数列中的放缩法解题策略
1、Ming确放缩的方向:即是放大还是缩小,看证明的结论,Shi小于某项,则放大,是大于某个项,则缩小。
2、Fang缩的项数:有时从第一项开始,有时从第三Xiang,有时第三项,等等,即不一定是对全部项进行Fang缩。
3、放缩法的常见技巧及常见的Fang缩式:
(1)根式的放缩:;
=<<= (2)Zai分式中放大或缩小分子或分母:2111(2)(1)(1)k k k k k k <<≥+-; 211111()1211k k k <=---+2k ;11n n n n -<+;212221
n n n n +>-; >31n 1111(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦
(3)Ying用基本不等式放缩:222n n n n ++>=+; 4、Ba握放缩的尺度、精度的控制
5、典型问Ti
(一) 放缩为可求和型
(1) Deng差数列型
1、证明:2
)2()1(32212)1(+<+⨯+⨯+⨯<+n n n n n n )(*∈N n
(2) Deng比数列型
1、证明:44
371211211212<+++++n )(*∈N n (3)Lie项相消型
1、证明:2121122<++
n
)(*∈N n Bian式:调整放缩度 证明:35121122<++n )(*∈N n 2、Zheng明: 23)
12(151311222<-++++n )(*∈N n Bian式:调整放缩度 证明:45)12(151311222<-++++
n )(*∈N n
3、Zheng明:45121133<++
n
)(*∈N n 4、Zheng明:351211211212<-+-+-n )(*∈N n 5、Yi知121
+
1例1已知数列{a}满足:a=1且. 2a,3a,(n,2)n1nn,1n,22 (1) Qiu数列{a}的通项公式; n 21m1,1m(2) ShemN，mn2，证明(a+)(m-n+1) ,,,,，nnm2 Fen析:这是06年河北省高中数学竞赛的一道Jie答题(1)大家都知道数列的递推公式往往比通Xiang公式还重要.这就引导我们要重视数列的递推Gong式 31由已知有a=,学生对Xing如, A，B是常数)a,Aa，B(AB,0,QieA,1a，nnn,1n,1n,122 Xing式的一次线性递推关系的数列通过构造新数列求Tong项公式的方法已不陌生，本题中的递推关系显然Bu是此类型.那么我们能否也可通过待定系数法构造Xin数列呢? 331x3xc不妨设Ji与比较a，,(a，)(n,2),，a,a，aann,1nn,1nn,1nn,1n,1n,12222222 13131nXi数得c=1.即 a，,()a，,(a，)nn,1nnn,1n22222 13133You,故{}是首项为公比为的等比数列， a，a，,1nn22222 31nGu a,(),nn22 (2) 这一问Shi数列、二项式定理及不等式证明的综合问题.Zong合性较强. n2m3,1mmn即证，Dangm=n时显然成立。易验证当且仅当m=n=2Shi，等()(,，1),m2 号成立。 n3mShe下面先研究其单调性。当>n时，b,()(m,n，1)mn2 11,,b3m,n，131nmm,()(),()(1，),b2m,n2m,nn，1 b31214m,1mn？(),()(1，),(1，m,),,1？b,bnn，1b2m,n3m3n，1 22mm,13，1m,Ji数列{b}是递减数列.因为n2，故只须Zhengb,即证。事实,(),n2mm2 111519m，12m()1Shang，故上不等式成立。综上，原不等,，C,，C,,,,mm2224mmmm Shi成立。无独有偶，在不到1个月的06年全Guo一卷高考题22中恰出现了本例中构造数 Lie求通项公式a的模型。有兴趣的同学可找Zuo一做。 n 例2设数列{a}满足 a,3,a,2a,n，1n1n，1n Xue而思教育?学习改变命运 思考成就未来～ Gao考网www.gaokao.com (1) https://www.pufa5.net/question/e9d941887b87433823.htmlQiu{}的通项公式; an 111(2) Ruo cbccd,,,,,,1,,1nn，1nnancc,nnn，1 1Qiu证:数列{}的前n项和 ,b,dsnnn3 Fen析:(1)此时我们不妨设 a，A(n，1)，B,2(a，An，B)n，1n Ji与已知条件式比较系数得 A,,1,B,0.a,2a，An,A，Bn，1n You是首项为2，公比为2的等比数列。？a,(n,1),2(a,n)a,1,2,？{a,n}n，1n1n nn. ？a,n,2,Jia,2，nnn 1n(3) 由(1)Zhi. 当时, a,2，n,？b,n,2nnn2 c,c，(c,c)，(c,c)，...，(c,c),1，b，b，......，bn12132nn,112n,1 11,n 11112,1，，，...，,,2,.2n,1n,1122221,2 1Dangn=1时，=1也适合上式，所以2，Gucc,,1nn,12 1111 ,(,),bdnnnn，1n，1112(2,2)(2,1)2,2,n,1n22 n，1nn，1Fang法一:？2,2,2，(这步难度较大,Ye较关键,后一式缩至常数不易想到.必须2,1,3 Yao有执果索因的分析才可推测出.) 1n1(),111111112. ,...(1)？bd,？S,，，，,,,，,,nnnn2nn1323232326323，，，，1,2Fang法二 :在数列中,简单尝试的方法也Xiang当重要.很多学生做此题时想用裂项相消法但是发Xian此 ,种处理达不到目的.但是当n3Shi,我们看: 111111S,，，，...，You前二项会得到,nn，1n，12,36,714,15(2,2),(2,1)37 1111111Zhe样S,，,，,，...，,我们可重新加括号De nn，1n，166714152,22,1 11111111S,,[(,)，(,)，...，(,)],nnn，1n，1371415302,12,22,1Xue而思教育?学习改变命运 思考成就未来～ Gao考网www.gaokao.com 111Xian然,,0,,0nn，1n，12,12,22,1 1Gus,得证.这样也实现了我们的初步想Fa.也易让学生接受.n3 11易Yan证当n=1，2时 . 综上 ,,ssnn33 Xia面我们再举一个数列中利用放缩法证明Bu等式的问题. 1,例3已知正项数Lie{}满足 a,1,a,a，,a,(n,N)a1n，1nnn2(n，1)(1) Pan断数列{}的单调性; an 11111,,,,(2) Qiu证: 2n，1n，2(n，1)aann，1 1Fen析:(1)？a,a,,0故a,a，即 a,an，1nn，1nn，1n2(n，1) Gu数列{}为递增数列. an 111,,2(n，1)aa(2) Bu妨先证 nn，1 a,aaa1111n，n1nn,,,,，, .222n，an，(1)(1)aaaan，aa(1)n，1nn，nn，nn，111 1111Zai证:原解答中放缩技巧太强，下面给出另一Zhong证法,,,nn，，12aann，1 11111111111,,(,)，(,)，...，(,),，，...，,？22223(n，1)aaaaaaaan，nn，111223111111，，...，(,).Yong到了累差迭加法及这种常用的放缩手段21，22，3n(n，1)(n，1)n(n，1) 111111,1,，,，...，,,1,223nn，1n，1 Xue而思教育?学习改变命运 思考成就未来～ Gao考网www.gaokao.com ？a,n，1n，1 a1n？a,a，a,a[1，]n，1nnn22(n，1)(n，1) aann，1？,1，2a(n，1)n a,a11n，1n？,, aaaann，1nn，1 a11n,,, 2n，aaaa(1)211nn，n，n2n，(1)n，，(1)[1]2an，(1)n 1. ,Zhe种证法还是比较自然的,也易让学生接受. an(n，1)(n，1，)n，1 aannShi， 当,,1n,2n，1n 11111？,,,,. (n，1)(n，2)n，1n，2aann，1 Yi验证当n=1时,上式也成立. 11111,,,,Zong上,故有成立. 2n，1n，2(n，1)aann，1 Tong过以上三例,我们发现通过递推公式,有De数列可以通过构造新数列的方法,构造出一Ge我们一个较熟悉的数列,从而求出通项公式,Zhe也是一种化归能力的体现.有的数列题目虽不能求Chu通项公式,但我们可以研究其隐含的性质如Dan调性等来解https://www.pufa5.net/question/dbbea5c58a87502733.html决问题.放缩法虽然技巧性较强,但多Shu均是一些常用的放缩手段.此类问题考查了学生De灵活性与分析问题及运用知识解决问题的能力.Ye正为此,这种类型的题目越来越受到高考命题者De青睐. 学而思教育?学习改变Ming运 思考成就未来～ Gao考网www.gaokao.com
例谈数列解答题中放缩法常见类型及处Li方法
墨江二中 柴锦胜
1、 Zai解答的最后一步中放缩
例题 1:(2014Nian北京模拟)已知等差数列 {}n a 满Zu:73=a , 2675=+a a , {}n a De前 n 项和为 n S .
⑴求 n a Ji n S ⑵令 1
12-=n n a b (n *N ∈) , Qiu证数列 {}n b 的前 n 项和 41