高中圆锥曲线知识点

高中圆锥曲线知识点

【范文精选】高中圆锥曲线知识点

【范文大全】高中圆锥曲线知识点

【专家解析】高中圆锥曲线知识点

【优秀范文】高中圆锥曲线知识点

范文一:高中数学圆锥曲线圆锥曲线的性质对比+知识点梳理

高考数学圆锥曲线部分知识点梳理

一、方程的曲线:

在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线。

点与曲线的关系:若曲线C的方程是f(x,y)=0,则点P0(x0,y0)在曲线C上f(x0,y 点P0(x0,y0)不在曲线C上f(x0,y0)0)=0;≠0。

两条曲线的交点:若曲线C1,C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点P0(x0,y0)是C1,C2的交点{组有n个不同的实数解,两条曲线就有n个不同的交点;方程组没有实数解,曲线就没有交点。 二、圆:

1、定义:点集{M||OM|=r},其中定点O为圆心,定长r为半径.

2、方程:(1)标准方程:圆心在c(a,b),半径为r的圆方程是(x-a)+(y-b)=r 圆心在坐标原点,半径为r的圆方程是x+y=r

(2)一般方程:①当D+E-4F>0时,一元二次方程x+y+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程,圆心为(

2

2

2

2

2

2

22

2

2

f1(x0,y0)0f2(x0,y0)0

方程

DE

,)半径是22

D2E24F。配方,将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x+

2

2

2

D2

)+(y+

2

E2

22

2

)=DE-4F

4

②当D+E-4F=0时,方程表示一个点(-2

2

D2

,-

E2

);

③当D+E-4F<0时,方程不表示任何图形.

(3)点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y0),则|MC|<r点M在圆C内,|MC|=r点M在圆C上,|MC|>r点M在圆C内,其中|MC|=一个公共点;直线与圆相离没有公共点。

②直线和圆的位置关系的判定:(i)判别式法;(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d小关系来判定。

三、圆锥曲线的统一定义:

平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e(e>0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点,定直线l称为准线,正常数e称为离心率。当0<e<1时,轨迹为椭圆;当e=1时,轨迹为抛物线;当e>1时,轨迹为双曲线。

(x0-a)2(y0-b)2

(4)直线和圆的位置关系:①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系:直线与圆相交有两个公共点;直线与圆相切有

AaBbCAB

2

2

与半径r的大

- 1 -

- 2 -

【备注1】双曲线:

⑶等轴双曲线:双曲线x2y2a2称为等轴双曲线,其渐近线方程为yx,离心率e2.

x2y2x2y2

⑷共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲线.22与22

abab

互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线:

x2a2

y2b2

0.

x2a2

y2b2

⑸共渐近线的双曲线系方程:

x2a2

y2b2

(0)的渐近线方程为0如果双曲线的渐近线为

xy

0时,它的双曲ab

线方程可设为

x2a2

y2b2

(0).

【备注2】抛物线: (1) 抛物线

y2=2px(p>0)的焦点坐标是(

p2

,0),准线方程x=-

p2

,开口向右;

(2) 抛物线

y2=-2px(p>0)的焦点坐标是(-2

p2

,0),准线方程x=

p2

,开口向左;

(3) 抛物线x=2py(p>0)的焦点坐标是(0,

p2

),准线方程y=-

p2

,开口向上;

(4) 抛物线x=-2py(p>0)的焦点坐标是(0,-

2

p2

),准线方程y=

p

2

,开口向下.

(5)抛物线

y2=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离MFx0

p

x0 2

p2

;抛物线y=-2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的2

距离

MF

(6)设抛物线的标准方程为p.

(7)已知过抛物线

y2=2px(p>0),则抛物线的焦点到其顶点的距离为

p2

,顶点到准线的距离

p2

,焦点到准线的距离为

y2=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A、B两点,则线段AB称为焦点弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长

2p

AB

sin2

AB=x1x2+p或

五、坐标的变换:

p2p

,AFx1(AF为直线AB的倾斜角),y1y2p,x1x242

2

叫做焦半径).

(1)坐标变换:在解析几何中,把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时,点的位置,曲线的形状、大小、位置都不改变,仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.

(2)坐标轴的平移:坐标轴的方向和长度单位不改变,只改变原点的位置,这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移,简称移轴。 (3)坐标轴的平移公式:设平面内任意一点M,它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y),在新坐标系x ′O′y′中的坐标是(x

'

,y').

- 3 -

设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)

,则叫做平移(或移轴)公式.

(4)中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表:

xx'hyy'k

或x'xhy'yk

1. 2. 3. 4.

点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

PT平分△PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

5.

x0xy0yx2y2

21. 1若P在椭圆上,则过的椭圆的切线方程是(x,y)P0000

a2ba2b2

x0xy0yx2y2

21. 1若P在椭圆外,则过作椭圆的两条切线切点为P、P,则切点弦PP的直线方程是P(x,y)0000

a2ba2b2

1

2

12

6.

7.

x2y2

椭圆221 (a>b>0)的左右焦点分别为F,F

ab

1

2

,点P为椭圆上任意一点F1PF2

,则椭圆的焦点角形的面积

为SFPF

1

2

b2tan

2

.

- 4 -

8. 9.

x2y2

椭圆221(a>b>0)的焦半径公式|MF1|aex0,|MF2|aex0(F1(c,0) ,F2(c,0)M(x0,y0)).

ab

设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、

N两点,则MF⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF⊥NF. 11.

x2y2b2

AB是椭圆221的不平行于对称轴的弦,M(x0,y0)为AB的中点,则kOMkAB2

aba

,即KAB

b2x0

2

ay0

12.

x0xy0yx02y02x2y2

222若P0(x0,y0)在椭圆221内,则被Po所平分的中点弦的方程是a2babab

【推论】:

x2y2x2y2x0xy0yx2y2

2。椭圆221(a>b1、若P0(x0,y0)在椭圆221内,则过Po的弦中点的轨迹方程是22

aba2babab

>o)的两个顶点为

A1(a,0),A2(a,0),与y轴平行的直线交椭圆于P

1、2

x2y2

P时AP与AP交点的轨迹方程是221.

ab

11

22

x2y2

2、过椭圆221 (a>0, b>0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点,则直线BC有定向且

ab

kBC

b2x0

2ay0

(常数).

x2y2

3、若P为椭圆221(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F, F

ab

1

2

是焦点, PF1F2, PF2F1,则

actancot. ac22

x2y2

4、设椭圆221(a>b>0)的两个焦点为F、F,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在△PFF中,记F1PF2,

ab

1

2

12

PF1F2,F1F2P,则有

sinc

e.

sinsina

1

2

x2y2

5、若椭圆221(a>b>0)的左、右焦点分别为F、F,左准线为L,则当0<e

1时,可在椭圆上求一点P,使

ab

得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

x2y2

6、P为椭圆221(a>b>0)上任一点,F,F为二焦点,A为椭圆内一定点,则2a|AF2||PA||PF1|2a|AF1|,

ab

1

2

当且仅当

A,F2,P三点共线时,等号成立.

(xx0)2(yy0)222222

1AxByC07、椭圆与直线有公共点的充要条件是. AaBb(AxByC)0022

abx2y21111

8、已知椭圆221(a>b>0),O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且OPOQ.(1ab|OP|2|OQ|2a2b2

- 5 -

;

4a2b2

(2)|OP|+|OQ|的最大值为2

ab2

2

2a2b2

;(3)SOPQ的最小值是2

ab2

.

x2y2|PF|e

9、过椭圆221(a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则.

ab|MN|2x2y2

10、已知椭圆221( a>b>0) ,A、B、是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0), 则

aba2b2a2b2

x0

aa

.

x2y2

11、设P点是椭圆221( a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F、F为其焦点记F1PF2ab

1

2

,则

2b2(1)|PF1||PF2|

1cos

.(2) SPFF

12

b2tan

2

.

x2y2

12、设A、B是椭圆221( a>b>0)的长轴两端点,P是椭圆上的一点,PAB

ab

, PBA,BPA,

.

2ab2|cos|

c、e分别是椭圆的半焦距离心率,则有(1)|PA|2

ac2cos2

.(2) tantan1e

2

.(3) SPAB

2a2b22cotba2

x2y2

13、已知椭圆221( a>b>0)的右准线l与x轴相交于点E,过椭圆右焦点F

ab

右准线l上,且BC

的直线与椭圆相交于A、B两点,点C在

x轴,则直线AC经过线段EF 的中点.

14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 七、双曲线的常用结论:

1、点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

2、PT平分△PF1F2在点P处的内角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4、以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P在右支;外切:P在左支)

x0xy0yx2y2

21. 15、若P在双曲线(a>0,b>0)上,则过的双曲线的切线方程是(x,y)P0000222

abab

x2y2

6、若P0(x0,y0)在双曲线221(a>0,b>0)外 ,则过Po作双曲线的两条切线切点为P、P,则切点弦PP的直线方

ab

1

2

12

程是

x0xy0y

21. a2b

1

2

x2y2

7、双曲线221(a>0,b>o)的左右焦点分别为F,F,点P为双曲线上任意一点F1PF2ab

,则双曲线的焦点角形

- 6 -

的面积为SFPF

1

2

b2cot

2

.

x2y2

8、双曲线221(a>0,b>o)的焦半径公式:(F1(c,0) , F2(c,0))当M(x0,y0)在右支上时,

ab

|MF1|ex0a,|MF2|ex0a;当M(x0,y0)在左支上时,|MF1|ex0a,|MF2|ex0a。

9、设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点,A为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点,则MF⊥NF.

10、过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF⊥NF.

b2x0x2y2

11、AB是双曲线221(a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M(x0,y0)为AB的中点,则KOMKAB2

abay0KAB

b2x0

2

ay0

,即

x0xy0yx02y02x2y2

22212、若P0(x0,y0)在双曲线221(a>0,b>0)内,则被Po所平分的中点弦的方程是2abababx2y2x2y2x0xy0y

2. 13、若P0(x0,y0)在双曲线221(a>0,b>0)内,则过Po的弦中点的轨迹方程是222

ababab

【推论】:

.

x2y2

1、双曲线221(a>0,b>0)的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0),与y轴平行的直线交双曲线于P

abx2y2

点的轨迹方程是221.

ab

1、2

P时A1P1与A2P2交

x2y2

2、过双曲线221(a>0,b>o)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点,则直线BC有定

ab

向且kBC

b2x02

ay0

(常数).

x2y2

3、若P为双曲线221(a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F, F

ab

1

2

是焦点, PF1F2, PF2F1,

caca

tancot(或tancot). ca22ca22

1

2

12

x2y24、设双曲线221(a>0,b>0)的两个焦点为F、F,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点,在△PFF中,记F1PF2,

ab

PF1F2,F1F2P,则有

sinc

e.

(sinsin)a

1

2

x2y2

5、若双曲线221(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F、F,左准线为L,则当1<e

1时,可在双曲线上求一点

ab

P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

- 7 -

x2y2

6、P为双曲线221(a>0,b>0)上任一点,F,F为二焦点,A为双曲线内一定点,则|AF2|2a|PA||PF1|,当

ab

1

2

且仅当

A,F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时,等号成立.

x2y222222

7、双曲线221(a>0,b>0)与直线AxByC0有公共点的充要条件是AaBbC.

abx2y2

8、已知双曲线221(b>a >0),O为坐标原点,P、Q为双曲线上两动点,且OPOQ.

ab1111

(1)

|OP|2|OQ|2a2b2

4a2b2a2b2

;(2)|OP|+|OQ|的最小值为2;(3)SOPQ的最小值是2.

ba2ba2

2

2

x2y2

9、过双曲线221(a>0,b>0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则

ab|PF|e

.

|MN|2

x2y2

10、已知双曲线221(a>0,b>0),A、B是双曲线上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0), 则

aba2b2

x0

a

a2b2

或x0

a

.

x2y2

11、设P点是双曲线221(a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,F、F为其焦点记F1PF2ab

1

2

,则

2b2(1)|PF1||PF2|

1cos

.(2) SPFF

12

b2cot

2

.

x2y2

PAB12、设A、B是双曲线221(a>0,b>0)的长轴两端点,P是双曲线上的一点,

ab

, PBA,BPA,

2ab2|cos|

c、e分别是双曲线的半焦距离心率,则有(1)|PA|.

|a2c2cos2|

(2) tantan

1e

2

.(3) SPAB

2a2b22cot2ba

.

x2y2

13、已知双曲线221(a>0,b>0)的右准线l与x轴相交于点E,过双曲线右焦点F

ab

点C在右准线l上,且BC

的直线与双曲线相交于A、B两点,

x轴,则直线AC经过线段EF 的中点.

14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16、双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17、双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.

- 8 -

18双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 八、抛物线的常用结论:

4acb2b

). ①aybycx顶点(

4a2a

2

②y22px(p0)则焦点半径PFxP;x22py(p0)则焦点半径为PFyP.

2

2

③通径为2p,这是过焦点的所有弦中最短的.

x2pt2x2pt

④y2px(或x2py)的参数方程为(或)(t为参数).

2

y2pty2pt

2

2

- 9 -

圆锥曲线的性质对比

- 10 -

范文二:圆锥曲线(知识点)

圆锥曲线

一、椭圆

(一)定义:(Ⅰ)若F1,F2是两定点,P为动点,且PF1PF22aF1F2 (a为常数)则P点的轨迹是椭圆.

P到F1的距离与到定直线l的距离之比为常l(Ⅱ)若F1为定点,为定直线,动点数e(0

(二)图形:

(三)性质:

x2y2x2y2

标准方程:221 (ab0) 或 221(ab0).

baab

范围:-a#xa, -b#yb.

长轴长:2a 短轴长:2b 焦距:2c . 对称性:关于轴x对称;关于y轴对称;关于原点对称.

a,0),(0,b) 顶点坐标:(北

焦点坐标:(?c,0),c离心率:e

2

a2-b2

ce1时,椭圆越扁;e0时,椭圆越趋近于圆. aa2

准线方程:x.

c

焦半径:PF1ac等(注意涉及焦半径1aex0,PF2aex0,acPF

①用点P坐标表示,②第一定义.).

2b2通径:过焦点且垂直于焦点轴的弦(过焦点的最短弦)为.

a

注意:(1)图中线段的几何特征:A1F1A2F2ac,A1F2A2F1ac,

B1F1B1F2B2F2B2F1a ,A2B2A1B2

点与准线距离、焦点与准线距离分别与a,b,c有关.

a2b2等等.顶

2c,PF2、

(2)PF、三角形面积公式将有关线段PF11F2中经常利用余弦定理...........

有关角F1PF2结合起来,建立PF1

+PF2、PF1

PF2等关系.

ìïx=acos

(3)椭圆的参数方程:ï.椭圆上的点有时常用到(acos,bsin) í

ïy=bsinïî

(4)注意题目中椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上,请补充当焦点在y轴上时,其

22

相应的性质.中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆方程可设为Ax+Bx=1.

二、双曲线

(一)定义:(Ⅰ)若F1,F2是两定点,PF1PF22aF1F2(a为常数),

则动点P的轨迹是双曲线.

(Ⅱ)若动点P到定点F则动1与定直线l的距离之比是常数e(e>1),点P的轨迹是双曲线.

(二)图形:

(三)性质:

x2y2y2x2

标准方程:221 (a0,b0) 221 (a

0,b0)

abab

范围:x³a或 x£a; yÎR;

实轴长:2a,虚轴长:2b;焦距:2c .

对称性:关于轴x对称;关于y轴对称;关于原点对称. 顶点坐标:(±a,0) 焦点坐标:(?c,0),c2离心率:e

a2+b2

ce越大,双a曲线越开阔.

a2

准线方程:x.

c

焦半径:通径:过焦点且垂直于焦点轴的弦(过焦点且弦的两个端点在同一支上的最短

2b2

弦)为.

a

注意:(1)图中线段的几何特征:AF1BF2ca,AF2BF1ac;

a2a2a2a2

或a或c 顶点到准线的距离:a;焦点到准线的距离:c; cccc2a2

两准线间的距离=.

c

x2y2x2y2b

(2)若双曲线方程为221渐近线方程:220yx;

aabab

xyx2y2b

若渐近线方程为yx0双曲线可设为22;

abaab

x2y2x2y2

若双曲线与221有公共渐近线,可设为22.

abab

(0,焦点在x轴上,0,焦点在y轴上).

22

双曲线x2-y2=1,(a>0,b>0)的焦点到渐近线的距离为b.

ab

(3)特别地当ab时离心率e

2两渐近线互相垂直,分别为y=?x,

此时双曲线为等轴双曲线,可设为x2y2.

关线段PF1

(4)注意PF1F2中结合定义PF1PF22a与余弦定理cosF1PF2,将有

、PF2、F1F2

2

和角结合起来.

2

(5)完成当焦点在y轴上时,标准方程及相应性质.中心在原点,坐标轴为对称

轴的双曲线方程可设为Ax+Bx=1.

三、抛物线

(一)定义:到定点F与定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线(定点不在定直线

上).

即:到定点F的距离与到定直线l的距离之比是常数e(e=1).

(二)图形:

(三)性质: 标准方程:

y22px,(p0),p焦参数;

范围:x澄0,yR. 对称性:关于轴x对称; 顶点坐标:(0,0)

p

焦点: (,0) ,通径AB2p;

2

p

准线方程: x;

2ppp

焦半径:CF=x0+,过焦点弦长CDx1x2x1x2p

222

p

注意:(1)几何特征:焦点到顶点的距离=;焦点到准线的距离=p;通径长=2p

2

顶点是焦点向准线所作垂线段中点.

2y0

(2)抛物线y2px上的动点可设为P(,y0)或P(2pt2,2pt)或P(x0,y0)其中

2p

2y0=2px0.

2

四、直线与圆锥曲线的位置关系

1.直线与圆锥曲线的位置关系,从几何角度可分为三类:无公共点,仅有一个公共点及有两个相异公共点.

2.直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究.因为方程组解的个数与交点的个数是一样的.

位置关系判断:△法(△适用对象是二次方程,二次项系数不为0).

其中直线和双曲线只有一个公共点,包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种情形;后一种情形下,消元后关于x或y方程的二次项系数为0.

直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情况;后一种情形下,消元后关于x或y方程的二次项系数为0.

3.当涉及到弦的中点时,通常有两种处理方法:一是韦达定理;二是点差法. 计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式.

4.一般地,若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB,A,B两点分别为A(x1y1),B(x2,y2),则弦长

AB=

x2

x1=

11

yy(1)[(y1y2)24y1y2],这里体现了解析几何“设而不2122kk

求”的解题思想.

5.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考,一是建立函数,用求值域的方法求范围;二是建立不等式,通过解不等式求范围. 

范文三:圆锥曲线知识点

平面解析几何总结

一、直线

1、直线的倾斜角:一条直线向上的方向与X轴的正方向所成的最小正角。 2、范围 0

3、直线的斜率:当倾斜角不是90时,倾斜角的正切值。ktan(

2

)

4、直线的斜率公式:设P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2

) ky2y1

x 2x1

5、直线的倾斜角和斜率关系:(如右图)

0

2

;k0;单调增;

2

,k0;单调增 6、直线的方程

(1)点斜式:yy1k(xx1) ⑵、斜截式:ykxb (3)两点式:

yy1xx1

y

⑷、截距式:xy2y1x2x1

ab1 ⑸、一般式:AxByC0(A2B20)

⑹、参数式: xx1tcos

yy1

tsin(t为参数)参数t几何意义:定点到动点的向量

7、直线的位置关系的判定(相交、平行、重合)

l1:yk1xb1;l2:yk2xb2 l1:A1xBy1C10,l2:A2xB2yC20

平行:k1k2且b1b2

A1B1CA

1

C 2B22相交:kkA112

A

B1

2B2

重合:k1k2且b1b2

A1AB1C1 2B2C2

垂直:k1k21 A1A2B1B20

P(x0,y0)到l1:AxByC0的距离d

平行线间距离:l1:AxByC10 l2:AxByC20 d9、简单线性规划(确定可行域,求最优解,建立数学模型)

⑴、

目标函数:要求在一定条件下求极大值或极小值问题的函数。用关于变量是

一次不等式(等式)表示的条件较线性约束条件。 ⑵、

线性规划:求线性目标函数在线性的约束条件下的最值问题

10、直线系:具有某种公共属性的直线的集合。

(1)同斜率的直线系方程:ykxb(k为定值,b为变量) (2)共截距的直线系方程:ykxb(b为定值,k为变量)

(3)平行线束:与AxByC0平行的直线系:AxBym0(m为变量) (4)垂直线束:与AxByC0垂直的直线系:BxAym0(m为变量)

(5)过直线l1:A1xB1yC10和l2:A2xB2yC20交点的直线系方程:

A1xB1yC(A2xB2yC2)0或A2xB2yC2(A1xB1yC1)0 (不包含l1)

(适用于证明恒过定点问题) 二、轨迹问题

(一)求轨迹的步骤

1、建模:设点建立适当的坐标系,设曲线上任一点p(x,y) 2、立式:写出适条件的p点的集合

3、代换:用坐标表示集合列出方程式f(x,y)=0 4、化简:化成简单形式,并找出限制条件 5、证明:以方程的解为坐标的点在曲线上 (二)求轨迹的方法

1、直接法:求谁设谁,按五步去直接求出轨迹

2、定义法:利用已知或几何图形关系找到符合圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义 3、转移代入法:适用于一个动点随另一曲线上的动点变化问题

4、交轨法:适用于求两条动直线交点的轨迹问题。用一个变量分别表示两条动直线,

5、参数法:用一个变量分别表示所求轨迹上任一点的横坐标和纵坐标,联立消参。 6、同一法:利用两种思维分别求出同一条直线,再参考参数法,找到轨迹方程。 三、圆

1、定义:平面内与定点距离等于定长的点的集合叫圆 2、圆的方程

1)特殊式:x2y2r2

圆心(0,0)半径r 2)标准式:(xa)2(yb)2r2

3)一般式:x2y2DxEyF0(D2E24F0)圆心(D2,E2

) 半径

4)参数式:xar

cos

brsin(为参数)圆心(a,b)半径为r

y 3、点与圆的位置关系:设点到圆心距离为d,圆的半径为r

点在圆外d>r 点在圆上d=r 点在圆内d

4、直线与圆的位置关系:直线l:AxByC0 圆C(xa)2(yb)2r2 线心距d

相交0或dr 5、圆的切线求法

1)切点(x0,y0)已知

x2y2r2 切线xxyyr2

(xa)2

(yb2) 2r 切线(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2

x2y2DxEyF0 切线xx0xy0x

y0yD

2E0y

2

F0 满足规律:x2xy2yx0xyy

0x、0y、x2、y02

2)切线斜率k已知时,

x2y2r 2 切线ykx(xa)2(yb)2r

2 切线ybk(xa) 6、圆的切线长:自圆外一点P(x0,y0)引圆外切线,切点为P,则

PP7、切点弦方程:过圆外一点p(x0,y0)引圆x2y2r2的两条切线,过切点的直线即切点弦x0xy0yr2(其推到过程逆向思维的运用)

8、圆与圆的位置关系:设两圆圆心距离为d,半径分别为r1,r2 1)外离::dr1r2 2)外切:dr1r2 3)相交:r1r2dr1r2 4)内切:dr1r2 5)内含:dr1r2

圆与圆位置关系的判定中,不能简单的应用联立方程求根

当有两个根时候,肯定两圆相交;当没有根时候,不能确定是外离还是内含;当有且只有一个根时候,也不能确定是外切和内切

9、公共弦方程(相交弦):相交两圆C1:x2y2D1xE1yF10、

C2:x2y2D2xE2yF20公共弦方程(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0 10、(1)过直线l:AxByC0与圆C:x2y2DxEyF0的交点的圆系方程:

x2y2DxEyF(AxByC)0()简记为Cl0

(2)过两圆C1:x2y2D1xE1yF10,C2:x2y2D2xE2yF20交点的圆系方程:x2y2

1Dx1Ey1

(F2

x2

2yD2)x2

0E(y简F1记)为

C1C20

椭圆:平面内到两定点距离之和等于定长(定长大于两定点间距离)的点的集合

1、定义:PFPFc

1PF22a(2aF1F2) 第二定义:dea

(0e1) 、标准方程:x2y2y2ab1(ab0) 或 x2

222a2b

21(ab0);

3、参数方程xacos

ybsin (为参数)几何意义:离心角

4、几何性质:(只给出焦点在x轴上的的椭圆的几何性质) ①、顶点(a,0),(0,b) ②、焦点(c,0) ③、离心率e

c

a

(0e1) ④准线:xa2

c

(课改后对准线不再要求,但题目中偶尔给出)

5、焦点三角形面积:S2PF1F2btan

2

(设F1PF2)(推导过程必须会)

6、直线与椭圆位置关系:相离(0);相交(0);相切(0) 判定方法:直线方程与椭圆方程联立,利用判别式判断根的个数 7、椭圆切线的求法

1)切点(xx2y2

xxyy0y0)已知时,a2b21(ab0) 切线0a20b21

y2x2

yyxxa2b

21(ab0) 切线0a20b21

x22)切线斜率k已知时, y2

221(

ab0) 切线ykxab

22

ya2xb

21(ab0) 切线ykx x2y2

a2b21(ab0) rae0x(左加右减)

y2a2

a2b

21(ab0) rae0y(下加上减)

五、双曲线

1、定义:PF1PF22a 第二定义:

PFdec

a

(e1) x2ay2

2、标准方程:2b

21(a0,b0)(焦点在x轴)

y2x2

a2b2

1(a0,b0)(焦点在y轴) 参数方程:xasec

ybtan (为参数) 用法:可设曲线上任一点P(asec,btan)

3、几何性质 ① 顶点(a,0)

② 焦点(c,0) c2a2b2

③ 离心率e

c<' ;%ވZh8HE' ;%ވZhxa2

④c

x2y2bx2y2

⑤ 渐近线 a2b

21(a0,b0) yax或a

2b20

y2x2a2b2

1(a0,b0) yby2x2

ax或a2b20

4、特殊双曲线

①、等轴双曲线x2ay2

2a

21 e 渐近线yx

x2y2x2y2

②、双曲线a2b

21的共轭双曲线a2b21

性质1:双曲线与其共轭双曲线有共同渐近线

性质2:双曲线与其共轭双曲线的四个焦点在同一圆上 5、直线与双曲线的位置关系

① 相离(0);② 相切(0); ③ 相交(0) 判定直线与双曲线位置关系需要与渐近线联系一起 0时可以是相交也可以是相切 6、双曲线切线的求法

① 切点P(xx2y2

xxyy0,y0)已知 a2b21(a0,b0) 切线0a20b21

y2x2

yyxxa2b

21(a0,b0) 切线0a20b21

② 切线斜率K已知 x2y2a2b21

ykxkba) y2x2a2b

21 ykxkba) 8、焦点三角形面积:SPF1F2b2cot

2

(为F1PF2)

六、抛物线

1、定义:平面内与一定点和一定直线的距离相等的点的集合(轨迹) 2、几何性质:P几何意义:焦准距 焦点到准线的距离设为P

标准方程:y22px(p0) y22px(p0 )

图 像:

范 围: x0 x0 对 称 轴: x轴 x轴 顶 点: (0,0) (0,0)

焦 点: (p2

,0) (p

2,0)

准 线: xp2 xp

2

标准方程:x22py(p0) x22py(p0 )图 像:

范 围: y0 y0 对 称 轴: y轴 y轴

定 点: (0,0) (0,0)

焦 点: (0,p2) (0,p

2

)

离 心 率: e1 e1

准 线: yp2 yp

2

x2pt2

3、参数方程2pt(t为参数方程)y22px(p0)

y4、通径:过焦点且垂直于对称轴的弦

椭圆:双曲线通径长2b2

a

抛物线通径长2P

5、直线与抛物线的位置关系

1)相交(有两个交点或一个交点) 2)相切(有一个交点); 3)相离(没有交点) 6、抛物线切线的求法

1)切点P(x0,y0)已知:y22px(p0)的切线;y0yp(xx0) 此类公式填空选择或解答题中(部分)可作公式直接应用

ykxb与曲线交与两点A、B则

dABxy2x2y

附加:弦长公式:

范文四:圆锥曲线知识点

圆锥曲线知识点回顾

1.椭圆的性质

2.双曲线的性质

3.抛物线中的常用结论

①过抛物线y2=2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p

②设A(x1,y), 1B(x2,y2)是抛物线y2=2px上的两点, 则AB过F的充要条件是y1y2=-p2

③设A, B是抛物线y2=2px上的两点,O为原点, 则OA⊥OB的充要条件是直线AB恒过定点(2p,0)

(4).圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义

与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线,定点叫做焦点,定直线叫做准线、常数叫做离心率,用e表示,当0<e<1时,是椭圆,当e>1时,是双曲线,当e=1时,是抛物线. 4.直线与圆锥曲线的位置关系:(在这里我们把圆包括进来)

(1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的

a.直线与圆:一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法),也可以利用方程实根的个数来判断(解析法).

b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程,判断相交、相切、相离 c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性 (2).a.求弦所在的直线方程

b.根据其它条件求圆锥曲线方程

(3).已知一点A坐标,一直线与圆锥曲线交于两点P、Q,且中点为A,求P、Q所在的直线方程

(4).已知一直线方程,某圆锥曲线上存在两点关于直线对称,求某个值的取值范围(或者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对称) 5.二次曲线在高考中的应用

二次曲线在高考数学中占有十分重要的地位,是高考的重点、热点和难点。通过以二次曲线为载体,与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合,结合数学思想方法,并与高等数学基础知识融为一体,考查学生的数学思维能力及创新能力,其设问形式新颖、有趣、综合性很强。本文关注近年部分省的高考二次曲线问题,给予较深入的剖析,这对形成高三复习的新的教学理念将有着积极的促进作用。

(1).重视二次曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。 (2).重视二次曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。 (3).重视二次曲线性质与数列的有机结合。 (4).重视解析几何与立体几何的有机结合。

6.知识网络

圆锥曲线——椭圆、曲线、直线—定义—标准方程

性质:对称性、焦点、顶点、 离率、准线、焦半径等

范文五:高中重点知识点圆锥曲线的解题技巧

 高中重点知识点圆锥曲线的解题技巧

一、考查目标:

1、熟练掌握三大曲线的定义和性质;

2、能够处理圆锥曲线的相关轨迹问题;

3、能够处理圆锥曲线的相关定值、最值问题。

二、相关知识考查:

1、准确理解基本概念(如直线的倾斜角、斜率、距离等,也要注意斜率的存在与否)

2、熟练掌握基本公式(如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角

3、熟练掌握求直线方程的方法(如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况等等)

4、在解决直线与圆的位置关系问题中,要善于运用圆的几何性质以减少运算

5、了解线性规划的意义及简单应用

6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算

7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法(如:定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何

8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法,能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题

三、常规七大题型:

(1)中点弦问题

具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法):设曲线上两点为

及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论),消去四个参数。 ,代入方程,然

如:(1)与直线相交于A、B,设弦AB中点为,则有。

(2) (3)

(2)焦点三角形问题 与直线相交于A、B,设弦AB中点为与直线相交于A、B设弦AB中点为,则有,则有,即.

椭圆或双曲线上一点P,与两个焦点构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭桥。

(3)直线与圆锥曲线位置关系问题

直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关注意数形结合的思想,通过图形的直观性帮助分析解决问题,如果直线过椭圆的焦点,结合三大曲线的定义去解

(4)圆锥曲线的相关最值(范围)问题

圆锥曲线中的有关最值(范围)问题,常用代数法和几何法解决。

若命题的条件和结论具有明显的几何意义,一般可用图形性质来解决。

若命题的条件和结论体现明确的函数关系式,则可建立目标函数(通常利用二次函数,三角函数,均值不

可以设法得到关于a的不等式,通过解不等式求出a的范围,即:“求范围,找不等式”。或者将a表示为的值域求出a的范围;对于首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数,然后再求它的最大值,即:“最值

最值问题的处理思路:

1、建立目标函数。用坐标表示距离,用方程消参转化为一元二次函数的最值问题,关键是由方程求x、y的范

2、数形结合,用化曲为直的转化思想;

3、利用判别式,对于二次函数求最值,往往由条件建立二次方程,用判别式求最值;

4、借助均值不等式求最值。

(5)求曲线的方程问题

1.曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。

2.曲线的形状未知-----求轨迹方程

(6)存在两点关于直线对称问题

在曲线上两点关于某直线对称问题,可以按如下方式分三步解决:求两点所在的直线,求这两直线的交点,然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决)

(7)两线段垂直问题

圆锥曲线两焦半径互相垂直问题,常用来处理或用向量的坐标运算来处理。

四、解题的技巧方面:

在教学中,学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上,如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理不求”的策略,往往能够减少计算量。下面举例说明:

(1)充分利用几何图形

解析几何的研究对象就是几何图形及其性质,所以在处理解析几何问题时,除了运用代数方程外,充分挖掘几何往往能减少计算量。

(2) 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略

我们经常设出弦的端点坐标而不求它,而是结合韦达定理求解,这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。

(3) 充分利用曲线系方程

利用曲线系方程可以避免求曲线的交点,因此也可以减少计算。

(4)充分利用椭圆的参数方程

椭圆的参数方程涉及到正、余弦,利用正、余弦的有界性,可以解决相关的求最值的问题.这也是我们常说的三

(5)线段长的几种简便计算方法

① 充分利用现成结果,减少运算过程

一般地,求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是:把直线方程代入圆锥曲线方程中,得到型的两根设为,判别式为△,则,若直接用结论,能减少配方② 结合图形的特殊位置关系,减少运算

在求过圆锥曲线焦点的弦长时,由于圆锥曲线的定义都涉及焦点,结合图形运用圆锥曲线的定义,可回避复杂③ 利用圆锥曲线的定义,把到焦点的距离转化为到准线的距离

范文六:高中数学第八章圆锥曲线知识点

高中数学第八章-圆锥曲线方程 考试内容:

椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质. 考试要求:

(1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,了解椭圆的参数方程. (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. (4)了解圆锥曲线的初步应用. §08. 圆锥曲线方程 知识要点 一、椭圆方程.

1. 椭圆方程的第一定义:

PF1PF22aF1F2方程为椭圆,PF1PF22aF1F2无轨迹,

PF1PF22aF1F2F1,F2为端点的线段

⑴①椭圆的标准方程:

i. 中心在原点,焦点在x轴上:

y2a2

x2b2

1(ab0).

x2a

2

y2b

2

1(ab0).

ii. 中心在原点,焦点在y轴上:

2

②一般方程:AxBy1(A0,B0).③椭圆的标准参数方程:

2

x2a

2

y2b

2

1的参数方程为

xacos

(一象限应是属于0). 

2ybsin

⑵①顶点:(a,0)(0,b)或(0,a)(b,0).②轴:对称轴:x轴,y轴;长轴长2a,短轴长2b.

③焦点:(c,0)(c,0)或(0,c)(0,c).④焦距:F1F22c,cab

a2cy.⑥离心率:e(0e1).⑦焦点半径:

ca

22

a2

.⑤准线:x或

c

i. 设P(x0,y0)为椭圆

x2a

2

y2b

2

PF1a1(ab0)上的一点,F1,F2 ex0,PF2aex0

由椭圆方程的第二定义可以推出. ii.设P(x0,y0)为椭圆

x2b

2

y2a

2

PF11(ab0)上的一点,F1,F2 aey0,PF2aey0

由椭圆方程的第二定义可以推出.

由椭圆第二定义可知:pF1e(x0a)aex0(x00),pF2e(ax0)ex0a(x00)归结起来为

c

c

2

2

“左加右减”.

注意:椭圆参数方程的推导:得N(acos,bsin)方程的轨迹为椭圆. ⑧通径:垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标:d⑶共离心率的椭圆系的方程:椭圆

x2a2

y2b2

2b2a2

b2b2

(c,)和(c,)

aa

1(ab0)的离心率是e

c

(ca2b2),方a

x2a2

y2b2

t(t是大于0的参数,ab0)的离心率也是e

c

我们称此方程为共离心率的a

椭圆系方程. ⑸若P是椭圆:b2tan

x2a

2

y2b

2

1上的点.F1,F2为焦点,若F1PF2,则PF1F2的面积为

2

(用余弦定理与PF1PF22a可得). 若是双曲线,则面积为b2cot

2

.

二、双曲线方程.

1. 双曲线的第一定义:

PF1PF22aF1F2方程为双曲线PF1PF22aF1F2无轨迹

),asin)

PF1PF22aF1F2F1,F2的一个端点的一条射线

⑴①双曲线标准方程:Ax2Cy21(AC0).

x2a2

y2b2

1(a,b0),

y2a2

x2b2

1(a,b0). 一般方程:

⑵①i. 焦点在x轴上:

a2xy

顶点:(a,0),(a,0) 焦点:(c,0),(c,0) 准线方程x 渐近线方程:0或

cab

x2a2

y2b2

0

a2

ii. 焦点在y轴上:顶点:(0,a),(0,a). 焦点:(0,c),(0,c). 准线方程:y. 渐近线

c

xasecxbtany2x2yx

方程:0或220,参数方程:或 .

ababybtanyasec

②轴x,y为对称轴,实轴长为2a, 虚轴长为2b,焦距2c. ③离心率e

c

. ④准线距a

2a22b2c

(两准线的距离);通径. ⑤参数关系c2a2b2,e. ⑥焦点半径公式:对于双caa

曲线方程

x2a2

y2b2

1(F1,F2分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)

“长加短减”原则: MF1ex0aMF2ex0a

构成满足MF1MF22a

MF1ex0aMF2ex0a

(与椭圆焦半径不同,椭圆焦半径

MF1ey0aMF2ey0aMF1ey0a

MF2ey0a

⑶等轴双曲线:双曲线x2y2a2称为等轴双曲线,其渐近线方程为yx,离心率e2.

⑷共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭

x2y2x2y2x2y2

双曲线.22与22互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线:220.

ababab⑸共渐近线的双曲线系方程:渐近线为

x2a

2

y2b

2

(0)的渐近线方程为

x2

y2

x2a

2

y22

0如果双曲线的

xy

0时,它的双曲线方程可设为22(0). abab

11

x且过p(3,)22

2

2

例如:若双曲线一条渐近线为y

2

解:令双曲线的方程为:

yx1x

1y2(0),代入(3,)得8224

⑹直线与双曲线的位置关系:

区域①:无切线,2条与渐近线平行的直线,合计2条;

区域②:即定点在双曲线上,1条切线,2条与渐近线平行的直线,合计3条; 区域③:2条切线,2条与渐近线平行的直线,合计4条;

区域④:即定点在渐近线上且非原点,1条切线,1条与渐近线平行的直线,合计2条; 区域⑤:即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线.

小结:过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.

(2)若直线与双曲线一支有交点,交点为二个时,求确定直线的斜率可用代入法与渐近线“”求交和两根之和与两根之积同号. ⑺若P在双曲线离比为m︰n.

PF1

x2a

2

y2b

2

1,则常用结论1:P到焦点的距离为m = n,则P到两准线的距

简证:

d1me = . d2PF2n

e

常用结论2:从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.

三、抛物线方程.

3. 设p0,抛物线的标准方程、类型及其几何性质:

2

4acb2b

). 注:①aybycx顶点(

4a2a

②y22px(p0)则焦点半径PFxP;x22py(p0)则焦点半径为PFyP.

2

2

③通径为2p,这是过焦点的所有弦中最短的.

x2pt2x2pt

④y2px(或x2py)的参数方程为(或)(t为参数). 2

y2pty2pt

2

2

四、圆锥曲线的统一定义..

4. 圆锥曲线的统一定义:平面内到定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹. 当0e1时,轨迹为椭圆; 当e1时,轨迹为抛物线; 当e1时,轨迹为双曲线;

c

当e0时,轨迹为圆(e,当c0,ab时).

a5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如:椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.

因为具有对称性,所以欲证AB=CD, 即证AD与BC的中点重合即可.

1. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质. 2. 等轴双曲线 3. 共轭双曲线

5. 方程y2=ax与x2=ay的焦点坐标及准线方程. 6.共渐近线的双曲线系方程.

范文七:高中数学圆锥曲线知识点

高中数学之圆锥曲线

一、椭圆方程.

PF1PF22aF1F2方程为椭圆,

1. 椭圆方程的第一定义:

PF1PF22aF1F2无轨迹,

PF1PF22aF1F2F1,F2为端点的线段

2

⑴①椭圆的标准方程:i. 中心在原点,焦点在x轴上:x

a2

22

y2b2x2b

2

1(ab0). 1(ab0).

ii. 中心在原点,焦点在y轴上:y

a

②一般方程:Ax2By21(A0,B0).

x2

y2b2

xacos

(一象限应是属于0). 1的参数方程为

2ybsin

a2

⑵①顶点:(a,0)(0,b)或(0,a)(b,0).

②轴:对称轴:x轴,y轴;长轴长2a,短轴长2b. ③焦点:(c,0)(c,0)或(0,c)(0,c). ④焦距:F1F22c,ca2b2. ⑤准线:x⑥离心率:e⑦焦点半径:

a2c

或y

a2c

.

ca

(0e1).

椭圆

1(ab0)焦半径公式 b2a2a2

PF1e(x),PF2e(x).

cc

a2

x2a

x2

2

x2y2

椭圆的的内外部 (1)点P(x0,y0)在椭圆(2)点P(x0,y0)在椭圆椭圆的切线方程 (1)椭圆

x2a

2



y2by2b2

2

1(ab0)的内部1(ab0)的外部

2x0

a2x0

2



2y0

b2y0b2

2

1. 1.

a2a2

y2bx2

22

1(ab0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是y2b

2

x0xa

2

y0yb

2

1.

(2)过椭圆方程是

x0xa

2

ay0y

1(ab0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦

(3)椭圆

bx2a

2

2

1. y2b

2

1(ab0)

与直线

AxByC0

相切的条件是

A2a2B2b2c2.

⑧通径:垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标:d⑶共离心率的椭圆系的方程:椭圆程

x2a2

y2b2

x2a

2

2b2a

2

(c,

b2a

)和(c,

b2a

)

y2b

2

1(ab0)的离心率是e

ca

(ca2b2),方

t(t是大于0的参数,ab0)的离心率也是e

ca

我们称此方程为共离心率的

椭圆系方程. (4)若P是椭圆:

b2tan

x2a

2

y2b

2

1上的点.F1,F2为焦点,若F1PF2,则PF1F2的面积为

2

(用余弦定理与PF1PF22a可得). 若是双曲线,则面积为b2cot

2

.

二、双曲线方程.

PF1PF22aF1F2方程为双曲线

1. 双曲线的第一定义:

PF1PF22aF1F2无轨迹

PF1PF22aF1F2F1,F2的一个端点的一条射线

⑴①双曲线标准方程:

x2a

2

y2b

2

1(a,b0),

y2a

2

x2b

2

1(a,b0)

.

一般方程:Ax2Cy21(AC0).

⑵①i. 焦点在x轴上:

顶点:(a,0),(a,0) 焦点:(c,0),(c,0) 准线方程x

x2a

2

a2c

x

a

yb

0或

y2b

2

0

ii. 焦点在y轴上:

1.顶点:(0,a),(0,a). 焦点:(0,c),(0,c). 准线方程:y

yaxb0或

y2a2

x2b2

a2c

. 渐近线方程:

xasec

0,参数方程:

ybtan

或

xbtanyasec

.

②轴x,y为对称轴,实轴长为2a, 虚轴长为2b,焦距2c. ③离心率e④通径

2b2a

ca

.

.

ca

⑤参数关系c2a2b2,e. ⑥焦点半径公式: 双曲线

x2a

2

y2b

2

1(a0,b0)的焦半径公式

PF1|e(x

a2c

)|,PF2|e(

x2a2x2a

2

a2cy2b2y2b

2

x)|.

2x0

2y0

双曲线的内外部

(1)点P(x0,y0)在双曲线(2)点P(x0,y0)在双曲线

x2a

2



1(a0,b0)的内部1(a0,b0)的外部

x2a

2

a22x0a2



b22y0b2

1. 1.

双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1)若双曲线方程为

ba

y2b

2

1渐近线方程:

y2b

2

0yx2a2

y2b2

ba

x.

(2)若渐近线方程为y (3)若双曲线与

x2a

2

x

xa

yb

0双曲线可设为

x2a

2

.

y2b

2

1有公共渐近线,可设为

y2b

2

(0,焦点在

x轴上,0,焦点在y轴上). 双曲线的切线方程 (1)双曲线

x2a

2

y2bx2a

2

1(a0,b0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是y2b

2

x0xa

2

y0yb

2

1

(2)过双曲线是

x0xa

2

2

1(a0,b0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程

y0yb

2

1.

x2a

2

y2b

2

(3)双曲线1(a0,b0)与直线AxByC0相切的条件是

A2a2B2b2c2

⑶等轴双曲线:双曲线x2y2a2称为等轴双曲线,其渐近线方程为yx,离心率e

2

.

x2a2

y2b2

x2a

2

⑷共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲线.渐近线:

x2a2

y2b2



y2b

2



互为共轭双曲线,它们具有共同的

0.

x2a2

y2b2

(0)的渐近线方程为

x2a

2

⑸共渐近线的双曲线系方程:曲线的渐近线为

xayb

x2a2

y2b2

0如果双

0时,它的双曲线方程可设为

y2b

2

(0).

例如:若双曲线一条渐近线为y解:令双曲线的方程为:

x24

2

1

1

x且过p(3,),求双曲线的方程? 22

1

x2

y2

1. y(0),代入(3,)得

822

⑺若P在双曲线

x2a2

y2b2

1,则常用结论

1:从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.

三、抛物线方程.

3. 设p0,抛物线的标准方程、类型及其几何性质:

注:①ay

2

bycx

4acb2

4a

b2a

顶点().

②抛物线y22px的焦半径公式 抛物线y22px(p0)焦半径CFx0过焦点弦长CDx1

p2x2

p2

p2

.

x1x2p. y

2

抛物线y22px上的动点可设为P(

y22px.

2p

,y)或P(2pt2,2pt)或 P(x,y),其中

二次函数yaxbxca(x坐标为(是y

b,4acb2

2

b2a

)

2

4acb2

4a

(a0)的图象是抛物线:(1)顶点

2a4a

4acb21

4a

);(2)焦点的坐标为(

b2a

,

4acb21

4a

);(3)准线方程

.

抛物线的内外部

(1)点P(x0,y0)在抛物线y22px(p0)的内部y22px(p0). 点P(x0,y0)在抛物线y22px(p0)的外部y22px(p0). (2)点P(x0,y0)在抛物线y22px(p0)的内部y22px(p0). 点P(x0,y0)在抛物线y22px(p0)的外部y22px(p0). (3)点P(x0,y0)在抛物线x22py(p0)的内部x22py(p0). 点P(x0,y0)在抛物线x22py(p0)的外部x22py(p0). (4) 点P(x0,y0)在抛物线x22py(p0)的内部x22py(p0). 点P(x0,y0)在抛物线x22py(p0)的外部x22py(p0). 抛物线的切线方程

(1)抛物线y22px上一点P(x0,y0)处的切线方程是y0yp(xx0). (2)过抛物线y22px外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是y0yp(xx0).

(3)抛物线y22px(p0)与直线AxByC0相切的条件是pB22AC.

③通径为2p,这是过焦点的所有弦中最短的.

x2pt2

④y2px(或x2py)的参数方程为

y2pt

2

2

(或

x2pt

2

y2pt

)(t为参数).

四、圆锥曲线的统一定义..

4. 圆锥曲线的统一定义:平面内到定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹.

当0e1时,轨迹为椭圆;当e1时,轨迹为抛物线;当e1时,轨迹为双曲线;当e0时,轨迹为圆(e

ca

,当c0,ab时).

5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如:椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.因为具有对称性,所以欲证AB=CD, 即证AD与BC的中点重合即可.

直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB

AB

|x1x2||y1y2|(弦端点

A(x1,y1),B(x2,y2),由方程

ykxbF(x,y)0

消去y得到ax2bxc0,0,为

直线AB的倾斜角,k为直线的斜率)

范文八:高中数学圆锥曲线的知识点总结

高考数学圆锥曲线部分知识点梳理

一、方程的曲线:

在平面直角坐标系中,如果某曲线C (看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程

f(x,y)0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的

点都是曲线上的点,那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线.

C上f(x0,y0)0;点P点与曲线的关系:若曲线C的方程是f(x,y)0,则点P0(x0,y0)在曲线0(x0,y0)

不在曲线C上f(x0,y0)0.

两条曲线的交点:若曲线C1,C2的方程分别为f1(x,y)0,f2(x,y)0,则点P0(x0,y0)是C1,C2的交点

{

f1(x0,y0)0f2(x0,y0)0

方程组有n个不同的实数解,两条曲线就有n个不同的交点;方程组没有实数解,曲线就没

有交点. 二、圆:

1、定义:点集{M|OMr},其中定点O为圆心,定长r为半径.

2、方程:(1)标准方程:圆心在C(a,b),半径为r的圆方程是(xa)2(yb)2r2 圆心在坐标原点,半径为r的圆方程是x2y2r2

22

(2)一般方程:①当DE4F0时,一元二次方程xyDxEyF0叫做圆的一般方程,圆心为

2

2

DE22(

,)半径是. 配方,将方程xyDxEyF0化为222

D2E2D2E24F(x)(y)

224

②当DE4F0时,方程表示一个点(

2

2

22

DE

,) 22

③当DE4F0时,方程不表示任何图形.

(3)点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y0),则|MC|r 点M在圆C内,|MC|r点M在圆C上,|MC|r点M在圆C

外,其中|MC| (4)直线和圆的位置关系:①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系:直线与圆相交有两个公共点;直线与圆相切有一个公共点;直线与圆相离没有公共点.

②直线和圆的位置关系的判定:(i)判别式法;(ii)利用圆心C(a,b)到直线AxByC0的距离

d

AaBbCAB

2

2

与半径r的大小关系来判定.

三、圆锥曲线的统一定义:

平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数则动点的轨迹叫做圆锥曲线. 其中定点F(c,0)称为焦点,定直线l称为准线,正常数e称为离心率. 当e(e0),

0e1时,轨迹为椭圆;当e1时,轨迹为抛物线;当e1时,轨迹为双曲线.

【备注1】双曲线:

(1)等轴双曲线:双曲线x2y2a2称为等轴双曲线,其渐近线方程为yx,离心率e2.

x2y2

(2)共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲线. 22

ab

x2y2x2y2

与22互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线:220.

abab

(3)x2a

2

x2

a2

y2b2

(0)的渐近线方程为

x2a2

y2b2

0;如果双曲线的渐近线为

xy

0ab

时,它的双曲线方程可设为【备注2】抛物线:

y2b

2

(0).

(1)抛物线y22px(p0)的焦点坐标是pp

,0),准线方程x y22px(p0)22

的焦点坐标是(

ppp

,0),准线方程xx22py(p0)的焦点坐标是222

程y

ppp

x22py(p0)的焦点坐标是y

222

(2)抛物线y22px(p0)上的点M(x0,y0)与焦点M的距离MFx0

p

; 2

pp,顶点到准线的距离,22

(3)设抛物线的标准方程为y22px(p0),则抛物线的焦点到其顶点的距离为焦点到准线的距离为p. 五、坐标的变换:

(1)坐标变换:在解析几何中,把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换. 实施坐标变换时,点的位置,曲线的形状、大小、位置都不改变,仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.

(2)坐标轴的平移:坐标轴的方向和长度单位不改变,只改变原点的位置,这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移,简称移轴.

(3)坐标轴的平移公式:设平面内任意一点M,它在原坐标系xOy中的坐标是(x,y),在新坐标系xOy中的坐标是(x,y). 设新坐标系的原点O在原坐标系xOy中的坐标是(h,k),则 叫做平移(或移轴)公式. 六、椭圆的常用结论:

'

'

'

'''

xx'h

yy'k

P处的外角. 1. 点P处的切线PT平分PF1F2在点

证明:如图,设F1(c,0),F2(c,0),P(x0,y0).

x2y22x2yy'

对椭圆方程221两边求导得,220

abab

b2x0b2x'

y2,kkPTy(x0,y0)

2

ayay0

'

又k1kPF1

y0y

,k2kPF20 x0cx0c

k2(k)b2

tan2tan(PF2F1PTF2)

1kk2cy0b2

同理tan4

cy0

故24

总结:角相等利用和差角的正切值转换成直线斜率,多利用几何方法 补充角平分线定理

x0xy0yx2y2

21. (和圆上点的切线做比较)12. 若P在椭圆上,则过的椭圆的切线方程是 (x,y)P0000222

abab

x2y22x2yy'

解析:对椭圆方程221两边求导得,220

abab

b2x0b2x'

y2,kkPTy(x0,y0)2

ayay0

'

故直线方程为

x0xy0y

21 a2b

总结:常见的求切线的方法

x2y2

3. 若P0作椭圆的两条切线切点为P0(x0,y0)在椭圆221外,则过P12的直线方程是1、P2,则切点弦PPabx0xy0y

21. a2b

补充圆的切线公式:(xa)(x0a)(yb)(y0b)r2 圆的切点弦公式:(xa)(x0a)(yb)(y0b)r2 总结:知识点的对比性记忆

x2y2

4. 椭圆221(ab0)的左右焦点分别为F1、F2,点P为椭圆上任意一点F1PF2,则椭圆的焦

ab

点角形的面积为SF1PF2btan

2

2

.

证明:设PF1m,PF2n,则由余弦定理可得

4c2m2n22mncos

4c2(mn)22mn(cos1)

2b2

mn

1cosSPF1F2

1sinmnsinb2b2tan

21cos2

x2y2

5. 椭圆221(ab0)的焦半径公式|MF1|aex0,,其中

ab

(F1(c,0) ,F2(c,0),M(x0,y0)).

b2x02(cx0a2)2

解析:|MF1|(cx0)y0x02cx0x0b a2a2

2

2

2

2

2

2

|MF1|aex0

同理|MF1|aex0 6.

x2y2b2

AB是椭圆221的不平行于对称轴的弦,M(x0,y0)为AB的中点,则kOMkAB2,即

aba

KAB

b2x0

2.

ay0

2a2k2x02ka2y0b2x0

2x0,k2 解析:设直线方程为yk(xx0)y0,联立可得x1x2

b2a2k2ay0

x0xy0yx02y02x2y2

222; 7. 若P0(x0,y0)在椭圆221内,则被P0所平分的中点弦的方程是2abababx2y2

8、已知椭圆221(ab0),O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且OPOQ. (1)

ab4a2b2a2b2111122

22;(2)|OP||OQ|的最小值为22;(3)SOPQ的最小值是22. 22

abab|OP||OQ|ab

解析: 设直线方程为ykxm,联立可得(akb)x2kmaxamab0

22

2

2

2

2

2

22

a2m2a2b222

,yykxxkm(xx)m可得x1x2 121212222

akbm2a2b2

2由x1x2y1y20 22

1kab

11|OP|2|OQ|2|PQ|2a2b211

2222 222222|OP||OQ||OP||OQ||PQ|dabab

1111|OP|2|OQ|2222

) (2)|OP||OQ|(22)(|OP||OQ|)(22)(

abab2

2

2

4a2b2a2b2

|OP||OQ|2(3)同理可求SOPQ2 22

abab

2

2

七、双曲线的常用结论:

P处的内角. 1、点P处的切线PT平分PF1F2在点

x0xy0yx2y2

21. 12、若P在双曲线上,则过的双曲线的切线方程是(a0,b0)(x,y)P0000

a2ba2b2

x2y2

3、若P0作双曲线的两条切线切点为P0(x0,y0)在双曲线221(a0,b0)外 ,则过P1、P2,则切点弦

ab

PP12的直线方程是

x0xy0y

21. 2ab

x2y2

4、双曲线221(a0,b0)的左右焦点分别为F1、F2,点P为双曲线上任意一点F则双曲1PF2,

ab

线的焦点角形的面积为SF1PF2bcot

2

2

.

x2y2

5、双曲线221(a0,b0)的焦半径公式:(F1(c,0),F2(c,0))当M(x0,y0)在右支上时,

ab

|MF1|ex0a,|MF2|ex0a;当M(x0,y0)在左支上时,|MF1|ex0a,|MF2|ex0a.

b2x0x2y2

6、AB是双曲线221(a0,b0)的不平行于对称轴的弦,M(x0,y0)为AB的中点,则KAB2.

abay0

x0xy0yx02y02x2y2

222. 7、若P0(x0,y0)在双曲线221(a0,b0)内,则被P0所平分的中点弦的方程a2bababx2y2

8、已知双曲线221(ba0),O为坐标原点,P、Q为双曲线上两动点,且OPOQ.

ab4a2b2a2b2111122

22;(2)|OP||OQ|的最小值为2(1);(3)SOPQ的最小值是2. 2222

baba|OP||OQ|ab

八、抛物线的常用结论:

4acb2b

). 1、aybycx顶点(

4a2a

2

2、设AB是过抛物线y2px(p0)的焦点F的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),则

2

p2

,y1y2p2 (1)x1x24

(2)弦长|AB|x1x2p

2p

(为弦AB的倾斜角) 2

sin

解析:(一)设直线为yk(x

p

),代入抛物线方程可得: 2

4k2x2(4pk28p)xp2k20

则x1x2...,x1x2

...

|AB|2p(k21)

k2

(二)利用定义|AB|x1(

pp)x2() 22

(3)

112

 |FA||FB|p

x1x2p11112



pp2p|FA||FB|xxx1x2(x1x2)12

2224

解析:

(4)以弦AB为直径的圆与准线相切

(5)A、O与B在准线上的射影B三点共线,B,O与A点在准线上的射影A三点共线 (6)通径长度为2p

3、y22px(p0)则焦点半径PFxP;x22py(p0)则焦点半径为PFyP.

2

2

'

'

范文九:高中数学圆锥曲线知识点总结

高中数学知识点大全—圆锥曲线

一、考点(限考)概要: 1、椭圆:

(1)轨迹定义:

①定义一:在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆,两定点是焦点,两定点间距离是焦距,且定长2a大于焦距2c

。用集合表示为:

②定义二:在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e,那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点,定直线叫准线,常数e是离心率。

用集合表示为:

(2)标准方程和性质:

注意:当没有明确焦点在个坐标轴上时,所求的标准方程应有两个。

(3)参数方程: 3、双曲线:

(1)轨迹定义:

(θ为参数);

①定义一:在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点

的轨迹是双曲线,两定点是焦点,两定点间距离是焦距。用集合表示为:

②定义二:到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e,那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点,定直线叫准线,常数e是离心率。

用集合表示为:

(2)标准方程和性质:

注意:当没有明确焦点在个坐标轴上时,所求的标准方程应有两个。

4、抛物线:

(1)轨迹定义:在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线,定点是焦点,定直线是准线,定点与定直线间的距离叫焦参数p

。用集合表示为

(2)标准方程和性质:

①焦点坐标的符号与方程符号一致,与准线方程的符号相反; ②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;

③标准方程的顶点在原点,对称轴是坐标轴,有别于一元二次函数的图像; 二、复习点睛:

1、平面解析几何的知识结构:

2、椭圆各参数间的关系请记熟 “六点六线,一个三角形”,即六点:四个顶点,两个焦点;六线:两条准线,长轴短轴,焦点线和垂线PQ;三角形:焦点三角形则椭圆的各性质(除切线外)均可在这个图中找到。

3、椭圆形状与e的关系:当e→0,c→0,椭圆→圆,直至成为极限位置的圆,则认为圆是椭圆在e=0时的特例。当e→1,c→a椭圆变扁,直至成为极限位置的线段此时也可认为是椭圆在e=1时的特例。

4、利用焦半径公式计算焦点弦长:若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB,A、B两点的坐标分别为

,则弦长

这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想。 5、若过椭圆左(或右)焦点的焦点弦为AB

,则

6、结合下图熟记双曲线的:“四点八线,一个三角形”,即:四点:顶点和焦点;八线:实轴、虚轴、准线、渐进线、焦点弦、垂线PQ。三角形:焦点三角形

7、双曲线形状与e的关系:,e越大,即

渐近线的斜率的绝对值就越大,这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知,双曲线的离心率越大,它的开口就越阔。

8、双曲线的焦点到渐近线的距离为b。

9、共轭双曲线:以已知双曲线的实轴为虚轴,虚轴为实轴,这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。区别:三常数a、b、c中a、b不同(互换)c相同,它们共用一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。确定双曲线的共轭双曲线的方法:将1变为-1。

10、过双曲线个公共点的情况如下:

外一点P(x,y)的直线与双曲线只有一

(1)P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;

(2)P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;

(3)P在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;

(4)P为原点时不存在这样的直线;

11、结合图形熟记抛物线:“两点两线,一个直角梯形”,即:两点:顶点和焦点;两线:准线、焦点弦;梯形:直角梯形ABCD。

12

、对于抛物线上 13、抛物线

的点的坐标可设为

的焦点弦(过焦点的弦)为AB

,且

,以简化计算;

,则有如下结论:

14、过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线;

15、处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法:即设

为曲线上不同的两点,

间关系:

是的中点,则可得到弦中点与两点

16、当涉及到弦的中点时,通常有两种处理方法:一是韦达定理,即把直线方程代入曲线方程,消元后,用韦达定理求相关参数(即设而不求);二是点差法,即设出交点坐标,然后把交点坐标代入曲线方程,两式相减后,再求相关参数。在利用点差法时,必须检验条

件△>0是否成立。

5、圆锥曲线:

(1)统一定义,三种圆锥曲线均可看成是这样的点集:其中F为定点,d为点P到定直线的l 距离,

, e为常数,如图。

(2)当0<e<1时,点P的轨迹是椭圆;当e>1时,点P的轨迹是双曲线;当e=1时,点P的轨迹是抛物线。

(3)圆锥曲线的几何性质:几何性质是圆锥曲线内在的、固有的性质,不因为位置的改变而改变。

①定性:焦点在与准线垂直的对称轴上

ⅰ椭圆及双曲线:中心为两焦点中点,两准线关于中心对称; ⅱ椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴为轴对称,关于中心为中心对称;

ⅲ抛物线的对称轴是坐标轴,对称中心是原点。 ②定量:

(4)圆锥曲线的标准方程及解析量(随坐标改变而变) 以焦点在x轴上的方程为例:

6、曲线与方程:

(1)轨迹法求曲线方程的程序: ①建立适当的坐标系;

②设曲线上任一点(动点)M的坐标为(x,y); ③列出符合条件p(M)的方程f(x,y)=0;

④化简方程f(x,y)=0为最简形式;

⑤证明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上;

(2)曲线的交点:

由方程组确定,方程组有几组不同的实数解,两条曲线就有几个公共点;方程组没有实数解,两条曲线就没有公共点。

范文十:高中数学知识点津7空间距离与圆锥曲线

高中数学知识点津7空间距离与圆锥曲线

61. 空间有几种距离?如何求距离?

点与点,点与线,点与面,线与线,线与面,面与面间距离。

将空间距离转化为两点的距离,构造三角形,解三角形求线段的长(如:三垂线定理法,或者用等积转化法)。

如:正方形ABCD—A1B1C1D1中,棱长为a,则: (1)点C到面AB1C1的距离为___________; (2)点B到面ACB1的距离为____________; (3)直线A1D1到面AB1C1的距离为____________; (4)面AB1C与面A1DC1的距离为____________; (5)点B到直线A1C1的距离为_____________。

D C

A

C1

11

62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质? 正棱柱——底面为正多边形的直棱柱

正棱锥——底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面的中心。

正棱锥的计算集中在四个直角三角形中: RtSOB,RtSOE,RtBOE和RtSBE 它们各包含哪些元素? S正棱锥侧 V锥

13

12

C·h'(C——底面周长,h'为斜高)

底面积×高

63. 球有哪些性质?

(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面r

Rd

22

(2)球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此,要找球心角! (3)如图,θ为纬度角,它是线面成角;α为经度角,它是面面成角。

(4)S球4R2,V球

43R

3

(5)球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R:r=3:1。

如:一正四面体的棱长均为积为( ) A.3 答案:A

64. 熟记下列公式了吗?

(1)l直线的倾斜角0,,ktan

y2y1

,x1x2 

x2x12

2,四个顶点都在同一球面上,则此球的表面

B.4C.33D.6

P1x1,y1,P2x2,y2是l上两点,直线l的方向向量a1,k (2)直线方程:

点斜式:yy0kxx0(k存在) 斜截式:ykxb 截距式:

xayb1

一般式:AxByC0(A、B不同时为零) (3)点Px0,y0到直线l:AxByC0的距离d

k2k11k1k2

Ax0By0C

A

2

B

2

(4)l1到l2的到角公式:tan

l1与l2的夹角公式:tan

k2k11k1k2

65. 如何判断两直线平行、垂直?

A1B2A2B1

l1∥l2

A1C2A2C1

k1k2l1∥l2(反之不一定成立) A1A2B1B20l1⊥l2 k1·k21l1⊥l2

66. 怎样判断直线l与圆C的位置关系? 圆心到直线的距离与圆的半径比较。

直线与圆相交时,注意利用圆的“垂径定理”。 67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置?

联立方程组关于x(或y)的一元二次方程“”0相交;0相切;0相离

68. 分清圆锥曲线的定义

椭圆PF1PF22a,2a2cF1F2

第一定义双曲线PF1PF22a,2a2cF1F2

抛物线PFPK

第二定义:e

PFPK

ca

0e1椭圆;e1双曲线;e1抛物线

y

b

x

a

2

c

F1 F x

xa

22

yb

22

1ab0

a2b2c2

xa

22

yb

22

1a0,b0

c2a2b2

69.与双曲线

xa

22

yb

22

1有相同焦点的双曲线系为

xa

22

yb

22

0

70. 在圆锥曲线与直线联立求解时,消元后得到的方程,要注意其二次项系数是否为零?△≥0的限制。(求交点,弦长,中点,斜率,对称存在性问题都在△≥0下进行。) 弦长公式P1P2

1k

2

x1x2

2

4x1x2

121yy124y1y22k

