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《数列中的放缩法》

日期:2019/12/6
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数列中的放缩法解题策略

  数列中的放缩法解题策略   1、Ming确放缩的方向:即是放大还是缩小,看证Ming的结论,是小于某项,则放大,是大于Mou个项,则缩小。   2、放缩的项Shu:有时从第一项开始,有时从第三项,有Shi第三项,等等,即不一定是对全部项进行放缩。   3、Fang缩法的常见技巧及常见的放缩式:   (1)Gen式的放缩:;   =<<= (2)Zai分式中放大或缩小分子或分母:2111(2)(1)(1)k k k k k k <<≥+-; 211111()1211k k k <=---+2k ;11n n n n -<+;212221   n n n n +>-; >31n 1111(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦     (3)Ying用基本不等式放缩:222n n n n ++>=+; 4、Ba握放缩的尺度、精度的控制   5、Dian型问题   (一) 放缩为可求和型   (1) Deng差数列型   1、证明:2   )2()1(32212)1(+<+⨯+⨯+⨯<+n n n n n n )(*∈N n   (2) Deng比数列型   1、证明:44   371211211212<+++++n )(*∈N n (3)Lie项相消型   1、证明:2121122<++   n   )(*∈N n Bian式:调整放缩度 证明:35121122<++n )(*∈N n 2、Zheng明: 23)   12(151311222<-++++n )(*∈N n Bian式:调整放缩度 证明:45)12(151311222<-++++   n )(*∈N n   3、Zheng明:45121133<++   n   )(*∈N n 4、Zheng明:351211211212<-+-+-n )(*∈N n 5、Yi知121   +Cuo位相减法型   1、证明:222221212<+++++n   n n )(*∈N n   (Er) 放缩为可求积型   1、证明:1   212124321+<-⨯⨯⨯n n n )(*∈N n 2、Zheng明:   1212674523+<-⨯⨯⨯n n n )(*∈N n Zong合应用:   1、正项数列{}n a Qiann 项和为n S ,满足)1(21n   n n a a S +=, (1)Qiun a ,(2)求100   21111S S S S +++=   De整数部分 2、已知数列{}n a De前n 项和为n S ,且满足111,20(2)2n n n a a S S n -=   +=≥。 (I )Shu列1{}n   S 是否为等差数列?并证明Ni的结论; (II )求n S 和n a ; (III )Qiu证:222212312   n S S S S +++   +<。   3、Yi知数列{}n a 的各项均为正数,且满足111122,(),1n n n n a a a n N a a *++-==∈-Ji2n n n b a a =-,数列{}n b De前n 项和为n x ,且1()2n n f x x =. (I )Shu列{}n b 和{}n a 的通项公式;   (II )Qiu证: 12231()()()1()2()()()2n n f x f x f x n n n N f x f x f x *+-<+++<∈.

构造新数列与数列中的放缩法

  1例1已知数列{a}满足:a=1且. 2a,3a,(n,2)n1nn,1n,22   (1) Qiu数列{a}的通项公式; n   21m1,1m(2) ShemN,mn2,证明(a+)(m-n+1) ,,,,,nnm2   Fen析:这是06年河北省高中数学竞赛的Yi道解答题(1)大家都知道数列的递推公Shi往往比通项公式还重要.这就引导我们要重视数列De递推公式   31由已知有a=,学生Dui形如, A,B是常数)a,Aa,B(AB,0,QieA,1a,nnn,1n,1n,122   Xing式的一次线性递推关系的数列通过构造新数列求通Xiang公式的方法已不陌生,本题中的递推关系Xian然不是此类型.那么我们能否也可通过待Ding系数法构造新数列呢?   331x3xcBu妨设即与比较a,,(a,)(n,2),,a,a,aann,1nn,1nn,1nn,1n,1n,12222222   13131nXi数得c=1.即 a,,()a,,(a,)nn,1nnn,1n22222   13133You,故{}是首项为公比为的等比数列, a,a,,1nn22222   31nGu a,(),nn22   (2) 这Yi问是数列、二项式定理及不等式证明的综合问Ti.综合性较强.   n2m3,1mmnJi证,当m=n时显然成立。易验证当且仅Dangm=n=2时,等()(,,1),m2   Hao成立。   n3m设下面先研究其单调Xing。当>n时,b,()(m,n,1)mn2   11,,b3m,n,131nmm,()(),()(1,),b2m,n2m,nn,1   b31214m,1mn?(),()(1,),(1,m,),,1?b,bnn,1b2m,n3m3n,1   22mm,13,1m,Ji数列{b}是递减数列.因为n2,故只须Zhengb,即证。事实,(),n2mm2   111519m,12m()1Shang,故上不等式成立。综上,原不等,,C,,C,,,,mm2224mmmm   Shi成立。无独有偶,在不到1个月的06Nian全国一卷高考题22中恰出现了本例中构Zao数   列求通项公式a的模型。有兴趣的同学Ke找做一做。 n   例2设数列{a}满足 a,3,a,2a,n,1n1n,1n   Xue而思教育?学习改变命运 思考成就未来~ Gao考网www.gaokao.com   (1) https://www.fanwen99.cn/article/128853632.htmlQiu{}的通项公式; an   111(2) Ruo cbccd,,,,,,1,,1nn,1nnancc,nnn,1   1Qiu证:数列{}的前n项和 ,b,dsnnn3   Fen析:(1)此时我们不妨设 a,A(n,1),B,2(a,An,B)n,1n   Ji与已知条件式比较系数得 A,,1,B,0.a,2a,An,A,Bn,1n   You是首项为2,公比为2的等比数列。?a,(n,1),2(a,n)a,1,2,?{a,n}n,1n1n   nn. ?a,n,2,Jia,2,nnn   1n(3) 由(1)Zhi. 当时, a,2,n,?b,n,2nnn2   c,c,(c,c),(c,c),...,(c,c),1,b,b,......,bn12132nn,112n,1   11,n 11112,1,,,...,,,2,.2n,1n,1122221,2   1Dangn=1时,=1也适合上式,所以2,故cc,,1nn,12   1111 ,(,),bdnnnn,1n,1112(2,2)(2,1)2,2,n,1n22   n,1nn,1Fang法一:?2,2,2,(这步难度较大,Ye较关键,后一式缩至常数不易想到.必须2,1,3   Yao有执果索因的分析才可推测出.)     1n1(),111111112. ,...(1)?bd,?S,,,,,,,,,,nnnn2nn1323232326323,,,,1,2Fang法二 :在数列中,简单尝试的方法也相当重要.Hen多学生做此题时想用裂项相消法但是发现此   ,Zhong处理达不到目的.但是当n3时,我们看:   111111S,,,,...,You前二项会得到,nn,1n,12,36,714,15(2,2),(2,1)37   1111111Zhe样S,,,,,,...,,我们可重新加Kuo号得 nn,1n,166714152,22,1   11111111S,,[(,),(,),...,(,)],nnn,1n,1371415302,12,22,1Xue而思教育?学习改变命运 思考成就未来~ Gao考网www.gaokao.com   111Xian然,,0,,0nn,1n,12,12,22,1 1Gus,得证.这样也实现了我们的初步想法.也Yi让学生接受.n3   11易验证当n=1,2Shi . 综上 ,,ssnn33   下面我Men再举一个数列中利用放缩法证明不等式的问题.   1,Li3已知正项数列{}满足 a,1,a,a,,a,(n,N)a1n,1nnn2(n,1)(1) Pan断数列{}的单调性; an   11111,,,,(2) Qiu证: 2n,1n,2(n,1)aann,1   1Fen析:(1)?a,a,,0故a,a,即 a,an,1nn,1nn,1n2(n,1)   Gu数列{}为递增数列. an   111,,2(n,1)aa(2) Bu妨先证 nn,1   a,aaa1111n,n1nn,,,,,, .222n,an,(1)(1)aaaan,aa(1)n,1nn,nn,nn,111   1111Zai证:原解答中放缩技巧太强,下面给出Ling一种证法,,,nn,,12aann,1   11111111111,,(,),(,),...,(,),,,...,,?22223(n,1)aaaaaaaan,nn,111223111111,,...,(,).Yong到了累差迭加法及这种常用的放缩手段21,22,3n(n,1)(n,1)n(n,1)   111111,1,,,,...,,,1,223nn,1n,1   Xue而思教育?学习改变命运 思考成就未来~ Gao考网www.gaokao.com   ?a,n,1n,1   a1n?a,a,a,a[1,]n,1nnn22(n,1)(n,1)   aann,1?,1,2a(n,1)n   a,a11n,1n?,,   aaaann,1nn,1   a11n,,, 2n,aaaa(1)211nn,n,n2n,(1)n,,(1)[1]2an,(1)n   1. ,Zhe种证法还是比较自然的,也易让学生接受.   an(n,1)(n,1,)n,1   aannShi, 当,,1n,2n,1n   11111?,,,,. (n,1)(n,2)n,1n,2aann,1   Yi验证当n=1时,上式也成立.   11111,,,,Zong上,故有成立. 2n,1n,2(n,1)aann,1   Tong过以上三例,我们发现通过递推公式,You的数列可以通过构造新数列的方法,构造出一个我Men一个较熟悉的数列,从而求出通项公式,这也是Yi种化归能力的体现.有的数列题目虽不能求出Tong项公式,但我们可以研究其隐含的性质如单调性等Lai解https://www.fanwen99.cn/article/128849767.html决问题.放缩法虽然技巧性较强,但多Shu均是一些常用的放缩手段.此类问题考查了学Sheng的灵活性与分析问题及运用知识解决问题的能力.Ye正为此,这种类型的题目越来越受到高考命题者De青睐.   学而思教育?学习改变命运 Si考成就未来~ Gao考网www.gaokao.com   

例谈数列中放缩法

  例谈数列解答题中放缩法常见类型及处Li方法   墨江二中 柴锦胜   1、 Zai解答的最后一步中放缩   例题 1:(2014Nian北京模拟)已知等差数列 {}n a Man足:73=a , 2675=+a a , {}n a De前 n 项和为 n S .   ⑴求 n a Ji n S ⑵令 1   12-=n n a b (n *N ∈) , Qiu证数列 {}n b 的前 n 项和 41Jie答:(1)过程略 12+=n a n , n n S n 22+=,   (2)You(1)知 12+=n a n , 所以 ) 111.(41) 1(1. 411) 12(11122+-=+=-+=-=   n n n n n a b n n Suo以 1   113121211.(41+-+⋅⋅⋅+-+-=n n T n ) 4   1) 111.(41<+-=n Jie题反思:此法适用于通项公式能够直接用Lie项法或错位相减法求和的放缩题。 在Zui后一步 上拿掉部分项达到目的。   2、 Zai解答的中间过程中进行放缩   例 题 2:(2013. Guang 东 高 考 ) 数 列 {}n a De 前 n 项 和 为 n S , 已 Zhi 11=a , 3   231221---=+n n a n S n n , (n *N ∈) . ⑴Qiu数列 {}n a 的通项公式;⑵证明:Dui一切正整数 n ,   4711121<+⋅⋅⋅++n a a a Jie答:(1)过程略 2n a n =   (2)Dang 1=n 时, 4   7111121<==a ,Dang 2=n 时, 47454111121<=+=+a a Dang 3≥n 时, n   n n n n a n 111) 1(1112--=-<=(Wei什么不在 2≥n 时放缩,因为此   Shi不会出要得 4   7这个数来。 Ze 4   71471114131312141111121<-=--+⋅⋅⋅+-+-++<+⋅⋅⋅++n n n a a a n Ji对一切正整数 n , 4   711121<+⋅⋅⋅++n a a a Cheng立 解题反思:当 1=n 时,   n n n n n a n 111) 1(1112--=-<=Bu成立,所以用数学归纳法证明, 在当 3≥n Shi, 运用 n   n n n n a n 111) 1(1112--=-<=, De出不等关系。 并且转化为裂项法求 和。   3、Dui求和用到的通项公式进行放缩   例题 3:(2014Nian高考全国卷 17大题)已知数列 {}n a Man足:11=a , 131+=+n n a a ⑴Zheng明:⎭   ⎬⎫⎩⎨⎧   +21n a Shi等比数列,并求数列 {}n a 的通项公式 ⑵Zheng明 2   311121<+⋅⋅⋅++n a a a Jie:(1)由 131+=+n n a a De ) 21(3211+=+   +n n a a . You 23211=+a ,所以 ⎭⎬⎫⎩   ⎨⎧+21n a Shi首项为 3,公比为 3的等比数列 . Suo以 2321n n a =+,因此 {}n a De通项公式为 2   13-=n n a (2)You(1)知 1   321-=n n a . ,Yin为当 1≥n 时, 13213-⨯≥-n n , Suo以 1321131-⨯≤-n n ,所以 113   1322132--=⨯≤-n n n , Yu是 23) 3   11(2331311111121<-=+⋅⋅⋅++≤+⋅⋅⋅++-n n n a a a Suo以 2   311121<+⋅⋅⋅++n a a a .     Jie题反思:因为当 1≥n 时, 1321131-⨯≤-n n ,Suo以 1131322132--=⨯≤-n n n , Ji 13   11321-<-=n n n a ,Yi次性对通项公式进行放缩,再用同向不等式的Jia法得到 23) 3   11(2331311111121<-=+⋅⋅⋅++≤+⋅⋅⋅++-n n n a a a Jie果。     2015.9.20

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