数列中的放缩法解题策略
1、Ming确放缩的方向:即是放大还是缩小,看证Ming的结论,是小于某项,则放大,是大于Mou个项,则缩小。
2、放缩的项Shu:有时从第一项开始,有时从第三项,有Shi第三项,等等,即不一定是对全部项进行放缩。
3、Fang缩法的常见技巧及常见的放缩式:
(1)Gen式的放缩:;
=<<= (2)Zai分式中放大或缩小分子或分母:2111(2)(1)(1)k k k k k k <<≥+-; 211111()1211k k k <=---+2k ;11n n n n -<+;212221
n n n n +>-; >31n 1111(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦
(3)Ying用基本不等式放缩:222n n n n ++>=+; 4、Ba握放缩的尺度、精度的控制
5、Dian型问题
(一) 放缩为可求和型
(1) Deng差数列型
1、证明:2
)2()1(32212)1(+<+⨯+⨯+⨯<+n n n n n n )(*∈N n
(2) Deng比数列型
1、证明:44
371211211212<+++++n )(*∈N n (3)Lie项相消型
1、证明:2121122<++
n
)(*∈N n Bian式:调整放缩度 证明:35121122<++n )(*∈N n 2、Zheng明: 23)
12(151311222<-++++n )(*∈N n Bian式:调整放缩度 证明:45)12(151311222<-++++
n )(*∈N n
3、Zheng明:45121133<++
n
)(*∈N n 4、Zheng明:351211211212<-+-+-n )(*∈N n 5、Yi知121
+
1例1已知数列{a}满足:a=1且. 2a,3a,(n,2)n1nn,1n,22 (1) Qiu数列{a}的通项公式; n 21m1,1m(2) ShemN,mn2,证明(a+)(m-n+1) ,,,,,nnm2 Fen析:这是06年河北省高中数学竞赛的Yi道解答题(1)大家都知道数列的递推公Shi往往比通项公式还重要.这就引导我们要重视数列De递推公式 31由已知有a=,学生Dui形如, A,B是常数)a,Aa,B(AB,0,QieA,1a,nnn,1n,1n,122 Xing式的一次线性递推关系的数列通过构造新数列求通Xiang公式的方法已不陌生,本题中的递推关系Xian然不是此类型.那么我们能否也可通过待Ding系数法构造新数列呢? 331x3xcBu妨设即与比较a,,(a,)(n,2),,a,a,aann,1nn,1nn,1nn,1n,1n,12222222 13131nXi数得c=1.即 a,,()a,,(a,)nn,1nnn,1n22222 13133You,故{}是首项为公比为的等比数列, a,a,,1nn22222 31nGu a,(),nn22 (2) 这Yi问是数列、二项式定理及不等式证明的综合问Ti.综合性较强. n2m3,1mmnJi证,当m=n时显然成立。易验证当且仅Dangm=n=2时,等()(,,1),m2 Hao成立。 n3m设下面先研究其单调Xing。当>n时,b,()(m,n,1)mn2 11,,b3m,n,131nmm,()(),()(1,),b2m,n2m,nn,1 b31214m,1mn?(),()(1,),(1,m,),,1?b,bnn,1b2m,n3m3n,1 22mm,13,1m,Ji数列{b}是递减数列.因为n2,故只须Zhengb,即证。事实,(),n2mm2 111519m,12m()1Shang,故上不等式成立。综上,原不等,,C,,C,,,,mm2224mmmm Shi成立。无独有偶,在不到1个月的06Nian全国一卷高考题22中恰出现了本例中构Zao数 列求通项公式a的模型。有兴趣的同学Ke找做一做。 n 例2设数列{a}满足 a,3,a,2a,n,1n1n,1n Xue而思教育?学习改变命运 思考成就未来~ Gao考网www.gaokao.com (1) https://www.fanwen99.cn/article/128853632.htmlQiu{}的通项公式; an 111(2) Ruo cbccd,,,,,,1,,1nn,1nnancc,nnn,1 1Qiu证:数列{}的前n项和 ,b,dsnnn3 Fen析:(1)此时我们不妨设 a,A(n,1),B,2(a,An,B)n,1n Ji与已知条件式比较系数得 A,,1,B,0.a,2a,An,A,Bn,1n You是首项为2,公比为2的等比数列。?a,(n,1),2(a,n)a,1,2,?{a,n}n,1n1n nn. ?a,n,2,Jia,2,nnn 1n(3) 由(1)Zhi. 当时, a,2,n,?b,n,2nnn2 c,c,(c,c),(c,c),...,(c,c),1,b,b,......,bn12132nn,112n,1 11,n 11112,1,,,...,,,2,.2n,1n,1122221,2 1Dangn=1时,=1也适合上式,所以2,故cc,,1nn,12 1111 ,(,),bdnnnn,1n,1112(2,2)(2,1)2,2,n,1n22 n,1nn,1Fang法一:?2,2,2,(这步难度较大,Ye较关键,后一式缩至常数不易想到.必须2,1,3 Yao有执果索因的分析才可推测出.) 1n1(),111111112. ,...(1)?bd,?S,,,,,,,,,,nnnn2nn1323232326323,,,,1,2Fang法二 :在数列中,简单尝试的方法也相当重要.Hen多学生做此题时想用裂项相消法但是发现此 ,Zhong处理达不到目的.但是当n3时,我们看: 111111S,,,,...,You前二项会得到,nn,1n,12,36,714,15(2,2),(2,1)37 1111111Zhe样S,,,,,,...,,我们可重新加Kuo号得 nn,1n,166714152,22,1 11111111S,,[(,),(,),...,(,)],nnn,1n,1371415302,12,22,1Xue而思教育?学习改变命运 思考成就未来~ Gao考网www.gaokao.com 111Xian然,,0,,0nn,1n,12,12,22,1 1Gus,得证.这样也实现了我们的初步想法.也Yi让学生接受.n3 11易验证当n=1,2Shi . 综上 ,,ssnn33 下面我Men再举一个数列中利用放缩法证明不等式的问题. 1,Li3已知正项数列{}满足 a,1,a,a,,a,(n,N)a1n,1nnn2(n,1)(1) Pan断数列{}的单调性; an 11111,,,,(2) Qiu证: 2n,1n,2(n,1)aann,1 1Fen析:(1)?a,a,,0故a,a,即 a,an,1nn,1nn,1n2(n,1) Gu数列{}为递增数列. an 111,,2(n,1)aa(2) Bu妨先证 nn,1 a,aaa1111n,n1nn,,,,,, .222n,an,(1)(1)aaaan,aa(1)n,1nn,nn,nn,111 1111Zai证:原解答中放缩技巧太强,下面给出Ling一种证法,,,nn,,12aann,1 11111111111,,(,),(,),...,(,),,,...,,?22223(n,1)aaaaaaaan,nn,111223111111,,...,(,).Yong到了累差迭加法及这种常用的放缩手段21,22,3n(n,1)(n,1)n(n,1) 111111,1,,,,...,,,1,223nn,1n,1 Xue而思教育?学习改变命运 思考成就未来~ Gao考网www.gaokao.com ?a,n,1n,1 a1n?a,a,a,a[1,]n,1nnn22(n,1)(n,1) aann,1?,1,2a(n,1)n a,a11n,1n?,, aaaann,1nn,1 a11n,,, 2n,aaaa(1)211nn,n,n2n,(1)n,,(1)[1]2an,(1)n 1. ,Zhe种证法还是比较自然的,也易让学生接受. an(n,1)(n,1,)n,1 aannShi, 当,,1n,2n,1n 11111?,,,,. (n,1)(n,2)n,1n,2aann,1 Yi验证当n=1时,上式也成立. 11111,,,,Zong上,故有成立. 2n,1n,2(n,1)aann,1 Tong过以上三例,我们发现通过递推公式,You的数列可以通过构造新数列的方法,构造出一个我Men一个较熟悉的数列,从而求出通项公式,这也是Yi种化归能力的体现.有的数列题目虽不能求出Tong项公式,但我们可以研究其隐含的性质如单调性等Lai解https://www.fanwen99.cn/article/128849767.html决问题.放缩法虽然技巧性较强,但多Shu均是一些常用的放缩手段.此类问题考查了学Sheng的灵活性与分析问题及运用知识解决问题的能力.Ye正为此,这种类型的题目越来越受到高考命题者De青睐. 学而思教育?学习改变命运 Si考成就未来~ Gao考网www.gaokao.com
例谈数列解答题中放缩法常见类型及处Li方法
墨江二中 柴锦胜
1、 Zai解答的最后一步中放缩
例题 1:(2014Nian北京模拟)已知等差数列 {}n a Man足:73=a , 2675=+a a , {}n a De前 n 项和为 n S .
⑴求 n a Ji n S ⑵令 1
12-=n n a b (n *N ∈) , Qiu证数列 {}n b 的前 n 项和 41