高中圆锥曲线知识点

高中圆锥曲线知识点

【范文精选】高中圆锥曲线知识点

【范文大全】高中圆锥曲线知识点

【专家解析】高中圆锥曲线知识点

【优秀范文】高中圆锥曲线知识点

范文一:高中数学圆锥曲线圆锥曲线的性质对比+知识点梳理

高考数学圆锥曲线部分知识点梳理

一、方程的曲线:

在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线。

点与曲线的关系:若曲线C的方程是f(x,y)=0,则点P0(x0,y0)在曲线C上f(x0,y 点P0(x0,y0)不在曲线C上f(x0,y0)0)=0;≠0。

两条曲线的交点:若曲线C1,C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点P0(x0,y0)是C1,C2的交点{组有n个不同的实数解,两条曲线就有n个不同的交点;方程组没有实数解,曲线就没有交点。 二、圆:

1、定义:点集{M||OM|=r},其中定点O为圆心,定长r为半径.

2、方程:(1)标准方程:圆心在c(a,b),半径为r的圆方程是(x-a)+(y-b)=r 圆心在坐标原点,半径为r的圆方程是x+y=r

(2)一般方程:①当D+E-4F>0时,一元二次方程x+y+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程,圆心为(

2

2

2

2

2

2

22

2

2

f1(x0,y0)0f2(x0,y0)0

方程

DE

,)半径是22

D2E24F。配方,将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x+

2

2

2

D2

)+(y+

2

E2

22

2

)=DE-4F

4

②当D+E-4F=0时,方程表示一个点(-2

2

D2

,-

E2

);

③当D+E-4F<0时,方程不表示任何图形.

(3)点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y0),则|MC|<r点M在圆C内,|MC|=r点M在圆C上,|MC|>r点M在圆C内,其中|MC|=一个公共点;直线与圆相离没有公共点。

②直线和圆的位置关系的判定:(i)判别式法;(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d小关系来判定。

三、圆锥曲线的统一定义:

平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e(e>0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点,定直线l称为准线,正常数e称为离心率。当0<e<1时,轨迹为椭圆;当e=1时,轨迹为抛物线;当e>1时,轨迹为双曲线。

(x0-a)2(y0-b)2

(4)直线和圆的位置关系:①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系:直线与圆相交有两个公共点;直线与圆相切有

AaBbCAB

2

2

与半径r的大

- 1 -

- 2 -

【备注1】双曲线:

⑶等轴双曲线:双曲线x2y2a2称为等轴双曲线,其渐近线方程为yx,离心率e2.

x2y2x2y2

⑷共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲线.22与22

abab

互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线:

x2a2

y2b2

0.

x2a2

y2b2

⑸共渐近线的双曲线系方程:

x2a2

y2b2

(0)的渐近线方程为0如果双曲线的渐近线为

xy

0时,它的双曲ab

线方程可设为

x2a2

y2b2

(0).

【备注2】抛物线: (1) 抛物线

y2=2px(p>0)的焦点坐标是(

p2

,0),准线方程x=-

p2

,开口向右;

(2) 抛物线

y2=-2px(p>0)的焦点坐标是(-2

p2

,0),准线方程x=

p2

,开口向左;

(3) 抛物线x=2py(p>0)的焦点坐标是(0,

p2

),准线方程y=-

p2

,开口向上;

(4) 抛物线x=-2py(p>0)的焦点坐标是(0,-

2

p2

),准线方程y=

p

2

,开口向下.

(5)抛物线

y2=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离MFx0

p

x0 2

p2

;抛物线y=-2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的2

距离

MF

(6)设抛物线的标准方程为p.

(7)已知过抛物线

y2=2px(p>0),则抛物线的焦点到其顶点的距离为

p2

,顶点到准线的距离

p2

,焦点到准线的距离为

y2=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A、B两点,则线段AB称为焦点弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长

2p

AB

sin2

AB=x1x2+p或

五、坐标的变换:

p2p

,AFx1(AF为直线AB的倾斜角),y1y2p,x1x242

2

叫做焦半径).

(1)坐标变换:在解析几何中,把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时,点的位置,曲线的形状、大小、位置都不改变,仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.

(2)坐标轴的平移:坐标轴的方向和长度单位不改变,只改变原点的位置,这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移,简称移轴。 (3)坐标轴的平移公式:设平面内任意一点M,它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y),在新坐标系x ′O′y′中的坐标是(x

'

,y').

- 3 -

设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)

,则叫做平移(或移轴)公式.

(4)中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表:

xx'hyy'k

或x'xhy'yk

1. 2. 3. 4.

点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

PT平分△PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

5.

x0xy0yx2y2

21. 1若P在椭圆上,则过的椭圆的切线方程是(x,y)P0000

a2ba2b2

x0xy0yx2y2

21. 1若P在椭圆外,则过作椭圆的两条切线切点为P、P,则切点弦PP的直线方程是P(x,y)0000

a2ba2b2

1

2

12

6.

7.

x2y2

椭圆221 (a>b>0)的左右焦点分别为F,F

ab

1

2

,点P为椭圆上任意一点F1PF2

,则椭圆的焦点角形的面积

为SFPF

1

2

b2tan

2

.

- 4 -

8. 9.

x2y2

椭圆221(a>b>0)的焦半径公式|MF1|aex0,|MF2|aex0(F1(c,0) ,F2(c,0)M(x0,y0)).

ab

设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、

N两点,则MF⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF⊥NF. 11.

x2y2b2

AB是椭圆221的不平行于对称轴的弦,M(x0,y0)为AB的中点,则kOMkAB2

aba

,即KAB

b2x0

2

ay0

12.

x0xy0yx02y02x2y2

222若P0(x0,y0)在椭圆221内,则被Po所平分的中点弦的方程是a2babab

【推论】:

x2y2x2y2x0xy0yx2y2

2。椭圆221(a>b1、若P0(x0,y0)在椭圆221内,则过Po的弦中点的轨迹方程是22

aba2babab

>o)的两个顶点为

A1(a,0),A2(a,0),与y轴平行的直线交椭圆于P

1、2

x2y2

P时AP与AP交点的轨迹方程是221.

ab

11

22

x2y2

2、过椭圆221 (a>0, b>0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点,则直线BC有定向且

ab

kBC

b2x0

2ay0

(常数).

x2y2

3、若P为椭圆221(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F, F

ab

1

2

是焦点, PF1F2, PF2F1,则

actancot. ac22

x2y2

4、设椭圆221(a>b>0)的两个焦点为F、F,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在△PFF中,记F1PF2,

ab

1

2

12

PF1F2,F1F2P,则有

sinc

e.

sinsina

1

2

x2y2

5、若椭圆221(a>b>0)的左、右焦点分别为F、F,左准线为L,则当0<e

1时,可在椭圆上求一点P,使

ab

得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

x2y2

6、P为椭圆221(a>b>0)上任一点,F,F为二焦点,A为椭圆内一定点,则2a|AF2||PA||PF1|2a|AF1|,

ab

1

2

当且仅当

A,F2,P三点共线时,等号成立.

(xx0)2(yy0)222222

1AxByC07、椭圆与直线有公共点的充要条件是. AaBb(AxByC)0022

abx2y21111

8、已知椭圆221(a>b>0),O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且OPOQ.(1ab|OP|2|OQ|2a2b2

- 5 -

;

4a2b2

(2)|OP|+|OQ|的最大值为2

ab2

2

2a2b2

;(3)SOPQ的最小值是2

ab2

.

x2y2|PF|e

9、过椭圆221(a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则.

ab|MN|2x2y2

10、已知椭圆221( a>b>0) ,A、B、是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0), 则

aba2b2a2b2

x0

aa

.

x2y2

11、设P点是椭圆221( a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F、F为其焦点记F1PF2ab

1

2

,则

2b2(1)|PF1||PF2|

1cos

.(2) SPFF

12

b2tan

2

.

x2y2

12、设A、B是椭圆221( a>b>0)的长轴两端点,P是椭圆上的一点,PAB

ab

, PBA,BPA,

.

2ab2|cos|

c、e分别是椭圆的半焦距离心率,则有(1)|PA|2

ac2cos2

.(2) tantan1e

2

.(3) SPAB

2a2b22cotba2

x2y2

13、已知椭圆221( a>b>0)的右准线l与x轴相交于点E,过椭圆右焦点F

ab

右准线l上,且BC

的直线与椭圆相交于A、B两点,点C在

x轴,则直线AC经过线段EF 的中点.

14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 七、双曲线的常用结论:

1、点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

2、PT平分△PF1F2在点P处的内角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4、以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P在右支;外切:P在左支)

x0xy0yx2y2

21. 15、若P在双曲线(a>0,b>0)上,则过的双曲线的切线方程是(x,y)P0000222

abab

x2y2

6、若P0(x0,y0)在双曲线221(a>0,b>0)外 ,则过Po作双曲线的两条切线切点为P、P,则切点弦PP的直线方

ab

1

2

12

程是

x0xy0y

21. a2b

1

2

x2y2

7、双曲线221(a>0,b>o)的左右焦点分别为F,F,点P为双曲线上任意一点F1PF2ab

,则双曲线的焦点角形

- 6 -

的面积为SFPF

1

2

b2cot

2

.

x2y2

8、双曲线221(a>0,b>o)的焦半径公式:(F1(c,0) , F2(c,0))当M(x0,y0)在右支上时,

ab

|MF1|ex0a,|MF2|ex0a;当M(x0,y0)在左支上时,|MF1|ex0a,|MF2|ex0a。

9、设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点,A为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点,则MF⊥NF.

10、过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF⊥NF.

b2x0x2y2

11、AB是双曲线221(a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M(x0,y0)为AB的中点,则KOMKAB2

abay0KAB

b2x0

2

ay0

,即

x0xy0yx02y02x2y2

22212、若P0(x0,y0)在双曲线221(a>0,b>0)内,则被Po所平分的中点弦的方程是2abababx2y2x2y2x0xy0y

2. 13、若P0(x0,y0)在双曲线221(a>0,b>0)内,则过Po的弦中点的轨迹方程是222

ababab

【推论】:

.

x2y2

1、双曲线221(a>0,b>0)的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0),与y轴平行的直线交双曲线于P

abx2y2

点的轨迹方程是221.

ab

1、2

P时A1P1与A2P2交

x2y2

2、过双曲线221(a>0,b>o)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点,则直线BC有定

ab

向且kBC

b2x02

ay0

(常数).

x2y2

3、若P为双曲线221(a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F, F

ab

1

2

是焦点, PF1F2, PF2F1,

caca

tancot(或tancot). ca22ca22

1

2

12

x2y24、设双曲线221(a>0,b>0)的两个焦点为F、F,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点,在△PFF中,记F1PF2,

ab

PF1F2,F1F2P,则有

sinc

e.

(sinsin)a

1

2

x2y2

5、若双曲线221(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F、F,左准线为L,则当1<e

1时,可在双曲线上求一点

ab

P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

- 7 -

x2y2

6、P为双曲线221(a>0,b>0)上任一点,F,F为二焦点,A为双曲线内一定点,则|AF2|2a|PA||PF1|,当

ab

1

2

且仅当

A,F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时,等号成立.

x2y222222

7、双曲线221(a>0,b>0)与直线AxByC0有公共点的充要条件是AaBbC.

abx2y2

8、已知双曲线221(b>a >0),O为坐标原点,P、Q为双曲线上两动点,且OPOQ.

ab1111

(1)

|OP|2|OQ|2a2b2

4a2b2a2b2

;(2)|OP|+|OQ|的最小值为2;(3)SOPQ的最小值是2.

ba2ba2

2

2

x2y2

9、过双曲线221(a>0,b>0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则

ab|PF|e

.

|MN|2

x2y2

10、已知双曲线221(a>0,b>0),A、B是双曲线上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0), 则

aba2b2

x0

a

a2b2

或x0

a

.

x2y2

11、设P点是双曲线221(a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,F、F为其焦点记F1PF2ab

1

2

,则

2b2(1)|PF1||PF2|

1cos

.(2) SPFF

12

b2cot

2

.

x2y2

PAB12、设A、B是双曲线221(a>0,b>0)的长轴两端点,P是双曲线上的一点,

ab

, PBA,BPA,

2ab2|cos|

c、e分别是双曲线的半焦距离心率,则有(1)|PA|.

|a2c2cos2|

(2) tantan

1e

2

.(3) SPAB

2a2b22cot2ba

.

x2y2

13、已知双曲线221(a>0,b>0)的右准线l与x轴相交于点E,过双曲线右焦点F

ab

点C在右准线l上,且BC

的直线与双曲线相交于A、B两点,

x轴,则直线AC经过线段EF 的中点.

14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16、双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17、双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.

- 8 -

18双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 八、抛物线的常用结论:

4acb2b

). ①aybycx顶点(

4a2a

2

②y22px(p0)则焦点半径PFxP;x22py(p0)则焦点半径为PFyP.

2

2

③通径为2p,这是过焦点的所有弦中最短的.

x2pt2x2pt

④y2px(或x2py)的参数方程为(或)(t为参数).

2

y2pty2pt

2

2

- 9 -

圆锥曲线的性质对比

- 10 -

范文二:圆锥曲线(知识点)

圆锥曲线

一、椭圆

(一)定义:(Ⅰ)若F1,F2是两定点,P为动点,且PF1PF22aF1F2 (a为常数)则P点的轨迹是椭圆.

P到F1的距离与到定直线l的距离之比为常l(Ⅱ)若F1为定点,为定直线,动点数e(0

(二)图形:

(三)性质:

x2y2x2y2

标准方程:221 (ab0) 或 221(ab0).

baab

范围:-a#xa, -b#yb.

长轴长:2a 短轴长:2b 焦距:2c . 对称性:关于轴x对称;关于y轴对称;关于原点对称.

a,0),(0,b) 顶点坐标:(北

焦点坐标:(?c,0),c离心率:e

2

a2-b2

ce1时,椭圆越扁;e0时,椭圆越趋近于圆. aa2

准线方程:x.

c

焦半径:PF1ac等(注意涉及焦半径1aex0,PF2aex0,acPF

①用点P坐标表示,②第一定义.).

2b2通径:过焦点且垂直于焦点轴的弦(过焦点的最短弦)为.

a

注意:(1)图中线段的几何特征:A1F1A2F2ac,A1F2A2F1ac,

B1F1B1F2B2F2B2F1a ,A2B2A1B2

点与准线距离、焦点与准线距离分别与a,b,c有关.

a2b2等等.顶

2c,PF2、

(2)PF、三角形面积公式将有关线段PF11F2中经常利用余弦定理...........

有关角F1PF2结合起来,建立PF1

+PF2、PF1

PF2等关系.

ìïx=acos

(3)椭圆的参数方程:ï.椭圆上的点有时常用到(acos,bsin) í

ïy=bsinïî

(4)注意题目中椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上,请补充当焦点在y轴上时,其

22

相应的性质.中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆方程可设为Ax+Bx=1.

二、双曲线

(一)定义:(Ⅰ)若F1,F2是两定点,PF1PF22aF1F2(a为常数),

则动点P的轨迹是双曲线.

(Ⅱ)若动点P到定点F则动1与定直线l的距离之比是常数e(e>1),点P的轨迹是双曲线.

(二)图形:

(三)性质:

x2y2y2x2

标准方程:221 (a0,b0) 221 (a

0,b0)

abab

范围:x³a或 x£a; yÎR;

实轴长:2a,虚轴长:2b;焦距:2c .

对称性:关于轴x对称;关于y轴对称;关于原点对称. 顶点坐标:(±a,0) 焦点坐标:(?c,0),c2离心率:e

a2+b2

ce越大,双a曲线越开阔.

a2

准线方程:x.

c

焦半径:通径:过焦点且垂直于焦点轴的弦(过焦点且弦的两个端点在同一支上的最短

2b2

弦)为.

a

注意:(1)图中线段的几何特征:AF1BF2ca,AF2BF1ac;

a2a2a2a2

或a或c 顶点到准线的距离:a;焦点到准线的距离:c; cccc2a2

两准线间的距离=.

c

x2y2x2y2b

(2)若双曲线方程为221渐近线方程:220yx;

aabab

xyx2y2b

若渐近线方程为yx0双曲线可设为22;

abaab

x2y2x2y2

若双曲线与221有公共渐近线,可设为22.

abab

(0,焦点在x轴上,0,焦点在y轴上).

22

双曲线x2-y2=1,(a>0,b>0)的焦点到渐近线的距离为b.

ab

(3)特别地当ab时离心率e

2两渐近线互相垂直,分别为y=?x,

此时双曲线为等轴双曲线,可设为x2y2.

关线段PF1

(4)注意PF1F2中结合定义PF1PF22a与余弦定理cosF1PF2,将有

、PF2、F1F2

2

和角结合起来.

2

(5)完成当焦点在y轴上时,标准方程及相应性质.中心在原点,坐标轴为对称

轴的双曲线方程可设为Ax+Bx=1.

三、抛物线

(一)定义:到定点F与定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线(定点不在定直线

上).

即:到定点F的距离与到定直线l的距离之比是常数e(e=1).

(二)图形:

(三)性质: 标准方程:

y22px,(p0),p焦参数;

范围:x澄0,yR. 对称性:关于轴x对称; 顶点坐标:(0,0)

p

焦点: (,0) ,通径AB2p;

2

p

准线方程: x;

2ppp

焦半径:CF=x0+,过焦点弦长CDx1x2x1x2p

222

p

注意:(1)几何特征:焦点到顶点的距离=;焦点到准线的距离=p;通径长=2p

2

顶点是焦点向准线所作垂线段中点.

2y0

(2)抛物线y2px上的动点可设为P(,y0)或P(2pt2,2pt)或P(x0,y0)其中

2p

2y0=2px0.

2

四、直线与圆锥曲线的位置关系

1.直线与圆锥曲线的位置关系,从几何角度可分为三类:无公共点,仅有一个公共点及有两个相异公共点.

2.直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究.因为方程组解的个数与交点的个数是一样的.

位置关系判断:△法(△适用对象是二次方程,二次项系数不为0).

其中直线和双曲线只有一个公共点,包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种情形;后一种情形下,消元后关于x或y方程的二次项系数为0.

直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情况;后一种情形下,消元后关于x或y方程的二次项系数为0.

3.当涉及到弦的中点时,通常有两种处理方法:一是韦达定理;二是点差法. 计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式.

4.一般地,若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB,A,B两点分别为A(x1y1),B(x2,y2),则弦长

AB=

x2

x1=

11

yy(1)[(y1y2)24y1y2],这里体现了解析几何“设而不2122kk

求”的解题思想.

5.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考,一是建立函数,用求值域的方法求范围;二是建立不等式,通过解不等式求范围. 

范文三:圆锥曲线知识点

平面解析几何总结

一、直线

1、直线的倾斜角:一条直线向上的方向与X轴的正方向所成的最小正角。 2、范围 0

3、直线的斜率:当倾斜角不是90时,倾斜角的正切值。ktan(

2

)

4、直线的斜率公式:设P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2

) ky2y1

x 2x1

5、直线的倾斜角和斜率关系:(如右图)

0

2

;k0;单调增;

2

,k0;单调增 6、直线的方程

(1)点斜式:yy1k(xx1) ⑵、斜截式:ykxb (3)两点式:

yy1xx1

y

⑷、截距式:xy2y1x2x1

ab1 ⑸、一般式:AxByC0(A2B20)

⑹、参数式: xx1tcos

yy1

tsin(t为参数)参数t几何意义:定点到动点的向量

7、直线的位置关系的判定(相交、平行、重合)

l1:yk1xb1;l2:yk2xb2 l1:A1xBy1C10,l2:A2xB2yC20

平行:k1k2且b1b2

A1B1CA

1

C 2B22相交:kkA112

A

B1

2B2

重合:k1k2且b1b2

A1AB1C1 2B2C2

垂直:k1k21 A1A2B1B20

P(x0,y0)到l1:AxByC0的距离d

平行线间距离:l1:AxByC10 l2:AxByC20 d9、简单线性规划(确定可行域,求最优解,建立数学模型)

⑴、

目标函数:要求在一定条件下求极大值或极小值问题的函数。用关于变量是

一次不等式(等式)表示的条件较线性约束条件。 ⑵、

线性规划:求线性目标函数在线性的约束条件下的最值问题

10、直线系:具有某种公共属性的直线的集合。

(1)同斜率的直线系方程:ykxb(k为定值,b为变量) (2)共截距的直线系方程:ykxb(b为定值,k为变量)

(3)平行线束:与AxByC0平行的直线系:AxBym0(m为变量) (4)垂直线束:与AxByC0垂直的直线系:BxAym0(m为变量)

(5)过直线l1:A1xB1yC10和l2:A2xB2yC20交点的直线系方程:

A1xB1yC(A2xB2yC2)0或A2xB2yC2(A1xB1yC1)0 (不包含l1)

(适用于证明恒过定点问题) 二、轨迹问题

(一)求轨迹的步骤

1、建模:设点建立适当的坐标系,设曲线上任一点p(x,y) 2、立式:写出适条件的p点的集合

3、代换:用坐标表示集合列出方程式f(x,y)=0 4、化简:化成简单形式,并找出限制条件 5、证明:以方程的解为坐标的点在曲线上 (二)求轨迹的方法

1、直接法:求谁设谁,按五步去直接求出轨迹

2、定义法:利用已知或几何图形关系找到符合圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义 3、转移代入法:适用于一个动点随另一曲线上的动点变化问题

4、交轨法:适用于求两条动直线交点的轨迹问题。用一个变量分别表示两条动直线,

5、参数法:用一个变量分别表示所求轨迹上任一点的横坐标和纵坐标,联立消参。 6、同一法:利用两种思维分别求出同一条直线,再参考参数法,找到轨迹方程。 三、圆

1、定义:平面内与定点距离等于定长的点的集合叫圆 2、圆的方程

1)特殊式:x2y2r2

圆心(0,0)半径r 2)标准式:(xa)2(yb)2r2

3)一般式:x2y2DxEyF0(D2E24F0)圆心(D2,E2

) 半径

4)参数式:xar

cos

brsin(为参数)圆心(a,b)半径为r

y 3、点与圆的位置关系:设点到圆心距离为d,圆的半径为r

点在圆外d>r 点在圆上d=r 点在圆内d

4、直线与圆的位置关系:直线l:AxByC0 圆C(xa)2(yb)2r2 线心距d

相交0或dr 5、圆的切线求法

1)切点(x0,y0)已知

x2y2r2 切线xxyyr2

(xa)2

(yb2) 2r 切线(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2

x2y2DxEyF0 切线xx0xy0x

y0yD

2E0y

2

F0 满足规律:x2xy2yx0xyy

0x、0y、x2、y02

2)切线斜率k已知时,

x2y2r 2 切线ykx(xa)2(yb)2r

2 切线ybk(xa) 6、圆的切线长:自圆外一点P(x0,y0)引圆外切线,切点为P,则

PP7、切点弦方程:过圆外一点p(x0,y0)引圆x2y2r2的两条切线,过切点的直线即切点弦x0xy0yr2(其推到过程逆向思维的运用)

8、圆与圆的位置关系:设两圆圆心距离为d,半径分别为r1,r2 1)外离::dr1r2 2)外切:dr1r2 3)相交:r1r2dr1r2 4)内切:dr1r2 5)内含:dr1r2

圆与圆位置关系的判定中,不能简单的应用联立方程求根

当有两个根时候,肯定两圆相交;当没有根时候,不能确定是外离还是内含;当有且只有一个根时候,也不能确定是外切和内切

9、公共弦方程(相交弦):相交两圆C1:x2y2D1xE1yF10、

C2:x2y2D2xE2yF20公共弦方程(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0 10、(1)过直线l:AxByC0与圆C:x2y2DxEyF0的交点的圆系方程:

x2y2DxEyF(AxByC)0()简记为Cl0

(2)过两圆C1:x2y2D1xE1yF10,C2:x2y2D2xE2yF20交点的圆系方程:x2y2

1Dx1Ey1

(F2

x2

2yD2)x2

0E(y简F1记)为

C1C20

椭圆:平面内到两定点距离之和等于定长(定长大于两定点间距离)的点的集合

1、定义:PFPFc

1PF22a(2aF1F2) 第二定义:dea

(0e1) 、标准方程:x2y2y2ab1(ab0) 或 x2

222a2b

21(ab0);

3、参数方程xacos

ybsin (为参数)几何意义:离心角

4、几何性质:(只给出焦点在x轴上的的椭圆的几何性质) ①、顶点(a,0),(0,b) ②、焦点(c,0) ③、离心率e

c

a

(0e1) ④准线:xa2

c

(课改后对准线不再要求,但题目中偶尔给出)

5、焦点三角形面积:S2PF1F2btan

2

(设F1PF2)(推导过程必须会)

6、直线与椭圆位置关系:相离(0);相交(0);相切(0) 判定方法:直线方程与椭圆方程联立,利用判别式判断根的个数 7、椭圆切线的求法

1)切点(xx2y2

xxyy0y0)已知时,a2b21(ab0) 切线0a20b21

y2x2

yyxxa2b

21(ab0) 切线0a20b21

x22)切线斜率k已知时, y2

221(

ab0) 切线ykxab

22

ya2xb

21(ab0) 切线ykx x2y2

a2b21(ab0) rae0x(左加右减)

y2a2

a2b

21(ab0) rae0y(下加上减)

五、双曲线

1、定义:PF1PF22a 第二定义:

PFdec

a

(e1) x2ay2

2、标准方程:2b

21(a0,b0)(焦点在x轴)

y2x2

a2b2

1(a0,b0)(焦点在y轴) 参数方程:xasec

ybtan (为参数) 用法:可设曲线上任一点P(asec,btan)

3、几何性质 ① 顶点(a,0)

② 焦点(c,0) c2a2b2

③ 离心率e

c

a

e1 准线xa2

④c

x2y2bx2y2

⑤ 渐近线 a2b

21(a0,b0) yax或a

2b20

y2x2a2b2

1(a0,b0) yby2x2

ax或a2b20

4、特殊双曲线

①、等轴双曲线x2ay2

2a

21 e 渐近线yx

x2y2x2y2

②、双曲线a2b

21的共轭双曲线a2b21

性质1:双曲线与其共轭双曲线有共同渐近线

性质2:双曲线与其共轭双曲线的四个焦点在同一圆上 5、直线与双曲线的位置关系

① 相离(0);② 相切(0); ③ 相交(0) 判定直线与双曲线位置关系需要与渐近线联系一起 0时可以是相交也可以是相切 6、双曲线切线的求法

① 切点P(xx2y2

xxyy0,y0)已知 a2b21(a0,b0) 切线0a20b21

y2x2

yyxxa2b

21(a0,b0) 切线0a20b21

② 切线斜率K已知 x2y2a2b21

ykxkba) y2x2a2b

21 ykxkba) 8、焦点三角形面积:SPF1F2b2cot

2

(为F1PF2)

六、抛物线

1、定义:平面内与一定点和一定直线的距离相等的点的集合(轨迹) 2、几何性质:P几何意义:焦准距 焦点到准线的距离设为P

标准方程:y22px(p0) y22px(p0 )

图 像:

范 围: x0 x0 对 称 轴: x轴 x轴 顶 点: (0,0) (0,0)

焦 点: (p2

,0) (p

2,0)

准 线: xp2 xp

2

标准方程:x22py(p0) x22py(p0 )图 像:

范 围: y0 y0 对 称 轴: y轴 y轴

定 点: (0,0) (0,0)

焦 点: (0,p2) (0,p

2

)

离 心 率: e1 e1

准 线: yp2 yp

2

x2pt2

3、参数方程2pt(t为参数方程)y22px(p0)

y4、通径:过焦点且垂直于对称轴的弦

椭圆:双曲线通径长2b2

a

抛物线通径长2P

5、直线与抛物线的位置关系

1)相交(有两个交点或一个交点) 2)相切(有一个交点); 3)相离(没有交点) 6、抛物线切线的求法

1)切点P(x0,y0)已知:y22px(p0)的切线;y0yp(xx0) 此类公式填空选择或解答题中(部分)可作公式直接应用

ykxb与曲线交与两点A、B则

dABxy2x2y

附加:弦长公式:

范文四:圆锥曲线知识点

圆锥曲线知识点回顾

1.椭圆的性质

2.双曲线的性质

3.抛物线中的常用结论

①过抛物线y2=2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p

②设A(x1,y), 1B(x2,y2)是抛物线y2=2px上的两点, 则AB过F的充要条件是y1y2=-p2

③设A, B是抛物线y2=2px上的两点,O为原点, 则OA⊥OB的充要条件是直线AB恒过定点(2p,0)

(4).圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义

与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线,定点叫做焦点,定直线叫做准线、常数叫做离心率,用e表示,当0<e<1时,是椭圆,当e>1时,是双曲线,当e=1时,是抛物线. 4.直线与圆锥曲线的位置关系:(在这里我们把圆包括进来)

(1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的

a.直线与圆:一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法),也可以利用方程实根的个数来判断(解析法).

b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程,判断相交、相切、相离 c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性 (2).a.求弦所在的直线方程

b.根据其它条件求圆锥曲线方程

(3).已知一点A坐标,一直线与圆锥曲线交于两点P、Q,且中点为A,求P、Q所在的直线方程

(4).已知一直线方程,某圆锥曲线上存在两点关于直线对称,求某个值的取值范围(或者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对称) 5.二次曲线在高考中的应用

二次曲线在高考数学中占有十分重要的地位,是高考的重点、热点和难点。通过以二次曲线为载体,与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合,结合数学思想方法,并与高等数学基础知识融为一体,考查学生的数学思维能力及创新能力,其设问形式新颖、有趣、综合性很强。本文关注近年部分省的高考二次曲线问题,给予较深入的剖析,这对形成高三复习的新的教学理念将有着积极的促进作用。

(1).重视二次曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。 (2).重视二次曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。 (3).重视二次曲线性质与数列的有机结合。 (4).重视解析几何与立体几何的有机结合。

6.知识网络

圆锥曲线——椭圆、曲线、直线—定义—标准方程

性质:对称性、焦点、顶点、 离率、准线、焦半径等

范文五:圆锥曲线知识点

圆锥曲线知识点

1.圆锥曲线的两个定义:

(1):

椭圆中,与两个定点F1,F2的距离的和等于常数2a,且此常数2a一定要大于F1F2,当常数2a等于F1F2时,轨迹是线段F1F2,当常数2a小于F1F2时,无轨迹;

双曲线中,与两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数2a,且此常数2a一定要小于|F1F2|,定义中的“绝对值”与2a<|F1F2|不可忽视.若2a=|F1F2|,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线,若2a﹥|F1F2|,则轨迹不存在.若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支.

已知定点F1(3,0),F2(3,0),在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是

A.PF1PF24 B.PF1PF26 C.PF1PF210 D.PF1(答:C);

8表示的曲线是_____(答:双曲线的左支) (2“点点距为分子、点线距为分母”,其商即是离心率e.圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用第二定义对它们进行相互转化.

2

PF2

2

12

x2如:已知点Q(2,0)及抛物线y上一动点P(x,y),则y+|PQ|的最小值是_____

4

(答:2)

2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(抛物线为顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程)

x2y2xacos(参数方程,

(1)椭圆:焦点在x轴上时221(ab0)

ybsinaby2x2

其中为参数),焦点在y轴上时22=1(ab0).方程Ax2By2C表示椭圆

ab

的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B,C同号,A≠B).

x2y2

如(1)已知方程1表示椭圆,则k的取值范围为____

3k2k

(答:(3,)

121

; (,2))2

2

2

(2)若x,yR,且3x22y26,则xy的最大值是____,xy的最小值是___)

x2y2y2x2

(2)双曲线:焦点在x22 =1,焦点在y22=1(a0,b0).

abab

方程AxByC表示双曲线的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B异号).

2

2

x2y2如(1)双曲线的离心率等于,且与椭圆1有公共焦点,则该双曲线的方程

942

x2

_______(答:; y21)

4

(2)设中心在坐标原点O,焦点F1、F2在坐标轴上,离心率e

2的双曲线C过点

P(4,),则C的方程为_______(答:x2y26)

(3)抛物线:开口向右时y2px(p0),开口向左时y2px(p0),开口向上时x2py(p0),开口向下时x2py(p0).

3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):

2

2

2

2

(1)椭圆:由x,y

2

2

分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上.

x2y2

如已知方程1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是__(答:

m12m

3

(,1)(1,))

2

(2)双曲线:由x,y

2

2

项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;

椭圆看大小,双曲线看正负

(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向.

特别提醒:(1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点F1,F2的位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数a,b,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向;

(2)在椭圆中,a最大,abc,在双曲线中,c最大,cab.

2

2

2

2

2

2

4.圆锥曲线的几何性质:

x2y2

(1)椭圆(以221(ab0)为例):

ab

①范围:axa,byb; ②焦点:两个焦点(c,0);

③对称性:两条对称轴x0,y0,一个对称中心(0,0),四个顶点(a,0),(0,b),其中长轴长为2a,短轴长为2b;

a2

④准线:两条准线x;

c

⑤离心率:e

c

,椭圆0e1,e越小,椭圆越圆;e越大,椭圆越扁. a

25x2y2如(1)若椭圆,则m的值是__(答:3或); 1的离心率e

35m5

(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为__(答:2)

x2y2

(2)双曲线(以: 1(a0,b0)为例)

a2b2

①范围:xa或xa,yR; ②焦点:两个焦点(c,0);

③对称性:两条对称轴x0,y0,一个对称中心(0,0),两个顶点(a,0),其中实轴长为2a,虚轴长为2b,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为x2y2k,k0;

a2④准线:两条准线x;

c

⑤离心率:e大,开口越大;

⑥两条渐近线:y

c

,双曲线e1,等轴双曲线

ee越小,开口越小,e越a

bx. a

2

如(1)双曲线的渐近线方程是3x2y0,则该双曲线的离心率等于______

); (2)双曲线axby

1a:b2

2

4或

1); 4

x2y2

(3)设双曲线221(a>0,b>0)中,离心率e∈[,2],则两条渐近线夹角θ的

ab

取值范围是________(答:[

2



,]);

32

(3)抛物线(以y2px(p0)为例): ①范围:x0,yR;

②焦点:一个焦点(

p

,0),其中p的几何意义是:焦点到准线的距离; 2

③对称性:一条对称轴y0,没有对称中心,只有一个顶点(0,0); ④准线:一条准线x

p

; 2

⑤离心率:抛物线e1.

如设a0,aR,则抛物线y4ax的焦点坐标为________(答:(0,

2

1

; ))16a

x2y2

5、点P(x0,y0)和椭圆221(ab0)的关系:

ab

22

x0y0

(1)点P(x0,y0)在椭圆外221;

ab

22x0y0

(2)点P(x0,y0)在椭圆上22=1;

ab22x0y0

(3)点P(x0,y0)在椭圆内221

ab

6.直线与圆锥曲线的位置关系: (1)相交:0直线与椭圆相交;

0直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有0,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故0是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件;

0直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有0,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件.

如(1)若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点,则k的取值范围是_______

(答:(-

,-1)); 3

x2y2

(2)直线y―kx―1=0与椭圆则m的取值范围是_______(答:1恒有公共点,

5m

[1,5)∪(5,+∞));

x2y2

(3)过双曲线1的右焦点直线交双曲线于A、B两点,若│AB︱=4,则这

12

样的直线有_____条(答:3);

(2)相切:0直线与椭圆相切;0直线与双曲线相切;0直线与抛物线相切;

(3)相离:0直线与椭圆相离;0直线与双曲线相离;0直线与抛物线相离.

特别提醒:(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交.如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与

x2y2

抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点;(2)过双曲线22=1外一点

abP(x0,y0)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下:①P点在两条渐近线之间且不含双

曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P为原点时不存在这样的直线;(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线.

如(1)过点(2,4)作直线与抛物线y8x只有一个公共点,这样的直线有______(答:

2

2);

x2y2

(2)过点(0,2)与双曲线1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为

916

4______

(答:,; )

33

y2

(3)过双曲线x1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点,若AB4,则满

2

2

足条件的直线l有____条(答:3);

(4)对于抛物线C:y4x,我们称满足y04x0的点M(x0,y0)在抛物线的内部,

2

2

若点M(x0,y0)在抛物线的内部,则直线l:y0y2(xx0)与抛物线C的位置关系是_______(答:相离);

(5)过抛物线y4x的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的

2

长分别是p、q,则

11

; _______(答:1)

pq

x2y2

(6)设双曲线1的右焦点为F,右准线为l,设某直线m交其左支、右支

169

和右准线分别于P,Q,R,则PFR和QFR的大小关系为___________(填大于、小于或等于) (答:等于);

(7)求椭圆7x24y228上的点到直线3x2y160的最短距离

2

2

; (8)直线yax1与双曲线3xy1交于A、B两点.①当a为何值时,A、B分别在双曲线的两支上?②当a为何值时,以AB为直径的圆过坐标原点?(答:

①;②a1);

7、焦半径(圆锥曲线上的点P到焦点F的距离)的计算方法:利用圆锥曲线的第二定义,转化到相应准线的距离,即焦半径red,其中d表示P到与F所对应的准线的距离.

x2y2

如(1)已知椭圆1上一点P到椭圆左焦点的距离为3,则点P到右准线的距

2516

离为____(答:

35); 3

2

(2)已知抛物线方程为y8x,若抛物线上一点到y轴的距离等于5,则它到抛物线的焦点的距离等于____;

(3)若该抛物线上的点M到焦点的距离是4,则点M的坐标为_____(答:; 7,(2,4))

x2y2(4)点P在椭圆1上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点P

259

的横坐标为_______(答:

2

25); 12

(5)抛物线y2x上的两点A、B到焦点的距离和是5,则线段AB的中点到y轴的距离为______(答:2);

x2y2

(6)椭圆1内有一点P(1,1),F为右焦点,在椭圆上有一点M,使

43

MP2MF 之值最小,则点M的坐标为_______(答:(

8、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:

常利用第一定义和正弦、余弦定理求解.设椭圆或双曲线上的一点P(x0,y0)到两焦点

26

; ,1))

3

x2y2

F1,F2的距离分别为r1,r2,焦点F1PF2的面积为S,则在椭圆221中,

ab

2b2

1),且当r1r2即P为短轴端点时,最大为①=arccos(r1r2

max=

b2c2

arccos;

a2

②Sbtan

2

2

c|y0|,当|y0|b即P为短轴端点时,Smax的最大值为bc;

x2y2

对于双曲线221的焦点三角形有:

ab

2b2

①arccos1rr;

12

②S

1

r1r2sinb2cot. 22

2

的椭圆的两焦点为F1、F2,过F1作直线交椭圆于3

如(1)短轴长为,离心率e

A、B两点,则ABF2的周长为________(答:6);

(2)设P是等轴双曲线x2y2a2(a0)右支上一点,F1、F2是左右焦点,若; PF2F1F20,|PF1|=6,则该双曲线的方程为(答:x2y24)

x2y2→→

(3)椭圆PF1

94

P的横坐标的取值范围是

(答:(; )

(4)双曲线的虚轴长为4,离心率e=

,F1、F2是它的左右焦点,若过F1的直线2

与双曲线的左支交于A、B两点,且AB是AF2与BF2等差中项,则AB=__________

(答:;

(5)已知双曲线的离心率为2,F1、F2是左右焦点,P为双曲线上一点,且F1PF260,

SPF1F2

x2y2

123.求该双曲线的标准方程(答:1);

412

9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质: (1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;

(2)设AB为焦点弦, M为准线与x轴的交点,则∠AMF=∠BMF;

(3)设AB为焦点弦,A、B在准线上的射影分别为A1,B1,若P为A1B1的中点,则PA⊥PB;

(4)若AO的延长线交准线于C,则BC平行于x轴,反之,若过B点平行于x轴的

直线交准线于C点,则A,O,C三点共线.

10、弦长公式:若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点A、B,且x1,x2分别为A、B的横坐标,则AB

=1x2,若y1,y2分别为A、B的纵坐标,则AB=

1

1若弦AB所在直线方程设为xkyb,则AB

y1y2.特别y1y2,2

k

地,焦点弦(过焦点的弦):焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解.

如(1)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,那么|AB|等于_______(答:8);

(2)过抛物线y2x焦点的直线交抛物线于A、B两点,已知|AB|=10,O为坐标原

2

点,则ΔABC重心的横坐标为_______(答:3);

11、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.

b2x0x2y2

在椭圆221中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=-2;

ay0abb2x0x2y2

在双曲线221中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=2;

abay0

在抛物线y2px(p0)中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=

2

p

. y0

x2y2

1弦被点A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是 如(1)如果椭圆

369

(答:x2y80);

x2y2

(2)已知直线y=-x+1与椭圆221(ab0)相交于A、B两点,且线段AB

ab

的中点在直线L:x-2y=0上,则此椭圆的离心率为_______

(答:); 2

x2y2(3)试确定m的取值范围,使得椭圆1上有不同的两点关于直线y4xm43

对称

(答:; 1313)



特别提醒:因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验0!

12.你了解下列结论吗?

2222(1)双曲线xy1的渐近线方程为xy0; a2b2a2b2

22byx(2)以yx为渐近线(即与双曲线21共渐近线)的双曲线方程为2aab

x2y2

2(为参数,≠0). 2ab

x2y2如与双曲线且过点(3,2)的双曲线方程为_______(答:1有共同的渐近线,916

4x2y2

1) 94

(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为mxny1; 22

2b2

(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为,焦准距(焦点到相a

b2

应准线的距离)为,抛物线的通径为2p,焦准距为p; c

(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦;

(6)若抛物线y2px(p0)的焦点弦为AB,A(x1,y1),B(x2,y2),则①2

p2

|AB|x1x2p;②x1x2,y1y2p2 4

(7)若OA、OB是过抛物线y2px(p0)顶点O的两条互相垂直的弦,则直线AB恒经过定点(2p,0)

13.动点轨迹方程:

(1)求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围;

(2)求轨迹方程的常用方法:

①直接法:直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y)0;

如已知动点P到定点F(1,0)和直线x3的距离之和等于4,求P的轨迹方程.

(答:y12(x4)(3x4)或y4x(0x3));

②待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数.

如线段AB过x轴正半轴上一点M(m,0)(m0),端点A、B到x轴距离之积为2m,以x轴为对称轴,过A、O、B三点作抛物线,则此抛物线方程为y2x);

③定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程;

如(1)由动点P向圆xy1作两条切线PA、PB,切点分别为A、B,∠APB=600,则动点P的轨迹方程为 (答:xy4); 22222222(2)点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x50的距离小于1,则点M的轨迹方程是_______ (答:y16x); 2

(3) 一动圆与两圆⊙M:xy1和⊙N:xy8x120都外切,则动圆圆心的轨迹为 (答:双曲线的一支); 2222

④代入转移法:动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)的变化而变化,并且Q(x0,y0)又在某已知曲线上,则可先用x,y的代数式表示x0,y0,再将x0,y0代入已知曲线得要求的轨迹方程;

如:动点P是抛物线y2x21上任一点,定点为A(0,1),点M分PA所成的比为2,则M的轨迹方程为__________(答:y6x21); 3

⑤参数法:当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将x,y均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程).

如(1)AB是圆O的直径,且|AB|=2a,M为圆上一动点,作MN⊥AB,垂足为N,在OM上取点P,使|OP||MN|,求点P的轨迹. (答:xya|y|); 22

(2)若点P(x1,y1)在圆xy1上运动,则点Q(x1y1,x1y1)的轨迹方程是____ 22

(答:y2x1(|x|));

(3)过抛物线x4y的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点,则弦2212

AB的中点M的轨迹方程是________

(答:x2y2);

注意:①发,考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化,还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化. 2

x2y2

如已知椭圆221(ab0)的左、右焦点分别是F1(-c,0)、F2(c,0),Qab

是椭圆外的动点,满足|F1|2a.点P是线段F1Q与该椭圆的交点,点T在线段F2Q上,

并且满足TF20,|TF2|0.(1)设x为点P的横坐标,证明|F1|ac(2)x;a求点T的轨迹C的方程;(3)试问:在点T的轨迹C上,是否存在点M,使△F1MF2的面积S=b2.若存在,求∠F1MF2的正切值;若不存在,请说明理由.

b2b2

(答:(1)略;(2)xya;(3)当a时不存在;当a时存在,此时cc222

∠F1MF2=2)

②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.

③在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.

④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”,那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.

14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容:

(1) 给出直线的方向向量u1,k或um,n;

(2)给出与AB相交,等于已知过AB的中点; 

(3)给出0,等于已知P是MN的中点;

(4)给出,等于已知P,Q与AB的中点三点共线;

(5) 给出以下情形之一:①AB//AC;②存在实数,使AC;③若存在实数,,且1,使OCOAOB,等于已知A,B,C三点共线. (6) 给出OAOB为定比,,等于已知P是的定比分点,即 1

(7)给出0,等于已知MAMB,即AMB是直角,给出m0,等于已知AMB是钝角, 给出m0,等于已知AMB是锐角,

(8)

给出,等于已知MP是AMB的平分线/ (9)在平行四边形ABCD中,给出()()0,等于已知ABCD是菱形;

(10) 在平行四边形ABCD中,给出|ABAD||ABAD|,等于已知ABCD是矩形;

(11)在ABC中,给出,等于已知O是ABC的外心(三角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点);

(12) 在ABC中,给出,等于已知O是ABC的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点);

(13)在ABC中,给出,等于已知O是ABC的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点);

(14)在ABC中,给出(222ABAC)(R)等于已知AP通过|AB||AC|

ABC的内心;

(15)在ABC中,给出abc等于已知O是ABC的内心(三角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点);

(16) 在ABC中,给出AD

线;

1ABAC,等于已知AD是ABC中BC边的中2

范文六:高中重点知识点圆锥曲线的解题技巧

 高中重点知识点圆锥曲线的解题技巧

一、考查目标:

1、熟练掌握三大曲线的定义和性质;

2、能够处理圆锥曲线的相关轨迹问题;

3、能够处理圆锥曲线的相关定值、最值问题。

二、相关知识考查:

1、准确理解基本概念(如直线的倾斜角、斜率、距离等,也要注意斜率的存在与否)

2、熟练掌握基本公式(如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角

3、熟练掌握求直线方程的方法(如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况等等)

4、在解决直线与圆的位置关系问题中,要善于运用圆的几何性质以减少运算

5、了解线性规划的意义及简单应用

6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算

7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法(如:定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何

8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法,能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题

三、常规七大题型:

(1)中点弦问题

具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法):设曲线上两点为

及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论),消去四个参数。 ,代入方程,然

如:(1)与直线相交于A、B,设弦AB中点为,则有。

(2) (3)

(2)焦点三角形问题 与直线相交于A、B,设弦AB中点为与直线相交于A、B设弦AB中点为,则有,则有,即.

椭圆或双曲线上一点P,与两个焦点构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭桥。

(3)直线与圆锥曲线位置关系问题

直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关注意数形结合的思想,通过图形的直观性帮助分析解决问题,如果直线过椭圆的焦点,结合三大曲线的定义去解

(4)圆锥曲线的相关最值(范围)问题

圆锥曲线中的有关最值(范围)问题,常用代数法和几何法解决。

若命题的条件和结论具有明显的几何意义,一般可用图形性质来解决。

若命题的条件和结论体现明确的函数关系式,则可建立目标函数(通常利用二次函数,三角函数,均值不

可以设法得到关于a的不等式,通过解不等式求出a的范围,即:“求范围,找不等式”。或者将a表示为的值域求出a的范围;对于首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数,然后再求它的最大值,即:“最值

最值问题的处理思路:

1、建立目标函数。用坐标表示距离,用方程消参转化为一元二次函数的最值问题,关键是由方程求x、y的范

2、数形结合,用化曲为直的转化思想;

3、利用判别式,对于二次函数求最值,往往由条件建立二次方程,用判别式求最值;

4、借助均值不等式求最值。

(5)求曲线的方程问题

1.曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。

2.曲线的形状未知-----求轨迹方程

(6)存在两点关于直线对称问题

在曲线上两点关于某直线对称问题,可以按如下方式分三步解决:求两点所在的直线,求这两直线的交点,然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决)

(7)两线段垂直问题

圆锥曲线两焦半径互相垂直问题,常用来处理或用向量的坐标运算来处理。

四、解题的技巧方面:

在教学中,学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上,如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理不求”的策略,往往能够减少计算量。下面举例说明:

(1)充分利用几何图形

解析几何的研究对象就是几何图形及其性质,所以在处理解析几何问题时,除了运用代数方程外,充分挖掘几何往往能减少计算量。

(2) 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略

我们经常设出弦的端点坐标而不求它,而是结合韦达定理求解,这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。

(3) 充分利用曲线系方程

利用曲线系方程可以避免求曲线的交点,因此也可以减少计算。

(4)充分利用椭圆的参数方程

椭圆的参数方程涉及到正、余弦,利用正、余弦的有界性,可以解决相关的求最值的问题.这也是我们常说的三

(5)线段长的几种简便计算方法

① 充分利用现成结果,减少运算过程

一般地,求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是:把直线方程代入圆锥曲线方程中,得到型的两根设为,判别式为△,则,若直接用结论,能减少配方② 结合图形的特殊位置关系,减少运算

在求过圆锥曲线焦点的弦长时,由于圆锥曲线的定义都涉及焦点,结合图形运用圆锥曲线的定义,可回避复杂③ 利用圆锥曲线的定义,把到焦点的距离转化为到准线的距离

范文七:高中数学知识点大全—圆锥曲线

高中数学知识点大全 圆锥曲线 高中数学知识点大全—圆锥曲线 知识点大全

一、考点(限考)概要: 1、椭圆: (1)轨迹定义: ①定义一: 在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆, 两定点是焦点, 两定点间距离是焦距,且定长 2a 大于焦距 2c。用集合表示为: ; ②定义二:在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数 e,那么这 个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点,定直线叫准线,常数 e 是离心率。

用集合表示为: (2)标准方程和性质:

注意:当没有明确焦点在个坐标轴上时,所求的标准方程应有两个。

(3)参数方程: 3、双曲线: (1)轨迹定义:

(θ 为参数);

①定义一:在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线, 两定点是焦点,两定点间距离是焦距。用集合表示为:

②定义二: 到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数 e, 那么这个点的轨 迹叫做双曲线。其中定点叫焦点,定直线叫准线,常数 e 是离心率。

用集合表示为:

(2)标准方程和性质:

注意:当没有明确焦点在个坐标轴上时,所求的标准方程应有两个。

4、抛物线: (1)轨迹定义:在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线,定点是焦 点,定直线是准线,定点与定直线间的距离叫焦参数 p。用集合表示为

: (2)标准方程和性质:

①焦点坐标的符号与方程符号一致,与准线方程的符号相反; ②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致; ③标准方程的顶点在原点,对称轴是坐标轴,有别于一元二次函数的图像;

二、复习点睛: 1、平面解析几何的知识结构:

2、椭圆各参数间的关系请记熟 “六点六线,一个三角形”,即六点:四个顶点,两个焦点; 六线:两条准线,长轴短轴,焦点线和垂线 PQ;三角形:焦点三角形 各性质(除切线外)均可在这个图中找到。 。则椭圆的

3、椭圆形状与 e 的关系:当 e→0,c→0,椭圆→圆,直至成为极限位置的圆,则认为 圆是椭圆在 e=0 时的特例。当 e→1,c→a 椭圆变扁,直至成为极限位置的线段 也可认为是椭圆在 e=1 时的特例。 ,此时

4、利用焦半径公式计算焦点弦长:若斜率为 k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为 AB,A、 B 两点的坐标分别为 ,则弦长

这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想。 5、若过椭圆左(或右)焦点的焦点弦为 AB,则 ; 6、结合下图熟记双曲线的:“四点八线,一个三角形”,即:四点:顶点和焦点;八线: 实轴、虚轴、准线、渐进线、焦点弦、垂线 PQ。三角形:焦

点三角形 。

7、双曲线形状与 e 的关系:

,e 越大,即渐近线

的斜率的绝对值就越大,这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知,双曲线的离 心率越大,它的开口就越阔。

8、双曲线

的焦点到渐近线的距离为 b。

9、共轭双曲线:以已知双曲线的实轴为虚轴,虚轴为实轴,这样得到的双曲线称为原双 曲线的共轭双曲线。区别:三常数 a、b、c 中 a、b 不同(互换)c 相同,它们共用一对渐近 线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。确定双曲线的共轭双曲线的方法:将 1 变为-1。

10、过双曲线 点的情况如下:

外一点 P(x,y)的直线与双曲线只有一个公共

(1)P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和 分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条; (2)P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和 只与双曲线一支相切的两条切线,共四条; (3)P 在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条 是切线; (4)P 为原点时不存在这样的直线; 11、结合图形熟记抛物线:“两点两线,一个直角梯形”,即:两点:顶点和焦点;两线: 准线、焦点弦;梯形:直角梯形 ABCD。

12、对于抛物线上 13、 抛物线 则有如下结论:

的点的坐标可设为 的焦点弦 (过焦点的弦) AB, 为 且

,以简化计算; ,

14、 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点: 两条切线和一条平行于 对称轴的直线; 15、 处理椭圆、 双曲线、 抛物线的弦中点问题常用代点相减法: 即设

为曲线上不同的两点,

是的中点,则可得到弦中点与两点间关系:

16、当涉及到弦的中点时,通常有两种处理方法:一是韦达定理,即把直线方程代入曲线 方程,消元后,用韦达定理求相关参数(即设而不求);二是点差法,即设出交点坐标,然 后把交点坐标代入曲线方程,两式相减后,再求相关参数。在利用点差法时,必须检验条件 △>0 是否成立。

5、圆锥曲线:

(1)统一定义,三种圆锥曲线均可看成是这样的点集: 为定点,d 为点 P 到定直线的 l 距离, , e 为常数,如图。

,其中 F

(2)当 0<e<1 时,点 P 的轨迹是椭圆;当 e>1 时,点 P 的轨迹是双曲线;当 e=1 时, 点 P 的轨迹是抛物线。 (3)圆锥曲线的几何性质:几何性质是圆锥曲线内在的、固有的性质,不因为位置的 改变而改变。 ①定性:焦点在与准线垂直的对称轴上 ⅰ椭圆及双曲线:中心为两焦点中点,两准线关于中心对称; ⅱ椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴为

轴对称,关于中心为中心对称;

ⅲ抛物线的对称轴是坐标轴,对称中心是原点。 ②定量:

(4)圆锥曲线的标准方程及解析量(随坐标改变而变) 以焦点在 x 轴上的方程为例:

6、曲线与方程: (1)轨迹法求曲线方程的程序:

①建立适当的坐标系; ②设曲线上任一点(动点)M 的坐标为(x,y); ③列出符合条件 p(M)的方程 f(x,y)=0; ④化简方程 f(x,y)=0 为最简形式; ⑤证明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上; (2)曲线的交点:

由方程组

确定, 方程组有几组不同的实数解, 两条曲线就有几个公共点;

方程组没有实数解,两条曲线就没有公共点。 二、复习点睛: 1、圆锥曲线:用不通过圆锥面顶点的平面去截该圆锥面时所得到的截痕(根据截的方法 不同,可得到不同的截痕),总称为圆锥曲线。 (1)用不平行于母线的平面去截圆锥时,如果截痕全在顶点的一侧,则得到的图形是椭 圆;如果截痕出现在两侧,则得到的图形是双曲线; (2)用平行于母线的平面去截圆锥时,得到的图形则是抛物线; (3)用平行于底面,或垂直于轴的平面去截时,得到的图形则是圆; 这些曲线的方程都是二次方程,所以圆锥曲线又称为二次曲线。 2、研究圆锥曲线,一要重视定义,这是学好圆锥曲线最重要的思想方法,二要数形结合, 既熟练掌握方程组理论,又关注图形的几何性质,以简化运算。掌握椭圆,双曲线,抛物线 的标准方程,首先要理解它们的意义,不仅要掌握怎么依据这些定义得到相关标准方程的, 也要能依据定义去处理一些有关的概念性问题, 还要注意区分不同曲线的标准方程的不同特 点,方程的系数的不同的意义,并能结合图形认识这些导致之间不同的关系,从而能迅速而 正确的求出相关圆锥曲线的标准方程。 3、以标准方程为依据,研究圆锥曲线的性质,对圆来讲比较简单,仍然要注意适当运用 平面几何中已学过的知识和方法,对于椭圆、双曲线、抛物线来讲,则要注意标准方程不同 形式时,所得性质的不同表示,复习中要注意从数和形两个方面都有所理解,并使之结合, 达到能熟练的由标准方程, 得出有关圆锥曲线几何性质的要求, 还能由给出圆锥曲线的某些 性质,正确求出圆锥曲线的标准方程. 4、用解析法研究圆锥曲线的性质,重点是直线与圆锥曲线的关系,这里的基本要求是会 利用方程组判断直线和圆锥曲线的位置关系, 会求直线被圆锥曲线所截得的弦的长, 中点坐

标,会处理圆锥曲线的有关对称问题,以及其他一些综合问题。而综合问题大致可分三类: 一类是研究对象的综合, 一个问题中同

时出直线或圆锥曲线中的某几种, 二是研究课题的综 合,既研究求方程或其他有关轨迹的问题,又研究有关的性质问题,三是数学思想方法的综 合,研究过程中要求对数形结合,分类讨论,方程思想,函数思想等等作综合运用,复习中 不应过于强调题型,过于强调不同题型和方法的对照,而要着眼于对问题的全面分析,把解 析几何的基本思想,基本知识和方法,怎么用于问题解决中去的思考上. 5、涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题,椭圆和双曲线的两个定义间是等价的,它们是 这两种曲线不同的定义方式。 6、直线和圆锥曲线位置关系 (1)位置关系判断:△法(△适用对象是二次方程,二次项系数不为 0)。 其中直线和曲线只有一个公共点, 包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两 种情形;后一种情形下,消元后关于或方程的二次项系数为 0。 直线和抛物线只有一个公共点, 包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情 况;后一种情形下,消元后关于或方程的二次项系数为 0。 (2)直线和圆锥曲线相交时,交点坐标就是方程组的解。 7、求轨迹方程的常用方法: (1)直接法:直接利用条件建立之间的关系; (2)待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方 程,再由条件确定其待定系数。 (3)定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动 点的轨迹方程; (4)代入转移法:动点依赖于另一动点的变化而变化,并且又在某已知曲线上,则可先 用的代数式表示,再将代入已知曲线得要求的轨迹方程; (5)参数法:当动点坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将均 用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程)。 (6)注意: ①如果问题中涉及到平面向量知识,那么应从已知向量的特点出发,考虑选择向量的几 何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化,还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。 ②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,寻求轨迹或轨迹方程时应注意 轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.

③在与圆锥曲线相关的综合题中, 常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重 身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨 论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等. ④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”,那么可选择应用“斜率或

向量”为桥梁 转化。

8、圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考,一是建立函数,用求值域的方法 求范围;二是建立不等式,通过解不等式求范围。中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双 曲线方程可设为: 9、求轨迹的常用方法: (1)直接法:直接通过建立 x、y 之间的关系,构成(x,y)=0F,是求轨迹的最基本的方法; (2)待定系数法:所求曲线是所学过的曲线:如直线,圆锥曲线等,可先根据条件列出 所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可; (3)代入法(相关点法或转移法):若动点 P(x,y)依赖于另一动点 化,并且 又在某已知曲线上,则可先用 x、y 的代数式表示 的变化而变 ,再将 带 ;

入已知曲线得要求的轨迹方程; (4)定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接 写出方程; (5)参数法:当动点 P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可 考虑将 x、y 均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程。 10、如何求曲线(点的轨迹)方程。它一般分为两类基本题型:一是已知轨迹类型求其方 程,常用待定系数法,如求直线及圆的方程就是典型例题;二是未知轨迹类型,此时除了用 代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外,通常设法利用已知轨迹的定义解题,化归为求 已知轨迹类型的轨迹方程。 因此在求动点轨迹方程的过程中, 一是寻找与动点坐标有关的方 程(等量关系),侧重于数的运算,一是寻找与动点有关的几何条件,侧重于形,重视图形 几何性质的运用。 11、不管是设定何种参数,都必须将形的已知条件(如:“相切”、“中点”等)转化为关于 参数的方程组,所以提高阅读能力,准确领会题意,抓住关键信息是基础而又重要的一步。

范文八:高中数学知识点津7空间距离与圆锥曲线

高中数学知识点津7空间距离与圆锥曲线

61. 空间有几种距离?如何求距离?

点与点,点与线,点与面,线与线,线与面,面与面间距离。

将空间距离转化为两点的距离,构造三角形,解三角形求线段的长(如:三垂线定理法,或者用等积转化法)。

如:正方形ABCD—A1B1C1D1中,棱长为a,则: (1)点C到面AB1C1的距离为___________; (2)点B到面ACB1的距离为____________; (3)直线A1D1到面AB1C1的距离为____________; (4)面AB1C与面A1DC1的距离为____________; (5)点B到直线A1C1的距离为_____________。

D C

A

C1

11

62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质? 正棱柱——底面为正多边形的直棱柱

正棱锥——底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面的中心。

正棱锥的计算集中在四个直角三角形中: RtSOB,RtSOE,RtBOE和RtSBE 它们各包含哪些元素? S正棱锥侧 V锥

13

12

C·h'(C——底面周长,h'为斜高)

底面积×高

63. 球有哪些性质?

(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面r

Rd

22

(2)球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此,要找球心角! (3)如图,θ为纬度角,它是线面成角;α为经度角,它是面面成角。

(4)S球4R2,V球

43R

3

(5)球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R:r=3:1。

如:一正四面体的棱长均为积为( ) A.3 答案:A

64. 熟记下列公式了吗?

(1)l直线的倾斜角0,,ktan

y2y1

,x1x2 

x2x12

2,四个顶点都在同一球面上,则此球的表面

B.4C.33D.6

P1x1,y1,P2x2,y2是l上两点,直线l的方向向量a1,k (2)直线方程:

点斜式:yy0kxx0(k存在) 斜截式:ykxb 截距式:

xayb1

一般式:AxByC0(A、B不同时为零) (3)点Px0,y0到直线l:AxByC0的距离d

k2k11k1k2

Ax0By0C

A

2

B

2

(4)l1到l2的到角公式:tan

l1与l2的夹角公式:tan

k2k11k1k2

65. 如何判断两直线平行、垂直?

A1B2A2B1

l1∥l2

A1C2A2C1

k1k2l1∥l2(反之不一定成立) A1A2B1B20l1⊥l2 k1·k21l1⊥l2

66. 怎样判断直线l与圆C的位置关系? 圆心到直线的距离与圆的半径比较。

直线与圆相交时,注意利用圆的“垂径定理”。 67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置?

联立方程组关于x(或y)的一元二次方程“”0相交;0相切;0相离

68. 分清圆锥曲线的定义

椭圆PF1PF22a,2a2cF1F2

第一定义双曲线PF1PF22a,2a2cF1F2

抛物线PFPK

第二定义:e

PFPK

ca

0e1椭圆;e1双曲线;e1抛物线

y

b

x

a

2

c

F1 F x

xa

22

yb

22

1ab0

a2b2c2

xa

22

yb

22

1a0,b0

c2a2b2

69.与双曲线

xa

22

yb

22

1有相同焦点的双曲线系为

xa

22

yb

22

0

70. 在圆锥曲线与直线联立求解时,消元后得到的方程,要注意其二次项系数是否为零?△≥0的限制。(求交点,弦长,中点,斜率,对称存在性问题都在△≥0下进行。) 弦长公式P1P2

1k

2

x1x2

2

4x1x2

121yy124y1y22k



范文九:高中数学圆锥曲线知识点小结

《圆锥曲线》知识点小结

一、椭圆:(1)椭圆的定义:平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|其中:两个定点叫做椭圆的焦点,焦点间的距离叫做焦距。

注意:2a|F1F2|表示椭圆;2a|F1F2|表示线段F1F2;2a|F1F2|没有轨迹; (2

F1F2|)的点的轨迹。

22xy3.常用结论:(1)椭圆1(ab0)的两个焦点为F1,F2,过F1的直线交椭圆于A,B两点,则a2b2

ABF2的周长=

(2)设椭圆

x2y2

21(ab0)左、右两个焦点为F1,F2,过F1且垂直于对称轴的直线交椭圆于2ab

P,Q两点,则P,Q的坐标分别是|PQ|二、双曲线:

(1)双曲线的定义:平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|其中:两个定点叫做双曲线的焦点,焦点间的距离叫做焦距。 注意:|

F1F2|)的点的轨迹。

PF1||PF2|2a与|PF2||PF1|2a(2a|F1F2|)表示双曲线的一支。

2a|F1F2|表示两条射线;2a|F1F2|没有轨迹;

(2)双曲线的标准方程、图象及几何性质:

标准方程

中心在原点,焦点在x轴上

中心在原点,焦点在

y轴上

x2y2

21(a0,b0) 2ab

y2x2

21(a0,b0) 2ab

图 形

B1(0,a),B2(0,a)

顶 点 对称轴 焦 点 焦 距 离心率 渐近线 通 径

(3)双曲线的渐近线:

A1(a,0),A2(a,0)

x轴,y轴;虚轴为2b,实轴为2a

F1(c,0),F2(c,0)

|F1F2|2c(c0) c

e

2

F1(0,c),F2(0,c)

a2b2

c

(e1)(离心率越大,开口越大) a

y

bx a

2b2 a

y

ax b

2222

①求双曲线xy1的渐近线,可令其右边的1为0,即得xy0,因式分解得到xy0。

aba2b2a2b2

22x2y2xy②与双曲线221共渐近线的双曲线系方程是;

ab22

(4)等轴双曲线为x

2

y2t222

yx(4)常用结论:(1)双曲线1(a0,b0)的两个焦点为F1,F2,过F1的直线交双曲线的同一支

a2b2

A,B两点,则ABF2的周长=

22

yx(2)设双曲线21(a0,b0)左、右两个焦点为F1,F2,过F1且垂直于对称轴的直线交双2

ab

曲线于P,Q两点,则P,Q的坐标分别是 |

三、抛物线:

PQ|

(1)抛物线的定义:平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。 其中:定点为抛物线的焦点,定直线叫做准线。 (2)抛物线的标准方程、图象及几何性质: 标准方程

焦点在x轴上,

开口向右

焦点在x轴上,

开口向左

焦点在

p0

y轴上,

焦点在

y轴上,

开口向上 开口向下

y22px y22px

x22py x22py

图 形

顶 点 对称轴 焦 点 离心率 准 线 通 径 焦半径 焦点弦 焦准距

四、弦长公式: |

O(0,0)

x轴

pF(,0) 2

p 2

y轴

F(

p ,0)2

pF(0,)

2

pF(0,)

2

e1

x

x

p 2

y

p 2

y

p 2

2p

|PF||x0|

p 2

|PF||y0|

p 2

p

AB|k2|x1x2|k2(x1x2)24x1x2k2

 |A|

其中,

A,分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y后所得关于x的一元二次方程

的判别式和x的系数

求弦长步骤:(1)求出或设出直线与圆锥曲线方程;(2)联立两方程,消去y,得关于x的一元二次方程

2

Ax2BxC0,设A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理求出x1x2

入弦长公式计算。

法(二)若是联立两方程,消去x,得关于y的一元二次方程Ay

2

BC,x1x2;(3)代AA

ByC0,则相应的弦长公式是:

111

|AB|()2|y1y2|()2(y1y2)24y1y2()2

kkk|A|

注意(1)上面用到了关系式|

x1x2|(x1x2)24x1x2

|A|

和 |A|

y1y2(y1y2)24y1y2

注意(2)求与弦长有关的三角形面积,往往先求弦长,再求这边上的高(点到直线的距离),但若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形,且线段的长度为定值,求面积一般用分割法 五、弦的中点坐标的求法

法(一):(1)求出或设出直线与圆锥曲线方程;(2)联立两方程,消去y,得关于x的一元二次方程由韦达定理求出x1x2Ax2BxC0,设A(x1,y1),B(x2,y2),

B

;(3)设中点M(x0,y0),A

由中点坐标公式得x0

x1x2

2

;再把x

x0代入直线方程求出yy0。

法(二):用点差法,设

A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(x0,y0),由点在曲线上,线段的中点坐标

公式,过A、B两点斜率公式,列出5个方程,通过相减,代入等变形,求出x0,y0。

六、求离心率的常用方法:法一,分别求出a,c,再代入公式

法二、建立a,b,c满足的关系,消去b,再化为关于e的方程,最后解方程求e (求e时,要注意椭圆离心率取值范围是0﹤e﹤1,而双曲线离心率取值范围是e﹥1)

范文十:高中数学知识点大全—圆锥曲线

高中数学知识点大全 圆锥曲线 高中数学知识点大全—圆锥曲线 知识点大全一、考点(限考)概要: 1、椭圆: (1)轨迹定义: ①定义一: 在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆, 两定点是焦点, 两定点间距离是焦距,且定长 2a 大于焦距 2c。用集合表示为: ; ②定义二:在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数 e,那么这 个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点,定直线叫准线,常数 e 是离心率。用集合表示为: (2)标准方程和性质:; 注意:当没有明确焦点在个坐标轴上时,所求的标准方程应有两个。(3)参数方程: 3、双曲线: (1)轨迹定义:(θ 为参数);①定义一:在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线, 两定点是焦点,两定点间距离是焦距。用集合表示为:②定义二: 到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数 e, 那么这个点的轨 迹叫做双曲线。其中定点叫焦点,定直线叫准线,常数 e 是离心率。用集合表示为: (2)标准方程和性质:注意:当没有明确焦点在个坐标轴上时,所求的标准方程应有两个。 4、抛物线: (1)轨迹定义:在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线,定点是焦 点,定直线是准线,定点与定直线间的距离叫焦参数 p。用集合表示为: (2)标准方程和性质:①焦点坐标的符号与方程符号一致,与准线方程的符号相反; ②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致; ③标准方程的顶点在原点,对称轴是坐标轴,有别于一元二次函数的图像; 二、复习点睛: 1、平面解析几何的知识结构:2、椭圆各参数间的关系请记熟 “六点六线,一个三角形”,即六点:四个顶点,两个焦点; 六线:两条准线,长轴短轴,焦点线和垂线 PQ;三角形:焦点三角形 各性质(除切线外)均可在这个图中找到。 。则椭圆的 3、椭圆形状与 e 的关系:当 e→0,c→0,椭圆→圆,直至成为极限位置的圆,则认为 圆是椭圆在 e=0 时的特例。当 e→1,c→a 椭圆变扁,直至成为极限位置的线段 也可认为是椭圆在 e=1 时的特例。 4、利用焦半径公式计算焦点弦长:若斜率为 k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为 AB,A、 B 两点的坐标分别为 ,则弦长 ,此时这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想。 5、若过椭圆左(或右)焦点的焦点弦为 AB,则 ; 6、结合下图熟记双曲线的:“四点八线,一个三角形”,即:四点:顶点和焦点;八线: 实轴、虚轴、准线、渐进线、焦点弦、垂线 PQ。三角形:焦点三角形 。7、双曲线形状与 e 的关系:,e 越大,即渐近线的斜率的绝对值就越大,这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知,双曲线的离 心率越大,它的开口就越阔。8、双曲线的焦点到渐近线的距离为 b。 9、共轭双曲线:以已知双曲线的实轴为虚轴,虚轴为实轴,这样得到的双曲线称为原双 曲线的共轭双曲线。区别:三常数 a、b、c 中 a、b 不同(互换)c 相同,它们共用一对渐近 线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。确定双曲线的共轭双曲线的方法:将 1 变为-1。10、过双曲线 点的情况如下:外一点 P(x,y)的直线与双曲线只有一个公共(1)P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和 分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条; (2)P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和 只与双曲线一支相切的两条切线,共四条; (3)P 在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条 是切线; (4)P 为原点时不存在这样的直线; 11、结合图形熟记抛物线:“两点两线,一个直角梯形”,即:两点:顶点和焦点;两线: 准线、焦点弦;梯形:直角梯形 ABCD。12、对于抛物线上 13、 抛物线 则有如下结论:的点的坐标可设为 的焦点弦 (过焦点的弦) AB, 为 且,以简化计算; , 14、 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点: 两条切线和一条平行于 对称轴的直线; 15、 处理椭圆、 双曲线、 抛物线的弦中点问题常用代点相减法: 即设 为曲线上不同的两点, 是的中点,则可得到弦中点与两点间关系:16、当涉及到弦的中点时,通常有两种处理方法:一是韦达定理,即把直线方程代入曲线 方程,消元后,用韦达定理求相关参数(即设而不求);二是点差法,即设出交点坐标,然 后把交点坐标代入曲线方程,两式相减后,再求相关参数。在利用点差法时,必须检验条件 △>0 是否成立。5、圆锥曲线:(1)统一定义,三种圆锥曲线均可看成是这样的点集: 为定点,d 为点 P 到定直线的 l 距离, , e 为常数,如图。,其中 F(2)当 0<e<1 时,点 P 的轨迹是椭圆;当 e>1 时,点 P 的轨迹是双曲线;当 e=1 时, 点 P 的轨迹是抛物线。 (3)圆锥曲线的几何性质:几何性质是圆锥曲线内在的、固有的性质,不因为位置的 改变而改变。 ①定性:焦点在与准线垂直的对称轴上 ⅰ椭圆及双曲线:中心为两焦点中点,两准线关于中心对称; ⅱ椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴为轴对称,关于中心为中心对称; ⅲ抛物线的对称轴是坐标轴,对称中心是原点。 ②定量:(4)圆锥曲线的标准方程及解析量(随坐标改变而变) 以焦点在 x 轴上的方程为例: 6、曲线与方程: (1)轨迹法求曲线方程的程序: ①建立适当的坐标系; ②设曲线上任一点(动点)M 的坐标为(x,y); ③列出符合条件 p(M)的方程 f(x,y)=0; ④化简方程 f(x,y)=0 为最简形式; ⑤证明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上; (2)曲线的交点:由方程组确定, 方程组有几组不同的实数解, 两条曲线就有几个公共点;方程组没有实数解,两条曲线就没有公共点。 二、复习点睛: 1、圆锥曲线:用不通过圆锥面顶点的平面去截该圆锥面时所得到的截痕(根据截的方法 不同,可得到不同的截痕),总称为圆锥曲线。 (1)用不平行于母线的平面去截圆锥时,如果截痕全在顶点的一侧,则得到的图形是椭 圆;如果截痕出现在两侧,则得到的图形是双曲线; (2)用平行于母线的平面去截圆锥时,得到的图形则是抛物线; (3)用平行于底面,或垂直于轴的平面去截时,得到的图形则是圆; 这些曲线的方程都是二次方程,所以圆锥曲线又称为二次曲线。 2、研究圆锥曲线,一要重视定义,这是学好圆锥曲线最重要的思想方法,二要数形结合, 既熟练掌握方程组理论,又关注图形的几何性质,以简化运算。掌握椭圆,双曲线,抛物线 的标准方程,首先要理解它们的意义,不仅要掌握怎么依据这些定义得到相关标准方程的, 也要能依据定义去处理一些有关的概念性问题, 还要注意区分不同曲线的标准方程的不同特 点,方程的系数的不同的意义,并能结合图形认识这些导致之间不同的关系,从而能迅速而 正确的求出相关圆锥曲线的标准方程。 3、以标准方程为依据,研究圆锥曲线的性质,对圆来讲比较简单,仍然要注意适当运用 平面几何中已学过的知识和方法,对于椭圆、双曲线、抛物线来讲,则要注意标准方程不同 形式时,所得性质的不同表示,复习中要注意从数和形两个方面都有所理解,并使之结合, 达到能熟练的由标准方程, 得出有关圆锥曲线几何性质的要求, 还能由给出圆锥曲线的某些 性质,正确求出圆锥曲线的标准方程. 4、用解析法研究圆锥曲线的性质,重点是直线与圆锥曲线的关系,这里的基本要求是会 利用方程组判断直线和圆锥曲线的位置关系, 会求直线被圆锥曲线所截得的弦的长, 中点坐 标,会处理圆锥曲线的有关对称问题,以及其他一些综合问题。而综合问题大致可分三类: 一类是研究对象的综合, 一个问题中同时出直线或圆锥曲线中的某几种, 二是研究课题的综 合,既研究求方程或其他有关轨迹的问题,又研究有关的性质问题,三是数学思想方法的综 合,研究过程中要求对数形结合,分类讨论,方程思想,函数思想等等作综合运用,复习中 不应过于强调题型,过于强调不同题型和方法的对照,而要着眼于对问题的全面分析,把解 析几何的基本思想,基本知识和方法,怎么用于问题解决中去的思考上. 5、涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题,椭圆和双曲线的两个定义间是等价的,它们是 这两种曲线不同的定义方式。 6、直线和圆锥曲线位置关系 (1)位置关系判断:△法(△适用对象是二次方程,二次项系数不为 0)。 其中直线和曲线只有一个公共点, 包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两 种情形;后一种情形下,消元后关于或方程的二次项系数为 0。 直线和抛物线只有一个公共点, 包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情 况;后一种情形下,消元后关于或方程的二次项系数为 0。 (2)直线和圆锥曲线相交时,交点坐标就是方程组的解。 7、求轨迹方程的常用方法: (1)直接法:直接利用条件建立之间的关系; (2)待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方 程,再由条件确定其待定系数。 (3)定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动 点的轨迹方程; (4)代入转移法:动点依赖于另一动点的变化而变化,并且又在某已知曲线上,则可先 用的代数式表示,再将代入已知曲线得要求的轨迹方程; (5)参数法:当动点坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将均 用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程)。 (6)注意: ①如果问题中涉及到平面向量知识,那么应从已知向量的特点出发,考虑选择向量的几 何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化,还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。 ②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,寻求轨迹或轨迹方程时应注意 轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响. ③在与圆锥曲线相关的综合题中, 常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重 身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨 论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等. ④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”,那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁 转化。8、圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考,一是建立函数,用求值域的方法 求范围;二是建立不等式,通过解不等式求范围。中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双 曲线方程可设为: 9、求轨迹的常用方法: (1)直接法:直接通过建立 x、y 之间的关系,构成(x,y)=0F,是求轨迹的最基本的方法; (2)待定系数法:所求曲线是所学过的曲线:如直线,圆锥曲线等,可先根据条件列出 所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可; ; (3)代入法(相关点法或转移法):若动点 P(x,y)依赖于另一动点 化,并且 又在某已知曲线上,则可先用 x、y 的代数式表示的变化而变 ,再将 带入已知曲线得要求的轨迹方程; (4)定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接 写出方程; (5)参数法:当动点 P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可 考虑将 x、y 均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程。 10、如何求曲线(点的轨迹)方程。它一般分为两类基本题型:一是已知轨迹类型求其方 程,常用待定系数法,如求直线及圆的方程就是典型例题;二是未知轨迹类型,此时除了用 代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外,通常设法利用已知轨迹的定义解题,化归为求 已知轨迹类型的轨迹方程。 因此在求动点轨迹方程的过程中, 一是寻找与动点坐标有关的方 程(等量关系),侧重于数的运算,一是寻找与动点有关的几何条件,侧重于形,重视图形 几何性质的运用。 11、不管是设定何种参数,都必须将形的已知条件(如:“相切”、“中点”等)转化为关于 参数的方程组,所以提高阅读能力,准确领会题意,抓住关键信息是基础而又重要的一步。