——整体代换思想的应用 卓越教育考Shi研究院 在开始讲解例题之前，首先Yao解决的问题是，究竟什么是“整体代换”,在Ge种学术期刊上，对于整体代换思想都有着不同De表述方式。不过这种抽象枯燥的表述方式，显然Bu是鹏叔的风格。我们换个方式，先讲个小Gu事。 ?? 这幅图中的内Rong，想必大家都不会陌生，它描绘场景的是很Jing典的历史故事“曹冲称象”。三国时，有Ren给曹操送了一头大象，文武百官都不知道如He称重。这时，小曹冲想出了一个办法:将大象Qian到船上，然后在船上刻下水平面的高度;接下来Ba石头堆到船上，直到船体没入水中的高度与Gang才相同。这样只要称出石头的总重量，就Zhi道大象的重量了。 这个故事Zai称赞小曹冲的同时，所表达的核心思想是，可以将Bu易称重的大象，转化为容易称重的石头，只要保Zheng它们的总重量的相等的即可。那其实这就是Shu学中的代换思想，也叫等价代换思想。在实际De解题过程中，我们也往往会会将题目中较复杂的Shi子，看作是一个整体，取代以后使计算简Bian。也可以这样说，整体代换是一种数学思想，Luo实到解题上，其实就是我们常见的换元法。这类做Fa，数与 式的相关题目中非常常见。Wo们来看下面例题。 ??【作用】将Shi子(方程)进行化简从而便于求解 【Fang法】将式子中重复出现的部分作为整体 【Shi例】巧解真题 百度搜索“就爱阅Du”,专业资料,生活学习,尽在就爱阅读网,Nin的在线图书馆!
整体代换,消元思想 1. 已Zhi函数6()3()f x ax a R x =+ -∈ ,Qie(10f = ,则f 的值是 -6 2.Zai平面直角坐标系中xOy 中,已知点P 在Qu线1(0)xy x =>上,点P 在x 轴Shang的射影为M .点P 在直线0x y -=De下方,当2 OP OM MP -Qu得最小值时,点P 的坐标为 3.Yi知ABC ∆的三边长,,a b c Cheng等差数列,且22284a b c ++=,Ze实数b 的取值范围是 ( 4.Yi知函数111,0,22()12,,22x x x f x x -⎧⎡⎫+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎫⎪∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩ .Ruo存在12,,x x 当1202x x ≤<<Shi,12()(), f x f x =Ze12.()x f x 的取值范围是 2142⎡⎫ -⎪⎢⎪⎣⎭ 5.Ruo函数()f x 为定义域D 上的单调函数,且Cun在区间[],a b D ⊆(其中a b <),Shi得当[],x a b ∈时,()f x De值域恰为[],a b ,则称函数()f x ShiD 上的正函数,区间[],a b 叫做等域Qu间.如果函数2()g x x m =+Shi(),0-∞上的正函数,则实数m 的取Zhi范围为 . 31,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 6.Yi知二次函数c bx ax x f ++=2)(Man足c b a f >>=,0)1(,则a c De取值范围是 )2 1,2(-- 7.Shey x c xy p b y xy x a +==+-=,,22,Ruo对任意的正实数y x ,都存在以c b a ,,Wei三边长的三角形,则实数p 的取值范围是 )3,1( 8.Deng差数列{}n a 中,已知13,1598≤≥a a ,Ze12a 的取值范围是 (]7,∞- 9. Ruo实数,,x y z 满足0x y z ++=,Qie2221x y z ++=,记m 为222,,x y z Zhong的最大者,则 m 的最小值是 12 10.Yi知b a ,为正实数,函数3()2x f x ax bx =++Zai[]1,0上的最大值为4,则)(x f https://www.3rxing.org/question/567c907fc7146200510.html在[] 0,1-Shang的最小值为 2 3- 11.Yi知R z y x ∈,,,且3,1222=++=++z y x z y x ,Zexyz 的最大值是 275 12.函数223)1()(+-=x x x x f De值域是 ⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡-41,41 13.She)(x f 是定义在R 上的函数,若2010)0(=f ,Qie对任意的R x ∈,满足 x x f x f 23)()2(⋅≤-+,x x f x f 263)()6(⋅≥-+,Ze=)2010(f 200922010+ 14. Yi知函数421()421x x x x k f x +⋅+=++, Ruo对于任意实数123,,x x x ,Cun在以123(),(),()f x f x f x Wei三边边长的三角形,则实数k 的取值范围是____________.1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 15.Zai平面直角坐标系xoy 中,已知椭圆2222 1x y a b +=(0)a b >>Zai圆221x y +=上. (1)求椭圆De方程;2 212 x y += (2)SheA 、B 、M 是椭圆上的三点(异于Tuo圆顶点),且存在锐角θ,使OM →=cos θOA →+sin θOB →. (ⅰ)Qiu证:直线OA 与OB 的斜率之积为Ding值; 12 - (ⅱ)求OA 2+OB 2. 3 16.Yi知二次函数f (x )=ax 2-x +c (x ∈R )De值域为[0,+∞),则 c +2a +a +2c De最小值为______. 10 17.Ruo关于x 的方程x 4+ax 3+ax 2+ax +1=0You实数根,则实数a 的取值范围为 ________.⎝ ⎛⎦⎤-∞,-23∪[2,+∞) 18.Yi知△ABC 的三边长a 、b 、c 满足b +2c ≤3a ,c +2a ≤3b ,Zeb a 的取值范围为____________. (34,53 ) 19. Yi知实数a 、b 、c 满足a +b +c =9,ab +bc +ca =24,Zeb 的取值范围是 ____________.[1,5] 20.She函数2()1f x x =-,若0,a b <<Qie()()f a f b =,则221a b -De取值范围是 (,0)-∞
整体代换，消元思想 161. Yi知函数，且，则的值是 f(12)0,,f()fxaxaR()3(),，,,x12，-6 2.Zai平面直角坐标系中中，已知点在曲线上，点在Zhou上的射影为PPxOyxyx,,1(0)x 2OP.Dian在直线的下方，当取得最小值时，点的坐标为 MPPxy,,0OMMP, 6262，, (,)22 2223.Yi知的三边长成等差数列，且，则实数的取Zhi范围是 abc,,abc，，,84,ABCb ，26,27，， ,11，,xx，,,0,,,,22,，,4.Yi知函数fx(),.若存在当时，fxfx()(),,xx,,02,,,xx,1212121，,x,1,2,,2x,,,,2，,, ，,221,,,,Ze的取值范围是 xfx.(),1242，, 5.Ruo函数为定义域D上的单调函数，且存在区间(Qi中)，使得当fx()abD,,ab,,, Shi，的值域恰为，则称函数是D上的正函数，区间Jiao做xab,,fx()ab,fx()ab,,,,,,, 2Deng域区间(如果函数是上的正函数，则实数De取值范围,,,0gxxm(),，m，， 3,,,,1,Wei . ,,4,, c26.Yi知二次函数满足，则的取值范围是 f(x),ax，bx，cf(1),0,a,b,ca 1 (,2,,)2 227.She，若对任意的正实数都存在以为三x,ya,x,xy，y,b,pxy,c,x，ya,b,cBian长的三角形，则实数的取值范围是 p(1,3)8.Deng差数列,,中，已知，则的取值范围是 ， aa,15,a,13a,,,7,n8912 2222229. Ruo实数满足，且，记为中的最大者，则 xyz,,xyz，，,0xyz，，,1mxyz,, 1De最小值是 m2 3x10.Yi知为正实数，函数在上的最大值为4，则在,,,,0,1,1,0a,bfxaxbx()2,，，f(x) 3Shang的最小值为 ,2 522211.Yi知,且，则的最大值是 xyzx,y,z,Rx，y，z,1,x，y，z,327 3x,x11，，12.Han数f(x),的值域是 ,,22,,(x，1)44，， 13.She是定义在上的函数，若，且对任意的，满足Rf(x)f(0),2010x,R xx，，Ze f(x，2),f(x),3,2f(x，6),f(x),63,2f(2010), 2010 2，2009 xx421，,，kfx(),xxfxfxfx(),(),()14. Yi知函数，若对于任意实数，存在以xxx,,123421，，123 1，，,,4Wei三边边长的三角形，则实数的取值范围是____________( k,,2，， 22xy2，,12215.Zai平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，其焦Dianxoy(0)ab,,2ab 22Zai圆上( xy，,1 2x2(1)Qiu椭圆的方程; ，,y12 ???(2)SheA、B、M是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，Qie存在锐角θ，使OM,cosθOA，sinθOB. 1(?)Qiu证:直线OA与OB的斜率之积为定值; ,222(?)QiuOA，OB. 3 c，2a，2216.Yi知二次函数f(x),ax,x，c(x?R)的Zhi域为[0，，?)，则，的最小值为ac______( 10 43217.Ruo关于x的方程x，ax，ax，ax，1,0有实Shu根，则实数a的取值范围为 2,，,?，,________(?[2，，?) ,3， b18(Yi知?ABC的三边长a、b、c满足b，2c?3a，c，2a?3b，Ze的取值范围为a 35____________( (，) 43 19. Yi知实数a、b、c满足a，b，c,9，ab，bc，ca,24，Zeb的取值范围是____________([1,5] 122a,fxx()1,,220.She函数，若且，则的取值范围是 ab,,0,fafb()(),b (,0),,