第二章:代数式 基础知识点: Yi、代数式 1、代数式:用运算符号把Shu或表示数的字母连结而成的式子,叫代数Shi。单独一个数或者一个字母也是代数式。 2、Dai数式的值:用数值代替代数里的字母,计算后De到的结果叫做代数式的值。 3、代数Shi的分类: ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧Wu理式分式 多项式单项式整式有理式代数Shi 二、整式的有关概念及运算 1、Gai念 (1)单项式:像x 、7、y x 22,Zhe种数与字母的积叫做单项式。单独一个数或字母Ye是单项式。 单项式的次数:一个单项式Zhong,所有字母的指数叫做这个单项式的次Shu。 单项式的系数:单项式中的数字因数Jiao单项式的系数。 (2)多项式:几个单Xiang式的和叫做多项式。 多项式的项:Duo项式中每一个单项式都叫多项式的项。Yi个多项式含有几项,就叫几项式。 多项式De次数:多项式里,次数最高的项的次数,就是Zhe个多项式的次数。不含字母的项叫常数项。 Sheng(降)幂排列:把一个多项式按某一个字母的Zhi数从小(大)到大(小)的顺序排列起Lai,叫做把多项式按这个字母升(降)幂Pai列。 (3)同类项:所含字母相同,Bing且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。 2、Yun算 (1)整式的加减: He并同类项:把同类项的系数相加,所得结Guo作为系数,字母及字母的指数不变。 Qu括号法则:括号前面是“+”号,把括号和它Qian面的“+”号去掉,括号里各项都不变;括Hao前面是“–”号,把括号和它前面的“–”号去Diao,括号里的各项都变号。 添括Hao法则:括号前面是“+”号,括到括号里的各项都Bu变;括号前面是“–”号,括到括号里的各项都变Hao。 整式的加减实际上就是合并同Lei项,在运算时,如果遇到括号,先去括号,再合Bing同类项。 (2)整式的乘除: Mi的运算法则:其中m 、n 都是正整Shu 同底数幂相乘:n m n m a a a +=⋅;Tong底数幂相除:n m n m a a a -=÷;Mi的乘方:mn n m a a =)(积的乘Fang:n n n b a ab =)(。 Dan项式乘以单项式:用它们系数的积作为积的系数,Dui于相同的字母,用它们的指数的和作为这个字母的Zhi数;对于只在一个单项式里含有的字母,则连同Ta的指数作为积的一个 因式。 Dan项式乘以多项式:就是用单项式去乘多项Shi的每一项,再把所得的积相加。 多Xiang式乘以多项式:先用一个多项式的每一项乘Yi另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。 Dan项除单项式:把系数,同底数幂分别相除,作Wei商的因式,对于只在被除式里含有字母,则连同Ta的指数作为商的一个因式。 多项式除以单Xiang式:把这个多项式的每一项除以这个单项,Zai把所得的商相加。 乘法公式: Ping方差公式:2 2))((b a b a b a -=-+; Wan全平方公式:2222)(b ab a b a ++=+,2222)(b ab a b a +-=- San、因式分解 1、因式分解概念:把一个Duo项式化成几个整式的积的形式,叫因式分解。 2、Chang用的因式分解方法: (1)提取Gong因式法:)(c b a m mc mb ma ++=++ (2)Yun用公式法: 平方差公式:))((22b a b a b a -+=-;Wan全平方公式:222)(2b a b ab a ±=+± (3)Shi字相乘法:))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ (4)Fen组分解法:将多项式的项适当分组后能提公因Shi或运用公式分解。 (5)运用求根公Shi法:若)0(02≠=++a c bx ax De两个根是1x 、2x ,则有: ))((212x x x x a c bx ax --=++ 3、Yin式分解的一般步骤: (1)如果多项Shi的各项有公因式,那么先提公因式; (2)Ti出公因式或无公因式可提,再考虑可否Yun用公式或十字相乘法; (3)Dui二次三项式,应先尝试用十字相乘法分Jie,不行的再用求根公式法。 (4)最Hou考虑用分组分解法。 四、分式 1、Fen式定义:形如B A 的式子叫分式,Qi中A 、 B 是整式,且B 中Han有字母。 (1)分式无意义:B=0Shi,分式无意义; B ≠0时,分式有意义。 (2)Fen式的值为0:A=0,B ≠0时,分式的值Deng于0。 (3)分式的约分:把Yi个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约Fen。方法是把分子、分母因式分解,再约去公因式。 (4)Zui简分式:一个分式的分子与分母没有公因式时,Jiao做最简分式。分式运算的最终结果若是分式,一定Yao化为最简https://www.pufa5.net/question/24d493b72862041446.html分式。 (5)通分:Ba几个异分母的分式分别化成与原来分式相Deng的同分母分式的过程,叫做分式的通分。 (6)Zui简公分母:各分式的分母所有因式的最高Ci幂的积。 (7)有理式:整式和分Shi统称有理式。 2、分式的基本Xing质: (1))0(的整式是≠⋅⋅=M M B M A B A ;(2))0(De整式是≠÷÷=M M B M A B A (3)Fen式的变号法则:分式的分子,分母与分式本身De符号,改变其中任何两个,分式的值不变。 3、Fen式的运算: (1)加、减:同分Mu的分式相加减,分母不变,分子相加减;异分母的Fen式相加减,先把它们通分成同分母的分式Zai相加减。 (2)乘:先对各分式De分子、分母因式分解,约分后再分子乘Yi分子,分母乘以分母。 (3)除:Chu以一个分式等于乘上它的倒数式。 (4)Cheng方:分式的乘方就是把分子、分母分别乘方。 Wu、二次根式 1、二次根式的概念:Shi子)0(≥a a 叫做二次根式。 (1)Zui简二次根式:被开方数的因数是整数,因式是Zheng式,被开方数中不含能开得尽方的因式的二次Gen式叫最简二次根式。 (2)同类Er次根式:化为最简二次根式之后,被开方Shu相同的二次根式,叫做同类二次根式。 (3)Fen母有理化:把分母中的根号化去叫做分母有理Hua。 (4)有理化因式:把两个含有Er次根式的代数式相乘,如果它们的积不含You二次根式,我们就说这两个代数式互为有理Hua因式(常用的有理化因式有:a 与a ;d c b a +Yud c b a -) 2、二次根式De性质: (1) )0()(2≥=a a a ;(2)⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a ;(3) b a ab ⋅=(a ≥0,b ≥0);(4))0,0(≥≥=b a b a b a 3、Yun算: (1)二次根式的加减:将各二Ci根式化为最简二次根式后,合并同类二次根式。 (2)Er次根式的乘法:ab b a = ⋅(a ≥0,b ≥0)。 (3)Er次根式的除法:)0,0(≥≥=b a b a b a Er次根式运算的最终结果如果是根式,要Hua成最简二次根式。 例题: 一、因Shi分解: 1、提公因式法: Li1、)(6)(242 2x y b y x a -+- Fen析:先提公因式,后用平方差公式解:略 [Gui律总结]因式分解本着先提取,后公式等,但应把Di一个因式都分解到不能再分解为止,往往需要Dui分解后的每一个因式进行最后的审查,如果还能分Jie,应继续分解。 2、十字相乘法: Li2、(1)36524--x x ;(2)12)(4)(2-+-+y x y x Fen析:可看成是2x 和(x+y)的二Ci三项式,先用十字相乘法,初步分解。解:略 [Gui律总结]应用十字相乘法时,注意某一项可Shi单项的一字母,也可是某个多项式或整Shi,有时还需要连续用十字相乘法。 3、分Zu分解法: 例3、2223--+x x x Fen析:先分组,第一项和第二项一组,第三、Di四项一组,后提取,再公式。解:略 [Gui律总结]对多项式适当分组转化成基本方Fa因式分组,分组的目的是为了用提公因式,Shi字相乘法或公式法解题。 4、求根公式法: Li4、552++x x 解:略 二、Shi的运算 巧用公式 例5、计算:22)11()11(b a b a -+--- Fen析:运用平方差公式因式分解,使分式运算简单Hua。解:略 [规律总结]抓住三个乘法公Shi的特征,灵活运用,特别要掌握公式的几Zhong变形,公式的逆用,掌握运用公式的技巧,使运Suan简便准确。 2、化简求值: Li6、先化简,再求值:)74()53(52222xy y x x x +++-,Qi中x= – 1 y =21- [Gui律总结]一定要先化到最简再代入求值,注Yi去括号的法则。 3、分式的计算: Li7、化简)33 16(625---÷--a a a a Fen析:– 3-a 可看成 3 92---a a Jie:略 [规律总结]分式计算过程中:(1)Chu法转化为乘法时,要倒转分子、分母;(2)Zhu意负号 4、根式计算 例8、已Zhi最简二次根式12+b 和b -7是同类二Ci根式,求b 的值。 分析:根Ju同类二次根式定义可得:2b+1=7–b 。Jie:略 [规律总结]二次根式的Xing质和运算是中考必考内容,特别是二次根式De化简、求值及性质的运用是中考的主要考查内Rong。
初中代数知识整理简化版
一、Shi数
1、实数概念
()
⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⋯⎭⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪
⎪⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧010010001.02722、
、Wu限不循环小数负无理数正无理数无理数数You限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零Zheng整数整数有理数实数π① ⎪⎩
⎪
⎨⎧<=>000
a a a ②Fu实数零正实数实数(没有最大实数、也没最小Shi数)
2、性质(哪个数的××等于他Ben身)8种
①倒数
a
1
1=∙b a ()0≠a ②Xiang反数a - 0=+b a )0(1≠-=a b
a
③Jue对值 a ≥0 到原点的距离 ⎪⎩
⎪
⎨⎧<-=>=000
0a a a a a a Ta本身(或相反数) ④平方2
a ≥0 ⑤Li方3a 三句话 ⑥平方根a ±
San句话
⑦算术平方根)0(0≥≥a a ⑧Li方根3a 三句话
3、数轴
①San要素 原点、正方向、单位长度 ②数轴上的Dian实数一一对应
−−−→← ③如何Du数轴 大小 绝对值大小 ④Liang点间距离 B A x x AB -=
4、Bi较大小 ①正数>0>负数
②两个正Shu,绝对值大就大 ③两个负数,绝对值大的反而Xiao ④无理数一般采用平方法 5、近似数
①Ke学记数法 把一个数记成10n
a ⨯De形式,其中1≤a <10,n 为整Shu ②有效数字 ③精确到×位
7、Ji算步骤(计算步骤的清晰性、计算结果的预见性) ①Kan 运算符、括号、几段
②想 Fa则、简便计算(连加减\连乘除\乘法分Pei律、乘法公式顺逆使用)、个人注意点 ③Ding 定顺序、分段定符号、定绝对值 ④查 Zuo一步查一步
二、整式
1、Zheng式定义
⎩⎨⎧(注意书写规范)
Dai数式的和
多项式:几次几项式Dan项式:系数、次数
整式\
3、代Shu式求值
①找(代数式、未知数的值)
②Hua(化简代数式、化简未知数值) ③代(Yu什么换什么) ④算
注意整体思想 4、Ying用
①找规律用代数式表示 ②用Shu量关系进行https://www.pufa5.net/question/242f6cad53679950.html顺逆推理 ③代数思想,设Er不求
三、分式
1、 分式定义
B
A
B =0Shi,分式无意义;B≠0时,分式有意义 Fen式值为零:A =0且B≠0
2、 分Shi基本性质
基本性质1)
A B =..A M B M (B≠0,M Shi不等于0的整式) 2)A B
=A M B M ÷÷(B≠0,M Shi不等于0的整式)
符号 b
a
b a b a -=-=-
3、Cheng除(本质是约分)
①法则n
n n
b a b a bc
ad c d b a d c b a bd
ac d c b a =⎪⎭
⎫
⎝⎛=⨯=÷=⨯
②Bu骤
a 定符号
b 约分→Ji的形式→因式分解→化去相同因式(顺序Shi数字、单个字母、多项式) →最简分式
c Hua 数、字母、多项式 4、加减法
①Tong分母分式的加减:b a ±c a =b c a ± ②Yi分母分式的加减:b a ±d c =bc ad
ac
±;
Bu骤
异分母
通分同分母最简公分Mu积因式分解←→↑
↑
↑
①
②Fen子相加减 ③约分
5、混合运算(Ji算步骤的清晰性、计算结果的预见性)
①Kan运算符、括号、几段
②想法则、简便计Suan(连加减、连乘除、乘法分配律、乘法公式顺Ni使用)、个人注意点
③定定顺序、分段Ding符号、定绝对值
④查做一步查一步
Si、二次根式
1、 定义)0(≥a a
2、 Xing质
)0()(2≥=a a a
||2a a =;
)0(0≥≥a a (Lian想到002≥≥a a 、)
3、乘Chu
①法则()0,0≥≥=⋅b a ab b a ;
b
a
b
a =
(0,0>≥b a ); ②Bu骤a 定符号
b 内乘内,外乘外
c Hua简(不等于分式的约分,目标是最简二次根式)
4、Jia减 步骤
①化为最简二次根式 ②合Bing同类二次根式
5混合运算(计算步骤的Qing晰性、计算结果的预见性) ①看 Yun算符、括号、几段
②想 法则、Jian便计算(连加减、连乘除、乘法分配律、乘法公式Shun逆使用)、个人注意点 ③定 定https://www.pufa5.net/question/083f8430d661473409.htmlShun序、分段定符号、定绝对值 ④查 Zuo一步查一步
五、一元一次方程
1、 Ding义)0(0≠=+a b ax
2、Guan于0=+b ax 解的情况
⎪⎩
⎪⎨
⎧⎩⎨⎧≠==≠Wu解无数个解必有一解解000b b a o a
Yi据:等式性质 本质:方程简化 4、应Yong
①审 找题中基本数量关系,Yong适当名称给数量关系分类 ②设 不好想时Jiu设,问什么设什么
③列 纵向寻找Tong类数量关系列方程,以用过的数量关系Bu可以列方程 ④解 ⑤答
六、二元一次Fang程(组)
1、定义)0(≠=+ab c by ax
2、Er元一次方程的解 ①无条件解是无数组
②You条件解一般是有限个。例如:正整数解,考虑整除Tong常与不等式知识相结合 3、二元一次Fang程组的解法
①代入消元法:有一Xiang系数为“1” ②加减消元法:系数有倍的关系 ★Zhu意点:观察系数,选择方法 4、应用
①Shen 找题中基本数量关系,用适当名称给数Liang关系分类 ②设 不好想时就设,问Shi么设什么
③列 纵向寻找同类数Liang关系列方程,以用过的数量关系不可以Lie方程 ④解
⑤答 隐含条件的挖掘
Qi、一元一次不等式(组)
1、不等式性Zhi:与等式性质作比较
①如果a >b ,Na么a +c >b +c ,a -c >b -c ; ②Ru果a >b ,且c >0,那么ac >bc ; ③Ru果a >b ,且c <0,那么ac
代数式要点 2 代数Shi:用运算符号把数或表示数的字母连接而成的Shi子叫做代数式。单独的一个数或一个字母Ye是代数式。 用数值代替代数式中的字母,An照代数式指明的运算,计算出结果,叫做代数Shi的值。 注意:(1)求代数式的值,一般是Xian将代数式化简,然后再将字母的取值代入。 (2)Qiu代数式的值,有时求不出其字母的值,需要利用Ji巧,“整体”代入。 整式 单项式He多项式统称整式。 ⑴、单项式(3Fen) 只含有数字与字母的积的代数式叫做Dan项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。 Zhu意:单项式是由系数、字母、字母的指Shu构成的,其中系数不能用带分数表示,如b a 2314-,Zhe种表示就是错误的,应写成b a 23 13-。Yi个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个Dan项式的次数。如c b a 235-Shi6次单项式。 ⑵、多项式 (11Fen) 1、多项式 几个单项式的He叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的Xiang。多项式中不含字母的项叫做常数项。多项式Zhong次数最高的项的次数,叫做这个多项式De次数。 2、同类项:所有字母Xiang同,并且相同字母的指数也分别相同的项叫Zuo同类项。几个常数项也是同类项。 3、Qu括号法则 (1)括号前是“+”,Ba括号和它前面的“+”号一起去掉,括号Li各项都不变号。 (2)括号前Shi“﹣”,把括号和它前面的“﹣”号一起去掉,Kuo号里各项都变号。 ⑶、整式的运算法则 Zheng式的加减法:(1)去括号;(2)合并同类项。 ⑷、Zheng式的乘法 ),(都是正整数n m a a a n m n m +=∙ ),(Du是正整数)(n m a a m n n m = )()(Du是正整数n b a ab n n n = 22))((b a b a b a -=-+ 2222)(b ab a b a ++=+ 2222)(b ab a b a +-=- Zheng式的除法:)0,,(≠=÷-a n m a a a n m n m Du是正整数 注意:(1)单项式乘单项式De结果仍然是单项式。 (2)单项Shi与多项式相乘,结果是一个多项式,其Xiang数与因式中多项式的项数相同。 (3)Ji算时注意符号,多项式的每项都包括它Qian面的符号,也要注意单项式的符号。 (4)Duo项式与https://www.pufa5.net/question/07cf509ccf62080830.html多项式相乘的展开式中,有同类Xiang的要合并同类项。 (5)公式中的字母可Yi表示数,也可以表示单项式或多项式。 (6)),0(1);0(10Wei正整数p a a a a a p p ≠=≠=- (7)Duo项式除以单项式,先把这个多项式的每一Xiang除以这个单项式,再把所得的商相加,单Xiang式除以多项式是不能这么计算的。