优秀范文《地磁场的磁感线方向》

磁感线方向

磁感线的切线方向就是磁场的方向，以下是几种磁场磁感线方向的判断方法：

1.最直接的方法，在磁场中放一小磁针，则小磁针N极所指的方向就是该点的磁感线切线方向

2.直导线的磁场方向：右手握住直导线，让拇指指向与电流方向相同，其它四指自然弯曲，则四指的弯曲方向就是磁感线的方向

3.线圈磁场：跟上面方法相似，但是要用四指弯曲方向与电流相同，拇指伸直，则拇指所指的方向即为磁感线的方向。

磁感线怎么画

画电流产生的磁场的磁感线分布图应注意掌握三条原则：

1.电流的磁场方向，由右手螺旋定则（安培定则）决定；

2.磁感线是闭合曲线；

3.磁感应强度大的地方，磁感线密，磁感应强度小的地方，磁感线疏。

磁感线是实线还是虚线

磁感线是虚线。

经典例题

用箭头标出图中的磁感线的方向。

答案:

下列关于磁感线的叙述，正确的是()

A.磁感线是真实存在的，细铁屑撒在磁铁附近，我们看到的就是磁感线

B.磁感线始于N极，终于S极

C.磁感线和电场线一样，不能相交

D.沿磁感线方向磁场减弱

答案:

C

解析:

磁感线不是真实存在的。是人们假想出来的一簇曲线，A错误；磁感线在磁体外部始于N极，终于S极，在内部始于S极，终于N极，是闭合的曲线，B错误；磁场的强弱看磁感线的疏密，D错误

判断方法编辑本段 折叠

条形磁铁和蹄形磁铁的磁感线：相对来讲比较简单，在磁铁外部，

磁感线从N极出来，进入S极；反之，在内部

由S极到N极。

直线电流磁场的磁感线：在直线电流磁场的磁感线分布中，磁感线是以通电直线导线为圆心作无数个同心圆，同心圆环绕着通电导线。实验表明，如果改变电流的方向，各点磁场的方向都变成相反的方向，也就是说磁感线的方向随电流的方向而改变。直线电流的方向跟磁感线方向之间的关系可以用安培定则（也叫右手螺旋定则）来判定：用右手握住导线，让伸直的拇指所指的方向跟电流的方向一致，弯曲的四指所指的方向就是磁感线的环绕方向

环形电流磁场的磁感线：流过环形导线的电流简称环形电流，从环形电流磁场的磁感线分布，可以看出，环形电流的磁感线也是一些闭合曲线，这些闭合曲线也环绕着通电导线。环形电流的磁感线方向也随电流的方向而改变。研究环形电流的磁场时，我们主要关心圆环轴上各

点的磁场方向，这可以用右手螺旋定则来判定：让右手弯曲的四指和环形电流的方向一致，伸直的拇指所指的方向就是圆环的轴线上磁感线的方向。

通电螺线管磁场的磁感线（类似于条形磁铁）：螺线管是由导线一圈挨一圈地绕成的。导线外面涂着绝缘层，因此电流不会由一圈跳到另一圈，只能沿着导线流动，这种导线叫做绝缘导线。通电螺线管可以看成是放在一起的许多通电环形导线，我们自然会想到二者的磁场分布也一定是相似的。实际上的确如此。要判断通电螺线管内部磁感线的方向，就必须知道螺线管的电流方向。螺线管的电流方向跟它内部磁感线的方向也可以用右手螺旋定则来判定：用右手握住螺线管，让弯曲的四指所指的方向跟电流的方向一致，伸直的拇指所指的方向就是螺线管内部磁感线的方向（即N级）。通电螺线管外部的磁感线和条形磁铁外部的磁感线相似，并和内部的磁感线连接，形成一条条闭合曲线。

①磁场中并没有磁感线客观存在，而是人们为了研究问题的方便而假想的。

②区别电场线和磁感线的不同之处：电场线是不闭合的，而磁感线则是闭合曲线。

在磁场中画出一些曲线，使曲线上每一点的切线方向都跟这点的磁感应强度的方向一致，这样的曲线叫做磁感线。

1.磁力线是人为假想的曲线

2.磁力线有无数条

3.磁力线是立体的

4.所有的磁力线都不交叉

5.磁力线的相对疏密表示磁性的相对强弱，即磁力线疏的地方磁性较弱，磁力线密的地方磁性较强

6.磁力线总是从 N 极出发，进入与其最邻近的 S 极，并形成。闭合回路这一现象在电磁学中称为磁通连续性定理，由 Maxwell 方程描述为：

· B =0 (4-1)

上式又称为磁场的高斯定律，表示任意磁场的散度为 0 ，即通过任意闭合曲面的净磁通总是 0 ，磁力线总是闭合的。

同电流类似，磁力线总是走磁阻最小（磁导率最大）的路径，因此磁力线通常呈直线或曲线，不存在呈直角拐弯的磁力线。

任意二条同向磁力线之间相互排斥，因此不存在相交的磁力线。

当铁磁材料未饱和时，磁力线总是垂直于铁磁材料的极性面。当铁磁材料饱和时，磁力线在该铁磁材料中的行为与在非铁磁性介质（如空气、铝、铜等）中一样。

由于磁力线具有这样的基本特性，因此介质的磁化状态取决于介质的磁学特性和几何形状。显而易见，在通常情况下，介质都处于非均匀磁化状态，也就是说通常介质内部的磁力线都成曲线状态且分布不均匀；另外，由于在自然界虽存在电的绝缘体，但不存在磁的绝缘体(除超导体物质），使得通常的磁路都存在漏磁。介质处于非均匀磁化状态和磁路都存在漏磁这二个特征，就决定了磁路的准确计算非常复杂。

磁感线方向

磁感线是为了形象地研究磁场而人为假想的曲线，并不是客观存在于磁场中的真实曲线。 磁感线的切线方向就是磁场的方向，以下是几种磁场磁感线方向的判断方法： 1，最直接的方法，在磁场中放一小磁针，则小磁针N极所指的方向就是该点的磁感线切线方向 2，直导线的磁场方向：右手握住直导线，让拇指指向与电流方向相同，其它四指自然弯曲，则四指的弯曲方向就是磁感线的方向 3，线圈磁场：跟上面方法相似，但是要用四指弯曲方向与电流相同，拇指伸直，则拇指所指的方向即为磁感线的方向。

磁场和磁性材料 磁场的方向 磁感线

知识要点

1、 ＿＿＿与＿＿＿之间，＿＿＿与＿＿＿之间，＿＿＿与＿＿＿之间的相互作用都

是通过磁场来传递的。

2、 一般情况下，物质内部的分子电流取向是＿＿＿＿的，它们的作用互相＿＿＿对

外界不显磁性，在有外界磁场作用时，某些物质内部分子电流取向会变得＿＿＿＿＿，这个过程叫做＿＿＿。

3、 铁磁性材料按磁化后去磁的难易可分为＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿＿。

4、 在磁场中任意一点，小磁针的＿＿受力的方向为那一点的磁场的方向，磁感线线

任何一点的＿＿＿方向都和该点的磁场方向一致。 5、 同方向电流互相＿＿＿，反方向电流互相＿＿＿。 随堂练习

1、首先发现电流的磁效应的科学家是（ ）

A、安培 B、奥斯特 C、库仑 D、麦克斯韦 2、下列说法中正确的是（ ）

A、 磁感线从磁体的N极出发，终止于S极。 B、磁铁能产生磁场，电流也能产生磁场。 C、磁感线可以表示磁场的方向。

D.、放入通电螺线管中的小磁针静止时，小磁针的N极一定指向螺线管的S极

3、 如图所示，一束带电粒子沿水平方向平行地飞过磁针上方时，磁针的S极向纸内偏转。则这一带电粒子束可能是（ ）

A、向右飞行地正离子束

S

B、向左飞行地正离子束 C、向右飞行地负离子束 D.、向左飞行地负离子束

4、磁场中任一点的磁场方向规定为，小磁针在磁场中（ ） A、受磁场力的方向 B、北极受磁场力的方向 C、南极受磁场力的方向 D、受磁场力作用转动的方向 5、如图所示，一束电子沿y轴正向移动，则在z轴上某

点A的磁场方向是（ ）

A、 沿x轴正向 B、沿x轴负向

y

x

C、 沿z轴正向 D

、沿z轴负向

6、 如图所示，放在通电螺线管内部中间的小磁针，静止时

b

N极指向右，试判定电源的正负极。

7、 如图所示，a、b是直线电流的磁场，c、d是环形电流

的磁场，e、f是通电螺线管的磁场，试在各图中标出电流方向或磁感线的方向。

a

b

c

f

8 、如图所示，当S接通后，指出磁场中小磁针的偏转情况。

N

S

N

a

c

9、若地磁场是由地球表面带电粒子产生的，则地球表面带（ ）

A、正电 B、负电 C、不带电 D、无法确定

10、如右图所示,带负电的金属环绕轴oo’以角速度ω匀速转动,在环左侧轴线上的小磁针最后平衡的位置是( )

A、N极竖直向上 B

、N极竖直向上

C、N极沿轴线向左 D、N极沿轴线向右

第十一章 古地磁场方向的Fisher统计

（Lisa Tauxe著，潘永信译）

建议阅读下列资料：

Taylor (1982)专著第1−5章 Butler (1992)专著第6章

此外，Fisher等(1987)专著第2−5章

11.1 导言

前面几章我们学习了古地磁采样和实验方法。通过逐步退磁和主向量分析等获得古地磁场方向后，我们还需要对其进一步解释。这需要计算平均矢量方向并确定其置信区间。在学习矢量统计之前，有必要先了解一些基本的统计学概念。

11.2 标量的统计

许多统计讨论一般从正态分布或高斯分布开始。如果我们有1000个数据，譬如某地层组以厘米为单位的分层厚度。图11.1a给出它们的柱状图。一个正态分布可以通过两个参数来表示，平均值（μ）和方差（σ2）。如何估计分布的参数就是统计的核心所在。一组服从正态分布的数据的平均值可通过下面的公式计算：

图11.1所示数据估计的平均值是10.09。如果有无穷多个分层厚度值，我们就会得到图中的钟型曲线和平均值是10。 数据的离散度由方差σ2来确定。正态分布的方差由参数s2来估计：

为了得到平均值的误差（cm,而不是cm2）,我们必须取s2的平方根。参数s给出了标准偏差σ的估计，它是包括了以平均值为中心的63％数据。95％置信区间由1.96s确定（这就是所说“2-σ误差”），它包括了95％的平均值。图11.1所示数据的标准偏差σ为3，而s值是2.97。

如果重复测量几次，每次测量的结果不会完全一样。每次测量的平均值和标准偏差就是“样本”的平均值和标准偏差值。如果把这些样本平均值作图，我们会得到另一个正态分布，它们的平均值应非常接近真实的平均值，但标准偏差非常（窄）小。图11.1b给出了1000个测量重复100次测量平均值柱状图。每次分布的平均值μ＝10，标准偏差等于σ＝3。一般来说，平均值的标准偏差（或“均值的标准偏差”sm）与的s关系如下:

图11.1：a）一套沉积地层的1000个分层厚度分布柱状图。正态分布的平滑曲线的平均值是10，标准偏差是3。b）同一套地层1000个分层厚度100次重复测量的分布柱状图。可见平均值的分布更窄。c）图b）数据中方差（s2）的柱状图。可以看到方差的分布非钟型；而是

分布。

如果把估计方差作图（像图11.1c）会怎样？它们也会服从正态分布吗？因为方差是平方参数，它们不服从正态分布。实际上，从正态分布估计的方差的分布可能是分布。分布的宽度也取决于测量次数的多少。被称为自由度次数（“number of degrees of freedom”）ν等于实际测量次数减去进行估计需要的测量次数，所以我们这里的ν等于N−1。因此，方差的估计服从自由度为N − 1的

分布。

我们经常希望考虑变量的比（譬如判断一组数据是否相对于另外一组数据更加离散）。为此，我们首先要知道从同一分布类型数据获得哪些比。这些变量的比服从F分布，两组数据分别具有自由度ν1和ν2，表示为F[ν1,ν2]。这样，如果下面公式定义的f

大于F[ν1,ν2]的5％的临界值（参见附件中表F），在95％置信水平上讲，这两组数据是不相同的。

11.3 矢量统计

我们现在来讨论较难对付的矢量。这里我们把全部矢量都考虑为具有长度1，即单位矢量。单位矢量就简化为“方向”。 先来看图11.2所示不同方向数组的等面积投影（见第2讲）。这些数据是垂直的单一方向，具有不同的精确度。计算它们的平均方向和确定这些测量的精确度并不困难。 算术计算所得的平均倾角显然不是垂直的。然而，每组数据的矢量平均方向近乎于垂直。下面我们来介绍如何计算图11.2所示数据的平均方向和它们的置信区间。我们同时介绍古地磁数据处理中几种常用的统计检验。 由于下列原因，古地磁数据出现离散： 1. 由仪器噪音或样品校正误差引起的不确定性 2. 样品定向的不确定性 3. 采样地层单元产状的不确定性 4. 次生磁化分量的清洗程度 5. 磁化过程造成的不确定性 6. 地磁场的长期变 7. 闪电雷击

上述某些离散原因（如上面原因1，2，也许还有6）产生相对于平均方向的一个对称分布。其他几个原因则会产生在某一方向比其它方向更宽的分布。例如，在极端情况下上面原因4会产生带状分布，由此方向沿大圆分布。为计算平均方向及其置信区间，古地磁学家主要依赖于Fisher统计方法（Fisher，1953）。该方法是用来计算球面单位矢量离散度。在大多数情况下，古地磁学家认为古地磁数据服从Fisher分布，因为该统计处理可以计算置信区间，进行平均方向以及离散度的比较等。

图11.2：四组假设数据，具有递减的离散度。a) 在球面上近于均匀分布，而d）相当集中。所有数据是服从Fisher分布的垂直方向。

11.4 参数估计

Fisher概率密度函数（Fisher，1953）表示为：

（11.1）

这里α是指单位矢量和真实方向之间的夹角，κ是精度参数，当离散度为零时κ趋于∞。 由于磁化强度基本上与测量的有效性无关（特别弱磁化的除外），通常人们把所有的方向都看作单位矢量。计算平均方向时，首先按照第2讲中介绍的方法把具体的方向（Di，Ii）转换到直角坐标系（x1, x2, x3）。合成矢量的长度R由下面公式给出：

直角坐标系中平均方向由下式确定：

（11.2）

（11.3）

当然，通过第2讲中的方法把直角坐标系可以再转换到地磁要素（

Fisher统计的精度参数κ由下式估计：

）。

（11.4）

（这里N代表数据多少）。利用κ估计值，我们可以估计平均值95%置信圆（p = 0.05）α95：

在经典的古地磁文献中，α95被近似表示为：

（11.5）

这对于κ值大于25时是可信的（见Tauxe等，1991）。

另外一个有用的参数称为圆偏差，有时也称为角偏差（Irving, 1964），由下式确定：

它是包括约66%数据的一个圆。

如果按照第2讲所讲把将方向转换为VGPs，那么这一转换会把旋转对称分布的数据变为椭球分布，从而相关的α95变得不再适用。Cox和Doell（1960）建议用下列参数估计VGPs的95%置信区间。多少具有讽刺意味的是，VGPs是球状对称分布而绝大多数的方向数据则不是！

(11.6)

这里dm和dp分别是古磁经度和纬度的误差，λ是采样点的地理古纬度。

图11.3给出了Fisher分布的两个例子，一组数据较为发散（κ=5）而另一组则集中（κ=50）。同时也给出了每组数据的Fisher平均方向和α95。

Fisher分布可帮助解决下列古地磁数据问题：

1. 一组方向数据是否是随机的？如砾石检验时就提出了这样的问题（第9讲）。

2. 一组给定数据（Fisher分布）的平均方向是否与某些已知方向不同？如比较一组数据和现今或GAD模型场异同时。

3. 两组服从Fisher分布的数据是否相同？譬如，一组数据中正方向和对跖的负方向一致性。

4. 如果某采点的某些样品仅能计算平面最佳拟合（不能做线段拟合），如何求得既有平面拟合和又有线段拟合的采点的平均方向（见第9讲）？

在下面的讨论中我们将简要的介绍如何运用Fisher技术解决这些问题的。

图11.3 两组Fisher分布数据：a) κ=5，b) κ=50，星号和椭圆分别代表平均方向和α95大小。

11.5 Watson随机性检验

Watson [1956] 提出了如何检验一组方向数据的随机性。他的方法依赖于由公式11.2计算得出的R值。因为R是合成矢量的长度，所以随机性分布的方向会具有小的R值，而对于较为集中的方向而言，R值接近于N。Watson（1956）定义了参数R0，它可以用于检验一组数据的随机性。如果R大于R0，在某置信水平上随机假设不成立。如果R小于R0，则随机性成立。Watson计算了95%和99%置信水平上数据N对应的R0。Watson也给出了如何通过下式估计R0.

（11.7）

图11.4给出了精确方法（点）和由方程11.7给出的估计值。当N>10时估计值准确，但N较小时则有偏差。表D2是Watson(1956)给出的临界R值（5 < N < 20）。

随机性检验具有特殊的重要性，尤其是用来判断某采样点的方向是否是随机（此采样点的数据应扔掉）。同样，也可以用它来判断砾石检验中砾石记录方向是否随机（见第9讲）。

图11.4 由公式11.7得出的Ro值（线）和95%置信区间内的数据点（实心圆）。数据来自Watson（1956）。

11.6 估计方向和已知值的比较

计算古地磁数据置信区间的主要目的之一就是比较估计的方向和已知方向（如现今地磁场）或另一估计方向（如某一古地磁极，现今地磁场或GAD模型场预期的方向）。通过Fisher统计方法能够直接比较古地磁方向。如果已知方向落在估计方向的置信区间以外，我们就认为估计方向和已知的方向在这个具体的置信水平上是不同的。

11.7 两个估计方向之间的比较

两组Fisher分布数据可以相对直接进行比较。如果两组方向数据的置信圆不重叠，则它们在该置信水平上上不同。当其中一个置信区间包括了另一组方向数据的平均值时，这两组方向数据的差异则不显著。

当数据组如图11.5a所示时，比较就不那么直接理当了。

这两组数据的Fisher统计结果如下表所示：

如图11.5b所示等面积投影图，两组数据的α95重叠，但置信圆却没有包括另一组数据的

平均方向。许多学者都曾讨论过这种“灰色区”。Watson（1983；详见附件）提出了一个非常有用的参数（Vω）。

图11.5：a) 两组虚拟偏角和倾角数据的等面积投影图。b) 数据的Fisher平均值和置信圆

Vω适用于一种检验统计，它随两组方向数据平均值差异的增大而增大。所以，当由Monte Carlo模拟获得的Vω超过某临界值时，就认为两组数据不具有同一个平均值。Monte Carlo模拟的名称是来自于赌场游戏， 因为这里是从某特定分布样本（“一副纸牌”）随机抽样（“牌”），判断如何预测结果。我们想知道概率，就是来自相同分布的两组数据（几把牌？）的概率，从偶然性上该分布具有给定的Vω统计量。

我们继续讨论下列几点：

1. 计算数据组的Vω统计量. [图11.5a所示两组数据的Vω是8.5]

2. 为确定Vω的临界值，我们设两组Fisher分布数据组的离差κ1和κ2，N1，N2，但它们具有共同的方向。你可以使用Fisher程序“手动”来试试这个，程序可以从 sorcerer.ucsd.edu/software 网址下载。. 3. 计算这些模拟数据组的Vω。

4. 重复模拟（如1000次）。这定义Vω分布，它可以碰巧“采样”具有相同方向的分布。 5. 按增加顺序排立Vω值。在95%置信水平上Vω的临界值就是第950次模拟的Vω值。 由同一平均值得出的、具有与范例中相同κ和N值两组分布模拟得出的Vωs值见图11.6中直方图。计算值8.5（图中粗竖线）明显大于模拟分布的95％，后者的临界值是6.2。所以，这模拟支持在95％置信水平上这两组数据没有共同的平均值。 这种检验可应用于判断给定数组中两个极性是否对跖的。这种情况下，在计算Vω值可以采用一组数据的对跖值。这种检验是倒转检验的一种Fisher形式。

图11.7: 一个给定采样点具有反向磁化样品的退磁数据。该数据沿大圆弧分布。a)tst1a, b)tst1b 和 c) tst1c。这三组数据来自同一采点。根据数据tst1c服从一个大圆弧分布，因此不能有效地分离出单一成分。但是数据tst1b可以分离出主成分(图d中的钻石符号)。数据tst1a不通过圆点，因此应用Fisher统计计算其平均方向（图d中的三角符号）。结合这三种数据，应用McFadden and McElhinny (1988)的方法可以计算出平均方向以及相关的α95。

11.8 矢量和大圆结合

我们来考虑某采点不同样品的退磁数据（图11.7所示）。样品test1a似乎有较好的方向但成“团状”。最后几步退磁的平均方向可以通过Fisher统计来计算。我们可以用第9课所讲的Kirschvink [1980]主向量方法计算样品test1b的最佳拟合线。样品test1c退磁沿大圆分布，可以如第9课所讲算拟合大圆的极。McFadden and McElhinny (1988)叙述过如何估计即包括平面（等面积投影上大圆）和直线（见附件）。他们方法的关键点在于发现每个平面内能够给出最成簇的方向数据。然后，可以应用常规的Fisher统计。

图11.6 与图11.5中数据具有相同N和κ值的模拟Fisher分布的Vω分布。虚线表示模拟计算Vω的小95％。粗竖线是这两组数据计算的Vω。根据这种检验，这两组数据不具有共同的平均值。

11.9 仅有磁倾角的数据处理

类似于没有定向的钻孔，当只有倾角数据时，统计方法又会不一样。这种钻孔的偏角不确定，对于这种数据，如何估算其Fisher统计值？图118中真正的Fisher统计的倾角和偏角由星号代表。如果只有倾角，那么用高斯分布估算的平均值会比真值小。对这种只有倾角的数据，已经有一些讨论。例如，McFadden和Reid(1982)提出了一种比较有效的最大可能估计法（见附录）。

对比由McFadden-Reid方法和应用全矢量数据得到倾角数据可以发现，当倾角比较大并且很分散时，McFadden和Reid方法就会失效。当数据不服从Fisher分布时，该方法也不适宜。

图11.8: 具有Fisher 统计分布的方向数据，其真正的平均值近乎垂直。经过Fisher统计得到的平均值由星号代表。用高斯分布统计的平均值()比Fisher统计得到的平均值()要浅。

11.10 已知数据是否符合Fisher分布？

对古地磁研究，Fisher统计方法提供了强有力的帮助，但是这一方法的前提要求数据服从Fisher分布。那么怎样才能判定一组特定的数据服从Fisher分布呢？如果不服从又该如何处理？

我们首先考虑如何判定一组数据服从Fisher分布。事实上，由诸多可行的方案，读者可参考Fisheret al. (1987)。其中Fisheret al. (1987)提出的的quantile-quantile (Q-Q)方法直观可行。下面简述之。

Q-Q方法的依据是：当沿着平均值方向观测时，服从Fisher分布的倾角数据会顺着瞬时针方向均匀分布。并且，倾角数据主要聚集在平均值附近，偏离平均值的频率按指数规律衰减。因此，为了测试数据是否符合Fisher分布，第一步就要转换倾角数据，使其平均值为分布中心。这类似于旋转头部，并偏向平均值方向。在等面积投影中，数据的中心即为平均值。为此的首先计算数据的方向矩阵T及相关的特征向量Vi和特征值(见第9章的附录)。定义X和V分别为旧坐标系统和新坐标系统的坐标轴， 把和地理坐标系统X相关的方向余弦带入新系统V。这样，地理坐标系统中（垂直轴在中心，图11.9a）的数据就转换到新的数据坐标系〔主特征向量V1在中心，图11.9b〕。

图11.9: 坐标系统转换，a)地理坐标系，b)数据坐标系。主特征向量V1在两张图中都由大三角表示。

对于Fisher统计，方程11.1要求偏角围绕平均值均匀分布。在数据坐标系中，这意味

着偏角在0到360度之间均匀分布。此外，偏离平均值的方向α的概率密度按照指数衰减：

我们来比较图11.9中的数据和具有k = 20的Fisher分布的数据 (图11.10)。具有Fisher分布的数据由名为Fisher的程序(Fisher et al., 1987)产生。我们设定 k=20, 毫无意外，产生的数据确实和期待的Fisher分布一致。但是，如果定量化，这些数据到底和真正的Fisher由多贴近？

我们期望测试偏角是否为均匀分布，而倾角按指数分布。对于这种测试，图11.10并不有效。现在考虑一种Q-Q图(见Fisher et al., 1987)。在Q-Q图中，数据和一已知分布的值做比较，如果数据服从这一已知分布，则会出现线性相关（具体计算过程见附录）。图11.11a显示了偏角数据和假定为均匀分布的偏角数据的相关曲线，而图11.11b则显示了

co-倾角与按指数分布的倾角的相关曲线。正如我缩期待的，数据都沿着直线分布。统计参数Mu 和Me都不超过正常值（见附录）。

图11.10: a) 偏角，b) co-倾角(α)（见图11.9）。对于Fisher分布，偏角为均匀分布，而co-倾角按指数规律分布。

图11.11: a) 假定为均匀分布，在数据坐标系中偏角的Q-Q图。b)假定为指数分布，倾角的Q-Q图。可见方向数据服从Fisher分布。

附录

A 计算

Watson’s

1. 应用公式11.2和11.4计算Ri和ki，这里对于有N1和N2样品的两组数据i = 1, 2. 2. 通过公式11.3计算

(这里对三个轴j = 1, 3).

3. 计算

4. 求这两组数据的加权平均值:

5.

通过下式计算加权总矢量

及加权和,

6. 最后, 求

Watson’s

B 线和平面结合

1. 应用主向量和Fisher统计方法分别计算M个方向直线(这里为2)和N个大圆弧 (这里为1).

2. 假定磁化的主方向落在大圆弧上的某一点。

3. 假定M个方向线和N个未知方向服从Fisher统计。

4. 应用迭带法沿着大圆弧寻找能够使得矢量R为最大值的最佳方向

5. 当找到N个方向后，可以根据等式11.3估算平均方向，相应的参数k为

:

相对于平均值，其95%的置信角为

:

其中N0 = M + N/2 and p = .02

C 计算只有倾角的数据

当缺失偏角时，我们还是希望能够估算N个服从Fisher分布的co-倾角 (α = 90 − I)。

ˆ。McFadden和Reid发现αˆ为如下方程的解：

定义α的估计值为α

此方程可由数值法解得。

他们进一步定义了参数S和C：

Fisher统计的参数k的无偏估计为k：

倾角的无偏估计为I

ˆ：

最后，α95 为:

其中，f是对应于1和（N-10自由度的F分布的临界值（见表A－1）。

D Q-Q图

构建Q-Q图的流程如图D1所示:

1. 按递升次序把变量ζ排序，ζ1和ζN分别为最小和最大值。

2.如果数据已经如图D1a那样表示成密度函数，那么ζi可以被分成（N＋1）块面积，每一块面积为a = 1/(N + 1). 如果假定ζi 服从某种分布，那么我们可以计算zi使得每一块面积为a(见图D1b).

3. 如图D1c所示，如果评估数据是否服从某种分布，一种近似方式为画出ζi 与Zi的散点曲线。如果为一直线，就说明数据确实服从这种分布。

4. 密度函数P是分布函数F和面积的乘积。计算zi 的方法为：

所以，

其中F−1是F的反函数. 如果数据在0和1之间均匀分布，那么F(x)和F−1(x) = x。对于指数分布，F(x) = 1 − e−x ， F−1(x) = −ln(1 − x)。

最后，我们计算参数Mu和Me。这两个参数可对比于临界值，可以分别用判定数据是否服从均匀和指数分布。为此，首先计算如下参数：

和

图D1: a) 展示如何个数据排序，并把密度函数分成面积为1/(N + 1)的区域。 b)根据Zi可以把已知密度函数分成面积为ai = 1/(N + 1)的区域。 c) 关于Z和ζ的Q-Q图。

－

.－1)/N]的最大值。Mu对于均匀分布F(x) = x, D+N 为[i/N － ζi]的最大值，DN 是[ζi － (i

＝D+N+D-N。如果Mu > 1.207 (见Fisher et al., 1987)，在95%的置信水平上可以否定均匀分布的

假设。与之类似，对于倾角数据D-N 是

，D+N为

的最大值。Me = D+N +D

－

的最大值，

N。如果Me>1.094，就可以否定

数据服从指数分布。如果Mu和Me不能同时小于临界值，就可以判定方向数据不服从Fisher

分布。

Table D1: F-Tables for ν degrees of freedom.

表D2: 一个随即分布的Ro的临界值 [Watson, 1956.]

参考文献

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