , 2 0 0 0   【 2 】   杨子胥.高等代数 ( 下册 )【 M ] .济南 :山东科技 出版社 ,2 0 0 1

【 3 】   苏育才 ,姜翠波 ,张跃辉.矩阵理论[ M】 .北京 :科学出版社 ,2 0 0 6

【 4 ]   孟道骥 ,王立云 ,史毅茜 ,等.抽象代数I 卜一 结合代数[ M】 .北京 :科学出版社 ,2 0 1 1

范文九:线性方程组解的结构与两点确定直线问题

第3 5 卷  第 1 期

2 0 1 5焦

高 师 理 科 学 刊

J o u na r l   o f   S c i e n c e   o f   Te a c h e r s   Co l l e g e   a n d   Un i v e r s i t y

Vo 1 . 3 5   No . 1

1 月

J a n . 2 0 1 5

文章 编号 :1 0 0 7 — 9 8 3 1( 2 0 1 5)0 1 — 0 0 0 7 — 0 2

线性方程组解 的结构与两点确定直线 问题

程 晓亮 ,姜玉秋

( 吉林 师 范大学 数学 学 院 ,吉林 四平 1 3 6 0 0 0 )

摘要 :从直线方程的一般式出发,利用齐次线性方程组解的结构阐释 两点确定直线问题 ,使问题  得到更深刻地理解.   关键 词 :直 线方程 ;线性 方程 组 ;解 结构  中图分类 号 :O 1 5 1 . 2   文献 标识 码 :A   d o i :1 0 . 3 9 6 9 6 . i s s n . 1 0 0 7 — 9 8 3 1 . 2 0 1 5 . 0 1 . 0 0 3

T h e   s t r u c t u r e   o f   s o l u t i o n   o f   l i n e a r   e q u a t i o n   s y s t e m  a n d

t h e   p r o b l e m  o f   d e t e r mi n i n g   a   l i n e   b y   t wo   p o i n t s

CHENG   Xi a o - l i a n g,J I ANG  Yu - q i u

( S c h o o l   o f Ma t h e ma t i c s ,J i l i n N o r m a l U n i v e r s i t y ,S i p i n g1 3 6 0 0 0 ,C h i n a )

Ab s t r a c t :T h e   p r o b l e m  o f   d e t e r mi n i n g   a   l i n e   b y   t w o   p o i n t s   wa s   i n t e r p r e t e d   wi t h   u s i n g   t h e   s t r u c t u r e   o f   s o l u t i o n   o f   t h e

h o mo g e n e o u s   l i n e a r   e q u a t i o n   s y s t e m,a n d   b a s e d   o n   t h e   g e n e r a l   f o r m  o f   l i n e   e q u a t i o n, t h e   p r o b l e ms   wa s   u n d e r s t a n d   d e e p l y .

Ke y   WO l d S   I  e q u a t i o n   o f   l i n e ;l i n e a r

e q u a t i o n   s y s t e m;s t r u c t u r e   o f   s o l u t i o n

本 文从 直线方 程 的一般式 出发 ,利 用齐次 线性 方程组 解 的结构 阐释 两点 确定直 线 问题 ,使 问题 得 到更

深 刻地理 解 .根据 文献 [ 1 1 5  ̄ I 文献 [ 2 ] 不难得 到 引理 1 和 引理 2.

引 理 1   设 实 数 域 上 的 2 × 3 矩 阵   =   a l l   a 1 2  ) , 则

( 1 )r a n k A=2当且仅 当 a 1 1 ≠a 2 1 ,或 者 a 1 2 ≠口 2 2,

( 2)r a n k A:1当且 仅 当 a 1 l =a 2 1 ,a 1 2=a 2 2 .

a l 1 . ≠

a21   a2 2

Z J l  ̄ E   2 设齐次线性方程组{ { a 2   1

a  1 2x  2 :

+ a  x  3 1 3

x  1

: 。

U 0 , 其 中 :  ,  ,  为 未 知 数 ; 口   ( f = 1 , 2 ;  = 1 ,

2 ,3 ) 为 已知实 系数 ,则 此方程组 解 的结构 为

( 1 ) 当 系 数 矩 阵 【 羞  1 7 / , 1 ;  I ;   / 1 3 ) 的 秩 为 2 时 , 方 程 组 的 基 础 解 系 含 有 一 个 解 向 量 , 方 程 组 的 所 有 解

可表示为 k X ,其 中:   为任意非零解向量 ;k 为任意实数.

( 2 ) 当 系 数 矩 阵 l 是  a l  恐 j 的 秩 为 l 时 , 方 程 组 的 基 础 解 系 含 有 两 个 解 向 量 , 方 程 组 的 所 有 解

2 01 4 - 0 5 -1 0   收 稿 日期 :

基 金项 目:  国家 自然科 学基 金资 助项 目 ( 1   1 3 0 1 2 1 5) ;吉林 省科 技发 展计划 项 目 ( 2 0 1 3 O 5 2 2 O 9 4 J H) ;吉林 省教育 厅 “ 十二 五” 科学技 术研 究项

目( 2 0 1 4第 4 8 4号 ) ;四平市科技发展计划项 目 ( 四科合字第 2 0 1 3 0 5 3号 ) ;吉林师范大学博士启动项 目

作 者 简介 :   程 晓亮 ( 1 9 8 0 一) ,男 ,吉林 长岭人 ,讲 师 ,博 士 ,从事 数学 教育 与基础 数学 研究 .E - m a i l :c h e n g x i a o l i a n g 9 2 @1 6 3 . c o n r

高 师 理 科 学 刊

第3 5 卷

可表示为 k X+ I Y,其中:x,y为两个线性无关 的解 向量 ;k ,, 为任意实数.

平 面上直 线方程 的一般形 式 为

Ax+By+C = 0

其中:   ,   ,c为实参数.   设 (  , Y 1 ) 和  (  , Y 2 ) 是平面上任意两点 ,把 (  , Y 1 ) 和 ̄ 2 ( X 2

, Y 2 ) 两点的坐标代人式 ( 1 ) ,得方

程组

J   +   + C= 0

I d x 2 +   2 +C  0

f   2 、

式( 2 ) 是 以 A , B , c 为 未 知 数 的 线 性 代 数 方 程 组 , 其 系 数 矩 阵 为  = (   X 1  Y 1 , l ,  ) .

定理 1 下面三个条件等价 :   ( 1 )方程组 ( 2)的基础解 系含有一 个解 向量 ;

( 2)r a n k M =2;

( 3 )f i( x , , y 1 ) 和P 2 ( x 2 ,   ) 为两个不 同的点.

以 ,条件 ( 1 ) 、条件 ( 2)和条 件 ( 3) 相互 等价 .

证明   由引理 2 可知 ,条件 ( 1 )与条件 ( 2 ) 等价. 由引理 1 可知 ,条件 ( 2 ) 与条件 ( 3 ) 等价,所  证毕.

此 时 , 设 方 程 组 ( 2 ) 的 一 个 非 零 解 向 量 为   : I  I ,  均 是 解 向 量 , 那 么 尼 (   , B o , C o )  I I   0 ( 其

0/   \ 、  /

f ,  、

f ,   、

中:k 为任意非零实数 ) 都是过 (  ,   ) 和 ̄ 2 ( X 2 , Y 2 ) 两个不 同点 的直线方程 ,这形式上是无穷个方程 ,

但本 质上 只是 唯一 的一个 方程 x +B o y+C o =0 .

至此 ,利用线性方程组解 的结构理论阐释了 : 使用直线方程的一般式求过两个不同点的直线方程时,

会得到无穷组参数的解 ,但求得方程必然是唯一 的.几何直观上 ,即两个不同的点确定唯一的一条直线.

定 理 2 下 面三个 条件 等价 :

( 1 )方 程组 ( 2)的基 础解 系含 有两 个解 向量 ;

( 2 )r a n k M =1 ;

( 3 )   (  ,   ) 和P  ̄ ( x 2 ,   ) 为两 个相 同的点 .

证明  由引理 2 可知 ,条件 ( 1 ) 与条件 ( 2 ) 等价.由引理 1 可知 , 条件 ( 2 ) 与条件 ( 3 ) 等价,所  以,条件 ( 1 ) 、条件 ( 2 ) 和条件 ( 3 ) 相互等价.

f ,1、   0、

证毕.

此时, 不妨 设方 程组( 2 ) 的 两 个线 性无 关的 解向 量为  = 1 b   0   I ,  : = I   1   I ,   +  是 方程 组( 2 )

X 1 )   y 、 )

的解 向量 ( 其 中 :k ,, 为任意实数 ) .那 么 对 平 面 上 的任 意 一 点 P ( x ,Y ) ,都 存 在 相 应 的 k和 ,,满 足

r ,  、

(   ( 1 , 0 , 一 X 1 ) + l ( O , 1 , 一 Y 1 ) ) I   / l   = 0 . 即 平 面 上 的 所 有 点 都 满 足 所 求 的 方 程 . 从 几 何 直 观 上 也 显 然 能 看

到这

个事 实 ,即平 面上 过一 点 的直 线必 然形 成整 个平 面 .   平 面上直 线 的代数 方程 有点斜 式 、斜截 式 、两点 式和 一般 式等 表现形 式 .一般来 说 ,对 于给定 的两 个  已知点 ,都可以利用待定系数法求相应的直线方程.特别地 ,对于直线方程的一般式 ,在利用待定系数法

时,得到待定参数的无穷组解向量 ,学生对方程的个数问题存在疑惑.通过齐次线性方程组解 的结构阐释  这个问题 ,非常简单明了.   参考文献 :

[ 1 】   王萼芳 ,石生明.高等代数【 M1 .北京 :高等教育出版社 ,2 0 0 3   [ 2 1   蓝 以中.高等代数简 明教程【 M ] .北京 :北京大学 出版社 ,2 0 0 7

范文十:考研数学线代习题—线性方程组之解得结构

2017考研已经拉开序幕,很多考生不知道如何选择适合自己的考研复习资料。中公考研辅导老师为考生准备了【线性代数-线性方程组之解得结构知识点讲解和习题】,希望可以助考生一臂之力。同时中公考研特为广大学子推出考研集训营、专业课辅导、精品网课、vip1对1等课程,针对每一个科目要点进行深入的指导分析,欢迎各位考生了解咨询。

模块十 线性方程组(解的结构)

x1x2x501、求齐次线性方程组x1x2x30的基础解系.

xxx0345

2、求下列方程组的通解.

2x14x22x37x406x12x2x43(1)3x16x24x33x40 (2)x1x2x41

2xx3x25x10x4x25x04132341

2x1x24x33x44,3x5x8x5124xxx3,134(3)4x16x29x43 (4)

x2x3x43x1x2x31,

3417x17x33x43.

3、问为何值时,线性方程组

x1x3,4x1x22x32,

6xx4x23312

有解,并求出其通解.

x1x22x33x41x3x6xx312344、设线性方程组为,问k1与k2各取何值时,方程组无解?有惟3xxkx15x321341

x15x210x312x4k2

一解?有无穷多解?有无穷多解时,求其一般解.

x1x2x3x42T5、设1,1,1,1是线性方程组2x1x23x32x44的一个解向量,求该线性方程组的

xaxxx02341

通解.

6、设1(6,1,1)T与2(7,4,2)T是线性方程组

a1x1a2x2a3x3a4x13x22x31

2x5xx8123

的两个解,求该方程组的通解

7、设1,2,3是四元非齐次线性方程组Axb的三个解向量,且rA3,1(1,2,3,4)T,23(0,1,2,3)T,C表示任意常数,则线性方程组Axb的通解x( )

1110121321212324

(A)C. (B)C. (C)C. (D)C. 3132343541434546

8、已知向量组1,2,3为n元齐次线性方程组Ax0的基础解系,1,2,3与1,2,3等价,证明:向量组1,2,3仍为该齐次线性方程组的基础解系。

参考答案

1、1(1,1,0,0,0)T,2(1,0,1,0,1)T

11201k15,其中k1,k2为任意的常数 2、 (1)k102210

114x1453x2 (2)4k4,其中k取任意常数. x337x42201

15322x1115x2 (3)2k2,其中k取任意常数. x379x44401

x131x822(4)k,k为任意常数 x3010x46

113、1,此时通解为xk21,k为任意常数. 10

4、k12时,有唯一解;k12且k21时,无解;k12且k21时,有无穷多解,此时

x180x322线性方程组的通解为k,k为任意常数. x3010x42

5、1,1,1,1k5,4,8,9,kR

6、(6,1,1)Tk(13,5,1)T,kR.

7、(C)

8、略

TT

在紧张的复习中,中公考研提醒您一定要充分利用备考资料和真题,并且持之以恒,最后一定可以赢得胜利。更多考研数学复习资料欢迎关注中公考研网。